temel tanecikler ders notu - gedizakdeniz.com · g.akdeniz, temel tanecikler ders notları, bölüm...
TRANSCRIPT
TEMEL TANECİKLER
DERS NOTLARI
PROF. DR. GEDİZ AKDENİZ
BÖLÜM II II.6 HADRONLAR VE ÖZELLİKLERİ Kuvvetli etkileşimleri hadronlar yapar. Hadronlar; 1)Baryonlar (yarım spinli; Bose-Einstein istatistiğine uyarlar.) 2)Mezonlar (tam spinli; Fermi-Dirac istatistiğine uyarlar.) Şimdi bazı mezonların ve baryonların özelliklerini tablolar halinde gözden geçirelim.
MESONLAR: 3I S(strange quark) Quark yapısı
(Pion) +− πππ ,, 0 -1,0,+1 0 2
,, dduuuddu −
(Müon) µ 0 0 6
2 ssdduu −+
(Kaon) +KK ,0 -1/2,+1/2 1 susd ,
0, KK − -1/2,+1/2 -1 dsus ,
Bütün mesonların spini 0 dır. (S=0)
BARYONLAR 3I S(strange quark) Quark yapısı
P,n ½ -1/2 0 uud, udd +− ΣΣΣ ,, 0 -1,0,+1 -1 uud, udd
Λ 0 -1 uud, udd 0, ΞΞ − -1/2,1/2 -2 uud, udd
+++− ∆∆∆∆ ,,, 0 -3/2,-1/2,1/2,3/2 0 sss
+− ΣΣΣ *0** ,, -1,0,1 -1 sss 0** , ΞΞ
− -1/2,1/2 -2 sss
−Ω 0 -3 sss
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm II.6 1.sayfa
BÖLÜM II II.7 ETKİLEŞME ÖRNEKLERİ Bu reaksiyonları incelerken ve etkileşme tiplerini belirlerken takip edilecek sıra şöyle olmalıdır. Önce yük korunumuna, Baryon sayısına korunumuna, acaiplik korunumuna ve sonra τµ LLLe ,, lepton korunumuna bakılır. Bunların yanısıra reaksiyonun gerçekleşmesi için reaksiyonda momentum-enerji korunumunun olması unutulmamalıdır. Örnekler geçmeden önce korunan birimleri etkileşmelere göre gözden geçirelim.
Korunan Birim Kuvvetli Etkileşme EMT Zayıf Etkileşme
Elektrik yükü (Q) E E E Baryon Sayısı (B) E E E Acayiplik Sayısı (S) E E H İzospin ( 3I ) E H H Hyperyük (Y=S+B) E E H Enerji Momentum Korunumu E E E Açısal mom.
ÖRNEK-1.
00 Π+Λ→Σ reaksiyonunu Standart model çerçevesinde inceleyiniz. Yük korunumu (Q): 0 à 0 + 0 (B)aryon : 1 à 1 + 0 ( 3I )İzospin : 0 à 0 + 0 (S)trangeness : -1 à -1 + 0 Y : 0 à 0 + 0 Olduğundan bu reaksiyon kuvetli etkileşmedir. Not: Sadece 3I korunmazsa, elektromanyetik (EM) etkileşimdir.Yük ve Baryon sayısı mutlaka korunacak (giren quark kadar çıkan quark var). Yani Q ve B sayısı mutlaka korunacak.Sadece ikisi yanında, 3I , S ve Y korunmuyorsa zayıf etkileşmedir. G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm II.7 1.sayfa
ÖRNEK-2.
−− Π+→Σ n reaksiyonunu Standart model çerçevesinde inceleyiniz. Q : -1à0+(-1) B : 1à1+0
3I : -1à-1/2 –1 Korunmuyor. S : -1à0 + 0 Korunmuyor. Zayıf etkileşme. ÖRNEK-3.
ee νµ +→ − reaksiyonunu Standart model çerçevesinde inceleyiniz. Q :-1à-1+0
eL : 0à 1 –1 µL :1à 0 + 0 Korunmuyor.
Böyle bir reaksiyon hiçbir zaman gözlenmez. Müon nötrinosuna bağlı bir parçacık daha olmalı ki reaksiyon gerçekleşsin. ÖRNEK-4.
0π+→∆+ p reaksiyonunu Standart model çerçevesinde inceleyiniz. Q : 1 à 1 + 0 B : 1 à 1 + 0
3I :1/2à1/2 + 0 S :0 à 0 + 0 Kuvetli etkileşmedir. ÖRNEK-5.
++→+ enpeν reaksiyonunu Standart model çerçevesinde inceleyiniz. Q : 0 +1 à 0 + 1 B : 0 +1 à 1 + 0
3I : 0 + ½à-1/2 + 0 S : 0 + 0 à 0 + 0
eL :-1 + 0 à 0 – 1 lepton ( eν )olduğu için baryonu 0. 3I korunmadığı için EM etkileşmedir. G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm II.7 2.sayfa
ÖRNEK-6.
0πν +→+−epe reaksiyonunu Standart model çerçevesinde inceleyiniz.
Q : -1 + 1 à 0 + 0 B : 0 +1 à 0 + 0 Böyle bir reaksiyon olmaz. ÖRNEK-7.
00 ππ ++++Σ→+ ++ Knpp reaksiyonunu Standart model çerçevesinde inceleyiniz. Q : 1+1 à 1 + 0 + 0 + 1 + 0 B : 1+1 à 1 + 1 + 0 + 0 + 0
3I : ½+1/2à1 - 1/2 - 1/2 + 1 + 0 S :0+0 à -1 + 0 + 1 + 0 + 0 Kuvvetli etkileşme. ÖRNEK-8.
−+→Λ πp reaksiyonunu Standart Model çerçevesinde inceleyiniz. Q : 0 à +1 – 1 B : 1 à 1 + 0
3I : 0 à ½ - 1 S : -1 à 0 + 0 Zayıf etkileşme. ÖRNEK-9.
γ+→ +ep reaksiyonunu Standart Model çerçevesinde inceleyiniz. Q :1 à 1 + 0 B :1 à 0 + 0 Etkileşme görülmez.
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm II.7 3.sayfa
2222
2
2
2
22
0
2
2
),,,(
1
1
cmPcEPP
PPPcEP
cv
mcmcE
mcPcv
vmvmP
zyx
=−=
⇒=
−
==
=
−
==
µµ
µ
γ
γ
γr
rr
SORU-1: Durgun haldeki bir pionun müona bozunması sırasında ortaya çıkan müonun hızını hesap ediniz.
µ
µ
υµπ
υµπ
+→
+→++
−−
şeklinde bozunur
π µ
µυ Bozunmadan önce Bozunmadan sonra
µυµπ +→ ⇒ υµ
υµπ
PP
PPP
rr
rrr
=
+=
(Durgun pion için 0=πP )
Soruyu çözmeden önce dörtlü vektör tanımını kısaca hatırlayalım.
Enerji-Momentum Dörtlü Vektörü
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm II.7 4.sayfa
ii PPPPPP −= 0
0µ
µ
( )
( )
( )υυυ
µµµ
ππ
PEP
PEP
EP
,:
,:
0,:
422222 cmcPEP ππ =−=
υµπ PPP +=
µπµπγ
µπγ
PPPPP
PPP
2222 −+=
−=
µπµπ
µπµπ
µπµπ
Emcmcm
cE
cE
cmcm
PPcmcm
2
2
2
2222
4242
4242
=+
=+
=+
durgun pion için 0=πP ve dolayısıyla 422 cmE ππ =
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm II.7 5.sayfa
µπµπ
µπµπυ
PPcmcm
PPcmcmcm
20
2
4242
424242
−+=
−+=
222
2c
mmm
Eπ
µπµ
+=
Benzer şekilde;
( )
222
2222
424242
2
2
2
cm
mmE
Emcmcm
PPcmcmcm
PPP
π
µπυ
υπµπ
υπυπµ
υπµ
−=
=−
−+=
−=
υµυµπ PPPPP
rrrrr=⇒+=
Enerjisi ve momentumunu bildiğimiz müonun hızını hesap edebiliriz.
vmP
mcErr
γ
γ
=
= 2
⇒ 2mcvm
EP
γγ
rr
= ⇒ 2cEP
vr
r= bağıntısından
cmmmm
v 22
22
µπ
µπµ
+
−=
r⇒ cv 271.0=µ bulunur.
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm II.7 6.sayfa
cm
mmP
cE
P
cPcPE
π
µπµ
υµ
µυυ
2
22 −=
=
==rr
SORU 2:Duran bir protona bir proton çarparak en az bir tane proton yaratmak için gerekli olan eşik enerjisi nedir? pppppp +++→+ (baryon sayısı korunmalı) p p Çarpışmadan önce Çarpışmadan sonra Labaratuvar sisteminde parçacıklar durgun halde bulunmadığından bu sistemde çalışmak elverişli değildir.Bunun yerine momentum merkezi (CM) sisteminde çalışmak uygundur.Oluşan dört parçacığın hepsi sistemde hareketsiz kalmalı.Çünkü toplam momentum bu sistemde (CM) sıfır.
Önce Sonra G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm II.7 7.sayfa
Lab.sisteminde toplam enerji-momentum dörtlü vektörü korunumlu olduğundan çarpışma öncesi ya da sonrası değeri almam bir değişikliğe yol açmaz.Çarpışma öncesi için toplam dörtlü vektörün değeri;
[ ]0,0,,
2
PcmcEP top
r+=µ
Buradaki E ve P protonun enerjisi ve momentumu,m ise protonun kütlesidir.Şimdi CM sisteminde dörtlü vektörü çarpışma sonrası için yazalım.
)0,0,0,4('
cmP ptop =µ cmEEEE
PPPP
p4
0
6543
6543
=′+′+′+′=+++
'µµ PP top ≠ fakat toptoptoptop PPPP '' µ
µµ
µ = (Dörtlü vektörün karesi her referans sisteminde invaryant)
( )
2
422242222
222 )4(
ccmEPcmcPE
mcpmccE
−=⇒=−
=−+
denklemde yerine yazarsak
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm II.7 8.sayfa
2
22222
222
2
2
7
162
mcE
cmcmcEEmcm
cE
=
=+−++
SORU-3:Özdeş m kütleli ve T kinetik enerjili iki parçacığın kafa kafaya çarpıştığını düşünelim. Parçacıkların göreli kinetik enerjisi ne olur?
(Kafa kafaya çarpışma) (Sabit hedefli) Yine benzer olarak toplam dörtlü vektörü CM sisteminde ve lab. sisteminde yazalım.
( )
( )'2'
,
0,2
'
PcmcEP
cEP
top
top
+=
=
µ
µ
( ) ( ) 422222
4222
2222
'
2
2
22'
2
2
222
2
2
24
4
,'2
2
cmmcmcTmcT
cmmcEE
pcmmEcE
cE
PmccE
cE
pcmcE
cE
++′=+
+′=
′−+′+=
′−
+=
′+
=
( 2mcTE += ve 2' mcTE +=′ )
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm II.7 9.sayfa
( ) ( )22 µµ ′= toptop PP
+=′⇒
+=′
′=+
++′=++
2
22
222
424224222
21442
42
242
2 mcTTT
mcTmcTT
mcTTmcT
cmcmmcTcmTmcT
SORU-4:v hızıyla hareket eden bir pion bir tane müon ve müon nötrinosuna bozunmaktadır. Eğer nötrino pionun hareket yönüne göre 90° açıyla hareket ediyorsa müonun hareket açısını bulunuz.(Soru c=1 kabul edilerek çözülmüştür.)
µυµπ +→ −− µ π v υ
υπµ
µπυ
µυπ
PPPPPPPPP
−=
−=
+=
γππµ
γπγπµ
γπµ
PPmm
PPmmm
PPP
2
2
22
222
−=
−+=
−=
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm II.7 10.sayfa
).(2
2
22
22
υπυππµ
υππµ
PPEEmm
PPmm
−−=−
−=−
( )090cos. == υπυπ PPPP
rr
vmmm
vmmm
PPmm
PEmm
PEmm
PEPE
PP
PP
PP
Şekilden
EEmm
2
222
22
22
22
22
22
22
2
)1)((
2tan
2tan
2tan
tan2
tan
tan
sin
cos
;
2
π
µπ
π
µπ
ππ
µπ
ππ
µπ
ππµπ
πυυυ
π
υ
µυ
µπ
υππµ
β
γα
ν
α
α
α
α
α
α
α
−−=
−=
−=
−=
=−
=⇒=
=
=
=
−=−
r
rr
rr
(cv
=β )
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm II.7 11.sayfa
II.8 PROBLEMLER
1- a ) Aşağıdaki tepkileşmelerin gerçekleşip gerçekleşmediğine bakınız ve eğer gerçekleşiyorsa hangi tip etkileşme olduğunu belirleyiniz. p + p → π0 + π0
µ- → e- + ν + ν π - + p →Σ - + π+ b) Aşağıdaki etkileşmelerin gerçekleşmesi halinde X ne olmalıdır ? Etkileşme türlerini söyleyiniz.
p + p → Σ + + K0 + π+ + π0 + X Ξ - → π - + X K + → π+ + X + e- + ν
c ) Aşağıdaki etkileşmelerin quark yapısına göre şekillerini çiziniz
Ω - (sss) → Λ0 ( sud ) + K – ( us ) µ+ → e+ + νµ + νe
2- a) Aşağıdaki etkileşmelerin quark yapısına göre şekillerini çiziniz.
Λ0 ( usd ) → p( uud ) + π - (ud)
νµ + e- + → e- + νµ b ) Aşağıdaki tepkileşmelerin gerçekleşip gerçekleşmediğine bakınız ve eğer gerçekleşiyorsa hangi tip etkileşme olduğunu belirleyiniz. p + p → π0 + π0 µ+ → e+ + ν + ν π - + p →Σ - + π+ 3- Aşağıdaki tepkileşmelerin gerçekleşip gerçekleşmediğine bakınız ve eğer gerçekleşiyorsa hangi tip etkileşme olduğunu belirleyiniz. p + p→ p + n + π+ Σ - → Λ0 + e- + ν K - + p → K0 + n 4- a) Aşağıdaki tepkileşmelerin gerçekleşip gerçekleşmediğine bakınız ve eğer gerçekleşiyorsa hangi tip etkileşme olduğunu belirleyiniz.
Σ - → Λ0 + e- + ν e- + p → e- + Σ 0 + K+
π - + p → Σ - + π + b) Aşağıdaki etkileşmelerin gerçekleşmesi halinde X ne olmalıdır ? Etkileşme türlerini söyleyiniz.
K+ → π + + X + e+ + ν K- + p → X + 0K
0Λ → π + + X G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm II.8 1.sayfa
BÖLÜM IV IV.2 LİE GRUBU VE LİE CEBRİ UYGULAMALARI Bu kısımda bazı Lie Dönüşüm Grubu örnekleri ele alacağız ve bulunan jenaratörlerin oluşturdukları Lie cebrini gözden geçireceğiz. ÖRNEK-1. 1- boyutlu, ve 2-parametreli Lie dönüşüm gurubuna örnek olarak, 21' αα += xx koordinat dönüşümünü alabiliriz. Bu bir fiziksel dönüşüm olup, burada; )( 2α ötelemeyi,
)( 1α boyca değişimi ifade eden bağımsız parametrelerdir. Bir önceki kısımda tanımladığımız Lie grubunun etkisiz elemanı bu örnekte
( ) ( )xgxg ,xx 2 ;0,1;,01 1 =+= αα dır. Etkisiz eleman civarındaki sonsuz küçük dönüşüm yapılarak, dx sonsuz küçük değişimi
2121 0)1( αααα dxdxd dxddxx +=+++=+ olarak bulunur. Bu uzayda mevcut bir F=F(x) fiziksel büyüklüğü uzaydaki bu sürekli öteleme ve boyca değişmeden , parametrelerdeki sonsuz küçük değişimlere bağlı olarak
( )dxFdxddx
xFdF ∂
+=∂∂
= 21 αα
şekline değişir. Burada lineer bağımsız değişimler olan 1αd katsayısı 1.jeneratörü (ötelemeye karşılık gelen dönüşüm operatörünü), 2αd katsayısı 2.jeneratörü (boyca değişime karşılık gelen dönüşüm operatörünü) verir. Yani; Bu Lie grubu dönüşümü için jenaratörler aşağıdaki şekildedir.
x
X
x
xX
22
11
α
α
→∂∂
=
→∂∂
=
Bulunan bu jenaratörlerin komütasyon ilişkisi ise bu operatörleri bize bir LIE cebri oluşturup oluşturmadığı hakkında bilgi verir. Bu bilgi bu uzayda bu dönüşümlerle oluşan invaryanslığın yanında fiziksel olarak kapalılığı ifade eder ki; bu işlemler altında fiziksel modelleme yapmamızı olanaklı kılar Şimdi bu komütasyon ilişkisini inceliyerim. Kapalılık özelliği bir önceki kısımda gördüğümüz G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm IV.2 1. sayfa
[ ][ ]
[ ][ ] [ ] 1,0 ,,
1,0 ,
,
idi. şeklinde ,
212211121221
1221212122112112221
2
2
2
2
21
+==⇒−=−=
−==⇒+==−=∂∂
−=⇒
∂∂
−=∂∂
−∂∂
−∂∂
=
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
=
=
CCXCXXXX
CCXCXCXCXx
XX
xA
xAx
xA
xAxA
xx
xA
xxxAXX
XCXX
kk
kk
kijkji
Böylece ötelemeye tekabül eden operatör ile (momentum operatörü) ve boyca değişime tekabül eden operatör arasında Lie cebri yapılaşmasını bulmuş oluruz. ÖRNEK-2. 2-boyutta, 2-parametreli dönüşüm gurubuna örnek olarak iki boyutta boyca büyüme alabiliriz. Böyle bir dönüşümün koordinat dönüşümleri
222
111
''
xaxxax
=
=
şeklindedir. Bu dönüşümün etkisiz elemanı
22
11
11
xxxx
=
= ( ) ( )212121 ,;1,1,;, xxgxxaag =⇒
olup, sonsuz küçük dönüşüm.
