statika in kinematika - lab.fs.uni-lj.si

Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojnistvo

LADISK – Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij

Statika in Kinematika

Laboratorijske vaje

Izr. prof. dr. Gregor Cepon

As. Miha Kodric

As. Miha Pogacar

As. Domen Ocepek

As. Tim Vrtac

2021/2022

1 Statika masne tocke in togega telesa 2

2 Analiza konstrukcijskih elementov 8

3 Vrvi in kinematika togega telesa 12

Literatura 18

Gradivo podaja nujne izraze za sledenje laboratorijskim vajam, pri cemer se

predpostavlja znanje s predavanj in vaj.

Student:

Lab. vaja Datum Podpis asistenta

Prva

Druga

Tretja

Uporabljamo LATEX 2ε.

http://www.fs.uni-lj.si/ladisk/slo/latex_slo.htm

1 Statika masne tocke in togega telesa

1.1 Statika masne tocke

V realnosti se pogosto srecamo s primeri, pri katerih sile togo telo obremenjujejo na majhnem podrocju.

Primer tovrstne konstrukcije predstavlja zerjav (slika 1a), pri katerem lahko predpostavimo skupno pri-

jemalisce sil na sticiscu vrvi in nagibne palice. Za potrebe laboratorijske vaje bomo po zgledu realne

konstrukcije obravnavali preprost zerjav, ki je predstavljen na sliki 1b.

Dvižna vrv

Nagibna ročica

Breme

Protiutež

Vrv za nagib ročice

(a) (b)

Slika 1: (a) Gradbeni zerjav. (b) Laboratorijski zerjav.

1.1.1 Namen vaje

V okviru te vaje zelimo studentu prikazati:

• izdelavo fizikalnega modela in diagrama prostega telesa na podlagi realne konstrukcije,

• kako na preprostem laboratorijskem primeru dolociti geometrijske znacilnosti konstrukcije in eks-

perimentalno dolociti notranjo osno silo v vrvi in palici,

• dolocitev neznanih obremenitev v konstrukcijskih elementih na podlagi ravnotezja sil s skupnim

prijemaliscem.

m

silomer 1

silomer 2

Slika 2: Sestav laboratorijskega zerjava.

2

1.1.2 Navodila za izvedbo vaje

1. Sestavite laboratorijski zerjav, pri cemer si pomagajte s sliko 2.

a) Zagotovite ustrezne podpore in povezovalne clenke.

b) Za posamezni element izberite ustrezen silomer, ki bo omogocal merjenje tlacne oz. natezne

osne sile v elementu.

2. Izdelajte fizikalni model obravnavane konstrukcije laboratorijskega zerjava.

a) Premislite o smiselnosti poenostavitve v ravninski problem.

b) Premislite, ali je potrebno lastno tezo konstrukcije obravnavati v fizikalnem modelu.

c) Dolocite tip posameznega konstrukcijskega elementa in tipe povezav med posameznimi deli

konstrukcije.

3. Z uporabo razpolozljive merilne opreme dolocite geometrijske lastnosti konstrukcije.

a) Premislite, ali je meritve smiselno izvesti na obremenjeni ali neobremenjeni konstrukciji.

b) Pri izbiri merilnih metod in izvedbi meritev bodite pazljivi, saj lahko merilni pogreski geome-

trijskih velicin znatno vplivajo na izracunane vrednosti obremenitev.

c) Pri merjenju in poimenovanju parametrov si pomagajte s sliko 3a.

4. Z uporabo danih merilnikov sil eksperimentalno dolocite notranjo osno silo v vrvi in palici zerjava.

a) Z ozirom na dogovor o pomenu predznaka osno obremenjenih konstrukcijskih elementov (slika 3b),

ustrezno predznacite odcitke osnih sil v vrvi in palici.

5. Z upostevanjem izmerjenih geometrijskih podatkov in znane mase utezi analiticno dolocite notranjo

osno silo v vrvi in palici zerjava.

a) Pri izracunu uporabite metodo relativnih kotov (slika 3c). . .

b) . . . ali metodo absolutnih kotov (slika 3d).

6. Primerjajte izracunane in izmerjene vrednosti notranjih obremenitev v konstrukcijskih elementih.

a) Izracunajte absolutno in relativno odstopanje izracunane vrednosti od izmerjene vrednosti.

h2

h1

L

my

xg

(a)

FgFN

FS

(b)

ϕ6ϕ5

ϕ4

ϕ3 ϕ2

ϕ1

Fg FN

FS

x

y

(c)

α2

α3

α1

Fg FN

FS

x

y

(d)

Slika 3: (a) Fizikalni model. (b) Navidezni prerez. (c) Relativni koti. (d) Absolutni koti.

analiticno [N] eksperimentalno [N] abs. odstopanje [N] rel. odstopanje [%]

FS

FN

3

1.2 Skripcevje

Skripcevje je naprava, sestavljena iz pritrjenih in gibljivih skripcev, povezanih z vrvjo, preko katere se

prenasa sila. Njegovo zasnovo se pripisuje starogrskemu mehaniku Arhimedu, ki naj bi po legendi s

sistemom vzvodov in skripcev na kopno dvignil ladjo skupaj s posadko (originalna fotografija na sliki

4a). To legendo bomo potrdili ali zavrgli na tej laboratorijski vaji, kjer bomo preko skripcevja dvigovali

laboratorijsko ladjo (slika 4b).

(a) (b)

Slika 4: (a) Arhimed med premikanjem ladje s sistemom skripcev. (b) Laboratorijska ladja.

1.2.1 Namen vaje


• zasnovo sistema skripcev, da je sila, potrebna za dvigovanje bremena, manjsa od teze bremena,

• izdelavo fizikalnega modela in diagrama prostega telesa na podlagi realne konstrukcije.


Postopek izvedbe vaje, ki je predstavljen v nadaljevanju, je potrebno izvesti na izbranem sistemu skripcevja.

y

x

g

vrv 3

vrv 2vrv 1

vrv 4

m

F

(a)

vrv 3

vrv 2

vrv 1

vrv 4

m

F

(b)

vrv 2

vrv 1

vrv 3

m

F

(c)

Slika 5: (a) Sistem 1. (b) Sistem 2. (c) Sistem 3.

4

1. Sestavite skripec in preucite njegovo delovanje.

2. Na izbiro imate tri razlicne konfiguracije skripcevja, ki so prikazane na slikah 5a - 5c.

a) Izberite in izdelajte skripcevje, pri katerem bo sila F , potrebna za dvigovanje bremena s

konstantno hitrostjo, najmanjsa.

b) Ce imate tezave z izbiro pravilnega skripcevja, lahko eksperimentalno preverite vse tri konfi-

guracije in tako izberete najustreznejso.

3. Za dano ravnotezno stanje izdelajte fizikalni model obravnavanega skripcevja.


b) Ali lahko zanemarimo lastno tezo skripcev?

c) Ali lahko v sistemu zanemarimo trenje?

d) Premislite, kje se nahajajo prijemalisca posameznih sil.

4. Zapisite sistem ravnoteznih enacb in analiticno dolocite:

a) Silo F , ki je potrebna za dvigovanje bremena s konstantno hitrostjo.

b) Silo F , ki je potrebna, da breme miruje na konstantni visini.

c) Notranje sile v vrveh.

5. Z uporabo silomera eksperimentalno dolocite neznano silo F .

a) Premislite, ali je silo F smiselno meriti pri dvigovanju bremena s konstantno hitrostjo ali v

stanju, ko breme miruje na visini (vpliv trenja?).

6. Primerjajte izracunano in izmerjeno vrednost neznane sile F .

a) Izracunajte absolutno odstopanje izracunane vrednosti od izmerjene vrednosti.

b) Izracunajte relativno odstopanje izracunane vrednosti od izmerjene vrednosti.

