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Statistik für Punktprozesse
Seminar „Stochastische Geometrie
und ihre Anwendungen“
WS 2009/2010
Inhalt
I. Fragestellung / Problematik
II. Ansätze für…
a) … die Schätzung der Intensität
b) … ein Testverfahren auf Stationaritätb) … ein Testverfahren auf Stationarität
c) … das Testen von Prozess-Typen
d) … Test der Poissonannahmen
III. Zusammenfassung
26.10.2009 2Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
Inhalt
I. Fragestellung / Problematik
II. Ansätze für…
a) … die Schätzung der Intensität
b) … ein Testverfahren auf Stationaritätb) … ein Testverfahren auf Stationarität
c) … das Testen von Prozess-Typen
d) … Test der Poissonannahmen
III. Zusammenfassung
26.10.2009 3Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
I. Fragestellung / Problematik
Gegeben: Punktmuster
Mögliche Interessen:
− Wie hoch ist die Intensität λ?
26.10.2009 4Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
I. Fragestellung / Problematik
Gegeben: Punktmuster
Mögliche Interessen:
− Ist das Punktmuster vom Poisson Typ?
26.10.2009 5Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
I. Fragestellung / Problematik
Gegeben: Punktmuster
Mögliche Interessen:
− Ist das Punktmuster von einem anderen Typ?
26.10.2009 6Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
I. Fragestellung / Problematik
Gegeben: Punktmuster
Mögliche Interessen:
− Ist das Punktmuster stationär?
26.10.2009 7Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
I. Fragestellung / Problematik
26.10.2009 8Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
Inhalt
I. Fragestellung / Problematik
II. Ansätze für…
a) … die Schätzung der Intensität
b) … ein Testverfahren auf Stationarität
c) … das Testen von Prozess-Typen
d) … Test der Poissonannahmen
III. Zusammenfassung
26.10.2009 9Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…a) … die Schätzung der Intensität
- „Natürlicher Ansatz“
- „Leere Quadrate“ Methode
)(
)(ˆW
W
d
Wν
λΦ
=
26.10.2009 10Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…a) … die Schätzung der Intensität
- „Natürlicher Ansatz“)(
)(ˆW
W
d
Wν
λΦ
=
Eigenschaften (im Poisson Fall):
• Erwartungstreu:
( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )
λν
νλ
ννλ =
⋅=
ΦΕ=
ΦΕ=Ε
W
W
W
W
W
W
d
d
dd
Wˆ
26.10.2009 11Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…a) … die Schätzung der Intensität
Falls Folge von Beobachtungsfenstern,
• Schwach konsistent:
( ) 0|ˆ|lim =>−Ρ∞→
ελλnW
n0>∀ε
( ) ∞=∞→
ndn
WνlimnW
• Aysmptotisch normalverteilt:
Falls zusätzlich
• Stark konsistent:
...21 ⊂⊂ WW
( ) ( ) )(ˆlim xxW
nWnd
nΦ=
≤−⋅Ρ
∞→λλ
λ
ν
1)ˆlim( ==Ρ∞→
λλnW
n
26.10.2009 12Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…a) … die Schätzung der Intensität
Konfidenzintervall (Approximation):
~( )( )
( ) ( )WWW
WdW
d
W Φ=⋅⇔Φ
= νλν
λ ˆˆ ( )( )WPoi dνλ ⋅
Damit gilt für große mit Wahrscheinlichkeit 1-α:
(siehe Crow&Gardner 1959, Sachs 1984)
( )WΦ
( ) ( ) ( )2
2/
2
2/ 122
+Φ+≤⋅≤
Φ− W
zWW
zd
αα νλ
26.10.2009 13Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…a) … die Schätzung der Intensität
- „Leere Quadrate“ -Methode
Schritt1: Zerlege W in p gleichgroße Quadrate
Schritt2: Sei p* die Anzahl der leeren Quadrate in W Schritt2: Sei p* die Anzahl der leeren Quadrate in W
und sei
Schritt3: Dann ist ein Schätzer für λ gegeben durch:
p
pp
*:0 =
( )²
logˆ 0
a
p−=λ
26.10.2009 14Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
Inhalt
I. Fragestellung / Problematik
II. Ansätze für…
a) … die Schätzung der Intensität
b) … ein Testverfahren auf Stationaritätb) … ein Testverfahren auf Stationarität
c) … das Testen von Prozess-Typen
d) … Test der Poissonannahmen
III. Zusammenfassung
26.10.2009 15Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…b) …ein Testverfahren auf Stationarität
• wähle 2 disjunkte Beobachtungsfenster W1 und W2
• seien n1 bzw. n2 die Anzahl der Atome in W1 bzw. W2
Testgröße: ~)12()( 21 +⋅
=nW
F dνFTestgröße: ~
(o.B.d.A. sei F>1)
Test: Ho: Φ ist stationär vs. H1: Φ ist nicht stationär
