sveuČiliŠte u zagrebu · web viewindeksni modeli nastoje odrediti kretanje prinosa na neku...
TRANSCRIPT
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
EKONOMSKI FAKULTET U ZAGREBU
POSLIJEDIPLOMSKI STUDIJ "OPERACIJSKA ISTRAŽIVANJA"
Hrvoje Volarević
Optimizacija investicijskog portfolia
primjenom moderne portfolio teorije
Magistarski rad
Mentor: doc.dr.sc. Višnja Vojvodić Rosenzweig
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Zagreb, 2002. godina
1. Uvod
Odabirom teme ovog magistarskog rada ostvarila se moja namjera da što kvalitetnije
pridonesem daljnjoj analizi pojedinih segmenata financijskog tržišta vrijednosnih
papira koje je u ovom trenutku u našoj zemlji još uvijek nedovoljno razvijeno. S
obzirom na trend kretanja svjetskih financijskih tokova, na primjenu novih izvedenica
vrijednosnih papira te na razvoj novih tehnologija u svijetu, neophodno je da i naše
tržište vrijednosnih papira ide u korak s vremenom. Kako bi dobio što kvalitetnije
empirijske rezultate, koristio sam dostupne podatke sa svjetskih tržišta vrijednosnih
papira (radi se o američkim državnim obveznicama). Razlog tome je što nisam bio u
mogućnosti pribaviti adekvatne podatke na domaćem tržištu vrijednosnih papira zbog
trenutno malih vremenskih serija podataka i nedovoljnog broja emitiranih obveznica s
obzirom na rok dospijeća.
Postavljanjem temeljnih zadataka u ovom radu, definirao sam na koji način je bilo
moguće iz raspoložive literature i dostupnih podataka odrediti najvažnije pretpostavke
i zaključke relevantne za odabranu temu. Njih je trebalo potvrditi i dokazati
primjenom postavljenog matematičkog modela, te ih nakon toga i upotrijebiti na
praktičnim primjerima. Metode kojima sam se služio u takvome modelu pripadaju
znanstvenom području operacijskih istraživanja s posebnim naglaskom na predmete
kao što su višekriterijsko modeliranje i matematičko programiranje (linearno i
nelinearno). Konačna rješenja ovog matematičkog modela sam dobio primjenom
računala i raspoloživog softvera za izračunavanje potrebnih parametara (Microsoft
Excel - Solver), čime sam uspio znatnije ubrzati empirijski dio analize odabranog
portfolia investicija.
Osnovni tekst ovog magistarskog rada u kojem se obrađuje naslovna tema se sastoji
od četiri poglavlja (uvodno poglavlje je prvo, a zaključno poglavlje šesto po redu):
U drugom poglavlju je dan kratki uvod u vrijednosne papire i teorije tržišta kapitala.
Posebno sam se osvrnuo na tržišne indekse i tipove vrijednosnih papira na tržištu, kao
i na vrste teorija tržišta kapitala, s izuzetkom moderne portfolio teorije o kojoj je bilo
više govora u slijedećem poglavlju.
1
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
U trećem poglavlju sam se isključivo bavio modernom portfolio teorijom pomoću
koje sam odredio efikasni investicijski portfolio. To podrazumijeva da sam definirao
karakteristike portfolia rizičnih investicija i odredio pojam efikasnog portfolia
odnosno efikasne granice. Ovo poglavlje završava dijelom u kojem su pobliže
iznesene matematičke tehnike za izračunavanje efikasne granice.
Četvrto poglavlje se bavi definiranjem optimuma na primjeru efikasnog investicijskog
portfolia. Osvrnuo sam se na dva moguća načina određivanja optimuma: primjenom
teorije korisnosti te mjerenjem performansi portfolia.
I za kraj, u petom poglavlju je izvršena empirijsku analiza na primjeru odabranog
investicijskog portfolia američkih državnih obveznica. Koristio sam jednu od tehnika
za izračunavanje efikasne granice pomoću koje sam definirao odgovarajući
matematički model. Rezultati su dobiveni upotrebom računala i odgovarajućeg
softvera. Završetak magistarskog rada je posvećen analizi optimalnog rješenja te
njegovim implementacijama i modifikacijama korištenih metoda (što podrazumijeva
eventualnu mogućnost primjene drugih tehnika za izračunavanje efikasne granice
odnosno kriterija za pronalaženje optimalnog rješenja).
2
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
2. Kratki uvod u vrijednosne papire i teorije tržišta kapitala
Tema ovog poglavlja je pobliže upoznavanje s najvažnijim financijskim
instrumentima, karakteristikama prinosa koje oni ostvaruju te indeksima koji se
upotrebljavaju u svrhu predočavanja tih istih prinosa. Pod pojmom vrijednosnih
papira (engl. securities) podrazumijevaju se pismene isprave koje pojedincu daju
pravo da u budućnosti primi određeni novčani iznos (ili neku drugu korist) prema
unaprijed dogovorenim uvjetima uz pretpostavku da ih u tom trenutku posjeduje.
Postoji mnogo vrsta vrijednosnih papira. Kada se na primjer kupuje kuća uz hipoteku
ili automobil na 'leasing' tada se takvi potpisani ugovori također podrazumijevaju kao
vrijednosni papiri. Zbog toga valja naglasiti kako se ovaj rad isključivo bavi onim
skupom vrijednosnih papira kojima se trguje na organiziranim tržištima.
Isto tako, u ovom poglavlju je jedan dio razmatranja posvećen i teorijama tržišta
kapitala. One predstavljaju ekonomske teorije koje nastoje objasniti vrednovanje
kapitalne imovine. Takva vrsta imovine se drži dugoročno isključivo radi postizanja
profita koji se mjeri stopom prinosa. To je razlog što i kapitalna imovina ima
ekonomsku vrijednost, kao sadašnju vrijednost očekivanih novčanih tokova. Postoji
više različitih teorija tržišta kapitala koje se spominju u ovome poglavlju s
napomenom da se moderna portfolio teorija, kao glavna tema ovog rada, detaljno
obrađuje u slijedećem poglavlju.
2.1. Vrijednosni papiri
Kada se promatraju vrijednosni papiri kao instrumenti financiranja pod tim se
podrazumijeva da se radi o vrijednosnim papirima kojima poduzeća i druge pravne
osobe prikupljaju dugoročno slobodna (prvenstveno novčana) sredstva za financiranje
svoga poslovanja ili eventualne ekspanzije poslovanja. Za vrijednosne papire se
smatra da su to osnovni instrumenti financiranja dioničkih poduzeća. Zbog
razvijenosti tržišta na kojem se prodaju, karakterizira ih visok stupanj mobilnosti,
odnosno transferabilnosti u novac.
3
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
2.1.1. Tipovi vrijednosnih papira na tržištu
Postoji mnogo načina za kategorizacijama, tj. podjelama vrijednosnih papira na
tržištu koje bi se mogle smatrati relevantnima. Ovdje je predočena podjela koju su
autori Edwin J. Elton i Martin J. Gruber prikazali u svojoj knjizi "Modern Portfolio
Theory and Investment Analysis" 1 prema kojoj se sva financijska imovina dijeli u
dvije osnovne kategorije - direktne i indirektne investicije (Slika 1 u Prilogu).
Ovakva podjela vrijednosnih papira se bazira na pregledu američkog tržišta
financijskih instrumenata koje se uz tržište Europske unije smatra svjetski
najrazvijenijim (stoga je i primjereno za analiziranje).
I) Direktne investicije - podrazumijevaju mogućnost direktne kupnje bilo kojih
vrijednosnih papira od strane određenog investitora. Direktne investicije se mogu
podijeliti prema kriteriju vremenskog horizonta investiranja:
A) Vrijednosni papiri na tržištu novca (engl. Money Market Securities) - to su
kratkoročni dužnički papiri koji se prodaju od strane vlada, financijskih institucija i
korporacija. Njihova važna karakteristika je ta da im je dospijeće u trenutku njihova
izdavanja manje ili jednako godini dana. Minimalna transakcija s instrumentima
tržišta novca je u pravilu velika, najčešće prelazi 100 tisuća američkih dolara.
Najvažniji instrumenti tržišta novca se mogu podijeliti u tri osnovne grupe:
1) Blagajnički zapisi (engl. Treasury Bills) - to su najmanje rizični i najbolje utrživi
instrumenti na tržištu novca. Blagajničke zapise izdaje američka federalna vlada, a
prodaju se u iznosu od najmanje 10 tisuća dolara. Svaki tjedan se izdaju novi
tromjesečni i šestomjesečni blagajnički zapisi, dok se jedanput mjesečno izdaju
godišnji blagajnički zapisi. Prodaju se po diskontnoj vrijednosti, dok se prilikom
dospijeća podmiruju prema nominalnoj vrijednosti. Razlika između nominalne i
diskontne vrijednosti predstavlja diskont odnosno prinos investitora po
blagajničkom zapisu (samo u ovom slučaju se kamatna stopa ne iskazuje
zasebno). 1 Elton, Edwin J. & Gruber, Martin J., "Modern Portfolio Theory and Investment Analysis", 5th edition, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1995, strana 12.
4
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Blagajnički zapisi imaju posebnu ulogu u financijskoj teoriji. Za njih se smatra da
najvjerodostojnije predstavljaju bezrizičnu investiciju. Razlozi tome su njihovo
veoma kratko dospijeće, poznati prinos, trgovanje na aktivnim tržištima te
pretpostavka da nemaju rizik od nepodmirenja obveze. Stopa na 30-dnevni
blagajnički zapis se smatra najprihvatljivijom bezrizičnom mjesečnom kamatnom
stopom.
2) Repo sporazum (engl. Repurchase Agreement) - to je sporazum između
zajmotražioca i posuđivača s ciljem prodaje i ponovne kupnje vrijednosnog papira
kojeg je izdala američka vlada. Zajmotražitelj, a to je najčešće diler 2 vladinim
vrijednosnim papirima, dogovara repo transakciju tako što prodaje vrijednosni
papir posuđivaču po određenoj cijeni, te istovremeno ugovara ponovnu kupnju tog
istog vladinog papira na neki budući datum prema nekoj određenoj cijeni.
Dospijeće repo ugovora je uobičajeno u vrlo kratkom vremenskom roku (manje
od 14 dana) u situacijama kada su prekonoćni (jednodnevni) repo ugovori vrlo
uobičajena pojava. Isto tako, postoje i duži repo ugovori ('terminski repo ugovori')
koji najčešće imaju dospijeće od 30 dana ili eventualno više. Ovakva vrsta
transakcije se za suprotnu stranu (u ovom slučaju posuđivača koji kupuje
vrijednosni papir a zatim ga prodaje nazad) tretira kao 'reverse repo ugovor'.
Razlika između dviju postignutih cijena predstavlja prinos za posuđivača koji se
može definirati i prema izračunatoj razlici između repo i reverse repo stope po
kojima su papiri prodani odnosno kupljeni.
3) Drugi kratkoročni instrumenti (Other Short-Term Instruments) - iako se za sve
kratkoročne instrumente smatra da imaju vrlo mali rizik, među njima postoji
evidentna razlika u ponuđenim prinosima koja se prije svega veže uz tipove
specifičnih institucija koje nude takve instrumente. Najčešći primjer takvih
instrumenata su CD - certifikati o depozitu (engl. Certificates of Deposit) koji
predstavljaju zadužnicu banaka. To je prenosivi vrijednosni papir kojim banke
pribavljaju kratkoročne izvore s najčešćim rokom od nekoliko tjedana. Banka
prodaje CD emitirajući izdanje u velikim iznosima ili ih izdaje na temelju
2 Diler (engl. dealer) je engleski izraz za pojedinca ili firmu koja posluje vrijednosnim papirima u svoje ime i za svoj račun. Diler kupovinom vrijednosnih papira preuzima rizik i stvara vlastiti portfolio.
5
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
depozita. Zbog izrazitog povjerenja u banke emitente i većeg prinosa kojeg nude,
traženi su instrument novčanog tržišta.
Prije kretanja na slijedeću grupu vrijednosnih papira, valjalo bi spomenuti i jedan
drugi važan element tržišta novca koji nije instrument već se radi o kamatnoj stopi.
LIBOR (engl. London Interbank Offered Rate) je kamatna stopa po kojoj najveće
međunarodne banke u Londonu posuđuju novac međusobno (svojim dužnicima iz
redova banaka prvoklasnog kredibiliteta). To je najniža referentna kamatna stopa koja
služi kao standard. Manje kredibilnim bankama ili poslovnim subjektima krediti se
odobravaju dodavanjem kamatne marže, koja je to veća što je kreditni rang
zajmotražioca niži. LIBOR se u ovom slučaju spominje zbog toga što se koristi kao
bazična stopa za određivanje mnogih tipova dugoročnih zajmova čak i na američkom
tržištu (unatoč tome što se radi o stopi londonskih banaka, periodično se određuje za
zajmove izražene u dolarima). Inače je uobičajena praksa na svjetskim financijskim
tržištima da se kamatne stope na dugoročne dužničke instrumente mijenjaju
periodično (samim time primaju karakteristike kratkoročnih instrumenata). Tako
promjenjive stope su obično sastavljene ili od stope blagajničkih zapisa kojoj
dodajemo fiksni iznos ili od LIBOR stope plus fiksni iznos.
B) Vrijednosni papiri na tržištu kapitala (engl. Capital Market Securities) - to su
instrumenti koji imaju dospijeće duže od jedne godine i oni koji uopće nemaju
naznačeno dospijeće. Tržište kapitala je uobičajeno podijeljeno prema kriteriju da li
prinos na njegove instrumente podrazumijeva obećanu sumu novca kroz vrijeme ili
nudi učešće u budućem profitu kompanije. Stoga postoje tri osnovna sektora u koji se
mogu svrstati vrijednosni papiri koji pripadaju ovom tržištu:
1) Vrijednosni papiri s fiksnim prinosom (engl. Fixed Income Securities) - to su
instrumenti koji imaju unaprijed specificirane termine plaćanja. Većina od njih su
tradicionalne obveznice kod kojih je regulirano plaćanje unaprijed određenih
suma novaca na definirane datume. Uobičajeno se to odnosi na datume plaćanja
kamata te na datume otplate glavnice (planovi otplate glavnice i kamata). U
slučaju neplaćanja bilo koje svote kamata ili glavnice, takva obveznica se sa svim
preostalim planiranim kamatama i glavnicom svrstava u kategoriju onih koje nisu
6
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
u stanju podmirivati svoje obveze. Vrijednosni papiri s fiksnim prinosom se
razlikuju jedan od drugog prema visini očekivanih prinosa što je prije svega
povezano s njihovim dospijećem odnosno rokom otplate, likvidnošću,
mogućnošću korištenja opcije opoziva 3 te poreznim statusom samog papira.
Dijele se u četiri osnovne grupe:
a) Trezorski zapisi i obveznice (engl. Treasury Notes and Bonds) - to su
vrijednosni papiri s fiksnim prinosom koje izdaje federalna vlada (država) unutar
širokog raspona dospijeća. Dužnički instrumenti s dospijećem od 1 do 10 godina
se zovu trezorski zapisi, dok su instrumenti s dospijećem preko 10 godina poznati
kao obveznice. Oba instrumenta imaju planove otplate kamata 2 puta godišnje te
otplatu cjelokupnog iznosa glavnice prilikom svog dospijeća (kod europskih
obveznica se kamata isplaćuje samo jedanput godišnje). Za ove instrumente se
uobičajeno smatra da su sigurni od rizika nepodmirenja obveza, a razlika u
prinosu među njima se može objasniti različitim dospijećem i likvidnošću
(utrživošću).
b) Obveznice federalnih agencija (engl. Federal Agency Securities) - izdaju ih
različite federalne agencije koje imaju pravo izdavanja dužničkih papira s ciljem
pomaganja razvoja određenih sektora nacionalne ekonomije. Imaju nešto veće
prinose od državnih obveznica zbog manje likvidnosti. S druge strane, iako ih ne
izdaje federalna vlada među investitorima vlada uvjerenje da takva vrsta
obveznice neće doći u poziciju nepodmirenja obveze. Evidentno je da takvo što ne
bi dopustila država, i to izričito zbog svrhe njihova izdavanja.
c) Regionalne obveznice (engl. Municipal Securities) - to su dužnički instrumenti
koje prodaju politički entiteti kao što su savezne države, okruzi, distrikti, gradovi i
slično. Razlikuju se od obveznica federalnih agencija utoliko što za njih postoji
mogućnost nepodmirenja obveza te zbog toga što je kamata koju isplaćuju
oslobođena od federalnih poreza. Iz tog razloga se takve obveznice prodaju po
manjoj stopi prinosa u odnosu na ne regionalne obveznice istog rizika koje nisu
oslobođene plaćanja poreza.
3 Opcija opoziva (engl. call option) - obveznice i preferencijalne dionice mogu sadržavati opciju opoziva koju emitent može iskoristiti nakon određenog vremena i uz određenu cijenu (engl. call provision) koja je iznad vrijednosti ostatka duga, odnosno nominalne vrijednosti duga. Opozivom se vrijednosni papiri povlače iz opticaja nakon njihova otkupa ili konverzije u dionice ili druge vrijednosne papire poduzeća.
7
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
d) Korporacijske obveznice (engl. Corporate Bonds) - takve obveznice se u
pravilu ne razlikuju od vladinih obveznica prema svojoj projekciji plaćanja. No,
postoji evidentna razlika u riziku zbog toga što su izdane od strane poslovnih
entiteta i stoga su sklonije nepodmirenju obveza plaćanja. Isto tako, međusobno se
razlikuju prema rizičnosti ne samo zato što ih izdaju razne kompanije, već i zbog
toga što su razlozi izdavanja tih obveznica tj. prikupljanja kapitala za svaku od
kompaniju drugačiji. Najčešće se izdaju s mogućnošću opoziva, što znači da
kompanija može prisiliti vlasnika obveznice da joj natrag vrati obveznicu prema
fiksnoj cijeni (uobičajeno višoj od one po kojoj je obveznica prodana) unutar
definiranog vremenskog perioda. Korporacije najčešće opozivaju obveznice u
periodu kada je kamatna stopa manja od one koja je bila u periodu prvotne
prodaje obveznice.
2) Vrijednosni papiri s ne tako fiksnim prinosom (engl. Not So Fixed Icome
Securities) - radi se o vrijednosnim papirima kod kojih je izražena znatnija
promjenjivost očekivanog novčanog toka, odnosno primljenog novčanog iznosa
koji predstavlja ukupni prinos. U dosadašnjim razmatranjima se moglo vidjeti da
isto tako postoje i vrijednosni papiri s fiksnim prinosom kod kojih se može
pojaviti situacija da vlasniku papira ne bude uvijek isplaćena obećana premija
(isključivo zbog moguće opcije opoziva). U ovom slučaju se govori o dvije
kategorije vrijednosnih papira kod kojih dolazi do još većih odstupanja u
novčanom toku koje potencijalni investitor mora smatrati očekivanim:
a) Preferencijalne dionice (engl. Preferred Stock) - to su ustvari obveznice s
vremenski neograničenim rokom dospijeća. Onome tko ih posjeduje je obećana
periodična kuponska isplata, samo što se to ne smatra isplatom kamata već
isplatom dividendi 4 . U tom slučaju kod ovakvog instrumenta ne postoji
mogućnost povrata glavnice iz razloga što preferencijalne dionice traju
beskonačno. U stvari se ne radi o pravom vrijednosnom papiru s fiksnim
prinosom (pravi naziv bi bio 'hibridni' vrijednosni papir) i između ostalog što u
slučaju nemogućnosti plaćanja obećane dividende ne dolazi do eventualnog
bankrota emitenta (izdavatelja dionice). Uobičajeno je da se u slučaju
4 Dividende (engl. dividents) - to su, općenito, bilo koji iznos poslovnog ili kapitalnog dobitka koji se dijeli ili distribuira među vlasnike dionica ili kreditore. Uobičajeno, označava isplaćeni dio dobitka dioničarima, ali se mogu podijeliti i materijalne vrijednosti kao i nove dionice.
8
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
nemogućnosti naplate preferencijalnih dionica one kumuliraju i kada dođe do prve
slijedeće isplate one imaju prednost u naplati u odnosu na sve druge dionice.
Preferencijalne dionice 'zauzimaju srednju poziciju' između obveznica i običnih
dionica u okvirima prioritetne naplate prihoda te povrata na kapital u slučaju kada
je poduzeće likvidno.
b) Vrijednosni papiri osigurani hipotekom (engl. Mortgage-Backed Securities) -
to su vrijednosni papiri koji predstavljaju samo jedan dio cjelokupne hipotekarne
asocijacije (engl. mortgage pool). Najpoznatiji vrijednosni papir osiguran
hipotekom je 'Ginnie Mae' (GNMA), koji je izdan od strane američke nacionalne
hipotekarne asocijacije ('Government National Mortgage Asociation'). Taj
instrument ima puno pokriće od strane američke vlade što se tiče njegove
kredibilnosti i općeg povjerenja, tako da su potencijalni investitori lišeni rizika
nepodmirenja obveze (no moraju paziti na potencijalno mogući rizik od promjene
kamatnih stopa 5 ). Naznačeno dospijeće GNMA vrijednosnog papira može biti i
do 40 godina, no njihov rok trajanja je u prosjeku značajno manji. Osim američke
vlade ovaj instrument mogu izdavati i druge vladine agencije i financijske
institucije. U tom slučaju izdani vrijednosni papir nosi dodatni rizik koji se
manifestira na taj način da se za njega nudi veći očekivani prinos nego kada ga
izdaje američka vlada (usporedba vrijedi za papire s istim rokom dospijeća).
3) Obične dionice (engl. Common Stock - Equity) - one predstavljaju vlasničko
potraživanje na ukupan profit i imovinu korporacije. Nakon što se isplate
potraživanja vlasnika dužničkih vrijednosnih papira koje je izdalo poduzeće,
'management' poduzeća može s ostatkom profita ili isplatiti dioničarima dividendu
ili reinvestirati profit u proširenje poslovanja. Zajednička karakteristika svih
običnih dionica je ta da dioničar koji ih posjeduje ima ograničene obveze. Ako
slučajno poduzeće bankrotira, sve što vlasnik običnih dionica može izgubiti jest
novac uložen u kupnju tih dionica. Kreditor koji treba naplatiti svoja potraživanja
nije u mogućnosti tražiti da dioničar osobno podmiri njegova potraživanja iz svoje
vlastite imovine. Unatoč ograničenim obvezama dioničara, za kategoriju običnih
dionica se smatra da su prema do sada navedenoj podjeli vrijednosnih papira
5 Rizik od promjene kamatnih stopa (engl. interest rate risk) - pojavljuje se zbog mogućnosti varijacije stopa prihoda kod ulaganja u vrijednosne papire odnosno zbog oscilacija u kamatnim stopama na financijskom tržištu.
9
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
najrizičnije. Prije svega, razlozi tome leže u činjenici da se prilikom likvidacije
poduzeća najprije iz stečajne mase namiruju vjerovnici, zatim vlasnici
preferencijalnih dionica i tek na kraju vlasnici običnih dionica. Isto tako, to su
vrijednosni papiri kod kojih nije unaprijed poznat novčani iznos povrata na
uložena sredstva (prinosi na dionice mogu značajno oscilirati ovisno o situaciji na
tržištu u tom momentu).
C) Derivati (engl. Derivative Instruments) - derivati ili izvedenice su vrijednosni
papiri čija vrijednost potječe od vrijednosti jednog izdvojenog vrijednosnog papira ili
od skupa vrijednosnih papira. Ovaj instrument se smatra i neizvjesnim potraživanjem
s obzirom da njegova vrijednost ovisi o iznosu nesigurnog rezultata ulaganja (prinosa)
kojeg ostvaruju unaprijed definirani vrijednosni papiri. Postoji više vrsta derivata koji
spadaju u kategoriju financijskih inovacija 6 , uz napomenu da su najvažniji derivati:
1) Opcije (engl. Options) - predstavljaju pravo na kupnju ili prodaju određenog broja
dionica u utvrđenom roku po unaprijed fiksiranoj cijeni. Razlikuju se dvije
osnovne kategorije opcija: tzv. ‘call-opcija’ za kupovinu dionica i ‘put-opcija’ za
prodaju dionica. Kupovinom call-opcija kupac sebi osigurava pravo da od
prodavatelja opcije kupi određen broj dionica po unaprijed utvrđenom baznom
tečaju za plaćanje naknade (opcijske premije). Može se sa sigurnošću kazati kako
kupac opcije ustvari očekuje rast tečaja dotične dionice. Ukoliko se to ne dogodi,
on će odustati od izvršenja svog opcijskog prava na kupovinu dionice. U tom
slučaju je njegov rizik prilikom takvog ulaganja ograničen na plaćanje opcijske
cijene koja je višestruko niža od same cijene odnosno tečaja dionice (u pravilu
iznosi 10 do 20 posto tečaja dionice). Međutim, ukoliko se pak ostvari
predviđanje kupca i dođe po porasta tečaja dionice, u tom slučaju će njegova dobit
biti mnogo veća od dobiti koju bi ostvario neposrednim ulaganjem u tu dionicu.
S druge strane, za razliku od direktne kupovine dionica kod koje se u slučaju pada
tečajeva dionica gubi, put-opcije omogućavaju ulagaču da u određenom
vremenskom razdoblju pojedine dionice proda po unaprijed poznatom baznom
6 Financijske inovacije - predstavljaju novu kombinaciju svojstava drugih već postojećih instrumenata. To su tržišne usluge koje za komitente banaka predstavljaju novinu, a sačinjavaju ih određeni financijski instrumenti ili financijski tokovi. Njihova primarna svrha je da financijske rizike (promjene tečaja, kamatnih stopa) preraspodijele na veći broj nositelja (npr. ulagači, korisnici kredita, banke).
10
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
tečaju. U tom slučaju kupac put-opcija računa da će doći do pada tečaja određene
dionice na temelju čega bi ih on kasnije mogao prodati po višoj cijeni i time
ostvariti dobitak. Time se kupovinom put-opcija omogućava investitorima da i u
vrijeme općeg pada cijena dionica ostvare prihode na temelju terminske prodaje
dionica.
2) Terminski poslovi (engl. Futures) - predstavljaju standardizirane terminske
ugovore s kojima se stvara pravo, odnosno obveza da se određeni financijski
instrument kupi ili isporuči na neki budući dan koji je naznačen u ugovoru.
Operacije s terminskim poslovima se odvijaju na posebno osnovanim burzama
(npr. CBOE - Chicago Board of Options Exchange). S obzirom da pri sklapanju
poslova nema fizičkog prijenosa instrumenata koji su predmet ugovora to znači da
se ugovori ne sklapaju direktno između kupca i prodavatelja. U tom slučaju se kao
posrednik javljaju specijalizirane burze kao što je na primjer CBOE, koje radi
osiguranja izvršenja posla poprimaju ulogu klirinške kuće 7 . Na taj su način uz
naplatu određene provizije koja se deponira na poseban račun, i kupac i
prodavatelj sigurni da će terminski posao biti ispunjen te da je takav ugovor u
svakom trenutku likvidan odnosno utrživ. Svi sudionici se na takvim tržištima
mogu podijeliti u dvije osnovne kategorije: ‘hedgers i ‘traders’. Hedgers su oni
koji se trgujući terminskim ugovorima žele zaštititi od određenog rizika (npr.
kamatne stope ili deviznog tečaja) dok su traders oni koji svjesno ulaze u rizik i
nastoje iz promjene cijena ostvariti ekstra dobit.
3) Swap-poslovi (engl. Swap) - poslovi zamjene koji se dijele u dvije osnovne
kategorije: kamatni swap (engl. interest-rate-swap) i valutni swap (engl. currency-
swap). Kod kamatnog swap-a dvije ugovorne strane se obvezuju da će uzajamno
preuzeti obveze ili potraživanja po osnovi kamata druge strane do kojih će doći na
temelju zaduživanja ili ulaganja iste sume novca ali uz različitu kamatnu stopu.
Na sličan način se realizira i valutni swap s bitnom razlikom da se uz zamjenu
isplate, odnosno plaćanja kamata, obavlja izmjena glavnica na početku i kraju
navedene transakcije po unaprijed utvrđenom tečaju.7 Klirinška kuća (engl. Clearing House) - organizacija koja registrira, motri, uparuje i garantira trgovinu prema nekoj budućoj razmjeni i provodi financijsko poravnanje tih transakcija. Ima ulogu tzv. čuvara (engl. custodian) za najznačajnije vrijednosne papire koji su predmetom trgovine na međunarodnim financijskim tržištima.
11
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Osim do sada spomenutih najvažnijih derivata koji pripadaju grupi financijskih
inovacija, valjalo bi se još osvrnuti i na druge instrumente koji pripadaju toj grupi, a
ipak se ne mogu smatrati derivatima (zbog definicije potraživanja koje se kod tih
instrumenata ne smatra u tolikoj mjeri neizvjesnim). Radi se zapravo o modificiranim
vrstama obveznicama koje se mogu razvrstati prema slijedećoj podjeli 8 :
a) Obveznice s varijabilnom kamatnom stopom (engl. Floating Rate Bonds) -
pojavile su se na tržištu početkom 80-tih godina prošlog stoljeća uslijed općeg
pada kamatnih stopa na međunarodnom tržištu kapitala. Kod takvog tipa
obveznica se kamatna stopa periodično, odnosno svakih šest mjeseci, usklađuje s
kretanjem referentne kamatne stope (LIBOR) kojoj se dodaje određena marža.
Isplata kamata se obavlja u istim tim razmacima s time da je najčešće
zagarantirana minimalna kamatna stopa (engl. floor-rate).
b) Nul-kupon obveznice (engl. Zero Bonds) - to su dugoročne obveznice (10 - 30
godina) kod kojih se pripadajuća kamatna stopa ne isplaćuje zasebno već se
obračunava i isplaćuje zajedno s glavnicom kod njihova dospijeća. To
podrazumijeva da se te obveznice emitiraju u diskontiranoj vrijednosti koja je u
pravilu do 30 posto manja od njihovih nominalnih vrijednosti.
c) Obveznice na dvojnu valutu (engl. Dual-Currency Bonds) - to su obveznice
koje npr. domaći kupac kupuje od inozemnog emitenta u domaćoj valuti.
Obračunata kamata se isplaćuje u domaćoj valuti, ali se glavnica vraća u
inozemnoj valuti po unaprijed dogovorenom tečaju. Time je rizik od promjene
deviznog tečaja u potpunosti prenesen na kupca.
d) Obveznice zamjenjive u dionice (engl. Convertible Bonds) - radi se o
obveznicama s fiksnim prinosom koje daju mogućnost imatelju da ih u
određenom vremenskom razdoblju prema unaprijed određenom tečaju pretvori u
dionice. S obzirom na mogući rast cijena dionica u tom razdoblju, takve
obveznice u pravilu imaju manju kamatnu stopu od klasičnih obveznica.
e) Obveznice s varantom (engl. Bonds with Warrants Attached) - također se radi o
obveznicama s fiksnom kamatnom stopom koje vlasniku daju pravo da u
određenom razdoblju po unaprijed utvrđenoj cijeni kupi određen broj dionica.
8 Prohaska, Zdenko, "Analiza vrijednosnih papira", Infoinvest d.o.o., Zagreb, 1996, strana 193.
12
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
II) Indirektne investicije - za razliku od direktnih investicija podrazumijevaju
mogućnost indirektnog investiranja kupnjom udjela u određenim investicijskim
kompanijama (engl. mutual funds). Takva vrsta fonda sadrži skup vrijednosnih papira
(odnosno portfolio) u skladu s unaprijed dogovorenom politikom i praksom. U
pravilu postoje fondovi koji sadrže ili manje značajni skup vrijednosnih papira ( npr.
industrijske dionice) ili šire klase vrijednosnih papira sa svjetskih tržišta (npr.
američke državne obveznice). Zajednički (uzajamni) fondovi mogu ponuditi
investitoru specijalne usluge kao što su privilegije prilikom isplate dobiti ili
mogućnost zamjene vrijednosnog papira unutar samog fonda bez ikakvog troška.
2.1.2. Tržišni indeksi dionica
Tržišni indeksi dionica prema osnovnoj definiciji predstavljaju prosječnu vrijednost
cijena dionica odabranog uzorka poduzeća. Za poduzeća koja prema nekom kriteriju
ulaze u određeni indeks se podrazumijeva da njihove dionice kotiraju na svim
vodećim svjetskim financijskim tržištima (burzama). U pravilu većina najpoznatijih
svjetskih indeksa dionica ne uključuje u svoju cijenu i vrijednost dividendi, te se stoga
za njih smatra da to nisu indeksi ukupnog prinosa (engl. total return indexes) već je
riječ o indeksima prosječne vrijednosti kapitala (engl. capitalization-weighted
indexes). Prema važnosti koju imaju na vodećim svjetskim burzama, mogu se
izdvojiti slijedeći najznačajniji tržišni indeksi dionica:
a) Dow-Jonesov indeks-prosjek (engl. Dow Jones Index Average) - to je indeks
dionica koji ima najdužu tradiciju kotiranja na burzama u SAD. Predstavlja vaganu
aritmetičku sredinu cijena dionica uzorka poduzeća koja kotiraju na njujorškoj
burzi (engl. New York Stock Exchange). Postoji više vrsta ovog indeksa, a
najpoznatiji od njih je Dow-Jonesov industrijski prosječni indeks (engl. DJIA -
Dow-Jones Industrial Average Index). Ovaj indeks se neprekidno izračunava
počevši od 1896. godine. Od 1928. godine se izračunava na temelju vagane
aritmetičke sredine cijena dionica 30 najznačajnijih industrijskih poduzeća u SAD
(npr. general Motors, General Electric, IBM i drugi). Objavljuje se dnevno i
smatra se specifičnim pokazateljem industrijske aktivnosti u SAD.
