tentamen i mekanik sg1130, baskurs p1. problemtentamen

KTH Mekanik

2012-03-14

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas!

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!

Problemtentamen 1.

En homogen stång med massan m är fäst i ena änden i en fix glatt led. Den andra änden hålls uppe av en tråd av längden c som i sin tur är fäst på höjden h rakt ovanför den fritt vridbara leden. Bestäm trådkraften som verkar på stången. (3p) Ledning: Tyngdaccelerationen g får användas.

2.

En hylsa kan röra sig längs en cirkulär, orörlig ledstång i vertikalplanet utan friktion. Hylsans massa och banans radie är kända. a) Vilken fart

!

v0 skall hylsan ges i översta läget så att den inte påverkas av någon normalkraft där? b) Hur stor blir normalkraften på hylsan i nedersta läget om den ges den fart i översta läget som söks i a)? (3p) Ledning: Tyngdaccelerationen g får användas.

3.

En kommunikationssatellit med massan m befinner sig i en okänd elliptisk bana kring jorden. Satelliten har högsta farten

!

vA och minsta farten

!

vB i sin bana, enligt figuren. Bestäm storaxelns längd. I svaret får användas kända storheter samt jordens radie R och tyngdaccelerationen g vid jordytan. (3p)

4.

Massan i figuren utför vertikala svängningar som bestäms av tre identiska fjädrar och två identiska dämpare. Bestäm dämpningskonstanten c uttryckt i massan m och fjäderkonstanten k så att svängningarna blir kritiskt dämpade. Bestäm även avståndet mellan jämviktsläget och det läge där fjädrarna är ospända. Ledning: Tyngdaccelerationen g får användas. (3p)

SG1130 Mekanik, baskurs P1 2012-03-14


Teoritentamen 5.

a) Gör en kraftanalys (friläggning) av en homogen låda som står på ett strävt lastbilsflak utan att glida. Lastbilen rör sig åt höger på horisontell mark, men har just påbörjat en inbromsning. Ange varje krafts riktning och angreppspunkt så realistiskt som möjligt. (1p)

b) Betrakta ett system av ändligt många krafter

!

F i som verkar i respektive angreppspunkter

!

r i. Definiera kraftsystemets totala kraftmoment med avseende på en godtycklig punkt och visa att för två godtyckliga momentpunkter A och B gäller den så kallade "sambandsformeln för kraftmoment". (2p)

6. a) Vad menas med begreppet "ekvimomenta kraftsystem"? (1p) b) Formulera lagen om kraftens impuls. Definiera ingående storheter. (1p) c) Gören dimensionsanalys av två storheter: Kraftmomentet och Arbetet. (1p) 7. a) Formulera Newtons 3 lagar. (1p) b) Formulera minst två av Keplers lagar för planetrörelser. (1p) c) För satellitrörelse i en plan elliptisk bana kring jorden är dubbla sectorhastigheten

konstant. Visa att detta medför att rörelsens transversella acceleration försvinner. (1p) 8. a) Ett enkelt (linjärt i utslaget x ) svängande system beskrivs av ekvationen

!

˙ ̇ x + 2"#n ˙ x +#n2x = a, För vilka värden på parametern

!

" betecknas systemet som kritiskt, respektive svagt dämpat? Svängningens jämviktsläge beror ej av värdet på

!

" , ange detta jämviktsläge. (2p) b) Vilka är de tre grundstorheterna i mekaniken? (1p) /KET



Problemlösningar 1.

Rita krafter! Inför en vinkel enligt figuren. Reaktionskraften delas upp i horisontell (H) och vertikal (V) komponent enligt figuren. Dessa komponenter skall inte bestämmas dock! Ställ upp jämviktsekvationer!

!

" T cos# $mg+V = 0,

!

" T sin# $H = 0 Dessa behövs dock ej för problemlösningen! Däremot momentjämvikten är speciellt bra!

Momentjämvikt kring leden (moturs) :

!

mg c2sin" #T cos" c sin" #T sin" (h # c cos") = 0 .

Denna ekvation ger:

!

T =mgc2h .

2.

I översta läget finns bara tyngdkraften på hylsan, enligt uppgift. Med Newtons 2:a lag i

normalriktningen fås:

!

mv02

R =mg. Detta ger farten

!

v0 = gR . På vägen ner gäller energiprincipen, som ger för nedersta lägets hylsfart:

!

m2 v1

2 = m2 gR( ) +mg 2R( )

!

"

!

v12 = 5gR.

N2 i nedersta läget ger sedan:

!

mv12

R = N "mg

!

"

!

N = 6mg .



3.

I en elliptisk bana finns två konstata storheter. Dessa kan uttryckas med hjälp av de två avstånd som ger maxoch min-värden på farten i banan. Rörelsemängdsmomentets bevarande ger

!

rAvA = rBvB , som med den konstanta totala banenergin ger

!

E = "mgR2rA + rB

= "mgR2

rA 1+vAvB

#

$ %

&

' (

.

I det läge som maxfarten gäller består den konstanta energin just av rörelse- och lägesenergi,

dvs

!

"mgR2

rA 1+vAvB

#

$ %

&

' (

= m2 vA

2"mgR2rA

. Ur denna ekvation kan

!

rA bestämmas:

!

rA =2gR2

vAvB 1+vAvB

"

# $

%

& '

, som

ger: storaxelns längd =

!

rA + rB = rA 1+vAvB

"

# $

%

& '

!

