tablas de kurt beyer

8/13/2019 Tablas de Kurt Beyer

1/15

Facultad de Ingeniera

Universidad Nacional de La Plata

ESTRUCTURAS IIIPara alumnos de la carrera de Ingeniera Aeronutica y Mecnica de la UNLP

TABLAS DE KURT BEYERpara el clculo de solicitaciones en placas circulares

y anulares simtricamente cargadas

Reeditadas por:

Sr. Leonardo J. MartaSr. Diego A. MassiminoSrta. Mara de la Paz AlonsoSr. Julio. A. Guimmarra

Revisado por:

Ing. Juan P. Durruty

-2008-


2/15

Estructuras III

PLACAS CIRCULARES:

Placa circular y placa anular sometidas a cargas con simetra central resultan segn H. Marcus,las dos ecuaciones simultneas de segundo orden:

=

r

0

22

2

drrpr

1p

dr

Md

=

r

0

22

2

drrN

M

r

1

N

M

dr

d

que nuevamente son anlogas a las ecuaciones diferenciales de la curva funicular y a laelstica de la barra con rigidez a la flexin y que se prestan para el clculo de los estados de

tensin y deformacin de la placa circular.

Tabla 63. Deformaciones y caractersticas de placas circulares yanulares simtr icamente cargadas.

Las siguientes igualdades y funciones son las que se utilizaran en la tabla.

a

r=

a

b=

( )112

hEN

3

dr

d'

=

4

0 1 = 2

1 1 = = ln2

2 = ln3 1124

=

Ahora se presentaran distintos casos con sus soluciones.

1)

( ) ( ) ( )[ ]01

4

1321N64

ap++

+

=

2a

p

( ) 12

r 316

apM +

= ; ( ) ( )[ ]1

2

t 311216

apM ++

= ;

=

2

apQ r

Para 0=++

=

1

5

N64

ap 4; ( )+

== 3

16

apMM

2

tr

Para 1=( )+

=1N8

ap'

3

; (

= 18

apM

2

t );2

apQ r

=

Pgina 2 de 15


3/15

Estructuras III

2)

( ) ( )[ ]( ) ( ) +++= ln141375 4221

2a

p

2b-2a( ) ( ) ( ) +++= ln14113 2222

Para ( )

( )12214

221N64

ap+

+

= ; 22

tr16

apMM

== ; 0Q r=

Para

( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ){ }22340142

4

18141121321N64

ap+++++

+

=

( ) ( ) ( )[ ]324412

r 141316

apM +++

= ;

=2

r2

apQ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

22

3

2

4

4

1

2

t

1121413116

apM +++++

=

Para 0=( ) 1

4

1N64

ap

+

=

Para 1=( )

( )223

11N8

ap'

+

= ; ( )( )222

t 118

apM

= ; ( )2r 1

2

apQ

=

3)

( ) 2

1 14 = ; ( )[ ] 2

12 ln14 += ;( ) ( ) ( ) ++++= ln143734 223 2a

p

2b-2a

Para ( )[ ]

+

++++

= 01

22224

12ln24541

N64

ap

=2

apQ r

( ) ( )[ ]122

r 3316

apM +++

= ; ( ) ( )[ ]12

2

t 313116

apM +++

=

Para ( ) ( )

++

++

= 32

21

22

4

241

1322

N64

ap

( ) ( )[ ]32442

r 14116

apM +

= ;

=2

bpQr

( ) ( ) ( ) ( )[ ]2232442

t 21214116

apM ++

= ;

Para 0=( )

3

22

1N64

bap

+

= ; 2

2

rt

16

apMM

==

Pgina 3 de 15


4/15

Estructuras III

Para = ( )[ ]222

r 316

apM +

= ; ( )[ ]+

= 31

16

apM 2

2

t ;2

bpQr

=

Para 1=( )

( )22

21N8

bap

+

= ; ( )( )22

t 218

bpM

= ;

=

2

bpQr

4)

2b-2a

2a

P ( ) ( ) +++= ln1213 221

( )( ) ( ) += ln1211 22

Para ( )

( )[ ]12212

1N8

baP+

+

= ; 2tr4

bPMM

== ; 0Qr=

Para ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ){ }232122

1212131N8

baP+++++

+=

( ) ( )[ ]342r 1214

bPM +

= ;

