tema 3 rentas
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ÍndiceRentas
1. Introducción2. Clasificación de rentas
3. Renta constante3.1 Renta constante pospagable3.2 Renta constante prepagable3.3 Renta constante perpetua3.4 Renta constante diferida3.5 Renta constante anticipada
4. Renta variable4.1 Rentas variables sin ley conocida4.2 Rentas variables con ley conocida
4.2.1 Rentas en progresión geométrica4.2.2 Rentas en progresión aritmética
5. Rentas fraccionadas6. Rentas valoradas a más de un tanto
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Cuando en una operación financiera intervienen un conjunto de capitales convencimientos equidistantes en el tiempo.Los capitales que componen la renta se llaman Términos de la Renta y los subintervalosPeriodos de Maduración.
Rentas 1. Introducción
C 1 C 2 C n
t 0 t 1 t 2 t n-1 t nEn una Renta se distingue:Su origen (momento t 0 de inicio del primer periodo de maduración)Su final (momento t n en el que finaliza el último periodo de maduración)Su duración (tiempo entre el final y el origen t n – t 0)Por ejemplo un contrato de alquiler de un inmueble por 2 años con pagos mensuales eldía dos de cada mes es una fuente de Renta. La Renta está constituida por el conjuntode pagos que se realizan durante 2 años, teniendo en cuenta que cada uno va asociadoa un periodo de maduración mensual.Otros ejemplos de Renta serían: sueldos, cupones que producen unas obligaciones,dividendos de unas acciones, valor de la producción de una finca rústica,….
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En una renta se puede determinar: el valor final en un momento cualquiera no anterioral vencimiento del último término, el valor actual en cualquier momento no posterior
al vencimiento del primer término y eventualmente el valor en un momento intermedioentre el primer y último vencimiento.El cálculo del valor final requiere fijar una ley de interés, habitualmente, al tratarse deoperaciones a más de un año, ésta será la del interés compuesto ; el cálculo del valoractual requiere utilizar una ley de descuento, normalmente aplicaremos la deldescuento racional compuesto ; por último el cálculo del valor en un momento
intermedio requiere precisar ambas leyes y emplearemos la del interés y el descuentoracional compuesto.
Además, deberán cumplir las siguientes condiciones: los términos de la renta han deser iguales, y si son variables la variación ha de ser conocida; los períodos devencimiento de los términos han de ser equidistantes, es decir, han de tener el mismovencimiento, anual, mensual, . . .
Rentas 1. Introducción
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Clases de rentas• Según la cuantía de los capitales
• Constante. Cuantías iguales; (dentro de ella está la renta unitaria cuantía launidad)• Variable. Cuantías distintas
• Variable sin seguir ley matemática• Variable siguiendo ley matemática
• En progresión geométrica
• En progresión aritmética• Según el número de términos. Duración• Temporal (duración finita). [t 0 , t n] • Perpetua (duración infinita). [t 0 , ∞ ]
• Según el vencimiento• Pospagable (rentas con vencimiento de los términos al final de su periodo)
• Prepagable (los vencimientos coinciden con el extremo inferior del periodo)En las rentas prepagables el origen de la renta coincide con el vencimiento delprimer término, mientras que el final de la renta será posterior al último vencimientoy por el contrario, en las rentas pospagables, el origen es anterior al vencimiento delprimer capital y, sin embargo, el final coincide con el vencimiento del último término.Un ejemplo de renta prepagable serían los alquileres, que en general se pagan por
anticipado. Como ejemplo de pospagable estan los sueldos, que suelen cobrarse aperíodo vencido.
2. Clasificación de rentasRentas
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• Según momento de valoración de la renta respecto al origen o al final
• Inmediata. Momento α de valoración está situado en el intervalo [t 0 , t n]
• Deferida. Momentoα
de valoración es anterior al origen de la Rentaα
< • Anticipada. Momento α de valoración es posterior al final de la Renta α >t n
• Según la periodicidad del vencimiento• Entera• No entera• Fraccionada (periodicidad con que se hacen efectivos los sucesivos capitales esinferior al año, produciéndose pagos y cobros mensualmente, trimestralmente,semestralmente, etc.)
• Según la ley financiera• Simple. Para su cálculo recordar suma de progresión aritmética
• Compuesta. Para su cálculo recordar suma de progresión geométrica2
1 naanS
crecienteprogresión
edecrecientprogresión
1
1
1
1
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n
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Rentas 2. Clasificación de rentas
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• Según la aleatoriedad• Cierta. Se conocen los términos de la Renta y su Duración
• Aleatoria. No se conocen con certeza, aunque se conoce su distribución deprobabilidad. Ejemplo: la pensión de un jubilado cuya duración es aleatoria.