( )( ) 2222222
1111111
11
xdadxxdadxxxdadxxdadxx
=⇒+=+=⇒+=+
şeklindedir. Bu dönüşüm için Jenaratörleri daha önceki kısımda verdiğimiz kapalı formu kullanarak bulalım.
1,2 2,1 ,
1,......, ,.......,1 ,
2
1
1
===⇒
→=→==
∑
∑
=
=
γ
γ
γγγ
γγγ
idaudx
parametrerboyutnidaudx
ii
r
ii
olduğundan bu örnekte,
22212112
21211111
daudaudaudxdaudaudaudx
+==
+==
γγ
γγ 2222112111 ,0,0, xuuuxu ====⇒
olarak bulunur. Buradan jenaratörler G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm IV.2 2. sayfa
∑
∑
∑
=
=
=
∂∂
+∂∂
=
∂∂
=
∂∂
+∂∂
=
∂∂
=
∂∂
=
2
1 222
11222
2
1 221
11111
1
i ii
i ii
n
i ii
xu
xu
xuX
xu
xu
xuX
xuX γγ
olmak üzere
222
111
x
xX
xxX
∂∂
=
∂∂
=⇒
bulunurlar. Şimdi bu jenaratörlerin komütasyon ilişkisine bakıp bir Lie cebri oluşturup oluşturmadıklarını görelim ve eğer bir Lie cebri oluşturuyorlar ise yapı sabitlerini hesaplıyalım. Aşağıdaki hesapları yaptığımızda
[ ]
[ ]00
,
0
,
21221111211112212121221121
1221
21
2
1221
2
21
11
22
22
1121
====⇒==+==
=∂∂
∂−
∂∂∂
=
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
=
CCCCCCXCXCXCXX
xxAxx
xxAxx
xAx
xx
xAx
xxAXX
kk
örnekte verilen dönüşümün bir Lie cebri oluşturduğunu görmüş oluyoruz ve yapı sabitlerini hesaplamış oluyoruz. ÖRNEK-3.
( )( ) 2
12
11
1
1
xax
xax−+=′
+=′
Dönüşüm grubunun jenaratörünü bulunuz. Bu dönüşüm grubunun tek bir jenaratörü vardır. Bu jenaratör ( ) için). a ( aa 111 1 <−≅+ − Sınırlaması altında G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm IV.2 3. sayfa
( ) ( )( ) ( ) ( ) 2222
1222
12
1111111
1101
101
daxdxxdaxdadxxxx
daxdxxdadxxxx
−=⇒−=+=+⇒+=
=⇒+=+⇒+=−−
olup
( ) ( ) ( )
22
11
22
112
21
121,
xx
xxX
xFdax
xFdaxdx
xFdx
xFdFxxF
∂∂
−∂∂
=⇒
∂∂
−∂∂
=∂∂
+∂∂
=⇒
şeklinde bulunur. ÖRNEK-4.
++−=
++
=
21
12'2
2211
'1
11
11
xCos
xitgx
xitgxCos
x
θθ
θθ
Çözüm:
( )( )( )
( )( )
)()(
),(
)1(1
1
)1(1
1
1)(1
100
1,1900
9011
90110
0901
100
21
11
21122
22111
21
2112222111
211221
1222
22112211
11
12
11
2
222
21
11
111
212
211
22
11
xdxidxFxidd
xFdF
xxFFxdxiddx , xidxddx
xdxidxd
xiddxx
xidxdxidxd
dxx
dd-1d-11 x
Sindx
dCosdSinidxx
CosddSindd xdCos
dSinixdCos
dxx
xCos
xitgx
xitgxCos
x
itgCos
111
θθθθ
θθθθ
θθθ
θ
θθθθ
θθθθθ
θ
θθθθθ
θθ
θθ
πθ
θ
+−∂∂
++∂∂
=
=+−=+=
++−=−
+−=+
++=+−
=+
+≅=−
+++
−=+
≅≅⇒<<+
++
++=+
++−=
++
=
=⇒=
=⇒=+
−
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm IV.2 4. sayfa
Bağımsız 1θd ve 2θd değişimlerine göre düzenlenerek jenaratörler ve yapı sabitleri aşağıdaki şekilde bulunur.
[ ] [ ]
[ ] 0 , 0,0 0
0, 0,
,
11211111
222221212211122121
211221
21
122
22
111
=========
===∂∂
−∂∂
−=∂∂
+∂∂
=
CCXXCCCCCC
XXXCXXx
ixx
ixXx
xx
xX
kk
ÖRNEK-5.
33
202
11
200
xxchxshxx
xxshxchxx
=′
+=′
=′
+=′
ϕϕ
ϕϕ
Çözüm
00200 x xshxchxx =+=′ ′ϕϕ 200 01 xxx +=′ olması için
shϕ=0 ,chϕ=1 yani, ϕ=0,2π olmalı. Buradan
)0()0( 2000 ϕϕ dshxdchxdxx +++=+ )00()00( 2000 ϕϕϕϕ shdchchdshxshdshchdchxdxx +++=+
ϕϕϕϕϕϕ dshd 1d 2000 ≈=<<⇒+=+ chdshdxchdxdxx ϕϕ dxxdxdxx 202000 dx )( ==−+
ϕϕϕϕϕϕ dshd 1chdd 202 ≈=<<⇒+=′ shdxshxx
( ) ϕϕ dxdxxdxdxx 202000 =⇒=−+ bulunur.
x 22202 xchxshxx =′+=′ ϕϕ 0,2 ise 1ch , 0sh 10 202 πϕϕϕ ===+=′ xxx
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm IV.2 5. sayfa
( ) ( ) ( ) ϕϕϕϕ dxdxdxxdchxdshxdxx 0202222022 dxx 00 =⇒=−+⇒+++=+
1d 202022 xxchdxshdxdxx +≈+=+ ϕϕϕ 0dx x , 0xd 333 ==′=′′=′ xxx bulmuş olduk. F=F ),,,( 3210 xxxx
33
22
00 dx
xFdx
xFxd
xFdx
xFdF
∂∂
+∂∂
+′′∂
∂+
∂∂
=
ϕϕϕ dxFx
xFxdx
xFdx
xFdF )( 2
02
020
22
0 ∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
=
20
02
1 xx
xxx
∂∂
+∂∂
= jeneratörü bulunur.
ORNEK-6.a.
211 22
12 bxxax +
+=′
212 )2
1(22 xabxx ++=′
Çözüm
11 xx =′ olması için;
-1a1)202(1 0b02b 01 211 =⇒=+=⇒=+=′ xxx
2111 )0(2)2
)1(1(2 xdbxdadxx +++−
+=+
( ) 211121111 22)1( dbxdaxdxxdbxxdaxdxx +=⇒−++=−+ diğer koordinat için aynı şekilde
-1a 0b; 10x )2
1(22 212212 ==+=′++=′ xxxabxx
2122 )2
)1(1(2)0(2 xdaxdbdxx +−+++=+
21222122 2)1(2)( daxdbxdxxxdadbxxdxx +=⇒−++=−+ bulunur. Buradan,
F=F 22
11
21 xFdF );( dx
xFdxxx
∂∂
+∂∂
=
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm IV.2 6. sayfa
)2()2(xFdF 21
221
1
daxdbxxFdbxdax +
∂∂
++∂∂
=
dF= dbxFx
xFxda
xFx
xFx
∂∂
+∂∂
+
∂∂
+∂∂
21
12
22
11 22
olduğundan
1.Jenaratör; 2
21
11 xx
xxX
∂∂
+∂∂
=
2.Jenaratör; 2
11
22 22x
xx
xX∂∂
+∂∂
=
bulunur. Bunların komütasyon ilişkileri [ ] 2112111111; XCXCXX += [ ] 2122121112 ; XCXCXX +=
[ ]
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
−
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
=−=
21
12
22
11
22
11
21
12211212
22
22;
xAx
xAx
xx
xx
xAx
xAx
xx
xxAXXAXXAXX
[ ]
bulduk. ni sabitleriyapı CC
xAxx
xxAxx
xAx
xxAx
xAx
xAxx
xAx
xAx
xxAxx
xxAxx
xAx
xAxXX
0,0
0222222
2222;
212211
22
2
1212
2
221
221
2
12
11
2
2
21
22
21
12
2
1121
2
221
2
2
11
212
==
=
∂∂
+
∂∂
∂+
∂∂
+
∂∂
∂+
∂∂
+
∂∂
−
∂∂
+∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
+∂∂
=
ÖRNEK-6.b.
x x sinx x sinx x
xx xx
323
322
11
00
coscos
θθ
θθ
+−=′+=′
=′=′
Bu dönüşüm uzay-zamanda x1 ekseni etrafında dönmeyi ifade etmektedir.Dört boyutlu bir parametreli dönüşüme bir örnektir. Bu dönüşümün türev operatörü ise Etkisiz eleman
( ) ( ) dır. sin,1cosiçin 1 0,,,; 3210 θθθθθ ddddgxxxxg ≅≅<<= G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm IV.2 7. sayfa
olmak üzere;
( ) ( )( ) ( )
θθ
θθ
θθθθ
θθθθ
dxdxxdxdxxdxdxdxxdxx
dxdxxdxddxxxdxxdxddxx
233233
323222
323233
323222
cossin0cos0sinsincos0sin0cos
−=⇒+−=+
=⇒+=+⇒
+−=+++−=+
+=+++=+
olduğundan türev operatörü
( )
xLx
xx
xix
xx
xX
xFdx
xFdxdx
xFdx
xFdF
dxxFdx
xFdx
xFdx
xFdFxxxxF
′=
∂∂
−∂∂
⇒∂∂
−∂∂
=
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
=⇒
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=⇒
32
23
32
23
32
231
10
0
33
22
11
00
3210
,,,
h
θθ
şeklinde bulunur. Görüldüğü gibi bu bize açısal momentum operatörünü verir. G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm IV.2 8. sayfa
Örnek: SL(1,1) dönüşüm grubunun jeneratörünün bulunuz. ( Burada; S dönüşüm matrisinin determinantının 1 olduğunu, L dönüşüm matrisinin Lorentz matrisi olduğunu ve (1,1) ise dönüşümün 1 zaman ve 1 uzay boyutlarında olduğunu ifade etmektedir.) Lorentz Dönüşümleri: Bu örneği yapabilmemiz için Lorentz dönüşümlerini hatırlayalım. Aşağıdaki şekildeki gibi, bir (S) sistemi ve bu (S) sistemine göre v hızıyla düzgün doğrusal hareket yapan bir (S’) sistemi olsun.
P noktasının koordinatları x0 = ct ve x1 = x olmak üzere, (S) sisteminde (x0 , x1), (S’)
sisteminde (x0’ , x1’), γ = [1/(1-β2)] ½ ve β = v / c olmak üzere, (S) sistemi ile (S’) sistemi arasındaki dönüşümleri veren bağıntılar (Lorentz dönüşümleri ),
x0’ = γ(x0 – βx1) x1’ = γ(x1 – βx0)
x2’ = x2 x3’ = x3
koordinat dönüşümleri ile verilir.Bu koordinat dönüşümü X, X’ koordinatları ifade eden sütun
matrisleri olmak üzere matris formunda
X’=LX
olarak yazılabilir ve
= L
şeklinde gösterilir.Burada L, elemanlarını Lorentz dönüşümlerinden elde ettiğimiz matristir.
L =
Lorentz grubu için ortogonal birim matris: Einstein’ın özel rölativite teorisi, uzay-zamanı
birlikte mutlak kabul eder ve koordinat dönüşümlerinde
xµxµ = c2t2 – x2 = c2t’2 – x’2 = sabit
olduğunu söyler. Bu özellik matris formunda
LTGL =G
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm IV.2 9. sayfa
v
r r’ r’
P
x
ct ct’
(S) (S’)
x’
x0’ x1’
x0 x1
γ -γβ -γβ γ
ile ifade edilir. Burada G, Minkowski metriğini veren, transpozesi kendisine eşit (simetrik) ve
karesi de I birim matrise eşit olan matrisdir.
G =
Daha önceki örneklere benzer şekilde, Lorentz koordinat dönüşümünün transpozesini
alıp, sağ taraftan GX ile çarparsak,
X’T = (LX)T = XTLT => X’TGX’ = XTGX = G
olduğu görülür. Şimdi uzay ve zaman için sonsuz küçük ötelemeleri verecek olan dL matrisini
oluşturalım. (c = 1)
= (I + dL) ai<<1 olmak üzere, dL = olsun. Buradan dLT = olur. Dönüşüm özelliğinden dolayı
[(I + dL)TG](I + dL) = G
(I + dLTG)(I + dL) = G
G + GdL + dLT G+ dLTGdL = G GG = I
GdLG = -dLT olur. dLTGdL terimini çok küçük olacağı için ihmal edebiliriz. Bu durumda dL = - dLT bulunur, ki bu da dL matrisinin anti - simetrik olmasıdır. Şimdi dL matrisinin anti – simetrik olma özelliğini kullanarak matrisin elemanlarını hesaplayalım.
= -
a1 = - a1 => 2a1 = 0 => a1 = 0 a4 = - a4 => 2a4 = 0 => a4 = 0 a2 = - a3 => a2 + a3 = 0
a3 = - a2 => a2 + a3 = 0 G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm IV.2 9. sayfa
1 0 0 -1
t + dt x + dx
t x
a1 a2 a3 a4
a1 a3 a2 a4
a1 a2 a3 a4
a1 a3 a2 a4
sonuçları elde edilir. Görüldüğü gibi elimizde a2 ve a3 bilinmeyenlerine bağlı iki denklem sistemi var.
a2 + a3 = 0 Bu homojen denklem sistemidir ve katsayılar matrisinin determinantı a2 + a3 = 0 sıfır ise sonsuz çözüm vardır. Sıfırdan farklı ise yalnız trivial çözüm vardır. Katsayılar matrisinin determinantını hesaplayalım:
= 0 olduğundan dolayı sonsuz çözüm vardır. O halde a2 = dk olsun. Bu durumda a3 = - dk olur. dL = I + dL =
=( I + dL) => = =
t + dt = t + xdk => dt = xdk
x + dx = tdk + x => dx = tdk bulunur.dF = dt (∂F/∂t ) + dx (∂F/∂x) ifadesinde bulduğumuz dt ve dx ifadelerini yerine yazalım.
dF = dk[x(∂/∂t) +t (∂/∂x)] elde edilir. Öyleyse jeneratörümüz
J = x(∂/∂t) + t (∂/∂x) olarak bulunur. Bu jeneratör uzay - zamana bağlı olan büyüklükte, uzay değişimleri ile zaman değişimlerinin birbirinden bağımsız olmadığını gösterir.
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm IV.2 10.sayfa
1 1 1 1
0 dk dk 0
1 dk dk 1
t + dt x + dx
t x
t + dt x + dx
1 dk dk 1
t x
t + dt x + dx
t + xdk tdk+ x
IV.2.1 PROBLEMLER 1- x ' = e -a x+ (1 + b) koordinat dönüşümünün oluşturduğu Lie Grubunun türev operatörlerini
( J1 , J2 jenaratörlerini ) bulunuz. Burada J1 , a sabitine ait jeneratör ve J2 , b sabitine ait jeneratörlerdir.
a) [x J1 , J2 2 ] komütatör ifadesini hesaplayınız. b) ψ =
01
e3 ix +
10
e - 3ix , σ =
0110
Pauli spin matrisi ve A = σ J1 olmak üzere A operatörünün < Ψ | Α | Ψ > beklenen değerini hesaplayınız
2- x ' = (Sina) x + b koordinat dönüşümünün oluşturduğu Lie Grubunun türev operatörlerini
y ' = (Sina) y + b ( J1 , a sabitine ait jeneratör ve J2 b sabitine ait jeneratör) olmak üzere bulunuz . J1
2 , J22 ve [ J1 2 + J2
2, J2 ] komütatör ifadelerini hesaplayınız. 3- x ' = e - a x + b koordinat dönüşümünün oluşturduğu Lie Grubunun türev operatörlerini
y ' = e a y + b ( J1 , J2 jenaratörlerini ) bulunuz. Burada J1 , a sabitine ait jeneratör ve J2 , sabitine ait jeneratörlerdir. a) J1
2 ve J22 operatörlerini ve [J1 2 + J2
2 , J2 ] komütatör ifadesini hesaplayınız
4- x1` = e a x1 + (1-2b) x2 koordinat dönüşümünün oluşturduğu Lie grubunun türev operatörlerini
( J1 , J2 )
x2`= (1-2b) x1 + e a x2 jenaratörlerini ) bulunuz . Burada J1 , a sabitine ait jenaratör ve J2 , b
sabitine ait jeneratörlerdir . a) [ J12 + J2
2 , J2] komütatör ifadesini hesaplayınız. b) e J J2 e J
ifadesini hesaplayınız. 5- x ' = a x + (1- b) koordinat dönüşümünün oluşturduğu türev operatörlerini ( X1 , X2
jenaratörlerini ) bulunuz Burada X1 , a sabitine ait jeneratör ve X2 b sabitine ait jeneratörlerdir. a) Yapı sabitlerini hesaplayınız. b) [ X1
2 + X2 2 , X1 ] komütatör
ifadesini hesaplayınız. c) 2Xe X1 2Xe − ifadesini hesaplayınız
6- x ' = ax + b koordinat dönüşümünün oluşturduğu türev operatörlerini ( J1 , J2
jenaratörlerini) bulunuz Burada J1 , a parametresine ait jeneratör ve J2 b parametresine ait jeneratörlerdir.
[ x J2 , 2 J1 ] komütatör ifadesini hesaplayınız.
7- x ' = ax + (1- b) koordinat dönüşümünün oluşturduğu türev operatörlerini ( J1 , J2 jenaratörlerini) bulunuz Burada J1 , a parametresine ait jeneratör ve J2 b parametresine ait jeneratörlerdir. [ 3 J2
, x J1 ] komütatör ifadesini hesaplayınız.