Ravnotezno stanje

nez. sila - analiticno [N]

nez. sila - eksperimentalno [N]

abs. odstopanje [N]

rel. odstopanje [%]

5

1.3 Statika togega telesa

V praksi se pogosto pojavljajo sistemi, pri katerih predpostavka skupnega prijemalisca sil ni mogoca. V

tem primeru je potrebno poleg aksiomov o silah uvesti tudi koncept momenta. Enega izmed tovrstnih

primerov predstavlja klasicna tehtnica (slika 6a), ki ob predpostavki znane mase utezi na eni strani

omogoca izracun mase bremena na drugi strani tehtnice. Za potrebe laboratorijske vaje bomo po zgledu

realne konstrukcije obravnavali preprosto laboratorijsko tehtnico, ki je predstavljena na 6b.

(a) (b)

Slika 6: (a) Klasicna tehtnica. (b) Laboratorijska tehtnica.

1.3.1 Namen vaje



• izracun neznane vrednost mase utezi preko zapisa ravnoteznih enacb sistema.


Postopek izvedbe vaje, ki je predstavljen v nadaljevanju, je potrebno izvesti za dve razlicni ravnotezni

stanji laboratorijske tehtnice, ki sta prikazani na slikah 7a in 7b.

ϕ

m1

m2

a b

A

(a)

ϕ

m1

m2

ab

α

A

(b)

Slika 7: (a) Ravnotezno stanje 1. (b) Ravnotezno stanje 2.

6

1. Na voljo imate dve utezi, pri cemer je masa prve utezi znana, masa druge utezi pa je neznana.

a) Z ustrezno izbiro razdalj a in b zagotovite ravnotezno stanje prikazano na sliki 7a.

2. Za dano ravnotezno stanje izdelajte fizikalni model obravnavane laboratorijske tehtnice.

a) Premislite o smiselnosti poenostavitve v ravninski problem in predpostavki zanemaritve trenja.

b) Dolocite tipe povezav med posameznimi deli konstrukcije in premislite, kje se nahajajo prije-

malisca posameznih sil.


a) Pri izbiri merilnih metod in izvedbi meritev bodite pazljivi, saj lahko merilni pogreski geome-

trijskih velicin znatno vplivajo na izracunane vrednosti obremenitev.

b) Pri poimenovanju izmerjenih parametrov si pomagajte s sliko 8a.

4. Zapisite sistem ravnoteznih enacb in z upostevanjem izmerjenih geometrijskih podatkov analiticno

dolocite:

a) komponenti reakcijske sile v podpori A,

b) maso neznane utezi.

5. Z uporabo elektronske tehtnice eksperimentalno dolocite maso neznane utezi.

6. Primerjajte izracunano in izmerjeno vrednost neznane mase utezi.



7. Ponovite postopek za ravnotezno stanje, prikazano na sliki 7b.

a) Zanimivost : Pri obravnavi ravnoteznega stanja na sliki 8b je mogoce z razlicnimi pristopi

zapisa ravnoteznih enacb pokazati veljavnost adicijskega izreka.

ϕ

F2

F1

a b

FAx

FAy

(a)

ϕ

F2

F1

ab

FAxFAy

α

(b)

Slika 8: (a) Fizikalni model 1. (b) Fizikalni model 2.

Ravnotezno stanje 1 Ravnotezno stanje 2

nez. masa - analiticno [kg]

nez. masa - eksperimentalno [kg]

abs. odstopanje [kg]

rel. odstopanje [%]

7

2 Analiza konstrukcijskih elementov

2.1 Palicje

Palicja so pogosto uporabljen strukturni element v inzenirskih aplikacijah (slika 9), saj predstavljajo

predvsem prakticno in v veliko primerih tudi ekonomicno resitev. Palica je v osnovi element z ravno

osjo, ki je na obeh koncih clenkasto podprt, pri tem pa je obremenjen le s silami v svojih clenkih. Edina

notranja obremenitev v palici je tako osna sila FN , medtem ko sta notranja precna sila in moment enaka

nic. Vezave palic v vozliscih morajo zagotavljati clenkasto vez, oz. morajo biti izvedene na nacin, da se

preko vozlisc ne prenasajo upogibni momenti.

Slika 9: Palicne konstrukcije.

2.1.1 Namen vaje


• kako izdelati enostavno laboratorijsko palicno konstrukcijo,

• kako preko ravnoteznih enacb dolociti notranje osne sile v palicah.

Slika 10: Sestavni deli laboratorijske palicne konstrukcije.

8


1. Iz 3D tiskanih kosov (slika 10), ki so vam na voljo, izdelajte most, pri cemer upostevajte vse

predpostavke, ki veljajo za palicje.

a) Dvodimenzionalni most naj bo dolzine 30 cm.

b) Pazite, da je palicje zunanje in notranje staticno doloceno.

c) Pri vezavi elementov bodite cimbolj inovativni na nacin, da bo most prenasal cim vecjo obre-

menitev ob minimalnem povesu.

d) Bodite racionalni pri uporabi stevila palic.

2. Z aplikacijo obremenitve preverite, ali je izdelan most primeren za uporabo.

a) Obremenitev aplicirajte v vozliscu, ki je najblizje sredini mostu.

3. Osne sile v palicah v nadaljevanju vrednotimo s pomocjo numericne simulacije. Vasa naloga je vnos

geometrije v numericni modelirnik ANSYS APDL.

a) Definirajte vozlisca, in nato generirajte palice, ki povezujejo ustrezen par vozlisc tako, da se

bo numericni model ujemal z vaso konstrukcijo.

k , 1 , 0 , 0 , 0 ! tocka 1 na koordinatah ( x=0,y=0,z=0) mm

k ,2 , 100 , 0 , 0 ! tocka 2 na koordinatah ( x=100 ,y=0,z=0) mm

l , 1 , 2 ! l i n i j a k i povezuje t o c k i 1 in 2

b) Definirajte, kateri pomiki so prepreceni v posamezni podpori.

dk , 1 , a l l , 0 ! v t o c k i 1 p r e p r e c i vse pomike

dk , 2 , ux , 0 ! v t o c k i 2 p r e p r e c i pomike v x smeri

c) S pomocjo asistenta izvedite numericno simulacijo (obremenitev naj bo tockovna sila 10 N

v vozliscu najblizje sredini mostu navpicno navzdol) tako, da dobite okno z rezultati, kot je

prikazano na sliki 11.

4. Skupina, ki izdela most z najmanjsim povesom v sredinski tocki, dobi na prvem kolokviju bonus

10% pri nalogi iz palicja.

5. V palici z najvecjo osno silo le-to izracunajte analiticno ter preverite, kako se rezultat ujema z

numericno simulacijo.

Slika 11: Rezultat numericne simulacije.

9

2.2 Nosilci

Nosilci so, zaradi svoje vsestranskosti, najpogosteje uporabljeni konstrukcijski elementi. Prenasajo osne,

precne in upogibne obremenitve, zato je njihova geometrija lahko poljubna in jih lahko obremenimo s

poljubnimi obremenitvami. V praksi nas pogosto zanima nosilnost konstrukcije, kar lahko izracunamo

s pomocjo NTM diagrama. Notranje osne in precne sile ter notranji moment so neposredno povezane

z napetostmi, ki se pojavijo v prerezu nosilca. Da ne pride do porusitve, morajo biti te napetosti pod

dopustno mejo, ki jo material v danih pogojih lahko prenese. Potreba po preracunu nosilca se v praksi

pojavi npr. pri konstruiranju mostnega dvigala, ki je prikazan na sliki 12a. Za potrebe laboratorijske

vaje bomo obravnavali poenostavljen in pomanjsan model, ki je prikazan na sliki 12b.

(a) (b)

Slika 12: (a) Mostno dvigalo. (b) Laboratorijsko dvigalo.

2.2.1 Namen vaje



• kako na preprostem laboratorijskem primeru izracunati notranje sile in momente na poljubni lokaciji

elementa,

• kako izdelati NTM diagram nosilca,

• kako eksperimentalno dolociti notranji upogibni moment na izbrani tocki nosilca.

10


1. Izdelajte fizikalni model, ki ponazarja konstrukcijo obravnavanega nosilca.


b) Premislite, ali je potrebno lastno tezo konstrukcije obravnavati v fizikalnem modelu.

c) Dolocite tipe podpor na obeh straneh nosilca.


a) Dolocite lokacijo obremenitve ter merilnega mesta.

b) Pri poimenovanju izmerjenih parametrov si pomagajte s sliko 13.

