Τεχν. Χρον. Α ., 1993, τόμ. 13, Τεύχος 4 Tech. Chron.-A, Greece, 1993, Vol. 13, Νο 4

Οι Εξισώσεις Κατάστασης στο Πρόβλημα Βέλτιστου Ελέγχου των Κατασκευών

υπό Δυναμική Φόρτιση

Ε.Κ. ΖΑΧΑΡΕΝΑΚΗΣ

Περίληψη

Στην εργασία αυτή μορφώνεται μαθηματικά, στα πλαίσια της θεωρίας μικρών μετατοπίσεων

με γραμμικούς νόμους υλικού, το πρόβλημα του Βέλτιστου Ελέγχου των Κατασκευών υπό δυ­

ναμική φόρτιση, ως πρόβλημα εύρεσης της ακολουθίας των δυνάμεων ελέγχου που ελαχιστο­

ποιεί τον κατά περίπτωση κατάλλη λο δείκτη απόδοσης, με παράπλευρες συνθήκες τη σχέση

κατάστασης (ισοτική) και την απαίτηση οι δυνάμεις και μετακινήσεις του συστήματος και

του ελέγχου ή κα~ οι παράγωγοί των να μην υπερβαίνουν κάποιες μέγιστες επιτρεπόμενες τι­

μές (ανισοτικές). Κατόπιν αναπτύσσονται μέθοδοι επίλυσης των εξισώσεων κατάστασης. Στη

συνέχεια εξετάζεται η αναλυτική επίλυση των εξισώσεων κατάστασης των γραμμικών συστη­

μάτων συνεχούς χρόνου και ειδικότερα στο σύστημα-κατασκευή, όπου δίδεται αναλυτική λύ­

ση των εξισώσεων κατάστασης της κατασκευής σε διάφορες περιπτώσεις.

State Equations in the Optimal Control Problem of Structures under Dynamic Load

E.C. ZACHARENAKIS

Abstracι

The present paper deals with the optimal cont ro l of sιructures under d ynamic load problem. The state relat ion of the motion of the st ructure is form ulated, Γιrst without control and then in the p resence of the control forces. T he numeήcal , a nalytical and analogic method for the solution of these problems, with li near or lineaήzed sιaιe equatio n, is next presented . Matrix formula t io n in the sta te equation of the dynamic problem can be easily obtained . Some of the aboνe mentioned matrices a re assumed constant for cerιain types of the considered structures. ln this case the ana­lytical solution o f ιhe state equation does exist and is known.

Υποβλήθηκ:ε: 31./. 1992 Έyι vε δεΝ ή: 10. 7. /992

Submiιιed: Jan. 31, 1992 Acccpιed: Ju/y 10, 1992

40 Τεχν. Χρον - Α , 1993, Τόμ. 13, Τείιχ. 4

Εισαγωγή

Στην εργασtα αυτή μορφώνεται μαθηματικό στα πλαtσια της θεωρtας μικρών

μετατοπtσεων με γραμμικούς νόμους υλικού το πρόβλημα του Βέλτιστου Ελέγχου των

Κατασκευών υπό δυναμική φόρτιση, και ερευνόται η επlλυση των εξισώσεων

κατόστασης της κατασκευής. Έτσι, χωρtς Έλεγχο αρχικό και κατόπιν με Έλεγχο υπό

μορφή δυνόμεων, διατυπώνεται η σχέση κατόστασης της κατασκευής ως γραμμικού

συστήματος συνεχούς χρόνου και παρουσιόζονται οι κατόλληλοι δεlκτες απόδοσης

κατό περtmωση. Θεωρώντας την κατασκευή ως σύστημα γlνεται η κατόστρωση του

προβλήματος του Βέλτιστου Ελέγχου των Κατασκευών - σύμφωνα με τις αρχές της Γενικής θεωρtας Ελέγχου -ως πρόβλημα εύρεσης της ακολουθlας των δυνόμεων (ή

μετατοπlσεων) ελέγχου που ελαχιστοποιεl τον κατό περlπτωση κατόλληλο δεlκτη

απόδοσης, με παρόπλευρες συνθήκες αφενός τη σχέση κατόστασης (ισοτική) και

αφετέρου την απαlτηση οι δυνόμεις και μετακινήσεις του συστήματος και του ελέγχου

ή και οι παρόγωγοt των να μην υπερβαlνουν κόποιες μέγιστες επιτρεπόμενες τιμές

(ανισοτικές). Κατόπιν αναmύσσονται μέθοδοι επlλυσης των εξισώσεων κατόστασης.

Στη συνέχεια εξετόζεται η αναλυτική επlλυση των εξισώσεων κατόστασης των

γραμμικών συστημότων συνεχούς χρόνου. Ειδικότερα αντιμετωπlζονται τα

προβλήματα αυτό στο σύστημα-κατασκευή και δlδεται αναλυτική λύση των εξισώσεων

κατόστασης της κατασκευής σε διόφορες περιmώσεις.

Ο Βέλτιστος Έλεγχος υπό μορφή δυνόμεων επιβόλλεται στην κατασκευή εlτε υπό

μορφή εξωτερικών δυνόμεων εlτε υπό μορφή πρόσθετης απόσβεσης εlτε υπό μορφή

τροποποιητικών αδρανειακών δυνόμεων π.χ. διοχέτευση νερού για αποφυγή του

φαινομένου του "mερυγισμού" γέφυρας ή μετακtνηση ενός συμπαγούς φορτtου στην

οροφή κτφlου ανόλογα με τη διατόραξη.

'Cnως εlναι γνωστό, ο Βέλτιστος Έλεγχος μπορεl να πραγματοποιηθεl και υπό μορφή

καταναγκασμών (μετατοπlσεων ... ), οπότε απαιτεlται ο προσδιορισμός εκεlνης της ακολουθtας π.χ. μετατοπtσεων η οποtα ελαχιστοποιεl ένα καταλλήλως εκλεγέντα

δεlκτη απόδοσης.

Οι επιστημονικές εργασtες όπου εφαρμόζεται ο Βέλτιστος Έλεγχος στην Μηχανική

των κατασκευών (χωρtς αναφορό στα θέματα της γενικής θεωρlας Ελέγχου και του

Ελέγχου Μηχανισμών) (28], αρχtζουν με μελέτες που περιλαμβόνουν προτόσεις οι οποlες, ενώ δεν ήταν μορφοποιημένες ως Έλεγχος, στην ουσία αφορούν στον Έλεγχο.

Αρχικό εισήχθη από τον Ζυk (1968)[29] η έννοια των κινητικών κατασκευών στις οποlες χρησιμοποιούνται ενεργό καλώδια για τον έλεγχο παραμόρφωσης των κατασκευών ως

λειτουργικό και αρχιτεκτονικό θέμα, χωρlς την ανόλογη μαθηματική θεμελlωση του

προβλήματος ελέγχου .

•.

.

Tech. Chron. - Α, Greece, 1993, Vol. 13, Νο 4 41

Ακολούθησαν εργασίες όπου μορφώνεται μαθηματικά το πρόβλημα Ελέγχου για

κλασικές κατασκευές και ο Yao (1972)[26] διατύπωσε ποιοτικό το πρόβλημα του Ελέγχου των Κατασκευών του Πολιτικού Μηχανικού προτείνοντας τον Ενεργό Έλεγχο

της παραμόρφωσης των φορέων με χρήση ωστικών κινητήρων.

Εδώ όλοι οι ερευνητές εργάστηκαν στη θεωρία Ελέγχου των Κατασκευών με

γραμμικούς καταστατικούς νόμους και κλασικές συνοριακές συνθήκες ή θεώρησαν

γραμμικοποιημένη συμπεριφορά στη στάθμη λειτουργίας του συνολικού συστήματος

της ελεγχόμενης κατασκευής.

Ο Π .Δ. Παναγιωτόπουλος επέκτεινε τη θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου σε συνδυασμό με

την θεωρία Ταυτοποίησης των Κατασκευών, επιτυγχάνοντας την διατύπωση του

προβλήματος ελέγχου και για κατασκευές με μονόπλευρους συνδέσμους,όπου οι

παράπλευρες συνθήκες του προβλήματος περιγράφουν την μονόπλευρη (ανισοτική)

συμπεριφορά ορισμένων δομικών στοιχείων της κατασκευής.

Πιο συγκεκριμένα , το 1977 διερεύνησε το στατικό πρόβλημα Βέλτιστου Ελέγχου

φυσικών συστημάτων με σχέσεις καταστάσεως ανισότητες μεταβολών και επρότεινε

την εφαρμογή του σε λεπτές πλάκες με μονόπλευρες συνοριακές συνθήκες. Το 1977 και το 1980 μελετήθηκε από τον ίδιο το δυναμικό πρόβλημα του Βέλτιστου Ελέγχου με ιδιαίτερη έμφαση στο πρόβλημα της θεωρίας του Βέλτιστου Ελέγχου

διακριτοποιημένων φορέων με υποδιαφορικούς νόμους υλικών και μονόπλευρες

συνοριακές συνθήκες [1 Ο, 11, 12]. Από το 1982 και εξής ο ίδιος μελέτησε το Βέλτιστο Έλεγχο και την Ταυτοποίηση των

κατασκευών με κυρτές και μη κυρτές συναρτήσεις ενέργειας παραμόρφωσης,

χρησιμοποιώντας την θεωρία των υπερδυναμικών κατά Clarke και των derίνate

contaίners κατά Warga, όπου και επεσήμανε ανοικτό προβλήματα και νέες προοπτικές για την έρευνα και τις εφαρμογές(13-21] .'Ετσι έχουμε μελέτες προβλημάτων Ελέγχου

στα πλαlσια της Μη-Λείας Μηχανικής. Στην κατεύθυνση αυτή εργάστηκαν και οι Χρ.

Μπίσμπος (1982-84)(9] και Χ. Μπανιωτόπουλος (1988-91) [8]. Πρέπει όμως να τονισθεί αντίστροφα και η μεταφορά τεχνικών και μεθόδων από τη

Μηχανική των Κατασκευών στη θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου . Προς αυτή την

κατεύθυνση, μια σημαντική πρόοδος έγινε τα τελευταία χρόνια με την εισαγωγή της

μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων (Fίnίte Element Method) σε ένα πρόβλημα βέλτιστης τηλεκαθοδήγησης χωροοχήματος, όπως αυτό μελετήθηκε από τους Washίzυ

και Nakamίchί (1977)[25].

Συμ6ολισμοf

Χ: διάνυσμα κατάστασης

Ζ: διάνυσμα ελέγχου

t: χρόνος

42

f : διάνυσμα μη-γραμμικών εν γένει συναρτήσεων Χ(Ο) • X(to) : αρχική κατάσταση Xt = Χ(tι) : τελική κατάσταση

Τεχν. Χρον.- Α, 1993, τόμ. 13, Τείιχ. 4

Zmin , Zmax , Xmin , Xmax : διανύσματα με καθορισμένες αριθμητικές τιμές

Φ(t) : μεταβατικό μητρώο της κατάστασης

Μ : μητρώο μάζας Κ : μητρώο ακαμψ!ας

F(t) : διάνυσμα φόρτισης υ : διάνυσμα μετακινήσεων

ν - ύ : διάνυσμα ταχυτήτων .. U : διάνυσμα επιταχύνσεων 8 0 : μητρώο μετασχηματισμού συντεταγμένων

1. Εξισώσεις κατόοταοnς και uόρφωοn του προ6λήuατος Βtλτιστου

Ελtyχου των Κατασκευών υπό δυναuική Φόρτιοn.

Η σχέση κατάστασης της διακριτοποιημένης ως προς το χώρο κατασκευής που

φορτ!ζεται δυναμικά χωρ!ς έλεγχο, μπορε! να γραφε! στην ακόλουθη μορφή (1 ,7] :

Mu + Cύ+ Ku • F(t) , (1 .1)

Μ :Το μητρώο μάζας (Mαss matrix) διαστάσεων ν χ ν,

C : Το μητρώο απόσβεσης (Damρing matrix) διαστάσεων ν χ ν

Κ :Το μητρώο ακαμψ!ας (Stiffness matrix) διαστάσεων ν χ ν,

F(t): Το διάνυσμα φόρτισης (Load νector) διαστάσεως ν ,

U : Το διάνυσμα μετακινήσεων (Displacement νector) διαστάσεως ν ,

υ: Το διάνυσμα ταχυτήτων (Velocity νector) διαστάσεως ν, .. U :Το διάνυσμα επιταχύνσεων (Acceleration νector) διαστάσεως ν.

Με την εισαγωγή του διανύσματος z* των δυνάμεων ελέγχου (Control forces νector) διαστάσεως μ, και με την παρακάτω αντικατάσταση :

Tech. Cl1ron.- Α, G reece, 1993, Vol. 13, Νο 4

ύ =ν

η σχέση κατάστασης του συστήματος παlρνει την μορφή :

MV + CV .+ KU = F(t) + B0Z·(t)} u - ν = ο

43

(1.2)

(1.3)

όπου 8 0 το μητρώο που εκφράζει τη διάταξη των δυνάμεων του ελέγχου z• (t) στην κατασκευή διαστάσεων ν χ μ. Οι παραπάνω σχέσεις μπορούν ισοδύναμα να γραφούν με

μητρωϊκή μορφή ως εξής :

οπότε εάν γ!νει η ακόλουθη αντικατάσταση :

κ·. [ -c ·: ]

Μ·- [ : Ο ]

το σύστημα (1.4) γράφεται στην απλούστερη μητρωϊκή μορφή :

(1.5)

(1.6)

44 Τεχ;ν. Χρον - Α, 1993, Τόμ. 13, Τεύχ. 4

Το Μ· εΙ ναι θετικό ορισμένο συμμετρικό μητρώο γιατί αποτελείται από δυο συμμετρικό θετικό ορισμένα μητρώα Μ και I. Συνεπώς αν λύσουμε τη σχέση (6) ως

προς Χ προκύmει ότι :

(1.7)

Συνεπώς το σύστημα που θεωρείται, δηλαδή η κατασκευή περιγρόφεται από την

ακόλουθη γραμμική διανυσματική διαφορική εξίσωση :

Χ-ΑΧ+ΒΖ (1.8)

όrrJu : Α= [ {Μ}1 κ·] μητρώο διαστόσεων n χ n , (1.9)

Β= [(Μ}1Β·] μητρώο διαστόσεων n χ m , (1 .10)

και n • 2 ν, m • μ +1 , n:?: m, οπότε αν αντικατασταθούν στις σχέσεις (1.9) και (1.10) τα Μ·.κ·.Β· από τις σχέσεις (15) προκύπτει :

Α -[ ~ ~ Γ[~ : ]-[ ~-1 ~ Η~ :] _ [- ~·1c -Μ:κ] ιωJ

Β-[~~ Γ·[ F: :· ]-[ ~-1 ~Η F~t) :·] -[ M:F(t) Μ·:·] (1.12)

Έτσι αυτή η μέθοδος μόρφωσης της εξίσωσης κατόστaσης της κατασκευής - που

εξετόζεται προηγούμενα στα πλαίσια της θεωρίας μικρών μετακινήσεων με γραμμικούς

νόμους υλικού- οδηγεί στα ακόλουθα συμπερόσματα :

1.) Στην περίmωση του συγκεκριμένου συστήματος-κατασκευή με μητρώα M,C,K σταθερό, από τη σχέση (1.11) προκύπτει ότι το μητρώο Α της εξίσωσης κατόστασης

( 1.8) της κατασκευής είναι σταθερό και ανεξόρτητο του χρόνου. 2.) Στην περίmωση του συγκεκριμένου συστήματος-κατασκευή με μητρώα Μ, Β0

σταθερό εφόσον και η επιβαλλόμενη φόρτιση ε!ναι σταθερή (το σύστημα κινείται υπό

σταθερό φορτ!ο), τότε και το μητρώο Β της εξ!σωσης κατόστασης (1 .8) της κατασκευής

είναι σταθερό όπως φαίνεται από τη σχέση ( 1.12) .

