stat & prob_ok

Student Guide Book

Subject: Statistics and Probability

(ENG200801)

Teaching Team: Ardiansyah Arian Dhini

Arifin Djauhari Deni Ferdian

Fia Fridayanti Adam Harinaldi

Rini Prastyani Setiadi

Tania Surya Utami Titin Siswantining

Faculty of Engineering University of Indonesia

2011

This book is for non-commercial education purpose only. It contains figures, tables, chart, materials taken from various references.

Preface The knowledge of statistics and probability plays some important roles in many fields of engineering either in engineering research works or in the industrial application. In many situations, data processing and analysis heavily rely on the application of statistical methods in which their utilization will provide the basics for logical explanations about the relations that occur between variables of interest. As a subject of basic engineering science course to undergraduate program, Statistics and Probability will provide the basic knowledge and skills to the students to handle data and information appropriately starting from descriptive statistics to inferential statistics stages. This guidebook is intended to provide guidelines for students taking this subject. By reading this guidebook, it is expected that students understand the learning objectives and should be able to prepare themselves prior to each topic. It is also to guide students in working in group so that they may make the most of the group exercises. Any comments, critics, correction to this guidebook is thankfully accepted. Depok, January 17th 2011 Teaching Team: 1. Ardiansyah 2. Arian Dhini 3. Arifin Djauhari 4. Deni Ferdian 5. Fia Fridayanti Adam 6. Harinaldi 7. Rini Prastyani 8. Setiadi 9. Tania Surya Utami 10. Titin Siswantining

Table of Content

Endorsement Page

Preface

Table of Content

Chapter 1. General Information 1

Chapter 2. Learning Objectives 4

Chapter 3. Outlines of Subject 5

Chapter 4: Teaching Methods and Learning Activities 8

Chapter 5: Exercises and Assignments 11

Chapter 6. Assessment 14

References 16

Student Guide Book Statistics and Probability – ENG200801 1

General Information 1. Subject : Statistics and Probability

2. Subject Code : ENG200801

3. Semester : 3

4. Credit : 3 SKS

5. Year : 2010/2011

6. Type of Subject : Basic Engineering Subject (Mata Kuliah Dasar Teknik)

7. Prerequisite : None

8. Position of this subject in the curriculum structure of Bachelor of Engineering program

Fig. 1 Statistics and Probability position in the curriculum of Bachelor of Engineering program

Chapter

1


9. Teaching Team :

1. Ardiansyah 2. Arian Dhini 3. Arifin Djauhari 4. Fia Fridayanti Adam 5. Harinaldi 6. Rini Prastyani 7. Setiadi 8. Tania Surya Utami 9. Titin Siswantining

10. Description of the subject Statistics and probability is a branch of applied mathematics which t is widely used in scientific method in collecting, classifying, summarizing, presenting, interpreting and analyzing data and information to support valid and reliable conclusions. Furthermore, the conclusions will be the basis for decision making process. The course of Statistics and Probability is intended to give a basic ability to a student to handle quantitative data and information starting with descriptive stage which includes collecting, organizing, and presenting the data in a scientific manner and then followed by inductive/inference stage which includes the process of estimating and drawing conclusion based on available data and relations between variables. Hence, the students are expected to be able to apply their knowledge of statistics in conducting experiments for their laboratory works/assignments as well as research works in their final projects. As a whole, the coverage of the Statistics and Probability course subject can be seen in Fig. 2 which describe the position of the topics within the procedures of a scientific method. Learning activities will be conducted through various method, which consists of: interactive lecture, question-based learning, discussion, demonstration and unguided structured assignments, case study, field assignment, etc. Assessment will be made continuously through a set of exercises, group discussion, mid semester exam and final exam. This guide book will help students prepare for learning activities throughout the semester for this subject. Preparation may include reading, preparation of worksheet and practice. Achievement of students will entirely be due to their activities and preparation. Construction of knowledge will be made through exercises, and questions available in this book. Students are expected to do the exercises, and they may move to further stage as they ready for that. Overall, students are expected to be active learners by acquiring knowledge through thinking and exercising. Students may also use this guidebook to self-assess their achievement.


Figure 2. Scope Statistics and Probability within the course of scientific method

- estimation - hypothesis test - regression and

correlation

start

problems Identification

collect available and relevant internal

and external facts

collect new data from population/sample

by using instruments, questionnaire, interview, etc.

interpret the results, draw conclusions

and make decisions.

information from sample

?

finish

Y

N

is available facts

sufficient?

classify, summarize, and process the data and calculate numerical descriptive

measures

present and communicate summarized data in the form of tables, graphs, and

include the numerical values of descriptive measures

use the information from sample to:: 1. Estimate the value of parameter

2. Test the assumption/hypothesis of parameter

use the information from a census to evaluate the alternative steps and to make

decisions

Y

N

Introduction to Statistics and Data Analysis

Sampling

Descriptive Statistics

Inference Techniques

ProbabilityDistribution

Probability concepts

Sampling Distribution


Learning Objectives 2.1. Terminal Learning Objectives Upon completion of this subject students are expected to be able to handle quantitative data and information starting with descriptive stage which includes collecting, organizing, and presenting the data in a scientific manner and then followed by inductive/inference stage which includes the process of estimating and drawing conclusion based on available data and relations between variables. 2.2. Supportive Learning Objectives 1. The students understand and can explain the role of statistics, its application in the engineering field

and basic procedure of problem solving based on scientific methods. 2. The students are able to properly collect raw data, to organize them in a frequency distribution and

eventually to present them in a histogram, polygon of frequency, bar graph, line graph, etc. 3. The students can calculate the descriptive measurement comprehensively including the central

tendency, dispersion, skewness and kurtosis measurements and then summarize and describe the basic characteristics of data distribution.

4. The students are able to use the concepts of probability distribution, probability function/probability density function , cumulative distribution/function for discrete as well as continuous variable.

5. The students can apply some theoretical discrete distributions (Bernoulli, binomial, negative binomial, geometric, hyper geometric and Poisson) to solve some statistical problems related to engineering works

6. The students can apply some theoretical continuous distributions (Gaussian/norml, gamma, chi-square, exponential, Weibull, lognormal) to solve some statistical problems related to engineering works

7. The students can take proper steps to construct sampling distributions of the mean and proportion and can calculate the mean and standard deviations of those sampling distributions.

8. The students are able to conduct mean statistical estimation of the mean, proportion and variance of population based on data/information from sample.

9. The students can properly use hypothesis test procedures to draw conclusions in the problems involving one or two variables and also some advanced hypothesis test procedures (ANOVA, Chi-square test).

10. The students are able to calculate and to interpret the meaning of regression equation and error standard of estimations for simple linear regression analysis and then to use the measures obtained from regression and correlation analysis to make interval estimation of dependent variable for forecasting purposes.

Chapter

2


Outline of Subject Supportive Learning Objective

Topic Sub-topic

Reference

1, 2 1. Introduction to Statistics and Data Analysis

1.1 Overview : Statistical Inference, Samples, Populations

1.2 The role of Statistics and the Application in engineering

1.3 The role of computer in Statistics

[1] Chap.1 [2] Chap.1

1, 3 2. Descriptive Statistics 2.1. Discrete and Continuous Data 2.2. Sampling Procedures, Collection &

Organization of Data 2.3. Graphical Methods and Data

Description 2.4. Measure of Location : The sample

Mean & Median Exercise 2.5. Measure of variability

[1] Chap. 1 [2] Chap. 2

1, 3, 4 3. Probability 3.1 Concept of Probability : sample space, events, counting sample points, probability of an event

3.2 Probability of an Event 3.3 Rules in Probability : additive,

conditional, multiplicative, Bayes’ Rule

[1] Chap. 2 [2] Chap. 3

1, 3, 4 4. Random Variable 4.1 Concept of Random variable 4.2 Discrete Probability Distribution 4.3 Continuous Probability Distribution 4.4 Probability Distribution with

parameter 4.5 Mean of Random Variable 4.6 Variance of Random Variable

[1] Chap. 3 and Chap 4 [2] Chap. 4

1, 4, 5 5. Some of Discrete Probability Distribution

5.1 Discrete Uniform Distribution 5.2 Binomial and Multinomial

Distribution 5.3 Hypergeometric Distribution

[1] Chap.5 [2] Chap.5

Chapter

3


5.4 Negative Binomial & Geometric Distribution

5.5 Poisson Distribution

1, 4, 6 6. Some of Continuous Probability Distribution

6.1 Continuous Uniform Distribution 6.2 Normal Distribution 6.3 Gamma & Exponential Distribution 6.4 Chi Square Distribution 6.5 Weibull Distribution 6.6 Lognormal Distribution

[1] Chap.6 [2] Chap.6

1, 7 7. Sampling Distribution 7.1 Definition and Basic Concept 7.2 Sampling Distribution 7.3 Sampling Distribution of Means 7.4 Sampling distribution of Proporsion 7.5 Sampling Distribution of Variance

[1] Chap.8 [2] Chap.7

1, 7, 8 8. Estimation 8.1 Inferential Statistics 8.2 Classical Method of estimation 8.3 Single Sample : Estimating the Mean 8.4 Two Samples : Estimating the

difference between Two Means 8.5 Single Sample : Estimating the

Proportion 8.6 Two samples : Estimating difference

between proportion 8.7 Single Sample : Estimating the

Variance 8.8 Two Samples : Estimating the Ration

between two variance 8.9 Sample Size Determination

[1] Chap.9 [2] Chap.8

1, 9 9. One and Two-Sample Tests of Hypotheses

9.1. Statistical Hypotheses : A General Concept

9.2. Testing a Statistical Hypotheses 9.3. One or Two-tailed Tests 9.4. P values for decision making in

testing 9.5. One – or Two samples : Test of

Means 9.6. One – or Two samples : Test of

Proportion 9.7. One – or Two samples : Test of

Variance 9.8. Chi square Test : Goodness of Fit,

Independence, Homogenity, Several Proportion

9.9. ANOVA

[1] Chap 9 and 10 [2] Chap.9, 10 and 11

1, 10 10. Simple Linear Regression

10.1. Introduction to Linear Regression 10.2. Simple Linear Regression model

[1] Chap 11 [2] Chap.12


10.3. Inferences concerning regression coefficients

10.4. Simple Linear Correlation Analysis

1, 5, 6, 7, 10 11. Application of Statistics in Engineering

11.1Statistics for Quality Control 11.2 Statistical Uncertainty 11.3 Time series analysis

[2] Chap. 14

Texbooks and Reference Books: References : [1] Harinaldi, ”Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains”, Erlangga, 2006. [2] Devore, J.L., Probability and Statistics for Engineering and The Sciences (5th Ed.), Duxbury, 2000 [3] Barnes J.W, Statistical Analysis for Engineers and Scientists, a Computer-Based Approach, McGraw-

Hill, 1994 [4] Donald H.S, Statistics, A First Course (6th Ed), McGraw-Hill, 2001 [5] Walpole, Ronald E, Probability & Statistics For Engineers & Scientist, 8th Ed, Pearson Prentice Hall,

2007


Teaching Methods and Learning Activities Week /Date

Sub-topic

Supportive Learning Objective

Learning Methods Media /

Modul Orientation (O)

Exercise (L)

Feedback (U)

Week 1

1.1 Overview : Statistical Inference, Samples, Populations



1, 2 Interactive Lecture

Individual Excercise, Self Study

Modul 1

Week 2 2.1. Discrete and Continuous Data 2.2. Sampling Procedures,

Collection & Organization of Data

2.3. Graphical Methods and Data Description

2.4. Measure of Location : The sample Mean & Median Exercise

2.5. Measure of variability


Group excersice, Self Study

Modul 2

Week 3 3.1 Concept of Probability : sample space, events, counting sample points, probability of an event



1, 3, 4 Interactive Lecture


Modul 3

Week 4 4.1 Concept of Random variable 4.2 Discrete Probability

Distribution 4.3 Continuous Probability


Modul 4

Chapter

4


Distribution 4.4 Probability Distribution with


Week 5, 6


Distribution 5.3 Hypergeometric Distribution 5.4 Negative Binomial &

Geometric Distribution 5.5 Poisson Distribution



Modul 5

Week 6, 7

6.1 Continuous Uniform Distribution

6.2 Normal Distribution 6.3 Gamma & Exponential

Distribution 6.4 Chi Square Distribution 6.5 Weibull Distribution 6.6 Lognormal Distribution



Modul 6

Week 8 7.1 Definition and Basic Concept 7.2 Sampling Distribution 7.3 Sampling Distribution of Means 7.4 Sampling distribution of

Proporsion 7.5 Sampling Distribution of

Variance



Modul 7

Week 9 8.1 Inferential Statistics 8.2 Classical Method of estimation 8.3 Single Sample : Estimating the

Mean 8.4 Two Samples : Estimating the


Proportion 8.6 Two samples : Estimating

difference between proportion 8.7 Single Sample : Estimating the

Variance 8.8 Two Samples : Estimating the

Ration between two variance 8.9 Sample Size Determination



Modul 8

Week 10, 11,

12


9.2. Testing a Statistical Hypotheses 9.3. One or Two-tailed Tests



Modul 9 and 10


9.4. P values for decision making in testing

9.5. One – or Two samples : Test of Means

9.6. One – or Two samples : Test of Proportion

9.7. One – or Two samples : Test of Variance

9.8. Chi square Test : Goodness of Fit, Independence, Homogenity, Several Proportion

9.9. ANOVA

Week 13

10.1. Introduction to Linear Regression

10.2. Simple Linear Regression model





Modul 11

Week 14

11.1 Statistics for Quality Control 11.2 Uncertainty of Statistics 11.3 Time Series Analysis

1, 5, 6, 7, 10 Interactive Lecture


Modul 13


Exercises and Assignments Week /Date

Sub-topic Assignment

Group Assignment Individual Assignment

Week 1 1.1 Overview : Statistical Inference, Samples, Populations



Assignment 1

Week 2 2.1. Discrete and Continuous Data 2.2. Sampling Procedures,

Collection & Organization of Data

2.3. Graphical Methods and Data Description

2.4. Measure of Location : The sample Mean & Median Exercise

2.5. Measure of variability

Data Collection, Data Description (Minitab) dan Measure of Location & variability

Week 3 3.1 Concept of Probability : sample space, events, counting sample points, probability of an event



Assignment 2

Week 4 4.1 Concept of Random variable 4.2 Discrete Probability

Distribution 4.3 Continuous Probability

Distribution 4.4 Probability Distribution with

Assignment 3

Chapter

5



Week 5, 6


Distribution 5.3 Hypergeometric Distribution 5.4 Negative Binomial &

Geometric Distribution 5.5 Poisson Distribution

Assignment 4

Week 6, 7

6.1 Continuous Uniform Distribution

6.2 Normal Distribution 6.3 Gamma & Exponential

Distribution 6.4 Chi Square Distribution 6.5 Weibull Distribution 6.6 Lognormal Distribution

Data Analysis according to characteristic of distribution

Week 8 7.1 Definition and Basic Concept 7.2 Sampling Distribution 7.3 Sampling Distribution of Means 7.4 Sampling distribution of

Proporsion 7.5 Sampling Distribution of

Variance

Assignment 5

Week 9 8.1 Inferential Statistics 8.2 Classical Method of estimation 8.3 Single Sample : Estimating the

Mean 8.4 Two Samples : Estimating the


Proportion 8.6 Two samples : Estimating

difference between proportion 8.7 Single Sample : Estimating the

Variance 8.8 Two Samples : Estimating the

Ration between two variance 8.9 Sample Size Determination

Assignment 6

Week 10, 11,

12


9.2. Testing a Statistical Hypotheses 9.3. One or Two-tailed Tests 9.4. P values for decision making in

testing

Hypotheses Test on Mean and Variance Data


9.5. One – or Two samples : Test of Means

9.6. One – or Two samples : Test of Proportion

9.7. One – or Two samples : Test of Variance

9.8. Chi square Test : Goodness of Fit, Independence, Homogenity, Several Proportion

9.9. ANOVA

Week 13

10.5. Introduction to Linear Regression

10.6. Simple Linear Regression model



Assignment 7

Week 14

11.1 Statistics for Quality Control 11.2 Uncertainty of Statistics 11.3 Time Series Analysis

*Individual Assignment from Book Exercises according to chapter discussed


Assessment and Code of Conduct 6.1. Instrument

1. Group assignments 2. Individual assignments 3. Quiz 4. Midsemester exam (written test, restricted response essay, extended response essay) 5. Final exam (written test, restricted response essay, extended response essay)

1.2. Assessment

No Component Weight 1. Group Assignments 15 % 2. Individual Assignments 10 % 3. Quiz 10 % 4. Mid semester exam 30 % 5. Final exam 35 % Total 100 %

5.3. Grading

≥ 85 80-84.9 75-79.9 70-74.9 65-69.9 60-64.9 55-59.9 50-54.9 40 – 49.9 0-40

A A- B+ B B- C+ C C- D E

5.4. Code of Conduct o No cheating. Cheating will be sanctioned with “E” mark. o No sandals o No smoking o Attendance is required min 75 %. Why? Knowledge can be transferred through handout, but

“values” can’t be! So, please come and we may share good values in life.

