Struktura ispita

4 zadatka – 60 poena (u januaru i februaru 70)(da bi se ispit položio potrebno je uraditi 2 zadatka “za prolaz”, iz svake grupe po jedan)

Diskretni signali i sistemi

• Definisanje elementarnih signala – Jedinični

– Jedinični odskočni

– Realni eksponencijalni niz

– Kosinusni i sinusni nizovi (periodičnost

diskretnih sinusnih signala )

– Predstavljanje nizova preko jediničnog impulsa

• Osnovne operacije nad nizovima

(sabiranje, množenje, množenje

konstantom i pomeranje)

Sistemi

• Linearnost

• Vremenska invarijantnost

• Stabilnost

• Kauzalnost

• Definisanje i dokazivanje ovih osobina i

prepoznavanje za dati sistem

• Definisanje LTI

LTI sistemi

• Veza između ulaza i izlaza

• Linearna konvolucija definisanje i

praktično izračunavanje

• Stabilnost i kauzalnost

• Linearna diferencna jednačina koja vezuje

ulaz i izlaz diskretnog sistema

Konvolucija

• U vremenskom domenu – množenje u

frekvencijkom

• U frekvencijkom domenu – proizvod dva

niza u vremenskom domenu- periodična

konvolucija

• Parsevalova teorema definisanje i

značenje

Furijeova transformacija

• Odziv LTI sistema na kompleksni eksponencijalni signal

• Definicija direktne i inverzne FT

• Osnovne karakteristike FT dikretnih signala

• Osnovne osobine, periodičnost, parnost i neparnost, osobine FT realnih nizova

• Pomeraj u vremenskom domenu

• Pomeraj u frekvencijskom domenu

• Diferenciranje

Z transformacija

• Definicija

• Interpretacija u kompleksnoj ravni i veza sa FT

• Oblast konvergencije kauzalnog i antikauzalnog

niza

• ZT elementarnih nizova, jedičnog,

eksponecijalnog

• Osobine (linearnost, pomeraj u vremenu,

množenje eksponencijalnim nizom, množenje

sa n, inverzija u vremenu)

Konvolucija u z domenu

• Konvolucija nizova

• Kompleksan konvoluciona teorema

• Parsevalova teorema

Digitalna obrada kontinualnih

signala

• Matematički opis procesa diskretizacije

• Opisivanje procesa C/D i D/C konverzije

• Predstavljanje procesa konverzije u frekvencijkom domenu

• Teorema o odabiranje

• Rekonstrukcija frekvencijski ograničenog signala iz njegovih odbiraka

• Bloko šema realnog siatema za diskretizaciju i rekonstrukciju signala

Diskretna Furijeova transformacija - DFT

• Definicija

• Veza između Furijeiove transformacije

diskretnog signala i DFT periodično

produženog signala

• Prikaz DFT preko rotacionih faktora

• Veza DFT-a i drugih transformacija

Osobine DFT

• Linearnost, periodičnost

• DFT realnog niza

• Ciklični pomeraj u vremenskom i frekvencijskom domenu

• Ciklična konvolucija i njena veza sa linearnom konvolucijom

• Analiza signala primenom DFT- blok šema spektralnog analizatora sa objašnjenjem uloge svakog elementa

Brza Furijeova transformacija

• Osnovni principi na kojima počivaju FFT

algoritmi

• Algoritam sa razbijanjem po vremenu DIT

• Algoritam sa razbijanjem po frekvenciji DIF

• Struktura osnovnog leptira

• Struktura za zadatu dužinu niza i zadati niz,

izračunavanje DFT koeficijenata

• Izračunavanje broja potrebnih operacija

množenja i sabiranja u konkretnim slučajevima

LTI sistemi funkcija prenosa i

frekvencijski odziv

• Definisanje funkcije prenosa i frekvencijskog odziva

• Funkcija pronosa preko diferencnih jednačina

• Nule i polovi funkcije prenosa i analiza njihovog uticaja na frekvenciijsku karakteristiku sistema

• Satbilnost i kauzalnost definisane preko položaja polova

Idealni filtri

• Definicija preko frekvencijskog odziva

• Impulsni odziv idelanog filtra

• Fazna karakteristika, nulta ili linearna

• Ostvarljivost

• Idelani diferencijatori i Hilbertov transformator

• Funkcija prenosa linerne faze

• Karakteristike ALL PASS filtra, položaj nula i polova

• Karakteristike funkcije prenosa minimalne faze

IIR filtri

• Specifikacije i osnovne definicije

• Osnovne odlike klasičnih funkcija prenosa

analognih filtara

• Analogno – digitalne transformacije

– Impulsno invarijantna transformacija

– Bilinearna transformacija

FIR filtri

• Specifikacije

• FIR filtri linerne faze (4 tipa filtara)

• Osnovne metode projektovanja

– Metoda projektovanja primenom prozora

• Definisanje i izračunavanje frekvencijskog i

impulsnog odziva idelanih filtara

– Medoda zasnovana na frekvencijskom

odabiranju

Realizacija digitalnih filtara

• Realizacione strukture FIR filtara

• Realizacione strukture IIR filtara

Sistemi sa više brzina

• Downsampling, decimacija

• Upsampling, interpolacija

1. Kom tipu filtra odgovara prikazani

raspored nula i polova sa slike?

