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Física 2º Bachillerato Tema 5. Campo eléctrico

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TEMA 5

CAMPO ELÉCTRICO

1.- Cargas eléctricas. Electrización. 2.- Ley de Coulomb.

I. Principio de superposición. 3.- Campo eléctrico. 4.- Líneas del campo eléctrico. 5.- Energía potencial eléctrica.

I. Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales. 6.- Diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de un campo eléctrico. Potencial eléctrico.

I. Potencial en un punto de un sistema de cargas puntuales. II. Relación entre el campo eléctrico y el potencial eléctrico. III. Superficies equipotenciales. IV. Relación entre el trabajo y la diferencia de potencial. V. Campo eléctrico entre placas paralelas de carga opuesta. VI. Movimiento de cargas dentro de un campo eléctrico.

7.- Flujo del campo eléctrico. 8.- Teorema de Gauss.

I. Aplicaciones. 9.- Esferas conductoras puestas en contacto mediante un hilo conductor.

1. Cargas eléctricas. Electrización. Benjamín Franklin (1706—1790) fue el primero en introducir los nombres de carga

positiva y carga negativa al referirse a la carga eléctrica.

En general, damos el nombre de carga puntual a todo cuerpo que está electrizado

cuando no se tienen en cuenta sus dimensiones.

La carga eléctrica que poseen los cuerpos puede ser de dos tipos: la que adquiere, por

ejemplo, el vidrio, es positiva (pierde electrones cuando se frota con un paño de lana y

este los gana) y la que adquiere, por ejemplo, el ámbar, es negativa (gana electrones

cuando se frota con un paño de lana).

Los materiales que no conducen la electricidad se denominan aislantes o dieléctricos.

El ámbar, el vidrio, la porcelana o los plásticos son sustancias de este tipo.

Los materiales que conducen la electricidad son conductores. Los metales, el grafito, las

disoluciones acuosas de electrolitos, el suelo o el cuerpo humano, por citar algunos

ejemplos, son conductores.

Entre los átomos se transfieren tan solo electrones, nunca protones. Un cuerpo con

carga negativa tiene un exceso de electrones, mientras que a un cuerpo con carga

positiva le faltan electrones.


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La electrización es el fenómeno por el cual los objetos adquieren carga eléctrica. En el

proceso de electrización no se crea carga eléctrica; simplemente pasan electrones de un

objeto a otro.

Los objetos se pueden electrizar de tres formas: por frotamiento, por contacto o por

inducción.

� Electrización por frotamiento.

Al frotar una varilla de vidrio con un trozo de seda, se intercambia la energía

necesaria para que pasen electrones desde el vidrio a la seda. En el proceso, el

vidrio se carga positivamente y la seda lo hace negativamente. De igual forma, si

se frota una barra de plástico con un paño de lana pasan electrones desde el paño a

la barra. El plástico se carga negativamente y la lana positivamente.

� Electrización por contacto

Al acercar un objeto cargado a otro descargado hay una redistribución de las

cargas dentro de éste, de modo que las cargas de distinto signo quedan enfrentadas

en los dos objetos e inicialmente ambos se atraen.

Una vez que los objetos entran en contacto la carga eléctrica se redistribuye por

ellos y, como consecuencia, se repelen entre sí. Por contacto se pueden electrizar

tanto las sustancias aislantes como las conductoras


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� Electrización por inducción

Al acercar una varilla de vidrio cargada positivamente a un objeto cuya superficie

es conductora, se produce un movimiento de electrones en la superficie, de forma

que estos se acumulan en el lado próximo a la varilla, dejando el lugar más

alejado cargado positivamente.

Si a continuación se conecta a tierra el conductor, manteniendo la presencia de la

varilla, electrones procedentes de la tierra neutralizan la carga positiva del

conductor. Si se interrumpe la conexión a tierra antes de retirar la varilla, el

conductor queda cargado negativamente y la carga se redistribuye por toda su

superficie de forma uniforme. Por influencia solamente se electrizan las sustancias

conductoras.

2.- Ley de Coulomb. Es la ley que rige la interacción entre carga eléctricas. Se enuncia de la siguiente forma:

El valor (módulo) de la fuerza con la que dos cargas puntuales se atraen, si son de

distinto signo, o se repelen, si son del mismo signo es directamente proporcional al

producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las

separa.

rres un vector unitario en la dirección de la recta que une las cargas

El valor de la constante de proporcionalidad depende del sistema de unidades elegido y

del medio en el que se encuentran las cargas.

rrr

22 r

q . Qk F ;

r

q . Qk F ==


4

La constante k tiene como valor: πε4

1=k , en la que ε es una constante llamada

constante dieléctrica o permitividad del medio.

Si las cargas se encuentran en el vacío y se emplea el SI, k= 8,987.109 N. m

2. C-2,

aunque usaremos como valor 9.109.

La unidad de carga eléctrica es el culombio (C) que se define como la cantidad de carga

eléctrica que pasa por la sección de un conductor durante un segundo cuando la

corriente es de un amperio. Generalmente se emplea un múltiplo del culombio llamado

microculombio ( )Cµ que equivale a 10-6C.