• Según la amplitud de los periodos de maduración• Discretas. Periodo de maduración finitos
• Periódicas. Todos los periodos de igual amplitud. La mayoría de las rentas
en la práctica.• No periodicas.
• Continuas. Periodos infinitesimales, flujo continuo de capitales.
Rentas 2. Clasificación de rentas
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(*) El valor ac tua l de una renta constante se representa mediante el símbolo (a histor iada) y se obtienesumando las cuantías equivalentes en el momento 0 (origen) a cada una de las unidades monetarias quecomponen la renta
)1(1
razóndeedecrecientgeométrica progresiónunadetérminosdesumalaesque
)1( 1)1( 1......)1( 1)1( 1 120
ir n
iiiiaV nnin
3.1 Renta Constante PospagableEstudiamos una renta constante, temporal, inmediata, entera y pospagable. Aunque no
se diga expresamente se calculará en régimen de compuesta (renta compuesta).
Cálculo del valor actual (*):• Renta unitaria
ina
ina
V 0? 1 1 1 ….. 1 1
0 1 2 3 ….. n -1 n
(1+i)-1
(1+i) -2
(1+i) -3
……… (1+i) – (n-1)
(1+i) – n
3. Renta ConstanteRentas
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i
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comocalcular puedeseque
• Renta no unitaria, con términos de cuantía C
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......)1()1( 12120
Rentas 3. Renta Constante
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(*) El valor f ina l se representa mediante el símbolo (s histor iada) y se obtiene sumando las cuantíasequivalentes en el momento n a cada una de las unidades monetarias que componen la renta
)1(razóndecrecientegeométrica progresiónunadetérminosdesumalaesque
)1()1(......)1()1(1 122
ir niiii sV nn
inn
• Renta unitaria
in s
Cálculo del valor final (*):
ii
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1)1(1)1(
1)1()1(1
1
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así
comocalcular puedeseque
1(1+i)
(1+i) 2
……… ………
(1+i)n-2
(1+i) n-1
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1 1 ….. 1 1 1
0 1 2 ….. n -2 n-1 n
V n?
Rentas 3. Renta Constante
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• Renta no unitaria, con términos de cuantía C
iiC sC
iiiiC iC iC iC iC C S V n
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1......)1(
1)1(
1)1(
121
12
así
actualvalor elndocapitalizavalor mismoelobtener podríamosTambién
Rentas 3. Renta Constante
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El valor ac tual y e l va lor f ina l de la renta son capitales equivalentes puesto que midenlo mismo (el valor de la renta) en dos momentos diferentes de tiempo (t 0 y t n ). Por ello, siconocemos una de las cuantías podemos calcular la otra.
Así, para pasar de 0 n en capitalización compuesta tenemos que multiplicar pory para pasar 0 n de hay que multiplicar por
ni)1( ni )1(
inn
ininn
ininin
inn
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S i A AiS nS n A
siaai sn sna
*)1(;*)1();();(
*)1(;*)1();();(
Conclusión final
Rentas 3. Renta Constante
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Ejemplo: Calcular el valor inicial y final de una renta pospagable, de 10 años deduración y término anual constante de 6.000 € , si el interés efectivo anual es del 5%.Comprobar también que el valor final puede obtenerse capitalizando el valor inicial.
Rentas 3. Renta Constante
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Ejemplo: En el ejemplo anterior calcular n e i a partir de V 0
Rentas 3. Renta Constante
• Cálculo de los valores del resto de términos de una Renta
En la valoración de la Rentas Constantes se tienen 4 variables (V o oV n ,C, n , i ) conocidas tres de ellas podemos obtener la cuarta.
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Rentas 3. Renta Constante
Ejemplo:
Disponemos de 1.000.000 € que producen una renta anual constante y pospagable de160.000 € durante 10 años, calcular el tanto anual
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En Excel se utilizan las funciones:VA (tasa;nper;pago;vf;tipo)VF (tasa;nper;pago;va;tipo)NPER (tasa;pago;va;vf;tipo)PAGO (tasa;nper;va;vf;tipo)TASA (nper;pago;va;vf;tipo
Donde: va es el valor inicialvf es el valor finaltasa es la tasa de descuentonper es el número de términos de la rentapago es el importe de la cuantía constante. Se ha de poner negativo para que el VA dépositivo
tipo no es el tipo de interés. Hace referencia al tipo de renta. Pospagable 0 o sin valor,Prepagable 1
También se utilizan las opciones de Excel Buscar Objetivo y Solver del menúherramientas
Solución del ejemplo con Excel
Rentas 3. Renta Constante
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3.2 Renta Constante PrepagableEstudiamos una renta constante, temporal, inmediata, entera y prepagable. Aunque no
se diga expresamente se calculará en régimen de compuesta (renta compuesta).
Cálculo del valor actual:• Renta unitaria
)1(
1razóndeedecrecientgeométrica progresiónunadetérminosdesumalaesque
)1(1
......)1(
1)1(
11 120
i
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1 1 1 ….. 1 1
0 1 2 ….. n -2 n-1 n
1(1+i) -1
(1+i) -2
……… ……… (1+i) – (n-2)
(1+i) – (n-1)
V 0?
Rentas 3. Renta Constante
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)1()1()1(1
1
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)1(1
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)1(1
)1(11
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1
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i
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comocalcular puedeseque
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iiC äC iii
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C i
C C Ä V
)1()1(
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)1(1
......)1(
1)1(
11
)1(......
)1()1(
0
12120
Los valores iniciales V 0 y finales V n de las rentas prepagables se obtienenmultiplicando por (1+i) los valores de las rentas pospagables
Cálculo del valor final
)1(1)1(
)1(.......)1()1( 2
iii
s
iii sV n
in
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escribir tambiénpuedeseprogresiónladetérminoslossumando
)1(y)1(:quey
)1( :queverificase
i s siaäiä s
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Rentas 3. Renta Constante
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Ejemplo: Calcular el valor inicial y final de una renta prepagable, de 10 años de duracióny término anual constante de 6.000 € , si el interés efectivo anual es del 5%. Sabiendoque los valores inicial y final de la misma renta pospagable son:
Rentas 3. Renta Constante
€36,467.75 €41,330.46 05,0101005,0100 S V AV
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3.3 Renta Constante Perpetua.Las rentas perpetuas son las que tienen un número infinito de términos, por ello se
puede calcular el valor inicial V 0 pero no el valor final V n, independientemente de que seaprepagable o pospagable, constante o variable, etc. La renta es perpetua n ∞
• Pospagable. Estudiamos una renta constante, inmediata, entera y pospagable. Aunqueno se diga expresamente se calculará en régimen de compuesta (renta compuesta).
• Renta unitaria
El resultado final es el capital que habría que colocar en el momento inicial para podercobrar una unidad monetaria al final de cada período con carácter indefinido (perpetuo).
iii
a
n
ni
1)1(1lim
i
C C*a A ii1
iiaiä ii)1(
)1(
• Renta no unitaria
• Prepagable. Como sabemos pasamos de pospagable a prepagable multiplicandopor (1+i)
• Renta unitaria
• Renta no unitaria ii
C i)aC( äC Ä iii)1(
1*
Rentas 3. Renta Constante
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Rentas 3. Renta Constante
Ejemplo: ¿Qué capital habría que colocar hoy en una entidad financiera para que en unfuturo pueda pagarse un Premio a la Innovación de 1 millón de euros anuales a
perpetuidad, teniendo en cuenta que la entidad abona unos intereses del 5% anual?
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3.4 Renta Constante DiferidaLas rentas diferidas son las que se valoran (valor actual) en un momento t , antes del
momento inicial V 0, comenzándose a recibir o entregar a partir del momento d + 1 . E ltiempo d entre t y 0 se llama periodo de diferimiento.
Rentas 3. Renta Constante
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i) (1
i) (1i) (1i) (1i) (1i) (1i) (1i) (1i) (1
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..........1111
..........11
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i) (1 d d ininint iaC A Ad V )1( *1/ • Renta no unitaria
• Renta unitaria
• Renta Pospagable
Valor en el momento t o valor actual. Se denota como
También se puede obtener como diferencia entre dos Rentas R1 y R21 ………. 1 1 1 ……….. 1
0 1
d
d+1
d+2 d+n
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1 ……… 1
0 1 d
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id ind in aaad /R=R1-R2 =>
Con el factor de actualización obtenemos el valor de la Renta Diferidaen función de la Renta Inmediata
d i)( 1
inad /
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Rentas 3. Renta Constante
………
………. ……..
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• Renta Prepagable. Multiplicaríamos por (1+i) los valores de las pospagables
Valor en el momento nd n
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n iV V iV V )1()1(0:Como
11)1(
1)1(/
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1/
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id id nind inin
id id nind inin
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iaEquivalenc
quedemostrar podríasePrepagable
quedemostrar podríasePospagable
:Resumen
Rentas 3. Renta Constante
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Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta pospagable, diferida 4 años y de 10años de duración y término anual constante de 6.000 € , si el interés efectivo anual es
del 5%. Considerar una renta prepagable para que el valor en t coincida.
