super2_matematica3

A escolha de quem pensa! 1

Aula 1

Geometria Plana

(UFPR) A figura abaixo mostra um quadrado ABCD 01. no qual os segmentos BC e EC medem 4 cm e 1 cm, respectivamente.

Calcule o perímetro do triângulo de vértices A, E a) e CCalcule o seno e o co-seno do ângulo b) α

(UFPR) Num triângulo ABC com 18 cm de base e 12 02. cm de altura, é inscrito um retângulo com a sua base sobre o lado AB, conforme a figura abaixo.

Se o retângulo tiver a medida da altura igual a um a) terço da medida da base, qual é a sua área?Se a medida da base do retângulo for x, obtenha uma b) expressão da área do retângulo em função de x.Calcule a maior área possível desses retângulos c) inscritos.

(UFPR) Um terreno possui o formato de um triângulo 03. cujos catetos medem 60 m e 30 m. O proprietário pretende construir nesse terreno uma casa de planta retangular, de modo que os dois lados do retângulo fiquem sobre os catetos e um vértice do retângulo pertença a hipotenusa, como na figura abaixo. Nessas condições, obtenha:

A área do retângulo cuja base x mede 30 m.a) A expressão que fornece a área do retângulo em b) função da medida variável x;O valor de x para o qual se tem o retângulo de maior c) área.

Matemática 3

(UFPR) Um canteiro de flores possui 25 m04. 2 de área e tem o formato de um triângulo retângulo. Este triângulo foi dividido em cinco partes, por segmentos de reta igualmente espaçados e paralelos a um dos catetos, conforme indica a figura abaixo.

Qualéaáreadotrapéziohachuradoindicadonafigu-ra?

(UFPR) Considere a figura na qual a curva que contém 05. os pontos A, B, C é uma semicircunferência de raio r e a curva que contém os pontos A, D, C é um arco de circunferência de raio 2r. Obtenha a expressão da área limitada pelas duas curvas, em função de r. Explique os procedimentos usados.

(UFPR) Considere a figura na qual E, F, G, H, são pontos 06. médios do quadrado ABCD, cujo perímetro mede 40 cm e M, N, P e Q são pontos de intersecção dos segmentos AG, BH, CE, DF. Calcule a área do quadrado MNPQ, explicando os procedimentos usados.

(UFPR) Na figura, o quadrado ABCD, de 25 cm07. 2 de área está inscrito no quadrado EFGH, de 49 cm2 de área. Calcule a área do quadrado IJKL que está inscrito no quadrado ABCD que tem lados paralelos aos lados EFGH. Explique os procedimentos usados.

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(UNICAMP) Em um triângulo com vértices A, B e C, 08. inscrevemos um círculo de raio r. Sabe-se que o ângulo Â tem 90° e que o círculo inscrito tangencia o lado BC no ponto P, dividindo esse lado em dois trechos com comprimentos PB = 10 e PC = 3.

Determine r.a) Determine b) AB e AC . Determine a área da região que é, ao mesmo tempo, c) interna ao triângulo e externa ao círculo.

(UNICAMP) Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou 09. uma escada na parede de sua casa, de forma que o topo da escada ficou a uma altura de aproximadamente

14 m. Enquanto Roberto subia os degraus, a base da escada escorregou por 1 m, indo tocar o muro paralelo à parede, conforme ilustração abaixo. Refeito do susto, Roberto reparou que, após deslizar, a escada passou a fazer um ângulo de 45° com a horizontal.

Pergunta-se:Qual é a distância entre a parede da casa e o a) muro?Qual é o comprimento da escada de Roberto?b)

(UNICAMP) Na execução da cobertura de uma casa, 10. optou-se pela construção de uma estrutura, composta por barras de madeira, com o formato indicado na figura abaixo. Resolva as questões abaixo supondo que α = 15°. Despreze a espessura das barras de madeira e não use aproximações nos seus cálculos.

Calcule os comprimentos b e c em função de a, que a) corresponde ao comprimento da barra da base da estrutura.Assumindo, agora, que a = 10 m, determine o b) comprimento total da madeira necessária para construir a estrutura.

(FUVEST) Na figura abaixo, O é o centro da circunferência 11.

de raio 1, a reta AB é secante a ela, o ângulo b mede

60° e sen a = 34

.

Determine sen OÂB em função de AB.a) Calcule AB.b)

(ITA) Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os 12. segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, calcule GF .

(ITA) Considere um losango ABCD cujo perímetro mede 13. 100 cm e cuja maior diagonal mede 40 cm. Calcule a área, em cm2, do círculo inscrito neste losango.

(UNICAMP) De uma praia, um topógrafo observa 14. uma pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na vertical, uma régua de 2m de comprimento. Usando seu teodolito, o topógrafo constatou que o ângulo formado entre a reta vertical que passa pelo teodolito e o segmento de reta que une o teodolito ao topo da régua é de 60°, enquanto o ângulo formado entre a mesma reta vertical e o segmento que une o teodolito à base da régua é de 75°. Sabendo que o teodolito está a uma altura de 1,6m do nível da base da escarpa, responda às questões abaixo.

Qual a distância horizontal entre a reta vertical que a) passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa?Qual a altura da escarpa?b)

(UNICAMP) Um triângulo retângulo de vértices A, B e 15. C é tal que AC = 6 cm, AB = 8 cm e BC = 10 cm. Os segmentos AC , AB e BC também são lados de quadrados construídos externamente ao triângulo ABC. Seja O o centro da circunferência que circunscreve o triângulo e sejam D, E e F os centros dos quadrados com lados BC , AC e AB , respectivamente.

Calcule os comprimentos dos segmentos a) DO , EO e FO .Calcule os comprimentos dos lados do triângulo de b) vértices D, E e F.


Gabarito

01. a) 2p = 2(2 2 +3) cm

b) sen α = 2

10 e cos α =

7 210

02. a) S = 48 cm2

b) 2x

S(x) x. 123

= − c) Smáx = 54 cm2

03. a) S = 450 m2

b) 2x

S(x) 30x2

= − c) x = 30 m

04. S = 12m2

05. ( )2r

S 6 36

= − π

06. S = 60 cm2

07. 2625S cm

49=

08. a) r = 2 uc

b) AB = 12 uc; AC = 5 uc

c)S=(30-4π)ua

09. a) 3 m

b) 3 2 m

10. a) b a 2 3= − e a. 7 4 3

c4−=

b) ( )T 10 30 2 3 10 7 4 3 m= + − + −

11. a) �( ) ( )3

sen OAB ¨4 AB

=

b) 13 1

AB uc6

+=

12. GF = 4 uc

13.S=144πcm2

14. a) ( )d 3 2 3 m= +

b) ( )h 1,6 3 m= +

15. a) DO = 5 cm EO =7 cm FO = 7 cm

b) EF 7 2= cm

ED 2 29= cm

DF 13= cm

Aula 2

Geometria Espacial - Parte 1

(UFPR) Considere um cubo no qual a aresta tem medida 01. a e cujos vértices são designados por letras, como está indicado na figura abaixo. M é o ponto médio da aresta AB e N é ponto médio da aresta BC. Calcule o volume do sólido MNDE, em função de a. Explique os procedimentos usados.

(UFPR) Na figura abaixo, está representada uma 02. pirâmide de base quadrada que tem todas as arestas com o mesmo comprimento.

Sabendo que o perímetro do triângulo DBV é igual a) a (6 + 3 2 ), qual é a altura da pirâmide?Qual é o volume e a área total da pirâmide?b)

(UFPR) Sejam AB, BC e AC diagonais das faces de um 03. cubo de aresta 10 cm, conforme a figura abaixo.

Calcule a área do triângulo ABC.a) Calcule a área total da pirâmide ABCD.b) Calcule o volume da pirâmide ABCD.c)

(UFPR) É dado um trapézio escaleno no qual a soma 04. dos comprimentos das diagonais é 35 cm. Calcule a soma dos comprimentos das arestas do prisma reto de altura 10 cm, cuja base é o quadrilátero de vértices nos pontos médios dos lados do trapézio.

(UFPR) Num cubo de aresta 05. a inscreve-se um hexágono regular, cujos vértices são pontos médios das arestas do cubo. Ache a expressão da área do hexágono em função de a, explicando os procedimentos usados.


