stefan barker - filozofija matematike 1 (euklidska i neeuklidska geometrija)

98 STEFAN BARKER

Svakako, ostaje jos jedan nacin interpretiranjatermina "prava linija" i drugih osnovnih terminageometrije koji treba razmotriti - drugi nacin razu-mevanja ovih termina, koji ima duboke korene unormalnoj jezickoj upotrebi. Ovaj nacin interpre-tiranja termina "prava linija" ne povezuje strogonjegovo znacenje s bilo kakvom vrstom eksperimen-talnog rezultata, kao sto je putanja svetlosnog zrakaili putanja duz koje se merni stap polaze najmanjibroj puta. Prema ovom shvatanju prave linije, takvaposmatranja mogu pokazatida je jedna linija prava,ali u tom pogledu ona nisu konkluzivna. Prema ovom

5 shvatanju, sustinski deo znacenja "prave linije" jeda trougao cije su stranice prave linije mora imatiuglove ciji je zbir jednak dvama pravim uglovima:ako nademo trougao ciji je zbir uglova veci od toga,onda to neopozivo pokazuje da stranice te figurenisu u stvari prave linije. Prema ovom shvatanjugeometrijskih termina, u opisivanju rezultata Ajn-stajnove teorije relativnosti ne treba reci da postojeneeuklidski trouglovi. Umesto toga treba da kazemo,

,/ sto je dosta iznenadujuce, da svetlosni zraci ne pu-tuju po pravim linijama kada prolaze kroz nejed-naka gravitaciona polja i da se, na nase iznenadenje,merni stapovi skupljaju po duzini, pa se zbog togamoraju cesce polagati kada se upotrebljavaju u ja-kim gravitacionim poljima. Mi smo vec znali dasvetlosni zraci ne putuju pravolinijski kroz sredines promenljivim indeksom prelamanja, a znali smo

Vida se merni stapovi sire i skupljaju u zavisnostiod temperature. Prema shvatanju 0 kojem rasprav-ljamo, ovi rezultati moderne fizike pokazuju upravo

NEEUKLIDSKA GEOMETRIJA 99da gravitaciona polja takode mogu da uticu na pu-tanju svetlosnih zrakova i duzine mernih stapova.Nove ispravke moraju se uneti ako zelimo da svet-Iosne zrake i merne stapove upotrebljavamo u odre-divanju pravih Iinija u nejednolikim gravitacionimpoljima. Svakako, ove nove ispravke su narociteopstosti: svetlost razlicite boje se razlicito prelamau sredini kroz koju prolazi, a na merne stapove odrazlicitog materijala temperatura razlicito utice, dokove nove gravitacione ispravke uticu na svu svetlosti sve merne stapove na jedan isti nacin. Medutim,univerzalnost ovih ispravki nije odlucujuci razlogda ih ne smatramo ispravkama.

Kada geometrijske termine shvatimo u ovomduhu, recenice geometrije pretvaraju se u apriorneiskaze, a ne u empirijske. Postulati i teoreme euklid-ske geometrije postaju nuzno istiniti iskazi, dokiskazi neeuklidske geometrije postaju nuzno lazniiskazi. Ovaj nacin posmatranja geometrijskih ter-mina morao je imati na umu nemacki Iogicar Fregekada je (sledeci Kantovu misao) pisao:

II' •• Istine geometrije vladaju svim sto se mozeshvatiti prostornom intuicijom, bilo da je to stvarnoHi proizvod nase maste, Najdivlje vizije delirijuma,najsmelije izmisljotine legende i poezije, gde zivo-tinje govore i zvezde stoje, gde se ljudi pretvarajuu kamen a drvece u ljude, gde se utopljenici samiizvlace iz mocvara vukuci se za percin - sve toostaje, dok se moze intuitivno shvatiti, podvrgnutoaksiomima geometrije."!

! Gottlob Frege, The Foundations of Arithmetic, prev,na engl. J. L. AIustiin (Oxford: Basil Blackwell & Mott, 1953),p.20e.

BIBLIOTEKA

SAZVEZDA STEFAN BARKER

37 FILOZOFIJAMATEMATIKE

UREDNIKMILOS STAMBOLIC

CRTEl NA KORICAMA: DUSAN RISTICTEHNICKI UREDNIK: BOGDAN CURCIN

KOREKTOR: DOBRILA MAKSIMOVICSTAMPA: GRAFICKO PREDUZECE "SLOBODAN JOVIC",

BEOGRAD, STOJANA PROTICA 52 NOLIT. BEOGRAD1973

PREVEO SA ENGLESKOGI POGOVOR NAPISAO

ALEKSANDAR KRON FILOZOFIJA MATEMATIKE

Naslov originaIa:

STEPHEN F. BARKER

PHILOSOPHY OF MATHEMATICSCopyright 1964

by Prentice-Hall, Inc.Englewood Cliffs, N. J.

Antickim misliocima matematika je pruzalaobilje hrane za filozofsko razmisljanje, a jos snaz-nije ona to cini danas. Filozofija matematike jeslozena grana filozofije, puna suprotnih shvatanja.U uzastopnim naletima, novi i duboki tehnicki re-zultati poljuljali su stare predstave, stvarajucinesto na sto ce se u docnijim vremenima verovatnogledati kao na vazan intelektualni preokret u isto-riji misli. Medutim, prerano je biti siguran da jefilozofski znacaj ovih tehnickih rezultata shvacenna pravi nacin. Jedno je jasno: filozofska raspravao matematici ne moze se uspesno odvijati u potpu-nom neznanju 0 njenim modernim tehnickim do-stignucima. Ova knjiga zato nastoji da postignekompromis: njen je cilj da pruzi neformalnu ras-pravu 0 rezultatima u matematici i maternatickojlogici, a nastoji takode da prikaze neka filozofskashvatanja 0 njima. Problemi koji su povezani sgeometrijom i problemi koji su povezani s brojemrazmatraju se odvojeno, ne zato sto je to podesannacin deobe moderne matematike - on to nije -

12 STEFAN BARKER

1. UVODvec zato sto su filozofski problemi matematikeobicno tako bili svrstavani.

Poslednjih decenija filozofi su cesto pisali 0

matematici, a u nekim njihovim popularnim izlaga-njima duboko su se uvrezila pogresna uproscava-nja. Na primer, cesto se tvrdi da teoreme matema-tike moraju biti analiticke prosto zato sto deduk-tivno slede iz svojih aksioma; cesto se tvrdi daaksiome jednog apstraktnog sistema definisu nje-gove osnovne pojmove; cesto se tvrdi da razvojneeuklidske geometrije neopozivo pokazuje kako jeKantova filozofija prostora bila pogresna: najzad,cesto se tvrdi kako se matematicka istina i matema-ticko postojanje svode sarno na izvodljivost iz aksi-oma. Sve ove tvrdnje su pogresna uproscavanjakoja sam nastojao da izbegnem. Ako citaoci utvrdeda sam kriv sto sam ih zamenio svojim pogresnimuproscenjima, onda jedino mogu da odgovorimkako se ponekad napredak u filozofiji sastoji uprelasku od starih grubih teorija ka novim.

Svojoj zeni, dr Evelyn Masi Barker, dugujemzahvalnost za ohrabrenje i pomoc u pripremanjurukopisa.

Filozofski problemi matematike. Jos od samihpocetaka filozofije u staroj Grckoj, matematika jebila jedan od velikih izvora filozofskih problema.Za Grke je matematika bila prevashodno geome-trija, a ako se geometrija proucava na tradicionalninacin, bujica filozofskih pitanja nadire vec od sa-mog pocetka, Euklid definise tacku .xmo sto nemadelova"; ali kako to treba razumeti? Zar nije nemo-guce da nesto postoji bez delova? Cak i kada bitakve stvari postojale, zar bismo ih ikada moglivideti ili znati nesto 0 njima? Ljudi su cesto Eukli-dovu geometriju smatrali opisom fizickog sveta, aliizgleda tesko verovati da se svet moze izgraditi odtacaka, jer ako tacke nisu rasprostrte, onda cak nibeskonacno mnogo tacaka nije dovoljno da se do-bije neka zapremina. Da Ii su tacke sarno ideje unasem duhu? Da Ii su to fikcije kojima se obmanju-jemo? IIi su to realne stvari, ali takve da se ne moguopazati? Pa ipak, kako to da arhitekti i inzenjeri

Stefan BARKER

14 STEFAN BARKER

mogu primenjivati principe geometrije na svet?Ovde nalazimo nekoIiko povezanih pitanja: pitanjekoju vrstu znacenja imaju geometrijski termini;pitanje da li principi geometrije mogu biti istiniti;pitanje kako uopste sticemo znanje iz geometrije;pitanje zasto se geometrija primenjuje na opazljivisvet.

Nastanak neeukIidskih geometrija doIio je novoulje na ovu vatru. Ako su matematicki ispravne onegeometrije koje sadrze zakone logicki nespojive sazakonima eukIidske geometrije, sta se desilo s po}mom matematicke istine? Kada je jedan zakonnespojiv s drugim, onda ne mogu oba biti istinita.Da Ii su matematicari pres tali da se bave istinom?Teske je videti kako proucavanje geometrije imabilo kakav smisao, ako ne pretpostavlja traganje zaistinom 0 prostoru.

Sto se tice aritmetike, i tu se postavlja mnostvoslicnih pitanja koja se odnose na znacenja upo-trebljenih termina, na mogucnost utvrdivanja istinei, u stvari, da Ii se u ovo· obl~sti matematike uopstetraga za istinom; postavljaju se pitanja 0 kakvojje vrsti znanja rec, ako je uopste rec 0 znanju, kaoi pitanja zasto se zakoni brojeva mogu primenitina stvarnost. U vezi s matematikom koja se bavibrojevima javlja se jedan drugi i nesto drukciji pro-blem, problem matematicke egzistencije. Principigeometrije mogu se shvatiti kao hipoteticki prin-CIpi koji ne tvrde postojanje bilo cega: "Ako postojifigura koja je trougao, onda je zbir njenih uglovajednak dvama pravim uglovima", Geornetriju nernorarno zamisljati kao teoriju koja sadrzi zakone

UVOD 15

I

kao sto ie .Postoji trougao", S druge strane, umatematici koja se bavi brojevirna, postoji mnos-tvo zakona koji izgledaju kao da tvrde postojanjestvari; na primer .Postojt tacno jedan broj y takavda je x pomnozeno s y jednako x, bez obzira kakavje broj x", Ova vrsta zakona, besumnje, kao da tvrdipostojanje necega (broj 1), tako da se zakon nemoze lako shvatiti u hipotetickom srnislu, kao stoje to slucaj sa zakonima geornetrije. Ali 0 kakvojvrsti postojanja je ovde rec? Na kakvu se vrstustvarnosti odnosi ovaj deo matematike? Da Ii se!skazi 0 postojanju rnoraju shvatiti doslovce, Hi se_rnoraju razumeti sasvirn figurativno? -,

Sve su to filozofski problemi, jer se odnose navrlo opsta, osnovna pitanja 0 znacenju, istini,stvarnosti i znanju. Radni matematicari, nastojecida prosire svoj predmet, obicno posvecuju sarnosporadicnu paznju takvirn problernima njegovogzasnivanja. Neko bi mogao reci: .Da, i to sluzi nacast matematicarima. Jer ovi navodni ,problerni'sarno su zbrkani pseudoproblemi. Ta vrsta filozof-ske spekulacije 0 rnatematici je besmislena", Me-dutim, takva prirnedba je suvise gruba. Mozdavecina teskoca koje su filozofi osetili posmatrajucimatematiku nastaje iz nerazurnevanja ove Hi onevrste, pa ipak, pomenuta pitanja predstavljajuozbiljne intelektualne problerne, jer su nerazurne-vanja iz kojih ona nastaju vazna i ubedljiva, a ni-kako smesna i lako otklonjiva. Ovi problerni zaslu-zuju da budu ispitani i reseni, a ne olako odbaceni.Onaj ko preseca Gordijev cvor urnes to da ga odresi

16 STEFAN BARKER uvaDprilicno je siguran da ga taj cvor vec duze vrememuci,

Na ovom mestu mozemo uporediti filozofijumatematike s filozofijom religije. Posto pazljivorazmislimo 0 onorne sto su 0 Bozanstvu rekli reli-giozni mislioci i filozofi tokom dugog niza godina,mozemo izvesti zakljucak da je rasprava 0 religijizbrkana i nedosledna i da na kraju krajeva nemamnogo smisla. Medutim, cak i kada bismo dosli doovog negativnog zakljucka, to ne bi znacilo da filo-zofski problemi religije ne zasluzuju paznju. Dalekood toga. Jer ako je religiozna misao zbrkana, onda,u svakom slucaju, te zbrke odrazavaju snazne i du-boke ljudske intelektualne tendencije, a ove tenden-cije ka zbrkanosti tesko da mogu biti prevladaneako se ne utvrde i razumeju njihovi izvori'. Isto semoze reci 0 filozofiji matematike.

filozofi koji su zastupali suprotno glediste. Pitanjekoje je u filozofiji matematike smatrano osnovnimbilo je pitanje da Ii je matematicko znanje apriornoHi empirijsko (pod pretpostavkom da se u matema-tici uopste stice neko znanje). Medutim, prirodaove razlike izmedu dve vrste znanja nije uvek bilajasno izlozena. Termin "empirijsko" znaci .zasno-vano na iskustvu", a "a priori" znaci "dostizno preIskustva": ali kako treba razumeti ove izraze?

Filozofi proslosti su ponekad smatrali da jerazlika izmedu apriornog i ernpirijskog znanja uvezi s razIikom izmedu apriornih i empirijskih poj-mova i misliIi su da znanje koje sadrzi empirijskepojmove mora biti empirijsko znanje, a da znanjekoje sadrzi apriorne pojmove mora biti apriornoznanje. Smatralo se da su empirijski pojmovi idejekoje je duh "apstrahovao" iz onoga sto je "dato" uculnom iskustvu, dok se za apriorne pojmove sma-tralo da su ideje koje duh nije stekao na takav nacin.Medutim, u ovakvom pristupu postoje dva nedo-statka. Prvo, cak i kada bi razlika izmedu apriornihi empirijskih pojmova imala smisla, sigurno je dabi jos uvek moglo postojati empirijsko znanje kojese ne moze u potpunosti izraziti empirijskim po}movima, kao i apriorno znanje koje se ne moze upotpunosti izraziti apriornim pojmovima. Drugo,sto je jos mnogo vaznije, razlika izmedu empirijskihi apriornih pojmova nema smisla. Ona se zasnivana gruboj i zastareloj psiholoskoj teoriji 0 "aps-trakciji" - kvazimehanickoj radnji koju duh mozenavodno vrsiti nad onim sto je "dato" u iskustvu.Na osnovu te teorije ne moze se odrediti koji se

Apriorno i empirijsko znanje. Pre nego sto po-cnemo raspravu 0 posebnim problemima filozofijematematike, razmotrimo prvo neke razlike kojesu filozofima bile vazne i koje su bile u osnovi mno-gih rasprava u filozofiji matematike. Prva od njihje razlika kojoj su filozofi dugo posvecivali paznju,razlika izmedu onoga sto su oni zvali apriorno zna-nje i onoga sto su zvali empirijsko (ili aposteriorno)znanje. S obzirom na tradiciju, racionalisti su bilifilozofi koji su smatrali da je apriorno znanje mno-go vaznije od empirijskog, dok su empiricari bili

1 Raspravu 0 koherentnosti religiozne misli vidi u pogl.6 i 7 u John Hick, Philosophy of Religion, Prentice-HallFoundations of Philosophy Series.

17

18 STEFAN BARKER 19UVOD

pojmovi mogu .apstrahovan" iz onoga sto je "dato"u culnom iskustvu. Filozofi su se obicno slagali dakada jedna osoba posmatra neku ervenu stvar, njenduh moze da "apstrahuje" "datu" ideju ervenog,ali da kada posmatra radnju koja je primer vrline,njen duh odatle ne moze da apstrahuje ideju vrline.Medutim, oni nisu pruzili dosledno objasnjenjezbog cega bi ove slucajeve trebalo razlikovati na tajnacin, Razlika izmedu apriornog i empirijskog zna-nja bila je zamracena ovim zastorom zastarelepsihologije. Pokusajmo da ovu razliku izrazimo naneki korisniji nacin.

Pretpostavimo da neko zna da su vrane erne,da je Cezar roden pre Kaligule, da se molekuli vo-donika uvek sastoje iz dva atoma ili da ce sutrabiti oluje. AVO su jasni primeri onoga sto su filozofismatrali empirijskim znanjem. Ono je zasnovanona iskustvu u sledecem smislu: da bi neka osobaznala bilo koju od ovih cinjenica, ona mora ne sarnoda razume 0 cemu je rec, nego mora posedovatisvedocanstvo izvedeno iz culnog iskustva - sto cereci svedocanstvo u pogledu necega sto se videlo,culo, osetilo, omirisalo i'li okusilo. Da bih znao dasu vrane erne, ne sarno da morarn razumeti sta toznaci, nego sam takode morao videti vrane ili vi-deti perje koje su one ostavile ili cuti izvestaje po-smatraca koji su to videli; ili nesto slicno. Naravno,cak i bez svedocanstva, neko moze verovati da suvrane erne, da je Cezar roden pre Kaligule, da vo-donikovi molekuli sadrze dva atoma Hi da ce sutrabiti oluje. Medutim, verovanje, cak i kada je istinito,nije znanje ako se ne moze opravdati. Ovde je

osnovna misao da sarno culna posmatranja mogupruziti onu vrstu opravdanja koja je potrebna dabi neko imao pravo da kaze kako zna takve cinje-nice. Ako nemarn nikakvo posmatracko svedocan-stvo 0 vranarna, onda je sigurno lazno ako kazemda znam da su one erne. Bilo bi protivrecno tvrditida znam takvu cinjenicu i da to ne znam na osnovusvedocanstva dobijenog iz culnog iskustva. Ukratko,empirijsko znanje mozemo definisati kao znanjekoje zahteva iskustveno opravdanje.

Postoje, medutim, drugi primeri znanja koji nezavise na taj nacin od iskustva. Pretpostavimo daneko zna da su vrane ptice, da je Cezar roden preKaligule ili da nije roden pre Kaligule, da su vodo-nikovi molekuli molekuli ili da ce sutra duvati jakvetar ako bude oluje. To su jasni primeri onoga stosu filozofi podrazumevali pod apriornim znanjem.Covek ne mora neposredno ili posredno da posma-tra vrane da bi imao pravo da kaze da zna da susve vrane ptiee; on ne mora prethodno da zaviri uistoriju Rima da hi znao da je Cezar roden pre Kali-gule i1ida Cezar nije roden pre Kaligule; on ne moraprethodno posmatrati fizicareve eksperimente s vo-donikom da bi znao da su vodonikovi molekuli mo-lekuli; najzad, on ne mora prvo da vidi vremenskukartu za sutra da bi znao da ce duvati jak vetar~ko bude oluje. U ovim slucajevima potrebno muJe sarno ono iskustvo koje je neophodno za razume-vanje reci pomocu kojih je znanje izrazeno: nikakvoculno iskustvo izvan toga nije mu potrebno daopravda svoje tvrdenje da zna. Ukratko, apriorno

20 STEFAN BARKER uvaD 21

znanje mozemo definisati kao znanje koje ne morada se opravda iskustvom.

Ova razlika izmedu apriornog i empirijskogznanja ima znacaj za filozofiju zbog razjasnjenjakoja omogucuje i zbog problema koje namece. Onanam pomaze da uvidimo da nauke kao sto su fizika,biologija i istorija, koje se sve prevashodno baveempirijskim znanjem, moraju pocivati na posma-tranjima kako bi utvrdile svoje zakljucke. Naukakao sto je logika, nasuprot tome, bavi se sarnoapriornim znanjem (logika trazi apriorno znanje 0

pravilima koja odreduju ispravnost argumentacija)i zato u dolazenju do svojih zakljucaka ne morada pociva na posmatranju. Postavlja se sada pitanjeda li je matematika u ovom pogledu slicna fizici ilije slicna logici? IIi je delimicno nalik na jednu idelimicno nalik na drugu? Ova razlika namece ijedan vrlo opsti filozofski problem: kako se sticeapriorno znanje; da li se ono postize nekim poseb-nim uvidom u stvarnost ili uvidom u nasu sopstve-nu svest, kroz razumevanje jezika ili na neki druginacin? Ako je matematicko znanje apriorno, akonije opravdano iskustvom, na cemu je onda onozasnovano?

Razlika izmedu apriornog i empirijskog znanjapovezana je s vaznom razlikom izmedu dye vrsterasudivanja, dedukcije i indukcije. Mi necemo po-kusati da ih definisemo u potpunosti, ali cemouociti kako se one razlikuju. Dedukcija je rasudi-vanje u kojem mozemo a priori znati da zakljucakmora biti istinit ako nije ucinjena nikakva logickagreska i ako su premise istinite. Evo primera takvog

rasudivanja: "Svaki paran broj je deljiv sa dva;nijedan prost broj nije deljiv sa dva; dakle, nijedanprost broj nije paran". U ovom primeru nema 10-gieke greske i mi a priori mozemo znati da ako suobe premise istinite, onda ce i zakljucak morati dabude istinit. To je primer one vrste znanja kojimse bavi logika, jer u tom primeru deduktivna argu-mentacija je ispravna na osnovu svoje logicke for-me. To znaci da u svakoj argumentaciji oblika"Svako ~~~ je III, nijedno *** nije 11/, dakle nijed-no *** nije ~~#"mozemo a priori znatl da ako supremise istinite, onda zakljucak mora takode bitiistinit. U logici se pojam Iogicke forme shvata kaonesto sto je u vezi sarno s rasporedom reci "svaki","nijedan", "je" i izvesnih drugih .Jogickih" recimedu kojima su .zieki", .me", .J", "ili" i "ako".

Argumentacija koju smo upravo razmotrili va-ljana je na osnovu svoje logicke forme - na osnovurasporeda ovih .Jogickih" reci u njoj. Pa ipak, tone znaci da je dato ma kakvo filozofsko objasnjenjezbog cega je to rasudivanje valjano. Time nije re-ceno odakle dobijamo nase apriorno znanje da akosu premise istinite, onda ce i zakljucak morati ta-kode da bude istinit. Oni koji se slazu u pogledulogicke forme argumentacije jos uvek mogu da sene slazu u tome da nase znanje 0 valjanosti argu-mentacija ovog oblika potice iz uvida u stvarnost,u svest ili u jezik. Ne postoji takode nikakva osnovada zamiSljamo kako je svako valjano deduktivnozakljucivanje valjano sarno na osnovu svoje logickeforme. Argumentacija "Maunt Mek Kinli je visi odPajks Pika, Pajks Pik je visi od Maunt Vasingtona:

22 STEFAN BARKER UVOD 23

dakle, Maunt Mek Kinli je visi od Maunt Vasing-tona" izrazava savrseno ispravno deduktivno rasu-divanje, mada Iogika ne priznaje ovakvu "IQgickuformu": ,,x je -si od y, y je -si od z: dakle, x je -siod z":" Ogranicena grupa reci na koju su logicariusredsredili SVQjupaznju ne sadrzi ,,-si od" i tQ sesmatra .me-Iogtckim" izrazom. Ali zakljucivanje jeovde podjednako valjano zato sto a priori znamoda ako su premise argumentacije istinite, onda cezakljucak takode biti istinit. Naravno, neko bi mo-gao zameriti rekavsi da je 'Ovaargumentacija valja-na samo ako se doda premisa: kadgod je prva stvarvisa ad druge, a druga visa od trece, onda je prvavisa od trece. Medutim, nije potrebno dodavatitakvu premisu kao sto ni u prethodnom primerunije potrebno dodavati sledecu premisu: kadgodnesto sto pripada jednoj vrsti pripada i drugoj, anista sto pripada trecoj vrsti ne pripada drugoj,onda nista sto je trece vrste nije prve vrste. Ovenove premise se ne moraju dodavati, jer su usvakom primeru dovoljne one premise koje sunavedene, u tom smislu sto neko moze a priori znatida ako su 'One istinite, onda zakljucak mora bitiistinit. U svakom od ovih slucajeva, najavljena do-datna premisa nije stvarno premisa nego izraz pra-vila zakljucivanja prema kojem tece nase rasudi-vanje, sto ce reci izraz nacina na koji se iz premisedobija zakljucak. Odavde se moze izvuci pouka daiako je Iogicka forma vazna za dedukciju, ona nijejedina stvar od vaznosti.

Nasuprot dedukciji, indukcija je rasudivanje ukQjem zakljucak izrazava empirijsku tvrdnju kojaprelazi okvire onoga sto kazu cinjenice. Zbog togase ne moze a priori znati da ako su podaci istiniti,onda ce i zakljucak biti istinit. Pretpostavimo, naprimer, da sam posmatrao mnogo vrana i da su sveone bile erne. Tada induktivno mogu zakljuciti dasu, verovatno, sve vrane erne. Ali istinitost mojihpodataka ne predstavlja apriorno jemstvo da za-kljucak kako su sve vrane erne mora biti istinit. Unajboljem slucaju moze se reci da podaci podrza-vaju i potkrepljuju zakljucak, a ne da apsolutnojamce za njegovu istinitost.

Razlika izmedu dedukcije i indukcije povezanaje s razlikom izmedu apriornog i empirijskog zna-nja na sledeci nacin. Ako dokazujemo jedan apri-orni iskaz, pokazujuci da je 'Onzaista nesto sto sezna da je istinito, onda nema razloga da nas dokazne bude deduktivan u svakom koraku, Nikada necebiti nuzno upotrebiti induktivno rasudivanje da bise utvrdio zakljucak koji izrazava apriorno znanje.Ali ako utvrdujemo jedan empirijski zakljucak,onda bar u jednom koraku nase rasudivanje morabiti induktivno; empirijski zakljucak ne bi nikadamogao biti utvrden rasudivanjem koje je u svakomkoraku potpuno deduktivno.t

* Prvi stupanj poredenja - prim. pr'ev.

Analiticko i sinteticko znanje. Pored toga stoSlU se bavili razlikom izmedu apriornog i empirij-

Ph' 2 Potpuniju raspravu 0 ovome vidi u Carl Hempelof lpl~~~Phyof Natural Science, Prentice-Hall Foundation~

u:JiJ.osophy Senies.


skog znanja, filozofi su se bavili i jednom srodnomrazlikom, razlikom izmedu analitickog i sintetickogznanja. Ovu razliku je u filozofiju uveo nemackifilozof osamnaestog veka Imanuel Kant i ona odtada predstavlja izvor suprotnih shvatanja. Poku-savajuci da objasni svoje razlikovanje analitickogi sintetickog znanja, Kant se sluzio pojmom suda.Prema Kantovom gledistu, znati nesto, pa cak iimati uverenje 0 necemu, znaci doneti sud; sud mo-ze biti donet svesno ili nesvesno i moze ali ne morabiti izrazen recima i tvrden kao iskaz. Kant je men-talni akt donosenja suda opisao kao akt poveziva-nja pojmova, povezivanja koje te pojmove drzi usvesti povezane. Prema ovom gledistu, onaj ko znada su svi momci neozenjeni povezao je u svojojsvesti pojam momka i pojam neozenjenog coveka(i to povezivanje obavljeno je na nacin koji logikazove univerzainim i afirmativnim). Slicno tome,neko ko zna da nijedno prase ne leti, povezao je usvojoj svesti pojam praseta i pojam letenja (i tona univerzalan i negativan nacin).

Kant je osetio da se razlika mora povuci izme-du dve bitno razlicite vrste sudova. Ova razlika sli-cna je u hemiji razlici izmedu sinteze - cina spa-janja stvari koje su bile nepovezane i razlicite - ianalize, cina izdvajanja necega sto je kao sastojakbilo prisutno. Medu sudovima postoje s jedne straneoni u kojima duh sintetise ili spaja pojmove nanacin koji se ne slaze ni sa jednim sustinskim odno-som u kojem se oni nalaze. Sud da ni jedno prasene leti je primer takvog sintetickog suda, jer premapretpostavci, ne postoji nista u pojmu praseta sto

bi sustinski iskljucivalo letenje. S druge strane, po-stoje sudovi u kojima duh analise jedan pojam,izdvajajuCi jedan drugi pojam koji je sustinski deoprvoga. Sud da su svi momci neozenjeni primer jetakvog analitickog suda, jer je pojam neozenjenogcoveka sustinski deo pojma momka. Na taj nacinmozemo dati prvo objasnjenje ove razlike ako ka-zemo, u skiadu s Kantovom osnovnom idejom, daje jedan sud analiticki ako i samo ako nista osimrazmisljanja 0 pojmovima u sudu i 0 nacinu na kojisu oni povezani nije potrebno da bi neko mogaoznati da je taj sud istinit. Jedan sud je sintetickiako i samo ako cisto razmisljanje 0 pojmovima usudu i nacinu njihove povezanosti nije dovoIjno daomoguci znanje 0 istinitosti suda; da bi se to znalo,potrebno je pozvati se na nesto drugo.

Mnogi savremeni filozofi ne mare za Kantovupricu 0 "sudovima" i "pojmovima" shvacenim kaomentalne pojave. Medutim, ovo prvo objasnjenjerazlike izmedu analitickog i sintetickog mozemoiskazati na nacin koji je za njih prihvatljiviji. Re-cimo da je jedan iskaz analiticki ako i samo akonista osim njegovog razumevanja nije nuzno da bise moglo znati da je on istinit. Jedan iskaz je sin-teticki ako njegovo razumevanje nikada nije dovoIj-no da neko moze znati da li je on istinit. Govoreci? iskazima umesto 0 sudovima i pojmovima mo-ze~o izbec] neke nepotrebne rasprave 0 KantovojpSlhologiji.. Kant takode daje i drugo objasnjenje razlikelzmedu analitickog i sintetickog, objasnjenje za ko-je je on smatrao da se svodi na prvo, ali da je

26STEFAN BARKER WOD 27

drukcije izraZeno. Prema tom drugom objasnjenju,paradigmaticki slucajevi analitickih istina su logic-ke istine. Posmatrajmo iskaz da svi psi jesu psi iiskaz da ako su neki psi inteligentna bica, onda suneka inteligentna bica psi. Ova dva iskaza su isti-nita, jer zaista, svi iskazi oblika "Svi A jesu A" i obli-ka ,,Ako neki A jesu B, onda neki B jesu A" podjed-nako su istiniti. Iskazi kao sto su ovi: istiniti susarno zato sto su u njima logicke reci kao Mo susvi" neki" i ako" rasporedene na odredeni na-

~in; ~a"njih se, dakle, kaze da su istiniti na osnovusvoje Iogicke forme i Z'OVU se logicke istine. J<.aEtovaideja bila je da su svi iskazi (on bi bio rekao sudovi)cija istinitost zavisi odnjihove logicke forme _ana-liticki i da ti iskazi Cine osnovnu vrstu analijickiistinitih iskaza.

Stavise, jedan iskaz (ili sud) koji nije ociglednoanaliticki moze biti analiticki na neki skriveni na-cin. Pretpostavimo da mozemo dokazati da je datiiskaz logicki ekvivalentan nekom iskazu koji je ne-sumnjivo analiticki: tada dati iskaz mora takodebiti analiticki, pod pretpostavkom da nas dokazsadrzi sarno analiticke principe. To je nacin da sepokaie da je dati iskaz analiticki, mad a njegovaanaliticnost nije hila ocigledna na pocetku, Na pri-mer, pretpostavimo da neko kaze kako su svi oku-listi ocni lekari. Za taj iskaz se moze reci daima logicku formu "Svi A su B", logicku formu eijislucajevi nisu svi istiniti; dakle taj iskaz ne izgledada je istinit sarno na osnovu svoje logicke forme.Pretpostavimo, medutim, da je taj iskaz izrecen zatosto je govornik nameravao da upotrebi rec "oku-

list" u istom znacenju kao i rec "oeni Iekar", Go-vornik, svesno ili nesvesno, upotrebljava sledecudefiniciju: "Pod .okulistom' podrazumevam .ocnoglekara'". U svetlosti ove definicije imarno pravo dakaZemo kako je njegov prvobitni iskaz da su oku-listi ocni lekari stvarno ekvivalentan iskazu da susvi ocni lekari ocni lekari. Ovaj poslednji iskazistinit je sarno na osnovu svoje logicke forme. Pre-ma tome, mozemo reci da je prvobitni iskaz anali-ticki, ne zato sto eksplicitno ima oblik Iogickeistine, vec zato sto se moze prevesti na takav jedaniskaz sarno pozivanjem na definiciju.

Na taj nacin, prema ovom drugom objasnje-nju, jedan istinit iskaz je analiticki ako i sarno akoje istinit na osnovu svoje logicke forme Hi ako sepozivanjem na definicije moze prevesti na iskaz kojije istinit na osnovu logicke forme. Jedan lazan iskazbio bi analiticki ako i sarno ako je lazan na osnovusvoje logicke forme ili ako se pozivanjem na defi-nicije moze prevesti na iskaz koji je lazan na osnovusvoje logicke forme. Naravno, jedan iskaz je sinte-ticki ako i sarno ako nije analiticki. Kant je mislioda je ovo drugo objasnjenje razlike bilo ekvivalent-no prvom objasnjenju, a mnogi docniji filozofi bilisu skloni da se s njim sloze,

Kant je mislio da analiticko znanje (nairne, zna-nje koje se moze izraziti analitickim iskazima Hisudovima) ne postavlja filozofiji nikakve problemezbog kojih bi se trebalo zabrinuti. Za Kanta je biloocigledno da je duh u stanju da stekne analitickoznanje, a sve to znanje je, naravno, apriorno. Zna-juci, na primer, da su svi momei neozenjeni, jedna

STEFAN BARKER UVOD 2928

osoba ima znanje koje samo odrazava prirodu njenihsopstvenih pojmova ili, kako bismo mi vise volelida kazemo, odrazava nacin na koji ona razume svojsopstveni jezik. Da bi to znala, ta osoba treba sarnoda otkrije da je drugi pojam sastavni deo prvoga;ona ne mora da poseduje obavestenje 0 svetu izvansvog sopstvenog duha, pa cak ni 0 skrivenim aspek-tima svog sopstvenog duha. Sve je ocigledno, mislioje Kant; upotrebljavajuCi pojam momka koji stvar-no upotrebljavamo, prosta neprotivrecnost je naseopravdanje da tvrdimo kako svi koji su obuhvacenipojmom momka bivaju obuhvaceni pojmom neoze-njenih ljudi. To je nesto sto mozemo znati sa savr-senom sigurnoscu i [asnocom: jedina je nezgodasto je to tako prazno i trivijalno, pa izgleda da jedvazasluzuje da bude nazvano znanjem.

S druge strane, Kantu je izgledalo da sintetickoznanje stavlja filozofa pred probleme. Sintetickisudovi imaju prednost sto nisu ni prazni ni trivi-jalni; povezujuci pojmove koji nisu sustinski pove-zani, oni izraiavaju vazne tvrdnje a svetu. Ali kakomozemo znati da li su one istinite? Neprotivrecnostsama nije dovoljna da mi omoguci povezivanjepojmova u stntetickl sud; mora postojati nestodrugo, tertium quid (treca stvar, pored najmanjedva pojma) koja mi omogucuje da spojim odvojenepojmove u sinteticki sud. Sto se tice empirijskih-sintetickih sudova, Kant je bio zadovoljan odgovo-rom da culno iskustvo cini onu "trecu stvar" kojamoze da opravda moj sud da, recimo, nijedno prasene leti. Ja sam video prasce i posmatrao sam kakose razlikuju po obliku i ponasanju od ptica i diri-

zabla, pa je to culno iskustvo ona "treca stvar" naosnovu koje imam pravo da donesem svoj sud.

Sta je medutim sa sintetickim sudovima apriori? Ovde je Kantu izgledalo da se javlja tezakfilozofski problem. Pretpostavimo da postoji nekoznanje koje je i a priori (naime, koje nije oprav-dano culnim iskustvom) i sinteticko (nije oprav-dano sarno unutrasnjim vezama izmedu pojmova-Ili, bolje reci, nije opravdano nacinima na koje sushvaceni termini). Takvo sinteticko apriorno zna-nje moglo bi se opravdati sarno nekom narocitom"trecom stvari". Ako postoji takvo sinteticko apri-orno znanje, bilo bi veoma vazno razumeti kako sedo .~jeg~.dolaz.i.Kant je mislio da matematika pruzanaJJa.sm]e pnmere takvog sintetickog apriornogznanja.

Otvorena struktura [ezika. Raspravljali smo 0

razlici izmedu apriornog i empirijskog znanja i 0

razIici izmedu analitickog i sintetickog znanja, a 0

obema smo govorili kao da su one ostre i tacne.Medutim, mada su te razIike filozofski znacajne,moramo primetiti da one nisu apsolutno precizne.Postoje granicni slucajevi koji ne pripadaju konac-n?v~i apriornoj niti empirijskoj kategoriji, i gra-~lcm. slucajevi koji ne pripadaju konacno ni anali-t~~~~~niti sintetickoj kategoriji. U stvari, najzanim-IJIVI]1 slucajevi vecinom su ili na granici ili blizugranice.

Jedan prost granicni slucaj je onaj kada nekozna ~a svi pauci imaju osam nogu. Da Ii je njegovoznan]e empirijsko i nuzno zasnovano na iskustvu

30STEFAN BARKER uvaD

ili je apriorno, pa ne zahteva opravdavanje posma-tranjem paukova? (Isto tako, mozemo pitati da Iije uno analiticko ili sintetieko?) Da li mi, pre negosto imamo pravo da kazemo da oni uvek imajuosam nogu moramo da pogledamo sto je mogucevise paukova? "Dobro", moze neko nestrpljivo dakaze, lIto sve zavisi od toga kako upotrebljavamorec ,pauk'. Ako je posedovanje osam nogu deo vasedefinicije pauka, onda a priori i analiticki sledi dasvi pauei irnaju osam nogu; ako to nije slucaj, ondaje to empirijski i sinteticki sud." U izvesnom smi-slu, to je sasvim tacno. Mi moramo razlikovatirecenicu (niz reci) "Pauci imaju osam nogu" i raz-ne druge iskaze koje bi neko mogao tvrditi tomreeenicom. Neko ko je tvrdio ovu recenicu i pritomupotrebljavao rec "pauk" tako da je posedovanjeosam nogu bilo deo definicije te reci, tvrdio je apri-orni i analrticki iskaz. A neko ko je istu recenicutvrdio upotrebljavajuCi rec "pauk" tako da posedo-vanje osam nogu nije bilo deo njegove definieije tereci, tvrdio je empirijski i smteticki iskaz. Medutim,to nije sve. Sta cemo reci 0 nekome ko tu cinje-nicu tvrdi, a da tu rec nije prvo definisao, 0 nekomeko tu rec upotrebljava kao u svakodnevnom govoru?Da li je on tvrdio apriorni i analiticki Hi empirijskii sintetieki iskaz? Pretpostavimo da se jedna eks-pedicija vraca s izvora Amazona, noseci primerkedo sada nepoznate vrste bica, erne i dlakave, kojiizgledaju i ponasaju se kao tarantula, aIi koji imajusarno sest nogu: upotrebljavajuci rec "pauk" nauobicajen nacin, kako bismo opisaIi taj pronala-zak? Da li bi trebalo reci: "Ovde se nalazi pauk sa

sest nogu, sto je prilicno iznenadujuce": ili bi tre-balo reci: "Ovde se nalazi jedno bice vrlo slicnopauku, ali to nije pauk zato sto nema osam nogu"?Ne postoji odredeni odgovor na to pitanje, jer sva-kodnevna upotreba reci "pauk" nije odredena utom pogledu. U obicnom jeziku nije tacno utvrdenoda li bi bilo protivrecno govoriti 0 paucima sa sestnogu. Sve sto mozemo reci jeste da bismo u svetlo-sti nase upotrebe tog termina u proslosti s pravombili skloni da kazemo prvu recenicu, ali da bismotakode s pravom bili skloni da kazemo drugu rece-nicu. Pred nama je, dakle, jedan primer znanja kojese nalazi na granici izmedu apriornog i empirijskog,a takode i na granici analitickog i sintetickog: unose ne uklapa potpuno u nase kategorije. U tomsmislu nasa svakodnevna upotreba reci "pauk"pokazuje nesto sto bi savremeni filozofi zvaIi "otvo-renost znacenja", Nase sklonosti u pogledu upotre-be reci predstavljaju labavo tkanje u kojem nisupredvidene sve mogucnosti.

Razmotrimo jedan drugi primer, vaZniji posvojoj prirodi. Nema sumnje da su se pre Koperni-ka rec "kretanje", reci i izrazi koji su s njom pove-zani, primenjivali samo na slucajeve promene polo-Zaja u odnosu na povrsinu Zemlje. Za karavan segovorilo da se krece na zemlji, za brod se govoriloda se krece po moru, a za Sunce i zvezde govorilose da se krecu po nebu. Posmatrajuci nacin na kojisu ljudi pre Kopernika stvarno govorili, neko bimogao da postavi hipotezu (nazovimo ovu hipotezuA) da su oni upotrebljavali rec .Jcretanje" da oznacepromenu polozaja u odnosu na povrsinu Zemlje. Da

31


ih je mozda neko pitao, oni bi rekli da je upravoto uno sto pod tim podrazumevaju (mada uno stoneko kaze 0 nacinu na koji upotrebljava jednu recnije pouzdanije od, na primer, onaga sto igrac te-nisa kaze 0 svom nacinu kretanja za vreme igre -moguce je da pogresimo opisujuci sopstvene aktiv-nosti). Tada se pojavio Kopernik koji je nagovestioda se Zemlja krece oko Sunea, dok Sunee i zvezdemiruju. Otpor koji je ovo glediste izazvalo verovatnoje proizlazio delimicno i iz osecanja ljudi da je unoprotivrecno. Ako kretanje znaci promenu polozajau odnosu na Zemlju, onda je nuznonemoguce da sesarna Zemlja krece.

