Sudovi po sloenostijednostavni sloeni

jednostavni

Tigar je krvoloan.

Ovaj kategoriki sud se ne moe se ralaniti na neke jednostavnije sudove, ali se moe ralaniti na pojmove tigar i krvoloan. Takve sudove koji se ne mogu ralaniti na sudove, nego samo na pojmove moemo nazvati jednostavnim (neki ih nazivaju atomskim).

Sloeni (sastavljeni) sudovi (iskazi)

Sloeni ili sastavljeni sud je sud koji se sastoji od (obino) vie jednostavnijih (jednostavnih ili sloenih) sudova. Jednostavni se iskazi u sloenim sudovima spajaju poveznicima.

Primjeri:

Mateja ide u Zagreb, a Luka u Rijeku. Ako bude dobar, onda e dobiti sladoled. Ili idem na bazen, ili se ostajem sunati u dvoritu. Idemo na izlet samo ako ne bude padala kia. Ako budem iao u Zagreb, Ivica e ii sa mnom ako i samo ako mu maka ne bude bolesna ili bude petak. Ivan nije ovdje. (Oprez: negacija spada u sloene iskaze, iako je sastavljena od samo jednog iskaza!)

Sloeni sudovi

implikacija (hipotetiki sud) disjunkcija (ekskluzivna, iskljuna - alternativni sud) disjunkcija (inkluzivna, ukljuna)

Ako kia pada, ulice su vlane. Ili grmi il' se zemlja trese. Petar je lijen ili glup.

konjunkcija (konjunktivni sud)

Snijeg je bijel a trava je zelena. Snijeg pada i vjetar pue.

ekvivalencija (dvopogodba bikondicional)

Ivica e ii sa mnom ako i samo ako mu maka ne bude bolesna.Niti grmi nit' se zemlja trese.

binegativni sud (binegacija)

Ovi sloeni sudovi sadre kao svoje dijelove jednostavne sudove:

kia pada, ulice su vlane, grmi, zemlja se trese, lijen, glup, snijeg pada, vjetar pueTakve sudove, koji kao svoje dijelove sadre druge sudove, nazivamo sloenim. Ovisno o broju jednostavnih sudova, oni su dvomjesni, tromjesninavedeni primjeri su dvomjesni

PovezniciTo su sljedei simboli:

Nazivlju se i logiki veznici, konektori, junktori itd.). Moemo ih itati hrvatski:

v

kao ikao ili od vel (latinski) ili kao ako... onda kao ako i samo ako kao ne ne ne; niti niti

za konjunkcijuza disjunkciju za implikaciju za ekvipolenciju negacija binegacija

v

Skraeni nain pisanja primjera sudova Ako kia pada, ulice su vlane.(Ako kia pada onda su ulice vlane.)jednostavni sud jednostavni sud kia pada oznaimo slovom p ulice su vlane oznaimo slovom q

skraeno pisano:p

q

itamo:

ako p onda q

Vrste sloenih sudova

implikacija (hipotetiki sud) disjunkcija (ekskluzivna, iskljuna) disjunkcija (inkluzivna, ukljuna) konjunkcija (konjunktivni sud)

Ako kia pada, ulice su vlane. Ili grmi il' se zemlja trese. Petar je lijen ili glup. Snijeg je bijel a trava je zelena. Snijeg pada i vjetar pue.

q pvqp p

q q

ekvivalencija (dvopogodba bikondicional)

Ivica e ii sa mnom ako i samo ako p mu maka ne bude bolesna. Mama pee kolae ako i samo ako tata kuha ruak. Niti grmi nit' se zemlja trese. pq Niti mama pee kolae, niti tata kuha ruak.

binegativni sud (binegacija)

istinosna vrijednost

Sud spoj pojmova kojim se neto tvrdi ili porie.

Svaka tvrdnja mora biti istinita ili neistinita.

