světlo v izotropním látkovém prostředí a na...

Učební text k přednášce UFY102 Fresnelovy vzorce a jevy na rozhraní dvou prostředí I

Světlo v izotropním látkovém prostředí a na rozhraní

izotropní bezztrátové dielektrikum je charakterizováno skalární permitivitou 0 rε ε ε= a

permeabilitou 0 rμ μ μ= (kde 1rμ = pro nemagnetické a slabě magnetické materiály –

s výjimkou feromagnetik)

c → 1vεμ

=

zavádíme index lomu n rcnv

ε≡ = (1)

kde rε je statická dielektrická konstanta

plyny při 0°C a 1 atm

látka (εr)1/2 n

vzduch 1,000294 1,000293

helium 1,000034 1,000035

vodík 1,000131 1,00045

oxid uhličitý 1,00049 1,00045

kapaliny při 20°C

látka (εr)1/2 n

benzen 1,51 1,501

voda 8,96 1,333

etanol 5,08 1,361

CCl4 4,63 1,461

CS2 5,04 1,628

pevné látky za pokojové teploty

látka (εr)1/2 n

diamant 4,06 2,419

jantar 1,6 1,55

tavený křemen 1,94 1,458

NaCl 2,37 1,50

pozn. n bylo měřeno při λ =589,29 nm

Jak je patrné z tabulky, vztah (1) platí pouze v případě jednoduchých plynů. Neplatnost tohoto

jednoduchého stavu je důsledkem závislost rε a tudíž i n na frekvenci – tento jev nazýváme

disperze.

1


Odvození zákona odrazu a lomu z Huygensova principu

Z obrázku je zřejmé, že

ni

odražená vlna dopadající vlna

nt

prošlá vlna

Σt

D

E

β

B

A

CΣi Σr

αi αr

sin sin sin 1i r

BD AC AE ADα α β

= = =

a iBD v t= iAC v t= tAE v t=

Dosazením dostáváme

sin sin sini r

i iv v vt

α α β= =

Levá část tohoto výrazu vyjadřuje zákon odrazu: úhel dopadu je roven úhlu odrazu

i rα α=

Rovnost prvního a posledního členu vyjadřuje zákon lomu (Snellův zákon)

sin sini

i tv vα β

=

a protože i t

t i

v nv n

=

sin sini i tn nα β=

2


Fresnelovy vzorce

Obr. Fr-1. Vlny na rozhraní mezi dvěma homogenními isotropními bezztrátovými dielektriky.

rovina dopadu

x

z

y

iE

ik iE⊥

rk rE

E r⊥

tE tE⊥

tk

iα rα

β

rovina dopadu

rozhraní

y

tk tH⊥

iH⊥ ik

iHrk

rH⊥

rH

tH

iα rα

β

rozhraní

nt

ni

nt

ni

x

z

3


rozhraní mezi dvěma homogenními isotropními bezztrátovými dielektriky – rovina (xy) –

(viz obr. Fr-1)

rovina dopadu – rovina (xz) -je určena dopadajícím paprskem a kolmicí dopadu

vektory tvoří pravotočivý systém ! , , k E H

( ) ( ) ( )0 0 0 0

1 1 1 1 1 1kH B s E k E k Ev kμ μ μ ω μ ω

= = × = × = ×

( ; kv sk kω

= = )

Index lomu n cnv

≡

Složka leží v rovině dopadu; naopak složka E (0

1H kμ ω

= × )E je kolmá k rovině dopadu.

Složka E⊥ je kolmá k rovině dopadu; naopak složka (0

1H kμ ω )E⊥ ⊥= × leží v rovině

dopadu.

Parametry vln:

vlnové vektory

sin

0cos

i

i i

i

k nc

αω

α

⎛ ⎞⎜= ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟⎟

sin0

cos

r

r i

r

k nc

αω

α

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

sin

0cos

t tk nc

βω

β

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

amplitudy elektrické složky pole

0

cos

sin

ii

i i

ii

EE E

E

α

α⊥

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

0

cos

sin

rr

r r

rr

EE E

E

α

α⊥

⎛ ⎞−⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

0

cos

sin

t

t t

t

EE E

E

β

β⊥

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

amplitudy magnetické složky pole ( H k E×∼ )

00

0

cos

sin

i

i ii

i

EH n E

E

αεμ

α

⊥

⊥

⎛ ⎞−⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

00

0

cos

sin

r

r ri

r

EH n E

E

αεμ

α

⊥

⊥

′⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟′⎝ ⎠

00

0

cos

sin

t

t tt

t

EH n E

E

βεμ

β

⊥

⊥

⎛ ⎞−⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(neboť 00 0

0 0 0

1 1 1k n n nc 0

εω ε μμ ω μ ω μ μ

= = = ).