Ho ist abzulehnen mit Signifikanzlevel α, falls
F > F2n1+1,2n2+1,1-α/2(siehe Cox 1953)
)12()(
)12()(
12
21
+⋅
+⋅=
nW
nWF
d
d
ν
ν12,12 21 ++ nnF
26.10.2009 16Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
Inhalt
I. Fragestellung / Problematik
II. Ansätze für…
a) … die Schätzung der Intensität
b) … ein Testverfahren auf Stationaritätb) … ein Testverfahren auf Stationarität
c) … das Testen von Prozess-Typen
d) … Test der Poissonannahmen
III. Zusammenfassung
26.10.2009 17Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…c) … das Testen anderer Prozess-Typen
Kenngrößen von Punktprozessen sind z.B.:
− K-Funktion (und L-Funktion)
− Sphärische Kontaktverteilungsfunktion ( )rH s
− Nächster-Nachbar-Abstandverteilungsfunktion
s
( )rD
26.10.2009 18Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…c) … das Testen anderer Prozess-Typen
Problem: Minus-Sampling:
26.10.2009 19Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
W
W Ѳ b(o,r)
W
II. Ansätze für…c) … das Testen anderer Prozess-Typen
Plus-Sampling vs. Minus-Sampling:
• Plus-Sampling vergrößert das Beobachtungsfenster,
benötigt mehr Informationen; es entsteht eine
verzerrte Sicht, wenn man die benötigten verzerrte Sicht, wenn man die benötigten
Zusatzinformationen nicht zur Verfügung hat
• Minus-Sampling verkleinert das
Beobachtungsfenster, benötigt weniger
Informationen (verwirft aber auch Informationen!)
26.10.2009 20Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…c) … das Testen anderer Prozess-Typen
bei Minus-Sampling nicht monoton in r!( )rD̂
26.10.2009 21Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
W Ѳ b(o,r)
W
II. Ansätze für…c) … das Testen anderer Prozess-Typen
K-Funktion (zweites reduziertes Momentenmaß):
wobei das Intensitätsmaß der
reduzierten Palmschen Verteilung ist;
( ) ( )λ
µ BB
!
:=Κ ( )B!µ
reduzierten Palmschen Verteilung ist;
Ripleysche K-Funktion:
Und aus Slivnyak‘s Theorem folgt:
( ) ( )( )robrK ,: Κ=
( ) ( )( ) ( )( ) 2!
,,r
robrobrK
Slivniak
⋅=== πλ
µ
λ
µ
26.10.2009 22Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…c) … das Testen anderer Prozess-Typen
Schätzer für die Ripleysche K-Funktion:
( ) ( )∑≠
×
−+
⋅−=
21 12
2112
, 2
,^
2
)))(((
),(1)(1
nn nn
nnWWnnrob
SSWW
SSSSrK
Iνλ
Beziehungsweise:
mit
21 12, 2nn nn
( ) ( )2
^2
ˆˆ
λ
λ rKrK =
( ) ( )( )( )( )2
2
2 1ˆW
WW
νλ
−Φ⋅Φ=
26.10.2009 23Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…c) … das Testen anderer Prozess-Typen
Sphärische Kontaktverteilungsfunktion:
( ) ( ) { }( )
( )2
1,
0)),((:0min: 00
rPoisson
xs
erxboP
rrxbrPrZPrH
⋅⋅−−=
∈=
≤>Φ≥=≤=
πλU
Somit ergibt sich als Schätzer:
( ) 1,r
x
erxboP⋅⋅−
Φ∈
−=
∈= πλU
( )( )( ) ( )
( )( )robW
rxbrobW
rHx
s,
,,
ˆ
2
2
ν
ν
= Φ∈
UI
26.10.2009 24Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
ѳ
ѳ
II. Ansätze für…c) … das Testen anderer Prozess-Typen
Nächster-Nachbar-Abstandverteilungsfunktion:
( ) ( )( )( )
( )2
111
0,:1 !
0
rPoisson
e
robrD
⋅⋅−∞
−=Ε⋅=
=Ν∈Ρ−=
∑ πλ
ϕϕ
Somit ergibt sich der Schätzer:
( )11
1
1min,
2
r
nrSSWS
eW mn
mnn
⋅⋅−
=
≤−∈
−=Ε⋅⋅
= ∑≠
πλ
νλ
( )( )( ){ } ( )( )∑
∞
=
≤−∈
≠
⋅∈
=1
min,, 1
, :#
1ˆ
nrSSrobWS
nmn
mnnrobWSn
rD
26.10.2009 25Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
ѳѳ
II. Ansätze für…c) … das Testen anderer Prozess-Typen
Konstruktion von Tests:
• Getestet werden soll (mit Hilfe der eingeführten
Kenngrößen/Schätzer), ob ein Punktmuster zu einer
bestimmten Art von Punktprozess gehörtbestimmten Art von Punktprozess gehört
• Problem: Tatsächliche Verteilung von Testgrößen zu
diesen Kenngrößen ist schwierig zu ermitteln
• Lösung: Monte Carlo Simulation
26.10.2009 26Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…c) … das Testen anderer Prozess-Typen
Monte Carlo Simulation:
Schritt1: Hypothetischer Punktprozess ,
Beobachtungsfenster , empirische Testgröße
Schritt2: Simuliere n mal die Testgröße im
0ΦW 0T
TSchritt2: Simuliere n mal die Testgröße im
Beobachtungsfenster des hypothetischen
Punktprozesses
Schritt3: Ordne einschließlich der Größe nach.