Kad kaemo da je Zagreb zapadno od Beograda, to mora biti istinito ili neistinito, tree mogunosti nema. Budui da je sud poricanje ili tvrdnja, on mora biti istinit ili neistinit. U suvremenoj logici istinitost i neistinitost nazivaju se istinosnim vrijednostima.

Svaki sud dakle nuno posjeduje jednu (i to samo jednu) od dvije mogue istinosne vrijednosti (istinitost ili neistinitost). U skladu s tim moemo rei da je sud misao koja posjeduje neku istinosnu vrijednost.Oznaavanje: I - N, i n, T - N, t - n, T - _, T - F, t - f, 1 - 0

Tablice istinitosti sloenih sudova(dvomjesnih)

Implikativni sud - implikacija (hipotetiki sud - pogodba)implicatio isprepletenost

Ako kia pada, ulice su vlane.ako jednostavni sud ako jednostavni sud kia pada ulice su vlane oznaimo slovom p oznaimo slovom q

moemo sloeni sud Ako kia pada, ulice su vlane prikazati shemom: ako p onda qza povezivanje jednostavnih iskaza koristimo poveznik

koji se ita akoonda

Budui da svaki sud ima istinosnu vrijednost, tj. ili je istinit ili neistinit, onda istinosnu vrijednost ima i sloeni sud koji je od njih sastavljen. Ovisno o istinosnoj vrijednosti suda p i suda q, sud p One se prikazuju u tablicama.

q

moe ima 4 istinosne vrijednosti.

istinitosna tablica implikacije (pogodbe)U kakvu su odnosu istinosne vrijednosti pojedinih sudova p i q i istinosna vrijednost suda p q prikazano je u tablici:p q ako p onda q

kia padaistinit istinit neistinit

ulice su vlaneistinit neistinit istinit

Ako kia pada, ulice su vlaneistinit neistinit istinit

neistinit neistinit istinit prednjak posljedak antecedens konsekvens Pogodba je neistinita samo ako je prednjak istinit a posljedak neistinit.

Kod ovakvog tradicionalnog shvaanja pogodbe postoji unutranji uzrono/posljedini odnos prednjaka i posljetka povezan i sa samim pojmovnim sadrajem tih iskaza. Kod iskazne logike (materijalne pogodbe) ta je veza nepotrebna jer se promatra samo uzajamna ovisnost istinitosnih vrijednosti iskaza bez unutranjeg pojmovnog sadraja prednjaka i posljetka.

I istina N - neistinaAko istinitost oznaimo slovom I, a neistinitost slovom N, prethodnu tablicu moemo krae napisati u istinosnoj tablici:

p I I N N

q I N I N

ako p, onda q I N I I

Moderni logiari nazivaju ovakve hipotetike sudove zbog njihoveisprepletenosti implikacijom.

1 istinap1 1 0 0

0 neistinaq ako p onda q1 0 1 0 1 0 1 1

Danas se istinitost oznaava brojkom 1, a neistinitost brojkom 0, pa se onda istinosna tablica moe napisati i ovako:

Disjunktivni sud inkluzivna disjunkcija (ukljuna rastavnost)Petar je lijen ili glup.Sud Petar je lijen ili glup moemo napisati formulom p ili q odnosno p q (v iz lat. vel ili)Tim sudom ne tvrdimo da je Petar samo jedno ili drugo, nego tvrdimo da je Petar u najmanju ruku jedno od dvoga, a moda i oboje. To znai da je taj sloeni sud istinit kad je bar jedan od dva jednostavna suda istinit, kao i onda kada su oba istinita. Moemo ga prikazati ovakvom istinosnom tablicom:

p lijen istinit istinit neistinit neistinit

q glup istinit neistinit istinit neistinit

p ili q Petar je lijen ili glup istinit istinit istinit neistinit

ispis tablice na binarni nainp q lijen glup 1 1 0 0 1 0 1 0 p ili q Petar je lijen ili glup 1 1 1 0

Disjunktivni sud ima vie predikata koji se meusobno iskljuuju.

