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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 1
Supervisión y Control de Procesos
Bloque Temático I:Introducción al Control de Procesos
Tema 5: Reguladores PID. Acciones de Control
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 2
Definición de Control
• RAE: “Regulación , manual o automática , sobreun sistema ”
• RAE: Regular : “Ajustar el funcionamiento de un sistema a determinados fines “
“Ajuste del funcionamiento de un sistema (1), de forma manual o automática, para determinados fines ”
(1) RAE: “Conjunto de cosas que relacionadas entre sí ordenadamente contribuyen a determinado objeto.”
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 3
Objetivos del Control
• Anular la acción de las perturbaciones sobre la variable
controlada
• Hacer que la variable controlada siga a la de referencia: Servosistema o Servomecanismo
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 4
Pasos para el diseño de un sistema de control
• Modelado del sistema:– Sistema lineal e invariante � descrito por la función de
transferencia
• Requisitos del sistema de control:– Error en régimen permanente frente a una perturbación
constante.– Error en régimen permanente frente a una referencia descrita
por una señal polinomial (escalón, rampa, …)– Sensibilidad en el sistema ante cambios en los parámetros– Propiedades dinámicas como el tiempo de subida o
sobreoscilación ante entrada escalón, tanto en la referencia como en la perturbación
– Estabilidad del sistema de control
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 5
Topologías de control
G
perturbación
salida(y)
accióncontrol
(u) -+
sistemasistema
D
referencia(r)
H
controladorcontrolador
Control en cadena abierta
p
• barato (no necesita sensor)• no introduce problemas de estabilidad “por si mismo”• no es posible controlar un sistema inestable• no es posible cambiar el comportamiento dinámico ante referencia y perturbación de manera independiente
Control en cadena cerrada
G
perturbación
-
+
sistemasistema
controladorcontrolador
+-Derror
Hpaccióncontrol
(u)referencia
(r)
• + caro (necesita sensor)• introduce problemas de estabilidad “por si mismo”• es posible controlar un sistema inestable• es posible cambiar el comportamiento dinámico ante referencia y perturbación de manera independiente
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 6
Control de velocidad de un motor de c.c. (I)
Principio de funcionamiento de un motor c.c.
Principio funcionamiento conmutador
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 7
Control de velocidad de un motor de c.c. (II)
Modelado del sistema:
T = kt ia
e = ke θm·
generación de par
fuerza contra electromotriz
Va = Ra ia + La dia/dt + ke θm· circuito eléctrico
T = Jm θm + b θm·
circuito mecánico··
kt
s((Jm s + b)(La s + Ra) + kt ke)
ωm
Va=
función de transferencia
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 8
Control de velocidad de un motor de c.c. (III)
Modelado del sistema con par de carga y despreciando la caída de tensión en la inductancia:
T = kt ia
e = ke θm·
generación de par
fuerza contra electromotriz
Va = Ra ia + ke θm·circuito eléctrico
T + TL= Jm θm + b θm·
circuito mecánico··
kt
(Jm Ras + b Ra + kt ke)ωm Va=
función de transferencia
Ra
(Jm Ras + b Ra + kt ke)TL+
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 9
Control de velocidad de un motor de c.c. (IV)
kt
(Jm Ras + b Ra + kt ke)ωm Va=
función de transferencia
Ra
(Jm Ras + b Ra + kt ke)TL+
b Ra + kt ke
Jm Raτ =
b Ra + kt ke
ktA =
Ra
b Ra + kt keB =
constante de tiempo
velocidad(ωm)
++
diagrama de bloquesdiagrama de bloques
B
τs + 1A
A
TL
Va
TL > 0 � mismo sentido par eléctrico
TL < 0 � sentido contrario par eléctrico
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 10
Topologías de control
Control en cadena abierta Control en cadena cerrada
-
+
motormotor
controladorcontrolador
+-Derror
accióncontrol
(Va)
referencia(ωref)
velocidad(ωm)
-+
motormotor