Rentas 3. Renta Constante
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Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua pospagable, diferida 4 años ytérmino anual constante de 6.000 € , si el interés efectivo anual es del 5%.
Rentas 3. Renta Constante
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3.5 Renta Constante AnticipadaLas rentas anticipadas son las que se valoran en un momento n+h posterior a su final n.
El periodo h entre n y n+h se llama periodo de anticipación
Rentas 3. Renta Constante
1 1 …… 1 1
0 i 1 2 …… n -1 n n+h
V0 Vn Vn+h
Periodo deDuración anticipación
Origen Fin (h) Momento devaloración
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in
hn
hhn
ininhnhnhhhh
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siV iV
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)1()1(
/)1()1(.....)1()1(1)1()1(.....)1()1()1( 121121
• Renta unitaria
• Renta Pospagable
Valor en el momento n+h. Se denota como
También se puede obtener como diferencia entre dos Rentas R1 y R21 1 ……. 1 1 …….. 1
0 1 2 n n+1 n+h
R1
1 1
n n+1 n+h
R2
R=R1-R2 =>
Con el factor de capitalización obtenemos el valor de la Renta Diferidaen función de la Renta Inmediata
h
i)( 1 in sh /
in s
in sh /
ihihnin s s sh /
Rentas 3. Renta Constante
……. …….
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• Renta no unitaria
• Renta Prepagable. Multiplicaríamos por (1+i) los valores de las pospagables
in
h
in
h
inhn sC iS iS hV *)1()1(/
Valor en el momento 0
)1()1(0 hnhn
nn
iV
iV V
Rentas 3. Renta Constante
Ejemplo: Calcular el valor final de una renta pospagable, anticipada 4 años y de 10años de duración y término anual constante de 6.000 € , si el interés efectivo anual esdel 5%.
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Ejemplo: Una inversor ha colocado 100.000 € anuales pospagables durante 10 años en
un banco que abona intereses al 9% anual. Determinar el montante obtenido a los 15años de realizada la primera imposición
Rentas 3. Renta Constante
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Los términos son diferentes entre sí. Podemos distinguir entre si su variación sigue o nouna ley conocida, en el primer caso estudiaremos las rentas en progresión aritmética y
rentas en progresión geométrica.
4.1 Rentas variables sin ley conocida: No hay expresiones simplificadoras para losvalores actual y final.• Rentas inmediatas
• Renta pospagable
C 1 C 2 C s …. C n
0 1 2 .… n
snn
s sn
nnn
sn
s
sn
n
iC C iC iC V
iC iC iC iC V
)1(.....)1()1(
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1
22
11
1
22
110
C 1 C 2 …………. C s C n
0 1 n-1 n
• Renta prepagable
2 nn V iV
V iV i
)1(
)1(
)1(
00
operador elutilizamos
Rentas 4. Renta Variable
s
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• Rentas diferidas. Utilizamos el factor (1+i) -d para obtener las rentas diferidas en funciónde las rentas inmediatas
(1+i) -d V d V d C 1 …. …. C n
0 d d+1 .… .… d+n
• Renta pospagable
d d
V iV
)1(0
• Renta prepagable
d -d V iV )1(0
• Rentas anticipadas. Utilizamos el operador (1+i) h para obtener las rentas anticipadasen función de las rentas inmediatas
C 1 C 2 …. C n;V n (1+i) hV n
0 1 2 .… n n+h
• Renta pospagable
• Renta prepagable
nh
hn V iV )1(
nhhn V iV )1(
Rentas 4. Renta Variable
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Rentas 4. Renta Variable
Ejemplo: Obtener el valor actual y el valor final de una renta formada por los siguientescapitales
(600.000;1), (800.000;2), (500.000;3), (400.000;4), (700.000;5) y (300.000;6)
sabiendo que se valora al 12% y que es pospagable
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Rentas 4. Renta Variable
Ejemplo: Considerar la renta anterior como prepagable
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Rentas 4. Renta Variable
Ejemplo: Considerar la renta pospagable anterior está diferida 4 años respecto almomento de valoración
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Rentas 4. Renta Variable
Ejemplo: Considerar la renta, diferida 4 años respecto al momento de valoración, peroen este caso considerarla como prepagable
