Spojrzenie fizyka na Hipotezę Riemanna

Marek Wolf

Wydział Matematyczno – Przyrodniczy. Szkoła Nauk Ścisłych.Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego

ul. Wóycickiego 1/3, PL-01-938 Warszawa, e-mail: m.wolf@uksw.edu.pl

Motto: „...patrząc na liczby pierwsze, ma się wrażenie przebywaniaw obecności niewytłumaczalnej tajemnicy stworzenia”

Don Zagier w [97, str.8, lewa kolumna]

1 Wstęp

Między matematyka a fizyką istnieje wiele związków. W pierwszej części „Analizy” K.Maurina[57] na stronie 25 możemy przeczytać zdanie: „Niektórzy fizycy uważają mate-matykę za język fizyki”. Wiele działów matematyki powstało z potrzeby sformalizowaniai uściślenia rachunków przeprowadzanych przez fizyków (np. teoria przestrzeni Hilber-ta, teoria dystrybucji, geometria różniczkowa, ...). W niniejszym artykule przedstawimysytuację odwrotną, gdy sławny problem matematyczny, być może, uda się udowodnić me-todami fizyki matematycznej albo obalić doświadczalnie. Chodzi o Hipotezę Riemanna,sformułowaną w roku 1859 w słynnym ośmiostronicowym artykule Riemanna „Ueber dieanzahl der primzahlen unter einer gegebenen grosse” 1 [71], będącym zapisem jego wy-kładu wygłoszonego w związku z wyborem na członka korespondenta Akademii Nauk wBerlinie. Znaczenie Hipotezy Riemanna (w dalszej części będziemy używać skrótu HR)wynika stąd, że zapewne kilka tysięcy twierdzeń zaczyna się od słów” „Załóżmy prawdzi-wość Hipotezy Riemanna, wtedy . . ..”

W roku 1900 podczas Kongresu Matematycznego w Paryżu D. Hilbert ogłosił listę 23problemów na XX wiek. Problem VIII składał się z dwóch części: Hipotezy Goldbacha iHipotezy Riemanna. W roku 2000 HR pojawiła się na liście 8 problemów Clay Mathe-matics Institute na trzecie tysiąclecie, tym razem z obiecaną nagrodą 1000000 dolarówamerykańskich za jej rozstrzygnięcie. W obecnym wieku ukazało się wiele książek po-pularnonaukowych poświęconych HR: [20], [78], [77], [74], [80]. Książka Derbyshire mia-ła polskie wydanie [21], w języku polskim ukazała się też publikacja K. Maślanki [56],polecamy również artykuł J. Kaczorowskiego [42]. Klasyczne dzieła poświęcone HR to:[90], [25], [38], [44]; książka [10] jest zbiorem oryginalnych prac poprzedzonych długimwstępem. Źródłem wielu informacji jest także strona internetowa Number Theory and

1O liczbie liczb pierwszych poniżej danej wielkości

Physics http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/physics.htm prowadzonaprzez M. Watkinsa. W roku 2011 ukazała się praca „Physics of the Riemann hypothesis”napisana przez D. Schumayera i D. A.W. Hutchinsona [82], omawiająca związki HR z fi-zyką. Temat jest bardzo obszerny i zmuszeni jesteśmy do dokonania wyboru omawianychzagadnień. W następnym paragrafie przedstawiamy krótko historię HR. Trzeci rozdziałpoświęcony jest związkom HR z mechaniką kwantową, a czwarty z mechaniką statystycz-ną. W ostatnim natomiast paragrafie zebrane są różne fizyczne interpretacje HR.

2 Krótka prezentacja Hipotezy Riemanna

Od czasów Euklidesa (około 330 p.n.e.) wiadomo, że istnieje nieskończenie wiele liczbpierwszych 2, 3, 5, 7, 11, . . . , pn, . . ., dowód zamieszczony w Elementach był nie wprost.Pierwszy dowód wprost podał L. Euler około roku 1740, wykazując, że suma harmonicznapo liczbach pierwszych pn jest rozbieżna:

∑pn<x

1pn∼ log log(x).

Naturalne jest pytanie o to, ile jest liczb pierwszych wśród liczb naturalnych mniejszychniż x. Tradycyjnie funkcję odpowiadającą na to pytanie oznacza się przez π(x), tzn.π(x) =

∑n Θ(x− pn), gdzie Θ(x) jest funkcją schodkową Heaviside’a: przyjmuje wartość

0 dla ujemnych x i wartość 1 w pozostałych przypadkach. Okazuje się, że tak nieregularnafunkcja może być przybliżona przez proste wyrażenie. Mianowicie Carl Friedrich Gaussjako nastolatek odkrył, że trend wzrostu π(x) opisany jest przez logarytm całkowy Li(x):

π(x) ∼ Li(x) :=∫ x

2

du

log(u). (1)

Symbol f(x) ∼ g(x) oznacza tutaj limx→∞ f(x)/g(x) = 1.Drogę prowadzącą do dowodu (1) wskazał Bernhard Riemann w pracy [71]. Punktem

wyjścia był wzór otrzymany przez Eulera:

ζ(s) :=∞∑n=1

1ns

=∞∏p=2

1(1− 1

ps

) , s = σ + ıt, <[s] = σ > 1. (2)

po prawej stronie iloczyn przebiega po wszystkich liczbach pierwszych p = 2, 3, 5, . . ..Osobliwość w iloczynie po prawej stronie dla p = 1 jest jednym z powodów, dla którychpierwszą liczbą pierwszą jest 2 a nie 1, która nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną.W rzeczywistości Euler rozważał powyższy wzór dla naturalnych argumentów k ­ 2 (dlak = 1 mamy rozbieżny szereg harmoniczny): ζ(k) =

∑∞n=1

1nk

, a Riemann rozszerzyłdziedzinę tej funkcji na całą płaszczyznę zespoloną s = σ + ıt bez s = 1 (ı2 = −1, wdalszej części gwiazdka będzie oznaczać sprzężenie zespolone (a + ıb)? = a − ıb, a, b sąrzeczywiste). Dla s na lewo od linii <[s] = 1 Riemann określił dzetę przez przedłużenieanalityczne

ζ(s) =Γ(−s)

2πı

∫ +∞+∞

(−x)s

ex − 1dx

x, (3)

gdzie∫+∞+∞ oznacza całkę po poniższym konturze

2

6

-���� -�

Występująca w (3) funkcja gamma Γ(z) ma wiele reprezentacji, np. w postaci iloczynuWeierstrassa:

Γ(z) =e−γz

z

∞∏k=1

(1 +

z

k

)−1ez/k . (4)

Z tej definicji widać, że Γ(z) jest zdefiniowana dla wszystkich liczb zespolonych z z pomi-nięciem z = 0,−1,−2, . . . ,−n, . . ., gdzie Γ ma bieguny proste. Najpopularniejsza definicjafunkcji gamma za pomocą całki Γ(z) =

∫∞0 e−ttz−1dt jest słuszna tylko dla <[z] > 0. Obec-

nie znanych jest kilkadziesiąt innych przedstawień funkcji ζ(s), praca [59] zawiera przeglądreprezentacji całkowych dla ζ(s). Riemann wykazał dalej, że ζ(s) spełnia równanie funk-cyjne:

π−s2Γ(s

2

)ζ(s) = π−

1−s2 Γ

(1− s2

)ζ(1− s), dla s ