ivčas dr marija nefovska-danilović filestabilnost konstrukcija ivčas dr marija...
TRANSCRIPT
![Page 1: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/1.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 1
6. STABILNOST KONSTRUKCIJA
IV časDr Marija Nefovska-Danilović
![Page 2: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/2.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 2
6.6 Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji oblik matrice
krutosti koji se zasniva na rešenju diferencijalne jednačine linearne teorije štapa.
Ta matrica predstavlja približno rešenje po Teoriji II reda.
Dobija se iz varijacije potencijalne energije štapa.
![Page 3: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/3.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 3
Geometrijsku matricu krutosti dobijamo tako što umesto tačnog rešenja za funkciju pomeranja v(x)po linearizovanoj teoriji II reda, koje se dobija iz diferencijalne jednačine:
usvajamo funkciju pomeranja v(x) koja je rešenje diferencijalne jednačine po Teoriji I reda:
2 0IV IIv k v
4
4 0d vdx
![Page 4: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/4.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 4
Polazeći od funkcije pomeranja po Teoriji I reda, iz stava o stacionarnosti potencijalne energije, izvešćemo geometrijsku matricu krutosti štapa.
xl
q1, R1
q2, R2
q3 , R3
q4 , R4
![Page 5: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/5.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 5
6.6.1 Rešenje diferencijalne jednačine štapa po Teoriji I reda Rešenje homogenog dela diferencijalne
jednačine štapa po Teoriji I reda je u obliku kubnog polinoma:
1
22 3
3
4
( ) 1v x x x x A
4
4 0d vdx
![Page 6: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/6.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 6
Obrtanja poprečnog preseka duž ose štapa su prvi izvoda pomeranja:
4
3
2
1
23210)(
xxdxdvx
![Page 7: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/7.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 7
Integracione konstante i , i=1,2,3,4 se određuju iz graničnih uslova štapa:
42
324
43
32
213
22
11
32)(
)(
)0()0(
llql
lllqlvv
qqvv
k
k
i
i
lx
q1
q2
q3q4
![Page 8: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/8.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 8
U matričnom obliku granični uslovi glase:
1 1
2 22 3
3 32
4 4
(0) 1 0 0 0(0) 0 1 0 0( ) 1( ) 0 1 2 3,
q vqq v l l l lq l l l
odnosnoq C
![Page 9: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/9.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 9
Odavde se dobija:
4
3
2
1
2323
22
4
3
2
1
1
1212
132300100001
:
qqqq
llll
llll
oblikurazvijenomuiliqC
![Page 10: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/10.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 10
Zamenom { } u izraz za pomeranje v(x) dobija se da je:
gde je matrica interpolacionih polinoma:
1( )
( ) ( )
v x A C q
v x N x q
1
(1,4 ) (1,4 ) ( 4,4 )( )N x A C
1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )N x N x N x N x N x
![Page 11: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/11.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 11
Interpolacioni polinomi Ni(x) suL’Hermit-ovi (Ermitovi) polinomi I vrste:
2 3 2 3
1 22 3 2
2 3 2 3
3 42 3 2
( ) 1 3 2 ( ) 2
( ) 3 2 ( )
x x x xN x N x xll l l
x x x xN x N xll l l
![Page 12: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/12.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 12
Ermitovi polinomi Ni(x) su kubni polinomi i predstavljaju elastične linije ubostrano uklještene grede po Teoriji I reda, usled jediničnih generalisanih pomeranja qi = 1.
4
1( ) ( )i i
iv x N x q
![Page 13: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/13.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 13
Ako je pomeranje tačke na osi štapa:
Onda su obrtanja i drugi izvodi pomeranja:
( ) ( )
( ) ( )
v x N x q
v x N x q
( ) ( )v x N x q (C)
![Page 14: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/14.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 14
Stav o stacionarnosti potencijalne energije
Ravnoteža sila na deformisanoj konfiguraciji postoji kada potencijalnaenergija ima minimalnu vrednost:
A je je energija deformacije Rs je rad spoljašnjih sila
0sA R
![Page 15: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/15.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 15
Potencijalna energija deformacije štapa
Na diferencijalno malom elementu štapa pored energije deformacije usled momenta savijanja M, javlja se i deformacioni rad momenta nastalog usled aksijalne sile S, koji je jednak Sdx
![Page 16: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/16.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 16
Potencijalna energija (deformacioni rad) štapa pri savijanju A jednaka je:
Rad sila na krajevima štapa:
2
0 0
2 2
0 0
1 1 ( )2 2
1 1( ) ( )2 2
l l
l l
A M dx S dx
A EI v dx S v dx
TsR q R
![Page 17: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/17.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 17
Potencijalna energija štapa: =A – Rs
Za element sa konstantnim poprečnim presekom i konstantnom silom S:
2 2
0 0
1 1( ) ( )2 2
l lTEI v dx S v dx q R
0 0
1 12 2
l lTEI v v dx S v v dx q R