=2gR2vAvB

.

4.

Newtons 2:a lag:

!

m˙ ̇ x ="3kx "2c ˙ x , där

!

x = 0 är jämviktsläget för massan, där de tre fjäderkrafterna och tyngdkraften tar ut varandra.

Vi får svängningsekvationen:

!

˙ ̇ x + 2cm2"#n

{˙ x + 3k

m#n2

{x = 0. Nu ska svängningen vara kritiskt dämpad,

dvs

!

" =1, så att

!

2"n = 2 cm och

!

"n = 3km . Uträkning av c ger

!

c = 3km . För jämviktsläget

gäller att fjädern håller upp massan så att fjädern måste vara spänd. Förlängningen av fjädern motsvarar avståndet d mellan ’ospänt läge’ och ’jämviktsläge’ som efterfrågas.

Jämvikt på massan kräver (vertikal riktning uppår):

!

3kd "mg = 0

!

"

!

d =mg3k .

/KET



Teoridelen

5a)

N=normalkraft, mg=tyngdkraft, och

!

Fµ =friktionskraft. b) Ett kraftsystem kan alltid skrivas som ett antal krafter

!

F j med motsvarande angreppspunkter

!

r j (även för kraftparsmoment). I momentpunkten O mäter vi det totala momentet:

!

M O = r j "F j( )j=1

N

# , för N krafter utplacerade.

I momentpunkten A mäter vi det totala momentet

!

M A = r j "r A[ ]#F j( )j=1

N

$ , för samma krafter.

Skillnaden blir i detta fall:

!

M A "M O = r j "r A "r j[ ]#F j( )j=1

N

$ =

!

" r A #F j( )j=1

N

$ =

!

"r A # F jj=1

N

$ .

Detta uttryck kan lätt förenklas om vi inför totala kraften

!

F = F jj=1

N

" .

Sambandet blir:

!

M O = M A + r A "F . 6a) Kraftsystemen som är ekvimomenta har parvis lika totala moment i varje

momentpunkt. Kraftsystemen har lika kraftsumma.

b) Definitioner:

!

p =mv ,

!

I = F dtt0

t1

" .

Impulslagen

!

"p = I med

!

"p = p t1( ) #p t0( ) . c) dim(

!

M0)=dim(

!

r "F )= L N= L ML

!

T"2=M

!

L2 T"2

dim(

!

U0"1)=dim(

!

T )=dim(

!

mv 2

2) =M

!

L2 T"2.



7a) N1: En fri partikel befinner sig i vila eller rätlinjig rörelse med konstant hastighet.

N2:

!

ma = F , där

!

F är totala kraften som verkar och

!

a är partikelns acceleration.

N3: Alla krafter skapas i motriktade par så att kraftsumman för dessa är 0.

Dessa lagar måste tillämpas i inertialsystem. b) K1: Planeterna rör sig i (plana) elliptiska banor runt solen. K2: Planeterna rör sig med konstant sektorhastighet. K3: Omloppstiden och storaxeln i banan beror av vanrandra enligt formeln:

!

T 2 = konst a3, där konstanten är samma för alla planeter. c) Dubbla sektorhastigheten:

!

h = r2 ˙ " . Transversell acceleration:

!

a" = r ˙ ̇ " +2r ˙ " . Derivering av h ger

!

0 = 2r˙ r ˙ " + r2˙ ̇ " = r 2 ˙ r ˙ " + r ˙ ̇ " ( ) Vi ser att den transversella accelerationen är 0, ty r är inte 0. 8a) Svängningsekvationen för dämpad svängning:

!

˙ ̇ x + 2"#n ˙ x +#n2x = a.

Kritisk dämpning, ! = 1 Svag dämpning, 0<! <1 I jämviktsläget kan massan ligga still, med hastighet och acceleration lika med 0.

Insättning av denna information i svängningsekvationen ger:

!

"n2x j = a , dvs

!

x j = a /"n2.

8b) Läge, massa och tid.

/KET



SG1130 Mekanik-P Bedömningar

OBS: Alla ekvationer skall motiveras!!

Följande moment i typiska redovisningar av uppgifter kan leda till poängavdrag. En viss tolerans gällande moment M, B och S finns. Helhetsbedömningen av flera uppgifter kan innebära att ett poängavdrag (gällande M, B och S) drabbar bara en av flera uppgifter. • M (motivering): -1p Typ: Otydliga motiveringar, motsägelsefulla ekvationer, odefinierade symboler, felaktiga definitioner.

• MF (missuppfattning): -1p… -3p Typ: Blandar ihop olika storheters definitioner.

• B (beteckning): -1p Typ: Vilseledande, felaktiga beteckningar. Skalär/vektor. Komposanter i stället för komponenter etc.

• S (svar): -1p… -3p Typ: Ofullständigt svar, ''okända storheter'' eller ”oförklarade beteckningar” kvar i svaret, etc. • L (logik): -1p Typ: Ologiska matematiska operationer. Dividerar med vektorer, fel multiplikation med vektorer. • K (krafter/kinematik) : -1p Typ: Bristfällig analys av krafter/kinematik. • D (dimension): -1p Typ: Sortfel i svar eller viktiga ekvationer.

tentamen i mekanik sg1130, baskurs p1. problemtentamen

Documents