CC 6101 −=µ

Al ser la fuerza una magnitud vectorial hay que indicar además del módulo, la dirección

y sentido de la fuerza de interacción eléctrica. La dirección es la de la recta que une

dichas cargas y el sentido el que indique el sentido de atracción o repulsión entre la

cargas dado por la ley de Coulomb.

Actividad 1.- Dibuja el vector fuerza que actúa entre dos cargas negativas.

Actividad 2.- ¿A que distancia se deben colocar dos cargas iguales de 1µC cada una para que se repelan con la fuerza de 1 N?

Actividad 3.- ¿Cuál es el significado físico de la constante k de la ley de Coulomb? Actividad 4.- Una partícula de masa 100 g está cargada con 1 µC y se mantiene en equilibrio a una distancia de 50 cm en su vertical de otra partícula también cargada.

¿Cuánto vale la carga de esta segunda partícula?

2.I.- Principio de superposición

Si una carga está sometida simultáneamente a la acción de varias cargas, la

fuerza resultante se obtiene sumando vectorialmente las fuerzas con las que

interaccionan cada una de las cargas con la primera.

.... F F F 3 1,2 1,1 ++=rrv


5

Para aplicar este principio:

1. Se elige un sistema de coordenadas cuyo origen coincida con la carga que está sometida a la

fuerza resultante que queremos calcular.

2. Se halla el módulo de cada una de estas fuerzas por separado.

3. Se dibuja el diagrama de las fuerzas.

4. Se hace la descomposición cartesiana de las fuerzas.

5. Se calcula la resultante, teniendo en cuenta el principio de superposición y que la suma es una suma vectorial.

Actividad 5.-Tres cargas eléctricas de -2, 3 y 1 µC están colocadas en los puntos (2, 0), (0, 3) y (0, 0), respectivamente. Calcula la fuerza que actúa sobre la tercera carga, si las

coordenadas están expresadas en cm.

3.- Campo eléctrico.

Existe un campo eléctrico en una región del espacio si, una carga en reposo colocada en

un punto de esa región, experimenta una fuerza eléctrica.

El campo eléctrico, igual que el campo gravitatorio, es un campo vectorial que queda

determinado por su intensidad, las líneas de fuerza o líneas de campo y el potencial.

La intensidad de campo eléctrico en un punto Er, se define como la fuerza que actúa

sobre la unidad de carga positiva situada en el punto.

E . q F ; q

F E

rrr

r==

La intensidad de campo eléctrico o campo eléctrico es un

vector cuyo módulo por la definición sería:

En la expresión anterior q es la carga que crea el campo y r la

distancia que separa la carga del punto donde se va a calcular el

vector campo o intensidad de campo eléctrico.

La dirección del vector sería la de la recta que une la carga con el

punto y el sentido el que coincida con el del movimiento que

seguiría la unidad de carga positiva situada en el punto por acción de la carga que

genera el campo.

La intensidad de campo eléctrico se mide en N/C.

2r

k.qE =


6

Se puede escribir: rr

kqrEE

rrr

2. == . Siendo r

r un vector unitario en la dirección de la

recta que une la carga con el punto y sentido de la carga al punto P.

Actividad 6.-Dibuja el vector campo creado por una carga positiva en un punto situado verticalmente respecto a la carga eléctrica y el creado por una carga negativa en un

punto situado horizontalmente respecto a la carga eléctrica.

Principio de superposición

Para calcular el campo creado por un conjunto de cargas en un punto se calcula el

campo creado por cada una de las cargas y el campo resultante será la suma vectorial

de los campos creados por cada una de las cargas.

Para aplicar este principio:

1. Se elige un sistema de coordenadas cuyo origen coincida con el punto donde se va a calcular la intensidad de campo eléctrico.

2. Se halla el módulo de cada una de los campos eléctricos debidos a cada una de las cargas por separado.

3. Se dibuja el diagrama de los vectores intensidades de campo eléctrico

4. Se hace la descomposición cartesiana de los vectores.

5. Se calcula la resultante, teniendo en cuenta el principio de superposición y que la suma es una suma vectorial.

Actividad 7.-a) En un sistema de coordenadas, en el que las coordenadas se miden en cm, se encuentran dos cargas eléctricas iguales de 10

-8C situadas en los puntos (2, 0) y

(-2, 0). Halla el campo eléctrico en el punto (-4, 0). b) Halla el campo en el punto (1, 1), si una carga es positiva y la otra negativa.

4.- Líneas del campo eléctrico

Por ser el campo eléctrico un campo de fuerzas se puede representar gráficamente

mediante las llamadas líneas de campo, que son líneas tangentes al vector campo en

cada punto. Salen de las cargas positivas (fuentes de campo) y terminan en las cargas

negativas (sumideros de campo).

...321 +++= EEEErvrr


7

En las figuras anteriores se han representado las líneas de campo correspondientes a una

carga positiva (fig.a), una carga negativa (fig.b) y dos cargas positivas. Si se quisiera

representar el esquema de las líneas de campo de dos cargas negativas lo que cambiaría

respecto a la tercera figura sería el sentido de las líneas de campo, que en este caso,

estarían dirigidas hacia las cargas.

Para cargas de distinto signo el esquema sería como

muestra la figura adjunta.

