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Temas Avanzados en Comunicaciones 1ver. 1

J.A.R.C

TAC (2007-08)

I. INTRODUCCIÓN

I.1. Sistemas de Comunicaciones Digitales.

I.2. Modulaciones sin Memoria.

I.3. Modulaciones con Memoria.

I.4. Ecualización de Canal.

I.4.4. Diseño C) Receptor con ecualización

I.4.2. Diseño A) Receptor óptimo con “pre-distorsión”

I.4.3. Diseño B) Receptor óptimo con ruido (AWGN) e IES

I.4.1. Interferencia entre símbolos (IES)

I.3.1. Continuous Phase FSK (CPFSK) binaria

I.3.2. Continuous Phase Modulations (CPM)

I. Introducción. 2ver. 1

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TAC (2007-08)

I.1. Sistemas de Comunicaciones Digitales.

Conversiónde fuente a

bits

Codificaciónde fuente

EncriptadoCodificación

de canalMultiplex

Conversiónde bits adestino

De-codificaciónde fuente

De-Encriptado

De-codificación

de canalDe-Multiplex

Modulación

De-modulación

Can

al

AccesoMultiple

AccesoMultiple

- Fuente

- Destino

Sincronización

Otros usuarios/fuentes

Flujo de bits (…1001…)

Señalessm(t)

asociadasal flujo de

bits

Diagrama de bloques:

I.1. Sistemas de Comunicaciones Digitales. 3ver. 1

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Diagrama de bloques anterior dentro del Modelo OSI:


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Modulador digital

(banda-base)

Canal Paso-Bajo

Modulador de canal

Canal Paso-Banda

fc

…0111…

Modulador Digital

símbolos

Señales sm(t) paso bajo

hc(t) ↔ Hc(f)

Modulación en sistemas digitales:

T

T

(Tx en Banda-Base)

(Tx con mod.

Canal)

…0110…

…0111…

Can

al

Modulación

De-modulación

sm(t)

r(t)

“Conversión del flujo de bits en señales ‘físicas’ adecuadas para ser

transmitidas por el canal”

Señales sm(t) paso banda


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…0110…

¡ Error !

Demodulador Digital

ruido n(t)

ruido n(t)

r(t) = sm(t)*hc (t) + + n(t)

r(t)

r(t)Muestreo cada t=T

z(T)= am(T)+n0(T)

De-modulación en sistemas digitales:

Decisión del

simbolo tx

De-Modulador de canal

Filtro Receptor

Filtro Ecualizador

Recuperación de reloj

sm(t)

Can

al

Modulación

De-modulación

…0110…

…0111…

r(t)

“Conversión de las señales ‘físicas’recibidas, probablemente corrompidas

por ruido, en flujo de bits”

(Rx en Banda-Base)

(Rx con mod.

Canal)


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I.2. Modulaciones sin memoria

Modulaciones sin memoria: la asignación entre un símbolo (grupo de bits) y su forma de onda se hace de forma fija e independientemente de otros símbolos pasados:

► Pulse Amplitude Modulation (PAM)

► Amplitude Shift Keying (ASK)

► Quadrature Amplitude Modulation (QAM)

► Phase Shift Keying (PSK)

► Frequency Shift Keying (FSK)

► Señales ortogonales y biortogonales genéricas

- Ejemplo binario: “0” → +sinωct“1” → -sinωct

- En las modulaciones con memoria, la asignación de un símbolo a una señal depende de los símbolos anteriores.

I.2. Modulaciones sin memoria 7ver. 1

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Generador de pulsos g(t) cada periodo de

símbolo T

Amplificador con Mganancias distintas

controladas electrónicamente

…10110011…(Ej: M = 4) 10 11 00 01

Mod. Digital PAM

Modulación PAM (Pulse Amplitude Modulation) banda base:

- Señales PAM:

- Generación PAM:

- Espectro PAM:


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Modulación PAM paso banda:

- Señales PAM paso-banda:

- Generación PAM paso-banda:

- Espectro PAM paso-banda:

PAM banda base

01100011...