Tech. Cl1ron. • Α , Greece, 1993, Vol. 13, Νο 4 45

3.) Εφόσον η επιβαλλόμενη στο σύστημα-κατασκευή δυναμική φόρτιση F(t) είναι

συνόρτηση του χρόνου, από τη σχέση (1 .12) συνεπόγεται ότι και το μητρώο Β της

εξίσωσης κατόστασης της κατασκευής είναι συνόρτηση του χρόνου , δηλαδή B=B(t).

Τα Χ, Ζ είναι δυνατό να υπόκεινται σε σχέσεις της μορφής :

Xmin S Χ S Xmax

Zmin S Ζ S Zmax

που προκύmουν από τεχνολογικούς περιορισμούς.

(1 .13)

(1.14)

Έτσι σύμφωνα με τα παραπόνω μπορούμε να προχωρήσουμε στη μόρφωση του

προβλήματος Βέλτιστου Ελέγχου των Κατασκευών υπό δυναμική φόρτιση ως εξής :

"Να προσδιορισθεί ο Βέλτιστος Νόμος Ελέγχου ο

οποίος ελαχιστοποιεί ένα καταλλήλως εκλεγέντα δείκτη

απόδοσης J από τους οριζόμενους ακολούθως με παρόπλευρες ισοτικές συνθήκες τις σχέσεις κατόστασης

(1 .8), (1 .11 ), (1 .12) και παρόπλευρες ανισοτικές συνθήκες

τις σχέσεις (1 .13), (1 .14) που προκύπτουν από

τεχνολογικούς περιορισμούς".

2. Δεlκτες απόδοσης.

Πρόβλημα

Στην περίmωση που επιβόλλεται Βέλτιστος Έλεγχος σε μια κατασκευή υπό

δυναμική φόρτιση, τότε μπορεί να χρησιμοποιηθούν και οι παρακότω δείκτες απόδοσης

[9):

I.

ή αντίστοιχα :

όπου teιto.tι] .

Jν(Ζ) • r ΙCνX(Z,t)-Xol2dt . όπου tε [ta.tι]. to

(2.1)

(2.2)

46 Τεχν. Χρον. - Α , 1993, Τόμ . ι 3, Τεύχ. 4

Ο δεlκτης Jν χρησιμοποιείται στην περlnτωση που επιδιώκεται η ελάχιστη απόκλιση

του διανύσματος μετατοπίσεων και ταχυτήτων Χ, από ένα εκ των προτέρων δοσμένο

διάνυσμα Χ0 (το Cν είναι κατάλληλα ορισμένο μητρώο).

Στην περίπτωση όμως που δεν ενδιαφέρει να ελεγχθούν οι ταχύτητες μετακινήσεων,

ο δεiκτης Jν παίρνει την μορφή :

ή

όπου tε [to.tt].

Jν(Ζ) - r ΙCνu (Ζ, t)-Uol2dt I όπου te [to.tf]. to

(2.3)

(2.4)

11. Στην περίπτωση του δυναμικού προβλήματος ενδιαφέρει συχνό η εξασφόλιση της

ομαλότητας τ·ης τροχιάς κίνησης της ελεγχόμενης κατασκευής, πράγμα που αφορό και

την ισχύ κόθε φορό του καταστατικού νόμου του υλικού ο οποlος είναι συνάρτηση της

ταχύτητας παραμόρφωσης. Στην περlnτωση αυτή χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι

δείκτες:

όπου te ιto.tt]

και

J Z . C dU(Z,t)

νι( ) • mιn Ι νι dt ι .

J (z . c dU(Z,t) • I νιι ) • mιn Ι νιι dt - U0 .

(2.5)

(2.6)

Σημειώνεται εδώ ότι ο δεlκτης Jνιι χρησιμοποιείται όταν ενδιαφέρει η ελαχιστοποlηση . . της ταχύτητας u ως προς μια μέγιστη ταχύτητα U

0 .

111. J (z) . ]ιιc du(Z.tJ • 2 νιιι - mιn νιιι dt - U0 Ι dt. (2.7)

to Ο δείκτης αυτός εlναι ανάλογος με το δεlκτη Jν και χρησιμοποιεlται όταν μας

ενδιαφέρει η συμπεριφορά τ_ης κατασκευής καθόλη τη χρονική διάρκεια του ελέγχου και

όχι μόνο η απόκλισή της από τη στάθμη αναφοράς σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή.

Οι δεlκτες απόδοσης που περιλαμβάνουν ταχύτητες μπορούν , αν εκλεγούν

κατάλληλα τα μητρώα ύ0 και C , να συνδυασθούν με τους δείκτες που

Tech. Chron. - Α , Greece, 1993, Vol. 13, Νο 4 47

περιλαμβάνουν μετατοπισεις . Πιο σωστr'] λύση όμως θεωρεlται η χωριστr'] τους

αντιμετώπιση γιατl αλλιώτικα οι λύσεις που προκύmουν συνήθως διαφέρουν.

ιν, Ανόλογα με τους δεlκτες που εlναι συνάρτηση των ταχυτr']των, μπορούν να

μορφωθούν και δεlκτες που εlναι συνάρτηση των επιταχύνσεων. Οι τελευταlοι εiναι

ιδιαlτερα χρr']σιμοι, γιaτι όπως ει ναι γνωστό, το αlσθημα της άνεσης των ενοίκων των πιο

υψηλών ορόφων στα πολυώροφα κτlρια, εξαρτάται άμεσα από το μέγεθος της

απόλυτης τιμr']ς της επιτάχυνσης των αντlστοιχων ορόφων. Τέτοιοι δεlκτες εινaι οι

ακόλουθοι:

και

όπου: te [to,tf].

tι

J (Ζ) = min Jιc d2u(Z,t) -u . Ι2dt

χ χ dt2 ο '

to

(2.8)

(2.9)

Οι δεlκτες που περιέχουν επιταχύνσεις αφορούν και στη λειτουργιa των

ηλεκτρομηχανολογικών εγκαταστάσεων ελέγχου γιοτ[ οι αποκλlσεις των επιταχύνσεων

σχετlζονται άμεσα με τις ηλεκτρομηχανολογικές εγκαταστάσεις που υλοποιούν τα

αποτελέσματα της παρούσας θεωρlας και επιβάλλουν τις δυνάμεις του ελέγχου .

ν. Επειδr'] συχνό για την εγκατάσταση του ελέγχου έχει μεγαλύτερη σημασιa η

οικονομικότητα, χρησιμοποιεlται και εδώ ένας δεlκτης εκτlμησης του μεγέθους της

ενέργειας που καταναλώνεται:

Jχι(Ζ) .. min J~ τ(t)RxιZ(t)dt , to

(2.10)

όπου το θετικό ορισμένο μητρώο στάθμισης R χι εκλέγεται ανάλογα με τη

σπουδαιότητα που αποδlδεται στις δυνάμεις του ελέγχου .

νι . Ένας τελεlως διαφορετικός δεlκτης απόδοσης, που συνr']θως χρησιμοποιειτaι

όταν αντιμετωπlζονται διαταράξεις μικρr']ς χρονικής διάρκειας, ε[ναι ο δεlκτης

ελαχιστοποlησης ως προς το χρόνο. Επιδιώκεται δηλαδrΊ η ελαχιστοποlηση του χρόνου

που απαιτειται μέχρι να οδηγηθεl η κατασκευή στην επιθυμητή κατάσταση. Ο δεlκτης

αυτός έχει την ακόλουθη μορφή :

48

Jχιι(Ζ) - min rdt .. tι - to . to

Τεχν. Χρον. - Α, 1993, τόμ. 13, Τείιχ. 4

(2.11)

Vll. Επειδή, μαζl με την ελαχιστοποlηση των μετακινήσεων επιδιώκεται ταυτόχρονα

και η οικονομικότητα του ελέγχου, εlναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεl ένας γραμμικός

συνδυασμός των παραπόνω δεικτών. Μια τέτοια περlmωση εlναι ο τετραγωνικός

δε!κτης:

όπου S, Q, Ρ, σταθερό συμμετρικό μητρώα . Τα μητρώα S, Q ε!ναι θετικό

ημιορισμένα ενώ το μητρώο Ρ εlναι θετικό ορισμένο .

Γενικό, όε όλους τους τύπους δεικτών απόδοσης που εκτέθηκαν παραπόνω, τα

μητρωικό μεγέθη S, Q, Ρ, C, Uo .ίιο .uo. έχουν τις απαρα!τητες διαστόσεις, ώστε να εκτελούνται οι πρόξεις που κόθε φορό απαιτούνται.

Το μητρώο Ρ εlναι τέτοιας μορφής, ώστε να εκφρόζεται η σχετική σπουδαιότητα των

Χ καιΖ, οπότε (επειδή υπόρχει η διαφορό στις μονόδες μέτρησης) να επιτρέπεται η όθροιση των μητρώων.

Επlσης ισχύει ο κανόνας ότι στις περιmώσεις των κατασκευών που ελέγχονται και οι

οποlες διαθέτουν δομικό στοιχε[α με μονόπλευρη συμπεριφορό , δηλαδή πρέπει να

ικανοποιούνται σχέσεις της μορφής

(2.13)

όπως συμβαlνει π.χ. στις περιmώσεις θεμελ!ου σε απαραμόρφωτο έδαφος, το!χου

αντιστήριξης, καλωδlων, πλαστικών αρθρώσεων κ.τ.λ, πρέπει να διαμορφώνονται οι πιο

κατόλληλοι δεlκτες ώστε να εξασφαλ!ζεται κόθε φορό η ισχύς της παραπόνω σχέσης

μονόπλευρης συμπεριφορός [15,16,17].

3. Μέθοδοι επlλuσns των εξισώσεων κατόστασns.

Η γενική μορφή της_ μη-γραμμικής διανυσματικής εξ!σωσης ενός δυναμικού

συστήματος στο χώρο κατόστασης ε!ναι :

. Χ= f(X,Z,t) . (3.1)

Tech. Chron.- Α, Greece, 1993, Vol. 13, Νο 4 49

Η αναλυτική λύση, στη γενικότερη αυτή περlmωση, δεν εlναι γνωστή γενικό. Αν η

εξlσωση (28) ε! ναι η γραμμική διανυσματική εξίσωση :

Χ= ΑΧ+ΒΖ. (3.2} δηλαδή,

η m

Χι- Σ αι ι Χ J + Σ bι κ Ζ κ • (3.3} j:-1 Κ=1

τότε διακρ!νονται οι ακόλουθες περιmώσεις :

I. Οι συντελεστές a1 i• bι κ ε! ναι σταθεροl και το σύστημα εlναι γραμμικό χρονικό αμετόβλητο. Η κατασκευή εlναι τέτοιο σύστημα όταν κινε!ται υπό σταθερή φόρτιση, στα

πλαlσια της θεωρlας των μικρών μετατοπlσεων με νόμους υλικών γραμμικούς και

μητρώα M,C,K,B0 σταθερό .

11. Οι συντελεστές αι J είναι σταθερο! ενώ ορισμένοι από τους συντελεστές bι κ μετα­

βόλλονται χρονικό, οπότε το σύστημα εlναι γραμμικό χρονικό ημιμεταβλητό. Όπως

δε!χτηκε προηγούμενα, σύστημα γραμμικό χρονικό ημιμεταβλητό ε!ναι η κατασκευή

υπό δυναμική φόρτιση (φόρτιση μεταβαλλόμενη χρονικό} όταν εξετόζεται στα πλα!σια

της θεωριας μικρών μετατοπισεων με νόμους υλικού γραμμικούς και μητρώα M,C,K σταθερό.

111. Ορισμένοι από τους συντελεστές α ι J και bι κ μεταβόλλονται χρονικό, οπότε το

σύστημα εlναι γραμμικό χρονικό μεταβλητό.

IV. Ορισμένοι από τους συντελεστές αι J και bι κ μεταβόλλονται συναρτήσει του

χρόνου και των μεταβλητών κατόστασης, οπότε το σύστημα εlναι μη-γραμμικό χρονικό

μεταβλητό.

Η επlλυση των διαφορικών εξισώσεων κατόστασης μπορει να γ!νει με τρεις τρόπους:

α} Αοιθunτικό, όπου χρησιμοποιούνται αλγόριθμοι αριθμητικής ολοκλήρωσης με

υπολογιστή . Εφαρμόζεται σε όλες τις μορφές εξισώσεων. Η μέθοδος συνήθως

βασ!ζεται στην ανόmυξη σειρός κατό Taylor και προσπαθε! να υπολογ!σει προσεγγι­

στικό το X(t+Δt) όταν ε!ναι γνωστό το X(t), ο χρόνος t και το βήμα ολοκλήρωσης Δt. Απαιτε! όμως μεγόλη δαπόνη σε χρόνο και μνήμη υπολογιστή .

6) Αναλυτικό. Η μέθοδος αυτή είναι δυνατή στα γραμμικό χρονικό αμετόβλητα και

ημιμεταβλητό συστήματα όπως η κατασκευή που περιγρόφεται από τις εξισώσεις (1 .8),

50 Τεχν. Χρον. - Α, 1993, Τόμ. 13, Τcύχ. 4

( 1.11 ), ( 1.12) και σε συγκεκριμένα γραμμικό μεταβλητό ή μη-γραμμικό συστήματα. Η

αναλυτική τεχνική εlναι σημαντικό λυσιτελέστερη και πολύ πιο γρήγορη όταν υλο­

ποιηθεl στον υπολογιστή. Ειδικά στις γραμμικές εξισώσεις συστημάτων όπως η

κατασκευή, η υπολογιστική ταχύτητα προέρχεται από τον υπολογισμό της παραγώγου

Χ μόνο μια φορά ενώ στις μη-γραμμικές εξισώσεις συστημάτων υπολογ!ζεται τέσσερις φορές σε κάθε Δt. Οι μη-γραμμικές εξισώσεις καταστάσεως ενός δυναμικού συστήματος

μπορούν να εκφρασθούν ως εξισώσεις πρώτης τάξης του τύπου [6] :

. χ= f(χ,Ζ). (3.4)

Θεωρεlται ότι η διανυσματική συνάρτηση f{χ,Ζ) έχει, ως προς όλες τις μεταβλητές,

παραγώγους συνεχεlς.

Η γενική λύση της εξlσωσης (3.4) δεν εlναι γνωστή γι' αυτό κατά μια μέθοδο γlνεται

προσπάθεια γραμμικοποlησής της γύρω από κάποιο σημειο λειτουργlας της {χ0,Ζ\ για να βρεθεl μια γραμμική προσέγγιση της μη-γραμμικής εξlσωσης (3.4), του τύπου :

Χ= Αχ+ΒΖ. (3.5)

Στο σημειο (χ0,Ζ0) το σύστημα θεωρεlται ότι ισορροπει, οπότε όλες οι παράγωγοι των μεταβλητών κατάστασης (συνολικά n) ειναι Ισες με το μηδέν, δηλαδή :

• ο ο χ = f(χ ,Ζ ) = Ο. (3.6)

Αρχικό εξετάζεται για λόγους aπλότητας ένα σύστημα δεύτερης τάξης, όπου η

εξlσωση (3.4) γράφεται ως σύστημα διαφορικών εξισώσεων,

(3.7)

Στη συνέχεια προσδιορlζονται κατάλληλες τιμές των

χ1 .·χ~ · ~·χ~. z1 - ~. ~ .. ~.

στις οποlες υπάρχει το ζητούμενο σημεlο ισορροπlας. Όπως εlναι προφανές, αυτό . . συμβαlνει σύμφωνα με τις εξισώσεις (3.6) όταν τα Χ 1, ~ και συνεπώς οι συναρτήσεις f 1,

f2 γlνονται Ισες με το μηδέν. Δηλαδή :

Tech. Chron.- Α, G reece, 1993, Vol. 13, Νο 4

t1 (X~.x~.~·~) ... ο} . t2(X~.x~.~·~) = ο

s ι

(3.8)

ο Από τη λύση του συστήματος (3.8) προκύmουν μια ή περισσότερες τιμές των Χ1 ,

Χ~. zt:, ~. Γύρω από το ευρεθέν σημε!ο ισορροπ!ας γραμμικοποιούνται οι εξισώσεις (3.7) αναmύσσοντας τις συναρτήσεις f1, f2 σε σειρό Taylor. Οι f1, f2 θα αναmυχθούν σε

σειρές Taylor τεσσόρων μεταβλητών και επειδή οι f1, f2 ε!ναι συναρτήσεις τεσσόρων

μεταβλητών, στις γραμμικοποιημένες εξισώσεις που θα προκύψουν θα υπόρχου~

μερικές παρόγωγοι ως προς κόθε μια από αυτές τις μεταβλητές.