B
τs + 1A
A
TL
VaD
referencia(ωref)
Control proporcional: D = Kol
ajuste de ganancia para que en régimen permanente (s=0) y sin par de carga ωref = ωm Kol = 1/A
TL
controladorcontrolador
BA
τs + 1A
τs + 1A
KolTol =
función transferenciaτs + 1
AKcl
función transferencia
τs + 1A1 + Kcl
Tcl =
velocidad(ωm)
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 11
Rechazo de perturbaciones
Control en cadena abierta Control en cadena cerrada
Control proporcional: D = Kol Kol = 1/A
τs + 1A
Kol
función transferencia (ωm/ ωref)
τs + 1A
Kcl
función transferencia (ωm/ ωref)
τs + 1A1 + Kcl
τs + 1B
función transferencia (ωm / TL )
error en régimen permanente
ωm – ωref = B TL
El error es proporcional a la carga y no podemos actuar sobre él
El error es proporcional a la carga y no podemos actuar sobre él
Control proporcional: D = Kcl
τs + 1B
función transferencia (ωm / TL )
τs + 1A1 + Kcl
error en régimen permanente
ωm – ωref ≈ B/(1+A Kcl)
El error se ve disminuido por un factor sobre el cual podemos actuar
El error se ve disminuido por un factor sobre el cual podemos actuar
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 12
Variación propiedades dinámicas en cadena cerrada
-
+
motormotor
controladorcontrolador
+-Derror
accióncontrol
(Va)
referencia(ωref)
TL
BA
τs + 1A
τs + 1A
Kcl
función transferencia
τs + 1A1 + Kcl
Tcl = =velocidad
(ωm)
Kcl Aτs + 1 + Kcl A
1 + Kcl AKcl A
τcls + 11
=
1 + Kcl Aτcl = τ• La constante de tiempo varía con la
ganancia del controlador• La realimentación hace el sistema más rápido y con frecuencia menos estable
constante de tiempobucle cerrado
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 13
Control PID
-
+
motormotor
controladorcontrolador
+-Derror
accióncontrol
(Va)
referencia(ωref)
TL
BA
τs + 1A
velocidad(ωm)
• Acción proporcional (P)• necesita que exista un error en régimen permanente para mantener la acción de control.
• Acción integral (I)• permite anular el error en régimen permanente a costa de empeorar el comportamiento dinámico.
• Acción diferencial (D)• permite mejorar la respuesta dinámica.
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 14
Control PID (Acción proporcional)
-
+
motormotor
controladorcontrolador
+-Derror
accióncontrol
(Va)
referencia(ωref)
TL
BA
τs + 1A
velocidad(ωm)
• Acción proporcional (P)• necesita que exista un error en régimen permanente para mantener la acción de control.
función de transferencia
D = Kp
• Altas ganancias reducen el error en régimen permanente:
• existen límites físicos a la hora de implementar el controlador real.• el sistema se puede hacer inestable
Selección de parámetros (Kp)
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
Control PID (Acción proporcional)
referenciavelocidad
perturbación
1
ganancia sensorvelocidad
ke
f.e.m.
1
Ra(s)
Susbistemaeléctrico
sin dinámica
1
La.s+Ra
Susbistemaeléctrico
A
Tau_m.s+1
Subsistemamecánico
Selecciónsistema eléctrico
B
A
Ht
kd.s +kp.s+ki2
den(s)
Controladorvelocidad
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
(rad
/s)
-0.5
0
0.5
1
1.5
(rad
/s)
Kp = 3
Kp = 30
0 5 10 150
0.5
1
1.5
tiempo (s)
(rad
/s)
Kp = 300
20
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 16
Control PID (Acción integral)
-
+
motormotor
controladorcontrolador
+-Derror
accióncontrol
(Va)
referencia(ωref)
TL
BA
τs + 1A
velocidad(ωm)
• Acción integral (I)• permite anular el error en régimen permanente a costa de empeorar el comportamiento dinámico.
función de transferencia
u = Kp e + Ki e(τ)dτ D(s) = Kp + Ki/s
• la característica principal es que en enrégimen permanente la salida del controlador puede ser diferente de cero aunque el error sea cero. De hecho la acción integral sólo deja de variar cuando la entrada es cero � ωm = ωref
Selección de parámetros (Kp, Ki)
Permite anular el efecto de perturbaciones constantes
t
t0
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
Control PID (Acción integral)
referenciavelocidad
perturbación
1
ganancia sensorvelocidad
ke
f.e.m.
