“tabla de multiplicar” -...
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“tabla de multiplicar”
Laura Gasque 2016-1 1
E C3 C32 ’ ’’
E E C3 C32 ’ ’’
C3 C3 C32 E ’
C32 C3
2 E C3
E C32
’ ’ C3 E
’’ ’’ E
Ojo con la NO conmutatividad
Convención 1: “el de abajo por el de arriba” o “el de arriba por el de abajo”
Convención 2 : elección de , ’ y ’’
Teorema del rearreglo: SUDOKU Clases: Ejemplo: Encontrar con qué elemento está conjugado cada u...
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“tabla de multiplicar”
Laura Gasque 2016-1 2
E C3 C32 ’ ’’
E E C3 C32 ’ ’’
C3 C3 C32 E ’ ’’
C32 C3
2 E C3 ’’ ’
’’ ’ E C32 C3
’ ’ ’’ C3 E C32
’’ ’’ ’ C32 C3 E
Ojo con la NO conmutatividad
Convención 1: “el de abajo por el de arriba” o “el de arriba por el de abajo”
Convención 2 : elección de , ’ y ’’
http://chemwiki.ucdavis.edu/Theoretical_Chemistry/Symmetry/Combining_symmetry_operations%3A_%E2%80%98group_multiplication%E2%80%99
Teorema del rearreglo: SUDOKU Clases: Ejemplo: Encontrar con qué elemento está conjugado cada u...
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El conjunto de las transformaciones lineales de R3 R3 :
{E, C3, C32, , ’, ’’ forma un GRUPO con la
composición.
¿ . . ?
Laura Gasque 2016-1 3
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Laura Gasque 2016-1 5
Definición de grupo• Un conjunto G = {gi, gj, gk . . .) y una operación forman un GRUPO si:
• i) gG, gigj = gk
• Cerradura
• ii) e G giG, egi =gie = gi
• Existencia del neutro o idéntico
• iii) gi G, gjG gigj= e
• Existencia de los inversos i.e. gj =gi-1
• iv) gi, gj, gk, gi(gj gk) = (gi gj) gk
• Asociatividad
• v) En algunos grupos se cumple gi, gj , gi gj = gj gi
• Conmutatividad A los grupos conmutativos se les llama abelianos
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Demostrar que conjunto de las transformaciones
lineales de R3 R3 :
{E, C3, C32, , ’, ’’= C3v
forma un GRUPO con la composición.
Laura Gasque 2016-1 6
Hint: Usar la definición de grupo y la tabla de multiplicar de C3v
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Grupos Puntuales
Laura Gasque 2016-1 7
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Las operaciones de simetría
(transformaciones lineales de R3R3)
de cualquier objeto, forman un GRUPO
(grupo puntual)
. . . . Ejemplos . . .
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Un detalle de formalidad
• Elemento de simetría Operación de simetría
• Elemento de simetría = ente geométrico: eje, plano, punto
• Operación de simetría = T.L de R3 R3 que se realiza a través de un
elemento de simetría
Laura Gasque 2016-1 9
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C3V
Laura Gasque 2016-1 10
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Una familia de grupos puntuales: Cnv
• ¿Qué elementos tienen estos grupos?
• Cn = Rotación de (360/n)° alrededor de un eje.
• Cnm = Composición sobre sí misma (o potencia) de Cn
• n planos que contienen al eje de rotación v
• E = la operación “identidad” o “el idéntico” E(x, y, z) = (x, y, z)
Laura Gasque 2016-1 11
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Otro ejemplo; C2v
• H2O, py, catecol, cis-platino
• más ejemplos:
• . . .
Laura Gasque 2016-1 12
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Ejemplos de C4v
Laura Gasque 2016-1 13
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Moléculas con simetría C4v
• Ni(H2O)5NH3 Ojo: despreciando los enlaces O-H y N-H
• IF5
Laura Gasque 2016-1 14
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¿C5v?
Laura Gasque 2016-1 15
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Otras familias de grupos puntuales
• Cn
• Dnh
• Dn
• Dnd
• Cnh
• S
• De baja simetría:
• C1, C2, Cs, Ci
• De alta simetría
• Td, Oh, Ih
• Casos especiales:
• T, Th, O
• Grupos infinitos: moléculas lineales
• Cv, Dh
Laura Gasque 2016-1 16
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Dnh
• Tiene todos las operaciones de simetría del correspondiente Cnv y ADEMÁS
un la reflexión a través de un h y las operaciones que resulten de la
composición de ésta con los otros elementos:
• Ojo h v ; h es un plano perpendicular al eje principal de rotación
• Ojo: Cn h = h Cn = Sn rotación impropia
Laura Gasque 2016-1 17
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Primer ejemplo D2h
D2h = C2v = {E, C2, v , v’ } y además h y los productos
que se obtengan entre ellas
• E (x, y, z) = (x, y, z)
• C2z= (-x, -y, z)
• v = xz(x, y, z) = (x, -y, z)
• v’ = yz (x, y, z) = ?
• h = xy (x, y, z) = ?
Laura Gasque 2016-1 18
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Tarea para ahorita
• Encontrar los elementos faltantes del grupo D2h realizando la composición
de los elementos de C2v con h
• Hacer la tabla de multiplicar de D2h (agrupar así: E, ejes, i, planos)
• Encontrar el inverso de cada elemento
• ¿Es éste un grupo conmutativo?
Laura Gasque 2016-1 19
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• C2z= (-x, -y, z) ; h = xy (x, y, z)= (x, y, -z)
• C2z xy (x, y, z) = C2
z xy (x, y, z) = C2
z (x, y, -z) = (-x, -y, -z) = ¿Nueva?
• i (x, y, z) = (-x, -y, -z)
• h v (x, y, z)=xy xz (x, y, z) = xy(x, -y, z) = (x, -y. –z) = ¿ ?
• C2x (x, y, z)= ( x, -y, -z)
Laura Gasque 2016-1 20
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Laura Gasque 2016-1 21
D2h E C2(z) C2(y) C2(x) i xy xz yz
E
C2(z)
C2(y)
C2(x)
i
xy
xz
yz
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Ejemplos de moléculas con simetría D2h
Laura Gasque 2016-1 22
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Tarea para casa (importante)
• Siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo anterior, encontrar todos los elementos del grupo D3h= . . . . . . . . . . . . . (C3v “+” h)
• Ojo: obtener las “recetas” para cada una de las potencias de S3
• Por ej. S3(x,y,z) = C3 h S32 (x, y, z) = ? . . . . etc.
• NOTA: C3 y h conmutan porque actúan sobre subespacios ajenos
• Hacer la tabla de multiplicar
• Identificar el inverso de cada elemento
• ¿Es abeliano?
Laura Gasque 2016-1 23