Disjunktivni sud ekskluzivna disjunkcija(iskljuujua rastavnost - alternativni sud)Ili grmi il' se zemlja trese.ako jednostavni sud Grmi oznaimo slovom ako jednostavni sud zemlja trese slovom p q

moemo taj sud prikazati formulom

ili p ili q

Da bi sud ili p ili q bio istinit, oito je da bar jedan od dva suda p i q mora biti istinit, ali da ne smiju biti oba. To znai daje taj sloeni sud istinit kada je sud p istinit, a sud q neistinit, kao i onda kad je sud q istinit, a sud p neistinit. Na je sloeni sud neistinit, naprotiv, kad su oba jednostavna suda istinita ili kad su oba neistinita.

Ovu formulu treba itati:

ili p ili q

Tablica istinitostip grmi istinit istinit neistinit neistinit q ili p, ili q zemlja trese Ili grmi il' se zemlja trese istinit neistinit istinit neistinit neistinit istinit istinit neistinit

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

ili p, ili q 0 1 1 0

Konjunkcija (konjunktivni sud)coniunctio - koji povezuje

Snijeg pada i vjetar pue.ako snijeg pada oznaimo sa ako vjetar pue oznaimo sa p q

dobivamo oblik lijevi sud i desni sud

piq

U konjunkciji se opisuje neko stanje. Sloeni sud p i q istinit je samo kad su istinita oba sastavna jednostavna suda, a neistinit je kad je neistinit jedan od ta dva suda, kao i onda kada su neistinita oba. Odnos izmeu dva lana konjunktivnog prikazujemo ga znakom Opa je forma konjunktivnog suda: pqOvu formulu treba itati: piq

tablica konjunkcije:p Snijeg pada istinit istinit neistinit neistinit q vjetar pue istinit neistinit istinit neistinit piq Snijeg pada i vjetar pue istinit neistinit neistinit neistinit

p Snijeg pada 1 1 0 0

q piq vjetar pue Snijeg pada i vjetar pue 1 0 1 0 1 0 0 0

NegacijaNema nade.Negacija je jednomjesno odricanje nekoga suda. To znai da uza se ima samo jedno slobodno mjesto.Ako pojam u naem nade oznaimo s q onda e negacija biti ne q to se simboliki moe oznaiti na vie naina: sa crticom povrh q (itaj: ne q) s posebnim znakom ispred q, tj.q 1 0

q (itaj: ne q)q0 1

Tablica istinosnih vrijednosti izgleda ovako:

Binegativni sud (binegacija)Niti grmi nit' se zemlja trese.Njegova je formula ni p ni q ili pisano sa simbolom p q (itaj: ni p ni q)Binegativni sud je istinit samo kad su i p i q neistiniti. Sud je neistinit ne samo onda kad i grmi i trese se zemlja nego i onda kad samo grmi ili se samo trese zemlja.Njegova bi istinosna tablica izgledala ovako:

ni p ni q p q Niti grmi nit' se zemlja trese Niti grmi nit' se zemlja trese I I N N I N I N N N N I

u binarnom oblikup 1 1 0 0 q 1 0 1 0 ni p ni q 0 0 0 1

Prikazane sudove oblika ni p ni q nazivamo binegativnim, a odnos izmeu dva sastavna suda sloenog binegativnog suda binegacijom.

Ponavljanje: Iskazna logika u primjeniistinitosna funkcija znai da je istinitosna vrijednost sloenog iskaza u potpunosti odreena istinitosnom vrijednou njihovih podiskaza (jednostavnih iskaza sudova). Kod sloenih iskaza rabimo posebne simbole, poveznike, ukupno pet:

v

Negacija - nijekIskaz: Nije tako da je Antun hrabar. ili krae Antun nije hrabar. Zanijekano: Antun je hrabar.q 1 0

q0 1

Kad je Antun je hrabar istinito, Antun nije hrabar' je neistinito. Kad je Antun je hrabar' neistinito, Antun nije hrabar je istinito.

Dakle, iskaz Antun nije hrabar uvijek ima oprjenu istinitosnu vrijednost od iskaza Antun je hrabar.Nijeni se poveznik predmee samo jednomu iskazu, tj. uza se ima samo jedno slobodno mjesto. Stoga kaemo da je jednomjesni poveznik. Moemo ga itati: nije sluaj da, nije tako da ili jednostavno ne.

Konjunkcijaiskaz:

p q i i i n n i n n

pq i n n n

Zagreb je glavni grad Hrvatske i Vilnius je glavni grad Litve.U tom iskazu su dvije sastavnice, koje su i same iskazi:

Zagreb je glavni grad Hrvatske i Vilnius je glavni grad Litve.Ako je istinito da je Zagreb glavni grad Hrvatske, i da je Vilnius glavni grad Litve, istinit je i sastavljen iskaz

Ti su podiskazi povezani u jedinstven sastavljen iskaz pomou i

Zagreb je glavni grad Hrvatske i Vilnius je glavni grad Litve.Ako nije istinit bilo koji od podiskaza sastavljenoga iskaza, nije istinit ni sastavljen iskaz. Jer sastavljen iskaz tvrdi da je Zagreb glavni grad Hrvatske, kao i to da je Vilnius glavni grad Litve. Dakle, i jedno i drugo mora biti istina, a ne samo jedno. Pogotovu ako nijedan od podiskaza nije istinit, nee biti istinit ni iskaz koji je od njih sastavljen.

Konjunkcija i hrvatske reeniceKonjunkcija ne mora u hrvatskome jeziku uvijek biti izraena pomou i ili i... i... Npr.

Ivan je jo spavao, a nastava je u koli ve poela.Ta je reenica istinita samo ako je istinito i to da je Ivan jo spavao, kao i to da je nastava u koli ve poela. No osim te istinitosne povezanosti u toj je reenici izraeno i jo neto to nam u iskaznoj logici nije vano. Izraena je, naime, i suprotnost, nesklad izmeu toga da Ivan spava, dok je nastava u koli ve poela. Zato je i upotrijebljen suprotni veznik a. Na taj se nesklad u iskaznoj logici ne obziremo, jer on ne utjee na dosljednost u zakljuivanju, pa navedenu reenicu logiki shvaamo kao obinu konjunkciju. Npr.

Ivan je dugo spavao, ali je u kolu stigao na vrijeme.

Na jeziku iskazne logike, zanemarujemo suprotnost koja je u njoj izraena, i shvaamo ju samo kao konjunkciju. I reenice s veznicima npr. nego, meutim, iako, premda, dok moemo u iskaznoj logici takoer shvatiti kao konjunkcije.

Disjunkcijeaut vel iskljuno ili, ili ukljuno ili

Disjunkcija iskljuna (ekskluzivna)Poveznik V jest dvomjesni poveznik; tj. uza se ima dva slobodna mjesta, na koja dolaze bilo koji iskazi jezika iskazne logike.

Latinski veznik aut znai iskljuno ili (odvojeno zarezom, odnosno ili..., ili...).

Aut cogitare, aut perire. (Ili misliti, ili propasti.) Ili grmi, il se zemlja trese.

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

ili p, ili q 0 1 1 0

U tradicionalnoj logici pod disjunkcijom mislimo u prvome redu na ovu iskljunu disjunkciju. Ona je neistinita ne samo kad su oba disjunkta neistinita nego i kad su oba istinita.

p

q i n i n

p v q i i i n

Disjunkcija ukljuna (inkluzivna)iskaz:

i i n n

Ivana ili Stjepan putuju u Dubrovnik.

Iskaz e biti jasniji ako njegove sastavnice izriitije odvojimo:

Ivana putuje u Dubrovnik ili Stjepan putuje u Dubrovnik.Sastavnice, podiskazi, povezani su u jedinstven iskaz pomou veznika ili v Oito je da u sluaju da ni Ivana ni Stjepan ne putuju u Dubrovnik, sastavljen iskaz nije istinit. Putuje li samo Ivana u Dubrovnik, ili pak samo Stjepan putuje u Dubrovnik, sastavljeni je iskaz istinit. Nije izriito reeno da u sluaju da Ivana putuje u Dubrovnik, Stjepan ne putuje. Ni obratno, da u sluaju da Stjepan putuje u Dubrovnik, Ivana ne putuje. Stoga na sastavljeni iskaz moemo smatrati istinitim i u sluaju da obojica, i Ivana i Stjepan, putuju u Dubrovnik. Jedini sluaj, prema tome, u kojem je na sastavljeni iskaz neistinit, jest onaj u kojem nijedan njegov neposredni podiskaz nije istinit. Dakle U disjunkciji iskaz je istinit ako i samo ako je barem jedan njegov neposredni podiskaz istinit. U modernoj logici ukljuna disjunkcija ima prednost pred iskljunom disjunkcijom. Ukljuna se disjunkciju gdjekad naziva i adjunkcijom ili alternacijom.

Ukljuna disjunkcija i hrvatske reenice

U hrvatskome jeziku ukljuna disjunkcija ne mora uvijek biti izraena veznikom ili. npr.

Barem jedna od dviju knjiga koje sam posudio, bit e mi zanimljiva.

Ta reenica takoer znai ukljunu disjunkciju i moemo ju izrei i ovako:

Prva ili druga posuena knjiga bit e mi zanimljiva.

Isto ju tako hrvatski moemo izrei i na sljedei nain:

Bilo jedna bilo druga knjiga koju sam posudio, bit e mi zanimljiva.

Pogodba p q u iskaznoj logiciNpr. pogodbena reenica:

p I I N N

q I N I N

ako p, onda q I N I I

Ako je Jankova truba nainjena od mjedi, u njoj ima bakra.

Prvi podiskaz zovemo prednjakom (antecedens), a drugi posljetkom (konsekvens).

S obzirom na istinitosne vrijednosti, naa pogodbena reenica kazuje samo to da, ako je istinit prednjak, istinit je i posljedak. Prema tome, iskaz ne bi bio istinit u sluaju kad bi Jankova truba bila nainjena od mjedi, a u njoj ne bi bilo bakra. Dakle, neistinit je ako je prednjak istinit, a posljedak neistinit. to je, meutim, u ostalim sluajevima? U svim ostalim sluajevima pogodbu u iskaznoj logici smatramo istinitom. Dakle: Ponajprije, u sluaju da su i prednjak i posljedak istiniti. Dakle, ako je Jankova truba nainjena od mjedi, a u njoj takoer ima bakra. Zatim, u sluaju da je prednjak neistinit, a posljedak istinit. Naime, u Jankovoj trubi moe biti bakra, a da nije nainjena od mjedi (npr. kad bi bila od bronce*). Napokon, pogodba je istinita i u sluaju da ni prednjak, ni posljedak nisu istiniti. Dakle, u naemu primjeru, kad Jankova truba ne bi bila od mjedi, niti bi u njoj bilo bakra (npr. kad bi bila od srebra).*Bronca je naziv za veliki broj slitina bakra, najee s kositrom, ali s drugim elementima. Izuzetak je slitina s cinkom koja se obino naziva mjed.

pogodba i hrvatske reeniceReenice:

Ako kia pada, voda se sastoji od vodika i kisika Ako se voda sastoji od eljeza i ugljika, Palermo je glavni grad Italije.

u tradicionalnoj logici a i u obinom jeziku ne bi se ni postavilo pitanje istinitosti, ve bismo rekli da su bespredmetne - iako ona u iskaznoj logici ima sasvim odreenu istinitosnu vrijednost (uvijek je istinita jer je uvijek istinito da se voda sastoji od vodika i kisika a u drugom primjeru iskazi su uvijek neistiniti. Tako se ne moe dogoditi na samo posljedak bude neistinit a to je uvjet da pogodba bude neistinita). No, ovakve iskaze katkada rabimo u svakodnevnom jeziku kada elimo istaknuti u kojoj je mjeri neto nemogue i nezamislivo, npr.

