suites arithmetiques et geometriques · première scientifique - 1ère e.s. - 11th grade suites...

PremièreScientifique-1èreE.S.-11thgradeSuitesarithmétiquesetgéométriques

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1) INTRODUCTION L’invention du jeu d’échecs est le cadre d’une célèbre légende.�

Environ 3000 ans avant Jésus Christ, en Inde, le Roi BELKIB, morose, offrit une forte récompense à

quiconque lui offrirait une distraction exceptionnelle.

Un certain SISSA lui�proposa un nouveau jeu : les Echecs.

BELKIB, enthousiaste, demanda alors à SISSA�ce qu’il souhaitait en tant que prix de sa trouvaille.

SISSA lui proposa de disposer un�grain de riz sur la première case de l’échiquier, puis dix millions de plus

sur la deuxième case, et ainsi de suite en augmentant de dix millions à chaque fois le nombre de grains. Sa

récompense serait le total des grains de riz ainsi répartis.�

Un peu plus tard, SISSA réfléchit à sa récompense : " Quel idiot ! J’aurais du lui demander de

déposer 1 grain de riz sur la première case, puis le double sur la deuxième case et ainsi de suite en

doublant chaque fois le nombre de grains."

QU’EN PENSEZ- VOUS ?

Quelques informations utiles ou inutiles :

§ Le jeu d’échecs se joue sur un échiquier de 64 cases.�

§ Un grain de riz pèse environ 0,06 g.�

§ En 2017, la production mondiale de riz est estimée à 466 millions de tonnes.

SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES


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2) SUITES ARITHMETIQUES

A. DEFINITION

Déf ini t ion : Une suite 𝑢! est dite arithmétique si chaque terme est obtenu à partir du précédent

par addit ion d’une constante.

Autrement dit, dire qu’une suite 𝑢! est arithmétique signifie qu’il existe un réel 𝑟 tel que, pour tout entier

naturel 𝑛, 𝑢!!! = 𝑢! + 𝑟.

La constante 𝑟 est appelée la raison de la suite 𝑢! .

Exemple 1 :

§ La suite (𝑢!) des nombres pairs définie par 𝑢! = 0 𝑢!!! = 𝑢! + 2

est une suite arithmétique de terme

initial 0 et de raison 2.

§ La suite (𝑢!) définie sur ℕ par 𝑢! = 1 𝑢!!! = 𝑢! + 𝑛

n’est pas une suite arithmétique.

En effet, 𝑢! = 1,𝑢! = 𝑢! + 0 = 1,𝑢! = 𝑢! + 2 = 2… Donc pour passer d’un terme au suivant on

n’ajoute pas toujours le même nombre.

Remarque : Une suite arithmétique est parfaitement définie par la donnée de son premier terme et

de sa raison.

Exemple 2 :

(𝑢!) est une suite arithmétique de raison −2 et de terme initial 𝑢! = 4.

Déterminer 𝑢!.

Remarque : Pour démontrer qu’une suite 𝑢! est arithmétique, on peut montrer que, pour tout

entier naturel 𝑛, 𝑢!!! − 𝑢! est constante. Cette constante est alors la raison de la suite.

Exemple 3 :

Démontrer que la suite (𝑢!) suivante est une suite arithmétique : 𝑢! = 3𝑛 − 4

Faire maintenant les exercices 1, 2 f iche de T.D.1


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B. FORMULE EXPLICITE

Théorème : Terme général d’une suite ar i thmétique

La suite 𝑢! est arithmétique de raison 𝑟 si et seulement si, pour tout entier naturel 𝑝, et pour tout entier

naturel 𝑛, 𝑢! = 𝑢! + 𝑛 − 𝑝 𝑟.

En part icul ier :

§ Si 𝑝 = 0, alors pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢! = 𝑢! + 𝑛𝑟.

§ Si 𝑝 = 1, alors pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢! = 𝑢! + 𝑛 − 1 𝑟.

§ Si 𝑝 = 2, alors pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢! = 𝑢! + 𝑛 − 2 𝑟.

§ ...

Exemple 4 :

Dans chacun des cas suivants, (𝑢!) est une suite arithmétique.

Exprimer 𝑢! en fonction de 𝑛 et calculer 𝑢!""

§ Le premier terme est 𝑢! = −4 et la raison est !!.

§ Le premier terme est 𝑢! = 1 et la raison est −0,25 .

§ La suite (𝑢!) est définie sur ℕ telle que 𝑢! = 18 et 𝑢!" = 13.

Faire maintenant les exercices 3, 4, 5 f iche de T.D.1


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C. REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UNE SUITE ARITHMETIQUE

Propriété : Les points représentant d’une suite arithmétique sont alignés.

Exemple 5 : Représenter graphiquement les six premiers termes de la suite arithmétique de premier

terme −3 et de raison 1,5.

Faire maintenant l ’exercice 6 f iche de T.D.1


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D. SENS DE VARIATION Théorème : Soit 𝑢! une suite arithmétique de raison 𝑟.

§ Si 𝑟 > 0, alors la suite 𝑢! est strictement croissante.

§ Si 𝑟 < 0, alors la suite 𝑢! est strictement décroissante.

§ Si 𝑟 = 0, alors la suite 𝑢! est constante.

Exemple 6 :

Soit (𝑢!) la suite définie par : ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢! = 2𝑛 − 3.

1) Quelle est la nature de cette suite ?

2) Déterminer son sens de variation.

3) Déterminer la valeur 𝑛 à partir de laquelle 𝑢! > 100.


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4) Compléter l’algorithme ci-contre pour qu’il permette de retrouver ce

résultat.

