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Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1

TEMA 40. Geometría de la circunferencia.


1. Introducción.

La circunferencia con el triángulo son sin ninguna duda las dos figuras en dos dimensiones

más estudiadas en las matemáticas. La Grecia clásica la consideraba por su simetría infinita

una figura perfecta al igual que la esfera en 3 dimensiones. La importancia filosófica de la

circunferencia en el giro de los planetas en torno al Sol hace que aunque la observación

demostraba que este no era su movimiento se tardara muchos años, hasta Kepler, para asumir

la trayectoria elíptica de los mismos.

La circunferencia no sólo es importante en si misma, casi todas las figuras planas

importantes no rectilíneas formadas a partir de de la circunferencia: la cicloide, la cardiode, el

astroide, entre otras.

A partir del estudio de las áreas y longitudes del círculo y de la circunferencia se descubre

un número irracional que se denotará como π= longitud circunferencia/ diámetro. Su nombre

se debe primera letra de perímetro.

2. Definición y generalidades.

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de otro punto,

denominado centro. La distancia de los puntos al centro se denomina radio.

La construcción de la circunferencia se basa en la definición, así conocido el centro y el

radio la curva se obtiene fijando una cuerda o un compás del tamaño del radio en el centro y el

otro extremo recorriendo todos los puntos posibles.

La circunferencia divide al plano en tres regiones disjuntas:

• Puntos exteriores a la circunferencia.

• Puntos de la circunferencia.

• Puntos interiores, todos ellos forman en círculo.

La propiedad más importante de la circunferencia, y la que la concedía la consideración a

los griegos de “figura perfecta” es su infinita simetría. Toda recta que pase por el centro de la

circunferencia es un eje de simetría. El centro, intersección de todos los ejes de simetría es un

punto de simetría.

Segmentos y líneas fundamentales de la

circunferencia: pueden verse en el dibujo

Se llama radio y diámetro tanto al segmento

representado en el dibujo como al tamaño de dicho

segmento. Al tamaño se les suele representar como r,

para el radio y d para el diámetro (2r=d).



3. Estudio analítico de circunferencia.

3. 1. Ecuaciones Cartesianas.

La ecuación que cumple los puntos de una circunferencia se puede obtener de forma fácil

a partir de la definición como lugar geométrico. Si el centro de la misma es O(xo,yo) y el radio

es r, calculemos la ecuación de C(x,y) conjunto de los puntos que son de la circunferencia.

cuadradoalelevandoryyxxyyxxOPPOd oooo =−+−=−−== 22 )()(),(),( :

222 )()(: ryyxxC oo =−+−

Si desarrollamos los cuadrados viene dada como x2+y

2+Ax+By+C=0, donde se cumple que

el centro será O(-A/2,-B/2) y r2=(A

2+B

2)/4-C.

Nota: al cular el radio al cuadrado este da negativo se llama circunferencia imaginaria (no

tiene representación en los número reales).

3. 2. Ecuaciones en polares.

Las coordenadas en polares son (ρ, ϕ), donde ρ=distancia al centro y ϕ=ángulo con el eje

OX; así x=ρ·cos(ϕ), y=ρ·sen(ϕ).

La ecuación en polares de la circunferencia centrada en el origen es muy sencilla ρ=r con

ϕ∈[0,2π).

Para el caso genérico sustituyendo x e y por su expresión en polares tenemos:

( ) ( ) 0)()(·2)·cos(2)(·)·cos(222222

0

2

0 =−++−−→=−+− ryxsenyxrysenx oooo ϕϕρϕρϕρ

3. 3. Ecuaciones en paramétricas.

Si tomamos t como parámetro, siendo este el ángulo de los puntos de la circunferencia

con respecto al radio horizontal positivo la ecuación en paramétricas es muy sencilla:

3. 4. Determinación de una circunferencia con 3 puntos.

Una circunferencia determinada si conocemos tres parámetros, las dos coordenadas del

centro xo, yo y el radio, r. Se necesitan por tanto conocer 3 puntos de la circunferencia para

determinar la misma. Así si tenemos 3 puntos P(Px,Py), Q(Qx, Qy) y R(Rx,Ry) podemos sacar

estos tres parámetros a partir de resolver el siguiente sistema.