(UNICAMP) Um cidadão precavido foi fazer uma retirada 06. de dinheiro em um banco. Para tanto, levou sua mala executiva, cujo interior tem 56 cm de comprimento, 39 cm de largura e 10 cm de altura. O cidadão só pretende carregar notas de R$ 50,00. Cada nota tem 140 mm de comprimento, 65 mm de largura, 0,2 mm de espessura e densidade igual a 0,75 g/cm3.

Qual é a máxima quantia, em reais, que o cidadão a) poderá colocar na mala?Se a mala vazia pesa 2,6 kg, qual será o peso da b) mala cheia de dinheiro?

(ITA) Uma pirâmide regular tem por base um hexágono 07. cuja diagonal menor mede 3 3 . As faces laterais desta piramide formam diedros de 60° com o plano da base. Calcule a área total da pirâmide.

(ITA) Considere uma pirâmide regular de base hexa-08. gonal, cujo apótema da base mende 3 cm. Secciona-se a pirâmide por um plano paralelo à base, obtendo-se um tronco de volume igual a 1 cm3 e uma nova pirâmide. Dado que a razão entre as alturas das pirâmides é 1

2,

calcule a altura do tronco.

(I09. TA) Os quatro vértices de um tetraedro regular, de

volume 83

cm3, encontram-se nos vértices de um cubo.

Cada vértice do cubo é centro de uma esfera de 1 cm de raio. Calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas.

(UNICAMP) Uma pirâmide regular, de base quadrada, 10. tem altura igual a 20 cm. Sobre a base dessa pirâmide constrói-se um cubo de modo que a face oposta à base do cubo corte a pirâmide em um quadrado de lado igual a 5 cm. Faça uma figura representativa dessa situação e calcule o volume do cubo.

Um prisma quadrangular regular está inscrito num 11. cilindro de raio de base 3 2 cm e altura 10 cm. Calcule a área total do prisma.

Uma pirâmide triangular de al12. tura 4 13

h3

= cm e aresta da base 8 cm, é seccionada por um plano paralelo à base e distante da mesma 13 cm. Calcule a área lateral, a área total e o volume do tronco de pirâmide obtido.

Calcule o número de diagonais de um poliedro convexo 13. que possui 16 vértices, 24 arestas , 4 faces triangulares e 6 faces hexagonais.

(UNICAMP) Seja ABCDA14. 1B1C1D1 um cubo com aresta de comprimento 6cm e seja M o ponto médio de BC e O o centro da face CDD1C1, conforme mostrado na figura a seguir.

Se a reta AM intercepta a reta CD no ponto P e a reta a) PO intercepta CC1 e DD1 em K e L, respectivamente, calcule os comprimentos dos segmentos CK e DL.Calcule o volume do sólido com vértices A, D, L, b) K, C e M.

(UTFPR) Seja o cubo de aresta a, mostrado na figura a 15. seguir. A partir da face ABCD, encontra-se o quadrado A’B’C’D’ com vértices nos pontos médios das arestas desta face. Com os pontos médios dos lados do quadrado A’B’C’D’, constrói-se o quadrado A”B”C”D” . Unindo-se os vértices do quadrado A”B”C”D” com os vértices da face oposta à face ABCD, conforme figura, fica determinado um tronco de pirâmide quadrangular.

Calcule o volume do tronco de pirâmide obtido.

Gabarito

01. a) 3a

V8

=

02. a) 3 2

h uc2

=

b) 9 2V uv

2

=

e ( )tS 9 3 1 ua= +

03. a) ( ) 2S 50 3 cm=

b) ( ) 2tS 50 3 3 cm= +

c) 3500V cm

3=

04. T = 110 cm

05. 23a 3

S4

=

06. a) R$ 600.000,00

b) m = 18,98 Kg

07. 2t

81 3S cm

2=


08. ( )

t

3 3 2h cm

21

−=

09. ( ) 34 6

V cm3− π

=

10. V = 1000 cm3

11. St = 276 cm2

12. Sl = 60 cm2

( ) 2tS 60 14 3 cm= +

3tV 7 39 cm=

13. D = 42

14. a) CK = 2 cm e DL = 4 cm

b) V = 42 cm3

15. 37a

V12

=

Aula 3

Geometria Espacial - Parte 2

(UFPR) Um cilindro está inscrito em um cubo, conforme 01. sugere a figura abaixo. Sabe-se que o volume do cubo é 256 cm3.

Calcule o volume do cilindro.a) Calcule a área total do cilindro.b)

(UFPR) Considere um trapézio ABCD no qual os 02. ângulos com vértices A e B são retos, a medida do lado AB é x, que é igual a do lado BC e é o triplo da medida do lado AD. Determine, em função de x, a expressão do volume do sólido de revolução obtido quando a região plana limitada pelo trapézio gira em torno do lado BC.

(UFPR) Seja um cilindro circular reto de altura h e base 03. de raio r. Considere as duas hipóteses seguintes:

O raio r é aumentado de 20 metros e a altura é 1. mantida.O raio r é mantido e a altura h é multiplicada por 4.2.

Em cada uma das hipóteses há um acréscimo no volume do cilindro. Sabendo que estes acréscimos são iguais, ache o raio r em metros.

(UFPR) Um cone circular reto cuja altura forma um 04. ângulo de 30° com a geratriz está inscrito numa esfera de raio R. Ache a expressão do volume do cone em função de R, detalhando os procedimentos usados.

(UFPR) Considerando que um cilindro circular reto de 05. altura x seja inscrito em uma esfera oca de 20 cm de raio, obtenha a expressão do volume do cilindro em função de x.

(UTFPR06. ) Um tronco de cone circular reto está circunscrito

a uma esfera de volume 34 dm

3π

. A geratriz do tronco de

cone forma um ângulo de 30° com o raio da base maior. Calcule a geratriz desse tronco de cone.

(UTFPR) Uma esfera de raio 5 cm foi dividida em quatro 07. cunhas esféricas cujos volumes formam uma P.A. O volume da menor cunha é 10% do volume da esfera. Calcule a área total da maior cunha.

(UNICAMP) Um pluviômetro é um aparelho utilizado 08. para medir a quantidade de chuva precipitada em determinada região. A figura de um pluviômetro padrão é exibida a seguir. Nesse pluviômetro, o diâmetro da abertura circular existente no topo é de 20 cm. A água que cai sobre a parte superior do aparelho é recolhida em um tubo cilíndrico interno. Esse tubo cilíndrico tem 60 cm de altura e sua base tem 1/10 da área da abertura superior do pluviômetro.

(Obs.:afiguraabaixonãoestáemescala).

Calcule o volume do tubo cilíndrico interno.a) Supondo que, durante uma chuva, o nível da água b) no cilindro interno subiu 2 cm, calcule o volume de água precipitado por essa chuva sobre um terreno retangular com 500 m de comprimento por 300 m de largura.

(UNICAMP) Um abajur de tecido tem a forma de um 09. tronco de cone circular reto, com bases paralelas. As aberturas do abajur têm 25 cm e 50 cm de diâmetro, e a geratriz do tronco de cone mede 30 cm. O tecido do abajur se rasgou e deseja-se substituí-lo.

Determine os raios dos arcos que devem ser a) demarcados sobre um novo tecido para que se possa cortar um revestimento igual àquele que foi danificado.Calcule a área da região a ser demarcada sobre o b) tecido que revestirá o abajur.


(ITA) A circunferência inscrita num triângulo equilátero 10. com lados de 6 cm de comprimento é a interseção de uma esfera de raio igual a 4 cm com o plano do triângulo. Determine a distância do centro da esfera aos vértices do triângulo.

(ITA) Num cilindro circular reto sabe-se que a altura h e o 11. raiodabasersãotaisqueosnúmerosπ,herformam,nestaordem,umaprogressãoaritméticadesoma6π.Calcule a área total do cilindro.

(ITA) As medidas, em metros, do raio da base, da altura 12. e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão artimética de razão 2 metros. Calcule a área total desse cone em m2.

Uma esfera de raio 5 cm é seccionada por um plano a 13. 3 cm do centro. Calcule:

a área da calota esférica obtida na esfera;a) a área do fuso esférico de 30°, contido na esfera;b) o volume da cunha esférica de 45°, contida na c) esfera.

Um tetraedro regular é inscrito numa esfera de 14. 62

cm de raio. Calcule o volume do tetraedro.

