statİk - deukisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ders_notlari/statik/hafta_11.pdfbu ankastre kolon,...

Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.61

STATİK

Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIRDEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü

Ders notları için:http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/

2018-2019 BAHAR

11.Hafta

Sınıf Etkinliği:• Sözel Yoklama• Uygulamalar• İç Kuvvet Türleri• İç Kuvvetlerin Hesap Adımları• Kavramsal Yoklama• Örnek Problem Çözümü• Dikkat Yoklaması

Bugünün Hedefleri:1. Kesit yöntemini kullanarak iki

boyutlu yükleme durumları için iç kuvvetlerin hesabı.

İÇ KUVVETLER

Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 211- /89


1. Farklı türde çok sayıda kuvvet taşıyan elemanlarda, elemanlar

genellikle iç ________ maruz kalır.

A) normal kuvvete B) kesme kuvvetine

C) eğilme momentine D) Hepsi.

2. Mekanikte, kesitin yüzeyi boyunca olan veya

yüzeye teğet olan kuvvet bileşeni V ________

olarak adlandırılır.

A) eksenel kuvvet B) kesme kuvveti

C) normal kuvvet D) eğilme momenti

SÖZEL YOKLAMA


Neden bu şekilde bir geometriye sahip olurlar? Böylesi tasarım kararlarında iç kuvvetler önem taşır. Bu derste, bu iç kuvvetleri ve onları nasıl hesaplayacağınızı öğreneceksiniz.

Kirişler, kendi eksenlerine dik yönde etkiyen kuvvetleri taşımaları için tasarlanan yapı elemanlarıdır.

Kirişler, köprülerin açıklıklarında gördüğümüz elemanlardır. Genellikle mesnetlerdeki kalınlığı kiriş açıklığındaki kalınlığından daha fazladır.

UYGULAMALAR



Genellikle bu tip kolonlarda kolonun tepesi kolonun dibine göre daha kalındır/geniştir.Neden?

Bu ankastre kolon, üzerindeki dikdörtgen reklam panosunu taşımaktadır.

UYGULAMALAR (devam)


Bu hangi sebeple yapılmış olabilir?

Atölye vinçleri ağır makinaları atölye içerisinde taşıyabilmek için kullanılır.

Resimde, birleşim yerinin etrafında ilave bir çerçeve daha görünmektedir.

UYGULAMALAR (devam)



Sonra kirişi B’den hayali olarak kesmemiz ve iki parçadan birinin SCD’sini çizmemiz gerekir. Böylece B’de etkiyen iç kuvvetler açığa çıkar ve bunlar serbest cisim diyagramında dış kuvvet olarak gösterilir. Son olarak, denge denklemleri kullanılarak bilinmeyen iç kuvvetler hesaplanır.

Örneğin, B kesitine etkiyen iç kuvvetleri hesaplamak istiyoruz. Fakat öncelikle mesnet reaksiyonlarını hesaplamamız gerekir.

B

İÇ KUVVETLER

Bir yapısal elemanın tasarımı için elemanın içinde oluşan (iç) kuvvetlerin bilinmesi gerekir. Böylece yapısal elemanın yapıldığı malzemenin, uygulanan yüklere karşı dayanımını koruyup koruyamayacağı ortaya konabilir. İç kuvvetler kesit yöntemi ile bulunabilir.

B


İki boyutlu durumda, tipik iç kuvvetler normal/eksenel kuvvet (N, kesite dik etkir), kesme kuvveti (V, kesit yüzüne teğettir) ve eğilme momentidir (M).Birçok uygulama için bileşke kuvvet çoğunlukla kesitin geometrik merkezine etkir. etkir.

İÇ KUVVETLER (devam)

B kesitinin sol yüzüne ve sağ yüzüne etkiyen iç kuvvetler eşit büyüklükte fakat zıt yönlüdür. Çünkü kesitin iki yüzü tekrar birleştirildiğinde kesitteki net kuvvet sıfır olmalıdır. İç kuvvetlerin pozitif yön kabulü kırmızı çerçeve içinde görüldüğü gibidir.

B noktasındaki iç kuvvetler; sol ve sağ parça için.



İŞARET KABULLERİ

- Normal kuvvet elemanda çekme etkisi oluşturuyorsa, yönü pozitiftir.- Kesme kuvveti elemanı saat yönünde döndürüyorsa, yönü pozitiftir.- Moment, elemanı aşağı doğru konkav şekle sokuyorsa, yönü pozitiftir.

Bunların tersi yönde etki eden kuvvetler negatif olarak ele alınacaktır.

Mühendisler N,V, M kuvvet ve momentlerini göstermek için bir işaret kabulü yaparlar. Aşağıdaki genel kabul gören pozitif yönler gösterilmiştir.

