teaching.concep.grupo

Revista digital

Matemtica, Educacin e Internet(http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/).

Vol 15, No 1. Agosto Febrero 2015. ISSN 1659 -0643

Creacin de problemas: un mtodo alternativo paraintroducir y reafirmar el concepto de grupo

Lorena Salazar [email protected]

Escuela de MatemticaUniversidad de Costa Rica

Universidad Nacional de Costa Rica

Recibido: 21 Abril, 2014 Aceptado: 12 Julio, 2014

Resumen. En este documento se presenta el diseo de una secuencia de tareas basadas en creacin deproblemas y uso de material concreto, para introducir el concepto de grupo como estructura algebraicaen un curso de lgebra abstracta del plan de estudios de Enseanza de la Matemtica de la Universidadde Costa Rica. Se muestran algunas evidencias que indican que con esto se logra, no solo reafirmar losconocimientos matemticos, sino tambin que los futuros docentes desarrollen la habilidad de formularproblemas que respondan a un objetivo especfico y a su vez reflexionen sobre la actividad matemtica.

Palabras clave: Diseo de tareas, creacin de problemas, educacin matemtica, estructuras algebraicas.

Abstract. This paper describes the design of a task sequence based on creating problems and use ofconcrete material in order to introduce the concept of group as an algebraic structure, in a course ofabstract algebra from the curriculum of Mathematics Education at the University of Costa Rica. Someevidence indicates that this achives, not only to reaffirm the mathematical knowledge, but also thatfuture teachers develop the ability to formulate problems that meet a specific target and reflect on themathematical activity.

KeyWords: Task design, posing problems, mathematics education, algebraic structures.

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1.1 Introduccin

El origen de esta investigacin est relacionado con varios aspectos que me llevaron a reflexionar sobrela necesidad de realizar algunas innovaciones en los cursos tradicionales de matemtica formal de lacarrera de Enseanza de la matemtica, tanto en la Universidad Nacional de Costa Rica (UNA) comoen la Universidad de Costa Rica (UCR), donde imparto cursos de matemtica:

La imparticin en la UNA de un mdulo sobre resolucin de problemas a futuros profesoresde matemticas de secundaria, en el que se discutieron artculos de educadores matemticos(Ellerton, Malaspina, Van Harpen, Presmeg), los cuales coinciden en que el crear problemas,fomenta el anlisis del enunciado y repercute sobre el conocimiento del contenido matemtico.

Las conclusiones de una comisin curricular de la UCR, en la que particip, cuyo objetivo fue eldiseo de un plan de estudios para una nueva carrera en Educacin Matemtica, en la que sehicieron reflexiones sobre el contenido matemtico, su abordaje y metodologa.

Las bajas promociones y alta repitencia en los cursos de estructuras algebraicas, a lo largo de miexperiencia docente.

Errores conceptuales en las pruebas escritas por los estudiantes, que indican carencia de unaadecuada asimilacin del concepto de grupo como estructura algebraica.

Es por esto que en este trabajo se propone desarrollar el concepto de grupo como estructura algebraicabase, usando como y como estrategia el planteamiento de problemas y uso de material concreto, perono se queda ah, sino que se propone que el futuro profesor reflexione sobre estos conceptos y suenseanza. Especficamente, se plantea el siguiente objetivo:

Objetivo

Disear e implementar una secuencia de tareas que permita consolidar el concepto degrupo, como base para las siguientes estructuras algebraicas: anillos y campos, as como suspropiedades fundamentales, mediante uso de material concreto, el planteamiento de problemas,y a su vez, que los futuros docentes, reflexionen sobre la actividad matemtica.

La estructura del artculo es la siguiente, despus de planter el objetivo de la investigacin, a con-tinuacin se hace una revisin de la literatura que se ha tenido en cuenta como referentes tericos.Despus se explica la metodologa que se ha seguido para pasar, a continuacin, a la descripcin de laexperiencia realizada. El artculo termina con unas consideraciones finales.

1.2 Nociones tericas

A continuacin se hacen referencias a algunos elementos tericos que fundamentaron esta investi-gacin, a saber creacin de problemas, constructivismo con uso de material concreto y diseo detareas.

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1.2.1 Creacin de problemasEn la ltima dcada, las investigaciones en educacin matemtica centran su atencin no solo a laresolucin de problemas, sino tambin al planteamiento de problemas. Por ejemplo Malaspina (2013),afirma que la creacin de problemas est estrechamente ligada a la resolucin de problemas y con-tribuye al desarrollo del pensamiento matemtico al brindar oportunidades, a alumnos y profesores,para examinar generalizaciones e iniciarse en la investigacin y en el hacer matemticas. Sin embargo,el hacer matemticas, aunque es una competencia importante y necesaria en un futuro profesor dematemtica, no es suficiente, tambin debe tener competencia en el anlisis de la actividad matemtica,Rubio (2012).

Es importante que los profesores desarrollen competencia en la creacin de problemas, al menos enla variacin de un problema dado, con el fin de adaptarlo a un objetivo especfico. Malaspina (2013),por ejemplo, afirma que el planteamiento de problemas es una estrategia que estimula la capacidad decrear y resolver problemas, lleva a reflexiones didcticas y matemticas que favorecen el aprendizaje,posibilita encontrar mayores potencialidades que las que se pensaron al crear un problema, muestra laimportancia de la redaccin de un enunciado y dado que posibilita generalizaciones, lleva a ampliar elhorizonte matemtico inicial. Sin embargo, hay investigaciones que muestran que los problemas quecrean los profesores tienen serias limitaciones, Por ejemplo, Singer y Voica (2013) reportan una investi-gacin con profesores sobre creacin de problemas en la que los resultados mostraron porcentajes muybajos en cuanto a aspectos como claridad, coherencia y originalidad.

En nuestro contexto nacional, que el profesor sea capaz de crear problemas, es fundamental en su fu-turo profesional, pues los libros de texto usados en secundaria, contienen problemas que usualmenteno estan contextualizados a las realidades de los alumnos. Por otro lado, los programas del Ministeriode Educacin Pblica (MEP 2012), estan fundamentados en la resolucin de problemas. Esto hace queen la formacin inicial de los profesores de matemtica, se incluyan tareas que den al futuro docnete,formacin al respecto.

1.2.2 El constructivismoEl constructivismo, donde el individuo es responsable de su propio conocimiento, es aplicable a lasmatemticas en todos sus niveles. La experiencia de esta investigacin se centra en el mbito universi-tario, con un doble propsito: que el estudiante aprenda el concepto matemtico involucrado, pero queadems la actividad le resulte un foco de reflexin para su futura actividad profesional, como docentede secundaria. Segn Kilpatrick, Gmez y Rico (1995), mencionado por Castillo (2008), refirindose acomo se construye el conocimiento matemtico, sealan que:

El conocimiento matemtico es construido, al menos en parte, a travs de un proceso de abstrac-cin reflexiva.

Existen estructuras cognitivas que se activan en los procesos de construccin.