P(xo +r·cos(t), y0+r·sen(t))

t

O(xo,yo) r

x= xo+r·cos(t)

y=yo+rsen(t)

t∈[0,2π)



=−+−

=−+−

=−+−

222

222

222

)()(

)()(

)()(

ryRxR

ryQxQ

ryPxP

oyox

oyox

oyox

Si los 3 puntos no alineados una única solución.

Podemos calcular el centro y el radio más fácil de forma

geométrica calculando el circuncentro (intersección de las

mediatrices del triángulo PQR). El circuncentro será el centro

de la circunferencia siendo el radio de la misma la distancia

del centro a cualquiera de los 3 puntos.

4. Posiciones relativas de la circunferencia con otros elementos.

4. 1. Circunferencia y un punto.

Si tenemos una circunferencia c y un punto P(Px,Py) pueden darse las siguientes posiciones

relativas entre ambas:

• El punto pertenece a la circunferencia, es decir la distancia con el centro es r, y cumple

por tanto la ecuación de la misma: d(P,O)=r �222 )()( ryPxP oyox =−+−

• El punto exterior a la circunferencia, la distancia con el centro mayor al radio, cumple

por tanto: d(O,P)>r � 222 )()( ryPxP oyox >−+− .

• El punto es interior a la circunferencia, es decir la distancia con el centro es menor al

radio, cumple por tanto d(O,P)<r � 222 )()( ryPxP oyox <−+− .

4. 2. Circunferencia y una recta.

Dada una circunferencia c: (x-xo)2+(y-yo)

2=r

2 y una recta r: y=mx+n tres opciones:

1. Secantes: la recta corte a la circunferencia en dos puntos, por lo que el sistema dado

por

+=

=−+−

nmxy

ryyxx oo

222 )()(dos soluciones. Se cumple que el discriminante de la

ecuación de segundo grado es positivo, ya que d(y=mx+n, O(xo,yo))<r

2. Recta tangente: sólo un punto en común, se cumple que la recta es perpendicular al

radio que pasa por el punto en común (distancia mínima). El sistema anterior una

única solución porque el discriminante vale 0 al cumplir d(y=mx+n, O(xo,yo))=r

3. Recta exterior a la circunferencia: no tienen ningún punto en común, el sistema por

tanto no tiene soluciones. El discrimínate es negativo al ser d(y=mx+n, O(xo,yo))>r.



Para calcular la distancia de una recta r: mx-y+n=0 a un punto, O(xo,yo) se utiliza la fórmula

que se obtiene calculando la distancia del centro a el punto de corte de la recta perpendicular

y-yo=-1/m(x-xo) con r: 21

)),(,(m

nymxyxOnmxyd

oo

oo

+

+−=+=

4. 3. Dos Circunferencias.

Las diferentes posiciones relativas de 2 circunferencias c1 con centro en O1(x1,y1) y radio r1

y c2 con centro en O2(x2,y2) y radio r2 se pueden diferenciar en 6 tipos según los puntos de

corte y las distancias de los centros respecto a los valores de los radios:

Posición relativa Dibujo Puntos en común Distancia centros (d)

Exteriores

Ninguno d>r1+r2

Tangentes

exteriores

Uno d=r1+r2

Secantes

Dos |r1-r2|<d<r1+r2

Tangentes

Interiores

Uno d=|r1-r2|

Interiores no

Concéntricas

Ninguno 0<d<|r1-r2|

Concéntricas

Ninguno d=0



Si resolvemos el sistema los puntos en común son los valores de (x,y) que resuelven

=−+−

=−+−2

2

2

2

2

22

2

2

2

1

2

11

)()(:

)()(:

ryyxxc

ryyxxc

Siendo las distancias entre los centros d(O1,O2)=2

21

2

21 )()( yyxx −+−

5. Tangentes a las circunferencias.

5. 1. Definición y cálculo

Una recta es tangente a una circunferencia cuando únicamente tiene un punto en común,

llamado punto de tangencia. Propiedades:

1. La recta es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia.

2. La recta dista del centro el valor del radio.

3. Por un punto P exterior se pueden trazar dos rectas tangentes que pasarán por dos

puntos de tangencia T y T’ donde se cumple que d(P,T)=d(P,T’) y la bisectriz pasa por el

centro de la circunferencia. Demostraciones:

1. Por definición de tangencia.

2. Si sólo tiene un punto en común ese punto es el más cercano a la circunferencia y por

tanto al centro. La distancia de este punto al centro es r pues es un punto de la misma.

