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Simetría molecular
Prof. Jesús Hernández Trujillo
Facultad de Química, UNAM
Simetría molecular/JHT– p. 1/37
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Contenido
• La noción de simetría• Simetría molecular
◦ Operaciones de simetría◦ Elementos de simetría
• Teoría de grupos
◦ Definición de grupo◦ Grupos puntuales◦ Clasificación de grupos puntuales
• Representaciones matriciales
◦ Reresentación matricial de grupos puntuales◦ Representaciones equivalentes y reducibles◦ Tablas de caracteres
• Aplicaciones
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Contenido
• La noción de simetría• Simetría molecular
◦ Operaciones de simetría◦ Elementos de simetría
• Teoría de grupos
◦ Definición de grupo◦ Grupos puntuales◦ Clasificación de grupos puntuales
• Representaciones matriciales
◦ Reresentación matricial de grupos puntuales◦ Representaciones equivalentes y reducibles◦ Tablas de caracteres
• Aplicaciones
Ver: D. M. Bishop,Group Theory and Chem-istry, Dover Publications Inc,1993
D. A. McQuarrie,J. D. Simon, Physical Chem-istry. A Molecular Approach,University Science Books
Simetría molecular/JHT– p. 2/37
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La noción de simetría
La noción de simetría se asocia a:
• Proporción (correspondencia entre las medidas – tamaño,forma, proporción, posición – de un objeto)
• Repetición regular de partes idénticas (periodicidad)
• Belleza
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Simetría especular o bilateral
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Para sistematizar la noción de simetría:
• Operación de simetría.
Hacer algo a un objeto que lo deje sin cambio
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Para sistematizar la noción de simetría:
• Operación de simetría.
Hacer algo a un objeto que lo deje sin cambio
• La teoría de grupos aporta el lenguaje matemático a lasimetría (Evariste Galois, 1811–32)
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Para sistematizar la noción de simetría:
• Operación de simetría.
Hacer algo a un objeto que lo deje sin cambio
• La teoría de grupos aporta el lenguaje matemático a lasimetría (Evariste Galois, 1811–32)
En el caso de la simetría especular: un plano de simetría
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Simetría rotacionalLa simetría de los copos de nievese debe a la estructura molecular delagua y sus interacciones
Fotos:http://www.sciam.com
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Arte
Castillo de la Alhambra, España
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M. C. Escherwww.mcescher.com
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Música de mesa para dos, Mozart
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Simetría molecular
Operación de simetría. Acción que mueve los núcleos de unamolécula a una posición físicamente indistinguible de laoriginal.
Elemento de simetría. Entidad geométrica sobre la que tiene lugarla operación de simetría (puntos, líneas, planos)
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Simetría molecular
Operación de simetría. Acción que mueve los núcleos de unamolécula a una posición físicamente indistinguible de laoriginal.
Elemento de simetría. Entidad geométrica sobre la que tiene lugarla operación de simetría (puntos, líneas, planos)
Las operaciones de simetría serándescritas matemáticamente median-te la teoría de grupos y del álgebrade operadores
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Operaciones de simetría
• Identidad: No hacer nada
Notación: E
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Operaciones de simetría
• Identidad: No hacer nada
Notación: E
• Rotación por 2π/n grados alrededor de un eje en el sentidode las manecillas del reloj (n entero)
Notación: eje Cn
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Operaciones de simetría
• Identidad: No hacer nada
Notación: E
• Rotación por 2π/n grados alrededor de un eje en el sentidode las manecillas del reloj (n entero)
Notación: eje Cn
Si una rotación deja a la molécula en coincidencia con ellamisma, entonces un eje Cn es un elemento de simetría dela molécula
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Operaciones de simetría
• Identidad: No hacer nada
Notación: E
• Rotación por 2π/n grados alrededor de un eje en el sentidode las manecillas del reloj (n entero)
Notación: eje Cn
Si una rotación deja a la molécula en coincidencia con ellamisma, entonces un eje Cn es un elemento de simetría dela molécula
Notación: La aplicación sucesiva de k veces unarotación alrededor de un eje Cn se denota por Ck
n
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Ejemplos:
NH H
H
H
H
¿eje?
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Ejemplos:
NH H
H
H
H
¿eje? C2
C
HH
H
H
N
HH
H
¿eje?
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Ejemplos:
NH H
H
H
H
¿eje? C2
C
HH
H
H
N
HH
H
¿eje? C3
¿eje?
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Ejemplos:
NH H
H
H
H
¿eje? C2
C
HH
H
H
N
HH
H
¿eje? C3
¿eje? C3(4)
¿eje?
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Ejemplos:
NH H
H
H
H
¿eje? C2
C
HH
H
H
N
HH
H
¿eje? C3
¿eje? C3(4)
¿eje? C2, C3, C6
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• Reflexión en un plano.
Dos casos:
◦ El plano es perpendicular al eje principal de rotación
Notación: σh
Ejemplo: C6H6
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• Reflexión en un plano.
Dos casos:
◦ El plano es perpendicular al eje principal de rotación
Notación: σh
Ejemplo: C6H6
◦ El plano es paralelo al eje principal de rotación
Notación: σv
Ejemplos: H2O, piridina, CH4, NH3 y C6H6
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• Rotación – reflexión (rotación impropia):
Combinación de una rotación por 2π/n en el sentido de lasmanecillas del reloj seguida por una reflexión en un planoperpendicular a ese eje
Notación: Sn
Ejemplos:
Etano alternado, S2
metano: S3(4)
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• Rotación – reflexión (rotación impropia):
Combinación de una rotación por 2π/n en el sentido de lasmanecillas del reloj seguida por una reflexión en un planoperpendicular a ese eje
Notación: Sn
Ejemplos:
Etano alternado, S2
metano: S3(4)
Además:
Sk
n = σhCk
n k impar
Sk
n = Ck
n k par
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• Inversión. La acción de mover un punto a lo largo de lalínea que pasa el origen de tal forma que sus coordenadascambian de signo.
Notación: i
Ejemplos:
Fe
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Resumen
elemento de simetría operación de simetría(objeto geométrico) (acción)
eje . . . rotaciónplano . . . reflexiónpunto . . . inversión
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Teoría de grupos
Grupo:
Un conjunto G = {a, b, . . .} y una operación binaria (multi-plicación) forman un grupo si
1. a, b ∈ G → ab ∈ G
2. a(bc) = (ab)c
3. ∃ e ∈ G tal que ea = ae ∀a ∈ G
4. ∃ b ∈ G tal que ab = ba = e. El elemento b se llama elinverso de a y se denota por b = a−1
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Teoría de grupos
Grupo:
Un conjunto G = {a, b, . . .} y una operación binaria (multi-plicación) forman un grupo si
1. a, b ∈ G → ab ∈ G
2. a(bc) = (ab)c
3. ∃ e ∈ G tal que ea = ae ∀a ∈ G
4. ∃ b ∈ G tal que ab = ba = e. El elemento b se llama elinverso de a y se denota por b = a−1
Grupo abeliano: Si ab = ba ∀a, b ∈ G se dice que el grupo esconmutativo o abeliano
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Ejemplos:
1. N , el conjunto de numeros naturales con la operación sumano es un grupo
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Ejemplos:
1. N , el conjunto de numeros naturales con la operación sumano es un grupo
2. Z el conjunto de los números enteros con la operaciónsuma es un grupo infinito
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Ejemplos:
1. N , el conjunto de numeros naturales con la operación sumano es un grupo
2. Z el conjunto de los números enteros con la operaciónsuma es un grupo infinito
3. G = {1,−1, i,−i} con la operación multiplicación es ungrupo finito
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Ejemplos:
1. N , el conjunto de numeros naturales con la operación sumano es un grupo
2. Z el conjunto de los números enteros con la operaciónsuma es un grupo infinito
3. G = {1,−1, i,−i} con la operación multiplicación es ungrupo finito
Tabla de multiplicar: 1 −1 i −i
1 1 −1 i −i
−1 −1 1 −i i
i i −i −1 1
−i −i i 1 −1
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Ejemplos:
1. N , el conjunto de numeros naturales con la operación sumano es un grupo
2. Z el conjunto de los números enteros con la operaciónsuma es un grupo infinito
3. G = {1,−1, i,−i} con la operación multiplicación es ungrupo finito
Tabla de multiplicar: 1 −1 i −i
1 1 −1 i −i
−1 −1 1 −i i
i i −i −1 1
−i −i i 1 −1
¿Cuál de estos grupos es abeliano?
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Orden de un grupo: El número de elementos queéste contiene
Ejemplos de grupos abstractos:
• Grupo de orden 1: G = {e}
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Orden de un grupo: El número de elementos queéste contiene
Ejemplos de grupos abstractos:
• Grupo de orden 1: G = {e}
• Grupo de orden 2: G = {e, a}
Nótese que aa ≡ a2 6= a pues aa = a → a = e
Por lo tanto, a2 = e, a = a−1
Simetría molecular/JHT– p. 20/37
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Orden de un grupo: El número de elementos queéste contiene
Ejemplos de grupos abstractos:
• Grupo de orden 1: G = {e}
• Grupo de orden 2: G = {e, a}
Nótese que aa ≡ a2 6= a pues aa = a → a = e
Por lo tanto, a2 = e, a = a−1
Tabla de multiplicar :
e a
e e a
a a e
Simetría molecular/JHT– p. 20/37
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Orden de un grupo: El número de elementos queéste contiene
Ejemplos de grupos abstractos:
• Grupo de orden 1: G = {e}
• Grupo de orden 2: G = {e, a}
Nótese que aa ≡ a2 6= a pues aa = a → a = e
Por lo tanto, a2 = e, a = a−1
Tabla de multiplicar :
e a
e e a
a a eEjemplo: G = {1,−1}
Simetría molecular/JHT– p. 20/37
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• Grupo abstracto de orden 3: G = {e, a, b}
Opciones para la operación binaria:
ab = a o bien ab = e
Simetría molecular/JHT– p. 21/37
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• Grupo abstracto de orden 3: G = {e, a, b}
Opciones para la operación binaria:
ab = a o bien ab = e
Opción 1. ab = a → b = e Por lo tanto, no es válida
Simetría molecular/JHT– p. 21/37
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• Grupo abstracto de orden 3: G = {e, a, b}
Opciones para la operación binaria:
ab = a o bien ab = e
Opción 1. ab = a → b = e Por lo tanto, no es válida
Opción 2. ab = e necesariamente
Simetría molecular/JHT– p. 21/37
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• Grupo abstracto de orden 3: G = {e, a, b}
Opciones para la operación binaria:
ab = a o bien ab = e
Opción 1. ab = a → b = e Por lo tanto, no es válida
Opción 2. ab = e necesariamente
Tabla de multiplicar parcial:
e a b
e e a b
a a e
b b
Simetría molecular/JHT– p. 21/37
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• Grupo abstracto de orden 3: G = {e, a, b}
Opciones para la operación binaria:
ab = a o bien ab = e
Opción 1. ab = a → b = e Por lo tanto, no es válida
Opción 2. ab = e necesariamente
Tabla de multiplicar parcial:
e a b
e e a b
a a e
b b
Además:En una tabla de multiplicar cadarenglón o columna contiene cada ele-mento del grupo sólo una vez pues:
b c
a d d ab = ac → b = c
Simetría molecular/JHT– p. 21/37
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Por lo tanto:
Tabla de multiplicar del grupo de orden 3:
e a b
e e a b
a a b e
b b e a
Simetría molecular/JHT– p. 22/37
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Por lo tanto:
Tabla de multiplicar del grupo de orden 3:
e a b
e e a b
a a b e
b b e aNótese que:
aa ≡ a2 = b y a3 = a2a = ba = e
Es decir, a genera los demás ele-mentos del grupo (grupo cíclico)
Simetría molecular/JHT– p. 22/37
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• Grupo abstracto de orden 4: G = {e, a, b, c}
Existen dos opciones para la tabla de multiplicación