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Rentas 4. Renta Variable
Ejemplo: Considerar que la renta ahora está anticipada 3 años respecto a momento devaloración, considerar la renta como pospagable y como prepagable
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4.2 Rentas variables con ley conocida:4.2.1 Rentas en progresión geométricaUn término = término anterior * Cuantía constanteC = primer término; q = cuantía constante o razón
Temporal pospagable
C Cq Cq 2 …. Cq n-1
0 1 2 3 .… n
)1()1(
1
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1)1(
)1()1(
)1(1
)1()1(1)1(1
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)1(1
)1(1
)1(1
)1()1(1
1)1/()1(.....)1(1
)1(.....)1(1*)1()1(.....)1()1();(
111
11
11
1)1(11)1(11
)1(111121
qii
q
C iqi
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iC
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iq
iC iqiqiC qC A
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iq
iq
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iqiqiC iCqiCqiC qC A
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nnnnin
entonces
yrazóngeométricap.esComo
:actualValor
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C qii
q
C iqC AiqC S
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n
nin
nin
:finalValor
Rentas 4. Renta Variable
ntodecrecimieoocrecimienttasaedecrecientcreciente 1);10)(1(;0 qqqq
iq 1•Si
8/18/2019 Tema 3 Rentas
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• Caso particular (*)
niC qC A
n......iqiqiq
in
nn
*)1();(
111)1(.....)1(111
)1(11
luego
essumalaSi
niC niC iqC AiqC S nnin
nin
11 )1()1()1();()1();(
• Perpetua pospagable (solo tiene solución si q<1+i )
0)1
(;11
)1
(1);();( limlimlim n
n
n
nin
ni i
qqi
C qii
q
C qC AqC A queya
Rentas 4. Renta Variable
(*) el caso particular q=1+i hay que resolverlo como se indica y no directamente en lafórmula ya que quedaría una forma indeterminada del tipo 0/0
)1()1(
qiqiC
nn
8/18/2019 Tema 3 Rentas
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Temporal prepagable: recordar prepagable = pospagable * (1+i)
C Cq Cq2
…. Cqn-1
0 1 2 …. n-1 n
)1(
)1(1
)1();()1();(
qi
iq
C iqC AiqC A
n
inin
:actualValor
in
inn
in
qC S iqC AiqC S
);()1(
);()1();(
:finalValor
• Caso particular
nC iniC iqC S iqC S nC niC iqC AiqC A iq
nninin
inin
*)1()1()1();()1();(
*)1()1();()1();(1
1
1
Si
Rentas 4. Renta Variable
8/18/2019 Tema 3 Rentas
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• Perpetua prepagable (solo tiene solución si q<1+i )
qiiC
qC AqC A inni 1)1(
);();( lim
• Renta diferida y anticipada
Se valoran en función de las correspondientes inmediatas
Para diferida en d periodos se utiliza el operador (1+i) -d
Para anticipada en h periodos se utiliza el operador (1+i) h
Rentas 4. Renta Variable
Ejemplo:Obtener la fórmula del valor final de una renta temporal, prepagable y anticipada
8/18/2019 Tema 3 Rentas
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Ejemplo:Obtener los valores actual y final de una renta pospagable cuyo primer término es de
10.000 € y que crecerá los años siguientes de forma acumulativa a razón de un 5%anual. La duración es de 15 años y el tanto de valoración es del 10% anual.
Rentas 4. Renta Variable
8/18/2019 Tema 3 Rentas
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Ejemplo:Considerar el ejemplo anterior como prepagable
Rentas 4. Renta Variable
8/18/2019 Tema 3 Rentas
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4.2.2 Rentas en progresión aritméticaUn término = término anterior + Cuantía constante (razón)
creciente ( d>0 ) C = primer término; d = cuantía constante
decreciente ( d<0 ) último término +Temporal pospagable
C C+d C+2d …. C+(n-1)d
0 1 2 3 .… n
R
Podemos descomponer la renta variable R en n rentas de cuantía constante R1 ,…., R n
C C C …. C C
0 1 2 3 .… n-1
R1
n
d d
…. d d
0 1 2 3 .… n-1
R2
n
d
0 1 2 3 .… n-1 Rn
n
R1: renta inmediata
R2: renta diferida 1 periodo
Rn: renta diferida n-1 periodos
…………………………………………………………….