(UNICAMP) Cada aresta de um tetraedro regular mede 15. 6 cm. Para este tetraedro, calcule:

a distância entre duas arestas opostas, isto é, entre a) duas arestas que não têm ponto em comum;o raio da esfera inscrita no tetraedro.b)

Gabarito

01. a)V=64πcm3

b) 23tS 48 2 cm= π

02. 35 x

V3π=

03. r = 20 m

04. 33 R

V8

π=

05. 21600 x

V x4

−= π

06. gt = 4 dm2

07. St=65πcm2

08. a) d 3 2 cm=

b) 6

r cm2

=

09. a) 30 cm e 60 cm

b) S = 1125πcm2

10. d = 5 cm

11. St=(30π3) ua

12. St=96πm2

13. a)Sc=20πcm2

b) 2f

25S cm

3π=

c) 3c

125V cm

6π=

14. 34 2V cm

3=

15. a) d = 3 2 cm

b) 6

r2

=

Aula 4

Geometria Analítica - Parte 1

(UFPR) Seja M o ponto médio do segmento OB e N 01. o ponto médio do segmento OC, sendo B = (0, 2) e C = (2, 0), conforme figura abaixo.

Encontre a equação da reta r determinada pelos a) pontos B e N e a equação da reta s determinada pelos pontos C e M.Encontre as coordenadas do ponto P de interseção b) das retas r e s.Demonstre que a distância de P até B é o dobro da c) distância de P até N.

(UFPR) A projeção esfereográfica é um método de 02. projetar pontos de um círculo sobre uma reta que pode ser utilizado na confecção de mapas (situação em que os círculos são os meridianos do globo terrestre). Suponha que γ é o círculo de raio 1 centrado na origem doplanoxy,N=(0,1)éumpontofixadoeP=(a,b)éum ponto qualquer do círculo γ distinto de N. A projeção esfereográfica do pontoP é a interseção da reta rdeterminada por N e P com o eixo x, representada pelo pontoQnafiguraabaixo.

Nessas condições:

Ena) contre a projeção Q do ponto 2 2

P , ;2 2

=

Encontre as coordenadas do ponto P, pertencente b) ao círculo γ, cuja projeção é o ponto Q = (3,0).


(UFPR) Um sólido de revolução é um objeto obtido a 03. partirdarotaçãodeumafiguraplanaemtornodeumdos eixos coordenados. Por exemplo, rotacionando-se um retângulo em torno do eixo y, pode-se obter um cilindro,comonafiguraabaixo.

Considere agora a região R do primeiro quadrante do plano xy delimitada pelas retas r1 : y = x, r2 : x = 0 e r3 : x = 1 e pela circunferência γ : x2 + (y – 4)2 = 1.

Utilize os eixos cartesianos abaixo para fazer um a) esboço da região R e do sólido de revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo y.

Encontre o volume do sólido de revolução obtido b) no item acima.

(UFPR) No sistema cartesiano ortogonal Oxy, considere 04. a circunferência γ de centro C = (4, 3) e raio r = 5.

Encontre a equação cartesiana da circunferência a) γ.Encontre as coordenadas dos pontos de interseção b) da circunferência γ com o eixo Oy.Seja P o ponto de interseção da circunferência c) γ com o eixo Oy, de ordenada positiva. Encontre a equação da reta que tangencia a circunferência nesse ponto P.

(UNICAMP) Seja dada a reta x – 3y + 6 = 0 no plano 05. xy.

Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas a) retas do plano passam por P e formam um ângulo de 45° com a reta dada acima?Para o ponto P com coordenadas (2, 5), determine b) as equações das retas mencionadas no item (a).

(ITA) Sejam a reta (s): 12x – 5y + 7 = 0 e a circunferência 06. C: x2 + y2 + 4x + 2y = 11. A reta (p), que é perpendicular a (s) e é secante a C, corta o eixo Oy no ponto A. Determine os possíveis valores para a ordenada do ponto A.

(UNICAMP) Sabe-se que a reta r(x) = mx + 2 intercepta 07. o gráfico da função y = |x| em dois pontos distintos, A e B.

Determine os possíveis valores para m.a) Se O é a origem dos eixos cartesianos, encontre b) o valor de m que faz com que a área do triângulo OAB seja mínima.

(ITA) Considere no plano cartesiano xy o triângulo 08. delimitado pelas retas 2x = y, x = 2y e x = – 2y + 10. A área desse triângulo mede:

(ITA) Sejam A: (a, 0), B: (0, a) e C: (a, a), pontos do 09. plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. Determine a equação do lugar geométrico dos pontos P: (x, y) cuja distância à reta que passa por A e B é igual à distância de P ao ponto C.

(UFPR) Seja o ponto A (–2; 3) um dos vértices de um triân-10. gulo. Sabendo que o lado oposto a este vértice está situado sobre a reta que contém o ponto P (–3; –4) e é paralelo à reta determinada pelos pontos M (2; –2) e N (6; 1), calcular a medida da altura do triângulo baixada a partir de A.

Calcul11. e o ângulo agudo formado pelas retas (r)x = 3t e

y = 4t e (s) x y

15 11

+ = .

Determine a equação da reta que passa por A(3; -2) e 12. forma um ângulo de 45° com a reta de equação

3x + 14y - 17 = 0.

Determ13. ine as equações das bissetrizes dos ângulos

formados pelas retas x y

(r) 13 5

+ = e (s) 3x - 5y + 2 = 0

(UFPR) A secção meridiana de um cone circular reto 14. está representada em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no plano; nessa representação, o vértice do cone é o ponto P (3, -1), a reta suporte do diâmetro da base tem equação x + 1 = 0 e a reta suporte de uma das geratrizes tem equação 3x + 4y - 5 = 0.

Calcule o valor do quaciente 3Vπ

, sendo V o volume do cone.

(UFPR) São dados os pontos A = (0, 0) e B = (6, 8) no 15. plano cartesiano Oxy.

Escreva a equação reduzida da circunferência a) α que tem centro no ponto médio do segmento AB e contém os pontos A e B.Encontre as coordenadas do ponto P, distinto de A, b) no qual a circunferência α intercepta o eixo y.

Gabarito

01. a) (r): 2x + y – 2 = 0 e (s): x + 2y – 2 = 0

b) 2 2

P ;3 3

c) ---

02. a) ( )Q 2 1; 0+

b) 3 4

P ;5 5


03. a) ---

b) 8V uv

3π=

04. a) (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25

b) (0; 0) e (0; 6)

c) (t) 4x – 3y + 18 = 0

05. a) duas retas

b) 2x – y + 1 = 0 e x + 2y – 12 = 0

06. 37 5

a6 2

− < <

07. a) – 1 < m < 1

b) m = 0

08. 15

S ua2

=

09. x2 + y2 – 2xy – 2ax – 2ay + 3a2 = 0

10. h = 5 uc

11. 53arc tg

29θ =

12. 11x - 17y - 67 = 0 e 17x + 11y - 29 = 0

13. 8x - 2y - 13 = 0 e 2x + 8y - 17 = 0

14. q = 36

15. a) (x - 3)2 + (y - 4)2 = 25

b) P = (0; 8)

Aula 5

Geometria Analítica - Parte 2

(UFPR) Ache a equação da circunferência que passa 01. pelos pontos A (3, 1), B (1, 5) e tem centro sobre a reta de equação x + y + 1 = 0

(UFPR) No plano cartesiano, ache a equação da circun-02. ferência que tem centro no ponto médio do segmento de extremidades A (6; –4) e B (–2; 2) e é tangente à reta que contém os pontos C (2; –6) e D (–1; –2).

(UFPR) Uma circunferência de perímetro P03. 1 e centro na origem do sistema de coordenadas, é tangente a uma circunferência de perímetro P2 e de equação x2 + y2 – 16x – 12y + 36 = 0.

Se P2 > P1, calcular o valor de 2

1

PP

(UFPR) Determinar o maior valor inteiro de k a fim de 04. que x2 + y2 – 6x + 10y + k = 0 seja equação de uma circunferência de raio não nulo.

(UFPR) Os vértices de um triângulo são: o centro da 05. circunferência de equação x2 + y2 – 6x – 8y = 0 e os pontos de intersecção dessa circunferência com a reta que passa pela origem e tem coeficiente angular 1/7. Calcule:

a área do triângulo;a) o perímetro do triângulo;b) classifiqueotriânguloquantoaoslados.c)

(UFPR)Acharoladodoquadradodeáreaiguala18/π06. vezes a área do círculo cujo diâmetro é a corda comum às circunferências de equações x2 + y2 – 6x + 8y – 1 = 0 e x2 + y2 + 4x – 2y – 11 = 0.