5) Modifier cet algorithme pour que 𝐴 étant donné, il permette de déterminer la plus petite valeur 𝑛 pour

laquelle 𝑢! > 𝐴.

6) Programmer cet algorithme sur la calculatrice.

Exemple 7 : Uti l isat ion du mode suite de la calculatr ice

Utiliser la calculatrice pour afficher un tableau avec les termes de la suite arithmétique de premier

terme 𝑢! = −4 et de raison 𝑞 = 2,2 ∶

En utilisant l’expression du terme général 𝑢! en fonction de 𝑛.

Faire maintenant l ’exercice 7 f iche de T.D.1

InitialisationUprendlavaleur….Nprendlavaleur…..TraitementTantque…….Nprendlavaleur……Uprendlavaleur…..FinduTantqueSortieAfficher…..


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3) SUITES GEOMETRIQUES

A. DEFINITION

Déf ini t ion : Une suite 𝑢! est dite géométrique si chaque terme est obtenu à partir du précédent

par mult ipl icat ion par une constante.

Autrement dit, dire qu’une suite 𝑢! est géométrique signifie qu’il existe un réel 𝑞 tel que, pour tout entier

naturel 𝑛, 𝑢!!! = 𝑢!×𝑞.

La constante 𝑞 est appelée la raison de la suite 𝑢! .

Exemple 10 :

§ La suite (𝑢!) des puissances de 3 définie par 𝑢! = 1 𝑢!!! = 3𝑢! est une suite géométrique de terme

initial 1 et de raison 3.

§ La suite (𝑢!) définie sur ℕ∗ par 𝑢! = 2 𝑢! = 𝑛 − 1 ×𝑢!

n’est pas une suite géométrique.

En effet, 𝑢! = 2,𝑢! = 𝑢!×1 = 2,𝑢! = 𝑢!×2 = 4… Donc pour passer d’un terme au suivant on ne

multiplie pas toujours par le même nombre.

Remarque : Une suite géométrique est parfaitement définie par la donnée de son premier terme et

de sa raison.

Exemple 11 :

(𝑢!) est une suite géométrique de raison −2 et de terme initial 𝑢! = 4.

Calculer les quatre premiers termes de la suite.

Remarque : Pour démontrer qu’une suite 𝑢! est géométrique, on cherche à exprimer 𝑢!!! sous

la forme 𝑞×𝑢! ou, si tous les termes sont non nuls, on peut montrer que, pour tout entier naturel 𝑛, !!!!!!

est

constant. Cette constante est alors la raison de la suite.


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Exemple 12 :

Démontrer que la suite (𝑢!) définie sur ℕ suivante est une suite géométrique : 𝑢! = 2×3!!!!

Exemple 13 : Répondre aux questions suivantes pour chacun des trois algorithmes ci-dessous :

Algorithme1 Algorithme2 Algorithme3Variables:n,ientiersnaturelsUréelInitialisation:SaisirnUprendlavaleur–1Traitement:Pouriallantde1ànUprendlavaleur2 × 𝑈FinPourSortie:AfficherU

Variables:n,ientiersnaturelsUréelInitialisation:SaisirnUprendlavaleur–1Traitement:Pouriallantde1ànUprendlavaleur2 × 𝑈AfficherUFinPour

Variables:n,ientiersnaturelsUréelInitialisation:SaisirnUprendlavaleur–1iprendlavaleur0Traitement:Tantquei<nUprendlavaleur2 × 𝑈iprendlavaleuri+1FinTantqueAfficherU

1) Si on entre 3, qu’affiche l’algorithme ?

2) Que fait cet algorithme ?

3) (𝑢!) est-elle géométrique ?

Faire maintenant les exercices 1,2 f iche de T.D.2


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B. FORMULE EXPLICITE Théorème : Terme général d’une suite géométr ique

La suite 𝑢! est géométrique de raison 𝑞 ≠ 0 si et seulement si, pour tout entier naturel 𝑝, et pour tout

entier naturel 𝑛, 𝑢! = 𝑢!×𝑞!!!

En part icul ier :

§ Si 𝑝 = 0, alors pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢! = 𝑢!×𝑞!

§ Si 𝑝 = 1, alors pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢! = 𝑢!×𝑞!!!

§ Si 𝑝 = 2, alors pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢! = 𝑢!×𝑞!!!.

§ ...

Exemple 14 :

Dans chacun des cas suivants, (𝑢!) est une suite géométrique.

Exprimer 𝑢! en fonction de 𝑛 et calculer 𝑢!".

§ Le premier terme est 𝑢! = −1 et la raison est !!.

§ Le premier terme est 𝑢! = −1 et la raison est −2 .

§ La suite (𝑢!) est définie sur ℕ telle que 𝑢! = 1 et 𝑢! = 4.

Faire maintenant les exercices 3, 4, 5, 6 f iche de T.D.2


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C. SENS DE VARIATION Théorème : Soit 𝑢! une suite géométrique de raison 𝑞 positive et différente de 1.

1er cas : Si 𝒖𝟎 est posit i f

§ Si 𝑞 > 1, alors la suite 𝑢! est strictement croissante.

§ Si 0 < 𝑞 < 1, alors la suite 𝑢! est strictement décroissante.

2ème cas : Si 𝒖𝟎 est négat i f

§ Si 𝑞 > 1, alors la suite 𝑢! est strictement décroissante.

§ Si 0 < 𝑞 < 1, alors la suite 𝑢! est strictement croissante.

Remarque :

§ Une suite géométrique de raison 1 est constante.

§ Une suite géométrique de raison strictement négative n’est pas monotone.

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