tema 1. teoría general de deformaciones
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Tema 1.Teoría General de Deformaciones
Alejandra Staller Vázquez
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Tema 1.Teoría General de Deformaciones
1.1.‐ RELACIÓN PLANO‐SUPERFICIE DE REFERENCIA.
a) Cálculo de elementos diferenciales sobre el Elipsoide y suscorrespondientes sobre el plano.
b) Módulos de deformación lineal, angular y superficial.
1.2.‐ TEORÍA DE DEFORMACIONES. ELIPSE INDICATRIZ DE TISSOT (EIT).
a) Definición de Elipse Indicatriz de Tissot (EIT). Direcciones Principales.
b) Deformación lineal a partir de la EIT.
c) Deformación angular a partir de la EIT.
d) Deformación superficial a partir de la EIT.
e) Cálculo de los semiejes de la EIT.
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RELACIÓN PLANO ‐ SUPERFICIE DE REFERENCIA
MÓDULOS DE DEFORMACIÓN
PROYECCIÓN GENERAL
),(
),(
gy
fx
Teoría General de Deformaciones
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ELEMENTOS DIFERENCIALES ELIPSOIDE DE REFERENCIA
Teoría General de Deformaciones
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ELEMENTOS DIFERENCIALES SOBRE EL PLANO DE LA PROYECCIÓN
Teoría General de Deformaciones
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Elipse Indicatriz de Tissot
o Elipse Indicatriz de Tissot, o elipse de distorsión, es un concepto desarrollado por el
matemático francés Nicolás Auguste Tissot, en 1859, para medir e ilustrar distorsiones de
las proyecciones cartográficas.
o Tissot probó que la transformada de un círculo infinitesimal de radio ds, centrado en un
punto P sobre el elipsoide, se transforma, según una proyección cartográfica arbitraria, en
una elipse centrada en el transformado del punto, sobre el plano de la proyección. A esta
elipse se la denomina Elipse Indicatriz de Tissot.
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o Cuando la elipse Indicatriz de Tissot se
reduce a un círculo significa que, en ese
punto en particular, la escala es
independiente de la dirección.
o En las proyecciones conformes, donde
los ángulos se conservan en todo el
mapa, las elipses Indicatrices de Tissot
son todas círculos, con tamaños
variables.
Proy. Mercator
Elipse Indicatriz de Tissot
La Indicatriz de Tissot se usa para ilustrar gráficamente las distorsiones lineares,angulares y de área de los mapas:
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o En las proyecciones equivalentes (equiáreas), donde las proporciones de área se mantienen en
todo el mapa, las elipses Indicatrices de Tissot tienen la misma unidad de área, aunque sus
formas y orientaciones varíen con la ubicación.
Proy. de Peters
Elipse Indicatriz de Tissot
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o En las proyecciones equidistantes, las distancias en cierta dirección se mantienen en todo el
mapa, las elipses Indicatrices de Tissot tendrán radio unidad en la dirección considerada,
aunque sus formas y orientaciones varíen con la ubicación.
Proy. Cilíndrica Equidistante
Elipse Indicatriz de Tissot
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PROYECCIÓN GENERAL
),(
),(
gy
fx
22222 drdds DdydxCdyBdxA 222
Elipse Indicatriz de Tissot
Teoría General de Deformaciones
Todo círculo infinitesimal de radio ds centrado en un punto P sobre el elipsoide setransforma, según una proyección cartográfica arbitraria, en una elipse centrada en eltransformado del punto, sobre el plano de la proyección. A esta elipse se la denominaElipse indicadora o indicatriz de Tissot.
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Elipse Indicatriz de TissotDirecciones o Tangentes Principales
Teoría General de Deformaciones
Para cualquier valor del parámetro mixto (F’), en todo punto del elipsoide existen dosdirecciones cuyas tangentes son perpendiculares entre sí y que, una vez realizada larepresentación cartográfica, se corresponden con los valores de máxima y mínimadeformación lineal.
Estas direcciones se conocen como tangentes principales de la proyección en cadapunto, y coinciden precisamente con las tangentes al meridiano y al paralelo enaquellos sistemas de proyección donde el parámetro mixto (F’) de la transformación esigual a cero.
TEOREMA DE TISSOT ‐> Salvo para las singularidades de un sistema de proyeccióncartográfica, en cada punto de la superficie del elipsoide existen dos tangentesperpendiculares, y sólo dos cuando la proyección no es conforme, cuyas transformadassobre el plano de representación son también dos líneas perpendiculares que secortan en el punto en cuestión.
12Cartografía Matemática – A. Staller Vázquez 2011‐2012
DETERMINACIÓN DE DEFORMACIONES
ELIPSE INDICATRIZ DE TISSOT
PROYECCIÓN GENERAL
ELIPSOIDE P (x, y)
PLANO P’ (x’, y’)
),(
),(
gy
fx
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Ejemplo 1. Desarrollo Cilíndrico Directo Equidistante de meridianos automecoicos
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Ry
Rx
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Ejemplo 2. Desarrollo Cilíndrico Directo Equivalente
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senRy
Rx
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Ejemplo 3. Proyección Ortográfica Polar
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coscos
cos
Ry
senRx
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Ejemplo 4. Proyección Azimutal Equidistante Polar
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cos2
2
Ry
senRx