(UFPR) Considerando, no sistema de coordenadas 07. cartesianas ortogonais, a circunferência de equação x2 + y2 + 6x – 12y + 25 = 0 e a reta de equação 2x + y + 8 = 0,

obtenha a equação da reta que contém o centro da a) circunferência e é paralela à reta dada;calcule as coordenadas do ponto de intersecção da b) reta dada com a reta tangente à circunferência no ponto P (1, 4).

(UFPR) Os pontos A (0, 0) e B (3, 3) pertencem a uma 08. circunferência de centro sobre a reta 2x + 3y – 6 = 0. Ache a soma das coordenadas do centro dessa circunferência.

(UFPR) Uma circunferência tem centro no ponto (6; 0) 09. do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais e passa pelo ponto de intersecção das retas x + y – 7 = 0 e 2x – y – 2 = 0. Obtenha a equação da circunferência, explicando os procedimentos usados.

(UFPR) Em um sistema de coordenadas cartesianas 10. ortogonais, a equação de uma circunferência é

x2 + y2 – 6x + 2y = 0. Calcule a área do triângulo cujos vértices são o centro

da circunferência e os pontos de intersecção da reta de equação 2x + y – 10 = 0 com a circunferência. Explique os procedimentos usados.

Obtenha as equações das retas que passam por A(7; 0) 11. e tangenciam a circunferência de centro C(1; 2) e raio 2.

(UFPR) São dados os pontos A = (1, 3), B = (4, 1) e 12. C = (6, 4) no plano cartesiano Oxy.

Usandocoeficientesangulares,mostrequearetar,a) que contém os pontos A e B, é perpendicular à reta s, que contém os pontos B e C.Sabendo que A, B, C e D são vértices de um b) quadrado, encontre as coordenadas do ponto D. Escreva a equação da circunferência que contém c) os pontos A, B, C e D.

(UNICAMP)13. Indentifiqueascircunferênciasdeequaçõesxa) 2 + y2 = x e x2 + y2 = y, calculando o raio e o centro das mesmas.Determine os pontos de interseção dessas cir-b) cunferências.


(ITA) Considere, no plano xy, as retas y = 1, y = 2x - 5 14. e x - 2y + 5 = 0

Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo a) ABC formado por essas retas?Qual é a área do triângulo ABC?b)

(FUVEST) Sejam A = (0, 0), B = (8, 0) e C = (-1, 3) 15. os vértices de um triângulo e D = (u, v) um ponto do segmento BC . Sejam E o ponto de intersecção de ABcom a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos y e F o ponto de intersecção de AC com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos x.

Determine, em função de u, a área do quadrilátero a) AEDF.Determine o valor de u para o qual a área do qua-b) drilátero AEDF é máxima.

Gabarito

01. (x + 2)2 + (y – 1)2 = 25

02. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9

03. 2

1

PP

=4

04. K = 33

05. a) 25S ua

2=

b) ( )2p 10 5 2 uc= −

c) isósceles

06. l = 12 uc

07. a) 2x + y = 0

b) 5

I . ; 32

− − 08. Soma = 3

09. x2 + y2 – 12x + 11 = 0

10. S = 5 ua

11. y = 0 e 3x + 4y - 21 = 0

12. a)

b) D (3; 6)

c) 2 27 7 26

x y2 2 4

− + − =

13. a) C1 = (1/2; 0) C2 = (0; 1/2)

R1 = (1/2) uc R2 = (1/2) uc

b) A = (0; 0) e B = (1/2; 1/2)

14. a) A = (3; 1) B = (-3; 1) C = (5; 5)

b) S = 12 ua

15. a) ( )21S 17u 128u 64

54= − + +

b) 64

u17

=

Aula 6

Números Complexos

(UFPR)01. Considere os números complexos z = 1 + i e z = 1 - i e sendo i 1= − a unidade imaginária.

Escreva os números za) 3 e z 4 na forma x + iy.Sabendo que z, b) z e 2 são raízes do polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx + c, calcule os valores de a, b e c.