01 10 00 11(Ej: M = 4)


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Receptor óptimo PAM banda-base (existen otras implementaciones):

Decisión …10110011…

Muestreo cada t=T

Demod. Digital PAM BB

Receptor óptimo PAM paso-banda:

Decisión

Muestreo cada t=T

01100011...

Demod. Digital PAM PB

yr(t): Señal recibida en el receptor, después de

pasar por el canal


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Modulación PSK (Phase Shift Keying):

11 10 00 01

+90º

Muestreo cada t=T

Decisión por

distancia mínima

M = 4

11100001...

- Señales M-PSK:

- Receptor óptimo (formalmente idéntico al de QAM):

M = 8, θ0=0


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Modulación FSK (Frequency Shift Keying):

- Generación M-FSK:

- Receptor óptimo:

M = 4 11 10 00 01

11100001...

Muestreo cada t=T

Decisión escogiendo el máximo

↔Decisión

por distancia mínima

- La separación constante Δf

entre frecuencias fm debe ser múltiplo de 1/(2T) para que la señales sm(t) sean ortogonales


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I.3. Modulaciones con memoria

Modulaciones con memoria: la asignación de un símbolo a una señal depende del símbolo actual y de los símbolos anteriores

NRZNon-Returning Zero

NRZI(idem, pero diferencial: 0: se conserva estado anterior, 1 se cambia)

1 0 1 1 0+V

-V (ó 0)

T

- Ejemplo:

- NRZ es una señal PAM de 2 niveles. Sin embargo, NRZI (NRZ Inverted) ya no es una señal PAM simple.

- Una forma de interpretar la señal NRZI es como la composición de un código bk=ak +mod2 bk-1

más una codificación NRZ a los bits resultantes bk.

- La señal NRZI en el periodo k-ésimo depende del bit k y del k-1: hay memoria

-Proakis,“Comm..”, Cap. 8,10-Proakis,“Dig…”,Cap. 4,5-Sklar,“Dig…”,Cap. 6,7-Haykin, “Comm..”, Cap. 6

I.3. Modulaciones con memoria 13ver. 1

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- Diagrama de estados para NRZI:

- Diagrama en celosía (trellis) para NRZI:

tiempo

Representación de las modulaciones con memoria:

…..

T 2T0

0 / +V 0 / +V

0 / -V0 / -V

1 / +V

1 / -V

1 / +V

1 / -V

+V

-V

x0 x1

1 / +V

1 / -V

0 / +V0 / -V


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NRZI es un ejemplo de codificación diferencial. El mismo esquema se puede hacer con señales paso-banda como DPSK=BPSK diferencial (y por tanto DPSK tiene memoria):

Inversión en la tx1 0 1 1 0 01001

10110

10110

NRZ

NRZ-I (dif.)

DPSK (BPSK dif)

Bits después de la demodulación digital

Ventajas de NRZI y DPSK: Protección frente a un cambio de polaridad en la transmisión

Ventaja adicional de DPSK: Se pueden utilizar receptores no coherentes (no hace falta un oscilador con la misma referencia de frecuencia y fase que la portadora)


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Otro motivo distinto de los anteriores para introducir memoria es reducir el ancho de banda de la señal que se va transmitir por el canal. A cambio, el diseño del receptor será más complicado (detector de secuencias en vez de símbolos aislados).

Para reducir el ancho de banda ocupado por la señal transmitida al canal hay que disminuir el número de saltos y cambios abruptos en su forma de onda

Objetivo a conseguir introduciendo memoria:Eliminar las transiciones abruptas entre símbolos (y así reducir el ancho de banda) ↔

Hacer la fase de la portadora continua ↔CPM: Continuous Phase Modulation

4-PSK

4-FSK

Discontinuidades abruptas → Aumento de

ancho de banda


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M-PAM

Mod. PM

11100001...