Pozitif normal kuvvet

Pozitif kesme kuvveti Pozitif moment


1. İç kuvveti hesaplamak istediğiniz yerden elemanı kestiğinizi düşünün. Sonra iki parçadan hangisinin incelenmesinin daha kolay olduğuna karar verin (üzerinde daha az sayıda dış kuvvet olan parça).

2. Eğer gerekliyse, tüm parçanın SCD’sini çizerek ve bilinmeyenleri çözerek mesnet reaksiyonlarını hesaplayın.

3. İncelemek için seçtiğiniz parçanın SCD’sini çizin. “Kesilen” yüzeyde N, V ve M iç kuvvetlerini pozitif yönleri ile göstermeyi unutmayın.

İÇ KUVVETLERİN HESAP ADIMLARI

4. SCD (3. adımda çizilen) üzerindeki kuvvetler için denge denklemlerini kurun ve bilinmeyen iç kuvvetler için çözün.



Çözüm

1. C noktasından hayali olarak kesin. Geometrisi daha basit olduğundan ve üzerinde dış yük olmadığından sağdaki parça ile çalışmak daha kolay olacaktır (C’den B’ye kadar olan kısım).

Verilen: Kiriş üzerindeki yük.

İstenen: C noktasındaki iç kuvvetler.

Plan: Hesap adımlarını izle!!

ÖRNEK

3 kN/m

6 m 4.5 m 4.5 m


SCD’ye denge denklemi uygulanarak;

+ Fx = Bx = 0;

+ MA = − By ( 9 ) + 18 ( 3 ) = 0 ; By = 6 kN ↓

2. By’yi hesaplamamız gerekir. Tüm kirişin SCD’sini kullan ve denge denklemini çözerek By’yi bul:

ÖRNEK (devam)

Bx

3 m 9 m

Ay By

18 kN

3 m

Tüm kirişin SCD’si:

3 kN/m

6 m 4.5 m 4.5 m



3. Şimdi sağdaki parçanın SCD’sini çiz. VC, NC ve MC için gösterilen yönleri kabul edin.

ÖRNEK (devam)

6 kNVC

MC

NC

4.5 m

C B

3 kN/m

6 m 4.5 m 4.5 m

4. Bu SCD’ye denge denklemleri uygulanarak;

+ Fx = -NC = 0; NC = 0

+ Fy = VC – 6 = 0; VC = 6 kN

+ MC = – 6 (4.5) – MC = 0 ; MC = – 27 kN m => 27 kNm


1. Bir kolon 100 N’luk düşey kuvvet ile yüklenmiştir. Hangi kesitlerdeki iç kuvvetler aynıdır?

A) P, Q ve R B) P ve Q

C) Q ve R D) Hiçbiri.

•

P

Q

R

100 N

2. Bir kolon 100 N’luk yatay bir kuvvet ile yüklenmiştir. Hangi kesitteki iç kuvvetler en büyüktür?

A) P B) Q

C) R D) S

P

QR

100 N

S

KAVRAMSAL YOKLAMA



ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I

Verilen: Kiriş üzerindeki yükleme.

İstenen: C’deki iç kuvvetler.


Çözüm:

1. C noktasından hayali olarak kesin. Geometrisi daha basit olduğundan ve üzerinde dış yük olmadığından soldaki parça ile çalışmak daha kolay olacaktır (A’dan C’ye kadar olan kısım).


ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam)

2. Öncelikle tüm sistemin SCD’sini kullanarak Ax ve Ay’yihesaplamamız gerekir.

Bu SCD’ye denge denklemleri uygulanarak;

+ Fx = Ax + 400 = 0 ; Ax = – 400 N = 400 N ←

+ MB = – Ay(5) – 400 (1.2) = 0 ; Ay = – 96 N = 96 N ↓

400 N

By

Ax

Ay

Serbest Cisim Diyagramı



ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam)

3. Şimdi sol parçanın SCD’sini çizin. VC, NC ve MC için şekildeki yönleri seçin.

96 N VC

MC

NC1.5 m

A

400 N

C

4. Bu SCD’ye denge denklemlerini uygulayarak;

+ Fx = NC – 400 = 0; NC = 400 N

+ Fy = – VC – 96 = 0; VC = – 96N = 96 N ↑

+ MC = 96 (1.5) + MC = 0 ; MC = -144 N m = 144 Nm


Çözüm:

1. C noktasından hayali olarak kesin. Neden buradan?SCD’sini incelemek için hangi parçayı seçersiniz?

Verilen: Kiriş üzerindeki yükler.

İstenen: C’deki iç kuvvetler.