(UFPR) Con02. sidere os números complexos

z cos i sen18 18π π= + e w 2 cos i sen

9 9π π = +

Mostre que o produto z . w é igual a a) 3 i+Mostre que zb) 18 é igual a –1.

(U03. FPR) Sejam os números complexos

z 2. cos i sen3 3π π = +

e w = i3 + i2 + i.

Achar y = z6 + w6.

(UFPR) Considerando o número complexo z = 1 + i:04. obtenha uma equação polinomial do 2° grau com a) coeficientesreaisdaqualzsejaumadasraízes;calcule o menor número inteiro positivo n para o qual b) zn é número real;

calcule o valc) or de x para que o número x 2iz+ seja

imaginário puro.

(UFPR) Considere o número complexo 05. z = 5+12i, onde i 1= − . Se x é a parte real de z e y a parte imaginária de z calcule x4 + y2, explicando os procedimentos usados.

(UFPR) Calcule as raízes quadradas do número com-06. plexo 1 + 3 . i

Calcule as raízes cúbicas de um número complexo 07. z, cujo módulo é igual a 8 e seu argumento principal vale

2π rad.

(UNICAMP) Um número complexo não nulo z = x + 08. yi, com x e y reais, pode ser escrito na forma trigono-

métrica z = |z|(cos θ + i sen θ), em que |z| = 2 2x + y ,

cos θ = x

| z | e sen θ =

y| z |

. Essa forma de representar

os números complexos não-nulos é muito conveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre: [|z|(cos θ + i sen θ)]k = |z|k(cos kθ + i sen kθ), que é válida para todo k ∈ Z. Use essas informações para:

calcular a) 12( 3 + i)

Sendo b) 2 2

z i2 2

= + calcular o valor de

1 + z + z2 + z3 + ... + z15.

A escolha de quem pensa!10

(FUVEST) A figura representa o número 09. 1 i 3

=2

− +ω

no plano complexo, sendo i 1= − a unidade imaginária.

Nessas condições,

determine as partes real e imaginária de a) 1ω e de ω3.

represente b) 1ω e ω3nafiguraabaixo.

determine as raízes complexas da equação zc) 3 - 1 = 0

(ITA) Considere 10. a equação 3 41 ix 1 i 1 i

161 ix 1 i 1 i

− + − = − + − +Determine os valores reais de x.

(IT11. A) Determine o conjunto A formado por todos os

números complexos z tais que z 2z

3z 2i z 2i

+ =− +

e

0 < |z - 2i| ≤ 1.

(ITA) Se 12. α ∈ [0, 2π) é o argumento de umnúmerocomplexoz≠0enéumnúmeronatural tal que(z/|z|)n = i sen (nα), calcule o valor de nα.

(UNESP) O número complexo z = a + bi é vértice de um 13. triângulo equilátero, como mostra a figura.

Sabendo que a área desse triângulo é igual a 36 3 , determine z2.

(UNESP) Considere os números 14. complexos w = 4 + 2i e z = 3a + 4ai, onde a é um número real positivo e i indica a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de um triângulo é | z | e a base é a parte real de z . w, determine a de modo que a área do triângulo seja 90 cm2.

(UNESP) As raízes de x15. 4 - a = 0 são vértices de um quadrado no plano complexo. Se uma raiz é 1 + i e o centro do quadrado é 0 + 0i, determine o valor de a.

Gabarito

01. a) z3 = -2 + 2i z4 = -4

b) a = -4; b = 6 e c = -4

02. a) ---

b) ---

03. y = 65

04. a) x2 - 2x + 2 = 0

b) n = 4

c) x = -2

05. 85

06. 1

6 2R i

2 2= + e 2

6 2R i

2 2= − −

07. R1 = 3 i+ ; R2 = - 3 i+ ; R3 = -2i

08. a) 4096

b) 0

09. a) Re (ω-1) = -12

e Im (ω-1) = 3

2−

Re (ω3) = 1 e Im (ω3) = 0

b)

c) 1 3 1 3S i ; i ; 1

2 2 2 2

= − − − +

10. { }S 3; 0; 3= −

11. A = {i}

12. n k. sendo k2πα = + π ∈�

13. 2z 72 72 3 i= − +

14. a = 3 cm

15. a = -4

Anotações

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super2_matematica3

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