3. Z upostevanjem izmerjenih geometrijskih podatkov in znane mase utezi analiticno dolocite funkcij-

ske predpise za notranjo osno in strizno silo ter notranji moment.

a) Narisite NTM diagram.

b) Dolocite vrednosti notranjih velicin na mestu, kjer so namesceni merilni listici.

4. Preucite merilno verigo za merjenje deformacij na nosilcu.

a) Kateri fizikalni princip izkoriscajo merilni listici za merjenje deformacij?

b) Kako se vrsta signala (in merjena velicina) spreminja od mesta merjenja do prikaza vrednosti

notranjega momenta na racunalniku?

c) Analizirajte vire napak pri uporabi merilnih listicev za merjenje deformacij.

5. Primerjajte izracunane in izmerjene vrednosti notranjega momenta v nosilcu pri spreminjanju lo-

kacije obremenitve.



gx

z

y

A B

L1 L2 L3

m

uporovni

merilni listič

Slika 13: Obravnavani nosilec.

L1 = cm L1 = cm

notranji moment - analiticno [Nm]

notranji moment - eksperimentalno [Nm]

abs. odstopanje [Nm]

rel. odstopanje [%]

11

3 Vrvi in kinematika togega telesa

3.1 Vrvi

Vrv predstavlja enodimenzionalni konstrukcijski element, ki se uporablja v razlicnih aplikacijah, npr.

viseci mostovi, vlecne naprave (slika 14), zerjavi, itd. Vrv je v smeri svoje osi idealno toga (neraztegljiva)

v vseh ostalih smereh pa ima lastnosti popolne gibkosti. Posledicno vrvi prenasajo le natezne osne

sile, ne nudijo pa nobenega odpora ostalim notranjim vecinam. Za potrebe te laboratorijske vaje bomo

obravnavali primer vrvi, ki je obremenjena s koncentriranimi silami.

Slika 14: Vrv obremenjena s koncentriranimi silami.

3.1.1 Namen vaje


• kako na podlagi realne konstrukcije izdelati fizikalni model oz. diagram prostega telesa,

• kako na preprostem laboratorijskem primeru izracunati notranje osne sile v vrvi.

α h

Slika 15: Laboratorijska zicnica.

12


1. Izdelajte fizikalni model, ki ponazarja konstrukcijo obravnavane vrvi (laboratorijska zicnica, slika

15).


b) Premislite, ali je potrebno lastno tezo vrvi obravnavati v fizikalnem modelu.

c) Dolocite tipe podpor na obeh straneh vrvi.

d) Razmislite o tipu podpore B.

2. Z uporabo razpolozljive merilne opreme dolocite geometrijske lastnosti vrvi.

a) Dolocite lokacijo obremenitev.

b) Pri poimenovanju izmerjenih parametrov si pomagajte s sliko 15.

3. Z upostevanjem izmerjenih geometrijskih podatkov in znanih mas utezi dolocite reakcijske sile v

podpori A.

a) Iz znanih reakcij v tocki A izracunajte kot α, slika 16.

4. Izmerite dejanski kot α.

5. Primerjajte izracunane in izmerjene vrednosti kota α.



α

α

-FAx

N1

FAy

Slika 16: Kot α.

Ravnotezno stanje

α - analiticno [◦]

α - eksperimentalno [◦]

abs. odstopanje [◦]

rel. odstopanje [%]

13

3.2 Rocicni mehanizem

Rocicni mehanizem predstavlja enega izmed temeljnih izumov tehnike. V osnovi pretvarja rotacijsko

gibanje v linearno ter obratno. Najbolj poznan je zagotovo rocicni mehanizem batnega motorja, kjer sluzi

za pretvorbo linearnega gibanja v rotacijsko in tako predstavlja temelj motorjem z notranjim zgorevanjem.

Slika 17: Rocicni mehanizmi v avtomobilskem motorju.

