szogparak

15. modul: SKIDOMOK 7

I. Skgeometriai alapfogalmak, szgek, szgprok

Mdszertani megjegyzs: A jelen modult tbbnyire kibvtett ismtlsnek szntuk, s f clja

az alapfogalmak s az alapismeretek felidzse, kiegsztse. Ezrt csak az alapvet ssze-

fggsekhez kthet feladatok kerltek az anyagrszbe.

A geometria legfontosabb alapfogalmai: a tr, a sk, az egyenes, illetve a vonal, s a pont.

A skok a trben helyezkednek el, a sk a teret kt fltrre bontja.

Mi most elssorban a sk geometrijval fogunk foglalkozni

A sk egy egyenese a skot kt flskra bontja.

Az egyenest egy pontja kt flegyenesre bontja,

kt klnbz pontja az egyenesen egy szakaszt hatroz meg.

A skban kt egyenesnek vagy van kzs pontja, akkor metszik egymst, vagy nincs, akkor

prhuzamosak.

Kt prhuzamos egyenes tvolsga a kt egyenes pontjait sszekt szakaszok kzl a legr-

videbb szakasz hossza. A metsz egyenesek tvolsga nulla.

8 MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI VFOLYAM TANRI KZIKNYV

Ez ltalnosan is igaz: kt alakzat tvolsgn a klnbz alakzatok pontjait sszekt szaka-

szok kzl a legrvidebb szakasz hosszt rtjk. Ha van kzs pontjuk, akkor tvolsguk nulla.

Egy pontbl kiindul kt flegyenes szget zr be egymssal.

Megjegyzs: Lthat, hogy kt szg keletkezik. Ha kln nem jelezzk, akkor a kt flegye-

nes szgn a kisebb szget rtjk.

Szgek nagysgt tbbfle mdon mrhetjk. Leggyakrabban a teljes szg 3601 -ad rszt

vlasztjuk mrtkegysgnek, ez az 1o.

Egy adott egyenesre bocstott merleges egyenesnek az adott

egyenessel bezrt szgt derkszgnek neveztk el. A derkszg

90o-os.


A szget gy is szrmaztathatjuk, hogy egy

flegyenest a kezdpontja krl elforgatunk.

Ez esetben a szget az elforgats vvel mrjk.

A szgeket nagysg szerint a kvetkez csoportokba soroljuk:

A szg konvex, ha a szgtartomnyban brhol kivlasztunk kt pontot, akkor az ket ssze-

kt szakasz teljes egszben a szgtartomnyban van.

Konvex szgek a hegyesszg, a derkszg, a tompaszg.

A szg konkv, ha a szgtartomnyban tallunk kt olyan pontot, hogy az ket sszekt

szakasz nincs teljes egszben a szgtartomnyon bell. A homorszg konkv.

Egyenl szgprok

Az egyenl szgprok kzl a kvetkezket ismertk meg korbban:

Egylls szgek: szraik pronknt prhuzamosak s azonos irnyak. (Ha egy egyenes kt prhuzamos egyenest metsz, a

metsz egyenes azonos oldaln keletkez egyenl szgek

egylls szgek.)


Vltszgek: szraik pronknt prhuzamosak, s ellenkez ir-nyak. Ilyenek pldul egy Z-bet szra ltal az als s fels vz-

szintes szakaszokkal bezrt szgek.

Cscsszgek: specilis vltszgek; egy-egy szruk egy egyenest alkot. Ha kt egyenes egymst metszi, ngy szg keletkezik. Ezek

kzl az tellenes szgprokat cscsszgeknek nevezzk.

A keletkezett szgek kzl 2-2 egyenl nagysg.

Kt egymst metsz egyenes szgn a keletkezett szgek

kzl a kisebbik szget rtjk.

Merleges szr szgek: szraik pronknt merlegesek egymsra; a merleges szr szgek kztt vannak egyenlk s olyanok is, amelyek 180-ra egsztik ki egymst.

Egymst kiegszt szgprok

Ptszgeknek neveznk kt szget, ha sszegk 90.

A kiegszt szgek 180-ra egsztik ki egymst (sszegk 180):

mellkszgek trsszgek


Mdszertani megjegyzs: Csoportalakts utn minden csoportnak adjunk a 15.1 feladatlapbl

1-1 pldnyt s 15 percet a megoldsra. A feladatokat a csoportok minden tagja megoldja, s

a megoldsokat egyenknt egyeztetik csoporton bell. A 15 perc letelte utn dik-kvartett

mdszernek megfelelen trtnik az ellenrzs: a tanr megmondja, hogy melyik feladatra

kr vlaszt, a csoportok szvivi jelentkeznek, majd a tanr ltal kivlasztott szviv elmond-

ja a megoldst. Ezutn megbeszlik a hallottakat, a tanr azonnal rtkel.

A feladatlap clja az egyenes, flegyenes, pont fogalmnak tisztzsa, s a szgek, szgprok

vizsglata.

VONALZRA S SZGMRRE SZKSG VAN A FELADATLAP MEGOLD-

SHOZ !

15.1 feladatlap:

Ha a feladatlapot itt kvnjuk alkalmazni, akkor fel kell idzni a trapz fogalmt, illetve a

szgek jellsi mdjt, mert az csak a kvetkezkben kerl ismtlsre, illetve bevezetsre.

1. Rajzold meg az brn lthat trapzt! Hosszabbik

alapja 9 cm, szrai 4 cm s 5 cm, magassga 3 cm.

Hosszabbtsd meg az oldalait!

2. Jelld -val a DAB szget! Egsztsd ki a kvetkez mondatokat! a) Az szg egyik szra az pontbl kiindul, -t tartalmaz , msik

szra az ...

b) Az e az egyenessel.

c) A trapz szrai az s szakaszok.

d) A a trapz rvidebb , s rsze az f nek.

Megolds:

a) Az szg egyik szra az A pontbl kiindul, D-t tartalmaz flegyenes, msik szra az A pontbl kiindul, B-t tartalmaz flegyenes.

b) Az e egyenes prhuzamos az f egyenessel.

c) A trapz szrai az AB s BC szakaszok.

d) A DC a trapz rvidebb alapja, s rsze az f egyenesnek.


3. Szgmrvel mrd meg a szgeket, s llaptsd meg, hogy mely szgek egyenlk a tra-

pzban!

Megolds: Fontos, hogy a gyerekek talljk meg a szgprokat (az egylls szgeket, illetve

vltszgeket, valamint a cscsszgeket).

4. Vgezz mrseket s llaptsd meg, hogy mely szgek egsztik ki egymst 180-ra a

trapzban!

Megolds: Fontos, hogy a gyerekek talljk meg a mellkszgeket s a trsszgeket.

Ezutn minden csoportnak adjunk egyet a 15.2 krtyakszletbl, amelyen a szgek elnevez-

se, nagysga s brja tallhat. A feladat az, hogy vlogassk ssze a megfelelket. Az rt-

kels a kiraks gyorsasga szerint trtnik.

Feladatok

Mdszertani megjegyzs: Az 1 3. feladatokat nll feldolgozsra hzi feladatnak clszer

feladni. Az ellenrzshez segtsget nyjt a bemutat, amelyben az 1 3. feladatok kitzse

s az 1 2. feladatok megoldsa is szerepel.

Az itt szerepl feladatokbl nem kell mindet megoldani, de lehetsgnk addik a differen-

cilsra.

1. A fenti szveg alapjn rd a kvetkez bra megfelel helyeire az egymst kiegszt

szgprokat!


Megolds:

2. Tltsd ki az bra hinyz rszeit!

Megolds:

3. Melyik szghz trsthatk a kvetkez fogalmak: ptszge, cscsszge, mellk-szge, trsszge?


Megolds: ptszge: 1, 2; cscsszge: 5; mellkszge: 4; trsszge: 3.

Mdszertani megjegyzs: A 4 7. feladatokbl vlogassunk feladatokat a tanulcsoportnak

megfelel szmban s nehzsgben. Megoldsukhoz a dik-kvartett vagy az ellenrzs prban

mdszer ajnlott.

4. Egsztsd ki a mondatot! Egy hegyesszg s egy tompaszg sszege lehet

.

Megolds: Egy hegyesszg s egy tompaszg sszege lehet tompaszg, egyenesszg vagy

homorszg.

5. Keress egyenl s egymst kiegszt szgprokat a kvetkez brkon! Betzd meg a

szgeket!

6. Megadtk, hogy egy szg mennyivel kisebb a mellkszgnl. Szmtsd ki a szget s a

mellkszgt!

a) 100; b) 20; c) 200; d) 75; e) 23,8; f) 1,2.

Megolds: a) 40, 140; b) 80, 100; c) nem lehetsges;

d) 52,5; 127,5; e) 78,1; 101,9; f) 89,4; 90,6.

7. Rajzolj egy trapzt, s hosszabbtsd meg az oldalakat a cscsokon tl! Keress egyenl

s egymst kiegszt szgprokat az brn! Vgezd el a feladatot paralelogramma

esetben is!


II. Alapszerkesztsek Ha brkat ksztnk, akkor sok esetben hasznlunk derkszg vonalzkat s klnbz

sablonokat, mint pldul olyanokat, amelyekkel tglalapokat, szablyos hromszgeket, grbe

vonalakat rajzolhatunk.

Ha ezeket hasznljuk, akkor ltalban azt mondjuk, hogy rajzolunk, nem pedig azt, hogy

szerkesztnk.

A kt derkszg hromszg cssztatsval knnyen rajzolhatunk prhuzamos, illetve mer-

leges egyeneseket.

Az igazi szerkeszts csak krz s egyl vonalz hasznlatt engedi meg. Beszdes brkkal ismteljk t a kvetkez szerkesztseket:

Szakasz felezse


Szg msolsa

Szg felezse

Egyenesre merleges szerkesztse adott kls pontbl


Egyenes adott pontjra merleges szerkesztse

Prhuzamos egyenespr szerkesztse egymst kvet kt merleges szerkesztsvel trtnhet.

Feladatok

8. Rajzolj egy tetszleges, 180o-nl kisebb szget, s

a) msold le,

b) felezd meg!

Megolds: a szerkesztsre adott bra alapjn.

9. Rajzolj egy tetszleges egyenest, s rajzolj egy erre merleges egyenest,

a) egy adott kls pontbl.

b) az adott egyenes egy adott pontjban!


10. Rajzolj egy tetszleges szakaszt, s azt felezd meg!



III. Hromszgek

Mdszertani megjegyzs: A skidomok feldolgozst csoportalaktssal kezdjk. Minden ta-

nul kap egy krtyt a 15.3 krtyakszletbl. Azok kerlnek egy csoportba, akiknek a krty-

jn ugyanarra a skidomra vonatkoz kijelents szerepel, s a csoporton bell egyeztetik a

tulajdonsgokat. A krtyk sztosztsa vletlenszeren is trtnhet, azonban az itt felsorolt

kijelentsek kzl az utolsbl a legnehezebb kitallni, hogy milyen skidomra vonatkozik,

ezrt ajnlott azokat a krtykat jobb kpessg tanulknak adni. A ngyszgek kitallsa

tbb tanulnak is problmt okoz. Miutn megkaptk a krtykat, krdezzk meg, hogy ki

nem rti, vagy ki az, aki nem tudja, hogy milyen sokszgrl szl az llts. A sokszgek (h-

romszgek, ngyszgek) tulajdonsgainak megbeszlsre is lehetsget ad, hogy ha a prob-

lms krdseket megbeszljk az egsz osztllyal.

Ez a feldolgozs abban segti a tanrt, hogy megismerje, milyen ismereteket hoztak magukkal

a tanulk az ltalnos iskolbl. Tovbb fel is eleventik a tanulk elhalvnyult, vagy fele-

dsbe merlt ismereteit!

Fontos! A tulajdonsgok igazak, de nem defincik. Ezt tudatostani kell! A definci szks-

ges s elgsges felttelt ad meg. Az itt lert tulajdonsgokra ez ltalban nem igaz.

A kijelentsek:

Egyenlszr hromszg: Ennek a skidomnak hrom szgbl kett egyenl. Olyan hrom-

szg, amelynek egyik magassga felezi az egyik oldalt. Oldalai: egy alap s kt szr. Olyan

hromszg, amelynek egyik szgfelezje felezi az egyik oldalt.

Derkszg hromszg: Van kt befogja s egy tfogja. rvnyes r a Pitagorasz-ttel. a, b

s c oldalra fennll az a2 + b2 = c2 sszefggs. Olyan hromszg, amelynek egyik szge

egyenl a msik kett sszegvel.

Kr: Egy adott ponttl egyenl tvolsgra lev pontok halmaza. Van rintje, tmrje, suga-

ra. Ez a skidom szoros kapcsolatban ll egy kori grg tudssal s egy grg betvel. Ha ez

a skidom hromszg kr rajzolhat, akkor a skidom egy nevezetes pontjt a hromszg

oldalfelez merlegeseinek metszspontja adja.

Trapz: Kt szra s kt alapja van. Olyan ngyszg, amelynek van prhuzamos oldalprja.