13
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
b) Indeks Fiancial Times-a (engl. Financial Times Index) - predstavlja vaganu
aritmetičku sredinu cijena dionica 100 najvećih kompanija prema visini kapitala
kojima se redovito trguje na londonskom tržištu dionica (engl. London Stock
Exchange). Objavljuje se dnevno u novinama Financial Times te se smatra
specifičnim pokazateljem privredne aktivnosti u Velikoj Britaniji.
c) Nikkei 225 - radi se o najreferentnijem indeksu na japanskom tržištu dionica
(počeo se koristiti 1949. godine), koji se izračunava prema istom principu kao i
Dow-Jonesov Index Average. Njegova vrijednost se formira na osnovu cijena
dionica 225 najvećih i najrespektabilnijih kompanija koje kotiraju na japanskom
tržištu dionica.
d) DAX Indeks (engl. DAX Index) - to je indeks koji se izračunava na osnovu cijena
dionica 30 najznačajnijih njemačkih kompanija na frankfurtskom tržištu dionica
(engl. Frankfurt Stock Exchange). Za razliku od prethodno navedenih indeksa,
DAX indeks predstavlja indeks ukupnog prinosa što znači da je u izračun njegove
vrijednosti uključena i dividenda.
2.1.3. Tržišni indeksi obveznica
Za razliku od tržišnih indeksa dionica, glavni indeksi obveznica su indeksi ukupnog
prinosa s obzirom da u izračun svoje vrijednosti uključuju osim kapitalnog dobitka i
isplaćene kamate (što sve zajedno predstavlja ukupni novčani tok). Najvažniji svjetski
indeksi obveznica su predočeni od strane najpoznatijih svjetskih kompanija koje
pružaju raznolike financijske i investicijske servise. Kompanije kao što su Merrill
Lynch, Lehman Brothers i Salomon Brothers nude na globalnom financijskom
tržištu svoje usluge bilo pojedincima ili raznim financijskim institucijama. U njih su
uključene različite kategorije financijskih servisa kao što su osobno financijsko
planiranje, trgovanje vrijednosnim papirima, brokerski 9 poslovi, bankarstvo, novčane
9 Broker - to je engleski termin za tržišnog posrednika, firmu ili pojedinca unutar firme. Broker obično ne posjeduje predmet trgovanja koji kupuje ili prodaje, već nastupa kao agent kupca ili prodavaoca, te zaračunava proviziju za svoje usluge. Obavlja funkciju spajanja kupca i prodavaoca.
14
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
posudbe i osiguranje. Lehman Brothers i Salomon Brothers izračunavaju svoje
indekse na kraju svakog mjeseca. Ukoliko pak dođe do određene isplate kamata u
toku tekućeg mjeseca, u tom slučaju se takva isplata uzima u obzir prilikom izračuna
vrijednosti indeksa na kraju mjeseca. S druge strane, Merrill Lynch izračunavaju
svoje indekse na dnevnoj osnovi te stoga obračunavaju isplaćenu kamatu na kraju tog
istog dana. Sve cijene koje se koriste za izračunavanje indeksa su zapravo cijene koje
kotiraju na tržištu plus pripisane narasle kamate 10 . To je stvarna cijena koju će bilo
koji investitor morati platiti za kupnju određene obveznice.
Danas se indeksi koriste u mnogo većoj mjeri nego prijašnjih godina. Primjer za to je
upravljanje investicijama (engl. investment management) gdje se primjenjuju na
različitim područjima kao što je upravljanje rizičnošću portfolia, kvantitativna analiza
tržišta, analiza transakcija na OTC tržištu 11 koje se odnose na indekse s fiksnim
prinosom i tako dalje. Ipak, još uvijek je najznačajnija upotreba indeksa u klasičnoj
situaciji mjerenja performansi portfolia (ukupnog prinosa portfolia). Mjerenje
performansi predstavlja primarnu motivaciju u ponašanju portfolio managera. Stoga
je veoma važan i odabir onih indeksa koji se koriste u analizi kao određeni pokazatelji
i parametri. No, to nije laka odluka s obzirom na činjenicu da na primjer samo
kompanija Merrill Lynch ima više od 2500 kompiliranih indeksa prema različitim
kriterijima. U takvim slučajevima treba biti prilično oprezan s odabirom
odgovarajućih, jer treba uzeti u obzir da svaki investitor ima posebne specifičnosti i
zahtjeve.
Osnovna klasifikacija Merrill Lynch indeksa prema sektorima:
1. Sektor - SOV (engl. Sovereign) - to je klasa najboljih indeksa koja se definira
prema rejtingu obveznica 12 od kojih su sačinjeni (najkvalitetnije svjetske
obveznice izdane od strane vlada ekonomski najrazvijenijih zemalja).
10 Narasle kamate (engl. accrued interest) - radi se o iznosu kamata koje bi se u slučaju eventualne prodaje obveznice prije njenog dospijeća morale obračunati i pridodati ukupnoj prodajnoj cijeni. Cijena obveznice u trenutku prodaje se formira na osnovu tržišne vrijednosti obveznice i izračunatih kamata koje se pripisuju dotadašnjem vlasniku obveznice za sve dane posjedovanja obveznice počevši od datuma zadnje kuponske isplate kamata.11 OTC tržište (engl. Over The Counter Market) - predstavlja oblik, odnosno segment sekundarnog tržišta vrijednosnih papira, na kojem se razmjenjuju neuvršteni vrijednosni papiri. Kupnja i prodaja vrijednosnih papira na takvom tržištu se odvija posredstvom ili izravnim sudjelovanjem brokera, dilera i specijaliziranih trgovaca, korištenjem telefonske i kompjutorske infrastrukture.12 Rejting vrijednosnih papira (engl. Securities Rating) - to je rangiranje vrijednosnih papira prema njihovoj kvaliteti, prvenstveno sa stanovišta rizika ulaganja. Obavljaju ga specijalizirane organizacije te objavljuju liste rangiranih vrijednosnih papira. Predstavlja važan izvor podataka pri procjeni njihove vrijednosti i racionalnom investiranju u vrijednosne papire.
15
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
2. Sektor - QGVT (engl. Quasi & Foreign Government) - u tu klasu ulaze indeksi
koji sadržavaju obveznice koje su izdale vlade manje razvijenih ekonomskih
zemalja, obveznice koje garantira vlada, obveznice izdane od strane raznih
federalnih agencija, regionalne obveznice i druge.
3. Sektor - COLL (engl. Securitized / Collateralizated) - treća klasa indeksa sadrži
obveznice koje su pokrivene imovinom, hipotekama ili su izdane uz kolateral 13 .
4. Sektor - CORP (engl. Corporate) - četvrtu klasa indeksa sačinjavaju sve
preostale obveznice u koje spadaju obveznice financijskog sektora (banke,
brokerske kuće, investicijske kompanije i osiguravajuće kompanije), obveznice
industrijskog sektora (tehnologija, komunikacije, energetika, potrošnja, gradnja...)
i obveznice javnog (komunalnog) sektora.
2.2. Teorije tržišta kapitala
Kako je već spomenuto u uvodnom dijelu ovog drugog poglavlja, teorije tržišta
kapitala predstavljaju ekonomske teorije koje nastoje dati preciznu ocjenu vrijednosti
kapitalne imovine. Da bi se to moglo izvesti na adekvatni način, najvažnija stvar je
odrediti odgovarajuću diskontnu kamatnu stopu kojom bi se svi novčani tokovi
budućih vremenskih razdoblja mogli svesti na sadašnju vrijednost kapitalne imovine.
Kada je riječ o novčanim tokovima, pri tome se misli na sve buduće novčane primitke
koje će generirati kapitalna imovina u svome životnom vijeku. Drugim riječima, radi
se zapravo o definiranju ukupne stope prinosa koju ostvaruje kapitalna imovina u
rizičnim uvjetima poslovanja na tržištu kapitala.
Ukupna stopa prinosa predstavlja ukupni prinos od investicije koji se prema
konvenciji promatra za kalendarsko razdoblje godine dana držanja imovine u
vlastitom posjedu. Matematički gledano, u izračun se uzima ukupna vrijednost
imovine na kraju razdoblja (u koju su uključeni svi primljeni novčani iznosi kao i
promjena tržišne vrijednosti imovine u toku godine) te vrijednost imovine na početku
tog razdoblja.
13 Kolateral (engl. Collateral) - to je specifična vrsta osiguranja novčanih tražbina (dugova i vrijednosnih papira) nekim vrednotama, posebno onim konvertibilnim u novac (najčešće su u pitanju vrijednosni papiri).
16
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Pod rizičnim uvjetima poslovanja se podrazumijeva odstupanje mogućih stopa
prinosa u odnosu na očekivane stope prinosa. Zbog toga je neophodno za ocjenu
rizičnosti ulaganja analizirati distribuciju vjerojatnosti prinosa određene investicije. U
tom slučaju se treba izračunati vrijednost varijance i standardne devijacije koje
predstavljaju temeljne parametre distribucije vjerojatnosti. Postoje više vrsta rizika
koji su predmet analize i o kojima se u ovom poglavlju detaljnije govori. Pritom se
isključivo misli na ukupni rizik koji je predočen preko dvije osnovne komponente -
sistematskog (tržišnog) rizika te nesistematskog (specifičnog) rizika.
Isto tako, valja pretpostaviti da će svaki potencijalni investitor pokušati izbjeći
eventualni rizik u najvećoj mogućoj mjeri, što se može postići diverzifikacijom
portfolia 14 . U takvoj situaciji investitor raspolaže s raznovrsnim investicijama, npr.
različitim vrijednosnim papirima koji međusobno iskazuju određenu razinu
korelacije. Zbog toga je također neophodno izračunati i koeficijente korelacije i
kovarijance kao dodatne parametre u odabranom portfoliu.
Najvažniji pojam koji se tiče analize portfolia i izračuna njegovih parametara je
efikasan portfolio. Pod pojmom efikasnog portfolia podrazumijeva se onaj
investicijski portfolio koji je uz određeni stupanj rizika odnosno uz određeni
očekivani prinos najbolji u odnosu na druge kombinacije investicija iz iste rizične
odnosno profitabilne skupine. Takav portfolio dominira u odnosu na druga portfolia,
te je i logično da ima prednost prilikom odabira od strane potencijalnih investitora
koji su u takvim situacijama ponašaju racionalno (izbjegavaju nepotrebni rizik nauštrb
većih prinosa). Ove uvodne napomene su bile potrebne kako bi se pojasnile osnovne
pretpostavke na kojima se baziraju teorije tržišta kapitala o kojima je riječ u ovom
poglavlju. Radi se o indeksnom modelu teorije tržišta kapitala, modelu procjenjivanja
kapitalne imovine te o modelu arbitražne teorije procjenjivanja. Analiza njihovih
parametara se može smatrati samo kao uvod u detaljnu analizu sličnih parametara
(odnosno karakteristika) koje se koriste kod moderne portfolio teorije (kojoj je
posvećeno cijelo treće poglavlje).
2.2.1. Moderna portfolio teorija
14 Diverzifikacija portfolia (engl. Portfolio Diversification) - to je pojam koji je definiran skupom različitih vrijednosnih papira u vlasništvu jednog pojedinca ili kompanije. Diverzifikacijom se smanjuje rizik ukupnog ulaganja u portfolio i čini se stabilnijim prinos na ukupna ulaganja.
17
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
U ovom poglavlju je stoga predočen samo kratki uvod u modernu portfolio teoriju
koju je patentirao H. M. Markowitz 1952. godine predstavivši svoj model optimalnog
ulaganja u vrijednosne papire u uvjetima neizvjesnosti i rizika 15 . Polaznu osnovu
njegovog istraživanja predstavljaju veličine ukupnog rizika i očekivane stope prinosa
kao što je i spomenuto u uvodu o teorijama tržišta kapitala. Isto tako, temeljna
pretpostavka ove teorije je i diverzifikacija portfolia koja je bazirana na
znanstvenijem pristupu jednostavne diverzifikacije 16 .
Glavna zamjerka ovoj teoriji u vremenu njena nastanka (50-te godine prošlog
stoljeća) je bila tehnološka nemogućnost podržavanja njenog matematičkog modela.
Naime, računski dio modela zahtjeva nužnu upotrebu računala kojom bi se
umnogome skratilo vrijeme potrebno za izračunavanje konačnih rezultata. Stoga
Markowitz-ov model i nije mogao imati adekvatnu primjenu u praksi sve do početka
80-tih godina 20. stoljeća. No, tada su se već pojavile i druge teorije tržišta kapitala,
koje su donekle i skrenule pozornost s ovog modela, prvenstveno svojom
jednostavnošću u računskom dijelu. Zbog toga se ovaj magistarski rad može i smatrati
pokušajem 'oživljavanja' ovog modela na način koji predstavlja pokušaj njegove
primjene u praksi (naravno da se pritom ne misli na globalnu već na lokalnu domenu
primjene). U tome mnogo pomaže odgovarajući softver i stečeno znanje u primjeni
računala prilikom izračunavanja rezultata iz zadanog matematičkog modela.
2.2.2. Indeksni modeli
Osnovna svrha nastanka indeksnih modela je pojednostavljenje izbora investicija i
načina njihova kombiniranja u portfolio za razliku od Markowitz-ovog modela koji
nudi kompliciraniju tehniku modeliranja kroz primjenu složenog matematičkog
programiranja. Indeksni modeli nastoje odrediti kretanje prinosa na neku investiciju
kao linearnu funkciju jednog ili više faktora koji se predstavljaju određenim
indeksom, te su zbog toga jednostavniji za izračunavanje. Prikazuju linearnu
funkcionalnu ovisnost prinosa na neki određeni vrijednosni papir prema kretanjima
određenih čimbenika o kojima ovisi taj prinos. Zbog toga se mogu podijeliti u dvije
osnovne grupe:
15 Markowitz, H. M., "Portfolio Theory", Journal of Finance, ožujak 1952, strana 77. 16 Markowitz, H. M., "Portfolio Selection", Efficient Diversification of Investments, John Wiley and Sons, New York, 1959.
18
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
1) Jednoindeksni model - pretpostavlja da su prinosi od vrijednosnih papira
povezani isključivo zbog jednog razloga kojeg u praktičnim primjerima najčešće
definira tržišni portfolio (rm). U tom slučaju tržišni portfolio ima ulogu
referentnog indeksa o čijoj promjeni vrijednosti će ovisiti i promjena vrijednosti
investicijskog portfolia (rj), odnosno svakog pojedinačnog vrijednosnog papira u
njemu. Tako pretpostavljena veza u modelu između dvije navedene varijable je
linearna. Stoga se može kazati kako je ovdje riječ o linearnom regresijskom
modelu kod kojeg je vrijednost funkcije odnosno zavisne varijable predstavljena
investicijskim portfoliom, dok vrijednost nezavisne varijable definira tržišni
portfolio. Za rješavanje takvog modela je potrebno raspolagati odgovarajućom
serijom podataka (rmt , rjt) za određeno vremensko razdoblje promatranja t
(t=0,1,2,...,N). Radi se o vremenskom nizu historijskih podataka iz prethodnih
razdoblja koji je predočen empirijskim vrijednostima navedenih varijabli.
Matematička postavka modela odgovara funkcionalnoj ovisnosti između te dvije
varijable, odnosno karakterističnom regresijskom pravcu vrijednosnog papira čiji
se oblik definira slijedećom jednadžbom:
rjt = (rmt) = j + jrmt + jt (I)
gdje rjt označava prinos j-tog vrijednosnog papira u vremenu t, j točku u kojoj
regresijski pravac presijeca os ordinate, j koeficijent smjera regresijskog pravca,
rmt prinos na tržište kapitala u vremenu t, a jt odstupanje od pravca (rezidual).
Ovakav regresijski model se rješava upotrebom metode najmanjih kvadrata
koja za rješenja daje vrijednosti odgovarajućih parametara ( j i j ). Krajnji cilj
je ispitivanje karaktera veze između dviju navedenih varijabli pomoću dobivenih
parametara korištenjem jednadžbe linearne regresije. Empirijske vrijednosti
navedenih varijabli su prikazane odgovarajućim točkama na Slici 2. Na crtežu je
prikazan i linearni regresijski pravac koji predstavlja vezu između dviju zadanih
varijabli. Karakter veze odnosno korelacija među varijablama može biti ili
pozitivna ili negativna. Regresijskim modelom se izražavaju prosječni odnosi
među promatranim varijablama (pojavama).
19
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Slika 2: Karakteristični regresijski pravac kod jednoindeksnog modela
Prinos vrijednosnog papira
Prinos tržišta
Najvažniji faktor u ovom modelu je beta koeficijent () koji predstavlja odnos
kovarijance prinosa na tržište i prinosa na neki vrijednosni papir i varijance
prinosa tržišta (riječ je o koeficijentu regresije). Beta koeficijent definira mjeru
sistematskog rizika vrijednosnog papira jer pokazuje kako se prinos na vrijednosni
papir sistematski kreće prema prinosu ukupnog tržišta. S druge strane, faktor
nema neko veće značenje jer pokazuje očekivani prinos na neki vrijednosni papir
u slučaju kada tržište ostvaruje nulti prinos (riječ je o slobodnom regresijskom
koeficijentu). Rezidual () predstavlja odstupanje od regresijskog pravca kao
rezultat specifičnog rizika tog vrijednosnog papira (kod metode najmanjih
kvadrata njegova vrijednost je zanemarena, te kao takav ne utječe na
izračunavanje parametara modela).
Postavljeni makro uvjeti definiraju postavku u kojoj promjena prinosa tržišta
utječe na promjenu prinosa svakog vrijednosnog papira. Istovremeno, postoje i
mikro uvjeti koji su specifični za svaku kompaniju zasebno, a u modelu se
definiraju veličinom reziduala. Kako ne postoji korelacija između reziduala u
modelu zbog njihove specifičnosti, kovarijance između investicija će biti
određene isključivo njihovim beta koeficijentima i varijancom prinosa na tržišni
20
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
model. Stoga se i matrica kovarijanci jednostavno izračunava kao linearna
funkcija vrijednosnog učešća u investicijskom portfoliu.
Iz navedenog se može zaključiti kako je ovaj model jednostavan za izračunavanje
prvenstveno radi korištenja linearnih odnosa. To je i glavni razlog zašto je
upotrebljavan u praksi i zašto je beta koeficijent, kao mjera sistematskog rizika
investicije, jedan od najčešće korištenih instrumenata u portfolio analizi.
2) Višeindeksni model - za razliku od jednoindeksnog modela, pretpostavlja više
faktora utjecaja na kovarijance između stopa prinosa pojedinačnih vrijednosnih
papira. To znači da osim tržišnog portfolia koji i dalje poprima ulogu referentnog
indeksa postoje i druge vrste indeksa. Pri definiranju višeindeksnog modela
moguće je prinos na određenu investiciju promatrati kao linearnu funkciju većeg
broja varijabli (i=1m ri) koje predstavljaju određene makro i mezo uvjete. Ako se
za sistematski rizik nekog vrijednosnog papira koji je povezan s kretanjima
ukupnog tržišta vrijednosnih papira kaže kako definira makro uvjete, onda se za
sistematski rizik tog istog vrijednosnog papira koji je na primjer povezan s
kretanjima industrijske grupe u kojoj posluje kompanija kaže kako su njime
definirani mezo uvjeti. Time se sistematski rizik neke investicije, za razliku od
jednoindeksnog modela, razdvaja u dvije zasebne komponente čime se dobije
dvoindeksni model. Osim kretanja industrijske grupe u kojoj posluje kompanija,
kao mezo uvjeti su definirani i rizik industrijske grupe, rizik inflacije,
nezaposlenost, trgovinski deficit, budžetski deficit i slično. Dakle, kod takvog
modela raspoloživu vremensku seriju podataka potrebnih za njegovo
izračunavanje predstavljaju empirijske vrijednosti većeg broja varijabli (rjt , i=1m
rit) u određenom vremenskom razdoblju promatranja t (t=0,1,2,...,N).
Matematički oblik jednadžbe prinosa nekog vrijednosnog papira u vremenu t (rjt)
se definira slijedećom jednadžbom:
rjt = (rit) = j + i=1m ijrit + jt (II)
21
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
gdje je rit prinos i-tog faktora u vremenu t, i je vrsta faktora čiji se indeks uzima u
modelu, pri čemu postoji m vrsta faktora, dok su ostale komponente ( i )
identične po svojoj definiciji i tretmanu kao i kod jednoindeksnog modela.
Radi se o multiplom regresijskom modelu koji predstavlja istovremenu
funkcionalnu ovisnost jedne nezavisne varijable (rjt) i više nezavisnih varijabli
(i=1m rit). Također se rješava primjenom metode najmanjih kvadrata, a dobivena
rješenja predstavljaju parametre koji se koriste u jednadžbi multiple regresije. U
takvom modelu uvijek postoji samo jedan parametar , dok ukupan broj
parametara ovisi o broju nezavisnih varijabli koje su definirane u samom
regresijskom modelu (i = 1,2,...,m).
Iz navedenog se može zaključiti kako se višeindeksni model može koristiti za
konstrukciju uvjetno optimalnog portfolia za izabrane varijable koje predstavljaju
unaprijed definirane čimbenike u ocjenjivanju investicija. Pri tome se uzima
pretpostavka da je moguće pravilno kvantificirati svaku željenu varijablu, te na taj
način izračunati odgovarajuće beta koeficijente () za svaku investiciju. U tom
slučaju se izračunavanje potrebnih veličina ograničava na jednostavno
ponderiranje s vrijednosnim učešćima investicija u portfoliu.
2.2.3. Model procjenjivanja kapitalne imovine (CAPM)
Predstavlja posebnu teoriju tržišta kapitala iako se radi o specijalnoj varijanti
jednoindeksnog modela. Model procjenjivanja kapitalne imovine (CAPM - Capital
Asset Pricing Model) polazi od pretpostavki savršenog i potpuno efikasnog tržišta.
Takvo tržište se bazira na slijedećim pretpostavkama:
investitor može izabrati između portfolia na temelju očekivanog prinosa i
standardne devijacije portfolia.
u slučaju mogućnosti biranja 2 portfolia, investitor će uvijek odabrati onoga s
nižim rizikom odnosno standardnom devijacijom.
u slučaju mogućnosti biranja 2 portfolia, investitor će uvijek odabrati onoga s
višom očekivanom stopom prinosa.
22
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
pojedinačna portfolia su beskonačno djeljiva, što znači da određeni investitor
može kupiti i dio nekog vrijednosnog papira ako to želi.
postoji bezrizična stopa prinosa po kojoj investitor može uzimati ili davati kredit.
bezrizična stopa prinosa je jednaka za sve investitore.
svi investitori su sporazumni prema planiranom vremenskom horizontu
distribucije prinosa vrijednosnih papira.
svi investitori raspolažu s identičnim razdobljem ulaganja.
porezi i transakcijski troškovi se ne uzimaju u obzir.
informacije na tržištu su slobodne i neposredno dostupne svim investitorima.
investitori imaju identična (homogena) očekivanja s obzirom na očekivanu stopu
prihoda i rizik.
Kao i kod indeksnih modela, investitore ne interesira ukupni rizik investicija već
samo jedna njegova komponenta koju definira sistematski rizik i koja se mjeri beta
koeficijentom. S druge strane, specifični rizik se izbjegava diverzifikacijom portfolia.
Važno je napomenuti da ključni parametar modela, na osnovu postavljenih
pretpostavki, postaje nerizična investicija kojom investitor ostvaruje unaprijed
određeni očekivani prinos bez mogućnosti pojave ikakvog rizika (tj. standardne
devijacije). Na taj način investitor može kombinirati određeni rizični portfolio s
nerizičnim što dovodi do neograničene mogućnosti uzimanja i davanja kredita po
nerizičnoj kamatnoj stopi. Time se mijenja i investicijska odluka što se reflektira i
promjenom optimuma na pravcu tržišta kapitala.
Prema Slici 3, krivulja h definira granicu efikasnog rizičnog portfolia. Ako se povuče
pravac g s ishodištem u nerizičnoj kamatnoj stopi (rf) kao tangenta na granicu
efikasnog portfolia u točki M, na tom pravcu se dobiju sve kombinacije nerizične
imovine i rizičnog portfolia. Tako definirani portfolio će zasigurno mijenjati
investicijsku odluku s obzirom da će potencijalni investitor imati veću korisnost od
novog portfolia na pravcu g nego od portfolia na krivulji h (izabrat će portfolio M
umjesto portfolia P jer ima višu krivulju indiferencije 17 ).
Slika 3: Pravac tržišta kapitala
17 Krivulja indiferencije - to je krivulja koja povezuje investicije različitih odnosa prinosa i rizika koji za pojedinačnog investitora imaju istu korisnost. Radi se o krivulji kojom se kroz premiju rizika izjednačava korisnost investicija različitog stupnja rizika za pojedinačnog investitora.
23
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Prinos vrijednosnog papira g
M
rmt
h
P
rf krivulje indiferencije
mt Rizik
Pravac g daje novu granicu efikasnog portfolia koja je rezultirala uvođenjem
nerizične imovine. Zbog toga pravac g predstavlja pravac tržišta kapitala (CML -
Capital Market Line) kojem bi trebali težiti svi investitori jer postizanje portfolia na
tome pravcu znači i postizanje veće korisnosti za sve investitore. Pregled
matematičkih izraza kojima se definira optimalni portfolio na pravcu tržišta kapitala
je dan u četvrtom poglavlju.
Pravac g je točkom M podijeljen na dva dijela. Sve kombinacije portfolia koje se
nalaze na dijelu pravca ispod točke M se mogu tretirati kao kreditna portfolia. Takav
portfolio će izabrati riziku izrazito nesklon investitor koji će na taj način postići
umjerenu profitabilnost uz značajnu redukciju rizika. S druge pak strane, dio pravca
iznad točke M predstavljaju kombinacije portfolia koja se tretiraju kao debitna
portfolia. Takav portfolio će izabrati agresivni investitor čime će postizati veći
očekivani prinos uz znatniju izloženost riziku.
Konačni izraz modela procjenjivanja kapitalne imovine predstavlja pravac tržišta
vrijednosnog papira (SML - Security Market Line). Njime se pokazuje odnos između
očekivanog prinosa određenog vrijednosnog papira i njegova sistematskog rizika.
Matematički oblik jednadžbe pravca tržišta vrijednosnog papira ima slijedeći oblik:
24
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
rjt = (rmt) = rf + j( rmt - rf ) (III)
gdje rjt predstavlja očekivani prinos na j-ti vrijednosni papir u vremenu t, rf nerizičnu
kamatnu stopu, j beta koeficijent j-tog vrijednosnog papira, a rmt očekivani prinos na
ukupno tržište odnosno na tržišni portfolio u vremenu t.
S obzirom da je ovdje riječ o specijalnoj varijanti jednoindeksnog modela, način
rješavanja jednadžbe pravca tržišta vrijednosnog papira se u potpunosti može
poistovjetiti s načinom rješavanja regresijskog pravca kod jednoindeksnog modela.
Jedina razlika je u tome što je odsječak A na osi Y u ovom slučaju jednak iznosu
nerizične kamatne stope rf, koja prema gornjoj relaciji ujedno smanjenje i vrijednost
nezavisne varijable rm.
Pravac tržišta vrijednosnog papira definira prinos na neki vrijednosni papir kao cijenu
vremena predstavljenu nerizičnom kamatnom stopom i kao cijenu rizika. Ta cijena
rizika je određena samo onom komponentom ukupnog rizika koja se ne može izbjeći
diverzifikacijom portfolia. Riječ je o sistematskom riziku vrijednosnog papira koji je
određen beta koeficijentom vrijednosnog papira i premijom rizika na tržišni indeks.
Premija rizika je definirana kao razlika očekivane profitabilnosti tržišta i nerizične
kamatne stope (rmt - rf).
Slika 4: Pravac tržišta vrijednosnog papira
Prinos vrijednosnog papira J
rjt
M
rmt
rmt - rf
rf
25
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
f = 0 mt = 1 jt 1 Sistematski rizik
Prema Slici 4 vidljivo je da sve investicije koje imaju beta koeficijent veći od 1 imaju
iznad prosječan sistematski rizik. Sukladno tome, sve investicije kojima je vrijednost
beta koeficijenta manja od 1 imaju ispod prosječan sistematski rizik. Naravno,
nerizične investicije imaju beta koeficijent jednak nuli.
Određene nedoumice u modelu procjenjivanja kapitalne imovine može izazvati
investicija koja je negativno korelirana s tržištem kapitala, te zbog toga ima negativan
beta koeficijent ( < 0). U takvoj situaciji, prema modelu procjenjivanja kapitalne
imovine, karakteristični regresijski pravac vrijednosnog papira može zauzimati
položaj koji ukazuje na negativni očekivani prinos. U tom slučaju postavlja se pitanje
da li postoji investitor koji je spreman kupiti investiciju koja nudi gubitak umjesto
dobitka. Odgovor je pozitivan jer je poznato da u praksi postoje investitori koji
kupuju investicije s negativnim očekivanim prinosom isključivo radi osiguranja
investicijskog portfolia (primjer toga je polica dodatnog osiguranja automobila za
slučaj krađe).
Model procjenjivanja kapitalne imovine je u godinama nakon svog nastanka doživio
brojne kritike koje su prije svega bile usmjerene na krute pretpostavke prilikom
njegova formiranja, prvenstveno zbog nerealistične predodžbe u uvjetima stvarnog
svijeta. Mnogi testovi i dodatna empirijska istraživanja su pokazala na postojanje
značajnih odstupanja prinosa u odnosu na one koje je trebalo očekivati prema modelu.
Isto tako, potvrđena je pretpostavka da je beta koeficijent slaba mjera za sistematski
rizik jer je međuzavisnost između stopa prinosa vrijednosnih papira i njihovih beta
koeficijenata preniska. Unatoč tome, može se ustvrditi kako je ovaj model koristan
teoretski koncept koji se umjesto primjene ukupnog rizika vrijednosnih papira zasniva
na tržišnom riziku vrijednosnih papira. U tom smislu moguće je negirati praktičnu
upotrebljivost modela, ali primarno kao isključivog sredstva financijske analize i
upravljanja portfoliom vrijednosnih papira.
2.2.4. Arbitražna teorija procjenjivanja (APT)
26
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Arbitražna teorija procjenjivanja (APT - Arbitrage Pricing Theory) je razvijena kao
kritika na krute pretpostavke modela procjenjivanja kapitalne imovine. Iako se ova
teorija u mnogim slučajevima tretira kao poseban primjer višeindeksnog modela, u
stvarnosti se zbog svog izvoda smatra zasebnim modelom procjenjivanja kapitalne
imovine. Zasnovana je na principima arbitraže koja predstavlja simultanu kupnju i
prodaju identične (može i različite ali povezane) imovine na različitim tržištima.
Osobe koje obavljaju arbitražu pokušavaju simultanim zauzimanjem pozicija na
tržištu 18 ostvariti odgovarajući profit bez posjedovanja vlastite imovine za
investiranje. Njihov učinak se svodi na zakon jedne cijene prema kojem se identična
roba prodaje po istoj cijeni na različitim tržištima.
Osnovne pretpostavke arbitražne teorije procjenjivanja uglavnom odgovaraju
uvjetima stvarnog života te se stoga i svode na slijedeće činjenice:
investitori uglavnom preferiraju veću količinu bogatstva (blagostanja) u odnosu
na manju količinu bogatstva.
većina investitora ima averziju prema riziku, te ga stoga i prihvaćaju samo u
slučaju kada se taj rizik kompenzira većom očekivanom profitabilnošću.
svaki rizik se od strane investitora može procijeniti i numerički odrediti (to dovodi
do pretpostavke postojanja statistike rizika kojom se rangiraju investicije prema
stupnju rizičnosti).
Primjer jednadžbe pravca arbitražnog procjenjivanja s jednim faktorom rizika
prikazan je slijedećom relacijom:
rjt () = rf + bj (IV)
gdje rjt označava očekivani prinos na j-ti vrijednosni papir u vremenu t, rf nerizičnu
kamatnu stopu, nagib arbitražnog pravca odnosno procijenjenu vrijednost faktora
rizika, a bj koeficijent osjetljivosti vrijednosnog papira na promjene faktora rizika.
Ukoliko se pak za faktor rizika () uzme procijenjena premija rizika na tržišni indeks
(rmt - rf), u tom slučaju koeficijent osjetljivosti (bj) postaje beta koeficijent (j). Tada
18 Zauzimanje pozicija na tržištu - u praksi predstavlja jednu od dvije moguće orijentacije investitora na tržištu. Zauzimanjem kratke pozicije investitor se orijentira na ostvarenje koristi od sadašnje cijene movine (kratkoročno ulaganje). S druge strane, zauzimanjem duge pozicije investitor očekuje korist od buduće cijene imovine (dugoročno ulaganje).
27
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
je relacija jednaka konačnom izrazu modela procjenjivanja kapitalne imovine (III),
što podrazumijeva identičan način rješavanja problema.