. . . . Αν Χ1 , Χ2, Ζ1 , Ζ2 ει ναι οι αποκλίσεις των Χ1 , Χ2, Ζ1 • Ζ2 από το

σημεlο λειτουργ!ας Χ~. Χ~.~·~ , θα είναι :

. χ ο χ1 = χ1 - 1

. χ Ο χ2 = χ2 - 2

. (3.9)

z1 = z - Ζ0 1 1 .

ο

z2 = z2 - z2

Οι εξισώσεις που προκύmουν από τη γραμμικοποlηση θα είναι :

•• ()f1 (Χ,Ζ) • ()f1 (Χ,Ζ) • χ1 = ax1 ·Χ1 + ax2 ·Χ2

Χ=Χ0 Χ:Χ 0

z:z0 Ζ:Ζ0

()f1(X,Z) * ()f1(X,Z) ... + az

1 .z 1 + az

2 .z2 (3 .10)

Χ:Χο Χ=Χ0

z=Z 0 Ζ:Ζ0

52 Τεχν. Xpov.- Α, 1993, τόμ. 13, Τεύχ. 4

• * ίtf2(X,Z) * df2(X,Z) I * χ2"" ax1 ·Χ1 + aχ ·Χ2

2 χ:χο χ:χ ο

Ζ:Ζ0 z=Z0

ίtf2(X,Z) * ίtf2(X,Z) * + az1

.z1 + az2 .z2 (3.11)

χ:χο χ:χο

z=Z0 Ζ:Ζ0

Οι εξισώσεις αυτές γρόφονται στη μορφή της εξ!σωσης (3.5) με μητρώα Α,Β ως

εξής:

Τα μητρώα Α,Β έχουν ως στοιχε!α αριθμούς δεδομένου ότι οι μερικές nαρόγωγοι

λαμβόνοντaι στο σημε!ο ισορροn!ας.

Tech. Chron. - Α, Greece, 1993, Vo1. 13, Νο 4 53

Με τον lδιο τρόπο εργασιας του συστήματος δεύτερης τόξης για τα μητρώα Α,Β

γlνεται η επέκταση γενικό για σύστημα n-στής τόξης όπου τα μητρώα Α, Β

υπολογlζονται με τις σχέσεις :

(3.14)

(3.15)

Η κατασκευή ειναι ένα σύστημα που περιγρόφεται από μεταβλητές κατόστασης

ενέργειας που εlναι φυσικές μεταβλητές του συστήματος και οι έξοδοι ειναι συνήθως

μια ή περισσότερες από τις μεταβλητές κατόστασης με εξlσωση εξόδου την ακόλουt!η:

Υ= CX . (3.16)

Στην περlmωση που η εξ!σωση της εξόδου ειναι μη-γραμμική και έχει την μορφή

Υ= g(X) I (3.17)

τότε, με την lδια μεθοδολογια που ακολουθήθηκε στη γραμμικοποιηση των εξισώσεων

κατόστασης , ειναι δυνατόν να γραμμικοποιηθει. Έτσι προκύπτει ότι

Y=CX* (3.18)

όπου (3.19)

γ) Αναλογικό. Η μέθοδος αυτή δεν χρησιμοποιειται συνήθως στην επ!λυση

συστημότων γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Ε!ναι μια γενική τεχνική που στηρ!ζεται

στον αναλογικό προσομοιωτή, όπου υλοποιείται το ηλεκτρικό ανόλογο του φυσικού

συστήματος. Με αυτήν ειναι δυνατόν να επιλυθούν και ορισμένα μη-γραμμικό

συστήματα ελέγχου. Έτσι οι αναλογικοι υπολογιστές αποτελούν ένα κατόλληλο μέσον

για τη μελέτη των συστημότων, όταν δεν υπόρχει απαίτηση μεγόλης ακρlβειας.

Το ενδιαφέρον του αναλογικού υπολογιστικού συστήματος προήλθε από την

ανόπτυξη των μικτών ή υβριδικών υπολογιστικών συστημότων, όπου χρησιμοποιούνται

54 Τεχν. Χρον.- Α, 199], Τόμ. 13, Τείιχ. 4

τόσο ψηφιακές όσο και αναλογικές μέθοδοι. Έτσι αξιοποιούνται ανάλογα τα

πλεονεκτήματα καθενός και γlνεται κατάλληλη αξιοποlηση των δυνατοτήτων τους, για

να υπάρξει όριστη απόδοση σε συνδυασμό κυρlως με την οικονομικότητα .

Τα παραπάνω εlναι ιδιαlτερα χρήσιμο στην επlλυση των προβλημάτων που

αντιμετωπlζει ο Πολιτικός Μηχανικός τόσο οπό θεωρητικής σκοπιός όσο και οπό

πλευρός πρακτικών εφαρμογών κοτό την όσκηση του επαγγέλματός του.

4. Αναλυτικό επlλυσn νοαuuικών συστnuότωγ συνεχούς χρόνου.

Θεωρεlται το γραμμικό σύστημα συνεχούς χρόνου:

Χ= ΑΧ+ΒΖ (4.1)

όπου : X(t) το διάνυσμα κατάστασης n-διαστόσεως,

Z(t) το διάνυσμα ελέγχου m-διοστάσεως,

Α μητρώο διαστάσεων n χ n,

Β μητρώο διαστάσεων n χ m,

με aρχικές συνθήκες: Χ(Ο) • Χ0 (4.2)

Διaκρlνοντοι τρεις περιmώσεις ονόλογο με τα μητρώο Α , Β :

I. Τα μητρώο Α .Β εlναι σταθερό. χρονικό αuετόβλnτa.

Όπως φοlνετaι από τις εξισώσεις (1 .8), (1.11), (1 .12), εlνοι η περlmωση που το σύστημα-κατασκευή με μητρώα M,C,K,B0 σταθερό κινεlτaι υπό σταθερή φόρτιση.

α) Η λίισn του ομογενούς συστήuοτος διαφορικών εξισώσεων κατάστασης.

Χ: ΑΧ (4.3)

εlνaι της μορφής:

X(t) • eAt Χ(Ο) • Φ(t) Χ(Ο) (4.4)

όπου :

Φ(t) = eAt (4.5)

Tech. Chron.- Α, Grccce, 1993, Vol. 13, Νο 4 55

ε!ναι το μεταβατικό μητρώο της κατόστασης του συστήματος που ορ!ζεται μέσω της

δυναμοσειρός:

φ At .. Α 1 Α2 2 1 Α3 3 (t) .. e ι + t + 21 t + 31 t + ...... . (4.6)

Επειδή η δυναμοσειρό (4.6) συγκλ!νει απόλυτα για χρόνο t πεπερασμένο ,

χρησιμοποιε!ται για προσεγγιστικό υπολογισμό του Φ(t).

Άλλες μέθοδοι υπολογισμού του μεταβατικού μητρώου κατόστασης ε!ναι η Sylνester

[3], η Cayley-Hamilton, κ.α. [6,5]. Ως λυσιτελεlς αναφέρονται επίσης οι νεότερες μέθοδοι

Bellman [2] και Καραγιαννόκη [4].