(PAM banda-base simétrica, pulsos rectangulares)

- Ejemplo A: Generación de M-PSK sin memoria en base a una modulación de canal PM sobre una señal M-PAM:

- Ejemplo B: Generación M-FSK sin memoria mediante conmutación de diferentes portadoras al ritmo que marcan los datos. Caso M=2:

Si no se fuerza la continuidad de la fase mediante el uso de “memoria” en la modulación, las señales PSK y FSK no tienen porqué tener fase continua; esto provoca discontinuidades y cambios de derivada en la transición entre símbolos que aumentan el ancho de banda de la señal que se transmite al canal:

- Al no haber memoria, cada señal comienza con un valor que no tiene porque guardar ninguna relación con el valor en el que ha terminado el símbolo anterior


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Las modulaciones CPM tienen diversas variantes. Se comenzará por el caso particular de 2-FSK con fase continua, que se conoce como CPFSK binario (Continuous Phase FSK).

- Se parte de un conjunto de señales de la forma:

a: Números pertenecientes a un conjunto finito (si se utiliza M-CPFSK, habrá M valores). Por ejemplo, para el caso binario a=±1

h: Parámetro fijo llamado índice de modulación que marca la separación entre frecuencias instantáneas transmitidas. Por ejemplo h=5/2

θ : Fase que se elige de forma que la fase de la señal global (la que se trasmite al canal) sea continua

fc = k / T, k ∈ N , donde T es el periodo de símbolo. Esta restricción se podráquitar luego en el desarrollo general. Las posibles frecuencias instantáneas son

I.3.1. CPFSK binario


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TAC (2007-08)

- Ejemplo para h=1/2 y ai=±1:

CPFSK binario (cont.)

• Frecuencias instantáneas:

• Si se transmite la frecuencia f2, se tiene un incremento de fase en un periodo de símbolo:

Para la frecuencia f1, el incremento es:

• Por tanto, la fase inicial θn que hay que elegir para dar continuidad en un símbolo es la del anterior θn-1 incrementada en π/2 ó 3π/2, dependiendo de que frecuencia f1 ó f2 se ha trasmitido en el símbolo anterior

(se transmitió f2 en símbolo n-1)

(se transmitió f1 en símbolo n-1)

Para h=1/2, CPFSK se llama MSK (Minimum Shift Keying), porque es el valor mínimo de h que hace que las señales sk(t) sean ortogonales


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Ejemplo CPFSK binario con h=1/2 y ai=±1 (cont.)

- Se tienen por tanto dos frecuencias distintas y cuatro fases iniciales diferentes, con lo que hay ocho señales en total.

- Las señales se etiquetan con a/b/…./h

- Ahora hay que asignar para cada símbolo recibido (el ejemplo es binario y por tanto los símbolo son 0 ó 1) su señal correspondiente entre las ocho posibles.


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- La manera natural de asignar las señales es definiendo una modulación con memoria, cuyo diagrama en celosía para una transición es:

1 / h

1 / g

1 / f

1 / e

0 / a

0 / d

0 / c

0 / bS0

S1

S2

S3

- Estados S0/S1/S2/S3: Fases iniciales θ

0

π/2

π

3π/2

-Cada transición (flecha) va etiquetada con I/S:

I es el bit que llega en ese momento (0/1)

S es la señal de salida (a/b/…./h)

- Los estados vienen dados por las fases θ al comienzo del símbolo


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TAC (2007-08)


1 / eS0

S1

S2

S3

1 / h

1 / f

0 / d

0 / b

1 / g

1 / e

0 / c

1 / h

1 / f

0 / d

0 / b

0 / a0 / a

tiempo

- Suponiendo que se comienza en el estado S0 (fase 0), al avanzar en el tiempo se tendría el siguiente diagrama en celosía (trellis) :

0

π/2

π

3π/2


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TAC (2007-08)


- Simulación CPFSK para 5 símbolos, fc=2, T=1

0 1 2 3 4 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

11 0 0 1 0

t

y(t)

0 1 2 3 4 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

11 0 0 1 0

t

y(t)

- Simulación FSK para 5 símbolos, fc=2, T=1


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0 2 4 6 8 10s0

s1

s2

s3

t

Est

ados

1/e

1/f

1/g

1/h 0/a

0/d 1/g

1/h 0/a 1/h

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

11 1 1 1 0 0 1 1 0 1

t

y(t)