Las estructuras cognitivas estn en desarrollo continuo.

La actividad con propsito induce la transformacin de las estructuras existentes.


Segn Castillo (2008), el individuo que aprende matemticas desde un punto de vista constructivistadebe construir los conceptos a travs de la interaccin que tiene con los objetos y con otros sujetos. Talparece que para que el alumno pueda construir su conocimiento y llevar a cabo la interaccin activacon los objetos matemticos es preciso que dichos objetos se presenten inmersos en un problema, noen un ejercicio. Con base en estos investigadores, la actividad reportada en este documento, presenta la aplicacin dediferentes tareas diseadas con el objetivo de que el estudiante, asimile el concepto de grupo: creandogrupos, primero en los conjuntos numricos, y luego en conjuntos no tan familiares a ellos, mediantemanipulacin de material concreto.

1.2.3 Diseo y secuencia de tareasMuchos investigadores en educacin matemtica (Sullivan, Clarke y Clarke, 2013), han manifestadointers en el diseo de tareas que respondan a un objetivo especfico. En el 2013 se desarroll un ICMIStudy especfico sobre este tema (Margolinas, 2013), con el fin de contestar preguntas relacionadas acomo disear una secuencia de tareas pertinentes.

En una clase convencional de estructuras algebraicas, usualmente el docente se limita a exponer, me-diante clases magistrales y a un ritmo acelerado, la definicin de grupo, seguido inmediatamente deejemplos, teoremas y resultados sobre sus principales propiedades, para proseguir con ejercicios prop-uestos. Despus de seguir esta metodologa en repetidas ocasiones, se fue haciendo ms evidente queen realidad el concepto de grupo, que es la base del resto de las estructuras algebraicas, en muchoscasos, no estaba claro en los estudiantes. Lograr la comprensin y la articulacin de las diferentesestructuras algebraicas, requieren un mayor esfuerzo por parte de los estudiantes, pero tambin serequiere un mayor esfuerzo por parte del docente, pues debe romper con el esquema de enseanzatradicional, donde usualmente l es un transmisor de conocimientos y el estudiante es un receptorpasivo, que se supone debe asimilar los conceptos de esta manera. Debe pasar de ser un simple emisor,a ser un creador y organizador de una secuencia de tareas con un fin especfico.

Lamentablemente, no es habitual que los docentes del rea de matemtica formal, diseen secuenciasde tareas con el objetivo de facilitar la comprensin de los objetos matemticos en general y la articu-lacin coherente de los componentes involucrados. Tampoco es habitual disear tareas que desarrollencompetencias de reflexin sobre la matemtica en los futuros docentes de secundaria. Por ejemplo,Rico (2004) expone diez competencias especficas, consensuadas por formadores de profesores e inves-tigadores en educacin matemtica, que participaron de un seminario celebrado en Granada, Espaa,dedicado al anlisis y diseo de las competencias que debe tener un profesor de matemtica de secun-daria. Entre ellas destacan algunas relacionadas a esta investigacin:

Reconocer los tipos de razonamiento de los estudiantes.

Proponer tareas que los orienten.

Diagnosticar sus errores, y proponer los correspondientes procesos de intervencin.

Seleccionar y secuenciar actividades para el aprendizaje escolar.


Analizar los diversos problemas que surgen en situaciones de aprendizaje.

Utilizar tcnicas de comunicacin para dotar de significado los conceptos matemticos.

Conocer recursos y materiales (computacionales, audiovisuales, manuales, bibliogrficos, etc.) yemplearlos adecuadamente en la enseanza de las matemticas de secundaria.

Otros investigadores, Gimnez, Font & Vanegas (2013), reflexionan sobre las tareas que permiten eldesarrollo de la competencia de anlisis didctico en la formacin de futuros profesores de matemticasde secundaria. En este trabajo se pretende reflexionar sobre dos de los seis tipos de tareas propuestospor ellos: anlisis de prcticas, objetos y procesos matemticos y propuesta de mejora justificada deesas prcticas, refirindose en este caso a las prcticas, como a las consignas o tareas propuestas enlas actividades diseadas. Es decir, se pretende que los alumnos hagan el papel dual: de estudiantesaprendices y de analistas de una prctica pedaggica. Aspecto importante que debe ser consideradoen la formacin inicial de estos profesionales.

1.3 Metodologa

La aplicacin de las tareas diseadas, tuvieron lugar a inicios del I ciclo del 2014, donde el primertema a desarrollar es el concepto de grupo, en el curso lgebra para la enseanza de la carrera deEnseanza de la Matemtica de la Universidad de Costa Rica, la cual forma profesores de matemticapara educacin media. Este curso est ubicado en el I ciclo del IV ao y tiene una modalidad presencialcon 5 horas de clases por semana. El mismo introduce los conceptos bsicos de estructuras algebraicas:grupos, anillos y campos, sin perder de vista su tratamiento formal, dando pruebas y definiciones demanera rigurosa.

Participaron 21 estudiantes del curso mencionado anteriormente (19 estudiantes regulares y dos estu-diantes de sedes regionales), que en su gran mayora estan llevando el curso por primera vez, lo cuallo hace ideal para la experiencia y para concluir sobre si las actividades realizadas, tienen un impactopositivo o no. Cada estudiante ingresa a un curso con una nota llamada promedio ponderado, que esel promedio de las notas finales obtenidas en cursos anteriores, aprobados o no. La grfica 1.1 nos dauna idea del promedio ponderado de los integrantes regulares del grupo, (no se tom en cuenta losdos estudiantes de sedes regionales), donde se realiz la actividad. Se puede ver que la mayora seencuentra entre un promedio entre 6.0 y 8.0. Cabe aclarar que la nota en la Universidad de Costa Ricase encuentra entre 0 y 10, siendo 7.0 lo mnimo para aprobar un curso.


Figura 1.1: Promedio ponderado de los estudiantes del curso

1.3.1 Tcnicas e instrumentos de recoleccin de datosPara la recoleccin de datos, se us la observacin no participante y registro detallado, para lo cualse us un diario donde se fue anotando todo lo que fue ocurriendo en el aula: percepciones sobre laactitud e inters de los estudiantes, expresiones verbales de los participantes, tiempo de ejecucin delas tareas, etc. Se recolectaron adems, evidencias escritas por los grupos de trabajo en el desarrollode la actividad realizada. Entre las tareas asignadas, se les solicit evaluar la actividad, desde la pticadel futuro docente que ser cada uno de ellos. Para que tuvieran un argumento slido y capacidadde debate, se les asign realizar una lectura sobre creacin y planteamiento de problemas, ms unaactividad donde pudieran plasmar diseo de tareas en un tema especfico de secundaria. Finalmentese les aplic una prueba escrita, para evaluar el concepto de grupo. Todos estos elementos, ayudaron aevaluar la actividad.