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm IV.2.1 1. sayfa
8- x ' = (cosa) x + sinb koordinat dönüşümünün oluşturduğu türev operatörlerini ( J1 , J2 jenaratörlerini) bulunuz Burada J1 , a parametresine ait jeneratör ve J2 b parametresine ait jeneratörlerdir. a ) [ J1
2 + J2 2 , J1 ] komütatör ifadesini hesaplayınız.
b) 2Je J1 2Je − ifadesini hesaplayınız
9- x ' = e - a x + (1- b) koordinat dönüşümünün oluşturduğu türev operatörlerini ( J1 , J2 jenaratörlerini ) bulunuz Burada J1 , a parametresine ait jeneratör ve J2 b parametresine ait jeneratörlerdir. a) [ J1
2 + J2 2 , J1 ] komütatör ifadesini hesaplayınız.
b) 2Je J1 2Je − ifadesini hesaplayınız
10- x ' = e - a x + by koordinat dönüşümünün oluşturduğu Lie Grubunun türev operatörlerini y ' = e -a y + bx ( X1 , X2 jenaratörlerini ) bulunuz. Burada X1 , a sabitine ait jeneratör
ve X2 b sabitine ait jeneratörlerdir. a) Lie cebiri yapı sabitlerini hesaplayınız. b) [ X1
2 + X2 2 , X1 ] komütatör ifadesini hesaplayınız. c) 1Xe X2 1Xe − ifadesini hesaplayınız.
11- x ' = a x+ (1 - b)y koordinat dönüşümünün oluşturduğu Lie Grubunun türev operatörlerini y ' = a y+ (1- b)x ( X1 , X2 jenaratörlerini ) bulunuz. Burada X1 , a sabitine ait jeneratör
ve X2 b sabitine ait jeneratörlerdir. a) Lie cebiri yapı sabitlerini hesaplayınız. b) 1Xe X2 1Xe −
ifadesini hesaplayınız.
12- x ' = e -a x+ (1 + b)y koordinat dönüşümünün oluşturduğu Lie Grubunun türev operatörlerini
y ' = e -a y+ (1 + b)x ( X1 , X2 jenaratörlerini ) bulunuz. Burada X1 , a sabitine ait jeneratör ve X2 b sabitine ait jeneratörlerdir. [ X1
2 + X2 2 , X1 ] komütatör ifadesini hesaplayınız. 13-x ' = (Sina) x + b koordinat dönüşümünün oluşturduğu Lie Grubunun türev operatörlerini
y ' = (Sina) y + b ( J1 , a sabitine ait jeneratör ve J2 b sabitine ait jeneratör) olmak üzere bulunuz. J1
2 ve [ J1 2 , J2 ] komütatör ifadelerini hesaplayınız.
14-x ' = (1-a)x + b koordinat dönüşümünün oluşturduğu Lie Grubunun türev operatörlerini ( J1 , J2 jenaratörlerini ) bulunuz. Burada J1 , a sabitine ait jeneratör ve J2 , b sabitine ait jeneratörlerdir.
a) [x2 J1 , J2 ] komütatör ifadesini hesaplayınız. b) ψ =
01
Sin2x +
10
Cos2x , σ3 =
−1001
Pauli spin matrisi ve A = σ3J2 olmak üzere A operatörünün < Ψ | Α | Ψ > beklenen değerini
hesaplayınız.
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm IV.2.1 2. sayfa
BÖLÜM IV SU(2) VE SU(3) GRUBU JENERATÖRLERİNİN MATRİS GÖSTERİMİ
a) SU(2) grubu jeneratörlerinin matris gösterimleri. b) SU(3) grubu jeneratörlerinin matris gösterimleri.
a) SU(2) grubu jeneratörleri 2x2 boyutlu matrislerdir. Uniter matristir ve determinantı
bire eşittir. SU(2) grubu jeneratörlerini αλ ile gösterelim. SU(2) grubu 3121 22 =−=−n jeneratöre sahiptir, yani 3,2,1=α olmaktadır.
αF)
operatörleri SU(2) grubu jeneratörleri olsun.
ααλ F)
2= ile verilir. Ortagonallık koşulundan
ijji qq δ= olmaktadır.
+T)
yükseltme −T)
alçaltma operatörleri olmak üzere,
( )−+ +== TTTF))))
21
11
( )−+ −−== TTiTF))))
21
22
33 TF))
= ile verilmektedir. Ayrıca
12 qqT jj δ=+
),
21 qqT jj δ=−
),
113 21 qqT =
),
223 21 qqT −=
),
333 0 qqT =)
şeklindedir.
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notları, Bölüm IV.3.a 1. sayfa
( ) jiij qFq ααλ 2=)
ise; ( )
12211221
11 2
jijijiji
jijijijiij
qqqq
qTqqTqqTTqqFq
δδδδδδ
λ
+=+=
+=+== −+−+
)))))
( ) ( ) 1211121 == λλ
))
( ) ( ) 0221111 == λλ))
ise
=
0110
1λ)
olur.
( ) [ ][ ] ( )12211221
2212
jijijiji
jijijiij
iqqqqi
qTqqTqi
qFq
δδδδδδ
λ
−−=−−=
−== −+
))))
( ) i−=122λ)
( ) i=212λ)
( ) ( ) 022111== λλ
)) ise
−=
00
2 ii
λ)
olur.
( ) jijiij qTqqFq 333 22
)))==λ
( ) 111313 22 iiii qqqTq δλ ===))
( ) 222323 2 iiii qqqTq δλ −=−==))
( ) 02 3333 == qTqii
))λ
( ) 133 =iλ)
( ) 1223 −=λ)
( ) ( ) 0211123 == λλ))
ise
−
=10
011λ)
olur.
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notları, Bölüm IV.3.a 2. sayfa
Buradan SU(2) grubunun jeneratörleri olan 1λ , 2λ , 3λ ’ün Pauli matrisleri olduğu görülmektedir.
−=
0110
21iJ
−−=
00
22 iiiJ
−
−=10
0123iJ
b) SU(3) grubunun ise 9131 22 =−=−n tane jeneratörü vardır.
ααλ F)
2= ve ijji qq δ= Burada +T
), +U
), +V)
yükseltme operatörleri, −T)
, −U)
, −V)
alçaltma operatörleri olmak üzere;
21 qqT =−
),
12 qqT =+
),
32 qqU =−
),
3 2U q q+ =)
,
13 qqV =+
),
31 qqV =−
),
113 21 qqT =
),
223 21 qqT −=
)
333 0 qqT =)
11 31 qqY =
)
22 31 qqY =
)
33 32 qqY −=
)
( )−+ +== TTTF))))
21
11
( )−+ −−== TTiTF))))
21
22
33 TF))
= G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notları, Bölüm IV.3.a 3. sayfa
( )−+ −−= VViF())
21
5
( )−+ += UUF)))
21
6
( ) jiij qFq ααλ 2=)
ise; ( ) jijijijiij qTqqTqqTTqqFq −+−+ +=+==
)))))11 2λ
12 qqT jj δ=+
) ve 21 qqT jj δ=−
) ise;
( ) 122212211 jijijijiij qqqq δδδδδδλ +=+=)
( ) ( ) 1211121 == λλ
)) ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0331321311231221131111 ======= λλλλλλλ)))))))
ise;
=
000001010
1λ)
olur.
( ) [ ][ ] [ ]12211221
2212
jijijiji
jijijiij
iqqqqi
qTqqTqi
qFq
δδδδδδ
λ
+−=−−=
−== −+
))))
( ) i−=122λ)
( ) 0132 =λ)
( ) ( ) 0232222 == λλ))
( ) ( ) ( ) 0332322132 === λλλ)))
ise;
−=
0000000
2 ii
λ)
olur.
( ) jijiij qTqqFq 333 22
)))==λ
( ) 222323 2 iiii qqqTq δλ −=−==
)) ( ) 02 3323 == qTqii
))λ
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notları, Bölüm IV.3.a 4. sayfa
( )3 3 1 1 112 i i ii
q T q q qλ δ= = =) )
( ) 1113 =λ)
( ) 1223 −=λ)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0333323313233213133123 ======= λλλλλλλ)))))))
ise;
−=
000010001
3λ)
olur.
( ) jijijiij qVqqVqqFq −+ +==
))))44 2λ
+V)
jq = 13 qjδ ve −V)
jq = 31 qjδ ise; ( ) 133113314 jijijijiij qqqq δδδδδδλ +=+=)
( ) ( ) 1314134 == λλ
))
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 334324234224214124114 ======= λλλλλλλ)))))))
ise;
=
001000100
3λ)
olur.
( ) [ ] [ ]1331511
jijijijiij iqVqqVq
iδδδδλ −=−= −+
)))
( ) i−=135λ)
( ) i=315λ)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 335325235225215125115 ======= λλλλλλλ)))))))
ise;
−=
00000
00
5
i
iλ)
olur.
( ) jijijiij qUqqUqqFq −+ +==
))))66 2λ
23j qq jU δ=+
) ve 32j qq jU δ=−
) ise;
( ) 233123326 jijijijiij qqqq δδδδδδλ +=+=)
( ) ( ) 1326236 == λλ))
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notları, Bölüm IV.3 .a 5. sayfa
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 336316226216136126116 ======= λλλλλλλ
))))))) ise;
=
010100000
6λ)
olur.
( ) [ ] [ ]2332711
jijijijiij iqUqqUq
iδδδδλ −=−= −+
)))
( ) i−=237λ)
( ) i=327λ)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 337317227217137127117 ======= λλλλλλλ
))))))) ise;
−=00
00000
6
iiλ
) olur.
( ) jijiij qYqqFq
)))32 88 ==λ
( ) 1118 313 iii qYq δλ ==
))
( ) 2228 313 iii qYq δλ ==
))
( ) 3338 323 iii qYq δλ −==
))
( ) ( )3
1228118 == λλ
))
( )3
2338 −=λ
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 328318238218138128 ====== λλλλλλ))))))
ise;
−=
200010001
31
8λ)
olur.
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notları, Bölüm IV.3 .a 6. sayf
IV.3 SU(2) GRUBU TÜREV OPERATÖRLERİ Geometrik simetriler yanında iç simetri adını verdiğimiz simetrik özelliklerde parçacıklar dünyasında mevcuttur. Bu iç simetrilerin dinamik yapısına ayar grupları diyoruz. Bu simetrilerin ilki elektromanyetik etkileşmeyle bilinen U(1) ayar simetrisidir. Bu simetrinin dinamik yapılaşmasını veren foton alış verişidir. Zayıf etkileşmenin simetrisi SU(2) dir. Buradaki S herhangi bu dönüşümü veren matrisin veya operatörün determinantının 1 olduğunu söyler. Buda özel matristir. U ise dönüşüm matrisinin veya operatörünün bir uniter matris veya uniter operatör olduğunu ifade eder. 2 sayısı ise dönüşüm matrisinin 2×2 lik bir kare matris oldugunu söyler.
( )
1†
†
†*
−=
=
=
UUIUUUU T
(Uniter matris)
Eğer zayıf etkileşmede bir durum, bir hal, bir yapı Ψ ile gösteriliyor ise buradaki Ψ alanı iki boyutlu sütun matrisi özelliği de gösterir.
ΨΨ
=Ψ12
11 (Ψ→ Zayıf etkileşmede bir hal,yapı)
Ψ=Ψ
=ΨΨ
UI
†
†
oluyorsa
ΨΨ=ΨΨ †† '' korunumu sağlanmalıdır. Bu özellik bize zayıf etkileşmeler için 3 korunan büyüklüğün yeterli olduğunu söyler. Bunun karşılığı olarak bu etkileşmeyi verecek dinamik yapı en fazla 3 ana parçacıktan oluşur.
( )1''
'†††††
††††
=ΨΨ=ΨΨ=ΨΨ
Ψ=Ψ=Ψ
UUUUUU
Şimdi bu dönüşümü ifade eden Lie operatörünü bulalım. U matrisi bir dönüşüm matrisidir ve grup özelliği gösterir. Ψ iki boyutlu, dönüşüm parametrelerimiz U matrisinin içinde;
†
†
††
†
0
)()()(
dUdUdUdU
IdUdUdUdUIIdUIdUI
dUIdI
−≅
≅+
=+++
=++
Ψ+=Ψ+ΨΨ=Ψ
dU matrisi yaklaşıklıkla bile olsa anti hermitsel matris özelliğini gösterir.
Ψ=Ψ dUd 2×2 lik matrisi inşaa edelim
8765
4321
iaaiaaiaaiaa
dU++++
= 8765
4321†
iaaiaaiaaiaa
dU−−−−
=
†dUdU −≅ olduğundan G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notları, Bölüm IV.3 1. sayfa
8878787
46354365
64536543
2211112121
0
002
aaaiaaiaaaaaaiaaiaaaaaaiaaiaa
aaaaaaiaaiaa
==⇒+−=+=−=⇒+−=+=−=⇒+−=+
==⇒=⇒−=⇒+−=+
katsayılar matrisinin determinantı sıfırsa sonsuz çözümü ,değilse tek çözümü var.
00
53
53
=+=+
aaaa
01111
=
katsayılar matrisini dU da yazalım;
8282
8282
656582
865
652
865
652
1011))(()1)(1(
1)det(1det
11
aaiaiaiaiaiaia
iaaiaaiaiadUI
Uaiaaiaaia
dUIaiaa
iaaiadU
−=⇒−=≅++++
=++−−++=+
=
++
+−+=+
+
+−=
matrisi yeniden yazalım
+
+−−=
+
+−−=
idaidcdbidcdbida
dU
iaiaaiaaia
dU865
658
dcadbadaa === 658 ,,
=Ψ
yx
=Ψ
dydx
d
=
yx
dUdydx
+
+−−=
yx
idaidcdbidcdbida
dydx
iydaixdcxdbdyiydcydbixdadx
++=+−−=
),( yxFF = olduğundan yFdy
xFdxdF
∂∂
+∂∂
=
Fy
ixx
iydcFy
xx
ydbFy
iyy
ixda
∂∂
+∂∂
+
∂∂
+∂∂
−+
∂∂
+∂∂
−=
yiy
xixJ
∂∂
+∂∂
−=1 x
yy
xJ∂∂
−∂∂
=2 x
iyy
ixJ∂∂
+∂∂
=3
Bu üç operatörü aynı kuantum fiziğinde olduğu gibi korunan büyüklüklere karşılık gelen kuantum sayıları arasındaki bağımlı veya bağımsız ilişkileri verir. J2 operatörü Lz operatörüdür. Bu da SO(2) nm , SU(2) nin bir alt drubu olduğunu ifade eder. Zayıf etkileşmede spin kavramı kendiliğinden ortaya çıkar ki bunu izospin olarak genişletebiliriz [ ] [ ] [ ]133221 ,,,,, JJJJJJ [ ] kijkji JCJJ =, (kapalılık özelliği gösterir) Cijk’lar yapı sabitleridir ve kuantum sayılarının alabileceği değerleri gösterirler. G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notları, Bölüm IV.3 2. sayfa
[ ]
xiyJ
xy
xix
xyJix
yxJix
yJix
xJix
yx
yJx
xix
yixJ
yx
xix
xy
yiy
yx
yiy
xy
xx
yx
xix
xy
yx
yiy
xix
JJ ji
∂∂
−=
∂∂
−∂∂
−
∂∂∂
+∂∂
∂−
∂∂
−=
∂∂
−∂∂
−
∂∂
∂∂
−=
∂∂
−=
∂∂
∂∂
−
∂∂
−∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
−∂∂
−+
∂∂
∂∂
−=
∂∂
−∂∂
∂∂
+∂∂
−
,
,
,,,,
,
,
22
22
[ ]
[ ] 321
21
22
22
2
2
2
2
22,
,
,
Jx
iyy
ixJJ
xiy
yix
xiy
yixJJ
yxJiy
xyJiy
xJiy
yJiy
xy
xJy
yiy
xiyy
xx
yiy
yJixy
yJix
yJixy
xJix
xy
xJy
xix
−=
∂∂
−∂∂
−=
∂∂
−∂∂
−∂∂
−∂∂
−=
∂∂∂
−∂∂
∂−
∂∂
=
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
∂∂
−=
∂∂
∂∂
∂∂
−∂∂
−∂∂
=
∂∂
−∂∂
+
∂∂
−∂∂
−
C121=0 C122=0 C123=-2 C211=0 C212=0 C213=2 G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notları, Bölüm IV.3 3. sayfa
IV.3 SU(3) GRUBU TÜREV OPERATÖRLERİ Bu dönüşümün A matrisi 3x3 bir sanal matris olup, bu A matrisi kuantum büyüklüklerinin simetrik özellikleri nedeni ile üniter bir matristir ve özel bir matristir. Yani;
AxX =' dönüşümünde IAA =+ ve detA=I dır. Etkisiz dönüşüm civarındaki sonsuz küçük dönüşüm ise SU(3) Gurubu ;S(special 1=A ) ,U(üniterlik IAA t = ) , (3) boyut 819,9918,1829,933
1det=−=−=×=×
→üniterlik jeneratör vardır.
dAXdXXdAIdXXIXXAXX
+⇒+=+⇒==
)('
dönüşümünde sonsuz küçük dönüşümü oluşturan elemanları sonsuz küçük parametrelerden oluşmuş dA matrisini
+++++++++
=
171615141312
11109876
543210
iaaiaaiaaiaaiaaiaaiaaiaaiaa
dA
şeklinde ifade edebiliriz. Burada ia elemanları sonsuz küçük parametrelerdir. Bu dönüşümün özelliğinden dA matrisi aşağıdaki özellikleri sağlamalıdır. ( ) ( ) ( )( )
( ) 1det I ttt
=+−=⇒
=+++⇒=++=++
dAIdAdAIdAdAdAdAIIdAIdAIdAIdAI
t
t
Bu özelliklerden dolayı dA matrisinin elemanları için;
7632
3276
iaaiaaiaaiaa
−−=−−−=−
Bu iki terimin farkını alırsak 37 aa = toplamını alırsak 26 aa −=
541312
541312
iaaiaaiaaiaa
−=−−−−=−
Bu iki terimin farkını alırsak 412 aa −= toplamını alırsak 513 aa =
11101514
11101514
iaaiaaiaaiaa
−=−−−−=−
Bu iki terimin farkını alırsak 1014 aa −= toplamını alırsak
1115 aa = bulunur. Bu sonuçlara göre dA matrisini dokuz bağımsız parametre ile ifade edebiliriz. Yani
+−+−++−++
=
17111054
1110932
54321
iaiaaiaaiaaiaiaaiaaiaaia
dA
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notları, Bölüm IV.3 4. sayfa
Şeklinde ifade edebiliriz. Ayrıca
1917
1917
1791911711917917
179119
17111054
1110932
54321
011
1)1)(1(
11
11
)det(
aaaiaiaia
aaiaaaaaiaaaiaiaiaaaiaia
iaiaaiaaiaaiaiaaiaaiaaia
dAI
−−=⇒=++
=−−−+−++
=+−++
=++−+−+++−+++
=+
bulunur. Yukarıdaki hesaplarda ia lerin sonsuz küçük olmaları nedeni ile kendi aralarında çarpımlarının sıfır alınmıştır. Bu sonuçlada bir parametre daha düşer ve dA matrisini
71161089
817654
76832
54321
,, a aa aa a
iaiaiaaiaa
iaaiaiaaiaaiaaia
dA
===
−−−−+−++−++
=
şeklinde tanımladık. Daha önce yaptığımız örneklere benzer şekilde
3812761543
376281322
354232111
3
2
1
3
2
1
)()()( )()(
)()(
)(
)(
xiaiaxiaaxiaadxxiaaxiaxiaadx
xiaaxiaaxiadxxxx
dAdxdxdx
xdAdx jiji
−−++−++−=
++++−=++++=⇒
=
=
338237236135
1343332331
22832732625
2412312221
181716315
314213212111
8387376365354343332321313
8287276265254243232221212
8187176165154143132121111
, , , ,0 ,0 , , , ,0
0 , , ,0 0 ,0 ,0 ,
, , ,
ixuixuxuixuxuuuixu
ixuixuxuuuixuxuu
uuuixuxuixuxuixu
daudaudaudaudaudaudaudaudxdaudaudaudaudaudaudaudaudx
daudaudaudaudaudaudaudaudxdaudx jiji
−==−==
−===−=======−==
========⇒
+++++++=+++++++=
+++++++=
=
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notları, Bölüm IV.3 5. sayfa
olduğundan SU(3) dönüşüm grubunun türev operatörleri aşağıdaki şekilde bulunur.
