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Statistische Methoden IISS 2003
Vorlesung: Prof. Dr. Michael SchürmannZeit: Freitag 10.00 - 12.30
(Pause: 11.30 - 11.45)Ort: Hörsaal Loefflerstraße
ÜbungenGruppe 2: 414 Arne Neumann Di 11.15 - 12.45Gruppe 3: 414 Andreas Matz Mi 7.15 - 8.45Gruppe 1: 414 Andreas Matz Mi 13.00 - 14.45Gruppe 4: 301 Birte Holtfreter Do 7.30 - 9.00Gruppe 5: 301 Birte Holtfreter Do 9.15 - 10.45Gruppe 6: 301 Birte Holtfreter Do 11.00 - 12.30
Ort: Diagnostikzentrum in den Räumen 301 und 414
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Konfidenzintervalle
Intervallschätzung
Jeder Beobachtung wirdein Intervall C()
der reellen Zahlen zugeordnet
Niveau
Dabei ist die Wahrscheinlichkeit.eine Beobachtung zu machen,für die der wahre Parameter
im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 -
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Niveau
Das Niveau wird „klein“„klein“ gewählt.(Wir nehmen in unseren Beispielenin den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1)
Es gibt aber einen Zusammen-Zusammen-hanghang zwischen der Breite derKonfidenzintervalle und dem Niveau:
Niveaukleiner
Intervallbreiter
Die Intervallbreite soll möglichstgering sein.
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Konfidenzintervallfür den Erwartungswert
Varianz bekannt
Annahme:
Konfidenzintervalle:
wobei
Fall Normalverteilung
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Tafel für die Verteilungsfunktionbei Normalverteilung
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BeispielKaufhaus-Konzern
Kauf würde in Erwägung
gezogen
Kauf würde nicht in Erwägung
gezogen
572 1428
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Der Zentrale Grenzwertsatz
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Approximative Konfidenzintervalleim Bernoulli-Fall I
Konfidenzintervall zum Niveau
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Approximative Konfidenzintervalleim Bernoulli-Fall II
Vereinfachung für großes n(n 100)
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Die Student- oder t-Verteilung
Hängt von Parameter n ab!
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Die Chi-Quadrat-Verteilung
Hängt ebenfalls von Parameter n ab!
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Die Chi-Quadrat-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte
Die Konstante c ist dabei:
: Gamma-Funktion
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Chi-Quadrat-Verteilung
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Die Student- oder t-Verteilung
Hängt von Parameter n ab!
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Die Student- oder t-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte
Die Konstante d ist dabei:
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Student-Verteilung
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Für n unabhängigeunabhängige Zufallsvariablen
mit
hat man:
Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung
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Für unabhängigeunabhängige ZufallsvariablenW und U mit
hat man:
Mathematische Bedeutung der t-Verteilung
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Konfidenzintervallfür den Erwartungswert
Varianz unbekannt
Student-Verteilung(oder t-Verteilung)
Fall Normalverteilung
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Konfidenzintervallfür die Varianz
Erwartungswert bekannt
Einseitig
Chi-Quadrat-Verteilung
Fall Normalverteilung
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Konfidenzintervallfür die Varianz
Erwartungswert bekannt
zweiseitig
Chi-Quadrat-Verteilung
Fall Normalverteilung
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Konfidenzintervallfür die Varianz
Erwartungswert unbekannt
Einseitig
Chi-Quadrat-Verteilung
Fall Normalverteilung
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Konfidenzintervallfür die Varianz
Erwartungswert unbekannt
Zweiseitig
Chi-Quadrat-Verteilung
Fall Normalverteilung
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Rechenbeispiel
Stichprobe vom Umfang n = 5
3.5 7.2 5.0 4.3 7.9
Stichprobenfunktionen
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Chi-Quadrat-Verteilung
falsch
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Student-Verteilung
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Konfidenzintervallefür diese konkrete Stichprobe
1.Fall
2.Fall
3.Fall
4.Fall
5.Fall
6.Fall
18.28
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BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet
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Konfidenzintervallefür diese konkrete Stichprobe
Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!!
2.Fall
5.Fall
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TESTS
TESTS
TESTS
TESTSTESTS
TESTS
TESTS
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Worum es geht
Man möchte „testen“, ob eine bestimmteAnnahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht.
Beobachtung(Stichprobe)
EntscheidungEntscheidungVorgabe:
„Irrtumswahr-scheinlichkeit“
Formulierung einer
Hypothese
Da man sich in der Statistik nie ganz sicher sein kann: Die „Irrtumswahr-scheinlichkeit“ sollteklein sein.