2. Kog je reda filtar?

3. Kolika je dužina impulsnog odziva

filtra?

4. Da li su svi koeficijenti impulsnog

odziva realni?

5. Da li se radi o filtru minimalne faze?

6. Da li se radi o filtru linearne faze?

0.5e+3jπ/4

0.5e -3jπ/4

2e+3jπ/4

2e - 3jπ/4

5

Im

Re

1

1

Ispitni zadaci

Impulsni odziv kauzalnog sistema dat sa:

Odrediti funkciju prenosa ovog sistema.

Odrediti nule i polove funkcije prenosa i nacrtati ih u zravni.

Ispitati stabilnost sistema datog impulsnog odziva.

Na osnovu funkcije prenosa napisati ulazno-izlaznu relaciju predstavljenu diferencnom jednačinom.

Ako je ulazni signal u sistem

odrediti 5 prvih članova izlaznog niza.

1, za 0,1,2,3

0, za svako drugo

nx n

n

0.8 1 0.5 2n nh n u n u n

1 2

1 2 2

1 1

1 2 3 2

1 2

0.8 1 0.5 2

0.8 0.5

0.8 0.5

1 0.8 1 0.5

0.8 0.65 0.2 0.8 0.65 0.2

0.8 0.51 1.3 0.4

0.8 1 0.65 2 0.2 3 1.3 1 0.4

n n

n

n

n n n n

n n

h n u n u n

H z h n z

H z z z

z zH z

z z

z z z z zH z

z z zz z

y n x n x n x n y n

2y n

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 0.4063

Y: -0.2915

X: 0.4063

Y: 0.2915

Real Part

Imagin

ary

Part

• Dat je kontinualni signal x(t), pri čemu je x(t) = 0 za t < 0. Formirati diskretni signal {x[n]} uniformnim odabiranjem signala x(t).

• Prikazati idealizovanu blok šemu modela analizatora spektra kontinualnog signala pomoću diskretne Furijeove transformacije (DFT). Objasniti ulogu svakog elementa.

• Da li će analizator spektra iz tačke (b) tačno detektovati sinusnu komponentu u kontinualnim signalima

– x(t) = 2sin(22550t) + n(t)

– x(t) = 2sin(23500t) + n(t), gde je n(t) Gausov šum.

• Frekvencija odabiranja je 20000 Hz, a dužina DFT niza N=400 Hz. Obrazložiti odgovor. Šta je “curenje spektra”?

• Koliko je kompleksnih množenja i sabiranja potrebno za izračunavanje DFT niza. Na koji način se može u ovom slučaju smanjiti potreban broj računskih operacija i koliki je taj broj?

IIR filtara) Navedite analogno-digitalne

transformacije koje se koriste za

projektovanje digitalnih IIR filtara na

osnovu analognog prototip filtra.

b) Navedite tipične probleme za

svaku od transformacija.

c) Objasnite primenljivost svake od

transformacija pri projektovanju

različitih tipova filtara (propusnik

niskih frekvencija, propusnik

opsega, nepropusnik opsega

propusnik visokih frekvencija).

Projektovan digitalni IIR filtar ima

raspored nula i polova kao na slici.

d) Odrediti red projektovanog filtra.

Grubo proceniti granice propusnog

opsega filtra.-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

4

Real Part

Imagin

ary

Part

0.4892+0.5513i

0.3698+0.1726i

e) Realizovati filtar kao kaskadnu

vezu sekcija drugog reda. Napisati

odgovarajuće izraze za funkciju

prenosa i nacrtati kompletnu

realizacionu strukturu.

IIR filtard) Odrediti red projektovanog filtra.

Grubo proceniti granice propusnog

opsega filtra.

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

4

Real Part

Imagin

ary

Part

0.4892+0.5513i

0.3698+0.1726i

Dominantan

par polova

Za dominantan par polova:

p1=p2*=0.4892+j0.5513

g12

12

121

0.2690

0.7371

12

jep

Filtar ima 4 pola i 4 nule

pa je njegov red 4.

IIR filtare) Realizovati filtar kao kaskadnu

vezu sekcija drugog reda. Napisati

odgovarajuće izraze za funkciju

prenosa i nacrtati kompletnu

realizacionu strukturu.

