studiju kurss eksperimentu pl¯anoˇsana un anal¯ıze 1.lekcija · p¯arbaud¯ıta uz visiem...

1

DAUGAVPILS UNIVERSITATEDabaszinatnu un matematikas fakultate

Matematikas katedra

Studiju kurss

Eksperimentu planosana un analıze

1.lekcijaDocetajs: Dr. P. Daugulis

2008./2009.studiju gads

Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans

2

Saturs

1. Ievads 5

2. Eksperimentu planosanas un analızes pamatprincipi 82.1. Pamatjedzieni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Pamatprincipi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1. Salıdzinasana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2. Replikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.3. Blokosana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.4. Randomizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.5. Ortogonalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.6. Eksperimentu analıze . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Eksperimentu planosanas vadlınijas 173.1. Eksperimentu planosanas, izpildes un analızes algoritms 17

3.1.1. Problemas formulesana . . . . . . . . . . . . . 173.1.2. Kontrolejamo parametru - faktoru, to lımenu

un diapazonu izvele . . . . . . . . . . . . . . . 18


3

3.1.3. Izejas parametru noteiksana . . . . . . . . . . . 203.1.4. Eksperimenta plana (dizaina) izvele . . . . . . 213.1.5. Eksperimenta izpilde . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.6. Datu statistiska analıze . . . . . . . . . . . . . 223.1.7. Secinajumi un rekomendacijas . . . . . . . . . . 23

3.2. Isa vesture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.1. Lauksaimniecıbas era . . . . . . . . . . . . . . 243.2.2. Industriala era . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.3. Taguci era . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4. Statistikas pamati 264.1. Ievads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1.1. Pamatdefinıcijas . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.1.2. Datu reprezentacija . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.3. Varbutıbu sadalıjumi . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.4. Statistiskie modeli . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2. Izlases un to raksturlielumi . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.1. Maksimalas ticamıbas metode . . . . . . . . . . 444.2.2. Novertejuma brıvıbas pakapju skaits . . . . . . 45


4

4.2.3. Statistikas sadalıjums . . . . . . . . . . . . . . 464.2.4. Svarıgako statistiku sadalıjuma funkcijas . . . . 474.2.5. Normala sadalıjuma pienemuma parbaude . . . 524.2.6. Statistiskie intervali . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3. Hipotezu parbaude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3.1. Pamatdefinıcijas . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3.2. α-vertıbas pieeja . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.3. P -vertıbas pieeja . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5. 1.majasdarbs 62


5

1. Ievads

Studiju kurss ”Eksperimentu planosana un analıze”

Docetajs - Peteris Daugulis, Ph.D., DU vadosais petnieksTalr.: DU Dabaszinatnu un matematikas fakultates matematikas

katedras telefons,E-pasts: [email protected]

Webvieta lekciju materialiem, majasdarbiem un citai informacijai:http://www.de.dau.lv/matematika/

Parbaudes formas:• rakstiski majasdarbi,• rakstisks eksamens.

Kontroldarba un eksamena darba izpildes laika atlauts izmantotpersonıgos lekciju konspektus, docetaju sagatavotus metodiskos ma-terialus un visparıga rakstura macıbu gramatas. Visi uzdevumi ir


6

japilda pilnıgi patstavıgi.

Galıga vertejuma veidosanas:• majasdarbi - 70%,• eksamena darbs - 30%.

Literatura:• Montgomery, D.C. Design and Analysis of Experiments, Wiley;

6th edition, 2004.• Montgomery, D.C. Applied Statistics and Probability for Engi-

neers, John Wiley & Sons, 4th edition, 2006.• Dean, A., Voss, D. Design and Analysis of Experiments, Springer,

1999.• Walpole, R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., Ye Keying Probabi-

lity & Statistics for Engineers & Scientists, Pearson EducationInternational, 2002.

• Papildliteratura - augstaka matematika.• Internet resursi - www.wikipedia.org.


7

Lekcijas merkis:• apskatıt eksperimentu planosanas un analızes visparejos princi-

pus,

• atkartot statistikas pamatus.


8

2. Eksperimentu planosanas un analızespamatprincipi

2.1. Pamatjedzieni

Eksperiments- organizets tests vai testu virkne, kas satur merı-jumus, kura petamas sistemas vai procesa parametri tiek mainıti arnoluku izpetıt kada interesejosa lieluma izmainas un to celonus.

Noverojums - merıjumi bez merktiecıgas parametru mainas.

Eksperimenti lauj efektıvak veikt secinajumus.

2.1. piemers. Kada razotne ir noverots, ka viens darbagalds razo slik-tas kvalitates produkciju. Tam var but vairaki iemesli - darbagalda de-fekti, darbinieku kvalifikacija, paaugstinata temperatura dotaja vieta.Bez papildus eksperimenta sı noverojuma rezultatu nevar analizettalak.


9

Eksperimenti parasti tiek veikti, lai• petıtu sistemas vai procesus, kurus nav iespejams petıt ar ma-

tematiskas modelesanas palıdzıbu;

• eksperimentali pamatotu matematiskas modelesanas rezultatus.

Petamais process ir atkarıgs no sadiem lielumiem:• ievadobjekta (input) (biezi - materiala objekta), kas ir atkarıgs

no procesa parametriem - faktoriem x1, ..., z1, ...;

• izvadobjekta (output) (procesa rezultata parveidota ievadob-jekta), kuru raksturo parametri y1, ..., yk;

• kontrolejamiem faktoriem x1, ..., xn;

• nekontrolejamiem faktoriem z1, ..., zm.

Svarıgakie jautajumi, uz kuriem ir jadod atbilde pirms eksperi-menta planosanas:

• kads ir eksperimenta merkis?

• kadi rezultati ir jasasniedz?


10

• vai merki var sasniegt ar pieejamajiem resursiem?

Parasti eksperiments tiek veikts sadu iemeslu del:• noskaidrot kada izvadobjekta parametra variaciju (izmainu, iz-

kliedes) galvenos celonus;

• noskaidrot kontrolejamo parametru vertıbas, kas nodrosina iz-vadobjekta interesejosa parametra maksimalas vai minimalasvertıbas (optimizacija);

• salıdzinat izvadobjekta interesejosa parametra vertıbas ar daza-dam citu kontrolejamo parametru vertıbam;

• noskaidrot, kadi kontrolejamie faktori visspecıgak ietekme iz-vadobjekta parametrus;

• noskaidrot, ar kadam kontrolejamo parametru vertıbam izvadob-jekta parametru vertıbu izmainas ir minimalas;

• izveidot matematisku (kvantitatıvu) modeli nakotnes paredzesa-nai (citi eksperimenti, noverojumi, razosanas procesu iznakumiu.c.).


11

Planojot eksperimentus ir velams ieverot sadus principus:• ir velams apzinat visus iespejamos interesejosa izmerama lie-

luma variaciju celonus un veikt eksperimentus, kuros vienlaicıgimainas vairaki variaciju celonu parametru, tas parasti samazinaeksperimentu skaitu (faktorialie eksperimenti);

• ir velams planot eksperimentus ta, lai maksimizetu rezultatuprecizitati un minimizetu resursu paterinu (laiks un nauda);

• ir velams vienlaicıgi planot eksperimentu un eksperimenta re-zultatu analızi.


12

2.2. Pamatprincipi

Svarıgakas eksperimentu planosanas tehnologijas ir• salıdzinasana,

• replikacija,

• blokosana,

• randomizacija,

• ortogonalitate.

2.2.1. Salıdzinasana

Meramos lielums nav iespejams (un dazreiz nav nepieciesams) no-teikt absoluti precızi. Lietderıgak ir salıdzinat sava starpa vairakuseksperimentu rezultatus.


13

2.2.2. Replikacija

Replikacija ir vairaku neatkarıgu eksperimentu veiksana ar viena-diem kontrolejamiem un, iespejams, dazadiem nekontroleja-miem variaciju celonu parametriem.

2.2. piemers. 4 cilvekiem vienu reizi tiek dotas vienas un tas pasaszales - replikacijas piemers, jo cilveki ir dazadi un katram cilvekamzales tiek dotas vienu reizi.

1 cilvekam tiek dotas vienas un tas pasas zales 4 reizes - tas navreplikacijas piemers, jo eksperimenti nav neatkarıgi.

2.2.3. Blokosana

No vienas puses - variaciju celonu parametrus ir velams petıt plasosdiapazonos. No otras puses - ja parametru diapazoni ir plasi, tovertıbas ir nekontrolejamas un to ietekme nav petısanas fokusa, tadir gruti salıdzinat rezultatus.


14

Blokosana - noverojumu sadalısana grupas (blokos), kuras ekspe-rimentu parametri (kontrolejamie un nekontrolejamie) ir tuvi.

2.2.4. Randomizacija

Randomizacija (nejausinasana) - nejausıbas ieviesana eksperimen-tu planosana (nejausas eksperimentu kartıbas vai nejausu parametruizmantosana).

Randomizacija ir nepieciesama, lai izvairıtos no sistematiskas vaipersoniskas subjektivitates eksperimenta.

2.3. piemers. Medicıniska eksperimenta eksperimentators var apzi-nati vai neapzinati izveleties tadus cilvekus, kas varetu labak pamatotvelamos eksperimenta rezultatus.

Ir dotas 3 krasa un 4 veidu materiali. Ir janosaka, kurai krasai irısakais zusanas laiks. Ja eksperimenta katra krasa tiek pec kartasparbaudıta uz visiem materialiem, tad dazadu faktoru, piemeram,


15

eksperimentatora noguruma, atmosferas apstaklu vai materialu ıpasıbudel var rasties kludas.

Randomizacija ir velams izmantot nejauso skaitlu generatorus.

2.2.5. Ortogonalitate

Veicinot faktorialos salıdzinasanas eksperimentus, ir lietderıgi• reprezentet parametru kopas ka vektorus,

• dazados eksperimentos izveleties ortogonalus vektorus.bigskip

2.2.6. Eksperimentu analıze

Eksperimentu rezultati var tikt analizeti• grafiski,

• analıtiski, statistiski.


16

Musdienas eksperimentu rezultati tiek analizeti ar datorprogram-mu palıdzıbu - Excel, SPSS, MINITAB.


17

3. Eksperimentu planosanas vadlınijas

3.1. Eksperimentu planosanas, izpildes un analızesalgoritms

3.1.1. Problemas formulesana

Nepieciesams• precızi noformulet petamo problemu, apskatot visus aspektus,

• iesaistıt visas ieinteresetas puses;

• sagatavot konkretu jautajumu vai apaksproblemu sarakstu, kastiks petıti eksperimenta gaita,

3.1. piemers. Petot kadu razosanas kvalitates problemu, nepiecie-sams iesaistıt specialistus no vairakam nozarem - inzenieri, kvalitatesnodrosinataji, marketings, administratori u.c.


18

3.1.2. Kontrolejamo parametru - faktoru, to lımenu un di-apazonu izvele

Eksperimenta parametri (ievadparametri) - jebkuri parametri, kasvar izmainıt eksperimenta izvadparametrus vai eksperimenta proce-sus.

Parametri var but• diskreti,

• nepartraukti.

Eksperimentu parametri dalas divas grupas:• potencialie dizaina parametri, potencialie faktori (potential de-

sign/treatment factors) - tos eksperimentators var mainıt, toietekme ir petıjumu merkis;

• blakusparametros (nuisance factors).