Simetría molecular/JHT– p. 23/37
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• Grupo abstracto de orden 4: G = {e, a, b, c}
Existen dos opciones para la tabla de multiplicación
Opción 1: Grupo cíclico (ejercicio: construirlo)
Simetría molecular/JHT– p. 23/37
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• Grupo abstracto de orden 4: G = {e, a, b, c}
Existen dos opciones para la tabla de multiplicación
Opción 1: Grupo cíclico (ejercicio: construirlo)e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
Simetría molecular/JHT– p. 23/37
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• Grupo abstracto de orden 4: G = {e, a, b, c}
Existen dos opciones para la tabla de multiplicación
Opción 1: Grupo cíclico (ejercicio: construirlo)e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
Opción 2e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e Grupos abelianos
Simetría molecular/JHT– p. 23/37
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Ejemplos:
• Las raíces cúbicas de 1 con la operación multiplicaciónforman un grupo de orden 3
Simetría molecular/JHT– p. 24/37
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Ejemplos:
• Las raíces cúbicas de 1 con la operación multiplicaciónforman un grupo de orden 3
• Las rotaciones de un triángulo equilatero en un planoforman un grupo de orden 3
Simetría molecular/JHT– p. 24/37
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Ejemplos:
• Las raíces cúbicas de 1 con la operación multiplicaciónforman un grupo de orden 3
• Las rotaciones de un triángulo equilatero en un planoforman un grupo de orden 3
• G = {1, ı,−1,−ı} con la operación multiplicación forma ungrupo de orden 4
Simetría molecular/JHT– p. 24/37
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Ejemplos:
• Las raíces cúbicas de 1 con la operación multiplicaciónforman un grupo de orden 3
• Las rotaciones de un triángulo equilatero en un planoforman un grupo de orden 3
• G = {1, ı,−1,−ı} con la operación multiplicación forma ungrupo de orden 4
• Las siguientes matrices forman un un grupo con laoperación de multiplicación matricial.
(
1 0
0 1
) (
0 1
−1 0
) (
−1 0
0 −1
) (
0 −1
1 0
)
Simetría molecular/JHT– p. 24/37
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Grupos Isomorfos: Aquellos que tienen la mismaestructura; sólo difieren en los símbolos que usan
G y G′ son grupos isomorfos si sus elementos pueden ponerseen correspondiencia uno a uno:
a ↔ a′, b ↔ b′, . . .
ab = c → a′b′ = c′
Simetría molecular/JHT– p. 25/37
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Grupos Isomorfos: Aquellos que tienen la mismaestructura; sólo difieren en los símbolos que usan
G y G′ son grupos isomorfos si sus elementos pueden ponerseen correspondiencia uno a uno:
a ↔ a′, b ↔ b′, . . .
ab = c → a′b′ = c′
Ejemplo:
• Los grupos Z, de los números enteros, yG = {. . . 2−2, 2−1, 20, 21, 22, . . .} son isomorfos.
Simetría molecular/JHT– p. 25/37
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Grupos Isomorfos: Aquellos que tienen la mismaestructura; sólo difieren en los símbolos que usan
G y G′ son grupos isomorfos si sus elementos pueden ponerseen correspondiencia uno a uno:
a ↔ a′, b ↔ b′, . . .
ab = c → a′b′ = c′
Ejemplo:
• Los grupos Z, de los números enteros, yG = {. . . 2−2, 2−1, 20, 21, 22, . . .} son isomorfos.