1
Ra(s)
Susbistemaeléctrico
sin dinámica
1
La.s+Ra
Susbistemaeléctrico
A
Tau_m.s+1
Subsistemamecánico
Selecciónsistema eléctrico
B
A
Ht
kd.s +kp.s+ki2
den(s)
Controladorvelocidad
0
0.5
1
1.5
(rad
/s)
Kp = 30, Ki = 15
0
0.5
1
1.5
(rad
/s)
Kp = 30, Ki = 150
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
2.5
tiempo (s)
(rad
/s)
Kp = 30, Ki = 500
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 18
Control PID (Acción diferencial)
-
+
motormotor
controladorcontrolador
+-Derror
accióncontrol
(Va)
referencia(ωref)
TL
BA
τs + 1A
velocidad(ωm)
• Acción diferencial (D)• permite mejorar la respuesta dinámica.
función de transferencia
u = Kp e + Ki e(τ)dτ + de/dt
D(s) = Kp + Ki/s + Kds
• el efecto de la acción diferencial depende de la velocidad de cambio del error. Como resultado el control diferencial muestra una respuesta “anticipada” en comparación con la acción proporcional
Selección de parámetros (Kp, Ki, Kd)
Permite mejorar la respuesta dinámica
t
t0
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
Control PID (Acción diferencial)
referenciavelocidad
perturbación
1
ganancia sensorvelocidad
ke
f.e.m.
1
Ra(s)
Susbistemaeléctrico
sin dinámica
1
La.s+Ra
Susbistemaeléctrico
A
Tau_m.s+1
Subsistemamecánico
Selecciónsistema eléctrico
B
A
Ht
kd.s +kp.s+ki2
den(s)
Controladorvelocidad
0
0.5
1
1.5
(rad
/s)
Kp = 30, Ki = 150 , Kd = 0.3
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
tiempo (s)
(rad
/s)
Kp = 30, Ki = 500 , Kd = 2
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
Control de Posición
referenciaposición
perturbación
1
ganancia sensorvelocidad
1
ganancia sensorposición
ke
f.e.m.
1
s
Transfer Fcn
1
Ra(s)
Susbistemaeléctrico
sin dinámica
1
La.s+Ra
Susbistemaeléctrico
A
Tau_m.s+1
Subsistemamecánico
Selecciónsistema eléctrico
B
A
Ht
kd.s +kp.s+ki2
den_lpf(s)
Controladorvelocidad
num(s)
s
Controladorposición
0 5 10 15 20-5
0
5
10
tiempo (s)
(rad
/s)
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
tiempo (s)(r
ad)
velocidad posición
Kp = 30, Ki = 150 , Kd = 0.3 Kp = 5
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
Control de Posición
referenciaposición
perturbación
1
ganancia sensorvelocidad
1
ganancia sensorposición
ke
f.e.m.
