3 Demostrar que

a) 𝑐𝑜𝑠 𝛽!𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝛽!𝑥!! 𝑑𝑥 = 𝑁𝛿!,! donde tan 𝛽!𝑏 = 1 𝛽!.

b) Determinar N. 4 Una barra metálica de 100 cm de longitud tiene sus extremos mantenidos a

0ºC. Inicialmente el primer tercio de la barra se encuentra a 80ºC. Suponiendo que la barra tiene una difusividad de 1 en unidades de cgs, encuentre la temperatura para un tiempo t>0.

Tarea 1 Series de Fourier

MAF 2015II

1. Sea un material Óhmico delgado de longitud l con una distribución continua de: resistencia R, capacidad C,

auntoinductancia L, y conductancia G (todos son valores constantes medidos por unidad de longitud). Si un

extremo del conductor es puesto a tierra y el otro a un voltaje variable E(t) y la distribución inicial de voltaje

es: V (x, 0) = f(x) y V

t

(x, 0) = g(x). Determine el voltaje a lo largo del conductor V (x, t) para t > 0; si se

cumple que:

V

xx

(x, t) = CLV

tt

(x, t) + (CR + GL)V

t

(x, t) + GRV (x, t) (1)

para 0 < x < l y t > 0.

2. Un cilindro flexible, homogéneo y de longitud l es torcido para sacarlo fuera de su estado de equilibrio. Si

◊(x, t) representa el ángulo que se forma entre el eje del cilindro, un punto A de la superficie del cilindro en

su estado de equilibrio y el mismo punto A

Õen un instante t > 0. Figura 1.

Figura 1:

Resolver la ecuación:

ˆ

2

ˆt

2 ◊(x, t) = a

2 ˆ

2

ˆx

2 ◊(x, t) (2)

Para 0 < x < l y t > 0. Si la distribución inicial de ángulos es: ◊(x, 0) = f(x) y ◊

t

(x, 0) = g(x); para los casos:

a) Los extremos del cilindro estan fijos.

b) Los extremos del cilindro estan libres.

c) Los extremos del cilindro están sujetos elásticamente.

¿Qué representa a?

1

5 La ecuación de las vibraciones de una piel de tambor cuadrada, bajo la acción de una fuente sonora q(x,y,t), está dada por

𝜕!𝑍𝜕𝑡

= 𝑎!𝜕!𝑍𝜕𝑥

+𝜕!𝑍𝜕𝑦

− 𝑞 𝑥, 𝑦, 𝑡

donde 𝑍(𝑥, 𝑦) es el desplazamiento de cualquier punto (𝑥, 𝑦) de la piel del tambor desde su posición de equilibrio (en el plano xy). Si la piel del tambor se pone a vibrar al darle una forma inicial descrita por 𝑍 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , y después se suelta, por lo que 𝑍!(𝑥, 𝑦, 0) = 0. Suponiendo que las aristas de la piel se mantienen en una posición fija y sus longitudes son unitarias, 0 < 𝑥 < 1; 0 <𝑦 < 1, encuentre el desplazamiento de la piel del tambor para un tiempo 𝑡 > 0. Cómo serían las vibraciones si la membrana está fija en extremos x=0 y x=a, y

en de Z(x,0)=g(x) y !"!" !!!

=h(x)?

6 Una guía acústica rectangular tiene paredes rígidas en 𝑥 = 0, 𝑎 y en 𝑦 = 0, 𝑏 y se extiende de manera infinita a lo largo del eje 𝑧. Buscando soluciones separables de la ecuación de onda, con potenciales de velocidad de la forma 𝜙 = 𝑋 𝑥 𝑌 𝑦 𝑒! !"!!" , muestre que la frecuencia angular 𝜔 y el número de onda 𝜅 deben satisfacer

 𝜔 = 𝑐   𝑘! + 𝜋!𝑛!

𝑎!+𝑚!

𝑏!

para cualquier 𝑛 = 1, 2,… ;𝑚 = 1, 2,… Muestre que la solución con 𝑚 = 𝑛 = 0  es una onda plana.

7 Resolver la ecuación de Poisson ∇!𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 , (0<x<a, 0<y<b, y 0<z<c), i) bajo condiciones de frontera homogéneas y ii) no homogéneas.