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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3. Oscilaciones en sistemas discretos
En p t S ún C p 1 Lib L n k C nEn parte Según Cap.1 Libro Levanuyk+Cano
Antes de tratar aplicación de método Fourier para sistemas continuoshttp://www youtube com/watch?feature=endscreen&NR=1&v=no7ZPPqtZEghttp://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&NR=1&v=no7ZPPqtZEg=> Consideramos sistemas discretos
Metodo Fourier (version mas simple) consiste de desarrollo de solucion Metodo Fourier (version mas simple) consiste de desarrollo de solucion en funciones harmonicas-Soluciones de Oscilador Armónico (OA) / OAs acoplados
1Buscamos desplazamientos horizontales x(t)
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
x(t) describe movimiento armónico six(t) describe movimiento armónico si
Ec. Diferencial que describe movimiento
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Para muelle ideal y movimiento si rozamientoPara muelle ideal y movimiento si rozamientoF(x)=-kx ( k – constante de muelle)
Ley Newton
asignandoasignando
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N t E ál d ib i i t dNota: Ec. análogos describen movimiento deoscilador en campo gravitatorio
U- potencial de campo gravitatorio
2 / 2U mgz mgax
F mgax 4
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-Oscilador electrónico ( Capacidad+inductancia)-(Q- Carga)(Q g )
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Otros tipos de Osciladores armónicos
-Basados en solo cargas eléctricas?Di l éti ?-Dipolos magnéticos?
-Concentración local en gases?C l ???-Calor???
S d i d ll t ti t -Se podria desarollar matematicamente solucion para procesos de calor/difusion en
i d f i h i ?6
series de funciones harmonicas?
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Se denomina vibraciones (o oscilaciones) propias a aquellas vibraciones que tienen lugar enausencia de fuerzas externas.
Solución general (OA) es una combinaciónSolución general (OA) es una combinaciónlineal de dos soluciones particulares linealmente independientes entre si.p
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Una función (f3) es linealmente independiente de otras Una función (f3) es linealmente independiente de otras dos (f1, f2)
si no se puede expresar como su combinación lineal:
f Af Bff3Af1+Bf2
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Tema 1: INTRODUCCION en Métodos Matemáticos en FísicaL 1 Introducción: aspectos históricosL.1. Introducción: aspectos históricos
METODO de SOLUCION ?-Metodo Sturm-Louville-Metodo Funcion Green-Metodo trasformada integral Fourier
Problema FISICO
OSCILADOR Descripción formal
-…
OSCILADOR pMATEMATICA (I-L2)
Condiciones del borde (contorno)
Condiones INICIALES?
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APUNTAR !Buscamos solución GENERAL de Ec.
¿ Cual deberia ser ?
Buscando en forma de una función exponencial:
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Entonces dos funciones linealmente independientes psatisfacen a Ec.
Solución general es suma (con peso) de Solución general es suma (con peso) de todos posibles soluciones linealmente independientes
x(t)=A exp(+i0t)+B exp(-i0t)
CLASE: Hallar Solución general de Ec. X´´-02X=0
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CLASE: Hallar Solución general de Ec. X 0 X 0
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CLASE: Hallar Solución general de Ec. X´´-02X=0L E H u g E . X 0 X
exp( ) exp( )X C x C x 1 0 2 0exp( ) exp( )X C x C x
+
xx
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Presentacion alternativaPresentacion alternativa de Solución general de Ec. X´´-0
2X=0
1 0 2 0sinh( ) cosh( )X C x C x
+
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NOTA
Estas Funciones exponencialesp
NO forman conjunto de funciones ortogonalesNO forman conjunto de funciones ortogonales
(autodunciones)(autodunciones)
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V l li l i d EVolvamos analizar solucion de Ec:
Como solución debe ser real x*(t)=x(t)
A*exp( i t)+B*exp(+i t) Aexp(+i t)+Bexp( i t)A*exp(-it)+B*exp(+it)=Aexp(+it)+Bexp(-it)
=>A*=B; B*=A
A=c+idB d
15B=c-id
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x(t)=(c+id) exp(+it)+(c-id)exp(-it)=
=2c[exp(+it)+exp(-it)]/2+
+2id[exp(+it)-exp(-it)]/2
=2cCos(t)-2dSen(t)
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E t S l ió lEntonces Solución general:
Para mostrar sentido físico reescribamos Solucion así:
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C S ( ) S ( )C () C ( )S ()Como Sen(+)=Sen()Cos()+Cos()Sen()
Podemos presentar Solucion también así:
CCon
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0- frecuencia angular propia0 f g p p
A- Amplitud máxima de modo correspondiente
- indica en que estado esta oscilador en momento t=0
[ o cuando t=2n ( n- entero)]
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INFO oscilador: Amplitud, Fase +Frecuencia
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Problema: Oscilador con condiciones periodicas en 2Problema: Oscilador con condiciones periodicas en 2
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2 0; 2 0;
( ) ( 2 ) ( ) ( 2 )
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Usando solucion compleja :( ) exp( ) Bexp( )A i i
exp( i ) Bexp( ) exp[ ( 2 )] Bexp[ ( 2 )]A i i i exp( i ) Bexp( ) exp[ ( 2 )] Bexp[ ( 2 )]
2 2 (n numeros eneros)
A i i i
n
2 2 (n- numeros eneros)0, 1; 2, 3...
