statistik i für betriebswirte vorlesung 9...klassenbildung i bei erstellung einer h au...

Statistik I fur BetriebswirteVorlesung 9

Prof. Dr. Hans-Jorg Starkloff

TU Bergakademie FreibergInstitut fur Stochastik

06. Juni 2016

Prof. Dr. Hans-Jorg Starkloff Statistik I fur Betriebswirte Vorlesung 9 Version: 13. Juni 2016 1

2.2 Eindimensionale Merkmale

2.2.1 Haufigkeitsverteilungen

I Eine Stichprobe vom Umfang n sei erhoben und die Variable X (dasMerkmal X ) sei beobachtet worden.

I Urliste (Rohdaten): Liste, in der die erhobenen Beobachtungswertevon X nacheinander aufgeschrieben werden; Bezeichnung: x1, ..., xn .

I a1, ..., ak : Merkmalsauspragungen, die in der Urliste vorkommen;k ≤ n .

I Absolute Haufigkeit der Auspragung ai : Hi = H(ai ) beschreibt, wieoft die Auspragung ai bei den n Beobachtungen vorkommt.

I Relative Haufigkeit der Auspragung ai : hi = h(ai ) = Hin entspricht

dem Anteil der Auspragung ai bezogen auf die n Beobachtungen.


Beispiel 2.4 Prufungsnoten – UrlistePerson Note Person Note Person Note Person Note

1 4 16 3 31 4 46 12 3 17 2 32 1 47 23 3 18 5 33 4 48 44 1 19 3 34 2 49 55 5 20 4 35 3 50 36 4 21 4 36 5 51 57 5 22 5 37 5 52 48 3 23 4 38 4 53 59 1 24 5 39 3 54 2

10 5 25 5 40 4 55 211 5 26 5 51 4 56 312 2 27 3 42 4 57 513 3 28 4 43 3 58 414 5 29 5 44 3 59 415 3 30 4 45 5


Fortsetzung Beispiel 2.4Note (ai ) 1 2 3 4 5

abs H. (Hi ) 4 6 14 17 18rel. H. (hi ) 0.068 0.102 0.237 0.288 0.305


Klassenbildung

I Bei Erstellung einer Haufigkeitsverteilung ist es oft sinnvoll odersogar notig, die Informationen aus der Urliste zu straffen, falls

I die Anzahl der Merkmalsauspragungen k zu groß ist,I und/oder ein stetiges Merkmal vorliegt.

I Ausweg: Klassenbildung:Benachbarte Merkmalsauspragungen werden zu einer Klasse oderGruppe zusammen gefasst. In der gruppierten Haufigkeitsverteilungerscheinen nur noch die Gruppen mit der Haufigkeit allerAuspragungen in der Gruppe.

I Bei der Klassenbildung ist zu beachten:I Merkmalsauspragungen moglichst gleichmaßig auf die Klassen

verteilen (moglichst gleiche Klassenbreite);I keine Uberschneidungen der Klassen;I Klassen mussen vollstandig sein.


Beispiel 2.5 Mieten

Merkmal: Mieten (2013) fur zufallig ausgewahlte Einraumwohnungen inBerlin Mitte in Euro Quelle: Eckstein, Statistik fur Wirtschaftswissenschaftler, 5. Auflage 2016, Springer

Urliste fur n = 45 Wohnungen:

219 275 163 299 268 282 283.1 195.4 327.7272 243 310 324 280 285 329 227 265.6334.1 150 321 322 307 300 238 322.5 332.3385 292.2 360 341 418 340.3 275 286 365402.1 351 408 501.4 509.5 670 926.1 910 1087


Haufigkeitstabelle fur gruppierte (klassierte) DatenBeispiel 2.5 Mieten

Häufigkeitstabellen für MieteUntere Obere Relative Kumulative Kum. Rel.