։ Analiza cuáles de los grupos de la página anterior sonisomorfos
Simetría molecular/JHT– p. 25/37
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Grupos puntuales
• Son de interés los grupos cuyos elementos consisten en lasoperaciones de simetría correspondientes a una molécula
• La operación de multiplicación o combinación es larealización de una operación de simetría seguida de otra
• Satisfacen las propiedades de grupo
Simetría molecular/JHT– p. 26/37
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Grupos puntuales
• Son de interés los grupos cuyos elementos consisten en lasoperaciones de simetría correspondientes a una molécula
• La operación de multiplicación o combinación es larealización de una operación de simetría seguida de otra
• Satisfacen las propiedades de grupo
Casos:
En moléculas: Dado que los elementos de simetría se intersectanen un punto, estos grupos se llaman grupos puntuales
En cristales infinitos: Estos no tienen un punto fijo pero tienensimetría traslacional y se llaman grupos espaciales
Simetría molecular/JHT– p. 26/37
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Clasificación degrupos puntuales
Tomado de:Group Theory and chemistry, D. M. Bishop, Dover
Simetría molecular/JHT– p. 27/37
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Diagramade flujo
Tomado de:Group Theory and chemistry,D. M. Bishop, Dover
Simetría molecular/JHT– p. 28/37
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Diagramade flujo
Tomado de:Group Theory and chemistry,D. M. Bishop, Dover
Simetría molecular/JHT– p. 29/37
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Ejemplos:
1. C2v = {E,C2, σv, σ′
v} Ejemplo: H2O
2. C4 = {E,C4, C24
= C2, C34}
3. C2h = {E,C2, i, σh}
4. S4 = {E,S4, C2, S34}
Estos grupos son isomorfos
Simetría molecular/JHT– p. 30/37
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Ejemplos:
1. C2v = {E,C2, σv, σ′
v} Ejemplo: H2O
2. C4 = {E,C4, C24
= C2, C34}
3. C2h = {E,C2, i, σh}
4. S4 = {E,S4, C2, S34}
Estos grupos son isomorfos
• Escribe las tablas de multiplicar de los grupos C2h y C2v
Simetría molecular/JHT– p. 30/37
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Otro ejemplo:
C3v = {E, σv, σ′
v, σ′′
v , C3, C2
3}
Además: C23
= C−1
3
Tabla de grupo:
E σv σ′
v σ′′
v C3 C23
E E σv σ′
v σ′′
v C3 C23
σv σv E C3 C23
σ′
v σ′′
v
σ′
v σ′
v C23
E C3 σ′′
v σv
σ′′
v σ′′
v C3 C23
E σv σ′
v
C3 C3 σ′′
v σv σ′
v C23
E
C23
C23
σ′
v σ′′
v σv E C3
Simetría molecular/JHT– p. 31/37
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Representaciones matriciales de grupos puntuales
• Las matrices que representan a las operaciones de simetríade un grupo puntual tienen la misma tabla de multiplicar
Simetría molecular/JHT– p. 32/37
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Representaciones matriciales de grupos puntuales
• Las matrices que representan a las operaciones de simetríade un grupo puntual tienen la misma tabla de multiplicar
• Reemplazamos la geometría de las operaciones desimetría con el álgebra de matrices
Simetría molecular/JHT– p. 32/37
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Representaciones matriciales de grupos puntuales
• Las matrices que representan a las operaciones de simetríade un grupo puntual tienen la misma tabla de multiplicar
• Reemplazamos la geometría de las operaciones desimetría con el álgebra de matrices
• Se considera el efecto de la operación de simetría sobre unvector de posición o sobre un conjunto de funciones base(por ejemplo en ℜ3 o en un espacio de funciones)
Simetría molecular/JHT– p. 32/37
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Representaciones matriciales de grupos puntuales
• Las matrices que representan a las operaciones de simetríade un grupo puntual tienen la misma tabla de multiplicar