AC parçası ile çalışmak neden daha kolaydır?

ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II

0.5 m

2 m3 m

8 m 4 m150 N/m



2. Tüm sistemin SCD’sini ve denge denklemlerini kullanarak A’daki reaksiyonları hesaplayın.

ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam)

T

Ax

Ay 1800 N6 m

Serbest Cisim Diyagramı0.5 m

2 m3 m

8 m 4 m150 N/m

0.5 m

2 m

+ MA = T ( 2.5 ) − 1800 (6) = 0 ; T = 4320 N

+ Fx = Ax − 4320 = 0 ; Ax = 4320 N

+ Fy = Ay − 1800 = 0 ; Ay = 1800 N


3. AC parçasının SCD’sini aşağıda görülmektedir.

ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam)

VC

MCNC

1.5 m

A C

450 N1.5 m

AC parçasının SCD’si

4320 N

1800 N

0.5 m

2 m3 m

8 m 4 m150 N/m

4. SCD’ye denge denklemleri uygulanarak;

+ Fx = NC + 4320 = 0 ; NC = – 4320 N = 4350 N ←

+ Fy = 1800 – 450 – VC = 0 ; VC = 1350 N ↓

+ MC = – 1800 (3) + 450 (1.5) + MC = 0 ; MC = 4725 N m



2. Bir kolon 100 N’luk yatay bir kuvvet ile yüklenmiştir. Hangi kesitte iç kuvvetler en küçüktür?

A) P B) Q

C) R D) S

P

Q

R

100N

S

1. C noktasındaki iç kuvvetlerin (normal, kesme, eğilme momenti) büyüklüklerini hesaplayın.

A) (100 N, 80 N, 80 N m) B) (100 N, 80 N, 40 N m)C) (80 N, 100 N, 40 N m)D) (80 N, 100 N, 0 N m )

•C

0.5m

1 m

80 N

100 N

DİKKAT YOKLAMASI


ÖDEV

Şekilde görülen kiriş için, D ve E noktalarında oluşan iç kuvvetleri bulunuz.Not: Tekil moment (6 kN.m) B noktasındaki mesnete etkimektedir. D noktası ise B mesnetinin hemen solunda yer almaktadır.



Sınıf Etkinliği:• Uygulamalar• Kesme Kuvvet ve Moment Diyagramları• N, M, T Diyagramlarının Çizim Teknikleri• Örnek Problem Çözümleri

İÇ KUVVET DİYAGRAMLARI

Bugünün Hedefleri:1. Kesit yöntemini kullanarak iki

boyutlu yükleme durumları için iç kuvvet diyagramlarının çizimi.


UYGULAMALAR

Kirişler mesnetlenme durumlarına göre sınıflandırılırlar: Örn: Basit mesnetli kiriş (bir ucunda pimli diğerinde kayar mesnet),

Ankastre kiriş (bir ucundan ankastre mesnetle sabitlenmiş,diğer ucu serbest) vb.

Kirişler, eksenlerine dikuygulanan yükleri taşımakiçin tasarlanan elemanlardır.

Kirişler genelde sabit enkesit alanına sahip uzun, doğrusal çubuklardır.



KESME KUVVETİ VE MOMENT DİYAGRAMLARI

Bir kirişin tasarımı, kirişin ekseni boyunca her bir noktada etkiyen iç kesme kuvveti (V) ve eğilme momentinin (M) değişiminindetaylı olarak bilinmesini gerektirir.

Normal kuvvetin değişimi kirişlerin tasarımında dikkate alınmaz.Çünkü, genelde kuvvetler kiriş eksenlerine dik doğrultuda etkir vebu kuvvetler sadece kesme kuvveti ve moment oluşturur. Ayrıca tasarım açısından kirişlerin kesmeye ve eğilmeye karşı dayanımlarıeksenel yüke dayanımından çok daha önemlidir.

Kuvvet ve eğilme momenti analizi tamamlandıktan sonra,kirişin gerekli enkesit alanını belirlemek için malzeme mekaniğiteorisi ve uygun bir mühendislik tasarım standardı kullanılır.


KESME KUVVETİ VE MOMENT DİYAGRAMLARI (devam)

Kesme kuvveti ve Momentin kirişin ekseni boyuncadeğişimi x konumunun birer fonksiyonu olarak kesit yöntemi ile ele edilebilir. V ve M’nin değişimlerinigösteren grafiklere, kesme kuvveti diyagramı veeğilme momenti diyagramı denir.

Genelde, kesme kuvveti ve moment fonksiyonlarıveya bunların eğimleri süreksizlik gösterir. Bu süreksizlikler yayılı yüklerin değiştiği ya da tekil kuvvet veya momentlerin etkidiği noktalarda gelişir.