- Trellis recorrido para la secuencia binaria dada por la señal CPFSK:


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Espectro CPFSK binario con h=1/2 y ai=±1


- Simulación FSK para 250 símbolos, fc=15, T=1

Esp

ectr

o C

PF

SKE

spec

tro

FS

K

- 30 -2 0 -1 0 0 10 20 3 00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f

|Y(f

)|

- 30 -2 0 -1 0 0 10 20 3 00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f

|Y(f

)|


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TAC (2007-08)

Espectro CPFSK binario con h =20/2 y ai=±1 (cont.)


Esp

ectr

o C

PF

SK

-30 -20 -10 0 10 20 300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10|Y

(f)|

f

- Al utilizar h mayor, se tiene más separación entre frecuencias y se ocupa más espectro. Pero por estar las señales más separadas, la prob. de error será menor.


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Detección de señales con memoria

- Cuando la señal modulada no tiene memoria, el detector de símbolos aislados óptimo utiliza filtros adaptados (o correladores) y decisiones por distancia mínima (con el se obtiene la PE mínima) (Ejemplos en transparencias 9,10,11 )

- Cuando la señal modulada tiene memoria, el detector óptimo se basa en el símbolo actual y en los anteriores: se llaman detectores de secuencias.

- En el detector de símbolos aislados se decide que se ha transmitido aquella señal cuya distancia es mínima con la recibida

- r(t) es la señal recibida en un periodo de símbolo

- sk(t) son todas las posibles señales que se podrían haber enviado (k=1,…,M)

- La distancia (la integral) se calcula en el receptor utilizando las salidas de los bloques correladores o filtros adaptados

- Sin embargo, el problema de detección de secuencias es formalmente idéntico a la detección de señales individuales (se podría demostrar que ambos problemas tienen función de distribución de probabilidad con las mismas características; ver p.ej. Proakis)


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TAC (2007-08)

-El detector de secuencias de máxima verosimilitud (ML o Maximum Likelihood) se basa en la misma idea que el de símbolos aislados: decidir la secuencia con menor distancia a la secuencia recibida . Es óptimo (minimiza la PE) para símbolos equiprobables.

• R(t) es la secuencia recibida formada durante Q periodos de símbolo. R(t) es una secuencia de Q señales rq(t), q=1,…,Q, donde cada rq(t) tiene duración T

• Sp(t) son todas las posibles secuencias enviadas formadas durante Q periodos de símbolo Sp(t) es una secuencia de Q señales sp.q(t), q=1,…,Q, donde cada sp,q(t) tiene duración T

• Cada secuencia Sp(t) se puede representar como un camino en el trellis de Q etapas.

Detección de señales con memoria (cont.)


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TAC (2007-08)

- En principio habría que calcular la distancia entre la secuencia recibida y todas las posibles secuencias enviadas (todos los posibles caminos del trellis) y elegir la de distancia menor→ complejidad muy elevada. Existen otros algoritmos.

- El algoritmo de Viterbi permite hacer de manera óptima la búsqueda del camino en el trellis más parecido a la secuencia recibida sin evaluar todas las posibles distancias

- El algoritmo de Viterbi se ha visto en Transmisión de Datos para la decodificación de códigos convolucionales, y muestra el nexo entre la codificación de canal y las modulaciones con memoria

- De hecho, el algoritmo de Viterbi también se usa en detección de secuencias contaminadas por Interferencia entre Símbolos (IES) (léase por ej. Proakis, “Comm..”, Cap. 8) o con IES y ruido a la vez (Proakis, “Dig..., Cap. 10”)

- La complejidad de este algoritmo sería muy elevada. Existen otras opciones.



