te230 - predavanje 2

1S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2

Poyntingov teorem za harmonijsko EM polje (1)

U sluaju harmonijskog polja u linearnom i izotropnom sredstvu, Poyntingov teorem u integralnom obliku glasi:

{ ( )4444 34444 2143421321

rr

VvolumenaunutarQsnagaJalovaV

22

VunutarPsnagaRadna

V

2

Vizizlazi koja snaga

prividna Kompleksna

S

izvorasnagaprividnakompleksna

pi dVEHjdVESdS ++=

gdje je kompleksni Poyntingov vektor, a * oznaava konjugiranje kompleksnog broja (fazora vektora).

= HE rrr

2

S. Vujevi - Predavanja iz predmeta Teorijska elektrotehnika - Predavanje 2

Dakle, za harmonijsko polje u linearnom i izotropnom sredstvu vrijedi da je:

QjPSSSd ppiS

+==+ rr

gdje je ukupna kompleksna prividna snaga koju volumen V dobiva od nezavisnog izvora i iz okolnog prostora kroz plohu S. Sva se ta snaga troi unutar volumena V. P je snaga gubitaka, odnosno radna snaga koja se troi unutar volumena V, dok je Q jalova snaga elektromagnetskog polja unutar volumena V.

pS



Nadalje, vrijedi da je:

( ) W W2j PQj P S emp +=+=

dVE dVEE dVJE P 2

VVV

=== rrrr

dVH21 dVHH

21 W

V

2

Vm === rr

dVE21 dVEE

21 W

V

2

Ve === rr


4


Poyntingov teorem za harmonijsko EM polje (4) Za harmonijsko polje u linearnom i izotropnom sredstvu unutar kojeg nema nezavisnih izvora, vrijedi da je:

( )empS

W W2j PQjPSSd +=+== rr

gdje je kompleksna prividna snaga koju u volumen V ulazi kroz plohu S. Sva se ta snaga troi unutar volumena V. P je snaga gubitaka, odnosno radna snaga koja se troi unutar volumena V, dok je Q jalova snaga EM polja unutar volumena V.

pS


Prijenos energije od izvora do troila (1) Neka su izvor i troilo povezani dvoinim supravodljivim vodom.

+

Er

Er

Hr

Hr

r

r

Er

Er

Hr

Hr

r

r

I

I

Troilo

Unutar supravodia nema polja pa time ni energije. Energija se okolnim prostorom prenosi od izvora prema troilu. Isto vrijedi i kad je izvor izmjenini.

6


Prijenos energije od izvora do troila (2)

Neka su izvor i troilo povezani dvoinim vodom konane vodljivosti.

Tada osim normalne (poprene) komponente jakosti elektrinog polja koja osigurava prijenos elektrine energije okolnim dielektrikom od izvora do troila postoji i tangencijalna (uzduna) komponenta jakosti elektrinog polja koja daje komponentu Poyntingovog vektora koja je okomita na vanjsku plohu vodia i ulazi u vodi. Ona daje Joulove gubitke i EM energiju akumuliranu u vodiu.

U dobrim je vodiima akumulirana elektrina energija zanemarivog iznosa, a ni akumulirana magnetska energija nema znaajan iznos u odnosu na Jouleove gubitke.


Prijenos energije od izvora do troila (3)

tEr

Hr

Hr

nr

tEr

nr

i i

Dakle, elektrina se energija od izvora do troila prenosi okolnim izolatorom (dielektrkom), a vodii u kojima se stvaraju Jouleovi gubici i akumulira mala koliina EM energije slue samo za usmjeravanje energije od izvora prema troilu.

8


Punjenje ploastog kondenzatora

Kod punjenja kondenzatora, elektrina energija struji iz okolnog prostora u dielektrik izmeu obloga kondenzatora. U ploama kondenzatora nema akumulirane energije.

i i

Hr

Err

Er

Hr

r+++++++


Pranjenje ploastog kondenzatora

Kod pranjenja kondenzatora, elektrina energija struji iz dielektrik izmeu obloga kondenzatora u okolni prostor.

i

Hr

Er

r

Er

Hr

r

+++++++

i

10


Akumulirana EM energija - integracija po poljuKao to je ve pokazano, akumuliranu EM energiju moe se izraunati integracijom po polju koritenjem sljedeeg izraza:

+=V

B

0V

D

0

dVBHdVDEWrrrr

Za linearno sredstvo akumulirana EM energija je:

( ) dVBHDE21W

V

+= rrrrZa linearno i izotropno sredstvo akumulirana EM energija je:

( ) ( ) dVHE21dVBHDE

21W

V

22

V

+=+=

11


Akumulirana EM energija - integracija po izvorima (1)Akumuliranu EM energiju moemo izraziti pomou potencijala te pomou gustoe nezavisnih izvora Vrijedi da je:

Air

.Jir

SddttAH

tDdVdt

tAJ

tW

S

t

0V

t

0

rrrrrr

+

+

= pa je:

SdAHDdVAJWS

A

0

D

0V

A

00

rrrrrr

+

+=

12


Akumulirana EM energija - integracija po izvorima (2)

U sluaju neogranienog sredstva, ploni integral iezava pa je ukupna (totalna) EM energija neogranienog nelinearnog sredstva:

+=

V

A

00t dVAJW

rr

Slijedi da je akumulirana EM energija linearnog sredstva:

( ) ( ) SdAHD21dVAJ

21W

SV

rrrrrr ++=

13


Akumulirana EM energija - integracija po izvorima (3)

U sluaju neogranienog sredstva, ploni integral iezava pa je ukupna (totalna) EM energija neogranienog linearnog sredstva:

( ) +=V

dVAJ21W

rr

Dakle, umjesto da integriramo po polju, odnosno po cjelokupnom razmatranom volumenu, EM energija se moe izraunati integracijom po izvorima i po plohi koja zatvara razmatrani volumen.

U sluaju neogranienog sredstva, izraun ukupne EM energije svodi se na integraciju po izvorima.

14


Elektrostatiko polje (1)Statiko elektrino polje ili krae elektrostatiko polje je polje mirnih elektrinih naboja.

Diferencijalne jednadbe elektrostatikog polja slijede iz Maxwellovih jednadbi za mirujue sredstvo tako da se lanovi s parcijalnim vremenskim derivacijama nuluju.

Jednadbe elektrostatikog polja u diferencijalnom obliku glase:

0EErot == rr

== DDdiv rr

15


Elektrostatiko polje (2)Jednadbe elektrostatikog polja u integralnom obliku glase:

obVS

QdVSdD == rr0sdE

K = rr

Nadalje vrijedi da je:

== gradEr

16


Elektrostatiko polje (3)Raspodjela potencijala opisana je Poissonovom diferencijalnom jednadbom:

=

Ope rjeenje Poissonove jednadbe jednako je sumi opeg rjeenja Laplaceove jednadbe (homogene Poissonove jednadbe) i partikularnog rjeenje Poissonove diferencijalnom jednadbe koje glasi:

gdje je r udaljenost izmeu toke izvora i toke promatranja.

= V rdV

41

17


Elektrostatiko polje (4)Za tokasti naboj Q vrijedi da je:

)r(Qr=

r4Q

=

)r(Q r=

gdje je Diracova delta funkcija pridruena toki u ishoditu sfernog koordinatnog sustava.

)r(r

18


Elektrostatiko polje (5)U opem sluaju, raspored naboja moe biti takav da ga ima u prostoru (prostorni naboj - volumne gustoe ), na plohama (ploni naboj - plone gustoe ), na krivuljama (linijski naboj - linijske gustoe ) ili je pak tokasti. Sukladno tome, opa integralna jednadba potencijala glasi:

=+

+

+=

n

1i i

i

K

SV

rQ

41

rds

41

rdS

41

rdV

41

19


Vodi u elektrostatikom polju Vodi u elektrostatikom polju ima konstantan potencijal, dok je jakost elektrinog polja unutar vodia jednaka nuli. Sav naboj se nalazi na povrini vodia.Neka se neutralno metalno tijelo (vodi) unese u elektrino polje. Poddjelovanjem polja dolazi do preraspodjele naboja na vodiu.

elektrina influencija.Ta pojava se zove:

- - + +

-----

-

-

+++

++++

Er 0E =

.konst=

20


Coulombov zakon (1)

Neka se dva osamljena tokasta naboja Q1 i Q2 nalaze se u zraku na udaljenosti r. Neka su oba naboja pozitivna.

2112 FFrr =

Charles Augustin de Coulomb formulirao zakon eksperimentalno 1785. godine.

21Fr

12Fr

1Q 2Qr

21


Coulombov zakon (2)

Konstanta k opisana je izrazom:

ro41

41 k ==

Istoimeni naboji se odbijaju, a raznoimeni privlae.

Iznos sile izmeu naboja:

221

2112 r QQ

kFFF===

22


Coulombov zakon (3)

Izraz za silu koja djeluje na naboj Q2 moe se opisati i izrazom:

o221

21 12rr QQ kF r

r =

Pitanje: Jesu li naboji istoimeni?

Odgovor: Da.

o12rr

gdje je jedinini vektor usmjeren od naboja Q1 prema naboju Q2.

21Fr

o12rr

1Q 2Qr

23


Jakost elektrinog polja (1)

Jakost elektrinog polja je svojstvo prostora.

gdje je:Er

- jakost elektrinog polja,

q - probni tokasti naboj,

Fr

- sila na probni tokasti naboj.

qFlimE

0q

rr=

Definicija:

24



Silnica linija u ijem smjeru djeluje sila.

Silnice osamljenih toastih naboja u homogenom i neogranienom sredstvu

25


Jakost elektrinog polja (3)Silnice dvaju raznoimenih tokastih naboja istog iznosa: +q i -q

Openito: Jakost elektrinog polja je tangencijalna s obzirom na silnicu.

Er

26


Jakost elektrinog polja (4)Silnice dvaju raznoimenih tokastih naboja istog iznosa: +q i +q

27



http://eskola.hfd.hr/inter_fizika/proba/elefi_e/index.htm

Animacija: Silnice dvaju tokastih naboja

28


Gaussov zakon - definicija

Gaussov zakon glasi: Tok vektora elektrinog pomaka koji izlazi iz volumena V kroz zatvorenu plohu S jednak je koliini naboja obuhvaenog tom plohom.

U sluaju osne ili centralne simetrije, pomou Gaussovog zakona moe se odrediti pripadni izraz za jakost elektrinog polja.

obS

QSdD == rr

Qob obuhvaeni naboj, tj. nabojkoji se nalazi unutar volumena V koji je zatvrorenplohom S.

29


Primjena Gaussovog zakona - tokasti naboj (1)

U ovom sluaju vrijedi da je:

qQSD ob ===

Jakost elektrinog polja tokastog naboja

Centralna simetrija

SqD = 22 r

qk r4

q S

q E ===

30


Primjena Gaussovog zakona - tokasti naboj (2)

Ovisnost jakosti elektrinog polja o udaljenosti r od tokastog naboja

31


Primjena Gaussovog zakona - osamljena metalna kugla (1)

Dr

0SD ==

0E =

QSD ==

SQD = 22 r

Qkr4

QS

QE ===

Rr

32


Primjena Gaussovog zakona - osamljena metalna kugla (2)

Ovisnost jakosti elektrinog polja o udaljenosti od sredita kugle r

33


Primjena Gaussovog zakona - pravocrtni vodi (1)Neka vrijede sljedee pretpostavke:

Beskonano dugi pravocrtni vodi nabijen je pozitivnim nabojem konstantne linijske gustoe ( = konst.),

Vodi se nalazi u zraku.

Iz uvedenih pretpostavki slijedi:

Osna simetrija D = konst. po platu suosnog cilindra, Vektor elektrinog pomaka okomit na plat suosnog cilindra, Vektor elektrinog pomaka lei u bazama suosnog cilindra.

34


Primjena Gaussovog zakona - pravocrtni vodi (2)

hQSD obplata ==

hhr2Eo =

r2 EE

or

==

obS

QSdD == rr

35


Primjena Gaussovog zakona - beskonano dugimetalni cilindar

0E =

r2 E

o =

Rr

0

36


Primjena Gaussovog zakona - nabijena ravnina (1)Pretpostavka: Plona gustoa naboja (s obje strane ravnine) = konst.

bazeobbaze SQSD2 ===

konst. 2

Eo

==

= E2 ooo

.konst=

a a

37


Primjena Gaussovog zakona - nabijena ravnina (2)

konst. 2

Eo

==

Er

Er

.konst=

0 0

38



Vrijedi zakon superpozicije

Er E

r

0 00

0E =

Eo= E o

=

++

39



Vrijedi zakon superpozicije

+

0 00

Er

0E =0E =

Eo=

40


Elektrini napon i potencijal (1)Definicija: Elektrini napon izmeu toaka A i B jednak je radu koji izvri elektrina sila pri premjetanju pozitivnog jedininog tokastog naboja q (q = 1 C) iz toke A u toku B.

F E q= r r

Elektrini napon U = UAB u zadanom elektrinom polju ne ovisi o putu integracije, ve samo o poloaju toaka A i B.

===K

ABAB sdEq

WUU rr

41


Elektrini napon i potencijal (2)

Najee se uzima da je referentna toka dovoljno daleka toka, odnosno toka u beskonanosti. Potencijal toke A jednak je naponu te toke u odnosu na referentnu toku:

Definicija: Referentna toka R je toka koja je proizvoljno odabrana i u kojoj je po pretpostavci elektrini potencijal V. 0R ==

===R

AARA sdEU

rr

Napon izmeu toaka A i B jednak je razlici potencijala tih toaka:

==B

ABAAB sdEU

rr

42


Potencijal osamljenog tokastog naboja (1)

Pretpostavka:

Q r T 2rQkE === r za 0

====

r2

r

R

TT r

drQkdrEsdE rr

r4Q

rQk

r1 Qk

rT ==

==

43


Potencijal osamljenog tokastog naboja (2)

U elektrostatikom polju, ekvipotencijalne linije i silnicesu uvijek meusobno okomite.

44


Potencijal osamljene metalne kugle (1)

Rr >

2rQkE =

rQkdrE

r

==

Rr

te230 - predavanje 2

Documents