3. Veamos de forma analíticamente la demostración: supondremos que la circunferencia

centrada en el origen y el punto exterior en el eje OX: c:(x-xo)2+(y-yo)

2=r

2 y P(x1,0) , x1>r.

Toda recta que pase por P(x,0) será de la forma r:y=m(x-x1) con m=pendiente∈ . La

distancia de la recta r:mx-y-mx1 al origen viene dada por 2

2

1

22

1 m

xmd

+= , luego al tener

que cumplir la igualdad las pendientes válidas serán 22

1 rx

rm

−±= que tiene dos

soluciones al ser x1>r (exterior). Por otro lado al tener misma pendiente pero

cambiada de signo los ángulos con el eje OX son )()( marctymarct −=−= αα ,

luego la bisectriz será el eje OX que pasa por el centro de la circunferencia (origen).

Corolarios:

1. Dadas dos rectas secantes podemos trazar una circunferencia tangente a ambas cuyo

centro esté en la bisectriz del ángulo que forman.

2. La circunferencia es la envolvente de las rectas que distan una distancia r del centro



Cálculo de las tangentes a una circunferencia: por invariancia traslacional podemos

suponer la circunferencia centrada en el origen de coordenadas, es decir su ecuación es

x2+y

2=r

2 o en paramétricas (r·cos(t), r·sen(t)). Calculamos la pendiente de la recta tangente en

el punto P(xo , yo) que pertenece a la circunferencia (cumple xo2+yo

2=r

2) calculando la derivada

en el punto, y calculamos la tangente por la ecuación punto pendiente:

a) En Implícitas: 2x·dx+2y·dy=0 � m=

o

o

y

x

dx

dy−= ; y=yo+m·(x-xo).

b) En paramétricas (xo=x(to), yo=y(to)) � m= )(cot)(·

)·cos(o

o

o tgtsenr

tr

dx

dy−=−= ; y=yo+m·(x-

xo).

5. 2. Tangentes comunes a dos circunferencias.

El número de tangentes comunes, así como la disposición de las mismas varía según la

posición relativa de las dos circunferencias, veamos cada caso:

a) Las dos circunferencias son exteriores: tiene dos tangentes interiores y dos exteriores.

Las rectas se cortan en la recta que contiene los dos centros de estas circunferencias.

b) Las dos circunferencias tangentes exteriores: tiene dos tangentes exteriores y una

tangente en el punto de tangencia.

c) Las circunferencias son secantes: tiene dos tangentes exteriores.

d) Las circunferencias tangentes interiores: única recta tangente en el punto de tangencia



5. 3. Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia.

Es el cuadrilátero formado por 4 rectas cualesquiera tangentes a una circunferencia dada.

Se cumple que la suma de los lados opuestos es constante.

Demostración: por la propiedad 3 se cumple que EB=FB,

FC=GC, DG=DH y EA=HA. Así tenemos que:

AD+BC=AH+HD+BF+FC=AE+DG+BE+CG=AE+EB+DG+CG=AB+DC

6. Ángulos sobre la circunferencia.

6.1.Ángulos centrales, arcos y cuerdas.

Si en una circunferencia trazamos dos semirectas (r y s) con origen en el centro de la

circunferencia (O), estas cortan en dos puntos A y B con la circunferencia formando un ángulo

interno α= )(AOB∠ y otro exterior ϕ=360o-α. Estos dos ángulos se llaman ángulos centrales.

Nota: α+ϕ=2πrad=360o

El segmento AB se denomina cuerda y la porción de

circunferencia entre A y B se llama arco.

Proposición: en toda circunferencia si tenemos dos arcos iguales (o cuerdas iguales) le

corresponden ángulos centrales iguales o viceversa.

Demostración:

⇒ Sean dos ángulos centrales iguales que cortan con la circunferencia en los puntos A y B

uno y otro en A’y B’. Se forman dos triángulos AOB y A’OB’ que cumplen: a) un ángulo

)(AOB∠ = )''( OBA∠ igual (por proposición), b) dos lados iguales |OA|=|OA’|=r y

|OB|=|OB’|=r. Luego por proposiciones de igualdad de triángulos se cumple que los dos

triángulos son iguales y por tanto |AB|=|A’B’|.

