TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING

Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi

Magnus Johansson

Tentamen i Mekanik för D, TFYA93/TFYY68

Torsdag 2019-08-22 kl. 8.00-13.00

Tillåtna Hjälpmedel: Physics Handbook utan egna anteckningar, avprogrammerad räknedosa enligt IFM:s

regler. Formelsamlingen Tefyma och formelsamlingar från gymnasiet är också

tillåtna. Ordlista Alonso-Finn från hemsidan.

Examinator Magnus Johansson kommer att besöka tentamenslokalen ca kl. 9.15 samt 11.15 och är därefter

anträffbar på tel: 013-281227.

Lösningsförslag läggs ut på kurshemsidan efter skrivtidens slut.

Tentamen omfattar sex problem som ger maximalt 4 poäng styck.

Följande betygsskala gäller preliminärt:

Betyg 3: 10-13,5 poäng

Betyg 4: 14-18,5 poäng

Betyg 5: >18,5 poäng

Anvisningar:

Lös inte mer än 1 uppgift på samma blad!

Skriv enbart på ena sidan av bladet!

Skriv AID kod på varje blad!

Införda beteckningar skall definieras, gärna med hjälp av figur, och uppställda ekvationer motiveras. Alla

steg i lösningarna måste kunna följas. Lös uppgifterna analytiskt först och stoppa in eventuella numeriska

värden på slutet.

Det som efterfrågas i uppgifterna är skrivet med fet stil. Uppgifterna är ej ordnade i stigande

svårhetsgrad.

Lycka till!

Uppgift 1: Hagelstorm

Du åker som passagerare i en bil som färdas norrut med farten 25 m/s när plötsligt en häftig hagelstorm bryter ut. När

du tittar ut ser du genom båda sidorutorna hur haglen tycks falla mot marken med en vinkel som du mäter till 38º mot

vertikalen. Inget hagel slår mot någon av sidorutorna. Skrämd av ovädret vänder bilföraren om och kör genom samma

hagelstorm med samma fart söderut. Haglen tycks nu i stället falla rakt neråt.

(a) Bestäm horisontalkomponenten av haglens hastighet relativt marken! (1p)

(b) Bestäm vertikalkomponenten av haglens hastighet relativt marken! (1p)

(c) Bestäm haglens fart relativt marken! (1p)

(d) Bestäm vinkeln mellan vertikalen och haglens hastighetsvektor relativt marken! (1p)

Uppgift 2: Sänka lådor

Två lådor med massa M = 48 kg respektive m = 32 kg ska flyttas längs en ramp från

en övre nivå till en lägre enligt bilden. Genom att hålla emot med ett rep sänks lådorna

med konstant fart. Den kinetiska friktionskoefficienten mellan den nedre lådan och

rampen är k=0.44, och den statiska friktionskoefficienten mellan lådorna är s=0.80.

(a) Låt max vara den största möjliga lutningen innan den övre lådan börjar glida på

den undre. Bestämmax! (2p)

(b) Bestäm kraften T i repet som krävs för konstant fart då max! (2p)

Uppgift 3: Kloss, Fjäder och Ramp

En liten kloss med massan m = 2.0 kg trycks mot en horisontell, masslös fjäder med

fjäderkonstant k = 400 N/m. Fjädern trycks därvid ihop en längd x = 22.0 cm från

sin naturliga längd. Efter att klossen släppts, rör den sig först längs en friktionsfri,

horisontell yta, och därefter upp längs en ramp med lutning α = 37.0˚ mot

horisontalplanet (se figur). Glidningen längs rampen är inte friktionsfri, utan beskrivs

med kinetiska och statiska friktionskoefficienter k = 0.2 och s = 0.5. Klossen kan

behandlas som en partikel.

(a) Bestäm klossens fart när den glider på den horisontella ytan, efter att ha lämnat fjädern. (1p)

(b) Hur långt upp på rampen rör sig klossen innan den stannar? (2p)

(c) Kommer klossen att vända tillbaka och träffa fjädern igen? God motivering krävs! (1p)

Uppgift 4: Gevärskula Två kroppar, A och B, vilar på ett glatt horisontalplan. En gevärskula, som avfyras

horisontellt, genomborrar kroppen A och tränger in i kroppen B, där den stannar. Man

observerar att kropparna A och B därefter glider med hastigheterna 2v och v.

(a) Beräkna kulans ursprungliga hastighet. (2p)

(b) Hur stor andel av kulans ursprungliga rörelseenergi finns kvar som rörelseenergi efter kollisionerna om M/m

= 10? (2p)

Uppgift 5: Upprättstående pendel

En stång AB med massa m kan rotera kring en horisontell axel genom A. Två fjädrar med

fjäderkonstanten k vardera är fästa enligt figuren. I det visade läget är fjädrarna ospända.