,
,
,
33
228
32
237
32
236
31
135
31
134
21
123
21
122
33
111
xix
xixX ,
xix
xixX
xx
xxX ,
xix
xixX
,x
xx
xXx
ixx
ixX
,x
xx
xX ,x
ixx
ixX
∂∂
−∂∂
=∂∂
+∂∂
=
∂∂
−∂∂
=∂∂
+∂∂
=
∂∂
−∂∂
=∂∂
+∂∂
=
∂∂
−∂∂
=∂∂
−∂∂
=
ÖDEV: Benzer şekilde SU(4) grubunun türev operatörlerini bulunuz.
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notları, Bölüm IV.3 6. sayfa
BÖLÜM IV IV.4 SU(2) ve SU(3) SİMETRİ GRUPLARININ MATRİS GÖSTERİMLERİ VE ÖZELLİKLERİ SU(2) Gurubunun üç tane jeneratörü vardır. Bunları aşağıdaki şekilde tanımlıyabiliriz.
−=
−=
−=
z
y
x
iX
iX
iX
σ
σ
σ
2
2
2
3
2
1
[ ]törAntikomütaBAABBA,
Komütatör BA-AB BA,dirmatrisleri spinPauli zyx
→+=
→=
σσσ ,,
Bunların bazı özellikleri ise
[ ] ak.ispatlanac sonra ,) DahaXCXXa kijkji →=
≠=
==Notasyonu ise ji , 0
Dirac ise ji , 1 , 2,) ijδδσσ ijjib
:ımispatlayalBunu dır. 02, 1221 == δσσ
10
01,
0 0
, 0110
321
Matrislerii
iSipin
Pauli
−
=
−=
= σσσ
bulunur 0000
0 0
i-00
0 110
0 0
0 0
0110
, 122121
=
−+
=
−+
−
=+=
iii
ii
ii
σσσσσσ
ım.ispatlayaldir.Bunu 22, 1111 == δσσ
I20110
20110
0110
22, 21
22111111 =
=
==+=+= σσσσσσσσσ
[ ] 0iij , 1,-1ijk , 2,) ijk →+→−→= CivitaLeviic kijkji εσεσσ
[ ] ( ) ımispatlayaldir.Bunu 222, 3312321221211221 σσεσεσεεσσ iii k =++==
[ ]
görülür.olduğu 2100 1
2200 2
0 0
00
0110
0 0
0 0
0110
,
3
122121
σ
σσσσσσ
iii
ii
ii
ii
ii
i
=
−
=
−
=
−−
−
=
−−
−
=−=
[ ] dır. 0 02, 21
211111 =−⇒== σσσεσσ kki
( ) sıfırdır. ının toplamelemanlarıköşegen yani ınin toplamdır.İzleri 0Tr ) k =σd
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notları, Bölüm IV.4 1. sayfa
( ) 1det ) k −=σe
If zyx === 222 ) σσσ
xzxyzzyzxyy ig σσσσσσσσσσσσσ −=−==−= zx , , )
bulunur. TrTrITr dir. Tr
olur. i
iTrTr
ım.ispatlayalBunu dır. TrTrh ijji
21001
122
00
002)(
2)()
21111121
21
1221
=
==⇒==
=
−
=
==
=
σσσδσσ
σσ
δσσ
δσσ
−=
−=
=
−=
=
−=
−=
=
200010001
31,
0000
000,
010100000
,00000
00
001000100
,000010001
,0000000
,000001010
8765
4321
λλλλ
λλλλ
ii
i
i
ii
Gell Mann
matrisleri Bu matrisler aşağıdaki şekilde yazıldığında komütasyon ilişkileri ve yapı sabitleri bulunur.
[ ] i, , 21
γαβγβααα λ FfFFF == Şimdi λ ların özelliklerini yazıyoruz.Bunlar F içinde geçerlidir.
[ ] γαβγβα λλλ ifa 2,) = dır.
[ ] dır. 2,) γαβγβα λλλ ifa = [ ] [ ]812871276126512541243123212211211221 2i2, λλλλλλλλλλλ γγ ffffffffif +++++++==
−−
−=
−−
−
=−
0000000
0000000
000001010
0000000
0000000
000001010
1221 ii
ii
ii
ii
λλλλ
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notları, Bölüm IV.4 2. sayfa
gibidir. aşağıdaki ise matrisler eden tekabül Bunlara vardır. jeneratörü tane 8 gibimiz gösterdiği önce Daha:grubu SU(3)
m.eşitleyeli tarafınıikidenklemin halde O olur. 2000010001
2000020002
3λiiii
=
−=
−=
αβγ αβγf 123 1 147 1/2 156 –1/2 246 1/2 257 1/2 345 1/2 367 -1/2 458 2/3 678 2/3
dır. 0128127126125124122121 =======⇒ fffffff
[ ] 31221123 22,dir. 1 λλλλ γγ iiff ==⇒=⇒
γαβγαββα λδλλ db 234,) +=
Anti komütasyon ilişkisi ise
).......(2234, 81481141141441 λλλδλλ γγ ddd ++=+=
61441
010100000
010000000
000100000
000001010
001000100
001000100
000001010
λλλλλ =
=
+
=
+
=+
).........(2 814811416 λλλ dd ++=
αβγ αβγf
118 1/ 3 bulunur. 21.2,
21
6621146 λλλλ ==⇒=d
146 1/2 ).......(2342
34, 81181111111111 λλλδλλ γγ ddd +++=+=
157 1/2 228 1/ 3 247 -1/2 256 1/2 338 1/ 3 344 1/2 355 1/2 366 -1/2 377 -1/2 448 -1/ 32 G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notları, Bölüm IV.4 3. sayfa
558 -1/ 32 668 -1/ 32
=
=
==+
000020002
000010001
2000001010
000001010
22 12
12
1 λλλ
811821121111 ........3/400
03/40003/4
000020002
21
λλλ ddd +++=
−
⇒
831
200010001
31
31
200010001
31
3/20003/10003/1
λ=
−=
−=
−⇒
31d dır. 0 118117116115114113112111 ========⇒ ddddddd
Ayrıca bu SU(3) matrisleri aşağıdaki özelliklere sahiptir.
2000010001
)(22)(
02000
00000
)(
2))
0))
333333
4554
=
===
===
−=
=
=
TrTr ,Tr
i
iTrTr
Tr( d
Tr( c
λλδλλ
δλλ
δλλ
λ
αββα
α
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notları, Bölüm IV.4 4. sayfa
[ ]( )
[ ]( )
[ ]
[ ]
( )
( ) 00
4,
1022,
20000000
2000001010
2,
.14422000010001
2
424,
4,)
312318317316315314313311
3121
21
312312
31233
312213
≠=
=
========
⇒==
=
−=
−=
=⇒===
=
=
=
8
3
3
det Ama det g)
yap. için 214-gösterolduğunu idTr f)
bulunur. f ,fffffff yaparsak işlemleriBu ifi
iii
i
yapalım ısağlamasın Bunun fifiiiTr
ifiTrifTr
ifTr e
λλ
λλλ
λλλλ
λλλ
λλ
λλλ
λλλ
α
αβγγβα
γγ
αβγγβα
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notları, Bölüm IV.4 5. sayfa
ÖRNEK
ızhesaplayın riniözvektörle ve özdeğer matrisin bulunuz.Bu matrisini ?e üzere göstermek matrisini SpinPauli yi
.=θσ
( ) ( ) ( )
bulunur. matrisi cossinsincos
0sinsin0
cos00cos
I sinI cos
.......!3
..........4!2!
-1I
..........4!
I3!2!
II
............!4!3!2
I
diyelim. .........!4!3!2
1
342
432
432
432
−
=
−+
=
+=
−+
+=
++−−+=
+++++=
=+++++=
θθθθ
θθ
θθ
θσθ
θθσ
θθ
θθσθθσ
θσθσθσθσ
θσ
θσ
θσ
ii
ie
i
i
ii
iiiie
ixxxxxe
y
y
i
y
y
yy
yyyy
i
yx
Bu matrisin özdeğer ve özvektörlerini bulalım.
( )
i i Özdeğerler
i
IRXRX
θθλθθλ
θθθθλ
θθλθλλ
θθλλθθλθλθθ
θλθ
λλ
sincos,sincos:
sincossincos
1coscos01cos2
0sincos2cos0sincos0cossin
sincos
0
21
22,1
22,1
2
22222
−=+=
±=−±=
−±=⇒=+−⇒
=+−+⇒=+−⇒=−−
−
=−⇒=
G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm IV.4 6. sayfa
( )
bulunur. 2
1X ,i
21X
21m
21m1m21mm 1mmmm 1
mim-
mim
olmalıdır. XX yani mnormlayalıbunu mim
X
imXm X i.diyelim mX X iX
X X i
çözülür. cinsindenbağımsız 11-n halde dir.O 2dir.n 1 rangı matrisinBu XX
ii
XX
ee
için
21
2222
i
i
=
−=⇒
=⇒=⇒=⇒=+=+⇒=
⇒
=
−=
−=⇒=⇒==−−
=+−⇒
===
−−
−
=
−−
−
+
11
1
1
sinsin0sinsin0sinsin
0sinsin
sinsin
0cossin
sincos
111
1111
212111
2111
21
11
21
111
θθθθθθ
θθθθ
θθθθ
λθ
θ
G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm IV.4 7. sayfa
ŞEKİL I. Kuark ve anti kuarklar
Bir kuark ile antisi Y ve I3 ün zıt değerlerine sahip ŞEKİL II spini 3/2 olan baryonların decuplet yapısı
G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm IV.4 8. sayfa
ŞEKİL III spini ½ olan baryonların oktet yapısı
ŞEKİL IV spini 0 olan Mezonların oktet yapısı
mezonlar için B=0 olduğundan Y=B+S Y=S G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm IV.4 9. sayfa
G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm IV.4 10. sayfa
IV.5 PROBLEMLER
1- σx =
0110 ve σz =
− 1001 Pauli spin matrisleri ve θ serbest bir parametre olmak üzere
A= σx zi
eσ
θ4 matrisini oluşturup, bu matrisin özdeğer ve özvektörlerini bulunuz.
2- σx =
0110 ve σz =
− 1001 Pauli spin matrisleri ve θ serbest bir parametre olmak üzere
A= σx zi
eσ
θ4 matrisininin özvektörleri olmak üzere bir parçacığın dalga fonksiyonu
ψ =ψ1 e 2x + ψ2 e -2x ile verilmektedir. Bu parçacık için a ) ψ+ (xz ∂
∂σ ) ψ ifadesini hesaplayınız
3- σx =
0110 ve σz =
− 1001 Pauli spin matrisleri ve θ serbest bir parametre olmak üzere
A= zie
σθ6
−
σx zi
eσ
θ6 matrisininin özvektörleri olmak üzere bir parçacığın dalga
fonksiyonu
ψ =ψ1 sin2x + ψ2 cos2x ile verilmektedir. Bu parçacık için ψ+ (xz ∂
∂σ ) ψ ifadesini hesaplayınız
4- σx =
0110 ve σz =
− 1001 Pauli spin matrisleri ve θ serbest bir parametre olmak üzere
A= σx zi
eσ
θ6 matrisininin özvektörleri olmak üzere bir parçacığın dalga fonksiyonu
ψ =ψ1 e (2x+it) + ψ2 e -(2x+it) ile verilmektedir. Bu parçacık için a ) ψ+( σxxt z ∂
∂−
∂∂
σ ) ψ akım
yoğunluğunu , b) < σx > = ψ+ σx ψ beklenen değer ifadesini hesaplayınız 5- σx =
0110 ve σz =
− 1001 Pauli spin matrisleri ve θ serbest bir parametre olmak üzere
A= zi
eσ
θ2
− σx
zie
σθ2
matrisininin özvektörleri olmak üzere bir parçacığın dalga
fonksiyonu ψ =c1 ψ1 + c2 ψ2 ile verilmektedir. Bu parçacık için ; < σx > = ψ+ σx ψ ve < σx > = ψ+
σx ψ beklenen değer ifadelerini hesaplayınız 6-σ1 =
0110 ve σ2 =
−1001 Pauli spin matrisleri ve θ serbest bir parametredir. ψ1 ve ψ2
A =22
σθi
e σ1 22
σθi
e−
matrisininin özvektörleri olmak üzere bir parçacığın dalga fonksiyonu G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm IV.5 1. sayfa
ψ =ψ1 e (x+it) + ψ2 e -(x+it) ile verilmektedir. Bu parçacık için a ) ψ+( σ1xt ∂
∂−
∂∂
2σ ) ψ akım
yoğunluğunu , b) < σ1 > + < σ2 > beklenen değer ifadesini hesaplayınız. ( Burada < σ i > = ψ+ σi ψ dir.) 7-σ1 =
−1001 ve σ2 =
0110 Pauli spin matrisleri ve θ serbest bir parametredir. ψ1 ve ψ2 A=
22σ
θie matrisininin özvektörleri olmak üzere bir parçacığın dalga fonksiyonu ψ =ψ1 Sin ( x -t) + ψ2 Cos ( x - t ) ile verilmektedir. Bu parçacık için < σ1 > + < σ2 > beklenen değer ifadesini hesaplayınız. ( Burada < σ i > = ψ+ σi ψ dir.) 8-σ1 =
0110 ve σ2 =
−1001 Pauli spin matrisleri ve θ serbest bir parametredir. ψ1 ve ψ2
A = 12
σθi
e 22σ
θie
−
matrisininin özvektörleri olmak üzere bir parçacığın dalga fonksiyonu ψ =ψ1 Sin (x-it) + ψ2 Cos ( x-it ) ile verilmektedir. Bu parçacık için < σ 1> = ψ+ σ1 ψ beklenen değer ifadesini hesaplayınız. 9-σx =
0110 ve σz =
−1001 Pauli spin matrisleri ve θ serbest bir parametredir. ψ1 ve ψ2
A= σx
zie
σθ6 matrisininin özvektörleri olmak üzere bir parçacığın dalga fonksiyonu
ψ =ψ1 e( 2x +it) + ψ2 e - ( 2x +it) ile verilmektedir. Bu parçacık için ψ+ ( σx ∂/∂t - σz ∂/∂x) ψ akım
yoğunluğu ifadesini hesaplayınız.
10-σ1 =
0110 ve σ2 =
−1001 Pauli spin matrisleri ve θ serbest bir parametredir. ψ1 ve ψ2 A=
σ1 22
σθi
e matrisininin özvektörleri olmak üzere bir parçacığın dalga fonksiyonu ψ =ψ1 Sin ( x -
2t) + ψ2 Cos ( x + 2 t ) ile verilmektedir. Bu parçacık için a ) ψ+( σ1xt ∂
∂−
∂∂
2σ ) ψ akım
yoğunluğunu , b) < σ1 > + < σ2 > beklenen değer ifadesini hesaplayınız. ( Burada < σ i > = ψ+ σi ψ dir.)
G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm IV.5 2. sayfa
11- σ1 =
−1001 ve σ2 =
0110 Pauli spin matrisleri ve θ serbest bir parametredir. ψ1 ve ψ2 A=
14σ
θie matrisininin özvektörleri olmak üzere bir parçacığın dalga fonksiyonu ψ =ψ1 Sin ( 2x - 3t)
+ ψ2 Cos ( 2x - 3 t ) ile verilmektedir. Bu parçacık için a ) ψ+( σ1xt ∂
∂−
∂∂
2σ ) ψ akım
yoğunluğunu , b) < σ1 > + < σ2 > beklenen değer ifadesini hesaplayınız. ( Burada < σ i > = ψ+ σi ψ dir.) 12-C =
0220 ve D =
− 20
02 matrisleri ve θ serbest bir parametre olmak üzere
A= C Di
e 8θ
matrisini oluşturup, bu matrisin özdeğer ve özvektörlerini bulunuz. 13-σ1 =
−1001 ve σ2 =
0110 Pauli spin matrisleri ve θ serbest bir parametredir. ψ1 ve ψ2 A=
12σ
θie matrisininin özvektörleri olmak üzere bir parçacığın dalga fonksiyonu ψ =ψ1 Sin ( 2x -t) + ψ2 Cos ( 2x - t ) ile verilmektedir. Bu parçacık için < σ1 > beklenen değer ifadesini hesaplayınız. ( Burada < σ1> = ψ+ σ1 ψ dir.)
