stime per intervalli corso di misure meccaniche e termiche david vetturi
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Stime per intervalli
Corso di
Misure Meccaniche e Termiche
David Vetturi
2
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
Il campo dell’inferenza statistica è costituito da metodi utilizzati per assumere decisioni o per trarre
conclusioni su una popolazione e per tale scopo si basano
sull’informazione contenuta in un campione
Inferenza Statistica
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Inferenza Statistica
CAMPIONE
POPOLAZIONE
Campi di applicazione: psicologia-sociologia,marketing, gestione della qualità in ambito industriale, economia, medicina, ecc.
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Definizione: si definisce popolazione oggetto l’insieme di tutti quegli elementi che hanno in comune almeno una caratteristica (o attributo)
Campionamento
Riferimento:
Vicario, Levi
“Calcolo delle probabilità e statistica per ingegneri”
Progetto Leonardo
Capitoli 7 e 8
Una popolazione può essere finita o infinita
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Definizione: un insieme {X1,X2,..,Xn} viene detto campione casuale di dimensione n estratto da una popolazione con densità f(.) se la densità congiunta fx1,x2,..,xn(x1,x2,..,xn) delle n variabili X1,X2,..,Xn può essere espresso come:
Campionamento
nnXXX xfxfxfxxxfn
..,..,, 2121,..,, 21
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Definizione: dato un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione si definisce media campionaria la quantità:
Statistiche
n
iin X
nX
1
1
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Teorema: dato un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione avente densità f(x), si ha che:
Statistiche
n
XXE nn
2
var
dove e 2 sono rispettivamente media e varianza di f(x)
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Definizione: si definisce varianza campionaria di un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione avente densità f(x) la quantità:
Statistiche
n
i
nin XXn
S1
22
1
1
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Teorema: dato un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione avente densità f(x), si ha che:
Statistiche
dove 2 è la varianza di f(x)
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Teorema: sia data una popolazione distribuita con densità f(x) avente media e varianza e 2 finite, sia Xn la media di un campione casuale di numerosità n estratto da essa, allora la media campionaria segue una distribuzione normale con media e varianza 2/n al tendere di n all’infinito.
Teorema Limite Centrale
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Definizione: si definisce intervallo fiduciario per il parametro un intervallo entro il quale il parametro può assumere i valori con una prefissata probabilità chiamata livello di fiducia (1-)
Stima per intervalli
1ULP
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Sia {X1,X2,..,Xn} un campione estratto da una popolazione avente distribuzione normale con media e varianza 2 nota.
Stima per intervalli della media
n
XZ
n
Allora la media campionaria è uno stimatore per la media della popolazione ed inoltre segue una distribuzione normale con media e varianza 2/n.
Consideriamo
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Stima per intervalli della media
Si ha che Z segue la distribuzione normale standardizzata, dunque
1
21
21
ZZZP
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Stima per intervalli della media
e quindi:
1
21
21 n
ZXn
ZXP nn
12
12
1Z
n
XZP
n
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Stima per intervalli della media