Dopadající rovinná harmonická vlna ( )0

i ii t k ri iE E e ω −=

Předpokládáme, že amplituda je konstantní (nezávislá na čase), tj. vlna je lineárně

polarizovaná. Tento předpoklad není omezující, neboť libovolná polarizace vlny může být

vyjádřena pomocí dvou ortogonálních lineárně polarizovaných vln.

0iE

4


Odražená vlna ( )0

r ri t k rr rE E e ω −=

Prošlá (lomená) vlna ( )0

t ti t k rt tE E e ω −=

Z Maxwellových rovnic plynou hraniční podmínky, které musí být splněny při průchodu

rozhraním – spojitost tangenciálních složek E i H , jinak řečeno tangenciální složky (resp.

) na jedné i druhé straně rozhraní musí být stejné. Označíme-li

E

H nu jednotkový vektor

kolmý na rozhraní, potom můžeme tuto podmínku vyjádřit takto

i rn n nu E u E u E× + × = × t

nebo-li

( ) ( ) ( )0 0 0i i r r t ti t k r i t k r i t k ri r tn n nu E e u E e u E eω ω− −

× + × = ×ω −

Tento vztah musí být splněn v každém časovém okamžiku a v každém bodu rozhraní

(v našem případě z = 0). Čili , i iE rE tE musí být stejným způsobem závislé na proměnných

t a , tedy r

( ) ( ) ( )0 0

i i r r t tz z

t k r t k r t k rω ω ω= =

− = − = −0z=

To bude splněno pokud bude platit

i r tω ω ω ω= = =

a

( ) ( ) ( )0 0

i r tz z

k r k r k r= =

= =0z=

První vztah vede k podmínce

( )0

0i rz

k k r=

⎡ ⎤− =⎣ ⎦

Tato podmínka znamená, že ( je rovnoběžné s )i rk k− nu (neboť polohový vektor leží

v rovině rozhraní, tedy ( nemá žádnou složku v rovině rozhraní, čili

r

)

r

r

i rk k−

( ) 0n i ru k k× − =

Protože ale (dopadající i odražená vlna se šíří ve stejném prostředí) dostáváme

z podmínky rovnosti tangenciálních složek

ik k=

sin sini i rk kα α=

zákon odrazu i rα α= (úhel odrazu se rovná úhlu dopadu).

Analogicky

( )0

0i tz

k k r=

⎡ ⎤− =⎣ ⎦

5


tedy i ( )i tk k− je kolmý k rozhraní a tedy vlnové vektory ik , rk a tk jsou koplanární (leží

v rovině kolmé na rozhraní – v rovině dopadu). Z podmínky rovnosti tangenciálních složek

sin sini i tk kα β=

Po vynásobení /c ω dostáváme zákon lomu (Snellův zákon)

sin sini i tn nα β=

Z podmínky pro spojitost tangenciálních složek na rozhraní tedy pro x-ovou a y-ovou složku

elektrické intenzity dostaneme

cos cos cosi r tE E Eα α− = β

t⊥

(1)

(2) i rE E E⊥ ⊥+ =

a pro x-ovou a y-ovou složku magnetické intenzity

cos cos cosi r ti i tn E n E n Eα α β⊥ ⊥ ⊥− + = − (3)

(4) i ri i tn E n E n E+ = t

Máme tedy dvě dvojice rovnic – (1) a (4) pro složky a (2) a (3) pro ⊥ složky. Rovnice

budeme řešit pro amplitudu odražené a prošlé vlny v závislosti na amplitudě dopadající vlny.

Ze vztahu (4) vyjádříme ( )t ii

t

n rE E En

= + a dosadíme do (1)

( )cos cos cosi r i ri

t

nE E E En

α α β− = +

a odtud snadnou úpravou dostáváme Fresnelův vzorec pro amplitudový koeficient odrazivosti

r

cos coscos cos

rt i

it i

E n nrE n n

α βα β

−≡ =

+ (Fr1)

Analogicky vyjádřením rE ze (4) a dosazením do (1) získáme Fresnelův vzorec pro

amplitudový koeficient propustnosti t

2 coscos cos

ti

it i

E ntE n n

αα β

≡ =+

(Fr2)

Analogickým postupem lze ze vztahů (2) a (3) odvodit Fresnelovy vzorce pro amplitudové

koeficienty a t r⊥ ⊥

cos coscos cos

ri t

ii t

n nErE n n

α βα β

⊥⊥

⊥

−≡ =

+ (Fr3)