n
( ) exp(i )n
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Para resolver Ec. a veces necesitamos condiciones iniciales (CI)( )
Lo que es habitual para sistemas fisicos (mecanicos) es saber desplazamiento y velocidad en determinado momento
Supongamos siguiente información:
saber desplazamiento y velocidad en determinado momento
Supongamos siguiente información:
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C d l b dCon estos condiciones iniciales obtendremos
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Ot ibilid dOtra posibilidad: golpe instantáneo en t=0
CI1
CI2
SOLUCIONa partir de Sol.General?
CI2
a partir de Sol.General?
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(CL)(CL)
Buscamos solución aplicando CC1 y luego CC2Buscamos solución aplicando CC1 y luego CC2
A la Sol. General
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1) Aplicando CI 1 C1=0,
2) Aplicando CI2
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D l i t l id d i i i l t 0Desplazamiento + velocidad inicial para t=0
*
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Hasta ahora siempre obtuvimos la única psolución x(t)
solucion transitoria
t=0
Veamos que ocurre si suponemos otro tipo de condiciones:
Por. Ej. x=0 para t=0 0 t Ty x=0 para t=T
l t i i29
Solucion estacionaria
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De primera condición (X=0 para t=0) nos da: De primera condición (X=0 para t=0) nos da:
x(t)=C2Sen(0t)x(t) C2Sen(0t)
De la segunda condición implica:
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
H d ibilid dHay dos posibilidades:
Solución trivial
Segunda opción es valida si:
(n- entero)
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EntoncesCon periodicas tendremos una infinidad de posiblesSoluciones con DISTINTASSoluciones con DISTINTASfrecuencias posibles:
Los llamados “problemas Sturm-Louville” (SL)
(los que veremos en próximo futuro)
E é d á f d d d l32
QUE también tendrán una infinidad de soluciones
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Mas adelante veremos que cualquier movimiento periódico x(t) con periodo T puede ser descrito por serie Fourier
( ) n n n nx t C Sen t D Cos t ( ) n n n nn
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a) Formulación matemática del problemaa) Formulación matemática del problemaCon C. Contorno (CC) y C. Iniciales (CI)
CASO
b) Búsqueda de todos soluciones posibles l
mas que cumplan CC
TRIVIAL
c) Aplicación de CI a la solución generalpara hallar solución definitivapara hallar soluc ón def n t va
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
VOLVEMOS a OSCILADOR
gcomplicando Ec.de movimiento
Oscilador con muelle en campo gravitatorio x0
2
2
xm x mgt
0 situacion estatica: /Desplazamiento x mg
0
a Ec. de Oscilador harmonico cambiando variablesx´=x-xvolvemos
352
2
´ ´ 0xm xt
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
INFLUENCIA de AMORTIGUAMIENTO
En realidad en la naturaleza siempre hay fuerzas de amortiguamientohay fuerzas de amortiguamientoLa relación mas sencilla es cuando rozamiento Es proporcional a la velocidad Es proporc onal a la eloc dad
Ecuación resultante: con
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Vibraciones forzadas armónicamente
Usaremos principio de superposicionUsaremos principio de superposicion
Solucion= Xpart+Xhompart hom
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Buscamos solución particularEn forma
Sustituyendo en Ec.x0
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Solución generalg
Vibraciones forzados sin rozamiento
C1,2 se determina de CI
En el caso de presencia de rozamiento, a tiemposbastante grandes, influencia de CI se borra ( C1 20)
39
bastante grandes, influencia de CI se borra ( C1,20)
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Ec. a solucionar
como
Podemos presentar Ec.