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

4

Real Part

Imagin

ary

Part

0.4892+0.5513i

0.3698+0.1726i

p1=p2*=0.4892+j0.5513

p3=p4*=0.3698 + j0.1726

z1=z2=z3=z4=-1

Formiraju se dve sekcije

drugog reda. Svaka

sekcija ima jedan par

konjugovano

kompleksnih polova i

jedan par realnih nula

(dvostruku nulu u -1).

IIR filtar

zHzkHpzpz

zzzz

pzpz

zzzzkzH

pzpzpzpz

zzzzzzzzkzH

21

43

43

21

21

4321

4321

2

11

2

2

1

2121

2

2121

2

1

Re2

2

ppzz

zzzzH

ppppzz

zzzzzzzH

2

33

2

2

1

4343

2

4343

2

2

Re2

2

ppzz

zzzzH

ppppzz

zzzzzzzH

k – faktor skaliranja

IIR filtar

0.16650.7396

2

0.543397840

2

2

2

2

2

2

1

zz

zzzzH

z.z

zzzzH

z-1

z-1

x(n)

1

2

1

+0.9784

-0.5433

z-1

z-1

z-1

z-1

1

2

1

+0.7396

-0.1665

z-1

z-1

y(n)

k

Sekcije drugog reda u

direktnoj realizaciji.

Obratiti pažnju na znak +/-

koeficijenata filtra!!!

FIR filtarNa slici je prikazan impulsni odziv

jednog FIR filtra.

a) Da li se radi o filtru linearne faze?

Obrazložiti odgovor.

b) Napisati diferencnu jednačinu koja

odgovara ovom filtru.

c) Napisati izraz za funkciju prenosa

datog filtra.

d) Napisati izraz za frekvencijski odziv

datog filtra. Odrediti vrednosti koje

frekvencijski odziv ima za 1=0 i 2=.

Na osnovu ove dve vrednosti proceniti

da li je dati filtar: (i) propusnik niskih

frekvencija, (ii) propusnik visokih

frekvencija, (iii) propusnik opsega, (iv)

nepropusnik opsega. Odgovor

obrazložiti.

e) Nacrtati direktnu realizacionu

strukturu datog filtra.

f) Da li se, na neki način, može

smanjiti broj upotrebljenih množača u

odnosu na strukturu pod e)? Odgovor

obrazložiti.

-1 0 1 2 3 4 5-1

-0.5

0

0.5

1

X= 4Y= -0.25

X= 0Y= 0.25

X= 1Y= 0.75

X= 3Y= -0.75

n

h(n

)

FIR filtara) Da li se radi o filtru linearne

faze? Obrazložiti odgovor.

b) Napisati diferencnu jednačinu

koja odgovara ovom filtru.

-1 0 1 2 3 4 5-1

-0.5

0

0.5

1

X= 4Y= -0.25

X= 0Y= 0.25

X= 1Y= 0.75

X= 3Y= -0.75

n

h(n

)

0.25 0.75 1 0.75 3 0.25 4y n x n x n x n x n

Koeficijenti su

antisimetrični – FIR filtar

ima linearnu faznu

karakteristiku.

h[0]=-h[4], h[1]=-h[3], h[2]=0

FIR filtar

0.25 0.75 1 0.75 3 0.25 4y n x n x n x n x n

1 3 40.25 0.75 0.75 0.25H z z z z

3 4

3 4

0.25 0.75 0.75 0.25

0.25 1 3 3

j j j j

j j j j

H e e e e

H e e e e

c) Napisati izraz za funkciju

prenosa datog filtra.

d) Napisati izraz za

frekvencijski odziv datog

filtra. Odrediti vrednosti koje

frekvencijski odziv ima za

1=0 i 2=. Na osnovu ove

dve vrednosti proceniti da li

je dati filtar: (i) propusnik

niskih frekvencija, (ii)

propusnik visokih

frekvencija, (iii) propusnik

opsega, (iv) nepropusnik

opsega. Odgovor obrazložiti.

0

3 4

0.25 1 3 3 1 0

0.25 1 3 3

0.25 1 3 3 1 0

j

j j j j

j

H e

H e e e e

H e

Propusnik opsega

Ne propušta ni niske (oko 0) ni visoke

(oko π) frekvencije

FIR filtare) Nacrtati direktnu realizacionu strukturu datog filtra.

f) Da li se, na neki način, može smanjiti broj upotrebljenih množača u

odnosu na strukturu pod e)? Odgovor obrazložiti.

z-1

z-1

z-1

z-1

nx

ny

25.0 75.0

1

0k

y n h k x n k x n N k

nxz

-1z

-1z

-1z

-1

ny

25.0 75.0 75.0 25.0

Struktura sa smanjenim brojem

množača koristi antisimetriju

impulsnog odziva.