Stability, Convergence and Periodicity for Equations with State-Dependent Delay

/

Ph.D Értekezés Tézisei

Bartlia Mária

Témavezető: Krisztin Tibor

Szeged 2002

Előzmények A retardált funkcionál-differenciálegyenletek olyan folyamatokat modelleznek,

amelyek változására múltbeli állapotaik is hatással vannak. Az első példák ilyen egyenletekre geometriai problémákban jelentek meg mintegy 200 éve. Az utóbbi ötven évben rohamosan nőtt az érdeklődés a funkcionál-differenciélegyenletek elmélete iránt. Myshkis, BeUman és Cooke, Krasovskii, Hale, Hale és Lunel, Dieckmann könyvei nagy mértékben befolyásolták az elmélet fejlődését. Az egyre szélesebb körű alkalmazások hatására szükségessé vált az állapotfüggő retardálású funkcionál-differenciálegyenletek elméletének kidolgozása, vagyis az olyan késlel-tetett argumentumú differenciálegyenletekké, amelyekben a késleltetés a megoldás függvénye. Ezen egyenletek fellelhetők például a klasszikus elektrodinamikában, a populáció modellekben, a vörös vértestek képződésének modelleiben.

Tekintsük az alábbi egyszerű modellt [BM]. Egy anyagi pont egy egyenes men-tén mozog, jelölje x(t) az anyagi pont helyzetét a t időpillanatban. Az x = — w < 0 pontban található bázis az anyagi pont helyzetét irányítja. Tételezzük fel, hogy a bázis minden időpillanatban ismeri az anyagi pont x(t) helyzetét; a bázis által az anyagi pont irányításásra kibocsátott jelek c > 0 sebességgel terjednek az anyagi pont felé, és legyen x(t) > -w minden t esetén, vagyis az anyagi pont nem ütközik a bázissal. A bázisnak egységnyi időre van szüksége ahhoz hogy az anyagi pont számára szükséges jelt létrehozza. így az anyagi ponthoz a t időpillanatban küldött jelt a t — 1 — |(x(t) + w) időpillanatban bocsátotta ki a bázis. Ez a rendszer az

egyenlettel modellezhető, ahol p, w, c pozitív paraméterek és g : R —» R függvény az anyagi pont válasza a bázis jelére. A — px(t) tag egy fékezést fejez ki. Pozitív (negatív) visszacsatolást a kívánt 0 € R helyzet eléréséhez az ug(u) > 0 (< 0) (min-den u ^ 0 esetén) feltétel biztosít. Hasonló irányítási problémák modellezésére [W] dolgozatban találhatunk bonyolultabb késleltetett argumentumú differenciál-egyenletet.

Legyen h > 0. A

g : C( [ -M] ,R) 3 1 - f - 6 R

10

leképezés általában nem elég sima ahhoz, hogy a fenti egyenletre a C([—h, 0], R) egy nyitott részhalmazának minden eleméhez létezzen egyértelműen definiált megoldás. Ebből következik, hogy a dinamikus rendszerek elméletének általános eszközei mint a linearizálás, invariáns sokaságok nem alkalmazhatók a szokásos módon. A g leképezés differenciálhatóságának hiányát az okozza, hogy a

C([-fc,0],R) x [-/i,0] 3 (</>, s) •—* 4>(s) e R

leképezés nem Lipschitz folytonos. Mindez az állapotfüggő retardálású differen-ciálegyenletek tanulmányozásában felmerülő nehézségekre utal.

Az állapotfüggő neutrális differenciálegyenletek, azaz az olyan differenciál-egyenletek amelyekben a derivált is tartalmaz a rendszer állapotától függő re-tardálást, szintén gyakorlati alkalmazással bírnak, annak ellenére, hogy ezekre az egyenletekre még nincs egy általánosan kidolgozott elmélet.