(ltalnos esetben csak egy prhuzamos oldalprja van.) Ha egy hromszget elmetsznk egy

olyan egyenessel, amelyik az egyik oldalval prhuzamos, akkor ilyen ngyszget kapunk. Ha

szimmetrikus ez a ngyszg, akkor az egy-egy alapon fekv szgei egyenlk.


Paralelogramma: Olyan ngyszg, amelynek van kt prhuzamos oldalprja, s ltalnos

esetben a szgei nem derkszgek. tli felezik egymst, de nem minden esetben felezik a

ngyszg szgeit, s szgei nem minden esetben derkszgek. Olyan ngyszg, amelynek

kt-kt szemkzti oldala egyenl, s szgei nem minden esetben derkszgek. Olyan szim-

metrikus trapz, amelynek alapjai egyenl hosszak, de a szgei nem biztos, hogy derksz-

gek.

Rombusz: Olyan ngyszg, amelynek oldalai egyenlk, de szgei nem biztos, hogy derksz-

gek. Noha ennek a ngyszgnek minden oldala egyenl, nem biztos, hogy rajzolhat kr kr

(amelyik minden cscsn tmegy). Ez a ngyszg olyan paralelogramma, amelynek az egy-

ms melletti oldalai egyenl hosszak. Ez a ngyszg olyan deltoid, amelynek a szomszdos

oldalai egyenl hosszak.

Ngyzet: Ennek a ngyszgnek egyenlk az oldalai s a szgei. Ez a ngyszg derkszg

rombusz. Olyan tglalap, amelynek szomszdos oldalai egyenl hosszak. Olyan ngyszg,

amelynek tli egyenl hosszak s merlegesek egymsra.

Tglalap: Olyan ngyszg, amelynek minden szge derkszg, de nem biztos, hogy egyenlk

az oldalai. Derkszg paralelogramma, de nem okvetlenl rombusz. Ha ennek a ngyszg-

nek az oldalai egyenlk lennnek, ngyzetnek hvnk. Ennek a ngyszgnek az tli egyenlk

s felezik egymst, de oldalai nem biztos, hogy egyenlk.

Szablyos hatszg: Olyan konvex hatszg, amelynek oldalai egyenlk. Az tlival ez a sok-

szg hat egybevg szablyos hromszgre bonthat. Megszerkeszthetjk gy, hogy egy kr-

vonalra a sugart hatszor rmrjk. Ennek a konvex hatszgnek minden szge egyenl.

Mdszertani megjegyzs: Fllents feladat kvetkezik. Minden csoport megmondja egy m-

siknak, hogy neki milyen skidomot kellett kitallni, gy a mr tgondolt skidom helyett egy

msikra kell sszpontostaniuk. A feladat kt igaz s egy hamis llts megfogalmazsa. A

csoportok vlasztanak egy szvivt, aki az lltsokat felolvassa, s a tbbi csoport eldnti,

hogy a hrombl hnyas szm volt a hamis, s a szvivk a tanr jelre egyszerre, felemelt

kzzel mutatjk a hamis llts szmt. A tanr minden vlaszt rtkel (pontrendszer), megbe-

szlik a helyes vlaszt, s a vgn sszestik a pontverseny eredmnyt. Jobb kpessg tanu-

lkkal a definci s bizonytott ttel kztti klnbsget is megemlthetjk. Ez azrt fontos,

mert a tnyek s vlemnyek klnbzsgre is rvilgt, s segti pldul a jogszablyok

rtelmezst az rtelmez rendelkezsek rszben definiljk a trvnyben szerepl fogal-

makat.


A skidomok s tulajdonsgaik a mindennapokban fontos szerepet jtszanak. Pldul a hzak

s terek ptse, burkolsa sorn, szabsminta elksztsekor, a megtervezett btor anyagklt-

sgnek megbecslshez szksges, hogy a skidomokat meg tudjuk tervezni, a kerletket

s terletket ki tudjuk szmtani, s ismerjk a legfontosabb tulajdonsgaikat.

Mdszertani megjegyzs: Els lpsknt a skidomokat meg kell tudnunk klnbztetni egy-

mstl. A kvetkez feladatok a skidomok klnbz csoportostsra sszpontostanak,

hogy a tanulk ezltal is pontostsk ismereteiket.

A sokszgeket szakaszok hatroljk. Sokszg: a hromszg, ngyszg, tszg stb.

Foglaljuk ssze azokat a legfontosabb ismereteket, amelyeket a hromszgekrl korbban

tanultunk.

A szakaszokat, gy az ABC hromszg oldalait is az

bc kisbetivel jelljk (a, b, c). A pontokat, gy a

hromszg cscsait is az bc nagybetivel jelljk

(A, B, C). A szgek jellsre grg betket haszn-

lunk (, , ). (Az A cscsnl az szg, vele szem-ben az a oldal tallhat.)

A szgeket a cscspontjuk s a szraikon lv egy-egy pont betjelvel is megadhatjuk.

Pldul az szget gy is jellhetjk: CAB szg. A hromszg szgeire vonatkoz lltsok kzl a legfontosabb:

A hromszgek oldalainak s szgeinek kapcsolatra fennll a kvetkez kt llts:

A hromszg bels szgeinek sszege 180.

Egy hromszgben egyenl oldalakkal szemben egyenl szgek vannak (egyenlszr hromszg).

A hromszgben hosszabb oldallal szemben nagyobb szg tallhat, mint a rvidebb oldallal szemben.


Minden hromszg oldalaira teljesl a hromszg-egyenltlensg:

A hromszgek kls szgeire teljesl, hogy:

=++ 360

.;; +=+=+=

Hromszgek csoportostsa

Szgeik szerint:

hegyesszg hromszgek (minden szgk hegyesszg),

derkszg hromszgek (egyik szgk derkszg, a tbbi hegyesszg),

tompaszg hromszgek (egyik szgk tompaszg, a tbbi hegyesszg).

Oldalaik szerint:

egyenl oldal hromszgek (minden oldaluk egyenl),

egyenlszr hromszgek (kt oldaluk egyenl),

ltalnos hromszgek (minden oldaluk klnbz).

A hromszg brmely kt oldalnak sszege nagyobb a harmadik oldalnl.

A hromszg kls szgeinek sszege 360.

A hromszg brmely kls szge megegyezik a nem mellette fekv kt bels szg sszegvel.


Feladatok

11. Mit rhatnnk A, illetve B helyre?

Megolds: A: hegyesszg hromszgek; B: tompaszg hromszgek.

12. Derkszg hromszgben hogyan nevezzk a derkszggel szemben lev oldalt?

Megolds: tfognak.

13. Egy derkszg hromszgben az szg 48-os. Mit mondhatunk az -val szemkzti oldal hosszrl?

Megolds: Az oldal befog, a hromszg msodik leghosszabb oldala.