Buscamos Solucion y luego tomamos Im (Solución)
40
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Buscamos Buscamos
Al tit i E H ll Al sustituir en Ec. Hallamos x0
Con
41
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Finalmente
Son llamadas curvas de resonancia: amplitud y fase de respuesta de oscilador forzado harmónicamenterespuesta de oscilador forzado harmónicamentehttp://techtv.mit.edu/videos/769-mit-physics-demo----driven-mechanical-oscillator
42
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Solución general en el limite de pequeño amortiguamiento
Son llamadas curvas de resonancia: amplitud y fase de respuesta de oscilador forzado harmónicamente
43
respuesta de oscilador forzado harmónicamente
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Para CI x(0)=x`(0)=0 ( ) ( )
=0 C=0 C1
d/dt =0
C
t=0
C2
44
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Resonancia parametrica
http://il.youtube.com/watch?v=kQI3AWpTWhM
Oscilador NO-linear: espectro vs frecuenciaespectro vs. frecuenciase transforma de Lorentiano a hysteretico
2 3¨ ( )mx x x x 45
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Una fuerza externa arbitraria: función de GreenUna fuerza externa arbitraria: función de Green
Antes relación (*) en Pág 24 se demostró el resultado deAntes relación ( ) en Pág. 24 se demostró el resultado deuna fuerza instantánea sobre un oscilador harmónico
Aprovechamos de este resultado para considerar resultado para considerar influencia de una fuerza externa arbitrariaexterna arbitraria
**
Fuerza por unidad de masa
46
**
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Modo de presentar f(t) como suma de golpes instantáneosModo de presentar f(t) como suma de golpes instantáneos
47
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Resultado de uno de golpes en el momento (i)Resultado de uno de golpes en el momento (i)
Resultado de todos golpes (hasta momento t):
48
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
En limite Es CONVOLUCION entre En limite dos funciones !(se analizara durante excursion)
Sin embargo, esta solución NO es solución general ya que NO contiene dos constantes arbitrariasya que NO cont ene dos constantes arb trar as
[que deberia tener solucion de Eq.** de segundo orden].
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Usaremos un método matemático ( llamado de variación de las constantes) que permite obtener soluciones particulares deecuaciones diferenciales no homogéneas [1.54-1.62 de libro APL].
Buscamos solución de Ecuación f C (t) i ó iten forma con C1,2(t) - incógnitas
SOL.
con C1,2(t) - incógnitas
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Imponemos condición adicional que C1,2(t) cambian muy poco con el tiempo
1
Sustituyendo SOL. en Ec. (**) a resolver
2
51
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Sumado dos ultimas ecuaciones (1+2) obtenemos Sumado dos ultimas ecuaciones (1+2) obtenemos
Integrando:
52
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Restando (1 2) Restando (1-2)
Integrando
53
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Es la solución general con constantes C1,2 dependientes de,posición y velocidad de oscilador en instante (t0)
S l d E H é
Sol particular de Ec NO Homogénea
Sol. de Ec. Homogénea
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Sol particular de Ec NO Homogénea
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
En relación anterior t <t ya que posición de oscilador es En relación anterior t0<t ya que posición de oscilador es determinada por fuerzas que actúan antes del momento, no de futurono de futuro
Si CI son conocidos solo para
0 debido a fuerzas de 0 debido a fuerzas de rozamiento finitas
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
La solución se convierte en sol particularLa solución se convierte en sol particularQue obtuvimos anteriormente
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Las soluciones de los problemas físicos de tipo causa-efectoLas soluciones de los problemas físicos de tipo causa efectoque involucran ecuaciones lineales se suelen presentar como
+∞
G(t,t´) es denominada función GREEN( , ) m f
En nuestro caso particular En nu r p r u r
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Es la solución de siguiente EcEs la solución de siguiente Ec.