= PQr

( ) ( ) ( )( )[ ]2342t 1121214

bPM ++

=

Para 0=( ) 1

2

1N8

baP

+

=

Para 1= ( ) ( )2

11N2

baP

+

= ; ( )( )2

t 112

bP

M

= ; = PQr

5)

+

++

= 212

21

3

N16

aP

( ) 3r 14

PM +

= ; ( ) ( )[ ]3t 11

4

PM +

= ;

=

a2

PQr

Para 0=++

=1

3

N16

aP 2

Para 1=( )+

=1N4

aP; ( )

= 14

PM t ;

a2

PQr

=

P

a a

2a

Pgina 4 de 15


5/15

Estructuras III

6)

2a

M

( ) 12

1N2

aM

+

= ; MMM tr == ; 0Qr=

Para 1=( )+

=

1N

aM

7)

2a

aaP

++

++

= 2012

81

32

N64

aP

( ) ( )[ ]31r 14316

PM +++

= ;

( ) ( ) ([ ]+++

= 12143116

PM 31t

Observacin: lacarga P en estecaso es:

) ;

=

1

a2

PQr

2aP =

Para 0=++

=1

37

N64

aP 2

Para 1= ( )+

= 1N8aP

; ( )= 18P

M t

8)

( 014

2N64

ap

= ) ; ( )[ ]23

16

apM 1

2

r +

=

( )[ ]+

= 23116

ap1

2

tM ;

=2

aprQ

Para 0=N64ap 4= ; ( )+== 1

16apMM2

tr

Para 1=

==8

apMM

2

rt ;2

apQr

=

9)

( )+= ln4341 421 ;

( )= ln41 222

2

p

a

2a

p

a2b2

Pgina 5 de 15


6/15

Estructuras III

Para ( )[ ]12214

22N64

ap+

= ; ( ) 2

2

tr 116

apMM +

== ; 0Qr=

Para ( )[ ]223401424

84212N64

ap

= ;

( ) ( ) ( ) ( )[ ]32441222

r 14131216

apM ++++

= ;

( ) ( ) ( ) ( )[ ]32441222

t 141311216

apM +++++

= ;

=2

r2

apQ ;

Para 0= 14

N64

ap

=

Para 1= ( )222

rt 18

apMM

== ; ( )2r 1

2

apQ

=

10)

( )[ ]= ln434 221 ;= ln4222 ;

Para ( )[ ]012214

212

N64

ap++

= ;

( ) ( )[ ] ( ){ }122

r 33116

apM ++++

=

( ) ( )[ ] ( ){ }122

t 3131116

apM ++++

=

Para ( )[ ]2321222

422N32

bap+++

= ;

( ) ( ) ( )[ ]34222

r 1412216

bpM ++

= ;

=2

bpQr

( ) ( ) ( )[ ]34222

t 1412216bpM +=

Para 0= 14

N64

ap

= ; ( ) 2

2

tr 116

apMM +

==

Para = ( ) ( )[ ]222

r 3116

apM ++

= ; ( ) ( )[ ]22

2

t 31116

apM ++

= ;

2

bpQ r

=

Para 1= ( )22

rt 28

bpMM

== ;

=

2

bpQr

2a

p

ab 22

Pgina 6 de 15


7/15

Estructuras III

11)

2a

a2b2

P

( )= ln211 21 ;;= ln2122

Para ( )[ ]12212

N8

baP+

= ; ( ) 2tr 1

4

bPMM +

== ; 0Qr=

Para ( )[ ]232122

221N8

baP+++

= ;

( ) ( ) ( )[ ]3422r 121124

bPM ++

= ;

( ) ( ) ( )[ ]3422t 121124

bPM +++

= ;

= PQr

Para 0= 12

N8

baP

=

Para 1= ( )2rt 12

bPMM

== ; = PQr

12)

2a

P

a a ( )212

2N16

aP+

=

( )[ ]3r 114

PM ++

= ; ( )[ ]3t 1

4

PM ++

= ;

=

a2

PQr

Para 0=N16

aP 2

=

Para 1=

==4

PMM rt ;

a2

PQr

=

13)

( ) ( )

+++= ln1

1432

2

1 ,p

( ) ( )

++= ln1

1432

2

2 ,p

2b=2a2a

2b=2 a

2a

Pgina 7 de 15


8/15

Estructuras III

( )[ ]

++

= 2

2

31

2

012

24

81

43

1

2

N64

ap,

( ) ( )[ ]3241212

r 14316

apM +++

= ,

=2

r2

apQ ,

( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }12

3

2

41

2

1

2

t 12212143116

apM +++++

=

Para = ( ) ( )[ ]

+

++

= ln

1

4

1

1375

N64

ap1

22

22

( )

+

= 212

11N8

bap, ( )[ ]21

2

t 18

apM

=

Para 1=

( )

+

=

1

21

1N8

ap 123

;

( ) ( )[ ]{ }122

t 1218

apM

= ; ( )2r 1

2

apQ

=

14)

2b=2a2a

2b=2a

P

P

= ln1 2

2

+

+

+

++

= 2312

21

142

1

3

N8

baP

) ;

= PQr ( )( 34r 12

bPM ++

=

( )

+

+++

=1

121

2

bPM 34t

Para = ( )

+++

+= ln1

1411

3

N8

baP 2

2

;

( )

+

+

=

1

12

1N2

aP 22

;

( )

+

+

=

1

121

2

bPM

2t; PQr = ;

Para 1=( )

+

+

=

1

121

1N2

baP; = PQr ;

( )

+

+

= 11

212

bP

M t

Pgina 8 de 15


9/15

Estructuras III

15)

M

2b=2a

2a

2b=2aM

( )

+

+= 312

2

1

12

1

1

1N2

bM;

42

2

r1

MM

= ; ( )2

1MM 42

2

t +

= ; 0Qr= ;

Para =( )

+

+

=

2

2

1

ln

1

121

1N2

bM;

( )

+

++

= 11

1

1

1N

bM 22 ; 2

2

t1

1MM

+= ;

Para 1=( ) 22 11N

bM2

= ;

2

2

t1

M2M

=

16)

M

2b=2a

2a

2b=2a

M( ) ( )

+

+

= 3

2

12

2

1

12

11N2

aM

= 422

r1

1MM ;

++

= 422

2

2

t11

1MM ; 0Qr=

Para =

( )

+

+

= ln

11

121

1N2

aM2

22

( ) 22 12

1N

bM

= ;2t 1

2MM

=

Para 1=( ) ( )

+

++

= 2

2 1

11

11N

aM;

2

2

t1

1MM

+

=

Pgina 9 de 15


10/15

Estructuras III

17)

( ) ( ) 21 11 ++= ; ( ) += ln14 2

1 ;

2b=2a2a

2b=2a

2a

p

p ( ) ( ) 2

2 11 ++= ;2

2

11

+=

( )[ ]2230124

84212N64

ap

= ;

( ) ( ) ( ) ( )[ ]324122

r 141321216

apM ++++

= ;

( ) ( ) ( ) ( )[ ]324122

t 1413121216

apM +++

= ;

=2

r2

apQ ;

Para = ( ) ( ) ( ) ( )[ ]++= ln242121N64

ap 422224

;

( )

+

=

43

1N8

ap; ( )+

= ln411

8

apM 24

2

22

t ;

Para 1= ( )+== 22

rt 218

apMM ; ( )2r 1

2

apQ

=

18)

2b=2a2a

2b=2a

2a

P

P

( ) ( ) 211 +++= ;

( )[ ]

++=

2

ln11 ;

( )[ ]2312

2421N8

baP+++

= ;

( ) ( ) ( )[ ]34r 11212

bPM ++

= ,

= PQ r ,

( ) ( ) ( )[ ]34t 11212

bPM ++

= .

Para = ( )( ) ( )[ ]+++

= ln22121N8

baP 222

,

Pgina 10 de 15


11/15

Estructuras III

( )+

= ln21

N2

bP 22

, ( )+

= ln211

2

bPM 2

2

t ,

Para 1= ( )

== 212

bPMM rt .

19)

2b=2a

2a

2b=2a2a

M

M( ) ( ) 211 ++= ,

( 312

2N2

bM+

= ) , ,0Q r=

( )[ ]42

r 12M

M +

= , ( )[ ]4

2

t 122

bMM

=

Para = ( )+

= ln21

N2

bM 22

; ( )21N

bM

= .