14. Fejezd be a mondatokat!

a) Azt a hromszget, amelynek minden szge klnbz, hromszg-

nek nevezzk.

b) A kt egyenl szggel rendelkez hromszget hromszgnek ne-

vezzk.

c) Egy hromszg akkor s csakis akkor szablyos,


Megolds: a) ltalnos; b) egyenlszr; c) nyitott krds, a vlasz tbbfle lehet, pldul

hrom egyenl szge van, hrom egyenl oldala van, a kr- s a belert kr k-

zppontja megegyezik stb.

Mdszertani megjegyzs: A kvetkez feladatot hzi feladatnak javasoljuk. A tanulk fogal-

mazsi kszsgt egyni gyakorlssal javthatjuk a leghatsosabban. Prbljuk arra sztnz-

ni tantvnyainkat, hogy lszban, a tanult szakkifejezseket hasznlva adjanak vlaszt a

krdsekre. Az ellenrzst mindenkppen javasolt vgrehajtani.

15. Keress olyan tulajdonsgokat, amelyek igazak az egyes skidomokra!

a) egyenlszr hromszg; b) szablyos hromszg; c) derkszg hromszg.

16. Derkszg hromszgben az egyik szg 35-os. Mekkork a hromszg szgei?

Megolds: 90, 35, 55.

17. Egyenlszr hromszgben az egyik szg 42-os. Mekkork lehetnek a hromszg

hinyz szgei?

Megolds: 42 s 96, vagy 69 s 69.

18. Adj meg legalbb 5 olyan szakaszhrmast az albbiak kzl, amelyekbl (mint

oldalakbl) lehet hromszget szerkeszteni!

Megolds.

Olyanokat kell vlasztani, amelyekben 2 szakasz hossznak szege nagyobb a harmadik

szakasznl.

19. Egy hromszgben az oldalak arnya b : a : c = 2 : 3 : 5. Melyik a leghosszabb oldala?

Megolds:

Egyik sem, mert nincs ilyen hromszg nem teljesl a hromszg-egyenltlensg az

oldalakra.


20. Mekkork a hromszg szgei, ha kt kls szge:

a) 130 s 174; b) 87 s 116; c) 136 s 98?

Megolds: a) 50, 6, 124; b) 93, 64, 23; c) 44, 82, 54.

21. Adott egy hromszg egyik szge s a msik kt kls szg arnya. Szmtsd ki a

hinyz szgeket! a) 70 s 2 : 3; b) 30, 8 : 13.

Megolds: a) 80 s 30; b) 100 s 50.

22. Szerkessz hromszget, ha adott kt oldala (a s b), s az a oldallal szemkzti szg.

a) a = 10 cm, b = 8 cm, = 45; b) a = 4 cm, b = 10 cm, = 45;

c) a = 5 cm, b = 3 cm, = 60.

Megjegyzs: b)-nek nincs megoldsa, az a) s a c) egyrtelm. Beszljk meg a tanulkkal,

hogy egy hromszg megadsa mikor egyrtelm: ha adott 3 oldala, vagy 2 oldala s a

kzbezrt szg, vagy 1 oldala s a rajtuk fekv 2 szg, vagy 2 oldala, s a nagyobbikkal

szemkzti szg. Ez kszti el majd azt, hogy a 4 esetet a gyerekek knnyebben megje-

gyezzk a hromszgek egybevgsgnak s a hasonlsgnak a tantsakor.

A hromszg nevezetes vonalai, pontjai

A kvetkez bra ttekinti, hogy a hromszg milyen nevezetes vonalaival foglalkozunk.

Minden vonalhoz tartozik egy definci (meghatrozs) s egy ttel (tulajdonsg), amelyet

feladatmegoldsokban is hasznlhatunk.


Mdszertani megjegyzs: A nevezetes vonalak megszerkesztse a tanulk szmra az alapfel-

adatok kz tartozik. Clszer erre plusz gyakorlrkat beiktatni a modul kidolgozott rin

kvl. Mrsekkel jobb kpessg tanulk esetn egyb tulajdonsgokat is felfedeztethetnk

(pl. szgfelezttel, vagy hogy egy oldal Thalsz-kre a msik kt oldalt a hozzjuk tartoz

magassgok talppontjaiban metszi).

A szgfelez olyan egyenes, amely felezi a hromszg bels

szgt. Jellse: f , f, , f .

A hromszg szgfelezi egy pontban metszik egymst, ez a

pont a hromszgbe rhat kr kzppontja.

Az oldalfelez merleges olyan egyenes, amely tmegy az oldal

felezpontjn s merleges az oldalra. Jellse: fa , fb , fc.

A hromszg oldalfelez merlegesei egy pontban metszik egy-

mst, ez a pont a hromszg kr rhat kr kzppontja.

A magassgvonal a hromszg cscspontjbl a szemkzti

oldal egyenesre lltott merleges egyenes.

Jellse: ma , mb , mc.

A hromszg magassgvonalai egy pontban metszik egymst,

ez a hromszg magassgpontja.

A slyvonal a hromszg cscst a szemkzti oldal felez-

pontjval sszekt szakasz. Jellse: sa, sb, sc .

A hromszg slyvonalai egy pontban metszik egymst, ez a

hromszg slypontja. A slyvonalak harmadoljk egymst

gy, hogy a cscs fel esik a slyvonal ktharmad rsze.


A hromszg kzpvonala kt oldalnak felezpontjt ssze-

kt szakasz.

A hromszg kzpvonala prhuzamos s feleakkora, mint

a harmadik (nem felezett) oldal.

;|| ,|| ,|| ckbkak cba .2,

2,

2ckbkak cba ===

A hromszg kerlete az oldalak hossznak sszege. Terlett gy szmoljuk ki, hogy br-

melyik oldal hossznak mrszmt megszorozzuk a hozz tartoz magassg hossznak m-

rszmval, s a szorzatot kettvel osztjuk.

Mdszertani megjegyzs:

Javtsuk ki a hibs, alapszor magassg szhasznlatot a gyerekeknl. Alapja csak az egyen-

l szr hromszgnek van.

A derkszg hromszg terlett ktflekppen is fel lehet rni: 22mcbaT == .

A derkszg hromszg oldalaira rvnyes a Pitagorasz-ttel.


rvnyes a Pitagorasz-ttel megfordtsa is, azonban mind a ttellel kapcsolatos szmtsok,

mind a megfordtsa a 10. vfolyam tananyaga. Ezen a helyen csak megemlts szintjn fordul

el, hogy a hromszggel kapcsolatos ismereteket sszefogva lssk a tanulk. A ttelt ltal-

nos iskolai tanulmnyaikbl ismerik.

cbaK ++= 222

cba mcmbmaT === .

Pitagorasz-ttel: a derkszg hromszgben a befogk hossznak ngyzetsszege egyenl az tfog hossznak ngyzetvel:

c2 = a2 + b2 ; a s b: befogk, c: tfog.


Mdszertani megjegyzs: A kvetkez mintapldban a ttel s megfordtsa kztti klnb-

sget reztethetjk meg a gyerekekkel. Jobb kpessg tanulk szmra ajnlott, csoportmun-

kban feldolgozva, rszfeladatonknti megbeszlssel.

A Thalsz-ttelt is rgta ismerjk: Ha egy kr tmrjnek kt vgpontjt a krvonal brmely msik pontjval sz-

szektjk, akkor derkszg hromszget kapunk. Az tmr a derkszg h-

romszg tfogja.

A Thalsz-ttel megfordtsa:

Egy derkszg hromszg kr rt kr kzppontja mindig az tfogjnak fele-

zpontja lesz. Az tfog a kr tmrje.

Feladatok

23. A kvetkez tblzat hromszgek oldalainak hosszt adja meg. Melyik adat-oszlop ad

meg derkszg hromszget?

A B C D E F G H

a 7 3 7 5 8 8 20 6

b 6 4 13 12 15 8 21 7

c 8 5 11 13 17 8 29 6

Megolds: B; D, E; G.


24. Egy slyvonal a hromszget kt rszre osztja. Mit mondhatunk, ha ezek terleteit

sszehasonltjuk?

Megolds: Egyenlk, mert a keletkez hromszgek magassgai megegyeznek, s gy egyen-

lk, a magassghoz tartoz oldalak szintn egyenlk (a hromszg oldalnak fele).

Mdszertani megjegyzs: A szerkesztses feladatok az alapszerkesztsekre plnek, azokat a

modul tvtele eltt javasoljuk gyakoroltatni. Lehetsges, hogy a 25 29. feladatok nehznek

bizonyulnak, kzlk annyit hasznljunk fel az rn, amennyit rdemesnek ltunk.

25. Szerkessz hromszget, ha adottak a kvetkez adatok (a szoksos jellsekkel):

a) 3=a cm, 5=b cm, = 60 ; b) 5=b cm, 7,3=c cm, = 47 ; c) 7=a cm, == 45,48 ; d) 4,6=b cm, == 60,30 ; e) 4=a cm, 5=am cm, = 45 ; f) 6=a cm, 2,3=as cm, 7,3=b cm; g) 8,4=b cm, 3=bm cm, = 30 ; h) 8,4=c cm, 2,5=cs cm, = 70 .

Megolds: A c) s d), tovbb az e) s g), illetve az f) s h) megoldsa hasonl.

26. Szerkessz derkszg hromszget, ha adott az tfog (8 cm) s az tfoghoz tartoz

magassg (3,5 cm)! Hny megolds van?

Megolds: kt, egybevg megolds van:

27. Szerkessz hromszget, ha a szoksos jellsekkel c = 6 cm, sc = 4,7 cm, = 35. Megolds:


28. Szerkessz hromszget, ha a szoksos jellsekkel a = 6 cm, ma = 4,7 cm, b = 7,3 cm.

Megolds:

29. Egy egyenlszr hromszg alak padlshomlokzat mretei: a padls magassga

3,6 m, a hz szlessge 5,4 m. Szerkeszd meg a homlokzat 1:100 arnyban kicsinytett

rajzt!

Megolds:

30. Igaz vagy hamis a kvetkez llts: ha a derkszg hromszgben az tfog felez-

pontjt sszektjk a derkszg csccsal, akkor kt egyenlszr hromszg kelet-

kezik?

Megolds: Igaz, mert a hromszg oldalait alkot szakaszok hossza a kr rhat kr sugar-

val egyenl.

Mdszertani megjegyzs: A kvetkez feladatban a skidomot tglalapba foglaljuk, s a tgla-

lap terletbl kivonjuk a ngyzetrcs segtsgvel megkaphat derkszg hromszgek

terlett. Ha nehezen megy a tanulknak, clszer az elst mintapldaknt kzsen megolda-

ni. A rszfeladatokat csoportmunkban oldjk meg a tanulk.


31. Petinek egy derkszg hromszg alak fld-

terlet kerlett s terlett kell meghatroz-

nia, azonban a mrst thatolhatatlan bokros

rszek neheztik. Szerencsjre a hromszg

oldalfelez pontjait korbban meghatroztk

s egy-egy karval megjelltk. Peti megmr-

te ezeknek a karknak a tvolsgt egymstl: 13 m, 22 m s kb. 25,55 m. Hogyan ha-

trozhatk meg ezekbl a keresett adatok, s mekkora a fldterlet kerlete?

Megolds: A kzpvonalak hosszt mrte meg, amelynek hossza az oldalak fele.

A terlet a befogkbl: 5722

2221322

=== baT m2. A kerlet az oldalakbl: 1,121)55,252213(2 =++=K m.


IV. Sokszgek s ngyszgek

Mr ltalnos iskolban megismerkedtnk a ngyszgekkel, sokszgekkel. Tekintsk t eze-

ket!

Konvex sokszg: brmely kt bels pontjt sszekt szakasz a

sokszgn bell halad. A nem konvex, azaz konkv sokszgben

van kt olyan pont, melynek sszekt szakasza a sokszgn kvl

is halad.

Azokat a konvex sokszgeket, amelyeknek minden szge s oldala egyenl, szablyos sok-

szgeknek nevezzk. A szablyos sokszg egyik fontos tulajdonsga, hogy kr rhat kr

(azaz olyan kr, amely a sokszg minden cscsn thalad), s bele is (azaz olyan kr, amely-

nek a sokszg minden oldalegyenese az rintje).

Specilis ngyszgek defincii

Trapz: olyan ngyszg, amelynek van prhuzamos oldalprja.

Paralelogramma: olyan trapz, amelynek van kt prhuzamos oldalprja.

Rombusz: olyan paralelogramma, amelynek minden oldala egyenl.

Tglalap: olyan paralelogramma, amelynek minden szge derkszg.

Ngyzet: olyan paralelogramma, amelynek minden oldala s szge egyenl.

Deltoid: olyan ngyszg, amelynek van kt egyenl szomszdos oldalprja.

Feladatok

Mdszertani megjegyzs: A kvetkez feladat megoldsa dik-kvartett mdszerrel javasolt.