6


2 coscos cos

ti

ii t

nEtE n n

αα β

⊥⊥

⊥

≡ =+

(Fr4)

S využitím zákona lomu lze Fresnelovy vzorce upravit ještě do jiného tvaru:

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

sincos cos cos coscos cos sin cos sin cossin

sincos cos sin cos sin coscos coscos cossin

sin cos sin cos sin cos sin cos

sin cos sin cos sin cos si

t

t i i

tt i

i

nn n nr nn n

n

αα β α βα β α α β ββ

αα β α α β βα βα ββ

β β α α α α β β

β β α α α α

− −− −

= = = =+ −++

+ − +=

+ − +

=

( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

n cos

cos cos sin sin sin cos sin cos cos sin tgcos cos sin sin sin cos sin cos cos sin tg

β β

α β α β α β β α α β α β α βα β α β α β β α α β α β α β

=

− − + −= =

+ + − +−

=+

( )( )

cos cossincos cos sin cos sin cos

cos cos sin cos sin cos sincos cos

t

i t i

ti t

i

nn n nr nn n

n

α βα βα β β α α β

α β β α α βα β⊥

−−− −

= = = =+ ++ α β+

( )

( ) ( )

2 cos 2cos 2cos sin 2cos sin1cos cos sin cos sin cos sin 2 sin 2cos cos2

2cos sinsin cos

i

tt i

i

nt nn nn

α α α β α βα β α α β β α βα β

α βα β α β

= = = =+ + ++

=+ −

=

( )1

21 2

1

2 cos 2cos 2sin cos 2sin coscos cos sin cos sin cos sincos cos

nt nn nn

α α β α β αα β β α α βα β

⊥ = = = =+ ++ α β+

Při odvození byly použity součtové věty pro goniometrické funkce:

( )sin sin cos sin cosα β α β β± = ± α

( )cos cos cos sin sinα β α β α± = ∓ β

sin 2 2sin cosα α α=

sin sin 2sin cos2 2

α β αα β β+ −+ =

7


Fresnelovy vzorce pro amplitudové koeficienty lze tedy shrnout do následujících vztahů:

( )( )

tgcos coscos cos tg

rt i

it i

E n nrE n n

α βα βα β α β

−−≡ = =

+ + (Fr1)

( ) ( )

2 cos 2cos sincos cos sin cos

ti

it i

E ntE n n

α α βα β α β α

≡ = =+ + β−

(Fr2)

( )( )

sincos coscos cos sin

ri t

ii t

n nErE n n

α βα βα β α

⊥⊥

⊥

−−≡ = = −

+ + β (Fr3)

( )

2 cos 2sin coscos cos sin

ti

ii t

nEtE n n

α β αα β α

⊥⊥

⊥

≡ = =+ + β

(Fr4)

Pozn. 1: Směry (nebo lépe řečeno fáze) vektorů iE , rE i tE byly zvoleny do jisté míry

arbitrárně a znaménka ve Fresnelových vzorcích uvedených výše odpovídají této volbě.

Literatura není v tomto jednotná a lze v ní najít i vzorce s odlišnými znaménky, což je ale

způsobeno jinou volbou počátečních směrů vektorů iE , rE i tE .

Pozn. 2: Pro k rovině dopadu se někdy v literatuře používá označení transverzální

elektrická (TE) polarizace a pro

iE ⊥iH ⊥ k rovině dopadu se používá označení transverzální

magnetická (TM) polarizace. Amplitudové koeficienty odrazivosti se potom označují jako sr

a pr

rr

s iTE

EErE E

⊥⊥

⊥

⎡ ⎤≡ ≡⎢ ⎥

⎣ ⎦r≡ tzv. s-polarizace ( ⊥ k rovině dopadu)

rr

p iTM

EErE E

⎡ ⎤≡ ≡⎢ ⎥

⎣ ⎦r≡ tzv. p-polarizace (v rovině dopadu)

Fyzikální důsledky vyplývající z Fresnelových vzorců

Pro kolmý dopad ( )0α =

( ) ( ) 00t i

t i

n nr rn n αα ⊥ ==

−= = −

+

Konkrétně pro rozhraní vzduch ( )1in = sklo ( )1,5tn = dostáváme ( ) ( ) 000,2r r

αα ⊥ === − = .

Je-li , tedy pro tzv. vnější odraz, potom ze zákona lomu bude tn n> i α β> a tudíž pro

libovolný úhel dopadu α bude r (viz obr. Fr-3). 0⊥ <

Z Fresnelova vzorce (Fr1) pro je zřejmé, že r 0r = pro takový úhel dopadu Bα , pro který je

splněna podmínka

8


( )tg Bα β+ = ∞ a tedy 90Bα β+ = ° ,

tj. odražený a lomený paprsek jsou navzájem kolmé. Úhel Bα se označuje jako Brewsterův

úhel (nebo též polarizační úhel). Ze zákona lomu potom dostáváme

( )sin sin sin 90 cosi B t t B tn n n n Bα β α= = ° − = α

a tedy tg tB

i

nn

α = , respektive arctg tB

i

nn

α =

Tento vztah vyjadřuje tzv. Brewsterův zákon.

Bude-li úhel dopadu Bα α= , potom bude 0r = a tedy 0r iE r E= =

a v odraženém světle bude přítomna pouze složka rE⊥ . Světlo odražené pod Brewsterovým

úhlem bude tedy lineárně polarizované v rovině kolmé k rovině dopadu. Prošlé záření bude

polarizované částečně.

Obr. Fr-2. Odraz na rozhraní vzduch sklo při dopadu pod Brewsterovým úhlem.

Pro rozhraní vzduch-sklo nabývá Brewsterův úhel hodnotu

1,5arctg arctg 56,31

tB

i

nn

α = = ≅ °

Pro úhly dopadu Bα α< bude , zatímco pro úhly dopadu 0r > Bα α> bude . Pro úhel

dopadu

0r <

90α = ° (tečný dopad) bude

( ) 90

cos 1cosi

i

nrnα

ββ= °

−= = − ( ) 90

cos 1cosi

i

nrnα

ββ⊥ = °

−= = − .

Pokud jde o koeficienty propustnosti, v případě kolmého dopadu ( )0α = bude

( ) ( ) 00

2 i

i t

nt tn n αα ⊥ ==

= =+

ni

nt

Bα Bα

β

90°

⊥⊥ záření úplně

polarizované

záření částečně polarizované

9


Z (2) ⇒ i rE E E⊥ ⊥+ = t⊥ 1

r t

i

E EE Ei

⊥ ⊥

⊥ ⊥

+ = ⇒ 1 pro t r α⊥ ⊥− = ∀

(nebo jinak 2 cos cos cos cos cos 1cos cos cos cos cos cos

i i t i t

i t i t i t

n n n n nn n n n n n

α α β α βα β α β α β

− +− =

+ + += ),

ale pouze pro 1t r+ = 0α = !!!

Je-li , tedy pro tzv. vnitřní odraz, potom ze zákona lomu bude tn n< i α β< a tudíž pro

libovolný úhel dopadu α bude ( )( )

sin0

sinr

α βα β⊥

−= − >

+ a r⊥ poroste od počáteční

hodnoty ( ) 00i t

i t

n nrn nα⊥ =

−=

+> až k hodnotě 1r⊥ = pro mezní úhel mα .

Pro úhel dopadu mα α= bude úhel lomu 90β = ° a tedy ze zákona lomu vyplývá, že

sin tm

i

nn

α =

Pro úhly dopadu mα α> nastává totální (úplný) odraz.

Například pro rozhraní sklo-vzduch bude 1arcsin arcsin 41,81,5

tm

i

nn

α = = ≅ ° .

Pro kolmý dopad bude ( ) 00t i

t i

n nrn nα =

−=

+< . Z Fresnelova vzorce (Fr1) pro je zřejmé, že i

pro vnitřní odraz bude pro úhel dopadu

r

0r = Bα′ (Brewsterův úhel) splňující podmínku

( )tg Bα β′ + = ∞ a tedy 90Bα β′ + = ° .

Pro rozhraní sklo-vzduch nabývá Brewsterův úhel hodnotu

1arctg arctg 33,71,5

tB

i

nn

α = = ≅ °

Je zřejmé, že pro danou dvojici prostředí platí, že 1tgtgB

B

αα

=′

, a tedy

sin coscos sin

B

B B

Bα αα α

′=

′ ⇒ ( )sin sin cos cos cos 0B B B B B Bα α α α α α′ ′ ′− = + =

⇒ 90B Bα α′+ = ° tedy tyto úhly jsou doplňkové.

Průběh amplitudových koeficientů propustnosti a odrazivosti pro rozhraní vzduch-sklo (vnější

odraz) respektive sklo-vzduch (vnitřní odraz) je znázorněn na obr. Fr-3.