dunque un intervallo fiduciario per la media
nZX
nZX nn
2
12
1
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Se la varianza 2 non è nota allora si ha che la quantità
Stima per intervalli della media
n
SX
Tn
n
segue una distribuzione chiamata di student con n-1 gradi di libertà
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Stima per intervalli della media
e quindi, in modo analogo a quanto appena visto, si ha:
1
1,2
11,2
1 n
StX
n
StXP n
nn
n
nn
11,
211,
21 nn
n
nt
n
SX
tP
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Stima per intervalli della media
e dunque un intervallo fiduciario per la media, in questo caso è dato da
n
StX
n
StX n
nn
n
nn
1,2
11,2
1
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Tabella per la distribuzione di studentp 0.9 0.95 0.975 0.98 0.99 0.995
n 0.2 0.1 0.05 0.04 0.02 0.01
1 3.078 6.314 12.706 15.894 31.821 63.6562 1.886 2.920 4.303 4.849 6.965 9.9253 1.638 2.353 3.182 3.482 4.541 5.8414 1.533 2.132 2.776 2.999 3.747 4.6045 1.476 2.015 2.571 2.757 3.365 4.0326 1.440 1.943 2.447 2.612 3.143 3.7077 1.415 1.895 2.365 2.517 2.998 3.4998 1.397 1.860 2.306 2.449 2.896 3.3559 1.383 1.833 2.262 2.398 2.821 3.250
10 1.372 1.812 2.228 2.359 2.764 3.16911 1.363 1.796 2.201 2.328 2.718 3.10612 1.356 1.782 2.179 2.303 2.681 3.05513 1.350 1.771 2.160 2.282 2.650 3.01214 1.345 1.761 2.145 2.264 2.624 2.97715 1.341 1.753 2.131 2.249 2.602 2.94716 1.337 1.746 2.120 2.235 2.583 2.92117 1.333 1.740 2.110 2.224 2.567 2.89818 1.330 1.734 2.101 2.214 2.552 2.87819 1.328 1.729 2.093 2.205 2.539 2.86120 1.325 1.725 2.086 2.197 2.528 2.845
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Tabella per la distribuzione di studentp 0.9 0.95 0.975 0.98 0.99 0.995
n 0.2 0.1 0.05 0.04 0.02 0.01
1 3.078 6.314 12.706 15.894 31.821 63.6562 1.886 2.920 4.303 4.849 6.965 9.9253 1.638 2.353 3.182 3.482 4.541 5.8414 1.533 2.132 2.776 2.999 3.747 4.6045 1.476 2.015 2.571 2.757 3.365 4.0326 1.440 1.943 2.447 2.612 3.143 3.7077 1.415 1.895 2.365 2.517 2.998 3.4998 1.397 1.860 2.306 2.449 2.896 3.3559 1.383 1.833 2.262 2.398 2.821 3.250
10 1.372 1.812 2.228 2.359 2.764 3.16911 1.363 1.796 2.201 2.328 2.718 3.10612 1.356 1.782 2.179 2.303 2.681 3.05513 1.350 1.771 2.160 2.282 2.650 3.01214 1.345 1.761 2.145 2.264 2.624 2.97715 1.341 1.753 2.131 2.249 2.602 2.94716 1.337 1.746 2.120 2.235 2.583 2.92117 1.333 1.740 2.110 2.224 2.567 2.89818 1.330 1.734 2.101 2.214 2.552 2.87819 1.328 1.729 2.093 2.205 2.539 2.86120 1.325 1.725 2.086 2.197 2.528 2.845
306.28,975.0 t
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Talvolta è interessante poter stimare la differenza fra le medie di due popolazioni.
Stima per intervalli della differenza tra due medie
Esaminando le varianze delle due popolazioni 2 e
2, abbiamo tre casi particolari:
2 e
2 sono note;
2 e
2 non note ma uguali;
2 e
2 non note e non uguali.
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
22
2
22
1
212222
2121 nnXXXX
Se X1 e X2 sono distribuite normalmente con varianza nota
2 e 2, allora la variabile casuale
=X1-X2 è distribuita normalmente con media pari a - , inoltre si ha:
Stima per intervalli della differenza tra due medie
(varianze note)
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
23
2
22
1
21
2121
nn
XXZ
Considerando la variabile Z così definita
Stima per intervalli della differenza tra due medie
(varianze note)
è distribuita normalmente con media nulla e varianza unitaria (normale standardizzata)
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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1
21
2
22
1
21
2121
21
Z
nn
XXZP