Za one investicije koje se prema rizičnim i profitnim obilježjima trenutno ne nalaze
na pravcu arbitražnog procjenjivanja valja naglasiti kako će biti prisiljene postupkom
arbitraže pozicionirati se na arbitražnom pravcu. U tom slučaju arbitražom se djeluje
na istu rizičnu skupinu investicija kod kojih postoji precijenjenost ili podcijenjenost u
odnosu na pravac arbitražnog procjenjivanja (Slika 5 na strani 29).
Osim primjera jednadžbe pravca arbitražnog procjenjivanja s jednim faktorom rizika,
u praksi postoje i relacije koje u sebi sadrže više faktora rizika (N faktora). Opći
oblik jednadžbe pravca arbitražnog procjenjivanja s više faktora rizika bi u tom
slučaju izgledao ovako:
rjt = (N ) = rf + 1bj1 + 2bj2 + 3bj3 + ..... + NbjN (V)
gdje rjt predstavlja očekivani prinos na j-ti vrijednosni papir u vremenu t, rf nerizičnu
kamatnu stopu, tržišnu cijenu rizika za svaki od N faktora, a bj koeficijent
osjetljivosti vrijednosnog papira na promjene svakog od N faktora rizika.
Slika 5: Pravac arbitražnog procjenjivanja
Prinos vrijednosnog papira
rjt
rf
Ista rizična grupa Faktor rizika
28
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
S obzirom na broj nezavisnih varijabli o ovom modelu, način njegova rješavanja je
identičan kao i kod višeindeksnog modela gdje je krajnji cilj izračunavanje
parametara koje se uvrštavaju u jednadžbu multiple regresije. I u ovom slučaju broj
parametara b ovisi o broju nezavisnih varijabli odnosno o konačnom broju faktora
rizika (1,2,...,N).
Kao mogući faktori rizika pojavljuju se: rizik promjene kamatnih stopa, rizik
promjene kupovne moći, tržišni rizik, rizik managementa, rizik nenamirenja, rizik
likvidnosti, rizik konverzije i drugi faktori rizika. Kada će koji od navedenih rizika
koristiti u svojem modelu, ovisit će prvenstveno o sposobnosti analitičara da ocijeni
tržišnu cijenu rizika i statistički istraži osjetljivost pojedine investicije na promjene
korištenog faktora rizika.
Osnovni problem arbitražne teorije procjenjivanja, koja je relativno nova i kao takva
nedovoljno istražena, je definiranje konačnog broja faktora rizika kojima bi se u
potpunosti ocijenio prinos na neki vrijednosni papir odnosno investicijski portfolio.
3. Određivanje efikasnog investicijskog portfolia upotrebom
moderne portfolio teorije
U dosadašnjem dijelu magistarskog rada bilo je govora o osnovnim vrstama teorija
tržišta kapitala u koje između ostalih spada i moderna portfolio teorija. U ovom
poglavlju osnovni cilj analize je definiranje efikasnog investicijskog portfolia
korištenjem moderne portfolio teorije. Dakle, glavni preduvjet za analizu takvog
investicijskog portfolia se bazira na tome da se sve njegove karakteristike, parametri i
matematički modeli dobiju korištenjem osnovnih teorijskih postavki moderne
portfolio teorije.
Prvi korak u tom smjeru je definiranje najvažnijih karakteristika moderne portfolio
teorije koje se odnose na portfolio rizičnih investicija. Slijedeći korak je definiranje
efikasnog portfolia odnosno njegove efikasne granice. I na kraju, konačni zadatak je
upotreba određenih tehnika za izračunavanje efikasne granice koje se baziraju na
postavljenim matematičkim modelima. Takvi modeli u sebi sadrže osnovne parametre
koji definiraju modernu portfolio teoriju kao takvu.
Prilikom analize investicijskog portfolia usporedno su prikazane karakteristike
investicijskog portfolia obveznica i dionica te njihove efikasne granice. Saznanja koja
29
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
su pritom postignuta su od velike koristi za daljnju analizu, posebno za peto poglavlje
gdje je izvršena empirijska analiza odabranog investicijskog portfolia na temelju
stvarnih podataka.
3.1. Karakteristike portfolia rizičnih investicija
Kod moderne portfolio teorije kao i kod drugih teorija tržišta kapitala osnovne
karakteristike portfolia rizičnih investicija čine ukupni rizik, očekivani prinos, mjere
disperzije, kovarijanca i koeficijent korelacije koji se izračunavaju na temelju
dostupnih podataka iz vremenske serije ulaznih varijabli tj. investicija u portfoliu. To
je i razumljivo s obzirom da je moderna portfolio teorija prema vremenu svog
nastanka prethodila ostalim teorijama tržišta kapitala koje su na taj način i mogle
iskoristiti osnovne pretpostavke moderne portfolio teorije uz mogućnost primjene
određenih modifikacija i poboljšanja. Stoga je i očigledno da se analiza karakteristika
moderne portfolio teorije u velikoj mjeri ne razlikuje od spomenutih karakteristika
kod drugih teorija tržišta kapitala. Osnovna razlika je u primjeni ukupnog rizika kod
moderne portfolio teorije i primjeni sistematskog rizika ( koeficijent) kao jedne od
komponenti ukupnog rizika kod ostalih teorija tržišta kapitala.
3.1.1. Pojam i procjena ukupnog rizika investicijskog portfolia
Pod pojmom rizika podrazumijeva se unaprijed poznata vjerojatnost nastupanja
događaja u budućnosti. Tehnički, rizik se definira kao poznavanje stanja u kojem se
kao posljedica neke odluke može pojaviti niz rezultata čija je vjerojatnost nastupanja
poznata donosiocu odluke. Na taj način definicijom rizika može se kvantificirati
nesigurnost. Kvantifikacija rizika se uglavnom vrši korištenjem teorijskih distribucija
vjerojatnosti događaja, najčešće je u pitanju normalna distribucija događaja koja je
definirana kao distribucija vjerojatnosti slučajnih pogrešaka učinjenih kod mjerenja.
Takva distribucija vjerojatnosti se može definirati kao određeni skup mogućih
rezultata s poznatim vjerojatnostima nastupanja svakog pojedinog rezultata.
30
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Rizik neke financijske imovine se može odrediti kao opasnost da se neće ostvariti
očekivani prinos na tu imovinu (postoji mogućnost da stopa prinosa kod ulaganja
bude manja od očekivane). On će biti veći što je veća volatilnost (kolebljivost)
ostvarenog prinosa prema očekivanom prinosu. Na taj način je distribucija
vjerojatnosti nastupanja mogućih rezultata ugrađena u samu definiciju pojma rizik
tako da je u pojmu rizika uključena, osim opasnosti od gubitka, i disperzija mogućih
rezultata u odnosu na onaj koji će se najvjerojatnije dogoditi. Ovaj rizik se mjeri
osnovnim parametrima analize distribucije vjerojatnosti: očekivanom vrijednošću
(E(r)) i varijancom (2) odnosno standardnom devijacijom (). U slučaju kada se
koristi normalna distribucija vjerojatnosti događaja definirani su slijedeći parametri:
očekivana vrijednost (tj. očekivani prinos) i standardno odstupanje (to je disperzija
rezultata oko očekivane vrijednosti).
S druge strane, investicijski portfolio predstavlja kombinaciju različitih vrijednosnih
papira koje vlasnik drži ili stvara u svrhu investiranja, odnosno radi ostvarenja profita.
Što je veća diverzifikacija takvog investicijskog portfolia, to je i veća redukcija rizika
u njemu. Stoga se može kazati kako je portfolio strategija prvenstveno i usmjerena na
smanjenje rizika investiranja. Općenito se može kazati da je imovina koja se drži u
investicijskom portfoliu manje rizična od one koja se drži zasebno. Ukoliko se pak
takvu zasebnu imovinu prenese u investicijski portfolio njen rizik će u potpunosti
nestati ili će biti znatno smanjen zbog držanja različitih vrijednosnih papira u takvom
investicijskom portfoliu. Valja pri tom napomenuti i to da je rizik investicijskog
portfolia mnogo kompleksniji za izračunavanje od rizika zasebne investicije (u
matematičkom smislu).
Isto tako, bitno je spomenuti kako nije nevažan podatak s kolikim ukupnim brojem
vrijednosnih papira raspolaže određeni investicijski portfolio. Naime, povećanjem
broja vrijednosnih papira u investicijskom portfoliu trebalo bi doći do određenog
smanjenja njegova rizika. Ipak, takvo povećanje ne može ići u beskonačnost s
obzirom da u određenom trenutku redukcija rizika usporava u odnosu na daljnji
porast diverzifikacije portfolia. To znači da se određeni dio rizika ne može u
potpunosti eliminirati diverzifikacijom investicijskog portfolia. Ta činjenica se može
povezati s analizom ukupnog rizika koji se sastoji od dvije osnovne komponente koje
u tom slučaju imaju presudne karakteristike. Prvu komponenta ukupnog rizika, kao
što je već spomenuto u prijašnjem poglavlju, predstavlja sistematski rizik odnosno
31
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
tržišni rizik. On proizlazi iz eksternih okolnosti (makroekonomskih) na koje
kompanija ne može utjecati (ciklička kretanja privrede, politika kamatnih stopa,
politika tečaja, inflacija i slično). Sve kompanije se direktno nalaze pod utjecajem tih
faktora te ih sukladno tome i ne mogu izbjeći eventualnom diverzifikacijom svog
investicijskog portfolia. Stoga se ovaj rizik može smatrati i nediverzificirajućim
rizikom. Druga komponenta ukupnog rizika predstavlja nesistematski rizik odnosno
specifični rizik. Ta vrsta rizika ovisi o kretanju prinosa kompanije povezanog s
faktorima (mikroekonomskim) na koje management te kompanije može imati
presudan utjecaj. Stoga je očigledno da se takav rizik može izbjeći diverzifikacijom
investicijskog portfolia te se zato i smatra diverzificirajućim rizikom. Kada se uzmu
u obzir obje komponente ukupnog rizika u odnosu na broj vrijednosnih papira u
određenom investicijskom portfoliu, dobije se slijedeći grafički prikaz (Slika 6 na
strani 33).
Slika 6: Efekt stupnja diverzifikacije na komponente ukupnog rizika portfolia
ukupni rizik portfolia
diverzificirajući rizik
nediverzificirajući rizik
broj vrijednosnih papira u portfoliu
Iz grafičkog prikaza je vidljivo da efekt stupnja diverzifikacije investicijskog portfolia
ima svoja ograničenja. U određenom vremenskom razdoblju držanja investicijskog
portfolia (tn , n = ukupan broj vrijednosnih papira) dolazi do situacije kada više
nikakvo povećanje broja vrijednosnih papira ne utječe na dodatno smanjenje ukupnog
rizika tog portfolia iz razloga što je ukupni rizik sačinjen samo od jedne komponente
koju čini nediverzificirajući rizik. Trenutak kada dolazi do takve situacije prije svega
ovisi o samoj strukturi odabranih vrijednosnih papira dotičnog investicijskog portfolia
32
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
(smatra se da je dovoljno imati 30 do 40 vrijednosnih papira u portfoliu da bi se to
desilo). No, isto tako valja znati da višestruko povećanje broja vrijednosnih papira u
određenom investicijskom portfoliu ima kao posljedicu bitno usporavanje
izračunavanja zadanih matematičkih modela (kao što je poznato, takva situacija ne ide
u prilog modernoj portfolio teoriji već njenim kritičarima).
Svaka individualno rizična investicija kada uđe u portfolio ima za posljedicu
promjenu tretmana svoga rizika. Relevantna rizičnost individualne investicije je njen
doprinos rizičnosti dobro diverzificiranog portfolia. Ona je predstavljena samo onim
dijelom ukupnog rizika koji će utjecati na promjene rizičnih karakteristika portfolia
ako se u njega uključi ta investicija. Zbog toga je ona i manja od ukupnog rizika (za
njenu ocjenu je bitna samo komponenta sistematskog rizika).
Iz do sada navedenih činjenica može se zaključiti kako postoje dva osnovna
parametra ocjene ukupnog rizika. Radi se o kriterijima koje definiraju očekivani
prinos i standardna devijacija. U situacijama kada postoji više investicija koje imaju
isti očekivani prinos ili istu standardnu devijaciju treba donijeti odluku prema
poznatim pravilima odlučivanja u uvjetima rizika. Takvom odlukom se uvijek
odabere jedna investicija koja je preferirana u odnosu na druge. Na primjer, uzete su u
analizu dvije investicije s istim očekivanim prinosom (A i B), koje su prikazane na
krivulji normalne distribucije (Slika 7).
Slika 7: Normalna distribucija investicija A i B s istim očekivanim prinosom
vjerojatnost () A
B
33
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
E (r) očekivani prinos
Kao što se vidi na grafičkom prikazu, obje investicije imaju iste očekivane prinose.
Kako je distribucija investicije B razvučenija od A, njezin vrh ima nižu visinu, a time
i manju vjerojatnost ostvarivanja očekivanog prinosa. Zbog toga je standardna
devijacija investicije B veća od standardne devijacije investicije A. U tom slučaju
investicija B pokazuje veću rizičnost i veću volatilnost prinosa. Iz ove činjenice se
može izvesti prvo pravilo odlučivanja - između investicija jednakog očekivanog
prinosa bira se ona koja ima manji rizik.
Analogno prethodnom primjeru, sada se analiziraju dvije investicije istih standardnih
devijacija (A i B) koje su prikazane na krivulji normalne distribucije (Slika 8).
Slika 8: Normalna distribucija investicija A i B s istom standardnom devijacijom
vjerojatnost () A B
E (r) E (r) očekivani
prinos
34
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
S obzirom da se radi o investicijama s istim standardnim devijacijama prema tom
kriteriju se ne mogu uspoređivati. U tom slučaju treba promatrati drugi kriterij, a to je
visina očekivanog prinosa. U ovom slučaju se može zaključiti kako je investicija B
bolja rješenje u odnosu na investiciju A jer u uvjetima iste volatilnosti prinosa daje
veći očekivani prinos. Iz toga se kao zaključak može izvesti drugo pravilo odlučivanja
- između investicija jednakog rizika bira se ona koja ima viši očekivani prinos.
Oba pravila odlučivanja su uvjetovana načelom korisnosti gdje vrijedi pretpostavka
da prosječni investitor nije sklon riziku i da veću korisnost daje veći očekivani prinos.
Sve navedene pretpostavke koje se odnose na definiciju rizika i njegovo
kvantificiranje pomoću distribucija vjerojatnosti događaja vrijede ukoliko je
postignuta pouzdana objektivnost određivanja odabrane distribucije vjerojatnosti. To
znači da postoji realna opasnost da procjena distribucije vjerojatnosti nije obavljena u
potpunosti korektno. Kod nekih tipova investicija koji imaju odgovarajuće podatke iz
prošlosti (što vrijedi za empirijske podatke koji su korišteni u ovom magisteriju),
distribucija vjerojatnosti događaja se definira na temelju ex-post procjene za koju se
može smatrati da je u tom slučaju objektivna. Njena objektivnost neće doći u pitanje
ukoliko ne dođe do promjena uvjeta u budućnosti u odnosu na one iz prošlosti koji su
predstavljali temelj takve procjene.
3.1.2. Definiranje očekivanog prinosa
Očekivani prinos portfolia je linearna funkcija vrijednosnih udjela investicija u
portfoliu. Stoga se i računa kao vagana aritmetička sredina pojedinačnih prinosa
investicija u portfoliu, pri čemu su ponderi vrijednosni udjeli pojedinačnih investicija
u ukupnoj vrijednosti portfolia:
E( r1 , r2 ,..., rp ) = j=1p E(rj) wj (VI)
gdje je E( r1 , r2 ,..., rp ) očekivani prinos portfolia, E(rj) očekivani prinos j-te
investicije, wj vrijednosni udjel j-te investicije (ponder), j pojedinačna investicija u
portfoliu i p ukupan broj investicija u portfoliu.
35
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Iz prethodne jednakosti je vidljivo kako je očekivani prinos investicijskog portfolia
jednostavna funkcija vrijednosnog udjela investicija u portfoliu. Ukupni prinos
portfolia će se uvijek ostvarivati u granicama intervala kojeg čine prinos
najprofitabilnije i prinos najmanje profitabilne investicije u investicijskom portfoliu.
Iz tog razloga se može zaključiti kako portfolio strategija nije usmjerena na postizanje
viših prinosa (maksimiziranje prinosa), već je njen osnovni cilj postići što manji rizik
ulaganja (minimiziranje rizika).
Iz navedenih karakteristika se može definirati postojanje određenih pravila koja se
odnose na očekivanu vrijednost (očekivani prinos), a korisno se primjenjuju u
postupku analize:
1. Očekivana vrijednost zbroja prinosa dvije investicije jednaka je zbroju očekivanih
prinosa svake pojedinačne investicije:
E(r1 + r2) = E(r1) + E(r2) . (VII)
2. Očekivana vrijednost konstante C pomnožene s prinosom investicije jednaka je
konstanti C pomnoženoj s očekivanim prinosom te investicije:
EC(r1) = CE(r1) . (VIII)
3.1.3. Mjere disperzije investicijskog portfolia
Za razliku od očekivanog prinosa, mjere disperzije investicijskog portfolia u koje
spadaju varijanca i standardna devijacija nisu linearne funkcije vrijednosnog udjela u
portfoliu. Razlog tome je što se moguće varijacije oko očekivanih vrijednosti svake
investicije ne moraju poklapati niti intenzitetom niti smjerom kretanja. Zbog toga
varijanca investicijskog portfolia ovisi o slijedećim parametrima:
vrijednosnim udjelima investicija,
varijancama investicija i
36
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
korelacijama među investicijama.
U praksi postoje dva moguća pristupa izračunavanja varijance odnosno standardne
devijacije bilo kojeg investicijskog portfolia:
preko distribucije vjerojatnosti portfolia i
izračunavanjem matrice kovarijanci.
Prvi način izračunavanja ima veliki nedostatak u tome što se prilikom svake promjene
vrijednosnog udjela investicija u portfoliu postupak izračunavanja mora ponavljati u
potpunosti. Zbog toga je primjerenija orijentacija na korištenje drugog pristupa koji
zahtjeva poznavanje varijanci investicija i međusobnih kovarijanci investicija. Na
temelju ta dva parametra moguće je izračunati varijance i standardne devijacije
portfolia kao funkcije vrijednosnog udjela investicija u portfoliu. U slučaju većeg
broja investicija u portfoliu, rasti će i broj potrebnih kovarijanci između investicija za
izračunavanje. Takav računski problem je moguće riješiti kvalitetnom primjenom
računala što podrazumijeva korištenje odgovarajućih programa kojima se znatno
skraćuje postupak rješavanja matrice kovarijanci (koja se sastoji od varijanci i
međusobnih kovarijanci investicija u portfoliu).
Tablica 1: Matrica kovarijanci
PONDERI w1 w2 w3 w4 ... wn
V.P. 1 2 3 4 ... nw1 1 var1
2 cov12 cov13 cov14 ... cov1n
w2 2 cov21 var22 cov23 cov24 ... cov2n
w3 3 cov31 cov32 var32 cov34 ... cov3n
w4 4 cov41 cov42 cov43 var42 ... cov4n
... ... ... ... ... ... ... ...wn n covn1 covn2 covn3 covn4 ... varn
2
Napomene uz tablicu:
PONDERI - vrijednosni udjeli investicija u portfoliu (w1, w2, w3, w4,..., wn).
V.P. - broj investicija (vrijednosnih papira) u portfoliu (1,2,3,4...n).
var - varijanca (npr. var12 11 = 1
2).
cov - kovarijanca (npr. cov43 43).
37
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Matrica kovarijanci se rješava na taj način da se kovarijance (odnosno varijance) u
svim poljima pomnože s vrijednosnim udjelima (ponderima) investicija za čije parove
se odnosi ta kovarijanca. Ako se uzme za primjer izračun varijance investicijskog
portfolia koji se sastoji od dvije investicije (1 i 2), matrica kovarijanci se rješava na
slijedeći način ( N=2 ; ji ):
2(rp) = i=1N wi
2i2 + i=1
N j=1N wiwjij =
12 12 w1 1
2w1 + 12w2
= w1 w2 = w1 w2 = 21 2
2 w2 21w1 + 22w2
= 12w1w1 + 12w1w2 + 21w1w2 + 2
2w2w2 , s obzirom da vrijedi
jednakost 12=21, dobije se konačni izraz koji predstavlja vrijednost varijance
investicijskog portfolia sastavljenog od dvije investicije:
2(rp) = 12w1
2 + 212w1w2 + 2
2w22 ; p=2. (IX)
Ako se na primjer odabere investicijski portfolio koji je sastavljen od tri investicije (1,
2 i 3), prema istom principu izračuna trebala bi se dobiti konačna vrijednost varijance
koja je predočena slijedećom jednakošću:
2(rp) = 12w1
2 + 2
2w22 + 3
2w32 + 212w1w2 + 213w1w3 +
223w2w3 ; p=3. (X)
Osim varijance portfolia, kao druga mjera disperzije je spomenuta standardna
devijacija portfolia koja se dobije slijedećom relacijom (za primjer je odabran
investicijski portfolio koji se sastoji od dvije investicije):
(rp) = (12w1
2 + 212w1w2 + 2
2w22)1/2 ; p=2. (XI)
Iz jednakosti se vidi da standardna devijacija portfolia zapravo predstavlja drugi
korijen varijance portfolia. Zbog te činjenice je u biti svejedno (nebitno) koja se od
ove dvije mjere disperzije koristi prilikom empirijske analize.
38
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
3.1.4. Kovarijanca i koeficijent korelacije
Kovarijanca i koeficijent korelacije spadaju u kategoriju ključnih mjera kojima se
mjeri efekt disperzije u portfoliu. To su mjere koje nastoje odraziti disperziju
distribucija vjerojatnosti prinosa pojedinačnih investicija i samog portfolia, te
povezanost među cikličkim kretanjima prinosa pojedinačnih investicija.
U analizi investicijskog portfolia kovarijanca pokazuje nepostojanost prinosa
investicija i tendenciju da se oni kreću gore i dolje u isto vrijeme kada se kreću gore i
dolje prinosi nekih drugih investicija. Kovarijanca pokazuje kako se zajedno kreću
prinosi dvaju investicija i koja je veličina njihovih promjena (nepostojanost).
Predstavlja sumu ponderiranih umnožaka odstupanja od očekivanih vrijednosti
dvije investicije. Ona je pozitivna za investicije čiji se prinosi mijenjaju u istom
smjeru, a negativna za one investicije čiji se prinosi kreću obrnuto. Što su veće
standardna devijacije prinosa investicija i što je međusobno kretanje njihovih prinosa
skladnije, to bi trebala biti veća i njihova kovarijanca. Ako je slučajno jedna od
investicija u portfoliu bez rizika, tada će kovarijanca s nekom drugom investicijom iz
istog portfolia biti jednaka nuli.
Iako je kovarijanca vrlo važna mjera korelacije koja ukazuje i na korelaciju i na
volatilnost međusobno povezanih pojava, upotrebom koeficijenta korelacije ti se
odnosi bolje izražavaju. Koeficijent korelacije je relativna mjera zajedničkog kretanja
dviju varijabli. Računa se kao odnos kovarijance između dvije varijable i umnoška
standardnih devijacija tih varijabli:
12 = 12 / 12 (XII)
gdje je 12 koeficijent korelacije između dvije investicije u portfoliu (1 i 2), 12 je
kovarijanca između dvije investicije u portfoliu (1 i 2), a 1 i 2 su standardne
devijacije tih investicija.
Koeficijent korelacije je jednostavniji izraz (ne)usklađenosti kretanja dviju veličina
odnosno njihove korelacije. Razlog tome je što su njegove vrijednosti definirane u
intervalu od -1 do +1. To je postignuto tako što je dijeljenjem kovarijance s
39
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
umnoškom standardnih devijacija iz mjere korelacije izbačena mjera volatilnosti.
Vrijednost koeficijenta korelacije od +1 predstavlja savršenu pozitivnu korelaciju
između dviju investicija (isti intenzitet promjena prinosa u istom smjeru). Ako je pak
vrijednost koeficijenta korelacije jednaka -1 tada ona predstavlja savršenu negativnu
koreliranost između dviju investicija (isti intenzitet promjena prinosa ali u različitim
smjerovima). Što je koeficijent korelacije apsolutno gledano manji, to je korelacija
manja pa se zbog toga i promjene prinosa odvijaju sve izraženijim intenzitetom.
Ukoliko je koeficijent korelacije jednak nuli, onda ne postoji veza između kretanja
prinosa na dvije investicije.
Osim kao mjera korelacije, koeficijent korelacije dvije investicije se može koristiti i
kao mjera stupnjevanja redukcije rizika koji se postiže diverzifikacijom ulaganja.
Ekstremna redukcija rizika se postiže kada se kombiniraju dvije investicije sa
savršeno negativnim korelacijama prinosa u slučaju kada je koeficijent korelacije
jednak minus jedan. S druge strane, ako je vrijednost koeficijenta korelacije između
dvije investicije jednaka plus jedan, tada neće doći do redukcije rizika. Sve ostale
vrijednosti unutar intervala mogućih rezultata (od -1 do +1) će u većoj ili manjoj
mjeri iskazivati redukciju rizika (što je negativnija vrijednost koeficijenta korelacije
to je veća redukcija rizika i obratno).
3.1.5. Analiza karakteristika investicijskog portfolia obveznica i dionica
Jedna od najvažnijih odluka s kojom se suočava svaki potencijalni investitor je vezana
uz odabir investicijskog portfolia. Naime, osnovno pitanje koje se pritom postavlja
glasi ovako: Da li investirati novčana sredstva u kupnju obveznica, dionica ili
eventualno treba odabrati kombinirani investicijski portfolio?
Na to pitanje nema konkretnog odgovora s obzirom na činjenicu da potencijalni
investitori mogu nastupati na tržištu s više različitih pozicija. Ovisno o tome koji mu
je osnovni cilj investiranja, da li je to minimiziranje rizika ulaganja ili maksimiziranje
očekivanog prinosa, investitor sukladno tome i ulaže svoja sredstva u određene
vrijednosne papire s kojima teži tome cilju. Da bi se barem djelomično pomoglo oko
donošenja odluke kod investiranja u obveznice ili dionice, za primjer je odabrana
analiza historijskih podataka s američkih financijskih tržišta. Za analizu odabranog
40
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
portfolia dionica koristili su se Standard and Poor’s indeksi dionica. Istodobno,
analiza odabranog portfolia obveznica je prezentirana pomoću Lehman Brothers
indeksa obveznica. Radi se dakle o respektabilnim kompanijama koje pružaju
raznolike financijske i investicijske usluge na vodećim financijskim tržištima širom
svijeta. Svi indeksi koji su prezentirani su bazirani na principu ukupnog prinosa što
znači da im je osim kapitalnog dobitka pribrojena i vrijednost dividendi (kad su u
pitanju dionice), odnosno vrijednost isplaćenih kamata (kad su u pitanju obveznice).
Za managere koji upravljaju portfoliom obveznica ili portfoliom dionica valja
spomenuti kako su parametri i pokazatelji koje upotrebljavaju i kod jednog i kod
drugog portfolia unatoč velikom broju različitih vrsta indeksa na financijskim
tržištima veoma slični. Stoga je i moguća ovakva vrsta usporedbe koja se prezentira
pomoću slijedeće dvije tablice:
Tablica 2: Historijski podaci o obveznicama i dionicama
Standardna devijacija: KoeficijentiRazdoblje Obveznice Dionice korelacije
''77 - ''81 9,70% 14,54% 0,34
''82 - ''86 6,63% 14,66% 0,41
''87 - ''91 4,72% 15,40% 0,49''77 - ''91 7,46% 14,87% 0,41
Tablica 3: Prosječni prinosi i standardne devijacije za kombinirani portfolio
obveznica i dionica
41
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Udio Udio Prosječni Standardneobveznica dionica prinosi devijacije
1,0 0,0 12,50% 14,90%
0,9 0,1 11,85% 13,63%
0,8 0,2 11,20% 12,38%
0,7 0,3 10,55% 11,15%
0,6 0,4 9,90% 9,95%
0,5 0,5 9,25% 8,80%
0,4 0,6 8,60% 7,70%
0,3 0,7 7,95% 6,69%
0,2 0,8 7,30% 5,82%
0,1 0,9 6,65% 5,16%0,0 1,0 6,00% 4,80%
Iz prikazanih podataka u tablicama mogu se izvesti slijedeći zaključci:
u petnaestogodišnjem razdoblju promatranja obveznica i dionica standardna
devijacija dionica je u svakom momentu bila veća od standardne devijacije
obveznica.
koeficijenti korelacije između obveznica i dionica su bili pozitivni te nisu imali
ekstremne vrijednosti (promjene u kretanju obveznica i dionica kao usporedivih
veličina su bile u istom smjeru i umjerenog intenziteta).
porastom udjela dionica u investicijskom portfoliu rastao je i očekivani prinos uz
istodobni porast standardne devijacije.
porastom udjela obveznica u investicijskom portfoliu padao je očekivani prinos uz
istodobni pad standardne devijacije.
Dakle, kao konačni zaključak se nameće slijedeća hipoteza:
Agresivni investitor kojemu je osnovni cilj maksimizirati očekivani prinos mora biti
sklon riziku te će zbog toga ulagati u dionice. S druge strane, konzervativni investitor
ima kao osnovni cilj minimiziranje rizika ulaganja, te će zbog toga ulagati u
obveznice iako one daju manji očekivani prinos. Svi oni koji nisu spremni preuzeti
jednu od dvije navedene uloge, mogu ulagati u kombinirana portfolia koja će u tom
slučaju gledajući oba zadana kriterija davati prosječne rezultate (ali u pravilu ne i
linearne odnosno jednako raspoređene na vrijednosti očekivanog prinosa i rizika).
42
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
3.2. Definicija efikasnog portfolia odnosno efikasne granice
Ovaj dio magistarskog rada se bavi efikasnim portfoliom odnosno efikasnom
granicom. Do sada se u prethodnim poglavljima moglo vidjeti kako bilo koji
investicijski portfolio može biti sastavljen od dvije ili više investicija. Isto tako,
postoji neograničen broj kombinacija vrijednosnih udjela pojedinih investicija u
nekom investicijskom portfoliu. Kad se radi o tipovima investicija u portfoliu,
zaključak je da svaki investicijski portfolio može biti sastavljen od obveznica, dionica
i drugih vrijednosnih papira ili eventualno kombiniran od više vrsta vrijednosnih
papira. Sve te različite kombinacije investicija u portfoliu predstavljaju njihova
moguća portfolia. Da bi se uspješno upravljalo investicijskim portfoliom valjalo bi od
svih mogućih kombinacija izdvojiti one koje su prema određenim kriterijima bolje od
drugih. Evidentno je da su takva investicijska portfolia efikasnija u odnosu na neka
druga. Kriteriji kojim se određuje dominacija nekog investicijskog portfolia u odnosu
na druga portfolia su već ranije spomenuti očekivani prinos i rizik ulaganja.
3.2.1. Međuovisnost prinosa i rizika s obzirom na vrijednosti koeficijenta
korelacije
Očekivani prinos i rizik su definirani kao glavni kriteriji pomoću kojih se određuje
efikasan portfolio. No, da bi se došlo do efikasnog portfolia potrebno je definirati
moguća investicijska portfolia za što je pak potrebno poznavanje koeficijenata
korelacije. Stoga je odabran za razmatranje jedan hipotetski primjer pomoću kojeg su
ilustrirane sve moguće kombinacije očekivanog prinosa i rizika investicijskog
portfolia u odnosu na vrijednosti koeficijenata korelacije.
Radi se o primjeru investicijskog portfolia koji se sastoji od dvije investicije A i B. Te
investicije (vrijednosni papiri) imaju slijedeće karakteristike:
Tablica 4: Očekivani prinosi i standardna devijacija investicija A i B
Očekivani StandardneInvesticija prinosi devijacije
A 14,00% 6,00%B 8,00% 3,00%
43
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Iz tablice je vidljivo da investicija A ima veći očekivani prinos, ali i veću standardnu
devijaciju u odnosu na investiciju B.
Ukoliko se sada u analizu uvedu i vrijednosti koeficijenata korelacije dobiju se 4
primjera veza između očekivanih prinosa i standardne devijacije:
1. primjer: Savršena pozitivna korelacija ( = +1)
Očekivani prinos portfolia je jednak: E(rp) = E(rA) wA + E(rB) wB .
Standardna devijacija glasi: (rp) = (A2wA
2 + 2ABwAwB + B
2wB2)1/2 . S
obzirom da se zna broj investicija u portfoliu, u tom slučaju vrijedi: wA + wB = 1,
odnosno kada se izrazi investicija B preko investicije A dobije se slijedeća jednakost:
wB = 1 - wA , koju se tada uvrštava u prve dvije jednakosti pa se dobije da je
očekivani prinos portfolia jednak: E(rp) = E(rA) wA + E(rB) (1-wA) , a
standardna devijacija portfolia iznosi: (rp) = A2wA
2 + 2ABwA(1-wA) +
B2(1-wA)21/2 .
Dobiveni rezultati očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia za različite
kombinacija udjela investicija u portfoliu se nalaze u Tablici 5, a graf međuovisnosti
očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia u uvjetima savršene korelacije (
= +1) je prikazan na Slici 9.
Tablica 5: Očekivani prinosi i standardne devijacije investicijskog portfolia u
uvjetima savršene pozitivne korelacije ( = +1)
44
Udio Udio Prosječni Standardnainvesticije A investicije B prinos portfolia devijacija portfolia
0,0 1,0 8,00% 3,00%
0,2 0,8 9,20% 3,60%
0,4 0,6 10,40% 4,20%
0,6 0,4 11,60% 4,80%
0,8 0,2 12,80% 5,40%
1,0 0,0 14,00% 6,00%
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Slika 9: Međuovisnost očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia u
uvjetima savršene pozitivne korelacije ( = +1)
E(rp)
14 % A
8 % B
3 % 6 % (rp)
Analogno prvom primjeru, u preostala tri slučaja se koriste iste jednakosti za
izračunavanje očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia. Na identičan način
su prikazani dobiveni rezultati u tablicama, te su isto tako na grafikonima prikazane
međuovisnosti očekivanog prinosa i standardne devijacije.
2. primjer: Savršena negativna korelacija ( = -1)
Tablica 6: Očekivani prinosi i standardne devijacije investicijskog portfolia u
uvjetima savršene negativne korelacije ( = -1)
Slika 10: Međuovisnost očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia u
uvjetima savršene negativne korelacije ( = -1)
45
Udio Udio Prosječni Standardnainvesticije A investicije B prinos portfolia devijacija portfolia
0,0 1,0 8,00% 3,00%
0,2 0,8 9,20% 1,20%
0,4 0,6 10,40% 0,60%
0,6 0,4 11,60% 2,40%
0,8 0,2 12,80% 4,20%
1,0 0,0 14,00% 6,00%
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
E(rp)
14 % A
10 %
8 % B
3 % 6 % (rp)
3. primjer: Ne postoji veza između kretanja prinosa 2 investicije ( = 0)
Tablica 7: Očekivani prinosi i standardne devijacije investicijskog portfolia u
uvjetima kada ne postoji veza između kretanja prinosa 2 investicije ( = 0)
Slika 11: Međuovisnost očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia u
uvjetima kada ne postoji veza između kretanja prinosa 2 investicije ( = 0)
E(rp)
14 % A
8 % B
46
Udio Udio Prosječni Standardnainvesticije A investicije B prinos portfolia devijacija portfolia
0,0 1,0 8,00% 3,00%
0,2 0,8 9,20% 2,68%
0,4 0,6 10,40% 3,00%
0,6 0,4 11,60% 3,79%
0,8 0,2 12,80% 4,84%
1,0 0,0 14,00% 6,00%
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
3 % 6 % (rp)
4. primjer: Pozitivna korelacija srednje jakosti ( = +0,5)
Tablica 8: Očekivani prinosi i standardne devijacije investicijskog portfolia u
uvjetima pozitivne korelacije srednje jakosti ( = +0,5)
Slika 12: Međuovisnost očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia u
uvjetima pozitivne korelacije srednje jakosti ( = +0,5)
E(rp)
14 % A
8 % B
47
Udio Udio Prosječni Standardnainvesticije A investicije B prinos portfolia devijacija portfolia
0,0 1,0 8,00% 3,00%
0,2 0,8 9,20% 3,17%
0,4 0,6 10,40% 3,65%
0,6 0,4 11,60% 4,33%
0,8 0,2 12,80% 5,13%
1,0 0,0 14,00% 6,00%
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
3 % 6 % (rp)
Pregledom dobivenih rezultata i grafičkih prikaze međuovisnosti očekivanih prinosa i
standardne devijacije portfolia, može se vidjeti kako se ovisno o intenzitetu
koeficijenta korelacije (od -1 do +1) mijenjaju i oblici dobivenih krivulja (grafičkim
prikazom na Slici 13 dane su sve moguće vrijednosti koeficijenata korelacije koje su
do sada korištene u analizi). Tako dobiveni rezultati su korišteni kod onog segmenta
analize gdje se na temelju grafičkog prikaza definirao efikasan portfolio dvaju
investicija (A i B).
Slika 13: Međuovisnost očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia za
različite vrijednosti koeficijenata korelacije
E(rp) -1 = 0 = +0,5 = +1
14 % A
8 % B
3 % 6 % (rp)
3.2.2. Pojam efikasnog portfolia odnosno efikasne granice
Svaki investicijski portfolio koji dominira nad drugim kombinacijama portfolia se
može smatrati efikasnim portfoliom, te će zbog toga i uvijek biti odabran od strane
bilo kojeg racionalnog investitora. Efikasan portfolio je onaj koji između svih
kombinacija koje obećavaju isti prinos ima najniži rizik, odnosno koji između svih
kombinacija istog rizika obećava najviši prinos.
48
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Pogleda li se grafički prikaz (Slika 13) koji se dobije kao rezultat međuovisnosti
očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia na primjeru dvije investicije za
različite vrijednosti koeficijenata korelacije, može se zaključiti slijedeće:
Svi dobiveni rezultati međuovisnosti prinosa i rizika predstavljaju moguća portfolia.
Postojanje efikasnog portfolia ovisi prije svega o intenzitetu koeficijenta korelacije
između investicija. U slučaju kada postoji savršena pozitivna korelacija između
investicija (=+1), tada ne postoji efikasan portfolio. Razlog tome je što je jedna od
investicija superiorna sa stajališta prinosa, a druga sa stajališta rizika pa stoga njihove
kombinacije ne smanjuju rizik (linearno povećanje prinosa portfolia uzrokuje isto
takvo smanjenje standardne devijacije portfolia i obratno). U svim drugim
slučajevima postoji efikasan portfolio (+1), jer dolazi do određene redukcije rizika
pa moguća portfolia imaju različite odnose prinosa i rizika (njihov odnos nije
linearan). Pri tome, samo jedna kombinacija minimizira rizik ulaganja u portfolio.
Sva moguća portfolia koja imaju prinos ispod onog s najnižim rizikom nisu efikasna
jer postoje druge kombinacije investicija koje uz isti rizik daju veći prinos.
Naravno, efikasan portfolio može se promatrati i u situacijama kada postoje više od
dvije investicije u portfoliu. U tom slučaju moguća kombinacija investicija u portfoliu
predstavlja određenu površinu kako je i ilustrirano na slijedećem grafičkom prikazu
(Slika 14):
Slika 14: Moguće kombinacije više investicija u portfoliu
E(rp)
K D
C
E
prinos K B E
F
A H G
49
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
rizik (rp)
Sve označene točke na rubu osjenčane površine (A,B,C,D,E,F,G i H) i one koje se
nalaze unutar te površine predstavljaju skup mogućih portfolia (odnosno skup
mogućih odluka). Efikasan portfolio predstavljaju dominantne kombinacije ulaganja,
one koje uz određeni rizik obećavaju najveći prinos ili uz neki zadani prinos imaju
najmanji rizik. Riječ je dakle o problemu višekriterijskog odlučivanja čiji se
kriterijski skup u ovom slučaju sastoji od 2 osnovna kriterija odlučivanja odnosno 2
funkcije cilja (maksimalni prinos i minimalni rizik). Takav problem naziva se i
bikriterijskim problemom odlučivanja. Za skup mogućih portfolia na Slici 14,
efikasan portfolio se određuje na taj način da se na grafički prikaz nanese konveksni
konus K. Izgled konusa prije svega ovisi o kriterijima koju su relevantni za rješavanje
problema. S obzirom da se traži maksimalni prinos i minimalni rizik ulaganja, u tom
slučaju je na grafičkom prikazu konus usmjeren prema gore-lijevo. Tada je svako
efikasno rješenje ona kombinacija portfolia koja unutar svoga konusa ne sadrži
niti jednu drugu kombinaciju portfolia. Prema prikazanom skupu mogućih
kombinacija portfolia, očigledno je kako postoji više efikasnih rješenja s identično
ucrtanim konusom (koji za rješenje imaju prazan skup). Takav skup efikasnih rješenja
ne izdvaja niti jedno rješenje (jer ne postoji idealno rješenje koji bi u ovom slučaju
nudilo maksimalni prinos i minimalni rizik istovremeno), već su sve takve
kombinacije portfolia međusobno ravnopravne. Dobiveni skup portfolia se naziva
efikasna granica jer obuhvaća skup efikasnih portfolia. U situaciji kada se želi
definirati kompromisno rješenje, na temelju određenog kriterija optimizacije se
odabire samo jedno rješenje iz postojećeg skupa efikasnih rješenja. Takvo rješenje se
još naziva i optimalno rješenje (definiranje optimalnog rješenja je tema 4.
poglavlja). Dakle, na temelju prethodnog grafičkog primjera, može se zaključiti da
efikasnu granicu predstavlja krivulja koja spaja točke A, B, C i D. Ispod krivulje
efikasne granice su sve druge moguće kombinacije portfolia koje su inferiornije u
odnosu na portfolia na efikasnoj granici. Grafički prikaz efikasne granice je dan na
Slici 15.
Slika 15: Efikasna granica
50
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
E(rp)
D
C
prinos B
A
rizik (rp)
3.2.3. Efikasna granica u uvjetima kada kratka prodaja nije dozvoljena
Na prethodnom grafikonu se vidi kako izgleda efikasna granica na primjeru mogućeg
skupa investicijskih portfolia. Slijedeći korak u analizi efikasne granice je uvođenje
novog pojma kojim se definira specifična radnja koju mogu obavljati vlasnici
investicijskih portfolia na financijskim tržištima. Radi se o ‘kratkoj prodaji’ koja
predstavlja jednu vrstu trgovine na financijskim tržištima. Pod tim pojmom se
podrazumijeva prodaja vrijednosnih papira koji nisu u fizičkom vlasništvu
investitora koji ih prodaje. Kada investitor kratko proda dotični vrijednosni papir,
tada se smatra da je taj vrijednosni papir fizički prodan. Ukoliko pak investitor ne
posjeduje vrijednosni papir koji želi kratko prodati, u tom slučaju se pojavljuje
posrednička firma (uobičajeno je riječ o brokerskoj firmi) koja taj isti vrijednosni
papir uzajmljuje od drugog investitora ili ga sama posuđuje investitoru ukoliko ga već
ima u svome vlasništvu. Posrednička firma uobičajeno posuđuje taj vrijednosni papir
iz postojećeg portfolia vrijednosnih papira koje drži za potrebe drugih investitora.
Vrijednosni papir čuvan u posredničkoj firmi od strane nekog investitora se smatra
vrijednosnim papirom registriranim na njegovo ime. Ako stvarni vlasnik tih
vrijednosnih papira da posredničkoj firmi dozvolu za kratku prodaju tih vrijednosnih
papira, tek tada će posrednička firma imati to pravo i učiniti. Stvarni vlasnik
vrijednosnog papira će u svakom trenutku imati pravo znati kada se dogodila
transakcija kratke prodaje i tko je posudio njegov vrijednosni papir. Kada investitor
fizički proda vrijednosni papir (obavi kratku prodaju), na kraju razdoblja u trenutku
51
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
isplate dividende (prinosa na vrijednosni papir), kompanija koja je izdala vrijednosni
papir će morati isplatiti dividendu i to novom vlasniku vrijednosnog papira. Ipak, da
bivši vlasnik vrijednosnog papira ne bi bio oštećen u transakciji kratke prodaje, za to
se mora pobrinuti investitor koji je obavio kratku prodaju. Tada investitor mora
bivšem vlasniku vrijednosnog papira isplatiti isti iznos dividende kao što je to učinila
i kompanija. Na kraju transakcije, investitor ponovo otkupljuje isti vrijednosni papir i
vraća ga natrag u posjed posredničkoj firmi od koje ga je i posudio.
U čemu je onda interes investitora koji obavlja cjelokupnu transakciju kratke prodaje?
Odgovor na to pitanje je dan na slijedećem konkretnom primjeru:
Pretpostavka je da određeni investitor vjeruje kako će se dionice kompanije X koje
sada vrijede 100 USD na kraju godine prodavati za 90 USD (očekivana vrijednost).
Investitor očekuje da će kompanija X na kraju godine isplatiti dividendu od 4 USD po
dionici. Ako investitor kupi jednu dionicu kompanije X tada je ostvaren slijedeći
novčani tok:
POČETAK GODINE KRAJ GODINE
1. kupnja dionice -100 USD
2. isplaćene dividende +4 USD
3. prodaja dionice +90 USD
Ukupni novčani tok: -100 USD +94 USD
Ukoliko ova dionica nema neuobičajenu korelaciju s drugim dionicama u
investitorovom portfoliu, vrlo je malo vjerojatno da će je ijedan investitor željeti imati
u svom portfoliu s obzirom na negativni iznos novčanog tijeka. No ipak, postoje
investitori koji će biti spremni za takvu vrstu transakcije. U tom slučaju mora
postojati investitorov poznanik (u ovom primjeru mijenja posredničku firmu) koji
posjeduje dionicu kompanije X, te ima drugačija očekivanja od investitora glede
vrijednosti dionice. Zbog toga je spreman takvu dionicu i dalje držati u svom
vlasništvu. U tom slučaju investitor može posuditi poznanikovu dionicu, uz obećanje
poznaniku da će jednako proći (u financijskom smislu) kao da je ta dionica ostala u
njegovu posjedu. Tada investitor može prodati dionicu i zaraditi 100 USD. Kada
kompanija X plati dividendu dioničarima u visini 4 USD, investitor svom poznaniku
mora iz vlastitih sredstava isplatiti 4 USD, zbog danog obećanja prilikom posudbe
dionice. Na kraju godine, investitor može otkupiti dionicu po novoj tržišnoj
52
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
vrijednosti od 90 USD (očekivana vrijednost) i vratiti je svome poznaniku natrag u
posjed. U tom slučaju je novčani tok:
POČETAK GODINE KRAJ GODINE
1. prodaja dionice +100 USD
2. isplaćene dividende -4 USD
3. kupnja dionice -90 USD
Ukupni novčani tok: +100 USD -94 USD
Može se zaključiti kako posuđivač dionice u cijeloj transakciji nije prošao ništa lošije
(nakon godine dana i dalje ima u svom vlasništvu dionicu plus isplaćene dividende za
tu godinu). S druge strane, uzajmljivač je uspio stvoriti vrijednosni papir koji ima
obrnute karakteristike od onog prilikom kupnje dionice kompanije X (kao što je
prikazano na primjeru prvog novčanog toka). Nakon podmirenja svih svojih obveza
ukupna zarada investitora iznosi 6 USD. Jedina razlika ovog primjera i realnog života
je ta da bi posuđivač dionice eventualno mogao tražiti dodatne kompenzacije od
uzajmljivača (pokriće osiguranja dionice, troškova posudbe i slično).
Iz navedenog primjera je evidentno kako je osnovni razlog za obavljanje transakcije
kratke prodaje zapravo očekivanje investitora da će doći do pada cijene vrijednosnog
papira u kojem slučaju bi on mogao ostvariti profit. Postoje i drugi razlozi za
obavljanje transakcija kratke prodaje. Najvažniji razlog je smanjenje osjetljivosti
portfolia na kretanja na tržištu što je posljedica činjenice da je prinos na kratku
prodaju u suprotnosti s prinosom na dugoročnu kupnju vrijednosnih papira. U tom
slučaju vrijedi za portfolia u koja su uključene i jedna i druga vrsta transakcije da
smanjuju svoju izloženost kretanjima na tržištu.
Izgled grafa efikasne granice u uvjetima kada kratka prodaja nije dozvoljena je u
potpunosti identičan grafu efikasne granice na prethodnom primjeru (krivulja na tom
segmentu ima logaritamski oblik). Njegova glavna karakteristika je ta da se radi o
krivulji koja je konkavna funkcija očekivanog prinosa i standardne devijacije u
prostoru koji se proteže od minimalne varijance (točka A) do maksimalnog prinosa
portfolia (točka B). Grafički prikaz je dan na Slici 16.
Slika 16: Efikasna granica u uvjetima kada kratka prodaja nije dozvoljena
53
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
E(rp)
B
prinos
A
rizik (rp)
3.2.4. Efikasna granica u uvjetima kada je kratka prodaja dozvoljena
Na osnovu rezultata analize transakcije kratke prodaje, može se zaključiti da ona ima
smisla samo u situacijama kada je očekivani prinos vrijednosnog papira od strane
investitora negativan. Sada je potrebno vidjeti na koji način kratka prodaja utječe na
izgled krivulje efikasne granice. No da bi se to protumačilo, nužno je vratiti se malo
unazad na slučaj kada je analizirana međuovisnost očekivanog prinosa i standardne
devijacije portfolia u uvjetima kada je koeficijent korelacije bio jednak 0,5 tj.
pozitivan i srednje jakosti ( = +0,5). Raniji rezultati iz Tablice 8 i grafičkog prikaza
na Slici 12 (strana 47) su i dalje važeći, samo što sada treba proširiti vrijednosni dio
udjela dvaju investicija u portfoliu (wA i wB) na interval od -1 do +2. Razlog tome je
što se uz dozvoljenu kratku prodaju može prodati onaj vrijednosni papir u portfoliu
koji ima manji očekivani prinos te kupiti novi vrijednosni papir s višim očekivanim
prinosom. Rezultati očekivanih prinosa i standardne devijacije portfolia u uvjetima
kada je kratka prodaja dozvoljena dani su u Tablici 9 na slijedećoj strani.
Ako se primijene ovi rezultati, u tom slučaju grafički izgled krivulje efikasne granice
u uvjetima kada je kratka prodaja dozvoljena izgleda kako je prikazano na Slici 17 na
strani 56. Krivulja s točkama ABC predstavlja efikasnu granicu za jedan dio mogućih
portfolia. Ostali dio portfolia ne predstavlja efikasnu granicu (iscrtkana linija na
grafu), ali je moguć zbog ostvarenih negativnih udjela portfolia A i B (vrijednosti od
0 do -1). Sve dok je kombinacija dva portfolia konkavna, efikasni skup ABC je
54
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
također konkavan. Njegova krivulja još uvijek započinje u točki A kada je varijanca
portfolia minimalna, ali ne završava u točki B koja je, u uvjetima kada nije bila
dozvoljena kratka prodaja, predstavljala maksimalni prinos portfolia. Naime, u
uvjetima kratke prodaje na efikasnoj granici ne postoji konačna gornja ograda
odnosno konačna vrijednost očekivanog prinosa portfolia. Kao što se vidi na
grafičkom prikazu na Slici 17, maksimalni prinos portfolia se dostiže tek u točki C
odnosno u beskonačnosti (to je naravno hipotetski primjer).
Tablica 9: Očekivani prinosi i standardne devijacije investicijskog portfolia u
uvjetima pozitivne korelacije srednje jakosti ( = +0,5)
i dozvoljene kratke prodaje
Slika 17: Efikasna granica u uvjetima kada je kratka prodaja dozvoljena
E(rp) C
55
Udio Udio Prosječni Standardnainvesticije A investicije B prinos portfolia devijacija portfolia
-1,0 2,0 2,00% 6,00%
-0,8 1,8 3,20% 5,13%
-0,6 1,6 4,40% 4,33%
-0,4 1,4 5,60% 3,65%
-0,2 1,2 6,80% 3,17%
0,0 1,0 8,00% 3,00%
0,2 0,8 9,20% 3,17%
0,4 0,6 10,40% 3,65%
0,6 0,4 11,60% 4,33%
0,8 0,2 12,80% 5,13%
1,0 0,0 14,00% 6,00%
1,2 -0,2 15,20% 6,92%
1,4 -0,4 16,40% 7,87%
1,6 -0,6 17,60% 8,84%
1,8 -0,8 18,80% 9,82%
2,0 -1,0 20,00% 10,82%
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
B
prinos
A
rizik (rp)
3.2.5. Efikasna granica u uvjetima bezrizičnog uzajmljivanja i
pozajmljivanja
U dosadašnjem dijelu analize isključivo je bilo riječi o rizičnim investicijskim
portfolijima. Uvođenjem bezrizične financijske imovine u mogući skup portfolia
bitno se pojednostavljuje daljnji tok analize. Pozajmljivanje po bezrizičnoj stopi može
se smatrati kao investiranje u financijsku imovinu koja daje izvjesnu razinu prinosa
(najčešće su u pitanju kratkoročni blagajnički zapisi države). Isto tako, ako se
uzajmljivanje smatra kao prodaja recimo kratkoročnih papira, onda i ono može biti
postignuto po bezrizičnoj stopi prinosa.
Prvo se istražuje slučaj u kojem investitori mogu pozajmljivati i uzajmljivati
neograničene količine investicija po bezrizičnoj stopi prinosa. Pretpostavka kaže da je
investitor zainteresiran za plasiranje dijela svojih sredstava u neki portfolio A, kao i
za uzajmljivanje i pozajmljivanje. U skladu s tim činjenicama može se veoma lako
uspostaviti matematički model u kojem su obuhvaćene sve kombinacije portfolia A,
te mogućnost pozajmljivanja i uzajmljivanja. Neka je w udio originalnih sredstava
koje investitor plasira u portfolio A. Pritom treba znati da w može biti veće od 1,
zbog ranije spomenute pretpostavke prema kojoj investitor može posuđivati sredstva
po bezrizičnoj stopi i sve ih dodatno investirati u portfolio A. Ako je udio sredstava
koje investitor plasira u portfolio A jednak w, tada će udio sredstava plasiranih u
bezrizičnu imovinu biti 1-w. U tom slučaju je očekivani prinos kombinacije
bezrizične imovine i rizičnog portfolia jednak:
56
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
rc = (1-w)rf + wrA (XIII)
gdje je rc očekivani prinos kombinacije bezrizične imovine i rizičnog portfolia, rf
izvjesna stopa prinosa bezrizične imovine, rA očekivana stopa prinosa portfolia A i w
udio originalnih sredstava koje investitor plasira u portfolio A.
Rizik odnosno standardna devijacija kombinacije rizičnog i bezrizičnog portfolia
jednaka je:
(rc) = (f2(1-w)2
+ 2fAw(1-w) + A2w2)1/2 (XIV)
gdje je (rc) standardna devijacija kombinacije portfolia, f standardna devijacija
bezrizične imovine, fA kovarijanca između bezrizične imovine i rizičnog portfolia,
A standardna devijacija portfolia A, i w udio originalnih sredstava koje investitor
plasira u portfolio A.
Ukoliko se pak prema formuli za koeficijent korelacije između dvije varijable (XII)
izrazi kovarijanca fA , dobije se slijedeći izraz:
(rc) = (f2(1-w)2
+ 2fAf A w(1-w) + A2w2)1/2 . (XV)
S obzirom da je prinos bezrizičnog portfolia izvjestan, standardna devijacija od
prinosa na bezrizičnu imovinu mora biti jednaka nuli (f = 0). U tom slučaju
jednakost (XV) se mijenja, pa se dobije slijedeći izraz:
(rc) = (A2w2)1/2 = Aw . (XVI)
Ako se iz jednakosti želi izraziti udio originalnih sredstava w koje investitor plasira u
portfolio A, dobije se da je w = (rc) / A odnosno, radi lakšeg pisanja vrijedi da je
w = c / A . Uvrštenjem tog izraza u relaciju (XIII) dobije se nova jednakost za
očekivani prinos kombinacije portfolia rc = ( 1- c/A )rf + ( c/A )rA . Naknadnim sređivanjem izraza dobije se konačna jednakost:
rc = rf + ( (rA-rf) / A ) c . (XVII)
57
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Može se primijetiti kako se radi o najobičnijoj jednadžbi pravca. Sve kombinacije
bezrizičnog uzajmljivanja i pozajmljivanja s portfoliom A leže na pravcu u prostoru
očekivanog prinosa standardne devijacije. Prema grafičkom prikazu na Slici 18
(strana 59) vidi se da je odsječak na osi rc jednak stopi prinosa bezrizične imovine, a
koeficijent smjera iznosi (rA-rf) / A .
Slika 18: Očekivani prinosi i rizici kada je bezrizična stopa prinosa
u kombinaciji s portfoliom A
rc uzajmljivanje pozajmljivanje
rA A
rf
A c
Isto tako, vidi se da pravac na grafu prolazi kroz točku A s koordinatama (A,rA).
Primjećuje se da je lijevo od točke A područje u kojem se kombiniraju portfolio A i
uzajmljivanje. Razlog tome je što u slučaju kada investitor nekome posuđuje sredstva
tada želi to učiniti uz što manji mogući rizik. Sigurno je da će prinos na ta sredstva
biti veći od ulaganja u nerizična portfolia, ali istovremeno i rizik će biti manji od
rizika alternativnog ulaganja u portfolio A. Desno od točke A se nalazi područje u
kojem se kombiniraju portfolio A i pozajmljivanje. Ukoliko investitor posuđuje
sredstva od nekoga, želi to činiti uz veći očekivani prinos nego da je ulagao u
portfolio A. Pritom će naravno i rizik biti veći. Zaključak iz provedene analize je
slijedeći:
58
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Investitor koji posuđuje svoju imovinu drugom investitoru ima za glavni cilj
minimizirati rizik posudbe uz što veći mogući prinos (svakako veći od onog
nerizičnog). Isto tako, u slučaju kada investitor posuđuje imovinu kod drugog
investitora njegova namjera je pritom maksimizirati očekivani prinos uz neizbježno
povećanje rizika.
Portfolio A koji je odabran za ovu analizu nema nekih specijalnih obilježja.
Kombinacija bilo kojeg vrijednosnog papira ili nekog portfolia s opcijom bezrizičnog
uzajmljivanja ili pozajmljivanja leži uzduž pravca u prostoru očekivanog prinosa
standardne devijacije. Slijedeći grafički prikaz je dan na Slici 19, gdje su prikazane
razne kombinacije nerizične imovine i rizičnih portfolia.
Slika 19: Kombinacije bezrizične imovine i različitih rizičnih portfolia
rc H
D
C
B
rf A
c
Očigledno je da svaki investitor, koji je spreman doseći efikasnu granicu i stopu
prinosa uz bezrizično uzajmljivanje i pozajmljivanje, odabire jedan te isti portfolio iz
skupa mogućih rizičnih portfolia (A, B, C i D) na krivulji efikasne granice, a to je
portfolio D. Točka u kojoj pravac bezrizičnog uzajmljivanja i pozajmljivanja tangira
na krivulju efikasne granice rizičnih portfolia uvijek predstavlja ključnu točku za
odabiranje referentnog portfolia (u ovom slučaju portfolio D). U tom slučaju nova
efikasna granica predstavlja kombinaciju bezrizičnog i rizičnog portfolia na segmentu
rf - D - H. Neki od investitora koji žele izbjeći rizik ulažu u kombinaciju bezrizičnog
portfolia i rizičnog portfolia D na segmentu pravca rf - D. Isto tako, oni investitori
koji su spremni izložiti se većem riziku ulažu u kombinaciju rizičnog portfolia D i
59
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
bezrizičnog portfolia na segmentu pravca D - H. Svi preostali investitori mogu
jednostavno plasirati svoja sredstva samo u rizični portfolio D.
Sposobnost otkrivanja odgovarajućeg portfolia za investiranje u kombinaciji rizične i
bezrizične imovine, bez ikakvih saznanja o tome kakve su sklonosti investitora,
pokazuje se teoremom separacije. Kao prva mogućnost je pretpostavka da investitor
može uzajmljivati sredstva po bezrizičnoj stopi prinosa, ali ih ne može i pozajmljivati
po toj istoj stopi. U tom slučaju grafički prikaz efikasne granice u uvjetima
uzajmljivanja po bezrizičnoj stopi prinosa je ilustriran crtežom na Slici 20.
Slika 20: Efikasna granica u uvjetima uzajmljivanja po bezrizičnoj stopi prinosa
rc
I
D
rf
c
Efikasna granica predstavlja kombinaciju nerizičnog i rizičnog portfolia na segmentu
rf - D - I. Naravno, u ovakvoj situaciji jedan dio investitora će svoj portfolio rizičnih
sredstava držati alociran između točaka D i I. S druge strane, bilo koji investitor koji
drži bezrizičnu imovinu će eventualno preostali dio svoje imovine pozicionirati u
rizični portfolio D.
Druga mogućnost govori o tome kako investitori koji mogu uzajmljivati sredstva po
jednoj stopi moraju platiti drugačiju i vjerojatno veću stopu kada pozajmljuju
sredstva. To je prikazano grafički na Slici 21 (strana 62). Na grafu su prikazane dvije
različite bezrizične stope prinosa (rf i r'f) koje u kombinaciji definiraju efikasnu
granicu u intervalu rf - D - E - F. U tom slučaju postoji mali odsječak na krivulji
efikasne granice rizičnih portfolia koji bi za svakog investitora trebao biti
odgovarajući. Uz pretpostavku da među dvoma bezrizičnim stopama prinosa (rf i r'f)
60
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
nije prevelika razlika, može se odsječak D - E na krivulji efikasne granice rizičnog
portfolia smatrati prihvatljivim za držanje sredstava investitora. Takvo
aproksimativno rješenje se smatra vrlo dobrim u situaciji nepoznavanja investitorovih
sklonosti (i nepostojanja odgovarajućeg matematičkog modela).
Slika 21: Efikasna granica u uvjetima uzajmljivanja i pozajmljivanja po različitim
bezrizičnim stopama prinosa
rc F
E
D
r'f
rf
c
3.2.6. Efikasna granica investicijskog portfolia obveznica i dionica
U dosadašnjem toku analize, na grafičkim primjerima na kojima je pokazan izgled
efikasne granice, nije bilo pobliže govora o tome da li se radi o portfoliama
obveznica, dionica ili eventualno kombiniranim portfoliama. Stoga je sada na redu
analiza izgleda efikasne granice u slučajevima kada je investicijski portfolio strogo
definiran. Da bi se to moglo ovdje prezentirati, treba ponuditi konkretni slučaj za
analizu. Do njega se došlo korištenjem primjera kojeg je Zdenko Prohaska pokazao u
svojoj knjizi “Analiza vrijednosnih papira” (knjiga je već spomenuta na strani 12).
Autor u svojoj knjizi analizira slovensko tržište vrijednosnih papira (sekundarno
financijsko tržište) s posebnim osvrtom na efikasnu granicu. Analizira se izgled
krivulje efikasne granice u situacijama kada je investicijski portfolio sastavljen od
61
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
obveznica ili dionica, te slučaj kada postoji kombinirani portfolio od dionica i
obveznica. Odabrana je vremenska serija historijskih podataka u intervalu od jedne
godine (radi se o kalendarskom razdoblju 1994. godine). Ta je godina interesantna iz
razloga što su stope prihoda vrijednosnih papira u 1994. godini iskazivale i negativne
vrijednosti (za razliku od nekih drugih godina toga razdoblja). Kvaliteta i broj
analiziranih vrijednosnih papira su s obzirom na nivo razvijenosti slovenskog
financijskog tržišta djelomično limitirani (u usporedbi s američkim tržištem
vrijednosnih papira).
Dobiveni rezultati i aproksimativni primjeri grafikona su slijedeći:
1. Efikasni portfolio na tržištu obveznica:
uzorak obveznica se sastoji od 9 obveznica, uključujući državne obveznice i
obveznice kompanija (Slika 22 na strani 64).
portfolio s najvećom stopom prihoda i najvišim rizikom se sastoji samo iz jedne
obveznice (rp = 4,10 % ; p = 12,02 %).
portfolio s najnižom varijancom odnosno najnižim rizikom se sastoji od tri
obveznice koje imaju različita učešća u portfoliu (rp = 1,47 % ; p = 1,55 %).
2. Efikasni portfolio na tržištu dionica:
uzorak dionica se sastoji od 6 dionica, uključujući dionice kompanija različitih
djelatnosti (Slika 23 na strani 64).
portfolio s najvećom stopom prihoda i najvišim rizikom se sastoji samo iz jedne
dionice (rp = 8,23 % ; p = 13,19 %).
portfolio s najnižom varijancom odnosno najnižim rizikom se sastoji od četiri
dionice koje imaju različita učešća u portfoliu (rp = 1,39 % ; p = 5,59 %).
3. Efikasni portfolio na tržištu dionica:
uzorak dionica se sastoji od 6 dionica, uključujući dionice kompanija različitih
djelatnosti (Slika 24 na strani 65).
62
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
portfolio s najvećom stopom prihoda i najvišim rizikom se sastoji samo iz jedne
dionice (rp = 8,23 % ; p = 13,19 %).
portfolio s najnižom varijancom odnosno najnižim rizikom se sastoji od četiri
dionice koje imaju različita učešća u portfoliu (rp = 1,39 % ; p = 5,59 %).
Slika 22: Efikasna granica na tržištu obveznica
rp
4,10%
1,47%
1,55% 12,02% p
Slika 23: Efikasna granica na tržištu dionica
rp
8,23%
1,39%
63
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
5,59% 13,19% p
Slika 24: Efikasna granica na kombiniranom tržištu obveznica i dionica
rp
8,23%
1,53%
1,52% 13,19% p
Prema postignutim rezultatima vidljivo je da portfolio koji se sastoji iz obveznica i
dionica ima niži stupanj rizika i veću očekivanu stopu prihoda nego portfolio koji se
sastoji samo od obveznica. Na osnovu toga može se zaključiti da je formiranje
mješovitih portfolia vrijednosnih papira s aspekta minimiziranja rizika na tržištu
vrijednosnih papira optimalan izbor za investitore koji izbjegavaju rizik ili ga žele
minimizirati.
Dobiveni grafikoni se razlikuju prema svome izgledu. Efikasna granica na tržištu
obveznica ima izgled pravca dok na tržištu dionica daje konkavnu krivulju
(logaritamskog oblika). Na kombiniranom tržištu obveznica i dionica graf poprima
oblik pravca uz prisutnu zaobljenost na svojim krajevima (minimalne varijance i
maksimalnog prinosa). Stoga se može kazati kako se ipak radi o konkavnoj krivulji.
Jedna od osnovnih hipoteza u ovom magistarskom radu, koja je dokazana prilikom
empirijske analize, je ta da grafički prikazi efikasne granice koji su dobiveni u toj
situaciji imaju skoro identične oblike kao i prethodno analizirani grafikoni u ovom
poglavlju. Time je potvrđeno kako ovdje prikazani grafovi efikasne granice sa
64
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
slovenskog tržišta vrijednosnih papira nisu izuzetak, već je riječ o standardnom
prikazu takvih grafova bez obzira koje financijsko tržište se analizira.
3.3. Tehnike za izračunavanje efikasne granice
Nakon što je definiran sam pojam efikasne granice, na redu su i matematičke tehnike
za njeno izračunavanje. One nisu predstavljene prema redoslijedu uvođenja pojmova
u prethodnom poglavlju, već su prezentirane prema kriteriju težine izračuna - od
najjednostavnije do najsloženije. Tehnike za izračunavanje efikasne granice govore o
rješavanju portfolio problema prema unaprijed definiranim pretpostavkama:
kratka prodaja je dozvoljena uz bezrizično uzajmljivanje i pozajmljivanje,
kratka prodaja je dozvoljena ali bezrizično uzajmljivanje i pozajmljivanje nije,
kratka prodaja nije dozvoljena uz bezrizično uzajmljivanje i pozajmljivanje te
kratka prodaja nije dozvoljena kao i bezrizično uzajmljivanje i pozajmljivanje.
Za većinu realnih problema izračunavanje pomoću ovih tehnika je dugotrajan proces
za koji je potrebna kompjuterska podrška i odgovarajući softverski paketi. No to
danas nije nikakav problem jer postoje specijalizirani matematički programi
primjenjivi i na područje matematičkog programiranja (linearnog i nelinearnog).
3.3.1. Kratka prodaja dozvoljena; bezrizično uzajmljivanje i
pozajmljivanje
Radi se o najjednostavnijem slučaju koji se analizira kao prvi primjer tehnike za
izračunavanje efikasne granice. Do sada se zna da postojanje bezrizičnog
uzajmljivanja i pozajmljivanja uvjetuje postojanje jedinstvenog rizičnog portfolia koji
je preferiran u odnosu na sva druga moguća rizična portfolia. Taj portfolio se nalazi u
točki tangente što je zatvaraju pravac bezrizičnog portfolia i onaj rizični portfolio koji
je na grafičkom prikazu najudaljeniji prema kriteriju obrnutog smjera kazaljke na
satu. To se može vidjeti na narednom grafikonu (Slika 25), gdje je portfolio B
65
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
preferiran u odnosu na sva druga portfolia rizične imovine (npr. portfolio A).
Efikasnu granicu u tom slučaju predstavlja cijela dužina rf - B (efikasni skup
rješenja). Različite točke uzduž dužine rf - B predstavljaju različite iznose
pozajmljivanja i/ili uzajmljivanja u kombinaciji s preferiranim rizičnim portfoliom B.
Slika 25: Kombinacija bezrizične imovine s rizičnim portfoliom
rp
B
A
rf
p
Alternativni način definiranja efikasnog skupa rješenja je prepoznavanje činjenice da
dužina rf - B predstavlja dužinu s najvećim nagibom. Kao što je poznato, nagib
dužine koja spaja bezrizični s rizičnim portfoliom jednak je razlici očekivanog
prinosa portfolia i bezrizične stope prinosa podijeljenog sa standardnom devijacijom
portfolia. Time se dolazi do zaključka da se efikasni skup definira traženjem portfolia
s najvećim omjerom kojeg čine razlika očekivanog prinosa (rp) i bezrizične stope
prinosa (rf) te standardna devijacija portfolia (p). Postoji i dodatno ograničenje koje
govori da je suma svih udjela imovine odnosno vrijednosnih papira investiranih u
portfolio (wi) jednaka jedan. Ako se u obzir uzmu sve veličine, dobije se slijedeći
matematički model:
funkcija cilja: Z ( wi ) = max (rp - rf) / p (XVIII)
uz ograničenje: i=1N wi = 1
66
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Ovo je problem maksimiziranja uz postojanje ograničenja. Varijable modela (wi ; i =
1,2,...,N) predstavljaju pondere, odnosno vrijednosne udjele pojedinačnih investicija u
ukupnoj vrijednosti portfolia (u ovoj jednadžbi funkcije cilja se ne vide zbog
specifičnog načina zapisa relacije). Postoje standardne tehnike rješavanja ovog
problema. Na primjer, problem može biti riješen upotrebom Lagrange-ovih
multiplikatora. Isto tako, postoji i alternativa koja kaže da ograničenje može biti
supstituirano u funkciju cilja da bi u tom slučaju maksimiziranje funkcije cilja bilo
postignuto bez ograničenja. Radi se dakle o upotrebi metode supstitucije koja se
koristi u situaciji kada je ograničenje zadano u obliku linearne funkcije kao što je
slučaj kod ovog primjera. U tom slučaju piše se slijedeće:
rf = 1 rf = ( i=1N wi ) rf = i=1
N wirf ,
nakon čega se ovaj izraz supstituira u funkciju cilja uz napomenu da se za standardnu
devijaciju koristi temeljni izraz (IX). Na kraju se dobije slijedeći izraz za funkciju
cilja u kojem su jasno iskazane varijable:
funkcija cilja: (XIX)
Z (wi) = max i=1N wi(ri - rf) / i=1
N wi2i
2 + i=1N j=1
N wiwjij1/2
Ovako izražen, model predstavlja veoma jednostavan problem maksimiziranja bez
ikakvih ograničenja, te kao takav može biti riješen korištenjem standardnih metoda
kalkulusa. S obzirom da se traži ekstremna vrijednost funkcije, parcijalno se
deriviraju sve nezavisne varijable (w1 , w2 , w3 , ... , wN) i izjednačuju s nulom.
Dobiven je sustav jednadžbi koji kao konačni rezultat daje vrijednosti nezavisnih
varijabli. Nakon toga se izračuna vrijednost očekivanog prinosa portfolia i standardne
devijacije portfolia. Uvrštenjem izračunatih vrijednosti u gornji izraz dobije se
maksimalna vrijednost funkcije cilja Z koja predstavlja maksimalni nagib pravca
efikasnog portfolia.
Grafičko rješenje ovog modela je prikazano na Slici 26. Na njoj se vidi da efikasni
portfolio definira samo jedan pravac koji počinje u točki ordinate koja predstavlja
bezrizičnu stopu prinosa te da ima nagib jednak omjeru razlike prinosa sa
67
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
standardnom devijacijom portfolia. Što je nagib pravca veći, u tom slučaju je i veća
vrijednost funkcije cilja (tj. bolje rješenje).
Slika 26: Efikasni portfolio u uvjetima bezrizičnog uzajmljivanja i pozajmljivanja
rp
maksimalni nagib pravca
rf
p
3.3.2. Kratka prodaja dozvoljena; rizično uzajmljivanje i pozajmljivanje
U situaciji kada investitor ne može ostvariti pretpostavku uzajmljivanja i
pozajmljivanja po bezrizičnoj stopi prinosa, rješenje prethodnog modela se mora
modificirati. Ipak, i u tom slučaju određeni dio obavljene analize može koristiti. Ako
se pogleda grafički prikaz na Slici 27 (strana 70), primjećuje se slijedeće:
Prilikom svake promjene vrijednosti bezrizične stope prinosa (r1 , r2 i r3) investitor će
investirati svoja sredstva u različita portfolia (A, B i C). Ovakva analiza sugerira
naredni postupak. Pretpostavlja se da bezrizična stopa prinosa postoji te da za nju
treba pronaći odgovarajući rizični portfolio. Slijedom, pretpostavlja se da postoji i
druga bezrizična stopa prinosa za koju također treba pronaći odgovarajući rizični
portfolio, koji se evidentno mora razlikovati od prethodnog. U postupku se
kontinuirano mijenjanju pretpostavljene bezrizične stope prinosa sve dok se ne dobije
više točaka koje predstavljaju različita preferirana rizična portfolia u različitim
uvjetima. Ukoliko se povuče spojnica kroz tako dobivene točke, dobije se puna
krivulja efikasne granice za različita preferirana rizična portfolia (koja odgovara samo
u varijanti standardne definicije kratke prodaje). Na taj način, dobivena krivulja
68
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
predstavlja skup efikasnih rješenja problema. U ovom slučaju, radi se o grafičkom
primjeru rješavanja problema.
Slika 27: Tangencijalna portfolia za različite bezrizične stope prinosa
rp
C
B
r3 A
r2
r1
p
Matematički model ovog problema je identičan modelu rizičnog uzajmljivanja i
pozajmljivanja kod kojeg kratka prodaja nije dozvoljena (koji je detaljnije analiziran
pod 3.3.4.), osim što se ne uzima u obzir posljednje ograničenje koje govori o tome
da vrijednosni udjeli pojedinačnih investicija u ukupnoj vrijednosti portfolia ne smiju
biti negativni (wi 0) . Prema definiciji kratke prodaje ta pretpostavka ne vrijedi, što
znači da u ovom slučaju vrijednosni udjeli (odnosno ponderi) smiju biti negativne
vrijednosti (wi 0).
3.3.3. Kratka prodaja nije dozvoljena; bezrizično uzajmljivanje i
pozajmljivanje
Ovaj problem je sličan prvom modelu (3.3.1.) gdje također kao rješenje postoji samo
jedan pravac efikasnog portfolia. To je pravac koji povezuje različite kombinacije
bezrizične imovine s preferiranim rizičnim portfoliom. Ipak, taj efikasan skup rješenja
koji je dostupan za kombiniranje u uvjetima bezrizičnog uzajmljivanja i
69
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
pozajmljivanja je različit zbog novog ograničenja kojeg se primjenjuje u ovom
slučaju. Ono kaže (za razliku od prethodnog primjera) da investitori ne smiju držati
vrijednosne papire u negativnim količinama, tj. udjeli originalnih sredstava u neki
određeni portfolio (wi) moraju biti veći ili jednaki nuli (uvjet nenegativnosti). U tom
slučaju matematički model izgleda ovako:
funkcija cilja: Z (wi ) = max (rp - rf) / p (XX)
uz ograničenja: 1) i=1N wi = 1
2) wi 0 za sve i (i=1, 2,..., N)
Ovo je problem matematičkog programiranja kojemu je funkcija cilja kvadratna
funkcija, a ograničenja predstavljaju linearne funkcije. Dakle, radi se o problemu
nelinearnog (kvadratnog) programiranja za čije rješavanje postoje standardni
kompjuterski paketi (softveri). I u ovom slučaju, maksimalnu vrijednost funkcije cilja
Z predstavlja maksimalni nagib pravca efikasnog portfolia.
3.3.4. Kratka prodaja nije dozvoljena; rizično uzajmljivanje i
pozajmljivanje
Poznato je da je efikasni skup određen minimiziranjem rizika za svaku razinu
očekivanog prinosa. Ako se definira prinos na određenom nivou uz minimalan rizik, u
tom slučaju dobije se točka na efikasnoj granici. Dakle, da bi se dobila jedna točka na
krivulji efikasne granice treba se minimizirati funkcija cilja koja predstavlja varijancu
odnosno rizik na određenom nivou prinosa (p2). Isto tako, moraju se uzeti u obzir
ograničenja koja su do sada vrijedila. To znači da suma svih udjela imovine
investirane u portfolio (wi) mora biti jednaka jedan, te da udjeli originalnih sredstava
u neki određeni portfolio (wi) moraju biti veći ili jednaki nuli, odnosno ne smiju biti
negativni (zbog toga što kratka prodaja nije dozvoljena). Treće ograničenje se odnosi
na sumu svih umnožaka udjela originalnih sredstava (wi) i očekivanih prinosa na ta
70
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
sredstva (ri) koja mora biti jednaka očekivanom prinosu portfolia (rp). Vrijednost
očekivanog prinosa portfolia (rp) varira između prinosa na portfolio minimalne
varijance i prinosa na portfolio maksimalnog očekivanog prinosa. Kada se te
vrijednosti prikažu na grafu u obliku točaka, dobit će se krivulja efikasne granice koja
predstavlja skup efikasnih rješenja modela. Uzevši u obzir sve činjenice dobit će se
slijedeći izraz:
funkcija cilja:
Z ( wi ) = min i=1N wi
2i2 + i=1
N j=1N wiwjij (XXI)
uz ograničenja: 1) i=1N wiri = rp
2) i=1N wi = 1
3) wi 0 za sve i (i=1, 2,..., N)
I u ovom slučaju dobiveni matematički model predstavlja problem nelinearnog
(kvadratnog) programiranja. Isto tako, varijable modela predstavljaju udjeli imovine
investirane u portfolio (wi). Minimalna vrijednost funkcije cilja Z predstavlja
minimalnu vrijednost varijance portfolia uz određenu razinu očekivanog prinosa.
Radi se o problemu višekriterijskog (bikriterijskog) odlučivanja koji je ekvivalentan
problemu parametarskog programiranja s jednim parametrom na desnoj strani
ograničenja (prinos portfolia rp) i jednom funkcijom cilja (minimum varijance p2).
Može se zaključiti kako je ovaj problem od svih spomenutih problema najsloženiji za
računanje, no isto tako postoji mogućnost njegova rješavanja primjenom
odgovarajućih softvera odnosno upotrebom računala. U tom slučaju, ukoliko se broj
ulaznih varijabli ograniči na neki manji broj (na primjer i = 10), rješavanje zadatka
može biti obavljeno u razumnom vremenskom roku. Svi drugi modeli koji imaju veći
broj ulaznih varijabli (i 10) zahtijevaju duži vremenski rok za izračunavanje, što
automatski komplicira mogućnost njihove upotrebe u konkretnim situacijama.
4. Određivanje optimuma na primjeru efikasnog
investicijskog
71
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
portfolia
U prethodnom poglavlju nije bilo govora o određivanju optimalnog rješenja zadanog
problema, odnosno o određivanju optimuma na primjeru efikasnog investicijskog
portfolia. Poznato je da u situaciji bezrizičnog uzajmljivanja i pozajmljivanja postoji
skup efikasnih rješenja koji je predstavljen pravcem maksimalnog nagiba. Isto tako,
evidentno je da je u situaciji kada nema bezrizičnog uzajmljivanja i pozajmljivanja
skup efikasnih rješenja definiran cijelom krivuljom efikasne granice. Do ovog
trenutka se nije pokušala dati preciznija analiza optimalnog rješenja. To je ostavljeno
za glavni cilj u ovom poglavlju - na koji način odrediti optimalno rješenje na temelju
dobivenog skupa efikasnih rješenja. Pri tom se misli na definiranje samo jednog
optimalnog rješenja koje prije svega ovisi o postavljenim kriterijima. To znači da se
iz skupa odgovarajućih efikasnih rješenja izdvaja samo jedno efikasno rješenje koje se
na temelju zadanog kriterija optimizacije definira kao kompromisno odnosno
optimalno rješenje. Naime, kod analiziranja tehnika za izračunavanje efikasne granice
kao konačno rješenje modela se dobije skup efikasnih rješenja. Radi se o pravcu koji
spaja bezrizični i rizični portfolio ili o krivulji efikasne granice. Pri tome nije
definirano gdje bi se potencijalni investitor trebao pozicionirati na tom skupu
efikasnih rješenja. Da li bi investitor možda trebao držati više bezrizične ili nerizične
imovine ili bi trebao eventualno težiti maksimalnom prinosu odnosno mimimalnom
riziku? Da bi se dobili odgovori na sva ta pitanja u ovom poglavlju su definirani
kriteriji koji pomažu pri donošenju takvih odluka. Optimizaciju efikasnih
investicijskih portfolia se obavlja primjenom teorije korisnosti i mjerenjem
performansi portfolia. Primjena teorije korisnosti podrazumijeva definiranje
investitorovih krivulja indiferencije, dok mjerenje performansi portfolia predstavlja
izračunavanje određenih pokazatelja odnosno tipova indeksa. Oba kriterija
optimizacije su primjenjiva u praksi kod različitih tipova problema (pod tim se
podrazumijeva njihova selektivna primjena prilikom korištenja tehnika za
izračunavanje efikasne granice). Najvažnija činjenica je ta da se pomoću njihove
primjene može doći do samo jednog optimalnog rješenja prilikom rješavanja zadanog
problema.
4.1. Optimizacija efikasnog investicijskog portfolia primjenom
72
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
teorije korisnosti
Očigledno je da će svaki racionalan investitor birati portfolia na efikasnoj granici s
obzirom da takva portfolia obećavaju najpovoljniju kombinaciju rizika i prinosa.
Međutim, pitanje koje se pritom postavlja glasi: Koji od tih portfolia najviše odgovara
nekom investitoru, odnosno koji od tih portfolia je optimalan za određenog
investitora? Da bi se dao precizan odgovor na postavljeno pitanje, u ovom poglavlju
su teoretski podrobnije objašnjeni pojmovi kao što su funkcija preferencije odnosno
funkcija očekivane korisnosti. Isto tako, pojašnjeno je značenje teorema očekivane
korisnosti kao i njegova primjena na konkretnom slučaju. Za kraj je ostavljen
grafički prikaz optimalnog rješenja na krivulji efikasne granice koje se postiže
ucrtavanjem adekvatnih krivulja indiferencije. Svaka od ucrtanih krivulja mora
odgovarati određenom tipu investitora i njegovim preferencijama.
4.1.1. Svojstva funkcije preferencije (teorem očekivane korisnosti)
Analiza bilo koje funkcije preferencije (iz postojećeg skupa funkcija preferencija)
započinje s izborom između dvije različite rizične imovine (problem jednostavnih
investicija). Pretpostavka je da postoje dvije alternativne investicije koje su prikazane
u Tablici 10. Obje investicije, A i B, imaju tri rezultata koji su svi jednako mogući.
Investicija A ima manju varijabilnost (promjenjivost) u svojim rezultatima u odnosu
na investiciju B, ali zato ima i veći prosječni rezultat.
Tablica 10: Rezultati dviju alternativnih investicija A i B
Investicija A: Investicija B:
Rezultat (W) Vjerojatnost rezultata P(W) Rezultat (W) Vjerojatnost
rezultata P(W)
15 1/3 20 1/3
10 1/3 12 1/35 1/3 4 1/3
73
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Postoji više načina za odlučivanje između investicija A i B. Prema prvoj varijanti sam
donositelj odluke definira koju će investiciju preferirati, odnosno da li će prema njima
biti indiferentan. To je jednostavan pristup donošenja odluka. Postoji i drugi, složeniji
pristup koji započinje s definiranjem ocjena u kojoj mjeri su značajniji veći rezultati u
odnosu na manje rezultate. Nakon toga se ponderiraju rezultati prema njihovoj
vrijednosti (korisnosti), te izračunavaju očekivane vrijednosti tih ponderiranih
rezultata. Ovakva ideja zbrajanja odnosno traženja prosječne vrijednosti ponderiranih
rezultata je veoma raširena u praksi. Tako ponderirana funkcija proporcionalnog
udjela svakog rezultata je jednaka izračunu prosječne odnosno očekivane vrijednosti.
Ako E(U) označava funkciju očekivane vrijednosti od vrijednosti U, tada vrijedi da
je:
E(U) = W U(W)P(W) (XXII)
gdje je U(W) funkcija ponderirane vrijednosti rezultata W, a P(W) funkcija
vjerojatnosti da će se dogoditi rezultat W.
Dobivena funkcija se naziva i funkcija očekivane korisnosti, a definira se u skladu s
postavkama teorema očekivane korisnosti. Prema rezultatima iz Tablice 10,
ponderirane vrijednosti rezultata W su prikazane u Tablici 11:
Tablica 11: Ponderirane vrijednosti rezultata W
Rezultati (W) PonderiPonderirane vrijednosti rezultata W
20 0,9 18,0
15 1,0 15,0
12 1,1 13,2
10 1,2 12,0
5 1,4 7,04 1,5 6,0
Ukoliko se sada uvrste postignuti rezultati za svaku investiciju zasebno, dobiju se
slijedeće vrijednosti funkcije očekivane korisnosti:
74
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Investicija A: E(U) = U(15)(1/3) + U(10)(1/3) + U(5)(1/3) =
= 15(1/3) + 12(1/3) + 7(1/3) = 34/3 .
Investicija B: E(U) = U(20)(1/3) + U(12)(1/3) + U(4)(1/3) =
= 18(1/3) + 13,2(1/3) + 6(1/3) = 37,2/3 .
Iz dobivenih vrijednosti je vidljivo da će potencijalni investitor uložiti svoja sredstva
u investiciju B zato što ona nudi veći prosječnu vrijednost očekivane korisnosti u
odnosu na investiciju A.
Zbog toga se može zaključiti kako će svaki potencijalni investitor prilikom odabira
između većeg broja investicija odabrati onu investiciju koja nudi maksimalnu
vrijednost funkcije očekivane korisnosti, odnosno ima slijedeću funkciju cilja:
funkcija cilja: Z (Wi) = max i=1N U(W)P(W) (XXIII)
Na osnovu prikazanog primjera alternativnog ulaganja u dvije investicije može se
ustvrditi kako je funkcija preferencije u ovom slučaju predstavljena funkcijom
očekivane korisnosti. Naime, svaki racionalni investitor prvenstveno teži
maksimiziranju vrijednosti očekivanog prinosa vlastitog investicijskog portfolia. Na
temelju prethodnog primjera može se zaključiti kako mu to uspijeva jedino ukoliko
maksimizira očekivanu korisnost od ulaganja u investicije. Ako se takav investitor
ponaša u skladu s određenim normama ponašanja tada je izbor preferirane investicije
obavljen ili na osnovu upotrebe teorema očekivane korisnosti ili na osnovu direktne
analize investicija (kako je napravljeno na prethodnom primjeru).
Teorem očekivane korisnosti je razvijen na osnovu skupa aksioma odnosno postulata
koji su vezani uz ponašanje investitora. Ukoliko se neki investitor ponaša u skladu s
tim postulatima, tada se ponašanje investitora ne može ni po čemu razlikovati od
onoga koji donosi odluku na temelju teorema očekivane korisnosti. Postoje ukupno
četiri aksioma, prva dva se odnose na određivanje preferencije na osnovu postignutih
rezultata, a druga dva se bave uspostavljanjem racionalnosti u situaciji kada već
postoji definiran redoslijed preferencija.
75
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Aksiomi teorema očekivane korisnosti su slijedeći:
1. Usporedivost - Svaki investitor može uspostaviti preferenciju između svih
alternativnih vrijednosti rezultata. Ukoliko investitor ima izbor između rezultata A
i B, može izraziti preferenciju A u odnosu na B, preferenciju B u odnosu na A, ili
kao treću mogućnost indiferenciju između rezultata A i B. Pretpostavka prema
kojoj investitori mogu uspoređivati rezultate (koji su sigurni) se smatra
standardnom pretpostavkom ekonomske teorije.
2. Tranzitivnost - Ukoliko određeni investitor preferira A u odnosu na B, te B u
odnosu na C, tada A mora biti preferirano u odnosu na C. To je pretpostavka koja
govori o konzistentnosti investitora kada je u pitanju rangiranje rezultata. Iako
zvuči razumno kada se kaže da bi se većina investitora trebala tako ponašati, u
specijalnim situacijama to nije slučaj. U takvim situacijama nastaju teškoće zbog
činjenice da investitor nije u stanje razumjeti sve implikacije izbora zbog prevelike
složenosti problema. Ipak, i tada većina investitora pokušava donijeti svoju odluku
u skladu s aksiomom, iako je naglašena prisutnost ne tranzitivnosti.
3. Nezavisnost - Pretpostavka je da postoje dva različita pojma X i Y, te da je
investitor indiferentan prema njima. Određuje se i treći pojam Z. Nezavisnost
podrazumijeva činjenicu da je investitor indiferentan između slijedeće dvije kocke:
- X s vjerojatnošću P u odnosu na Z s vjerojatnošću 1-P, i
- Y s vjerojatnošću P u odnosu na Z s vjerojatnošću 1-P.
Činjenica je da će investitor istovremeno htjeti odabrati ili obje kocke ili nijednu.
Zbog toga se kaže kako on prema njima istovremeno pokazuje jednako dobre ili
jednako loše osjećaje (investitoru je svejedno koju kocku će odabrati).
4. Izvjesna jednakost - Za svaku kocku postoji vrijednost (zvana izvjesna jednakost)
takva da je investitor indiferentan između odabira kocke ili te izvjesne jednakosti.
Ova pretpostavka jednostavno govori o tome da sve ima svoju cijenu, pa tako i
odustajanje od odabira kocke u situaciji kada se zauzvrat može dobiti određena
materijalna vrijednost (novac).
76
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Primjenom navedenih aksioma odnosno propisanih normi ponašanja svih investitora
može se na mnogim primjerima iz prakse upotrijebiti teorem očekivane korisnosti
kako bi se došlo do konačnog rezultata odnosno maksimalne vrijednosti funkcije
očekivane korisnosti. Isto tako, valja znati kako postoje situacije u kojima mnogi
investitori ne poštuju sve racionalne postulate, iako su upoznati s navedenim
principima koje u takvim slučajevima mogu smatrati logičnima. Takvi slučajevi se
pojavljuju kod problematičnih situacija odlučivanja gdje se problemi ne mogu svesti
na jednostavne investicije već se radi o složenim investicijama o kojima se ipak nije
detaljnije govorilo u ovome radu.
4.1.2. Ekonomske karakteristike funkcije korisnosti
U skladu s globalnim razmatranjima, postoje četiri osnovne ekonomske karakteristike
koje se odnose na sve funkcije korisnosti:
1. Prva ekonomska karakteristika koja se odnosi na funkciju korisnosti govori o
preferiranju većeg rezultata u odnosu na manji rezultat. Naime, ukoliko postoje dvije
različite razine korisnosti kod kojih prva iznosi X novčanih jedinica a druga X+1
novčanih jedinica, tada se uvijek odabire ona druga. Evidentno je kako se prilikom
odabira određenih investicija uvijek bira ona koja daje veći rezultat. Ukoliko se
rezultat funkcije korisnosti prikaže u terminu bogatstva (blagostanja), tada se može
kazati kako se uvijek preferira ona funkcija korisnosti koja kao rezultat daje veće
bogatstvo, a ne manje bogatstvo. Ukoliko uslijed povećanja bogatstva dođe do
povećanja korisnosti, tada će prva derivacija funkcije korisnosti biti pozitivna
vrijednost (u tom slučaju je bogatstvo nezavisna varijabla). Time se dobije prva
ekonomska karakteristika funkcije korisnosti koja kaže da je prva derivacija
funkcije korisnosti pozitivna.
2. Druga ekonomska karakteristika funkcije korisnosti definira skup pretpostavki o
investitorovim sklonostima riziku. Moguće su tri osnovne pretpostavke: investitor
ima averziju prema riziku, investitor je neutralan u odnosu na rizik i investitor
je sklon riziku. Sve tri pretpostavke mogu biti definirane kao moguće opcije
77
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
prilikom odabira fer kockanja. Stoga su za razmatranje ponuđene mogućnosti (opcije)
koje su prikazane u Tablici 12.
Tablica 12: Primjer fer kockanja
Investirati: Ne investirati:
Rezultat Vjerojatnost rezultata Rezultat Vjerojatnost
rezultata
2 1/2 1 1/10 1/2
Opcija investiranja ima očekivanu vrijednost u iznosu od (1/2) (2) + (1/2) (0) = 1
USD. Pretpostavka je da je investitor spreman platiti 1 USD radi preuzimanja opcije
investiranja i postizanja mogućih rezultata. Ukoliko pak investitor odabere opciju ne
investirati, ostaje mu 1 USD kao rezultat. Pozicija investitora može biti poboljšana ili
pogoršana preuzimanjem opcije investiranja. Isto tako, u slučaju opcije investiranja
kao treća mogućnost se pojavljuje investitorovo očekivanje da neće biti ikakvih
promjena u njegovoj poziciji. Zato što je očekivana vrijednost kockanja prikazana u
Tablici 12 u potpunosti jednaka svojim troškovima, takva situacija se zove fer
kockanje.
Na redu je razmatranje svih triju osnovnih pretpostavki o investitorovim sklonostima
riziku u sklopu navedenog primjera fer kockanja:
a) Averzija prema riziku znači da će investitor odbaciti fer kockanje. U terminima
rezultata iz Tablice 12 to znači da će investitor zasigurno odabrati rezultat od 1 USD
nasuprot jednakim šansama da dobije rezultate od 2 USD ili 0 USD. Averzija prema
riziku podrazumijeva da je druga derivacija funkcije korisnosti negativna U''(W)<0
. Tvrdnja se istražuje na slijedeći način. Na primjer, ukoliko određeni investitor
odabere opciju ne investiranja, u tom slučaju očekivana korisnost od ne investiranja
mora biti veća od očekivane korisnosti investiranja kao što je prikazano slijedećim
izrazom: U(1) > (1/2) U(2) + (1/2) U(0), nakon što se sredi izraz dobije se
relacija: U(1) - U(0) > U(2) - U(1) .
78
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Ako se analizira dobivena relacija može se zaključiti kako jedinična promjena između
0 i 1 ima mnogo veću vrijednost od jedinične promjene između 1 i 2. U tom slučaju
će investitor odbaciti fer kockanje zbog toga što je moguća šteta od investiranja veća
od moguće koristi od ne investiranja. Funkcija u kojoj je dodatno jedinično povećanje
izraženije od prethodnog jediničnog povećanja predstavlja funkciju s negativnom
drugom derivacijom.
b) Neutralnost u odnosu na rizik predstavlja situaciju u kojoj je investitor indiferentan
o tome hoće li ili neće investirati. U terminima rezultata iz Tablice 12 to znači da će
investitoru biti sasvim svejedno odabere li mogućnost investiranja ili odustane od nje.
Neutralnost u odnosu na rizik podrazumijeva situaciju u kojoj je druga derivacija
funkcije korisnosti jednaka nuli U''(W)=0 . Analiza ove tvrdnje je slijedeća. Naime,
za onog investitora kojemu je svejedno hoće li investirati ili neće, vrijednosti
očekivane korisnosti investiranja i ne investiranja moraju biti jednake kako je
prikazano izrazom: U(1) = (1/2) U(2) + (1/2) U(0), nakon što se izraz sredi
dobije se relacija: U(1) - U(0) = U(2) - U(1). Uspoređujući lijevu i desnu stranu jednakosti može se vidjeti kako su jedinične
promjene između 0 i 1 te 1 i 2 identične. Funkcija u kojoj su jedinična povećanja
jednaka i neovisna jedna o drugom predstavlja funkciju s drugom derivacijom
jednakoj nuli.
c) Sklonost riziku znači da će investitor odabrati fer kockanje. U terminima rezultata
iz Tablice 12 to znači da će investitor zasigurno odabrati mogućnost za jednakim
šansama za rezultatima od 2 USD ili 0 USD nasuprot rezultatu od 1 USD. Sklonost
riziku podrazumijeva da je druga derivacija funkcije korisnosti pozitivna U''(W)>0 .
I ova posljednja tvrdnja se istražuje. Na primjer, ukoliko određeni investitor odabere
opciju investiranja, u tom slučaju očekivana korisnost od investiranja mora biti veća
od očekivane korisnosti ne investiranja kao što je prikazano ovim izrazom:
U(1) < (1/2) U(2) + (1/2) U(0), nakon što se sredi izraz dobije se relacija:
U(2) - U(1) > U(1) - U(0) .Ako se analizira dobivena relacija može se zaključiti kako jedinična promjena između
2 i 1 ima mnogo veću vrijednost od jedinične promjene između 1 i 0. U tom slučaju
će investitor odabrati fer kockanje zbog toga što je moguća korist od investiranja veća
79
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
od moguće koristi od ne investiranja. Funkcija u kojoj je dodatno jedinično povećanje
izraženije od prethodnog jediničnog povećanja predstavlja funkciju s pozitivnom
drugom derivacijom.
Kratki pregled triju osnovnih opcija o investitorovim sklonostima riziku je prikazan
zajedno s osnovnim obilježjima u Tablici 13.
Tablica 13: Opcije investitorovih sklonosti riziku
Uvjet Definicija Posljedica
1. Averzija prema riziku Odbacuje fer kockanje U''(0) < 0
2. Neutralnost u odnosu na rizik Indiferentan prema fer kockanju U''(0) = 03. Sklonost riziku Odabire fer kockanje U''(0) > 0
Grafički prikazi karakterističnih funkcija korisnosti s različitim koeficijentima
sklonosti riziku su prikazani na Slici 28 i Slici 29.
Slika 28: Oblici krivulja funkcije korisnosti u prostoru bogatstva
U(W) 1
3 2
W
Slika 29: Oblici krivulja funkcije korisnosti u prostoru očekivanog prinosa i
standardne devijacije
r
3 1
80
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
2
Napomena uz grafikone:
1 - funkcija korisnosti investitora sklonog riziku.
2 - funkcija korisnosti investitora neutralnog u odnosu na rizik.