Klasse Grenze Grenze Mittelpunkt Häufigkeit Häufigkeit Häufigkeit Häufigkeitbei oder unterhalb 100 0 0,0000 0 0,0000

1 100 200,0 150,0 3 0,0667 3 0,06672 200 300,0 250,0 17 0,3778 20 0,44443 300 400,0 350,0 16 0,3556 36 0,80004 400 500,0 450,0 3 0,0667 39 0,86675 500 600,0 550,0 2 0,0444 41 0,91116 600 700,0 650,0 1 0,0222 42 0,93337 700 800,0 750,0 0 0,0000 42 0,93338 800 900,0 850,0 0 0,0000 42 0,93339 900 1000,0 950,0 2 0,0444 44 0,977810 1000 1100,0 1050,0 1 0,0222 45 1,0000

oberhalb 1100 0 0,0000 45 1,0000Mittelwert = 362,273 Standardabweichungen = 188,907

Der StatAdvisorHier wird eine Häufigkeitstabelle erzeugt, indem der Wertebereich von Miete in gleichbreite Intervalle aufgeteilt und die Anzahl von Datenwerten in jedem Intervall gezählt wird. Die (absoluten) Häufigkeiten sind die Anzahl von Datenwerten in jedem Intervall, während die relativen Häufigkeiten den Anteil der Daten in jedem Intervall (bezogen auf die Gesamtanzahl) zeigen. Sie können die Einstellungen für die Intervalle ändern, indem Sie die rechte Maustaste drücken und die Ergebnisfenster-Optionen auswählen. Sie können sich die Häufigkeiten in einer Grafik anschauen, wenn Sie das Häufigkeitsdiagramm von der Liste der Grafiken auswählen.


Histogramm fur gruppierte Daten

Bemerkung: Regel fur Saulenhohen: Hohe= Besetzungszahl/Breite , beiabweichenden Klassenbreiten wird die Skalierung der senkrechten Achsemeistens weggelassen.

Histogramm Beispiel 2.5 Mieten


2.2.2 Statistische Kenngroßen

I Lagemaße(Wo liegt Mehrzahl / Mitte / Schwerpunkt der beobachtetenMerkmalswerte?)

I Streumaße(Uber welchen Bereich erstrecken sich die Beobachtungen, wie starkschwanken sie?)

I Konzentrationsmaße(Wie sind die Merkmalsauspragungen auf die Merkmalstragerverteilt?)


Lagemaße

i) Mittelwerte

(fur quantitative Merkmale)

a) Arithmetisches Mittel:

x =1

n

n∑i=1

xi =1

n(x1 + x2 + . . .+ xn) .

I Auf Basis relativer Haufigkeiten:

x =m∑j=1

hjaj = h1a1 + h2a2 + . . .+ hmam

bei m Merkmalsauspragungen aj und relativen Haufigkeiten hj .

I Im Beispiel 2.5 Mieten: x =219 + . . .+ 1087

45= 362.273 .


Klassierte (gruppierte) Daten

Die Formel

x =m∑j=1

hjaj = h1a1 + h2a2 + . . .+ hmam

kann auch fur klassierte Daten verwendet werden zur naherungsweisenBerechnung des arithmetischen Mittels mit aj , Klassenmitten.

Z.B. in Beispiel 2.5 gilt

x ≈ 363.333 =

3 · 150 + 17 · 250 + 16 · 350 + 3 · 450 + 2 · 550 + 650 + 2 · 950 + 1050

45.


