LA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO

DE VISTA ANÁLITICO

RUBEN BLANCAS RIVERA

CIRCUFERENCIA COMO CÓNICA

Si el plano corta completamente a lo largo de uno de los dos

conos, y este plano es perpendicular al eje del cono, la curva de la

sección obtenida se denomina circunferencia

DEFINICIÓN

Wotton W, Beckenbach E ,Fleming F.(1996) definieron en su obra a la circunferencia como “al lugar geométrico (conjunto) de todos los puntos del plano que están a una distancia dada (radio) de un punto dado (centro).Al segmento cuyos extremos son el centro del círculo y a un punto de la circunferencia se llama segmento radial de la circunferencia”.

También LEHMAN C. (1980) definió a la circunferencia como “el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre una distancia constante de un punto fijo de ese plano. Donde el punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio”.

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUFERENCIA

Definición de distancia de dos

puntos

Ecuación Canónica de la

circunferencia

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

.

Luego definamos de la ecuación como:

Así obtenemos la siguiente ecuación,

sustituyendo.

Ecuación general, o ecuación

cartesiana de la circunferencia.

TRANSFORMACIÓN DE LA ECUACIÓN

GENERAL A LA FORMA CANONICA DE

LA CIRCUFERENCIA

Recordemos la forma de la ecuación general o

cartesiana de la circunferencia.

Luego, usaremos un poco de algebra, lo cual

es primero despejar y completar cuadrados.

ANALIZANDO LA PARTE DERECHA DE LA

ECUACIÓN ANTERIOR

1.- Si la ecuación

representa una circunferencia de radio:

Y centro: C(-D/2,-E/2)

2.- Si la ecuación representa

un punto o circunferencia de radio cero.

3.- Si entonces no hay lugar

geométrico.

TANGENCIA

Se define a la recta tangente de una

circunferencia como la recta que tiene un

punto interceptado con un solo punto de la

circunferencia.

De acuerdo a la definición podemos tomar un

punto T (y´, x´) , que es el punto de

tangencia, de una circunferencia de radio r.

Sea , note que LT es

tangente a la circunferencia si y solo si es

perpendicular a r.

Sea , punto genérico, note que si

, v es un vector de dirección de LT.

Así si y sólo si v es perpendicular a r, o bien

Así

O bien si

Por lo tanto tenemos:

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE EN

PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA

ALGUNAS APLICACIONES DE LA

CIRCUNFERENCIA

En la prehistoria, con la invención de la

rueda se dio inicio a toda la tecnología de

hoy en día, todo gracias a este invento, la

rueda, y aunque sea indirectamente, y en

este caso tenemos aplicaciones de la

circunferencia

PROBLEMA

Un servicio sismológico de Baja California

detectó un sismo con origen en la ciudad de

Mexicali a 5 km este y a 3km sur del centro

de la ciudad, con un radio de 4km a la

redonda. ¿Cuál es la ecuación de la

circunferencia del área afectada? Utilizando

esta ecuación, indica si afecto a la Ciudad de

Mexicali.

SOLUCIÓN:

Note que el epicentro se encuentra en (5,-3) , un

punto del plano donde el eje x delimitado con

dirección hacia x positiva el este, hacia x

negativa el oeste ,y el eje y , hacia el norte las y

positiva y al sur las y negativa, así por hipótesis

este punto tiene sentido en el plano de acuerdo

a como se dio las direcciones. Así obtenemos

de acuerdo a la hipótesis una circunferencia de

radio r=4 con centro en (5,-3). Usando la

ecuación canoníca de la circunferencia:

Así la ecuación de la circunferencia pedida

Observemos que la ciudad de Mexicali se

encuentra en el punto (0,0), veamos qué

(0,0) satisface la ecuación de la

circunferencia así sabremos si afecta a la

ciudad el sismo o no.

Al sustituir vemos que no satisface la

ecuación, por lo tanto, el sismo no afecto la

Ciudad de Mexicali.

CONCLUSIÓN

Con esta teoría sobre las representaciones analíticas que tiene la circunferencia podemos tener ya una noción más de este lugar geométrico, se vio que no es complejo entender todo esto, se necesitan nociones muy básicas de algebra y geometría analítica. Cuando se inicio todo esto se buscaba dar una breve pero entendible explicación sobre la circunferencia en la geometría analítica.

Se espera que el estudiante haya sido este ensayo de lo más fructífero para él, que pueda llevar el aprendizaje paralelo a lo que ve en un salón de clases.

REFERENCIAS:

Wooton, W. (1979) Geometría Analítica México: McGraw hill

Lehmann, C. (1990).Geometría Analítica. México: Limusa

Kindle ,J. (1988). Geometría Analítica. México: McGraw hill

Kletenik, D. (1998). Geometría Analítica. México: McGraw hill

Grossman ,S. (2008). Algebra Lineal. México: McGraw hill