teorema de poynting prof. dr. vitaly f. rodríguez-esquerre engc34 – eletromagnetismo aplicado…
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Teorema de Poynting
Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre
ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO…
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. , 0B r t
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H r tE r t
t
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E r tH r t J r t
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Equações de Maxwell
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EE H E J E
t
EE J E H E
t
A B B A A B
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E H H E E H
EE J H E E H E
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HE
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EE J H E E H E
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H EE J H E H E
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H EE J H E E H
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21 1 1 1
2 2 2 2
E EE E E EE E E
t t t t t
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2 2
H EE J E H
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H EE Jdv dv E H dv
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2 22 2
2 2 2 2
H Edv H E dv
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E H dv E H ds S E H
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2 2
2 2E Jdv H E dv E H ds
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Re Re Ajj t j tA t Ae Ae e
Re Re Bjj t j tB t Be Be e
Re Re Rej t j t j tA t B t Ae Be ABe
cos cosA BA t B t A t B t
cos cos 22 A B A B
ABA t B t t
*1cos Re
2 2A B
ABA t B t AB
Teorema Complexo de Poynting
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E j H
H j E J
*1cos Re
2 2A B
E HS E t H t E H
* *H E j H H
* * *E H j E E E J
*S E H
2 2* * *H E E H j H j E E J
2 2* *E H j H j E E J
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2 2* *E H j H j E E J
2 2* *E H dv j H E dv E J dv
2 2* *E H ds j H E dv E J dv
1Im 2
2 m e RS ds W W P
2 2 *1 1 1 12
2 4 4 2S ds j H E dv E J dv
2*1 1 1Re Re
2 2 2SS ds E J dv E dv
Parte Real
1Re
2 S CS ds P P
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2 2 *1 1 1 1Im 2 Im
2 4 4 2S ds H E dv E J dv
Parte Imaginária
1Im 2
2 m e RS ds W W P
Exemplo:Considere uma onda plana se propagando na direção +z com os campos
Demonstre o teorema de Poynting num volume retangular com tamanho x=a, y=b e z=c.
0ˆ, cosE r t xE t kz
0ˆ, cosE
H r t y t kz
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2 2 *1 1 1 12
2 4 4 2S ds j H E dv E J dv
2 2
2 2E Jdv H E dv E H ds
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2 2
2 2E Jdv H E dv E H ds
t
S E H 0
0ˆ ˆcos cosE
S xE t kz y t kz
2
20ˆ cosE
S z t kz
2 2 20 cos2 2eW E E t kz
2
2 2 2 2002
cos cos2 2 2m e
EW H t kz E t kz W
0E Jdv
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2 2
0 0 02 2
a b c
m eH E dv W W dxdydz
2 2 2 2
0 0
0 0 0 0
cos cos
a b c c
E t kz dxdydz ab E t kz dz
2 20 0
0
sin 2 sin 21 cos 2
2 2 2 2
ct t kcab ab
E t kz dz E ck k
Aplicando d/dt
20
cos 2 cos 2
2
t t kcabE
k k
2 2 20 cos 2 cos 2
2 2 2
abH E dv E t t kc
t
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2 2
2 20 0
0 0 0 0
cos cos
a b a bE E
E H ds t dz t kc dz
2
20ˆ cosE
S z t kz
20 cos 2 cos 2
2
abE H ds E t t kc
2 2
2 2E Jdv H E dv E H ds
t
Teorema de Poynting
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2 2 *1 1 1 12
2 4 4 2S ds j H E dv E J dv
0ˆjkzE r xE e
0ˆ jkzEH r y e
2* 0 0
0ˆ ˆ ˆjkz jkzE ES E H xE e y e z
Como os fasores E e H estão em fase, S será puramente real., como não temos perdas, devemos demonstrar que:
1Re 0
2 S CS ds P P
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2 20 0
0 0 0 0
1 1Re Re 0
2 2
a b a bE ES ds dz dz
1Im 2
2 m e RS ds W W P
Como não temos potencia reativa, devemos demonstrar que Wm=We
2 2 *1 1 1 1Im 2 Im
2 4 4 2S ds H E dv E J dv
2 22 20 0
02 20 0 0
1 1
4 4 4 4
a b c
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E Eabc abcW H dv dxdydz E
2 2 20 0
0 0 0
1 1
4 4 4
a b c
e
abcW E dv E dxdydz E
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Propagação em Meios com Perda
Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre
ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO…
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Considere um meio com perdas, caracterizado pela sua condutividade , porem sem cargas livres.As equações de Maxwell para campos harmônicos são escritos da seguinte forma:
Aplicando o rotacional na Eq (10.13)
Fazendo uso da identidade vetorial
e da Eq. (10.14)
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Obtem-se
Ou
Onde
é conhecida como constante de propagação, e será uma variável complexa,Podendo ser expressa na forma,
de forma similar pode ser obtida uma equação para o campo magnético,
Para obtermos os valores de e na Eq. (10.20) faremos o seguinte:
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Resolvendo o sistema de equações (10.21) e (10.22) obtem-se
Consideremos um campo propagando na direção +z, com apenas uma componente em x,
Substituindo na Eq. (10.17), obtem-se
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Colocando em evidencia o operador laplaciano, lembrando que não existe variação na direção x e y
Obtem-se a equação diferencial,
Cuja solução tem a forma,
Como o campo deve ser finito em z=infinito, considera-se apenas a exponencial negativa, o campo E(r,t) pode ser então escrito como,
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Resultando em ,
0 ˆ, coszE z t E e t z x
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De forma analoga, pode ser obtida a solução da Eq. (10.19)
Onde
é conhecida como impedância do meio e será complexa
Onde
O ângulo varia entre 0 e 45 graus.
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Substituindo (10.31) e (10.32) em (10.30)
Observe a defasagem entre os campos,
As propriedades de propagação são calculadas usando
Podemos também re-escrever a Eq (10.14)
onde
0 ˆ, coszEH z t e t z y
0 ˆ, coszE z t E e t z x
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Ou
onde
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