32. Vlaszd ki az igaz lltsokat:

a) Minden paralelogramma trapz is.

b) Minden tglalap rombusz is.

c) A rombuszok paralelogrammk is.

d) Minden rombusz deltoid.

e) Minden tglalap paralelogramma.

f) A ngyzetek a tglalapok s a rombuszok halmaznak metszetben helyezkednek el.


g) A ngyszgben a bels szgek sszege 360.

h) Minden sokszgben a bels szgek sszege 360.

i) Minden konvex sokszgben a kls szgek sszege 360.

j) Van olyan trapz, amelyik deltoid is.

k) Van olyan rombusz, amelyik nem trapz.

l) Minden trapzba rhat (mind a ngy oldalt rint) kr.

m) Minden ngyszgbe rhat mind a ngy oldalt rint kr.

Megolds: Igazak: a), c), d), e), f), g), i), j).

33. Milyen betjel ngyszg deltoid, trapz, paralelogramma, rombusz, illetve tglalap?

Megolds:

Deltoid: e,f,c,g; trapz: a,b,c,d,g,h; paralelogramma: b,c,g,h; rombusz: c,g; tglalap: g,h.

34. A kvetkez brn a ngyszgeket

csoportostottuk az oldalak egyen-

lsge szerint. Mit rhatunk a ?

helyre?

Megolds: Paralelogrammk.

35. A kvetkez brn a ngyszgeket cso-

portostottuk az oldalak prhuzamoss-

ga szerint. Mit rhatunk A, B s C he-

lyre?


Megolds:

A: trapzok, B: paralelogrammk, C: tglalapok.

Mdszertani megjegyzs: A krdst ms varicikban is feltehetjk (pldul nem ktjk ki,

hogy az oldalak prhuzamossga szerint csoportostunk). Ekkor tbb lehetsg is addik meg-

oldsknt, a feladat nylt krdss vlik.

36. A kvetkez brn a ngyszgeket csoportostottuk. Mit rhatunk a ?-ek helyre?

Megolds: a) tglalapok; b) rombuszok.

37. Mi a vlemnyed a kvetkez halmazbrkrl?

a) b)

Megolds:

a) az bra helyes, brzolja a specilis ngyszgek sszes csoportjt; a Venn-diagram

jelenlegi formjban a trapznak az a rsze, amelyik deltoid, de nem paralelogramma,

res halmaz, vagyis a deltoidok s trapzok metszete kellene, hogy rombusz legyen;

b) nem j, mert nem minden tglalap deltoid, ide a rombuszokat rhatnnk.

38. A specilis ngyszgek kzl melyik lehet, s melyik nem lehet konkv ngyszg?

Vlaszodat indokold!

Megolds: Csak a deltoid lehet konkv, mert csak annak lehet homorszge.


39. Igaz-e, hogy egy hromszg minden cscsa egy skban helyezkedik el? s egy

ngyszg vagy tszg?

Megolds: 3 pont egyrtelmen meghatrozza a skot, de 2 mg nem. Ezrt a hromszg h-

rom cscsa kijell egy skot. 4 vagy tbb pont a trben mr tbb skot is kijellhet. Ezek

mr nem felttlenl skidomok, hanem trbeli alakzatok is lehetnek.

A sokszgek szgei

Mintaplda1

Szmtsuk ki a szablyos tszg bels s kls szgeit, valamint ezek sszegt!

Megolds:

5 egybevg, egyenlszr hromszg tallhat az tszg k-

r rhat kr kzppontjnl, gy egy kzpponti szg nagys-

ga = 725

360 . A bels szg == 108721802 . A kls szg = 72108180 . A bels szgek sszege gy 5108 = 540, a kls szgek sszege 572 = 360.

Mintaplda2

Mennyi a hatszg bels szgeinek sszege?

Hny tl hzhat egy 6 oldal sokszg egy cscsbl?


Megolds:

Bontsuk hromszgekre a hatszget.

Hzzunk egy cscsbl tlkat a hatszg cscsaiba!

A hatszgnek 6 cscsa van.

Az 6 cscs kzl 1 cscsbl indulnak ki az tlk.

A 2 szomszdos cscshoz nem hzhat tl, hiszen azo-

kat egy-egy oldal kti ssze azzal a csccsal, amelybl az

tlk indulnak. Teht a hatszgben egy cscsbl (6 3) = 3 tl hzhat. Ez a 3 tl (6 2) = 4 hromszgre bontja a hatszget. Minden hromszg szgeinek sszege 180o. Ezrt a hatszg bels szgeinek az sszege 4180o = 720o.

ltalnosan is igaz: egy n oldal sokszg egy cscsbl 3n tl hzhat, ami a sokszget 2n kis hromszgre bontja. A sokszg szgsszege pp ezen kis hromszgek bels szge-

inek sszege.

A bels s a kls szgek 180-ra egsztik ki egymst. A kls szgek sszegt gy kapjuk,

hogy 180n -bl kivonjuk a bels szgek sszegt: = 360180)2(180 nn .

Feladatok Mdszertani megjegyzs: A kvetkez feladatokban a szgek szmtsval kapcsolatos alap-

feladatokat oldjk meg a tanulk. Ajnlott mdszer a dik-kvartett: javasolt a feladatok els

rszt feladni tanrn, a tbbit pedig egyni feldolgozsra kijellni.

40. Szmtsd ki a szablyos sokszg szgeit s szgsszegt, ha cscsainak szma:

a) 8; b) 10; c) 15.

Megolds: a) 135 s 1080; b) 144 s 1440; c) 156 s 2340.

Az n oldal konvex sokszg bels szgeinek sszege: ( ) 1802n .

Az n oldal konvex sokszg kls szgeinek sszege: 360.


41. Egsztsd ki a szablyos sokszgre vonatkoz tblzatot!

a) b) c) d) e) f) g) h)

cscsok szma 6 10 n

egy bels szg nagysga 150 160

egykls szg nagysga 40

bels szgek sszege 540

Megolds: a) b) c) d) e) f) g) h)

cscsok szma 6 10 n 12 18 9 5 360/ *

egy bels szg

nagysga

120 144 180 360/n 150 160 140 108 180

egy kls szg

nagysga

60 36 360/n 30 20 40 72

bels szgek

sszege

720 1440 (n2)180 1800 2880 1260 540 (360/ 2)180

* Mivel a cscsok szma n 3egsz, ezrt osztja 360-nak: {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 24; 30; 36; 40; 45; 60; 72; 90; 120}

42. Mekkork a trapz hinyz szgei, ha kt szemkzti szge

a) 70 s 100; b) 30 s 120; c) 40 s 90?

Megolds: a) 110 s 80; b) 150 s 60; c) 140 s 90.

43. A rombusz egyik szge 42-os. Mekkora szget zrnak be az tlk az oldalakkal?

Megolds: 21 s 69.

44. A tglalap oldala s az tl 21-os szget zrnak be. Mekkora a kt tl ltal bezrt

szg?

Megolds: A tglalap adott oldallal prhuzamos kzpvonalt behzva a keletkez vltsz-

gek miatt 42.