⇐ Si tenemos que |AB|=|A’B’| como |OA|=|OA’|=r y |OB|=|OB’|=r por propiedades de

los triángulos se cumple que los triángulos AOB y A’OB’ iguales, y por esto

)(AOB∠ = )''( OBA∠ .

Corolario: dos cuerdas iguales equidistan del centro y por tanto la envolvente de las

cuerdas de una circunferencia iguales es otra circunferencia concéntrica.



Demostración: sean las cuerdas |AB|=|A’B’|, entonces los triángulos AOB y A’OB’ iguales,

y por tanto misma altura que es la distancia del centro a la cuerda.

Relación metrica entre ángulo central, cuerda substenida y flecha del arco.

cuerda=AB=2·r·sen(α/2)

flecha=r-d=r·(1-r·cos(α/2))

6.2.Ángulos inscritos. Arco capaz.

Definición: un ángulo se dice inscrito en una

circunferencia si su vértice situado en la circunferencia y sus

lados secantes a la circunferencia.

Teorema: todo ángulo inscrito y central en una circunferencia que abarcan mismo arco,

cumplen que el ángulo central es el doble del ángulo inscrito.

Demostración:

Por tanto ϕ1 que es suplementario de γ1 vale: ϕ1=180-(γ1)=180-(180-2·α1)=2· α1.

Corolario 1: sea un arco de cuerda en la circunferencia AB,

todos los ángulos internos de la circunferencia que abarque mismo

arco miden lo mismo siendo su valor la mitad del central.

A B

α1

α2

ϕ1

ϕ2

γ1

γ2

Si trazamos la recta que pasa por C y el centro O esta nos

divide en dos ángulos iguales tanto el ángulo central

(ϕ=ϕ1+ϕ2) como el inscrito (α=α1+α2).

Si vemos entonces que 2·α1=ϕ1 entonces se cumplirá que

2·α=ϕ cumpliéndose la proposición.

Tenemos que en el triángulo AOC los lados |AO|=|CO|=r

luego se trata de un triángulo isósceles, por lo que

también los ángulos α1= A , de esta forma γ1=180-2·α1.



Corolario 2: todo ángulo inscrito sobre un diámetro de la circunferencia es siempre recto

(90o) ya que su ángulo central de igual cuerda (diámetro) vale 180

o

Se llama arco capaz de un segmento AB y un arco α<90o al lugar geométrico de los puntos

P que cumple que el ángulo α=∠ )(APB

Proposición: el arco capaz de AB con ángulo α está formado

por dos arcos de circunferencia en donde los centros O y O’

cumplen α2)'()( =∠=∠ BAOAOB .

Demostración es una consecuencia del teorema anterior.

Cálculo del radio de las circunferencias que forman el arco

capaz:

)(·2 αsen

ABr =

7. Construcción de polígonos regulares inscritos en una circunferencia

Todo polígono regular cumple que se pueden representar inscritos en una circunferencia

debido a que triángulos que se forman al unir los vértices con el centro son isósceles. De esta

manera si dividimos la circunferencia, 360o, en n ángulos iguales de valor α=360/n si unimos

estos puntos se forman un polígono regular de n lados.

En los polígonos regulares es muy fácil por razones trigonométricas relacionar el lado del

polígono, la apotema (altura de los anteriores triángulos isósceles) y el radio de la

circunferencia circunscrita a partir del número de lados y por tanto del ángulo α=360/n. Un

caso particular es el hexágono donde al ser α=360/6=60o el triángulo es equilátero y l=r.

l/2=r·sen(α/2)

l/2=ap·tg(α/2)

ap=r·cos(α/2)

8. Longitud y área de la circunferencia y del círculo. Radian.

Para calcular la longitud y el área de una circunferencia podemos hacerlo de forma

semejante a como lo hicieron los griegos a partir del área y de un polígono de n lados cuando n

tiende a infinito.

120o

r r

A B

2·α

2

·

2

)··( apperaplnarea ==

Nota: 1lim =∞→ x

senx

n



Lcircunferencia= rnrnn

senrnlnnnn

·2/··2·lim··2·lim·lim πππ

==

=∞→∞→∞→

Acirculo=2·

2

1·····2lim

2

)/·cos()·/(·2·lim

2

·lim r

n

rrnnrnrsennapper

nnnπ

πππ===

∞→∞→∞→

Para calcular la longitud y el área de un arco y de un sector circular no tenemos más que

aplicar proporcionalidad con el ángulo del sector o del arco.

