stabilnost konstrukcija 4 19 - grf.bg.ac.rs · stabilnost konstrukcija ivČas v. prof. drmarija...

STABILNOST KONSTRUKCIJAIV ČAS

V. PROF. DR MARIJA NEFOVSKA‐DANILOVIĆ

3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 1

Univerzitet u BeograduGrađevinski fakultetKatedra za tehničku mehaniku i teoriju konstrukcija

Geometrijska matrica krutostiZa primenu je pogodniji oblik matrice krutosti koji se zasniva na rešenju diferencijalne jednačine linearne teorije štapa.

Ta matrica predstavlja približno rešenje po Teoriji II reda.

Dobija se iz varijacije potencijalne energije štapa.


Geometrijsku matricu krutosti dobijamo tako što umesto tačnog rešenja za funkciju pomeranja v(x) po linearizovanoj teoriji II reda, koje se dobija iz diferencijalne jednačine:

usvajamo funkciju pomeranja v(x) koja je rešenje diferencijalne jednačine po Teoriji I reda:

2 0IV IIv k v

4

4 0d vdx


Geometrijska matrica krutosti

Polazeći od funkcije pomeranja po Teoriji I reda, iz stava o stacionarnosti potencijalne energije, izvešćemo geometrijsku matricu krutosti štapa.


xl

q1, R1

q2, R2

q3 , R3

q4 , R4

Geometrijska matrica krutosti

Rešenje diferencijalne jednačine štapa po Teoriji I reda

1

22 3

3

4

( ) 1v x x x x A


Rešenje homogenog dela diferencijalne jednačine štapa po Teoriji I reda je u obliku kubnog polinoma:

4

4 0d vdx

4

3

2

1

23210)(

xxdxdvx


Obrtanja poprečnog preseka duž ose štapa su prvi izvoda pomeranja:


42

324

43

32

213

22

11

32)(

)(

)0()0(

llql

lllqlvv

qqvv

k

k

i

i


Integracione konstante i , i=1,2,3,4 se određuju iz graničnih uslova štapa:

lx

q1

q2

q3q4

1 1

2 22 3

3 32

4 4

(0) 1 0 0 0(0) 0 1 0 0( ) 1( ) 0 1 2 3

q vqq v l l l lq l l l

q C


U matričnom obliku granični uslovi glase:


1

1 1

2 2

2 23 3

4 43 2 3 2

1 0 0 00 1 0 03 2 3 1

2 1 2 1

C q

qqql l l lq

l l l l


Odavde se dobija:


Zamenom { } u izraz za pomeranje v(x) dobija se da je:

gde je matrica interpolacionih polinoma:

1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )N x N x N x N x N x


1( )

( ) ( )

v x A C q

v x N x q

1

(1,4 ) (1,4 ) ( 4,4 )( )N x A C


2 3 2 3

1 22 3 2

2 3 2 3

3 42 3 2

( ) 1 3 2 ( ) 2

( ) 3 2 ( )

x x x xN x N x xll l l

x x x xN x N xll l l


Interpolacioni polinomi Ni(x) su L’Hermit‐ovi (Ermitovi) polinomiI vrste:


Ermitovi polinomi Ni(x) su kubni polinomi i predstavljaju elastične linije ubostrano uklještene grede po Teoriji I reda, usled jediničnih generalisanih pomeranja qi = 1.

4

1( ) ( )i i

iv x N x q



Ako je pomeranje tačke na osi štapa:

Onda su obrtanja i drugi izvodi pomeranja:

( ) ( )v x N x q


( ) ( )

( ) ( )

v x N x q

v x N x q

(C)


Stav o stacionarnosti potencijalne energije

Uslov za ravnotežu sila na deformisanoj konfiguraciji je kada potencijalna energija ima minimalnu vrednost:

A‐energija deformacije

Rs ‐rad spoljašnjih sila

0sA R


Energija deformacije štapa

Na diferencijalno malom elementu štapa pored energije deformacije usled momenta savijanja M, javlja se i deformacioni rad momenta nastalog usled aksijalne sile S, koji je jednak Sdx


2

0 0

2 2

0 0

1 1 ( )2 2

1 1( ) ( )2 2

l l

l l

A M dx S dx

A EI v dx S v dx

TsR q R


Energija deformacije štapa

2 2

0 0

1 1( ) ( )2 2

l lTEI v dx S v dx q R


Potencijalna energija štapa: =A – Rs

Za element sa konstantnim poprečnim presekom ikonstantnom silom S:

0 0

1 12 2

l lTEI v v dx S v v dx q R

Potencijalna energija štapa

0

0

12

1 2

lTT

lTT T

q EI N N dx q

q S N N dx q q R


Ako pomeranja unutar elementa izrazimo preko pomeranjačvorova, j‐na (C), dobija se:

(D)

Potencijalna energija štapa

Iz stava o minimumu potencijalne energije, iz j‐ne (D) se dobija:

0q


0 0

0K K

l lT T

g

EI N N dx q S N N dx q R

q R

00

0

K

K

lT

lT

g

EI N N dx

S N N dx


Ko je matrica krutosti štapa po Teoriji I redaKg je geometrijska matrica krutosti štapa:

*znak – je za pritisak, znak + je za zatezanje

1

20 1 2 3 4(4,4)

30

4

1

21 2 3 4(4,4)

30

4

K

K

l

l

g

NN

EI N N N N dxNN

NN

S N N N N dxNN


2 2

0 3

2

12 6 12 64 6 2

K12 6

4

l ll l lEI

llsim l


Matrica krutosti štapa po Teoriji I reda dobijena integracijominterpolacionih funkcija je:

Geometrijska matrica krutosti pritisnutogštapa

1

21 2 3 4(4,4)

30

4

,

,0

K

Element K jednak je:

K

l

g

g mn

lT

g mn m n

NN

S N N N N dxNN

S N N dx


,11 1 10

2 3 2

1 12 3 2 3

22 2 3 4

,11 2 3 3 4 50 0

3 4 5

,11 03 4 5

K ( )

( ) 1 3 2 ( ) 6 6

36K 6 6 2

36 36 1 1 1 36K 23 2 5 303 4 5

lT

g

l l

g

lg

S N N dx

x x x xN x N xl l l l

x x S x x xS dx dxll l l l l

S x x x S Sl ll l l

l



2 2

g

2

36 3 36 34 3

K36 330

4

l ll l lS

llsim l


Za pritisnuti štap je S<0


Geometrijska matrica krutosti zategnutogštapa

2 2

g

2

36 3 36 34 3

K36 330

4

l ll l lS

llsim l


Za zategnut štap je S>0

Matrica krutosti štapa

0 gK K K


Ukupna matrica krutosti štapa po Teoriji II reda‐približno rešenje, je:

Ona predstavlja aproksimativno rešenje, jer je dobijena izfunkcije pomeranja v(x) koja predstavlja rešenje diferencijalnejednačine savijanja po Teoriji I reda.

Zavisi od intenziteta sile S i dužine štapa.

U prethodnom delu izvedena je geometrijska matrica krutosti na savijanje. Matrica krutosti za aksijalno naprezanje je ista kao u Teoriji I reda, tako da se matrica krutosti štapa u ravni dobija kombinacijom ove dve matrice na uobičajen način.



0 gR = K + K q - Q


Osnovna jednačina štapa po linearizovanoj teoriji II reda, približno rešenje glasi:

gde je Q – vektor ekvivalentnog opterećenja po lin. teoriji II reda


Matrica krutosti štapa (aksijalno naprezanje+savijanje)

2 2

2 2

0 3 2

2

/ 0 0 / 0 012 6 0 12 6

4 0 6 2/ 0 0

12 64

Fl I Fl Il ll l lEI

l Fl Isim l

l

K


Matrica krutosti štapa po Teoriji I reda

Geometrijska matrica krutosti štapa

2 2

2

0 0 0 0 0 036 3 0 36 3

4 0 30 0 030

36 34

l ll l lS

lsim l

l

gK


znak – je za pritisak, znak + je za zatezanje

Geometrijska matrica krutosti prostog štapa

4 2 4 2R R S q ql


q2q1q3

q4

S S

R3=S

R1 = S -R2

R4

l

Matrice krutosti prostog štapa (Ko+Kg)

0

1 0 1 00 0 0 01 0 1 0

0 0 0 0

EFl

K

g

0 0 0 00 1 0 10 0 0 00 1 0 1

Sl

K


- matrica krutosti

- geometrijska matrica

(-S-pritisak, +S-zatezanje)

Osobine geometrijske matrice krutosti◦ Zavisi samo od aksijalne sile i dužine štapa,◦ Zatezanjem štapa povećava se poprečna krutost,◦ Povećanjem sile pritiska smanjuje se poprečna krutost štapa, tako da poprečno opterećenje malog intenziteta može izazvati gubitak stabilnosti (izvijanje) štapa.

◦ Ima veliku primenu kod provere stabilnosti konstrukcija, zbog svoje jednostavnosti.


stabilnost konstrukcija 4 19 - grf.bg.ac.rs · stabilnost konstrukcija ivČas v. prof. drmarija...

Documents