Potencialie dizaina parametri dalas sıkak


19

• dizaina parametros, faktoros (design/treatment factors) - tietiek mainıti,

• konstantajos parametros- tie tiek uztureti konstanta lımenı,

• pielaujami mainıgos parametros- tiem tiek lauts mainıties no-teiktas robezas.

Blakusparametri dalas sıkak• kontrolejamos parametros - ar tiem nodarbojas blokosana, blo-

kosanas faktori,

• nekontrolejamos parametros (covariates) - tos nevar kontrolet,bet, iespejams, var merıt,

• troksna parametros - tos ir gruti kontrolet un merıt, tie varmainıties eksperimenta gaita, tiem apzinati lauj but mainıgiem,nebloke.

Nepieciesams• noteikt visus parametrus - sastadıt izsmelosu sarakstu,


20

• atdalıt potencialos faktorus un blakusparametrus,• sadalıt potencialos faktorus apaksgrupas,• sadalıt blakusparametrus apaksgrupas.

Pec paramatru klasifikacijas nepieciesams izveleties faktoru peta-mos diapazonus un lımenus.

Velams izmantot pec iespejas mazak faktoru un to lımenu skaitu.To noteiksanai ir jaizmanto teoretiskas zinasanas par petamo sistemuvai procesu un iepriekseja pieredze.

3.1.3. Izejas parametru noteiksana

Jaizvelas parametru, kas sniedz pietiekosi daudz informacijas parpetamo problemu.

Visbiezak izejas parametrs ir kadas merıjumu grupas videja vertıbaun/vai standartnovirze.


21

Ir janem vera merıjumu kluda - dizaina faktoru lımenu starpıbamir jabut pietiekosi lielam.

3.1.4. Eksperimenta plana (dizaina) izvele

Jarisina dazadi jautajumi par eksperimenta planu:• kas ir eksperimentala vienıba,

• jaizvelas eksperimenta plans/dizains- kartıba, kada eksperimen-talajam vienıbam tiek piekartoti faktoru lımeni,

• janosaka nepieciesamie merıjumi, eksperimentalas proceduras,

• replikaciju skaits,

• blokosanas veids,

• randomizacijas algoritms,

• eksperimentu secıba.


22

3.1.5. Eksperimenta izpilde

Eksperimenta izpildes laika ir nepieciesams sekot, lai viss notieksaskana ar planu.

Velams veikt piloteksperimentus, lai• parbaudıtu merıjumu prezicitati,

• papraktizetos.

3.1.6. Datu statistiska analıze

Datu analızei jaizmanto statistiskas metodes.

Ir daudz atbilstosas programmaturas - Excel, SPSS, MINITABu.c.


23

3.1.7. Secinajumi un rekomendacijas

Pec datu analızes var veikt sadas darbıbas:• jaizdara praktiski secinajumi,

• jaformule rekomendacijas,

• japrezente (velams, grafiski) ieprieksminetais,

• ja nepieciesams, var veikt otras paaudzes eksperimentus un se-cinajumu apstiprinasanas eksperimentus.

Petnieciska darbıba ir iteratıva - eksperimenti un to rezultatuteoretiska noformesana mainas cikliski. Vajadzetu planot eksperi-mentu seriju vai programmu.


24

3.2. Isa vesture

3.2.1. Lauksaimniecıbas era

R.A.Fisers (1920.-1930.gadi) izstradaja randomizacijas, replika-cijas un blokosanas principus, faktorialo dizainu, dispersiju analızi.Petıjumi tika veikti ar merki maksimizet lauksaimniecıbas produk-ciju.

Svarıgakas monografijas tika izdotas 1958.g un 1966.g.

3.2.2. Industriala era

Tika veikti petıjumi, kas atbilda rupnieciskas razosanas procesuspecifikai. Tika izstradata reakcijas virsmas (response surface) me-todologija (Box, Wilson). Petıjumi tika veikti ar merki maksimizetrupnieciskas razosanas produkciju.


25

3.2.3. Taguci era

Lauksaimniecıbas un industrialajas eras akcents tika likts uz videjovertıbu petısanu, jo eksperimenti bija versti uz produkcijas maksimi-zesanu vai resursu minimizesanu.

Japana G.Taguci vadıba tika veikti petıjumi, kas versti uz razo-sanas kvalitates un tas stabilitates paaugstinasanu - izejas parametrustandartnovirzes samazinasanu:

• lai padarıtu razosanas procesus stabilus attiecıba uz gruti kon-trolejamiem arejiem faktoriem,

• lai padarıtu produkciju stabilu attiecıba uz mainıgiem izejvieluparametriem,

• lai atrastu tadas parametru vertıbas, kas samazina standart-novirzes un panak velamo videjo vertıbu.

Taguci izstradaja frakcionalus (nepilnus) faktorialos dizainus, iz-mantoja ortogonalitati.


26

4. Statistikas pamati

4.1. Ievads

4.1.1. Pamatdefinıcijas

Eksperimentos parasti iegust vairakus merıjumus, kas var but• diskreti/kvalitatıvi (ja-ne, 0− 1, krasas),• nepartraukti/kvantitatıvi (reali skaitli).

Sıkak analizesim kvantitatıvos datus.

Termini:• statistiska rinda (dati sakartoti iegusanas kartıba),• variaciju rinda (dati sakartoti nedilstosa kartıba).

Variaciju rindux1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn

var raksturot divu tipu lielumiem:


27

• statistiskajiem raksturlielumiem,

• strukturas raksturlielumiem.

Svarıgakie statistiskie raksturlielumi:• (aritmetiska) videja vertıba

x =x1 + ... + xn

n=

∑ni=1 xi

n,

• dispersija

σ2 =(x1 − x)2 + ... + (xn − x)2

n=

∑ni=1(xi − x)2

n,

• standartnovirze σ =√

σ2,

• variacijas koeficients

V =σ

x· 100%.

Svarıgakie strukturas raksturlielumi:


28

• relatıva biezuma funkcija - noteikta intervala esosu rindas ele-mentu skaits vai relatıvais biezums, specialgadıjums - elementuskaits ar noteiktu vertıbu,

• kumulatıva (uzkrata) biezuma funkcija

xi → i

n,

• 100k procentu procentıles funkcija pk - variaciju rindas elements,kuram kumulatıvais biezums pirmo reizi parsniedz k,

• kvartıles (quartiles):1.kvartıle - p0.25, 2.kvartıle (mediana) - p0.5,3.kvartıle - p0.75,

• starpkvartılu diapazons (interquartile range, IQR) -

p0.75 − p0.25,

• moda - visbiezak sastopama vertıba.

4.1. piezıme. SPSS → Analyze → Descriptive Statistics → Explore


29

4.1.2. Datu reprezentacija

Var izmantot sadus datu reprezentacijas veidus:• ”zaru un lapu diagramma” (stem-and-leaf diagram)

• histogramma (relatıva/parasta un kumulatıva),

• ”kastes un usu diagramma” (box-and-whiskers diagram)- kasteir starpkvartılu diapazons, usas ir no mazakas/lielakas vertıbas,kas ir intervala 1.5 · IQR, paradıta mediana.

4.2. piezıme. SPSS → Graphs → Interactive.SPSS → Analyze → Descriptive Statistics → Explore

4.1.3. Varbutıbu sadalıjumi

Jaatkarto varbutıbu teorijas termini:• varbutiska telpa (Ω, σ, P ), diskretas un nepartrauktas,

• gadıjuma lielums ξ : Ω → R.


30

Gadıjuma lieluma ξ varbutıbas sadalıjuma funkcija

Fξ(x) = P (ξ ≤ x).

Gadıjuma lieluma ξ varbutıbas blıvuma funkcija p(x):• ja ξ ir diskrets gadıjuma lielums, tad

p(x) = P (ξ = x) un∑

i

p(xi) = 1.

• ja ξ ir nepartraukts gadıjuma lielums, tad

p(x) = F ′(x) un F (x) =∫ x

−∞p(t)dt un

∫ +∞

−∞p(t)dt = 1.

Ja Φ(x1, ..., xm) ir m argumentu funkcija, tad var definet gadıjumalielumu Φ(ξ1, ..., ξm).

Var definet m dimensiju gadıjuma lielumu (ξ1, ..., ξm).


31

Gadıjuma lieluma ξ matematiska cerıba (pirmas kartas moments)µ = E(ξ) = ξ (videja vertıba ilgtermina):

• ja ξ ir diskrets gadıjuma lielums, tad

µ =∑

i

xip(xi).


µ =∫ +∞

−∞tp(t)dt.

Gadıjuma lieluma ξ dispersija (otras kartas moments) σ2 = D(ξ) =E[(ξ − ξ)2]:

• ja ξ ir diskrets gadıjuma lielums, tad

σ2 =∑

i

(xi − x)2p(xi).


32


µ =∫ +∞

−∞(t− ξ)2p(t)dt.

Gadıjuma lieluma ξ augstakie momenti:• asimetrija (tresas kartas moments)

As(ξ) =

∫ +∞−∞ (t− µ)3f(t)dt

D(ξ)3/2,

• ekscess (ceturtas kartas moments)

Ex(ξ) =

∫ +∞−∞ (t− µ)4f(t)dt

D(ξ)2− 3.

Par gadıjuma lieluma p-kvantili xp sauc tadu x ∈ R, kas apmierinavienadojumu

P (ξ ≤ x) = p vai Fξ(x) = p vai∫ x

−∞f(t)dt = p.


33

Kvartiles define tapat ka variaciju rindas gadıjuma - x0.25, x0.5, x0.75.

Divus gadıjuma lielumus ξ1, ξ2 sauc par neatkarıgiem, ja

P (ξ1 ≤ x, ξ2 ≤ y) = P (ξ1 ≤ x)P (ξ2 ≤ y).

Definesim

E[(ξ1 − ξ1)(ξ2 − ξ2)] = Cov(ξ1, ξ2).

Pamatıpasıbas:• E(ξ1 + ξ2) = E(ξ1) + E(ξ2),

• D(ξ1 + ξ2) = D(ξ1) + D(ξ2) + 2Cov(ξ1, ξ2),

• ja ξ1, ξ2 ir neatkarıgi, tad

Cov(ξ1, ξ2) = 0,


34

D(ξ1 + ξ2) = D(ξ1) + D(ξ2),E(ξ1ξ2) = E(ξ1)E(ξ2),

• E(cξ) = cE(ξ),

• D(cξ) = c2D(ξ),

• E(ξ2) = E(ξ)2 + D(ξ).

Par gadıjuma lieluma ξ normeto sadalıjumu sauc

ξ∗ =ξ − E(ξ)√

D(ξ).

Var redzet, ka E(ξ∗) = 0 un D(ξ∗) = 1.

Svarıgi specialgadıjumi:• normalais sadalıjums

N(µ, σ2) =1

σ√

2πe−

12 ( x−µ

σ )2 ,

• standarta normalais sadalıjums - N(0, 1).


35

Ja ξ ∼ N(µ, σ2), tad z = ξ−µσ ∼ N(0, 1).

4.1. teorema. (Centrala robezteorema) Gadıjuma lielumi ξ1, ..., ξn irneatkarıgi ar vienadam sadalıjuma funkcijam, kuriem E(ξi) = µ unE(ξi) = σ2. Definesim ρn = ξ1 + ... + ξn un ζn = ρn−nµ√

nσ2 . Tad

limn→∞

ζn ∼ N(0, 1)

sada nozıme. Ja Fn(x) ir gadıjuma lieluma ζn sadalıjuma funkcija unΦ(x) ir N(0, 1) sadalıjuma funkcija, tad

limn→∞

Fn(x)Φ(x)

= 1.

Svarıgakie fakti par normalo sadalıjumu:• ξ ∼ N(µ, σ2) =⇒ aξ + b ∼ N(aµ + b, a2σ2),

• ξi ∼ N(µi, σ2i ) =⇒ ξ1 ± ξ2 ∼ N(µ1 ± µ2, σ

21 + σ2

2).


36

4.3. piezıme. Dota x vertıba, atrast Fξ(x) vertıbu, piemeram, stan-darta normalam sadalıjumam:

SPSS (ievadıt stura suna jebkuru skaitli)→ Transform→ ComputeVariable → (nosaukt mainıgo jebkura varda)→ CDF& NoncentralCDF→ Cdf.Normal → (ievadıt parametrus).

Dota Fξ(x) vertıba, atrast x vertıbu, piemeram, standarta norma-lam sadalıjumam:

SPSS (ievadıt stura suna jebkuru skaitli)→ Transform → Com-pute Variable → (nosaukt mainıgo jebkura varda)→ Inverse DF→Idf.Normal → (ievadıt parametrus).

Biezi vien ir svarıgi risinat sadas problemas standarta normalajamsadalıjumam z ∼ N(0, 1): atrast tadas z-vertıbas z− un z+, laiF (z−) = α/2 un F (z−) = 1− α/2. Citiem vardiem, sakot,∫ z+

z−f(t)dt = α.

Redzam, ka z− = −z+.


37

4.1.4. Statistiskie modeli

Par kada lieluma statistisko modeli sauc ta izteiksanu vienkarsugadıjuma lielumu (ar zinamiem varbutıbu sadalıjumiem) funkcijasforma.

4.1. piemers. ξ = α + β, kur α ∼ N(µ1, σ21), β ∼ N(µ2, σ2).

Eksperimentu un noverojumu rezultatu statistiska analıze -• statistisko modelu izstrade,

• pamatosana,

• to parametru noteiksana.


38

4.2. Izlases un to raksturlielumi

Gadıjuma lieluma ξ visu lielumu kopu sauc par generalkopu.

Gadıjuma lieluma ξ dazu (n) izmerıtu vai noverotu lielumu kopusauc par izlasi.

Statistika (inferatıva statistika, inferential statistics) peta, ka iegutinformaciju par gadıjuma lielumu, ja ir zinama ta izlase.

Dazas no statistikas problemam:• sadalıjuma funkcijas noteiksana, dota gadıjums lieluma ξ

izlase, tuvinati jaatrod sadalıjuma funkciju Fξ(x) vai sadalıjumablıvumu,

• sadalıjuma funkcijas parametru noteiksana, dota gadıjumslieluma ξ izlase, ir zinams Fξ(x) veids:

Fξ(x) = F (x, θ1, ..., θk),

tuvinati jaatrod lielumi θ1, ..., θk,


39

• statistisko hipotezu parbaude, dota gadıjuma lieluma ξ izlase,pienemam, ka ir speka noteikti apgalvojumi par Fξ(x) vai Fξ(x) =F (x, θ1, ..., θk) parametriem θ1, ..., θk, parbaudam, vai izlasesdati nav pretruna ar pienemumiem.

Sakartotai n lielumu izlasei atbilst n gadıjuma lielumu X1, X2, ..., Xn

virkne ar sadam ıpasıbam:• Xi ir neatkarıgi gadıjuma lielumi,

• ∀ i Xi sadalıjuma funkcijas ir vienadas un sakrıt ar ξ sadalıjumafunkciju.

Par statistiku sauc gadıjuma lielumu virknes X1, ..., Xn funkciju(arı gadıjuma lielumu).

Svarıgakas statistikas:• izlases videja vertıba

X =X1 + ... + Xn

n=

∑ni=1 Xi

n,


40

• izlases dispersija

S2 =(X1 −X)2 + ... + (Xn −X)2

n− 1=

∑ni=1(Xi −X)2

n− 1.

Par gadıjuma lieluma ξ parametru θ sauc jebkuru ta sadalıjumafunkcijas raksturlielumu (piemeram, momentus - videjo vertıbu, dis-persiju u.c.).

Par θ novertejumu (estimator, punktveida novertejums, pointwise

estimator) θ sauc jebkuru statistiku, ko izmanto, lai novertetu θ.

θ novertejumu θ sauc par nenobıdıtu (unbiased), ja

E(θ) = θ.

4.2. piemers. X =Pn

i=1 Xi

n ir nenobıdıts novertejums parametram


41

E(ξ), jo

E(X) = E(∑n

i=1 Xi

n) =

1n

n∑

i=1

E(Xi) =1n· nE(ξ) = E(ξ).

Bet arı X1+X22 un pat Xi ir nenobıdıti novertejumi.

4.3. piemers. Izlases dispersija S2 =Pn

i=1(Xi−X)2

n−1 ir nenobıdıts dis-persijas D(ξ) novertejums:

E(S2) = E[ 1n− 1

n∑

i=1

(Xi −X)2]

=1

n− 1E

[( n∑

i=1

X2i

)− nX

2]

=

=1

n− 1

[ n∑

i=1

(E(ξ)2 + D(ξ)

)− n

(E(ξ)2 +

1n

D(ξ))]

=

=1

n− 1(n− 1)D(ξ) = D(ξ).