Larco= rLcirc ·

2

·α

πα

= y Asector= 2

·

2

· 2rAcirc απα

=

A partir de la longitud del arco podemos definir el radian

como el ángulo en el que la longitud del arco es igual a la del

radio de la circunferencia (Larco=1·r)

9. Potencia de un punto respecto a una circunferencia.

9.1 Definición de potencia.

Dado un punto P en cualquier punto del plano y una circunferencia de centro C. Si

trazamos una secante por P a la circunferencia esta se cortan en 2 puntos A y B. Puede ocurrir

tres cosas:

(a) P fuera (b) P interior (c) P exterior

Se define potencia de P sobre una circunferencia c como Potc(P)=k= PBPA· donde se

cumple en (a) k>0, en (b) k<0, en (c) k=0. De esta forma el signo de la potencia nos marca la

posición del punto P en la circunferencia.

Teorema: la potencia de un punto sobre una circunferencia no depende de la recta

secante trazada.

Demostración:

Los ángulos 'ˆˆ BB = pues abarcan el mismo arco

AA’. De esta forma los triángulos PAB’ y PA’B son

semejante al tener dos ángulos iguales, el ángulo

P que es común y el ángulo 'ˆˆ ByB . Por tanto los

lados son semejantes:

PB

PB

PA

PA '

'= � PA·PB=PB’·PA’

P A

B P

P=A

B

B

A

P A’ B’

B

A



Al ser independientes de la secante por simplicidad se puede trazar la secante más sencilla que

pase por el centro de la circunferencia:

K=Potc(P)=PH·PJ=(d-r)·(d+r)=d2-r

2

Observaciones:

1) Si potc(O)=-r2 pues d=0

2) Todos los puntos con misma potencia define una circunferencia concéntrica ya que son

los puntos con misma distancia, d, del centro O

3) Matemáticamente si la ecuación de la circunferencia es c: x2+y

2+Ax+By+C=0 y P(a,b) se

cumple: O(-A/2, -B/2) , r2=A

2/4+B

2/4-C � d

2=(d(P,O))

2=(a+A/2)

2+(b+B/2)

2 y por tanto la

potencia será: Potc(P)=d2-r

2=(a+A/2)

2+(b+B/2)

2-( A

2/4+B

2/4-C)=a

2+b

2+Aa+Bb+C, que

resulta de sustituir el punto P (x=a, y=b) en la ecuación de la circunferencia.

9.2 Eje radical de dos circunferencias.

Definición: se llama eje radical de dos circunferencias al conjunto de puntos que cumplen

que tienen igual potencia respecto ambas circunferencias.

Matemáticamente es muy fácil ver que es una recta: si la circunferencias son

c1:x2+y

2+Ax+By+C=0 y c2:x

2+y

2+A2x+B2y+C2=0 la potencia son los valores de x e y que cumplen

que x2+y

2+Ax+By+C= x

2+y

2+A2x+B2y+C2 � (A-A2)x+(B-B2)y+(C-C2)=0, que es una recta y se llama

eje radical.

Construcción gráfica y casos:

a) Exteriores: b) Se cortan c) tangentes

9.2 Centro radical de 3 circunferencias.

El centro radical de tres circunferencias es el punto que cumple que su potencia es el

mismo para las tres circunferencias. Es por tanto el punto de corte de los tres ejes radicales

generados por las tres circunferencias relacionándolas dos a dos. Las tres rectas son:

(1) r1 :(A1-A2)x+(B1-B2)y+(C1-C2)=0

P

O H

d r J



(2) r2: (A1-A3)x+(B1-B3)y+(C1-C3)=0

(3) r3 :(A3-A2)x+(B3-B2)y+(C3-C2)=0

Nota (1)-(2)=(3) luego sobra una recta para calcular el punto de corte.

Centro no alineados Circunferencias tangentes centros alineados

Se cortan los 3 ejes Mismo eje Ejes paralelos

10. Conclusiones.

La geometría básica de la circunferencia se trabaja en los tres primeros cursos de la ESO,

estudio del área, longitud, elementos de la mima. En 4º de la ESO en Matemáticas académicas

se comienza a dar la geometría de forma aritméticas y se calcula la ecuación de la

circunferencia como lugar geométrico.

En 1º de bachillerato de ciencias hay un tema de cónicas donde se trabaja la ecuación de la

circunferencia así como el de las rectas tangentes.

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