Rocicni mehanizem sestavljajo trije glavni sestavni deli: rocicna gred, ojnica in bat. Rocicna gred opravlja

krozno gibanje okoli osi, v kateri je vlezajena. Zanjo je znacilen ekscentricni del, na katerega je vpeta

ojnica. Slednja je na drugem skrajnem koncu povezana z batom oziroma drsnikom, ki opravlja linearno

gibanje med dvema skrajnima legama. Dolzina hoda bata je vedno enaka dvakratniku vrednosti dolzine

ekscentra rocicne gredi. Tocka, kjer je bat najbolj oddaljen od osi vrtenja, se imenuje gornja mrtva tocka

(GMT). Lego, kjer je bat najmanj oddaljen od osi vrtenja, imenujemo spodnja mrtva tocka (SMT).

3.2.1 Namen vaje


• zasnovo in konstrukcijo enostavnega rocicnega mehanizma,

• princip pretvorbe rotacijskega gibanja v translatorno,

• merilno verigo za merjenje pospeska med obratovanjem rocicnega mehanizma.

Slika 18: Laboratorijski rocicni mehanizem.

14

Vsi sestavni deli so narejeni s tehnologijo 3D tiska (metoda ciljnega nalaganja) z izjemo lezajev, linearnih

vodil, vijakov, vskocnikov ter linearnih drsnikov. Rocicna gred je gnana s koracnim motorjem, kar pomeni,

da nas rocicni mehanizem pretvarja rotacijsko gibanje v translatorno.

Slika 19: Sestavna risba rocicnega mehanizma.

15

Slika 20: Kosovnica.

16


1. Sestavite model rocicnega mehanizma, pri cemer si lahko pomagate s sestavno risbo (slika 19) in

kosovnico (slika 20).

a) Kaksna je funkcija lezajev med rocicno gredjo in glavnim ohisjem?

b) Kaksna je funkcija lezaja med ojnico in rocicno gredjo?

c) Kaksna je funkcija linearnih vodil?

d) Kaksna je funkcija utezi na rocicni gredi?

2. Preucite merilno verigo za merjenje pospeska linearnega vodila.

a) Kateri fizikalni princip izkorisca MEMS pospeskomer?

b) Kako se vrsta signala (in merjena velicina) spreminja od mesta merjenja do prikaza vrednosti

pospeska na racunalniku?

c) Kaksen je vpliv frekvence vzorcenja na izmerjen casovni signal pospeska?

d) Zakaj je smiselno filtrirati casovni signal pospeska in kako lahko dolocimo meje filtra?

3. Koracni motor zavrtite s hitrostjo 180 obr/min (3.0 Hz) in med obratovanjem izmerite pospesek

drsnika.

4. Analizirajte izmerjen casovni signal pospeska.

a) Ali je casovni signal pospeska periodicna funkcija?

b) Ali je casovni signal pospeska harmonicna funkcija?

c) V kateri tocki se pojavi najvecji absolutni pospesek drsnika; spodnji mrtvi tocki (SMT) ali

gornji mrtvi tocki (GMT)?

5. Primerjajte izmerjen casovni potek pospeska s analiticno izracunanim (slika 21).

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

t [s]

−20

−10

0

10

x[m

/s]

Slika 21: Teoreticni funkcijski predpis pospeska drsnika v odvisnosti od casa pri frekvenci vrtenja 3.7 Hz.

17

Literatura

[1] Emri I.: Statics: Learning from engineering examples, Springer, New York, 2016

[2] Beer F.: Vector mechanics for engineers: Statics, McGraw-Hill Education, 2016

[3] Beer F.: Vector mechanics for engineers: Statics and Dynamics, McGraw-Hill Education, 2016

[4] Cvetas F.: Statika, Fakulteta za strojnistvo, Ljubljana, 1991

[5] Marusic M.: Osnove tehniske mehanike 1 - Statika, Slovensko drustvo, Ljubljana, 1993

[6] Stropnik J.: Tehniska mehanika I, Fakulteta za strojnistvo, Ljubljana, 2000

18

statika in kinematika - lab.fs.uni-lj.si

Documents