e quindi si ha:
Stima per intervalli della differenza tra due medie
(varianze note)
dunque
1
2
22
1
21
21
21212
22
1
21
21
21nn
ZXXnn
ZXXP
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
25
Riassumendo l’intervallo fuduciario per la differenza delle medie risulta
Stima per intervalli della differenza tra due medie
(varianze note)
2
22
1
21
21
21212
22
1
21
21
21nn
ZXXnn
ZXX
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
26
2
11
21
222
2112
nn
SnSnSP
Se le varianze delle popolazioni non sono note ma è ragionevole ritenerle uguali si ha che la miglior stimata per la varianza delle popolazioni è data da:
Stima per intervalli della differenza tra due medie(varianze non note ma uguali)
e dunque la stima della varianza di è data da
21
22 11ˆ
nnSP
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
27
21
2121
11nn
S
XXT
p
Quindi, analogamente a quanto già visto, risulta che la quantità T definita da
Stima per intervalli della differenza tra due medie(varianze non note ma uguali)
segue la distribuzione di student con n1+n2-2 gradi di libertà
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
28
21
2121
21 21,2
2121
21,2
21 XXnnXXnnStXXStXX
E dunque l’intervallo fiduciario per la differenza delle medie risulta:
Stima per intervalli della differenza tra due medie(varianze non note ma uguali)
21
1121 nnSS pXX
:con
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Se le varianze delle popolazioni non sono note e non è ragionevole ritenerle uguali si ha che la quantità T definita da:
Stima per intervalli della differenza tra due medie
(varianze non note e non uguali)
segue approssimativamente la distribuzione di student con gradi di libertà
2
22
1
21
2121
nS
nS
XXT
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Dove è dato da:
Stima per intervalli della differenza tra due medie
(varianze non note e non uguali)
11 2
2
2
22
1
2
1
21
2
2
22
1
21
n
nS
n
nS
nS
nS
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
31
2121
21,
2121
21,
21 XXXXStXXStXX
E dunque l’intervallo fiduciario per la differenza delle medie risulta:
Stima per intervalli della differenza tra due medie
(varianze non note e non uguali)
2
22
1
21
21 n
S
n
SS
XX:con
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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n
i
ni XXSnV
1
2
2
2
1
Analogamente a quanto visto per media e differenza di medie si può costruire un intervallo fiduciario per la varianza di una popolazione.
Stima per intervalli della varianza
questa segue una distribuzione chiamata chi-quadrato (2) con n-1 gradi di libertà.
Considerando la quantità definita da:
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
33
Stima per intervalli della varianza
E dunque risulta:
2
2,1
n
2
21,1
n
21n
11 2
21,12
22
2,1 nn
SnP
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Stima per intervalli della varianza
E l’intervallo fiduciario:
2
2,1
22
2
21,1
2 11
nn
nSnS
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Tabella per la distribuzione 2
p 0.005 0.01 0.02 0.025 0.05 0.1 0.9 0.95 0.975 0.98 0.99 0.995n
1 3.93E-05 1.57E-04 6.28E-04 9.82E-04 3.93E-03 1.58E-02 2.71E+00 3.84E+00 5.02E+00 5.41E+00 6.63E+00 7.88E+002 0.0100 0.0201 0.0404 0.0506 0.1026 0.2107 4.6052 5.9915 7.3778 7.8241 9.2104 10.59653 0.0717 0.1148 0.1848 0.2158 0.3518 0.5844 6.2514 7.8147 9.3484 9.8374 11.3449 12.83814 0.207 0.297 0.429 0.484 0.711 1.064 7.779 9.488 11.143 11.668 13.277 14.8605 0.412 0.554 0.752 0.831 1.145 1.610 9.236 11.070 12.832 13.388 15.086 16.7506 0.676 0.872 1.134 1.237 1.635 2.204 10.645 12.592 14.449 15.033 16.812 18.5487 0.989 1.239 1.564 1.690 2.167 2.833 12.017 14.067 16.013 16.622 18.475 20.2788 1.344 1.647 2.032 2.180 2.733 3.490 13.362 15.507 17.535 18.168 20.090 21.9559 1.735 2.088 2.532 2.700 3.325 4.168 14.684 16.919 19.023 19.679 21.666 23.58910 2.156 2.558 3.059 3.247 3.940 4.865 15.987 18.307 20.483 21.161 23.209 25.188
11 2.603 3.053 3.609 3.816 4.575 5.578 17.275 19.675 21.920 22.618 24.725 26.75712 3.074 3.571 4.178 4.404 5.226 6.304 18.549 21.026 23.337 24.054 26.217 28.30013 3.565 4.107 4.765 5.009 5.892 7.041 19.812 22.362 24.736 25.471 27.688 29.81914 4.075 4.660 5.368 5.629 6.571 7.790 21.064 23.685 26.119 26.873 29.141 31.31915 4.601 5.229 5.985 6.262 7.261 8.547 22.307 24.996 27.488 28.259 30.578 32.80116 5.142 5.812 6.614 6.908 7.962 9.312 23.542 26.296 28.845 29.633 32.000 34.26717 5.697 6.408 7.255 7.564 8.672 10.085 24.769 27.587 30.191 30.995 33.409 35.71818 6.265 7.015 7.906 8.231 9.390 10.865 25.989 28.869 31.526 32.346 34.805 37.15619 6.844 7.633 8.567 8.907 10.117 11.651 27.204 30.144 32.852 33.687 36.191 38.58220 7.434 8.260 9.237 9.591 10.851 12.443 28.412 31.410 34.170 35.020 37.566 39.997
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
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Tabella per la distribuzione 2
p 0.005 0.01 0.02 0.025 0.05 0.1 0.9 0.95 0.975 0.98 0.99 0.995n
1 3.93E-05 1.57E-04 6.28E-04 9.82E-04 3.93E-03 1.58E-02 2.71E+00 3.84E+00 5.02E+00 5.41E+00 6.63E+00 7.88E+002 0.0100 0.0201 0.0404 0.0506 0.1026 0.2107 4.6052 5.9915 7.3778 7.8241 9.2104 10.59653 0.0717 0.1148 0.1848 0.2158 0.3518 0.5844 6.2514 7.8147 9.3484 9.8374 11.3449 12.83814 0.207 0.297 0.429 0.484 0.711 1.064 7.779 9.488 11.143 11.668 13.277 14.8605 0.412 0.554 0.752 0.831 1.145 1.610 9.236 11.070 12.832 13.388 15.086 16.7506 0.676 0.872 1.134 1.237 1.635 2.204 10.645 12.592 14.449 15.033 16.812 18.5487 0.989 1.239 1.564 1.690 2.167 2.833 12.017 14.067 16.013 16.622 18.475 20.2788 1.344 1.647 2.032 2.180 2.733 3.490 13.362 15.507 17.535 18.168 20.090 21.9559 1.735 2.088 2.532 2.700 3.325 4.168 14.684 16.919 19.023 19.679 21.666 23.58910 2.156 2.558 3.059 3.247 3.940 4.865 15.987 18.307 20.483 21.161 23.209 25.188
11 2.603 3.053 3.609 3.816 4.575 5.578 17.275 19.675 21.920 22.618 24.725 26.75712 3.074 3.571 4.178 4.404 5.226 6.304 18.549 21.026 23.337 24.054 26.217 28.30013 3.565 4.107 4.765 5.009 5.892 7.041 19.812 22.362 24.736 25.471 27.688 29.81914 4.075 4.660 5.368 5.629 6.571 7.790 21.064 23.685 26.119 26.873 29.141 31.31915 4.601 5.229 5.985 6.262 7.261 8.547 22.307 24.996 27.488 28.259 30.578 32.80116 5.142 5.812 6.614 6.908 7.962 9.312 23.542 26.296 28.845 29.633 32.000 34.26717 5.697 6.408 7.255 7.564 8.672 10.085 24.769 27.587 30.191 30.995 33.409 35.71818 6.265 7.015 7.906 8.231 9.390 10.865 25.989 28.869 31.526 32.346 34.805 37.15619 6.844 7.633 8.567 8.907 10.117 11.651 27.204 30.144 32.852 33.687 36.191 38.58220 7.434 8.260 9.237 9.591 10.851 12.443 28.412 31.410 34.170 35.020 37.566 39.997
736.242975.0,13 009.52
025.0,13
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
37
La quantità:
Stima per intervalli del rapporto tra le varianze
di due popolazioni
segue una distribuzione di Fisher con =n1-1 gradi di libertà a numeratore e =n2-1 gradi di libertà a denominatore
21
21
22
22
S
S
F
21 ,nnf
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
38
Stima per intervalli della varianza
E dunque risulta:
21,1,1 21
nn
fF
12
1,1,1
21
21
22
22
2,1,1 2121 nnnn
fS
S
fP
2,1,1 21
nnf
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli
39
Stima per intervalli del rapporto delle varianze
E l’intervallo fiduciario:
2,1,12
2
21
22
21
21,1,12
2
21
2121
nnnn
fS
Sf
S
S
Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli