C. Lainé

SUITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES

Fiche d’exercices Première S

Exercice 1

Pour les questions suivantes, préciser si la suite ( )nu est arithmétique ou non.

1) 2 3= +n

nu 2) 3 1

2

+=

n

nu

3) 2= −

nn nu 4) 0

1

2

2+

=

= + nn

u

u u

Exercice 2

Soit ( )nu la suite arithmétique de raison

5

4 et de premier terme

12=u .

1) Exprimer nu en fonction de n.

2) Que vaut 40u ?

3) Existe-t-il une valeur de l’entier naturel n telle que 772=nu ?

Exercice 3

Soit ( )nu une suite définie par

01=u et

1

2

3 2+=

+

n

n

n

uu

u

.

1) Calculer les cinq premiers termes de la suite. 2) La suite ( )

nu est-elle arithmétique ?

3) On suppose que pour tout entier naturel n, 0≠nu et on définit la suite ( )

nv par

1=

n

n

u

v .

a) Montrer que la suite ( )nv est arithmétique et donner ces éléments caractéristiques.

b) Donner l’expression de nv en fonction de n.

c) En déduire l’expression de nu en fonction de n.

4) Étudier la monotonie de la suite ( )nu .

5) Montrer que pour tout entier naturel n, 0 1< ≤nu .

Exercice 4

1) Démontrer que la somme 1 3 5 ... 99S = + + + + est le carré d’un entier naturel. 2) Calculer, en fonction de n, la somme des n premiers naturels impairs

( )1 3 5 ... 2 1S′ = + + + + −n .

Exercice 5

Des tuyaux sont rangés comme indiqué ci-contre :

1) Quel est le nombre total de tuyaux dans un empilage de 5 couches ? 12 couches ? 2) On a stocké 153 tuyaux, combien y a-t-il de couches ? 3) Pour ranger 200 tuyaux, combien faut-il de couches ? Combien reste t-il de tuyaux ?

C. Lainé

Exercice 6

Un arbre mesure un mètre lors de sa plantation et sa taille augmente chaque année de la même longueur.

1) L’arbre a doublé de hauteur en deux ans. De combien a-t-il poussé chaque année ? 2) Par quel nombre sera multipliée sa taille de départ au bout de 4 ans ?

3) On note 0u sa taille de départ, en mètres, et

nu sa taille n années après sa plantation.

Quelle est la nature de la suite ( )nu ? Exprimer

nu en fonction de n.

4) Au bout de combien d’années la taille de l’arbre dépassera-t-elle 25 mètres ? Exercice 7

On donne l’algorithme ci-contre.

1) Quelle est la nature et les éléments caractéristiques de la suite utilisée dans cet algorithme. 2) Préciser le but de cet algorithme puis donner le résultat obtenu. 3) Retrouver ce résultat par le calcul

Exercice 8

Pour les questions suivantes, préciser si la suite ( )nu est géométrique ou non.

1) 35

+

=n

nu 2)

2 3

3

+=

n

nu

3) 3 3= +n

nnu 4)

0

1

1

5 2 1+

= −

− = nn

u

u u

Exercice 9

Soit ( )nu la suite arithmétique de raison q telle que

312=u et

6324=u .

1) Déterminer q.

2) Exprimer nu en fonction de n.

3) En déduire 4u ,

7u et

0u .

3) Existe-t-il une valeur de l’entier naturel n telle que 78 732=nu ?

Exercice 10

Soit ( )nu une suite définie par

02=u et

12 5

+= +

nnu u .

1) Calculer les cinq premiers termes de la suite.

2) Pour tout entier naturel n, on définit la suite ( )nv par 5= +

n nv u .

a) Montrer que la suite ( )nv est géométrique et donner ces éléments caractéristiques.

b) Donner l’expression de nv en fonction de n.

c) En déduire l’expression de nu en fonction de n.

Exercice 11

1) Calculer 2 3 4 5 62 2 2 2 2 2+ + + + + .

2) Calculer 10

1 1 11 ...

10 100 10+ + + + .

C. Lainé

Exercice 11

Jules et Léo décident d’acheter le même ordinateur portable. Ils ne disposent pas de la somme nécessaire pour régler immédiatement leur achat. Le vendeur leur propose des facilités de paiement. En incluant les intérêts, chacun devra verser un acompte et rembourser un total de 2 000 euros (acompte compris) sur une durée de 12 mois selon des modalités à définir. Jules choisit de verser 80 euros au moment de l’achat, puis il rembourse des mensualités fixes de 160 euros chacun des 12 mois suivants. Léo verse 125 euros à l’achat, puis ses mensualités augmentent à chaque fois de 3% chacun des 11 mois suivants. Ainsi sa première mensualité augmentera de 3% par rapport aux 125 euros initialement versés. Le 12ème mois, il rembourse la différence entre les 2 000 euros dus et la somme totale qu’il a déjà remboursée.

Partie I : Le choix de Jules

On note 0u la somme versée par Jules à l’achat de l’ordinateur, et

nu la somme totale

remboursée par Jules au bout de n mois.

1) Calculer 1u et

2u .

2) a) Quelle est la nature de la suite ( )nu ? Justifier.

b) Exprimer nu en fonction de n.

Partie II : Le choix de Léo

On note 0v la somme versée par Léo à l’achat de l’ordinateur, et

nv le montant de la

mensualité de Léo le n-ième mois avec n entier compris entre 1 et 11.

1) Calculer 1v et

2v . On arrondira les résultats à l’euro le plus proche.

2) a) Quelle est la nature de la suite ( )nv ? Justifier.

b) Exprimer nv en fonction de n.

3) Quelle somme totale Léo a-t-il remboursée à la fin du 11ème mois ? Quel est le montant de la 12ème mensualité ? 4) À partir de quel mois les mensualités de Léo sont-elles plus élevées que celles de Jules ?