3 - funkcija korisnosti investitora koji ima averziju prema riziku.
3. Treća ekonomska karakteristika funkcije korisnosti definira pretpostavku o tome
na koji način se investitorove preferencije mijenjanju s promjenom bogatstva. Ako
bogatstvo investitora raste, u tom slučaju pitanje glasi da li više ili manje tog
bogatstva treba biti investirano u rizični portfolio? Ukoliko investitor povećava
novčani udio svoje imovine investirane u rizični portfolio paralelno s povećanjem
svojeg bogatstva, tada se za njega kaže da smanjuje apsolutnu averziju prema riziku.
Ako investitor ne mijenja novčani udio svoje imovine investirane u rizični portfolio u
situaciji povećanja svojeg bogatstva, tada se za njega kaže da drži konstantnom
apsolutnu averziju prema riziku. I konačno, ako investitor smanjuje novčani udio
svoje imovine investirane u rizični portfolio paralelno s povećanjem svojeg bogatstva,
tada se za njega kaže da povećava apsolutnu averziju prema riziku.
Ako su U'(W) i U''(W) prva i druga derivacija od funkcije bogatstva na nivou
bogatstva W, tada se može kazati kako je mjera za apsolutnu averziju investitora
prema riziku jednaka:
A(W) = -U''(W) / U'(W) (XXIV)
U tom slučaju A'(W), derivacija od A(W), predstavlja prilagođenu mjeru o tome kako
se ponaša apsolutna averzija prema riziku s obzirom na promjene u bogatstvu. U
Tablici 14 su prikazani odnosi između A'(W) i promjene u averziji prema riziku te
primjeri funkcija korisnosti za svaki tip ponašanja.
81
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Tablica 14: Promjene u apsolutnoj averziji prema riziku
4. Posljednja, četvrta ekonomska karakteristika funkcije korisnosti se primjenjuje za
ograničenje investitorove funkcije korisnosti u tom smislu da kazuje kako se mijenja
postotak investitorove imovine uložene u rizični portfolio s promjenom bogatstva.
Ako investitor ulaže veći postotak svoje imovine u rizični portfolio paralelno s
povećanjem bogatstva, tada se kaže kako on povećava relativnu averziju prema
riziku. Ako pak ulaže manji postotak svoje imovine u rizični portfolio paralelno s
povećanjem bogatstva, tada se kaže kako smanjuje relativnu averziju prema riziku.
Relativna averzija prema riziku je usko povezana s apsolutnom averzijom prema
riziku. Osnovna razlika između te dvije mjere je u tome da relativna averzija prema
riziku iskazuje postotnu promjenu imovine investirane u rizični portfolio za razliku
od apsolutne averzije prema riziku koja iskazuje promjenu novčanog udjela imovine
investirane u rizični portfolio. Mjera za relativnu averziju investitora prema
riziku je jednaka:
R(W) = -WU''(W) / U'(W) = WA(W) (XXV)Ako je R'(W) prva derivacija od W, tada R'(W) < 0 znači da funkcija korisnosti
pokazuje smanjenje relativne averzije prema riziku. U situaciji kada je R'(W) = 0
funkcija korisnosti pokazuje konstantnost relativne averzije prema riziku. I na kraju,
ako je R'(W) > 0 tada funkcija korisnosti pokazuje povećanje relativne averzije prema
riziku. Svi rezultati su prikazani u Tablici 15, kao i primjeri funkcija korisnosti za
svaki tip ponašanja.
82
Uvjet Definicija Svojstva od A'(W)Primjer funkcije
korisnosti
1. Povećanje apsolutne averzije prema rizikuPovećanjem bogatstva treba držati manju količinu imovine u rizičnom portfoliu.
A'(W) > 0 W(-C)*(W*W)
2. Konstantnost apsolutne averzije prema rizikuPovećanjem bogatstva treba držati umjerenu količinu imovine u rizičnom portfoliu.
A'(W) = 0 -e(-C)*(W)
3. Smanjenje apsolutne averzije prema rizikuPovećanjem bogatstva treba držati veću količinu imovine u rizičnom portfoliu.
A'(W) < 0 ln W
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Tablica 15: Promjene u relativnoj averziji prema riziku
4.1.3. Krivulje indiferencije
Koncept krivulje indiferencije se zasniva na teoriji funkcije korisnosti i iz nje
izvedenoj averziji investitora prema riziku. Zbog različite nesklonosti riziku
investitori će tražiti i različite premije rizika kojom će kompenzirati smanjenu
korisnost zbog rizika. Krivulja indiferencije pokazuje povezanost između averzije
prema riziku i prihvatljive premije rizika investitora. Na krivulji indiferencije se
nalaze sve kombinacije investicija koje imaju identičnu korisnost za određenog
investitora tako da je on indiferentan prema njihovom izboru.
U promatranje su odabrane dvije različite krivulje indiferencije od kojih se jedna
odnosi na konzervativnog, a druga na agresivnog investitora (koji su već prije
spomenuti u 2. i 3. poglavlju). Konzervativni investitor ima izrazitu averziju prema
riziku tako da u njegovoj politici investiranja prevladava princip sigurnosti. S druge
strane, i agresivni investitor nije sklon riziku ali ipak ne u tolikoj mjeri kao i
konzervativni investitor, tako da u njegovoj politici investiranja prevladava princip
profitabilnosti. Ako se pogleda grafički prikaz krivulja indiferencije na Slici 30,
mogu se izvesti slijedeći zaključci.
Slika 30: Krivulje indiferencije
očekivani prinos portfolia
konzervativni investitor
83
Uvjet Definicija Svojstva od R'(W)Primjer funkcije
korisnosti
1. Povećanje relativne averzije prema rizikuPostotak investiranja u rizični portfolio se smanjuje u situaciji povećanja bogatstva.
R'(W) > 0 W - b*W2
2. Konstantnost relativne averzije prema rizikuPostotak investiranja u rizični portfolio ostaje nepromijenjen u situaciji povećanja bogatstva.
R'(W) = 0 ln W
3. Smanjenje relativne averzije prema rizikuPostotak investiranja u rizični portfolio se povećava u situaciji povećanja bogatstva.
R'(W) < 0 -e2W-1/2
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
agresivni investitor
K
A
f rizik portfolia
Krivulja indiferencije konzervativnog investitora je strmija od krivulje indiferencije
agresivnog investitora. To je pokazatelj da konzervativni investitor ima veću averziju
prema riziku. Zbog toga je konzervativni investitor za razliku od agresivnog
investitora spreman tražiti veću premiju rizika za investicije koje imaju isti rizik
portfolia ( f K > A ). Agresivni investitor je pak skloniji prihvaćanju rizika uz
istovremenu mogućnost ostvarivanja višeg prinosa.
Krivulja indiferencije se može pomicati na više ili na niže. Više krivulja indiferencije
označava i veći nivo korisnosti u odnosu na nižu krivulju. Svaki investitor može
iscrtati svoju mapu neograničenog broja krivulja indiferencije. Izbor optimalnog
portfolia se temelji na teoriji korisnosti i principu dominacije portfolia. To znači da se
odabire samo portfolio s efikasne granice. Optimalan portfolio za potencijalnog
investitora će biti onaj koji predstavlja tangentu njegove krivulje indiferencije
na efikasnu granicu. Svaki drugi efikasan portfolio ne zadovoljava interese
investitora prema njegovoj averziji prema riziku jer ima manju korisnost od
optimalne (ostvaruje niži prinos te nema zadovoljavajuću premiju rizika). Stoga se
može zaključiti kako je optimalan portfolio za svakog investitora onaj portfolio koji
mu osigurava maksimalnu korisnost. Primjer optimalnog portfolia kojeg predstavlja
točka u kojoj se dodiruju krivulja indiferencije i efikasna granica je grafički prikazan
na Slici 31. Prikazana su dva optimalna portfolia (A i B) - za konzervativnog i
agresivnog investitora zasebno. Vidljivo je da će konzervativni investitor ostvarivati
manji prinos od agresivnog investitora, ali uz znatno manji rizik ulaganja. S druge
strane, agresivni investitor će ostvarivati veći prinos od konzervativnog investitora,
no pri tome će mu biti povećan rizik ulaganja.
84
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Slika 31: Optimalni portfolio (A i B)
prinos
konzervativni investitor agresivni investitor
B
A
rizik portfolia
S obzirom na dosadašnju analizu, važno je na kraju spomenuti da ne postoji
jedinstveni optimalni portfolio što je prije svega prouzročeno različitim sklonostima
investitora. Naime, kao što je već ranije u više navrata spomenuto, ovisno o različitim
sklonostima prema riziku te ostvarenju što većeg prinosa, svaki investitor će imati
svoju vlastitu krivulju indiferencije kojom će se pozicionirati na efikasnu granicu.
Stoga se može kazati kako je određivanje optimalnog portfolia u ovom slučaju
individualna stvar svakog investitora, te se stoga ne može sveukupno generalizirati
(niti se može primijeniti univerzalni postupak rješavanja).
Zbog svega navedenog, valja znati kako se optimizacija efikasnog investicijskog
portfolia primjenom teorije korisnosti u pravilu upotrebljava kod onih tehnika za
izračunavanje koje kao konačno rješenje nude krivulju efikasne granice. Radi se o
primjerima investicijskih portfolia kod kojih je isključivo dozvoljeno rizično
uzajmljivanje i pozajmljivanje s obzirom da ne postoji bezrizična imovina (vidi
tehnike za izračunavanje pod 3.3.2. i 3.3.4.). To znači da se samo određenim
pozicioniranjem krivulje indiferencije bilo kojeg investitora na efikasnu granicu može
dobiti jedinstveno optimalno rješenje.
4.2. Optimizacija efikasnog investicijskog portfolia mjerenjem
performansi portfolia
85
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Na prethodnom primjeru teorije korisnosti moglo se vidjeti kako se može dobiti više
optimalnih rješenja efikasnih investicijskih portfolia. Svaki tako odabrani portfolio je
optimalan s obzirom na sklonosti investitora koje se pritom manifestiraju. Bilo da se
radi o konzervativnom ili agresivnom investitoru, svaki put će se njegova krivulja
indiferencije drugačije pozicionirati na efikasnoj granici. Stoga je donesen zaključak
kako ne postoji jedinstveni optimalni portfolio koji se može odrediti primjenom
teorije korisnosti. S druge strane, u slučaju optimizacije efikasnog investicijskog
portfolia mjerenjem performansi portfolia može se definirati samo jedno optimalno
rješenje na temelju skupa efikasnih rješenja. Naime, takvo optimalno rješenje
predstavlja isključivo onaj rizični portfolio koji u kombinaciji s nerizičnim portfoliom
ima za rješenje pravac efikasne granice s maksimalnim nagibom. U tom slučaju takav
rizični portfolio predstavlja jedino optimalno rješenje u varijanti kada investitor sav
svoj portfolio investira u rizičnu imovinu (to je jedna od mogućih kombinacija
investiranja). Da bi se moglo izračunati takvo optimalno rješenje, potrebni su novi
tipovi pokazatelja, odnosno nove mjere performansi portfolia. Radi se o tipovima
indeksa, kao što je na primjer Sharpeov indeks, koji mogu dati samo jedno
optimalno rješenje problema (kada se isključivo ulaže u rizični portfolio). Njihovom
primjenom se može steći pouzdanija slika o tome kakav je stvarni položaj nekog
investicijskog portfolia i s kakvom uspješnošću se vodi. Temeljna zajednička
karakteristika za sva tipove indeksa govori o tome da se mjerenje performansi
investicijskog portfolia odnosno mjerenje njegovog prinosa (r) promatra kroz
prizmu rizika neovisno o tome na koji način se taj rizik izražava (može biti riječi ili o
mjeri za ukupni rizik portfolia () ili o mjeri za sistematski rizik ()). Isto tako, valja
spomenuti kako svi tipovi indeksa implicitno pretpostavljaju da je moguće
posuđivanje imovine (novca) uz bezrizičnu stopu prinosa (rf). U praksi se smatra da
se takva bezrizična stopa prinosa uobičajeno ostvaruje kod vrijednosnih papira na
tržištu novca, pri tome se najčešće misli na kratkoročne državne blagajničke zapise.
4.2.1. Tipovi indeksa za mjerenje performansi portfolia
86
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Tipovi indeksa za mjerenje performansi portfolia pripadaju u skup instrumenata koje
je znanost upravljačkih financija namijenila za praktično djelovanje. Pojavili su se
otprilike u isto vrijeme, krajem 60-tih godina prošlog stoljeća, a dobili su imena
prema znanstvenicima koji su ih i patentirali. Zbog toga se mogu smatrati veoma
korisnim rješenjima koja se ipak u određenim situacijama moraju usklađivati sa
stvarnim poslovanjem odgovarajućih investicijskih fondova. To je razlog zašto se
ponekad smatraju samo kao polazna odnosno inicijalna rješenja prilikom detaljnije
razrade složenijih problema.
Postoje tri osnovna tipa indeksa za mjerenje performansi portfolia:
1. Sharpeov indeks
2. Treynorov indeks
3. Jensenov indeks
Indeksi se mogu razvrstati u dvije osnovne kategorije s obzirom na mjeru rizika koju
koriste. U prvoj kategoriji je Sharpeov indeks koji koristi mjeru ukupnog rizika
portfolia (), dok su u drugoj kategoriji Treynorov i Jensenov indeks koji koriste
mjeru sistematskog rizika portfolia (). Izračunavanje Sharpeovim indeksom se
koristi prilikom rješavanja problema investicijskog portfolia upotrebom moderne
portfolio teorije, za razliku od Treynerovog i Jensenovog indeksa koji se koriste uz
model procjenjivanja kapitalne imovine (CAPM), što također podrazumijeva njihovu
primjenu kod jednoindeksnog modela te modela arbitražne teorije procjenjivanja s
jednim faktorom rizika. Zbog toga se o Sharpeovom indeksu, koji je u ovom slučaju
interesantniji indeks za proučavanje, detaljnije govori u slijedećem dijelu ovog
poglavlja, dok je sada izvršena analiza preostala dva indeksa (ali ne toliko detaljno s
obzirom da CAPM i ostale teorije tržišta kapitala nisu glavna tema ovog rada).
1. Treynorov indeks
U koncipiranju pokazatelja za mjerenje performansi portfolia, Treynor je smatrao da
je bolje se osloniti na sistematski rizik, nego na ukupni rizik kao što je to učinio W.F.
87
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Sharpe. Zbog toga se Treynor opredijelio za primjenu beta koeficijenta () kao mjere
sistemskog rizika, čime se postavilo pitanje utvrđivanja odgovarajućeg odnosno
karakterističnog regresijskog pravca (koji je identičan onome kod jednoindeksnog
modela). Opći izraz Treynorove karakterističnog regresijskog pravca izgleda ovako:
rAt = A + Armt + At (XXVI)
gdje je rAt prinos portfolia A u vremenu t, A je slobodni regresijski koeficijent za
portfolio A, A je koeficijent regresije za portfolio A odnosno mjera sistematskog
rizika, rmt je indeks tržišnog prinosa u vremenu t i At je neobjašnjivi prinos portfolia
A u vremenu t (rezidual).
Karakteristični regresijski pravac se može grafički prikazati na Slici 32 (strana 90).
Na os ordinate se nanosi stopa prinosa portfolia, a na os apscise visinu sistematskog
rizika. Dužina rfA predstavlja kombinaciju bezrizične imovine i rizičnog portfolia A.
Prema modelu procjenjivanja kapitalne imovine, dužina rfA se tretira kao pravac
tržišta kapitala (CML), odnosno kao novi efikasni portfolio. Na taj način se može
kazati kako je polazna točka za izračunavanje optimalnog rješenja investicijskog
portfolia skup efikasnih rješenja (odnosno efikasna granica). Prosječnu stopa prinosa
portfolia A predstavljarAt. Radi se o prosječnoj vrijednosti svih stopa prinosa
portfolia A kroz određeno vremensko razdoblje promatranja t (najčešće je u pitanju
prosjek vrijednosti mjesečnih prinosa određenog portfolia koji se onda svode na
interval godine tj. anualiziraju). Na grafu se vidi i ucrtana vrijednost rf koja
predstavlja već od prije definiranu bezrizičnu stopa prinosa.
Slika 32: Performanse portfolia A
prinos portfolia (rmt)
rAt A
88
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
rf X
sistematski rizik portfolia ()
Ako se pogleda grafički prikaz, vidi se i kut , koji se nalazi u trokutu rfAX.
Izračunavanjem tangensa kuta dobije se omjer nasuprotne i prilažeće katete
trokuta rfAX, što predstavlja vrijednost Traynerovog indeksa za rizični portfolio A:
tg A = (rAt - rf ) / A (XXVII)
Što je veća vrijednost tangensa kuta , odnosno Treynorovog indeksa, to su bolje
performanse analiziranog investicijskog portfolia. Dakle, prema gornjem izrazu, onaj
portfolio koji daje najveći omjer prinosa i rizika predstavlja optimalno rješenje, a
njegova funkcija cilja izgleda ovako:
funkcija cilja: Z ( i ) = max tg i } (XXVIII)
gdje je i kut što ga zatvara rizični portfolio i (i=1,2,...,N) u trokutu rfiX. Ukupan broj
rizičnih portfolia iznosi N.
2. Jensenov indeks
Za razliku od Treynora, Jensenova temeljna teza je da se svaki pojedinačni portfolio
vrijednosnih papira mora uspoređivati s linijom tržišta vrijednosnih papira (SML).
Time se pokazuje kolika je diferencija između očekivane stope prinosa pojedinačnog
portfolia vrijednosnih papira i stope prinosa koja je proistekla iz portfolia
vrijednosnih papira koji je pozicioniran na pravcu tržišta vrijednosnih papira. Njegova
ideja se može lijepo razabrati i razumjeti na slijedećem grafičkom primjeru (Slika
33).
Slika 33: Položaj investicijskog portfolia A u odnosu na
89
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
pravac tržišta vrijednosnih papira (SML)
očekivani prinos portfolia (E(r))
CML
A
SML
rf A’
sistematski rizik portfolia ()
Stvarni položaj pojedinačnog portfolia A je određen točkom A. Budući da Jensen
razmatra položaj bilo kojeg pojedinačnog portfolia u odnosu prema pravcu tržišta
vrijednosnih papira, potrebno je naći korespodentnu točku koja leži na pravcu tržišta
vrijednosnih papira. To je i učinjeno tako da je ucrtana točka A’. Na temelju tih
točaka, Jensen je postavio slijedeću jednadžbu koja ujedno i predstavlja vrijednost
njegovog indeksa:
JA = E(rAt) - rf + (E(rmt) - rf) A (XXIX)
gdje je JA Jensenov indeks portfolia A, E(rAt) očekivana stopa prinosa pojedinačnog
portfolia A u vremenu t, rf prinos bezrizične imovine, E(rmt) očekivana stopa prinosa
tržišnog portfolia u vremenu t i A veličina sistematskog rizika pojedinačnog portfolia
A.
Ukoliko pojedinačni portfolio A posjeduje podcijenjene vrijednosne papire, imat će
uvijek pozitivnu vrijednost Jensenovog indeksa. Nasuprot tome, ukoliko pojedinačni
portfolio A posjeduje precijenjene vrijednosne papire, vrijednost Jensenovog indeksa
će mu uvijek biti negativna. Ta činjenica će se reflektirati na grafičkom prikazu na taj
način da će portfolio koji ima pozitivnu vrijednost Jensenovog indeksa uvijek biti
pozicioniran iznad pravca tržišta vrijednosnih papira (kao što je ovdje primjer sa
90
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
portfoliom A). Sva portfolia kojima je negativan Jensenov indeks moraju biti
pozicionirana ispod pravca tržišta vrijednosnih papira.
Glavni cilj je kao i kod Treynorovog indeksa, doći do optimalnog rješenja. Prva korak
za tako nešto je pretpostavka da se pojedinačni portfolio A, kao i svaki drugi portfolio
koji se analizira, nalazi na skupu efikasnih rješenja (odnosno efikasnoj granici). Valja
se prisjetiti da prema modelu procjenjivanja kapitalne imovine pravac tržišta kapitala
(CML) predstavlja tu novu granicu efikasnog portfolia koja je rezultat uvođenja
bezrizične imovine. Ukoliko je efikasna granica pozicionirana iznad pravca tržišta
vrijednosnih papira, to znači da se ostvaruju bolji rezultati s određenim portfoliom
nego u obrnutoj situaciji (to je slučaj prema Slici 33). Stoga se kao zaključak nameće
pretpostavka da se optimalno rješenje kod upotrebe Jensenovog indeksa može postići
slijedećom funkcijom cilja:
funkcija cilja: Z ( Jk ) = max Jk (XXX)
gdje je Jk vrijednost Jensenovog indeksa za rizični portfolio k (k=1,2,...,N). Ukupan
broj rizičnih portfolia iznosi N.
4.2.2. Sharpeov indeks
Sharpeov indeks reflektira u kojoj mjeri je managersko ponašanje u oblikovanju
portfolia vrijednosnih papira orijentirano prema riziku, odnosno koliko su
managerske odluke vezane uz portfolio vrijednosnih papira opterećene rizikom. Za
razliku od prethodna dva indeksa, Sharpeov indeks nema beta koeficijent () kao
mjeru rizika, već umjesto njega koristi standardnu devijaciju (). Zbog toga je u
kontekstu ovog rada Sharpeov indeks interesantniji, jer se može koristiti prilikom
rješavanja problema investicijskog portfolia upotrebom moderne portfolio teorije
(primjenjuje se u empirijskoj analizi). Ukoliko se na takav način riješi jedan problem
investicijskog portfolia, dobije se za rješenje pravac efikasne granice koji predstavlja
kombinaciju rizične i bezrizične imovine u prostoru očekivanog prinosa i standardne
91
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
devijacije. Važno je znati da je riječ o primjeru efikasne granice kod bezrizičnog
uzajmljivanja i pozajmljivanja. Nakon toga, primjenom Sharpeovog indeksa može se
iz dobivenog skupa efikasnih rješenja kao konačni cilj dobiti samo jedno optimalno
rješenje koje u stvari predstavlja vrijednost preferiranog rizičnog portfolia. Takvo
optimalno rješenje koje se dobije primjenom Sharpeovog indeksa nije ništa drugo
nego jedno od mogućih efikasnih rješenja iz skupa efikasnih rješenja koje se isto tako
postiže implementacijom određenih tehnika za izračunavanje kod kojih je dozvoljeno
bezrizično pozajmljivanje i uzajmljivanje (vidi pod 3.3.1. i 3.3.3.).
Stoga, se može zaključiti kako je Sharpeov indeks zapravo već impostiran (unesen) u
funkciju cilja matematičkog modela kod navedenih primjera tehnika za izračunavanje
efikasne granice.
Grafički prikaz izračuna Sharpeovog indeksa je pokazan na Slici 34. Na os apscise
umjesto sistematskog rizika se unese ukupni rizik portfolia, a na os ordinate prinos
portfolia. Točka B predstavlja položaj investicijskog portfolia B. Bezrizična stopa
prinosa je jednaka rf. Prosječnu stopa prinosa portfolia B predstavljarBt. Dužina koja
spaja nerizičnu imovinu i rizični investicijski portfolio B je označena s rfB (naravno,
riječ je o efikasnoj granici).
Slika 34: Performanse portfolia B
prinos portfolia (rmt)
rBt B
rf Y
ukupni rizik portfolia ()
92
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Izračun Sharpeovog indeksa se postiže na identičan način kao i kod Treynorovog
indeksa (postoje gledišta da rezultati primjene Sharpeovog i Treynorovog indeksa
daju približno iste rezultate). Najprije se odredi trokut rfBY, te u njemu kut .
Tangens kuta predstavlja odnos nasuprotne i prilažeće katete što je jednako
vrijednosti Sharpeovog indeksa za rizični portfolio B:
tg B = (rBt - rf) / B (XXXI)
Što je veća vrijednost tangensa kuta , to je i bolji rezultat koji daje Sharpeov indeks.
Onaj investicijski portfolio koji daje najveći omjer prinosa i rizika predstavlja
optimalno rješenje, a njegova funkcija cilja u tom slučaju izgleda ovako:
funkcija cilja: Z ( i ) = max tg i } (XXXII)
gdje je i kut što ga zatvara rizični portfolio i (i=1,2,...,N) u trokutu rfiY. Ukupan broj
rizičnih portfolia iznosi N.
Može se primijetiti kako je dobivena funkcija cilja identična izgledu funkcije cilja kao
i kod već spomenutih tehnika za izračunavanje efikasne granice (relacije XVIII i
XX). Jedina razlika je u korištenju simbolarit odnosno rp (koji daju iste rezultate).
5. Empirijska analiza odabranog investicijskog portfolia
američkih državnih obveznica
Nakon što je u prethodnim poglavljima ovog rada napravljena teoretska postavka
moderne portfolio teorije, u ovom poglavlju je kao završni korak obavljena
empirijska analiza odabranog investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio
teorije.
Za analizu je odabran skup od 9 različitih vrsta vrijednosnih papira s financijskih
tržišta Sjedinjenih Američkih Država koji se međusobno razlikuju s obzirom na
rokove dospijeća. Takvi vrijednosni papiri se zbog svojih zajedničkih karakteristika
prepoznaju pod jednim jedinstvenim imenom - državne obveznice. Vremensko
razdoblje promatranja odgovarajućih parametara obveznica približno iznosi 14
godina, što je dobivenim rezultatima dalo visok nivo reprezentativnosti odnosno
93
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
pouzdanosti. Nakon što je definiran takav investicijski portfolio, te nakon što su
pribavljeni svi potrebni podaci za njegovu analizu, pristupilo se definiranju
matematičkog modela. On je odabran na temelju jedne od četiri moguće tehnike za
izračunavanje efikasne granice. Rješavanje odabranog modela je obavljeno
primjenom računala odnosno upotrebom odgovarajućih softvera. Interpretacija
dobivenog optimalnog rješenja je izvedena u skladu s postavljenim kriterijima
optimizacije. Za kraj su ostavljene modifikacije optimalnog rješenja što je
podrazumijevalo korištenje drugih tehnika za izračunavanje efikasne granice uz
raspoloživost istim podacima odnosno parametrima.
Postignuti rezultati ove empirijske analize su dali značajan doprinos prilikom
donošenja konačnih zaključaka vezanih uz glavna pitanja ovog rada. Na osnovu njih
su uglavnom potvrđena sva prethodna teoretska razmatranja koja su se odnosila na
primjenu moderne portfolio teorije kod optimizacije karakterističnih investicijskih
portfolia.
5.1. Definiranje investicijskog portfolia američkih državnih
obveznica
Odabrani investicijski portfolio američkih državnih obveznica se sastoji od 9 različitih
vrsta vrijednosnih papira koji se međusobno razlikuju prema svojem dospijeću.
U prvu kategoriju tog investicijskog portfolia spadaju kratkoročni vrijednosni papiri
na tržištu novca koje u ovom slučaju predstavljaju tromjesečni i šestomjesečni
blagajnički zapisi.
Drugu kategoriju investicijskog portfolia sačinjavaju dugoročni vrijednosni papiri na
tržištu kapitala koji imaju fiksni prinos. Radi se o trezorskim zapisima od 1 do 3
godine dospijeća, od 3 do 5 godina dospijeća, od 5 do 7 godina dospijeća te od 7 do
10 godina dospijeća. Preostala tri vrijednosna papira pripadaju obveznicama koje
94
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
imaju rok dospijeća od 10 do 15 godina, od 15 do 30 godina te maksimalnih 30
godina.
Rekapitulacija svih 9 vrsta vrijednosnih papira koji se koriste u empirijskoj
analizi je slijedeća:
Puni naziv vrijednosnog papira: Skraćeni naziv vrijednosnog papira:
1. tromjesečni blagajnički zapisi 3mth bill
2. šestomjesečni blagajnički zapisi 6mth bill
3. trezorski zapisi od 1 do 3 godine 1-3 yrs
4. trezorski zapisi od 3 do 5 godina 3-5 yrs
5. trezorski zapisi od 5 do 7 godina 5-7 yrs
6. trezorski zapisi od 7 do 10 godina 7-10 yrs
7. obveznice od 10 do 15 godina 10-15 yrs
8. obveznice od 15 do 30 godina 15-30 yrs
9. tridesetogodišnje obveznice 30 yrs
Skraćeni nazivi vrijednosnih papira su kratice iz engleskog jezika koje se uobičajeno
koriste na svjetskim financijskim tržištima za njihovo obilježavanje.
Zajednička karakteristika svih nabrojanih vrijednosnih papira je ta da su izdani od
strane američke federalne vlade. To je i glavni razlog da se odlikuju visokim
stupnjem bezrizičnosti, uz napomenu da im je unaprijed poznata visina prinosa.
S obzirom na zajedničko porijeklo i navedene karakteristike koje su najbliže
karakteristikama tradicionalnih obveznica, u ovoj analizi se navedene kategorije
vrijednosnih papira tretiraju kao jedinstvena kategorija, kojoj je dan naziv državne
obveznice.
5.2. Priprema i sakupljanje podataka za matematički model
Da bi se pripremili svi potrebni podaci za daljnje korištenje u matematičkom modelu,
trebalo je najprije izvršiti njihovo prikupljanje. Podaci o tržišnoj vrijednosti indeksa
95
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
američkih državnih obveznica su predočeni od strane Merrill Lynch kompanije, koja
iskazuje vrijednosti svojih indeksa na dnevnoj osnovi. Odabrani indeksi pripadaju 1.
sektoru (SOV) prema službenoj klasifikaciji Merrill Lynch indeksa. To je razumljivo
s obzirom da se radi o najkvalitetnijim obveznicama Sjedinjenih Američkih Država
koje pripadaju grupaciji ekonomski najrazvijenijih zemalja svijeta. Uslijed velike
vremenske serije podataka od skoro 14 godina (od 31. prosinca 1987. godine do 30.
rujna 2001. godine), indeksi nisu odabrani na dnevnoj osnovi već su korištene njihove
prosječne mjesečne vrijednosti (ukupno ih ima 166). Takve prosječne mjesečne
vrijednosti indeksa su dobivene na temelju zbroja svih vrijednosti dnevnih indeksa u
mjesecu podijeljenog s ukupnim brojem dnevnih indeksa objavljenih za taj mjesec.
Prikupljanje svih vrijednosti odabranih indeksa je obavljeno na način da su podaci
preuzeti sa službene stranice Merrill Lyncha. Pristup toj bazi podataka je omogućen
korištenjem Bloomberg Open servisa. To je servis koji svakom svojem korisniku
(odnosno pretplatniku) omogućuje pristup najvažnijim podacima s najpoznatijih
svjetskih financijskih tržišta koji se odnose na vrijednosne papire. Prema tome, radi se
o pouzdanom dobavljaču informacija kojemu je osnovna zadaća informirati svoje
korisnike o svim novostima sa svjetskih tržišta kapitala. Zbog toga je upotreba
Bloomberg Open servisa veoma rasprostranjena, kako među raznolikim financijskim
institucijama, tako i među pojedincima investitorima.
Ovako odabrani tržišni indeksi državnih obveznica predstavljaju indekse ukupnog
prinosa. To znači da je u njihovu vrijednost osim kapitalnog dobitka uključena i
isplaćena kamata. Isto tako valja znati da su u sklopu prikazanih tržišnih cijena
indeksa, ovisno o momentu njihova izračunavanja, pripisane i vrijednosti naraslih
kamata. Kompletna vremenska serija prosječnih mjesečnih vrijednosti indeksa za svih
9 državnih obveznica je prikazana u Tablici 16 u Prilogu.
Nakon što su podaci pribavljeni, potrebno je izvršiti i njihovu pripremu za upotrebu u
matematičkom modelu. Prvi korak u tom pravcu je izračunavanje svih vrijednosti
mjesečnih prinosa odabranih vrijednosnih papira za sve godine promatranja. Za
izračunavanje prinosa državnih obveznica koristi se slijedeća formula:
rmi = ( tmi / t(m-1)i - 1 ) 100 (XXXIII)
96
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
gdje je rmi prinos i-tog vrijednosnog papira u m-tom mjesecu, tmi vrijednost indeksa i-
tog vrijednosnog papira u m-tom mjesecu, a t(m-1)i vrijednost indeksa i-tog
vrijednosnog papira koji prethodi m-tom mjesecu.
Iz gornje jednakosti za izračunavanje mjesečnih prinosa se vidi da je jednakost
djelomično bazirana na principu verižnih indeksa. To se može zaključiti po tome što
se svaki član vremenskog niza dijeli s prethodnim članom. Nazivnik u svakom
verižnom indeksu je jednak brojniku prethodnog indeksa. Zbog toga što se baze tih
relativnih brojeva mijenjaju, takvi indeksi se zovu indeksi s promjenjivom bazom.
Prema jednakosti je vidljivo da će broj mjesečnih prinosa biti manji za jedan u odnosu
na zadani broj članova vremenskog niza (ukupno 165). Zbog toga se za izračunavanje
mjesečnog prinosa na kraju prvog mjeseca (taj podatak odgovara datumu 31. siječnja
1988. godine) kao baza uzima vrijednost indeksa prethodnog vremenskog intervala
tzv. nultog mjeseca (datum 31. prosinca 1987. godine). Ta vrijednost indeksa se ne
uključuje u zadani vremenski niz, već služi samo za izračunavanje prinosa prvog
mjeseca. Vremenski niz s kojim se raspolaže u ovom radu je trenutni, jer takav niz
predstavlja skup kronološki uređenih veličina (prinosi obveznica) koje odražavaju
razine pojave u odabranim vremenskim točkama. Frekvencije trenutačnog niza ne
mogu se zbrajati da bi dobiveni zbroj imao smisleno značenje, dakle takav niz nema
svojstvo kumulativnosti.