Gledajuci unazad na ovu raspravu u svetlostihipoteze A, neko bi mogao reci (nazovimo to gledi-ste A): .Pa dobro, stvar je do reci, Ako pod ,kreta-njem' podrazumevate promenu mesta u odnosu napovrsinu Zemlje, onda se sarna Zemlja ne krece. Aliako pod ,kretanjem' podrazumevate promenu mestau odnosu na Sunee i zvezde, onda se Zemlja krece.To je stvar proizvoljnog jezickog dogovora: rec semoze upotrebiti na bilo koji nacin od ta dva nacina,jer nijedan nije praviljniji od drugog". Prema ovomgledistu, sukob izmedu kopernikanskog i ptolomej-skog ucenja izgleda u osnovi kao sukob oko izborareci (pod pretpostavkom, naravno, da je izbor recipracen emotivnim reakcijama koje mogu biti ko-risne Hi stetne po institucionalizovanu religiju, atakode da izbor jedne reci moze biti podesan ilinepodesan za naucno misljenje). Prema ovom gle-distu izgleda da bi Kopernik mnogo bolje ucinioda je sarno skovao novu rec da izrazi svoje prona-

laske; an je mogao da kaze, na primer, da se Zemljaskrece oko Sunea. To bi staru rec ostavilo netaknutui drugi ljudi bi i dalje mogli da govore kako seSunee krece oko Zemlje. Uvodenje nove reci, a neproizvoljno menjanje zacenja stare sprecilo bi vise-smislenost i nesporazume (Galilej tada nista ne bimorao da porekne).

Medutim, ovakvo gledanje na stvari nije pra-vedno prema Kopernikovom dostignucu. Kopernikbi ucinio manje znacajan doprinos ljudskoj mislinego sto je ucinio, da je sarno unapredio teorijurekavsi da se Zemlja skrece; to bi bila korisna mi-sao, ali ne i revolucionarni intelektualni napredak,kao 5tO je bila njegova ideja da se Zemlja krece,Razmotrimo jedno drugo stanoviste (stanoviste B)sa kojeg bi ovaj problem mogao biti opisan. Sa togdrugog stanovista gledano, reklo bi se da Koperniknije proizvoljno promenio znacenje reci "kretanje";pre bi se reklo da je on ukazao na dublju latentnutendenciju koja je vec bila prisutna u staroj upo-trebi. Svakako, ljudi su u proslosti mislili da govorekako se nesto krece ako i sarno ako je to bila pro-mena polozaja u odnosu na Zemlju, ali prema sta-novistu B, jedna dublja tendencija u ranijem nacinugovora bila je tendencija da se kaze kako je nestou kretanju onda, i sarno onda, kada je to promenapolozajn u odnosu na srednji polozaj najveceg delamaterije u okolini. Pretpostavimo (hipoteza B) daje to uno 5tO se podrazumevalo pod reci .Jcreta-nje", Prema gledistu B, hipoteza B, a ne hipotezaA, pruza pravilno objasnjenje znacenja reci "kreta-nje". Zasto treba reci da hipoteza B opisuje dublju

34 STEFAN BARKER

tendenciju u ranijem nacinu govora? Bar delimicnozato sto na OSD'OVU hipoteze B mozemo predlozitiobjasnjenje zbog cega su ljudi govoriIi da je nestou kretanju onda i sarno onda kada je to bila prome-na polozaja u odnosu na Zemlju: ljudi su u ranijimvremenima tako govorili zato sto su pretpostavljalida je Zemlja mnogo veca i masivnija nego nebeskatela, tako da su im sarno one stvari koje se krecuu odnosu na Zemlju izgledale kao da se krecu uodnosu na srednji polozaj najveceg dela materije uokolini. Do sesnaestog veka uvecalo se znanje 0

velicinama nebeskih tela u poredenju s velicinomZemlje, aIi u prvom trenutku niko nije shvatao daje to oslabilo osnove za tvrdnju kako se Zemlja nekrece, Tada se pojavio Kopernik. Otkrivajuci daZemlja menja svoj polozaj u odnosu na srednji po-Iozaj najveceg dela materije u njenoj okoIini, onje predlozio svoju heliocentricnu teoriju, teorijukoja (prema stanovistu B) nije promenila znacenjereci "kretanje", vec je umesto toga pokazala ljudimada su imali pogresna misljenja 0 tome sta se u stvarikrece.

Ovde smo razmotrili glediste A, zasnovano nahipotezi A, koje sukob izmedu geocentricne i hello-centricne teorije opisuje kao verbalan u sustini, kaonesto sto se tice analitickog i apriomog, i razmo-trili smo glediste B, zasnovano na hipotezi B, kojeovaj sukob opisuje kao pitanje empirijske, sinte-ticke cinjenice (tj. da li Zemlja menja polozaj uodnosu na srednji polozaj najveceg dela materijeu njenoj okolini?). Treba uvideti da nijedno od ovihgledista nije u potpunosti ispravno. Istina lezi negde

UVOD 35u sredini, verovatno bliZe gledistu B nego gledistu A.Ni za hipotezu A niti za hipotezu B ne moze da se ka-ze da su potpuno istinite: upotreba reci "kretanje"do Kopernika nije tako strogo bila odredena pravili-ma da bismo imaIi jasnu osnovu da konacno pri-hvatimo jednu od tih dveju hipoteza i darno jojprednost pred drugom. Moze se, medutim, oprav-dano reci da su obe ove tendencije bile latentnoprisutne u nacinu na koji se upotrebljavala rec"kretanje" (tendencija da se kaze kako je jednastvar u kretanju ako i sarno ako menja svoj polozaju odnosu na Zemlju i tendencija da se kaze kakose jedna stvar krece ako i sarno ako menja svojpolozaj u odnosu na srednji polozaj najveceg delamaterije u njenoj okolini) i mozemo reci da je drugatendencija mozda dublja. Uskoro cemo imati prilikeda razmotrimo slucajeve u filozofiji matematikekoji su slicni ovome.

2. EUKLIDSKA GEOMETRIJA sa povrsinama u srazmeri od prethodne godine.Egipeani su se izvestili u obavljanju svog godis-njeg zadatka u odredivanju ovih granica i moralisu otkriti i koristiti mnoge korisne principe 0 lini-jama, uglovima i figurama - kao sto je praviloda je zbir tri ugla jednog trougla jednak dvama pra-vim uglovima, kao i da je povrsina paralelogramajednaka povrsini pravougaonika koji ima istu si-rinu i duzinu,

Stari Egipcani su do ovih principa morali docikroz posmatranje i eksperiment - sto ce reci in-duktivnim rasudivanjem. Na primer, oni su moralimeriti mnogo trouglova i mnogo pravih uglova imorali su skoro uvek nalaziti da je zbir tri uglajednog trougla skoro jednak dvama pravim uglo-virna; stavise, kad god je izgledalo da se zbir uglo-va u trouglu primetno razlikuje od dva prava uglatada bi se obicno nalazilo neko objasnjenje za toodstupanje - uglovi nisu pazljivo izmereni Hi stra-nice trougla nisu bile sasvim prave. Slicno tome,oni mora da su meriIi povrsine mnogih paralelo-grama i mnogih pravougaonika (mozda tako sto sugledali koliko bi malih kvadrata stalo u svaki odnjih), i mora biti da su nasli kako je povrsina para-lelograma skoro uvek jednaka povrsini pravougaoni-ka koji ima istu duzinu i sirinu. U onim slucajevimau kojima je izgledalo da postoji neko neslaganje, tose neslaganje moglo objasniti kao posledica po-gresnog merenja Hi pogresno iscrtanih figura. Izgle-da da su Egipcani bili zadovoljni prikupljanjemempirijskog znanja 0 tackama, linijama i figuramakoje im je omogucavalo da resavaju probleme po-

EUKLIDSKA GEOMETRIJA 37

Egipcani i Grci. Premeravanje zemljista da bise odredile granice poseda bilo je vazan zadataku starim civilizacijama, a narocito u Egiptu. Tamosu poplave koje je izazivalo nadolazenje Nila svakegodine prekrivale plodne povrsine, brisuci .mnogegranicne oznake postavljene prethodne godine, Fasu Egipcani svake godine morali iznova da parcelisupolja. Ponekad se problem sastojao u ponovno~uspostavljanju granica nekog polja na ~sno~ de~l-micnih podataka. Na primer, ako je oblik polja biopoznat i ako su oznake s jedne strane ostale netak-nute dok su na drugim stranama bile izbrisane, ondabi se problem sastojao u oznacavanju sarno tih dru-gih strana. Ponekad je moralo biti nemoguce tacnoodrediti gde su prethodne godine bile granice, pase tada problem sastojao u povlacenju potpuno no-vih granica i to tako da se dobije zeljeni broj polja

38 STEFAN BARKER

lofaja granicnih linija i relativne velicine polja, kaoi probleme arhitekture i gradevinarstva.

Grci su videli sta su Egipcani bili u stanju daucine i upoznali su njihove empirijske principe. Tomznanju Grci su dali ime geometrija - sto ce reci,merenje zemljista. Ali Grci, za razliku od Egipcana,cenili su geometriju ne sarno zbog njene prakticnekorisnosti, vec i zbog njene teorijske zanimljivosti;oni su zeleli da razumeju geometriju radi same geo-metrije. Oni nisu bili zadovoljni empirijskim pri-stupom; oni su nastojali da nadu stroge deduktivnedokaze opstih.zakona 0 prostoru koji leze u osnovisvih prakticnih primena geometrije. Nekoliko ve-kova su Grci poklanjali paznju geometriji, otkriva-juci i dokazujuci sve vise i vise geometrijskih prin-cipa. Neki grcki filozofi, narocito Pitagora i Platon,mislili su da geometrija ima vrlo veliki intelektualniznacaj, jer im je zbog svoje cistote i apstraktnostiizgledala kao da je u srodstvu s metafizikom i reli-gijom. Tada je oko 300 g. pne. Euklid napisao svojuklasicnu knjigu, Elemente, u kojoj je prikupio i usistematskom obliku izlozio glavna geometrijskaotkrica svojih prethodnika. Ova velika knjiga jejedn:o od najuticajnijih klasicnih dela u literaturizapadne misli. Kroz stari vek, kroz srednjovekovniperiod i u moderno vreme, sve do devetnaestog ve- /.ka, Euklidovi Elementi sluzili su ne sarno kao udz-benik geometrije, vec i kao model onoga sto naucnamisao treba da bude.

Euklidov postupak. Sta odlikuje Euklidove po-stupke? Prvo, on uvek iskazuje svoje geometrijske

EUKLIDSKA GEOMETRIJA 39zakone u univerzalnom obliku. On nikada ne ras-pravlja 0 svojstvima neke posebne i stvarno posto-jec~ linije. il~ figure, vec se uvek bavi sarno svoj-stvlma koja ce svaka linija Hi figura odredene vrsteImati. I ne sarno to; njegovi zakoni su uvek iskazanitako da budu strogi i apsolutni; oni nikada nisuaproksimacije. On kaze, na primer, da je zbir uglo-va u .svakom trouglu uvek jednak dvama pravimug~?Vl~a; . O? ne kaze da je to priblizno istinito ili~blcno lStlm:o .-: on to predstavlja kao nesto strogo1 apsolutno istinito. Jos je vaznije sto se Euklid neza.~ov?ljava iskazivanjem velikog broja ovih geome-trijskih zakona: on ih dokazuje. U stvari citavanJegova knjiga se sastoji iz dokaza poredanih nasistematski nacin. Stavise, njegovi dokazi nisu in-duktivni; Euklid nikada ne zahteva od nas da meri-mo uglove stvarnih trouglova da bismo videli dan~ihov zbir iznosi dva prava ugla. On se ni sammka~a ne bavi stvarnim eksperimentima ili posma-tranjem te vrste. Umesto toga, njegovi su dokazided~ktivn~ ~Dkazi pomocu kojih nastoji da utvrdiSVDJ:zakljucke sa strogoscu apsolutne logicke nuz-nosh.

Postavlja se pitanje sta se sve moze dokazati.~a prvi pogled, neko hi mogao pomisliti da ce uidealnoj raspravi '0 geometriji autor dokazati svakigeometrijski zakon koji iskazuje. Kada razmislimopokazuje se da je to vise nego sto se moze ocekivati.J~dan dokaz (bar u obionom smislu reci) predstav-IJa lanac rasudivanja koji utvrduje jedan zakljucaktako ~to poka~uje kako ovaj sledi logicki iz premisaza koje se vec zna da su istinite. Ne mozemo imati

40 STEFAN BARKER

dokaz pre nego sto pocnemo s jednom ili vise vecpoznatih premisa koje sluze kao osnova dokaza.Tesko je videti kako bi ma koji ozbiljni geometrij-ski zakljucci bili ikada dokazani kada ne bismo mo-gli poceti od premisa od kojih su bar neke geome-trijski zakoni 0 tackama, linijama, figurama i slic-nom; Euklid je svakako mislio da su geometrijskepremise neophodne ako zelimo da izvedemo geome-trijske zakljucke. Pretpostavimo da se jedan geo-metrijski zakljucak moze dokazati sarno na osnovupremisa medu kojima su bar neke geometrijske; dali to znaci da ne mozemo ocekivati da dokazemosvaki geometrijski zakon? Sta bi se desilo kadabismo poceli s nekim geometrijskim zakonima, de-dukovali iz njih druge, a zatim dedukovali trece izdrugih, i na kraju dedukovali pocetne zakone iz onihposlednjih? Nema sumnje, to bi se moglo uciniti:nema sumnje da se svaki geometrijski zakon mozededukovati iz drugih geometrijskih zakona. Zar on-da ovo ne bi bio nacin da se svi oni dokaZu? Narav-no, odgovor je ne, jer bi takav navodni dokaz sadr-zavao gresku dokazivanja u krug (cirkularni dokaz).Dokazivanje u krug ne daje nikakav dokaz, jer takvorasudivanje ne moze da utvrdi istinitost svojihzakljucaka.

Moramo podsetiti da dedukcija nije isto sto idokaz: dedukovanje zakljucka iz premisa svodi sena dokazivanje zakljucka sarno ako 'se vec zna dasu premise istinite (prilicno lako mogu dedukovatizakljucak "Svi prasci lete" iz premise "Svi prasci susisari i svi sisari lete"; ali to nikako ne dokazuje dasvi prasci lete). Izgleda, dakle, da neki geometrijski


zakoni moraju ostati nedokazani, ako druge zelimoda dokazemo. To znaci da se zakoni geometrijemoraju podeliti u dve grupe: s jedne strane, posto-jace mala grupa zakona koji se nece dokazivati, alikoji ce biti prihvacenl kao osnovne premise; s drugestrane, bice neodredeno velika grupa drugih geome-trijskih zakona za koje se nadamo da ~e biti strogodokazani pozivanjem na ove osnovne premise. UEuklidovim Elementima prvoj grupi zakona dato jeime postulati: to su zakoni 0 linijama, uglovima ifigurama, zakoni koje Euklid smatra istinitim, kojene namerava da dokazuje, ali koje ce upotrebiti udokazima ostalih geometrijskih zakona. Zakoni kojisu dokazani zovu se "teoreme" (ili staromodnomterminologijom receno, "stavovi").

Euklidovi postulati. Pogledajmo pet postulatakoje Euklid stvarno daje u svom sistemu. Pretpo-stavimo sledece, kaze on:

1. Jedna prava Iinija moze da se povuce od bilokoje tacke do bilo koje druge tacke.

2. Svaka konacna prava linija moze se nepre-kidno produzavati u pravu liniju.

3. Kada su dati ma koja tacka i ma koja duz,onda se moze povuci krug s tom tackom kao cen-trom i tom duzi kao poluprecnikom.

4. Svi pravi uglovi su medusobno jednaki.5. Ako jedna prava linija sece druge dve prave

linije tako da je zbir dva unutrasnja ugla na jednojstrani manji od dva prava ugla, onda se te dve pravelinije, ako se dovoljno produze, seku na istoj straniprave linije na kojoj se nalaze ti uglovi.

42 STEFAN BARKER

AIm razmislimo 0 znacenju ovih postulata, od-mah vidimo koliko se Euklidov pristup geometrijirazlikuje od empirijskog, induktivnog pristupa kojisu koristili Egipcani. Euklidova prva tri postulatapokazuju da se on neposredno ne bavi nijednimstvarnim, konkretnim problemom premeravanjazemljista, jer u stvarnim uslovima u kojima seobavlja merenje rrije istina da se jedna prava linijamoze povuci iz bilo koje tacke do bilo koje drugetacke. Prepreke (planine, more, deo strane terito-rije) cesto nas u tome sprecavaju. Nije istina ni dase u stvarnim uslovima merenja konacne prave lini-je mogu uvek neprekidno produzavati u pravu liniju.Ocigledno je da se u praksi jedna vertikalna pravaIinija moze sarno malo produzavati nagore i nadole,pa cak da se i ertanje horizontalnih linija moraprekinuti kada se naide na nesavladive prepreke.Nije istina ni da se uvek moze opisati krug kada jedat ma koji eentar i ma koji poluprecnik: ako jepoluprecnik dovoljno veliki, sigurno cemo naici naprepreke. Euklid je, naravno, sve to znao; njegajednostavno nisu zanimala ta prakticna ogranicenja.On smatra da se izmedu bilo koje dve tacke u prin-cipu moze povuci jedna prava linija, bez obzira daIi mi to mozemo stvarno uciniti: da se u principujedna prava linija uvek moze produziti u pravu lini-ju, bez obzira da li smo stvarno u stanju da to uci-nimo, i da se krug u principu moze opisati kad godsu dati eentar i poluprecnik, bez obzira da Ii mi tomozemo uciniti. Na taj nacin Euklidovo shvatanjese odnosi na prostor u kojem nema apsolutnih pre-


preka i oko kojeg nema apsolutno spoljasnjih gra-nica.

Euklidov cetvrti postulat moze izgledati zago-netan, zato sto se mozemo zapitati nije li on suvisetrivijalan da bi bio izlozen. Ako su dva ugla dvaprava ugla, onda je izvesno da oni moraju biti jed-naki - tako se bar cini: zasto je onda Euklid tomorao da postulira? Da je Euklid rekao da su svipravi uglovi pravi uglovi, onda bi on zaista rekaonesto suvise trivijalno da bi trebalo da bude izlo-zeno kao postulat, jer je ta primedba istinita vecsarno na osnovu svoje logicke forme; to je logickaistina, a ne istina geometrije. Medutim, Euklidovaje misao da je jedan ugao praval 0 je to ugao kojise :ri1Oleaobiti preseeanjem dveju pravih linija nataka v nacin da su susedni uglovi jednaki. Iz ovedefinieije, sarno na osnovu logike, ne proizlazi da6ete uvek dobiti uglove iste velicin~ kada to uradite.Dakle, cetvrtl postulat, kako ga Euklid razume, nijeistinit same na osnovu svoje Iogicke forme, pa postoce ga Euklid kasnije koristiti u svojim dokazima, ontreba da bude eksplicitno izlozen kao postulat.

Peti postulat je zakon slozeniji od prethodnih.Njegovo znacenje moze se ilustrovati crtezom (vidisliku 1).Pretpostavimo da imamo tri prave linije, AA', BB'i CC'. Postulat nam kaze da ako AA' sece BB' i CC'na takav nacin da je zbir uglova CEA i BDA' manjiod dva prava ugla, onda se BB' i CC' moraju ranijeili kasnije seci, ako se dovoljno produze.

