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TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOS
Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
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Para definir el laminado se emplearán los siguientes criterios:
- Se definirán las láminas desde el exterior hacia el interior del laminado.
- Se indicará con un número el ángulo que forman las fibras con la dirección de
referencia y, mediante un subíndice, el número de láminas seguidas que poseen esta orientación.
- Cuando se defina la secuencia de apilamiento de todas las láminas del laminado se empleará el
subíndice T para indicar que, el laminado, ha sido definido en su totalidad.
- Cuando se trate de un laminado simétrico, sólo se expresará la secuencia de apilado de uno de los
lados y utilizaremos el subíndice S para indicar que el laminado es simétrico.
LAMINADOS
PLANO MEDIO DEL LAMINADO
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Un laminado simétrico compuesto por 3 láminas a 90º, 2 a 0º, 1 a -45º y otra a +45º puede nombrarse de las siguientes maneras alternativas:
- [903, 02,-45,+45,+45,-45,02,903]T- [903, 02,-45,+45]S- [903, 02,-45,+452,-45,02,903]T
Un laminado puede, también, estar constituido por una secuencia de "sublaminados" que se repiten.
Así, por ejemplo, un laminado realizado a base de sublaminados, podría ser:
- [02,60,+453]2S
- [02,60,+452}S- [02,60,+45,02,60,+45,02,60,+45,02,60,+45]T
Ejemplos de nomenclatura:
LAMINADOS
Si laminado anterior tuviera una lámina justo en el plano de simetría que, por ejemplo,
presentara una orientación de sus fibras de 90º, su nomenclatura sería:
• [903, 02,-45,+45,90,+45,-45,02,903]T• [903, 02,-45,+45,90]S
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ANTES DEL PROCESO DE CURADO
DESPUES DEL PROCESO DE CURADO
Laminado no simétrico Laminado simétrico
Laminados simétricos:
LAMINADOS
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Posibles secuencias de apilamiento simétricas para evitar la pérdida de planitud del laminado una vez que la resina ha curado:
0o
90o
0/90/90/0 [0,90]s
90/0/0/90 [90,0]s
LAMINADOS
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PLACAS LAMINADAS
PLACAS LAMINADAS
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TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
¡Cada lámina se supone trabajando
en tensión plana!
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RIGIDEZ EN EL PLANO DE LAMINADOS SIMETRICOS
El material compuesto presenta un comportamiento elástico-lineal hasta rotura
El laminado tiene un espesor pequeño (laminado delgado)
La deformación de cualquier lámina es igual a la del laminado
(comportamiento solidario de todas las láminas)
Hipótesis:
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
z
x
z
x
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{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
xy
y
x
NNN
NVector de cargas (N/m):
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
x
yz
NxNx
Ny
Ny
Nyx
Nxy
Nyx
Nxy
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{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
xy
y
x
τσσ
σ
{ } { }0
0
0
0
εγεε
γεε
ε =⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
xy
y
x
xy
y
x
Vector de tensiones:
Vector de deformaciones:{ } { } [ ]{ }dzQdzN
h
h
h
h
εσ 2
2
2
2∫∫
−−
==/
/
/
/
{ } [ ] { }
{ } [ ] { } N/m
0
02
2
enAN
A
dzQNh
h
ε
ε
⋅=
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−∫
43421
/
/
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
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RIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La rectas perpendiculares al plano medio, antes de que el laminado se deforme, siguen permaneciendo rectas una vez que el laminado se haya deformado.2.- Las rectas perpendiculares al plano medio no experimentan ningún tipo de deformación longitudinal (el laminado no cambia de espesor)3.- Las rectas perpendiculares al plano medio permanecen perpendiculares a la superficie que adquiere dicho plano una vez que que el laminado flecte.
Por tanto, las secciones planas ortogonales al plano medio del laminado siguen siendo planas y ortogonales a la superficie que adquiera dicho plano una vez que el laminado haya flectado.
Hipótesis:
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El comportamiento del material se supone elástico lineal.
Las láminas se encuentran trabajando solidariamente unas a otras
No existen tensiones fuera del plano de cada lámina (σz= τxz= τyz=0): las láminas trabajan en condiciones de tensión plana
Hipótesis (Cont.):
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
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TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Campo de desplazamientos:
u=u (x,y,z)
v=v (x,y,z)
w=w (x,y,z)
x, u
y, v z, w
Plano medio
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{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
xy
y
x
MMM
M
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Vector de cargas (Momentos, N.m/m):
x
y z
Mx
Mx
My
My
MxyMxy
Myx
Myx
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TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
x
z
O
PzP
u0
w0
ββO
PuPzPβ
βPOP zuu −=x
wO
∂∂β =
xwzuu O
OP ∂∂
−=
De la misma manera podríamos llegar a que:
ywzvv O
OP ∂∂
−=
CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS EN EL LAMINADOUtilizando las hipótesis de Kirchhoff y llamando u0, v0 y w0 a los desplazamientos del plano medio:
Dado que la deformación εz es nula:
OP ww =
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2
2
xwz
xu
xu OOP
x ∂∂
∂∂
∂∂ε −==
2
2
ywz
yv
yv OOP
y ∂∂
∂∂
∂∂ε −==
yxwz
xv
yu
xv
yu OOOPP
xy ∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂γ
2
2−+=+=
CAMPO DE DEFORMACIONES EN EL LAMINADO:
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
0=zε
0=xzγ
0=yzγ
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⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
oxy
oy
ox
xy
y
x
zκκκ
γεε
γεε
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xv
yu
yvx
u
OO
O
O
oxy
oy
ox
∂∂
∂∂
∂∂∂∂
γεε
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
yxw
ywxw
O
O
O
xy
y
x
∂∂∂∂
∂∂
∂
κκκ
2
2
2
2
2
2
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Vector de deformaciones
en el plano medioVector de curvaturas
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Laminado simétrico sometido a flexión pura:
0=== oxy
oy
ox γεε
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x
zκκκ
γεε
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
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{ } { } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { }κκεσ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=== ∫∫∫∫
−
dz z Q dz z Q dz z Q =dz z 2h/2
h/2-
2h/2
h/2-
h/2
h/2-
2
2
/
/
h
h
M
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
z
x x
z
M
[ ]D
{ } [ ]{ }κDM =
![Page 20: TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOSocw.uc3m.es/.../material-de-clase-1/CAPITULO_7.pdfRIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040915/5e8c84048b347f45296d1186/html5/thumbnails/20.jpg)
[ ] [ ] N.m)(en dz z Q D 2h/2
h/2-∫=
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
{ } [ ] { }0 ε⋅= AN [ ] [ ] N/m)(en 2
2
dzQAh
h∫
−
=/
/
{ } [ ]{ }κDM =
RIGIDECES DE LAMINADOS SIMÉTRICOS
Rigidez en el plano:
Rigidez a flexión:
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RIGIDEZ A FLEXION DE LAMINADOS NO SIMETRICOS
{ } { } { }κεε zo +=
{ } { } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }{ }44 344 2144 344 21
kB
kQ
oA
QQNh
h
h
h
oh
h
h
h
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−− ∫∫∫∫ +===2
2
2
2
2
2
2
2dz z dz dz dz
/
/
/
/
/
/
/
/
ε
εεσ
{ } { } [ ]{ } [ ]{ }{ }
[ ]{ }{ }44 344 2144 344 21
kD
kQ
B
QQMh
h
h
h
oh
h
h
h
o⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−− ∫∫∫∫ +===2
2
22
2
2
2
2
2dz z dz z dz z dz z
/
/
/
/
/
/
/
/
ε
εεσ
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
{ } [ ]{ }εσ Q=z z
xxM
N
![Page 22: TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOSocw.uc3m.es/.../material-de-clase-1/CAPITULO_7.pdfRIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040915/5e8c84048b347f45296d1186/html5/thumbnails/22.jpg)
1
izi
zi-1
z0=h/2
N
h
b
zy
x
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
2z1 z2
![Page 23: TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOSocw.uc3m.es/.../material-de-clase-1/CAPITULO_7.pdfRIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040915/5e8c84048b347f45296d1186/html5/thumbnails/23.jpg)
{ } [ ]{ } [ ]{ } N/m)en (k N o BA += ε
{ } [ ]{ } [ ]{ } N)en (k M o DB += ε
[ ] [ ] [ ] N/m)(en zz Q 1(i)(i)m
1=i
)( −−= ∑ iA
[ ] [ ] ( ) ( )[ ] N)(en zz Q 21 212(i)
(i)m
1=i
)( −−= ∑ iB
[ ] [ ] ( ) ( )[ ] N.m)(en zz Q 31 313(i)
(i)m
1=i
)( −−= ∑ iD
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
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⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
κκκγεε
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
xy
y
x
xy0
y0
x0
662616662616
262212262212
161211161211
662616662616
262212262212
161211161211
xy
y
x
xy
y
x
DDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAA
MMMNNN
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
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TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
κ
ε
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ 0
DB
BA
M
N
[ ]
{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }κ
ε
0
0
0
0
0
DMAN
D
A
M
N
B
==
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
κ
ε=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
En resumen:
Si el laminado fuese simétrico:
Quedan desacoplados loscomportamientos en el planoy a flexión
![Page 26: TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOSocw.uc3m.es/.../material-de-clase-1/CAPITULO_7.pdfRIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040915/5e8c84048b347f45296d1186/html5/thumbnails/26.jpg)
•Simétrico•Antimétrico•Balanceado•Cuasi-Isótropo•Láminas cruzadas (Cross-Ply laminate)•Láminas a α (Angle-Ply laminate)• Ortotrópico
±
TIPOS DE LAMINADOS
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
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•Láminas del mismo material, espesor, y orientación, dispuestas simétricamente respecto al planomedio •Ejemplo: [+θ/−θ/−θ/+θ]•Característica principal:
Bij=0•Característica mecánica:
No existe acoplamiento entre cargas en el plano y flexión
LAMINADOS SIMETRICOS:
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
κκκγεε
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
xy
y
x
xy0
y0
x0
662616662616
262212262212
161211161211
662616662616
262212262212
161211161211
xy
y
x
xy
y
x
DDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAA
MMMNNN
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
![Page 28: TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOSocw.uc3m.es/.../material-de-clase-1/CAPITULO_7.pdfRIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040915/5e8c84048b347f45296d1186/html5/thumbnails/28.jpg)
•Las láminas que ocupan posiciones simétricas tienen orientaciones del mismo ángulo pero con signo distinto, son del mismo material y espesor.•Ejemplo: [+θ/-θ/+θ/-θ]•Característica importante:
A16=A26=0D16=D26=0
•Característica mecánica: Difíciles de analizar porque B16 y B26 no son nulos.