Chapter

6


Matrix for Mid semester exam

Cognitive Domain 1

Instrument Number of question/problem

Weight

C2 (comprehension)

Restricted response essay 2 20

C3 (application) Restricted response essay 2 40 C4 (analysis) Extended response essay 1 40

Total 100%

6.6. Matrix for Final Exam

Cognitive Domain

Instrument Number of question/prob

lem

Weight

C3 (application) Restricted response essay 2 40 C4 (analysis) Restricted response essay (Analysis of

a case) 2 60

Total 100%

6.7. Examples of questions for mid semester and final exams. Restricted response essay C2 (Comprehension)

Dari daftar di bawah ini, sebutkan mana yang termasuk data diskrit maupun data kontinyu:

(a) banyaknya curah hujan (dalam milimeter) di kota Bogor dalam berbagai bulan selama satu tahun

(b) kecepatan sebuah mobil dalam kilometer perjam (c) Jumlah uang kertas Rp.100.000,- yang beredar di Indonesia dalam setiap saat (d) Jumlah mahasiswa yang mendaftar di Universitas Indonesia pertahunnya selama dua

dekade terakhir (e) Status perkawinan seseorang dalam suatu negara (f) Jangkauan jarak tembak sebuah proyektil

C3 (Application) Data waktu nyala (detik) dari material-material yang mudah terbakar: 2,58 2,51 4,04 6,43 1,58 4,32 2,20 4,19 4,79 6,20 1,52 1,38 3,87 4,54 5,12 5,15 5,50 5,92 4,56 2,46 6,90 1,47 2,11 2,32 6,75 5,84 8,80 7,40 4,72 3,62 2,46 8,75 1 Bloom Taxonomy


2,65 7,86 4,71 6,25 9,45 12,80 1,42 1,92 7,60 8,79 5,92 9,65 5,09 4,11 6,37 5,40 11,25 3,90 5,33 8,64 7,41 7,95 10,60 3,81 3,78 3,75 3,10 6,43 1,70 6,40 3,24 1,79 4,90 3,49 6,77 5,62 9,70 5,11 4,50 2,50 5,21 1,76 9,20 1,20 6,85 2,80 7,35 11,75 Tugas anda:

a. Tentukan jumlah kelas pengelompokan, interval, dan batas kelas. b. Hitung mean, median, modus. c. Hitung pula kemencengan, deviasi standar, kuartil pertama dan ketiga. d. Hitung koefisien variasi serta gambarkan boxplot. e. Analisis informasi yang anda peroleh di atas.

C4 (Analysis)

Manajer humas sebuah perusahaan penerbangan domestik prihatin atas meningkatnya jumah pengaduan atas kerusakan bagasi yang menggunakan jasa penerbangan perusahaan tersebut. Suatu sampel acak yang dicatat di dua bandar udara memberikan data sebagai berikut. Di bandar udara A, dari 760 buah koper yang ditangani 44 diantaranya rusak. Di bandar udara B, dari 830 buah koper yang ditangani 60 diantaranya mengalami kerusakan. Dengan menggunakan tingkat kepentingan 0,05, tentukan apakah terdapat perbedaan yang berarti terhadap klaim kerusakan bagasi di kedua terminal?


References Textbooks and References [1] Harinaldi, ”Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains”, Erlangga, 2006. [2] Devore, J.L., Probability and Statistics for Engineering and The Sciences (5th Ed.), Duxbury, 2000 [3] Barnes J.W, Statistical Analysis for Engineers and Scientists, a Computer-Based Approach, McGraw-

Hill, 1994 [4] Donald H.S, Statistics, A First Course (6th Ed), McGraw-Hill, 2001 [5] Walpole, Ronald E, Probability & Statistics For Engineers & Scientist, 8th Ed, Pearson Prentice Hall,

2007

1/27/2011

1

FTUI @2011FTUI @2011

Tujuan PembelajaranTujuan Pembelajaran

Mendefinisikan arti dari terminologi-terminologi penting dalam statistika Memahami dan menjelaskan peranan statistik dan penerapannya di bidang teknik Memahami peranan komputer dan perangkat lunakMemahami peranan komputer dan perangkat lunak analisis data dalam pekerjaan yang berkaitan dengan statistik

Definisi dan Pengertian Peranan Statistik dan Penerapannya di Bidang Teknik

Pokok BahasanPokok Bahasan

gPeranan Komputer dalam Statistik

STATISTIKPengertian umum:

metode ilmiah dalam mengumpulkan, mengklasifikasikan, meringkas, menyajikan, menginterpretasikan dan menganalisis data untuk mendukung kesimpulan kesimpulan yang valid

Definisi dan PengertianDefinisi dan Pengertian

mendukung kesimpulan-kesimpulan yang valid yang berguna untuk mengambil keputusan masuk akal yang diperlukan

Pengertian terbatas: data atau fakta berupa angka yang dihasilkan dari data, yang menggambarkan karakteristik suatu sampel

1/27/2011

2

POPULASIkumpulan dari keseluruhan pengukuran, obyek atau individu yang sedang dikaji suatu pengamatan/survey terhadap seluruh anggota populasi disebut sensus


SAMPELsubset (himpunan bagian) dari suatu populasijika pengambilan sampel dilakukan dengan mengikuti kaidah-kaidah ilmiah, maka sangat mungkin diperoleh hasil-hasil dari dari sampel yang cukup akurat untuk menggambarkan populasi

PARAMETER DAN STATISTIKParameter adalah bilangan/angka yang menggambarkan karakteristik suatu populasi

rata-rata (average/arithmetic mean) dari tinggi badan seluruh mahasiswa FTUI adalah sebuah parameter


parameter.Statistik adalah bilangan/angka yang menggambarkan karakteristik suatu sampel

berat badan rata-rata dari 70 mahasiswa yang mewakili 7 jurusan di FTUI adalah sebuah statistik

VARIABEL Sebuah simbol, misalnya X, H, r, a, dsb., yang dapat bernilai berapapun dari sekumpulan nilai yang merupakan domainnya

Variabel kontinu Variabel yang bisa bernilai berapapun


Variabel diskrit Variabel tidak bisa bernilai sembarang

Populasi Sampel variableSemua siswa yang saat ini terdaftar

Sebagian siswa yang saat ini terdaftar

IPKSKS

DefinisiDefinisi dandan PengertianPengertian

Contoh:

JurusanNamaNPM

Semua circuit boards yang diproduksiselama satu bulan

Beberapa circuit boards

Jenis kerusakanBanyak kerusakanLokasi kerusakan

1/27/2011

3

STATISTIK DESKRIPTIF/DEDUKTIFTahapan statistik yang meliputi kegiatan:

mengumpulkanmengklasifikasikanmeringkasmenginterpretasikan


menginterpretasikan menyajikan

data dari suatu kelompok yang terbatas, tanpa menganalisa dan menarik kesimpulan yang bisa berlaku bagi kelompok yang lebih luas merupakan ruang lingkup statistik deskriptif atau statistik deduktif


Contoh Lingkup Statistik Deskriptif: Sebuah perusahaan mobil memproduksi 300,000 unit per tahun. Untuk menjaga kualitas produk, maka data produksi tersebut disajikan dalam bentuk diagramData rata-rata IPK mahasiswa Departemen pada semester tertentuData distribusi asal sekolah mahasiswa baru FTUI: Jakarta dan luar Jakarta

STATISTIK INFERENSIAL/INDUKTIFProses pengambilan kesimpulan mengenai parameter dari populasi berdasarkan atas informasi yang diperoleh dari statistik sampel merupakan ruang lingkup statistik inferensial/statistik induktif

DefinisiDefinisi dandan PengertianPengertian

Karena pengambilan kesimpulan seperti itu tidaklah mutlak kepastiannya, maka terminologi “kemungkinan/ probabilitas” sering digunakan dalam menyatakan suatu kesimpulan


Contoh Lingkup Statistik Induktif: Jika berat rata-rata dari 25 sampel kontainer yang dikapalkan adalah 7,1 ton, maka berat rata-rata dari seluruh 1000 kontainer yang harus dikapalkan tersebut dapat diperkirakan kemungkinan antara 6,9 sampai 7,3 ton Seorang analis kimia ingin menggunakan statistik inferensial untuk melakukan test/pengujian untuk mengetahui apakah laju korosi dari suatu logam yang diberi pelapisan kemungkinan adalah 10 mg/jam berdasarkan pengukuran terhadap 20 sampel yang menunjukkan laju korosi sebesar 9,5 mg/s

1/27/2011

4

Definisi dan PengertianDefinisi dan Pengertian Definisi dan PengertianDefinisi dan PengertianMulai

Kumpulkan data

Klasifikasikan, ringkas, dan proses data

Sajikan, sampaikan ringkasan informasi

StatistikD

METODE STATISTIK

Uji/Tarik kesimpulan tentang karakteristik

populasi (parameter) yang dikaji

Gunakan informasi dari sampel untuk

menyimpulkan populasi

Gunakan data sensus untuk menganalisis karakteristik

populasi yang dikaji

Informasi dari sampel ?

selesai

Y

T

Deskriptif Statistik

inferensial

MENGAPA STATISTIK DIPERLUKAN ?Menggambarkan hubungan-hubungan antara variabel-variabel

jumlah data yang sangat banyak sering sehingga membingungkansangat penting untuk dapat mengidentifikasikan dan

b k d i d t i i h b h b

PerananPeranan StatistikStatistik dandanPenerapanPenerapan didi BidangBidang TeknikTeknik

menggambarkan dari data ini hubungan-hubungan yang terjadi antara variabel-variabel yang ada

Alat Bantu Pengambilan Keputusan Metode statistik memungkinkan orang untuk membuat keputusan yang lebih baik dalam menghadapi ketidakpastian, misalnya pada proses kendali kualitas produk

Pencegahan Kegagalan Dalam Disain Mekanik/Proses

Kegagalan terjadi jika suatu beban (load) melebihi daya tahan material terhadap beban

Peranan Statistik dan Peranan Statistik dan Penerapan di Bidang TeknikPenerapan di Bidang Teknik

melebihi daya tahan material terhadap beban tersebutDalam praktek yang sebenarnya, baik beban yang bekerja maupun ketahanan material itu bukanlah hal yang dapat diketahui secara tepat Dengan kata lain besaran-besaran itu adalah variabel-variabel statistik

1/27/2011

5

Penentuan Komposisi Senyawa

Analisa komposisi senyawa yang terkandung dalam suatu produkPeralatan analisa produk harus dikalibrasi


Peralatan analisa produk harus dikalibrasi dengan data yang cukup banyak


Analisis Eksperimen Teknik

Setiap pengukuran memiliki ketidak-akuratan (inaccuracy):

kesalahan sistematik (systematic error)


kesalahan acak (random error)Kesalahan sistematik akan terus berulang terjadi. Kesalahan ini biasanya bisa dihilangkan dengan mengkalibrasikan instrumen pengukur dengan sebuah standar yang lebih akuratKesalahan acak lebih menunjukkan nilai yang tersebar, dan dapat diperkirakan secara statistik


1/27/2011

6

Pengendalian Mutu

Dalam semua proses produksi meskipun direncanakan dan dilaksanakan secara hati-hati, tetap memperlihatkan variasi mutu produk yang


dihasilkannya perlu dikendalikanMetode statistik adalah jantung dari pengendalian mutu manufakturSebuah contoh yang sederhana tetapi penting di bidang ini adalah diagram kendali mutu (quality control chart)


METODE PENGUMPULAN SAMPEL Judgment Samples

Pemilihan sampel berdasarkan pada pendapat/opini satu orang atau lebih yang cukup kompetenSampel apapun yang didasarkan atas keahlian seseorang mengenai populasi yang dikaji disebut judgment sampel

Metode Pemecahan Masalah Metode Pemecahan Masalah Secara StatistikSecara Statistik

METODE PENGUMPULAN SAMPEL Probability Samples

Probability samples memberikan hasil-hasil yang dapat dinilai secara obyektifTerdapat beberapa jenis sampel yang termasuk dalam kategori ini, yaitu:

Simple Random Sampels


Simple Random Sampels Systematic Samples Stratified Samples Cluster Samples

1/27/2011

7

METODE PENGUMPULAN SAMPEL Simple Random Sampels

Sampel dipilih dengan cara sedemikian hingga seluruh anggota populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terambil/terpilih menjadi sampelCara penarikan sampelnya adalah setiap unit dalam suatu populasi diberi nomor, kemudian diambil secara acak nomor


p p ,tersebut sebanyak jumlah sampel yang dikehendaki, maka setiap sampel yang nomornya terpilih tersebut adalah sebuah random samplePengambilan nomor tersebut juga bisa dengan menggunakan bantuan random number (bilangan acak)

METODE PENGUMPULAN SAMPEL Systematic Samples

Unit dari populasi diberi normor dan diurutkanKemudian ditentukan satu nomor sebagai titik tolak penarikan sampelNomor berikut dari anggota yang ingin dipilih ditentukan dengan mengikuti suatu sistematika, misalnya tiap-tiap unit


g g , y p pnomor ke-n dari titik tolak dipilih sebagai anggota sampel

METODE PENGUMPULAN SAMPEL Stratified Samples

Populasi terlebih dahulu dibagi dalam kelompok-kelompok yang relatif homogen, atau dalam strataAnggota sampe ditarik dari setiap strata untuk menghasilkan sampel secara keseluruhan, yang disebut stratified samplesStratified samples ini biasanya dilakukan apabila ada variasi


Lab. Fluida Teknik MesinLab. Fluida Teknik Mesin--FTUI FTUI © © Dr.Ir. Harinaldi, M.EngDr.Ir. Harinaldi, M.Eng

p y pbesar dalam populasi, dan penelitinya terlebih dahulu mengetahui struktur populasi tersebut yang dapat digunakan untuk menetapkan stratanyaHasil sampel dari setiap stratum itu kemudian diberi pembobotan dan dihitung dengan hasil sampel dari strata lainnya untuk mendapatkan estimasi yang menyeluruh

METODE PENGUMPULAN SAMPEL Cluster Samples

Populasi terlebih dahulu dibagi atas kelompok berdasarkan area atau cluster, dan anggota kelompok tersebut tidak perlu homogenKemudian beberapa cluster dipilih sebagai sampelselanjutnya dipilih lagi anggota unit dari cluster (seluruhnya/



j y p g gg ( ysebagian) tersebut sebagai sampel

1/27/2011

8

PERANAN KOMPUTER DALAM STATISTIK Komputer akan berguna secara efisien jika:

masukan (input) data tidak sedikithal-hal yang serupa dilakukan secara berulang-ulangkompleksitas pemrosesan tidak memberikan alternatif lain

Prosedur-prosedur yang bisa membutuhkan waktu berjam-jam, berhari-hari ataupun berminggu-minggu jika dikerjakan dengan

Peranan Komputer Dalam Peranan Komputer Dalam StatistikStatistik


menggunakan kalkulator biasa dapat dituntaskan secara akurat dalam waktu beberapa detik dengan bantuan komputer

SPREAD SHEET ? PAKET PROGRAM STATISTIK ?Spreadsheet pada program komputer: Microsoft ExcelPaket program statistika berfungsi untuk

Menerima data dari sumber llainMengcopy dan menduplikasi isi sel atau sel ke lokasi lain, dll.Melakukan analisis dari himpunan data tunggal atau majemuk dan mencetak nilairingkasan serta hasil analisis


Menggunakan data numerik untuk menghasilkan diagram atau grafikContoh: Statistica, SPSS, Systat, Statgraphics, Minitab, dll

SPREAD SHEET ? PAKET PROGRAM STATISTIK ?


SPREAD SHEET ? PAKET PROGRAM STATISTIK ?


1/27/2011

9

FTUI @2011FTUI @2011

Tujuan PembelajaranTujuan PembelajaranMenjelaskan bagaimana mengumpulkan dan mengorganisasi data mentah ke dalam suatu susunan dan bagaimana membuat dan menginterpretasikan sebuah distribusi frekuensi Menyajikan data secara grafis dalam bentuk histogram, poligon frekuensi, diagram batang, g , p g , g g,diagram garis, pie charts, piktogram, dllMenghitung ukuran-ukuran pemusatan dan penyebaran


Pengumpulan, Pengorganisasian, danPenyajian DataDistribusi Frekuensi dan Presentasi Grafik Ukuran PemusatanUkuran Pemusatan Ukuran Penyebaran

PengumpulanPengumpulan, Pengorganisasian, dan , Pengorganisasian, dan Penyajian DataPenyajian Data

Pengumpulan data

1/27/2011

10


Pengorganisasian dataData Mentah (Raw data)

Data terkumpul yang belum diorganisasikan secara numerikTidak memberi banyak arti bagi yang membaca terlebih lagi untuk dapat menyimpulkan informasi apa yang bisa diperolehdiperoleh

Jajaran Data (Data Array) Sebuah jajaran data merupakan susunan dari data mentah

menurut urutan besar nilai numeriknya secara:menaik (ascending) dari nilai yang terkecil

sampai terbesar menurun (descending) dari yang terbesar

sampai terkecil


Contoh :Data mentah jika dibuat disusun menjadi jajaran data dengan urutan menaik

(ascending) adalah sebagai berikut:

923 1051 1090 1141 1162 1196 1225 1264 1302 1368

924 1051 1094 1146 1163 1197 1231 1270 1303 1393

931 1055 1095 1146 1170 1200 1233 1273 1312 1399

939 1055 1106 1150 1171 1205 1233 1273 1314 1406

1020 1058 1110 1152 1175 1208 1235 1274 1316 1416

1021 1062 1124 1152 1181 1209 1246 1275 1327 1437

1028 1065 1133 1156 1185 1216 1249 1285 1333 1449

1040 1077 1136 1158 1185 1217 1250 1289 1338 1464

1042 1081 1141 1160 1186 1218 1254 1290 1341 1482

1042 1083 1141 1161 1192 1218 1258 1298 1361 1492


Penyajian data Tabel-tabel dan diagram statistik digunakan untuk menyajikan data yang sudah teringkas,

i k kmenyingkapkan hubungan-hubungan antar variabel, dan mengkomunikasikan fakta-fakta angka kepada pihak yang membutuhkannya

Distribusi FrekuensiDistribusi FrekuensiDistribusi frekuensi

Susunan data yang terbentuk dengan mengelompokkan jajaran data ke dalam kelas-kelas/kategori-kategori yang jumlahnya relatif tidak banyak, dan kemudian menentukan jumlah data yang termasuk dalam masing-masing kelas (frekuensi kelas)Jika frekuensi kelas dinyatakan dalam prosentase terhadap banyaknya seluruh data, maka disebut distribusi frekuensi relatif.

Breaking Stress (kN/m2)

Jumlah Spesimen

(f)

Prosentase[f/n x 100(%)]

900 - 9991000 - 10991100 - 11991200 - 12991300 - 13991400 - 1499

4192928137

4192928137

Total (n) 100 100 %

Interval Kelas (Class Interval) dan Batas Kelas (Class Limit)Batas Nyata Kelas (Class Boundary)Lebar Interval Kelas (Width of Interval Class) Nilai Tengah Kelas (Class Midpoint/Class Mark)

1/27/2011

11

Distribusi FrekuensiDistribusi FrekuensiPertimbangan penyusunan distribusi frekuensi

Interval kelas :seluruh data (terkecil s/d terbesar ) terikut-sertakansetiap unit data hanya dimasukkan sekali dan hanya pada satu kelas interval

Jumlah interval kelas (k) antara 5 sampai 20Lebar setiap interval kelas (c) samap ( )Rumus empiris:- data sedikit:

- data banyak:Kelas terbuka (open class interval) dihindari Nilai tengah kelasnya (midpoint) bersesuaian dengan nilai dimana data aktual terkonsentrasi

Rck

=

1 3,33logk n= +

R rangen jumlah data

==

Presentasi GrafikPresentasi Grafik

Histogram grafik batang (bar graph) yang menggambarkan distribusi data dari sebuah distribusi frekuensiKarakteristik Histogram:

dasarnya pada sumbu horizontal (sumbu-x) mempunyai panjang sama dengan lebar interval k lkelas luasnya proporsional terhadap frekuensi interval kelas yang bersangkutan:

jika interval kelas memiliki lebar yang sama, maka ketinggian batang proporsional terhadap frekuensi interval kelas jika ada interval kelas yang lebarnya tidak sama maka ketinggiannya harus disesuaikan


Contoh Histogram Dengan Interval Sama

30Pengujian Tegangan Rusak(Breaking stress) Logam X

Distribusi frekuensi dari tegangan rusak pada contoh sebelumnya memilikiinterval kelas yang sama lebarnya. Maka histogramnya dapat digambarkansebagai berikut:

25

20

15

10

5

Jum

lah

spes

imen

(f)


900 1000 1100 1200 1300 1400 1500


Frekuensi(f)

900 - 9991000 - 10991100 - 11991200 - 12991300 - 13991400 - 1499

4192928137

Total 100


Contoh Histogram Dengan Interval Tidak SamaSuatu distribusi frekuensi dari waktu diam pabrik perbulan sejumlah 70buah mesin produksi suatu seperti yang ditunjukkan dalam tabel di bawah

25

Pengujian Tegangan Rusak(Breaking stress) Logam X

Waktu diam (jam) (f)

20

15

10

5

Waktu Diam (jam)

50 60 70 80 90 100 120 180

Waktu diam (jam) (f)

50-5960-6970-7980-8990-99

100-119120-179

81016151083

Total 70

1/27/2011

12


Poligon Frekuensigrafik garis dari frekuensi interval kelas yang diplot pada nilai tengah-nilai tengahnyaPoligon bisa didapat dengan menghubungkan titik tengah dari sisi atas batang-batang histogram

3030

25

20

15

10

5

Jumlahspesimen(f)


900 1000 1100 1200 1300 1400 1500

Poligon frekuensi


Distribusi Frekuensi KumulatifDFK kurang dari, disusun dengan menjumlahkan seluruhfrekuensi dari semua nilai yang kurang dari batas atas nyatainterval kelas (upper class boundary)DFK lebih dari, disusun dengan menjumlahkan seluruhfrekuensi dari semua nilai yang lebih dari atau sama denganbatas bawah nyata interval kelas (lower class boundary)batas bawah nyata interval kelas (lower class boundary)distribusi frekuensi kumulatif direpresentasikan dalamgrafik yang disebut ogiveJika banyaknya data dalam distribusi tersebut dinyatakandalam prosentase terhadap banyaknya seluruh data disebutdistribusi frekuensi kumulatif relatif


Contoh Distribusi Frekuensi Kumulatif

100

80

tif(f c)

Pengujian Tegangan Rusak(Breaking stress) Logam X


Jumlah(fc)

60

40

20Jum

lah

kum

ulat


899,5 999,5 1099,5 1199,5 1299,5 1399,5 1499,5

< 899,5< 999,5<1099,5<1199,5< 1299,5< 1399,5< 1499,5

04

23528093

100


Kurva Frekuensi

1/27/2011

13

Ukuran PemusatanUkuran Pemusatan

Ukuran Pemusatan (Central Tendency)Data sering menunjukkan kecenderungan berkumpul di sekitar suatu nilai pusat

data tak terkelompok (ungrouped data)data terkelompok (grouped data)

Dalam rumusannya juga dibedakan antara ukuran yang menunjukkan karakteristik populasi (parameter) maupun menunjukkan karakteristik populasi (parameter) maupun sampel (statistik)


Rata-rata (Average)1. Mean Aritmatika

1 (untuk suatu sampel)

n

ii

xx

n==∑

a. Data Tak Terkelompok

1 (untuk suatu populasi)

N

ii

X

n

x

Nμ ==

∑

dimana: = mean aritmatika dari suatu sampel= mean aritmatika dari suatu populasi

xi = nilai dari data (variabel x)n = banyaknya data x dalam suatu sampel

N = banyaknya data x dalam suatu populasi

xXμ


Rata-rata (Average)1. Mean Aritmatikab. Data Terkelompok

, ,1 1

1

(untuk suatu sam pel)

k k

i m i i m ii i

k

ii

f x f xx

nf

= == =∑ ∑

∑1

, ,1 1

1

(untuk suatu populasi)

i

K K

i m i i m ii i

X K

ii

f x f x

Nfμ

=

= =

=

= =∑ ∑

∑

dimana: = mean aritmatika dari suatu sampel= mean aritmatika dari suatu populasi= frekuensi atau jumlah pengamatan dalam sebuah interval kelas= nilai tengah dari interval kelas

k = jumlah interval kelas dalam suatu sampelK = jumlah interval kelas dalam suatu populasin = banyaknya data x dalam suatu sampelN = banyaknya data x dalam suatu populasi

x

Xμif

,m ix


Contoh 2.3:Mean aritmatika dari data sampel tegangan rusak yang terdiri dari 100 data yang belum terkelompokkan adalah:

100

1 1 1171 1186 1264 ... 1090 1198,5100 100

n

i ii i

x xx

n= = + + + +

= = = =∑ ∑

Contoh 2.4:Mean aritmatika dari data sampel tegangan rusak yang terdiri dari 100 data yang sudah terkelompokkan adalah:

6

, ,1 1

6

1 1

(4)(949,5) (19)(1049,5) ... (7)(1449,5) 1197,54 19 ... 7

k

i m i i m ii i

k

i ii i

f x f xx

f f

= =

= =

+ + += = = =

+ + +

∑ ∑

∑ ∑

1/27/2011

14


Rata-rata (Average)2. Mean Aritmatika Terbobot

Pemberian suatu pembobotan terhadap suatu nilai untuk menunjukkan signifikansi atau kepentingan/keutamaan relatif dari nilai tersebutMean aritmatika yang diperoleh dari nilai yang diberi Mean aritmatika yang diperoleh dari nilai yang diberi pembobotan itu disebut mean aritmatika terbobot

1

1

n

i ii

w n

ii

w xx

w

=

=

=∑

∑

= mean aritmatika terbobotwi = faktor pembobotan

wx


Contoh 2.5:Jika dalam suatu nilai akhir mata kuliah statistik nilai ujian akhir berbobot 3 kali daripada ujian tengah semester dan tugas, maka seorang mahasiswa yang memperoleh nilai ujian akhir 85 dan ujian tengah semester 70 dan tugas 90 akan memperoleh nilai:

1

1

(3)(85) (1)(70) 1(90) 415 833 1 1 5

n

i ii

w n

ii

w xx

w

=

=

+ += = = =

+ +

∑

∑

Ukuran PemusatanUkuran PemusatanMedian

Posisi tengah dari nilai data terjajar (data array)Nilai dari absis-x yang bertepatan dengan garis vertikal yang membagi sebuah histogram (atau daerah dibawah poligon) menjadi dua daerah yang luasnya sama

a. Data Tak TerkelompokNilai tengah atau mean aritmatika dari dua nilai tengah suatu jajaran data (array)

b. Data Terkelompok (Prinsip Interpolasi)

( )2

l

lmedian

n fMedian x L c

f

⎛ ⎞−⎜ ⎟= = + ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑%

Ll = batas nyata kelas bawah dari kelas median (kelas yang memuat median)n = banyaknya data (jumlah seluruh frekuensi)

= jumlah frekuensi seluruh kelas yang lebih rendah dari kelas medianfmedian = frekuensi kelas median

c = lebar interval kelas median

( )lf∑


Contoh 2.5:Median dari jajaran data sampel tegangan rusak yang terdiri dari 100 data yang belum terkelompokkan adalah nilai tengahdata ke-50 dan ke-51:

1192 1196 11942

Median x += = =%

Contoh 2.6:Median dari data sampel tegangan rusak yang terdiri dari 100 data yang sudah terkelompokkan adalah:

100( ) 232 21099,5 100 1192,6

29

l

lmedian

n fMedian x L c

f

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑%

1/27/2011

15

Ukuran PemusatanUkuran PemusatanModus

Nilai yang paling sering muncul atau yang frekuensinya terbesar. Dalam suatu kumpulan nilai dataModus ini mungkin ada mungkin juga tidak, dan kalaupun ada tidak selalu unik (tunggal)

a. Data Tak TerkelompokNilai data yang paling sering muncul (frekuensinya palingNilai data yang paling sering muncul (frekuensinya paling besar)

b. Data Terkelompok (Prinsip Interpolasi)

Ll = batas nyata kelas bawah dari kelas modus (kelas yang frekuensinya terbesar)Δ1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnyaΔ2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnyac = lebar interval kelas median

1

1 2

ˆ lModus x L c⎛ ⎞Δ

= = + ⎜ ⎟Δ + Δ⎝ ⎠


Contoh 2.7:Modus dari jajaran data sampel tegangan rusak yang terdiri dari 100 data yang belum terkelompokkan adalah nilai tengahdata ke-50 dan ke-51:

1141 (frekuensi = 3)Modus =

Contoh 2.8:Median dari data sampel tegangan rusak yang terdiri dari 100 data yang sudah terkelompokkan adalah:

1

1 2

10ˆ 1099,5 100 1190,410 1lModus x L c

⎛ ⎞Δ ⎛ ⎞= = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ + Δ +⎝ ⎠⎝ ⎠

Ukuran PemusatanUkuran PemusatanKuantil: kuartil, desil dan persentil

Nilai-nilai yang membagi menjadi bagian-bagian yang sama suatu jajaran data (data array)

Menjadi dua bagian medianMenjadi empat bagian kuartil (Q1 , Q2 , Q3)Menjadi sepuluh bagian desil (D1 , D2 , D3 , … D9)Menjadi seratus bagian persentil (P1 , P2 , P , … P99)

Dengan pengertian di atas, maka: median = Q2 = D5 = P50

a. Data Tak Terkelompok Prinsip menentukan median

b. Data Terkelompok Prinsip Interpolasi

Ll,i = batas nyata kelas bawah dari kelas kuantil ke-i r = konstanta (untuk kuartil r = 4, desil r = 10, persentil r= 100)

= jumlah frekuensi seluruh kelas yang lebih rendah dari kelas kuantil ke-ifkuantil,i = frekuensi kelas kuantil ke-i

c = lebar interval kelas median

( )lf∑,

,,

( )l i

i l ikuantil i

i n frK L c

f

⎛ ⎞⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑


Contoh 2.9:Beberapa kuantil dari data pada sampel yang terdiri dari 100 data yang telah terkelompokkan adalah sebagai berikut:

,1

1 ,1,1

1 100( ) 234 21099,5 100 1192,6

29

l

lkuartil

n fQ L c

f

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

,7

7 1,7

7 100( ) 2310 21099,5 100 1192,6

29

l

desil

n fD L c

f

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

1/27/2011

16

Ukuran PenyebaranUkuran Penyebaran

Ukuran Penyebaran (Dispersion)Ukuran penyebaran (dispersion) menunjukkan seberapa jauh data menyebar dari nilai rata-ratanya (variabilitas data) Alasan pentingnya meninjau ukuran penyebaran suatu kumpulan nilai data:

Penilaian mengenai seberapa baik suatu nilai rata-rata (ukuran pemusatan) menggambarkan data (ukuran pemusatan) menggambarkan data Agar langkah-langkah untuk mengendalikan variasi yang ada dapat dilakukan


Jangkauan/kisaran (range)

max minR x x= −

Jangkauan/kisaran (range) Persentil 10-90

10 90 90 10PR P P−

= −

Simpangan Kuartil

3 1

2dQ QQ −

=


Simpangan mutlak rata-rata (mean deviation)

1

n

ii

x

x xMean Deviation MD

n=

−= =

∑


b. Data Terkelompok

, ,1 1

1

k k

i m i i m ii i

x k

ii

f x x f x xMean Deviation MD

nf

= =

=

− −= = =

∑ ∑

∑

b. Data Terkelompok

MDx = Simpangan mutlak rata-rata = mean aritmatika dari suatu sampel )

fi = frekuensi atau jumlah pengamatan dalam sebuah interval kelas = nilai tengah dari interval kelas

k = jumlah interval kelas dalam suatu sampel n = banyaknya data x dalam suatu sampel

x

,m ix


Contoh 2.10:Simpangan mutlak rata-rata dari jajaran data pada sampel yang terdiri dari 100 data belum terkelompokkan dengan rata-rata

adalah:

1

n

ii

x

x xMD

n=

−=

∑1198,5x =

923 1198,5 924 1198,5 ... 1482 1198,5 1492 1198,5 98, 4

100− + − + + − + −

= =

1/27/2011

17


Contoh 2.11:Simpangan mutlak rata-rata dari jajaran data pada sampel yang terdiri dari 100 data telah terkelompokkan dengan rata-rata

adalah:1197,5x =

Breaking Stress (x) (fi) xm,i ,m ix x−,i m if x x−

∑

900 - 9991000 - 10991100 - 11991200 - 12991300 - 13991400 - 1499

4192928137

949,51049,51149,51249,51349,51449,5

2481484852

152252

99228121392145619761764

100 10392

,1

1

10392 103,92100

k

i m ii

x k

ii

f x xMD

f

=

=

−= = =

∑

∑


Deviasi standard/simpangan baku


( )

( )

22 2

1 11

2 2

211

= (sampel)1 ( 1)

= (populasi)

n nn

i iii ii

x

NN

ii xii

x x

n x xx xs

n n n

xx

N N

μσ μ

= ==

==

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

− −

⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠= −

∑ ∑∑

∑∑

b. Data Terkelompok

N N

( )

( )

22 2

, ,,1 11

2 2,,

211

= (sampel)1 ( 1)

= (populasi)

k kk

i m i i m ii m ii ii

x

KK

i m ii m i xii

x x

n f x f xf x xs

n n n

f xf x

N N

μσ μ

= ==

==

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

− −

⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠= −

∑ ∑∑

∑∑


Contoh 2.12:Deviasi standard dari jajaran data pada sampel yang terdiri dari 100 data belum terkelompokkan dengan rata-rata

adalah:1198,5x =

( )2

1

1

n

ii

x

x xs

n=

−=

−

∑

2 2 2 2(923 1198,5) (924 1198,5) ... (1482 1198,5) (1492 1198,5) 100 1

1540469 124,799

− + − + + − + −=

−

= =


Contoh 2.13:Standard deviasi dari jajaran data pada sampel yang terdiri dari 100 data telah terkelompokkan dengan rata-rata

adalah:1197,5x =

( )2,m ix x− ( )2

,i m if x x−Breaking Stress

(x) (fi) xm,i

∑

900 - 9991000 - 10991100 - 11991200 - 12991300 - 13991400 – 1499

4192928137

949,51049,51149,51249,51349,51449,5

615402190423042704

2310463504

2460164161766681675712

300352444528

100 1549600

( )2,

1 1549600 125,11 100 1

k

i m ii

x

f x xs

n=

−= = =

− −

∑

1/27/2011

18


Varians

Varians merupakan kuadrat dari deviasi standard, sehingga untuk sampel dinyatakan sebagai dan untuk populasi sebagai .

2xs

2xσ

Koefisien Variasi

Penyebaran mutlakPenyebaran relatifnilai rata rata

=−

: (sampel)

(populasi)

xx

xx

x

sKoefisien Variasi Vx

συμ

=

=

MomentMoment

Moment

a. Data Tak TerkelompokJika x1, x2, …, xn adalah n buah nilai variabel x, maka dapat didefinisikan kuantitas : - moment ke-r :

1 2 1...n

rr r r i

r n ixx x xx

n n=+ + +

= =∑

- momen ke-r simpangan terhadap mean

- momen ke-r simpangan terhadap sembarang

( )1

,

n ri

ir x

x xm

n=

−=

∑

( )1

,

n ri

ir x

x Am

n=

−′ =

∑

MomentMoment

Moment

b. Data Terkelompok- momen ke-r simpangan terhadap sembarang

, ,1 ,1 2 ,2 , 1 1

1 2

......

k kr r

r r r i m i i m im m k m kr i i

kk

f x f xf x f x f xx

f f f nf

= =+ + += = =

+ + +

∑ ∑

∑

( ) ( )

( ) ( )

1 2

1

, ,1 1

,

1

, ,1 1

,

1

ki

ik kr r

i m i i m ii i

r x k

ii

k kr ri m i i m i

i ir x k

ii

f f f f

f x x f x xm

nf

f x A f x Am

nf

=

= =

=

= =

=

− −= =

− −′ = =

∑

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑

MomentMoment

Moment

Hubungan Antar Moment2

2, 2, 1,

33, 3, 1, 2, 1,

2 4

3 2

x x x

x x x x x

m m m

m m m m m

′ ′= −

′ ′ ′ ′= − +

Moment Dalam Bentuk Tidak Berdimensi

2 44, 4, 1, 3, 1, 2, 1,

1,

4 6 3

Perlu dicatat bahwa

x x x x x x x

x

m m m m m m m

m x A

′ ′ ′ ′ ′ ′= − + −

′ = −

( ) ( ), , ,

,

2,2,

r x r x r xr x rr r

xx

m m ma

s mm= = =

1/27/2011

19

Skewness (Kemencengan)Skewness (Kemencengan)

Skewness

Derajat ketidak simetrisan, atau penyimpangan dari kesimetrisan suatu distribusi

menceng ke kanan atau kemencengan positif (positive skewnes) menceng ke ke kiri atau kemencengan negatif (negative g g g gskewness)


Koefisien Skewness

Terdapat beberapa koefisien yang bisa dijadikan koefisien kemencengan (skewness factor/coefficient)

,ˆ

f xx xS

s−

= 3 2 2 1 3 2 1,

3 1 3 1

( ) ( ) 2f Qd

Q Q Q Q Q Q QSQ Q Q Q

− − − − += =

− −

( ),

3f x

x xS

s−

=%

10 90

90 50 50 10 90 50 10,

90 10 90 10

( ) ( ) 2f p

P P P P P P PSP P P P−

− − − − += =

− −

Dalam kebanyakan aplikasi teknik

( )3, 3, 3,

3, 33 32,2,

x x xx

xx

m m mSkewness factor a

s mm= = = =

Kurtosis (Keruncingan)Kurtosis (Keruncingan)

Kurtosis

Derajat keruncingan (peakedness) atau keceperan (flatness) dari suatu distribusi relatif terhadap distribusi normal

puncak relatif tinggi disebut kurva leptokurtikpuncaknya ceper/rata (flat-topped) disebut platykurtictidak terlalu runcing atau terlalu ceper disebut kurva g pmesokurtic


Koefisien Kurtosis

Sebuah ukuran kurtosis menggunakan momen simpangan terhadap mean keempat dalam bentuk tidak berdimensi

Untuk suatu distribusi normal, b2,x = a4,x = 3

Ukuran lainnya

( )3 1

90 10 90 10

12d

Q QQP P P P

κ−

= =− −

Dengan alasan ini kurtosis kadang-kadang didefinisikan dengan (b2,x – 3) yang nilainya:

positif untuk distribusi leptokurtic negatif untuk distribusi platykurtic snol untuk distribusi normal (gaussian)

1/27/2011

20

TujuanTujuan PembelajaranPembelajaranTujuan Pembelajaran

Mendefinisikan terminologi-terminologi penting dalamprobabilitas dan menjelaskan bagaimana probabilitaskejadian sederhanaMemahami dan menjelaskan konsep-konsep kejadian-kejadian bersyarat, bebas dan mutually exclusiveMenggunakan analisis kombinatorial untuk kejadian-kejadian kompleks


Konsep probabilitasProbabilitas dari kejadianAturan-aturan probabilitas

Konsep dan DefinisiKonsep dan Definisi

Eksperimen Probabilitas, Ruang Sampel dan Peristiwa

Eksperimen probabilitas hasil/keluaran (outcome), tanggapan (response)tanggapan (response) ukuran (measurement)

Seluruhnya ruang sampel (sample space)Sebagian Peristiwa/kejadian (event) Diagram venn

1/27/2011

21

Konsep dan DefinisiKonsep dan DefinisiContoh :Eksperimen probabilitas:- mengambil sehelai kartu dari satu set kartu bridgeRuang sampel:- Seluruh jenis kartu yang berjumlah 52 lembarPeristiwa: - Misal peristiwa A adalah terambilnya sebuah kartu hati (H),maka peristiwa A dapat dinyatakan sebagai A = {2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H, 8H, 9H, 10H, JH, QH, KH, AsH}

Teknik Mesin Teknik Mesin –– FTUI FTUI ©© Dr. Ir. Harinaldi, M.EngDr. Ir. Harinaldi, M.EngDiagram Venn

S

A


Teknik Mesin Teknik Mesin –– FTUI FTUI ©© Dr. Ir. Harinaldi, M.EngDr. Ir. Harinaldi, M.Eng

Konsep dan DefinisiKonsep dan DefinisiDefinisi ProbabilitasBilangan antara 0 dan 1 yang berkaitan dengan suatu peristiwa (even) tertentu

Peristiwa pasti terjadi probabilitas =1 Peristiwa mustahil terjadi probabilitas =0

Definisi Klasik :Jika sebuah peristiwa A dapat terjadi dengan fAcara dari sejumlah total N cara yang mungkin


j y g gterjadi, maka:- probabilitas P(A) dari terjadinya peristiwa A:

- probabilitas tidak terjadinya peristiwa A

( ) AfP AN

=

( ) ( ) (~ ) 1 1 ( )A AN f fP A P A P A P AN N−

= = = = − = −%


Contoh :Definisi klasik cocok digunakan misalnya pada permainan tembakan/undian (games of chance). Misalnya dalam satu set kartu ) ybridge yang terdiri dari 52 kartu terdapat 4 buah kartu As, maka probabilitas pengambilan satu kartu mendapatkan kartu As adalah: P(As) = 4/52 = 1/13 = 0,077

1/27/2011

22


Definisi Frekuesi Relatif :Sebuah eksperimen dilakukan sebanyak N kali dan kejadian A terjadi sebanyak fA kali. Jika N mendekati tak terhingga maka limit dari frekuensi


relatif fA/N didefinisikan sebagai probabilitas kejadian A atau P(A)

( ) lim A

N

fP AN→∞

=

Konsep dan DefinisiKonsep dan DefinisiDefinisi Subyektif (Intuitif) :Dalam hal ini, probabilitas P(A) dari terjadinya peristiwa A adalah sebuah ukuran dari “derajat keyakinan” yang dimiliki seseorang terhadap terjadinya peristiwa Aj y p

Probabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Peristiwa MajemukDefinisi

Peristiwa majemuk (compound event) adalah peristiwa yang merupakan gabungan/kombinasi dua atau lebih peristiwa sederhana (simple event) Terdapat tiga jenis peristiwa majemuk antara


Terdapat tiga jenis peristiwa majemuk antara peristiwa A dan peristiwa B :

Peristiwa A terjadi dengan syarat peristiwa Btelah terjadi Notasi : P(A|B) Keduanya sama-sama terjadi

Notasi : P(A dan B) atau P(A ∩B) Salah satu peristiwa terjadi

Notasi : P(A atau B) atau P(A ∪B)

Probabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Bersyarat

Peristiwa A terjadi dengan syarat peristiwa B telahterjadiDengan telah terlebih dahulu peristiwa B terjadi, makaterjadi perubahan (pengurangan) pada ruang sampelyang perlu dipertimbangkan untuk menentukanprobabilitas peristiwa Aprobabilitas peristiwa A.

AB

BA B

( )( | ) ( ) 0( )

P A BP A B P BP B

∩= ≠

1/27/2011

23

Probabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Peristiwa Majemuk Probabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Peristiwa Majemuk

Probabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Peristiwa Majemuk

Peristiwa Saling Bebas (independent events) dan Saling Terikat (dependent)

Dua peristiwa A dan B saling bebas (independent) apabila terjadinya/tidak terjadinya peristiwa Atidak mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa Bperistiwa BSebaliknya, jika terjadinya peristiwa Amempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa Bdisebut peristiwa saling terikat (dependent)Jika peristiwa A dan B saling bebas, maka berlaku:

( | ) ( ) dan juga ( | ) ( )P A B P A P B A P B= =


Peristiwa Mutually Exclusive (Saling Meniadakan)

Peristiwa A dan B adalah mutually exclusive jika A dan B tidak dapat terjadi secara bersamaanSebaliknya, jika peristiwa A dan B dapat terjadi secara bersamaan dalam sebuah eksperimensecara bersamaan dalam sebuah eksperimen probabilitas, maka A dan B tidak mutually exclusiveJika peristiwa A dan B mutually exclusive , maka berlaku:( dan ) ( ) 0 artinya juga ( | ) 0P A B P A B P A B= ∩ = =

1/27/2011

24


Peristiwa Mutually Exclusive (Saling Meniadakan) Diagram venn dari peristiwa mutually exclusive dan tidak mutually exclusive

AB

AB

Probabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Peristiwa MajemukHukum-hukum Probabilitas Peristiwa MajemukHukum Perkalian-Peristiwa Saling BebasJika A,B,C, ... adalah peristiwa-peristiwa yang saling bebas (independent events), maka probabilitas bahwa seluruh peristiwa itu terjadi (joint probability) P(ABC ...), adalah perkalian dari probabilitas masing-masing peristiwa



Probabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Peristiwa MajemukHukum-hukum Probabilitas Peristiwa MajemukHukum Perkalian-Peristiwa Saling Terikat Untuk dua peristiwa A dan B yang saling terikat (tidak saling bebas):

( dan ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A B P A B P A P B A P B P A B= ∩ = × = ×

1/27/2011

25

Probabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Peristiwa Majemuk Probabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Peristiwa MajemukHukum-hukum Probabilitas Peristiwa MajemukHukum PenjumlahanProbabilitas peristiwa A atau peristiwa B atau kedua-duanya sama-sama terjadi ditunjukkan oleh hukum penjumlahan menyatakan:

( atau ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A B P A P B P A B= ∪ = + − ∩

Perluasan (Continued Reapplication) :

( atau atau ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P A B C P A B CP A P B P C

P A B P A C P B CP A B C

= ∪ ∪= + +

− ∩ − ∩ − ∩+ ∩ ∩




Formulasi Bayes Perluasan dari probabilitas bersyarat dan hukum perkalian (multiplication)

terdapat sekelompok peristiwa B1, B2, ..., Bnmutually exclusiveexhaustive secara keseluruhan membentuk ruang


exhaustive secara keseluruhan membentuk ruang sampelSebuah peristiwa lain A didefinisikan pada ruang sampel yang sama

Maka probabilitas peristiwa A didapat dengan menjumlah-kan probabilitas P(A ∩ Bi) untuk seluruh harga i

1 1( ) ( ) ( ) ( | )

n n

i i ii i

P A P A B P B P A B= =

= ∩ = ×∑ ∑

1/27/2011

26

Probabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Peristiwa Majemuk Probabilitas Peristiwa MajemukProbabilitas Peristiwa MajemukFormulasi Bayes

Sebaliknya jika peristiwa A telah terjadiProbablitias masing-masing peristiwa Bi juga terjadi dapat ditentukan dengan Formulasi Bayes:

( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )( | )( ) ( ) ( | ) ( )

i i i i ii n n

P B A P B P A B P B P A BP B AP A P B P A B P B A

∩= = =

∑ ∑


1 1

( ) ( ) ( | ) ( )i i ii i

P A P B P A B P B A= =

∩∑ ∑

Contoh:Vendor I, II, III, dan IV menyediakan seluruh keperluan bantalan bush yang dibeli oleh perusahaan Sumber Teknik sebanyak masing-masing 25 %, 35 %, 10 % dan 30 %. Dari pengalaman selama ini diketahui bahwa vendor I, II, III, dan IV masing-masing mengirimkan 80 %, 95 %, 70 % dan 90 % bantalan bush yang baik (tanpa cacat). Maka probabilitas bahwa sebuah bantalan yang dipilih secara acak merupakan bantalan yang cacat dapat dihitung sebagai berikut. Misalkan A d l h i ti ilih b h b t l t


A adalah peristiwa pemilihan sebuah bantalan yang cacat, dan B1, B2, B3, dan B4, adalah peristiwa pemilihan bantalan dari vendor I, II, III, dan IV. Maka

4 4

1 1( ) ( ) ( ) ( | )

0, 25(0, 2) 0,35(0,05) 0,1(0,3) 0,3(0,1) 0,1275

i i ii i

P A P A B P B P A B= =

= ∩ = ×

= + + +=

∑ ∑

Kemudian jika terpilih sebuah bantalan cacat, maka probabilitas bantalan cacat itu berasal dari vendor III adalah

33

( ) 0,03( | ) 0, 2353( ) 0,1275

P B AP B AP A

∩= = =

1/27/2011

27

Teknik Enumerasi: Pohon Probabilitas Teknik Enumerasi: Pohon Probabilitas

Pohon Probabilitas Alat bantu grafis yang memudahkan dalam mengevaluasi probabilitas yang berkaitan dengan eksperimen yang terdiri dari beberapa tahap



Permutasi Suatu permutasi dari n obyek yang berbeda dan setiap kalinya dipilih sebanyak r obyek adalah suatu cara penyusunan r obyek dari n obyek tersebut dengan memperhatikan urutan susunannya Didefinisikan:

Teknik Enumerasi: Analisis Kombinatorial Teknik Enumerasi: Analisis Kombinatorial

dimana : n! = n(n-1)(n-2) ….(2)(1) dan 0! =1

1/27/2011

28

KombinasiSuatu kombinasi dari n obyek yang berbeda dan setiap kalinya dipilih sebanyak r obyek adalah suatu cara penyusunan r obyek dari n obyek tersebut tanpa memperhatikan urutan susunannyaDidefinisikan:

Teknik Enumerasi: Analisis Kombinatorial Teknik Enumerasi: Analisis Kombinatorial Teknik Enumerasi: Analisis Kombinatorial Teknik Enumerasi: Analisis Kombinatorial


Teknik Enumerasi: Analisis Kombinatorial Teknik Enumerasi: Analisis Kombinatorial


1/27/2011

29

Tujuan PembelajaranTujuan Pembelajaran Pokok BahasanPokok Bahasan

Variabel Acak Diskrit:

Variabel Acak (Random Variable)Variabel Acak (Random Variable)

Sebuah variabel acak X :variabel yang memiliki nilai numerik tunggal dari setiap outcome sebuah eksperimen probabilitas

nilai yang dapat dicacah (countable)

Variabel Acak Kontinu:diperoleh dari hasil pengukuran

Distribusi Probabilitas DiskritDistribusi Probabilitas Diskrit

Fungsi Probabilitas

• Seluruh keluaran yang mungkin dari sebuah eksperimen probabilitas dengan variabel diskrit X :X = {x1, x2, x3, …, xn}


