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MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
Tema A1a Diseño: Honeycomb
“Análisis estructural en variaciones de celda constitutiva de un arreglo en panal”
Corro Hernández Humberto*, Vidal Lesso Agustín, Ledesma Orozco Elías Rigoberto
Departamento de Ingeniería Mecánica, División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca,Universidad de Guanajuato. Valle de Santiago Km. 3.5 +
1.8. Comunidad de Palo Blanco, Salamanca, Gto. C.P. 36885, México
RESUMEN
Basado en un desarrollo previo de un arreglo en panal con celdas constitutivas con rigidez negativa para amortiguamiento y
absorción de energía, se presentan variaciones geométricas del mismo. La celda constitutiva correspondiente al modelo
original es modificada en dimensiones, construcción y proporciones, en busca de la aplicación de su principio de
funcionamiento a una escala menor. Adicionalmente, un cambio del material original a polietileno de ultra alto peso
molecular (UHMWPE) grado quirúrgico GUR1050 es empleado, con miras a una aplicación biomédica.
Los resultados son generados por medio de análisis por elemento finito (FEA), poniendo énfasis en el nivel de esfuerzos
generados. Se encuentra la relación entre geometrías, desplazamientos, deformaciones y esfuerzos y se verifica la factibilidad
del cambio de rigidez del concepto original para una aplicación distinta.
ABSTRACT
Based on a previous negative stiffness cell-pattern honeycomb for damping and energy absorption, geometrical variations are
developed. Constitutive cell pattern is modified on dimensions, building, and proportions, looking for the application of the
concept on a smaller scale. In addition, a change of original material to surgical grade Ultra High Molecular Weight
Polyethylene (UHMWPE) GUR1050 is proposed in order for future development of a biomedical application.
Results are generated by finite element analysis (FEA), with focus on generated stress levels. A correlation among
geometry, deformation, strain and stresses is found, so the feasibility of stiffness variation from the original concept for a
different application.
1. Introducción
Los arreglos en panal (honeycomb) son arreglos
materiales de unidades o celdas en un patrón repetitivo,
usados en aplicaciones varias debido a su capacidad para
soportar cargas de forma eficiente [1].
Dichos arreglos trabajan bien a compresión, y se les
considera más eficientes para la absorción de energía que
las espumas de semejante densidad [2] de ahí que se les
emplee en amortiguamiento.
Por otro lado, la elasticidad negativa se puede entender
como la ocurrencia, en un elemento, de la existencia de una
fuerza en la misma dirección en la que se impone un
desplazamiento, favoreciéndolo [3-4]. Así, el sistema
requiere una disminución de la carga para incrementar su
desplazamiento [5].
El uso de esta propiedad ha sido estudiado sobre todo en
el campo de la reducción de vibraciones mecánicas [5],
sobre todo por la gran capacidad de recuperación de la
forma original de dichos elementos ante grandes
deformaciones [6]
De la unión de ambos conceptos, se espera que el uso de
un patrón repetitivo de una figura que tienda a exhibir
elasticidad negativa absorba más energía, sea un mejor
amortiguador, y sobre todo, sea relevante en aplicaciones
en las que se desea disminuir el desgaste debido a esas
causas y así aumentar la vida útil.
1.1. Desarrollos previos
Debe destacarse en este sentido la investigación de
Correa et. al. [6-8], siendo el obligado punto de partida de
este trabajo.
A partir del análisis de una viga pandeada en forma de
“S” y suficiente restricción lateral en los extremos, se
encontró que la misma tenía posiciones de equilibrio fijas.
De esta manera, al aplicarle una carga perpendicular, la
viga usaba la energía almacenada por la deformación
original y mostraba propiedades de rigidez negativa [8].
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Con esto en mente, se llegó a la propuesta de celda
repetitiva y geometría de arreglo en panal mostrada en la
Figura 1.