El número de líneas de

campo hay que dibujarlo de

manera que sea proporcional a la carga. Por ejemplo, si una

carga es 2q y otra q, de la primera saldrán el doble de

líneas.

Las líneas de campo marcan las trayectorias que sigue una

carga abandonada en reposo en el interior del campo.

5.- Energía potencial eléctrica.

De igual manera que ocurre en el campo gravitatorio,

la fuerza eléctrica también es una fuerza conservativa

y esto hace que en el campo eléctrico se pueda

definir una función llamada energía potencial

eléctrica. Consideremos una partícula q que se

traslada desde el punto A al B de un campo eléctrico

creado por otra carga Q siguiendo el camino APB.

Por ser una fuerza conservativa se cumple la relación:

pE- B)(AW ∆=→ = EpA-EpB

∫ ∫ ∫ ∫∫ ==+==→B P

22

B

P Q.qK dr .

r

q . QK ºF.dr.cos90º0 cos .dr . F rd . F B)W(A

A A

P

A

P

A r

drrr

P

A

r

rrqQKBAW

−=→1

..)(

Considerando que BP rr = ; y sustituyendo los límites para calcular el valor numérico de

la integral:

BA

BAAB

EpEpr

qQK

r

qQK

rrqQKBAW −=−=

+−=→

....11..)(


8

Tomando como origen de referencia para la energía potencial eléctrica el infinito:

Ar

qQK ..1

r

1 KQq

r

q . QK

r

q . QK )W(A

AA

=

∞−=−=∞→

∞

La energía potencial eléctrica de una carga q situada a una distancia r de otra carga Q

será:

La energía potencial es el trabajo que realiza la fuerza eléctrica para separar las cargas a

una distancia infinita una de la otra. Será positiva si las dos cargas tienen el mismo

signo y será negativa si las dos cargas son de signo contrario. Se mide en julios en el

S.I.

De la expresión matemática que da la diferencia de energía potencial entre dos

puntos se deduce que el trabajo realizado por la fuerza eléctrica es positivo al separar

cargas del mismo signo o al acercar cargas de signo opuesto por lo que estos procesos

son espontáneos.

BA

BAAB

EpEpr

qQK

r

qQK

rrqQKBAW −=−=

+−=→

....11..)(

5.I.- Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales.

Si se tiene un sistema formado por más de dos cargas, la

energía potencial del sistema se obtiene calculando la

energía potencial eléctrica para cada pareja de cargas y

sumando algebraicamente todos los términos.

Actividad 8.-En los vértices de un triángulo equilátero de 20 cm de lado se encuentran situadas tres cargas de 4, -8 y -10 µ C, respectivamente. Calcula la energía potencial

eléctrica del sistema.

6.- Diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de un campo eléctrico. Potencial eléctrico.

Se define diferencia de potencial eléctrico, V∆ , entre dos puntos de un campo

eléctrico como la variación de la energía potencial eléctrica por unidad de carga:

q

EpVVV AB

∆=−=∆

r

qQKEp

..=

23

32

13

31

12

21 ......

r

qqK

r

qqK

r

qqKEp ++=


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Dividiendo la expresión que da la diferencia de energía potencial entre dos puntos entre

q:

BA

BAAB

VVr

QK

r

QK

rrq

qQK

q

BAW−=−=

+−=

→ ..11..)(

Tomando como punto de referencia para tomar el origen del potencial en el infinito,

entonces VB=0 y entonces el valor del potencial debido a una carga Q en un punto

situado a una distancia r de la carga es:

r

QKV

.=

El potencial eléctrico se mide en voltio (v). 1 voltio = 1 julio / 1 culombio. El potencial

eléctrico es una magnitud escalar.

La unidad de potencial, el voltio, se define como el potencial creado en un punto por

una carga cuando se realiza un trabajo de un julio para trasladar una carga de un julio

desde el infinito hasta el punto.

A diferencia del potencial gravitatorio que siempre es negativo, el potencial eléctrico

puede ser positivo se la carga que crea el campo es positiva o negativo si la carga es

negativa.

El potencial eléctrico (V) en punto se define como la energía potencial eléctrica por

unidad de carga o como el trabajo que habría que realizar para trasladar la unidad de

carga positiva desde el infinito al punto. Si la carga para la cual se quiere calcular el

potencial en un punto es positiva:

∞

Q (+) P rdr F

r

∫ ∫∞ ∞====

P P

2 r

KQ dr .

r

KQ- 180º cos .dr . F

q

W V

Si la carga fuera negativa el potencial sería negativo:

∞

Q (-) P Fr rd

r

∫ ∫∞ ∞====

P P

2 r

KQ- dr .

r

KQ 0º cos .dr . F

q

W V


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El potencial eléctrico creado por una carga puntual en un punto disminuye con la

distancia del punto a la carga si la carga es positiva y, aumenta con dicha distancia si la

carga es negativa. Para una carga positiva alcanza su mínimo valor en el infinito y para

una carga negativa alcanza su máximo valor en el infinito.

6.I.- Potencial eléctrico en un punto creado por un sistema de cargas puntuales. El potencial de varias cargas en un punto se obtiene aplicando el principio de

superposición, es decir, será la suma algebraica de los potenciales debidos a cada una de

las cargas.

V = V1 + V2 + V3 + …..

Actividad 9.-Tres cargas eléctricas de -3, -10 y 8 Cµ se encuentran situadas en los

puntos (3,0); (0,0) y ((0,4), respectivamente de un sistema de coordenadas en el que las

distancias están expresadas en metros. Calcula el potencial en el punto (3,4).

6.II.- Relación entre el campo eléctrico y el potencial eléctrico. Para una carga puntual si relacionamos el valor del potencial con el módulo de la

intensidad de campo eléctrico:

2 ;

r

KQE

r

KQV == . Se observa que: rEV .=

Para cualquier distribución de carga:

;BAWEp →=∆− dividiendo entre q: ∫∫

===∆− →

B

A

B

ABA rdq

F

q

rdF

q

W

q

Ep rrrr

..

∫=∆−B

ArdEV ;.rr Multiplicando por -1 y pasando a diferenciales, el campo eléctrico y

el potencial están relacionados por la expresión:

α cos .dr . E- rd . E- dV ==rr

αcos.dr

dVE −=

En el caso de un campo uniforme, entonces dV = -Ex . dx . cos 0º = -Ex . dx.

dx

dV- E x =

Esto significa que el vector campo va dirigido siempre hacia puntos de potenciales

decrecientes


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Para campos uniformes desplazándose la carga en la dirección del campo:

VA – VB = ∆V = E.d

EpA-EpB =∆Ep = q.E.d

6.III.- Superficies equipotenciales.

Se definen como el lugar geométrico de todos los puntos que tienen el mismo valor del

potencial. Para una carga puntual, todos los puntos que equidistan de la carga tienen

igual potencial, por lo tanto, una superficie esférica con centro en la carga será el lugar

geométrico de todos los puntos con igual valor del

potencial y esa será la superficie equipotencial.

Las líneas de fuerza son perpendiculares a las

superficies de potencial, ya que al trasladar una carga

de un punto a otro de una superficie equipotencial la

diferencia de potencial es cero por lo que:

rdErdEdVrrrr.0 ;. −=−=

Para que el producto escalar sea 0, debe cumplirse

que los vectores rdErr

y sean perpendiculares, es

decir que el campo sea perpendicular al desplazamiento infinitesimal a lo largo de la

superficie equipotencial y, por lo tanto, perpendicular a dicha superficie.

6.IV.- Relación entre el trabajo y la diferencia de potencial. El trabajo realizado por el campo (por la fuerza eléctrica) para trasladar una carga Q

desde un punto A hasta otro B de un campo eléctrico es:

Actividad 10-¿Cuánto vale el trabajo realizado para trasladar una carga Q de un punto a otro de una superficie equipotencial?

Actividad 11-Dos cargas eléctricas de 2 y -4 Cµ se encuentran situadas en los puntos

(0,6) y (0,-6) de un sistema de coordenadas expresado en metros. ¿Cuál es el trabajo

realizado por el campo para llevar una carga de 3 Cµ desde el punto (0,4) hasta el

punto (8,0)? ¿Y el trabajo realizado por un agente externo?

W = Q ( VA – VB)


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6.V.- Campo eléctrico entre placas planas y paralelas de carga opuesta. Si se considera el campo uniforme:

d

VE ; Ed V

∆==∆

El campo está dirigido de la placa positiva a la negativa.

Actividad 12-Se tienen dos placas planas y paralelas separadas 10 cm. Se libera un protón en reposo en la placa positiva mediante una diferencia de potencial de 8000 V.

¿Cuál es el campo eléctrico uniforme existente entre las placas? ¿Con qué velocidad

llegará el protón a la placa negativa? (qp=1,6.10-19 C; mp=1,67.10

-27 kg)

6.VI.- Movimiento de cargas dentro de un campo eléctrico

Por ser el campo eléctrico un campo conservativo, se cumple

Ep d . F-

Ep dr . F-

∆=

∆=∫r

En la expresión anterior se ha considerado los vectores Fr y rd

r con el mismo sentido

El criterio a seguir para determinar el sentido de desplazamiento de una carga

abandonada a su propia evolución en el seno de un campo eléctrico será:

0WB

A(campo)⟩

B

campoAW )( = d . E . q )V - (V q- AB =

� Si dicha carga se considera positiva, el sentido espontáneo de evolución sería el de

potencial decreciente, ya que.

BA

BAA

BA

B

(campo)A

V V :entonces :0 qser por que, forma de

0 V (V q 0 (campo) Wcomoy

)V - (V q V . q- W

⟩⟩

⟩−⇒⟩

=∆=

Si q > 0 entonces VA > VB. Una carga positiva pierde energía potencial eléctrica cuando

se mueve en el sentido del campo eléctrico.

� Si se adopta como carga de prueba la unidad de carga negativa, el sentido de

evolución se invierte, en virtud del siguiente razonamiento:


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BA BA

BA

B

(campo)A

V V 0 V - V:entonces :0 qser por pero,

0 )V - (V q W

⟨⇒⟨⟨

⟩=

Si q < 0 entonces VA < VB. Una carga negativa gana energía potencial eléctrica cuando

se mueve en el sentido del campo eléctrico.