θ novertejumu θ sauc par efektıvu (minimum variance unbiasedestimator), ja


42

• tas ir nenobıdıts - E(θ) = E(ξ),

• ta dispersija D(θ) ir minimala iespejama.

4.4. piemers. Salıdzinasim divus E(ξ) novertejumus - X un X1, tieabi ir nenobıdıti:

D(X1) = D(ξ),

D(X) = D[∑n

i=1 Xi

n

]=

1n2

n∑

i=1

D(Xi) =

1n2· nD(ξ) =

1n

D(ξ) =1n

D(X1).

Redzam, ka novertejumam X dispersija ir mazaka, tapec tas irprecızaks.

Par θ novertejuma θ standartkludu sauc θ standartnovirzi√

D(θ).


43

Par θ novertejuma θ videjo kvadratisko novirzi MSE(θ) sauc lie-lumu E[(θ − θ)2].

Ja θ ir θ novertejums, tad

MSE(θ) = E[(θ − θ)2] = E[(θ − θ + θ − θ)2] = D(θ) + (θ − E(θ))2.

Lietderıgi ir izmantot novertejumu ar mazako MSE.

4.5. piemers. Ir divi θ novertejumi θ1 un θ2, kuriem E(θ1) = θ,E(θ2) = 1.1θ, D(θ1) = 60, D(θ2) = 50. Redzam, ka

MSE(θ1) = 60 + 0 = 60,

MSE(θ2) = 50 + (0.1θ)2.

Ja 60 > 50 + 0.01θ2 =⇒ θ <√

1000 ≈ 31, tad jalieto θ2.


44

4.2.1. Maksimalas ticamıbas metode

Ir dots nepartraukts gadıjums lielums ξ ar sadalıjuma blıvumuf(x, θ) un izlase X1, ..., Xn. Uzdevums - atrast pec iespejas precızakuθ novertejumu.

Definesim ticamıbas funkciju

L(θ) = f(x1, θ)f(x2, θ)...f(xn, θ).

Meklesim tadu θ, kas maksimize L(θ) =⇒∂L

∂θ= 0.

4.6. piemers. X1, ..., Xn ir neatkarıgi gadıjuma lielumi ar normalusadalıjuma funkciju - Xi ∼ N(µ, σ2). Atradısim statistikas µ un σ


45

novertesanai ar maksimalas ticamıbas metodi:

L =1

(2πσ2)n/2exp

[− 1

2

n∑

i=1

(xi − µ

σ

)2].

Iegusim divus vienadojumus:

∂L

∂µ= 0 ⇐⇒

n∑

i=1

xi − nµ = 0,

∂L

∂σ= 0 ⇐⇒

n∑

i=1

(xi − µ)2 − nσ2 = 0.

4.2.2. Novertejuma brıvıbas pakapju skaits

Par kada sadalıjuma funkcijas parametra θ novertejosas statistikasθ brıvıbas pakapju skaitu ν sauc veselu skaitli, kas ir vienads ar

• savstarpeji neatkarıgo gadıjuma lielumu skaitu, no kuriem iratkarıga statistika θ vai


46

• izmantoto gadıjuma lielumu skaita un starprezultatu starpıbu.

Svarıgako statistiku brıvıbas pakapju skaiti:

• X =Pn

i=1 Xi

n - n,

• S2 =Pn

i=1(Xi−X)2

n−1 - n−1, jo gadıjuma lielumus X1, ..., Xn saistanosacıjums

X =∑n

i=1 Xi

n.

4.2.3. Statistikas sadalıjums

Ja X1, X2, ..., Xn ir izlase un φ(X1, ..., Xn) ir statistika - gadıjumalielums, tad var petıt sıs statistikas sadalıjuma funkciju Fφ(x) vaifφ(x).

4.2. teorema.


47

1. Ja X ir nepartraukts gadıjuma lielums ar sadalıjuma funkcijuf(x), ϕ ir bijektıva funkcija, ϕ−1 = ψ un Y = ϕ(X), tad Ysadalıjuma funkcija

g(y) = f(ψ(y))|ψ′(y)|.2. Ja X ir nepartraukts gadıjuma lielums ar sadalıjuma funkciju

f(x), ϕ ir funkcija, kurai eksiste m inversas funkcijas ψ1, ..., ψm,Y = ϕ(X), tad Y sadalıjuma funkcija

g(y) =m∑

i=1

f(ψm(y))|ψ′i(y)|.

4.2.4. Svarıgako statistiku sadalıjuma funkcijas

Svarıgakais un biezak sastopamais sadalıjums - normalais sadalı-jums.

Parskaitısim dazus svarıgakos sadalıjums.


48

Videjas vertıbas sadalıjums:• X1, ..., Xn ir neatkarıgi normali sadalıjumi N(µ, σ2),

• X = X1+...+Xn

n .

Tad X ∼ N(µ, σ2/n).

Seko, kaX − µ

σ/√

n∼ N(0, 1).

Divu videjo vertıbu starpıbas sadalıjums

• X11, ..., X1n ir neatkarıgi normali sadalıjumi N(µ1, σ21),

• X21, ..., X2m ir neatkarıgi normali sadalıjumi N(µ2, σ22),

• X1 = X11+...+X1n

n ,

• X2 = X21+...+X2n

n .


49

TadX1 −X2 ∼ N(µ1 − µ2, σ

21/n + σ2

2/m).Seko, ka

(X1 −X2)− (µ1 − µ2)√σ2

1/n + σ22/m

∼ N(0, 1)

χ2-sadalıjumsk normalu neatkarıgu N(0, 1) gadıjuma lielumu z1, ..., zk kvadratu

summaχ2

k = z21 + ... + z2

k,

χ2k-sadalıjums ar k brıvıbas pakapem.

