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T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 1
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 2
Diese Modul ist Pflicht für alle Studierenden mit Studienziel:Physik (BP), Nanostrukturtechnik (BN), Mathematische Physik (BMP).
Es ist vorgesehen für das vierte Semester und dient der Vorbereitung der höheren Praktikumsmodule.(Bachelor C‐Modul, Master F‐Praktikum)
Die Inhalte des Moduls 11‐P‐FR2 werden für die C‐Praktikumsmodule als beherrscht vorausgesetzt.
Fortgeschrittene Fehlerrechnung
11‐P‐FR2 Fortgeschrittene Fehlerrechnung und computergestütztes Arbeiten
Vorlesung
Übung
Es müssen sechs Übungsblätter erfolgreich bearbeitet werden.
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 3
Ankündigung Termine
Zieldatum Thema Worum geht es?
24.04.2019 Verteilungsfunktionen Poissonverteilung, Chi‐Quadrat‐Verteilung
08.05.2019 Hypothesentest Signifikanztests allgemein, Chi‐Quadrat‐Test
15.05.2019 Korrelationen Kovarianz, linearer Korrelationskoeffizient
22.05.2019 Regression I Poissonsche Regression
29.05.2019 Regression II Anpassung mit Polynomen
05.06.2019 Regression III Anpassung mit orthogonalen Funktionen
19.06.2019 Regression IV Nichtlineare Anpassung
26.06.2019 Modellentwicklung Beurteilung der Übereinstimmung von Messung und Modell
03.07.2019 Linienformanpassung Anpassung an Lorentz‐/Gausskurven mit Untergrund
17.07.2019 Weiterführende Themen Einige Überlegungen zur Metrologie
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 4
Die Ausgabe der neuen Übungsblätter ist:Freitag, 10:45 – 12:15 Uhr
Studentenbüro
Der Abgabetermin der bearbeiteten Übungsblätter ist:Folgender Freitag, 13:00 Uhr im Fehlerrechnungsbriefkasten
Übungsaufgaben - Organisatorisches
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Literatur
J. Hartung: „Statistik: Lehr‐ und Handbuch der angewandten Statistik", 2009P. Bevington: "Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences", 2003
Folien: https://www.physik.uni-wuerzburg.de/studium/bachelor/
grundpraktikum/fortgeschrittene-fehlerrechnung/
Das „Handout“ ist lediglich ein grobes Gerüst. Es ersetzt weder den Besuch der Vorlesung noch die intensive
Beschäftigung mit dem Stoff.
Sorry, das ist offenkundig wenig komfortabel
Die Veranstaltung basiert wesentlich auf folgenden Lehrbüchern
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 6
X i Y i
0,20 52,4
1,17 54,6
1,96 57,7
2,98 59,5
4,05 62,7
5,12 65,6
5,93 67,0
7,01 69,0
8,24 72,80,00 2,00 4,00 6,00 8,00
50,0
55,0
60,0
65,0
70,0
75,0
Testmessung zur linearen Regression
Y
X
Zentrale Fragestellungen
Wir führen eine Messung durch und erhalten folgende Werte
1.) Wie können wir objektiv beurteilen, inwieweit die Daten unsere Annahme erfüllen und wirklich einer bestimmten Funktion (hier einer Gerade) folgen?
2.) Angenommen die Beziehung zwischen x und y ist linear, welche Gerade passtam besten zu den Messwerten?
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 7
Für jedes Xi gibt es eine Wahrscheinlichkeit Pi den Messwert Yi zu erhalten.
Normalverteilung der Messwerte:
21 1exp
22i i
iii
y y xP
Vorüberlegungen.y a bx
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21 1exp
22i i
iii
y y xP
Vorüberlegungen
Die Wahrscheinlichkeit unseren Datensatz bei N Messpunkten genau so zu beobachten ist dann gegeben durch:
0 01 1
11
21 1( , ) exp
22
21 1exp
22
N Ni i
ii i ii
N Ni i
ii ii
y y xP a b P
y y x
Die beste Gerade liegt dann vor, wenn die Wahrscheinlichkeit maximal wird. Dasist der Fall, wenn der Exponent
minimal wird.