Primjer izračunavanja prinosa 3. obveznice (1-3 yrs) na kraju 20. mjeseca
promatranja na osnovu prethodne relacije ( XXXIII ) izgleda ovako:
t 20 3 = 358.267 (vrijednost indeksa 3. obveznice u 20. mjesecu)
t 19 3 = 360.483 (vrijednost indeksa 3. obveznice u 19. mjesecu)
r 20 3 = ( t 20 3 / t 19 3 - 1 ) 100
r 20 3 = ( 360.483 / 358.267 - 1 ) 100 = - 0,614731 %
Mjesečni prinos trezorskog zapisa od 1 do 3 godine u 20. mjesecu promatranja
(datum 31. kolovoza 1989. godine) iznosi - 0,614731 %. Rezultat ukazuje na
činjenicu da je u tom mjesecu došlo do pada cijene odnosno vrijednosti tog trezorskog
zapisa. To je pouzdan pokazatelj kako i kod državnih obveznica unatoč velikoj
sigurnosti ulaganja u takve vrijednosne papire može doći do pada njihove vrijednosti.
97
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Prije svega, to je posljedica utjecaja negativnih kretanja na financijskim tržištima koje
se u određenoj mjeri reflektira i na ovu vrstu vrijednosnih papira.
Sve izračunate vrijednosti mjesečnih prinosa američkih državnih obveznica za
razdoblje od 31. siječnja 1988. godine do 30. rujna 2001. godine su prikazane u
Tablici 17 u Prilogu. Indeksi su prikazani u apsolutnim iznosima (a ne u postotnim),
a njihove vrijednosti su zaokružene na šestu decimalu.
Završni dio pripreme podataka za korištenje u matematičkom modelu obuhvaća
izračunavanje prosječnih vrijednosti prinosa, standardne devijacije i varijance
promatranih državnih obveznica. Nakon toga, izračunate su sve varijance i
međusobne kovarijance investicija u portfoliu koje su zatim smještene u matricu
kovarijanci. Za takav postupak izračunavanja korišteno je računalo, odnosno
programski paket Excel 7.0 (Windows 97 - Microsoft Office).
Nakon što su uneseni kompletni rezultati prinosa za svih devet obveznica u razdoblju
od 165 mjeseci, na bazi tih rezultata su izračunate postotne i apsolutne vrijednosti
veličina potrebnih za matematički model koje su raspoređene u Tablice 18 , 19 i 20
kako je prikazano na slijedećoj stranici:
Tablica 18: Ukupni prosjeci prinosa obveznica za svih 165 mjeseci (u postocima)
Vrijednosni papiri Ukupni prosjeci Ukupni prosjeci(državne obveznice) mjesečnih prinosa (%) godišnjih prinosa (%)
3 mth bill 0,4643% 5,7160%
6 mth bill 0,4844% 5,9706%
1-3 yrs 0,5791% 7,1742%
3-5 yrs 0,6635% 8,2591%
5-7 yrs 0,7135% 8,9060%
7-10 yrs 0,7436% 9,2972%
10-15 yrs 0,7734% 9,6864%
15-30 yrs 0,8421% 10,5868%30yrs 0,7571% 9,4727%
Tablica 19: Standardna devijacija i varijanca od ukupnih prosjeka prinosa obveznica
za svih 165 mjeseci (u postocima)
98
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Vrijednosni papiri Varijanca od ukupnih Varijanca od ukupnih Stand. devijacija od ukupnih Stand. devijacija od ukupnih(državne obveznice) prosjeka mjesečnih prinosa (%) prosjeka godišnjih prinosa (%) prosjeka mjesečnih prinosa (%) prosjeka godišnjih prinosa (%)
3 mth bill 0,0002% 0,0022% 0,1360% 1,6445%
6 mth bill 0,0003% 0,0030% 0,1589% 1,9230%
1-3 yrs 0,0026% 0,0315% 0,5126% 6,3276%
3-5 yrs 0,0107% 0,1286% 1,0347% 13,1484%
5-7 yrs 0,0180% 0,2161% 1,3413% 17,3374%
7-10 yrs 0,0278% 0,3336% 1,6660% 21,9298%
10-15 yrs 0,0297% 0,3564% 1,7220% 22,7386%
15-30 yrs 0,0564% 0,6786% 2,3744% 32,5249%30yrs 0,0777% 0,9366% 2,7877% 39,0901%
Tablica 20: Vrijednosti matrice kovarijanci prosječnih mjesečnih prinosa
državnih obveznica (u apsolutnim iznosima)
V.P. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0,00000185 0,00000197 0,00000291 0,00000405 0,00000466 0,00000535 0,00000530 0,00000601 0,00000700
2 0,00000197 0,00000252 0,00000560 0,00000913 0,00001086 0,00001256 0,00001251 0,00001456 0,00001645
3 0,00000291 0,00000560 0,00002628 0,00005113 0,00006402 0,00007635 0,00007678 0,00009565 0,00010855
4 0,00000405 0,00000913 0,00005113 0,00010707 0,00013657 0,00016570 0,00016713 0,00021379 0,00024480
5 0,00000466 0,00001086 0,00006402 0,00013657 0,00017990 0,00021994 0,00022308 0,00029136 0,00033529
6 0,00000535 0,00001256 0,00007635 0,00016570 0,00021994 0,00027756 0,00028148 0,00037449 0,00043410
7 0,00000530 0,00001251 0,00007678 0,00016713 0,00022308 0,00028148 0,00029654 0,00039216 0,00045245
8 0,00000601 0,00001456 0,00009565 0,00021379 0,00029136 0,00037449 0,00039216 0,00056379 0,00065189
9 0,00000700 0,00001645 0,00010855 0,00024480 0,00033529 0,00043410 0,00045245 0,00065189 0,00077715
Na osnovu dostupnih mjesečnih podataka izračunati su prosječni mjesečni prinosi,
varijance odnosno standardne devijacije (drugi korijen iz varijance) te međusobne
kovarijance prosječnih prinosa. Zbog lakše komparacije podataka i činjenice da je
uobičajeno iskazivati rezultate na nivou godine, izračunati su i godišnji podaci za sve
navedene parametre. Za takav izračun je korištena formula iz financijske matematike
koja se primjenjuje kod složenog kamatnog računa (riječ je o korištenju relacije za
izračunavanje nominalne kamatne stope kada je poznata konformna kamatna stopa).
Formula kojom se mjesečni interval iskazivanja podataka svodi na nominalni u ovom
slučaju godišnji interval izgleda ovako:
p g = ( 1 + p m ) 12 - 1 (XXXIV)
99
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
gdje je pg podatak koji se iskazuje na nivou godine, a pm podatak koji se iskazuje na
nivou mjeseca. U ovom primjeru taj podatak predstavljaju prosječni prinosi, varijanca
i standardna devijacija.
Analogno razmatranjima iz prethodnih poglavlja, u trenutku prije nego se krene s
izradom odgovarajućeg matematičkog modela, poželjno je izvršiti i analizu
vrijednosti koeficijenata korelacije prosječnih mjesečnih prinosa državnih obveznica.
Naime, od prije je poznato da postojanje efikasnog portfolia ovisi o intenzitetu
koeficijenata korelacije između 2 investicije. U situaciji kada postoji savršena
pozitivna korelacija između dvije investicije (=+1), tada ne postoji efikasan portfolio
s obzirom da linearno povećanje prinosa portfolia uzrokuje isto takvo smanjenje
standardne devijacije i obratno. To znači da se promjena vrijednosti prinosa odnosno
standardne devijacije za obje analizirane investicije odvija na razini istog intenziteta u
identičnom smjeru. Potencijalnom investitoru koji posjeduje takve dvije investicije je
u tom slučaju sasvim svejedno koju od njih će zadržati, a koju će prodati. Očigledno
je kako mu nije isplativa opcija držanja obje savršeno pozitivne korelirane investicije
u portfoliu, jer na taj način neće pridonijeti poboljšanju diverzifikacije portfolia.
Na temelju izračunatih vrijednosti kovarijanci i standardnih devijacija prosječnih
mjesečnih prinosa američkih državnih obveznica za postavljeni matematički model,
izračunate su i vrijednosti koeficijenata korelacije kako se vidi u Tablici 21.
Tablica 21: Vrijednosti koeficijenata korelacije prosječnih mjesečnih prinosa
državnih obveznica (u apsolutnim iznosima)
Dobivene vrijednosti koeficijenata korelacije zadovoljavaju osnovni uvjet
diverzifikacije portfolia, što znači da u odabranom portfoliu američkih državnih
100
V.P. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1,00000000 0,91185731 0,41787937 0,28789610 0,25567726 0,23621653 0,22608938 0,32938581 0,18468448
2 0,91185731 1,00000000 0,68792375 0,55556936 0,50968958 0,47452749 0,45735832 0,38608527 0,37139902
3 0,41787937 0,68792375 1,00000000 0,96395687 0,93121620 0,89400814 0,86984025 0,78589865 0,75963229
4 0,28789610 0,55556936 0,96395687 1,00000000 0,98406285 0,96121347 0,93795595 0,87015555 0,84865309
5 0,25567726 0,50968958 0,93121620 0,98406285 1,00000000 0,98424583 0,96581235 0,91485363 0,89671795
6 0,23621653 0,47452749 0,89400814 0,96121347 0,98424583 1,00000000 0,98112171 0,94667836 0,93465619
7 0,22608938 0,45735832 0,86984025 0,93795595 0,96581235 0,98112171 1,00000000 0,95908119 0,94248505
8 0,32938581 0,38608527 0,78589865 0,87015555 0,91485363 0,94667836 0,95908119 1,00000000 0,98483322
9 0,18468448 0,37139902 0,75963229 0,84865309 0,89671795 0,93465619 0,94248505 0,98483322 1,00000000
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
obveznica ne postoje 2 vrijednosna papira koja su međusobno savršeno pozitivno
korelirana. Sve vrijednosti koeficijenata korelacije su pozitivne i kreću se u intervalu
od 0,18 do 0,98 (najveće vrijednosti koeficijenata su zabilježene kod one 2 investicije
koje su prema svojim dospijeću i karakteristikama najbliže jedna drugoj - npr. 8. i 9.).
5.3. Izrada odgovarajućeg matematičkog modela primjenom jedne
od tehnika za izračunavanje efikasne granice
U trećem poglavlju ( 3.3. Tehnike za izračunavanje efikasne granice ) je obavljena
teoretska postavka za sva četiri moguća primjera tehnika za izračunavanje efikasne
granice. S obzirom na postavljene uvjete i unaprijed poznate pretpostavke, evidentno
je kako tehnika za izračunavanje kod koje kratka prodaja nije dozvoljena uz
postojanje rizičnog uzajmljivanja i pozajmljivanja (3.3.4.) predstavlja najsloženiju
tehniku prema kriteriju težine izračuna. Stoga je i logično da je ta tehnika odabrana za
primjenu kod ove empirijske analize.
Radi se o modelu (XXI) kod kojeg se treba minimizirati funkcija cilja koja
predstavlja vrijednost varijance odnosno rizik na određenom nivou prinosa, dok su
varijable modela vrijednosni udjeli (ponderi) obveznica u portfoliu. To je problem
matematičkog programiranja kojemu je funkcija cilja kvadratna funkcija, a tri
postojeća ograničenja predstavljaju linearne funkcije od kojih jedno ograničenje u biti
predstavlja uvjet nenegativnosti. Model izgleda ovako:
funkcija cilja: Z ( wi ) = min i=1N wi
2i2 + i=1
N j=1N wiwjij
uz ograničenja: 1) i=1N wi rmi =rp
2) i=1N wi = 1
3) wi 0 za sve i (i=1, 2,..., N)
Simboli u modelu imaju slijedeća značenja:
101
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
N - ukupan broj vrijednosnih papira (obveznica) u portfoliu.
wi - vrijednosni udjeli (ponderi) obveznica investiranih u portfolio ( i = 1,2,...,N ).
i2 - varijanca obveznice i ( i=1,2,...,N ).
ij - kovarijanca obveznice i te obveznice j ( ij; i, j = 1,2,...,N ).
rmi - prosječni mjesečni prinos po obveznici i ( i=1,2,...,N ).
rp - prosječni mjesečni prinos portfolia koji se sastoji od N obveznica.
Prvo ograničenje se odnosi na sumu svih umnožaka vrijednosnih udjela (pondera) i
prosječnih mjesečnih prinosa po obveznici i koja mora biti jednaka prosječnom
mjesečnom prinosu portfolia koji se sastoji od N obveznica.
Drugo ograničenje ukazuje na činjenicu da je suma svih vrijednosnih udjela (pondera)
obveznica investiranih u portfolio jednaka jedan.
Treće ograničenje predstavlja uvjet nenegativnosti kojim se definiraju vrijednosni
udjeli (ponderi) obveznica investiranih u portfolio kao veličine koje su veće od nule
ili su jednake nuli.
Ovako zadani model predstavlja problem višekriterijskog (bikriterijskog) odlučivanja
koji je ekvivalentan problemu parametarskog programiranja (PP) s jednim
parametrom na desnoj strani ograničenja (prosječni mjesečni prinos portfolia rp) i
jednom funkcijom cilja (minimalnom varijancom portfolia p2). Rješenja ovog
modela su definirana unutar odgovarajućeg intervala čije veličine se kreću u rasponu
između izračunate minimalne i maksimalne vrijednosti prosječnog mjesečnog prinosa
portfolia (rp ). Promjenom vrijednosti parametra desne strane (rp ), mijenja se i
minimalna vrijednost funkcije cilja odnosno vrijednost varijance portfolia ( p2 ),
čime se mijenjaju i vrijednosti varijabli tj. vrijednosni udjeli obveznica investiranih u
portfolio ( wi ). Ukupan broj vrijednosti prosječnih mjesečnih prinosa portfolia (rp )
unutar zadanog intervala se može prilagoditi odgovarajućim potrebama analize (to se
naravno reflektira i na konačan broj rješenja varijabli modela wi ).
Iz prakse je poznato da je problem minimiziranja/maksimiziranja kvadratne funkcije
cilja i postojećih linearnih ograničenja nakon problema linearnog programiranja (LP)
najjednostavniji problem matematičkog programiranja za izračunavanje. Takav
matematički model zahtijeva primjenu računala, odnosno odgovarajući softver koji ne
mora biti isključivo namijenjen rješavanju 'teških' problema matematičkog
102
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
programiranja i koji je lako dostupan. S druge strane, da je u pitanju obratna situacija
u kojoj zadana funkcija cilja definira maksimalnu vrijednost prinosa portfolia ( rp ), a
parametar na desnoj strani ograničenja predstavlja varijancu portfolia ( p2 ), tada bi
se za izračunavanje takvog modela podrazumijevala primjena odgovarajućeg
profesionalnog softvera. Naime, problem maksimiziranja/minimiziranja linearne
funkcije cilja uz postojanje jednog kvadratnog i dva linearna ograničenja ne spada u
kategoriju 'jednostavnih' matematičkih problema za izračunavanje. Stoga se nameće
logički zaključak kako je ovako postavljeni matematički model prije svega posljedica
traženja načina za što jednostavnijim izračunavanjem zadanih varijabli modela uz
poštivanje činjenice koja govori o tome da je portfolio strategija prvenstveno i
usmjerena na smanjenje rizika investiranja (u zadanom problemu funkcija cilja je
minimalna varijanca portfolia).
Funkcija cilja koja predstavlja minimalnu varijancu može se interpretirati tako da se
iz priložene relacije jasno vidi kvadratna funkcija. U tom slučaju se varijanca na
osnovu poznatih parametara izražava (IX) preko matrice kovarijanci prosječnih
mjesečnih prinosa obveznica ( ij = ji ; ji ; N=9 ):
2 = i=19 wi
2i2 + i=1
9 j=19 wiwjij =
12 12 13 14 15 16 17 18 19 w1
21 22 23 24 25 26 27 28 29 w2
31 32 32 34 35 36 37 38 39 w3
41 42 43 42 45 46 47 48 49 w4
= w1 w2 ... w9 51 52 53 54 52 56 57 58 59 w5 =
61 62 63 64 65 62 67 68 69 w6
71 72 73 74 75 76 72 78 79 w7
81 82 83 84 85 86 87 82 89 w8
91 92 93 94 95 96 97 98 92 w9
103
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
= 12w1
2 + 22w2
2 + 32w3
2 + 42w4
2 + 52w5
2 + 62w6
2 + 72w7
2 +
82w8
2 + 92w9
2 + 212w1w2 + 213w1w3 + 214w1w4 +
215w1w5 + 216w1w6 + 217w1w7 + 218w1w8 +
219w1w9 + 223w2w3 + 224w2w4 + 225w2w5 +
226w2w6 + 227w2w7 + 228w2w8 + 229w2w9 +
234w3w4 + 235w3w5 + 236w3w6 + 237w3w7 +
238w3w8 + 239w3w9 + 245w4w5 + 246w4w6 +
247w4w7 + 248w4w8 + 249w4w9 + 256w5w6 +
257w5w7 + 258w5w8 + 259w5w9 + 267w6w7 +
268w6w8 + 269w6w9 + 278w7w8 + 279w7w9 +
289w8w9
Konačni izgled postavljenog matematičkog modela nakon uvrštenja ukupnog broja
obveznica ( N=9 ) u funkciju cilja i sva tri ograničenja je slijedeći:
funkcija cilja: (XXXV)
Z ( w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8, w9 ) = min 12w1
2 + 22w2
2 + 32w3
2
+ 42w4
2 + 52w5
2 + 62w6
2 + 72w7
2 + 82w8
2 + 92w9
2 +
212w1w2 + 213w1w3 + 214w1w4 + 215w1w5 +
216w1w6 + 217w1w7 + 218w1w8 + 219w1w9 +
223w2w3 + 224w2w4 + 225w2w5 + 226w2w6 +
227w2w7 + 228w2w8 + 229w2w9 + 234w3w4 +
235w3w5 + 236w3w6 + 237w3w7 + 238w3w8 +
239w3w9 + 245w4w5 + 246w4w6 + 247w4w7 +
248w4w8 + 249w4w9 + 256w5w6 + 257w5w7 +
258w5w8 + 259w5w9 + 267w6w7 + 268w6w8 +
269w6w9 + 278w7w8 + 279w7w9 + 289w8w9
104
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
uz ograničenja:
1) w1 rm1 + w2 rm2 + w3 rm3 + w4 rm4 + w5 rm5 + w6 rm6 +
w7 rm7 + w8 rm8 + w9 rm9 + =rp
2) w1 + w2 + w3 + w4 + w5 + w6 + w7 + w8 + w9 = 1
3) w1 0
w2 0
w3 0
w4 0
w5 0
w6 0
w7 0
w8 0
w9 0
_____________________________________________________
5.4. Rješavanje matematičkog modela pomoću računala
U situaciji kada su postavljeni svi preduvjeti za rješavanje modela, potrebno je
definirati upotrebu odgovarajućeg softverskog paketa (iz do sada navedenih razloga
evidentno je kako izračunavanje parametara modela bez upotrebe računala ne dolazi u
obzir ni u kojem slučaju). Uzevši u obzir današnji nivo razvijenosti kompjuterske
tehnologije i informatičkih znanosti ne bi smjelo biti problematično naći odgovarajući
program za rješavanje ovog problema nelinearnog programiranja. Jedina moguća
dvojba koja se u tom slučaju može pojaviti se odnosi na odabir najboljeg programa od
svih ponuđenih (odnosno dostupnih). S obzirom na količinu raspoloživih podataka u
modelu, poželjno je u ovom slučaju upotrijebiti softver čije su karakteristike u prvom
redu brzina pri računanju kao i velika preciznost dobivenih rezultata (tu se prije svega
misli na zaokruživanje rezultata - što više decimalnih mjesta to bolje). Od većeg broja
mogućih programa za izračunavanje problema nelinearnog programiranja, slijedeća
dva programa su lako dostupna i relativno jednostavna za korištenje:
105
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
1. “MATHPROG” (OR COURSEWARE - Copyright 1995 by McGraw-Hill Inc.) -
to je softver čija je osnovna namjena rješavanje problema iz operacijskih istraživanja
(u tu kategoriju spadaju i linearno programiranje, dinamičko programiranje, problem
transporta te analiziranje mreža). Što se tiče nelinearnog programiranja, ono je u
ovom softveru zastupljeno s tri metode pomoću kojih se rješavaju definirani
matematički problemi ovisno o svojoj težini (tu se prije svega misli na broj varijabli i
ograničenja kao i na složenost postavljene funkcije cilja). To su:
a) Gradijentna metoda.
b) Frank-Wolfe-ova metoda.
c) SUMT - Sequential Unconstrained Minimization Tehnique.
Za postavljeni problem u empirijskoj analizi (XXXV) koristi se iz softvera okvir za
rješavanje zvan "Model Kvadratnog Programiranja" (engl. "Quadratic
Programming Model") koji je koncipiran na taj način da mu je funkcija cilja
kvadratna, a ograničenja linearna uz postavljene uvjete nenegativnosti na varijable.
Uvrštavanjem parametara iz postavljenog modela dobiju se optimalna rješenja kao i
vrijednost funkcije cilja.
2. "SOLVER" (WINDOWS 97 - EXCEL 7.0 - Copyright 1997 by Microsoft) - radi
se o alatu koji je dio "Excela" i nalazi se u "Tools" meniju. Taj program je
napravljen s ciljem rješavanja klasičnih problema optimizacije - linearnih i
nelinearnih. Ima slijedeće parametre:
1) "Set Target Cell" - definiranje ćelije koja predstavlja funkciju cilja te ispis
vrijednosti funkcije cilja u toj istoj ćeliji.
2) "Equal to: Min or Max" - solucija kojom se odabire da li se minimizira ili
maksimizira funkcija cilja.
3) "By Changing Cells" - ispis rješenja varijabli u odabranim ćelijama.
106
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
4) "Subject to the Constraints" - definiranje (ne)jednadžbi ograničenja i uvjeta
nenegativnosti pomoću odabranih ćelija i karakterističnih vrijednosti.
Poslije definiranja svih parametara, program se pokreće odabirom opcije "Solve"
nakon čega se problem rješava na taj način da se ispišu rezultati u ćelijama koje su
odabrane u prvom i trećem parametru. Ako postoji optimalno rješenje postavljenog
problema, dobije se slijedeća informacija ispisana na monitoru računala:
5) "Solver Results": Solver found a solution.
All constraints and optimality conditions are satisfied.
Na taj način je dobivena potvrda kako je zadani model matematički ispravan, te da su
dobivena rješenja optimalna uz zadovoljenje svih postavljenih uvjeta.
Uzimajući u obzir sve prednosti i nedostatke oba dostupna programa za rješavanje
modela nelinearne optimizacije, odlučeno je da se upotrijebi "Solver" (radi se o
novijem i kvalitetnijem programu od "Mathprog"). Razlozi tome leže u većoj brzini
pri unosu podataka i ispisu rješenja, kao i zbog velike preciznosti dobivenih rezultata
što nije slučaj kod "Mathprog" softvera (postoji mogućnost osjetljivijeg podešavanja
u meniju "Solver Options" u opciji "Precision", na primjer na sedam decimala).
Primjer rješavanja zadanog modela iz empirijske analize ( XXXV ) pomoću "Solvera"
je prikazan na slijedeća četiri grafička prikaza. Na slikama su prikazani kronološki
postupci u procesu izračunavanja jednog optimalnog odnosno efikasnog rješenja:
Slika 35: Pregled unosa osnovnih parametara modela u "Solver"
107
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Slika 36: Promjena vrijednosti ćelije u jednom ograničenju
108Promjena vrijednosti ćelije u ograničenju
Osnovni parametri "Solvera"
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Slika 37: Rješavanje modela s modificiranim jednim ograničenjem
Slika 38: Ispis jednog optimalnog (efikasnog) rješenja "Solvera"
Pokazani primjer rješavanja problema u "Solveru" se odnosi na izračunavanje jednog
optimalnog (efikasnog) rješenja. Naime, poznato je na osnovu teoretske postavke
zadanog modela (XXXV) koji predstavlja jednu od tehnika za izračunavanje efikasne
granice da se kao konačno rješenje problema nije moglo dobiti samo jedno optimalno
109
Jedno optimalno (efikasno) rješenje
Modificirano ograničenje
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
(efikasno) rješenje. Rješenje problema predstavlja skup optimalnih rješenja odnosno
skup efikasnih rješenja. Ako se definira prinos na određenom nivou uz minimalni
rizik, dobije se jedno efikasno rješenje (odnosno jedna točka na krivulji efikasne
granice). Takav efikasni skup je određen minimiziranjem rizika za svaku razinu
prosječnog prinosa portfolia. Vrijednost prosječnog prinosa portfolia u tom slučaju
varira između prosječnog prinosa na portfolio minimalne varijance i prosječnog
prinosa na portfolio maksimalnog prinosa.
Razine prosječnih prinosa portfolia u tom slučaju mogu biti izražene samo preko
ukupnih prosjeka prinosa devet pojedinačnih obveznica koje sačinjavaju portfolio
(Tablica 18). Prema rezultatima iz Tablice 18 evidentno je da će se raspon
dozvoljenih vrijednosti prosječnih mjesečnih prinosa devet pojedinačnih obveznica
kretati u intervalu od 0,465 % do 0,840 %. U tom slučaju prosječni prinosi portfolia
ne mogu biti izvan tog intervala. Naime, analizirani portfolio može sadržavati od 1 do
9 obveznica. Ukoliko ima samo jednu obveznicu, vrijednosti njegovog prosječnog
prinosa se zasigurno nalaze u granicama intervala. S druge strane, ako sadrži više od
jedne obveznice, portfolio ni u tom slučaju ne može iskazivati veći prosječni prinos
jer su vrijednosti prosječnih prinosa obveznica koje ga sačinjavaju vrijednosti iz
zadanog intervala (zna se da je prinos portfolia linearna funkcija vrijednosnih udjela
investicija u portfoliu). Na osnovu ove analize se može zaključiti kako će se ukupni
prinos portfolia uvijek ostvarivati u granicama intervala kojeg čine prinos
najprofitabilnije i prinos najmanje profitabilne obveznice u investicijskom portfoliu.
Definiranje ukupnog broja prosječnih mjesečnih prinosa unutar zadanog intervala je
stvar slobodnog izbora. Ukoliko se želi dobiti veći skup efikasnih rješenja radi
kvalitetnije analize (i zbog bolje aproksimacije grafičkog prikaza efikasne krivulje), u
tom slučaju se odabire veći broj vrijednosti prosječnih mjesečnih prinosa u intervalu.
U ovoj analizi je odabrano 76 referentnih točaka koje tvore aritmetički niz s
razlikom od 0,005 % između svake točke. Time je postignut i identičan broj efikasnih
rješenja unutar zadanog intervala.
Postignute vrijednosti funkcije cilja (minimalna varijanca odnosno minimalna
standardna devijacija prosječnih mjesečnih prinosa portfolia) te optimalna rješenja
varijabli (vrijednosni udjeli obveznica u portfoliu) su prikazani u Tablicama 22 i 23
110
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
u Prilogu za sve referentne vrijednosti prosječnih mjesečnih prinosa iz zadanog
intervala.
Dobiveni rezultati koji su prikazani u Tablicama 22 i 23 mogu se interpretirati na
slijedeći način (za primjer je odabrana jedna referentna točka odnosno prosječni
mjesečni prinos portfolia 76. prema redoslijedu):
za unaprijed odabrani prosječni mjesečni prinos portfolia u vrijednosti od 0,0084
(0,84 % mjesečno), vrijednost minimalne varijance prosječnog mjesečnog prinosa
portfolia (rješenje funkcije cilja) u toj referentnoj točki iznosi 0,00055379
(0,055379 % mjesečno).
optimalna rješenja varijabli (odnosno vrijednosnih udjela obveznica u portfoliu) u
toj referentnoj točki iznose:
w1 = 0 ;
w2 = 0 ;
w3 = 0 ;
w4 = 0 ;
w5 = 0 ;
w6 = 0 ;
w7 = 0,02931388 ;
w8 = 0,97068612 ;
w9 = 0 .
Postignuti rezultati se radi lakše usporedbe s drugim podacima iskazuju i u
vremenskom intervalu od godine dana (tzv. nominalni vremenski interval). U tom
slučaju se za preračunavanje rezultata iz mjesečnih intervala na godišnje intervale
upotrebljava ranije korištena formula (XXXIV).
Vrijednosti funkcije cilja (minimalna varijanca odnosno minimalna standardna
devijacija prosječnih godišnjih prinosa portfolia) su zasebno prikazane u Tablici 24 u
Prilogu.
Za kraj ovog dijela empirijske analize u kojoj je riješen zadani matematički model,
preostao je još prikaz dobivenih rezultata na grafikonu. Slijedeći grafički prikaz
111
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
(Slika 39) se dobije tako da se na os apscise nanese minimalna varijanca (odnosno
standardna devijacija) dok se na os ordinate nanese vrijednost prosječnog prinosa
portfolia. Dobivena međuovisnost između prinosa investicijskog portfolia obveznica i
rizika ulaganja u taj isti portfolio predstavlja krivulju efikasne granice (u ovom
primjeru radi se o 'aproksimativnom' pravcu efikasne granice). Radi se o skupu
efikasnih portfolia koja su dominantnija u odnosu na druga moguća portfolia. Iz
prethodne analize je poznato kako postoji neograničen broj mogućih portfolia koja se
mogu postići kombiniranjem iz postojećeg skupa investicija kojeg u ovom slučaju
tvori devet različitih vrsta američkih državnih obveznica (ali ih niti jedan racionalan
investitor neće odabrati jer ne nude optimalno odnosno efikasno rješenje).
Slika 39: Pravac efikasne granice odabranog investicijskog portfolia američkih
državnih obveznica
5.5. Određivanje optimalnog rješenja i implementacija
Za konačno rješavanje zadanog problema potrebno je iz postojećeg skupa optimalnih
odnosno efikasnih rješenja dobiti samo jedno optimalno rješenje. S obzirom na zadani
112
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
matematički model i implikacije koje on nosi, jedini kriterij pomoću kojeg se može
dobiti jedno optimalno rješenje je kriterij optimizacije koji se ostvaruje
primjenom teorije korisnosti. Naime, iz dosadašnjeg djela analize je poznato da se
kod ovakvog modela ne može koristiti Sharpeov indeks jer se njegova upotreba
podrazumijeva samo kod onih modela koji dozvoljavaju bezrizično uzajmljivanje i
pozajmljivanje (kod takvih modela je Sharpeov indeks impostiran u funkciju cilja).
U tom slučaju potrebno je definirati o kakvoj vrsti investitora je riječ. Ukoliko je u
pitanju konzervativni investitor, on će zasigurno odabrati jednu točku na lijevoj
polovici pravca efikasne granice kao potencijalno optimalno rješenje. Ukoliko je pak
u pitanju agresivni investitor, jedna od točaka na desnoj polovici pravca efikasne
granice se može smatrati potencijalnim optimalnim rješenjem.
U ovom primjeru riječ je o agresivnom investitoru koji je spreman prihvatiti nešto
veći rizik investiranja da bi ostvario prosječni prinos portfolia od maksimalnih 10 %
godišnje. Referentna točka na pravcu efikasne granice koja je najbliža ovom zahtjevu
investitora je prema ponuđenim rezultatima 67. po redoslijedu.
Interpretacija konačnog optimalnog rješenja zadanog matematičkog modela je
slijedeća:
za unaprijed definiran prosječni godišnji prinos portfolia od maksimalnih 10 %,
prema raspoloživom skupu efikasnih rješenja najbolje odgovara prosječni godišnji
prinos portfolia od 9,97 %.
u tom slučaju vrijednost minimalne standardne devijacije prosječnog godišnjeg
prinosa portfolia (tj. rješenje funkcije cilja) iznosi 25,4734 %.
optimalna rješenja varijabli (odnosno vrijednosnih udjela obveznica u portfoliu) u
toj referentnoj točki iznose:
w1 = 0 ;
w2 = 0 ;
w3 = 0 ;
w4 = 0 ;
w5 = 0 ;
w6 = 0 ;
w7 = 0,68452412 ;
113
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
w8 = 0,31547588 ;
w9 = 0 .
Na osnovu dobivenih rezultata može se zaključiti kako je investitor spreman uložiti
svoja financijska sredstva u kupnju isključivo dvije vrste američkih državnih
obveznica od raspoloživih devet. Radi se o obveznicama koje imaju rok dospijeća od
10 do 15 te od 15 do 30 godina. Otprilike dvije trećine svojih sredstava investitor će
uložiti u prvu obveznicu (10-15 yrs), a jednu trećinu u drugu obveznicu (15-30 yrs).
To su dugoročni vrijednosni papiri koji imaju nešto veći tržišni rizik od ostalih
obveznica zato što im je i duži rok dospijeća glavnice. Naime, uzrok tome su znatnije
oscilacije njihovih prosječnih godišnjih prinosa kao posljedica utjecaja različitih
kretanja na financijskim tržištima. Onaj investitor koji je spreman uložiti svoj novac u
takve vrijednosne papire mora biti siguran da će u dužem vremenskom razdoblju više
riskirati, ali je isto tako vrlo vjerojatno da će mu se investicija višestruko isplatiti
(ostvarit će veliki profit ako bude dovoljno strpljiv).