• Nilai probabilitas yang berkaitan dengan keluaran tersebut adalah P(X=x1), P(X=x2), P(X=x3),…, P(X=xn)

• Sebaran nilai probabilitas ini membentuk sebuah distribusi probabilitas diskrit variabel X

P(X=xn) biasa dinotasikan juga dengan p(xn)P(X=xn) = p(xn) fungsi probabilitas

1/27/2011

30


Sifat Fungsi Probabilitas

1. Nilai-nilai sebuah fungsi probabilitas adalah angka-angka yang berada dalam interval antara 0 dan 1.

2. Jumlah seluruh nilai fungsi probabilitas adalah 1.

≤ ≤0 ( ) 1p x

g p

Distribusi Probabilitas DiskritDistribusi Probabilitas Diskrit≤ ≤0 ( ) 1p x


≤ ≤0 ( ) 1p x


Fungsi Distribusi Kumulatif


Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function/cdf ) yang didefinisikan sebagai:

ξξ

≤

= ≤ = ∑( ) ( ) ( )x

F x P X x p

1/27/2011

31

Teknik Mesin Teknik Mesin –– FTUI FTUI ©© Dr. Ir. Harinaldi, M.EngDr. Ir. Harinaldi, M.Eng Teknik Mesin Teknik Mesin –– FTUI FTUI ©© Dr. Ir. Harinaldi, M.EngDr. Ir. Harinaldi, M.Eng

Statistik Deskriptif Distribusi Statistik Deskriptif Distribusi Probabilitas DiskritProbabilitas Diskrit

Ukuran-ukuran statistik deskriptif untuk suatu distribusi probabilitas diskrit dapat ditentukan dengan prinsip-prinsip yang sudah dibahas pada bab statistik deskriptif

μ=

= ∑1

( )n

x i ii

x p x

σ μ=

= −∑2 2

1( ) ( )

n

x i x ii

x p x

Mean

Varians

1/27/2011

32

Distribusi Probabilitas KontinuDistribusi Probabilitas Kontinu

Fungsi Kepadatan Probabilitas

• Untuk variable acak kontinu• Kurva distribusi probabilitas diwakili oleh poligon

frekuensi relatif yang dimuluskanK i i d t di t k l h t f i k ti • Kurva ini dapat dinyatakan oleh suatu fungsi kontinu, misalnya f(x), yang disebut sebagai fungsi kepadatan probabilitas (probability density function/pdf)


≤ ≤ = ≤ ≤ = ∫( ) ( ) ( )b

aP a X b p a x b f x dx Luas di bawah kurva

Probabilitas bahwa X terletak antara a dan b


Sifat Fungsi Kepadatan Probabilitas

1. Fungsi kepadatan probabilitas (pdf) : f(x) ≥ 0 (non-negatif).

2. Luas total daerah dibawah kurva f(x) = 12. Luas total daerah dibawah kurva f(x) 1

Catatan :• Untuk variabel kontinu : P(X=c) = p(c) = 0


1/27/2011

33


Fungsi Distribusi Kumulatif


−∞= ≤ = ∫( ) ( ) ( )

xF x P X x f t dt

−∞ −∞≤ ≤ = − = −∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )

c bPb X c f t dt f t dt Fc Fb



1/27/2011

34

Statistik Deskriptif Distribusi Statistik Deskriptif Distribusi Probabilitas KontinuProbabilitas Kontinu

Ukuran-ukuran statistik deskriptif untuk suatu distribusi probabilitas diskritkontinu dapat ditentukan dengan prinsip-prinsip yang sudah dibahas sebelumnya

Mean

Varians

μ = ⋅∫ ( )x x f x dx

σ μ= −∫2 2( ) ( )x xx f x dx

Histogram ProbabilitasHistogram Probabilitas

Ketinggian sebuah batang histogram merupakan nilai fungsi kepadatan probabilitas untuk seluruh nilai variabel acak sepanjang interval yang diwakili batang tersebut Luas dari sebuah batang histogram merupakan nilai fungsi probabilitas dari variabel acak antara batas-batas g pkelasnya.

( ) ( ) lb ublb ub

ub lb

p x x xtinggi histogram h x x xx x

≤ ≤= ≤ ≤ =

−


1/27/2011

35

Distribusi Probabilitas Dengan Distribusi Probabilitas Dengan ParameterParameter

Distribusi probabilitas dengan fungsi probabilitas p(x) yang tergantung pada sebuah kuantitas yang dapat bernilai sembarang dimana setiap nilai yang berbeda dari kuantitas tersebut akan membentuk distribusi probabilitas yang b b d l k k tit t b t di b t b i berbeda pula, maka kuantitas tersebut disebut sebagai parameter distribusiKumpulan seluruh distribusi probabilitas yang terbentuk dengan berbagai nilai yang berbeda dari parameternya disebut sebuah keluarga distribusi probabilitas.Sebuah fungsi probabilitas p(x) yang memiliki parameter α dinotasikan secara matematik dengan p(x ; α).





1/27/2011

36

Nilai HarapanNilai Harapan(Harapan Matematik)(Harapan Matematik)

Jika X = { x1, x2, x3,…, xn} yang masing-masing mempunyai probabilitas p(x1), p(x2), p(x3),…, p(xn) dimana p(x1) + p(x2) + p(x3) +…,+ p(xn) = 1, maka nilai harapan/harapan matematik dari X yang dinyatakan sebagai E(X) didefinisikan sebagai:

=

= ∑1

( ) ( )n

i ii

E X x p x

= ⋅∫( ) ( )E X x f x dx

Variabel Diskrit

Variabel Kontinu

Mean value


Tujuan PembelajaranTujuan PembelajaranMenjelaskan pengertian distribusi binomial, mengidentifikasi eksperimen binomial dan menghitung probabilitas binomial, menghitung ukuran pemusatan dan penyebaran distribusi binomial Menjelaskan pengertian distribusi Poisson, mengidentifikasi eksperimen Poisson dan menghitung

b bili P i hi kprobabilitas Poisson, menghitung ukuran pemusatan dan penyebaran distribusi PoissonMengetahui adanya jenis-jenis distribusi probabilitas variabel acak diskrit lainnya Menjelaskan sifat-sifat suatu distribusi normal, menggunakan mean dan deviasi standard dari variabel acak kontinyu yang terdistribusi secara normal untuk mengubah nilai variabel acak menjadi skor standard

1/27/2011

37

Tujuan PembelajaranTujuan PembelajaranMenghitung probabilitas distribusi normal dan menjelaskan hubungannya dengan luas daerah di bahwa kurva probabilitas normal, Menentukan skor z dari persyaratan probabilitas yang ditentukan Mengetahui adanya jenis-jenis distribusi probabilitas variabel acak kontinyu lainnya


Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit - Distribusi Binomial- Distribusi PoissonDistribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu - Distribusi Gaussian (Normal)Distribusi Gaussian (Normal)

Eksperimen Binomial

Suatu distribusi binomial dapat digunakan dengan tepat dalam suatu eksperimen binomial Eskperimen Binomial:

Setiap percobaan/trial, hanya dapat menghasilkan satu dari dua hasil yang mungkin sukses atau gagal

Distribusi Probabilitas Variabel Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit Acak Diskrit –– Distribusi BinomialDistribusi Binomial

dari dua hasil yang mungkin, sukses atau gagalProbabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 - p selalu tetapdalam setiap percobaan (trial) Setiap percobaan/trial saling bebas secara statistik, yang berarti hasil suatu percobaan tidak berpengaruh pada hasil percobaan lainnya Jumlah percobaan n adalah konstanta yang telah ditentukan sebelumnya (dinyatakan sebelum eksperimen dimulai)


Contoh 4.1:Berikut ini adalah beberapa contoh eksperimen binomial:

Suatu kuis terdiri dari 5 soal pilihan ganda dengan empat buah jawaban alternatif, probabilitas banyaknya soal yang benar dijawab oleh seseorang adalah eksperimen binomial dengan p = 1/4, q = 3/4, n = 5 dan variabel acak diskrit adalah jumlah jawaban benar, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5Dalam suatu kajian tentang ketangguhan mesin suatu jenis mobil didapati bahwa 67 persennya memiliki jarak tempuh lebih dari 400 ribu kilometer sampai harus turun mesin (overhaul) yang pertama kalinya. Dua belas mobil jenis yang bersangkutan dipilih secara acak dan jarak tempuh rata-rata sampai turun mesin diperiksa. Eksperimen diatas adalah eksperimen binomial dengan p = 0,67, q = 0,33, n = 12 dan variabel acak diskrit adalah jumlah mobil yang dapat menempuh jarak lebih dari 400 ribu kilometer sebelum turun mesin pertama kali, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

1/27/2011

38

Probabilitas Binomial

Dalam sebuah eksperimen binomial dengan n percobaan (trial), dimana p adalah probabilitas sukses dan q = 1 – p adalah probabilitas gagal dalam sekali percobaan, maka probabilitas variabel acak X yakni banyaknya x sukses yang terjadi pada n percobaan tersebut dapat dihitung dengan :


terjadi pada n percobaan tersebut dapat dihitung dengan :

nCx = kombinasi dari n obyek yang setiap kali dipilih x obyek

( ) ( ) (1 )x n x x n xn x n xP X x p x C p q C p p− −= = = = −

Distribusi kumulatif dari probabilitas binomial :

0 0( ) (1 )

x xk n k k n k

n k n kk k

F x C p q C p p− −

= == = −∑ ∑


Contoh 4.2: Distribusi probabilitas pada contoh 4.1 mengenai suatu kuis terdiri dari 5 soal pilihan ganda dengan empat buah jawaban alternatif, yang merupakan suatu eksperimen binomial (p = 1/4, q = 3/4, n = 5 dan variabel acak diskrit (X) adalah jumlah jawaban benar), dapat ditentukan sebagai berikut:

( ) ( ) ( ) ( )5 50 0

5 05!3 31 1( 0) (0) 0,23734 4 4 40!5!

P X p C= = = = =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4 41 1

5 1

3 32 2

5 2

5!3 31 1( 1) (1) 0,39554 4 4 41!4!

5!3 31 1( 2) (2) 0, 26374 4 4 42!3!

P X p C

P X p C

= = = = =

= = = = =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 23 3

5 3

1 14 4

5 4

0 05 5

5 5

5!3 31 1( 3) (3) 0,08794 4 4 43!2!

5!3 31 1( 4) (4) 0,01464 4 4 44!1!

5!3 31 1( 5) (5) 0,00104 4 4 45!0!

P X p C

P X p C

P X p C

= = = = =

= = = = =

= = = = =

Ukuran Pemusatan dan Penyebaran

Mean Aritmatika(Nilai Harapan) :


( )x E X npμ = =

Varians danSt d d D i i

2 npq npqσ σ→Standard Deviasi :

Kemencengan(skewness) :

Keruncingan(kurtosis) :

x xnpq npqσ σ= → =

1 3 12 q p q p

np nq n npqβ α β −

= + − → = =

2 41 6 3pq

npqβ α −

= = +


Contoh 4.3: Pada distribusi probabilitas dalam contoh 4.1 mengenai suatu kajian tentang ketangguhan mesin suatu jenis mobil yang merupakan eksperimen binomial dengan p = 0,67, q = 0,33, n = 12, diperoleh :

( ) (12)(0,67) 8,04x E X npμ = = = =2 (12)(0,67)(0,33) 2,6532x npqσ = = =


2,6532 1,6289x npqσ = = =

12 0,33 0,67 2 1

(12)(0,67) (12)(0,33) 12q pnp nq n

β = + − = + − =

21 6 1 6(0,67)(0,33)3 3 2

(12)(0,67)(0,33)pq

npqβ − −

= + = + =

1/27/2011

39

Ilustrasi Distribusi Binomial di Bidang Teknik

Pemeriksaan elemen-elemen benda manufaktur Dalam kebanyakan kasus, pemeriksaan menggunakan dua kategori, rusak atau dapat diterima/dipakaiDiasumsikan elemen-elemen benda kerja berasal dari sebuah populasi yang:


sebuah populasi yang:memiliki persentase bagian baik dan buruk yang tetappersentase ini tetap sama pada waktu kita mengambil sampel untuk diuji

populasi yang cukup besar menggantikan setiap sampel yang terambil dengan yang lainnya yang memiliki karakteristik serupa selama kita melakukan pengambilan sampel

Ilustrasi Distribusi Binomial di Bidang Teknik

probabilitas mendapatkan x elemen baik dari batch sampel sejumlah n adalah:


( ) ( ) (1 )x n x x n xn x n xP X x p x C p q C p p− −= = = = −

p = probabilitas mendapatkan elemen yang baik = 0,25q = probabilitas mendapatkan elemen yang buruk = 1 – p = 0,75n = jumlah elemen dalam batch yang sedang diuji =10

Dalam praktek:nilai p yang sebenarnya tidak diketahui Perkirakan p berdasarkan data yang diperoleh dari jumlah sampel yang terbatasBatas-batas interval kepercayaan untuk p telah dikaji dan hasilnya telah dibuat dalam bentuk tabel-tabel (n < 30) dan grafik-grafik (n ≥ 30)


grafik grafik (n ≥ 30)

Eksperimen Poisson

Distribusi Poisson digunakan dalam mengamati jumlah kejadian-kejadian khusus yang terjadi dalam satu satuan waktu atau ruangSuatu distribusi Poisson dapat digunakan dengan tepat dalam suatu eksperimen Poisson :

Distribusi Probabilitas Variabel Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit Acak Diskrit –– Distribusi PoissonDistribusi Poisson

dalam suatu eksperimen Poisson :Eksperimen yang meliputi penghitungan/pencacahan banyaknya kali suatu peristiwa terjadi dalam suatu satuan waktu atau ruang yang ditentukan Probabilitas peristiwa tersebut adalah sama untuk setiap satuan waktu atau ruang Banyaknya peristiwa yang terjadi dalam suatu satuan waktu atau ruang saling bebas terhadap banyaknya peristiwa yang terjadi pada suatu satuan waktu atau ruang lainnya

1/27/2011

40


Contoh 4.4:Berikut ini adalah beberapa contoh eksperimen Poisson:

Banyaknya klaim asuransi kecelakaan mobil terhadap suatu perusahaan asuransi setiap tahunnya Banyaknya cacat pada permukaan sebuah panel lembaran logam yang digunakan dalam produksi suatu satelit ruang angkasa Banyaknya panggilan telepon yang masuk setiap menitnya pada kantor pelayanan darurat jalan tol jumlah yang rusak pada setiap 3000 meter pita pada jalur manufaktur pita magnetik

Probabilitas Poisson

Dalam sebuah eksperimen Poisson, probabilitas memperoleh dengan tepat peristiwa X sebanyak x kejadian setiap satu satuan waktu atau ruang (jam, menit, meter persegi, dll) dapat dihitung dengan rumus:


xe λλ −

λ = laju kejadian (rata-rata banyaknya kejadian dalam satusatuan waktu)

e = basis logaritma natural = 2,71828….

( ) ( )!

eP X x p xx

λ= = =


Contoh 4.5: Contoh yang mudah dijelaskan misalnya adalah pada peristiwa emisi dari partikel radioaktif yang dideteksi dengan sebuah Geiger counter. Partikel-partikel ini diemisikan dalam waktu yang acak. Namun, jika kita hitung jumlah emisi tersebut untuk waktu yang “lama”, maka laju rata-rata emisi m partikel-partikel perdetik dapat dihitung. Jika kemudian kita ingin memperkirakan probabilitas P(X=x) atau p(x) dapat menghitung secara tepat x partikel dalam selang satu detik fenomenamenghitung secara tepat x partikel dalam selang satu detik, fenomena ini menunjukkan sangat mendekati model matematika Poisson.