2
1 1
2 2N Ni i i i
i ii i
y y x y a bx
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 9
21 1exp
22i i
iii
y y xP
Vorüberlegungen
Das gesamte weitere Vorgehen beruht also auf der Annahme, dass unsere Datenpunkte verteilt sind nach:
Wie können wir objektiv beurteilen, inwieweit die Daten unsere Annahme erfüllen und wirklich einer Normalverteilung folgen?
Ist es möglich unsere bisherigen Überlegungen zur Anwendung zu bringen, wenn die Daten einer anderen bekannten Verteilung folgen?
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 10
Verteilungsfunktionen III:
Wiederholung
Poissonverteilung
Chi-Quadrat-Verteilung
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Was bisher geschah…
1.) Die Binomialverteilung
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
Beschreibt Anzahl der Erfolge bei Serie gleichartiger und unabhängiger Versuche mit
nur zwei möglichen Ergebnissen (Bernoulli - Experiment)
W(m) beschreibt, für gegebene Erfolgswahrscheinlichkeit p, die Wahrscheinlichkeit bei n
Versuchen genau m Erfolge zu erzielen.
Normiert, d. h. Summe über alle W(m) ist eins.
Erwartungswert M = n·p
Varianz: 2 = n·p (1-p) = M (1-p)
mnm ppmn
mW
1
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Was bisher geschah…
2.) Die Normalverteilung
Kontinuierliche Verteilung
Symmetrisch um den Erwartungswert M, geht schnell gegen null wen (x - M)2 groß wird
Standardabweichung gegeben durch , Wendepunkt der Verteilungsfunktion
Normiert, d. h.
Fehlerfunktion
Im Grenzfall n konvergiert Binomialverteilung gegen Normalverteilung
2221 1
2
x M
e dx
dzePz
1
12
2
2
11innerhalb
2
2
2exp
21)(
MxxG
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 13
Wir machen eine Messung
Die Messwerte xm setzen sich aus einer großen Zahl
von kleinen Elementarfehlern zusammen,
die um den wahren Wert (Mittelwert) verteilt sind.
Die Elementarfehler treten n mal auf,
m mal positiv und n-m mal negativ.
fm = m - (n-m) = 2 m - n
[m = n/2 + fm/ 2 ]
Bernoulli- Verteilungdiskret
Parameter: n=1, p
Binomial-Verteilung
diskretParameter: n, p
Bi (x)
Gauss-Verteilung
Normal-Verteilungkontinuierlich
Parameter: ,
G (x)
n
p const.
Der Fehler fm setzt sich somit zusammen aus (p = 1/2):
Von der Binomial- zur Normalverteilung
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 14
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Fehler m mal positiv und n-m mal negativ auftritt wird durch die Binomial-Verteilung
gegeben:
nnmnm
m !mnm!n!
mn
ppmn
P22
11
Die Verteilung ist treppenförmig
Lassen wir immer kleiner werden und n immer größer,
dann wird die Anzahl der Stufen immer größer, die Kurve immer "glatter".
Versuch, eine Funktion zu finden, die den Verlauf beschreibt.
PmPm+1 Pm+2 Pm+3 Pm+4
fm fm+1 fm+2 fm+4fm+3
Von der Binomial- zur Normalverteilung
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 15
1
1
mm
mm
ffPP
fP
nmnm mn
Pundmn
P21
121
1
2112 mP
mmn
fP
Die Rechnung soll durchgeführt werden für Fehler, die klein sind gegen den maximalen Fehler, also
fm << n und m >> 1.
21 11
mmmm ffsowiePmmnP
[m = n/2 + fm/ 2 ]
Von der Binomial- zur Normalverteilungfm = m - (n-m) = 2 m - n
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 16
2112 mP
mmn
fP
[m = n/2 + fm / 2 ]
dfdP
nfP
nfP
fP mm
22
n - 2 m – 1 n - 2 m = - fm/ und der Nenner
m + 1 m = n/2 + fm/2 n/2
2fP
dfdP
dffPdP
21
Abkürzung : n 2 = 2
constxP 222
1ln
221
d2
2
2x
edP
Von der Binomial- zur Normalverteilung
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 17
Was fehlt ?