1.3.2 Diseo de tareas para la actividadPara la implementacin de la experiencia, se disearon tres bloques, cada uno de ellos agrupa variasconsignas o actividades en los que se especifica: intencin de las consignas, contenidos matemticos,instrucciones para el estudiante y lo que se espera que el estudiante realice.

Bloque 1

Propsito: Este bloque pretende que los estudiantes asimilen el concepto de grupocomo estructura algebraica base, mediante reflexin detallada sobre cadauna de las partes involucradas en su definicin. Se pide asmismo, lacreacin de grupos en conjuntos familiares a ellos.

Contenidos: Conceptos de operacin binaria, grupo, neutro e inversos.

Resultado esperado: Se espera que el estudiante refuerce, mediante creacin de grupos, losconceptos de cerradura, asociatividad, elemento neutro, unicidad, los in-versos, etc.

Tiempo: 1.5 horas.

Consignas: 0 a 2


Bloque 2

Propsito: Este bloque pretende que los estudiantes implementen tablas de gruposde simetras de polgonos regulares, mediante manipulacin de materialconcreto, para simular rotaciones y simetras de las figuras.

Contenidos: Concepto de grupo, concepto del neutro, de los inversos, movimientosrgidos del plano.

Resultado esperado: Este bloque pretende propiciar que el estudiante descubra, con base en supropia manipulacin del material, los grupos de simetras algunos pol-gonos regulares y logren una generalizacin intuitivamente, a cualquierorden.

Tiempo: 2.5 horas.

Consignas: 3 a 6.

Bloque 3

Propsito: Este bloque pretende que los estudiantes asimilen, con ms conviccin,la prueba formal, de lo que la intuicin y la construccin de tablas degrupos, les dej respecto a los grupos de simetras de cualquier polgonoregular de orden n.

Contenidos: Grupos de simetras, movimentos rgidos del plano, conceptos de neutro,inversos, composicin de movimientos.

Resultado esperado: Este bloque pretende que los estudiantes comprendan la prueba formalde los grupos de simetras.

Tiempo: 2.5 horas.

Consignas: 7 a 9.

Bloque 4

Propsito: En este bloque se pretende que el estudiante haga una valoracin y unanlisis reflexivo de la actividad.

Contenidos: Anlisis didctico, reflexin de la prctica, diseo de tareas.

Resultado esperado: Se espera que los estudiantes diseen consignas para responder a un ob-jetivo especfico sobre algn tema de matemtica de los programas desecundaria.

Tiempo: 4 horas (extra clase)


Consignas: 10 a 12.

1.4 Descripcin de la experiencia

A continuacin se detallan tanto las consignas o tareas diseadas para el logro de los objetivos, comoalgunos comentarios resultado de la aplicacin o implementacin en el aula. Antes de cada consignase hace un comentario sobre la intencin de la misma y lo que se espera de ella.

1.4.1 Consignas del bloque 1:Dado que en experiencias anteriores de enseanza, se ha notado que an en este nivel, tienen prob-lemas de conexin y aplicacin de la lgica formal, se inici con una consigna para que reflexionaranentre las diferencias de orden de los cuantificadores al analizar la veracidad de validez de una proposi-cin P(x,y). Esta es la idea de la primera consigna, a la que se le ha numerado con 0, porque podraconsiderarse opcional, dependiendo si se considera necesario o no.

Consigna 0:Discuta con sus compaeros, cul es la interpretacin de x y P(x,y)? Cundo es verdaderaesta expresin? Cundo es falsa? Haga lo mismo con x y P(x,y), x y P(x,y), x y P(x,y).Construya un ejemplo para mostrar que en general x y P(x,y) y x y P(x,y), tienen signifi-cados diferentes.

Se introdujo la consigna anterior, dado que algunos estudiantes, en cursos pasados, confunden hechoscomo que el neutro del grupo es un elemento nico, y debe neutralizar a todos los elementos delconjunto, mientras que el inverso es nico para cada elemento del conjunto.La siguiente consigna, intenta, que en lugar de que el docente escriba y explique la definicin de grupo,se les de una ficha con esta, de modo que discutan y asimilen por s mismos, este concepto antes deproceder a niveles superiores de dificultad.

Consigna 1:Exprese con sus propias palabras qu entiende por cada uno de los puntos 1, 2 y 3 en ladefinicin de grupo siguiente. Ponga atencin a los cuantificadores y involucrados en lamisma. Definicin de Grupo

Un grupo (G,) es un conjunto cualquiera G con una operacin (), usualmente llamadaoperacin suma, aunque no se relaciona con alguna suma que usted conozca, tal que:

1) La operacin es cerrada y asociativa2) Existe un elemento e G tal que g e = g = e g, g G.3) Para cada elemento g G, existe un elemento g G tal que g g = e = g g

Dada que esta es la primera consigna, y probablemente la primera vez que los estudiantes reflexionarnsobre una definicin, se dise una gua de preguntas con la intencin de que los estudiantes tomen


conciencia, cada vez que lean una definicin, enunciado de algn teorema o resultado, de prestaratencin a los detalles y cada una de las partes involucradas en la misma.

Gua de preguntas para consigna 1:

Qu significa ese par (G,) ? Es la notacin que se va a usar para denotar un grupo? El conjunto G debe ser de nmeros? de letras? de funciones? de figuras geomtricas?

podra ser de los integrantes de ste grupo de trabajo?

qu es una operacin? que significa operacin binaria? Es cerrada? qu significa la propiedad de asociatividad? Entonces la operacin debe ser cerrada y

asociativa, porqu cerrada?

Qu significa que se satisface g e = g = e g, g G. ? Porqu cree usted que el ele-mento e recibe el nombre de neutro? satisfice ste elemento, la propiedad mencionadacon todos los elementos de G? para cada elemento de G, hay un neutro?

Qu significa que se satisface g g = e = g g. ? Porqu cree usted que el elementorecibe el nombre de inverso de g? satisfice ste elemento la propiedad mencionada contodos los elementos de G? para cada elemento de G, hay un inverso?

Finalmente conteste la pregunta de la consigna 1, qu es entonces un grupo, en sus propiaspalabras.

Esta consigna llev mucho ms del tiempo estipulado para ello. Sin embargo, les ayud a la compren-sin de cada uno de los puntos de la definicin de grupo. Algunos hasta este punto, comprendieronque cada elemento de un grupo debe tener su propio inverso.

Una vez asimilada la definicin de grupo, la siguiente consigna pide construir grupos, primero enconjuntos finitos pequeos, y luego en conjuntos numricos conocidos. Tambin hay inmersa la ideade que vayan introduciendose en el concepto de isomorfismos de grupos. Esta es la primera tarea enla que se le pide que cree un grupo, bajo la modalidad de creacin de problemas.

Consigna 2:

Defina, de ser posible, una operacin en cada uno de los conjuntos siguientes de modoque se forme un grupo:

a) {bola}, b) {0,1}, c) {1,-1}, d) {a,b}, e) {0,1,-1}, f) {a,b,c}.

Haga lo mismo con los conjuntos infinitos N,Z,Q,R.

Con el conjunto G = {bola}, tuvieron problemas para definir una operacin. Algunos dejaron de ladola cerradura, definiendo, errneamente,

bola + bola = 2bola


Figura 1.2: Operacin en un grupo unitario

Al indicarles que el elemento 2bola no perteneca al conjunto, hubo un poco de confusin, pues contes-taron que tena que estar en el conjunto, precisamente por la cerradura. Esto se aprovech para haceruna reflexin a nivel de todo el grupo sobre la definicin, nuevamente. Efectivamente bola + bola debeestar en el conjunto, y como el nico elemento de G es bola, pues no queda otra alternativa ms quedefinir

bola + bola = bola

As, tenemos la primera sorpresa! Las cosas en los grupos no resultan como se espera que ocurrieran.

Se reflexion sobre la importancia de apegarse muy bien a la definicin y sobre lo que es en generaluna definicin en matemtica, y no asumir cosas que no se digan explcitamente. Tambin se reflexionsobre la operacin +, en un grupo la operacin es una idea abstracta que une dos elementos y da untercero, pero que la simbologa no debe apegarse a una idea preconcebida, en este caso la operacin +es solo un smbolo, no se refiere a la suma usual de conteo en los nmeros naturales.

Se les indic que de ahora en adelante, se usara este smbolo, en la mayora de los casos, para referirsea la operacin del grupo.

Una vez aclarado esto, se les pidi que ahora pasaran de ser alumnos a ser profesores, es decir que sevisualizaran como lo que pronto les tocara enfrentar en su labor profesional. Se les hizo ver, que noesperaba que la discusin hubiera llegado al punto que lleg, que esto no era algo que se plane conantelacin. Se les solicit que analizaran la discusin dada, las respuestas de la docente, como habaconducido la discusin y sobre como la mejoraran ellos. Esto dio pie a ms reflexiones y comentariosimportantes desde el punto de vista formativo, como por ejemplo el de uno de ellos que expres:profesora ahora veo que uno tiene que estar alerta, pues no se sabe que estar pasando por la cabezadel muchacho, uno cree que estn entendiendo, y tal vez no tienen ni idea. Otra muchacha dijo: uno puede planear una clase muy linda, y no sabe que puede pasar luego en el aula, lo cual esperfectamente una realidad que debern enfrentar los profesores.


Figura 1.3: Creacin de grupos de orden dos

Al continuar con los siguientes conjuntos de la consigna anterior, uno de los grupos defini una op-eracin para cada uno de los conjuntos {0,1},{1,1} y {a,b}, como se muestra en la figura 1.3. Observeque en el caso del conjunto {0,1}, despus de intentar con la suma usual de nmeros enteros, la cualno resulta cerrada cuando se opera 1 + 1, definen otra operacin como 0 si son iguales y 1 si sondiferentes. Para el conjunto {1,1} definen la operacin producto de nmeros enteros, y para {a,b},definen la operacin como a si son iguales y b si son diferentes, repitiendo el argumento usado en elconjunto {0,1}.

Al preguntarles si los tres eran grupos diferentes, ellos contestaron, un poco extraados por la pre-gunta, que claro que eran diferentes dado que la operacin era diferente y los elementos eran difer-entes. Se les hizo plantear los grupos creados usando una tabla, como se muestra en la figura 1.4, paraque se les facilitara notar la similitud de las mismas, y que si miraban de una forma diferente, es decirviendo solo la estructura de los grupos, en realidad los tres eran el mismo grupo.

Esto se hizo con el fin de ir introduciendo el concepto de isomorfismo. Tambin se les hizo la ob-servacin de que este hecho, s se haba planeado y anticipado, razn por la cual se haba incluidoen la consigna anterior. Esto con el fin, de ir logrando la reflexin sobre la actividad matemtica, eir mostrando un modelo de enseanza, donde todo debe estar justificado y preparado de antemano.Aunque es claro que siempre pueden ocurrir, y pasan constantemente, hechos no previstos por el do-cente.


Figura 1.4: Tablas de grupos isomorfos de orden dos

LLama la atencin el hecho de que un grupo de estudiantes intent definir una operacin en N {0},que no resulta ser un grupo, como puede verse en figura 1.5. Es importante aprovechar algunos errores,para recalcar aspectos que reafirmen algunos conceptos. De los errores se puede lograr un aprendizajesignificativo.

Figura 1.5: Una operacin que no hace de N {0} un grupo

1.4.2 Consignas del bloque 2:La siguiente consigna pide que construyan grupos en conjuntos no comunes a ellos, pero usando ma-terial concreto y manipulable. La idea es que los estudiantes logren crear las tablas de los grupos desimetras de polgonos regulares.

Para ello se les proporcion a cada estudiante alfombras rompecabezas, como se muestra en la figuraadjunta, numerados del 1 al 9. No se les indic como usar el material dado.

Figura 1.6: Material concreto

A otros grupos se les proporcion, el mismo material pero con letras seguidas del abecedario, en lugarde nmeros, con el fin de que solo vieran estructura y caractersticas propias de los elementos.


Figura 1.7: Material

Algunos tuvieron un poco de dificultad, pues las instrucciones se referan a los nmeros 1,2 3 y 4, perose les indic que este acomodo era parte del ejercicio, pues la idea es ir introducindoles el conceptode isomorfismos de grupos, de modo que la apariencia de los elementos no importa.

Consigna 3: Un juego!Se tienen un cuadrado con vrtices numerados con {1,2,3,4}.

Construya un un grupo (G,) donde la operacin es la composicin de movimientos simtri-cos con respecto a rectas que mantengan la figura del cuadrado invariante, y G es el conjuntoformado por los todos los posibles movimientos. Haga una tabla del grupo creado e indiquecul es el neutro y los inversos de cada movimiento.

Al principio, los estudiantes muy entusiasmados con el material concreto, no saban como empezar,poco a poco fueron creando ideas de como usar el material concreto dado, para generar los movimien-tos solicitados. Una dificultad que se present en todos los grupos, fue el poder plasmar por escrito, losmovimientos y su combinacin. Cmo representar una simetra vertical? En este momento, la docenteintervino sugierindoles darle nombres sugestivos a cada movimiento, por lo que les solicit elegir unanotacin adecuada. Por consenso, el grupo decidi usar la siguiente notacin:

Simetra vertical: con (V), por vertical

Simetra horizontal: con (H), por horizontal

Movimiento diagonal: con (D), por diagonal


Movimiento nulo: con (I), para indicar que la figura se deja igual.

Figura 1.8: Movimientos respecto a simetras del cuadrado

Tuvieron un poco de problemas al hacer las primeras combinaciones, pero poco a poco todos lograronel objetivo. Algo que llama la atencin es que cada vez que iniciaban una combinacin de movimien-tos, ponan la figura en su posicin inicial. Aunque la docente les indicaba que podan realizar elmovimiento desde cualquier posicin en que se hallaban la numeracin de las alfombritas, pareca queno comprendan, hasta verificarlo ellos mismos y anotar en la tabla.