Zusammenfassung von Mittelwerten

I Beispiel 2.6 (Quelle: Bleymuller et al, Statistik fur Wirtschaftswissenschaftler, 14. Auflage)Unternehmen mit Betrieben A und BA: 400 Beschaftige mit Bruttodurchschnittsverdienst 1920.84 eB: 300 Beschaftige mit Bruttodurchschnittsverdienst 2012.17 e⇒ durchschnittlicher Bruttomonatsverdienst samtlicher 700Beschaftigten von A und B zusammen:

x =400 · 1920.84 e+ 300 · 2012.17 e

700= 1959.98 e

I Fur Mittelwerte aus Teilgesamtheiten gilt:Liegt ein Datensatz in r Teilgesamtheiten (sog. Schichten) vor undkennt man die Stichprobenumfange nj sowie die arithmetischenMittel x j pro Schicht, so lasst sich daraus das Gesamtmittel xberechnen als

x =1

n

r∑j=1

nj · x j .


b) Geometrisches Mittel

Definition: xG = n√x1 · x2 · . . . · xn

I Voraussetzung: xi > 0, i = 1, 2, . . . , n .

I Berechnung uber Haufigkeiten: xG = ah11 · a

h22 · . . . · a

hmm

bei m Merkmalsauspragungen aj und relativen Haufigkeiten hj .

I Anwendung zum Beispiel bei der Mittelung von Wachstumsfaktoren.

I ZahlenbeispielZeitpunkt 0 1 2

Kapital 100 81 100

Wachstumsfaktor x1 = 0.81 x2 = 1.234

⇒ xG = 1.000aber x = 1.022 (obwohl insgesamt kein Wachstum des Kapitals).

I Es gilt immer xG ≤ x .


ii) Empirische Quantile

I Ordnen der Datenreihe x1, x2, . . . , xn ergibt geordnete Datenreihe(geordnete Stichprobe, Variationsreihe)

xmin := x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n−1) ≤ x(n) =: xmax .

I Empirisches α-Quantil (0 < α < 1): Zahlenwert xα, so dassα · 100% der Werte in der Variationsreihe links davon liegen:

xα =

x(k) falls nα keine ganze Zahl ist, k ist

dann die auf nα folgende ganze Zahl

12

(x(k) + x(k+1)

)falls nα =: k eine ganze Zahl ist

(fur quantitative Merkmale).


Empirischer Median, empirische Quartile

I Empirischer Median: empirisches 0.5-Quantil, (mittlerer Wert dergeordneten Stichprobe)

x = xmed := x0.5 =

x( n+12 ), falls n ungerade;

12

(x( n

2 ) + x( n2

+1)

), falls n gerade.

I Unteres empirisches Quartil (unterer Viertelwert): Vu = x0.25 .

I Oberes empirisches Quartil (oberer Viertelwert): Vo = x0.75 .

I Bemerkung: Der arithmetische Mittelwert x ist empfindlichgegenuber Ausreißern, der Median x weniger.


iii) Empirischer Modalwert, Modus

I xmod Wert mit der großten Haufigkeit in der Stichprobe.

I Hangt bei klassierten Daten stark von der gewahltenKlasseneinteilung ab ⇒ Modalklasse.

I Im Allgemeinen gilt x 6= x 6= xmod .

I Auch verwendbar bei qualitativen Merkmalen.

I Zum Beispiel Partei mit den meisten Stimmen bei einer Wahl.


Streumaße (fur metrisch skalierte Daten)

I Spannweite: ∆ = xmax − xmin .

I Quartilsabstand (Viertelweite): dQ = Vo − Vu .

I Empirische Varianz (Stichprobenstreuung):

s2 =1

n − 1

n∑i=1

(xi − x)2 =1

n − 1

(n∑

i=1

x2i − nx2

).

I Empirische Standardabweichung: s =√s2 .

I Empirischer Variationskoeffizient: v =s

x· 100% (falls x > 0),

besitzt keine phys. Einheit, er ist fur kleine Werte x nicht sehraussagekraftig.

I Ausreißergrenzen: Au = Vu − 1.5dQ Ao = Vo + 1.5dQ .

(sogenannte innere Zaune; außere Zaune bei ±3dQ).


Beispieldaten

I Geordnete Stichprobe: (n = 11)k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x(k) 1 4 13 14 14 15 17 19 19 21 23

I Median: 11 · 0.5 = 5.5 ⇒ x = x(6) = 15 .