Actividad 13.-Si una carga positiva se mueve en sentido contrario del campo ¿Aumenta o disminuye su energía potencial? ¿Y si es una carga negativa? Razona la respuesta.

7.- Flujo eléctrico Se entiende por flujo de un campo eléctrico a través de una superficie como el número

de líneas de fuerza que la atraviesan.

El flujo depende de tres factores:

Es proporcional a la intensidad. Es proporcional a la superficie. Depende de la posición que ocupa la superficie respecto a la dirección de las líneas de fuerza. El flujo es máximo si la superficie es perpendicular a las líneas

de fuerza y nulo se forman un ángulo de 0º.

Si representamos por α, el ángulo formado por las líneas de fuerza con la normal a la

superficie y por Φ el flujo, podemos escribir para el campo eléctrico:

Φ = E .S.cos α

Si representamos la superficie mediante un vector,

llamado vector superficie, cuya dirección sea normal a

la superficie, aplicado en su centro, cuyo módulo sea el

valor de la superficie y cuyo sentido venga dado por la

parte convexa de la superficie, las ecuaciones anteriores

se pueden escribir como el producto escalar de dos

vectores:

Φ = S . Err

Vemos que el flujo es una magnitud escalar.

Si el campo no es uniforme, la intensidad en cada punto de la superficie no es la misma.

Para hallar el flujo en este caso se divide la superficie en elementos Sdr de superficie

infinitamente pequeños en los que se pueda considerar el campo constante. El flujo

elemental dΦ a través de cada uno de estos elementos de superficie será:

dΦ = Sd . Err


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El flujo total a través de toda la superficie vendrá dado por la integral:

=Φ ∫S Sd . Er

8.- Teorema de Gauss

Supongamos una carga positiva Q. Dibujamos una

superficie esférica (llamada superficie gaussiana) con

centro en Q que rodee a la carga y de cualquier radio.

Vamos a calcular el flujo que atraviesa la superficie

gaussiana elegida arbitrariamente. Observando la figura

y que el módulo del campo eléctrico en cada punto de

la superficie valdrá KQ/r2.

Φ = ∫∫ ∫ =====S

0

2

22S S

Q KQ4 r4 .

r

KQ dS

r

KQ cos . dS . E Sd . E

εππα

rr

Se ha sustituido K = 04

1

πε

Se observa que el flujo es una magnitud escalar, independiente del radio de la superficie

gaussiana elegida y que es proporcional a la carga encerrada en la superficie y su signo

dependerá del signo de la carga.

Si consideramos varias cargas, el flujo total será la suma de los flujos individuales de

cada carga:

Φt = 0

Q

ε

Σ

Esta expresión se conoce como teorema de Gauss: “El flujo neto que atraviesa una superficie cerrada cualquiera, es igual a la suma algebraica de las cargas eléctricas

en ella dividida entre la constante dieléctrica del vacío”

El flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada

depende solo de la carga que hay encerrada dentro de dicha

superficie, por lo que el flujo a través de la superficie S vale

0

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q

ε=Φ ; a través de la superficie S’, la carga encerrada es la

suma algebraica de las cargas 2q y 3q , y, el flujo a través de

S’’ es cero, ya que 0=encerradaq


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Si suponemos varias superficies de distinta forma

rodeando a una carga q, el flujo eléctrico a través de cada

una de ellas es el mismo por aplicación del teorema de

Gauss, puesto que cada una encierra la misma carga y

como se observa en la figura el número de líneas de

fuerza que atraviesan a todas las superficies es el mismo.

8.I.- Aplicaciones del teorema de Gauss El método consiste en rodear el cuerpo cuyo campo vamos a calcular por una superficie

gaussiana de tal manera que el campo sea normal a ella y que el área de la superficie sea

conocida.

a) Distribución de cargas en un conductor cargado, aislado y en equilibrio

En el interior de un conductor en equilibrio, el campo es

nulo, ya que si no lo fuera, las cargas eléctricas del

interior se desplazarían y no estaría en equilibrio.

Aplicando el teorema de Gauss, y considerando cualquier

superficie cerrada interna en el conductor, al ser nulo el

campo, el flujo a través de cualquier superficie cerrada

próxima a la superficie del conductor es nulo. En

consecuencia, aunque el conductor esté cargado, la carga

neta interior qint es nula (qint = 0),

El exceso de cargas positivas o negativas se distribuye en la superficie del conductor. La

carga eléctrica de un conductor cargado en equilibrio está distribuida uniformemente

por su superficie.

En el exterior de un conductor cargado el campo es perpendicular a la superficie, ya que

si no fuera así, habría una componente del vector Er paralela a la superficie del

conductor que provocaría que las cargas libres se movieran y, en ese caso el conductor

no estaría en equilibrio

b) Campo eléctrico creado por un aislante en forma de una esfera maciza uniformemente cargada. En un aislante, la carga eléctrica no está distribuida solo por su superficie sino que se

mantiene distribuida por toda la esfera. Designamos a la densidad de carga por unidad

de volumen mediante ρ .