De modo que la combinacin de los movimientos (simetra diagonal) (simetra horizontal), se repre-sentar como D H, y eso es lo mismo que V, como puede verse en la figura 1.9.

Figura 1.9: Movimiento D H = V

Una vez superada la dificultad de notacin, los estudiantes avanzaron muy rpido formando todasla posibles combinaciones de movimientos ir plasmando en una tabla los resultados. Determinaron elmovimiento que funciona como identidad, as como los movimientos inversos de cada uno de ellos.Hicieron algunos casos de la asociatividad. A continuacin puede apreciarse la tabla 1.10 creada poruno de los grupos, que refleja los movimientos con respecto a las simetras indicadas.


Figura 1.10: Ejemplo de un grupo creado

En esta siguiente consigna, se les solicit hacer una variacin al problema anterior, con un grado dedificultad mayor, hay ms movimientos incluidos.

Consigna 4: Una variacin al juego anterior

Ahora incluya, adems de los movimientos vertical y horizontal del problema anterior, rota-ciones de 90 en sentido contrario a las manecillas del reloj, y en lugar del movimiento verticalde antes, seprela en dos simetras con respecto a las diagonales del cuadrado.Construya una tabla de un grupo (G,) donde la operacin es la composicin de estosmovimientos y G es el conjunto formado por los todos los posibles movimientos. Hay ahoramovimientos repetidos? Identifique cul movimiento funciona como identidad y cules sonmovimientos inversos. Ser conmutativa la operacin?


Una vez pasada la consigna dos, esta ya no gener mayor problema al incluir ahora como nuevosmovimientos las rotaciones y dos simetras diagonales, en lugar de solo una. Uno de los grupos us lasiguiente notacin:

D1: que consiste en dejar 1 y 4 fijos e intercambiar 2 y 3,

D2: que consiste en dejar 2 y 3 fijos e intercambiar 1 y 4.

R1: que corresponde a una rotacin de 90.




H: que consiste en cambiar 1 con 3 y 2 con 4.

V: que consiste en cambiar 1 con 2 y 3 con 4.

I: que consiste en dejar todo igual

Figura 1.11: Movimiento D1H = R3

Inmediatamente otro grupo, mejor la notacin al percatarse de que la rotacin de 360, volva a laposicin inicial, es decir que R4 = I, de modo que resultaban 8 movimientos en lugar de 9. Otro grupoindic que para simplicar notacin, se podra usar (R1)2 en lugar de la rotacin de 180, y as con losdems. Este grupo us la siguiente notacin:

D1: que consiste en dejar 1 y 4 fijos e intercambiar 2 y 3,

D2: que consiste en dejar 2 y 3 fijos e intercambiar 1 y 4.

R: que corresponde a una rotacin de 90.



H: que consiste en cambiar 1 con 3 y 2 con 4.

V: que consiste en cambiar 1 con 2 y 3 con 4.

I: que consiste en dejar todo igual


Al realizar la composicin de los movimientos y formar la tabla del grupo, nuevamente al igual que enla consigna anterior, cada vez que queran ver el resultado, ponan la figura en la posicin identidad.La docente intervino, impulsndolos a realizar las combinaciones, desde cualquier posicin en que sehallara la figura, ms fcilmente, usando la ltima posicin. Los estudiantes dudaron un poco, puesno se sentan cmodos hacindolo, sin embargo, comprobaron que los resultados se mantenan.

Otra observacin a recalcar es que dos de los grupos de trabajo, concluyeron que no resultaba ser ungrupo dado que al realizar la combinacin D1 H, vea figura 1.11, se obtena la diagonal doble de laconsigna anterior D, la cual cambiaba a la vez: 1 con 2 y 3 con 4, sin percatarse que esta correspondaal movimiento R270 = R3, lo que fue aclarado por otro grupo.

Con miras a conocimientos a desarrollar luego, se les solicit que verificaran que D1 R3 = R D1,como puede verse en figuras 1.12 y 1.13, con la idea de conducirlos al caso general de un polgonoregular de n lados, a probar luego, que indica que si S es la simetra que pasa por el vrtice 1, se tieneque

SRk = RkS, para todo k = 1, ,n.

Figura 1.12: Movimiento D1 R3

Figura 1.13: Movimiento R D1


Figura 1.14: Tabla del grupo diedro D2

Finalmente, todos lograron completar la tabla del grupo, y se les indic que haban descubierto unode los grupos ms conocidos, el grupo diedro denotado por D4, por los 4 vrtices del polgono, el cualtiene 8 elementos. Uno de los grupos present la tabla dada en la figura 1.14.En esta siguiente consigna, se les solicita hacer una variacin al problema anterior, con miras a unageneralizacin, con menos cubos, pero con movimientos similares: simetras y rotaciones. Se trata delas simetras del tringulo.

Consigna 5: Menos cubos, movimientos similaresTome solamente tres cubos, numerados del 1 al 3, y posicinelos como si fueran los vrticesde un tringulo equiltero. Defina movimientos como simetras con respecto a las alturasimaginarias y rotaciones, de cuntos grados deberan ser las rotaciones?

Construya una tabla de un grupo (G,) donde la operacin es la composicin de estosmovimientos y G es el conjunto formado por los todos los posibles movimientos. Identifique


cul movimiento funciona como identidad y cules son movimientos inversos. Ser conmuta-tiva la operacin? De cuntos elementos result el grupo? Y el anterior?

Los integrantes de los grupos, en forma diferentes, usaron la creatividad y versatilidad del material,para simular los movimientos del tringulo. Uno de ellos simul en tringulo equiltero como muestrala figura 1.15.

Figura 1.15: Representacin de un tringulo

As, la rotacin de 90 y la simetra con respecto a la altura sobre el vrtice 1, A1 , la representaronrespectivamente, como se muestra en las figuras 1.16 y 1.17.

Figura 1.16: Rotacin de 90 Figura 1.17: Simetra respecto a vrtice 1

Sin embargo, cuando empezaron a hacer las composiciones, se les complic la representacin usadacon el material, cuando los nmeros no estaban en la posicin inicial desde la identidad. Se dierondiscusiones sobre si lo que importaba era el orden de los nmeros que se movan de posicin, o laposicin de los vrtices en los que los nmeros se iban moviendo. Analizaron los dos casos, llegandoa la conclusin de que lo que resultaba ser un grupo, era posicionar los vrtices y a partir de ah de-terminar las combinaciones de los movimientos. Por ejemplo, al realizar el movimiento A2R, es decirdespus de una rotacin de 90, hacer una simetra con respecto al vrtice 2, tuvieron dificultad aldecidir entre cul de las dos figuras 1.18 1.19, lo representaba.