G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm IV.5 3. sayfa
BÖLÜM V V.1 FEYNMAN KURALLARI
Bozunum oranları ve saçılma tesir kesitlerini hesaplamak için M amplitünden yararlanıyoruz. 1 ) Gelen ve giden parçacıkların 4’lü momentumu nppp ,...., 21 olsun ve ara parçacığın 4’lü momentumları nqqq ,...,, 21 olsun. Her bir çizgiye, pozitif doğrultuyu belirlemek için ok yerleştiriyoruz. P2 q P2 2 ) Her bir vertexiçin (-ig) şeklinde bir faktör yazacağız. g=bağlanma sabiti.
3 ) Her bir ara(iç) çizgi için 222 cmqi
ii − şeklinde bir faktör yazacağız.
4 )Enerji ve momentum korunumu= Her bir vertex için bir delta fonksiyonu katsayısı yazacağız.
( ) ( )
−+
gidengelen
kkk 321442 mmδπ
5 ) Ara momentumlar üzerinden integral alınacak. Her bir ara çizgi için ( )4
4
2πqd
şeklinde bir
katsayı yazılacak ve bütün ara momentumlar için integre edilecek. 6 ) Delta fonksiyonu ihmali. ( ) ( )nppp +++ ...2 21
44δπ Bu terimi yok edip geriye kalan terime –iM diyeceğiz. KUANTUM ELEKTRO DİNAMİĞİ (QED) İÇİN FEYNMAN KURALLARI 1 ) Notasyon: Gelen ve giden parçacıkların 4’lü momentumları nppp ,..,, 21 ve sipinleri
nsss ,..,, 21 olsun. Ara parçacıkların momentumları nqqq ,..,, 21 olsun. Akış diyagramımızın doğrultusunu belirleyip okları yerleştiriyoruz. Elektron * u gelen * u giden Pozitron * v gelen * v gidiş
Photon * µε geliş
• *µε gidiş G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm V.I. 1.sayfa
3 ) Vertex faktörleri: Her bir vertex için µγeig şeklinde bir faktör yazıcağız.
παπ 44 == ceg e h
4 ) propagatör: Her bir ara çizgi için bir faktör yazacağız.
−e veya pozitron ( )
222 cmqmcqi
−
+µµγ
, photon 2qigµν−
5 ) Enerji ve momentum korunumu: Her bir vertex için bir delta fonksiyonu yazacağız. ( ) ( )321
442 kkk mmδπ (geliş +, gidiş -)
6 ) Her bir ara parçacık için momentum ( )4
4
2πqd
şeklinde bir faktör olacak ve integre edilecek.
7 ) Delta fonksiyonu yok edilecek. ( ) ( )nppp +++ ,,2 21
44δπ Geriye kalana –iM denilecek. 8 ) Antisymmetrization: Gelen veya giden parçacıkların yerlerini değiştirisek yani 2. bir şekil varsa, ikinci şekilde çizilecek ve M amplitüdüne (-) ilave edilkecek. KUANTUM CHROMODYNAMİCS(QCD) İÇİN FEYNMAN DİAGRAMLARI 1 ) Dış çizgiler: momentumu p, spini s ve rengi c olan Quark * ( ) ( )cpu s . gelen * ( ) ( ) +cpu s . giden Antiquark * ( ) +cpv . gelen * ( )cpv . gidiş Gluon * ( ) αµε cp geliş ( ) ** . αµε cp gidiş * G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm V.I. 2.sayfa
c: quarkın rengi ;
001
kırmızı,
010
mavi,
100
yeşil,
2 ) propagatör: Ara parçacık;
quark-anti quark için ( )
222 cmqmcqi
−+
gluon için 2qig αβ
µν δ− dir.
3 ) vertex katkısı
λγλ βα
2sig
− , Gell Mann Matrisleri
ZAYIF ETKİLEŞME İÇİN FEYNMAN KURALLARI
1 ) Propagatör: (W, Z) ( )
222
22/cMq
cmqqgi−
−− νµµν
( )( )2
22
Mcig
Mcq µν−⇒⟨⟨
2 ) Vertex faktör
wwg πα4= Zayıf bağlanma sabiti. ÖNEMLİ NOKTALAR 1 ) Kuark yapı (sdu)’ların yanında rengi gösteren c’lerin olması lazım. 2 ) Kuarklarda açılarda hesaba katılır. D girip u çıkarsa Cos, s girip u çıkarsa Sin oluyor. 3 ) Kuark varsa zayıf etkileşme, yoksa EMT etkileşme. Elektromagnetik etkileşmede
γveyae− ara parçacıktır.
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm V.I. 3.sayfa
( )5122
γγ µ −− wig
Feynman Diagramlarında Kullanılan Tablo u
Vertex katkısı : - cw Sinig
θγγ µ )1(22
5−
s u
Vertex katkısı : - cw Cosig
θγγ µ )1(22
5−
d
Zo için Vertex katkısı : )(2
5γγ µ fA
fv
z ccig−
−
f cv CA
νe , νµ , ντ 21
21
e- , µ- , τ - -21 + 2 Sinθw -
21
u , c , t wSin θ2
34
21
− 21
d , s , b wSin θ2
32
21 +− -
21
Propagator W± , Zo için : 2)(Mcigµν ( q2 << (Mc)2 için )
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm V. 2. Ek I
BÖLÜM V
V.2 FEYNMAN DİAGRAMLARI UYGULAMALARI
1 ) ee υπ +→ −− için Feynman diagramını çizip, bu diagrama göre M amplitüdünü(genliğini) yazınız.
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
−−
−−=− + 21
22411
223 5
215
3 UigUMcig
CUCosigCUiM wc
w γγθγγ ϑµϑµ
( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]214113
85
15
32
2
UUCUCosCUMcigiM c
w γγθγγ µµ −−−=− +
2 ) ee νµν µ +→+ −− için Feynman diagramını çizip, bu diagrama göre M amplitüdünü(genliğini) yazınız.
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm V.2 1.sayfa
( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]214113
85
15
32
2
UUCUCosCUMcgM c
w γγθγγ µµ −−= +
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
−−
−−=− 21
22411
223 5
25 UigU
Mcig
UigUiM ww γγγγ ϑµνµ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
−−
−−=− 21
22411
223 5
25 UigU
Mcig
UigUiM ww γγγγ ϑµνµ
( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]214113
855
2
2
UUUUMcigiM w γγγγ µ
µ −−−=−
3 ) Çift oluşumu; −+ +→+ eeγγ için Feynman diagramını çizip, bu diagrama göre
M amplitüdünü(genliğini) yazınız. EMT etkileşme olduğu için ikinci bir şekil daha var.
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )
( ) ( )qpp
qppVigcmqmcqi
VigiM ee
−−
+−−
+=−
4244
3144
222
2
24231
δπ
δπγεγ
γε νµµµ
µµ
4δ lü terimi integre edelim... ( )( ) ( )( ) ( )
( )∫ −−+−−
+4
4
4244
3144
222 222
πδπδπ
γ µµ qdqppqpp
cmqmcqi
buradan 13 ppq −= bulunur..
4 ) ( ) ( ) ( )duuudpuds −+→∧ π0 için Feynman diagramını çizip, bu diagrama göre M amplitüdünü(genliğini) yazınız. G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm V.2 2.sayfa
( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]214113
855
2
2
UUUUMcgM w γγγγ µ
µ −−=
( ) ( )[ ] ( )( )
( ) ( )[ ]4231222
13
Vigcmpp
mcqiVigiM ee
νµµµ
µµ γεγ
γε−−
+=−
( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]4231222
13
2
VigVcmpp
mcqigiM e
e νµµµµµ
γεγεγ
−−
+−=−
( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]4231222
13
2
VigVcmpp
mcqigiM e
e νµµµµµ
γεγεγ
−−
+−=−
( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]4231222
13
2
VigVcmpp
mcqigiM e
e νµµµµµ
γεγεγ
−−
+−=−
( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]4231222
13
2
VigVcmpp
mcqigiM e
e νµµµµµ
γεγεγ
−−
+−=−
( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]4231222
13
2
VigVcmpp
mcqgM e
e νµµµµµ
γεγεγ
−−
+=
5 ) uuee +→+ −+ Zayıf etkileşmesi için Feynman diagramını çizip, bu diagrama göre M amplitüdünü(genliğini) yazınız.
( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]22413
4
224134
54
52
2
54
52
2
CVccCUUccVMcgM
CVccCUUccVMcgiiM
fA
ffA
fz
fA
ffA
fz
γγγγ
γγγγ
νµνµ
νµνµ
−−=
−−−=−
+
+
6 ) ( ) ( ) ( )duuudpudd −+→∆ π0 için Feynman diagramını çizip, bu diagrama göre M amplitüdünü(genliğini) yazınız. G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm V.2 3.sayfa
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
−−
−−=−
+
+
25
4
215
3
2122
4
1122
3
CUCosigCU
Mcig
CUSinigCUiM
cw
cw
θγγ
θγγ
ν
µϑµ
( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]2
541
532
2
2141138
CUCosCUCUSinCUMcigiM cc
w θγγθγγ µµ −−−=− ++
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
−−
−−=− + 22
241
23 5
425 CVccigCU
Mcig
UccigViM fA
fzfA
fz γγγγ ννµϑ
νµ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
−−
−−=− + 22
241
23 5
425 CVccigCU
Mcig
UccigViM fA
fzfA
fz γγγγ ννµϑ
νµ
7 ) −− +→+ ee µµ νν Zayıf etkileşmesi için Feynman diagramını çizip, bu diagrama göre M amplitüdünü(genliğini) yazınız.
8 ) Aşağıdaki Feynman diagramı için etkileşme ifadesini yazıp, Feynman diagramına göre M amplitüdünü(genliğini) yazınız. G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm V.2 4.sayfa
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]2
541
532
2
25
415
32
2
25
4
215
3
2141138
2141138
2122
4
1122
3
CVCosCUCUSinCUMcgM
CVCosCUCUSinCUMcigiM
CVCosigCU
Mcig
CUSinigCUiM
ccw
ccw
cw
cw
θγγθγγ
θγγθγγ
θγγ
θγγ
µµ
µµ
ν
µνµ
−−=
−−−=−
−−
−−=−
++
++
+
+
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]2413
4
24134
22
412
3
552
2
552
2
52
5
UccUUccUMcgM
UccUUccUMcigiM
UccigUMcig
UccigUiM
fA
ffA
fz
fA
ffA
fz
fA
fzfA
fz
γγγγ
γγγγ
γγγγ
νµνµ
νµνµ
ννµν
νµ
−−=
−−−=−
−−
−−=−
9 ) ( ) ( ) eeuudpuddn ν++→ − için Feynman diagramını çizip, bu diagrama göre M amplitüdünü(genliğini) yazınız.
10 ) −+−+ +→+ eeee için Feynman diagramını çizip, bu diagrama göre M amplitüdünü(genliğini) yazınız. G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm V.2 5.sayfa
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]2413
2413
222
2
22413
**222
24
2
**222
24
2
24
4
4
4244
3144
222
4244
3144*
222*
VUcmpp
mcqgM
VUcmpp
mcqigiM
ppq
qdpqppqpcmqmcqi
pqp
pqpVigcmqmcqi
UigiM
e
e
ee
νµµµµµ
νµµµµµ
µµ
νµµµ
µµ
γεγεγ
γεγεγ
πδπδπ
γ
δπ
δπγεγ
γε
−−
+=
−−
+−=−
−=
−+−−−
+
−+
−−−
+=−
∫
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]214113
8
2141138
2122
41122
3
51
532
2
51
532
2
521
53
UUCUCosCUMcgM
UUCUCosCUMcigiM
UigUMcig
CUCosigCUiM
cw
cw
wc
w
γγθγγ
γγθγγ
γγθγγ
θµ
θµ
θµνµ
−−=
−−−=−
−−
−−=−
+
+
+
11 ) ddee +→+ −+ için Feynman diagramını çizip, bu diagrama göre M amplitüdünü(genliğini) yazınız.
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm V.2 6.sayfa
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]2413
2413
222
2
22413
22231
2
22231
2
31
4
4
2444
3144
222
2444
3144
222
VVUUcmpp
mcqgM
VVUUcmpp
mcqigiM
ppq
qdpqppqpcmqmcqi
pqp
pqpVigVcmqmcqi
UigUiM
e
e
ee
νµµµ
νµµµ
µµ
νµµ
µ
γγγ
γγγ
πδπδπ
γ
δπ
δπγγ
γ
−−
+=
−−
+−=−
−=
−+−−−
+
−+
−−−
+=−
∫
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]22413
4
224134
222
412
3
54
52
2
54
52
2
542
5
CUccCUUccVMcgM
CUccCUUccVMcigiM
CUccigCUMcig
UccigViM
fA
ffA
fz
fA
ffA
fz
fA
fzfA
fz
γγγγ
γγγγ
γγγγ
νν
νµ
νν
νµ
ννµν
νµ
−−=
−−−=−
−−
−−=−
+
+
+
KUANTUM ELEKTRO DİNAMİĞİ (QED) İÇİN FEYNMAN KURALLARI Feynman kurallarını kullanarak amplititünü (M) bulabiliriz. Bozunum oranlarını ve saçılım tesir kesitlerini hesaplamak için M kullanılır. ÖRNEK 1: µµ +−→+− ee İlk önce, QED’nin 1. kuralı gereği; gelen ve giden parçacıkların 4’lü momentumları Sırası ile 4,3,2,1 pppp olsun. Ara parçacığımız foton (γ ) dur ve 4’lü momentumu q
olarak gösterilir. Feynman diyagramını çizmek için vertex noktalarına gelen ve giden parçacıklar yerleştirilir. Her parçacık kendi türünden parçacıkla eşleşir. Bu sebeple 1. vertex noktasına gelen ve giden parçacıklar elektronlardır. 2. vertex noktasına gelen ve giden parçacıklar ise müonlardır. Feynman diyagramına U(1), U(2), U(3) ve U(4) parçacıkları sırasına göre yerleştirilir. U(3) ve U(4) vertexten çıkanları gösterdiği için üzerleri çizgilidir. Bunları belirttikten sonra şeklimizi aşağıdaki gibi çizebiliriz.
Şimdi sırasıyla kurallarını kullanarak Amplititüd(M) değeri belirlenebilir.
1. vertex için [ ])1())(3( UigU eµγ yazılır. Buradaki )( µγeig vertex faktörüdür.
Sonra propagatör(taşıyıcı) katkısı yazılır. Ara parçacığımız foton olduğu için QED
Feynman kurallarından (2q
igµν− ) yazılır. (ara parçacığı belirlerken vertexe gelen ve giden
parçacıkları dikkate alarak, vertexde yük korunumuna bakılır. Bu örnekte yük korunumunu sağlamak için ara parçacığın foton olması gerekir.)
2. vertex için [ ])2())(4( UigU eνγ yazılır. Vertex faktöründe ν indisi yazılır.
Enerji momentum korunumu için her bir vertexe ait bir delta fonksiyonu yazılır.
)()2(31
44 qpp −−δπ ve )()2(42
44 pqp −+δπ bu fonksiyonlarda Feynman
kurallarına uygu olarak yazılır.
Son olarak ara parçacık üzerinden integre edilir. ∫ qd 44)2(
1π
Yazılanların hepsini birleştirirsek: G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm V.2 7. sayfa
[ ] [ ])2())(4()1())(3(2
UigUq
igUigU ee
νµνµ γγ
− )()2(
3144 qpp −−δπ
)()2(42
44 pqp −+δπ ∫ qd 44)2(
1π
enerji-momentum korunumundan yararlanarak, ikinci vertex noktasında 24 ppq −= yazılabilir. Böylece denklemimizde delta fonksiyonları yok olur ve kalan –iM’ ye eşitlenir.
[ ] [ ])2())(4()1())(3(2
UigUq
igUigUiM ee
νµνµ γγ
−=−
µν
µνγγ =g olur.
( )[ ][ ])2())(4()1())(3()(
224
2UUUU
ppgM e
µµ γγ
−−= bulunur.
ÖRNEK 2: +−+− +→+ eeee
İlk önce 1. kuralımız gereği; gelen ve giden parçacıkların 4’lü momentumları Sırası ile 4,3,2,1 pppp olsun. Ara parçacığımız foton (γ ) dur ve 4’lü momentumu q
olarak gösterilir. Feynman diyagramını çizmek için vertex noktalarına gelen ve giden parçacıklar yerleştirilir. Her parçacık kendi türünden parçacıkla eşleşir. Bu sebeple 1. vertex noktasına gelen ve giden parçacıklar elektronlardır. 2. vertex noktamıza gelen ve giden parçacıklar ise pozitronlardır. Feynman diyagramına U(1), V(2), U(3) ve V(4) parçacıkları sırasına göre yerleştirilir. U(3) ve V(4) vertexten çıkanları gösterdiği için üzerleri çizgilidir. Bunları belirttikten sonra şekil aşağıdaki gibi çizilebilir.
G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm V.2 8. sayfa
Şimdi sırasıyla kuralları kullanarak denklem oluşturulur. 1. vertex için )1())(3( UigU e
µγ yazılır. Buradaki )( µγeig vertex faktörüdür. Sonra propagatör(taşıyıcı) katksı yazılır. Ara parçacığımız foton olduğu için Feynman
kurallarından(2q
igµν− ) yazılır. Bu örnekte yük korunumunu sağlamak için ara parçacığın
foton olması gerekir.
2. vertex için )2())(4( VigV eνγ yazılır. Vertex faktöründe indis olarak ν yazılır.
Enerji momentum korunumu için her bir vertexe ait bir delta fonksiyonu yazılır.
)()2(31
44 qpp −−δπ ve )()2(42
44 pqp −+δπ bu fonksiyonlar kurallara
uygun olarak yazılmalıdır.
Son olarak ara parçacık üzerinden integre edilir. ∫ qd 44)2(
1
π
Yazılanların hepsini birleştirirsek:
[ ] [ ])2())(4()1())(3(2
VigVq
igUigU ee
νµνµ γγ
− )()2(
3144 qpp −−δπ
)()2(42
44 pqp −+δπ ∫ qd 44)2(
1π
enerji-momentum korunumundan yararlanarak ikinci vertex noktasında 24 ppq −= yazılabilir. Denklemimizde delta fonksiyonları yok edilir ve kalan –iM’ ye eşitlenir.
[ ] [ ])2())(4()1())(3(2
VigVq
igUigUiM ee
νµνµ γγ
−=−
µν
µνγγ =g olur.
( )[ ][ ])2())(4()1())(3()(
224
2VVUU
ppgM e
µµ γγ
−−= bulunur.
G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm V.2 9. sayfa
ÖRNEK 3. −−−− +→+ eeee ilk iki örnekte olduğu gibi bütün işlemler tekrarlanır. Fakat burada iki farklı eşleşme olması mümkündür. Bu durumlarda her iki eşleşme için M1 ve M2 bulunur. M= M1+M2 olur. Bu örnekte yük korunumunu sağlamak için ara parçacığın foton olması gerekir.
( )[ ] ( )[ ]( ) ( )
( ) ( )( )
∫−+
−−
−
qdpqp
qppUigUq
igUigU ee
4
4
44
442
2
1422
312)2()4()1()3(
πδπ
δπγγ νµνµ
31 ppq −= ve µν
µν γγ =g yazılabilir.
( )( )
( )[ ] ( )[ ])2()4()1()3(231
2
1 UUUUpp
gM eµ
µ γγ−
−=
Olur. M2 için:
G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm V.2 10. sayfa
( )[ ] ( )[ ]( ) ( )
( ) ( )( )
∫−+
−−
−
qdpqp
qppUigUq
igUigU ee
4
4
44
442
2
1322
412)2()3()1()4(
πδπ
δπγγ νµνµ
41 ppq −= ve µν
µν γγ =g yazılabilir.
( )( )
( )[ ] ( )[ ])2()3()1()4(241
2
2 UUUUpp
gM eµ
µ γγ−
−=
olarak bulunur.
KUANTUM CHROMO DİNAMİĞİ (QCD) İÇİN FEYNMAN KURALLARI ÖRNEK 1. dudu +→+ P(momentum), S(spin), C(renk) olmak üzere bütün dış çizgileri belirterek diyagramımız aşağıdaki gibi yazılır. Aynı türden parçacıklar eşleştirilerek vertex noktalarında birleştirilir. Ara parçacığımız gluondur. Anti-kuarklar V ile gösterilir. U(3) ile V(2) ve bunların renk faktörleri C(3) ile C(2) vertexten çıkan olduğu için üzerleri çizgilidir.
1. vertex için
−+
13 )1(2
)3( CUigCU s µαγλ yazılır.
Propagatör(taşıyıcı) için ara parçacığımız gluon olduğundan
− 2q
ig αβµν δ
katkısı yazılır. Bu örnekte yük korunumunu sağlamak için ara parçacığın gluon olması gerekir.
G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm V.2 11. sayfa
2. vertex için
−+
42 )4(2
)2( CVigCV s νβ γλ yazılır.
QED olduğu gibi enerji-momentum korunumu için her bir vertexe ait birer delta fonksiyonu yazılıp, sonra yok edilerek kalan ifade –iM’ye eşitlenir.
−
−=− +
213 )1(2
)3(q
igCUigCUiM s
αβµνµα δ
γλ
−+
42 )4(2
)2( CVigCV s νβγλ
µν
µν γγ =g yazılabilir. Ve gerekli düzenlemeler yapıldığında denklem şu hale gelir.
( )( )
[ ][ ][ ][ ]42132
2
)4()2()1()3(2
CCCCVVUUq
gM s ααµ
µ λλγγ ++−=
Sonra [ ][ ]421341 CCCCf αα λλ ++= olarak tanımlanır ve değeri bulunur.
Burada renklerimiz C1 ve C3 kırmızı olsun yani
==
001
31 CC
C2 ve C4 mavi olsun yani
==
010
42 CC olur.
Bunları f de yerine koyarsak.
( ) ( ) αααα λλλλ 221141
010
010001
00141
=
=f burada birinci kare
parantezde, birinci satır birinci sütunu 1 olan bir matris çıkar. İkinci kare parantezde ise ikinci satır ikinci sütunu 1 olan bir matris çıkar. λ ’lar Gell-Man Matrisleridir. Bu matrislerin
değerleri yerine konulursa sonuç aşağıdaki gibi olur. G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm V.2 12. sayfa
[ ]61)
31)(
31()1)(1(
41
41 8
22811
322
311 −=
+−=+= λλλλf
ÖRNEK 2. dudu +→+ P(momentum), S(spin), C(renk) olmak üzere bütün dış çizgileri belirterek diyagramımız aşağıdaki gibi yazılır. Aynı parçacıklar eşleştirilerek vertex noktalarında birleştirilir. Ara parçacığımız gluondur. U(3) ile U(4) ve bunların renk faktörleri C3 ile C4 vertexten çıkan olduğu için üzerleri çizgilidir.
1. vertex için
−+
13 )1(2
)3( CUigCU s µαγλ yazılır.
Propagatör(taşıyıcı) için ara parçacığımız gluon olduğundan
− 2q
ig αβµν δ
katkısı yazılır. Bu örnekte yük korunumunu sağlamak için ara
parçacığın gluon olması gerekir.
2. vertex için
−+
24 )2(2
)4( CUigCU s νβ γλ yazılır.
QED olduğu gibi enerji-momentum korunumu için her vertex için bir delta fonksiyonu yazılır ve sonra yok edilerek kalan ifade –iM’ye eşitlenir.
−
−=− +
213 )1(2
)3(q
igCUigCUiM s
αβµνµα δ
γλ
−+
24 )2(2
)4( CUigCU s νβ γλ
µν
µν γγ =g yazılabilir. Ve gerekli düzenlemeler yapıldığında denklem şu hale gelir.
G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm V.2 13. sayfa
( )( )
[ ][ ][ ][ ]24132
2
)2()4()1()3(2
CCCCUUUUq
gM s ααµ
µ λλγγ ++−=
Sonra [ ][ ]241341 CCCCf αα λλ ++= olarak tanımlanır ve değeri bulunur.
Burada renklerimizC1,C2, C3 ve C4 kırmızı olsun yani
====
001
4321 CCCC olur.
Bunları f de yerine koyarsak.
( ) ( ) αααα λλλλ 111141
001
001001
00141
=
=f burada birinci kare
parantezde, birinci satır birinci sütunu 1 olan bir matris çıkar. İkinci kare parantezde ise birinci satır birinci sütunu 1 olan bir matris çıkar. λ ’lar Gell-Man Matrisleridir.
[ ]31)
31)(
31()1)(1(
41
41 8
11811
311
311 =
+=+= λλλλf
ÖRNEK 3. gguu +→+ Bu etkileşme üç farklı şekilde olabilir. Her bir şekli bir önceki sorularda yapıldığı biçimde aşağıdaki şekilde çizilebilir.
1. şekil:
M1 için: G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm V.2 14. sayfa
Notasyonları uygun şekilde yerleştirerek diyagram çizilebilir. Bu durumda ara parçacığımız quarktır. Çünkü vertexe giren ve çıkan parçacıkların yükleri ancak bu şekilde eşitlenebilir.
1. vertex için;
∈
− ∗∗+ βνβ
νγλ 442 2
)2( aigCV s yazılır.
2. vertex için;
−∈ ∗∗
133 )1(2
CUiga s µαα γλµ yazılır.
Propagatör için; ( )
−+
222 cmqmcqi
yazılır.
Enerji momentum korunumu için delta fonksiyonları tanımlanıp, yok edilirse ve kalan terim –iM’ye eşitlenirse denklem aşağıdaki hale gelir
( )
−∈
−+
∈
−=−
∗∗
∗∗+
133
222442
)1(2
2)2(
CUiga
cmqmcqiaigCViM
s
s
µαα
βνβ
γλ
γλ
µ
ν
.
Burada 31 ppq −= yazılarak yeniden düzenlenirse;
[ ] ( )1243331431
2
1 )1()()2(18
CCaaUmcppUpp
gM s αββα λλ+∈+−∈−= olur.
2. şekil
Notasyonları uygun şekilde yerleştirerek diyagram çizilebilir. Bu durumda ara parçacığımız quarktır. Çünkü vertex noktalarında yükkorunmu ancak bu şekilde sağlanıyor. G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm V.2 15. sayfa
1.vertex için;
−∈ ∗∗
144 )1(2
CUiga s µαα γλµ
yazılır.
2.vertex için;
∈
− ∗∗+ βνβ
νγλ 332 2
)2( aigCV s yazılır.
Propagatör için; ( )
−+
222 cmqmcqi
yazılır.
Enerji momentum korunumu için delta fonksiyonları tanımlanıp, yok edilirse ve kalan terim –iM’ye eşitlenirse denklem aşağıdaki hale gelir
( )
∈
−
−+
−∈=−
∗∗
∗∗
+ βνβ
µαα
ν
µ
γλ
γλ
332
222144
2)2(
)1(2
aigCV
cmqmcqiCUigaiM
s
s
.
Burada 41 ppq −= yazılarak yeniden düzenlenirse;
[ ] ( )1234431341
2
2 )1()()2(18
CCaaUmcppUpp
gM s βαβα λλ+∈+−∈−= olur.
3. Şekil
M3 için; şeklimizi izleyerek denklemi oluşturabiliriz.
1. vertex için;
−+
12 )1(2
)2( CUigCU sσ
δ γλ yazılır.
2. vertex için; ( ) ( ) ( )[ ] [ ]βν
νλµµνλλµναβγαµ
44343433 apqgpqgppgfga s ∈++−−+−−∈
G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm V.2 16. sayfa
Propagatör için;
− 2q
giδγσλδ
yazılır.
Burada 43 ppq += yazılabilir. Aynı zamanda 432 2 ppq = yazılabilir. Denklem
düzenlenirse aşağıdaki halini alır.
( )( ) ( ) ( )[ ]
( )1243
434343344343
2
3 )1(22)2(14
CCaaf
UppppUpp
giM s
γβααβγ λ+×
∈∈−∈∈+−∈∈=
Olur. Toplam M ise 321 MMMM ++= şeklinde tanımlanır.
ZAYIF ETKİLEŞME İÇİN FEYNMAN KURALLARI ÖRNEK 1. ( ) ( ) ( )duuudpudd −+→∆ π0 Feynman diyagramı aşağıdaki gibi çizilir. Pionun up kuarkı anti olduğu için sanki etkileşmeye giriyormuş gibi çizilir. Dolayısıyla 1 vertexe delta parçacığı girer proton çıkar, ikinci vertexe
de pionun up kuarkı girer yine pionun down kuarkı çıkar. Ara parçacığımız −W olu çünkü vertex noktalarında yük korunumu ancak bu şekilde sağlanır.
1. vertex için:
−−+
15
3 )1(sin)1(22
)3( CUigCU cw θγγ µ yazılır. d-kuarkı
girip, u-kuarkı çıktığı için vertex katkısına cθsin eklenir. G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm V.2 17. sayfa
Ara parçacığımız −W olduğundan, propagatör 2)(Mcigµν olur.
2. vertex için:
−−+
25
4 )2(cos)1(22
)4( CUigCU cw θγγ ν yazılır. u-kuarkı
girip, d-kuarkı çıktığı için vertex katkısına cθcos eklenir. Delta fonksiyonlarını yazıp, integre ettikten sonra yok ederek kalanı iM− ye eşitleriz. Denklemimiz aşağıdaki gibi olur.
=− iM
−−+
15
3 )1(sin)1(22
)3( CUigCU cw θγγ µ
2)(Mcigµν
−−+
25
4 )2(cos)1(22
)4( CUigCU cw θγγ ν
Denklem düzenlenirse;
=M( )2
2
8 Mcgw ( )[ ]1
53 )1(sin)1()3( CUCU cθγγ µ −+
( )[ ]25
4 )2(cos)1()4( CUCU cθγγ µ −+ olur. ÖRNEK 2. eesc ν+−+→ Charm parçacığının bozunumunda da zayıf etkileşme söz konusudur. Bozunumun feynman diyagramı çizilmek istenirse; aynı türden parçacıklar eşleştirilerek yapılabilir. Yani Birinci vertex noktasına giren ve çıkan parçacıklar sırasıyla c ve s quarklarıdır. İkinci veretxe giren ve çıkan parçacıklar ise sırasıyla nötrüno ve elektrondur. Ara parçacık W- olarak diğer örneklerde olduğu gibi hesaplanır. Bunların ışığında feynman diyagramı aşağıdaki gibi çizilir.
1 vertex için; ( )
−
− )1(1
22)3( 5 UigU w γγ µ yazılır. Burada ( )51
22γγ µ −
− wig
veretx faktörüdür. G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm V.2 18. sayfa
2 vertex için ( )
−
− )2(1
22)4( 5 UigU w γγ ν yazılır. Burada ( )51
22γγ µ −
− wig
vertex faktörüdür.
Paropagatör için;
− 2)(Mc
igµν yazılır.
Enerji-momentum korunumu içi delta fonksiyonları yazılır. Delta foksiyonları her vertex için yazılır. ( ) ( )qpp −− 31
442 δπ ve ( ) ( )qpp +− 421442 δπ yazılır. Ara momentumlar için
integre edilip, delta fonksiyonu ihmal edilerek kalan terim –iM ye eşitlenir.
( )
−
− )1(1
22)3( 5 UigU w γγ µ
− 2)(Mc
igµν ( )
−
− )2(1
22)4( 5 UigU w γγ ν
( ) ( )qpp −− 31442 δπ ( ) ( )qpp +− 421
442 δπ ∫ 4
4
)2( πqd
burada qpp += 31 yada 31 ppq −= yazılarak denklem düzenlenirse şu hale gelir.
M= 2
2
)(8)(
Mcgw ( )
−
− )1(1
22)3( 5 UigU w γγ µ ( )
−
− )2(1
22)4( 5 UigU w γγ µ
Olur.
G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notları, Bölüm V.2 19. sayfa
BÖLÜM VI ALAN TEORİLERİNE GİRİŞ VI. 3 BAZI ALAN MODELLERİNDE İNSTANTON VE MERON ÇÖZÜMLERİ Önceki kısımda Alan Modelleri hareket denklemlerinin klasik çözümlerin ele almış ve bu çözümlerin bir sınıflandırmasını yapmıştık. Ayrıca Konformal simetriye sahip alan modellerini gözden geçirmiş, konformal simetriyi kıran instanton ve meron tipi çözümleri ele almıştık ve bu çözümlerin fiziksel özelliklerini kısaca incelemiştik. Şimdi bu kısımda bazı konformal simetriye sahip alan modellerini gözden geçireceğiz ve bu modellerin instanton ve meron tipi çözümlerini bulacağız. 1- Thiring Modeli (Ann. Phys. 3,91 (1958)) Konformal simetriye sahip olan Thiring Modeli iki (oklidyen ve uzay-zaman) boyutludur ve modelin Lagrange fonksiyonu
( ) 2
321
terimiEtkileşme
terimKinetik
giL ψψψψ +∂/=
dır. Burada;
( ). : .
) ( , 21
matrisispinPauli
xxalanıfermiyon T
σσ
ψψψψψ
∂=∂/
==→rr
Modelin hareket denklemleri , Euler Lagrange formalizminden
1.Yol:
µ
µ
µµµ
µ φφµ
∂=∂∂
∂=∂∂
∂∂∂
∂∂
=∂∂
∂
xxL
xL ,
)(
olmak üzere ve iki ψψ ve alanları dikkate alındığında
σψψ
ψσψψψψψ µ
µ iLiiLL=
∂∂∂
⇒∂=∂/
∂∂∂
∂=∂∂
)(.
)(
rr
[ ]denklemi.hareket 2. 0)(2-
)(2=+∂⇒
∂=∂=
ψψψσψ
σψσψψψψ
µ
µµ
giiig
r
r
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm VI.3 1.sayfa
)(
∂∂∂
∂=∂∂
ψψ µ
µ
LL
Konformal simetrinin < 0 ΨΨ 0 > ≠ 0 esinlenerek, ( ) cx
xiα
σψ
21.1
++
=rr
→ instantan tipi
bir ön çözüm düşünebiliriz. Burada c→ sabit bir spinör alanı c=
2
1
cc
dir.
(Bu konuda ve çözüm hakkında daha ayrıntılı bilgi için bakınız; G. Akdeniz and A. Smailagic, Nuovo CimentoA). 51,345 (1979)
→+=∂=∂/ jirrrrr
21, . σσσσ iki boyutta ,(4 boyutta olsaydı DİRAC matrisi γ lar gelirdi). ji
rrr21 ∂+∂=∂
22
21
2212211 , , . xxxjxixxxxx +=+=+=rrrrr
σσσ İki hareket denklemi de aynı formda olduğundan, birinci denklemi ele alıyoruz.
0)(2 =+∂/ ψψψψ gi
( ) ( ) ( )( )[ ]
( )ααα
σσσψψψ
222 1).(1)(
1)).(1(
1.1~
xxic
xcxic
xxi T
T
TT
T
+−
=
+−
=
++
===∗
∗∗∗
∗
∗∗
rrrrrr
( ) ( ) 221122112211 , .~~).( σσσσσσσσσσ ===+=+= ∗∗∗∗∗ TTxxxxxx rrrr
( )
α
σψ
)1(.1
2xxic
+−
=rr
bulunur.