![Page 18: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/18.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 18
Ako pomeranja unutar elementa izrazimo preko pomeranja čvorova, j-na (C), dobija se:
0
0
12
1 2
lTT
lTT T
q EI N N dx q
q S N N dx q q R
(D)
![Page 19: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/19.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 19
Iz stava o minimumu potencijalne energije iz j-ne (D) se dobija:
0 0
0
:
K K
l lT T
g
EI N N dx q S N N dx q R
ili skraćeno
q R
0q
![Page 20: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/20.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 20
Ko je matrica krutosti štapa po Teoriji I reda Kg je geometrijska matrica krutosti štapa:
00
0
K
K
lT
lT
g
EI N N dx
S N N dx
*znak – je za pritisak, znak + je za zatezanje
![Page 21: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/21.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 21
U razvijenom obliku je:
1
20 1 2 3 4(4,4)
30
4
1
21 2 3 4(4,4)
30
4
K
K
l
l
g
NN
EI N N N N dxNN
NN
S N N N N dxNN
![Page 22: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/22.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 22
Matrica krutosti štapa po Teoriji I reda dobijena integracijom interpolacionih funkcija je:
2 2
0 3
2
12 6 12 64 6 2
K12 6
4
l ll l lEI
llsim l
![Page 23: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/23.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 23
1
21 2 3 4(4,4)
30
4
,
,0
K
Element K jednak je:
K
l
g
g mn
lT
g mn m n
NN
S N N N N dxNN
S N N dx
6.6.2 Geometrijska matrica krutosti pritisnutog štapa
![Page 24: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/24.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 24
Određivanje Kg,11
,11 1 10
2 3 2
1 12 3 2 3
22 2 3 4
,11 2 3 3 4 50 0
3 4 5
,11 03 4 5
K ( )
( ) 1 3 2 ( ) 6 6
36K 6 6 2
36 36 1 1 1 36K 23 2 5 303 4 5
lT
g
l l
g
lg
S N N dx
x x x xN x N xl l l l
x x S x x xS dx dxll l l l l
S x x x S Sl ll l l
l
![Page 25: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/25.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 25
2 2
g
2
36 3 36 34 3
K36 330
4
l ll l lS
llsim l
Za pritisnuti štap je S<0
Na sličan način se dobijaju i ostali elementi:
![Page 26: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/26.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 26
6.6.3 Geometrijska matrica krutosti zategnutog štapa
Za zategnut štap je S>0
2 2
g
2
36 3 36 34 3
K36 330
4
l ll l lS
llsim l
![Page 27: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/27.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 27
6.6.4 Matrica krutosti štapa
Ukupna matrica krutosti štapa po Teoriji II reda-približno rešenje, je:
Ona predstavlja aproksimativno rešenje, jer je dobijena iz funkcije pomeranja v(x) koja predstavlja rešenje diferencijalne jednačine savijanja po Teoriji I reda.
Zavisi od intenziteta sile S i dužine štapa.
0 gK K K
![Page 28: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/28.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 28
U prethodnom delu izvedena je geometrijska matrica krutosti na savijanje. Matrica krutosti za aksijalno naprezanje je ista kao u Teoriji I reda, tako da se matrica krutosti štapa u ravni dobija kombinacijom ove dve matrice na uobičajen način.
![Page 29: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/29.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 29
Osnovna jednačina štapa po linearizovanoj teoriji II reda, približno rešenje glasi:
gde je Q – vektor ekvivalentnog opterećenja po lin. teoriji II reda
0 gR = K + K q - Q
![Page 30: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/30.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 30
6.6.5 Matrica krutosti štapa (aksijalno naprezanje+savijanje)
2 2
2 2
0 3 2
2
/ 0 0 / 0 012 6 0 12 6
4 0 6 2/ 0 0
12 64
Fl I Fl Il ll l lEI
l Fl Isim l
l
K
Matrica krutosti štapa po Teoriji I reda
![Page 31: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/31.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 31
Geometrijska matrica krutosti štapa
znak – je za pritisak, znak + je za zatezanje
2 2
2
0 0 0 0 0 036 3 0 36 3
4 0 30 0 030
36 34
l ll l lS
lsim l
l
gK
![Page 32: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/32.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 32
6.6.6 Geometrijska matricakrutosti prostog štapa
q2q1q3
q4
S S
R3=S
R1 = S -R2
R4
4 2 4 2R R S q ql
l
![Page 33: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/33.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 33
Matrice krutosti prostog štapa (Ko+Kg)
0
1 0 1 00 0 0 01 0 1 0
0 0 0 0
EFl
K
g
0 0 0 00 1 0 10 0 0 00 1 0 1
Sl
K
- matrica krutosti
- geometrijska matrica
(-S-pritisak, +S-zatezanje)
![Page 34: IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022041209/5d679e6a88c993306c8b79a0/html5/thumbnails/34.jpg)
3. Sabilnost konstrukcija 34
Osobine geometrijske matrice krutosti: Zavisi samo od aksijalne sile i dužine štapa, Zatezanjem štapa povećava se poprečna krutost, Povećanjem sile pritiska smanjuje se poprečna
krutost štapa, tako da poprečno opterećenje malog intenziteta može izazvati gubitak stabilnosti (izvijanje) štapa.
Ima veliku primenu kod provere stabilnosti konstrukcija, zbog svoje jednostavnosti.