Figura 1.18: Representacin errnea de A2R Figura 1.19: Representacin correcta de A2R

Es por esto, que result ms adecuada la representacin planteada por otro de los grupos, que usel material, de modo que la posicin quedara establecida desde el inicio, usndolo de la manera que


muestra la figura 1.20, donde al sacar los nmeros queda la forma del nmero en su posicin inicial.

Figura 1.20: Rotacin de 90Figura 1.21: Simetra respecto a vrtice 1

En este caso, quedan ms claras las combinaciones de los movimientos, pues las posiciones de los vr-tices quedan plasmados con el agujero del nmero faltante. As, el movimiento A2R, se puede verfcilmente.

Figura 1.22: Rotacin de 90 Figura 1.23: Representacin de A2R

Se adjunta en figura 1.24 la tabla creada por uno de los grupos.


Figura 1.24: Tabla del grupo de simetras del tringulo

La siguiente consigna, es para hacer en la casa. Esta involucra hacer una variacin al problema an-terior, con un nmero mayor de cubos, con un grado de dificultad mayor, para as as lograr unageneralizacin. Es decir, la intencin es que construya un grupo con movimientos similares, pero ahoraen un heptgono.

Consigna 6: Hacia una generalizacinAhora suponga que tiene 7 cubos numerados del 1 al 7. Defina movimientos bsicos de modoque al combinarlos, obtenga un grupo. De cuntos elementos estar constituido este grupo, siincluye simetras y rotaciones?

Para este ltimo, se le deja al estudiante que defina las simetras y rotaciones, tambin es una tareapara la casa. Finalmente se espera que construya la tabla. La idea es que la siguiente clase se haga lademostracin formal de los resultados y pueda aplicarlos a estas dos consignas.

Ya para esta altura, los estudiantes rpidamente concluyeron que este resultara en un grupo de orden14, y que realizar todos los movimientos y sus combinaciones, iba a resultar tedioso. De ah la necesi-dad, surgida de ellos mismos, de buscar formas alternativas de deducir la tabla de cualquier grupo enque se incluyeran rotaciones y simetras a un polgono regular de n lados, buscando algn softwaredinmico.

1.4.3 Consignas del bloque 3:En este bloque, la docente instituciona las ideas y construcciones de tablas del bloque anterior, probandoque para cualquier polgono regular de n lados, se puede formar un grupo, si se toma como operacinla composicin de rotaciones y simetras. Pero antes de iniciar la prueba del teorema, se les present lasiguiente definicin, para ir introducindolos en el lenguaje formal de la prueba.


Definicin 1.1

Dado un conjunto A del plano, denotaremos por S(A) al conjunto de todos los movimientosque se le pueden aplicar a A, dejndolo invariante, es decir que no cambian su forma. Msespecficamente,

S(A) = {M : M es un movimiento y M(A) = A}Tipos de estos movimientos, pueden ser traslaciones, rotaciones, simetras respecto a una recta,etc, como las aplicadas en las consignas anteriores. A este conjunto de movimientos S(A), se lellama simetras del plano.

Consigna 7: Prueba formal del grupo de las simetras del planoEl siguiente teorema da una prueba formal, que indica que al aplicar movimientos como losrealizados en las consignas del bloque anterior, al cuadrado, hexgono y dems polgonos reg-ulares, se obtiene un grupo con la operacin composicin. Frmese en los grupos de trabajo, ysiga paso a paso la demostracin dada por la docente.

Teorema 1.1

El conjunto de las simetras de un conjunto A del plano, es un grupo, con la operacin composi-cin de movimientos.

Prueba: Sea A un conjunto del plano y sea S(A) = {M : M es un movimiento y M(A) = A}. SeanM,N S(A). Entonces M(A) = A y N(A) = A. Luego

(M N)(A) = M(N(A)) = M(A) = A,

por lo que M N S(A), es decir se cumple la cerradura. La asociatividad es vlida, pues si M,N,L S(A), entonces ((M N) L)(A) = A = (M (N L))(A). El neutro es el movimiento de no hacernada, es decir no mover a A, que denotaremos con I, de identidad y el inverso es el movimiento dedevolverse. El inverso de M es un elemento de S(A), pues

M1(A) = M1(M(A)) = (M1 M)(A) = I(A) = A

Veamos uno de los ejemplos realizados en la actividad 1, antes de probar el teorema que formalizalos resultados hallados. Para mayor comodidad en la notacin, de ahora en adelante obviaremos elsmbolo de la composicin , de modo que, para referirse a M N, simplemente usaremos la notacinMN.


Consigna 8: Formalizando el grupo de las simetras del tringuloEn la consigna 5, ustedes realizaron los movimientos de simetras y rotaciones para un tringulo.Vuelva a reconstruir los movimientos hechos, y comprelos con la demostracin formal dada porla docente.

Ejemplo 1.1 (Simetras del tringulo)

Considere un tringulo equiltero con vrtices en las posiciones 1,2 y 3.

Sea R la rotacin de 120. Observe que R2 es la rotacin de 240, mientras que R3 es la rotacinde 360, que denotaremos con I, de identidad. Vea figura 1.25.Sea ahora S1 la simetra con respecto a la altura que pasa por el vrtice 1,S2 la simetra conrespecto a la altura que pasa por el vrtice 2 y S3 la simetra con respecto a la altura que pasapor el vrtice 3. Observe que R S1 = S3, mientras que R2 S1 = S2.

Figura 1.25: Simetras del tringulo

De modo que S2 y S3 se pueden expresar como composiciones de las rotaciones y de la simetracon respecto a la altura que pasa por el vrtice 1. Para simplificar la notacin, llamaremos a estaltima, simplemente S y obviaremos el smbolo de la operacin composicin, es decir en lugarde escribir R S1, escribiremos RS, como se mencion anteriormente.


La tabla para este grupo, est dada en la figura 1.26.

Figura 1.26: Tabla del grupo de simetras del tringulo

De este modo, las simetras del tringulo tiene 6 elementos y est dado por el conjunto:

S(A) ={I,R,R2,S,RS,R2S

}

Ahora, se generaliza formalmente el grupo de simetras de cualquier polgono regular en el siguienteteorema.

Teorema 1.2

Sea P(n) un polgono regular con n vrtices. Sea R la rotacin de 2pin radianes alrededor delcentro del polgono y sea S la simetra con respecto a una recta que pasa por el centro de P(n)y uno de sus vrtices. Entonces el conjunto de simetras S(P(n)), es un grupo con la operacincomposicin de movimientos, que consta de 2n elementos. A este grupo se le llama grupo diedrodel polgono y se acostumbra a denotarlo con D2n.

D2n ={I, R, R2, , Rn1, S, RS, R2S, , Rn1S

}

Prueba: Las ideas de esta prueba, fueron tomadas de Dorronsoro(1996). Es claro que R2 es una rotacinde 4pin , R

3 es una rotacin de 6pin , y continuando as, obtenemos que Rn es una rotacin de 2npin , que

lleva al polgono a la posicin inicial. De modo que si j denota el vrtice de la posicin j, al plicarleuna rotacin de 4pin una vez, este vrtice pasa a la posicin j+ 1, es decir se tiene que

R(j) = j+ 1, para j = 1, ,n 1 y R(n) = 1Veamos ahora qu hacen las simetras a cualquiera de los vrtices. Sin prdida de generalidad, podemossuponer que S es la simetra con respecto a la recta que pasa por el vrtice 1.