Bu nedenle, kirişte yükleme süreksizliği olan noktalar arasındaki her bir bölge için bu fonksiyonlar ayrı ayrı belirlenmelidir. Örn: şekildeki (Oa), (ab), (bL) bölgeleri için V(x) ve M(x) fonksiyonları ayrı ayrıhesaplanır (x1, x2 ve x3 konumları için!).

Fonksiyonlardaki süreksizlikler




Örneğin yandaki kiriş için orijin noktası O olmak üzere, x1, x2 ve x3 konumları kullanılarak V ve M fonksiyonları bu üç bölge için ayrı ayrı yazılır.

V(x1)M(x1)

V(x2)M(x2)

V(x3)M(x3)


0 ≤ x1 ≤ a

a ≤ x2 ≤ b bölgeleri için geçerli olacaktır.

b ≤ x3 ≤ L

Bu fonksiyonlar kiriş üzerinde gösterildiğinde V(x): Kesme kuvvet diyagramı ve M(x): Moment diyagramı olarak adlandırılır.




a-) Yukarı yönlenmiş kuvvetlerin bulunduğu yerlerde kesme diyagramı yukarı doğru çizilir. Aşağıya doğru yönlenmiş kuvvetler durumunda tersidir.

b-) Kuvvetlerin bulunmadığı aralıklarda kesmekuvveti x eksenine paralel bir doğru, düzgünyayılı yük için lineer bir doğru ve üçgen yayılıyük için de ikinci dereceden bir eğridir.

c-) Bir noktadaki eğilme momenti, kendisinden bir önceki eğilme momentinden, bu iki nokta arasındakikesme kuvvetinin alanın toplanması veyaçıkarılmasıyla elde edilir.

d-) Eğilme momenti diyagramının derecesi kesmekuvvetinin derecesinden bir fazladır.

2811- /89


- Öncelikle N, M, T diyagramıçizilecek kiriş üzerinde açıklık sayısıkadar kesim yapılır. Kesmeyapılacak açıklık sayısını tekil yükve momentler de etkiler.

- Sonrasında kesim yapılan noktayasoldan ya da sağdan yaklaşarak,kesim yapılan noktadaki 3 iç tesireait fonksiyonlar elde edilir (Dengedenklemleri yazılarak hesap yapılır).

q

L

K

K

x1 x2

A B

N, M, T DİYAGRAMLARININ ÇİZİLMESİ (KESİT YÖNTEMİ)

- Elde edilen fonksiyonların belirli noktalar için aldığı değerlerhesaplanır ve fonksiyon derecelerine bağlı olarak N, M, T diyagramlarıçizilir.

2911- /89

KESİM NOKTASINA SOLDANYAKLAŞIM:

q

K

x1

Ay

AX

N

T

M

Denge denklemleri kesit için aşağıdaki gibi yazılır. Bu denklemler 0 <x1 <Larasında geçerlidir.

Ax+N=0T+q*x1 =Ay

q*x12/2+T*x1=M

q

L

K

K

x1 x2

A B


3011- /89


KESİM NOKTASINA SAĞDANYAKLAŞIM:

By

NKT

M

Denge denklemleri kesit içinaşağıdaki gibi yazılır. Budenklemler 0<x2<L arasındageçerlidir.

N=0q*x2=By+Tq*x2

2/2=M+T*x2

q

L

K

K

x1 x2

A B

q

x2

B


3111- /89


q

L

K

K

x1 x2

A B

q

K

Ay

By

x1

x2

AX

N

T

M

NKT

Mq

B

NK Fx 0TK Fy 0MK M A 0

Kesitteki iç kuvvetler, parçalardan herhangi birine üç denge denkleminin uygulanmasıyla belirlenebilir.

NK Fx 0TK Fy 0MK M A 0

3211- /89


N

T

M

N

T

M

Sol uç Sağ uç

İŞARET KABULLERİ (POZİTİF YÖNLER)

3311- /89

5 kN

Ax

Ay Cy

2m

A C

2m

5 kN

B

ÖRNEK I

Şekildeki basit mesnetlikirişin kesme kuvveti vemoment diyagramlarınıçiziniz.

Tüm kirişin serbest cisim diyagramından mesnet kuvvetlerini bulalım:

3411- /89


2m

A C

2m

5 kN

B

Çözüm için öncelikle mesnet reaksiyonları hesaplanmalı, dahasonra kaç kesim yapılacağına karar verilmelidir. Açıklıkta 1 adettekil yük bulunmaktadır. Kiriş bu yükün solunda ve sağında olmaküzere iki parça halinde incelenmelidir.