45. Egy tglalapban az tlk 50-os szget zrnak be egymssal. Mekkork az tl s az

oldalak hajlsszgei?

Megolds: 65 s 25.


46. Egy deltoidban a kt szemkzti szg 36 s 138. Mekkora a tbbi szg, s mekkora

szgeket zrnak be az tlk az oldalakkal?

Megolds: Az bra elksztse utn a derkszg hromszgek

szgeivel szmolva a kvetkez eredmnyeket kapjuk:

93, 93, 18, 69, 72, 21.

47. Egy tszgben legfeljebb hny konkv szg lehet? s

egy hatszgben? Kszts rajzot is!

Megolds: A konvex sokszgek bels szgsszegre

vonatkoz ttelt a konkv sokszgek esetn is

hasznlhatjuk. Hrom konkv szg sszege

540-nl tbb, de egy tszgben a bels sz-

gek sszege ( ) = 5401802n . Ezrt legfel-jebb kt konkv szg lehet egy tszgben.

Hatszgben mr lehet hrom konkv szg is, annl tbb nem.

Mintaplda3

Vlaszoljunk a kvetkez krdsekre!

a) Melyik ngyszgben felezik az tlk a szgeket?

b) Melyik ngyszgben felezik egymst merlegesen az tlk?

c) Melyik ngyszgekben felezik egymst az tlk?

Megoldsok:

a) Deltoidban a szimmetriatl; rombuszban, ngyzetben mindkt tl.

b) Deltoidban, s mindenben, ami deltoid: rombuszban, ngyzetben.

c) Mindenben, ami paralelogramma: ltalnos paralelogrammban, tglalapban, rom-

buszban, ngyzetben. Azaz a kzppontosan szimmetrikus ngyszgekben.


Tpushiba, hogy a trapzt mondjk. Pedig ott az alapok arnyban osztjk egymst az tlk.


Mintaplda4

Szerkessznk trapzt, ha adottak az oldalai: az alapok 16 cm s 6 cm, a szrak 6 cm s 8 cm.

Megolds:

Elszr rajzoljuk meg azt a hromszget,

(ABD) amelynek alapja 16 6 = 10 (cm) s

oldala a trapz kt szrval egyezik meg!

Ezutn hoszabbtsuk meg a hromszg alapjt

16 cm hosszra (B pont), majd hzzunk ezzel prhuzamost a D ponton keresztl, s

mrjnk fel erre 6 cm-t (C pont). Az ABCD ngyszg a keresett trapz.

A konvex sokszgek terlete

A konvex sokszgek terletnek kiszmtst visszavezetjk a hromszgek terletnek ki-szmtsra: egy cscsbl kiindul tlkkal hromszgekre

bontjuk a sokszget, ezeknek a terleteit kiszmoljuk, majd

sszeadjuk.

Mintaplda5

Szmtsuk ki az brn tallhat ngyszg terlett, ha a ngy-

zetrcs egysgnyi oldal ngyzetekbl ll!

Megolds:

Kt hromszgre bontjuk a ngyszget, s kln szmol-

juk a terleteket:

T = T1 + T2 + T3 + T4 + T5


.5,6)1043(2115

,522141

2131

2135

1

1

=++=

++=

T

T

.5,10)8910(2124

,812133

2152

2138

2

2

=++=

++=

T

T

T = T1 + T2 = 17 terletegysg.

A specilis ngyszgek terletei

Deltoid terlete: a kt tl szorzatnak a fele: 2

feT = , ahol e s f a deltoid tli. Hasonlan szmthatjuk ki a rombusz s a ngyzet terlett, hisz azok is deltoidok.

Trapz terlete: a prhuzamos oldalak sszegnek a felt szorozzuk

a trapz magassgval: mcaT +=2

.

Paralelogramma terlete: az oldal s a hozz tartoz magassg szorzata: amaT =

Tglalap terlete:, vagyis kt szomszdos oldalnak szorzata: baT = .

Ngyzet terlete: a kt oldal hossznak szorzata: 2aT = . (Kiszmthat 2

2dT = kplet-tel is, ahol d a ngyzet tlja.)


48. Szmtsd ki az brn lthat sokszgek terleteit rcsegysgben(a kis ngyzetek

oldalhossza 1 egysg)!

Megolds: a) 20; b) 14; c) 32; d) 14; e) 27,5; f) 15; g) 33,5.

49. Rajzold le, hogyan lehet tdarabolssal kszteni

a) deltoidbl tglalapot; b) paralelogrammbl tglalapot;

c) trapzbl tglalapot; d) trapzbl paralelogrammt.

Megolds:

a) b)


c) d)

50. Hatrozd meg a deltoid terlett, ha a hosszabb tlja 20 cm, amit a 8 cm-es msik tl

1 : 3 arnyban oszt!

Megolds: 80 cm2.

51. Tltsd ki a tblzatot, amelyben a s b a tglalap szomszdos oldalai, K a kerlete, T a

terlete!

Megolds:

52. Egy trapz alapjai 14,6 cm, illetve 63 mm, a magassga 5 cm. Mekkora a terlete?

Megolds: 52,25 cm2.

53. Egy trapz terlete 40 cm2, magassga 40 mm, egyik alapja 12 cm. Mekkora a msik

alapja?

Megolds: 8 cm.

a b K T

3 cm 5 cm

400 cm 20 m

0,03 m 11,3 cm

430 cm 25,37 m2

a b K T

3 cm 5 cm 16 cm 15 cm2

400 cm 6 m 20 m 24 m2

2,6 cm 0,03 m 11,2 cm 7,8 cm2

430 cm 5,9 m 20,4 m 25,37 m2


54. Egy trapz alapjai 10 cm, illetve 16 cm. A hosszabb alapon fekv szgei 60-osak.

Mekkora a kerlete?

Megolds: A magassgot behzva a kapott hromszg ki-

egszthet szablyos hromszgg, amelynek oldal-

hossza 6 cm. gy a kerlet az oldalak sszegbl

38 cm.

55. Az brn lthat ngyzetet 90 fokkal az ramutat jrsval

megegyez irnyba elforgatjuk a kzppontja krl.

Melyik bra mutatja az elforgats eredmnyt?

MA03501

Megolds: B.

56. Egy trapz alak terem mretei: derkszg szra 6 m, alapjai

8 m s 14 m.

a) Szmtsd ki, hny mter sznyegpadlt kell vsrolni

a terem lefedshez, ha a sznyegpadlt 3 mter

szlessgben ruljk!

b) Hny csomag parkettt kell vsrolni, ha a termet

parkettzni akarjk? A parketta szlnak mretei

1380 mm 195 mm, tovbb 10 szl van egy csomagban, s a parkettaszlakat az alapokkal prhuzamosan rakjk le, tovbb +10%-ot akarnak vsrolni tartalkba.