LAMINADOS ANTIMETRICOS:
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
κκκγεε
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
xy
y
x
xy0
y0
x0
662616662616
262212262212
161211161211
662616662616
262212262212
161211161211
xy
y
x
xy
y
x
DDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAA
MMMNNN
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
![Page 29: TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOSocw.uc3m.es/.../material-de-clase-1/CAPITULO_7.pdfRIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040915/5e8c84048b347f45296d1186/html5/thumbnails/29.jpg)
•Descripción: Por cada lámina + θ, hay otra a -θ, y por cada una a 0° hay otra a 90°•Ejemplo: [0/45/90/-45]•Características:
Q16(θ )=-Q16(-θ)Q26(θ )=-Q26(-θ)
•Característica importante:A16=A26=0D16=D26=0B11=B22=B12=0
•Característica mecánica:Nx=B16κxy
LAMINADO BALANCEADO
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
κκκγεε
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
xy
y
x
xy0
y0
x0
662616662616
262212262212
161211161211
662616662616
262212262212
161211161211
xy
y
x
xy
y
x
DDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAA
MMMNNN
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
![Page 30: TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOSocw.uc3m.es/.../material-de-clase-1/CAPITULO_7.pdfRIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040915/5e8c84048b347f45296d1186/html5/thumbnails/30.jpg)
•El laminado se comporta como una placa isótropa•Su comportamiento en el plano es similar al de los materiales isótropos•La rigidez a flexión es diferente a la de las placas con materiales isótropos•Se define como:
donde k es el número de lámina, N=el número total de láminas (>=3) y θ0es un ángulo arbitrario•Igual número de láminas a
–0, 45, -45, 90 o–0, 60, -60
•La matriz A es independiente de la orientación de aplicación de las cargas•Sin embargo, B y D sí que dependen de dicha orientación
0k Nk
θ+π
=θ
LAMINADO CUASI-ISOTROPO
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
![Page 31: TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOSocw.uc3m.es/.../material-de-clase-1/CAPITULO_7.pdfRIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040915/5e8c84048b347f45296d1186/html5/thumbnails/31.jpg)
•Láminas cruzadas: láminas a 0° y 90°, solamente: [D] =0Fácil de analizar si es simétrico ([B]=0)
•Laminado a ±θ°: láminas con esas dos orientacionesSi es simétrico: A16=A26=0; Bij=0; D16≠0; D26≠0Si es antimétrico: A16=A26=0; D16=D26=0; B16≠0; B26≠0
LAMINADO DE LAMINAS CRUZADAS Y LAMINADO ±θ°
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
![Page 32: TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOSocw.uc3m.es/.../material-de-clase-1/CAPITULO_7.pdfRIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040915/5e8c84048b347f45296d1186/html5/thumbnails/32.jpg)
LAMINADO ESPECIALMENTE ORTÓTROPO
•Laminado de láminas cruzadas o giradas θ
Tejidos bidireccionalesA16=A26=0D16=D26=0B16= B26 =0
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
![Page 33: TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOSocw.uc3m.es/.../material-de-clase-1/CAPITULO_7.pdfRIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040915/5e8c84048b347f45296d1186/html5/thumbnails/33.jpg)
•Módulos equivalentes: Ex, Ey, Gxy, νxy
Definido para laminados simétricos y balanceados
Propiedades de una placa ficticia equivalente que se comporta de manera análoga al laminado bajo cargas en el plano
No utilizables para casos de flexión
puesto que: D16≠0; D26≠022
12xy
66xy
11
2122211
y
22
2122211
x
AA
tAG
tAAAAE
tAAAAE
=ν
=
−=
−=
MODULOS EQUIVALENTES DEL LAMINADO:
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
![Page 34: TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOSocw.uc3m.es/.../material-de-clase-1/CAPITULO_7.pdfRIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040915/5e8c84048b347f45296d1186/html5/thumbnails/34.jpg)
•Pasos:
1) Calcular las deformaciones que sufre el laminado a partir de las cargas en el plano y momentos a él aplicados
2) Referir las deformaciones obtenidas a los ejes materiales en cada lámina
3) Calcular las tensiones dentro de cada lámina en el sistema de ejes materiales
4) Aplicación del criterio de rotura a cada lámina
CALCULO DE LAMINADOS
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
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[ ]
{ } { } { }κ+ε=ε
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
κε
z
MN
F
o
o
Paso 1: Cálculo de deformaciones globales en el laminado
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
![Page 36: TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOSocw.uc3m.es/.../material-de-clase-1/CAPITULO_7.pdfRIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040915/5e8c84048b347f45296d1186/html5/thumbnails/36.jpg)
Paso 2: Cálculo de las deformaciones en cada lámina en
ejes materiales:
{ } { }xy1
12 ]R][T][R[ ε=ε −
Paso 3: Cálculo de las tensiones en cada lámina en ejes materiales:
{ } { }1212 ]Q[ ε=σ
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
![Page 37: TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOSocw.uc3m.es/.../material-de-clase-1/CAPITULO_7.pdfRIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040915/5e8c84048b347f45296d1186/html5/thumbnails/37.jpg)
Paso 4: Aplicación del criterio de rotura a cada lámina
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Rotura de la primera lámina:- En ella se alcanza un estado tenso-deformacional que verifica el criterio de rotura empleado.