A bevezető fejezet után a 2. fejezetben állapotfüggő neutrális differenciálegyen-letek stabilitására vonatkozó eredményeket bizonyítunk. Ezen egyenletekre nem könnyű stabilitási feltételeket találni, mert még az alapvető kérdések többsége, mint a megoldások létezése, egyértelműsége, folytonos függése sem tisztázott. A (nem neutrális) retardált differenciálegyenletek stabilitáselmélete viszont jól kidol-gozott. Klasszikus példa a

x(t) = -a(t)x(t - r{t)),

lineáris egyenlet, ahol a : R + -» [0, a], r : R+ -» [0, g] folytonos függvények, a és q pozitív konstansok. Myshkis, Yorké és Lillo egy jól ismert eredménye alapján az aq < § feltétel teljesülése esetén az x = 0 megoldás egyenletesen stabil, és § nem helyettesíthető nagyobb számmal. Hasonló éles stabilitási eredmények is-mertek az előbb említett lineáris egyenlet nemlineáris általánosításaira is [Y]. Több késleltetést tartalmazó retardált differenciálegyenletekre Krisztin bizonyított egy érdekes eredményt [KI], amelynek felhasználásával kimutatjuk, hogy az állapot-függő neutrális egyenletek egy osztályára is érvényes egy ún. | -es stabilitási té-tel. Másrészt pedig Wu és Yu [WY] konstans késleltetésű neutrális egyenletekre vonatkozó attraktivitási eredményét általánosítjuk a tekintett állapotfüggő késlel-tetésű neutrális egyenletre.

10

A 3. fejezet fontos előzményét jelentik Smith és Thietne [S,ST3] eredményei a monoton dinamikus rendszerek elméletében: a fázistér egy nyitott és sűrű hal-mazához tartozó pontjainak w-limesz halmaza az egyensúlyi helyzetek halmazához tartozik. Az elmélet közönséges differenciáiegyenletekre és konstans retardálású funkcionál-differenciálegyenletekre jól alkalmazható. A 3. fejezetben Smith és Thieme eredményét úgy módositjuk, hogy az alkalmazható legyen az állapotfüggő retardálású differenciáegyenletek egy osztályára.

A 4. fejezet előzményeként megemlítjük számos szerző eredményét autonom differenciálegyenletek periodikus megoldásainak létezésére vonatkozóan. Krisztin, Walther és Wu [KWW] kimutatta periodikus pályák létezését konstans retardálású (r = 1) differenciálegyenletek egy osztályára vonatkozóan. Hasonló eredményt bi-zonyított Mallet-Paret és Nussbaum [MN], Kuang és Smith [KS], Arino, Hadeler és Hbid [AHH], Krisztin és Arino [KA], Walther [W] egy késleltetett negatív visz-szacsatolást modellező egyenletre. Állapotfüggő késleltetés esetére egy pozitív vis-szacsatolási feltétellel a 4. fejezet tartalmaz hasonló eredményt. A 4. fejezet eredményeihez legközelebb áll Krisztin és Arino [KA] dolgozata, amely egy késlel-tetett negatív visszacsatolást modellező egyenlet lassan oszcilláló megoldásainak szerkezetét tartalmazza.

Új eredmények és alkalmazott módszerek Az értekezésben fúnkcionál-differenciálegyenletek két különböző osztályára bi-

zonyítunk eredményeket, Ezen eredményeket a [B1,B2,B3] dolgozatok tartalmaz-zák.

A 2. fejezetben az állapotfüggő neutrális differenciálegyenletek egy osztályát tekintjük, és becsüljük az egyenletben adott paraméterek azon tartományát, ahol a tekintett egyenlet x = 0 megoldása stabil.

A 3. fejezetbeii monoton dinamikus rendszerekre vonatkozó olyan eredményt bizonyítunk, amely alkalmazható az állapotfüggő retardálású differenciálegyen-letek egy osztályára.

A 4. fejezetben belátjuk az előző fejezetben tekintett állapotfüggő re-tardálású differenciálegyenletre nemtriviális periodikus pálya valamint a 0 egyen-súlyi helyzetet a periodikus pályával összekötő homoklinikus pálya létezését.