10


Vnější odraz (ni < nt)

úhel dopadu (deg)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

poměr

am

plitu

d

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r//

t//

r⊥

t⊥

Vnitřní odraz (ni > nt)

úhel dopadu (deg)

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

poměr

am

plitu

d r⊥αΒ

α´Βr//

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

αm

t

Obr. Fr-3. Průběh amplitudových koeficientů odrazivosti a propustnosti v závislosti na úhlu dopadu pro rozhraní vzduch-sklo (vnější odraz, ) a pro sklo-vzduch (vnitřní odraz, ). 1, 1, 5i tn n= = 1, 5 , 1i tn n= =

Fázové posuvy

Je-li (odraz na opticky hustším prostředí) potom in n<( )( )

sin0

sinr

α βα

α β⊥

−= − <

+∀

Kdybychom v obr. Fr-1 zvolili opačný směr rE⊥ , dostali bychom ve vztahu (Fr3) kladné

znaménko. Znaménko v tomto vztahu souvisí s relativními směry iE⊥ a rE⊥ . Změna znaménka

a tedy směru o 180° je rovnocenná fázovému posuvu o π ( cos sin 1ie iπ π π= + = − ). Na

rozhraní budou iE⊥ a rE⊥ antiparalelní a tedy fázově posunuté o π (paralelní ⇒ ve fázi,

antiparalelní ⇒ v protifázi). Při odrazu na opticky hustším prostředí dochází u složky

polarizované kolmo k rovině dopadu ke změně fáze o π ( ϕ π⊥Δ = )! Naopak t a jsou

kladné v celém rozsahu úhlu dopadu a tedy k fázovému posuvu nedochází. Při odrazu na

opticky řidším prostředí, kdy je , k fázovému posuvu kolmé složky nedochází

(

t⊥

in n> t

0ϕ⊥Δ = ).

Méně zřejmá je situace pro , a iE rE tE , jež jsou koplanární ale nikoli kolineární. V tomto

případě řekneme, že dva vektory jsou ve fázi, pokud jejich z-ové komponenty jsou paralelní ,

a naopak v protifázi, pokud jsou jejich z-ové komponenty jsou antiparalelní. Jsou-li totiž dvě

pole v protifázi, potom s nimi sdružená pole E H budou rovněž v protifázi (jedno bude

mířit před rovinu nákresny a druhé za ni) – a vice versa (viz obr. Fr-4).

11


Obr. Fr-4. Orientace polí a fázové posuny. (a) iE⊥

a rE⊥

jsou v protifázi ( iE⊥

míří za nákresnu, před nákresnu), a

proto

rE⊥

iH⊥

a rH⊥

jsou v protifázi. (b) iH a rH jsou ve fázi ( iH i rH míří za nákresnu), proto a jsou ve fázi. iE rE

Amplitudový koeficient odrazivosti pro rovnoběžnou složku daný výrazem

cos coscos cos

rt i

it i

E n nrE n n

α βα β

−≡ =

+

bude kladný ( 0ϕΔ = ), pokud

cos cos 0t in nα β− >

tedy (dosazením ze zákona lomu) pokud

sin cos sin cos 0α α β β− >

Tento výraz lze upravit do tvaru

( ) ( )sin cos 0α β α β− + >

t

Tato podmínka bude splněna v případě vnějšího odrazu ( in n< , tedy α β> ), jestliže

2πα β+ < čili pro Bα α<

a při vnitřním odrazu ( , tedy in n> t α β< ) , jestliže

2πα β+ > čili pro Bα α>

Potom při vnějším odrazu budou složky iE a rE pro Bα α< ve fázi ( 0ϕΔ = ) a pro Bα α>

v protifázi ( ϕ πΔ = ). Přechod ve skutečnosti není nespojitý, neboť pro Bα α= je nulové.

Naopak při vnitřním odrazu je záporné pro

rE

r Bα α′< a tedy ϕ πΔ = . Pro B mα α α′ < < je

kladné a tedy

r

0ϕΔ = . Pro mα α> se stane r komplexní a ϕΔ postupně poroste až k

hodnotě π pro 90α = ° . Tyto závěry jsou shrnuty na obr. Fr-5.

ik

rk

tk

tH⊥

iHrk ⊥

iErE

⊥ ⊥

rH⊥ x

z z

xtE⊥

iE

iH rH

rE ik

tH tE

tk

12


úhel dopadu

0 20 40 60 80

fázo

vý p

osuv

Δϕ ⊥

0

π

úhel dopadu

0 20 40 60 80

fázo

vý p

osuv

Δϕ /

/

0

π

Vnější odraz (ni < nt)

Obr. Fr-5. Fázové posuvy kolmé a rovnoběžné složky pole E pro vnější odraz na rozhraní vzduch-sklo.

13

světlo v izotropním látkovém prostředí a na...

Documents