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TAC (2007-08)

- La decisión se puede hacer seleccionando la secuencia con menor distancia a la recibida (la más cercana) o, equivalentemente, la más correlada con la recibida

Todas las señales sk(t) tienen la

misma energía

Este término es igual en el cálculo de todas

las distancias

no intervienen en la decisión

Minimizar la distancia equivale a maximizar

esta correlación

- La correlación con todas las posibles señales en un periodo de símbolo se puede hacer para CFSK binario en base a la correlación con la componente en fase y en cuadratura de cada posible frecuencia

Se podría hacer el mismo desarrollo con secuencias de Q periodos de símbolo



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TAC (2007-08)

- Las prestaciones de este receptor (la PE en función de la Ebit/η del sistema) no tienen una expresión sencilla. Como regla general, a mayor separación entre frecuencias (h), menor PE a cambio de usar más ancho de banda

1) Calculo de distancias

(ocorrelaciones)

y

2) detección de secuencias

por el algoritmo de

Viterbi

-90º

-90º

11100001...

Receptor CPFSK binario óptimo:


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TAC (2007-08)

S0

S1

S2

S3

Receptor CPFSK binario (cont.)

0.90

D=0.89

D=0.18

1.90

0.22

1.23

- Calculo de nuevas distancias e incremento en la distancia total entre caminos

- A cada nodo le entran dos caminos, y se descarta uno

S0

S1

S2

S3

dr,a=D=0.89

dr,e=D=0.18

- Funcionamiento del receptor con Viterbi para la transmisión de “101” contaminada por ruido, partiendo del estado S0

- Primero se inicializa el trellis con la distancia entre la primera señal recibida y las posibles enviadas (ver trellis pag. 21)


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TAC (2007-08)

S0

S1

S2

S3

D=1.08

D=0.41

2.24

0.11

1.15

1.20

S0

S1

S2

S3

D=1.57

D=0.52

- El camino óptimo para cuatro estados es el pintado en línea más gruesa

- Se repite el proceso

Receptor CPFSK binario (cont.)


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TAC (2007-08)

Las ideas anteriores para CPFSK se pueden generalizar, dando lugar a las modulaciones CPM (Continuous Phase Modulation).

- Se parte de una señal PAM de M niveles:

- Con esa señal se modula en frecuencia a una portadora:

M-PAM

Mod. FM (KF)

11100001...

(PAM banda-base simétrica, pulsos rectangulares)

La clave para hacer la fase continua es generar la señal CPM de la siguiente manera: hacer una modulacion de canal FM sobre una modulación M-PAM:

CPM

Aunque v(t) tenga discontinuidades, la

fase de y(t) es continuaporque se obtiene

mediante una integral

Ej. para M=8:

(conjunto de Mposibles opciones)

I.3.2. CPM


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TAC (2007-08)

- La desviación de fase instantánea se puede escribir como:

- La frecuencia instantánea de y(t) es:

CPM (cont.)

- Donde se ha definido:

- Para CPFSK bin.:

- Si g(t) se anula fuera del intervalo [0,T], se llama CPM de respuesta total. Si se extiende más allá de ese intervalo, se llama CPM de respuesta parcial

- Si g(t) es un pulso gaussiano, se tiene GMSK (Gaussian Minimum Shift Keying),que es la modulación utilizada en telefonía GSM


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TAC (2007-08)

- La fase en el intervalo de símbolo n (nT ≤ t ≤ (n+1)T) es:

CPM de respuesta total

- Por ser g(t) de respuesta total, su integral q(t) cumple:

- Y finalmente:

- Donde se define el índice de modulación h como:

- Por tanto:


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TAC (2007-08)

- La detección óptima de señales CPM se hace con un esquema similar al de la pag. 30, utilizando el algoritmo de Viterbi para detectar las secuencia más cercana a la recibida. De nuevo, el cálculo teórico de la PE del receptor por secuencias cuando hay ruido lleva a expresiones complicadas.

- Se puede demostrar que si h es racional, representado en fracción irreducible por h=m/p, las distintas fases iniciales (los estados del sistema de la modulación con memoria) serán de la forma:

p estados para m par

2p estados para m impar

- Las fases y señales enviadas al canal en el periodo de símbolo n se podrán escribir como:

CPM de respuesta total (cont.)

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