Liegt in einem kritischen Bereich, also „zu weit
außen“, ist die Hypothese (mit Signifikanzlevel 1-α)
abzulehnen
0ΦW
0T
iT
26.10.2009 27Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
nT
0T
Inhalt
I. Fragestellung / Problematik
II. Ansätze für…
a) … die Schätzung der Intensität
b) … ein Testverfahren auf Stationaritätb) … ein Testverfahren auf Stationarität
c) … das Testen von Prozess-Typen
d) … Test der Poissonannahmen
III. Zusammenfassung
26.10.2009 28Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…d) … das Testen der Poissonannahmen
− Distanz-Methoden
− Methoden, welche die K-Funktion benutzen
− Quadrat-Methoden
26.10.2009 29Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…d) … das Testen der Poissonannahmen
− Distanz-Methoden:
Im Poisson-Fall muss gelten:
Intuitives Vorgehen:
• Distanzmessungen durchführen
( ) ( )rDrH s =
• Distanzmessungen durchführen
• Daraus empirische Verteilungen berechnen
• Auf Gleichheit überprüfen
Problem:
• Unabhängigkeitsannahme nicht erfüllt
26.10.2009 30Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…d) … das Testen der Poissonannahmen
Lösungsmethode (von Byth & Ripley):
• Wähle 2m Lokationen in W (ca. 10% der Punkte)
• Mit der ersten Hälfte berechnet man die Distanzen
zum nächsten Punkt: ( )vv ,...,zum nächsten Punkt:
• Mit der zweiten Hälfte definiert man Regionen, aus
deren unmittelbarer Umgebung (so gewählt, dass
durchschnittlich 5 Punkte darin liegen) man zufällig
einen Punkt auswählt und zu diesem den Nächsten-
Nachbar-Abstand berechnet:
( )mvv ,...,1
( )muu ,...,1
26.10.2009 31Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…d) … das Testen der Poissonannahmen
• Damit ergeben sich folgende Testgrößen mit approximativen Verteilungen:
~∑∑ ==
m
m
i i
F
v
uh
2
1
2
mmF 2,2~
~
(siehe Byth&Ripley 1980)
∑ =
=m
i i
F
vh
1
2mmF 2,2
( )∑ = +=
m
iii
iN
vu
u
mh
1 22
21
mN
12
1,
2
1
26.10.2009 32Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…d) … das Testen der Poissonannahmen
− Methoden, welche die K-Funktion benutzen:
Im Poisson-Fall muss gelten:
• Man betrachtet statt der K-Funktion die L-Funktion:
( ) 2rrK ⋅= π
( )rK
• Damit betrachtet man die Teststatistik:
( ) ( )r
rKrL
Poisson
==π
( ) rrLrr
−=≤
ˆmaxmax
τ
26.10.2009 33Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…d) … das Testen der Poissonannahmen
− Quadrat-Methoden:
Zerlegt man das Beobachtungsfenster W in gleich große
Quadrate der Fläche , sollte gelten:
• Durchschnittlich Punkte pro Quadrat
( )Q2ν
( )Qνλ ⋅• Durchschnittlich Punkte pro Quadrat
• Anzahl der Punkte pro Quadrat sind unabhängig
Aufbauend auf diesen Verteilungseigenschaften kann
man Testverfahren konstruieren
( )Q2νλ ⋅
26.10.2009 34Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
II. Ansätze für…d) … das Testen der Poissonannahmen
Index-of-dispersion Test :
Mit k = Anzahl der Quadrate
= Mittelwert der Anzahl der Punkte pro Quadrat
s² = Varianz der Anzahl der Punkte pro Quadrat
x
s² = Varianz der Anzahl der Punkte pro Quadrat
gilt approximativ:
~
(gute Annäherung, falls k>6 und )
( )x
skI
21−=
2
1−kχ
( ) 12 >⋅ Qνλ
26.10.2009 35Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
Inhalt
I. Fragestellung / Problematik
II. Ansätze für…
a) … die Schätzung der Intensität
b) … ein Testverfahren auf Stationaritätb) … ein Testverfahren auf Stationarität
c) … das Testen von Prozess-Typen
d) … Test der Poissonannahmen
III. Zusammenfassung
26.10.2009 36Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"