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b1) En un punto exterior de la esfera: Supongamos una esfera uniformemente cargada y vamos a calcular, por aplicación del

teorema de Gauss, la intensidad del campo creado por ella en un punto A que dista r del

centro de la esfera cargada. Siendo R el radio de la esfera y cumpliéndose que Rr⟩

Construimos una superficie esférica concéntrica con la

esfera que pase por el punto A y aplicamos el teorema de

Gauss, teniendo en cuenta que el módulo del campo es

constante en cada punto de la superficie:

Φ = ∫ ∫ ∫ ====S S S

2 KQ4 r 4 . E dS . E 0º cos . dS . E Sd . E ππrr

; E = 2r

KQ

Observando este resultado el campo creado por una

esfera de carga Q uniformemente repartida es el mismo que el que crearía una carga

puntual del mismo valor Q que la carga de la esfera colocada en el centro de la esfera.

b2) En un punto interior de la esfera

Construimos una superficie gaussiana que pase por el punto interior en el que se quiere

calcular el campo y tal que el radio de la superficie gaussiana, r, sea más pequeño que el

radio de la esfera maciza.

Aplicando el teorema de Gauss:

0

24..ε

π encerrada

SS

qrEdSESdE ====Φ ∫∫

rr

Despejando E: 0

2

.

...4 επ r

qE enc=

Considerando que la densidad volumétrica de carga, ,ρ será: V

q=ρ :

3

.sup .3

4.. rVq gaussianaencerrada πρρ ==

Sustituyendo este valor en la ecuación del campo, da como resultado:

rr

r

E00

2

3

3..4

..3

4.

ε

ρ

επ

πρ==

Llamando Q a la carga total de la esfera: 3..

3

4a

Q

π

ρ =


17

Sustituyendo este valor y dado que 0..4

1

επ=K

a para ;..

...4

.33

0

⟨== ra

rQK

a

rQE

επ

Actividad 14.- Calcula, aplicando el teorema de Gauss, el campo eléctrico creado por una esfera maciza aislante, de carga 4 Cµ y radio 20 cm. a) en un punto situado a 10 cm de su centro; b) en un punto situado a 30 cm de su centro.

c) Campo eléctrico debido a una superficie esférica en un punto interior a ella.

Supongamos una esfera hueca conductora con la carga eléctrica

distribuida en su superficie

Se elige como superficie gaussiana una superficie esférica que pase

por el punto en el que se desea calcular el campo eléctrico. En el

interior de dicha superficie no hay carga eléctrica por estar ésta

distribuida por la superficie esférica exterior. Aplicando el teorema

de Gauss:

0

24..ε

π encerrada

SS

qrEdSESdE ====Φ ∫∫

rr

Al ser 0=encerradaq queda 04. 2 =rE π ; y por lo tanto: 0=E

El campo eléctrico en el interior de cualquier superficie esférica cargada es nulo.

Actividad 15.- Calcula, aplicando el teorema de Gauss, el campo eléctrico creado por una esfera hueca conductora, de carga 10 Cµ y radio 30 cm. a) en un punto situado a 18 cm de su centro; b) en un punto situado a 40 cm de su centro.

d) Campo eléctrico creado por un hilo conductor cargado e indefinido.

Las líneas de campo tendrán dirección perpendicular al hilo

y si la carga es positiva se alejarán del hilo.

Se toma como superficie gaussiana un cilindro: coaxial con

el hilo de longitud h y de radio r. Llamamos λ a la carga

eléctrica por unidad de longitud (densidad lineal de carga):

L

q=λ

Φ = Φbases + Φsup. lateral ;


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Φbases = 0 ; porque 0 sd . E entoncesy laresperpendicuson sdy E =rrrr

Calculando el flujo a través de la superficie lateral y teniendo presente que la superficie

lateral es un rectángulo de base la longitud de la circunferencia de radio r y de altura h

∫ ∫ ∫ ∫ ======Φ h .r 2 . E S . E ds E ds . E 0 cos . ds . E sd . E πrr

Teorema de Gauss: 00

encerrada h .

q

ε

λ

ε==Φ ; ya que hq

h

qencerrada

encerrada .. ; λλ ==

Igualando: 00 r 2

E h

h r E.2επ

λ

ε

λπ =⇒=

e) Campo eléctrico debido a una placa conductora uniformemente cargada

Sea una placa conductora indefinida con un campo eléctrico uniforme σ por unidad de

superficie. Suponemos carga positiva.

S

Q=σ

La intensidad de campo eléctrico E, tendrá el mismo

valor a ambos lados de la placa y estará dirigido

perpendicularmente a ella y con el sentido marcado en la

figura.

Consideramos como superficie gaussiana un cilindro

cuyas bases, de área S, serán paralelas a la base y estarán

situadas a la misma distancia de ella. En una de ellas

estará el punto P en el que se quiere calcular el campo

eléctrico. El flujo a través del cilindro elegido como

superficie gaussiana, será:

∫∫∫∫ ++==Φlateralerferiorbaseeriorbasecilindro

SdESdESdESdE.supsup inf

T .... rrrrrrrr

En la superficie lateral sdy Err son perpendiculares por lo que 0. S.dE =

rr

En las bases: E.S :constante Eser al ;0 .cos E.dS S.dE =Φ==Φ ∫ ∫rr

Φbase inferior = Φbase superior = E .S

ΦT = E S + E S = 2.E.S


19

Por otro lado, aplicando el teorema de Gauss: 00

S .

Q

ε

σ

ε==Φ

Se ha tenido en cuenta que a partir del concepto de densidad superficial de carga, el

valor de la carga será: SQ .σ=

Igualando las dos expresiones del flujo:

2ES = ; S2

S E ;

S

00 ε

σ

ε

σ=

02 E

ε

σ=

9.- Esferas conductoras puestas en contacto mediante un hilo conductor. Cuando dos esferas conductoras se ponen en contacto mediante un hilo conductor se

produce un proceso de transferencia de carga eléctrica de la esfera que se encuentra a

mayor potencial a la que se encuentra a menor potencial hasta que los potenciales de las

dos esferas después de la transferencia se igualan.

Llamando ´

1V y '

2V a los valores de los potenciales de las esferas después de

ponerlas en contacto y, '

2

'

1 y qq a las cargas de cada esfera después de ponerlas en

contacto, las dos ecuaciones que se deben plantear son:

1) '

2

'

1 VV = , es decir, 2

2

'

2

2

1

'

1 ..

r

qK

r

qK=

2) La segunda ecuación es la que indica la conservación de la carga, es decir: '

2

'

121 qqqq +=+

Actividad 16.-Dos esferas metálicas conductoras, de 2 y 4 cm de radio, cargadas cada una de ellas con 5.10

-8C, se encuentran en el vacío. Si se unen dichas esferas mediante

un hilo conductor, calcula el potencial y la carga de cada esfera después de producirse la

unión.


20

EJERCICIOS DE CAMPO ELÉCTRICO

1. Si entre dos cargas eléctricas existe un punto en el que el campo eléctrico es nulo, ¿qué indica sobre la naturaleza de las cargas? Razona la

respuesta.

2. Calcula el campo eléctrico en el punto B de la figura.

3. Un campo uniforme vale 6000 N/C. Un protón se libera en la placa positiva. ¿Con qué velocidad llega a la placa negativa si la separación entre placas es 0,2 m? (q =

1,6.10-19 C, m = 1,67.10

-27 Kg)

4. Una carga de 6 µC se encuentra en el origen de coordenadas. Calcula:

a) ¿Cuál es el potencial a una distancia de 4 m?

b) ¿Qué trabajo hay que hacer para trasladar otra carga de 2 µC desde el infinito

hasta esa distancia?

c) ¿Cuál será la energía potencial de esa carga en dicha posición?

5. Dos cargas puntuales de 2 µC y -10-6 C, están situadas, respectivamente, en los puntos (1, 0) y (0, 2) de un sistema de coordenadas, cuyas distancias se miden en

cm. Calcula el campo eléctrico y el potencial eléctrico en el punto (2, 1).

6. Tres cargas eléctricas de 10-6 C están situadas en un sistema de coordenadas en los puntos (-1,0); (1, 1) y (0, 1). Las distancias expresadas en m. Calcular:

a) El campo eléctrico en el origen de coordenadas.

b) La energía potencial del sistema.

7. Tres cargas puntuales iguales de 3 µC cada una, se encuentran colocadas en los puntos (0,0); (0,30) y (60,0) de un sistema de coordenadas, en el que las distancias

vienen expresadas en cm. Calcula la fuerza que actúa sobre otra carga igual a ellas,

situada en el punto (60,30), por acción de las otras cargas.

8. Dos esferas penden del mismo punto colgadas del techo. Cada una tiene una masa de 0,5 g. La longitud de los dos hilos es de 35 cm y se establece el equilibrio cuando

los hilos se separan un ángulo de 40º. Calcula la carga de cada esfera si están

igualmente cargadas.


21

9. Tres cargas puntuales q1= 4 Cµ ; q2= 6 Cµ y q3= -8.10-6 C se encuentran situadas en

los puntos (0,0) y (4,0) y (2,0) de un sistema de coordenadas en el que las

coordenadas están expresadas en m Calcula: a) La intensidad del campo eléctrico en el punto A (2,2); b) El potencial en el punto A y en el punto B (0,2) y el trabajo que realizan las fuerzas eléctricas cuando una carga q= 3 Cµ se desplaza desde A hasta

B. c) El trabajo necesario para trasladar la carga de 3 Cµ se desplaza desde B hasta

A K=9.199 N.m

2/C2

10. Representa las líneas de campo entre dos cargas, una positiva +3 q y otra de valor –q.

11. Una esfera de 50 g se encuentra situada en un campo eléctrico jirv55 10.610.8 + ,

sujeto de un hilo. Si se alcanza el equilibrio cuando la carga se separa 20º de la

vertical, calcula el valor de la carga y la tensión de hilo.

12. Una esfera de 5 g de masa tiene una carga de -4.10-6 C. ¿Cuál debe ser el campo eléctrico que deberíamos aplicar para que la esfera permanezca en reposo sin caer al

suelo?

13. Una esfera de masa 3 mg está sujeta mediante un hilo, que tiene un punto fijo, verticalmente, en una región del espacio en la que hay un campo eléctrico de valor

4000 ir N/C. Alcanza el equilibrio al separarse 30º de la vertical. ¿Cuánto vale la

carga?