Ax 0

Ay Cy 5 Cy 2.5 kNAy 2.5 kN

Ay

AX

Cy

ÖRNEK I (devam)

3511- /89

Kesim A mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekildeyapılır. Kesilen sağ uca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir:

A

x12.5 kN

N

T

M 2.5x1 0 M 2.5x1 0

T 2.5 kN

0 N 0

0 2.5T 0

M B

Fx

Fy

+

+

+

M 0 kNmx 0 A1

M B 5kNmx1 2

0<x1<2m arasında geçerli bağıntılar:

0-2 metre arasında sabit

ÖRNEK I (devam)

36

M

11- /89


M 2.5x2 0 2.5x2 M 0

T 2.5 kN

0 N 0

0 T 2.5 0

M B

Fx

Fy

+

+

+

MC 0x2 0

M B 5kNmx2 2

0<x2<2 m arasında geçerli bağıntılar:


2.5 kNx2

İkinci kesim B mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacakşekilde yapılır. Kesilen sol uca N,M,T işaret kuralına göreyerleştirilir:

CN

T

ÖRNEK I (devam)

37

M

11- /89

Diyagramların çiziminde elde edilenbağıntılardan yararlanılır. Basit yüklemedurumlarında mesnet tepkileri ve yüklemedurumuna bakılarak diyagramlar doğrudançizilebilir.

Kesme kuvveti düşey yük ve tepkilerkullanılarak diyagrama işlenir. Kirişüzerinde yük olmayan bölgelerde kesmekuvveti sabittir. Yük etkiyen noktalarda anikesme kuvveti değişimi gözlenir.

Moment diyagramı kesme kuvvetidiyagramı altında kalan alan (işaretine debakılıp) kullanılarak çizilir.

N (kN)

T (kN)

M (kNm)

+-

+-

-+

+

-

2.5 2.5

2.5

+ +

5

2m

A C

2m

5 kN

B

2.5 kN

2.5 kN

2.5

ÖRNEK I (devam)

3811- /89


İkinci bir alternatif olarak sağdaki parçanın hesaplamaları soldan“x” kadar kesilerek de yapılabilir. (5 kN’luk kuvveti de içeriyor)

ÖRNEK I (devam)

3911- /89

3m

A B

3m

2t

Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarınıçiziniz.

3

5t

4

2m

ÖRNEK II

4011- /89


3m

A B

3m

2t

3

5t

4

2m

Ay

AX

By

2*3 4*58* By 0

Ax 3t

Ay By 6

Ay 2.75tBy 3.25t

C D

MA=0

ÖRNEK II (devam)

4111- /89

İlk kesim:

A

x12.75t

N

T

Fx 0 3 N 0 N 3t

Fy 0 2.75T 0 T 2.75t

M 0 M 2.75x1 0 M 2.75x1

+

+

+

x 0 M 0 tmA1

MC 8.25tmx1 3

(A-C)


3t

ÖRNEK II (devam)

M

4211- /89


İkinci kesim:

M 8.25 0.75x2

x2 2 M D 9.75 tm

0 3 N 0 N 3t

+Fy 0 2.75 2T 0 T 0.75t

+ M 0 M 2* x2 2.75*(3 x2 ) 0

x2 0 MC 8.25tm

Fx+

A

3m

2t

x2

N

T

M

(C-D)2.75t


3t

C

ÖRNEK II (devam)

4311- /89

Son kesim: Kolaylık olması açısından diğer taraftan kesimyapılabilir.

3.25t

D

x3

N

T


(B-D)

M 3.25x3 0 3.25x3 M 0

T 3.25t

0 N 0

0 T 3.25 0

M B

+ Fy

Fx+

+

M D 0 tmx3 0

M B 9.75tmx3 3

ÖRNEK II (devam)

M

4411- /89


3m

A B

3m

2t

3

5t

4

2m

3t

4t

2.75t

3t

3.25t

N (ton) +-

T (ton) +-

M (tm) -+

+ +

3

2.750.75

3.25

+

8.25+

--3

3.25

0.75-

9.75

+

ÖRNEK II (devam)

4511- /89

AC

9kNm6kN

B

6m3m

ÖRNEK III

6 kN’luk kuvvetin hemen solundaki ve hemen sağında oluşan Normal kuvvet, Kesme kuvveti ve Eğilme momentini belirleyiniz

4611- /89


Çözüm için öncelikle mesnet reaksiyonları hesaplanmalı, daha sonra kaç kesim yapılacağına karar verilmelidir. Açıklıkta 1 adet tekil yük bulunmaktadır. Kiriş bu yükün solunda ve sağında olmak üzere iki parça halinde incelenmelidir.

3m

Ay By

Ax 0

Ay By 6

6*3 9 9* By 0 Ay 5kNBy 1kN

6m

AXA

C

9 kNmB

6 kN

ÖRNEK III (devam)

4711- /89

Kesim A mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilen sağ uca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir:

A

x15t

N

T

M 5x1M 5x1 0

0 N 0

0 5T 0

0

T 5kN

+ M

Fx

Fy

+

+ 0 kNmx1 0 M A

MC 15kNmx1 3



M

ÖRNEK III (devam)

4811- /89


İkinci kesim B mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilen sol uca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir:

ÖRNEK III (devam)

M x2 991.x2 M 0

0 N 0

0 T 1 0

M 0

T 1kN+ Fy

Fx+

+

M B 9 kNmx2 0

MC 15kNmx2 6

Tx2

1kN



BN

M

9kNm

4911- /89

Kiriş B noktasından ve C noktasından kesilir, serbest cisim diyagramı çizilir

AB parçası AC parçası

ÖRNEK III (devam)

5011- /89


Diyagramların çiziminde elde edilen bağıntılardan yararlanılır. Basit yükleme durumlarında mesnet tepkileri ve yükleme durumuna bakılarak diyagramlar doğrudan çizilebilir.Kesme kuvveti düşey yük ve tepkiler kullanılarak diyagrama işlenir. Kiriş üzerinde yük olmayan bölgelerde kesme kuvveti sabittir. Yük etkiyen noktalarda ani kesme kuvveti değişimi gözlenir.Moment diyagramı kesme kuvveti diyagramı altında kalan alan (işaretine de bakılarak) kullanılarak çizilir. Tekil moment olan noktalarda moment diyagramında ani değişim olur.

6m

A

C

3m

9kNm6kN

5kN

AX=0

1kN

B

N (kN) +-

T (kN) +-

M (kNm) -

+

+-

5 5

1 1

+ +

15

9

ÖRNEK III (devam)

5111- /89

Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.

A C

2m

5m

4 t

3 t/m

3m

B

ÖRNEK IV

5211- /89


A C

2m

5m

4 t

3 t/m

3m

B

Ay Cy

Ax

Fx 0

Fy 0

M A 0 -4t*3m-(3t/m*5)*2.5m+5*Cy=0

+

+

+

A =0x

Ay+Cy-4t-(3t/m*5)=0 Ay + Cy = 19t

Cy = 9.9t ( )

Ay = 9.1t ( )

ÖRNEK IV (devam)

5311- /89

A C

3 t/m

2m

5m

3m

4 t

B

9.1 t 9.9 t

A

x19.1 t

0<x1<3m arası:

3 t/m

N

T

M

(A-B)

C

9.9 t

N

Tx2

(B-C)

0<x2<2m arası:

3 t/m

M

Kiriş B noktasındaki tekilkuvvet nedeniyle ikibölgeden oluşmaktadır.

ÖRNEK IV (devam)

5411- /89


A

x19.1 t

3 t/m

N

T

M

0<x <3m arası:1

(A-B)

ÖRNEK IV (devam)

5511- /89

C

9.9 t

3 t/m

M

N

Tx2

0<x <2m arası:2

(B-C)

22 2

x2M 0 9.9x2 3x2

T 3x2 9.9

0 N 0

0 9.93* x2 T 0

M 9.9x 1.5xM 02

Fx

Fy

B

+

+

+

M C 0 tmx2 0

M B 13.8 tmx2 2

TA 9.9tx2 0

3.9 tx 2 TB2

2.derece

ÖRNEK IV (devam)

5611- /89


Üniform yayılı yüklerin bulunduğukirişlerin kesme diyagramlarındayayılı yük alanı (şerit yükün etkidiği mesafe) boyunca kesme kuvvetinde doğrusal değişim gözlenir.

Moment diyagramı da kesmekuvveti diyagramı altında kalan alan (işaretine de bakılarak) kullanılarak çizilir.

Kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği noktada eğilme momenti maksimum değerini alır.

A C

3 t/m

2m3m

B9.1 t 9.9 t

N (ton) +-

T (ton) +-

M (tm) -+

+

9.1

3.9

+

13.8

+

0.1

9.9

-

2o

2o

4 t

ÖRNEK IV (devam)

5711- /89

A C

8 t/m

1.5m3m

B


3t

ÖRNEK V

5811- /89


A C

8 t/m

1.5m3m

B3t

Fx 0

Fy 0

M A 0

+

+

+

Ax-3=0 Ax=3t

Ay+Cy- (8t/m*3)=0 Ay + Cy = 24t

-(8t/m*3)*1.5m+4.5*Cy=0 Cy = 8t ( )

Ay = 16t ( )

CyAy

Ax

ÖRNEK V (devam)

5911- /89

8 t/m

A

x116 t

N

T

M

0<x1<3m arası:

(A-B)

3 t

ÖRNEK V (devam)

6011- /89


Kolaylık olması açısından diğer taraftan (sağdan) kesim yapılabilir.

8t

0<x2<1.5m arasında geçerli bağıntılar:

C

x2

N

T

M

(B-C)

M 8x2 0 8x2 M 0

T 8tT 8 0

0 N 3 0

0

N 3t

M B

Fx

Fy

+

+

+

MC 0 tmx2 0

M B 12 tmx2 1.5

3t

ÖRNEK V (devam)

6111- /89

2M 16x1 4x1

M 16tmx1 2

A C

8 t/m

1.5m

3m

B3t

8t16t

3t

N (ton) +-

T (ton)+-

M (tm)-+

+

3

16

2m

+ +

16

--3

-

8-

12

8

+

2o

Üçgen benzerliğinden kesme kuvveti diyagramında sıfır kesme kuvveti noktası bulunur. Bu soruda 2m olan değer moment denkleminde yerine konulursa;

ÖRNEK V (devam)

6211- /89



A B

2 t/m

3m

6tm3tm

ÖRNEK VI

6311- /89

Fx 0

+

Fy 0

M A 0

+

+

Ax=0

Ay+By- (2t/m*3)=0 Ay + Cy =6t

-(2t/m*3)*1.5m+3*By+3-6=0 By = 4t ( )

Ay = 2t ( )

A B

2 t/m

3m

6tm3tm

Ax

ByAy

ÖRNEK VI (devam)

6411- /89


A

x2 t

2 t/m

N

T

M

0<x<3m arası:

(A-B)

M 3 2x x2

Fx

Fy

M 0 3 2x x M 2x 02

T 2 2x

0 N 0

0 2 2* x T 0

+

+

+

M A 3tmx1 0

M B 6 tmx1 3

TA 2 tx1 0

x 3 T 4 tB1

2.derece

3tm

ÖRNEK VI (devam)

6511- /89

A B

2 t/m

3m

6tm3tm

N (ton) +-

T (ton) +-

M (tm) -+

+2

4

-

2o

2o

2 t 4 t

1m

-

36

-2

M 3 2x x2

M 2tmx1 1

ÖRNEK VI (devam)

Üçgen benzerliğinden kesme kuvveti diyagramında sıfır kesme kuvveti noktası bulunur. Bu soruda 1 m olan değer moment denkleminde yerine konulursa;

6611- /89



A B

2 t/m

2m

2tm3

C

5t

4

1m

ÖRNEK VII

6711- /89

A B

2 t/m

2m

2tm3

C

5t

4

1m

Fy 0

Fx 0

+

M A 0

+

+

Ax-3=0 Ax=3t

Ay- (2t/m*2)-4=0 Ay =8t

-(2t/m*2)*1m-4*3m-2+MA=0 MA= 18tm ( )

Ay

Ax

MA

4t

3t

ÖRNEK VII (devam)

6811- /89


A

2 t/m

x1

8t

3t

18tmN

T

M

0<x1<2m arası:

(A-B)

ÖRNEK VII (devam)

6911- /89

B2tm

C

4t

3t

x2

N

T

M

0<x2<1m arası:

(A-B)

M 2 4x2

T 4 0 T 4t

0 4x2 M 2 0

0 N 3 0

0

N 3t

M B

Fx

Fy

+

+

+

x2 0 MC 2tm M B 6 tmx2 1

ÖRNEK VII (devam)

7011- /89


A B

2 t/m

2m

2tm

C

1m8t

3t

18tm

4t

3t

T (ton) +-

M (tm) -+

+

84

2o

-

18

2

N (ton) +-

3--

3

4

+

6

-

ÖRNEK VII (devam)

7111- /89


A

2m 3m 2m

2 t 5 t

BC

D 3tm

ÖRNEK VIII

7211- /89


A

By2m 3m 2m

2 t 5 t

BC

Fx 0

+

Fy 0

M B 0

+

+

Dx=0

By+Dy-2-5=0 By + Dy =7t

2*2m-5*3m-3+Dy*5m=0 Dy = 2.8t ( )

By = 4.2t ( )

Dy

D D 3tm

x

ÖRNEK VIII (devam)

7311- /89

A

x1

T

2 t

M

N

0<x <2m arası:1

(A-B)

M 2x1 0 2x1 M 0

T 2t

0 N 0

0 2T 0

M B

Fx

Fy

+

+

+

M A 0x1 0

M B 4tmx1 2

ÖRNEK VIII (devam)