I Unteres Quartil: 11 · 0.25 = 2.75 ⇒ Vu = x(3) = 13 .

I Oberes Quartil: 11 · 0.75 = 8.25 ⇒ Vo = x(9) = 19 .

I Quartilsabstand (Viertelweite): dQ = Vo − Vu = 19− 13 = 6 .

I Ausreißergrenzen:Au = Vu − 1.5dQ = 13− 9 = 4 = x(2) ,Ao = Vo + 1.5dQ = 19 + 9 = 28 > x(11) = 23 .


Statgraphics fur Beispieldatensatz

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x(k) 1 4 13 14 14 15 17 19 19 21 23

Summenstatistiken für Col_1Anzahl 11Arithm. Mittelwert 14,5455Standardabweichungen 6,75816Variationskoeffizient 46,4624%Minimum 1,0Maximum 23,0Spannweite 22,0Stand. Schiefe -1,39246Stand. Wölbung 0,374684

Der StatAdvisorDiese Tabelle zeigt Summenstatistiken für Col_1. Sie enthält Maßzahlen für die zentrale Lage, die Variabilität und die Gestalt der Verteilung. Von speziellem Interesse sind hier die standardisierte Schiefe und die standardisierte Wölbung, die man verwenden kann, um herauszufinden, ob die Daten normalverteilt sind. Falls die Werte dieser Statistiken außerhalb des Bereiches von –2 bis +2 liegen, bedeutet das eine signifikante Abweichung von der Normalverteilung, wodurch ein statistischer Test (bei dem Normalverteilung unterstellt wird) (z.B.) mit Bezug zur Standardabweichung problematisch ist. In diesem Fall liegt der Wert für die standardisierte Schiefe innerhalb des Bereiches, den man für normalverteilte Daten erwarten würde. Der Wert für die standardisierte Wölbung liegt innerhalb des Bereiches, den man für normalverteilte Daten erwarten würde.

Perzentile für Col_1Perzentile

1,0% 1,05,0% 1,010,0% 4,025,0% 13,050,0% 15,075,0% 19,090,0% 21,095,0% 23,099,0% 23,0

Der StatAdvisorDieses Ergebnisfenster zeigt die Stichproben-Perzentile für Col_1 an. Das Perzentil ist ein Wert, für den ein bestimmter Prozentsatz der Daten kleiner oder gleich dieser Zahl ist. Sie können sich die Perzentile in einer Grafik anschauen, wenn Sie das Quantil-Diagramm von der Liste der Grafiken auswählen.

Box-Whisker-Plot

0 4 8 12 16 20 24

Col_1


Box-Plot I

I Aussagekraftige graphische Darstellung der Funfer-Charakteristik,bestehend aus Median x , den empirischen Quartilen (Viertelwerten)Vu,Vo und den Ausreißergrenzen Au,Ao .

I Die untere Begrenzungslinie wird dabei bestimmt durch denkleinsten Wert, der ≥ Au ist, (= xmin falls xmin ≥ Au) wahrend dieobere Begrenzungslinie durch den großten Wert, der ≤ Ao ist,definiert wird (= xmax falls xmax ≤ Ao).

I Ausreißer (Datenwerte außerhalb der Ausreißergrenzen) werdenextra durch Punkte angegeben.


Box-Plot II Beispiel 2.5 Mieten

Box-Whisker-Plot

0 200 400 600 800 1000 1200

Miete


Box-Plot III Beispiel zum Vergleich

Box-and-Whisker Plot

Fach

Punk

te

1 2 3 4 5 6 70

10

20

30

40

1: Bilanzierung 5: Produktion und Beschaffung 2: Wirtschaftsinformatik 6: Investition und Finanzierung

3: Organisation 7: Anlagenwirtschaft 4: Marketing


statistik i für betriebswirte vorlesung 9...klassenbildung i bei erstellung einer h au...

Documents