Sebagai contoh, jika m = 3 maka probabilitas dengan tepat 5 partikel perdetik adalah

( ) ( )!

x mm eP X x p xx

−

= = =

5 33 (243)(0,0498)( 5) (5) 0,10085! 120eP X p

−

= = = = =

Ukuran Pemusatan dan Penyebaran

Mean Aritmatika(Nilai Harapan) :


Varians danSt d d D i i

( )x E Xμ λ= =

2σ λ σ λ→Standard Deviasi :

Kemencengan(skewness) :

Keruncingan(kurtosis) :

x xσ λ σ λ= → =

1 3 11 1 β α βλ λ

= → = =

2 41 3β αλ

= = +

1/27/2011

41

Ilustrasi Distribusi Poisson di Bidang Teknik

Pengendali yang akan menghentikan proses saat terjadi cacat yang tidak normal (laju cacat tinggi), untuk mengurangi jumlah sisa tak terpakai (scrap)Misal cacat terjadi secara acak dan secara rata-rata terjadi 0 6 cacat untuk setiap 1000 meter produk


terjadi 0,6 cacat untuk setiap 1000 meter produk Kondisi syarat untuk menghentikan proses

Menghentikan proses ketika tidak terjadi kecacatan Tidak menghentikan proses ketika terjadi kecacatan

Keuntungan dan kerugian menggunakan sampel dengan ukuran tertentuUkuran sampel yang terbaik yang harus digunakan

Untuk kasus 1 atau lebih cacat, gunakan kurva berlabel x = 0:untuk proses normal, kita akan menemukan 1 atau lebih cacat adalah sekitar 46 persen dari keseluruhan waktuJika kriteria diubah menjadi 2, 3, dan 4 cacat atau lebih maka proporsinya akan menjadi berturut-turut 13, 3, 0,4 persen dari keseluruhan waktu


Distribusi Probabilitas Variabel Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit Acak Diskrit –– Distribusi LainDistribusi Lain

1/27/2011

42

Distribusi Probabilitas Variabel Distribusi Probabilitas Variabel Acak KontinyuAcak Kontinyu

Sifat-sifat histogram probabilitas variabel acak kontinyu:Luas daerah hc dari setiap batang adalah probabilitas mendapatkan varibel acak dalam kelas interval yang bersangkutan Jumlah seluruh luas daerah batang tersebut harus 1,00

Histogram Probabilitas

g ,(100 persen probabilitas bahwa variable didapatkan antara nilai terendah dan tertinggi)Probabilitas dari setiap batang adalah persentase dari nilai data yang berada di dalam kelas interval tersebut

probabilitas mendapatkan variabel acak dalam kelas intervallebar kelas interval,

hc

=


Histogram Probabilitas



Eksperimen hipotetis yang mempersyaratkan dua hal yaitu :Variabel acaknya (dalam contoh di atas adalah breaking stress) harus dapat diukur dengan ketelitian (resolusi) yang kecil tak hingga (infinitesimal), artinya nilai yang diukur memiliki jumlah angka penting yang tak terbatas j g p g y gSampel yang diuji jumlahnya juga tidak terbatas

Lebar kelas interval dapat kecil sekali (jumlah kelas interval semakin banyak), sehingga histogram yang berbentuk seperti tangga akan menjadi sebuah kurva yang mulusKurva ini adalah kurva sebuah fungsi f dari variabel x, f(x). Fungsi f(x) ini disebut fungsi kepadatan probabilitas (probability density function/PDF)Luas batang f(x)dx masih memiliki arti yang sama yakni probabilitas mendapatkan x dalam kelas interval dx



Jadi probabilitas mendapatkan x bernilai antara a dan badalah:

( | ) ( ) ( )b

a

P X a x b p a x b f x dx< < = < < = ∫

Jik dik t h i PDF d i b h i b l k f( ) kJika diketahui PDF dari sebuah variabel acak f(x), maka banyak perhitungan berguna yang dapat dilakukan:

( | ) ( ) ( )a

P X x a p x a f x dx−∞

< = < = ∫

( | ) ( ) ( )b

P X x b p x b f x dx∞

> = > = ∫

( | ) ( ) ( ) 1.0P X x p x f x dx∞

−∞

−∞ < < ∞ = −∞ < < ∞ = =∫

1/27/2011

43




Fungsi Kepadatan ProbabilitasUntuk setiap PDF f(x) terdapat sebuah fungsi terkait F(x) yang disebut fungsi distribusi kumulatif, yang didefinisikan sebagai:

Fungsi ini menyatakan probabilitas bahwa x kurang dari sebuah nilai tertentu:

∫∞−

=x

dxxfxF )()(

( ) ( )ax

ap x x f x dx−∞

−∞ < ≤ = ∫


Fungsi Kepadatan Probabilitas TeoritisKetika mencari fungsi-fungsi matematik yang bisa dipakai sebagai fungsi kepadatan probabilitas PDF, hanya ada beberapa kriteria dasar yang harus dipenuhi:

Fungsi f(x) yang ingin dijadikan PDF harus tidak negatif (non-negative function) Fungsi f(x) harus berupa kurva yang baik yang sesuai dengan data dalam praktek sebenarnya yang akan dikaji

Setiap fungsi yang memenuhi persyaratan tersebut adalah model matematik yang berguna dan potensial untuk menjadi fungsi kepadatan probabilitas.

0.1)( =∫∞

∞−

dxxf

Distribusi Probabilitas Variabel Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu Acak Kontinyu –– Distribusi GaussianDistribusi Gaussian

Fungsi Kepadatan Probabilitas GaussianDistribusi yang paling penting dan paling biasa digunakan sebagai model bagi data aktual distribusi normal

2

2( )(2 )1( )

2

x

x

x

f x e xμ

σ−

−

= − ∞ < < ∞2xσ π

Untuk setiap nilai σx dan μx :kurva fungsi simetris terhadap μxmemiliki total luas di bawah kurva tepat 1.0Nilai dari σx menentukan bentangan dari kurva sedangkan μx menentukan pusat (center)nyaKemencengannya (skewness) = α3 = β1 = 0keruncingannya (kurtosis) = α4 = β2 = 3

1/27/2011

44


Fungsi Kepadatan Probabilitas Gaussian


PDF Gaussian StandardKurva PDF gaussian yang khusus dengan nilai mean, μ = 0 dan deviasi standar, σ = 1Variabel acak dari PDF gaussian standard adalah satuan standard deviasi dan didefinisikan sebagai skor z (z score):

xx μ−

Dengan menggunakan variabel z fungsi PDF gaussian standardnya menjadi

Perhitungan probabilitas untuk distribusi gaussian apapun, dapat dipermudah dengan menggunakan tabel gaussian standard

xx

x

z μσ

=

2 / 21( )2

xzxf z e

π−=


PDF Gaussian Standard


1/27/2011

45


Contoh 4.6: Nilai tahanan yang pada sejenis rangkaian menunjukkan suatu distribusi gaussian dengan mean 100 ohm dan deviasi standard 5 ohm :Probabilitas nilai tahanan dari sebuah rangkaian jenis ini yang dipilih secara random yang lebih besar dari 110 ohm adalah: 110 100100, 5, 110 2

5x

x x xx

xx z μμ σσ− −

= = > → > = =

Probabilitas nilai tahanan dari sebuah rangkaian jenis ini yang dipilih secara random yang bernilai antara 96,72 ohm dan 101,17 ohm adalah:

( 100) ( 2) 1 ( 2) 1 0,97725 0,02275 2, 28%x xP x P z P z> = > = − ≤ = − = =

100, 5, 96,72 100 96,72 101,1796,72 101,17

5 5

0,656 0, 234

(96,72 101,17) ( 0,656 0, 234) 0,5925 0,2559 0,3366 33,66%

x x

x

x

x

x z

z

P x P z

μ σ= =− −

≤ ≤ → ≤ ≤ →

− ≤ ≤

≤ ≤ = − ≤ ≤= − = =


Contoh 4.6 (lanjutan): Nilai tahanan dari sebuah rangkaian jenis ini yang dipilih secara random yang probabilitasnya meliputi 99,43 % dari seluruh rangkaian:

( ) 99,43% 0,9943 2,53

100 (2 53)(5) 112 65

x x

xx x x x

x

P z a a z

xz x zμ μ σσ

≤ = = → = =

−= → = +

= + =

Jadi 99,43 % dari rangkaian memiliki nilai tahanan kurang dari 112,65 ohm.

100 (2,53)(5) 112,65= + =

Distribusi Probabilitas Variabel Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu Acak Kontinyu –– Distribusi LainnyaDistribusi Lainnya

1/27/2011

46


Tujuan PembelajaranTujuan PembelajaranMemahami perlunya suatu sampling (pengambilan sampel) serta keuntungan- keuntungan melakukannya Menjelaskan pengertian sampel acak untuk samplingtanpa pergantian untuk suatu populasi terhingga dan pengambilan sampel untuk populasi tak terhingga Menjelaskan langkah-langkah yang diperlukan untuk membentuk suatu distribusi sampling dari mean-mean p gsampel, menghitung mean dan deviasi standard dari distribusi sampling tersebutMenjelaskan langkah-langkah yang diperlukan untuk membentuk suatu distribusi sampling dari proporsi sampel, menghitung mean dan deviasi standard dari distribusi sampling tersebutMenghitung mean dan deviasi standard dari distribusi sampling yang merupakan perbedaan atau penjumlahan dari sampel-sampel yang berasal dari dua populasi


Pengertian dan Konsep Dasar Sampling Distribusi Sampling Dari Mean Distribusi Sampling Dari Proporsi Distribusi Sampling Dari Perbedaan dan PenjumlahanPenjumlahan

1/27/2011

47

Pengertian dan Konsep DasarPengertian dan Konsep DasarKebutuhan dan Keuntungan Sampling

Sampling yang baik:Hemat biaya dan waktuAkurat

Secara khusus teknik sampling berguna dalam :Estimasi parameter populasi yang tidak diketahuiEstimasi parameter populasi yang tidak diketahui berdasarkan informasi dari statistik sampelMenentukan apakah perbedaan pada dua sampel adalah benar-benar signifikan (berarti) atau karena kebetulan sifatnya

Pengertian dan Konsep DasarPengertian dan Konsep DasarSampling Acak (Random Sampling)

Suatu kesimpulan yang diambil berdasarkan sampel harus:

valid dapat dipercaya

Sampel dipilih sedemikian hingga mewakili populasiSampel dipilih sedemikian hingga mewakili populasi sampling acak

Populasi Terhingga dan Tak TerhinggaPopulasi terhingga (finite population): jumlah seluruh anggotanya tetap dan dapat didaftarPopulasi tak terhingga (infinite population) memiliki anggota yang banyaknya tak terhingga

Pengertian dan Konsep DasarPengertian dan Konsep Dasar

Contoh 5.1:

Jika kita memeriksa rata-rata harian banyaknya produk cacat di sebuah pabrik selama 12 bulan terakhir, maka populasi yang diperoleh adalah populasi terhingga yang meliputi produk cacat dari semua jalur produksi di b ik idi pabrik itu Jika kita mengukur kecepatan prosesor komputer yang dibuat oleh sebuah perusahaan tertentu maka populasi yang diperoleh adalah populasi tak terhingga, karena produk tersebut akan terus diproduksi dan dikembangkan di masa-masa mendatang

Pengertian dan Konsep DasarPengertian dan Konsep DasarSampling Dengan dan Tanpa Pergantian

Sampling dengan pergantian setiap anggota sebuah populasi bisa terpilih lebih dari sekali Sampling tanpa pergantian anggota populasi yang telah terpilih tidak bisa dipilih lagi

Contoh 5.2:Dalam memilih sebuah nomor yang mewakili komponen sebagai sampel dari sebuah batch produksi, kita bisa mengembalikan lagi atau tidak mengembalikan kembali nomor yang telah terpilih kedalam batch produksi. Dalam kasus pertama disebut sampling dengan pergantian sedangkan kasus yang kedua adalah sampling tanpa dengan pergantian

1/27/2011

48

Pengertian dan Konsep DasarPengertian dan Konsep DasarDistribusi Sampling

Dari sebuah populasi dibentuk seluruh kemungkinan sampel berukuran nDari masing-masing sampel:

dihitung sebuah statistik (misal mean, deviasi standard, dll.) yang nilainya tentu akan berbeda-beda K l il i t ti tik d i l i i b t kKumpulan nilai statistik dari sampel ini membentuk suatu distribusi

Distribusi ini dinamakan distribusi sampling. distribusi sampling dari mean sampel (sampling distribution of the mean)distribusi sampling dari deviasi standard, varians, median, proporsi, dll

Kemudian terhadap masing-masing jenis distribusi sampling inipun dapat dihitung nilai-nilai statistik deskriptifnya

Pengertian dan Konsep DasarPengertian dan Konsep DasarDistribusi Sampling


Contoh 5.3:Suatu populasi terdiri atas lima hasil pengukuran bernilai 2, 3, 6, 8, 11. Jika dari populasi ini hendak digunakan dua hasil pengukuran sebagai sampel, distribusi sampling dari mean sampel yang bisa dibentuk jika:

sampling dengan pergantian dan urutan diperhatikan Kemungkinan sampel yang terbentuk adalah:

(2,2) (2,3) (2,6) (2,8) (2,11)(3 2) (3 3) (3 6) (3 8) (3 11)(3,2) (3,3) (3,6) (3,8) (3,11)(6,2) (6,3) (6,6) (6,8) (6,11)(8,2) (8,3) (8,6) (8,8) (8,11)(11,2) (11,3) (11,6) (11,8) (11,11)

Maka mean sampel yang terbentuk adalah: 2,0 2,5 4,0 5,0 6,52,5 3,0 4,5 5,5 7,04,0 4,5 6,0 7,0 8,55,0 5,5 7,0 8,0 9,56,5 7,0 8,5 9,5 11,0


Contoh 5.3 (lanjutan):Sehingga distribusi sampling dari mean sample yang terbentuk adalah :

MeanSampel

2 2,5 3 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 8 8,5 9,5 11

Frekuensi

1 2 1 2 2 2 2 1 2 4 1 2 2 1ensi

Probabilitas

1/25 2/25 1/25 2/25 2/25 2/25 2/25 1/25 2/25 4/25 1/25 2/25 2/25 1/25

1/27/2011

49

Distribusi Distribusi Sampling Sampling dari Mean dari Mean Definisi

Distribusi sampling dari mean-mean sampel adalah distribusi mean-mean aritmetika dari seluruh sampel acak berukuran nyang mungkin yang dipilih dari sebuah populasi

Mean dan Deviasi Standard Distribusi Sampling Mean

Jika sampling dilakukan tanpa pergantian dari suatu populasi terhinga berukuran N, maka:

1

x x

xx

N nNn

μ μ

σσ

=

−=

−

Jika sampling dilakukan dengan pergantian atau populasinya tak terhingga, maka:

x x

xx n

μ μ

σσ

=

=

Distribusi Distribusi Sampling Sampling dari Mean dari Mean

Untuk nilai n yang besar (n > 30), distribusi sampling mean mendekati suatu distribusi normal terlepas dari bentuk asli distribusi populasinyaJika populasinya memiliki distribusi normal,maka distribusi sampling mean juga terdistribusi secara normal untuk nilai nberapapun (tidak tergantung ukuran sampel)


p p ( g g p )Deviasi standard dari sebuah distribusi sampling mean disebut juga dengan error standard daripada meanerror standard daripada mean

Contoh 5.4:Dari contoh 5.3 dapat dihitung mean populasi, mean distribusi sampling mean deviasi standard populasi dan deviasi standard distribusi sampling mean sebagai berikut:

2 2 2 2 2

2 3 6 8 11 30 6,05 5

(2 6) (3 6) (6 6) (8 6) (11 6) 3 29

xμ + + + += = =

− + − + − + − + − +


Terlihat bahwa dan dapat ditunjukkan bahwa dengan n = 2

14

114

1

142

21

14

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3,295

(1)(2) (2)(2,5) ... (1)(11) 150 6,01 2 ... 1 25

( ) (1)(2 6) (2)(2,5 6) ... (1)(11 6)25

x

i ii

x

ii

i i xi

x

ii

f x

f

f x

f

σ

μ

μσ

=

=

=

=

= =

+ + += = = =

+ + +

−− + − + + −

= = =

∑

∑

∑

∑

135 2,3225

=

x xμ μ= xx n

σσ =

Contoh 5.5:Lima ratus cetakan logam memilki berat rata-rata 5,02 N dan deviasi standard 0,30 N. Probabilitas bahwa suatu sampel acak dengan ukuran sampel 100 cetakan yang dipilih akan mempunyai berat total antara 496 sampai 500 N dapat ditentukan sbb. Distribusi sampling mean persoalah diatas memiliki:

5,02 N

0,30 500 100 0 027

x x

x N n

μ μ

σσ

= =

− −= = =


Seratus sampel cetakan memiliki berat total 496 sampai 500 N jika rata-ratanya adalah 4,96 sampai 5,00 N. Jadi dengan menggunakan tabel distribusi normal standard skor z adalah:

0,0271 500 1100x Nn

σ = = =− −

4,96 5,024,96 2,220,027

5,00 5,025,00 0,740,027

x

x

x z

x z

−= → = = −

−= → = = −

(4,96 5,00) ( 2, 22 0,74) (0, 22965 0,01321) 0, 2164 21,64%xP x P z≤ < = − ≤ ≤ − = − = =

1/27/2011

50

Distribusi Distribusi Sampling Sampling dari Proporsi dari Proporsi

Definisi

Distribusi sampling dari proporsi adalah distribusi proporsi-proporsi dari seluruh sampel acak berukuran n yang mungkin yang dipilih dari sebuah populasi


Jika probabilitas sukses populasi adalah π sementara probabilitas gagalnya adalah θ=1 - π dan samplingnya tanpa pergantian dari populasi terhinga berukuran N

Jika sampling dilakukan dengan pergantian atau populasinya tak terhingga, maka:

(1 )1 1

P

PN n N n

n N n N

μ π

πθ π πσ

=

− − −= =

− −

(1 )

P

P n n

μ π

πθ π πσ

=

−= =


Untuk nilai n yang besar (n > 30), distribusi samplingproporsi mendekati suatu distribusi normalJika nilai proporsi menyatakan variabel diskrit:

Mean dan Deviasi Standard Distribusi Sampling Proporsi

diperlukan faktor koreksi (±1/2n ) dalam mengubahnya kedalam skor z untuk menentukan probabilitas menggunakan tabel distribusi normal

Contoh 5.6:Divisi pengendalian mutu pabrik perkakas mesin mencatat bahwa 2 % dari mata bor yang diproduksi mengalami cacat. Jika dalam pengiriman satu batch produk terdiri dari 400 mata bor, tentukan probabilitas banyaknya mata bor yang cacat 3 % atau lebih?

Distribusi sampling proporsi (1 ) 0,02(1 0,02)0 02 d 0 007π π− −


Koreksi untuk variabel diskrit =1/2n = 1/(2)(400) ==1/800 = 0,00125 Proporsi (3 %) setelah dikoreksi, P = 0,03 - 0,00125 = 0.02875 Skor z untuk P = 0,02875 adalah:

Maka probabilitas mata bor yang cacat dengan proporsi lebih dari 3 %:

( ) , ( , )0,02 dan 0,007400P P n

μ π σ= = = = =

0,02875 0,02 1, 250,007

PP

P

Pz μσ− −

= = =

( 1,25) 1 ( 1,25) 1 0,8944 0,1056 10,56%P PP z P z> = − ≤ = − = =

Distribusi Distribusi Sampling Sampling dari dari Perbedaan Perbedaan dan Penjumlahandan Penjumlahan

Definisi

Terdapat dua populasiUntuk setiap sampel berukuran n1 dari populasi pertama dihitung sebuah statistik S1 dan menghasilkan sebuah distribusi sampling dari statistik S1 yang memiliki mean μs1 dan deviasi standard σs1Dari populasi kedua, untuk setiap sampel berukuran n2 dihitung statistik S2 yang akan menghasilkan sebuah distribusi sampling dari statistik S yang memiliki mean dan deviasi standardstatistik S2 yang memiliki mean μs2 dan deviasi standard σs2

Distribusi sampling perbedaan S1 – S2 memiliki

Distribusi sampling penjumlahan S1 + S2 memiliki:

Mean dan Deviasi Standard

1 2 1 2S S S Sμ μ μ− = −

1 2 1 2

2 2S S S Sσ σ σ− = +

1 2 1 2S S S Sμ μ μ+ = +

1 2 1 2

2 2S S S Sσ σ σ+ = +

1/27/2011

51

Contoh 5.7:Lampu bohlam A memiliki daya tahan rata-rata 1400 jam dan deviasi standard 200 jam, sementara lampu B memiliki daya tahan rata-rata 1200 jam dengan deviasi standard 100 jam. Jika dari masing-masing produk dipilih 125 bohlam sebagai sampel, maka probabilitas bahwa bohlam A memiliki daya tahan sekurang-kurangnya 160 jam lebih lama dibandingkan bohlam B dapat ditentukan sebagai berikutMean dari distribusi sampling perbedaan daya tahan bohlam A dan B:

1400 1200 200μ μ μ μ μ

Distribusi Distribusi Sampling Sampling dari dari Perbedaan Perbedaan dan Penjumlahandan Penjumlahan

Deviasi standardnya adalah:

Skor z untuk perbedaan mean 160 adalah:

Jadi probabilitas yang akan ditentukan adalah:

1400 1200 200A B A B A Bx x x x x xμ μ μ μ μ− = − = − = − =

2 2 2 22 2 (100) (200) 20

125 125A B

A B A B

x xx x x x

A Bn nσ σ

σ σ σ− = + = + = + =

( ) ( ) ( ) 200 160 200 220 20

A B

A B

A B

A B x x A Bx x

x x

x x x xzμ

σ−

−−

− − − − −= = = = −

(( ) 160) ( 2) 1 ( 2) 1 0,0228 0,9772 97,72%

A B A BA B x x x xP x x P z P z− −− > = > − = − < −= − = =

Tujuan PembelajaranTujuan PembelajaranMenjelaskan konsep-konsep dasar yang mendukung pendugaan rata-rata populasi, persentase dan varians Menghitung dugaan-dugaan (estimates) rata-rata populasi pada tingkat kepercayaan (level of confidence) berbeda-beda jika deviasi standard populasi tidak diketahui ataupun jika diketahui Menghitung dugaan-dugaan persentase populasi pada ti k t k b b d b dtingkat kepercayaan yang berbeda-bedaMenghitung dugaan-dugaan varians populasi pada tingkat kepercayaan yang berbeda-beda Memahami kapan dan bagaimana menggunakan distribusi-distribusi probabilitas yang semestinya, yang diperlukan untuk tujuan-tujuan pendugaan

1/27/2011

52


Pengertian dan Konsep Dasar Estimasi Pendugaan Mean Populasi Pendugaan Persentase Populasi Pendugaan Varians Populasi

Pengertian dan Konsep DasarPengertian dan Konsep DasarDugaan (Estimate) & Penduga (Estimator)

Dugaan (Estimate) :nilai spesifik atau kuantitas daripada sebuah statistik misalnya: nilai mean sampel, persentase sampel, atau varians sampel

Penduga (Estimator) :Penduga (Estimator) :setiap statistik sampel yang digunakan untuk menduga sebuah parameter (yang relevan)

Penduga tak-bias (unbiased estimator) : meannya sama dengaan parameter populasi

yang didugaPenduga terbaik (best estimator):

penduga tak-bias dengan varians yang terkecil (minimum)

Pengertian dan Konsep DasarPengertian dan Konsep DasarPenduga Tak Bias dan Penduga Terbaik

Pengertian dan Konsep DasarPengertian dan Konsep DasarDugaan (Estimate), Pendugaan (Estimation) dan Penduga (Estimator)

Pendugaan (Estimation) :Keseluruhan proses yang menggunakan sebuah penduga untuk menghasilkan sebuah dugaan daripada parameter

Pendugaan Tunggal (Point Estimation):Pendugaan Tunggal (Point Estimation):angka tunggal yang digunakan untuk menduga sebuah parameter populasi Pendugaan Interval (Interval Estimation): sebaran nilai-nilai yang digunakan untuk menduga sebuah parameter populasi

1/27/2011

53


Contoh 6.1:Pabrik ban “Stonebridge” ingin menduga penjualan rata-rata perhari. Sebuah sampel harian yang dikumpulkan menghasilkan rata-rata senilai $ 800. Dalam hal ini telah dilakukan pendugaan tunggal (point enstimation), dengan menggunakan penduga (estimator) berupa statistik mean sampel ( x ) untuk menduga parameter mean populasi (μ) dan nilai sampel x = $ 800 sebagai dugaan (estimates) dari nilai populasi, μ.

Pengertian dan Konsep DasarPengertian dan Konsep DasarKonsep dasar pendugaan interval mean populasi

Dalam prakteknya hanya satu sampel dari populasi Untuk menduga parameter populasi harus diketahui sesuatu hal mengenai hubungannya dengan mean-mean

lsampel

Pengertian dan Konsep DasarPengertian dan Konsep DasarKonsep dasar pendugaan interval mean populasi 1. Bentuk Distribusi Sampling

Pengertian dan Konsep DasarPengertian dan Konsep Dasar2. Pertimbangan Lebar Interval

x x xx z x zσ μ σ− < < +

1/27/2011

54

Pengertian dan Konsep DasarPengertian dan Konsep Dasar3. Tingkat Kepercayaan (Level of Confidence)

Estimasi MeanEstimasi MeanInformasi Awal

1. Ukuran sampel (apakah besar n > 30 atau kecil n < 30)

2. Informasi tentang distribusi populasinya (apakah distribusi normal atau tidak)

3. Deviasi standard populasinya (diketahui atau tidak)

4. Pemilihan jenis distribusi yang menjadi dasar pendugaan

Estimasi MeanEstimasi MeanEstimasi Mean

1. DEVIASI STANDARD DIKETAHUI DAN JUMLAH DATA/UKURAN SAMPEL LEBIH DARI 30 (n > 30)

2 DEVIASI STANDARD TIDAK DIKETAHUI DAN JUMLAH DATA 2. DEVIASI STANDARD TIDAK DIKETAHUI DAN JUMLAH DATA /UKURAN SAMPEL LEBIH DARI 30 (n > 30)

3. UKURAN SAMPEL KURANG DARI 30 (n < 30)

Pengertian dan Konsep DasarPengertian dan Konsep DasarDiagram Alir Estimasi Mean

1/27/2011

55

Estimasi ProporsiEstimasi ProporsiDiagram Alira Estimasi Proporsi

Estimasi VariansEstimasi VariansDistribusi Chi-Kuadrat

Interval Estimasi

Penentuan Ukuran SampelPenentuan Ukuran SampelUKURAN SAMPEL UNTUK MENDUGA MEAN POPULASI

Penentuan Ukuran SampelPenentuan Ukuran SampelUKURAN SAMPEL UNTUK MENDUGA PROPORSI POPULASI

1/27/2011

56

Menjelaskan langkah-langkah yang diperlukan prosedur umum uji hipotesisMenghitung uji hipotesis mean sampel tunggal dan gandaMenghitung uji hipotesis proporsi sampel tunggal dan ganda Menghitung uji hipotesis varians sampel tunggal dan gandaMenghitung Uji ANOVA dan Uji Chi-Kuadrat



Prosedur Umum Uji HipotesisUji Hipotesis Means Sampel TunggalUji Hipotesis Persentase Sampel TunggalUji Hipotesis Varians Sampel TunggalNilai P pada uji hipotesisUji Hipotesis Means Sampel GandaUji Hipotesis Persentase Sampel GandaUji Hipotesis GandaUji ANOVAUji Chi-kuadrat

Pengertian dan Konsep DasarPengertian dan Konsep DasarProsedur Umum Uji Hipotesis

1/27/2011

57

Pengertian dan Konsep DasarPengertian dan Konsep DasarProsedur Umum Uji Hipotesis

1. Hipotesis nol (H0) adalah asumsi yang akan diuji. Hipotesis nol dinyatakan dalam hubungan =

2. Hipotesis alternatif (H1) adalah hipotesis yang menolak hipotesis nol. Hipotesis alternatif di k d l h b dinyatakan dalam hubungan : > ; < ;≠

3. Tingkat kepentingan/level of significance (α) menyatakan suatu tingkat resiko kesalahan dengan jika hipotesis nol. (Yang biasa digunakan α = 0,05 atau 0,01)

Uji Sampel TunggalUji Sampel TunggalUji Hipotesis Mean/Proporsi

Uji Dua Ujung

Uji Satu Ujung

Uji Sampel TunggalUji Sampel Tunggal

Uji Hipotesis Mean

1. Jika deviasi standard populasi diketahui gunakan error standard

2. Jika deviasi standard populasi tidak diketahui gunakan error standard estimasi ˆ s nσ =gunakan error standard estimasi

3. Rasio Uji :x s nσ =

μσ−

= = 0Hz test

x

xRU z


1/27/2011

58





Uji Hipotesis Proporsi

1. Rasio Uji :π

σ

−= = 0H

z testP

pRU z

2. Error Standard

0 0(100 )H H

P nπ π

σ−

=

1/27/2011

59



Uji Hipotesis Varians

1. Menggunakan distribusi Chi-Kuadrat2. Rasio Uji:

χ χσ−

= =2

22

2( 1)

testn sRU

χ −= =2

22

2( 1)

testn sRUχ χ

σ2 2test


1/27/2011

60

Uji Sampel TunggalUji Sampel TunggalNilai P pada Uji Hipotesis

Uji Sampel GandaUji Sampel Ganda

Menggunakan data dari dua sampel yang diperoleh dari dua populasi Menentukan apakah ada perbedaan yang secara statistik cukup berarti (significant) antara parameter-parameter dari kedua populasi tersebutparameter-parameter dari kedua populasi tersebut.

Asumsi :Data di kedua populasi terdistribusi normalIndependent sample

Uji Sampel GandaUji Sampel GandaUji Hipotesis Varians – Distribusi F

Uji Satu Ujung

Uji Dua Ujung

1/27/2011

61

Uji Sampel GandaUji Sampel GandaUji Hipotesis Mean – Klasifikasi

Uji t-pasangan untuk populasi yang saling tergantung (dependent populations)Uji z untuk populasi yang independen dan jika varians-varians populasi diketahui atau jika kedua sampel ukurannya lebih dari 30Uji t sampel ukuran kecil untuk populasi yang independen jika uji F nya menunjukkan σ1

2 ≠ σ22

Uji t sampel ukuran kecil untuk populasi yang independen jika uji F nya menunjukkan σ1

2 = σ22

Uji Sampel GandaUji Sampel GandaUji Hipotesis Mean –Prosedur

Uji Inferensial LainnyaUji Inferensial LainnyaUji ANOVA

mengetahui apakah dari dua atau lebih mean populasi bernilai samalebih efektif digunakan untuk menguji tiga atau lebih populasi

Asumsi:Populasi terdistribusi normalSampling acak dan independenVarians populasi-populasnya sama

Uji Inferensial LainnyaUji Inferensial LainnyaUji ANOVA

1/27/2011

62

Uji Inferensial LainnyaUji Inferensial LainnyaTabel ANOVA satu Faktor

Uji Inferensial LainnyaUji Inferensial LainnyaUji Chi-Kuadrat

Uji Inferensial LainnyaUji Inferensial LainnyaUji Keselarasan

Mengetahui apakah distribusi hasil pengamatan pada sampel sesuai dengan distribusi hipotesis pada populasi


Uji Inferensial LainnyaUji Inferensial LainnyaUji Tabel Kontingensi

mengetahui apakah data terklasifikasikan silang (cross-classified) secara independen


1/27/2011

63


Tujuan AnalisisTujuan AnalisisAnalisis regresi: • mempelajari hubungan statistik yang terjadi antara

dua atau lebih varibel• Hubungan dinyatakan dalam sebuah persamaan

regresi• Variabel terikat : yang akan diestimasi nilainya (diplot• Variabel terikat : yang akan diestimasi nilainya (diplot

dalam sumbu – y)• Variabel bebas : yang diasumsikan memberikan

pengaruh terhadap variasi variabel terikat (diplot dalam sumbu – x)

Analisa korelasi:• mengukur "seberapa kuat" atau "derajat kedekatan"

suatu relasi yang terjadi antar variabel.

Sifat RelasiSifat RelasiRelasi yang logis: • Penilaian terhadap angka-angka statistik memerlukan

pertimbangan sifat dasar hubungan

Jenis relasi:h b ngan sebab akibat• hubungan sebab akibat

kenaikan temperatur dengan kecepatan reaksi proses kimia• hubungan akibat penyebab yang sama

peningkatan penjualan rumah dan peningkatan penjualan kendaraan bermotor

• hubungan semukenaikan penjualan furniture di Jakarta dengan data perubahan temperatur

1/27/2011

64

Diagram PencarDiagram PencarAda atau tidaknya relasi yang berguna antar variabelJenis persamaan yang akan digunakan


Regresi LinierRegresi Linier


Metode Least Square


1/27/2011

65

Regresi LinierRegresi Linier Regresi LinierRegresi Linier

Standard Error EstimasiStandard Error EstimasiDeviasi standard yang memberikan ukuran penyebaran nilai-nilai yang teramati di sekitar garis regresi

Uji Relasi (Uji Kemiringan/Slope)Uji Relasi (Uji Kemiringan/Slope)

Terlihat jelas bahwa interpretasi dari persamaan garis regresi yang diperoleh dari data sampel dapat memberikan pemahaman yang menyesatkan (misleading) jika akan diterapkan pada populasinya.

UJI- t−

= = oHt test

b

b BRU t

s ( ) ( )=

− ∑∑

,2

2

y xb

ss

xx

n

1/27/2011

66

Uji Relasi (Uji Kemiringan/Slope)Uji Relasi (Uji Kemiringan/Slope)

UJI- t

−= = oH

t testb

b BRU t

s( ) ( )

=

− ∑∑

,2

2

y xb

ss

xx

n

Ho : B = 0H1 : B ≠ 0

UJI ANOVA

σσ

= =2

2ˆˆantara

F testdalam

RU FH0 : Tidak terdapat relasi antara X dan YH1 : Terdapat relasi antara X dan Y

Interval Prediksi Interval Prediksi

Nilai estimasi dari sebuah variabel terikat yang diperoleh dari persamaan regresi dapat diperluas menjadi estimasi interval

Interval Prediksi Interval Prediksi

n > 30

( )± ,ˆ y xy z s

n < 30

( )

( ) ( )α

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥± +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∑

2

/ 2 , 22

1ˆ gy x

x xy t s

n xx

n

( )

( ) ( )α

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥± + +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∑

2

/ 2 , 22

1ˆ 1 gy x

x xy t s

n xx

n

Nilai rata-rata y Nilai spesifik y

Korelasi Linier SederhanaKorelasi Linier Sederhana

Koefisien Determinasi

Koefisien Korelasi

1/27/2011

67

Korelasi Linier SederhanaKorelasi Linier Sederhana

Kesalahan dalam analisis korelasi yang harus dihindari:

1. Korelasi tidak bisa digunakan untuk membuktikan adanya hubungan sebab-akibat. Koefisien determinasi hanya menunjukkan adanya dan kekuatan hubungan antara variabel bebas dan terikat tanpa menilai sifatantara variabel bebas dan terikat tanpa menilai sifat relasi tersebut.

2.Koefisien korelasi bukan suatu nilai prosentase. Koefisien korelasi 0,7 tidak berarti 70 persen variasi dari nilai variabel terikat

Statistical Quality ControlArti Penting SQCProduksi barang atau jasa :

outputnya serupa (similar) tetapi tidak sama(identical)Adanya variasi normal dan wajarV i i b h d t d k hVariasi berpengaruh pada mutu produk harusdikendalikan.

Metode Statistik banyak digunakan dalampengendalian mutu

1/27/2011

68

Statistical Quality Control

Variasi yang terkendali terjadi secara alamiahinheren dan terkirakan sebab-sebab acak/kebetulandapat diterima dan diizinkan

Variasi Dalam Produk

dapat diterima dan diizinkan

Variasi tak terkendaliperubahan yang tidak diharapkantidak diperkirakan sebelumnyabukan karena sebab acak/kebetulanTidak dapat diterima dan diizinkan

Statistical Quality ControlPeta Kendali (Control Chart)Diagram yang menjelaskan proses yang terjadi di dalam hasilobservasi data-data suatu produk

Unsur Peta KendaliGaris Pusat (CL)Batas Atas (UCL)Batas Atas (UCL)Batas Bawah (LCL)Grafik Plot DataObservasi

Jenis Peta KendaliJenis yang biasa digunakan :

Peta Nilai Individu Peta Nilai Kontinu X – R chartPeta Nilai Diskrit p – c chart

Statistical Quality ControlLangkah Penggunaan Peta Kendali (Control Chart)

Statistical Quality ControlPeta Kendali Nilai Individual ( I Chart)

Memonitor setiap nilai yang diamati dalam sebuah prosesUnsur peta kendali

1/27/2011

69

Statistical Quality ControlPeta X dan R Untuk Nilai Kontinu

Mengendalikan proses yang menggunakan nilai kontinu,seperti panjang, berat, diameter, dll.X adalah besaran yang dapat diukurPeta X digunakan untuk menganalisa nilai rata-rata subkelompok dataR adalah Range, yaitu untuk melihat perbedaan ukuran tadiPeta R digunakan untuk menganalisa Range atau Kisaran darisub kelornpok data.

Kedua peta tersebut saling melengkapi karena sample harusmenunjukkan rata-rata yang dapat diterima dan variasipengukuran yang dapat dipertanggungjawabkan agar prosesdinyatakan dalam keadaan "under control"

Statistical Quality ControlTujuan Penggunaan Peta X dan R

Melihat sejauh mana suatu proses produksi sudah sesuaidengan standar desain proses ataukah belum,Mengetahui sejauh mana masih perlu diadakan penyesuaian-penyesuaian (adjustments) pada mesin-mesin/alat/metodekerja yang dipakai dalam suatu, proses produksi.Mengetahui penyimpangan kualitas atas hasil (produk) darisuatu proses produksi, yang kemudian disusul dengandilaksanakannya tindakan-tindakan tertentu dengan tujuanagar tidak terjadi penyimpangan-penyimpangan atas kualitaspada proses berikutnya.

Statistical Quality ControlTeknik Pembuatan Peta X dan R

Tentukan "apa" yang hendak "diukur‘ yang menggambarkankualitas produk/jasa atau penunjang produk/jasa tersebut.Tentukan satuan ukurannya dan dengan alat apa akandiukurnya.Tentukan ukuran sampel/sample size (n). Bisa 2 < n < 12,(biasan a 4 sampai 5 sample)(biasanya 4 sampai 5 sample)

Peta X dan R standar diperlukan 5 s/d 20 kali pengambilan(biasanya 10 kali) @ 4 sampai 5 sampleUntuk pengendalian dari waktu ke waktu, pengambilansample dilakukan secara kontinu, misaInya : 5 kalipengambilan per hari, tergantung dari kebutuhan,kegunaan serta kemampuan operator yangbertanggungjawab atas kualitas tersebut.

Pengambilan sampel dan perhitungan

Statistical Quality ControlTabel Pengambilan Data Peta X – R

Formulir …………………Ukuran Sampel

Tanggal X1 X2 X3 X4 X5 X R Cat

1/27/2011

70

Statistical Quality ControlPerhitungan Pada Tabel Data Peta X – R

Menghitung X rata-rata ( )X X1+X2+...+XnX=n

Menghitung R Selisih angka paling besar dan angka paling kecil dalam setiap kelompok sampel

Perhitungan Untuk Pembuatan Peta X – R

Menghitung garis tengah(Central Line)

X RX= R=

k kk = jumlah berapa kali pengambilan sampel

∑ ∑

Menghitung Garis Batasuntuk XMenghitung Garis Batasuntuk R

( )( )

UCL = X + A2 RLCL = X - A2 R

( )( )

UCL = D4 RLCL = D3 R

Statistical Quality ControlFaktor A2, D3 dan D4 untuk Peta X – R

n A2 D3 D42 1.88 0 3.273 1.02 0 2.574 0.73 0 2.285 0.58 0 2.116 0.48 0 27 0.42 0.08 1.928 0 37 0 14 1 86

Catatan :Apabila terdapat angka perhitungan LCL yang negatip maka digambarkan pada garis 0Angka X dan R untuk setiap

bil l k di 8 0.37 0.14 1.869 0.34 0.18 1.8210 0.31 0.22 1.7611 0.29 0.26 1.7412 0.27 0.28 1.7213 0.25 0.31 1.6914 0.24 0.33 1.6715 0.22 0.35 1.6516 0.21 0.36 1.6417 0.2 0.38 1.6218 0.19 0.39 1.6119 0.19 0.4 1.620 0.18 0.41 1.59

pengambilan sample kemudian diplotkan di dalam, grafik tersebut untuk mengetahui apakah standar ini sudah benar ataukah belum

Statistical Quality ControlContoh Kasus-1: Sebuah perusahaan melakukan pengecekan dan pengukuran berat suatu produk. Jumlah data yang diperiksa (sampel) adalah 125 unit. Sampel itu dibagi menjadi 25 sub kelompok yang masing-masing terdiri dari 5 unit. Setelah dilakukan pengukuran, datanya sbb:

Sub Kelompok X1 X2 X3 X4 X5 ΣX X R1 39 32 38 35 37 181 36.2 72 32 37 31 25 34 159 31.8 123 31 32 35 29 37 164 32.8 84 35 37 42 47 38 199 39,8 125 28 31 37 36 25 157 31.4 126 40 35 33 38 33 179 35.8 77 35 30 37 33 26 161 32.2 It8 35 39 32 37 38 181 36.2 79 27 37 36 33 35 168 33.6 1010 32 33 31 37 32 165 33 611 35 39 35 31 33 173 34.6 812 31 25 24 32 22 134 26.8 1013 22 37 31 37 28 155 31 1514 37 32 33 38 30 170 34,0 815 31 37 33 38 31 170 34 716 27 31 23 27 32 140 28 917 38 35 37 26 37 173 34.6 1218 35 31 29 39 35 169 33.8 1019 31 29 35 29 35 159 31.8 620 29 27 32 38 31 157 31.4 1121 40 39 41 33 29 181 36.2 1222 20 31 27 29 28 135 27 1123 30 37 29 32 31 159 31.8 824 28 35 22 32 37 154 30.8 1525 39 34 31 29 29 162 32.4 10

Total 4105 821 244

821X= = 32.8425244R= 9.7625

=

Statistical Quality ControlPeta Kendali X

( )( )

UCL = X + A2 R = 32.84 + (0.557)(9.76) = 38.471LCL = X - A2 R = 32.84 - (0.557)(9.76) = 27.208

1/27/2011

71

Statistical Quality ControlPeta Kendali R

( )( )

UCL = D4 R = (2.115)(9.76) = 20.6424LCL = D3 R = (0)(9.76) = 0 (tidak ada LCL)

Statistical Quality ControlPeta Kendali Untuk Atribut/Nilai Diskrit

Pengertian Atribut adalah persyaratan kualitas yang diberikankepada suatu barang, yang hanya menunjukkan apakahbarang/produk tersebut di terima atau di tolakPeta ini biasanya digunakan untuk menganalisa suatupengukuran yang bersifat diskrit, contohnya : kelingan yang rusakpada sayap pesawat, gelembung-gelembung udara padabotol/gelas, goresan pada lempengan plat dan sebagainyaTujuan Peta Kontrol p dan c Peta Kontrol p:Persentase atau proporsi dari produk yang defective per sample untuk menilai masing-masing produk dapat diterima (acceptable)atau ditolak (defective)Peta Kontrol c:Jumlah defect dalam unit produk yang tetap


Peta kontrol ini juga disebut sebagai peta kontrol defective.p adalah ratio antara jumlah produk defective yang didapatkandalam inspeksi terhadap jumlah seluruh produk yang di inspeksi.p dapat dinyatakan, dalam fraksi disebut "fraction defective“ ataupersentase disebut "percentage defective“Peta p dapat di s s n dengan j mlah sample tetap ata ber ariasi

Teknik Pembuatan Peta p

Peta p dapat di susun dengan jumlah sample tetap atau bervariasi

jumlah produk defectivep =jumlah produk diobservasi

( )

( )

p 1 - pSp = (p dalam fraksi)

np 100 - p

Sp = (p dalam persen)n

n = ukuran sampel

UCL = p + 3 SpLCL = p - 3 Sp

Perhitungan Untuk Pembuatan Peta p

Garis Tengah (Central Line)

Garis Batas untuk p

Statistical Quality ControlContoh Kasus-2:Dalam memproduksi "Wiring Board" yang digunakan dalamassembling produk-produk tertentu diambil sampel 50 buahper hari. Wiring Board ini ditest dan jika lampu menyalabahan diterima. Hasil tabulasi dari data yang dicatat selamaphase permulaan produksi sebagai berikut:

T anggal Tolak Prosentase8-Sep-00 4 89-Sep-00 3 610-Sep-00 2 411-Sep-00 6 1212-Sep-00 3 615-Sep-00 1 216-Sep-00 3 617-Sep-00 2 418 Sep 00 9 18Jumlah produk yang ditolak seluruhnya = 62 buah (Jumah 18-Sep-00 9 1819-Sep-00 5 1022-Sep-00 3 623-Sep-00 2 424-Sep-00 5 1025-Sep-00 2 426-Sep-00 2 429-Sep-00 1 230-Sep-00 3 61-Oct-00 2 42-Oct-00 1 23-Oct-00 3 6Jumlah 62 124

62p = = 6.2 % atau20 50124%p = 6.2 %

20

×=

Jumlah produk yang ditolak seluruhnya = 62 buah (Jumah persentase defective 124%) maka

( )6.2 100 - 6.2Sp =

50

= 3.4

1/27/2011

72


UCL = 6.2 % + 3 (3,4 %) = 16.4 %LCL = 6.2 % - 3 (3,4 %) = - 4 % (negatif), diambil = 0

Peta Kendali p

Statistical Quality ControlPeta Kendali p Melihat bahwa pada tanggal 18 September 2000 ada titik diluarbatas pengendalian maka dilakukan penelitian. Ternyata adaburuh baru dan produknya belum sempat diperiksa sudah masukdalam sampel. Agar proses tersebut tetap dalarn pengendalianpeta kontrol perlu direvisi dengan jalan:

Nilai tanggal 18 September 2000 dikeluarkanNilai tanggal 18 September 2000 dikeluarkanDilakukan perhitungan ulang:

jumlah sample jadi 19 X 50jumlah defective (yang ditolak) = 62 - 9 = 5353p = = 5.5 % (revised)

19 50×( )5.5 100 - 5.5

Sp = 3.250

=

UCL = 5.5 % + 3 (3,2 %) = 15.1 %LCL = 5.5 % - 3 (3,2 %) = - 4.1 % (negatif), diambil = 0


Banyak parameter yang dikendalikan tidak dapat dinyatakansebagai bagian seperti dalam Peta-p. Misalnya dalam pertenunan,jumlah defect per 10 m2 dari bahan yang diproduksi mungkinmerupakan parameter yang harus dikendalikan. Disini satu defectmungkin artinya kecil tetapi kalau defectnya besar per unitm ngkin dapat mer pakan ob ek penting sekali

Teknik Pembuatan Peta c

mungkin dapat merupakan obyek penting sekaliUntuk itu distribusi kemungkinan yang berlaku adalah distribusiPOISSON, dimana terjadi defect secara random

jumlah produk defectivec =jumlah produk diobservasi

UCL = c + 3 ScLCL = c - 3 Sc

Perhitungan Untuk Pembuatan Peta p

Garis Tengah (Central Line)

Garis Batas untuk c Sc = c

Statistical Quality ControlContoh Kasus-3:Peta Kendali c digunakan untuk menilai proses otomatis dalarnmemproduksi bahan yang dipakai pada musim dingin. Inspeksidilakukan secara terus menerus pada setiap panjang 10 yards.Kedua belah bagian diinspeksi lewat sinar berintensitas tinggi.Defect dapat terjadi karena tenunan tidak baik dan tidakt l i d b h t t t b ik D f t i i k ilterlapisnya dengan bahan tertentu secara baik. Defect ini kecildan dideteksi per ± 2 cm2 atau kurang. Data pada waktu yanglampau per 10 yard persegi ada 40 defect.

Dengan demikian sampai saat ini, peta kendali c tersusun sebagaiberikut:

UCL = c + 3 Sc = 40 + 3 40 59LCL = c - 3 Sc = 40 - 3 40 21

==

Dari produksi terbaru, tercatat data menurut sampel no. 81 s/d 100 sebagai berikut:

1/27/2011

73

Statistical Quality ControlNomor Sample

Junilah Defect per 10 Yards

81 3382 1683 1984 2685 3686 3287 3788 4189 3290 3091 3592 2893 2494 3195 3496 4097 3098 3199 22

100 28

Perhatian khusus diadakan karena proses yang baru.Sample-sample yang mempunyai defect dari 33, 16, 19 dan 26defect kemudian meningkat. Ternyata dari penelitianselanjutnya pengawas masih kurang ahli dalam menentukanmacam defect tersebut. Karenanya sample 82 dan 83 tidakdihitung


RevisiSelanjutnya menilai fakta bahwa banyak data dibawah harga c = 40, makadisarankan untuk merevisi batas-batas pengendalian. Sample 82 dan 83merupakan kesalahan yang dimasukkan dan karena belum berpengalamannyapengawas.Sample 84 pun masih diragukan.Untuk merevisi, sample mulal dipakai dari 85 s/d 100.

jumlah produk defective c85+c86+ +c100

UCL (revisi) = c(revisi) + 3 Sc(revisi) = 32.3 + 3 32.3 49LCL (revisi) = c(revisi) - 3 Sc(revisi) = 32.3 - 3 32.3 15

==

jumlah produk defective c85+c86+...+c100c(revisi) =jumlah produk diobservasi 16

36 32 ... 28 = 32.316

=

+ + +=

Statistical Quality ControlAnalisis Penyimpangan

Proses TerkendaliTerjadi variasi karena penyebab acak yang normal.Tidak diperlukan tindakan apa-apaProses Tak TerkendaliTerjadi variasi karena penyebab yang tidak normal. Di l k ti d k lidikDiperlukan tindakan penyelidikanBeberapa Indikasi Penyimpangan

Beberapa pola grafik memberikan gambaran tentang indikasi terjadinya penyimpangan tak terkendali dalam proses, antara lain

Terdapat titik di luar garis batas (atas UCL atau bawah LCL)Terdapat dua titik didekat garis batas kendaliTerdapat larinya (run) 5 titik di atas atau di bawah garis tengah

(CL)Kecenderungan (trend) 5 titik terus naik atau turunPerubahan tak menentu

Statistical Quality ControlProcess Capability

Menunjukkan kinerja proses yang beroperasi secara terkendaliDinyatakan dalam Process Capability Ratio/PCR (Cp)

LCLUCL

Cp > 1 proses terkendali (makin besar Cp kinerja proses makin baik)Cp ≤ 1 proses tidak terkendali

σ6LCLUCLCp −

=

1/27/2011

74

Statistical Quality ControlProcess Capability

Jika proses off-center, kinerja proses dinyatakan dalam actual process capability ratio

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

=μμ LCLUCLCpk ,min

Cpk > 1 proses terkendali (makin besar Cpk kinerja proses makin baik)Cpk ≤ 1 proses tidak terkendali

⎥⎦⎢⎣ σσ 33pk ,

stat & prob_ok

Documents

subject statistics

course of statistics

knowledge of statistics

descriptive statistics

student guide book statistics

engineering program

student guide book subject

probability position