7411- /89


N

T

0<x2<3m arası:

(B-C)

M 2.2x2 4 0 2*2M T * x2 0

T 2.2t

0 N 0

0 2 4.2T 0

M B

Fx

Fy

+

+

+

M B 4tmx2 0

M C 2.6tmx2 3

A

2m

2 t

MB

4.2 tx2

ÖRNEK VIII (devam)

7511- /89

0<x3<2m arası:

(C-D)

D 3tm

2.8 tx3

N

T

M

M 3 2.8x3

0 N 0

0 T 2.8 0 T 2.8t

0 3 2.8x3 M 0M C

Fx

Fy

+

+

+

x3 0 M D 3tm MC 2.6 tmx3 2

ÖRNEK VIII (devam)

7611- /89


A

2m 3m2.8 t

2m

2 t 5 t

BC

D 3tm

4.2 t

N (ton) +-

T (ton) +-

M (tm) -+

-

+

2

-

+ +

43

-

2.6

2.2 2.2

2.8 2.8

-

2

-

ÖRNEK VIII (devam)

7711- /89


5m 5m

2m2m 6m

B10t

5t

CA10tm

ÖRNEK IX

2 t/m

7811- /89


B

2 t/m

5m

5t C

5m

A

2m2m 6m

10tm

10t

Fx 0

+

Fy 0

M A 0

+

+

Ax-10+5=0 Ax=5t

Ay+By-10=0 Ay + By =10t

-(2*5)*2.5m-10tm+By*10m=0 By = 3.5t ( )

Ay = 6.5t ( )

ByAy

Ax

ÖRNEK IX (devam)

7911- /89

Keserek diyagramı kontrol ediniz.

2m2m

B

2 t/m

5m

5t C

5m

A

3m

10t

6.5t

5t

3.5t

3m

N (ton) +-

T (ton) +-

M (tm) -+

+

+

5

6.5

-

5

-

3.53.25

10.56

+

5

5

3.5

- -

7.5

17.5

+ +

10tm

ÖRNEK IX (devam)

8011- /89



AB

0.2m

C

0.3m

200 kg/m

25 kgm

D

0.5m

ÖRNEK X

8111- /89

Fx 0

+

Fy 0

M A 0

+

+

Ax=0

Ay- (200kg/m*0.5)=0 Ay =100kg

25+MA-100*0.75=0 MA= 50kgm ( )

AB

0.2m 0.3m

D

0.5m

200 kg/m

25 kgmAx

CAy

MA

ÖRNEK X (devam)

8211- /89


100kg

50 kgm

T (kg) +-

M (kgm) -+

+

100 100

2o-

50

N (kg) +-

+

-

AB

200 kg/m

0.2m

C

0.3m

D

0.5m

25 kgm

+

30

55

25

-

ÖRNEK X (devam)

8311- /89


A

1m 4m 1m

10 t/m20t

CD

B 20tm

ÖRNEK XI

8411- /89


A

1m 4m 1m

10 t/m20t

CD

B 20tm

Fx 0

+

Fy 0

M B 0

+

+

Bx=0

By+Cy-20-40=0 By + Cy =60t

-(4*10)*2m-20tm+Cy*4m+20t*1m=0 Cy = 20t ( )

By = 40t ( )

ÖRNEK XI (devam)

8511- /89

A

1m 4m 1m

10 t/m20t

CD

B 20tm

20t40t

N (t) +

-

T (t) +-

M (tm) -+

20

-

+2m

20-

20

20

- -

20

- -20

0

ÖRNEK XI (devam)

8611- /89



A

2m 3m 1m

CD

B

3 t/m

4t

30o

ÖRNEK XII

8711- /89

A

2m 3m 1m

4t

30CD

B

3 t/m

o

2t

3.46t

CyAy

Ax

Fx 0

+

Fy 0

M A 0

+

+

Ax-3.46=0 Ax=3.46t

Ay+Cy-6-2=0 Ay + Cy =8t

-(3*2)*1m+Cy*5m-2t*6m=0 Cy = 3.6 ( )

Ay = 4.4t ( )

t

ÖRNEK XII (devam)

8811- /89


A

4.42m 3m 1m

4t

30CD

B

3 t/m

o

2t

3.46t

3.63.46

N (t) +

-

T (t) +-

M (tm) -+

3.23

-

1.47m1.6

-+

4.4

20

2

- -

- -

1.6-

+2 2

+2.80+

x 2 x

4.4 1.6

x 1.47m

ÖRNEK XII (devam)

8911- /89

statİk - deukisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ders_notlari/statik/hafta_11.pdfbu ankastre kolon,...

Documents