Grafički prikaz (Slika 40) konačnog optimalnog rješenja podrazumijeva ucrtavanje
krivulje indiferencije koja tangira na pravac efikasne granice u točki optimalnog
rješenja T67 (rp = 9,97 % ,p = 25,4734 % ).
Slika 40: Konačno optimalno rješenje za portfolio američkih državnih obveznica
kada
investira agresivni investitor
114
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
5.6. Analiza optimalnog rješenja i modifikacija
Dobiveno optimalno rješenje predstavlja u suštini produkt razmišljanja agresivnog
investitora. Ukoliko u međuvremenu takav investitor odluči promijeniti svoju
strategiju investiranja uslijed novih kretanja na financijskim tržištima, tada će se
promijeniti i njegova dotadašnja optimalna odluka, odnosno odabrano optimalno
rješenje na pravcu efikasne granice. Na primjer, ukoliko je došlo do trenutnog porasta
vrijednosti cijena obveznica, u tom slučaju investitor odustaje od dugoročnog
ulaganja u obveznice i odlučuje mijenjati portfolio kojim je do tada raspolagao te
prodaje svoje obveznice (radi se o obveznicama 10-15 yrs i 15-30 yrs). Prikupljena
financijska sredstva odlučuje reinvestirati, ali ovaj put se njegova razmišljanja silom
prilika mijenjaju. Naime, u međuvremenu je došlo do ekonomske recesije 19 na
globalnom nivou, uslijed čega će svaki racionalni investitor pokušati ulagati svoja
sredstva u sigurnije investicije. U tom slučaju kupuju se najmanje rizične investicije
koje predstavljaju kratkoročni državni vrijednosni papiri odnosno blagajnički zapisi
(3 mth i 6 mth). Zbog utjecaja negativnih eksternih faktora, investitor je primoran
mijenjati svoju strategiju ulaganja te prelazi na konzervativnije investiranje, a njegova
krivulja indiferencije se pozicionira na lijevoj polovici pravca efikasne granice.
Njemu više nije bitno ostvariti što veći profit, već mu je u interesu postići sigurnost
uloženih sredstava u vrijednosne papire. U tom slučaju njegovu zonu interesa na
analiziranom primjeru predstavljaju prva četiri rješenja odnosno prve četiri referentne
točke.
Iz navedene analize je vidljivo kako se vrijednost optimalnog rješenja može vrlo lako
promijeniti u situaciji kada se kao kriterij optimizacije primjenjuje teorija korisnosti.
S obzirom na postojeći ljudski faktor koji se manifestira kroz promjenu sklonosti
investiranja, teško je sa sigurnošću zaključiti gdje će se u određenom vremenskom
razdoblju pozicionirati optimalno rješenje na pravcu efikasne granice.
19 Ekonomska recesija - predstavlja usporavanje opće privredne aktivnosti u nekoj zemlji, odnosno usporavanje njezinih stopa rasta ili čak njihov blagi pad. Posrijedi je blaži oblik privredne krize ili sam njen početak. Ublažuje se različitom kombinacijom mjera i instrumenata ekonomske politike.
115
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Ako se želi izbjeći takva vrsta neizvjesnosti, u tom slučaju se mora primijeniti drugi
kriterij optimizacije koji sa sobom povlači i drukčiji matematički model odnosno
tehniku za izračunavanje efikasne granice.
Riječ je o primjeni tehnike za izračunavanje kod koje kratka prodaja nije
dozvoljena uz postojanje bezrizičnog uzajmljivanja i pozajmljivanja (XX).
Takav model za razliku od analiziranog modela (XXI) ima drugačiju funkciju cilja te
ne sadrži prvo ograničenje. Novi parametar koji se uvodi u model je stopa
bezrizičnog prinosa portfolia (rf). Da bi se za takav model dobilo optimalno
rješenje, potrebno je imati na raspolaganju podatke za sve veličine pomoću kojih se
može prikazati skup efikasnih rješenja (to su prinos portfolia i standardna devijacija).
Zbog te činjenice i radi jednostavnosti izračuna ovog primjera, sve vrijednosti
veličina iz prethodnog modela se koriste za analizu i u ovom modelu. To znači da
se skup efikasnih rješenja dobije kombinacijom bezrizičnog portfolia i samo jednog
rizičnog portfolia (koji se nalazi na krivulji efikasne granice rizičnih portfolia
preuzetoj iz prethodnog primjera). Optimalno rješenje problema u tom slučaju
predstavlja isključivo vrijednost preferiranog rizičnog portfolia (u varijanti kada
investitor ulaže 100% svoje imovine u rizični portfolio jer mu nerizični portfolio nije
zanimljiv). Model izgleda ovako:
funkcija cilja: Z (wi ) = max (rp - rf ) / p
uz ograničenja: 1) i=1N wi = 1
2) wi 0 za sve i (i=1, 2,..., N)
Simboli u modelu imaju slijedeća značenja:
N - ukupan broj vrijednosnih papira (obveznica) u portfoliu.
wi - vrijednosni udjeli (ponderi) obveznica investiranih u portfolio ( i = 1,2,...,N ).
p - standardna devijacija prosječnog prinosa portfolia.
rf - stopa bezrizičnog prinosa portfolia.
rp - prosječni mjesečni prinos portfolia koji se sastoji od N obveznica.
116
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Funkcija cilja ovog modela zapravo predstavlja vrijednost Sharpeovog indeksa koji je
prema relaciji (XXXI) jednak:
tg = (rp - rf ) / p
Na osnovu te činjenice se može kazati kako je upotrebom ovog modela na snazi
kriterij optimizacije koji se ostvaruje mjerenjem performansi portfolia odnosno
primjenom odgovarajućih indeksa (u ovom slučaju Sharpeovog indeksa).
Vrijednosti prosječnih mjesečnih prinosa portfolia koje su predstavljene referentnim
točkama se mogu isto tako prikazati na nivou godine. U tom slučaju se i standardna
devijacije iskazuje na godišnjem nivou. Ukoliko se zna da je stopa bezrizičnog
prinosa portfolia jednaka 5,52 % godišnje (radi se o godišnjoj stopi na 30-dnevni
blagajnički zapis za kojeg se smatra da ima najprihvatljiviju bezrizičnu kamatnu
stopu), tada se na osnovu zadanog modela mogu izračunati vrijednosti funkcije cilja
odnosno vrijednosti Sharpeovog indeksa. Rezultati su prikazani u Tablici 25 u
Prilogu.
Optimalno rješenje predstavlja najveća vrijednost Sharpeovog indeksa od svih
ponuđenih vrijednosti (maksimum od tg ). Iz rezultata u Tablici 25 je vidljivo da je
riječ o 12. po redu referentnoj točki za koju je vrijednost Sharpeovog indeksa jednaka
0,27351 što daje kut od 15,30 stupnjeva.
U tom slučaju interpretacija optimalnog rješenja je slijedeća:
optimalna vrijednost funkcije cilja odnosno vrijednost Sharpeovog indeksa jednaka
je Z (wi) = tg = 0,27351 .
optimalna rješenja varijabli (odnosno vrijednosnih udjela obveznica u portfoliu)
iznose:
w1 = 0 ;
w2 = 0,62410227 ;
w3 = 0,37589773 ;
w4 = 0 ;
w5 = 0 ;
w6 = 0 ;
w7 = 0 ;
117
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
w8 = 0 ;
w9 = 0 ;
Investitor ulaže svoju financijsku imovinu u šestomjesečne blagajničke zapise i u
trezorske zapise od 1 do 3 godine. Ulaganjem u te vrijednosne papire ostvarit će
prosječni godišnji prinos od 6,42 % uz prisutni rizik ulaganja odnosno godišnju
standardnu devijaciju od 3,2963 % .
Optimalno rješenje je grafički prikazano na Slici 41. Osim pravca efikasne granice iz
prethodnog primjera, na graf je unesena i vrijednost stope bezrizičnog prinosa. Isto
tako, vidljiv je i trokut što ga zatvaraju koordinate referentne točke T12 (prosječni
prinos portfolia i minimalna standardna devijacija) s točkom na osi ordinate koja
predstavlja vrijednost stope bezrizičnog prinosa. Tangens kuta u takvom
pravokutnom trokutu predstavlja najveću vrijednost Sharpeovog indeksa od svih
mogućih referentnih točaka na pravcu efikasne granice.
Slika 41: Konačno optimalno rješenje za portfolio američkih državnih obveznica
koje se dobije primjenom Sharpeovog indeksa
118
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Za kraj ove analize je ostavljen grafički prikaz kretanja vrijednosti Sharpeovog
indeksa (Slika 42). Iz prikaza je vidljivo kako je koncentracija najvećih vrijednosti
Sharpeovog indeksa (koje su veće od 0,25) u intervalu od šeste do dvadeset i sedme
referentne točke sa pravca efikasne granice (to su vrijednosti prosječnih godišnjih
prinosa od 6,04 % do 7,38 %). Taj interval ujedno predstavlja i optimalno područje
ulaganja u vrijednosne papire s obzirom na prihvatljivi rizik investiranja (standardna
devijacija nije velika).
Slika 42: Vrijednosti Sharpeovog indeksa u odnosu na prinos portfolia
119
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
6. Zaključak
Za ispunjenje temeljnih ciljeva u ovome magistarskom radu trebao sam obaviti
teoretsku analizu moderne portfolio teorije kao i njenu primjenu na modelu
optimizacije investicijskih portfolia. Koristeći empirijsku analizu na primjeru
konkretnog modela optimizacije došao sam do određenih rezultata i adekvatnih
zaključaka kojima sam potvrdio unaprijed postavljene hipoteze. Glavne pretpostavke
koje sam potvrdio u ovom magistarskom radu se mogu podijeliti u četiri osnovne
grupe:
Kao prvo i osnovno, pokazao sam da i na zadanom praktičnom primjeru (radi se o
investicijskom portfoliu američkih državnih obveznica) vrijedi teoretska postavka
Markowitz-evog modela (Moderna portfolio teorija). Unošenjem konkretnih
vrijednosti za parametre postavljenog matematičkog modela, kao rezultate sam
dobio optimalne vrijednosti funkcije cilja, odnosno optimalna rješenja varijabli.
Nakon toga sam bio u mogućnosti interpretirati dobivene rezultate, analizirati
njihove vrijednosti te moguće implikacije na potencijalne investitore.
Dokazao sam da se praktični primjer matematičkog modela moderne portfolio
teorije može brzo i efikasno riješiti pomoću računala. Naime, glavna kritika ovog
modela prilikom njegova pojavljivanja 1952. godine je bila sporost i složenost u
izračunu što je otežavalo njegovu primjenu u praksi. Danas to više nije slučaj jer se
svaki takav model može riješiti uz primjenu specijaliziranih softvera bez obzira na
broj ulaznih parametara (odnosno broj vrijednosnih papira u portfoliu). U slučaju
manjeg broja ulaznih parametara ( i 10 ), takvi modeli se bez većih problema
mogu rješavati i pomoću priručnih aplikacija kao što je to bio slučaj u ovome radu
(korišten je alat Solver kao dio Microsoft-ovog Excel-a).
Utvrdio sam da se ovisno o zadanom investicijskom portfoliu obveznica ili dionica
njihove granice efikasnosti razlikuju u svome obliku (pravac ili krivulja). Prema
rezultatima sa dva različita financijska tržišta (slovensko i američko) mogao sam
zaključiti kako će investicijski portfolio obveznica kao efikasnu granicu uvijek
120
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
davati pravac, dok će investicijski portfolio dionica za efikasnu granicu imati
konkavnu krivulju. Spajanjem ta dva investicijska portfolia kao efikasna granica se
dobije kombinacija krivulje i pravca (radi se o pravcu sa zaobljenim vrhovima).
Ustanovio sam da u slučaju ograničene mogućnosti ulaganja u obveznice (smanjen
mogući izbor obveznica) te manje vremenske serije podataka neće doći do
značajnije promjene oblika efikasne granice. Tu usporedbu sam obavio
analizirajući rezultate (odnosno efikasnu granicu) na primjerima odabranih
investicijskih portfolia sa slovenskog i američkog tržišta kapitala koji se
međusobno razlikuju, kako u broju tako i u kvaliteti ulaznih parametara modela.
Vjerujem da je očekivani znanstveni doprinos ovog rada moguć ukoliko postignuti
rezultati i adekvatni zaključci budu imali odgovarajuću primjenu na deviznom tržištu
vrijednosnih papira (posebno se to odnosi na Hrvatsku narodnu banku s obzirom da
sam kao zaposlenik te institucije neko vrijeme proveo na poslovima upravljanja
deviznim pričuvama), kao i na domaćem financijskom tržištu koje se uslijed
obavljenog procesa mirovinske reforme treba postepeno razvijati u tom pravcu (tu
prije svega mislim na obvezu ulaganja mirovinskih fondova u domaće državne
obveznice).
Moje osobno mišljenje je da se iz gore navedenih činjenica kao zaključak nameće
misao kako bi ovaj magistarski rad mogao biti ‘korak dalje’ u implementaciji
postojećih znanstvenih metoda na financijskom tržištu vrijednosnih papira, kako na
praktičnom tako i na teoretskom području.
121
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
7. Popis oznaka i kratica
str.
1. CD - engl. Certificates of Deposit. 5
2. LIBOR - engl. London InterBank Offered Rate. 6
3. GNMA - engl. Government National Mortgage Asociation. 9
4. CBOE - engl. Chicago Board of Options Exchange.
11
5. DJIA - engl. Dow-Jones Industrial Average Index.
14
6. OTC - engl. Over The Counter Market. 15
7. SOV - engl SOVereign Sector. 16
8. QGVT - engl. Quasi & Foreign Government Sector.
16
9. COLL - engl. Securitized / COLLateralizated Sector. 16
10. CORP - engl. CORPorate Sector. 16
11. CAPM - engl. Capital Asset Pricing Model. 23
12. CML - engl. Capital Market Line. 24
13. SML - engl. Security Market Line. 25
14. APT - engl. Arbitrage Pricing Theory. 27
15. SUMT - engl. Sequential Unconstrained Minimization Tehnique. 107
122
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
8. Popis slika
str.
Slika 1: Klasifikacija financijske imovine u Prilogu
Slika 2: Karakteristični regresijski pravac kod jednoindeksnog modela 20
Slika 3: Pravac tržišta kapitala 24
Slika 4: Pravac tržišta vrijednosnog papira 26
Slika 5: Pravac arbitražnog procjenjivanja 29
Slika 6: Efekt stupnja diverzifikacije na komponente ukupnog rizika
portfolia 33
Slika 7: Normalna distribucija investicija A i B s istim očekivanim
prinosom 34
Slika 8: Normalna distribucija investicija A i B s istom standardnom
devijacijom 35
Slika 9: Međuovisnost očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia
u uvjetima savršene pozitivne korelacije ( = +1) 45
Slika 10: Međuovisnost očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia
u uvjetima savršene negativne korelacije ( = -1) 46
Slika 11: Međuovisnost očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia
u uvjetima kada ne postoji veza između kretanja prinosa
2 investicije ( = 0) 47
Slika 12: Međuovisnost očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia
u uvjetima pozitivne korelacije srednje jakosti ( = +0,5) 48
Slika 13: Međuovisnost očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia
za različite vrijednosti koeficijenata korelacije 49
Slika 14: Moguće kombinacije više investicija u portfoliu 50
Slika 15: Efikasna granica 51
Slika 16: Efikasna granica u uvjetima kada kratka prodaja nije dozvoljena 54
123
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Slika 17: Efikasna granica u uvjetima kada je kratka prodaja dozvoljena 56
Slika 18: Očekivani prinosi i rizici kada je bezrizična stopa prinosa
u kombinaciji s portfoliom A 59
Slika 19: Kombinacije bezrizične imovine i različitih rizičnih portfolia 60
Slika 20: Efikasna granica u uvjetima uzajmljivanja po bezrizičnoj stopi
prinosa 61
Slika 21: Efikasna granica u uvjetima uzajmljivanja i pozajmljivanja po
različitim bezrizičnim stopama prinosa 62
Slika 22: Efikasna granica na tržištu obveznica 64
Slika 23: Efikasna granica na tržištu dionica 64
Slika 24: Efikasna granica na kombiniranom tržištu obveznica i dionica 65
Slika 25: Kombinacija bezrizične imovine s rizičnim portfoliom 67
Slika 26: Efikasni portfolio u uvjetima bezrizičnog
uzajmljivanja i pozajmljivanja 69
Slika 27: Tangencijalna portfolia za različite bezrizične stope prinosa 70
Slika 28: Oblici krivulja funkcije korisnosti u prostoru bogatstva 81
Slika 29: Oblici krivulja funkcije korisnosti u prostoru očekivanog prinosa
i standardne devijacije 82
Slika 30: Krivulje indiferencije 85
Slika 31: Optimalni portfolio (A i B) 86
Slika 32: Performanse portfolia A 90
Slika 33: Položaj investicijskog portfolia A u odnosu na
pravac tržišta vrijednosnih papira (SML) 91
Slika 34: Performanse portfolia B 94
Slika 35: Pregled unosa osnovnih parametara modela u "Solver" 109
Slika 36: Promjena vrijednosti ćelije u jednom ograničenju 110
Slika 37: Rješavanje modela s modificiranim jednim ograničenjem 110
Slika 38: Ispis jednog optimalnog rješenja "Solvera" 111
Slika 39: Pravac efikasne granice odabranog investicijskog portfolia
američkih državnih obveznica 114
Slika 40: Konačno optimalno rješenje za portfolio američkih državnih
obveznica kada investira agresivni investitor 116
124
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Slika 41: Konačno optimalno rješenje za portfolio američkih državnih
obveznica koje se dobije primjenom Sharpeovog indeksa 120
Slika 42: Vrijednosti Sharpeovog indeksa u odnosu na prinos portfolia 121
9. Popis tablica
str.
Tablica 1: Matrica kovarijanci 38
Tablica 2: Historijski podaci o obveznicama i dionicama 42
Tablica 3: Prosječni prinosi i standardne devijacije za kombinirani portfolio
obveznica i dionica 42
Tablica 4: Očekivani prinosi i standardna devijacija investicija A i B 44
Tablica 5: Očekivani prinosi i standardne devijacije investicijskog portfolia
u uvjetima savršene pozitivne korelacije ( = +1) 45
Tablica 6: Očekivani prinosi i standardne devijacije investicijskog portfolia
u uvjetima savršene negativne korelacije ( = -1) 46
Tablica 7: Očekivani prinosi i standardne devijacije investicijskog portfolia
u uvjetima kada ne postoji veza između kretanja prinosa
2 investicije ( = 0) 47
Tablica 8: Očekivani prinosi i standardne devijacije investicijskog portfolia
u uvjetima pozitivne korelacije srednje jakosti ( = +0,5) 48
Tablica 9: Očekivani prinosi i standardne devijacije investicijskog portfolia
u uvjetima pozitivne korelacije srednje jakosti ( = +0,5)
i dozvoljene kratke prodaje 56
Tablica 10: Rezultati dviju alternativnih investicija A i B 74
Tablica 11: Ponderirane vrijednosti rezultata W 75
Tablica 12: Primjer fer kockanja 79
Tablica 13: Opcije investitorovih sklonosti riziku 81
Tablica 14: Promjene u apsolutnoj averziji prema riziku 83
Tablica 15: Promjene u relativnoj averziji prema riziku 84
Tablica 16: Prosječne mjesečne vrijednosti Merrill Lynch indeksa
američkih državnih obveznica (i=1,2,...9) u Prilogu
125
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
Tablica 17: Prosječne mjesečne vrijednosti prinosa američkih
državnih obveznica (i=1,2,...,9) u Prilogu
Tablica 18: Ukupni prosjeci prinosa obveznica za svih 165 mjeseci
(u postocima) 100
Tablica 19: Standardna devijacija i varijanca od ukupnih prosjeka prinosa
obveznica za svih 165 mjeseci (u postocima) 100
Tablica 20: Vrijednosti matrice kovarijanci prosječnih mjesečnih prinosa
državnih obveznica (u apsolutnim iznosima) 100
Tablica 21: Vrijednosti koeficijenata korelacije prosječnih mjesečnih prinosa
državnih obveznica (u apsolutnim iznosima) 102
Tablica 22: Vrijednosti funkcije cilja (minimalna varijanca odnosno
standardna devijacija) u Prilogu
Tablica 23: Optimalna rješenja varijabli (vrijednosni udjeli obveznica
u portfoliu) u Prilogu
Tablica 24: Vrijednosti funkcije cilja u postocima (minimalna
varijanca odnosno standardna devijacija) u Prilogu
Tablica 25: Vrijednosti Sharpeovog indeksa u Prilogu
126
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
10. Literatura
1. Adrović, Zdenko i drugi, "Masmedijin poslovni riječnik", MASMEDIA d.o.o.,
Zagreb, 1995.
2. Barro, R., "The Stock Market and Investment", Review of Financial Studies, Vol.
3, No. 1, 1990., strana 131 - 151.
3. DeFusco, Richard Armand, McLeavey, Dennis W., Pinto, Jerald E., and Runkle,
David E., "Quantitative Methods for Investment Analysis", Association for
Investment Management & Research, 2001.
4. Elton, Edwin J. & Gruber, Martin J., "Modern Portfolio Theory and Investment
Analysis", 5th edition, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1995.
5. Fabozzi, F. & Kole, S., "Selected Topics in Investment Management for Financial
Planning", 1985.
6. Fama, Eugene F. & French, Kenneth R., "Business Conditions and Expected
Returns on Stocks and Bonds", Journal of Financial Economics, 1989., strana 23 -
49.
7. Fama, Eugene F., "Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical
Work", Journal of Finance 25, 1970., strana 383 - 417.
8. French, Kenneth R., Schwert, G. William and Stambaugh, Robert F., "Expected
Stock Returns and Volatility", Journal of Financial Economics 19, 1987., strana 3
- 29.
127
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
9. Harnett, D. & Horrel, J., "Data, Statistics and Decision Models with Excell", John
Wiley & Sons, Inc., New York, 1998.
10. Hodrick, Robert, "Dividend Yields and Expected Stock Returns: Alternative
Procedures for Inference and Measurement", Review of Financial Studies 5,
1992., strana 357 - 386.
11. Kirby, Chris, "Measuring The Predictable Variation In Stock and Bond Returns",
The Review of Financial Studies 10, 1997., strana 579 - 630.
12. Korn, Ralf & Korn, Elke, "Option Pricing and Portfolio Optimization: Modern
Methods of Financial Mathematics", American Mathematical Society, USA, 2001.
13. Lamont, Owen, "Earnings and Expected Returns", Journal of Finance 53, strana
1563 - 1578.
14. Lewis, Adrian S. & Borwein, Jonathan M., "Convex Analysis and Nonlinear
Optimization: Theory and Examples", Springer Verlag, 2000.
15. Markowitz, H. M., "Portfolio Theory", Journal of Finance, ožujak 1952., strana
77.
16. Markowitz, H. M., "Portfolio Selection", Efficient Diversification of Investments,
John Wiley and Sons, New York, 1959.
17. Michaud, O. Richard, "Efficient Asset Management: A Practical Guide to Stock
Portfolio Optimization and Asset Allocation", Oxford University Press, UK,
1998.
18. Nicholson, R., "Mathematics for Business & Economics", McGraw - Hill Inc.,
USA, 1986.
128
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
19. Orsag, Silvije, "Financiranje emisijom vrijednosnih papira", HZ RIF, Zagreb,
1997.
20. Orsag, Silvije, "IX. Moderna portfolio teorija", Priručnik za polaganje ispita za
obavljanje poslova Investicijskog savjetnika, HUFA, Zagreb, 2001.
21. Orsag, Silvije, "X. Teorije tržišta kapitala", Priručnik za polaganje ispita za
obavljanje poslova Investicijskog savjetnika, HUFA, Zagreb, 2001.
22. Peressini, Anthony L., Sullivan, F. E., and Uhl, J. J., "The Mathematics of
Nonlinear Programming", Springer Verlag, 1988.
23. Prohaska, Zdenko, "Analiza vrijednosnih papira", Infoinvest d.o.o., Zagreb, 1996.
24. Relić, Branko, " Gospodarska matematika", HZ RIF, Zagreb, 1996.
25. Ross, S., "The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing", Journal of Economic
Theory, 1976., strana 343 - 362.
26. Santini, Ivan, "XII. Mjerenje performansi portfolia", Priručnik za polaganje ispita
za obavljanje poslova Investicijskog savjetnika, HUFA, Zagreb, 2001.
27. Steuer, Ralph E., "Multiple Criteria Optimization: Theory, Computation, and
Application", Krieger Publishing Company, 1989.
28. Šošić, Ivan & Serdar, Vladimir, "Uvod u statistiku". Školska knjiga, Zagreb,
1994.
29. Urry, S. A., "Introduction to Operational Research", Longman Publishing Group,
1996.
30. Vanderbei, Robert J., "Linear Programming: Foundations and Extensions",
Kluwer Academic Publishers, 1998.
129
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
31. White, D. J., "Operational Research", John Wiley & Sons, Inc., New York, 1986.
11. Sažetak (Summary)
Hrvatski jezik
Konačni cilj ovog rada je postignut time što je izvršena praktična primjena moderne
portfolio teorije na primjeru optimizacije investicijskog portfolia za definirani
matematički model. Ulazne podatke za takav matematički model predstavlja
unaprijed odabrani skup vrijednosnih papira u vlasništvu potencijalnog investitora
baziran na principu diverzifikacije portfolia (radi se o portfoliu kojeg sačinjavaju
blagajnički zapisi, trezorski zapisi i obveznice izdane od strane američke vlade). S
obzirom na postojanje različitih preferencija prilikom investiranja, očigledno je kako
svaki potencijalni investitor prvenstveno ima namjeru maksimiziranja prinosa
portfolia uz postizanje što manjeg rizika ulaganja ili minimiziranje rizika ulaganja uz
postizanje što većeg prinosa portfolia. Primjenjujući modernu portfolio teoriju kao
jednu od poznatih teorija tržišta kapitala, postignuto je rješenje modela koje
zadovoljava zadane pretpostavke tako što je dobiven skup efikasnih rješenja odnosno
efikasna granica. U takvom matematičkom modelu korištene su veličine poput
očekivanog prinosa portfolia, standardne devijacije portfolia, matrice kovarijanci,
bezrizične stope prinosa te vrijednosnog udjela investicije u porfoliju (ponder). Isto
tako, korištena su ograničenja vezana uz termine kratke prodaje te bezrizičnog
uzajmljivanja i pozajmljivanja. Na kraju, postizanje samo jednog optimalnog rješenja
iz skupa efikasnih rješenja je bilo moguće primjenom teorije korisnosti što je
podrazumijevalo ucrtavanje krivulje indiferencije na postojeći graf efikasne granice.
Odabir konačnog rješenja je ovisio o činjenici da li je investitor bio sklon rizik,
neutralan prema riziku ili je imao averziju prema riziku. Drugu varijantu je
predstavljala primjena Sharpeovog indeksa kao jednog iz skupa indeksa koji služe za
mjerenje performansi odabranog investicijskog portfolia. Najveća postignuta
130
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
vrijednost Sharpeovog indeksa je davala optimalno rješenje zadanog modela (na
odabranom alternativnom primjeru).
English language
This paper tries out a modern portfolio theory using as an example investment
portfolio optimisation related to a defined mathematical model. Data providing input
to this model comprise a selected portfolio of securities owned by a potential investor
based on the portfolio diversification principle (this portfolio consists of US treasury
bills, US treasury notes and US bonds). Various preferences expressed in the course
of investment making indicate that each potential investor is primarily interested in
either maximizing the return on the portfolio while reducing the investment risk to the
lowest possible degree, or minimizing the investment risk and deriving the highest
possible return. Modern portfolio theory is a well-known capital market theory, which
provided a model that fulfilled specified requirements by generating a number of
efficient solutions or an efficient frontier. The following categories were used in the
model: expected return on a portfolio, standard deviation of a portfolio, covariance
matrix, riskless rate of return, and the value of a portfolio investment (weight).
Limitations related to short sale terms and riskless borrowing and lending were also
used. Finally, an optimal solution was chosen from a number of effective solutions by
means of utility theory, which implied adding the indifference curve to the figure
showing the efficient frontier. The final solution was adopted considering investors'
attitudes towards risk, i.e. whether they preferred risk, were indifferent or opposed to
it. An alternative solution was provided by applying the Sharp's index, one among a
set of indices used for measuring the performance of a selected investment portfolio.
The maximum value of the Sharp's index was the optimal solution for the given
model (based on the selected alternative example).
131
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
12. Ključne riječi (Key words)
Hrvatski jezik English language
vrijednosni papiri securities
teorije tržišta kapitala capital market theories
portfolio portfolio
diverzifikacija portfolia portfolio diversification
moderna portfolio teorija modern portfolio theory
optimizacija investicijskog portfolia investment portfolio optimisation
efikasan portfolio efficient portfolio
efikasna granica efficient frontier
matrica kovarijanci covariance matrix
očekivani prinos portfolia expected return on a portfolio
bezrizična stopa prinosa riskless rate of a return
standardna devijacija portfolia standard deviation of a portfolio
težina (ponder) weight
kratka prodaja short sale
bezrizično uzajmljivanje riskless borrowing
bezrizično pozajmljivanje riskless lending
teorija korisnosti utility theory
krivulja indiferencije indifference curve
funkcija preferencije preference function
investitor sklon riziku risk-seeking investor
investitor neutralan u odnosu na rizik risk-neutral investor
investitor koji ima averziju prema riziku risk-averse investor
performanse portfolia portfolio performances
132
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
tipovi indeksa type of indexes
Sharpeov indeks Sharp's index
blagajnički zapisi SAD US treasury bills
trezorski zapisi SAD US treasury notes
obveznice SAD US bonds
13. Prilozi
1. Slika 1: Klasifikacija financijske imovine
2. Tablica 16: Prosječne mjesečne vrijednosti Merrill Lynch indeksa američkih
državnih obveznica (i=1,2,...9)
3. Tablica 17: Prosječne mjesečne vrijednosti prinosa američkih državnih
obveznica (i=1,2,...,9)
4. Tablica 22: Vrijednosti funkcije cilja (minimalna varijanca odnosno
standardna devijacija)
5. Tablica 23: Optimalna rješenja varijabli (vrijednosni udjeli obveznica u
portfoliu)
6. Tablica 24: Vrijednosti funkcije cilja u postocima (minimalna varijanca
odnosno standardna devijacija)
7. Tablica 25: Vrijednosti Sharpeovog indeksa
133
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
14. Životopis (Biografija)
Rođen sam u Zagrebu, 27. kolovoza 1970. godine. Nakon završetka osnovne škole,
1985.g. sam se upisao u srednju školu "Ruđer Bošković" koju sam i završio 1989.g.
godine s odličnim uspjehom (oslobođen mature kao odličan učenik), te stekao zvanje
elektroničar.
U jesen 1991.g. upisao sam se na Ekonomski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, gdje sam
i diplomirao 3. srpnja 1996.g. na smjeru računovodstvo i poslovne financije
(diplomski rad odličan, a ukupni prosjek ocjena 3,8). Naziv teme diplomskog rada je
"Višekriterijska analiza odabranih ekonomskih pokazatelja", iz predmeta Operacijska
istraživanja. U sklopu studiranja pokazao sam adekvatni interes za matematičke
discipline, pa sam tako na drugoj godini studiranja bio demonstrator iz matematike, a
od 1994.g. sam član Hrvatskog društva za operacijska istraživanja (HDOI) na čijim
konferencijama sam aktivno učestvovao.
U međuvremenu sam se od 1. siječnja 1994.g. zaposlio u računovodstvu
Prehrambeno-biotehnološkog fakulteta u Zagrebu na poslovima glavnog knjigovođe i
obračuna osobnih dohodaka. U razdoblju od travnja 1996. do listopada 1997. godine
sam honorarno vodio kompletne računovodstvene poslove poduzeća "Leora" d.o.o.
koja je hrvatsko predstavništvo talijanske petrokemijske tvrtke.
U Hrvatsku narodnu banku sam došao 1. ožujka 1997. godine na poslove stručnog
suradnika u Direkciji za statistiku. U HNB-u sam u proteklom razdoblju osim u
Direkciji za statistiku radio i u Direkciji za upravljanje deviznim sredstvima odakle
sam prošle godine prešao u Direkciju računovodstva na poslove glavnog stručnog
suradnika. Trenutno sam na poslovima vezanim uz izradu internih financijskih
izvještaja HNB-a, te na poslovima vođenja bezgotovinskog platnog prometa putem
134
Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije
NKS-a (nacionalnog klirinškog sustava), koji se u Direkciji računovodstva obavlja
elektronskim putem (upotrebom aplikacija elektronskog plaćanja).
Od ostalih karakteristika valja napomenuti da poznajem rad na PC-u (Microsoft -
Word, Excel, PowerPoint, Access, Quickbook; Internet ...) te da se vrlo dobro služim
engleskim jezikom. U slobodno vrijeme se bavim sportom rekreativno (nogomet i
košarka). Oženjen sam, živim zajedno sa suprugom Ivanom u vlastitom stanu, otac
sam sina Luke rođenog 16. rujna 2001. godine.
135