Seko, ka ja S2 =Pn

i=1(Xi−X)

n−1 , kur Xi ∼ N(µ, σ2), tad

(n− 1)S2

σ2∼ χ2

n−1.

t-sadalıjums


50

ja z ∼ N(0, 1) un s2k ∼ χ2

k, tad gadıjuma lieluma

tk =z√s2

k

k

sadalıjumu sauc par t-sadalıjumu ar k brıvıbas pakapem,.

Seko, ka ja X1, ..., Xn ir neatkarıgi normali sadalıjumi N(µ, σ2),tad

T =X − µ

S/√

n∼ tn−1.

F -sadalıjumsJa u ∼ χ2

n un v ∼ χ2m ir divi neatkarıgi gadıjuma lielumi, tad

gadıjuma lieluma u/nv/m sadalıjumu sauc par F -sadalıjumu ar n skaitıtaja

brıvıbas pakapem un m sauceja brıvıbas pakapem, apzıme ar Fn,m.

Seko, ka ja S21 un S2

2 ir n un m lielu izlasu dispersijas, kas ir nemtas


51

no generalkopam ar dispersijam σ21 un σ22, tad

S21/σ2

1

S22/σ2

2

∼ Fn−1,m−1.

4.4. piezıme. Dota x vertıba, atrast Fξ(x) vertıbu, piemeram, t, χ2

vai F sadalıjumam.SPSS (ievadıt stura suna jebkuru skaitli)→ Transform→ Compute

Variable → (nosaukt mainıgo jebkura varda)→ CDF& NoncentralCDF→ Cdf.Nosaukums → (ievadıt parametrus).

Dota Fξ(x) vertıba, atrast x vertıbu, piemeram, t, χ2 vai F sada-lıjumam.

SPSS (ievadıt stura suna jebkuru skaitli)→ Transform → Com-pute Variable → (nosaukt mainıgo jebkura varda)→ Inverse DF→Idf.Nosaukums → (ievadıt parametrus).


52

4.2.5. Normala sadalıjuma pienemuma parbaude

Lai noteiktu, vai dota izlase apmierina normala sadalıjuma likumu,var izmantot normala sadalıjuma parbaudi (normal probability plot)vai ta variaciju Q−Q plot.

Normala sadalıjuma parbaude:1. atliek punktus (xi,

i−0.5n ) vai (Φ(xi), i−0.5

n ), kur xi ir normets,

2. salıdzina ar taisni, kas atbilst N(0, 1).

4.7. piemers. SPSS→ Analyze→ Descriptive Statistics→ P-P plotsvai Q-Q plots.

4.2.6. Statistiskie intervali

Ir dots nepartraukts gadıjums lielums ξ ar sadalıjuma blıvumuf(x, θ) un izlase X1, ..., Xn.


53

Pienemsim, ka ir izveleta statistika θ - parametra θ novertejums.Ta ka θ ir gadıjuma lielums, tad ta aprekinasana vienai izlasei dodtuvinatu θ vertıbu. Ir velams novertet θ precizitati.

Pamatideja - aizvietot θ vertıbu ar intervalu - statistisko intervalu,kura ar lielu varbutıbu var atrasties nezinama parametra θ precızavertıba.

Izmanto 3 veidu statistiskos intervalus:• ticamıbas intervals - nosaka robezas, kas satur ısto θ vertıbu ar

noteiktu varbutıbu,

• prognozesanas intervals - nosaka robezas, kas satur noverojamoθ vertıbu ar noteiktu varbutıbu,

• tolerances intervals - nosaka robezas, kas satur noteiktas gene-ralkopas dalas θ vertıbu ar noteiktu varbutıbu,

100(1− α) ticamıbas intervali:• divpusejie intervali [u, l]: P (u ≤ θ ≤ v) = 1− α,


54

• apaksejais vienpusejais intervals [v, +∞): P (θ ≤ v) = 1− α,

• augsejais vienpusejais intervals (−∞, u]: P (u ≤ θ) = 1− α.

Divpusejo intervalu robezas nav noteiktas viennozımıgi. Ir jaizmantopapildus nosacıjumi - simetrija:

P (u ≤ θ ≤ v) = 1− α Ã

P (v < θ) = α2

P (θ < u) = α2 .

Ticamıbas intervala noteiksanas algoritms:1. Atrast gadıjuma lieluma θ sadalıjuma funkciju, normet to.

2. Atrisinat intervalu robezu noteiksanas vienadojumus.

4.8. piemers. ξ ∼ N(µ, σ2), θ = µ, θ = X.Ir zinams, ka X ∼ N(µ, σ2

n ).


55

Pariesim uz normeto sadalıjumu

Z =X − µ

σ√n

=(X − µ)

√n

σ∼ N(0, 1).

Apzımesim gadıjums lieluma Z p-kvantiles funkciju ar xp:

P (Z < xp) = p.

P (Z < u) =α

2=⇒ u = xα

2,

P (v < Z) =α

2=⇒ v = x1−α

2,

Apzımesim xα2→ −zα

2, tad x1−α

2→ zα

2, jo N(0, 1) sadalıjuma

blıvuma funkcija e−x22 ir para funkcija.

Redzam, ka

−zα2

< Z < zα2

=⇒ −zα2

<(X − µ)

√n

σ< zα

2=⇒


56

X − zα2

σ√n

< µ < X + zα2

σ√n

.

Cik lielam ir jabut n, lai ticamıbas intervals neparsniegtu dotulielumu 2l:

zα2

σ√n≤ l =⇒ n ≥

(zα2σ

l

)2

.

4.5. piezıme. SPSS (ievadıt pirmaja kolonna izlasi)→ Analyze →Descriptive Statistics (nosutıt izlases vardu uz Dependant List box)→ Statistics→ (definet 1− α, pec noklusesanas 100(1− α)% = 95%)→ Continue → OK.