44 STEFAN BARKER

8'

Slika 1

Euklidova aksioma i definicije. Pored postulata,Euklid koristi i pet drugih pocetnih principa koji sezovu aksiome (ili "opsti pojmovi"). Euklidu izgledada je osnovna razlika izmedu postulata i aksiomau tome sto postulati govore odredeno 0 predmetugeometrije (Iinije, uglovi, figure itd.), dok aksiomene kazu nista odredeno 0 geometriji, vec su opstije.Aksiome se odnose na jednakost velicina, na jedanpojam koji se moze koristiti u raspravljanju 0 mno-gim stvarima pored geometrije. Ovo su Euklidoveaksiome:

1. Stvari koje su jednake istoj stvari, jednakesu i medusobno.

2. Ako se jednako dodaje jednakom, celine sujednake.

EUKUDSKA GEOMETRIJA 45

3. Ako se jednako oduzima od jednakog, ostacisu jednaki.

4. Stvari koje se poklapaju jedna s drugomjednake su jedna drugoj.

5. Celina je veca od dela.I postulati i aksiome su po pretpostavci prin-

cipi tako ocigledno istiniti da niko pametan, akoih razume, ni u jednom trenutku ne bi u njih po-sumnjao. Posto je to tako, nedostatak dokaza zanjih nije nista sto govori protiv njih, pa oni moguposluziti kao osnova na kojoj pocivaju dokazi dru-gih daleko manje ociglednih zakona geometrije. Grcisu verovatno mislili da je u ovome razlika izmeduaksioma i postulata u pogledu njihove verodostoj-nosti: ako hi neko posumnjao u postulate geometrijeili ih mozda porekao, on bi svakako nacinio greskui diskvalifikovao sebe kao nesposobnog da misli 0

geometriji; pa ipak, on bi mogao biti u stanju daispravno razmislja 0 drugim stvarima (aritmetici,biologiji ili muzici). S druge strane, kada bi nekoposumnjao u aksiome 0 velicinama ili ih mozdaporekao, on bi pokazao da je nesposoban da rnislio bilo kojem ozbiljnom intelektualnom predmetu,jer svi, skoro svi predmeti na ovaj ili onaj nacinsadrze pojam velicine,

Euklid zeli da obezbedi da svaka njegova geo-metrijska teorema bude dokazana na logicki kon-kluzivan nacin. Postoji, medutim, i drugi aspektovog traganja za strogoscu. Euklid takode nastoji dasistematise termine koji se javljaju u ovim geomet-rijskim zakonima, da obezbedi da znacenje svakogtermina bude adekvatno odredeno, Vazna odlika

46 STEFAN BARKER

Euklidovog postupka jeste nastojanje da svaki ter-min bude definisan pre nego sto se upotrebi, deli-micno iz Ciste teznje za jasnocom i zelje da znacenjesvakog termina bude adekvatno odredeno. Ali svrhaovog postupka je delimicno i da se sprece logickegreske u dokazivanju teorema; jer ako dopustimoda novi nedefinisani termini neopazeno promaknuu nase ~eoreme, to skoro neizbezno dozvoljava danove i neiskazane premise koje te termine sadrzeneopazeno promaknu u .nase zakljuCivanje - stodovodi do pogresnog zamisljanja kako nasi zakljuccilogicki slede iz manjeg broja premisa nego sto jestvarno slucaj,

Evo nekih definicija koje se javljaju na pocetkuPrve knjige Elemenata.

1. Tacka je ono sto nema delova.2. Linija je duzina bez sirine.4. Prava linija je linija koja lezi ravno u odno-

su na tacke koje su na njoj.S. Povrs je ono sto ima sarno duzinu i sirinu.7. Ravan je povrs koja lezi ravno u odnosu na

prave linije koje su na njoj.8. Ugao u ravni je nagnutost jedne linije prema

drugoj u jednoj ravni tako da se one sastaju i neleze na pravoj liniji.

10. Kada jedna prava linija podignuta na jednojdrugoj pravoj liniji gradi susedne uglove koji sujednaki jedan drugome, svaki od tih uglova zovese prav, a prava linija koja stoji na drugoj zove senormalna u odnosu na drugu.

14. Figura je ono sto je zahvaceno nekom gra-nicom Hi granicama.


15. Krug je figura u ravni zahvacena jednomlinijom na takav nacin da su sve prave linije, kojedo nje dopiru polazeci iz jedne tacke medu onimaunutar figure, medusobno jednake.

23. Paralelne prave linije su prave linije kojese, buduci u istoj ravni i buduci produzavane neo-dredeno u oba pravca, ne sastaju ni u jednompravcu.

Euklidove teoreme. Postulati, aksiome i defi-nicije predstavljaju polaziste Euklidovih dokaza.Njegov cilj je da dokaze sve druge geometrijskeprincipe, prvo one iz geometrije ravni, a kasnije oneiz geometrije cvrstih tela, pokazujuci da oni nuznoproizlaze iz osnovnih pretpostavki. U Elementimase dokazuju dve vrste stvari. Jedno su univerzalnizakoni: na primer, Stav 4 Prve knjige kaze: ,,Akodva trougla imaju po dve odgovarajuce strane jed-nake i ako su im jednaki uglovi koje grade jednakestranice, onda ce oni takode imati jednake osnovice,jedan trougao ce biti jednak drugome i preostaliuglovi ce biti jednaki odgovarajucim preostalimuglovima, naime onima koji se nalaze naspram jed-nakih strana". IIi, Stav 47 Prve knjige kaze: "U pra-vouglim trouglovima kvadrat nad stranom koja senalazi naspram pravog ugla jednak je kvadratimanad stranama koje sadrze prav ugao". Medutim,postoje druge teoreme koje nisu iskazane kao uni-verzalni zakoni, nego kao zadaci koje treba uraditi;uputstvo za .obavljanje zadatka tako je razradenoda omogucuje dokaz da cemo, pridrzavajuci se uput-stva, obaviti zadatak.

48 /' STEFAN BARKER

Da bismo sagledali Euklidov metod, pogledaj-mo kako on obraduje Stay 1 iz Prve knjige.

Na datoj konacnoj pravoj liniji konstruisati rav-nostran trougao.

o E

Slika 2.

Neka je AB konacna prava linija. Zahteva se, dakle,da konstruisemo ravnostran trougao na pravoj li-niji AB. Nacrtajmo krug BCD sa centrom A i odsto-janjem AB (Postulat 3); opet, nacrtajmo krug ACEsa centrom B i rastojanjem BA (Postulat 3); tackuC, u kojoj krugovi seku jedan drugi, sa tackama A,B spojimo pravim linijama CA, CB (Postulat 1).Sada, posto je tacka A centar kruga CDB, AC jejednako AB (prema Definiciji 15). Opet, posto jetacka B centar kruga CAE, BC je jednako BA (pre-ma Definiciji 15). Ali dokazano je taka de da je CAjednako AB; dakle, prave linije CA, CB jednake suAB. Ali (prema Aksiomi 1) CA je jednako CB. Pre-ma tome, prave linije CA, AB, BC jednake su medu

/

EUKLIDSKA GEOMETRIJA49

sobom. Dakle, trougao ABC je ravnostran i konstru-isan je na datoj konacno] pravoj liniji AB.

Mi cemo se uskoro vratiti na ovaj dokaz; zasadsmatrajmo ga sarno ilustracijom nacina na kojiEuklid upotrebljava postulate, aksiome i definicijekako bi dokazao svoje teoreme.

Moderno shvatanje deduktivnih sistema. Raz-mislimo malo vise 0 Euklidovom osnovnom nacinuorganizovanja svog sistema. Mada je Euklid jasnoshvatao potrebu za nedokazanim postulatima u svo-joj shemi, izgIeda da on nije verovao kako takodemora biti nedefinisanih termina. Elementi ne sadrzenikakvu listu nedefinisanih termina, vec na protiv,Euklid pokusava da definise sve termine koje upo-trebIjava. Pa ipak, kada malo 0 tome razmislimo,mozerno videti da je u okviru sistema nemoguce Vdefinisati svaki geometrijski term in koji se u siste-mu upotrebIjava, bas kao sto je nemogucs dokazatiu okviru sistema svaki geometrijskl zakon. Takavpokusaj se mora zavrsiti ili u Iaznom krugu ili u /beskonacnom regresu. Bilo bi, dakIe, dobro da je vEuklid eksplicitno podelio svoje termine u dye gru-pe, na one koji su definisani pomocu drugih ter-mina sistema i na one koji nisu tako definisani (ovidrugi zovu se danas osnovni termini). Pa cak iakou tom pogledu nije bio eksplicitan, ako ispitamonjegov postupak, videcemo da njegove definicijenisu sve iste. Neke od njih (kao sto su 1. 2 i 4) surasplinuta razjasnjenja u kojima se termini iz nje-govih postulata i teorema delimicno objasnjavajupomocu drugih termina koji u stvari ne pripadaju

50 STEFAN BARKER

sistemu (sto ce reci da se nikada ne pojavljuju upostulatima Hi teoremarna). Ove definicije Euklidnikada ne upotrebljava u svojim dokazima. Mnoge

Vdruge definicije (kao sto su 10, 15 i 23) ekspIicitnopovezuju neke termine njegovog sistema sa drugimakoji se takode javljaju u sistemu; ove definicije Eu-kIid upotrebljava u dokazima. Mozemo pomisljatida su termini uvedeni prvom vrstom definicija Eu-klidovi osnovni termini, a da su termini uvedenidrugom vrstom definicija njegovi definisani termini.Na zalost, u nekim slucajevima tesko je reci da Iijedan definisani termin treba uzeti kao osnovni. De-finicija 8 sluzi kao primer: da Ii termin "nagnutost"treba smatrati za osnovni termin sistema pomocukojeg se ekspIicitno definise "ugao u ravni" ili ter-min "ugao u ravni" treba smatrati za osnovni ter-min sistema, pri cemu termin "nagnutost" ne pri-pada sistemu, vec se sarno koristi u objasnjavanjuonog drugog? EukIid narn na ovo pitanje nije omo-gucio lak odgovor.

Sa nesto modernijeg stanovista mogli bismoreci da u izgradivanju sistema kao 5tOje ovaj mora-ju da se donesu dye osnovne odluke, i to se morauciniti 'jasno, vec na samom pocetku. Prva odlukatice se termina. Ako je geometrija predmet kojisistematisemo, nuda gledajuci na citav niz termina(neki pisci vise vole da govore 0 pojmovima) koji seu njoj javljaju, moramo izabrati neku Iistu terminakoji ce nam posluZiti kao nasi osnovni termini. Ugeometriji postoje desetine termina. Mi moramoodluciti koji ce se od njih smatrati osnovnim unekom odredenom sistemu koji izgradujemo. Pri-

EUKLIDSKA GEOMETRI1A 51

rodno je sto cemo se nadati da ce lista osnovnihtermina hiti takva da dozvoljava definisanje svihHi vecine drugih termina datog predmeta.

Druga osnovna odluka koju morarno doneti .ticese Izbora aksioma ili postulata. Moderni pisci nisu /zadrZali Euklidovu razliku izmedu aksioma i postu-lata; oni sada uglavnom upotrebljavaju reCi "aksi-orna" i "postulat" u istom smislu. Donoseci ovudrugu odluku, mi pomisljamo na celokupnost zako-na koji se mogu izraziti nasim osnovnim i definisa-nim terminima, a onda izdvajamo jednu ogranicenulistu till zakona koji ce narn posluZitikao nase nedo-kazane pretpostavke, na osnovu kojih treba doka-zati nase teoreme. Ove_nedokazane pretpostavkezovu se aksiome (Hi postulati).- KoHka se sirina ~avom moze dopustiti pri-likom biranja osnovnih termina, definicija i aksio-ma jednog sistema? Neki stari Grci su, izgleda, mi-slili kako je ovaj Izbor u potpunosti odreden pri-rodom predmeta, Aristotel, na primer, govori da muse cini kako svaka nauka ima svoje sopstvene odre-dene prve principe (koji imaju ulogu postulata),svoje sopstvene odredene termine, pa Cak i da zasvaki definisani termin postoji sarno jedan ispravannacln da se on definise. Euklid se 0 ovim pitanjimane izjasnjava, Sa modernog stanovista gledano, ovdehi se priznala znatna sloboda: sasvim je moguce da Ipostoje alternativni izbori osnovnih pojmova, defi-nicija i aksioma, od kojih svaki vodi razlicitoj, alijos uvek podjednako opravdanoj formulaciji istogpredmeta. Na primer, u modernom aksiomatskomPristupu euklidskoj geometriji 'koji je dao nemacki

STBFAN BARKER52matematicar Hilbert, javlja se sest osnovnih termi-na: "tacka", "linija", "ravan", "incidentno", "izme-du" i "kongruentno". U vrlo razlicitoj aksiomatiza-ciji koju je razradio Osvald Veblen (Oswald Veble~~nekoliko godina kasnije, koriste se sarno termimtacka" izmedu" i "kongruentno", a njegov skup

~ksiom~ 'je sasvim razlicit od Hilbertovog. Jos jedrukcija aksiomatizacijaE. V. Hantingtona (E. V.Huntington), koji je upotrebio sarno terrnine "sfe-ra" i "sadrZi" kao osnovne i ciji se skup postulata,prirodno, razlikuje od prethodnih. Pa ipak, rna kakobile razlicite ove aksiomatizacije, sve su one formu-lacije istog predmeta euklidske geometriJe: jer seu svirna na kraju krajeva mogu dokazati iste Eu-klidove teoreme. Sa modernog stanovista, sve su tosavrseno legitimne aksiomatizacije, mada su one po-menute kasnije elegantnije od onih pomenutihra-nije, u pogledu izbora termina i aksio~a, jer se_~docnijim aksiomatizacijama upotrebljava ~~nJ1

,/ broj osnovnih termina i aksioma nego u ramjim.

Motiv aksiomatizacije. Euklid je u Elementimanastojao da ojaca nase znanje 0 tackama, linijama ifigurama povecavajuci strogost sa kojom su vecpoznati zakoni mogli da se dokazu: on je takodenastojao da ovo znanje prosiri dokazujuci nove i dotada nepoznate zakone. Euklid se trudio da znanjeiz geometrije prikaze u sistematskom deduktivnomobliku zato sto je na taj nacin mogao da svoje dokaze

J ucini strozijim i zato sto je time olaksao dokazivanjenovih zakona. Medutim, tesko je verovati da je tobila citava njegova motivacija, a pogotovo to nije

EUKLIDSKA GEOMETRIJA 53citava motivacija modernih matematicara koji aksi-omatizuju geometriju. Euklid i moderni matemati-cari uvode poboljsanja koja bi prevaziIaziIa potrebezbog kojih su uvedena, kada bi se cilj sastojao samou tome da se izvan svake razumne sumnje dokazeda vaZe izvesni zakoni geometrije, Deduktivna orga-nizacii a aksioma ] teorema sluzi takode i drugojmsi, da se zakoni geometrije jzloze na elegantan V-i jasan nacin, Uz ukazivanje na zanimljive Iogickeveze medu njima. To je cilj, tako tipican za mate-maticko misljenje:-radi koJei se Euklid ponekadmuci da dokaze nesto sto citaocima izgleda ocigled-no. Otkrivanje novih logickih veza navodi modernematematicare koji se bave aksiomatizacijom da tra-ze elegantnije i ekonomicnije aksiomatizacije svogpredmeta.

U stvari, postoje suprotne tendencije koje de-luju i prilikom biranja skupa osnovnih termina iprilikom biranja skupa aksioma. S jedne stranepozeljno je da ovi skupovi budu sto ekonomicniji:jedan si'Stem je elegantniji ako je prostija lista nje- Vgovih osnovnih termina, kao i !ista njegovih aksio-rna. S druge strane, ni nasa ~lista osnovnih terminanit] nasa lista aksioma ne moze biti proizvoljnokrat'ka, jer ako ~mo izabrali nedovoljno aksioma Hiako su aksiome suvise slabe Hi sadrze nedovoljnoosnovnih termina, onda ce teoreme koje se moguizvesti biti nedovoljne da sistem ucine zanimlji- Vvim. Dobro konstruisan sistem mora teziti kompro-misu izmedu ovih dveju suprotnih tendencija; unjemu treba koristiti relativno ekonomican skuposnovnih termina i aksioma, a ovi treba da su taka

54 STEFAN BARKER EUKLIDSKA GEOMETRIJA 55

ra njegovoj svrsi, jer bi se ekonomicnost njegovogsistema smanjila da Is,uveo osnovne termine kojise odnose na numericka merenja uglova.

izabrani da iz njih moze da se izvede dovoljno bo-gat niz teorema. Sistem kojem nedostaje ekonomic-nost ne moze da nam pruzi dovoljan uvid u logickeveze izmedu njegovih recenica, a to ne moze nisistem kojem nedostaje deduktivna snaga. Ali kom-binujuci srazmerno veliku ekonomicnost sa sraz-merno velikom deduktivnom snagom, jedan sistemnam moze dati najveci moguci uvid u logicku struk-turu svog predmeta; na taj nacin on zadovoljavanasu intelektualnu teznju da izdvojimo smisao izneceg slozenog time sto ovo drugo svedemo na nestojednostavno.

Definicije koristimo kako bismo povecali de-duktivnu snagu sistema. Razvijajuci jedan siri rec-nik, mi smo u stanju da dokazemo teoreme kojesadrze i druge termine, pored osnovnih, a da namlista osnovnih terrnina i aksioma ostane ekonomicna.Sta treba zahtevati od ovih definicija? Kada Eukliddefinise prav ugao, da Ii 'On daje ispravnu defini-ciju? Zar ne bi neko pomislio da je "jednak 90 ste-peni" bolja definicija pravog ugla? Prema moder-nom gledistu, i ovde moze biti mnogo razlicitih ipodjednako dobrih definicija jednog termina kaosto je ovaj. Prema modernom gledistu, jedini posto-jan zahtev je da definicija nekog odredenog terminakao sto je ovaj sacuva istinitost svih istinitih rece-nica geometrije, u kojima se taj termin javlja, i dasacuva Iaznost laznih recenica, Sto se tice istinitostii laznosti tvrdenja 0 pravim uglovima, svejedno jeda Ii je termin "prav ugao" definisan onako kakoje to ucinio Euklid ili tako da to znaci ugao od 90stepeni. Naravno, Euklidova definicija vise odgova-

Geometrija kao apriorno znanje. Euklidov si-stem geometrije bio je intelektualno dostignuce odnajveceg znacaja, ali je filozofima postavljao ozbilj-ne probleme. Izgledalo bi kao da Euklidove aksiomeo tackarna, linijama i figurama treba smatrati cistologickim posledicama njegovih postulata. Ali kakav .je statut postulata? Da li su to istine za koje znamoda su istine? Ako je to tako, da li su to empirijskeili apriorne istine? Kojoj vrsti znanja oni pripadajui kako znamo da su oni istiniti? Euklid je jedno-stavno razvijao geometriju, on nije pisao 0 takvimfilozofskim pitanjima kao 0 necemu sto je od zna-caja za geometriju. I stari i moderni filozofi bavilisu se ovim problemima; bar do devetnaestog veka,postojala je medu njima velika mera slaganja u po-gledu nekih osnovnih momenata.

S~_ do devetnaestog veka, mislioci koji su sebavili geometrijom uzimali su kao sigurno da Eu-klidovi postulati i teoreme imaju znacenja takvevrste da se sa smislom mogu tvrditi ili poricati. VDrugim recima, oni su uzimali kao sigurno da covekkaze nesto istinito ili lazno kada tvrdi ili porice nekiod tih postulata ili teorema. To im je izgledalo to-liko ocigledno da se 0 tome jedva raspravljalo. Zanjih bi bilo besmisleno da je neko natuknuo kakosu Euklidovi principi prazne formule koje ne mogubiti ni istinite ni lame. Oni su u geometriji gledalinauku ciji se predmet sastoji od tacaka, linija, figu-

56 STEFAN BARKER

ra itd; reci nesto 0 tackama, Iinijama Hi figuramaznaci govoriti istinito ili lazno - tu nema trece alter-native, smatraIi bi oni. Stavise, oni nisu gajili ni-kakvu sumnju da tvrdeci EukIidove postulate iteoreme neko tvrdi istinite iskaze, a da poricanjemtih postulata i teorema neko tvrdi lazne iskaze. Onisu misIili da su Euklidovi postulati i teoreme praviprincipi geometrije kao nauke, principi koji tacnoopisuju tacke, Iinije i figure. Euklidova geometrijabila je prihvacena kao naucno znanje 0 prirodi pro-ston}, znanje koje je savrseno istinito i cvrsto. Sta-vise, velika vecina mislilaca bila bi se slozila da jegeometrijsko znanje apriorno znanje, a ne empirij-sko znanje, Oni bi bili smatrali da tvrditi Euklidovepostulate i teoreme znaci tvrditi iskaze koji su nuznoistiniti i kojima nije potrebna potvrda na oSnOvu

.J culnog iskustva, a da poricati ih znaci tvrditi iskaZekoji su nuzno Iazni, pa njihovo opovrgavanje ne mo-ra biti zasnovano na culnom iskustvu.

Platon .e ponudio izvanredan argumenat 0 tompitanju.On je tvrdio da nase znanje 0 geometrij-skim istinama ne moze pocivati na svedocanstvuizvedenom iz culnog iskustva, jer cullma ne sazna-jemo nikakve tacke, prave linije ili figure. Mi nikadane vidimo tacke: ono sto vidimo su mrlje koje ima-ju delove. Mi nikada ne vidimo prave linije; ono5tOvidimo uvek su linije s izvesnom sirinom i uvekpomalo iskrivljene, Mi nikada ne vidimo pravi krugili pravi ravnostran trougao, jer figure koje vidimonisu nikada sastavljene od savrsenih linija bez siri-ne niti su ikada u savrsenoj srazmeri. Prema tome,geometrijsko znanje ne moze biti znanje koje poci-

EUKLIDSKA GEOMETRIJA

va na svedocanstvu izvedenom iz culnog posmatra-nja, jer nema takvog svedocanstva, Geometrijskoznanje mora biti apriorno, a ne empirijsko, naravno, /ako je ovai argumenat ispravan.