Şimdi ?=ψψ bunu bulalım. ( )
( ) cx
xix
xic αα
σσψψ
22 1).1(
)1(.1
++
+−
=rrrr
2).(..1).1)(.1( xxixixixi rrrrrrrrrrσσσσσ ++−=+−
222
21
22
I
2212122121
21
I
2122112211
2
))(().(12
xxx
xxxxxxxxxxx
=+=
+++=++=−
σσσσσσσσσσσσσ321
rr
12222
2
)1()1()1(
−+=
++
= ααψψx
cccxxc bulunur. 2211 ,
xx ∂∂
=∂∂∂
=∂
[ ]( )
[ ] .1)(1
1 ; 1
)(1)( 22
22112211 cxi
xxcxxi rr
σσσ
σσψαα +
++++
∂+∂=∂/ şeklinde
düşünelim. ( )( )
[ ] ( )( )
[ ]
( ) [ ]
ααα
αα
α
α
α
α
σα
σσσσσσσσασσ
σσασ
σσασ
)1(2
)1().(2
)1(2
)1()()(2
11
)(11
21)(11
21
212
2
2
12
22
222112222121
21
2111
I
22
I
212
221122
2
122
221122
1
121
xic
xcixx
xic
cx
xxxixxxxixciix
cxxix
xxcxxix
xx
++
++
−=+
+
++++++
−=
+
++
++++
−++++
−=
+
+
−−
rr
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm VI.3 2.sayfa
Hareket denklemimiz: 0)(2 =+∂/ ψψψψ gi şeklindeydi. Yukarıda bulduklarımızı denklemde yerine koyarsak
[ ]13212
2
13212
222
21222
2
12
2
)1().1(2
)1(.2)1(22
)1().1(2
)1()1(2).(2
)1().1(
)1(2
)1(2
)1().(2
−+
−+
−+
++
−=+
−−+⇒
++
−=+
+++−
++
+−=
++
++
−
αα
αα
αααα
γγαα
γγα
γγα
xcxiccg
xcxixii
xcxiccg
xcxicixxi
xcxi
xccg
xci
xcixxi
rrrr
rrrr
rrrr
122131 =⇒=⇒−=+ αααα
yanlıştır. çıkarsa bağlı e' çıkmamalı, bağlı e' ; 1).1(2).1(2
).1(2.22
xxccg
ccxiccgxi
xiccgxi
=⇒+=+
+−=−−⇒rrrr
rrrr
γγ
γγ
Böylece Thiring Modeli için cx
xi21.1
++
=⇒rr
γψ spinor tipi instanton çözümü bulunur.
Bu çözüm için Aksiyonu bulmak istersek:
grdrr
g
rxrxrxrddrr
gxd
xgA
xgL
xgxcc
xgg
xcxc
xccg
xcxii
xxicigiL
xdLAS
ππ
θθθ
γγψψψψ
π
−=+
−=
=⇒==+
−=+
−=
+−=
++
+−=
++
++
−=
++
++
+−
=+∂/=
==
∫
∫ ∫∫∫
∫∫
∞
∞
43421
rrrr
2/1
022
22
0
2
02122
222
22
222222232
2
22
2
2222
2
)1( 2
cos , sin )1(
1)1(
11
)1(11
olmalı.eşit mertebeler )1(
11)1(
2)1(
11)1(
)1(2)1(
)()1(
).1(21
).1()(
2- Sigma Modeli (İç Simetrili) : İki boyutlu, Konformal simetriye sahip olan Modelin
lagrange fonksiyonu
( ) ),( 12
)(21
211 1
22 xxxmLN N
ααα α
ααµ φφφφ =
−−∂= ∑ ∑
= =
;∑=
=N
11
ααφ
ile verilmektedir. (Bu model hakkında daha ayrıntılı bilgi için bakınız; V. de Alfora, E. Fubini and G. Furlan; Phys. Lett. 5B,163(1976)) . Bu modelin hareket denklemlerini bulunuz ve modelin G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm VI.3 3.sayfa
3 ; 0 , 11 1,2
12
2
2
32 >=+−
==+
= αφφαδφ αµαµ
α xx
xx
çözümleri olduğunu gösteriniz. Bu çözümler için aksiyonun sonlu olduğunu göstererek çözümlerin instanton özelliklerine sahip olduğunu kanıtlayınız. Bu kez hareket denklemlerini varyasyon ( modelin Lagrange fonksiyonunu minimize ederek) bulalım, yani ∫ == 0S 2 δxLdS → (minimize etmek)
( ) 012
)(210 2
1 1
22 =
−−∂== ∫ ∑ ∑
= =
xdxmSN N
α αααµ φφδδ
( ) ( ) αµαµαµµ
µµ
αµ
α α
αα
αα
αµαµ
φφφφδ
δφφδφφδφ
∂∂=∂=∂=
=
−
−−∂∂= ∫ ∑ ∑∑
= ==
22
2
1 11
2
,
022
)()(121)()(2
21
AAAdV
xdxmxmN NN
=∂∂=∂== αµµ
αµα φφδφ du , uV αφ ∫ ∫−= vduuvudv
= ∫ ∑
−
=
N
1(
α
]∑∑==
=−
−−
NN
xdxmxm1
2
1
2 0)()(121)
α
αα
αα
αα δφφδφδφφ
= (∫ ∑
−
=
N
1α
) ] 0)(121)( 2
1
2 =
−−− ∑
=
xdxmxmN
δφδφφφα
αα
αα
O halde hareket denklemlerimiz:
∑=
N
1(
α
0))( =+ αα φφ xm (1) , ∑∑==
=⇒=
−−
NN
1
2
1
2 10121
αα
αα φφ (2)
(1) . denklemi soldan φα ile çarpalım
∑=
N
1ααφ ∑∑
==
−==+NN
xmxm1
denk. (2). 1
1
2 )( 0)(α
αα
αα φφφ321
αφ Bunu (1)de yerine koyalım.
∑=
−N
1
(β
βα φφ 0) =αβ φφ
Bu denklemlerin çözümü için, aşağıdaki instanton tipi
3 ; 0 , 11 1,2
12
2
2
32 >=+−
==+
= αφφαδφ αµαµ
α xx
xx
çözümleri veriliyor.
0212
2112
1121 1
21
212
δδδφ µµ
xx
xx
xx
++
+=
+= 2
222
11 1
2 ,
12
xx
xx
+=
+=⇒ φφ
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm VI.3 4.sayfa
∑=
N
1ββφ 1φφβ = 21 φφ + 32 φφ + 43 φφ + .....4 +φ
22
12
21
12
122
111
11 xx ∂∂
+∂∂
=∂∂+∂∂=∂∂=φφ
φφφφ µµ
22
21
2
2211
2
21
11
1
)1(4)1(2
)1(22)1(2
12
xxx
xxxx
xx
xx +−+
=+
−+=
+∂∂
=∂∂φ
( )( ) ( )[ ] ( )( )
( )( )32
31
21
42
12
1222
1121
12
1
16112
1
212412184
xxxx
xxxxxxxx
x +
++−=
+
+−+−+−=
∂∂ φ
( ) ( )22
2122
21
2
1
1
4
1
22
xxx
xxx
x +−=
+−=
∂∂φ
( )( ) ( )( )
( )( )32
221
21
42
22
2122
122
12
1
1614
1
212414
xxxxx
xxxxxxx
x +
++−=
+
+++−=
∂∂ φ
⇒ 32
21
21
1 )1(16)1(16
xxxxx
+
++−=φ
⇒ 1φ 42
221
221
1 )1(32)1(32
xxxxx
+
++−=φ
⇒ 2φ 42
222
222
2 )1(32)1(32
xxxxx
+++−
=φ
22
32
21
32
3 xx ∂∂
+∂∂
=φφ
φ
( ) ( )( ) ( )22
122
122
12
2
11
3
1
4
1
211211
xx
xxxxx
xx
xx +
−=
+
−−+−=
+−
∂∂
=∂∂φ
( ) ( )( )
( )( )
( )( )32
22
2
22
32
32
21
2
42
12
12
21
32
1
16141
16141
212414
xxx
x
xxx
xxxxx
x
+
++−=
∂
∂
+
++−=
+
+++−=
∂
∂
φ
φ
⇒ 332
2
3 )1()1(8
φφ ⇒+
−−=
xx
42
22
3 )1()1(8
xx
+−−
=φ ⇒∑=
N
1ββφ 22 )1(
8x+
−=βφ bulunur.
∑=
−N
1
(β
βα φφ 0) =αβ φφ
α=1 için
( )
01
81221 =
++ φφ
x(?)
( )( ) ( ) ( )
01
16161616116
116116
32
12
12
1132
132
21
21 =
+
++−−=
++
+
++−
xxxxxxx
xx
xxxxx çıkar.
( )
01
83323 =
++ φφ
x(?)
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm VI.3 5.sayfa
( )( ) ( )
( )( ) 011
18
118
2
2
2232
2
=+−
++
+
−−xx
xxx olduğu görülür.
L= ( )
−−∂ ∑∑
==
12
)(21
1
2
1
2NN xm
αααµ φφ
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
−++−∂+∂+∂+∂+∂+∂=
−++−∂+∂+∂=
44 344 21olur. 0
23
22
21
232
231
222
221
212
211
23
22
21
23
22
21
12
)(21
12
)(21
φφφφφφφφφ
φφφφφφ µµµ
xm
xm
∫ ∫ ∫ ∫ ∫∞+
∞
∞+
∞−
∞ ∞
=+
=+
=+
=
+=⇒
=++
=+
++=
+
−++=++
+−
=+
=+
=
- 0
2
0 0222222
2
22
22
22
22
24
22
24223
22
21
22
222322
222
122
212
1
4)1(
dr 8)1(
d 4)1(
4S
,kullanarak da arınıkoordinatlpolar Buradan bulunur. )1(
4
1)1()1(
)1(12
)1(214
)1()1( ,
)1(4 ,
)1(4
π
ππθ
φφφ
φφφ
rr
rdrr
xxd
xL
xx
xxx
xxxx
xx
xx
xx
çözümler için sonlu aksiyon bulunur. Bu da çözümlerin instanton tipi çözümler olduğunun bir kanıtıdır. G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm VI.3 6.sayfa
3) 4φ Teorisi
422
421
21
ϕλ
ϕϕϕ µµ +−∂∂= mL Lagrange fonksiyonu ile bilinir.
a )Modelin hareket denklemini bulunuz.
b) Bu modelin tek boyutlu 2
2xATghm=ϕ çözümü için A yı tayin ediniz.
Çözüm
a) ( )
∂∂∂
∂=∂∂
ϕϕ µµ
µ
LL m, x'e baglı olmadıgı için onu yazmadık.
( ) ( ) ( )222 ϕϕϕϕϕ µµ
µµµ ∂=∂∂∂=∂
32 44
221
ϕλ
ϕϕµ
+−=∂∂ mL
( ) =∂∂
=
∂∂∂
∂ ϕϕ µ
µ
µ
µ
22L ϕ =
∂∂
2
2
xϕ ϕ
olduklarından, hareket denklemi 032 =−+ λϕϕϕ m bulunur. b ) Verilen cözüm için;
−=
∂∂
21
2
22
2
xmhTgxxAm
xϕ
( )( )
( )hUTgUChU
UTghU 22 1−′=
′=′
( ) ( ) 221
21
2
222
2
2222
232
2
232
2
2
2 xmTghxmhTgx
xmAxmhTgx
x
x
xAmx
−−
−
−=
∂∂ ϕ
Bulduklarımızı hareket denkleminde yerine yazarsak
02222
13
233
22
2222 =
−+
−−=
xmhTgAxmATghmxmTghxmhTgAm λ
−++−=
21
21
2
222
2
22
22 xmhTgA
mxmhTgxmTghAm λ
012
0
2
2232 =
−=43421 mAAxmhTgm λ
λλ mAmA
m==⇒ 12
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları Bölüm VI.3 7. sayfa
4 ) İki boyutlu , ( ) βφµφ emL 22
21
+∂= (Louville Modelinin) hareket denklemlerini bulunuz
ve
+=
2
22 122ln
xB
mAφ şeklindeki bir çözüm olabilmesi için β 'yı uygun seçerek A ve
B arasındaki ilişkiyi bulunuz.. Aksiyonu hesaplayınız. (Burada 22
21
2 xxx += dir.)
Hareket denklemi; S= 02 =∫ xLdδ yöntemiyle
βφβφ em2= olarak bulunur. Verilen
+=
2
22 122ln
xB
mAφ çözümünü hareket denkleminde yerine koyarsak.
22
2
21
2
xx ∂∂
+∂∂
=φφ
φ ⇒ 22
2
221
1
1 14,
14
xAx
xxAx
x +−=
∂∂
+−=
∂∂ φφ
( )( )
( )( )22
22
2
22
2
22
21
2
21
2
1814,
1814
xAxxA
xxAxxA
x +
++−=
∂∂
+
++−=
∂∂ φφ
( )
( ) ( )2222
22
18
1818
xA
xAxxA
+−=
+
++−=φ
( ) ABA
xB
mxB
mAe 1,
122
122lnexp
2
22
2
22 ==
+=
+
= ββββφ
( )22
2
222
22 124
18 AB
xB
mABm
xA
−=⇒
+=
+− bulunur.
Aksiyon hesabı için;
( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )22
22
22
222
12
2
22
2
2
118
18
21
21
12ln
xxA
xA
mmL
yazarsak, yerine ndafonksiyonu Lagrangeçözümünü xAA
mA
++
−=+−
+∂+∂=
+−
=
φφφ
φ
µ
( )( )∫ ∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
=−
−−== 22
22
22
21 321116 ARdr
RRAdxLdxS ππ
−−=−=
=±=⇒=−
−− 21,
21,2
21
201
212
111
2
πAA
miRR
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları Bölüm VI.3 8. sayfa
5) Ters işaretli süper simetrik model. (Akdeniz-Dane modeli) (C. Dane and G. Akdeniz) Lett. in Math. Phys. 9,205(1985)
( ) ( ) sbtmgememiL =+++∂/+∂=2
22
22
2221
ψψψψβ
ψψφφββφ
µ
a ) Hareket denklemlerini bulunuz? b )
( ) ?.1
22ln11
.1 2
222 nedirCCveA için çözümler BuveriliyorxA
mveC
xxi
+=
++
=β
φγ
ψrr
işkenler
xLd
deg,,
02
ψψφ
δ∫ =
üç hareket denklemi bulmalıyız.
( ) ( )
( ) ( ) δψψψψψψδψψδψψψψδ
δφψψβφ
δφββ
ψδψψψδφφδδ
φβφβ
φββφµµ
ggemem
ememiixLd
222222
2222
210
22
22
22
++++
++∂/+∂/+∂∂== ∫
( ) δφφδ µ =→=∂ vdv
=∂∂=→∂= φφ µµ
µ duu φ
∫ ∫ ∫−=−= vduuvudv φδφ
( ) ∫ ∂/−=∂/ δψψψδψ ii
( )
( ) 0222
0222
2
2
=++∂/→
=++∂/−→
ψψψψψψδ
ψψψψψδψ
φβ
φβ
gemi
gemi
→δφ - 0222
22
2
=++ ψψβ
ββ
φφββφ emem
( ) ( )( )2222 1
.1211
.1x
CxiixCC
xxiC
+
+=∂/
+=
+−
=rrrr
γψψψ
γψ
22
2
21
2
xx ∂∂
+∂∂
=φφ
φ
( )( )
( )22
21
2
21
2
21
1 18141
14
xxx
xxx
x +
−+−=
∂∂
→+
−=∂∂
βφ
βφ
( )
222
21221
8 xxxx
=++
−=β
φ
ψψβ
βφ φββφ 2
2
24−+= emem
G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları Bölüm VI.3 9. sayfa
( ) ueue u =′
=′
ln2φ
β
( )+
+=
+−
2
22
2
22 122
18
xA
mm
x ββ22 11
2224 x
CCxA
mm
+
+β
( )A
ACC 2
2116β
+−=
bulunur ve yerine yazarsak A için, ( )
( )( )g
ggA
gAAg
3223212842
032232
2
222
2,1
222
−−+
=⇒
=−−−
ββββ
ββ
m
bulunur. 6) 4 boyutlu Konformal invaryant Gürsey Modeli (1956)
( ) 34
2ψψψψ giL +∂/=
Lagrange fonksiyonu ile verilir. Bu modelin İnstanton tipi
( )C
xaxia
322
.+
±=
γψ
çözüm için ( ) gaCC 33
1= olduğunu gösteriniz.
Meron tipi
( ) ( )
±=
2124
32
.11
x
xix
γψ
çözüm için ( )g
CC 1892 3
1= olduğunu gözteriniz. (G.Akdeniz, Nuovo Cim. Lett. Vol. 33 ,
40-44 (1982)) 7) 2- Boyutlu bir gravitasyonel modelin Lagrange fonksiyonu
βφφφ aetx
L +
∂∂
+
∂∂
=22
21 ile verilmektedir. Bu modelin instanton tipi çözümünün
++=
2
221ln
txCBAφ şeklinde bir logaritmik formda olabilmesi için A, B ve C
arasındaki bağıntıyı βα ve cinsinden tayin ediniz.
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm VI.3 10.sayfa
BÖLÜM VI
ALAN TEORİLERİNE GİRİŞ
VI. 1 PARÇACIK FİZİĞİNDE ALAN TEORİLERİNE KISA BİR TARİHSEL GİRİŞ
1900 başlarında kuvantum fiziğinin ortaya çıkması ile 1926 yılında Schrödinger’in, Bohr
tarafından keşfedilen bir atomdaki elektronların acayip davranışlarının de Broglie dalga teorisini kesin
matematiksel denklemlere dönüştürmüş olması, yani küçük cisimlerin davranışının non-lineer
“kuvantum dalga denklemleri” (Schrödinger Denklemi) ile belirlenebileceğinin anlaşılması ve 1930 lu
yıllarda Dirac tarafından yazılan spinör alanlı non-lineer dalga denklemi çözümlerinin (gene Dirac
tarafından bulunan) elektron ve anti-elektron yorumlamasındaki başarısı, teorik fizikte yeni bir
paradigmanın ortaya çıkmasına neden olmuştur. Bu paradigma teorik fizikçileri temel parçacıklar için
yeni non-lineer alan denklemleri yazmaya ve bu denklemlerin fiziksel dalga çözümlerini aramaya
teşvik etti. Yeni parçacıkların keşfedilmesi ile bu teorik çalışmalar ve arayışlar daha da cazibeli bir
duruma geldi. Özellikle 1950’li yıllardan itibaren teorik fizik dünyasında söz konusu bu çabalarda
büyük bir artma gözlendi. Tüm parçacıkları kapsayacağı ümit edilen geniş simetrilere sahip bir çok
sayıda teorik modeller geliştirildi ve önerildi. Non-lineer alan denklemleri üzerine yapılan bu ısrarlı
çalışmalar ve arayışlar en sonunda meyvesini verdi. Temel parçacıkları tek bir alan teorisi altında
toplayabilmenin önünü açacak matematiksel yapının temelleri atıldı. 1954 yılında iki teorik fizikçi,
Yang ve Mills çok önceleri matematikçiler tarafından üzerinde çalışmalar yapılmış Abelyen olmayan
Lie gruplarının sınıflandırılmasını bu tip non-lineer alan modellerine uyguladılar. Geometrik olmayan
iç simetrileri de kapsayan (global ayar) ve parçacıkları veren alanların dinamik yapılaşmasını da
verebilecek local gauge (yerel ayar) simetrisine sahip teorik alan modeli, Langrange fonksiyonu
formalizmini geliştirdiler.