- El laminado seguiría trabajando pero se debe eliminar (o ir degradando sus propiedades) la
lámina rota, suponiendo que cada una de las otras láminas conserva sus propiedades y
su posición original.
- Hay que determinar las nuevas matrices A,B y D sin considerar la lámina rota (o considerándola
con unas propiedades “degradadas”) y repetir el proceso de cálculo para obtener las nuevas
tensiones y deformaciones en cada una de las láminas restantes.
Repitiendo este proceso, podríamos ir eliminando láminas a medida
que se van rompiendo hasta llegar a la rotura de la última lámina.
![Page 38: TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOSocw.uc3m.es/.../material-de-clase-1/CAPITULO_7.pdfRIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040915/5e8c84048b347f45296d1186/html5/thumbnails/38.jpg)
1. Suponer elásticamente cargado el laminado.2. Calcular las tensiones y deformaciones en cada lámina.3. Aplicar el criterio de rotura a cada lámina.4. Incrementar la carga hasta que se produzca la rotura de
la primera lámina. 5. Modelizar el comportamiento postrotura de la lámina.6. Recalcular las matrices de rigidez del laminado y
redistribuir las cargas entre las láminas que siguen trabajando.
7. Continuar el proceso hasta que rompa la siguiente lámina.8. Volver al paso 5 y continuar así hasta que rompan todas
las láminas del laminado.
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
![Page 39: TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOSocw.uc3m.es/.../material-de-clase-1/CAPITULO_7.pdfRIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040915/5e8c84048b347f45296d1186/html5/thumbnails/39.jpg)
( )TotalxN
)3(xN
)2(xN
)1(xN
1n = 2n = 3n =
Rotura primera lámina, k=1
Rotura segunda lámina, k=2
Rotura tercera lámina, k=3
Roturaúltimalámina
)1(xε )2(
xε )3(xε
( )Totalxε
Deformación
Car
ga
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
![Page 40: TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOSocw.uc3m.es/.../material-de-clase-1/CAPITULO_7.pdfRIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040915/5e8c84048b347f45296d1186/html5/thumbnails/40.jpg)
•Si una lámina rompe, su matriz de rigidez de hace nula
•La lámina rota NO SOPORTA ninguna carga. Por tanto, la carga total aplicada es absorbida por el resto de láminas y las tensiones se redistribuyen. Esta redistribución puede llevar a la rotura inmediata de otras láminas. Cuando la redistribución de cargas cause la rotura de todas las láminas, diremos que el laminado ha roto.
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
HIPÓTESIS MÁS SIMPLE:
![Page 41: TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOSocw.uc3m.es/.../material-de-clase-1/CAPITULO_7.pdfRIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS TEORIA CLASICA DE LAMINADOS Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040915/5e8c84048b347f45296d1186/html5/thumbnails/41.jpg)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
∑
∑
=
=
n0
n0
nn
nn
n
n
n
k n0
n0
Total0
0
n
k n
n
Total
κ
ε
DB
BA
M
N
κ
ε
κ
ε
M
N
M
N
1
1
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
( ) ( ) ( )
( )( )[ ]
bajando.siguen tra que láminas las deQ rigidez de matrices las deDependen
1-nla de rotura la de después rigidez de
smodificada matrices lasson
n
ésima .
,, nnn DBA