Rentas 4. Renta Variable
inCa
in /ad 1
in /adn 1
condición
8/18/2019 Tema 3 Rentas
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El valor actual o final es la suma de los valores actuales o finales de las n rentas:
iia
idnadn
id C
idnadna
id C
iidna
id C d C A
idnadn
idn
iidn
idn
iidn
idn
iidn
iidna
id C ina
id aC d C A
i)( inai
iniiiiiniiii
iiiiiii
iii
iii
iii
aiaiaid aC
anaad aC d C A
nin
ininin
n
inin
in
nnn
n
inn
ininin
-nnin
nnnnn
nnnn
nnn
in
ininin
iinininin
)1(1
)(*)()1(
)();(
*)1(1)1()1(
)1()()1(*);(
1)1(1
)1()1()1(.........)1(1
)1)(1()1(.........)1()1(1
)1()1(....)1()1()1()1(1
)1(1)1(......
)1(1)1(
)1(1)1(
)1(........)1()1(*
)/1......../2/1(*);(
)1(1)1(21
)1(21
1)1(
)2(2
)1(1
1
)1(
2
2
1
1
121
queRecordar *)
:operandoseguimossifórmulaotraotraobtener podemos
luego
restoysumo
( *):corcheteelensoperacione
:actualValor
Rentas 4. Renta Variable
R
8/18/2019 Tema 3 Rentas
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prepagableTemporal
yquesabiendo;
pospagableperpetuaRenta
:actualV.elmoscapitalizasifinal,Valor
0)1(
11)(
)1()();();(
)()1()(
)1()()1();()1();(
limlimlimlim
nnn
n
nni
inn
in
n
inn
inn
in
in
ia
iid C
iidna
id C d C Ad C A
idnS
id C
idnia
id C
iidna
id C id C Aid C S
ininin
C C+d C+2d … C+(n-1)d
0 1 2 … n-1 n
R
)aritméticaprogresión
laderazónlacontodiferimiendeperiododconfundir no( OjoyfactoreslosaplicanSe
anticipadayDiferida
eprepagabalperpetuaRenta
d
i)( i)(
ii
id C d C Aid C A
d C S id C S
d C Aid C A
hd
ii
inin
inin
11
1)();()1();(
);()1();(
);()1();(
Rentas 4. Renta Variable
R
8/18/2019 Tema 3 Rentas
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Rentas 4. Renta Variable
Ejemplo: Obtener la fórmula del valor actual de una renta diferida , perpetua y prepagable
R
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Ejemplo:Se ha de pagar una renta anual cuya primera cuantía es de diez mil euros y las
restantes crecen linealmente en 500 euros cada año. Si se valora al 8% anual,obtener su valor actual en los siguientes casos:
a) La renta es pospagable, está diferida 3 años y tiene una duración de 12 años.b) La renta es prepagable y perpetua.
Rentas 4. Renta Variable
R t
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5. Renta fraccionada
Una renta se transforma en fraccionada cuando cada cuantía y periodo se divide enm partes iguales.
C 1 C S C n
0 1 s n
R
Una renta fraccionada se puede valorar como no fraccionada considerando la amplitudde los subperiodos como unidad de tiempo y utilizar el rédito equivalente del subperiodo.
C 1 /m C 1 /m…C 1 /m C s /m C s /m…C s /m C n /m
0 1 s-1
R(m)
1/m 2/m ….. s1/m 2/m …… n-1 2/m ….. 1/m n
C n /mC n /m…
El rédito im para los periodos de amplitud 1/m en función del tanto i para los periodosunitarios se calcula:
m jiiiii m
mm
mm
m ;1)1()1(1 /1
Rentas
R t
8/18/2019 Tema 3 Rentas
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Renta constante pospagable.
• unitaria 1/m 1/m 1/m ………………….. 1/m
0 1 …………………….. n
R(m)
inin
inin
X*s s
X*aa(m)
(m)
afraccionadunitariarentafinalValor
afraccionadunitariarentaactualValor
X X
1
R
n
Renta fraccionada Renta no fraccionada de cuantía constante X .Equivalente a
Rentas 5. Renta fraccionada
1/m 2/m..
R t
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Pasamos a calcular la X , tomando un periodo cualquiera (s-1;s]:
1/m 1/m 1/m 1/m
s-1 1/m 2/m m-1/m s
1/m
1/m(1+i)1/m
1/m(1+i) (m-1)/m
m
/m /m /m
/mmm-
n
mm
/m
j
i
i)( m
i
i)(
i)-(
mi)(
i)( i)(
m
X
r ar aS
i)( ...i)( m X
1111
111
11
1111
1;
1111
111
11
1
11
1/mi)( 1razóndecrecientegeométricaprogresióncorchetesEntre
……………………..