10

Most áttekintjük az egyes fejezetekben tárgyalt konkrét problémákat és ered-ményeket. Bevezetjük az alábbi jelöléseket. Adott A0 > 0 esetén legyen C = C([-Ao,0],R). Adott t0 € R+, w e R+, y G C([t0-A0 , tp+w],R) és t G [tp,tp+w] esetén yteC függvény az yt{r) = y(t + r) képlettel definiált minden r G [—Ao, 0] esetén.

A 2. fejezetben a

(1) í [ae(t) - px(t - r(t, xt))] = -q(t) x(t - s(i, x t))

nemlineáris állapotfüggő neutrális differenciálegyenletet tekintjük, ahol p € R, q G C(R+,R), r € C(R+ x C,R), s G C(R+ x C,R), és létezik r0 , s0 G [0, A0] úgy hogy r(R+ x C ) c [0,ro] és s(R+ x C) C [0,so].

Ismert, hogy bizonyos esetekben a neutrális differenciálegyenletek ekvi-valensek végtelen késleltetést tartalmazó retardált egyenletekkel [St]. Ezzel a módszerrel tanulmányozzák a szerzők neutrális egyenletek stabilitását a [HKW,HKTW,KW1,KW2] dolgozatokban. A 2.2 szakaszban nem az a célunk, hogy az (1) egyenletet egyetlen, végtelen retardálású egyenletté transzformáljuk. Ilyen transzformáció lehet nem is létezik a mi esetünkben. Az (1) egyenlet min-den rögzített megoldásához hozzárendelünk egy végtelen késleltetést tartalmazó egyenletet, amire alkalmazzuk Krisztin [KI] eredményét. A fő eredményeket az alábbi tételekben foglaljuk.

2.2.2 Tétel. Tégyük fel, hogy 0 < p < 1 és létezik q0 G R+ úgy hogy 0 < q(t) < qo minden t > 0 esetén. Legyen K = {k G N : So + hro < (i) Ha a

gpSp g o r 0 p qg y ^ / 1 ~ P o . *2jfe ^ , / 0

feltétel tejesül, és to e R+ esetén az x : [tp — Ao,oo) —* R függvény az (1) egyenlet egy megoldása, akkor

j t _ ||x(|| < |jxt0||- e5/2 minden t > to esetén.

1 -p (ii) Ha

¡¡QSQ qQr0p qg JfcrjLlV g 3/2 1 - P (1 — P)2 2(1 — p) qo 80 kTo)p <3/2

10

és lim inft—oo q(t) > 0, akkor az (1) egyenlet x = 0 megoldása aszimptotikusan stabil.

2.2.3 Tétel. Tegyük fel, hogy 0 < p < 1 és létezik q0 € R+ úgy hogy 0 < <?(í) < 9o minden t> 0 esetén. (1) Ha a

9o sp qorpp 1 - P + ( 1 - P ) 2 ~

feltétel teljesül és to e R+- esetén az x : [to - Ao,oo) —> R függvény az (1) egyenlet egy megoldása, akkor

||xt|| < | |x t o | | i - Í^e5 / 2 minden t > to esetén.

(ii) Ha 90 so 9o rop 1 P (1 p)2

és lim inft_>00 q(t) > 0, akkor az (1) egyenlet x = 0 megoldása aszimptotikusan stabil.

A 2.3 szakaszban Wu és Yu [WY] konstans késleltetésű neutrális egyenletre vonatkozó attraktivitási eredményét általánosítva az (1) egyenletre, kapjuk az alábbi tételt.

2.3.3 Tétel. Tegyük fel, hogy |p| < q(t) > 0 minden elég nagy t € R esetén, rOO

/ q(r) dr = oo, Jt 0

2|p|(2 - |p|) + lim sup í q(r) dr <\ t—OQ Jt-So L

és

(2)

minden y e C([—Ao, oo), R) esetén a [0, oo) 9 11-» t — s(t, yt) € R függvény növő.

Ekkor az (1) egyenlet minden megoldása tart 0-hoz t —» oo esetén.

A (2) feltétel fontos szerepet játszik nem neutrális retardált egyenletek esetén is [KA]. Számos alkalmazásban az s(t,yt) retardálás az

f , , %M) dr = ko Jt — s(t, yt)

10

egyenlőséggel definiált, ahol k(t) egy pozitív folytonos függvény, ko pedig egy po-zitív valós szám. Az ilyen módon definiált retardálások esetén teljesül a (2) feltétel.

Megemlítjük, hogy a 2.3.3 Tétel kiterjeszthető az

| [x(t) - px(t - r(t, s,))] = f{t, xt)

egyenletre, az / függvényre tett megfelelő feltételek esetén. A kiterjesztés a szoká-sos technikákkal történik.

A 3. fejezetben monoton dinamikus rendszerekre vonatkozó olyan eredményt bizonyítunk, amely alkalmazható az

(3) £(t) = -,ix(t) + f(x(t - r)), r = r(x(t))

állapotfüggő retardálású differenciálegyenletre, ahol p > 0, / és r sima valós függ-vények, /(0) = 0 és / ' > 0.

Előbb tekintsük az r = konstans esetet. Ekkor a (3) egyenlet egy T szemidi-namikus rendszert generál a végtelen dimenziós C([-r, 0], R) fázistéren. K = {<j>£ C([—r,0],R) : <j>(s) > 0 minden s € [—r, 0]} kúp egy < parciális rendezést definiál a C([—r,0],R) téren. Az / ' > 0 feltétel garantálja T monotonitását, azaz minden

i> 6 C([-r, 0], R), 4><il> esetén F(t, 4>) < F(t, ifi) minden t > 0-ra. Az is igaz, hogy T erősen rendezéstartó, azaz T monoton, és minden i/> e C{[—r, 0],R) elemre amelyre <j> < ip, létezik to > 0 és létéznek U, V környezetei <t> illetve ip-nek a fázistérben úgy hogy T(to,U) < T{ta, V). így Smith és Thieme eredményét [S,ST3] alkalmazva kapjuk, hogy C([-r, 0], R) egy nyitott és sűrű halmazához tar-tozó pontjainak u-limeszhalmaza egy egyensúlyi helyzetből áll.

Megemlítjük, hogy Smith és Thieme hasonló eredményeket kapott nem kvázi monoton funkcionál-differenciálegyenletekre [ST1,ST2] is, azaz az / ' > 0 feltételnél gyengébb feltétel esetén.

Az r = r(x(t)) esetben a (3) egyenlet jóval bonyolultabbá válik; nem nyil-vánvaló mi a fázistér, a megoldások létezésének és egyértelműségének igazolása valamint a folytonos függés bizonyítása sem a szokásos módon történik. A 3.2 sza-kaszban megmutatjuk, hogy megfelelően megválasztott R > 0 és A > 0 konstan-sok esetén fázistérnek tekinthető a [-Ü, 0] intervallumot a [—A, A] intervallumba képező Lipschitz folytonos függvények X metrikus tere. Ezen a téren a (3) egyen-let egy F szemidinamikus rendszert generál. A fő probléma az, hogy F nem erősen

10

rendezéstartó. így Smith és Thieme eredménye nem alkalmazható. Belátjuk, hogy F rendelkezik az erősen rendezéstartásnál egy gyengébb tulajdonsággal; F gyengén rendezéstartó, azaz F monoton, és minden </>, ip e X elemre amelyre $ < ip és F(t, <f>) jí F(t, <f>) minden t > 0 esetén, létezik to > 0 és léteznek U, V környezetei <t> illetve nek X-ben úgy hogy F(t0,U) < F(to,V). Célunk gyengén rendezés-tartó szemidinamikus rendszerekre vonatkozó konvergencia eredmény bizonyítása. Ebből a szempontból nagy jelentőségű az alábbi feltétel, amelyet szintén teljesít az F szemidinamikus rendszer. Ha $ és il> az X egy kompakt és invariáns hal-mazához tartozik, akkor <j> <if> esetén következik, hogy F(t, <j>) F(t, ip) minden ,t > 0 esetén.

Megjegyezzük, hogy a monotonitás igazolásához / ' > 0 feltétel gyengíthető mint az [ST1,ST2] dolgozatokban, viszont döntő fontosságú az előbbi tulajdonság ellenőrzése esetén. A 3.3 szakaszban bebizonyítjuk a következő konvergencia tételt, amely Smith és Thieme eredményének [S,ST3] egy módosítása.

3.1.1 Tétel. Tekintsünk egy X metrikus teret egy zárt parciális rendezési relá-cióval és egy $ szemidinamikus rendszert X-en. Tételezzük fel, hogy:

(Ai) ha x és y X egy kompakt, invariáns halmazának elemei, akkor x < y esetén következik, hogy $(t, x) $(t, y) minden t > 0 esetén,

(A2) $ gyengén rendezéstartó, (A3) minden X-beli pont approximálható alulról vagy felülről X-ben, (A4) minden X-beli ponton átmenő pálya lezártja kompakt X-ben, és (Ag) minden X-beli pontot alulról vagy felülről approximáló sorozat u-limeszhalma-

zának lezártja kompakt X-ben. Ekkor X egy nyitott és sűrű halmazához tartozó pontjainak ui-limeszhalmoza az egyensúlyi helyzetek halmazához tartozik.

A 3.1.1 Tétel és a Smith és Thieme eredménye közötti különbségek a következők. A 3.1.1 Tételben lévő (Ai) feltétel nem szerepel Smith és Thieme eredményében, a 3.1.1 Tételbeli $ szemidinamikus rendszer gyengen rendezés-tartó az erősen rendezéstartó tulajdonság helyett, amit Smith és Thieme használ, és az approximálás definíciója tételünkben különbözik a Smith és Thieme által használttól. Az (Ai) feltételnek köszönhetően a 3.1.1 Tétel bizonyítása Smith és Thieme tételének bizonyításához hasonlóan történik.

10

A 3.2 szakaszban olyan (eltételeket adunk az / és r függvényekre, amelyek biztosítják konvergencia tételünk alkalmazhatóságát a (3) egyenletre.

3.2.16 Tétel. Ha. f és r teljesíti a

feltételeket, akkor X egy nyitott és sűrű halmazához tartozó pontjainak w-limeszhalmaza egy egyensúlyi helyzetből áll.

A 4. fejezetben belátjuk az előző fejezetben tekintett késleltetett, pozitív visz-szacsatolást modellező egyenletre egy nemtriviális periodikus pálya valamint a 0 egyensúlyi helyzetet a periodikus pályával összekötő homoklinikus pálya létezését. Ez az eredmény azt is mutatja, hogy a 3.2.16 Tételben minden megoldás konver-genciája nem állítható.

A végtelen dimenziós dinamikus rendszerek geometriai elméletének új ered-ményeit felhasználva tanulmányozták a szerzők [KWW] monográfiában és a [K2,K3,KW] dolgozatokban a globális attraktor finom szerkezetét a (3) egyenlet r = 1 esetére. Az r = r(x(t)) eset bonyolultabb. Habár számos ötlet a konstans késleltetés esetén kapott eredményekből alkalmazható az állapotfüggő retardálású (3) egyenletre, mégis nemtriviális módosítások szükségesek a szokásos technikák-ban. Az általunk alkalmazott fontosabb technikai eszközök a következők: monoton dinamikus rendszerekre vonatkozó konvergencia eredmény a 3. fejezetből, 0 egy instabil sokaságára vonatkozó eredmény a [K4] dolgozatból, valamint a [KA] dolgo-zathoz hasonlóan definiált, a megoldások zéróhelyeit számláld diszkrét Lyapunov funkcionál.

A 4.1 szakaszban felelevenítjük az előző fejezetből az / és r függvényre tett feltételeket és az alapvető eredményeket. Fázistérnek tekintjük azon Jf-beli elemek terét, amelyeknek Lipschitz állandója nem nagyobb mint M, ahol

m

> > 0 ,

/ e CX(R,R), /(0) = 0, /'(ti) > 0 minden u 6 R esetén,

létezik A> 0 úgy hogy |/(u)| < p\u\ minden |u| > A esetén,

, r e Cx(R,R), r(0) = 1, r([-A, A]) C (0,oo)

10

Az r függvényre tett további feltétel bevezetésével biztosítjuk a bizonyításokban fontos szerepet játszó t i-» t - r(x(t)) függvény szigorúan növő voltát. Például r ' kicsisége vagy r konkávitása elegendőnek bizonyul. Továbbá szükségünk van néhány eredményre a (3) egyenlethez rendelt

x(t) = -px(t) + f'(0)x(t - 1)

lineáris egyenletre vonatkozóan. Ezen lineáris egyenlet által definiált félcsoport generátorának spektrumát egyszeres multiplicitású sajátértékek alkotják. Létezik egy Ao valós sajátérték. A többi sajátérték (Ak, Ak), k £ N\{0}, komplex konjugált párokat alkot úgy hogy, (2fc — l)ir < ImAk < 2kn, ReAk+i < ReAfc < Ao, k > 1, és ReAk —» —oo amint k —» oo. Feltesszük hogy ReAi > 0.

A 4.2 szakaszban bevezetjük azon Af-beli függvények S halmazát, amelyeken átmenő megoldások oszcillálnak a [0, oo) intervallumon. Belátjuk, hogy S pozitív invariáns, zárt, és nem létezik 0, 0 e S úgy hogy 0 < 0.

A 4.3 szakaszban a [K4] dolgozatbeli 4.1 Tétel alapján állítjuk, hogy létezik 0-nak egy 3-dimenziós lokális instabil sokasága, amely 0-ban érinti a (Ao, Aj, Aj} spektrálhalmaz valós általánosított sajátterét. Szintén a 4.1 Tételből következik, hogy az instabil sokaság elég kis <j> elemeire, létezik 0- n átmenő, (—oo, 0] interval-lumon definiált olyan megoldás, amely 0-hoz tart amint t —> —oo. Ezen lokális instabil sokaság pozitív irányban való kiterjesztésével konstruáljuk meg 0-nak egy W-vel jelölt instabil halmazát. Igazoljuk, hogy W és W n S kompakt és invariáns halmazok, valamint W D S \ {0} nem üres és szintén invariáns.

A 4.4 szakaszban definiálunk egy, a megoldások előjeleit számláló diszkrét Lya-punov funkcionált. Igazoljuk, hogy W fi S különböző 0, tp elemeire a 0—0 különb-ségnek egy vagy két előjelváltása van a [-r(0(O)),O] intervallumon. Ez a tulaj-donság garantálja egy, a WTTS halmazt R2-be képező leképezés injektivitását a 4.5 szakaszban.

A 4.5 szakaszban bizonyítjuk a fejezet fő eredményét.

4.5.4 Tétel. (i) A (3) egyenletnek létezik egy T 6 (1,2) főperiodussel rendelkező p : R -» R

periodikus megoldása.

10

(ü) Bármely <t> e W n 5 \ {0} esetén, a (3) egyenletnek létezik egyetlen olyan x* : R —» R megoldása, amelyre Xq = <t>, xf Q amint t —» —oo, w(0) = (p t : t e [0,r)}, és az xf függvénynek egy vagy két előjelváltása van a [—r(as*(t)),0] intervallumon minden t e R esetén.

10

Irodalomjegyzék [AHH] O. Arino, K. P. Hadeler and M. L. Hbid, Existence of periodic solutions for de-

lay differential equations with state dependent delay, J. Differential Equations 144 (1998), 263-301.

[Bl] M. Bartha, On stability properties for neutral differential equations with state-dependent delay, Differential Equations and Dynamical Systems 7 (1999), 197-220.

[B2] M. Bartha, Convergence of solutions for an equation with state-dependent delay, J. Mathematical Analysis and Applications 254 (2001), 410-432.

[B3] M. Bartha, Periodic solutions for differential equations with state-dependent delay and positive feedback, to appear in Nonlinear Analysis.

[BM] M. Biiger and M. R. W. Martin, The escaping disaster: A problem related to state dependent delay, preprint.

[HKW] J. R. Haddock, T. Krisztin and J. Wu, Asymptotic equivalence of neutral equations and infinite delay equations, Nonlinear Anal. 14 (1990), 369-377.

[HKTW] J. R. Haddock, T. Krisztin, J. Terjéki and J. Wu, An invariance principle of Lyapunov-Razumikhin type of neutral functional differential equations, J. Differential Equations 107 (1994), 395-417.

[KI] T. Krisztin, On stability properties for one-dimensional functional differential equations, Punkcialaj Ekvacioj 34 (1991), 241-256.

[K2] T. Krisztin, Unstable sets of periodic orbits and the global attractor for de-layed feedback, Fields Institute Communications, Vol. 29, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001, 267-296.

[K3] T. Krisztin, The unstable set of zero and the global attractor for delayed mono-tone positive feedback, An added volume to Discrete and Continuous Dynam-ical Systems (2001), 229-240.

[K4] T. Krisztin, A local unstable manifold for differential equations with state-dependent delay, preprint 2002.

[KA] T. Krisztin and O. Arino, The 2-dimensional attractor of a differential equation with state-dependent delay, J. Dynamics and Differential Equations 13 (2001), 453-522.

[KW] T. Krisztin and H.-O. Walther, Unique periodic orbits for delayed positive

10

feedback and the global attractor, J. Dynamics and Differential Equations 13 (2001), 1-57.

[KWW] T. Krisztin, H.-O. Walther and J. Wu, Shape, Smoothness and Invariant Strat-ification of an Attracting Set for Delayed Monotone Positive Feedback, Fields Institute Monographs, Vol. 11, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999.

[KW1] T. Krisztin and J. Wu, Asymptotic periodicity, monotonicity and oscillations of solutions of scalar neutral functional differential equations, J. Math. Anal. Appl. 199 (1996), 502-525.

[KW2] T. Krisztin and J. Wu, Asymptotic behaviors of solutions of scalar neutral func-tional differential equations, Differential Equations and Dynamical Systems 4 (1996), 351-366.

[KS] Y. Kuang and H. L. Smith, Slowly oscillating periodic solutions of autonomous state-dependent delay differential equations, Nonlinear Analysis 19 (1992), 855-872.

[MPN1] J. Mallet-Paret and R.D. Nussbaum, Boundary layer phenomena for differential delay equations with state-dependent time lags: I, Arch. Rational Mech. Anal. 120 (1992), 99-146.

[MPN2] J. Mallet-Paret and R. D. Nussbaum, Boundary layer phenomena for differential-delay equations with state-dependent time lags: II, J. Reine Angew. Math. 477 (1996), 129-197.

[MPNP] J. Mallet-Paret, R. D. Nussbaum and P. Paraskevopoulos, Periodic solutions for functional differential equations with multiple state-dependent time lags, Topol. Methods Nonlinear Anal. 3 (1994), 101-162.

[S] H. L. Smith, Monotone Dynamical Systems: An Introduction to the Theory Of Competitive and Cooperative Systems, Amer. Math. Soc., Providence, 1995.

[ST1] H. L. Smith and H. Thieme, Monotone semiflows in scalar non-quasi-monotone functional differential equations, J. Math. Anal. Appl. 150 (1990), 289-306.

[ST2] H. L. Smith and H. Thieme, Strongly order preserving semiflows generated by functional differential equations, J. Differential Equations 93 (1991), 332-363.

[ST3] H. L. Smith and H. Thieme, Quasi Convergence for strongly ordered preserving semiflows, SIAM J. Math. Anal. 21 (1990a), 673-692.

[St] O. J. Staffans, A neutral FDE whith stable D-operator is retarded, J. Differ-

10

ential Equations 49 (1983), 208-217. [W] H.-O. Walther, Stable periodic motion of a system with state dependent delay,

Differential and Integral Equations 15 (2002) 923-944. [WY] J. Wu and J. S. Yu, Convergence in nonautonomous neutral differential equa-

tions, Dynamic Systems and Appl. 4 (1995), 279-290. [Y] J. A. Yorke, Asymptotic stability for one dimensional differential equations, J.

Diff. Eqns. 7 (1970), 189-202.

10