• Reemplazamos la geometría de las operaciones desimetría con el álgebra de matrices
• Se considera el efecto de la operación de simetría sobre unvector de posición o sobre un conjunto de funciones base(por ejemplo en ℜ3 o en un espacio de funciones)
• Sea G un grupo. Una representación matricial D(G) dedimensiones n × n es un homomorfismo de G a D(G),donde:
Homomorfismo:
Dados dos grupos G y G′, varios elementosde G pueden tener la misma imagen en G′
Simetría molecular/JHT– p. 32/37
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Representaciones matriciales de operaciones de simetría
• Identidad
D(E) =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Simetría molecular/JHT– p. 33/37
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Representaciones matriciales de operaciones de simetría
• Identidad
D(E) =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
• Rotación de θ = 2π/n grados en el sentido de lasmanecillas del reloj alrededor del eje z:
D(Cn) =
cos θ sen θ 0
−sen θ cos θ 0
0 0 1
La inversa de D(Cn) se obtiene al sustituir θ por −θ:
D(Cn)−1 =
cos θ −sen θ 0
sen θ cos θ 0
0 0 1
Simetría molecular/JHT– p. 33/37
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• Inversion
D(i) =
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
Simetría molecular/JHT– p. 34/37
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• Inversion
D(i) =
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
• Reflexión en un plano horizontal y en uno vertical
D(σh) =
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
D(σv) =
1 0 0
0 −1 0
0 0 1
Simetría molecular/JHT– p. 34/37
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• Rotación impropia: Rotación alrededor del eje Cn seguidade reflexión en un plano horizontal
D(Sn) =
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
cos θ sen θ 0
−sen θ cos θ 0
0 0 1
=
cos θ sen θ 0
−sen θ cos θ 0
0 0 −1
Simetría molecular/JHT– p. 35/37
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Representaciones matriciales del grupo C2h
En este caso θ = 2π/2 = π
D(C2) =
−1 0 0
0 −1 0
0 0 1
Simetría molecular/JHT– p. 36/37
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Representaciones matriciales del grupo C2h
En este caso θ = 2π/2 = π
D(C2) =
−1 0 0
0 −1 0
0 0 1
H
HCl
Cl
Simetría molecular/JHT– p. 36/37
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Representaciones matriciales del grupo C2h
En este caso θ = 2π/2 = π
D(C2) =
−1 0 0
0 −1 0
0 0 1
H
HCl
Cl
Tabla de multiplicardel grupo:
E C2 i σh
E E C2 i σh
C2 C2 E σh i
i i σh E C2
σh σh i C2 E
Simetría molecular/JHT– p. 36/37
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Representaciones matriciales del grupo C2h
En este caso θ = 2π/2 = π
D(C2) =
−1 0 0
0 −1 0
0 0 1
H
HCl
Cl
Tabla de multiplicardel grupo:
E C2 i σh
E E C2 i σh
C2 C2 E σh i
i i σh E C2
σh σh i C2 E
Tabla de multiplicar de lasrepresentaciones matriciales:
D(E) D(C2) D(i) D(σh)
D(E) D(E) D(C2) D(i) D(σh)
D(C2) D(C2) D(E) D(σh) D(i)
D(i) D(i) D(σh) D(E) D(C2)
D(σh) D(σh) D(i) D(C2) D(E)
Simetría molecular/JHT– p. 36/37
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Representaciones matriciales del grupo C2h
En este caso θ = 2π/2 = π
D(C2) =
−1 0 0
0 −1 0
0 0 1
H
HCl
Cl
Tabla de multiplicardel grupo:
E C2 i σh
E E C2 i σh
C2 C2 E σh i
i i σh E C2
σh σh i C2 E
Tabla de multiplicar de lasrepresentaciones matriciales:
D(E) D(C2) D(i) D(σh)
D(E) D(E) D(C2) D(i) D(σh)
D(C2) D(C2) D(E) D(σh) D(i)
D(i) D(i) D(σh) D(E) D(C2)
D(σh) D(σh) D(i) D(C2) D(E)
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Simetría molecular/JHT– p. 36/37
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Es decir,
• El siguiente conjunto de operaciones de simetría es ungrupo:
C2h = {E,C2, i, σh}
• Las correspondientes representaciones matriciales formanun grupo:
C2h = {D(E),D(C2),D(i),D(σh)}
Simetría molecular/JHT– p. 37/37