Megolds:

a) A szobba az adatok alapjn a sznyegpadl kt cskban helyezhet el, gy a teljes le-

fedshez 2k = 22, azaz 22 m hossz sznyegre van szksg.

b) A parkettt az egyszersg kedvrt rdemes terlettel szmolni, ezt a +10% is meg-

engedi. A terem terlete 14 8 6 662+ = m2, egy szl terlete 1,38 0,195 = 0,2691 m2. A

kett hnyadosa 245,26, ami azt jelenti, hogy 24,6 1,1 = 27 csomaggal vsroljunk

parkettt.

Megjegyzs: ha nem terlettel szmolunk, marad a sorozattal vagy a prblgatssal val

megolds.

57. Hny szzalka a sznezett rsz terlete a nem sznezett rsz terletnek, illetve az

egsz skidom terletnek?

Megolds:

A kk s az egsz terletnek arnya: a) 12,5% 18

; b) 44,4% 49

; c) 25%

41 ;

d) 66,7 %

32 ; e) 66,7%

32 . A kk s a fehr arnya: a) 14,3%

71 ; b) 80%

54 ;

c) 33,3%

31 d) 200% (2); e) 200% (2).

Mdszertani megjegyzs: A sokszgek feldolgozst a specilis ngyszgekkel kapcsolatos

15.4 feladatlappal zrjuk. Minden csoport kap egy tesztet. A teszt rtkelse az id s a tal-

latok alapjn trtnik.


15. 4 feladatlap:

Egsztsd ki a meghatrozst a megfelel specilis ngyszg nevvel!

Megoldsok: 1: trapz; 2: deltoid; 3: derkszg trapz; 4 5: szimmetrikus trapz; 6 7:

paralelogramma; 8 10: tglalap; 11 14: rombusz; 15 19: ngyzet.


V. A kr s rszei

Foglaljuk ssze, mit tudunk a krrl!

A krvonal minden pontja egyenl tvol van a kr

kzppontjtl. Ez a tvolsg a sugr, jele: r.

A krvonal kt pontjt sszekt szakasz a kr hrja (h).

A kr leghosszabb hrja a kr tmrje, jele: d.

Mintaplda6

Szerkesszk meg egy kr kt hrjnak felezmerlegest!

Mit tapasztalunk?

Megolds:

A kt hr felezmerlegesei a kr kzppontjban metszik

egymst.

Ez ltalnosan is igaz: a kr kt egymssal nem prhuzamos

hrjnak felezmerlegese a kr kzppontjban metszi egymst.

Ezzel a mdszerrel meg tudjuk keresni brmely kr kzppontjt.

Innen kvetkezik az is, hogy minden hromszg oldalfelez me-

rlegesei egy pontban, a kr rhat kr kzppontjban tallkoz-

nak.

A kr kerlete a krvonal hossza,

a kr terlete a krvonal ltal hatrolt skrsz terlete.

A jl ismert kpletek szerint:

A kr kerlete: rK 2= .

A kr terlete: 2rT = .


Mintaplda7

Szmtsuk ki a kvetkez skidom terlett s kerlett, ha a = 12 cm!

Megolds:

A skidom klnbz sugar, 6 cm, 12 cm s 24 cm sugar fl-

krkbl tevdik ssze. A terlet kiszmtsakor figyelembe

vesszk, hogy tdarabolssal a legnagyobb flkr kiegszthet a

legkisebbel, vagyis a skidom terlete:

11312

122

24 22 += T cm2.

A kerletnl flkrvek hosszval szmolunk: =++=2

1222622

2242 K

8,150= cm.

58. Mekkora annak a krnek a sugara, amelynek kerlete

a) 628 cm; b) 100 cm; c) 893 m; d) 75 dm ?

Megolds: a) 100 cm; b) 15,92 cm; c) 142,19 m; d) 11,94 dm.

59. Mekkora a kr kerlete, ha terlete

a) 200 cm2; b) 2,85 dm2; c) 300 m2; d) 0,256 m2 ?

Megolds: a) 50,1 cm; b) 5,98 dm; c) 61,4 m; d) 1,79 m.

60. Szmtsd ki az brn lthat skidom hinyz adatait! Egy tglalapot flkrkkel eg-

sztettek ki. T jelenti az egsz skidom terlett, K az egsz kerlett.

K T d s a) 5 cm 15 cm

b) 300 cm2 10 cm

c) 170 m 25 m

d) 400 m 100 m


Megolds:

61. Szmtsd ki a sznezett rszek terlett s kerlett (a = 30 mm)!

a) b) c)

Megolds: a) T=1413,7 mm2, K=248,50 mm; b) T=2827,4 mm2, K=496,99 mm;

c) T=2827,4 mm2, K=376,99 mm.

62. Egy kr alak udvar kzepre egy szobrot akarnak lltani. Hogyan keressk meg az

udvar kzppontjt?

Megolds:

Kihasznljuk, hogy a hr felezmerlegese tmegy a kr kzppontjn. Kijellnk 3

pontot az udvar hatrn, ezeket sszektjk egy ktllel, gy, hogy megkapjuk a kr kt

hrjt. Ezek felezpontjban leszrunk egy-egy cveket ezekhez is ktnk egy-egy k-

telet. Ezeket a hrokra merlegesen kifesztjk. (A derkszget egy tglalap alak do-

boz segtsgvel kzelten meghatrozhatjuk) Ahol a kt ktl vonala metszi egymst,

ott lesz a kr kzppontja

K T d s a) 45,7 cm 94,6 cm2 5 cm 15 cm

b) 75,7 cm 300 cm2 10 cm 22,2 cm

c) 170 m 2100 m2 38,2 m 25 m

d) 400 m 9550 m2 63,69 m 100 m


A kr rszeinek elnevezse

A kvetkez brk a kr rszeinek gyakorlati felhasznlsbl mutatnak pldkat.

A htkznapi letben sok helyen alkalmazzk a kr rszeit:

a gumi- s betongyrk, csvek keresztmetszete krgyr alak; a krgyrcikket az ptszetben: a megfelelen faragott kvekbl sszelltott bol-

tozat akr ktanyag nlkl is megtart falakat (pldul korai gtikus pletekben), hi-

dakat, fdmeket.

A kr rszeivel kapcsolatban az albbi elnevezseket hasznljuk:

kzpponti szg ( ), krcikk (i a krv hossza), krgyr (R1 a bels, R2 a kls kr sugara), krgyrcikk, krszelet.


2riTkrcikk= Tkrszelet = Tkrcikk Thromszg Tkrgyr = ( )2122 RR

szogparak

Documents