Wann ist n in der Praxis gut erfüllt?
FAUSTREGEL: n·p > 9
d. h. n hinreichend groß und p nicht zu klein.
je asymmetrischer die Binomialverteilung, desto größer muss n
sein um gut durch Normalverteilung genähert zu sein.
Was passiert, wenn p sehr klein ist?
Betrachten wir den Fall n und p 0,
mit der Nebenbedingung n·p = konstant.
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Poissonverteilung
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 19
Von der Binomial- zur Poisson-Verteilung
Binomialverteilung mnm ppmn
mW
1
Gesucht: W(m) für n und p = /n
1
!lim lim 1( )! !
( 1)( 2) ( 1) lim 1 1!
1 2 1 lim 1 1!
m n m
n n
n mm
mn
nm
n
nW mn m m n n
n n n n mm n n n
n n n n mm n n n n n
1
lim 1!
m
nm
n
n
m n
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 20
lim lim 1!
nm
n nW m
m n
Kurze Erinnerung: Euler‘sche Zahl und Näherungsformel Exponentialfunktion
Damit:
lim 1n
x
n
xen
Dies wird als Poisson`scher Grenzwertsatz oder als Gesetz seltener Ereignisse bezeichnet.
lim !
m
nW m e
m
Von der Binomial- zur Poisson-Verteilung
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 21
Poisson-Verteilung
Die Verteilung: .....,3,2,1,0,
xwobeix!exPx
x ist die Anzahl von Ereignissen in einer bestimmten Zeit oder in einem bestimmten Volumen, wobei ein bestimmter Mittelwert solcher Ereignisse
erwartet werden kann.
Die Ereignisse müssen zufällig und unabhängig voneinander sein.
Die Verteilung ist diskret und asymmetrisch.
heißt Poissonverteilung oder Verteilung seltener Ereignisse.
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 22
Konsistenz: Wie groß ist der Mittelwert (Erwartungswert)?
e
xxxPxx
x
x
x 00 !Der erste Term der Summe ist Null.
Der Faktor x/x! kann durch 1/(x-1)! ersetzt werden.
e....
!!
x
x
!xex
321
1
1
32
1
Das heißt der Parameter , der die Poisson-Verteilung charakterisiert,
ist gleich der mittleren Anzahl der gezählten Ereignisse, die erwartet wird,
wenn wir das Zählexperiment viele Male wiederholen.
Poisson-Verteilung
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 23
Wie groß ist die Standardabweichung ?
Zunächst Berechnung der Varianz
0
22
0
22
2x
x
x
x
x!exx
x!ex
2
0
2
2
0
0
22
2
2
x
x
x
x
x
x
x!e
x!ex
x!ex
Poisson-Verteilung
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 24
22
0
2 2
0
x
x
x
x
eσ xx!
exx!
ersetzen von x2 mit (x ( x - 1 ) + x ), führt zu
2
00
2
0
2
1
1
x
x
x
x
x
x
x!ex
x!exx
x!exxx
Ersetzen von x-2 durch , summieren von = 0 ergibt für die Summe den Wert eins und damit wird:
2
2
22
2
0
2
2
1
x
x
x
x
)!(xe
x!exx
222
Poisson-Verteilung
Verschiebungssatz:
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 25
Die Standardabweichung ist somit gleich der Wurzel aus dem Mittelwert.
Der relative Fehler der Poisson-Verteilung ist somit:
Der Fehler des Mittelwertes ist gegeben durch:
nnn1
n
wobei n die Anzahl der Messungen ist, die wir verwendet haben, um den Mittelwert zu bestimmen.
Poisson-Verteilung
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 26
Die Anwendung der Poisson-Verteilung ist breit gefächert:
Anzahl der Telefongespräche, die in einer bestimmten Zeit bei einer Firma
eintreffen.
Anzahl der Kunden an einem Bankschalter pro Zeiteinheit.
Anzahl der Bakterien pro Liter Nährlösung.