Mnogi docniji filozofi bili su pod dubokim utis-kom Platonovog rasudivanja. Pa ipak, njegov argu-men at nije konkluzivan. Jer, nije jasno da Ii je Pla-ton u pravu kada tvrdi da mi nikada ne opazamoprave slucajeve tacaka, linija i figura. Pretpostavi-mo da sedim u velikoj sobi ciji su zidovi beli, atavanica plava, i da posmatram Iiniju gde se povr-sina zida dodiruje s povrsinom tavanice. KoIiko jamogu da vidim, to je savrseno prava linija - onanema opazljivu sirinu i ne vidi se da je savijena.Naravno, kada bi se pojavili naucnici sa svojiminstrumentima i pazljivo izmerili liniju dodira zidai tavanice, oni bi verovatno otkrili da prelaz odbelog ka plavom nije bez sirine i da Iinija dodiranije sasvim prava. Oni bi to verovatno ustanovili,ali, postoji li izvesnost da bi nuzno moralo biti tako?Zar se ne bi moglo desiti da makoliko pomno nauc-nici ispituju liniju dodira, ona im jos uvek izgledabez sirine i sasvim prava? Ne izgleda da postoji bilokakav ubedljiv razlog da moramo verovati kakolinije koje stvarno posmatramo nisu nikada savrse-no prave Iinije. Ako se to moze reci 0 linijama, ondase, naravno, isto moze reci 0 figurama: tacka sejednostavno moze posmatrati kao presek dvejulinija.

Stavise cak i da nikada nismo 0 azili nesto stoje bila stvarno savrsena prav~ linija, to jos ~vek nebi dokazivalo da nase znanie 0 tackama, linijamaI

57

58 STEFAN BARKER

figurama ne moze biti empirijsko znanje. U naucinije neobicno kada se tvrde empirijski iskazi 0 ne-koj stvari, a da nijedan slucaj te stvari nije bioopazen. Na primer, fizicar moze da raspravlja 0tome kako bi se jedno klatno klatilo u savrsenomvakuumu i bez trenja na stubicu 0 kojem visi. Takvaklatna ne postoje: svako stvarno klatno nailazi naatmosferu i na trenje. Pa ipak, iskazi 0 tome kakobi se idealno klatno kretalo jesu empirijski iskazikoji se mogu ispitati u eksperimentima sa stvarnimklatnima. Pojam idealnog klatna koje nije okruzenoatmosferom i koje ne trpi nikakvo trenje je "grani-eni pojam" u ovom smislu: govoriti 0 tome kakobi se jedno idealno klatno kretalo znaci govoriti 0granici kojoj se kretanje stvarnih klatna priblizavaukoliko se smanjuje trenje na stubicu 0 kojem visei ukoliko atmosfera u koioj se klate postaje svereda. Platonov nacin rasudivanja zanemaruje mo-gucnost da iskazi 0 tackama, linijama i figuramamogu biti empirijski iskazi na posredan nacin, na

v nacin na koji su iskazi 0 idealnim klatnima empi-rijski.

Prema tome, ovaj, odredeni Platonov argume-/nat nije dovolja~. za dok~ da ~egeome!ri~sko ~n~nje

apriorno. POStO]l,medutim, jedan drug! nacin do-kazivanja koji je nesto stroziji, jedan argumenateiju je najuticajniju formulaciju dao Kant. Kant jetvrdio da Euklidovi postulati i teoreme 0 tackama.linijama i figurama ne mogu biti empirijski zatosto se suvise razlikuju od empirijskih generaliza-cija. Prema Kantu, Euklidovi postulati i teoreme

j poseduju univerza!.!t0st, a zbog toga i nuznost koju

EUKLIDSKA GEOMETRUA 59

ne moze imati nijedna empirijska generalizacija.Pogledajmo, na primer, princip da je zbir uglovau trouglu jednak dvama pravim uglovima. Kada binase znanje 0 ovom principu bilo rezultat empirij-skog uopstavanja, onda bismo najvise mogli reci davecina trouglova (mi smo posmatrali sarno neke odnjih, pa tako nista sa sigurnoscu ne mozemo tvrditio svima njima) ima zbir uglova koji se malo razli-kuje od zbira dva prava ugla (nasa merenja uveksadrze jednu malu gresku, pa ne bismo sa sigur-noscu mogli reci da su ovi zbirovi bas jednaki). Me-dutim, Kant tvrdi da rni zaista znamo da je zbiruglova u svakom trouglu bas jednak zbiru dvaprava ugla. Nase znanje 0 tom principu posedujeuniverzalnost u tom smislu sto znamo da nema ni- vkakvih izuzetaka, cak ni najmanjeg izuzetka. Dalje,kada bi se nase znanje zasnivalo na empirijs'koj ge-neraIizaciji, onda hi prikupljanje novog svedocan-stva na osnovu posmatranja uvek nastojalo da po-veca stepen izvesnosti (ili, ako nam se to vise svida,stepen verovatnoce) koji generaIizacija za nas ima.Sto bismo vise trouglova meriIi, to bismo imaIi viseprava da se osecamo sigurni u vazenje zakona. Kanttvrdi da se to ne desava, Nase znanje 0 ovom prin-cipu ne raste sa posmatranjem novih slucajeva koji "/ga potvrduju, jer mi unapred znamo da je taj prin-cip nuzan - da u svakom trouglu zbir uglova morabiti jednak dvama pravim uglovima. Sigurnost skojom to znamo Iskljucuje mogucnost da smo dotoga dosli empirijskom generalizacijom. Kantov ar-gumenat je vredan paznje, ali nije apsolutnoodlu-

60 STEFAN BARKER

cujuei. Mi cemo se kasnije vratiti pitanju da Ii jegeometrijsko znanje apriorno znanje.

Geometrija kao sinteticko znanje. Postoji josjedno vazno tvrdenje 0 statusu Euklidovih postulatai teorema koje bi vecina mislilaca prihvatila, barkada je rec 0 onima pre devetnaestog veka. Vecinabi smatrala da su Euklidovi postulati, kao i najvaz-nije teoreme koje iz njih slede, apriorne istine cijije sadrzaj, filozofski receno, sinteticki, a ne anali-ticki. Ako neko, kao Kant, logicke istine shvati kaoosnovne primere analitickih a ne sintetickih istina,onda se to gledanje na geometriju moze izraziti takosto ce se reci da postoji vazna razlika izmedu netri-vijalnih sintetickih istina geometrije i trivijalnihanalitickih istina logike.

Sta opravdava stanoviste prema kojem su za-'/ koni geometrije sinteticki a ne analiticki? Kako se

to moze ustanoviti, ako je to uopste moguce? Uraspravljanju 0 tome da li je neka vrsta iskaza ana-Iiticka ili sinteticka, onaj ko tvrdi da je analiticka,nalazi se u nesto boljem polozaju, jer ponekad mozepostojati jasan dokaz da je iskaz analiticki, Kao 5tOsmo videli u prvom poglavlju, takav bi se dokazsastojao u pokazivanju da je dati iskaz ekvivalentannekoj logickoj istini, uz pozivanje sarno na ekspli-citne definicije i principe formaine logike. Posto-janje takvog dokaza je dovoIjan (a mnogi filozofibi mislili da je i nuzan) usiov da neki iskaz budeanaliticki. S druge strane, smatrati da je jedan

/iskaz sinteticki znaci smatrati (u najgorem slucaju)da se takav dokaz ne moze konstruisati. Kako bi


se ikada moglo dokazati da se takav dokaz ne mozekonstruisati? Ovu vrstu negativnih tvrdenja izgledavrlo tesko potkrepiti; izgleda cak da ne moze po-stojati nikakav formalni dokaz da je jedan iskazsinteticki.

U svakom slucaju, Kant, filozof koji je najjas-nije zastupao ucenje da je geometrija sinteticka, nijecak ni pokusao da ovo tvrdenje dokaze na nekiformalan nacin. On jednostavno zahteva od nas darazmisljamo 0 znacenju nasih osnovnih geometrij-skih zakona: on misli kako je ocigledno da oni nisusarno verbalne istine i da se ne moze pokazati dasu oni ekvivalentni praznim Iogickim istinama. Nje-govo bi stanoviste bilo da ne postoje definicijeosnovnih termina geometrije koje bi narn omogucile .",da postulate pretvorimo u iskaze koji su istiniti vecsarno na osnovu svoje logicke forme. ~

Naravno, neki istiniti iskazi 0 tackama, linija-ma i figurama jesu analiticki: cak je i Kant to mo-rao da prizna. Na primer, u EukIidovom sistemugeometrije analiticki je istinito da su svi krugovifigure, jer je to posledica Euklidove definicije ter-mina "krug". Ali Kant bi bio tvrdio da su svi osnov-ni zakoni geometrije sinteticki. Verovatno bi on biozeleo da za sinteticke smatra sve postulate i teore-me koje su napisane pomocu osnovnih terminaEuklidovog sistema, a takode i sve druge teoremeCiji dokazi sustinski zavise od pozivanja na postu-late ili ranije teoreme koje su napisane sarno pomo- V-cu osnovnih termina sistema. To bi verovatno obu-hvatalo vecinu Euklidovih geometrijskih zakona. -/

62 STEFAN BARKER

Ako su svi postulati i osnovne teoreme geome-trije pO svojoj prirodi sintetick~, onda to n~mecepitanje kako je nasa svest u stanju da poseduje ovuvrstu geometrijskog znanja? Sinteticko znanje zavi~iod necega sto je izvan i iznad pukog razumevanjaznacenja termina; filozofi (pre devetnaestog veka)uopste uzev slagali su se u odbacivanju culnog isku-stva kao moguce osnove ovog znanja. Tada jeizgledalo da neka cudna, neobicna vrsta mentalnoguvida mora biti u korenu naseg znanja geometrije,

/ ako je nase znanje sinteticko i apriorno.Neki filozofi, kao sto je Dekart, raspravljajuci

o geometrijskom znanju, zadovoljavali su se da je-dnostavno govore 0 duhovnoj cudesnoj moci racio-nalnog uvidanja prirode geometrijskih objekata, 0

snazi koja se cesto uporedivala 5 vizijom. To je nekavrsta "videnja" 1I0kom Razuma". De:kart govori 0

racionalnom uvidanju, ali malo Hi nimalo ne objas-njava zasto duh ima tu snagu, niti objasnjava statusonih stvari u koje duh ima uvid.

Platon je bio manje cutljiv. On je takode mislioda duh u svom znanju geometrije ispoljava jednuveoma vaznu vrstu racionalnog uvidanja. Ali on jepredlozio jednu teoriju 0 tome. U jednom od svojihdijaloga, u Menonu, Platon prikazuje Sokrata kakose obraca jednom neobrazovanom decaku - robu- i postavlja mu pitanja 0 jednom geometrijskomproblemu. Postavljajuci decaku pitanja i ne govo-reci mu nista drugo (bar ne neposredno), Sokratnavodi decaka da ispravno resi geometrijski pro-blem. Tada Sokrat daje svoju interpretaciju onogasto se desilo. Posto Sokrat nije decaku nista rekao


i posto decak nikada nije ucio geometriju, mora dasu Sokratova pitanja navela decaka da se seti geo-metrijskog znanja koje je uvek posedovao, ali gaje zaboravio. Sve ovo Sokrat nudi kao potvrdu svogverovanja 0 preegzistenciji duse. Decak se seca geo- vmetrijskih principa koje je znao pre svog rodenja.Pre rodenja njegova dusa nije jos bila zatvorena uIjudsko telo i nije hila zaglupljena zbur-jujucim izavodljivim delovanjem cula: tada je njegova dusaprebivala u cistom, nematerijalnom i nepromenlji-vom svetu gde se vecna geometrijska stvarnost mozeneposredno posmatrati. Tako je Platonova teorija,koju izgovara Sokrat, teorija da nasa sadasnja spa-sobnost da znamo zakone geometrije potice iz toga ~;sto smo postojali u jednom drukcijem metafizic-kom stanju, gde smo imali mogucnost da posma-tramo savrsene tacke, linije i figure; sada, ako uci-nimo dovoljan intelektualni napor, mozemo da sesetimo onoga sto smo tada neposredno gledali.

Kant je dao drukciju teoriju 0 tome zasto ljud-ski duh moze da ima uvid u zakone geometrije.Prema njemu, taj uvid uopste ne potice od toga stoduh zna nesto sto je izvan njega; to je u potpunostiunutrasnji uvid koji duh ima u svoju sopstvenu.formu culnosti". Svim-opaZajima, koje spoljasnji Vuticaji izazivajuu duhu, duh daje euklidski prostornioblik; Kant tvrdi da je to, jednostavno, nacin nakoji deluje duhovna sposobnost opazanja, Duh jeu stanju da stekne uvid u svoj sopstveni nacin de-lanja i na taj nacin moze shvatiti da sve sto se mozeculno opaziti mora biti u prostoru i mora biti pod-vrgnuto Euklidovim zakonima. Tako se dolazi do

64 STEFAN BARKER

znanja da Euklidovi zakoni prostora vaze univer-zaIno i nuzno za sve predmete - za sve predmete,naime onakve kakve ih ljudska svest opaza. Medu-tim, Kant smatra da spoljasnje stvari same po sebinisu stvarno u prostoru; izvesne protivrecnosti kojezove antinomije navode ga na zakljucak da nistazaista ne bi moglo biti prostorno i da je prostorniizgled stvari sarno izgled koji im daje duh. Zadataknauke je da proucava svet onakav kakav se on narnapojavljuje, a ne svet po sebi (u stvari, prema Kantu,ovaj drugi je za nas nesaznatljiv). Kant misli danjegova teorija objasnjava kako geornetrija mozebiti nauka; nairne, da ona objasnjava kako mozemoda irnarno sinteticko apriorno znanje 0 prostornimoblicirna sveta onakvog kakav on nama izgleda.

Koristeci tradicionalnu filozofsku terminolo-giju, Platonovu teoriju rnogli bisrno opisati kaorealisticka teoriju 0 predrnetirna geometrijskogznanja, jer Platon srnatra da ti predrneti irnaju svojerealno bice izvan nase svesti, mada su nedostupniculnom iskustvu, Kantovu teoriju mogli bismo opi-

J sati kao konceptualisticku, posto on smatra da supredrneti geornetrijskog znanja stvarni, ali da sustvarni sarno u okviru svesti. U sledecem poglavljuvraticemo se ovorn problemu.

3. NEEUKLIDSKA GEOMETRIJA

Euklidov peti postulat. Od Euklidovog vrernenarnnogirna koji su proucavali Elemente, peti postulatje zadavao glavobolje. Peti postulat izgleda kao ano-malija. Cak i ako rnislirno da je osnovni zadatakuredivanja geornetrije u strogi deduktivni sistemsarno u jasnorn i elegantnorn prikazivanju logickihuzajarnnih veza izrnedu principa geornetrije, petornpostulatu, zbog njegove zamrsenosti, kao da nernarnesta. On zahteva rnnogo slozeniju recenicu da bibio formulisan nego sto je to slucaj s ostalirn postu-latirna, a u svojoj zamrsenosti veorna mnogo pod-seca na neke teorerne koje Euklid dokazuje (jednaEuklidova teorerna je logicka konverzija petog po-stulata). Imali bisrno rnnogo privlacniji sistern kadabisrno rnogli da izostavirno peti postulat. Stavise,ako rnislirno, kao sto su to Grci cinili, da je svrhauredivanja geornetrije u strogi deduktivni oblik ta-kode i u utvrdivanju istinitosti teorerne, onda cemonarocito zeleti da irnarno postulate koji su sto jemoguce viSe ociglednl i sigurno istiniti - jer stepen

66 STEFAN BARKER

verodostojnosti koji dostizu teoreme time sto sededukuju iz postulata ne moze biti veci od stepenaverodostojnosti koji ima najmanje verodostojanpostulat. Sa tog stanovista peti postulat izgleda kaoanomalija zato sto nema u onoj meri izgled ocigledne istine u kojoj to imaju ostala cetiri postulata.Posto je mnogo vise zapleten od ostalih, manje jejasno da je istinit.

Tokom vekova mnogi razliciti mislioci koji subili nezadovoljni petim postulatom pokusavali suda nac1u nacin da ga uklone: nacin na koji se mozepokazati da peti postulat ne treba smatrati postu-latom. U najboljem slucaju, oni bi bili voleli da su

./ pokazali kako peti postulat nile nezavisan od ostalihnairne, da se moze dokazati k~o ~o;;ma, zakljuci-vanjem koje pretpostavlja sarno prva cetiri postu-lata (naravno, zajedno s aksiomarna i definicijama).IIi, ako to ne moze, oni bi bili voleli da su pokazalikako se u svakomslucaju peti Euklidov postulat mo-ze zarneniti nekim drugim, prostijim i ociglednijimprincipom koji bi posluzio kao novi peti postulat,tako da se Euklidov stari peti postulat moze dedu-kovati kao teorema, pa da vise nije potreban kaopostulat. Grcki i arapski komentatori Euklida uci-nili su niz pokusaja da uklone Euklidov peti postu-lat tako sto ce ga dokazati kao teoremu, ali nikadanjihov trud nije bio zadovoljavajuci. U svakom odtih slueajeva navodni dokaz je sadrzavao neku grubulogicku gresku Hi je precutno pretpostavljao nekigeometrijski princip isto toliko zapetljan koliko iEuklidov peti postulat.

NEEUKLIDSKA GEOMETRI1A 67

Ucinjeni pokusaji ove vrste osvetlili su cinje-nicu da postoje razni drugi geometrijski principiod kojih bi svaki mogao da irna logicku funkcijukoju ima Euklidov peti postulat (funkcija se sastojiu tome sto zajednos druga cetiri postulata omogu-cuje dedukciju teorema). Na primer, princip da seiz jedne tacke koja nije na datoj pravoj liniji mozepovuci sarno jedna prava linija koja je paralelnasa datom linijom, moze da obavi funkciju Euklido-vog petog postulata (ovaj princip, nazvan Plejferova ./aksioma, zarnenio je Euklidov peti postulat u ver-ziji euklidske geometrije koja je bila rasprostranje-na u osamnaestom veku; zbog toga se sam Euklidovpeti postulat ponekad, pomalo pogresno, naziva,postulat 0 paralelarna'). Slicno tome, princip da jezbir uglova u trouglu jednak dvama pravim uglo-virna predstavlja drugi princip koji moze da vrsiistu funkciju kao Euklidov peti postulat, a trecitakav princip je onaj koji kaze da za bilo koje tridate tacke koje nisu na pravoj liniji postoji tacno /jedan krug koji kroz njih prolazi. Ovo su sarno trirazlicita principa od kojih svaki moze da se uzmeumesto Euklidovog petog postulata a da se time ne Ismanji broj teorema koje se mogu dedukovati. Alinema nikakvog razloga za verovanje da je bilo kojiod ovih alternativnih principa mnogo jednostavnijiod samog Euklidovog petog postulata.

Sakjeri. Neposredan nacin da se pokaze kakoje peti postulat zavisan od ostalih postulata sasto-jao bi se u konstrukciji dokaza petog postulata, bezdrugih premisa izuzev preostalih postulata (i aksi- .;

68 STEFAN BARKER

oma i definicija). Taj pristup je bezuspesno opro-balo nekoliko grckih i arapskih komentatora Eu-klida. Drugi nacin da se dokaze kak? peti po~tula~nije nezavisan od drugih sastojao bi se u pnmemposrednog metoda zakljucivanja zvanog re~ ~d

V absurdum: pretpostavimo, u svrhu dokaza, d~ jepeti postulat nezavisan od d~gih a on~~ pokazimoda ova pretpostavka vodi protivrecnosti I zato morabiti lazna'. To je bio metod koji je u osamnaestomveku okusao Italijan Sakjeri. Pretpostaviti da jeEuklidov peti postulat nezavisan od ostali~ znac~pretpostaviti da bi bilo logicki moguce da sVI.os.t.ahbudu istiniti, ali da je peti postulat lazan, Sakjerijev

. 0

Slika 3.

postupak je bio ovaj: za pocetak, on je pretpostavioda su EukHdova prva cetin postulata istinita (onje jos pridodao pretpostavku da se svaka prava li-nija moze produzavati proizvoljno - na ovu pret-

1 Objasnjenje rasudivanja reductio ad a.bsurdum vidiu Wesley C. Salmon, Logic, pp. 3{}-32, Prentice-Hall Foun-dations of Philosophy Series.

NEEUKUDSKA GEOMETRIJA 69postavku naveo ga je Euklidov drugi postulat, madaona u njemu nije sadrzana eksplicitno); u svrhudokaza on je pretpostavio i da je peti postulat lazan.On je zatim posmatrao duz AB u cije su krajnje ta-eke normalno spustene duzi AC i BD jednake duzine.Polaze6i od svojih pretpostavki on je bio u stanjuda dokaze da u svakom takvom pravougaoniku ugaoACD mora biti jednak uglu BDC.0 ovim uglovima,koje je on zvao "temeni uglovi", namecu se tri hipo-teze: ili (i) u svim takvim cetvorouglovima temeniuglovi su pravi uglovi ili (Ii) u svim takvim cetvo-rouglovima temeni uglovi su tupi uglovi ili (Iii) usvim takvim cervorouglovima temeni uglovi su ostriuglovi. Jedna i samo jedna od ovih hipoteza morabiti ispravna, pretpostavljajuct da je prostor uvekisti, tako da sve sto je geometrijski istinito 0 figu-rama u jednom trenutku i na jednom mestu uvekje istinito 0 figurama na svakom drugom mestu.Na osnovu ovih pretpostavlci, Sakjeri je bio u stanjuda pokaze da Euklidov peti postulat mora biti istinitako vafi hipoteza (i), ali posto je pretpostavio laz-nost petog postulata, on je odbacio hipotezu (i). Naosnovu svojih pretpostavki, on je pokazao da sehipoteza (ii) takode moze odbaciti, jer protivrecipretpostavci da se prava linija moze proizvoljnoproduZavati. Tako je ostala samo treca hipoteza.Sakjeri je ucinio sve 5tOje mogao da pokaze da jehipoteza (Iii) nespojiva s njegovim pretpostavkamai verovao je da ima pravo da je odbaci kada jepronasao da ona vodi nekim neobicnim posledica-ma. Ali on nije uspeo da nade nijednu strogo logic-ku nemogucnost kojoj bi ona vodila. Da je uspeo da

70 STEFAN BARKER NEEUKUDSKA GEOMETRIJA71

pokaze kako je (iii) nespojiva S njegovim pretpo-stavkama, on bi bio zavrsio svoj dokaz, jer bi tadabio nasao protivrecnost koja se trazi u metodureducto ad absurdum. Bilo bi protivrecno da barjedna od tri njegove hipoteze mora biti istinita i danijedna od njih ne bude istinita, na osnovu njego-vih pretpostavki. To bi znacilo da njegove pretpo-stavke ne mogu sve zajedno da budu istinite, pa bise na taj nacin dokazalo da peti postulat ne mozebiti nezavisan od ostalih. Sakjeri nije uspeo da os-tvari svoj cilj, ali je ucinio nesto sasvim drugo iveoma znacajno, a da toga nije bio svestan. Poku-savajuci da dokaze apsurdnost hipoteze (Iii), on jeiz nje dedukovao razne posledice, posledice koje subile nalik, ali jos uvek neobicno razlicite od teore-ma euklidske geometrije. Sakjeri je u stvari doka-zao izvestan broj osnovnih teorema jedne, sasvimnove, vrste geometrije, a pritom nije shvatao znacajonoga sto je ucinio.

v

Geometrija Lobacevskog, Tek u devetnaestomveku matematicari su razumeli Iogicku situaciju ishvatili su da je Euklidov peti postulat zaista neza-visan od ostalih njegovih postulata, sto znaci damogu postojati logicki neprotivrecni sistemi geome-trije koji umesto Euklidovog petog postulata sadrzeneki suprotan postulat. U toku prvih decenija devet-naestog veka tri razna maternaticara, ne znajuci je-dan za drugog i ne znajuci za Sakjerijevo delo, sa-svim nezavisno, razvili su jednu novu vrstu geo-metrije. Nemacki matematicar Gaus, mada svojemisli 0 toj stvari nije objavio, bio je verovatno prvi

koji je shvatio Iogicku mogucnost jedne geometrijerazlicite od Euklidove; Gaus je uveo termin ,,neeu-~lidska geometrija" da opise vrstu geometrijs kojaje u stvari geometrija Sakjerijeve hipoteze 0 ostrom r ;;,uglu. ~usk.i matemaucae Lobacevski i Madar Boljai,nezavisnojedan od drugog, objavili su opise ove istevrs~e g~ometrije. Za razliku od Sakjerija, koji jesVOJUhipotezu 0 ostrom uglu smatrao apsurdnom,ovi matematicari su svesno razvijali ono sto su sma-trali novom vrstom logi~ki neprotivrecne geome-trije.

Principi ove nove geometrije bili su neobicni irazli~iti od pr~~cipa euklidske geometrije. U tojnovoj geomernjr, kroz jednu tacku izvan date linijeuvek moze da se povuce vise Iinija koje su paralelne '/sa datom linijom. Isto tako, zbir uglova u trouglu~vek je.~anji od dva prava ugla, a velicina za koju ./je manji srazmerna je povrsini trougla; trouglovikoji imaju nejednake povrsine ne mogu nikada, da- vkle, da budu slicni. Stavise, kolicnik izmedu obimak~~a .i ~jego~og pr~cnika uvek je veci od 'It, i tajkohcm~ je veci ukoliko je veca povrsina kruga. Ali, ./ma koliko da su ovi principi bili neobicni, nije seutvrdilo da oni protivrece jedan drugome.

Geometrija Rimana. Kasnije u devetnaestomveku nemacki matematicar Riman, i nezavisno odnjega Helmholc, razvili su jednu druguvrstu geo-~etrije. koja je, u stvari, odgovarala Sakjerijevojhlpotezl 0 tu~om uglu. U toj vrsti geometrije poricuse i Euk idov peti postulat i pretpostavka da seprava linija moze produZavati do bilo koje zeljene V

72 STEFAN BARKER

duzine. U njoj za svaku pravu liniju postoji najvecaduzina do koje se linija moze produziti. Zbir uglovau trouglu uvek je veci od dva prava ugla, a odstu-panje je proporcionalno povrsini trougla. Kolicnikobima kruga i njegovog precnika uvek je manji od'It i smanjuje se kada se povrsina kruga povecava,Gausov izraz "neeuklidska geometrija" poceo je dase upotrebljava i za Rimanovu i za Lobacevskijevuvrstu geometrije.

U stvari, Riman svoje shvatanje nije razvio po-mocu postulata, nego uopstavajuci i prosirujuci po-

Vjam .zakrivljenosti" koji je razvio Gaus. Gaus,proucavajuci povrsi i jednacine koje ih opisuju,upotrebio je pojarn geodezijske linije - linije kojalezi u jednoj povrsi i koja je najkrace rastojanje

./ izmedu dve tacke na toj povrsi, On je pokazao dapriroda geodezijskih linija jedne povrsi zavisi odjedne osobine povrsi, koju je definisao i nazvao.zakrivljenost". U ravni, naravno, sve geodezijskelinije su prave linije, a za tu povrs se kaze da imanultu zakrivljenost. Na sfernoj povrsi sve geodezij-ske linije su takode slicne - sve su one lukovi veli-kih krugova; za sfernu povrs se kaze da ima jedno-liku pozitivnu zakrivljenost, pri cemu je velicinazakrivljenosti obrnuto srazmerna velicini sfere. Napovrsi jajeta, medutim, ne bi sve geodezijske linijebile slicne, vec bi se razlikovale za parove tacakakoje leze u razlicitim oblastima povrsi, a razlikovale

.; bi se takode, u zavisnosti od polozaja tacaka, cak iu istoj oblasti; za jajastu povrs se kaze da ima pozi-tivnu zakrivljenost koja se na njemu menja od

NEI!UKLIDSKA GEOMETRIJA 73

mesta do mesta. Za sedlastu povrs se kaze da imanegativnu zakrivljenost.

Zamislimo sada slepog crtaca geografske kartekoji je zatvoren u jednoj povrsi tako da se mozekretati sarno u toj povrsi, a nikada iznad ili ispodnje. Sa njegovog stanovista, "prava linija" bi se zaprakticne svrhe mogla izjednaciti sa najkracim ra-stojanjem izmedu dve tacke, Tada ce "geometrija"povrsi (koliki ce biti zbir uglova u "trouglu" sastav-ljenom odtri geodezijske linije i tako dalje) zavisiti Vod zakrivljenosti povrsi: dve oblasti povrsi koje suslicne u pogledu zakrivljenosti bice slicne i u po-gledu svojih "geometrija". Mada matematicka defi-nicija zakrivljenosti nije jednostavna, zakrivljenostje nesto sto se moze lako vizuelno predstaviti po-mocu obicnih povrsi i u tome nema niceg paradok-salnog.

Riman je uopstio Gausov pojarn zakrivljenostitako da se on mogao primenjivati i na trodimenzio-nalni prostor, omogucujuci narn da govorimo 0

zakrivljenosti trodimenzionalnih oblasti prostora,podrazumevajuci pod tim meru u kojo] se "geome-trija" jednog dela prostora razlikuje od euklidskegeometrije. Euklidsku geometriju mozemo opisatizarnisljajuci prostor cije su sve oblasti nulte zakriv- ../ljenosti. Geometrija Lobacevskog posmatra prostorCije su sve oblasti slicne po tome sto imaju nekustalnu, negativnu zakrivljenost. Geometrija Rimana Vopisuje prostor cije su sve oblasti slicne po tomesto imaju neku stalnu, pozitivnu zakrivljenost. Ra-zume se, ovo otvara mogucnost zamisljanja proiz-

74 STEFAN BARKER

voljnog broja drugih vrsta prostora u kojima zakriv-ljenost nije svuda stalna.

Ovakav nacin govora ipak ne izgleda paradok-salan. Kada laik cuje da se govori 0 .zakrivljenosti"prostora, on moze pomisliti da se od njega ocekujeda vizuelno predstavi zakrivljenost trodimenzional-nog prostora na isti nacin na koji moze uspesnovizuelno predstaviti zakrivljenost povrsi u trodi-menzionalnom prostoru. MoZda laik pokusava dazarnisli trodimenzionalan prostor kao nesto savijenoi iskrivljeno, mozda sa cetiri dimenzije. Ova vrstaproizvoda maste je nepotrebna kao sto je i nemo-guca. Ne smemo pretpostavljati da matematicaristvaraju ili da ocekuju da drugi stvore takve nemo-guce proizvode maste. I za dvodimenzionalne povr-si i za trodimenzionalne prostore termin .zakriv-ljenost" je u osnovi definisan pozivanjem na mate-maticka svojstva jednacina koje opisuju ponasanjegeodezijskih linija. Taj pojam ima smisla i u manjeapstraktnirn slucajevima povrsi, gde brzo mozemo

, vizuelno predstaviti njegov sadrzaj, i u apstraktni-jirn slucajevima gde ne mozemo vizuelno predstavitinjegovo znacenje nikakvim bukvalnim savijanjemi krivljenjem sve tri dimenzije.

Problem neprotivrecnosti. Razvoj geometrijeLobacevskog i Rimana imao je revolucionaran inte-lektualni znacaj, Raniji mislioci, a narocito filozofKant, smatrali su da postoji sarno jedna Istinita geo-metrija, ciji su zakoni nuzno i neizmenljivo euklid-ski. Zar to glediste nije nedvosmisleno pobijenonastankom ovih novih vrsta geometrije? Ali ako

NEEUKLIDSKA GEOMETRIJA 75

matematicari dozvoljavaju razvoj alternativnih geo-metrija ciji zakoni protivrece zakonima euklidskegeometrije, sta se desilo s pojmom istine u mate-matiei? Da Ii je moguce da ove suprotne geometrijebudu podjednako istinite? IIi matematicari viSe netraze istinu 0 prostoru?

Mnogi konzervativni duhovi bili su duboko za-brinuti zbog ovih pitanja i bili su duboko potresenirazradom neeuklidskih geometrija, Oni su mislilida su svi Euklidovi postulati i teoreme istiniti, i daje to nuzno: oni su zato mislili da sve neeuklidskegeometrije moraju sadrzavati nesto sto je nuznolazno. Cinilo im se da jedan sistem geometrije morabiti Iogicki protivrecan ako sadrzi nuzno lazne po-stulate i teoreme 0 prostoru, kao sto je onaj da jezbir uglova u trouglu manji ili veci od dva pravaugla. Pa ipak, niko nije uspeo da otkrije, ni ugeometriji Lobacevskog niti u geometriji Rimana,nijedan par teorema koje u strogo logickom smisluprotivrece jedna drugoj (nairne, da protivrece jednadrugoj na osnovu svoje logicke forme). Protivnieineeuklidske geometrije, mada su uporno pokusavali,nikada nisu bili u stanju da pokazu da ona krsi za-hteve za formalnom logickom neprotivrecnoscu, Paipak, nije ni pozitivno dokazano da su ovi neeuklid-ski sistemi neprotivrecni. Jedno vreme nametalo seveoma vazno pitanje da li su oni neprotivrecni.Ozbiljnost ovog pitanja bila je vazan Cinilac koji jematematicare prisiljavao da traze logicke postupkejos strozije od onih koje je uzeo u obzir Euklid. Dru-gi cinilac bilo je rastuce ubedenje da postoje logickeslabosti u samim Euklidovim Elementima.

v

76 STEFAN BARKER

Logicke praznine u Euklido.vim. "Element!ma".Vise od dve hiljade godina Euklidovi Elementi nad-zivljavali su sve izazove i ostajali kao najvise ~a~e-matioko ostvarenje. Euklidova merila strogosti ~Ilasu predmet divljenja kao najvisa mogu~a merila,a mislilo se i da se razumljivost njegovih dok~ane moze prevazici. Ali postepeno, pocele su sve VIsei vise da se nagomilavaju sitne zam~rke. U tok~V devetnaestog veka matematicka merila str~gostlnaglo su porasla, pa je postalo jasno da Eukhdovodelo, mada je dostojno divljenja, sadrzi mn?ge ~o-gicke praznine. Postoje mnoga mesta u Euklidovimdokazima gde su njegove izlozene pretpostavke ne-dovoljne da bi njegovi zakljucci proizlazili sam~ naosnovu formalne logike. Jedan primer takve logickepraznine nalazi se u Euklidovom dokazu St~va I,koji smo razmotrili u prethodnom poglavIJ~. Utom dokazu Euklid propisuje da treba nacrtati dvakruga, jedan sa centrom u tacki A: i .drugi sa c:en-trom u tacki B, pri cemu rastojanje izmedu A ~.Btreba da posluzi kao poluprecnik svakog ~d. nJih:Neposredno zatim on govori 0 tacki C u. kOJoJ se .tIkrugovi seku. Ali kakve Iogieke razloge ima Euklidda kaze da mora postojati tacno jedna takva taCk~C? S kojim pravom on pretpostavlja da se krugoviuopste moraju seci, iIi, ako se ve~ s~k~, da to mozebiti samo jednom? Euklid ne koristi nikakav postu-lat iz kojeg to proizlazi; on nema nikakav postulatJ koji mu osigurava kontinuitet linija i krugova. !'a-kle, postoji logicka praznina u njegovom rasu.dIva~nju: iz premisa koje on stvarno iskazuje ne proizlazi

, . tisarno na osnovu formalne logike da mora postoja I

77NcRUKLIDSKA GEOMETRIJA

tacno jedna takva tacka C. Da bi se dodalo ono stoje potrebno, moze se uvesti novi postulat koji kazeda ako jedna linija (kao sto je ACE, kruznica) upotpunosti pripada jednoj figuri (ovde je to ravan)koja je podeljena na dva dela (spoljasnjost i unu-trasnjost kruga) i ako ta linija ima bar jednu zajed-nicku tacku sa svakim delom, onda ona mora secigranicu izmedu delova. Da bi se popunila Iogickapraznina u Euklidovom dokazu njegovog Stava I,neki takav novi postulat trebalo bi dodati njegovomsistemu.

. Zasto ni sam Euklid ni vecina njegovih citalacatokom vekova nisu primetili ovu logicku prazninu?Razlog je sigurno u tome sto im je na osnovu slikekoja je pratila Euklidov Stav I izgledalo savrsenojasno da mora postojati takva tacka C; to je bilotoliko ocigledno da nikada nisu pomisljall da za totraze dokaz. Citalac koji posmatra sIiku nalazi da jeEukIidovo zakIjucivanje savrsenr, ubedljivo, jer jenemogucs vizuelno predstaviti ta dva kruga kakoIeze u istoj ravni a da se ne seku u nekoj tacki C.Ova situacija cesto nastaje u Euklidovim dokazima:na mnogim mestima njegovi zakljucci ne slede iznjegovih iskazanih premisa, samo na osnovu for-maIne Iogike, pa ipak citalac nalazi da je zakljuci,vanje vrlo ubedljivo zato sto Euklidova knjiga sadr-zi sliku koja opisuje geometrijs:ku situaciju 0 kojojse raspravlja, sIiku koja citaocu omogucuje da osetikako vidi da Euklidovi zalkljucci moraju da vaze.

Da Ii je Euklidovo rasudivanje neispravno uslucajevima· kada njegovi zakljucci ne slede iziskazanih premisa sarno na osnovu Iogike? Bilo bi

STEFAN BARKER78

mozda preterano strogo reci tako nesto. Neki fila-zofi i neki logicari ponekad govore ka? da misle ~aje jedino ono zakljucivanje stvarno ispravno koje.. vno sarno na osnovu svoje logicke forme,~~prn . .ali to je preterana krajnost. Mnogi savrseno lspra~deduktivni argumenti nisu valjani na osnovu svo~eformalne logicke strukture, vec na osnovu ?oseb:uh

/ znacenja vanlogickih termina koji se u njima jev-ljaju: mozda bi u tom svetlu .bilo mogu~ posma-trati Euklidove dokaze. Medutim, ove logicke praz-nine nikako ne treba opravdavati, mada ne z~aceda je Euklidovo rasudivanje ~ei~r~~no. Te l?gl~kepraznine su nenamerne: Eukhd ih mje popumo jed-nostavno zato sto ih nije bio svestan - a pretpo-stavke neophodne da se te praznine ispune ~o svomesadrzaju nisu nista trivijalnije niti su manje vredn~da bi bile eksplicitno izlozene nego sto su postulatikoje je Euklid eksplioitno prihva~i.o. K~da je Eu-klid poceo da sistematise geometnJ'?, ~Je~~v z~da:talk je sigurno bio da nade dokaze koji bi bili valJa~sarno na osnovu svoje logicke forme (mada sVOJzadatak verovatno ne bi bio opisao na taj nacin).Tamo gde njegovo rasudivanje u tom~ ~e u~peva,on ne postize svoj cilj i njegovom zakljucivanju n~-dostaje strogost koju bismo i on i mi zeleli da Jeimao.

Deduktivni sistemi posmatrani apstraktna. 1.e-lja da se dopune ove praznine u Euklidovim .~ok~-zima predstavljala je jedan razlog za razvijanje

../ strozijeg stila u sistematskom prikazivanju geom~-trije. Drugi, jaoi razlog bilo je to sto je u sistematl-

NEEUKLIDSKA GEOMETRIJA79

zaciji neeuklidske geometrije postalo apsolutnon~no izbecl praznine u rasudivanju, kako bi se 1/osigurala potpuna pouzdanost dokaza. Neprotiv-recnost neeuklidske geometrije bila je dovedena usumnju, ta~o da je bilo nuzno osigurati da se nije-dna neeUlkhdska teorema ne moze dedukovati akone sledi strogo logicki iz aksioma. Naravno, u ne- Veuklidskim geometrijama i ovako i onako ne dolaziu obzir crtanje dijagrama na koje bismo se moglis pouzdanoscu pozivati u popunjavanju praznina upretpostavkama - posto ce verovatno svako ko ko-risti dijagram da ga interpretira na euklidski a nena neeuklidski nacin. Euklidska geometrija odrzalase dva milenijuma bez potpune strogosti u svojimdokazima zato sto niko nije posumnjao u njenu ne-P~otiv~ecnost. i zato sto su crtezi sasvim lepo ispu-nJ.~vah.~raznme u rasudivanju. Neeuklidska geome-trija mje mogla da se koristi ni jednom od ovihokolnosti.

Iz ovih razloga razvila su se kasnije u devetnae-stom veku strozija shvatanja 0 tome kako trebaurediti jedan deduktivni sistem da bi se izbegla onavrsta logickih praznina koja je pogadala Euklidovprikaz, Cilj je prikazati dokaze koji su valjani jedinona osnovu svoje logicke forme. Da bi se taj cilj po-stigao, izlaganje treba da bude takvo da se mozeposmatrati sa vrlo hladnog i apstraktnog stanovista.To ne znaci da u razmiSljanju 0 jednom sistemu miu,vek treba da zauzmemo to apstraktno glediste, aliSlstem mora biti tako prikazan da, kadgod zazelimoda ispitamo valjanost dokaza, lako moiemo poceti

80STEFAN BARKER

da sistem posmatramo u vrlo apstraktnoj svetlosti.Ovo stanoviste bice apstraktno na dva nacina.

Prvo, kada sistem prihvatarno, necemo obracatipaznju na to da li su aksiome i teoreme istinite, jerto moze da odvuce nasu paznju s njihovih uzajam-

;<1 nih logickih veza. U euklidskoj geornetriji postojiopasnost da se osetimo sigurnim kako su izvesneteoreme istinite i da zbog toga pogresimo zamislja-juci da one slede iz premisa koje ih logicki ne po-vlace: u neeukIidskoj geometriji postoji suprotnaopasnost kada smo skloni da pomislimo kako jeneka teorema lazna, pa nas to spreci da vidimo kako

'v ona u stvari logicki sledi iz svojih premisa. Resenjese sastoji u tome da ne obracamo paznju na to daIi su aksiome ili teoreme istinite, vec da usredsre-dimo paznju na njihove deduktivne uzajarnne veze.

Pored toga, ovaj pristup je apstraktan u dru-gom i radikalnijem smislu: kada prihvatimo to sta-noviste ne moramo poklanjati nikakvu paznju zna-

V cenjima osnovnih termina koji se javljaju u aksio-J mama. Znacenja geometrijskih termina nemaju ni-

ceg zajednickog s formalnom, logickom valjanoscudokaza teorema. Pa ipak, jos uvek je suvise lakonesvesno upotrebiti pretpostavke koje ne primecu-jemo dok ih upotrebljavarno, ukoIiko jasno imamona umu znacenje termina. To se desilo Euklidu.(Neki moderni pisci prenaglasavaju tu cinjenicu,govoreoi da morarno, strogosti radi, osnovne termi-ne sistema smatrati za besmislene. To je preteriva-nje, jer se strogosti radi nikako ne moze od naszahtevati da mislimo kako su termini besmislenikada sasvim dobro znarno da oni imaju znacenja.


Stvar je vise u tome da kada razmatrarno dokazestrogosti radi, ne smemo obracati paznju ni na stast? zna~o 0 uobicajenim znacenjima osnovnih ter-mma sistema.)

Nas je cilj da izgradimo sistem tako da svakat~orema ~ledi iz postulata na osnovu stroge deduk-trvne l~gIke - nairne, na osnovu same Iogicke for-me. TaJ c~lj postizemo tako sto sistem gradimo natakav ~aCin da se moze posmatrati s apstraktnogstanovista. Dakle, u principu, neko bi mogao bitiu t . d . . II

S anju a rspita valjanost svakog dokaza ako znalo~iku,. cak i ako ne razume znacenje nijednog ter-rmna sistema (i prema tome, naravno, nema nikakvuosnovu za misljenje 0 istinitosti ili laznosti ma koje~ksiorr:e v ~l~teo~eme). Sa tog stanovista nepodesnoje U~IJUCItIu sistem bilo koju definiciju osnovniht~r~.l~a; takve definicije (kao sto je Euklidova de- ijfl~IcIJa tacke kao necega sto nema delova) nemajumka.kvog uticaja na valjanost dokaza teorema i zatosu irelevantne za sistem kada se on posmatraaps.tr~~~no. S~a~iSe, Sa ovog apstraktnog stanovista,definicije definisanih termina moraju se smatratisarno ~o~ovorima u pogledu zapisivanja, koji namJ'~~o~cuJu da recenice pisemo na razne nacine. De-finicije moraju biti takve da se na osnovu njih vidi~a~o se bilo koja recenica sistema, koja sadrzi de~~mls.ane termine, moze ponovo napisati sarno pomo-cu simbola za osnovne termine sistema. Sarno kadas~o u stanju da aksiome, osnovne termine i defini-c~Je sagledamo u apstraktnoj svetlosti, mozerno bitislgu:m da si; nasi sudovi 0 onome sto iz njih logick]sledi dosledni i strogi.

82 STEFAN BARKER NF.EUKLIDSKA GEOMETRIIA83

Neinterpretirana geometrija i njene interpreta-cije. Poslednjih decenija postalo je uobicajeno raz-likovati one 510 se zove "cista geometrija" i one stose zove "primenjena geometrija". Cista geometrijabi bila geometrija koja se proucava s apstraktnogstanovista 0 kojem smo raspravljali, dok bi prime-njena geometrija bila geometrija koja se proucavaposto su njenim terminima pripisana odredena zna-cenja. Medutim, ovaj nacin izrazavanja nije basnajsrecniji, jer bi prema tome EukIidovo delo vero-vatno moralo da se svrsta u primenjenu, a ne ucistu geometriju, pa bi izgledalo kao da se EukIidnije bavio matematikom, vec, recimo, inzenjerstvom- sto bi bila pogresna misao. Urnesto toga, dogo-

d vorimo se da govorimo 0 neinterpretiranom sistemuza razliku od interpretiranog sistema geometrije.Tada mozemo reci da su se Euklidovi Elementi po-javili kao interpretirani sistem (posto je EukIidsigurno imao na umu neka prilicno odredena zna-cenja svojih termina). Ali u svetlosti onoga sto smoranije rekIi, jedan geometrijski sistem treba sma-trati neinterpretiranim kada nastojimo da strogoproucimo njegovu logicku strukturu. Narocito je uproucavanju neeuklidskih geometrija vazno misIitio njima kao 0 neinterpretiranim sistemima, kadaproucavamo dokaze njihovih teorema. Kada jedan

V sistem posmatramo kao nei?t:rpr~tir~n, mi. ne obra~carno paznju kakva znacenja imaju njegovi osnovmtermini, ako ih uopste imaju, i mi ne obracamopaznju da li su njegove aiksiome i teoreme istinite,da Ii su lazne Hi nisu ni istinite ni lazne (kao stoce se desiti ako njegovi termini nemaju odredena

znacenja - jer recenice ne mogu biti ni istinite niIazne ako njihovim terminima nedostaju znacen]a).

Kada jedan geometrijski sistem zelimo da po-smatramo kao neinterpretiran, onda se najjasniji inajsigurniji postupak sastoji u tome da aksiome iteoreme izrazimo shematski, zamenjuj nci reci, kaosto su "tacka" i .Jinija", slovima, kao sto su "P" i V"L". To nam pomaze da izbegnemo uticaj znacenjakoja normalno pridrufujemo recima kao 5tO su"tacka" i "Iinija" i omogucuje nam da nasu paznjuusredsredimo na apstraktnu Iogicku strukturu si-stema. Da bismo ilustrovaIi ovaj pristup, vratimo seEuikIidovim postulatima koje smo izlozil] u Poglav-lju 1 i razmotnmo kako bismo ih mogli drukcije iz-raziti kada bismo hteli EukIidov sistem da posma-tramo kao neinterpretiran (sam Euklid ga je sigur-no smatrao interpretiranim sistemom, ad nas to nesprecava da ga mi posmatramo kao neinterpretiran).

Euklidov prvi postulat je glasio da se izmedubilo koje dve tacke moze povuci prava linija. To j~isto kao kada se kaze da za bilo koje dve razltcitetacke postoji jedna prava linija kojoj obe tacke pri-padaju . .A!kosada ovaj postulat iskazemo shematski,onda on postaje:

1. Za svake dve razlicire P postoji jedna S pre-ma kojoj su obe P u relaciji B.

Ovde, umesto da govorimo 0 tackama, govorimoo P, umesto da govorimo 0 pravim linijama, migovorimo 0 S, a umesto da kazemo kako jedna stvarPripada nekoj drugoj, mi kazemo da je jedna stvaru relaciji B prema drugoj.

84 STEFAN BARKER

Euklidov drugi postulat je tvrdio da se svakaduz moze produziti u pravu liniju. T.o.znac~ da zasvaku pravu liniju koja ima dve krajnje tacke po-stoji jedna druga prava linija kojoj pripa~~ju ob~ove tacke, ali od kojih je sarno jedna od njih kra~-nja. Aikoovaj postulat ponovo iskazemo shematski,on tad a postaje: . .V.

2. Za svaku S za koju postoje dve razlicite Pkoje su u relaciji E prema S, posto~~)edna ~ruga Sprema kojoj su obe ove ~. u relaCl]~..B, ali premakojoj je sarno jedna od njih u relaoiji E. .

Ovde, umesto da kazemo da je jedna stvar kraj-nja tacka jedne druge stvari, mi sarno. kazemo daje jedna stvar u relaciji ~ prema drugoj. . v ••

Nastavljajuci tako, mogli bismo ponovo izlozitisve Euklidove postulate i definicije na ovaj shemat-ski nacin: stavise, mogli bismo predvideti kako ne-sto sto se moze reci pomocu Euklidovih pojmova,moze da se kaze na nas shematski nacin. To namveoma olaksava proucavanje formalne logike Eu-klidovog sistema. Sada je lako ostati. na a?stra~~-nom stanovistu u proucavanju pitanja 0 izvodlji-vosti zakljucaka iz postulata ili 0 isp~avn?sti. pred~lozenih dokaza. U proucavanju takvih pitanja rmkoristimo sarno shematske verzije recenica 0 kojima

, je rec, jer nas zanimaju sarno dedukcije koje suvaljane iskljucivo na osnovu svoje logicke forme.Prema tome, mi ne obracamo paznju na to sta "P","S" i druga prazna slova znace - sto je lako uciniti,posto ova slova nemaju posebna znacenja.

Pretpostavimo sada da smo jedan sistem posma-trali kao neinterpretiran i da smo iskazali njegove

NF.l:l'KLIDSKA GEOMETRIJA

postulate, definicije i teoreme na ovaj apstraktnishematski nacin, Pretpostavimo da smo pozeleli dapromenimo nase stanoviSte i da neinterpretirani si-stem pretvorimo u interpretirani tako sto cemo pri-pisati znacenja svim njegovim praznim slovima.Posmatrajmo shematske postulate (1) i (2) kojesmo upotrebili kao ilustracije. One sadrze praznaslova "P" i "S", koja predstavljaju neodredenuvrstu stvari, i prazna slova "B" i "E" koja pred-stavljaju neodredene relacije izmedu stvari. Jedannacin da se ovim praznim slovima pripiSe znacenjesastoji se svakako u tome da se dogovorimo da "P"oznacava tacku (u nekom odredenom smislu), da"S" oznacava pravu liniju (u nekom odredenomsmislu), da "B" oznacava relaciju izmedu tacke ilinije kada tacka pripada toj liniji i da "E" ozna-cava relaciju izmedu tacke i linije kada je ta tackakraj linije. Kada interpretiramo prazna slova naovaj nacin, onda se (1) i (2) mogu pretvoriti u prvii drugi Euklidov postulat. Ali moramo primetiti dapostoje takode bezbrojni drugi nacini da se ovimpraznim slovima pripiSu znacenja tako da (1) i (2)postanu smisleni iskazi i da prema tome budu isti-niti ili Iazni.

Na primer, "P" smo mogli interpretirati takoda oznacava pravu Iiniju, da "S" oznacava tacku, da"B" oznacava relaciju izmedu linije i tacke kada seta linija zavrsava u toj tacki i da "E" znacl relacijuizmedu jedne linije i jedne tacke kada ta linijasadrii tu tacku. U ovakvoj interpretaciji (1) i (2)postaju Iskazi:

85

86 STEFAN BARKER

Za svake dye razlicite prave linije postoji jednataoka u kojoj se obe linije zavrsavaju.

Za svaku tacku za koju postoje dye razliciteprave linije ad kojih svaka sadrzi tu tacku, postojijedna druga tacka u kojoj se obe ove prave zavrsa-vaju, ali koju samo jedna od njih sadrzi.

Ovo su smisleni geometrijski iskazi, ali, kako sevidi, oba su lazna ukoliko se termin "tacka" i "pravalinija" upotrebljavaju u normalnom smislu.

(1) i (2) mozemo takode interpretirati tako danemaju nirkakve veze s prostorom. Na primer, "S"bi moglo da oznacava vremenske intervale (kao stosu dvadeseti vek, godina 1492. Hi Platonov zivot)."P" bi moglo da oznacava trenutke (kao sto je pro-lecna ravnodnevnica 1888. ili pocetak dvadesetogveka). "B" bi moglo oznacavati relaciju izmedujednog trenutka i jednog intervala kada taj trenu-tak pripada tom intervalu. Najzad, "E" bi moglooznacavati relaciju izmedu jednog trenutka i jednogintervala kada je taj trenutak najraniji ili najkasnijitrenutak intervala. U ovakvoj interpretaciji (1) i(2) postaju iskazi:

Za svaka dva razlicita trenutka postoji jedaninterval kojem oba trenutka pripadaju.

Za svaki interval za koji postoje dva razlicitatrenutka od kojih je svaki dli najraniji ili najkasnijitrenutak tog interval a, postoji jedan drugi intervalkojem oba trenutka pripadaju, ali u kojem je samojedan od njih najraniji ili najkasniji.

Ovde opet dobijamo dva smislena iskaza, ali ovo-ga puta oni nemaju nikakve veze s prostorom. I, kaosto biva, ovaj nacin interpretiranja daje nam dva


iskaza od kojih su oba istinita. Naravno, mogli bise jos naci bezbrojni drugi nacini da se interpreti-raju (1) i (2); neki bi nam davali istinita tvrdenja,a neki lazna,

Kazemo da je neka interpretacija pripisana ci- 7tavom neinterpretiranom sistemu kada smo po jed-no znacenje izabrali za svako prazno slovo koje se rjavlja ~ she~atsk.im postulatima i teoremama. Sve ..-Jdok om ostaju nemterpretirani, shematske recenicenisu ni istinite ni lazne, ali kada se svakom praznomslovu pripise znacenja, onda svaki postulat i svakateorema postaju iskazi koji su Hi istiniti ili lazni. VNeinterpretirani sistem je obicno takav da za mnogeinterpretacije neki Hi svi njegovi postulati i neke ilisve njegove teoreme postaju lazni iskazi, dok za nekedruge interpretacije njegovi postulati i teoreme po-staju istiniti iskazi.

Protivrecnost. Protivnici neeuklidskih geome-trija su se nadali da ce biti u stanju da pokazu kakosu one protivrecne, Pogledajmo sta to znaci, Protiv-recnost, u smislu 0 kojem se time bave matemati-cari, nema nikakve veze s posebnim znacenjima kojamogu imati termini u sistemu; protivrecnosr se ticesamo apstraktne Iogicke strukture sistema. Reci da 7je jedan ~istem.pr~tivre~an ~na~i reci da se dye teo- \..prerne koje Iogicki protivrece jedna drugoj moguded?kovati iz aksioma sistema (zovimo to sada Jaksiomama, a ne postulatima). Na primer, pretpo-stavimo da postoji sistem iz cijih bismo aksiomamogll da dedukujemo teoremu "Za svako S postojiP prema kojem je ono u relaciji R" i iz cijih bismo

88 STEFAN BARKER

aksioma takode mogli da dedukujemo teoremu "Po-stoji bar jedno S koje nije u relaciji R ni premajednom P"; ove dve teoreme protivrece jedna drugoj,a to znaci da je sistem kojem one pripadaju protiv-recan,

Zasto bismo brinuIi da Ii je jedan sistem pro-tivrecan? Tradicionalni odgovor kaze da je nepro-tivrecnost vazna zbog svoje veze s istinitoscu.Otkrice protivrecnosti u interpretiranom sistemu bi

/ pokazalo da nisu sve aksiome sistema istinite.Otkrice protivrecnosti u neinterpretiranom sistemu

JPokazalo bi da ne postoji interpretacija u kojoj susve njegove aksiome istinite - a sistem koji nemoze biti istinit ni u jednoj interpretaciji relativnoje nezanimljiv.

Kako mozemo otkriti da Ii je neki sistem ne-protivrecan? Neposredan nacin dokazivanja protiv-recnosti sastoji se, naravno, u pronalazenju dvejuteorema koje protivrece jedna drugoj na osnovusvoje logicke forme i koje strogo slede iz aksioma.Medutim, dokazivanje neprotivrecnosti moze bitimnogo slozenije. Na ovom mestu mozemo uocitidva razlicita nacina (kasnije cemo razmotriti i treoi).

(' Prvi nacin bio bi da se nade jedna interpretacija u\

kojoj su sve aksiome (pa prema tome i sve teoreme)sistema nedvosmisleno istinite. Ogranicenost ovogprvog metoda je u tome sto od nas zahteva savrsenoodredeno znanje 0 istinitosti interpretiranih iskaza;sarno ako nema nikakve sumnje u pogledu njihoveistinitosti, moze se reci da je dokaz neprotivrecno-sti uspesan, Drugi metod utvrdivanja neprotivrec-nosti sastoji se u davanju relativnog dokaza nepro-

NEEUKLJDSKA GEOMETRIJA 89tivrecnosti: pokazujemo da je dati sistem neprotiv- ,z.recan pod pretpostavkom da je neprotivrecan nekidrugi, manje sumnjiv sistem. To se cini tako sto sepokaze da ako postoji neka interpretacija u kojoj jedrugi sistem istinit, onda mora biti i jedna interpre-tacija u kojoj je prvi sistem istinit.

Primenjujuoi ovaj drugi postupak, matemati-cari s kraja devetnaestog veka ucinili su veliki na-predak u ispitivanju neprotivrecnosti geometrijaLobacevskog i Rimana. Oni su bili u stanju dautvrde da ove neeukIidske geometrije moraju bitineprotivrecne ako je euklidska geometrija nepro- ~/'tivrecna, Da bismo ilustrovaIi ideju koja se krijeu ovom metodu, razmotrimo kako je to ucinjeno sgeometrijom Lobacevskog, prema neformalnompredlogu francuskog matematicara Poenkarea.Posmatrajmo sferu cija unutrasnjost ima sledecuosobenost: stvari u unutrasnjosti sfere jednoliko seskupljaju kada se udaljavaju od centra, njihovoskupljanje postaje srazmerno sve vece i vece, bezikakve granice, kada se priblizavaju povrsini sfere.Stanovnici u unutrasnjosti ove sfere, zajedno sa svo-jim mernim stapovima, postaju sve manji i manjikada se krecu ka povrsini, njihovi koraci su svekraci i kraci i oni je nikada ne dostizu. U tom smi-slu unutrasnjost sfere cini beskonacni svemir, sanjihovog stanovista, Pretpostavimo da oni upotre-bljavaju termin "prava Iinija" da oznace najkracerastojanje izmedu dve tacke, mereno njihovim mer-nim stapovima: i da druge termine geometrije in-terpretiraju na odgovarajuci podesan nacin, na pri-mer, uzimajuci da je "trougao" figura koju cine tri

90 STEFAN BARKER

takve "prave Iinije". Geometrija njihovog svemiraje geometrija Lobacevskog, Zbir uglova u trouglubice uvek manji od dva prava ugla, i to utolikomanji ukoliko je veca povrsina trougla; kroz jednutacku izvan date prave linije moze se povuci vise odjedne prave Iinije paralelne datoj pravoj liniji; itako dalje.

SIika 4.

Na primer, ako je C centar sfere, onda ce "trougao"nacrtan s temenima u tackama A, BiD imati stra-nice koje su krive Iinije zbog skupljanja mernihstapova (stranice "trougla" treba da budu najkraceputanje od temena do temena, mereno mernim sta-povima; da bismo merni stap polozili najmanji brojputa, moramo slediti zakrivljenu putanju koja svodina najmanju meru posledice skupljanja mernogstapa). Zbog toga ce zbir uglova u "trouglu" bitimanji od dva prava ugla. 0 svemu tome ovde mo-zemo raspravljati samo vrlo neformalno, ali namje cilj da pokazemo da ako je euklidska geometrijaneprotivrecna, onda to mora biti i geometrija Lo-

I bacevskog. Ako je euklidska geometrija neprotiv-recna, onda ovaj euklidski "model" svemira koji

NETIUKLIDSKA GEOMETRIJA 91

smo opisali mora biti Iogicki neprotivrecan: aiko jetako, onda principi geometrije Lobacevskog, kojesmo interpretirali tako da vaze u nasem .modelu",moraju takode biti neprotivrecni.

Sta da se kaze 0 neprotivrecnosti same euklid-ske geometrije? Tokom ranijih vekova uvek se po-lazilo od toga da su postulati euklidske geometrije,posmatrani kao interpretirani sistem, istiniti; i,prema tome, da je taj sistem, svakako, neprotiv-recan (ako su svi postulati istiniti, onda i sve teo-reme koje su iz njih dedukovane moraju biti isti-nite, tako da nijedna teorema ne moze protivrecitinekoj drugoj). Ali nastanak neeuklidskih geometrija ·7uneo je u ovo sumnju; mozda ne mozemo biti tako 'rsigurni da su svi postulati i teoreme euklidske geo-metrije istiniti. Sta se onda moze uciniti da bi seutvrdila neprotivrecnost samog euklidskog sistema?

JCak i ako nismo sigurni u istinitost EukIidovogsistema, da Ii mozemo verovati bar u njegovu nepro- vvtivrecnost? Utvrditi neprotivrecnost eukIidske geo-metrije u odnosu na neki drugi sistem geometrijene bi bilo od pomoci, jer je svaki drugi sistem geome-trije bar toliko sumnjiv u pogledu svoje neprotivrec- Vnosti koliko je i eukIidska geometrija. Medutim, bilobi korisno utvrditi neprotivrecnost eukIidske geome-trije u odnosu na nasu matematicku teoriju realnihbrojeva. Euklidsku geometriju uzimamo u njenomapstraktnom, neinterpretiranom obIiku i za nju Vkonstruisemo numerieku interpretaciju. Tamo gdeje Euklid govorio 0 tackama, mi cemo sada govo-riti 0 trojkama brojeva (brojevi te vrste zovu serealni brojevi), tamo gde je Euklid govorio 0 lini-

92 STEFAN BARKER

jarna i figurama, mi cemo govoriti 0 izvesnim vrsta-ma skupova trojki brojeva i tako dalje. U nasojnumeriokoj interpretaciji postulati i teoreme siste-ma postaju iskazi 0 brojevima, a ovi iskazi 0 broje-virna su istiniti, ako je teorija 0 brojevima koju smoprihvatili ispravna. Na taj nacin u okviru teorijebrojeva konstruisemo "model" eukIidske geometrije,a cinjenica da to mozemo uciniti znaci da euklidskageometrija mora biti neprotivrecna ako je nasamatematika realnih brojeva neprotivrecna. Na tajnacin se nas problem neprotivrecnosti geometrije

I pretvorio u problem neprotivrecnosti matematicketeorije realnih brojeva.

Interpretirana geometrija kao empirijska. Ne-euklidske geometrije su se razvile i pokazalo se dasu logioki neprotivrecne koIiko i eukIidska geome-trija. Da Ii to konacno odbacuje tradicionalno filo-zosko glediste prema kojem je znanje geometrije

/sinteticko i apriorno? Veoina savremenih pisaca kojisu se bavili filozofijom gometrije smatrala je da jeto tako. Postojanje ovih neeuklidskih geometrijakao neprotivrecnih matematickih disciplina, takoim je izgledalo, konacno je srusilo tradicionalnoverovanje da su zakoni euklidske geometrije nuznoistiniti i da u njima imamo sinteticko apriorno zna-nje 0 nasem svetu. Medu ovim savremenim piscima,najrasirenije glediste danas postalo je glediste dase na geometriju moze gledati na dva nacina. Nein-terpretirana geometrija (ili "cista" geometrija),

Jsmatraju oni, mora se shvatiti kao proucavanje koje Wpretpostavlja cisto analitioko znanje, jer se u njemu

NEEUKLIDSKA GEOMETRIJA 93razmatraju problemi ciste logike - sta iz cega sledi.Znanje koje je iz toga razvijeno je znanje 0 logickoj /izvodljivosti, koje pociva na razmatranju Iogickeforme. Interpretirana geometrija (iIi "primenjena"geometrija) mora se shvatiti kao razmatranje hipo-teza 0 prirodi, koje mogu ili ne mogu biti istinite.Prema ovom gledistu, kada pridruzujemo posebna /znacenja osnovnim terminima, zamenjujuci posma-tranje neinterpretirane geometrije posmatranjeminterpretirane geometrije, onda neizbezno recenicegeometrije postaju empirijske hi20te?:~ 0 svetu. Je-dini nacin da se utvrdi da li su one istinite ili lazneje igduktivni kroz posmatranje..j eks~rimenat. DaIi je nas stvarni svet euklidski ili je njegova geo-metrija geometrija Lobacevskog, kao sto je sferakoju je zamislio Poenkare? Prema ovom gledistu,da bismo to videIi, moramo vrsiti eksperimente; toje jedini put.

Da bismo imali interpretirani sistem geometrije,morarno izabrati specificna znacenja za nedefinisaneosnovne termine koji se javljaju u tom sistemu. Za ('svrhe nase rasprave bice dovoljno da nasu paznjuusredsredimo na termin "prava linija" - ne zatosto je to jedini osnovni termin (zaista, kao sto smovideli, postoje cak i aksiomatizacije u kojima touopste nije osnovni termin). Ali to je kljucni terminsto se tice interpretacije, zato sto kad jednom od-redimo sta on znaci, onda postaje relativno lakoodrediti srodna znacenja drugih termina.

Razmotrimo neke nacine na koje hi se termin"prava linija" mogao plauzibilno interpretirati. Nepostoji nijedan apsolutni smisao u kojem bi se ovaj

94 STEFAN BARKER

termin morao interpretirati, all S obzirom na nastrenutni cilj, nas ne zanimaju interpretacije kojesu suvise udaljene od normalnog govora. Razmotri-mo nekoliko plauzibilnih znacenja koja tom termi-nu mogu biti pripisana. Ovde nam je cilj da opisemonacine na koje bi se empirijsko znacenje mogloplauzibilno pripisati ovom terminu, tako da recenice

V koje ga sadrze izrazavaju istinita ili lazna tvrdenja.Sta bi neko mogao tvrditi 0 jednoj Iiniji kada tvrdida je ona prava?

U obicnom zivotu postoji nekoliko vrsta postu-paka koje mozemo koristiti u odredivanju da Ii jejedna linija prava, a s njima je u vezi nekoIiko poj-mova prave linije. U Poenkareovom primeru razmo-trili smo pojam da je najkrace rastojanje izmedu

/' dve tacke ono sto treba podrazumevati pod pravomlinijom. Prema ovom shvatanju, da bismo videIi dali je jedna linija prava, mi ispitujemo da Ii je onanajkraca putanja izmedu svojih krajnjih tacaka.Ovaj metod od nas iziskuje da posedujemo sredstvaza merenje rastojanja, kao sto je merni stap (postu-pak se sastoji u tome sto uzmemo merni stap i svakiput ga polazemo tako da jedna krajnja tacka dodeupravo tamo gde je pre toga bila druga krajnjatacka). Ovaj se metod moze neposredno primenitisarno tamo gde mozemo pretpostaviti da se mernistap niti sin niti skuplja u prenosenju. Ako je mernistap napravljen od metala i ako se temperaturaznatno menja, onda ce toplotno sirenje dovesti dogresaka - sem ako ne unesemo kompenzacioneispravke.


Drugi pojam 0 tome sta je prava Iinija poticeiz prakse drvodelje koji gleda niz svoju dasku davidi da Ii je prava ili kriva. Ovde je osnovna idejada svetlost putuje po pravim linijama. Drvodelja se, Vnaravno, ne bi pouzdao u ovaj metod kada bi daskado polovine bila u vodi, a od polovine virila iz vode;metod se moze neposredno primeniti sarno tamogde je sredina kroz koju neko gleda jednolika takoda ne prelama svetlost. Ovde je, dakle, drugi osnovnipojam prave linije: to je svetlosni zra:k koji prolazikroz sredinu sa jednolikim indeksom prelamanja.

Drugo, mada manje prakticno shvatanje bi biloda je prava Iinija putanja kojoj se priblizava zateg- vnut konopac kada se zategnutost konopca povecavabez granica. Jos drukciji pojam bio bi da je pravalinija putanja po kojoj ce se kretati telo na koje ne Vdeluje nikakva spoljasnja sila.

Pomenuli smo nekoliko prilicno plauzibilnihnacina da Interpretiramo termin "prava linija". Kojase vrsta tvrdenja dobija od recenica jedne neinter-pretirane geometrije kada ih interpretiramo na nekiod pomenutih nacina? Jasno je da sve ove predlo-zene interpretacije pretvaraju recenice geometrijeu empirijske iskaze. Kada je data tacka wan jednelinije, koliko se linija moze povuci paralelno s datom Jlinijom (naime, u istoj ravni u dcojoj je data linija,ali tako da se ona nikada ne preseca)? Koja god oddosad predlozenih interpretacija bila prihvacena,ovo pitanje postaje empirijsko pitanje, na koje seodgovara posle posmatranja i eksperimentisanja. Usvim ovim interpretacijama, empirijsko je pitanje

96 STEFAN BARKER

da Ii je svemir euklidski, Lobacevskijev, rimanskiili nesto drugo.

Na osnovu pogleda na svet klasicne njutnovskefizike neko bi ocekivao da eukIidska geometrijabude'istinita, a durgi da bude lazna, kada se inter-pretira na neki od ovih predlozenih nacina. Njut-novski pogled na svet, na prmer, navodi nas daocekujemo da kroz jednu tacku koja nije na putanjidatog svetlosnog zraka, jedan i sarno jedan svetlosnizrak moze da putuje paralelno sa datim svetIosnimzrakom (kroz sredinu sa jednolikim indeksom pre-lamanja). On nas navodi da ocekujemo da kada odtri date tacke sastavimo trougao tako sto nalazimoputanje duz kojih merni stap moramo stavljati naj-manji broj puta, onda ma kako veliki taj trougaomogao biti, zbir njegovih uglova uvek ce biti jed-nak dvama pravim uglovima. Kojegod predlozenoshvatanje prave linije izabrali, klasicna fizikabi nas navodila da ocekujemo da eukIidskisistem postane skup istinitih iskaza, kada se inter-pretira na taj nacin,

Medutim, Ajnstajnova teorija relativnosti odba-cila je taj klasicni njutnovski pogled na svet. Ajn-stajnova teorija, koja je sada dobro poduprta ekspe-rimentalnim svedocanstvom, vodi vrlo razlicitomskupu predvidanja. Prema Ajnstajnovoj teoriji, mo-ramo ocekivati da ce se svaka dva svetlosna zrakau istoj ravni ranije ili kasnije sresti, ako se njihoveputanje dovoljno produze, Takode, Ajnstajnova teo-rija predvida da ako biste napravili vrlo veIike tro-uglove uzimajuci da su njihove stranice putanje dufkojih merne stapove treba poloziti najmanji broj


puta, onda biste nasli da je zbir uglova takvih tro-uglova veci od dva prava ugla i da je veci ukoIikoje veca povrsina trougla. Dakle, kada se geometrijashvati na ovaj nacin, njeni iskazi su empirijski i do-kazuje se da je fizicki svet po svojoj strukturi riman-ski, a ne euklidski. (Strogo govoreci, prostor riman-ske geometrije ima konstantnu zakrivljenost, dokse za prostor fizickog sveta dokazuje da je uvekzakrivljen, ali nije zakrivljen svuda u istoj meri.)

v

Interpretirana geometrija kao apriorna. Kaosto smo videli, sigurno je moguce pronaci nacineda se pripise znacenje terminu "prava linija" i dru-gim terminima geometrije tako da aksiome i teo-reme geometrije postanu empirijski iskazi. U stvari,postoji mnostvo plauzibilnih nacina na koje se tomoze uciniti (naime, nacina koji ne odstupaju mno-go od normalne upotrebe ovih termina). Nacini kojesmo dosad razmotrili mnoge recenice eukIidske geo-metrije preobracaju u neistinite iskaze 0 svetu, dokrecenice rimanske geometrije pritom postaju isti-nite. Mnogim filozofima se cmtlo da to resava pro-blem: empirijski je dokazano da je prostor rimanskia ne euklidski, kazu oni; to je zavrsno, potpunopobijanje zastarele Kantove filozofije prostora. Me-dutim, to je prenagljeno i nepravedno stanoviste, DaIi jedna interpretacija nekog sistema geometrijemora njegove aksiome preobracati u empirijskeiskaze? Da Ii je to jedina mogucnost? Da Ii je takodemoguce interpretirati aksiome tako da one postajuapriorni iskazi?

/

100STEFAN BARKER

U ovakvom shvatanju geometrije nema niceg ap-surdnog Hi sasvim neadekvatnog; to je sav:seno m?-guce stanoviste. To je dovoljno da se pokaze kako Jeglediste 0 kojem smo r~sprav.ljali u pr~thodno~odeljku suvise grubo: aksiome 1 teoreme mterpret~-rane geometrije ne moraju biti empirijski iskazi:one mogu biti apriorni iskazi.

Nejasnoce u ovom pogledu cesto nastaju z~tosto ljudi misle da ako su postulati neke. neeukhd~ske geometrije istiniti, onda n~ ~~~ SVI. po.stulat1.euklidske geometrije da budu istimti. Om misle .dasu euklidska i neeuklidska geometrija nespojivejedna s drugom i da ne mo~ obe biti ispravne. Toje greska. Ljudi koji tako misle ne shvat~J~ .u ?~t~punosti da postulati geometr~je. mogu bl~l istirnti

f ili lazni samo ako se Interprenraju na neki odredennacin: oni ne shvataju u potpunosti da Cisti, nein-

\I terpretirani skup postulata nije ni istinit ni l:uan.Zbunjujuce je i nejasno kada se kaze, na pn~er,da su postulati Rimanove geometrije istiniti - jer,zaista Rimanovi postulati su istiniti u nekim inter-preta~ijama, a lazni u drugim. Trebalo hi reci ~a jeRimanova geometrija istinita kada se, na pnmer,termin "prava linija" interpretira tako da znaci ~u~a-nju svetlosnog zraka kroz sredinu sa jednolikimindeksom prelamanja (a drugi termini se interpre-tiraju na slican nacin) Hi da je Rimanova geome-trija istinita kada se "prava linija" interpretira takoda znaci putanju duf koje bi se merni stap moraepolozitd najmanji broj puta, uz pretpostavku da setemperatura stapa ne menja (a drugi termini se in-terpretiraju na srodan nacin). Podjednako je zbu-

NEEUKLIDSKA GEOMETRlJA 101

njujuce i nejasno reci prosto da su postulati euklid-ske geometrije lazni - jer su postulati euklidskegeometrije istiniti u nekim interpretacijama i lazniu drugim. Trebalo bi reci da su postulati euklidskegeometrije lazni ako "pravu liniju" interpretiramotako da znaci putanju svetlosnog zraka kroz sredinus jednolikim indeksom prelamanja ili tako da znaci ~./putanju duz koje bi merni stap cuvan na stalnojtemperaturi morae da se polozi najmanji broj put a(dok su ostali termini interpretirani na srodannacin), all da su postulati euklidske geometrije isti-niti ako "pravu Iiniju" i druge termine interpreti-ramo na nacin koji je predlozen u prethodnim para-grafima, ne vezujuci njihovo znacenje strogo ni za J'/jednu fizicku pojavu Hi postupak i postupajuci kaoda je sustinski aspekat njihovog znacenja u tomeda euklidski principi moraju biti zadovoljeni.

Znacenje apriorne interpretacije. Ako pretpo-stavimo da je moguca apriorna interpretacija geo-metrije koja euklidske aksiome pretvara u nuzne,apriorne istine, onda se postavljaju dva filozofskapitanja. Prvo, da Ii je ova apriorna interpretacijasinteticko a riorno znan· eutradicionalnom smislu?I drugo, da Ii ovoj apriornoj interpretaciji tre adavati prednost pred empirijskim interpretacijamakao sto su one koje smo ranije pomenuli?

Baveci se prvim pitanjem, razmotrimo iskazda je zbir uglova u trouglu jednak dvama pravimuglovima. Shvatimo to kao apriornu istinu - naime,kao iskaz za koji znamo da je istinit bez pozivanjana iskustvo i koji nikakvo novo culno posmatranje

102 STEFAN BARKER

ne bi moglo oboriti. Shvacen u tom duhu, da li jetaj iskaz sinteticki ili analiticki? U bavljenju timpitanjem od odlucujuce je vaznosti razlikovati dvarazlicita objasnjenja koja je dao Kant 0 razlici izme-du analitickog i sintetickog. Kant je mislio da senjegova dva objasnjenja svode u sustini na isto, alito nije slucaj. Nas primer je sinteticki, prema dru-gom objasnjeniu te razlike, jer taj iskaz nije istinit

V sarno na osnovu svoje logicke forme, a nemamo nidefinicije na koje bismo se mogli pozvati i prevestiga u iskaz istinit sarno na osnovu svoje logicke for-me. (IIi, ako mislite da posedujemo definicije po-mocu kojih bi se ovaj posebni zakon mogao prevestiu iskaz istinit sarno na osnovu svoje logicke forme,onda mozemo zastupati jos osnovnije tvrdenje: uovoj apriornoj interpretaciji geometrije ne mogu svizakoni euklidske geometrije da se prevedu u iskazekoji su istinitl sarno na osnovu svoje logicke forme,jer ne raspolazemo dovoljnim definicijama za tusvrhu.) Medutim, prema prvom objasnjenju overazlike, nas primer bio bi oznacen kao analitickiiskaz: nista osim razumevanja nije potrebno da bi-smo mogli znati da je on istinit. Da bismo se u touverili, razmotrimo zamisljeni slucaj da neko koje 0 tom iskazu razmisljao jos uvek sumnja u nje-govu istinitost. Kako treba opisati njegovo intelek-tualno stanje? Da li njegovo stanje treba opisatitako sto cemo reci da on mozda savrseno razumetaj iskaz, ali je pomucena njegova sposobnost Ra-cionalnog Uvidanja? To zaista ne bi bio zadovolja-vajuci opis ovog slucaja. Ako on sumnja u taj iskaz,njegova sumnja je sarna po sebi dovoljna da pokaze


da on ne razume tal iskaz (ili ga on uopste ne razu-me ili ga razume na neki nacin razlicit od onog kojise podrazumeva). Ako sretnemo nekoga ko gaji tak-vu s~ju, pravi postupak da otklonimo tu sumnjune bi blO.Utome da ga naterarno da otvori oci svogaRazuma I napregnuto posmatra; nije verovatno dabi takav savet bio koristan. Bilo bi korisno uputitiga u nacin na koji smatrarno da ta recenica trebada bude shvacena.

Kada se geometrijski termini razumeju u duhukoji je predlozen u prethodnom odeljku, onda jen~n~ apriorna istina da zbir uglova u trouglu morabiti jednak dvama pravim uglovima. Ali znanje 0

tome .ne predstavlja uvid koji Razum stice pomocuneke izuzetne vidovitosti - uvid u krajnju prirodustvarnosti ili u krajnju strukturu ljudskog duha. Na-protiv, to znanje odslikava nasu resenost da geo-metrijske termine upotrebljavamo na odredeni na-cin, Ono odslikava nasu resenost da ne nazivamotrouglom nista sto nema tu osobinu. Ovde jeznanjezasnovano na razumevanju jezika, a ne na uvidu uprirodu ili u duh. Dakle, to znanje je ovde analitickou. p~om od ona dva smisla 0 kojima smo rasprav-ljali u Poglavlju I, mada nije analiticko u drugomdrukcijem i zaista manje vaznom smislu. '

. ~a kraju, moramo uociti jedno tesko preostalopitanje. Da li se treba opredeliti za razumevanjegeometrijskih termina na nacin ikoji recenice geo-metrije pretvara u empirijske iskaze Hi se trebaopredeliti za razumevanje geometrijskih termina nanacin koji te iste recenice geometrije pretvara uapriorne iskaze? Oba gledista su moguca: medutim,

v

v

104 STEFAN BARKER

da Ii su oba gledista podjednako plauzibilna i ko-risna? Vratimo se ovde primeru koji smo ranijepomenuIi: u sesnaestom i sedamnaestom veku, uraspravi izmedu onih koji su govorili da se Zemljakrece i onih koji su govorili da miruje, nijedno gle-diste nije bilo apsurdno. Svako se glediste mogloprilagoditi opazenim cinjenicama. Svako se glediste,opravdanja radi, moglo pozivati na stvarnu tenden-ciju prisutnu u obicnom govoru 0 kretanju. Neko bimogao cak reci da je rasprava u osnovi bila verbalnai da su oba stanovista bila podjednako ispravna. Paipak, reci tako nesto bilo bi pogresno i nepravednoprema dostignucu Kopernika, jer postoji razlog damislimo kako je kopernikansko stanoviste bolje odptolomejskog stanovista - tendencija u obicnomgovoru 0 kretanju koju naglasava kopernikanskostanoviste dublja je od tendencije koju naglasavaptolomejsko stanoviste. Zbog toga je prelaz od pto-lomejskog na kopemikansko stanoviste predstavljaotako vazan intelektualni napredak: on je astrono-mima, fizicarima i svakom drugome omogucio jas-nije shvatanje onoga sto su, u izvesnom smislu, svedo tada podrazumevali pod kretanjem; istovremeno,on ih je naveo da shvate da su, u izvesnom smislu,bili u zabludi pridrzavajuci se svog heliocentricnog

/ uverenja, i time im je pruZio nov i istinitiji pogledna Suncev sistem.

Slicno se moze desiti s izborom izmedu euklid-ske i neeuklidske geometrije u dvadesetom veku,Mozda bi se moglo smatrati da su one interpretacijeu kojima recenice geometrije postaju empirijski iska-zi upravo one interpretacije koje naglasavaju dublje

NEEUKLlDSKA GEOMETRIJA 105

i vaznije tendencije u nasem obicnom govoru 0

prostoru, a da je to manje ona vrsta interpretacijekoja recenice geometrije pretvara u apriorne iskaze.Ovo prevazilazi moc razumevanja jednog laika, aliu svakom slucaju izgleda da fizicari daju znatnuprednost stanovistu koje geometrijske termineinterpretira tako da recenice geometrije postajuempirijski iskazi. Fizicari vise vole da interpretirajueuklidsku geometriju tako da ona bude lazna, nego Vda kazu kako gravitacija savija svetlosne zrake iskracuje merne stapove. Fizicari primenjuju Rima-novu geometriju kako bi dobili opis svemira koji jeza njih podesniji i jasniji od opisa koji se dobijakada se zadrze euklidski principi.

Najmanje sto mozemo reci jeste da ovaj izborizmedu interpretiranja geometrije na takav nacinda se euklidski zakoni prostora mogu zadrzati i in-terpretiranja geometrije na takav nacin da se euklid-ski zakoni prostora moraju odbaciti, predstavljavazan jezicki izbor one vrste koja se cesto javljalau istoriji misli. Nije rec 0 prostom empirijskom pi-tanju 0 istinitosti i laznosti, niti je problem sarnoverbalni; to je ona vrsta slucajeva u kojima se nasproblem sastoji u odlucivanju koja je od dveju su-protstavljenih tendencija dublja, pri cemu su obetendencije prisutne u nasoj dosadasnjoj upotrebi ter-mina 0 kojima je rec,

stefan barker - filozofija matematike 1 (euklidska i neeuklidska geometrija)

Documents