Rentas 5. Renta fraccionada
Rent s
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Entonces:
fraccionar sinunadefunciónenafraccionadrentaunatransformaqueoperador elesdecir Es m
m
m
m
m
ji
s j
i s
a jia
inin
inin
)(
)(
m=Cuantía de cada subperiodo
n=términos anualesi=tanto anual
Rentas 5. Renta fraccionada
Rentas
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Valoración como Renta no fraccionada:
• Unitaria
La renta fraccionada se puede valorar como no fraccionada tomando 1/m como periodode una duración; de cuantía 1/m de n*m términos y valorada al rédito im ,siendo
minm
minm
smV
am
V
m j
ii
nm
mmm
1
1
1)1(
0
/1
Cuantía de cada subperiodo
n*m = nºde términos(subperiodos)im = rédito subperiodo
Rentas 5. Renta fraccionada
Rentas
8/18/2019 Tema 3 Rentas
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Ejemplo:
Obtener el valor actual y el valor final de una renta unitaria pagadera mensualmentepor doceavas partes, durante 8 años, si se valora a un tanto del 10% anual.
Rentas 5. Renta fraccionada
Rentas
8/18/2019 Tema 3 Rentas
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• Unitaria perpetua
mmmn
(m)
n
(m)
ji jia
jiaa
inini
11limlim
Rentas 5. Renta fraccionada
Rentas
8/18/2019 Tema 3 Rentas
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Ejemplo: Considerar en el ejemplo anterior que se trata de una renta perpetua
Rentas 5. Renta fraccionada
Rentas
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m(m)(m)
m
(m)(m)n
m
(m)(m)
m
(m)(m)
(m)
m
jC C*aV
s jiC C*sV
a jiC C*aV
ja s X s
a X a jiC X
mC
m
i
inin
inin
iinin
inin
0
0
1*
*;1
perpetua
finalValor
actualValor
:Luego
perpetuaen;quey
querecordar ;lacasoesteenpor sSustituimo
No unitaria
Rentas 5. Renta fraccionada
Rentas
8/18/2019 Tema 3 Rentas
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mm
nm
nm
jC
imC a
mC V
S mC V
amC
V
S m
V
amV mC
m
mi
minm
minm
minm
minm
1
1
1;
1
0
0
0
perpetua
finalValor
actualValor
:Luego
y
unitariarentaenobtenidasecuacioneslasenpor sSustituimo
Si se valora como no fraccionada:
Rentas 5. Renta fraccionada
Observar que: Si se valora como renta fraccionada la cuantía es C y si se valora comono fraccionada la cuantía es C/m
Rentas f
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Ejemplo:
Una empresa ha firmado un contrato de mantenimiento para los próximos 5 años,comprometiéndose a pagar 25.000 euros al finalizar cada trimestre. Se desea conocerel valor actual, y final, de este contrato si la empresa utiliza un tanto de valoración del15% efectivo anual.
Rentas 5. Renta fraccionada
Rentas f d
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Constantes y prepagablesUtiliza el operador (1+i) 1/m =1+i m para pasar de pospagable a prepagable. Cuando la
renta era no fraccionada se utilizaba el operador (1+i). Aquí se utiliza (1+i)1/m
lossubintervalos tienen una amplitud de 1/m
afraccionadno comovalorasesi
unitariano
unitaria
minmminm
inin
ininin
ininin
S *mC V a*
mC V
S C*V aC*V
S jii)( S i)( S
a jii)( ai)( a
n
(m)(m)n
(m)(m)
m
/m(m) /m(m)
m
/m(m) /m(m)
0
0
11
11
11
11
Rentas 5. Renta fraccionada
Rentas 5 R f i d
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Perpetua prepagable
Unitaria
m
mmm
m
/m
m
/m
nm
/m(m)
n
(m)
jiC aC V
(C) j
i)( i j
ii)( a jii)( aa
i
inini
/1)()(
0
111
)1(
*
1111 limlim
constantecuantíaCon
Rentas 5. Renta fraccionada
O simplemente utilizar el operador (1+i) 1/m para pasar de pospagable a prepagable
Rentas 5 R f i d
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Ejemplo:
Considerar los datos del ejemplo anterior, pero efectuándose los pagos al principiode cada trimestre.
Rentas 5. Renta fraccionada
Rentas 5 R f i d
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Rentas diferidas y anticipadas:
Utilizar los operadores (1+i) -d y (1+i) h
Rentas 5. Renta fraccionada
Por ejemplo: Diferida en d periodos, cuantía variable, en progresión aritmética primertérmino C y razón d , perpetua, pospagable, fraccionada de frecuencia m.
)()1(1
)()1();()1();()1();(/)()(
id
C ji
iid
C ji
id C A ji
id C Aid C Ad m
d
m
d
m
d md miii
quito diferimientofactor (1+i) -d
quito fraccionamientofactor i/jm
Por ejemplo: Anticipada en h periodos, cuantía variable, en progresión geométricaprimer término C y razón q, temporal n años, prepagable, fraccionada de frecuencia m.
qiqiC
jiiiqC S h
nn
m
mh(m)in 1
)1()1()1();(/1
• Quito anticipamiento factor (1+i) h
• Quito fraccionamiento i/j m• Como es renta prepagable utilizo operador (1+i) 1/m
Rentas 5 R t f i d
8/18/2019 Tema 3 Rentas
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Rentas variables Aplicar el factor i/j m para pasar de rentas sin fraccionar a fraccionadas.Ejemplos:
General
e)(prepagabl
e)(pospagabl
)(0
)(0
)(0
)(0
nm
mn
m
m
nm
mn
m
m
V ji
V V ji
V
V ji
V V ji
V
P. geométrica
i-qC
jiqC A
qC S iqC S qC AiqC A
qC S jiqC S
qC A jiqC A
i
inin
inin
inin
inin
m
mmm
mmmm
m
m
m
1);(
);()1();();()1();(
);();(
);();(
)(
)(/1)(
)(/1)(
)(
)(
perpetua
(pospagable)
(prepagable)
Rentas 5. Renta fraccionada
Factor (1+i) 1/m = 1+i mTransformar prepagables a normalizadas pospagablesse multiplica por el factor
Rentas 5 R t f i d
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Ejemplo:Valorar la nómina de una empresa que el primer año tiene un valor de un millón deeuros y crece al 6% acumulativo anual durante 10 años utilizando un tanto de
valoración del12% anual. Sabiendo que la nómina se paga mensualmente concarácter pospagable, obtener los valores actual y final de esta renta.
Rentas 5. Renta fraccionada
Rentas 5 Renta fraccionada
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Progresión aritmética
);()1();(
);();(
perpetua
);()1();(
);()1();(
);();(
);();(
)(/1)(
)()(
)(/1)(
)(/1)(
)(
)(
lim
lim
ini
ini
inin
inin
inin
inin
d C Aid C A
d C A
j
id C A
d C S id C S
d C Aid C A
d C S ji
d C S
d C A jid C A
m
n
mm
m
nm
m
mmm
mmm
m
m
pospagable
prepagable
pospagable
prepagable
Rentas 5. Renta fraccionada
Factor (1+i) 1/m = 1+i mTransformar prepagables a normalizadas pospagablesse multiplica por el factor
Rentas 5 Renta fraccionada
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Ejemplo
Valorar el consumo de energía eléctrica en una empresa durante los próximos 10 años,sabiendo que el primer año el importe ha sido de 10.000 € , que irán creciendo a razónde 600 euros cada año y que se valora a un tanto efectivo anual del 12%. Teniendo encuenta que los pagos a la compañía eléctrica se realizan bimestralmente, obtener elvalor actual en el caso de pagos pospagables.
Rentas 5. Renta fraccionada
6 Rentas valoradas a más de un tantoRentas
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6. Rentas valoradas a más de un tanto
Rentas valoradas a más de un tantoC 1 C 2
… C S
0 1 2 … S S+1 n
C S+1 …. C n
i1 i2
Se valora por separado el tramo de 0 a S y el tramo de S+1 a n y se suman:
21
)1(
...
)1()1()1(
10
21
1
)(211
10
i sn s
i s
n
n
S r
sr sr S
r r
aiaC V C C C C
iCr iiC V :particular Caso
Renta diferida S periodos
Ojo: El diferimiento se valora a i1 no a i2 ,por eso no emplear la siguiente fórmula 2
)1(/ 2 i sni snaiaS s
Rentas 6 Rentas valoradas a más de un tanto
8/18/2019 Tema 3 Rentas
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1
2)1( 2 i si sn
S iS C V snn
Renta inmediatade duración n-speriodos.
Renta anticipadan-s periodos a tantoi2 de duración s periodosvalorada al tanto i1
6. Rentas valoradas a más de un tanto
Rentas 6 Rentas valoradas a más de un tanto
8/18/2019 Tema 3 Rentas
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6. Rentas valoradas a más de un tantoEjemplo:Una persona ingresa en una cuenta de un banco 1000 € comprometiéndose aincrementar sus aportaciones sucesivas anuales en un 4%. El banco le ofrece unosintereses del 8% durante los 3 primeros años, un 10% durante los 4 siguientes y un 12%a partir de ese momento. Si el cliente realiza 10 aportaciones en total, se pide: obtenerel montante que podrá retirar después de 10 años desde que realizó la primeraaportación.