Anzahl der Verkehrsunfälle pro Zeiteinheit an einer Kreuzung.
Anzahl der in einer bestimmten Zeit zerfallenden Atomkerne.
Poisson-Verteilung
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 27
Beispiel: An einer Kreuzung finden pro Woche zwei Verkehrsunfälle statt. Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung
mit = 2 beschrieben.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Woche kein Unfall stattfindet ?
13533500
20 220
.e!eP
x!exPx
Poisson-Verteilung
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 28
Beispiel: An einer Kreuzung finden pro Woche zwei Verkehrsunfälle statt. Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung mit = 2 beschrieben.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als vier Verkehrsunfälle in zwei Wochen stattfinden ?
P( 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.4335
19536703
43
14652802
42
07326401
41
01831600
40
43
42
41
40
.!eP
.!eP
.!eP
.!eP
Ähnliche Fragen sind z. B. wie viele Kinder werden
pro Tag in einem Krankenhaus geboren ?
(Jahreszeitliche Schwankungen) !!.
Liegt tatsächlich eine Poissonverteilung vor ?
Qualitativer graphischer Vergleich
Quantitativ mittels 2-Test
Poisson-Verteilung
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 29
Poisson-Verteilung
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25U
nfal
lwah
rsch
einl
ichk
eit
Anzahl der Unfälle
Poisson-Wahrscheinlichkeit für erwartete zwei Unfälle pro Woche
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 30
Poisson-Verteilung
Anzahl Unfälle Häufigkeit Relative Häufigkeit
0 7 0,13462
1 14 0,26923
2 16 0,30769
3 9 0,17308
4 4 0,07692
5 1 0,01923
6 0 0
7 1 0,01923
8 0 0
Betrachte die Anzahl der Unfälle an der Kreuzung über ein Jahr:Poissonverteilt?
Wie groß ist der Mittelwert?
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 31
Poisson-VerteilungAnzahl Unfälle Häufigkeit Relative Häufigkeit
0 7 0,13462
1 14 0,26923
2 16 0,30769
3 9 0,17308
4 4 0,07692
5 1 0,01923
6 0 0
7 1 0,01923
8 0 0
(0 7 1 14 2 16 3 9 4 4 5 1 6 0 7 1 8 0) / 52 1,94
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 32
Poisson-Verteilung
Anzahl Unfälle Häufigkeit Relative Häufigkeit Poissonwahr.
0 7 0,13462 0,1441 14 0,26923 0,2792 16 0,30769 0,2703 9 0,17308 0,1754 4 0,07692 0,0855 1 0,01923 0,0336 0 0 0,0117 1 0,01923 0,0038 0 0 0,001
Betrachte die Anzahl der Unfälle an der Kreuzung über ein Jahr:Poissonverteilt?
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 33
0 1 2 3 4 5 6 7 80,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30U
nfal
lwah
rsch
einl
ichk
eit
Anzahl der Unfälle
Relative Häufigkeit Anzahl Unfälle
Poissonwahrscheinlichkeit für erwartete 1,92 Unfälle
Poisson-Verteilung
Übereinstimmung gut?
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 34
29.09.2003 Vorlesung 5 44
Poisson-Verteilung
diskretParameter = 2
P(x)
Gauss-Verteilung
Normal-Verteilungkontinuierlich
Parameter: ,
G (x)
= n p
Zusammenhang der Poisson- und Normalverteilung
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 35
Binomial‐Verteilungdiskret
Parameter: n, pBi (x)
Poisson ‐ Verteilung
diskret
Parameter = 2
P(x)
Gauß ‐ VerteilungNormal ‐ Verteilung
kontinuierlichParameter: ,
G (x)
n
p 0
n
p const.
= n p
Bernoulli ‐ Verteilung
diskret
Parameter: n=1, p
Zusammenhang der Verteilungen
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 36
Ist die Population endlich ?
Ist n groß ?
Ist n·p > 9 ?
JA
JA
JA
NEIN
NEIN
NEIN
Hypergeometrisch Gauß BinomialPoisson
Zusammenhang der Verteilungen
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 37
Chi-Quadrat-Verteilung
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 38
Chi-Quadrat in der deskriptiven Statistik
Allgemeine Definition :
n
k k
kk
TTE
1
22
Ek ist die experimentelle HäufigkeitTk ist die theoretisch erwartete Häufigkeit
Wir wiederholen eine Messung viele (N) Male,fassen die Messwerte in n-Klassen zusammen
und ermitteln die Anzahl der Beobachtungen Ek, die in die Klasse k fallen.Beispiel: Siehe Übungsaufgabe zur Poisson-Verteilung
Unter der Voraussetzung, dass die Messwerte der erwarteten Verteilung folgen, berechnen wir die
theoretisch erwartete Zahl von Messwerten in der k-ten Klasse.
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 39
Allgemeine Definition :
n
k k
kk
TTE
1
22
Ek ist die experimentelle HäufigkeitTk ist die theoretisch erwartete Häufigkeit
Bei 2 = 0 ist die Übereinstimmung vollkommen.
Dies ist praktisch nie der Fall, also wird 2 > 0 sein.
Wir müssen daher wissen, welche Streuung hier erwartbar ist.
Chi-Quadrat in der deskriptiven Statistik
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 40
222
21
2 ... nn ZZZ
Zentrale Chi-Quadrat-Verteilung
Annahme: Wir betrachten Zufallsvariablen Z1,Z2,…..,Zn deren Wahrscheinlichkeitsdichte fi (i = 1,2,…n) gegeben ist durch
2
21exp
21)(
i
i
ii
xxf
Weiterhin:
Für die weiteren Überlegungen nur Zufallsvariablen Zi mit i = 0 und i = 1.Das bezeichnet man als N(0,1)-verteilte Zufallsgröße.
Wie sieht die Verteilung / Wahrscheinlichkeitsdichte dieser Zufallsgröße aus?
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 41
Zentrale Chi-Quadrat-VerteilungFür N(0,1)-verteilte Zufallsgrößen vereinfacht sich die Dichte zu:
;2
exp21)(
2
xxfi
Sei nun 2 = Z12,dann ergibt sich für die Verteilungsfunktion :
1)(2)(1)()()()( 12
121
xxxxZxPxZPxF
)(21xF
Erinnerung: Die zugehörige Verteilungsfunktion ist die bekannte Fehlerfunktion:
x z
dzex 2
2
21
und für die zugehörige Dichte:
2exp
21
212)()( 2
1
21
21
xxx
xxFdxdxf
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 42
Zentrale Chi-Quadrat-Verteilung
Betrachten wir als nächstes 2 = Z12+Z2
2 :
dyyxfyfxfx
)()()( 21
21
22
0
2exp
21)( 2
1
21
xxxf
dyyxyxyyx
2exp)(
21
2exp
21 2
1
0
21
)1()(
12
exp21 2
0
uxydyyxy
x x
Substitution:
1
0
1
02
0
1222
0
arcsin2)1(
2)1(
2)(
1 uduu
duuux
xudyyxy
x
;2
exp21
x
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 43
Betrachten wir weiter 2 = Z12+Z2
2 + Z32:
Zentrale Chi-Quadrat-Verteilung
2exp
21)( 2
1
21
xxxf
2exp
21)(2
2
xxf
dyyxfyfxfx
)()()( 22
21
23
0
dyyxyyx
2exp
21
2exp
21
0
21
dyyx x
0
21
2exp
221
2exp
21 xx
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 44
Zentrale Chi-Quadrat-Verteilung
Und noch weiter 2 = Z12+Z2
2 + Z32+Z4
2:
2exp
21)( 2
1
21
xxxf
2exp
21)(2
2
xxf
dyyxfyfxfx
)()()( 22
22
24
0
2exp
21
23
xxf
dyyxyx
2
exp21
2exp
21
0
2exp
41 xx
0,2
exp!1
22
1)(1
2
2
2
xxxn
xfn
nn
Kleine Erinnerung:
!
21
Damit erhält man schließlich für die Dichte nach n Schritten:
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 45
Zentrale Chi-Quadrat-Verteilung
0,2
exp!1
22
1)(1
2
2
2
xxxn
xfn
nn