1
s
Transfer Fcn
1
Ra(s)
Susbistemaeléctrico
sin dinámica
1
La.s+Ra
Susbistemaeléctrico
A
Tau_m.s+1
Subsistemamecánico
Selecciónsistema eléctrico
B
A
Ht
kd.s +kp.s+ki2
den_lpf(s)
Controladorvelocidad
num(s)
s
Controladorposición
Kp = 150
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
tiempo (s)
(rad
)
posición
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
tiempo (s)(r
ad)
Kp = 5, Ki = 10
posición
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
Control PID (II)
X(s)1/(s·Ti)
Y(s)
X(s)s·Td
Y(s)
X(s)K
Y(s)
x(t) y(t)Ti
x(t) y(t)K
Regulador I
• Regulador P
• Regulador D
y(t)
K
t
y(t)
Ti t
1
y(t)
t
• El comportamiento ideal del derivador es imposible de reproducir físicamente
• Respuesta ante un escalón unitario
• Representación típica en circuitos de control
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
Control PID (III)
Regulador PD (ideal)
• Regulador PI
• Regulador PD (real)
y(t)
-Ti t
K
• El comportamiento ideal del PD es imposible de reproducir físicamente
• Respuesta ante un escalón unitario
• Representación típica en circuitos de control
X(s)K·(1+1/(s·Ti))
Y(s) x(t) y(t)K T i
x(t) y(t)K Td
X(s)K·(1+s·Td)
Y(s)
X(s)K·(1+s·Td)/(1+s·TN)
Y(s)
y(t)
K
t
y(t)
K
t
K·Td/TN
TN• Td>TN
K1+Ti·s
Ti·s
Pendiente K/Ti
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
Control PID (IV)
Regulador PID (ideal)
• Regulador PID (real)
y(t)
-Ti t
K
• El comportamiento ideal del PID es imposible de reproducir físicamente
• Respuesta ante un escalón unitario
• Representación típica en circuitos de control
x(t) y(t)K T i Td
X(s)K·((1+s·Td)/(1+s·TN)+1/(s·Ti))
Y(s)y(t)
K
t
K·Td/TN
-Ti
• Ti>Td>TN
X(s)K(1+1/(s·Ti)+s·Td)
Y(s)
• Ti>Td
)·1·(·
1)·(·· 2
sTsT
sTTsTTK
Ni
Niid
++++
sT
sTsTTK
i
iid
·
1··· 2 ++Pendiente K/Ti
Pendiente K/Ti
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
Especificaciones de Diseño en el Dominio del Tiempo
• Precisión en régimen permanente: ep, ev y ea.•• Respuesta transitoria: Mp, tp, tr, ts.
• Control de las perturbaciones.
• NOTA: Existen relaciones analíticas para los parámetros de respuesta transitoria (Mp, tp, tr, ts) sólo para sistemas de segundo orden sin ceros o sistemas que se puedan aproximar por sistemas de segundo orden. Los procedimientos generales de diseño que se describirán son aplicables a estos sistemas y pueden no ser del todo válidos para sistemas de orden superior.
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
Diseño de Reguladores por Cancelación: Truxal (I)
X(s)G(s)
+
_
Y(s)R(s)
M(s)X(s)
G(s)Y(s)
Re
Im
-c -a
b
-b Re
Im-d
))·())·(·((
)·()(
jbasjbas
csKsG G
−++++=
)()(
ds
KsM M
+=
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
0.2
0.4
0.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
0.2
0.4
0.6
Comportamiento original • Comportamiento deseado
))()·(·(
))·())·(·(·()(
)](1)·[(
)()(
)()·(1
)()·()(
MG
M
KdscsK
jbasjbasKsR
sMsG
sMsR
sGsR
sGsRsM
−++−+++=⇒
−=⇒
+=
)()()·(
M
M
Kds
KsGsR
−+= X(s)
G(s)+
_
Y(s)M(s)
M(s)
G(s)·[1-M(s)]R(s)Re
Im
-c -a
b
-b
-(d-KM)
Los ceros de R(s) cancelan los polos de G(s) y los polos de R(s) a los ceros de G(s)
)(sG
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
Diseño de Reguladores por Cancelación: Truxal (II)
• Inconvenientes:
• 1) R(s) ha de ser realizable, nR ≥ mR. Esto se consigue si nM-mM ≥ nG-mG.
• 2) La cancelación de polos y ceros no es exacta. Por lo tanto G(s) tiene que ser de fase mínima para que el sistema final no tenga polos inestables.
• 3) R(s) puede ser muy complicada (muchos ceros y polos).
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Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
Control de las Perturbaciones (I)
• Interesa que la ganancia del sistema en régimen permanente ante las perturbaciones sea nula y que el transitorio tenga una oscilación y duración mínimas.
ónperturbaci la ante FdT)()·()·(1
)(
)(
)()(
entrada la ante FdT)()·()·(1
)()·(
)(
)()(
sHsGsR
sG
sZ
sYsN
sHsGsR
sGsR
sX
sYsM
+==
+==X(s) +
_
Y(s)R(s) G(s)
H(s)
Z(s)
++
-2 0 2 4 6 8 10-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
z(t)
y(t)
A)
• Si:
• A) R(s) es de Tipo 0
•
• Si:
• A) R(s) es de Tipo 1
•
-2 0 2 4 6 8 10-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
y(t)
z(t)