Ako se voda sastoji od eljeza i ugljika, onda sam ja predsjednik Indonezije.Pogodbu je mogue u hrvatskom jeziku izrei i drukije, a ne samo pomou izraza ako..., onda..., ili samo pomou ako..., ... Moemo, naime, najprije izrei posljedak, a zatim prednjak, sluei se izrazom samo ako.

Ako je Jankova truba nainjena od mjedi, u njoj ima bakra. U njoj ima bakra, ako je Jankova truba nainjena od mjedi.

Jankova je truba nainjena od mjedi samo ako u njoj ima bakra.

Pogodbu iskazne logike (materijalnu) valja razlikovati od uzrone i nestvarne pogodbe u obinom jeziku. Uzrona je pogodba, primjerice, iskaz Ako ovu au vode ohladimo ispod 0C, voda e se zalediti. Uzrona se pogodba moe javiti u obliku nestvarne pogodbe. Nestvarna je pogodba, primjerice, iskaz Da sam juer obukao vestu, bilo bi mi toplo. Te se pogodbe razlikuju od materijalne pogodbe npr. po tome to nisu istinite u svakom sluaju kad im je prednjak neistinit.

p

q

pq

i i Dvopogodba p q i n n i n n Iskaz: U snijegu su ostali tragovi ako i samo ako je Marko tuda proao.

i n n i

Izraz ako i samo ako se u obinom jeziku rabi rijetko - tu je ee upravo ako. Iskaz Marko je proao snijegom jest prednjak (dostatan uvjet) pogodbe, jer ispred njega dolazi izraz 'ako'. Iskaz U snijegu su ostali tragovi je posljedak. No iskaz Marko je proao snijegom ujedno je i posljedak pogodbe, jer ispred njega dolazi i izraz samo ako. Ali u tom je sluaju onaj drugi iskaz njegov prednjak. Dakle, prvi je iskaz prednjak, a drugi posljedak, ali je takoer i drugi iskaz prednjak, a prvi posljedak. Rije je dakle o dvojnoj pogodbi, u kojoj su oba podiskaza ujedno i prednjak i posljedak. Odnosno, svaki je podiskaz dvopogodbe kako dostatan, tako i nuan razlog drugoga podiskaza. Na iskaz 'U snijegu su ostali tragovi ako i samo ako je Marko tuda proao' sadrava, dakle, dvije pogodbe:

1. Ako je Marko proao snijegom, u snijegu su ostali tragovi 2. Ako su u snijegu ostali tragovi, Marko je tuda proao

p

q i

pq i

analiza istinitosne vrijednosti dvopogodbe

i

i n n

n i n

n n i

Na iskaz U snijegu su ostali tragovi ako i samo ako je Marko tuda proao sadrava, dakle, dvije pogodbe:

1. Ako je Marko proao snijegom, u snijegu su ostali tragovi 2. Ako su u snijegu ostali tragovi, Marko je tuda proaoUzmimo najprije sluaj da je istina i to da su u snijegu ostali tragovi, kao i to da je Marko proao snijegom. Oito je da je u tom sluaju i cijeli iskaz istinit. to ako bi se dogodilo da u snijegu nisu ostali tragovi, a da je ipak Marko proao snijegom? U tom sluaju na iskaz ne bi bio istinit, jer ne bi vrijedila pogodba pod 1). Na iskaz ne bi bio istinit ni u sluaju da su u snijegu ostali tragovi, a da Marko nije proao snijegom. Tada ne bi vrijedila pogodba pod 2). Napokon, u sluaju da niti su u snijegu ostali tragovi, niti je Marko proao snijegom, vrijedi i pogodba pod 1) i pogodba pod 2). Cijeli je iskaz, dakle, istinit. Stoga moemo rei: iskaz koji je istinit samo u sluaju kada su njegovi neposredni podiskazi bilo oba istiniti, bilo oba neistiniti, jest dvopogodba ili bikondicional.

Vjebe za zadau

Potraiti na kolskoj Web stranici!