La condicion de velocidad inicial x´(0)=v0La condicion de velocidad inicial x (0)=v0se puede presentar como “fuerza” en Ec, no-homogenea
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Entonces el movimiento de Oscilador sera descrito Entonces el movimiento de Oscilador sera descrito por función Green multiplicado por v0
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Solución para un oscilador inicialmente en reposo (t<0) bajo una fuerza periódica con frecuencia de resonancia f=f0Sen(0t) [t>0]
60
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Influencia de amortiguamientoInfluencia de amortiguamiento
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
O il d A ó i (OA) l dOsciladores Armónicos (OA) acoplados
DEMO_ Osciladores magnéticos acoplados
http://www.youtube.com/watch?v=XOxDK74DRJg
Desplazamientos intermitentes
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Tratamos ejemplo de 2 OA acoplados
x1,2 son desplazamientos de cada una de masas (1,2)
Fc- fuerza del muelle CENTRAL
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Buscamos oscilaciones harmónicas para cada masaBuscamos oscilaciones harmónicas para cada masa
( ) exp( )T t i tSustituyendo
64
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Como dichas soluciones tienes que ser mismos y q yEntonces soluciones del mismo tipo de ecuaciones, presentamos:
Y imponemos(se trata de la misma
65ecuacion)
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Entonces Condiciones para tener soluciones no triviales:Entonces Condiciones para tener soluciones no triviales:
o
Frecuencias correspondientes:p
Son modos normales de osciladores acoplados66
Son modos normales de osciladores acoplados
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Movimiento general de las masas
Se presenta como suma de movimientos harmónicos simplesde movimientos harmónicos simples
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Analógicamente problema de N osciladores acoplados
( ) ( ) ( )n i i i ix t A f n Sen t 1i N
fi función que describe lit d d d (i) iti ( )amplitud de modo (i) en sitio (n)
De modo similar en este curso presentaremos soluciones De modo similar en este curso presentaremos soluciones complejas en forma de sumatorio por todos modos sencillos(modos normales) que son funciones periódicas harmónicas(modos normales) que son funciones periódicas harmónicas
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
INFLUENCIA de AMORTIGUAMIENTO:
En realidad en la naturaleza siempre
CASO PRACTICADO en HOJA 1.1
En realidad en la naturaleza siempre hay fuerzas de amortiguamientoLa relación mas sencilla es cuando rozamiento Es proporcional a la velocidad
Ecuación resultante: conEcuación resultante: con
69
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
B d l i t h i t l (t)Buscamos desplazamiento horizontales x(t)
Sustituyendo en Ec. de movimiento:
Obtenemos:
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
isi
Solución para (a) son números complejos
Solución general será
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Vib i (t) d Vibraciones en x(t) desaparecen si aumentamos la viscosidad
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
R l j d CuandoRelajador Cuando
para
Con
73movimiento NO depende de masa!!!
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
E t li it E (t) Es porque en este limite Ec. para x(t) es:
E D UN RELAJADOREc. De UN RELAJADOR:
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Vib i b j l ió d f tVibraciones bajo la acción de fuerzas externas:1. Fuerza constante ( sin amortiguamiento)
Debemos resolver una ecuación no homogénea Debemos resolver una ecuación no homogénea.
Su solución general es la suma de la solución de la ecuación homogénea + +una solución particular de la ecuación completa (x=f0/0
2)
75
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
S i i t CI (C di i I i i l )Supongamos siguientes CI (Condiciones Iniciales):
Oscilador se encuentra en reposo en t=0 Oscilador se encuentra en reposo en t=0
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Fuerza y desviación vs Tiempo:Fuerza y desviación vs. Tiempo:
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TEMA 1 Métodos Matemáticos IIIL3 Oscilaciones en sistemas discretosL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Suponiendo presencia de pequeño rozamiento:p p p q
78