Como puede verse en la figura 1.27 , esta simetra cambia el vrtice 2 con el vrtice n, el 3 con n 1, el4 con n 2, y en general

S(j) = n (j 2), para j = 2, ,n, y S(1) = 1

Mostraremos que RS,R2S, ,Rn1S, son todas las simetras con respecto a las rectas que pasan por lovrtices del polgono.

Sea L la recta que pasa por uno de los vrtices y por el punto medio del lado que une los vrtices 1 y2, es decir la recta que est girada pin con respecto a la recta S.

Figura 1.27: Simetra con respecto a la recta que pasa por vrtice 1

Es claro, segn figura 1.28, que L cambia los vrtices 1 con 2, 3 con n, 4 con n 1, y en general sigue lasiguiente regla:

L(j) = n (j 3), para j = 3, ,n y L(1) = 2, L(2) = 1

Mostraremos que la simetra con respecto a L corresponde al movimiento RS. En efecto

RS(j) = R(S(j)) = R(n j+ 2) = n j+ 3, para j = 3, ,n

pues R(j) = j+ 1 para j = 1, ,n 1. Adems

RS(1) = R(1) = 2, RS(2) = R(n) = 1, y RS(n) = R(1) = 3,

de modo qe efectivamente la simetra con respecto a L, es el mismo movimiento dado por la composi-cin RS.

Consideramos ahora la simetra con respecto a la recta S2 que pasa por el vrtice 2. Como puede verseen la figura 1.29, sta simetra cambia los vrtices de acuerdo con la siguiente regla:

S2(j) = n (j 4), para j = 4, ,n y S2(1) = 3, S2(2) = 2, S2(3) = 1

Pero esto, nuevamente, coincide con R2S, pues

R2S(j) = R2(S(j)) = R(n j+ 2) = n j+ 4 = S2(j), para j = 1, ,n


De modo que tenemos que RS = L y que R2S = S2. Generalizando por un proceso inductivo, si deno-tamos por Sk a la simetra con respecto a la recta que pasa por el vrtice k, tenemos que

RkS = Sk para k = 2, ,n 1de modo que entonces obtenemos que RS,R2S, ,Rn1S, son todas las simetras con respecto a las rec-tas que pasan por los vrtices del polgono. Con esto el conjunto tiene todas las rotaciones y simetrasdel polgono, es decir est completo, no le falta ninguna rotacin ni ninguna simetra.

Figura 1.28: Simetra con respecto a la recta entre los vrtices 1 y 2

Ahora solo falta probar que D2n es efectivamente un grupo. El neutro es claramente I = Rn, pues estavuelve a poner en la posicin original al polgono, despus de cualquier rotacin dado que Rn(j) =j,n = 1, ,n, es decir que

RnRk = Rk, k = 1, ,n.Pero tambin este funciona como identidad para cualquier movimiento que involucre una simetra,pues

RnRkS = RkS k = 1, ,n.La asociatividad se hereda de la operacin composicin, que es vlida en este caso.Por otro lado, para analizar la existencia de los inversos, podemos ver que

Rk(j) = j+ k, y que Rk(j) = j k, k = 1, ,npor ser la rotacin en sentido contrario. De modo que el inverso de cualquier rotacin Rk es Rk, pues

(RkRk)(j) = Rk(j k) = j, k = 1, ,nPor otro lado, probaremos, como la intuicin indica despus de las actividades realizadas, que elinverso de cualquier simetra es ella misma, pues mueve los vrtices y los devuelve a su posicin. Paraello mostraremos antes, una propiedad muy til que ocurre con la composicin de estos movimientos,y es que

SRk = RkS, k = 1, ,n.En efecto,

(SRk)(j) = S(Rk(j)) = S(j+ k) = n (j+ k 2), para j = 1, ,n, k = 1, ,nmientras que

(RkS)(j) = Rk(S(j)) = Rk(n (j 2)) = Rk(n j+ 2) = n j+ 2 k,


para j = 1, ,n, k = 1, ,n, por lo que ambas coinciden. Esto nos indica que el inverso de RkSes el mismo RkS. En efecto

(RkS)(RkS) = Rk(SRk)S = Rk(RkS)S = (RkRk)S2 = I

La propiedad es muy til para completar la tabla de D2n, y as finalmente verificar la cerradura. Seconcluye que este es un grupo.

Figura 1.29: Simetra con respecto a la recta que pasa por el vrtice 2

Despus de realizar la prueba, se les dej de tarea de construir la tabla, usando la propiedad

RkS = Sk para k = 2, ,n 1,

en un polgono de mayor cantidad de vrtices. Tambin se les pidi simular los movimientos usandoalgn software dinmico.

Consigna 9: Un polgono con mayor nmero de vrticesAhora suponga que tiene 9 cubos numerados del 1 al 9. Defina movimientos bsicos de modoque al combinarlos, obtenga un grupo. De cuntos elementos estar constituido este grupo, siincluye simetras y rotaciones?


Uno de los grupos present su solucin, un grupo de orden 18, como puede verse en la figura 1.30.

Figura 1.30: Grupo de simetras del nongono

1.4.4 Consignas del bloque 4: Actividades de reforzamiento extra-clase


A continuacin se le dejaron tres consignas para realizar fuera de clase. En esta ltima parte de la ac-tividad, se espera que los estudiantes hagan una valoracin de toda la experiencia, ahora en calidad defuturos docentes, de manera que reflexionen sobre la misma, su funcionalidad y mejoras, respondiendoa las preguntas de la siguiente consigna. Se les motiv para que contestaran con toda la transparen-cia y sinceridad posible, dieran crticas constructivas, a nivel de profesores sugeriendo mejoras a otraprofesora.

Figura 1.31: Comentarios sobre la intencin de la actividad

Consigna 10:Conteste las preguntas: Se logra aprender con las actividades propuestas? He aprendido?Cul podra haber sido la intencin de la docente al plantearnos estas consignas? Porqu nodar simplemente la definicin y luego todos esos ejemplos? No debera la docente desarrollarcada uno de estos ejercicios en lugar de ponernos a nosotros a hacer tal cantidad de trabajo? Sepodra mejorar la gestin de la clase? Se usaron los recursos adecuados? El tiempo estuvo biengestionado?

Figura 1.32: Comentarios sobre el uso de material concreto



Esta consigna la respondieron fuera de la clase, de modo que tuvieran plena tranquilidad de dar susrespuestas. Algunas de las respuestas se dieron a continuacin. Con respecto a la intencin de lasconsignas y de la actividad en s, se agregan algunos comentarios, en las figuras 1.33 y 1.31.