100(1 − α) prognozesanas intervals - nosaka robezas, kas saturnoverojamo θ vertıbu ar noteiktu varbutıbu.

Novertesim viena noverojuma X0 intervalu, ja ir zinami vairakiieprieksejie noverojumi X1, ..., Xn, ∀i Xi ∼ N(µ, σ2).


57

Petısim gadıjuma lielumu X0 −X ∼ N(0, σ2 + σ2/n). Seko, ka

Z =X0 −X

σ√

1 + 1/n∼ N(0, 1).

Rıkojoties analogiski ieprieksejam gadıjumam, no nosacıjuma

P (u ≤ Z ≤ v) = 1− α

iegustam, ka

x− zα/2σ√

1 + 1/n ≤ x0 ≤ x + zα/2σ√

1 + 1/n.


58

4.3. Hipotezu parbaude

4.3.1. Pamatdefinıcijas

Statistiska hipoteze - pienemums vai apgalvojums par generalkopassadalıjuma funkciju vai tas parametriem.

Pamatjedzieni:• nulles hipoteze H0 - pamatpienemums, visbiezak divu lielumu

vienadıba, ta ir janoraida vai nav janoraida,

• alternatıva hipoteze H1 - parasti nulles hipotezes noliegums,

• 1.veida kluda - nulles hipotezes noraidısana gadıjuma, kad ta irpareiza,

• 2.veida kluda - nulles hipotezes nenoraidısana, kad ta ir aplama,tiek izmantota, ja alternatıva hipoteze ir konkreta,

• α (nozımıbas lımenis) - 1.veida kludas varbutıba, 1−α - drosıbaslımenis,

• β - 2.veida kludas varbutıba, 1− β - jauda,


59

• P -vertıba - mazaka α vertıba, ar kuru tiek noraidıta nulleshipoteze,

• testa statistika - statistika, kas tiek izmantota, lai pienemtulemumu par hipotezi,

• kritiskais intervals - statistikas vertıbu kopa, kas liek noraidıtnulles hipotezi, gali - kritiskas vertıbas.

4.3.2. α-vertıbas pieeja

Ja H0 ir forma θ = θ0, tad H0 ir janoraida ar nozımıbas lımeni α,ja θ 100(1− α)% ticamıbas intervals satur θ0.

Hipotezu parbaudes algoritms:1. Formulet hipotezes H0 (velams, vienadıbas forma) un H1.

2. Izveleties α (visbiezak, 0.05 vai 0.01).

3. Izveleties testa statistiku (parasti normetu), atrast tas sadalıju-mu, atrast testa statistikas vertıbu.


60

4. Atrast kritisko intervalu.

5. Noraidıt H0, ja testa statistikas vertıba ir kritiskaja intervala.

4.9. piemers. 100 cilveku videjais dzıves ilgums ir 68.5 gadi, stan-dartnovirze σ = 6.6 gadi. Vai var apgalvot ar 95% varbutıbu, kavidejais dzıves ilgums ir lielaks ka 66 gadi?

H0 : µ = µ0 = 66,H1 = µ > µ0 = 66,α = 0.05Testa statistika: z = X−µ0

σ/√

n∼ N(0, 1).

Nosacıjums: P (X−µ0σ/√

n> v) = 1− α.

Kritiskais apgabals: v = zα. X > µ0 + zασ√n

= 66+ 1.09·6.610 = 66.72.

Seko, ka H0 ir janoraida, videjais vecums ar 95% varbutıbu irlielaks neka 66.

4.10. piemers. SPSS→ Analyze → Descriptive Statistics → Explore→ (novirzıt mainıga nosaukumu uz Dependent List) → Statistics


61

(ievadıt vajadzıgo 100(1− α)) vertıbu → OK.

4.3.3. P -vertıbas pieeja

P -vertıba - mazaka α vertıba, ar kuru ir janoraida H0 dotajaiizlasei.

Lai atrastu P vertıbu, ir jaatrod integrali no dotas statistikassadalıjuma blıvuma pa intervaliem, kurus ierobezo testa statistikasvertıba un hipotezes nosacıjumi.

4.11. piemers. Ja Z ∼ N(0, 1) un izlases Z-vertıba ir z0, tad

P =∫ −z0

−∞ f(t)dt +∫ +∞

z0f(t)dt = 2(1− Φ(z0)) - divpusejam testam

P =∫ z0

−∞ f(t)dt = Φ(z0) - apaksejam testamP =

∫ +∞z0

f(t)dt = 1− Φ(z0) - augsejam testam.

Parbaudot hipotezes, ir lietderıgi noteikt arı P -vertıbu.


62

5. 1.majasdarbs

1.1 Dots, ka Z ∼ N(0, 1). Atrodiet(a) P (z ≥ 0.33);(b) P (z ≤ 0.33);(c) u tadu, ka P (z ≥ u) = 0.33.

1.2 100 studentiem tika merıts augums, izradıjas, ka videja vertıbair 175 cm, standartnovirze - 12.5 cm. Pienemot, ka augumusadalıjums ir normals, atrodiet 97% ticamıbas intervalu stu-denta augumam.

1.3 (Montgomery) Skidra mazgasanas lıdzekla standarta viskozitateiir jabut vienadai ar 800 (nosacıtas vienıbas). Standarta novirzeσ = 25, sadalıjums ir normals. Tiek veikti eksperimenti ar 16paraugiem, izradas, ka viskozitates videja vertıba ir 812.(a) Formulejiet hipotezes par videjam vertıbam.(b) Parbaudiet hipotezes ar α = 0.05.(c) Atrodiet P -vertıbu.


studiju kurss eksperimentu pl¯anoˇsana un anal¯ıze 1.lekcija · p¯arbaud¯ıta uz visiem...

Documents