O yıllardan bugüne alan teorilerinin üzerine yapılan ve yapılanmakta olan çalışmalar
sürmektedir; doğadaki gravitasyon dışındaki etkileşimlerin ayar teorilerinin geliştirilmesi, bu
teorilerde simetrinin kendinden kırılmasının anlaşılması, zayıf etkileşmelerdeki ara bozonların
hızlandırıcılarda bulunması, ayar teorilerin dinamik özelliklerinin, ara parçacık alış verişi, bu alış
verişte ortaya çıkan bozuklukların giderilerek, Feymann diyagramlarıyla ifade edilebilmesi, süper
simetri kavramı ve birleşik alan teorileri gibi devrimci görüşler ve buluşlar bu son 30 yıl içine
sığmıştır. Parçacık fiziğinin standart modeli diyebileceğimiz bu oluşumlar kümesi kozmolojide de
önemli gelişmelerin önünü açmıştır. Standart
modelin arkası üzerine yapılan teorik çalışmalar, kütle çekimli süper sicim teorileri, yüksek boyutlu
G. Akdeniz; Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm VI.1 1. Sayfa
modeller, süper simetrili modeller gibi, sürmektedir.
Parçacık fiziğindeki bu hızlı gelişmeler, modellerle ortaya çıkan non-lineer alan denklemlerin
geniş simetrili fiziksel çözümlerinin yeni teknikler geliştirilerek bulunmasını (örneğin yerel ayar
teorilerdeki perturbasyon tekniği) ve bu çözümlerin fiziksel özelliklerinin ve yerinin tartışılmasını hep
yanında taşımıştır. Şimdi bu topolojik çözümleri kısaca gözden geçirelim ve bir sınıflandırmasını
verelim. Solitonlar: Lagrange tipi alan teorilerinin klasik hareket denklemlerinin sonlu-enerjili, kararlı
dalga çözümlerine genelde soliton adı verilir. Solitonlar 19. yüzyılda uygulamalı matematikçiler
tarafından non-lineer dalga denklemlerinin çözümlerinde bulunmuşlardır, daha sonra ki yıllarda katı
hal fiziği ile plazma fiziğinin bazı problemlerini açıklamada kullanılmıştır. Solitonların parçacık
fiziğinde anlamlı (relevant) çözümler olabileceğinin anlaşılması 1960 lı yıllara dayanır . Sonlu enerjili
yerel dalga çözümlerini ifade eden solitonlar, gerek (dalga) yayılırken gerekse kendi aralarındaki
etkileşmelerinden sonra yapılarını korurlar. Başka bir değişle şekillerini sürekli koruyarak, yaşamlarını
sonsuza dek sürdürürler, kendi aralarında etkileştiklerinde bilgi alış verişinde (enerji alış verişi)
bulunmazlar. Örneğin foton tipik bir soliton karakterindedir. Bu özelliklerinden dolayı kararlı
parçacıklar soliton çözümleri ile ifade edilmeye çalışılmıştır. Öte yandan solitonların parçacıklar
fiziğinin önemli bir çalışma alanı olmasını
sağlayan diğer bir özelliği de topolojik görünümleridir. Şimdi solitonları topolojik klasik çözümler adı
altında sınıflandırarak kısaca özelliklerini gözden geçirelim. (Solitonlar hakkında daha geniş bilgi için;
Rajaraman,R. (1982) Solitons and Instantos, North-Holland, Amsterdam; Rebbi, C. and Solliani, G.
(1984) Solutons and Particles, World Scientific, Singapore; Actor, A. (1980) Clasical Solutions and
the Energy –Momentum Tensor, Annals of Physics, Vol.131,269-282; Eilenberg, G . (1981) Solitons
in Nuclear and Elemantry Particle Physics, World Scientific,Singapore .)
Topolojik Klasik Çözümler genel olarak, a) sabit, b) statik, yalnız uzaya bağlı ve c) hem uzaya
hem de zamana bağlı (uzay ve zamanda açılan instanton ve meron çözümleri) çözümler olmak üzere
üç kümeye ayrılırlar.
a) Sabit çözümler: Bu çözümler sıfırdan farklı olan ve potansiyeli minimum
kılan, sıfır – enerjili kararlı çözümlerdir. Bunlar vakum çözümleri olup, solitonlar bu çözümler
arasında hapis olduğundan sonlu enerjiye sahiptirler. Bu tezde inceleyeceğimiz soliton çözümleri bu
özelliğe sahiptir. Perturbasyon tekniği ile bulunan soliton çözümü kendiliğinden sabit çözümler
arasında hapis olmaktadır. Sabit çözümler Yang-Mills yerel ayar teorilerinde simetrinin kendiliğinden
kırılmasında ve Higgs mekanizmasında önemli rol oynarlar.
G. Akdeniz; Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm VI.1 2. Sayfa
b) Statik çözümler: Bu çözümler ise uzay boyutuna göre, tek boyutlu kink (tek yamaçlı)
çözümleri , iki boyutlu vorteks çözümleri ve üç boyutlu mono–pole (tek kutup) çözümleri adı altında
üçe ayrılırlar. Kink çözümleri Baryonlar olarak yorumlanır. Ayrıca bu çözümlerin Sine-Gordon
denklemini VI.3 de ele alacağımız kütleli Thirring Modeline dönüştürebileceği gösterilmiştir. İki
boyutlu vorteks çözümleri tek yamaçlı çözümlere boyut açısından genişleme yapılabilmesi uğraşları
ötesine geçememiştir. Mono-pole çözümleri SU(2) ayar teorilerinde tekil uzaysal noktanın hapis
olması ile t’Hooft bulmuştur. (t’Hooft,G. (1971) Nucl. Phys., B35 , 267) Bu çözümlerin kutup özelliği
olması, Maxwell denklemlerini daha simetrik yazmak için Dirac tarafından ortaya atılan magnetik
mono-pole parçacıklarına karşılık gelmesini sağlamıştır. Buradaki açmaz da magnetik mono-polelerin
gözlenememiş olmasıdır. Başka bir deyişle büyük patlama sonrası mono-pole tipi parçacıklar yaşama
ortamı bulamamışlardır.
c) Topolojik çözümler: Topolojik özellikleri olan, hem uzaya hem de zamana bağlı olan, uzay
ve zamanın iç içe girdiği veya uzay ve zamanın birlikte sonsuza açıldığı klasik çözümlerdir. Bu
çözümlere örnek olarak instanton ve meron tipi çözümler verilebilir. İnstanton ve meron çözümlerinin
simetrik özelliklerini ve çeşitli alanlardaki yapılarını VI.3 de geniş olarak ele alacağız ve çeşitli alan
modellerinde bu çözümlerin nasıl bulunacağını göstereceğiz. Konformal simetrinin kırılması ile
bulunan instanton çözüm tekniğini VI.2 de kısaca anlatılacaktır. İnstantonlar sıfır enerjili çözümlerdir
ve eylemleri sonludur. Kuvatum karakteri taşırlar, bu nedenle kuarkların vakum durumu olarak
yorumlanmışlardır ve vakumlar arası geçişi verdiklerinden kuarkların birlikte dolaşmalarını (her
zaman ikili yada üçlü bir yaşantının içine hapsedilmiş olmalarını) açıklamada önem kazanmışlardır.
Meronlar ise uzay-zamanda singülerdirler. Bu singülerlikten uygun bir dönüşümle kurtulunur.
1950 li yılların, keşfedilen parçacık sayısındaki hızlı artışın da etkisiyle, teorik fizikte her
temel bir taneciği bir denklemle ifade etme çalışmalarının yoğunluk kazandığı yıllar olduğunu
söylemiştik. Parçacıkları bir denklemle ifade etmenin en önemli nedenlerinden biri de Dirac’ın spinli
parçacıklar için yazdığı rölativistik (görelilik) kuvantum özelliği olan, yani göreliliğin ve kuvantum
fiziğinin ilkelerini bir araya getiren ve “Dirac Denklemi” olarak bilinen denklemin, elektronun ve anti-
elektron özelliklerine uygun sonuçlar vermesiydi. (Anti-elektronların (pozitron) Anderson tarafından
kozmik ışınlarda 1932 yılında keşfedilmesi ve aynı anda bir elektron yaratmadan bir pozitron
yaratmanın olanaksızlığının anlaşılması) Fakat Dirac Kuramı ile ortaya çıkan her parçacık-anti-
parçacık çiftine bir denklem fikrinin, özellikle parçacıkların kuvantum sayılarında karışıklıklara yol
vereceği de açıktı. Born ve Heisenberg bunun tek bir birleşik denklem yazmakla aşılabileceğini öne
sürdüler. Bu fizikçilere göre, tüm parçacıkların inşasına olanak verecek bir alan modeli non-lineer
yapıda ve fermiyon özelliği olan bir dalga
G. Akdeniz; Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm VI.1 3. Sayfa
denklemi olmalıydı. Tüm parçacıklar da bu denklemin çözümünü veren fermionsal parçacıklardan
oluşmalıydı. Özellikle 1950 li yıllarda Heisenberg ve öğrencileri bu tip bir alan modeli yazmak için
büyük çabalarda bulundular. Heisenberg ve öğrencileri Dirac denklemine benzeyen, kütle terimine ek
olarak fermiyonların diğer parçacıkları oluşturabilmesi için; kendi aralarında bütünleşmeleri de ifade
eden terimi de içeren modeller geliştirdiler. Heisenberg’in bu çalışmalarından ve çabalarından
etkilenen bir çok teorik fizikçide benzer spinor alanlı modeller geliştirdi. Hızlandırıcıların gelişmesi ile
bulunan yeni deney sonuçları ve arkasından Yang-Mills tarafından bulunan yerel ayar teorileri
Heisenberg bu rüyasına son verdi. Fakat konformal simetrilere sahip spinor alanlı non-lineer modeller
ve spinli parçacıklar olan kuarkların 1960 yılına doğru Gell-Mann ve Y.Neeman tarafından önerilmesi
ve deneylerde keşfi ile tekrar önem kazandılar. 1970 li yılların sonuna doğru Yang-Mills teorilerinde
instanton tipi çözümler bulundu. (Polyakof, A. M. , Schwartz, A. S. and Tyupkin, Yu. S. (1975) Phys.
Lett. B59 , 85;) Bu çözümlerin uzay-zamana bağlı olmaları yanında, vakum özellikleri göstermeleri
parçacık fizikçilerinin büyük bir ilgisini çekti. Bu ilgi çeşitli skaler alan modellerinde instanton
çözümlerinin bulunması ile kendini gösterdi, örneğin Alfaro, Fubini ve Furlan Sigma Modelinde
instanton çözümleri buldu (Alfaro, V.D. and Furlan, G. (1976) Nuovo Cimento,34a,555). Bu
gelişmelere paralel olarak Akdeniz ve Smailagic spinör tipi insatanton çözümleri bulmak için, iki
boyutlu saf fermiyonsal ve konformal simetriye sahip olan kütlesiz Thirring Modeli (Thirring , W.E.
(1958) A Soluble Relativistic Field Theory , Annal physics, Vol.3,91-112) üzerinde bir laboratuar
model olarak çalışmalar yaptılar ve bu modelde konformal simetrinin kırılması ile fermiyon tipi
instaton ve meron tipi çözümleri buldular (Akdeniz, K. G and Smailagic , A . (1979) Clasical Solitons
for Fermionic Models, II Nuova Cimento, Vol. 51A, No.3,345-357) Bu çözüm tekniğini Bölüm VI.3
de göstereceğiz. Spinör tip instanton ve meron çözümlerini dört boyuta taşımak için yeni bir
konformal invaryant spinör model Akdeniz- Smailagic tarafından önerildi. Bu modelde konformal
invaryantlığın sağlanması ve etkileşme terimi kuantizasyon için gerekli perturbasyon tekniklerine
uygun olabilmesi için ancak üçüncü mertebeden türevlerle sağlanabildiğinden, model matematik bir
model olmaktan öteye gidemedi.
Konformal invaryant alan modelleri üzerine yapılan bu çalışmalar üzerine, Akdeniz 1982
yılında yaptığı bir çalışma ile (Akdeniz, K .G. (1982) Classical Solutions of the Gürsey ’s
Conformal-Invariant Spinor Model, Lettere al Nuova Cimento, Vol . 33,40-44.) Gürsey tarafından
1955 yılında geliştirilmiş bir spinör alan dalga denklemini (Gürsey , F. (1956) On a Conform- Ivariant
Spinor Vave Equation , IINuova Cimento , vol. 3, No.5, 988-1006) parçacık fizikçilerinin dikkatine
sundu. Heisenberg’in rüyasını gerçekleştirmek için Gürsey tarafından önerilen bu denklem konformal
simetriye haiz ilk non-lineer spinör dalga denklemidir. Bu özelliklerinden dolayı, Gürsey non-lineer
spinor dalga denklemi (GSD), Dirac denklemine ve Heisenberg ve arkadaşlarının önerdiği
denklemlere göre daha geniş dinamik bir simetriye sahiptir. Ayrıca fermiyonların dışındaki diğer
spinli parçacık yapılaşmasına da açıktır. Akdeniz
G. Akdeniz; Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm VI.1 4. Sayfa
aynı çalışmada GSD de konformal simetrinin kırılması ile instanton ve meron tipi çözümlerini buldu
ve bu çözümlerin Heisenberg’ le bu konularda araştırmalar yapmış olan Kortel tarafından 1956
yılında ( Kortel, F. (1956) On Some Solutions of Gürsey’s Conformal – Invarian Spinor Vave
Equation, II Nuova Cimento, vol .4, No.2, 210-215) GSD de bulunan çözüm sınıfının içinde mevcut
olduğunu gösterdi. Bu çalışma sonrası GSD dört boyutlu ve birinci mertebeden türev içermesi
nedeniyle de tekrar teorik fizik dünyasının gündemine geldi ve gerek denklem gerekse model olarak
üzerinde bir çok çalışma yapıldı. GSD nin diğer fiziksel çözümlerinin bulunmasında, modelin
kuvantum özelliklerinin anlaşılmasında ve yeni versiyonların yapılması çalışmalarında da bir çok Türk
fizikçisinin de imzası vardır. Bu önemli çalışmaların çoğu Türkiye’de yapılmıştır ve bir çok tez
çalışmasına konu olmuşlardır Ayrıca son yıllarda GSM’ nin daha yüksek boyuttaki instanton ve meron
çözümleri bulundu. Bu çalışmalar hakkında (Önem, C. “Başlıklı” Doktora Tezi, İstanbul Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü, 2001) Gelecek bölümde alanlar teorisindeki Lagrange Fonksiyonu formalizmini ele alacağız. ve
Euler Lagrange diferansiyel denklemlerinin çıkartılışı üzerinde duracağız. Bu denklemlerin simetrik ve
değişmezlik özelliklerini ele alacağız. Değişmezlik özelliklerine bağlı olarak ortaya çıkan korunumları
tartişacağız. Lagrange fonksiyonlarının yerel faz dönüşümlerine göre değişmezliğini, örneğin bu
değişmezlik Elektromagnetik kuramında yük korunumunu verir ve “ayar alanı” adı verilen bir alanın
varlığını ortaya koyar, bu yeni alan fotonların bütün özelliklerin taşır, inceleyeceğiz. Ortaya çıkan
yerel ayar alanların ara parçacıkların özelliklerini verdiğini göreceğiz. Ayrıca dört-boyutlu konformal
koordinat dönüşümünün özelliklerini kısaca ele alacağız. Konformal dönüşümün türev operatörlerinin
Lie Grubu yapılaşmasını ve Lie cebiri özelliklerini vereceğiz. Konformal invaryant ve spinor alanları
içeren bir modelde, konformal simetrinin nasıl kırılabileceğini göstereceğiz. Bölüm VI.3 de konformal
simetrinin kendiliğinden kırılmasın ile instanton ve meron tipi spinor çözümlerin nasıl elde edileceğini
gösterip çeşitli skaler ve spinör alanlı teorik modellerde instanton ve meron çözüm örneklerini
vereceğiz.
Bölüm V!.4 de kütleli Thirring Modelinde ve Kütleli Gürsey Modelinde Soler ön-çözümü (Soler , M.
(1970) Classical , Staible , Nonlinear Spinor Field with Positive rest Energy , Physical Rev. D. , 1 ,
2766 – 2769) ile soliton yapılaşmalarını göstereceğiz. Bulanan soliton çözümlerinin dinamik yapısını
tartışacağız.
G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notları, Bölüm VI.1 5.sayfa
PAULİ MATRİSLERİ (Temel parçacıklar) 1)Yarım-spinli parçacıklar 2)Hamiltonien ve Lagrangien
S=1/2 parçacıkların iiL σ21
= i=1,2,3
iσ ’ lere Pauli matrisleri diyoruz.
−
==
−==
==
1001
0
0
0110
321 zyx ii
σσσσσσ
ÖZELLİKLERİ: 1) I=== 2
32
22
1 σσσ 2) 32121 σσσσσ i=−= , 13232 σσσσσ i=−= , 23113 σσσσσ i=−= 3) Komitatifliği; [ ] 321 2, σσσ i= Dairesel permütasyon. [ ] 132 2, σσσ i= [ ] 213 2, σσσ i= Genel: [ ] kijki ∇= εσσ 2, 21
4) iI=23
22
21 .. σσσ
5) [ ] 0=irT σ 6) 1)det( −=iσ 7) jjjiijji i σσσσδσσ +== 2 ,
8) [ ] ijjir iT δσσ 2=