Figura 1 Geometría propuesta para arreglo en panal (honeycomb)
con rigidez negativa (Correa, 2015).
Se observa que la celda constituyente tiene unas
dimensiones máximas de 55.88 mm en horizontal
Específicamente, se considera la siguiente función para las
curvas de los travesaños:
( ) ( ) ( ( )) ⁄ (1)
Donde la función w(x) indica la distancia respecto a un
eje de referencia horizontal a partir del cual se mide la
distancia que es la variable x; l indica la longitud de celda
y h es la altura de la misma. De esta manera se aseguraba
una geometría de deformación única [8].
Con base en lo anterior, se llevó a cabo una prueba
experimental del modelo tridimensional. Basado en la
geometría mostrada, el material de prueba fue nylon 11, y
la aplicación específica fue como amortiguador en el
asiento de una bicicleta [8].
En el mismo trabajo se discute también la posible
aplicación de un diseño derivado para un casco de
combate, en la cual la absorción de energía por parte de
dicho patrón alrededor de la geometría original permita
disminuir los efectos de un proyectil [8].
Si bien es de esperar que las condiciones específicas
varíen el desempeño, se estima que la construcción del
arreglo en panal propuesta en la Fig. 1. puede restituirse sin
problemas de una compresión vertical que lo reduzca hasta
el 50% de su altura original [8].
1.2. Aportaciones esperadas
De la experiencia anterior [6-8] y trabajos relacionados [3-
4] se considera que el enfoque combinado de arreglos en
panal y rigidez negativa es efectivo para la absorción de
energía. Y por tanto, susceptible de utilización en otros
campos.
En particular, para que la aplicación del concepto sea
compatible con aplicaciones biomédicas, se consideró un
cambio hacia un material biocompatible.
Esto implica también que las dimensiones de la
geometría deben reducirse para poder funcionar a una
escala más acorde al cuerpo humano.
Figura 2. Escalamiento de la geometría de celda.
En la Figura anterior, si bien la geometría original se
respeta en proporciones, la dimensión máxima horizontal
es de apenas 2.20 mm.
De tal suerte, a partir de la anterior se busca obtener
una variación geométrica del concepto para aplicaciones
que requieren absorción de energía en un espacio
restringido.
2. Métodos de simulación
La primera aproximación para obtener este tipo de
diseños se hace a partir de un análisis de elemento finito
(FEA). El software empleado fue ANSYS 15®
2.1. Modelo de material
El modelo de material fue ajustado a partir de los
valores de las propiedades mecánicas de GUR1050, una
variedad de polietileno de ultra alto peso molecular
(UHMWPE) grado quirúrgico, de amplio uso en implantes
ortopédicos [9].
Para simular dicho material se empleó un modelo
hiperelástico de Mooney-Rivlin de 9 parámetros [10]. Los
mismos fueron obtenidos a partir del ajuste de datos
obtenidos por pruebas mecánicas de tensión y compresión
[11-12] en el propio software de análisis por elemento
finito [13].
Tabla 1 – Ajuste de modelo de Mooney-Rivlin de 9
parámetros Parámetro Parámetro
C10 -5.718 E+08 Pa C30 3.7987 E+05 Pa
C01 6.4729 E+08 Pa C21 -5.2756 E+06 Pa
C20 8.6457 E+09 Pa C12 -2.1332 E+09 Pa
C11 -1.852 E+10 Pa C03 1.3183 E+09 Pa
C02 1.0361 E+10 Pa D1 1 E-12 Pa^-1
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Dicho modelo de material tiene un error de hasta 20%
en deformaciones inferiores al 10%, pero en el rango de
deformación de 20 a 44% ajusta con un error de menos de
10% en esfuerzos [9].
De la información previa [8], se espera que este rango
de deformación sea la que predomine en la estructura de
cada celda, por tanto el modelo de material es válido para
su aplicación.
A partir de las mismas pruebas, se estableció el valor de
20 MPa como el límite de fluencia para el material [9].
2.2. Análisis por elemento finito
La geometría empleada es bidimensional. Por tanto, la
formulación se dio en base al elemento PLANE 162[13].
En cuanto a las condiciones de frontera, se fijó la arista
del extremo inferior, mientras que en el extremo superior
es desplazado verticalmente 0.252 mm en dirección
negativa. Entre tanto, se restringe el desplazamiento
horizontal de toda la estructura
Figura 3. Condiciones de frontera comunes entre simulaciones
Las anteriores son las características comunes a todas
las simulaciones.
Los resultados a obtener para cada geometría son:
desplazamiento máximo total de la estructura, la
deformación unitaria total calculada, el esfuerzo máximo
de von Mises calculado y la energía de deformación
vinculada.
3. Cambio en el espesor de las vigas horizontales
La primera opción para modificar la rigidez es modificar la
altura de los travesaños en curva. En la celda base, cada
uno de los travesaños tiene una espesor h de 0.025 mm.
a) h=0.025 mm
b) h=0.05 mm
c) h=0.02 mm
Figura 4. Geometrías modificadas en espesor de viga
Es de esperar que a mayor espesor de cada travesaño, la
rigidez del mismo aumente. Por otro lado, hay que
considerar que un travesaño más delgado puede ser más
difícil de fabricar, pero sería más fácil de deformar. Esto
puede ser una ventaja considerando que la estructura
original está planeada para operar con una gran
deformación; por otro lado hay que considerar que la
misma carga terminaría por aumentar el nivel de esfuerzo.
Los resultados se reportan en la Tabla subsiguiente:
Tabla 2 – Comparativa de resultados. Cambio en el espesor de la viga
Modelo h=0.025 h=0.05 h=0.02
Desplazamiento máximo
total 0.28308 0.27055 0.28464
Deformación total
equivalente máxima 0.028636
5.1484e-
002
2.2303e-
002 ---
Esfuerzo máximo 14.732 30.045 10.77
Energía de deformación 1.344e-
008
1.1896e-
004
5.9429e-
006
Debe de tomarse en cuenta que los valores son los
máximos, por tanto podrían referirse a concentradores de
esfuerzos dentro de la estructura debidos a la
discretización. Sin embargo, el esfuerzo es un indicador
para considerar si la estructura o no trabaja dentro de
límites seguros.
4. Cambio en el periodo de la función de la viga
La razón primordial para que la curva de los travesaños
fuera dada por la ec.(1) fue para asegurar una deformación
específica de la estructura al ser sometida a una carga. Se
observa que esta es de tipo trigonométrico.
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Otra posibilidad planteada para generar variaciones de
la celda base fue ajustar la fórmula de tal forma que la
curva del travesaño es ahora dada por la ec. (2):
( ) ( ) ( ( )) ⁄ (2)
Donde el parámetro A controla el periodo de la función
trigonométrica. En el caso A=1, se obtiene la celda base.
La Figura 5 muestra las geometrías simuladas.
a) A=1
b) A=1/2
c) A=1/4
d) A=4/3
Figura 5. Geometrías modificadas en la función de viga
La Tabla 3 muestra los resultados máximos de forma
análoga.
Tabla 3 – Comparativa de resultados. Cambio en el espesor de la viga
Modelo A=1 A=1/2 A=1/4 A=4/3
Desplazamiento
máximo total 0.28308 0.25205 0.252 0.252
Deformación
total
equivalente
máxima
0.028636 1.0096e-
002
1.8199e-
002
1.5421e-
002 ---
Esfuerzo
máximo 14.732 4.9628 7.1242 3059.8
Energía de
deformación
1.344e-
008
1.8901e-
006
7.3139e-
006
1.2979e-
003
Los resultados muestran que el desplazamiento total
entre las celdas modificadas es más cercano al valor del
desplazamiento de las condiciones de frontera. Las
deformaciones equivalentes se encuentran en rangos muy
próximos (1-2 %).
En cuanto a los esfuerzos máximos, la discrepancia es
mayor. En particular para el último caso si bien existen
concentradores de esfuerzos; el valor demasiado elevado (y
por consiguiente el de energía de deformación) indica con
gran probabilidad un error numérico.
5. Cambio en el soporte de los travesaños
Por último, se considera una opción adicional para
rigidizar los travesaños.
Análisis anteriores mostraron que la distancia entre los
travesaños es prácticamente invariable a pesar de la
deformación; pero la existencia de elementos tipo columna
garantizaría esa distancia, la ausencia de contacto entre
travesaños y aumentarían la rigidez general de la
estructura.
La Figura muestra las adecuaciones hechas a la celda
original.
Figura 6. Geometría modificada con elementos tipo
columna
Los resultados obtenidos nuevamente se listan como
Tabla:
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Tabla 4 – Comparativa de resultados. Adición de elementos columna
Modelo Celda base Columnas
Desplazamiento
máximo total 0.28308 0.26804
Deformación total
equivalente
máxima
0.028636 3.5576e-002 ---
Esfuerzo máximo 14.732 16.669
Energía de
deformación 1.344e-008 1.3432e-005
La evidencia indica que si bien los soportes adicionales
en sí no se deforman ni se esfuerzan particularmente, la
rigidez sí aumenta para toda la estructura, teniendo un
desplazamiento menor, un esfuerzo ligeramente mayor,
pero sobre todo un aumento de la energía de deformación.
6. Resultados generales
Del escalamiento empleado en la geometría original, si
bien obviamente la deformación y el nivel de energía
absorbidos no son iguales, se verifica que el mecanismo de
rigidez negativa funciona de manera normal aún con el
cambio de dimensiones al permitir una deformación
completa de la celda con mayor facilidad.
Sin embargo, la escala manejada dificultaría una
reducción excesiva de esta dimensión, en caso de que se
decidiera llevar a cabo experimentación con una geometría
real.
El cambio de la curva del travesaño tiene un efecto más
importante para la rigidez general de la estructura. La
geometría de la deformación también cambia.
Teóricamente la mayor sinuosidad sería favorable al
permitir una mayor deformación; sin embargo los
resultados muestran concentradores de esfuerzos y valores
peligrosos para una operación segura.
La adición de elementos de soporte a los travesaños
parece favorable para la operación, puesto que no modifica
la geometría ni la deformación de forma radical pero
aumenta la energía de deformación. Sin embargo, no se
sabe cómo puede interactuar con las otras modificaciones.
Por otro lado, falta analizar el comportamiento de las
celdas como un arreglo completo, como el propuesto
originalmente en la Figura1.
7. Conclusiones
El objetivo de los cambios propuestos a la geometría de
Correa (2015) fue la de aumentar la absorción de energía
en una escala más pequeña, compatible con la
implementación en aplicaciones biomédicas. Por otro lado,
el cambio de material también se hizo con miras al fácil
desarrollo de un prototipo rápido, con la perspectiva de la
comprobación experimental de los resultados obtenidos.
Los valores obtenidos muestran una relación entre la
construcción de la celda y su rigidez, por tanto su
desempeño. Dependiendo de la futura aplicación que se le
dé, puede o no ser deseable tener más rigidez.
En el caso de la absorción de energía, a mayor
deformación, esta se incrementa, aunque el riesgo de llegar
a la falla del material aumenta. Por otro lado, la
rigidización excesiva implica que un mismo
desplazamiento de la estructura conlleva un esfuerzo
mayor.
Puesto que algunas geometrías mostradas operan dentro
del límite de desplazamiento y esfuerzos, se verifica la
factibilidad del cambio de rigidez del concepto original
para una aplicación distinta.
Agradecimientos
Se agradece a la Universidad de Guanajuato el acceso a la
licencias de SolidWorks y ANSYS 15®
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