(a) Uppskatta nettokraftmomentet på stången m.a.p. axel A för en mycket liten

avvikelse från det upprättstående läget. (1p)

(b) Bestäm ett villkor på k för att stången skall kunna utföra små svängningar kring

detta läge. (Glöm ej tyngdkraftens inverkan!) (1p)

(c) Antag att detta villkor är uppfyllt. Vad är då svängningstiden? (2p)

Uppgift 6: Rolling, rolling, rolling...

Fyra masslösa stänger är sammanfogade så att de bildar en tvåarmad symmetrisk gaffel enligt figuren.

Skaftet är lagrat så att gaffeln är friktionsfritt vridbar kring sin vertikala symmetriaxel �̂�. Kring vart och

ett av gaffelns två horn kan en homogen cylinder rotera. Cylindrarna är identiska och har vardera massan

m och radien R. Avståndet mellan hornen är lika stort som cylindrarnas diameter 2R, så att cylindrarna

nätt och jämnt är i kontakt med varandra. I begynnelsetillståndet är gaffeln i vila, medan båda cylindrarna

roterar medurs med vinkelhastigheten ω0. På grund av friktionen mellan cylindrarna bromsas deras

relativa rörelse, och så småningom uppnås ett sluttillstånd där hela systemet roterar som en enda stel

kropp runt z-axeln.

(a) Med vilken vinkelhastighet sker denna rotation? (2p)

(b) Bestäm ändringarna i systemets totala rörelsemängd, rörelsemängdsmoment och kinetiska

energi! (2p)

Lösning uppgift 1

Använd t.ex. beteckningar B, H, och M för Bil, Hagel, respektive Mark.

Galileiska hastighets-transformationen: �⃗⃗� 𝐻/𝑀 = �⃗⃗� 𝐻/𝐵 + �⃗⃗� 𝐵/𝑀.

Låt +x vara norrut och +y vertikalt uppåt. Beteckna haglens fart relativt marken med 𝑣𝐻, och vinkeln mellan

den nedåtriktade vertikalen och haglens hastighetsvektor relativt marken med θ. Av förutsättningarna

framgår, att horisontalkomponenten av haglens hastighet relativt marken måste vara riktad söderut. Då

gäller: �⃗⃗� 𝐻/𝑀 = −𝑣𝐻 cos 𝜃 �̂� − 𝑣𝐻 sin 𝜃 �̂�,

(a) Vid färd söderut: �⃗⃗� 𝐵/𝑀 = (−25 m/s) �̂�, och horisontalkomponenten av �⃗⃗� 𝐻/𝐵 är noll. Alltså är

horisontalkomponenten av �⃗⃗� 𝐻/𝑀: −𝑣𝐻 sin 𝜃 �̂� = (0 − 25 m/s) �̂�,

Svar (a): 25 m/s söderut.

(b) Vid färd norrut: �⃗⃗� 𝐵/𝑀 = (25 m/s) �̂�, och

�⃗⃗� 𝐻/𝐵 = �⃗⃗� 𝐻/𝑀 − �⃗⃗� 𝐵/𝑀 = (−𝑣𝐻 sin 𝜃 − 25 m/s) �̂� − 𝑣𝐻 cos 𝜃 �̂�.

Då observerar passageraren i bilen att haglen bildar en vinkel 38° mot vertikalen, alltså: 𝑣𝐻 sin𝜃+25 m/s

𝑣𝐻 cos𝜃= tan38°, och enligt (a) är 𝑣𝐻 sin 𝜃 = 25 m/s.

Alltså är vertikalkomponenten av �⃗⃗� H/M: −𝑣𝐻 cos 𝜃 �̂� = −25 m/s+25 m/s

tan38° �̂� = −(64.0 m/s) �̂�

Svar (b): 64 m/s neråt.

(c) Haglens fart fås då från:

(𝑣𝐻 sin 𝜃)2 + (𝑣𝐻 cos 𝜃)2 = (25 m/s)2 + (64.0 m/s)2 𝑣𝐻 = 68.7 m/s.

Svar (c): 69 m/s.

(d) Vinkeln θ fås från: tan 𝜃 =𝑣𝐻 sin𝜃

𝑣𝐻 cos𝜃=

25 m/s

64 m/s 𝜃 =21.3°

Svar (d): 21°.

Lösning uppgift 2

Lösning uppgift 3

Lösning uppgift 4

Lösning uppgift 5

Lösning uppgift 6