( ) ( )[ ]2t 11M

M +

=

Para 1=

==

2

rt

M2MM .

20)

( ) ( ) ( ) +++= ln143112 221 ,p

2a

2b=2a

( ) ( ) ( ) ++= ln14312 222 ,

Para 1

++

= 011

4

1

2

N64

ap

,

( ) ( )[ ]112

r 3316

apM +++

= ,

( ) ( )[ ]112

t 313116

apM +++

= ,

=

2

apQ r

Para 1

+

+

= 2

2

3

2

011

4

881

2

N64

ap,

=2

r2

apQ ,

( ) ( ) ( ) ( )[ ]3242112

r 14123316apM +++++= ,

Pgina 11 de 15


12/15


13/15

Estructuras III

22)

p

( )++

= 121

22a

2b=2a

Para 1

+

= 014

12

N64

ap; ( ) ( )[ ]1

2

r 3316

apM +++

=

( ) ( )[ ]12

t 313116

apM +++

= ;

=

2

apQ r

Para 1

+

= 3124

2)1(

1

N32

ap; 0Q r=

( )

+

= 4222

r

11

16

apM ; ( )

= 4222

t

11

16

apM

Para 0=

+

= 11

2N64

ap 4;

==

16

apMM

4

tr

Para 1=

+

= 11N64

ap

3

; ( )2

22

r

11

16

apM

=

( ) 222

t11

16apM

+= ;

2apQ r =

Para =

+

+

= ln21

1

1

N32

ap2

24

;( )+

=

1N8

ap

3

;( )

2

2

t

1

8

apM

=

23)

( ) ++ = ln)1(211

P

2a

2b=2a

Para 1 13

1N8

aP

+

= ;

==4

aPMM rt ; 0Q r=

Para 1

+

+

= 2313

2221N8

Pa; ( ) ( )[ ]34

3

r 1214

aPM ++

= ;

=PQ r

Pgina 13 de 15


14/15

Estructuras III

( ) ( )[ ]34t 1214

aPM +

= .

Para 0=( )

+

=

1N8

aP 3

Para 1=( )

+

=

1N4

aP

2

;

4

PaMM tr ==

Para =( )

( ) ( )[ ]

+++

= 2

131

1N8

aP 23

;

)1()1(N2

aP 2

2

+

= ; ( )( )2t 11

2

aPM

=

24)

( ) 212 +=

P

2a

2b=2a

Para 1

+

+

= 21

2

11

N8

aP;

( ) ( )[ ]322r 118P

M +

= ;

( ) ( )[ ]322t 118P

M ++

= ;

=a.2

PQ r ;

Para 1

= 31

2 1

N8

aP

; ( ) ( )[ ]422

2r 118

P

M += ;

( ) ( )[ ]4222r 118P

M

= ; 0Q r=

Para 0=

+

= 11

N8

aP 2

Para 1=

+

= 11

2N8

aP ; ( ) ( )11

8

PM 2

2r

= ; ( ) ( )11

8

PM 2

2t +

=

Para = ( )

+

= ln11

N8

aP 22

;( ) +

=

1N4

aP ; ( )

= 14

PM

2t

Pgina 14 de 15


15/15

Estructuras III

25)

( ) 12

1N2

aM

+

= ; MMM tr == ;

0Q r=

M

2a

2b=2a

Para 0=( )+

=1N2

aM 2

Para 1=( )+

=

1N

aM

Para = ( ) ( )11N2aM 2

2

+

= ; ( )+

= 1N

bM

26)

2

1

= ; ( ) ++= 1

M

2b=2a

2a

Para 1 12

1N4

aM

+

= ; ==2

MMM tr ; 0Q r=

Para 1

+

= 312

21N4

aM; 0Q r=

( )

= 42r 1

11

2

MM ; ( )

+

= 42r 1

11

2

MM ;

Para 0= += 1N4 aM 2

Para 1=

+

+

=1

1N2

aM ; = 2

2

MM ar ;

=

Para = ( )

+

+

= ln211N4

aM 22

;( ) +

=

1N

aM ;

=MM t

Pgina 15 de 15

tablas de kurt beyer

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