Con respecto al uso de material concreto, en general fue muy bien aceptado, les result una clasediferente y amena, como lo expresaron. Unos de los estudiantes coment: gracias, la clase estuvomuy linda. Algunos de los estudiantes que en clases tradicionales, se caracterizan por sentarse atrsmuestran poca participacin e inters, en esta actividad estuvieron participativos por el entusiasmomostrado. Cabe mencionar que se destacaron en los logros y alcances de la actividad, inclusive ter-minando primero que otros grupos. Algunos comentarios al respecto son los de las figuras 1.32 y1.34.

Con respecto a si la actividad logr su objetivo acadmico, es decir si logr el aprendizaje del conceptode grupo, tambin se lograron resultados y comentarios muy positivos, como puede verse en figuras1.35 y 1.36.

Figura 1.35: Comentario sobre el aprendizaje logrado


Figura 1.36: Comentario sobre el aprendizaje logrado

Finalmente, con respecto a mejoras, hubo un consenso en el hecho de que el tiempo estuvo limitado.otro grupo coment que falt ms comentarios a nivel de todo el grupo, y sobre como resolvieron cadauno las consignas.

Figura 1.37: Sugerencias de mejora a la actividad

La siguiente consigna solicita que los estudiantes lean e investiguen sobre el tema de creacin deproblemas, se les da un artculo reciente para su lectura, y se les solicita investigar sobre dos msrelacionados al tema, que ellos deben buscar en la web, e indicar su direccin y el porqu de suescogencia.

Figura 1.38: Tareas creadas por los estudiantes para el tema de funciones


Figura 1.39: Continuacin...

Consigna 11:Lea el artculo relacionado a creacin y plantamiento de problemas de Malaspina, U. (2013).Nuevos horizontes matemticos mediante variaciones de un problema. Unin, 35, 135-143.Haga un resumen del artculo y un comentario. Luego busque dos artculos ms relacionados altema y comntelos.

Figura 1.40: Tareas creadas por los estudiantes para introducir tringulos rectngulos


La siguiente consigna est dirigida a que ellos implementen algunas tareas sobre algn tema de se-cundaria, con ayuda de las lecturas seleccionadas y la prctica llevada a cabo en las consignas de laactividad realizada.

Consigna 12:Cuando usted sea docente, diseara consignas de modo que los estudiantes descubran losconceptos y hagan creacin de problemas? Disee 5 consignas para ensear algn tema desecundaria.

Figura 1.41: Tareas creadas por los estudiantes para ubicar nmeros en la recta real

Esta fue una de las consignas ms productivas desde el punto de vista de su futuro profesional comodocentes. Los estudiantes plantearon varios consignas para diferentes problemas. Sin embargo, es claroque an falta mayor madurez para el diseo de tareas con un objetivo concreto, pero esto es algo querequiere tiempo y dedicacin. Algunas de las tareas creadas se adjuntan en las figuras 1.38, 1.40 y 1.41.


En la figura 1.38, los estudiantes escogieron el tema de funciones; ciertamente un tema que es difcilde ensear y el cual encierra conceptos muy delicados y sutiles, y que adems es la base del anlisisy cursos universitarios, por lo que en secundaria, su enseanza y aprendizaje es fundamental. Intere-sante notar como este grupo propone el uso de dados para que se realicen lanzamientos de ellos yanalizar si se obtiene una funcin. Por otro lado proponen tambin buscar funciones en la vida real,contextualizando la matemtica.

En la figura 1.40, tambin usan material concreto, en este caso tiras de papel para que los estudi-antes intenten formar tringulos rectngulos. Faltara sin embargo, una consigna que los lleve a unageneralizacin sobre la relacin entre los lados del tringulo, que los acerque al teorema de Pitgoras.

En la figura 1.41 se trata de realizar ubicaciones de nmeros reales en la recta numrica. Primeroconstruyen una consigna que los haga pensar como ubicar un nmero irracional que est entre dosenteros, pero no se les gua a como hacerlo. Luego en la consigna siguiente, se les pide usar regla ycomps y se les da el mtodo tradicional de hacerlo.

1.5 Consideraciones Finales

Se present una secuencia de tareas diseadas con un doble propsito: lograr una asimilacin slidadel concepto de grupo como base para las otras estructuras algebraicas: anillo y campo. Sin embargo,la actividad no lleg hasta aqu, sino que adems se logr cierto nivel de reflexin sobre la actividadrealizada, desde la prespectiva de estudiantes que pronto, sern docentes. Se deben realizar ms activi-dades de este tipo, de modo que estas reflexiones mejoren cada da. Con respecto al primer objetivo,se puede decir que se logr ampliamente; los estudiantes asimilaron muy bien la existencia del neutro,su unicidad y su funcin dentro de un grupo. As mismo, comprendieron la idea de lo que son losinversos as como de su unicidad, y de que cada elemento tiene su inverso. Esto se evidenci en losresultados de una prueba escrita que se les aplic una semana despus de concluidas las actividades.La mayora de los estudiantes, lograron resultados muy por encima, de otros semestres donde se lesimparti el mismo concepto, pero con una clase magistral. Tambin, qued clara la idea de isomorfismoentre grupos, concepto que en otras ocasiones, haba tenido fuertes limitaciones y mostrado carenciasde conexiones.

Con respecto al objetivo dos, que era lograr la reflexin sobre la matemtica, podra concluir quean falta mucho en este aspecto, sin embargo es claro que esto lleva tiempo y madurez, requiere dems experiencias similares y de una constante que debe mantenerse en el aula. Se requiere adems,despertar en los estudiantes, la necesidad de bsqueda de informacin y realizacin de lecturas queno solo respondan a una tarea que se debe cumplir. Se debe insistir en estos aspectos formadores.

Es importante sealar que el diseo de un conjunto de tareas debe tener un propsito claro, y que eldocente debe realizar un planeamiento de ellas, tratando de predecir el desarrollo que puede darse enla prctica, pero que debe tenerse muy claro, que en la realidad de aula, pueden presentarse situacionesque no resulten como se ha planeado. El profesor debe estar anuente a tomar medidas para encauzara los estudiantes en el logro del objetivo planteado.

Por ltimo, es importante recalcar la responsabilidad de todos los docentes que de alguna manera par-ticipamos en la formacin inicial de profesores de matemtica para secundaria, de incluir actividadesque desarrollen la competencia de reflexin sobre la actividad matemtica y que una forma de lograrlo,es modelando con actividades prcticas en la mismo aula y en la enseanza de los propios cursos dematemtica.


Bibliografa

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IntroduccinNociones tericasCreacin de problemas El constructivismo Diseo y secuencia de tareas

MetodologaTcnicas e instrumentos de recoleccin de datos Diseo de tareas para la actividad

Descripcin de la experienciaConsignas del bloque 1: Consignas del bloque 2: Consignas del bloque 3: Consignas del bloque 4: Actividades de reforzamiento extra-clase

Consideraciones FinalesBibliografaBibliografa

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