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Statistische Methoden II SS 2008
Vorlesung: Prof. Dr. Michael SchürmannZeit: Freitag 10.00 - 12.30 (Pause: 11.30 - 11.45)Ort: Hörsaal Makarenkostraße (Kiste)
ÜbungenGruppe 2: Henrike Berg Di 8.00 - 10.00 SR
222Gruppe 1: Hermann Haase Di 10.00 - 12.00 SR
222Gruppe 5: Svenja Schützhold Di 12.00 - 14.00 SR
222Gruppe 7: Sebastian Grapenthin Di 14:00 - 16:00 SR
4 ??Gruppe 8: Svenja Schützhold Di 16:00 - 18:00 SR 5Gruppe 4: Sabine Storandt Mi 8.00 - 10.00 SR
222Gruppe 3: Hermann Haase Mi 10.00 - 12.00 SR
222Gruppe 6: Sebastian Grapenthin Mi 12.00 - 14.00 SR 3
SR 222 : Fleischmannstraße 6SR 3, 4 + 5: Loefflerstraße 70
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http://www.math-inf.uni-greifswald.de/algebra/
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Statistische Methoden IWS 2007/2008
Literatur
1) G. Bamberg, F. Baur: Statistik. Oldenbourg 2) G. Bamberg, F. Baur: Statistik-Arbeitsbuch. Oldenbourg 3) L. Fahrmeir, R. Künstler, I. Pigeot, G. Tutz: Statistik. Springer 4) J. Schira: Statistische Methoden der VWL und BWL. Pearson Education 5) H. Haase: Stochastik für Betriebswirte. Shaker 6) J. Hartung: Statistik. Oldenbourg 7) R. Schlittgen: Einführung in die Statistik. Oldenbourg 8) A. Quatember: Statistik ohne Angst vor Formeln. Pearson Studium 9) H.-D. Radke: Statistik mit Excel. Markt + Technik
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Statistische Methoden I + II 2007/2008
Einleitung: Wie schätzt man die Zahl der Fische in einem See?Zur Geschichte der Statistik
I. Beschreibende Statistik
1. Grundlegende Begriffe
2. Eindimensionales Datenmaterial2.1. Der Häufigkeitsbegriff2.2. Lage- und Streuungsparameter2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve)
3. Mehrdimensionales Datenmaterial3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung3.2. Indexzahlen3.3. Saisonbereinigung
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II. Wahrscheinlichkeitstheorie1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume
1.1. Kombinatorische Formeln1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein-
lichkeiten2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume
2.1. Der diskrete Fall2.2. Der stetige Fall2.3. Unabhängigkeit und bedingte
Wahrscheinlichkeit3. Zufallsvariablen
3.1. Grundbegriffe3.2. Erwartungswert und Varianz
3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz
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4. Markov-Ketten 4.1. Übergangsmatrizen 4.2. Grenzverhalten irreduzibler Markov-Ketten 4.3. Gewinnwahrscheinlichkeiten 4.4. Beispiel „Ruin der Spieler“ 4.5. Anwendungen
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III. Induktive Statistik
1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung
2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle
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3. Tests 3.1. Grundbegriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse
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Beschreibende Statistik(= Deskriptive Statistik)Beschreibung von Datenmaterial
Vorstufe zur
Schließenden Statistik(= Induktive Statistik)Analyse von Datenmaterial,Hypothesen, Prognosen
1. Semester
2. Semester
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Statistische Struktur diskret stetig
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Maximum-Likelihood-Schätzer(diskreter Fall)
Likelihood-Funktion
mit
oder
M-L-Schätzer
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Der Parameter
ist die beste Erklärung für die Beobachtung
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Beispiel Poisson-Verteilung
Stichprobe vom Umfang n mit Poisson-verteilter Stich-Probenvariablen (Intensität: )
M-L-Schätzer für
oder
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Beispiel Bernoulli-Verteilung
Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen(p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses)
M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:
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Maximum-Likelihood-Schätzer(stetiger Fall)
Likelihood-Funktion
mit
oder
M-L-Schätzer
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Der Parameter
ist die beste Erklärung für die Beobachtung
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Normalverteilte Stichprobenvariable
M-L-Schätzer Erwartungswert
Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:
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Normalverteilte Stichprobenvariable
M-L-Schätzer Varianz bekannt
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Normalverteilte Stichprobenvariable
M-L-Schätzer Varianz unbekannt
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Übersicht
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Erwartungstreue Schätzer
Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll:
Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt:
Dabei bedeutet der Index , dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter genommen wird.
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Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X
Statistisches Problem gegeben durch:
Erwartungstreuer Schätzer:
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Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X
Statistisches Problem gegeben durch:
Erwartungstreuer Schätzer:
Erwartungswert bekannt
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Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X
Statistisches Problem gegeben durch:
Erwartungstreuer Schätzer:
Erwartungswert unbekannt
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Normalverteilte StichprobenvariableErwartungstreuer Schätzer
für den Erwarungswert
Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:
ist erwartungstreuerwartungstreu
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Normalverteilte StichprobenvariableErwartungstreuer Schätzer
für die Varianz
bekannt
ist erwartungstreuerwartungstreu
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Normalverteilte StichprobenvariableErwartungstreuer Schätzer
für die Varianz
unbekannt
ist erwartungstreuerwartungstreu
Kein M-L-Schätzer!!
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Übersicht
erwartungstreuerwartungstreu
erwartungstreuerwartungstreu
erwartungstreuerwartungstreu
nichtnichterwartungstreuerwartungstreu
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BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet
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Konfidenzintervalle
Intervallschätzung
Jeder Beobachtung wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet
Niveau
Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen
Intervall liegt, größer oder gleich 1 -
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Die Ungleichung von TschebyschevTschebyschev
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Niveau
Das Niveau wird „klein“„klein“ gewählt.(Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1)
Es gibt aber einen ZusammenhangZusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau:
Niveaukleiner
Intervallbreiter
Die Intervallbreite soll möglichst gering sein.
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BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet
Schätzer von
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Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung
Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y
hat man
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Konfidenzintervall für den Erwartungswert
Varianz bekannt
Annahme:
Konfidenzintervalle:
wobei
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In unserem Beispiel:
Bei einem Niveau von = 0.05 ist 1 - /2 = 0.975. Es ergibt sich:
und
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Verwendung der Tafelfür die Normalvertreilung