14. Un electrón se lanza horizontalmente con una velocidad v0 dentro de un campo eléctrico uniforme vertical y en sentido hacia arriba. Halla la ecuación de la

trayectoria que describe.

15. Dos esferas metálicas de 6 y 9 cm de radio se cargan a 10-6C cada una, y luego se unen con un hilo conductor. Calcula:

a) El potencial de cada esfera después de la unión.

b) La carga de cada esfera después de la unión.

16. Cuando se conectan los bordes de una batería de 400 voltios a dos láminas paralelas separadas a una distancia de 2 cm, aparece un campo eléctrico uniforme entre ellas.

a) ¿Cuánto vale la intensidad de ese campo?

b) ¿Qué fuerza ejerce el campo anterior sobre el electrón? (q = 1,6.10-19 C)

17. Para dos cargas iguales, ¿en qué punto (que no sea el infinito) una tercera carga no experimentaría ninguna fuerza resultante?


22

A B

20V 14V 8V

18. Si se libera un protón desde el reposo en un campo eléctrico uniforme, ¿aumenta o disminuye su energía potencial?

19. Una esfera de 10 g se encuentra situada en un campo eléctrico jirv55 10.810.6 + ,

sujeto de un hilo. Si se alcanza el equilibrio cuando la carga se separa 30º de la

vertical, calcula el valor de la carga y la tensión de hilo.

20. Una pequeña esfera que tiene una masa de 0,3 g y una carga eléctrica de 0,1 Cµ ,

se encuentra sujeta al extremo de un hilo de 10 cm de longitud y de masa

despreciable, y está colocada dentro de un campo eléctrico uniforme de 5000 ir N/C.

Cuando se alcance el equilibrio, ¿qué ángulo forma el hilo con la vertical y cuál es

la tensión del hilo? Haz un diagrama de las fuerzas que intervienen.

21. Si en un punto A el potencial eléctrico es +20 V y en otro punto B es +8 V, razona si una carga positiva se moverá

espontáneamente de A hacia B o de B hacia A. Si la carga que se

mueve es de 2 C, calcula la energía cinética que adquiere al final,

partiendo del reposo.

22. En el laboratorio se dispone de dos placas metálicas planas separadas una distancia de 25 cm entre sí. Entre ellas se ha colocado un resorte de constante elástica 40 N/m

del que cuelga una pequeña bolita cargada con una carga q. Cuando se establece una diferencia de potencial de 1000 V entre las

placas, siendo la superior positiva, se observa que

el resorte se alarga una distancia de 10

cm ( cm 10=Φ ),. Suponiendo que el campo

eléctrico entre las placas es uniforme: a) Dibuja las fuerzas que actúan sobre la bolita cuando se

establece la diferencia de potencial y explica el

motivo del alargamiento; b) calcula la carga de la bolita, especificando su signo; c) En la práctica es imposible mantener la bolita perfectamente aislada, por lo que su carga va disminuyendo con el tiempo. Se

observa que al cabo de 20 minutos el alargamiento del resorte es de 6 cm. ¿A qué

ritmo se disipa la carga de la bolita? Expresa el resultado en culombios por minuto

(C/min)

23. Una pequeña esfera cargada de masa 0,4 g, se introduce sujeta de un hilo, de masa despreciable, entre dos láminas

verticales, paralelas y cargadas, separadas una distancia de

10 cm, entre las que el campo eléctrico es uniforme. La

carga de la esfera es 8 Cµ y en equilibrio el hilo forma con

la vertical un ángulo de 30º. a) Representa las fuerzas que actúan sobre la esfera en la posición de equilibrio y el signo

de las placas; b) Calcula el valor de la tensión y el del


23

campo eléctrico; c) ¿Cuánto vale la diferencia de potencial que existe entre las placas? G= 9,81 m/s

2

24. Una partícula se desplaza en la dirección de un campo eléctrico de forma que su energía potencial aumenta. ¿Qué signo tiene la carga?

25. Dos placas horizontales están igualmente cargadas con distinta polaridad, la diferencia de potencial entre las placas es 6000 V y la distancia entre ellas es 3

cm.a) Determina la intensidad del campo eléctrico que hay entre las placas. b) Introducimos una bolita cargada con una carga de 2,5.10

-7 C que cuelga

verticalmente de un hilo. Determina la masa de la bolita si la tensión del hilo es

igual a cero. c) Si invertimos la polaridad de las placas, ¿cuál será el valor de la tensión del hilo? a) _ b) _ c)

+

+

+ _

26. Dos esferas conductoras de radios 5 cm y 10 cm, se hallan cargadas de modo que sus superficies están a un potencial de 1000V y -1000 V, respectivamente. Si se

encuentran en el vacío y entre sus centros existe una separación de 2 m, calcula: a) La fuerza que ejercen entre sí ambas esferas. b) La carga de cada esfera si ambas se unen con un cable conductor, así como el potencial de cada esfera después de la

unión. K=9.109 N.m

2/C2

tema 5 · 2018. 6. 22. · física 2º bachillerato tema 5. campo eléctrico 3 electrización por...

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