Ειδικό όταν ο έλεγχος εινaι μηδέν δηλαδή, Z(t) Ξ Ο (4.7),

η λύση της (4.4) δlνει την απόκριση στην αρχική συνθήκη:

X(t) .. eAt Χ(Ο) .. Φ(t) Χ(Ο). '(4.8)

Κατανέμοντας το χρόνο σε ισa χρονικό διαστήματα Τ, ο υπολογισμός του

X(t) - Χ(νη (4.9)

για χρόνο t • ν Τ γlνεται αριθμητικό με βόση τις σχέσεις :

Χ(τ) = Φ(τ) Χ(Ο)

Χ(2τ) - Φ(τ) Χ(τ) - Φ(τ) Φ(τ) Χ(Ο)

(4.10)

Χ(ντ) .. Φv(η Χ(Ο)

Έτσι στην περίmωση δια!ρεσης του χρόνου σε ισα χρονικό διαστήματα για τον

υπολογισμό της aπόκρισης, αρκει ο υπολογισμός του μεταβατικού μητρώου της

κατόστασης. Δηλαδή, η επαναληmική αυτή μέθοδος απαιτει ένα υπολογισμό μόνο. Το

τελευτaιο δε!χνει πόσο λυσιτελέστερη και τελεσφόρα ε!ναι η διαδικασία αυτή σχετικό

με τις όλλες μεθόδους αριθμητικής ολοκλήρωσης. Εξόλλου από την παραπόνω

56 Τεχν. Χρον. -Α, 1993, τόμ. 13, Τεύχ. 4

μεθοδολογία φαίνεται και η προέλευση της ονομασίας του Φ (t), ως μεταβατικού μητρώου της κατόστασης (state transition matήx) .

6) Η λύση του πλήρους γραuuικού συστήuατος συνεχούς χρόνου που περιγρόφεται

από τις εξισώσεις (4.1) , εφαρμόζοντας τη μέθοδο των αυθαίρετων συντελεστών Lagrange • είναι:

ή

ή

X{t) .. eAt J e-Ατ ΒΖ(τ)dτ, --t

X{t) - Φ(t) Χ{Ο) + J Φ{t-τ)ΒΖ{τ)dτ, ο

X(t) .. eAt Χ(Ο) + 1 eA(t-τ) ΒΖ(τ)dτ , ο

(4.11)

(4.12)

(4.13)

όπου τ μεταβλητή ολοκλήρωσης και Χ(Ο) η αρχική τιμή του Χ που εξόγεται αν στην

εξίσωση (4.11) τεθεί t-o. δηλαδή :

Χ(Ο) • f e ·Α τ ΒΖ{τ)dτ . (4.14)

--Όπως φαίνεται από την εξίσωση (4.12) η απόκριση του συστήματος αποτελείται από

την ελεύθερη ελέγχου απόκριση Φ{t) Χ{Ο) που προκύmει από τη λύση της ομογενούς

διαφορικής εξίσωσης (4.3) και την απόκριση μηδενικής αρχικής κατόστασης που

βρίσκεται όταν

t Χ(Ο)- Ο, δηλαδή το J Φ(t-τ)ΒΖ(τ)dτ

ο

που λέγεται ολοκλήρωμα της συνέλιξης ή συνελικτικό ολοκλήρωμα (conνolution

integral).

Η αναλυτική λύση της εξίσωσης (4.13) μπορεί να τεθεί και υπό απλή (πεπερασμένη) κλειστή μορφή για τετραγωνικό μητρώα Α, Β (4]. Αυτό είναι δυνατόν να εφαρμοσθεί στην περίmωση του συστήματος-κατασκευή της

εξίσωσης (1.8) • όπου :ro Α είναι τετραγωνικό nxn μητρώο και το nxm μητρώο Β μορφώνεται εύκολα σε τετραγωνικό nxn χωρίς βλόβη της μεθόδου - με συμπλήρωση

των μητρώων ΒΌ Ζ στις σχέσεις (1 .4) (1 .5) και προσθήκη αφενός στο μητρώο e·. n-m μηδενικών στηλών, αριστερό του F(t) και αφετέρου στο διόνυσμα Ζ, μιας στήλης από n­m μηδενικό στοιχεία, όνω του 1.

Tech. Chron. - Α, G reece, 1993, Vo1. 13, Νο 4 57

11. Το μητρώο Α ε!ναι σταθερό αλλό το unτρώο Β uεταβόλλεται χρονικό,Β,.,Β(t)

Στην περ!mωση αυτή η λύση του ομογενούς συστήματος (4.3) παραμένει ακριβώς η

!δια, όπως και στην προηγούμενη περ!mωση l,a. Επ!σης η λύση της πλήρους εξ!σωσης (4.1) παραμένει και εκε!νη η !δια με τη λύση της προηγούμενης περ!mωσης 1,6, μόνο που στην περ!mωση αυτή το Β στο ολοκλήρωμα της συνέλιξης δεν ε!ναι πλέον

σταθερό αλλό συνόρτηση του χρόνου B=B(t), πρόγμα που κόνει πιο περ!πλοκη τη λύση του ολοκληρώματος της συνέλιξης και γι' αυτόν το λόγο συνήθως

χρησιμοποιε!ται η παραγοντική ολοκλήρωση. Δεδομένου ότι όπως ήδη παρατηρήθηκε

στις εξισώσεις (1.8), (1.11 ), (1.12), το μητρώο Α της γραμμικής διαφορικής εξ!σωσης

της κατασκευής ε!ναι σταθερό (εφόσον εργαζόμαστε στα πλα!σια στης θεωρίας μικρών

μετατοπ!σεων, με γραμμικούς νόμους υλικών και μητρώα M,C,K της κατασκευής σταθερό), υπόρχει η αναλυτική λύση των παραπόνω διαφορικών εξισώσεων κατόστασης

της κατασκευής που ε!ναι:

ή

όπου :

η αρχική τιμή του Χ.

t X(t) - Φ(t) Χ(Ο) + f Φ(t-τ)Β(τ)Ζ(τ)dτ

ο

t

X(t) .. eAtx(O) + J eA(t-τ) Β(τ)Ζ(τ)dτ ο

Χ(Ο) = f e·Ατ Β(τ)Ζ(τ)dτ, -οο

(4.15)

(4.16)

(4.17)

Έτσι φα!νεται ότι στην περίπτωση της κατασκευής που εξετόζεται με τις παραπόνω

προϋποθέσεις, οι διαφορικές εξισώσεις κατόστασης (1 .8), (1.11 ), (1 .12) έχουν αναλυτική

λύση που δ!νεται από τις εξισώσεις (4.15), (4.16), (4.17).

Οι παραπόνω αναλυτικές λύσεις εlναι δυνατό να τεθούν και υπό απλή (πεπερασμένη)

κλειστή μορφή, για τετραγωνικό μητρώα Α και για ευρύτατες κατηγορlες

τετραγωνικών μητρώων B=B(t) [4].

111. Τα unτρώα Α . Β ε!ναι συναρτήσεις του χρόνου δηλαδή A=A(t). B=B(t)

Τότε υπόρχει λύση στην εξίσωση (4.1) η οποία ει ναι [27] η ,

X(t) = Φ(t.t0 ) X(t0) + tlΦ(t,τ) Β(τ)Ζ(τ)dτ . (4.18)

58 Τεχν. Χρον.- Α, 1993, Τόμ. 13, Τεύχ. 4

Το μεταβατικό μητρώο κατόστασης Φ(t,to) εινaι λύση της ομογενούς διαφορικής εξι­

σωσης:

(4.19)

JΑ(τ)dτ και δ!νεται από τον τύπο: Φ(t,t0) - e to (4.20)

όταν ισχύει η σχέση αντιμεταθετικότητας ( Commutatiνity) μεταξύ των Α(τ) ,Α(t) για

όλα τα t, τ, δηλαδή :

Α(τ)Α(t) .. Α(t)Α(τ) . (4.21)

Οι παραπόνω σχέσεις ισχύουν και όταν το μητρώο Α ε!ναι συνόρτηση του χρόνου

A- A(t), ενώ το μητρώο Β εινaι σταθερό. Στην περlπτωση αυτή έχουμε απλούστευση

του ολοκληρώματος της συνέλιξης.

Η αναλυτική λύση των εξισώσεων (4.18),(4.20 εινaι δυνατό να τεθε! και υπό

πεπερασμένη κλειστή μορφή για ευρύτατες κατηγορίες τετραγωνικών μητρώων

A=A(t) και B=B(t) [4].

5. Συuπερασuατικές παρατηρήσεις

Ο Βέλτιστος Έλεγχος επιτυγχόνει τη βελτιστοποlηση της aπόκρισης της κατασκευής

χρησιμοποιώντας δυνόμεις ή και μετατοπ!σεις ελέγχου δlνοντας έτσι τη δυνατότητα

στο μελετητή να βελτιώσει τη συμπεριφορό της κατασκευής ως προς ορισμένα

προεκλεγέντα κριτήρια ανόλογα με το επιθυμητό αποτέλεσμα.

· Οπως εΙ ναι προφανές ο σχεδιασμός, η κατασκευή και η υλοποιηση των διατόξεων Βέλτιστου Ελέγχου αποτελεί στόδιο που έπεται του σταδlου εντοπισμού μόρφωσης και

μελέτης του προβλήματος Βέλτιστου Ελέγχου , και αποτελεί πεδ!ο διερεύνησης πέραν

των στόχων της παρούσας εργασίας.

Η υιοθέτηση όμως στην πρόξη του Πολιτικού Μηχανικού τέτοιου ειδους διατόξεων

ελέγχου της aπόκρισης των κατασκευών προϋποθέτει τη μαθηματική μόρφωση του

προβλήματος Βέλτιστου Ελέγχου Κατασκευών και την επlλυσή του στα πλα!σια

σύγχρονων θεωριών των Μαθηματικών.

Εδώ αξ!ζει να σημειωθει ότι στη σχέση κατόστασης που έχει μορφωθει στα

προηγούμενα κεφόλαια, τα μητρώα που εμφανίζονται μορφώνονται εύκολα και με

όμεσο τρόπο, θεωρούνται δε συνήθως αμετόβλητα σε συνόρτηση με το χρόνο, υπό την

προϋπόθεση ότι εργαζόμαστε στα πλα!σια της θεωρίας μικρών μετατοπισεων και οι

Tech. Chron.- Α , Greece, 1993, Vol. 13, Νο 4 59

νόμοι του υλικού της κατασκευής είναι γραμμικοί, με εξα ίρεση τα μητρώα που

περιλαμβόνουν τη φόρτιση εφόσον αυτή μεταβόλλεται συναρτήσει του χρόνου.

Αποτέλεσμα του γεγονότος αυτού, είναι η ύπαρξη γνωστής αναλυτικής λύσης στο

πρόβλημα Βέλτιστου Ελέγχου των Κατασκευών στην περίπτωση αυτή, πρόγμα που

διευκολύνει ιδιαίτερα τη λύση του προβλήματος σε πολλές περιmώσεις.

Βιβλιογραφiα

1. Αναστασιόδης, Κ. , Δυγαuική των Κατασκευών, τόμος 1: "Διακριτό Συστήματα",

τόμος 11 : "Συνεχή Συστήματα", Θεσσαλονίκη, 1983.

2. Bellman R., On the Calculation of Matrix Exponential. Linear and Multilinear

Alaebra. 1983 Vol. 13. pp. 73-79.

3. Hildebrand, F. Β., Methods of Applied Mathematics, Prentice-Hall, Englewood

Cliffs, Ν. J., 1952.

4. Karayannakis, D., Α Practical Use of the Matricial Functional Calculus , Linear and

Multilinear Alaebra (to apρear).

5. Kalman, R.E., When is a Linear Control System Optimal, ASME J . Basic

Engineering, Ser.D, 86, 1964, pp.51-60.

6. Κρικέλη, Ν ., Μοντελοποίηση και Βέλτιστος Έλεγχος Συστnuότων Αθήνα

"Πλαίσιο• 1986.

7. Λιώλιος, Α., Δυναuικό των Κατασκευών, Δ.Π.Θ. ,Ξόνθη, 1989.

8. Μπανιωτόπουλος, Χ . , (1991), Εφαρuονές τος Θεωρίας Βέλτιστου Ελέγχου στο

σχεδιοσuό υποθαλασσίων γραuuών μεταφορός ενέογειας, Τεχνικό Χρονικό (Α)

(υπό έκδοση).

9. Μπίσμπος, Χ.Δ. , Βέλτιστος Έλεγχος των Κατασκευών , Διδακτορική διατριβή

Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη 1982.

10. Panagiotopoulos. Ρ. D., Optimal Control in the Unilateral Thin Plate Theory,

Archiνes of Mechanics (Archinum Mechaniki Stosowanej) 29, 1977, pp. 25-39.

11 . Panagiotopoulos, Ρ. D., On the Optimal Control of Physical Systems Goνerned by

Static Variational lnegualities in Methoden und Veήahren der Mathematischen

Physik, Band 17, Peter Lang Verlag , 1977.

12. Panagiotopoulos, Ρ. D., Optimal Control of Unilateral Structural Analysis Problems,

in Proc. IUT ΑΜ Symposium on Structural Control, 1979, (ed. Η . Η. Ε . Leipholz).

Νοήh Holland Pub. Co. and SM Publ., (publ. 1980).

13. Panagiotopoulos, Ρ. D., Optimal Control and Parameter ldentification of Structures

with Conνex and Nonconνex Strain Energy Density. Applications to Elastoplasticity

and to Contact Problems. S. Μ. Archiνes 8 (1983), 363-411 .

14. Panagiotopoulos, Ρ. D., Qptimal Control of Structures with Conνex and Nonconνex Energy Densities and Variational and Hemiνariational lnequalities, Engng Struct. 6 (1984), 12-18.

60 Τεχν. Χρον. - Α, 1993, Τόμ . 13, Τεί.χ. 4

15. Panagiotopoulos, Ρ. D. (1985) lneguality Problems in Mechanics and Applications.

Conνex and Non-convex Energν Function$, (Birkhauser, Basel, Boston, Stuttgart).

(Russian transl. (1989) MIR Publ. Moscow).

16. Panagiotopoulos, Ρ . D., Moreau, J. J., Strang, G. (1988) Topics in Nonsmooth

Mechanics, (Birkhίiuser, Boston, Basel).

17. Panagiotoρoulos, Ρ. D., Moreau, J. J., (eds.) (1988) Nonsmooth Mechanics and

Applicatίons. CISM Lect. Notes 302 (Sρringer, Wien, New York).

18. Panagίotoρoulos, Ρ . D., (1989), Propertν Control and ldentificatίon of Composite

Materίals νίa Hemiνariatίonallnegualίtίes, (1989), Omega Press, London.

19. Panagίotoρoulos, Ρ. D., Haslίnger, J. (1989) Optίmal control of Systems governed

by Hemίνarίatίonal lnegualities , ίn Mathematίcal Models for Phase Chanae

Problems. ed by J. F. Rodrίgues (Birkhauser, Basel, Boston).

20. Panagiotoρoulos, Ρ. D., (1989) Optimal Control of Systems goνerned by Vaήationai­

Hemiνariational lneaualities, Proc. 4th UPSA (Unilateral Problems ln Stuctural

Analysis) Caρri, June 1989 ed by F. Macerί and G. del Piero (Birkhιiuser, Basel,

Boston).

21 . Panagiotoρoulos, Ρ. D., (1990), Optjmal Control of Systems goνerned by

hemiνarίatίonal ίneaualίties. necessaα conditions , lntern. Series of Numeήcal

Math. Vol. 95, (Bίrkhίiuser, Verlag, Basel).

22. Panagiotoρoulos, Ρ. D., Haslinger, J. (to appear) Optimal Control of Hemivariatίonal

lneaualities. SIAM J. Control and Oρtimizatίon.

23. Peressίni, Α., Sullivan, F., Uhl J., Ihe Mathematics of Nonlίnear Programming ,

Sρήnger Verlag,1987.

24. Pierre, D., Optimization Theoα with Applicatίons, Doνer Publications lnc. Ν. Υ.,

1986

25. Washizu, Κ., Nakamichi, J.,AQQ!.ίcatlQil$ of the Fίnite Element Method to an Optίmal

Control Problem, lnt. J.Num. Meth. Engng. Vol.12, Νο 10, 1978, ρρ. 1559-1574.

26. Yao, J. Τ. Ρ., Concept of Structural Contro!. ASCE, Sτ?, July 1972, pp. 1567-1574.

27. Zadeh, ι. Α., Desoer, c. Α. , Lίnear System Iheoα I McGraw-Hill, New York, 1963.

28. Ζαχαρενόκης, Ε. Κ., Ενεογός Έλεγχος των Κατασκευών, Διδακτορική διατριβή

Α.Π.Θ., Θεσσολονlκη, 1991.

29. Zuk, W., Kinetic Structures, Civil Engineering, ASCE, Dec.1968,ρρ. 62-64

Εμμ.Κ.Ζαχαρενόκης, Δρ. Πολ. Μηχανικός

Καθηγητής T.E.I. Ηροκλεlου

Σταυρωμένος-71500-Ηρόκλειο-Κρήτη

Tech. Chron. - Α . Greecc, 1993, ν οΙ. I 3, Ν ο 4

STATE EOUAτtONS IN ΤΗΕ OPτtMAL CONTROL PROBLEM OF STRUCTURES UNDER DYNAMIC LOAD

by E.C_Zacharenakis

An Extended Summary

61

lt is well-known that Optimal Control Theory has been successfully applied to many

technology branches until now. The optimal control of structures after its successful

application in numerous aeronautical structures, where its potential as a νersatile tool for

the design of dynamically loaded flexible structures has been proνed, appeared as a new

research field ίη Structural Mechanics.

The present paper deals with the eνaluation of the control forces, the computation of

the respectiνe .ρerformance index, the motion of controlled structures and in paήicular the

optimal control of structures under dynamic load. The structures are considered to be

assembled from finite elements obeying linear mateήal laws and their displacements are

assumed to be small. Open problems left for fuήher study are the optimal location of the

control deνices and the realization and implementation of the control forces.

At first an account of the existing literature connected with the optimal control of the

ciνil engineering structures problem is giνen . Seνeral authors • Zuk (1968) [29] - used the

concept of structural control, without giνing a rigorous mathematical suρροή to its

formulation. This task was undeήaken by, among others, Yao (1972)[26] who formulated

the problem of structural control in terms of the qualitatiνe theory of optimal control. Later

Panagiotopoulos (1977)[10-22] introduced the optimal control theory in Nonsmooth

Mechanics and seνeral applications. Conνersely Washizu and Nakamichi (1977)[25] used

the methods of structural mechanics (Finite Element Method) to the optimal control

theory.

Α. Formulatlon of the problem

ln the present paper the state equations in the optimal control of structures under

dynamic load problem are inνestigated . ln order to fulfil our inνestigation the state relation

of the structure is formulated, first without control as

Μϋ + Cύ+ Ku "' F(t) where

Μ : ν χ ν Mαss matrix

C : ν χ ν Damping matrix

62 Τεχν. Χpον.- Α, 1993, τόμ. 13, Τείιχ. 4

Κ : ν χ ν Stiffness matrix

F(t): ν- dimensional Load νector

U : ν- dimensional Displacement νector

U : ν - dimensional Velocity νector

.. U :ν- dimenslonal Acceleration νector

and, uslng the substitution ίι =ν.

* in the presence of the control forces Ζ (μ-dimensional Control forces νector) as

MV + CV .+ Ku • F(t) + 80Ζ. (t)} (::::) u - ν - ο

where 80 is the ν χ μ control forces arrangement matrix .

Equiνalently these relations under the following substitutions

• [ -C -: ] κ .

[ Μ ο ] . Μ-

ο

• [ F(t) :0] Β-ο

χ - ω - ω· z .. [Z:(t)]

Tech. Chron. - Α , Greece, 1993, Vol. 13, Νο 4

Can be written as :

where Μ• is a symmetric positiνe definite matrix . Hence

where Α, Β are certain nxn, nxm (η .. 2 ν , m - μ + 1 , n ~ m} matrices respectiνely

given by

Α . [: ~ ]"'-[ ~ -:]. [ ~-· ~ Η~ :] . [-~-'c -Μ:κ]

Β-[:~ η F~l) :·Η ~-1 ~Η F~l) :·]. [ M:F(I) Μ·:·] The above procedure leads to the following conclusions :

I. ln the case of certain system structure with matrices M,C,K constant, it follows that

the matήx Α of the state equation is independent of the time.

Ιί. ln the case of certain system structure with matrices Μ, Β0 and the load F(t) constant, then the matήx Β of the state equation is constant.

iil. lf the load of the system structure F(t) depends on the time it fol lows that the matrix

Β of the state equation also depends on tM time, B:B(t).

The optimal control of structures under dynamic load problem is next formulated as a

problem of search for those control forces that optimize some suitably chosen

peήormance index. Seνeral peήormance indices are examined for a variety of optimal

control purposes. The control forces or displacements are obeying also to the state

equation (equality form constraint} and to inequality form constraints (due to technological

limitations}, given by :

Xmin S Χ $ Xmax

Zmin S Ζ S Zmax

Β. Methods of solνabllity of the state equations

64 Τεχν. Χρον.- Α , 1993, τόμ. 13, Τεύχ. 4

The general form of the non-linear νector equation of a dynamic system in the state

spacels . Χ= f(X,Z,t)

The analytlcal solution is not in general known. Howeνer if this equation is the linear

νector equation n m

Χι= Σ Οι ι Χ J + Σ bi κ Ζ κ . Χ: ΑΧ+ΒΖ

j.1 κ-1

then the solution of the latter equations depends on whether the νalues of coefficients

Οι J , bi κ remain constant or change with the time.

The ηumerical, aηalytical aηd analogic method for the solution of these problems, with

linear or liηeaήzed state equatioη, are bήefly discussed. . Now we coηsider the linear contiηuous time system described by Χ = ΑΧ+ΒΖ where X(t), n-dimensional state νector.

Z(t), m-dimeηsioηal control forces νector

Α n χ η matrix

Β η χ m matήx

with iηitial coηditioηs : Χ(Ο) • Χο Three cases are distiηguished :

I. The matήces Α .Β are constant and the system is linear time invarjant.

lt is the case that the system- structure with matrices M,C,K,B0 constant moves uηder

coηstant load.

a) The solution of the homogeηeous system of differential state equations giνen

by Χ: ΑΧ is X(t) • eAt Χ(Ο) • Φ(t) Χ(Ο)

where Φ(t) .. eAt is the state transition matrix.

b) The solution of the complete linear continuous time system structure described by t .

Χ: ΑΧ+ΒΖ is X(t) - eAt Χ(Ο) + J eA(t-τ) ΒΖ(τ)dτ ο

11. The matήx Α is constant but the matrix Β changes with the time,B=B(t).

Tech. Chron.- Α , G reece, 1993, Vol. IJ, Ν ο 4 65

This is the case where M,C,K are constant and system is linear time hemi-ίnνariant. ln

this case the solution of the homogeneous system is as before. On the other hand, the

solution of the complete state equation is giνen by the same formula

X(t) - eAtx(O) + J eA(t-τ) Β(τ)Ζ(τ)dτ ο

with the only dίfference that Β appeared in the conνolution integral is no longer constant

but changes with the time

111. The matrices Α,Β both change with the time and the system is lίnear time νarying.

A - A (t). B-B(t),

Then there exists a solution of the state equations Χ = ΑΧ+ ΒΖ

giνen by

I

X(t)- Φ(t,t0) X(t0 ) + JΦ(t,τ)Β(τ)Ζ(τ)dτ to

The state transition matrix Φ(t.to) is a solutίon of the homogeneous differential equation

Φ(to .to)=l

I

JΑ(τ)dτ and is gίνen by the formula Φ(t.to) • e lo

proνided that : Α(τ)Α(t) z Α(t)Α(τ) for all τ, ι

Especially if the matrix A - A(t) and Β is a constant matrix, then the solution is giνen by

the same equations where the conνolution integral is further simplified.

Rnally we note that the matrix formulation in the state equation of the dynamic problem

can be easily obtained. Some of the aboνe mentioned matrίces are assumed constant for

certain types of the considered structures. ln this case the solution of the state equatίon

does exist and is known. ·

Emm. C. Zacharenakis, Dr. lng.

Professor of Ciνil Engineering TEIIraklion

Staνromenos-71500-1 raklion-Crete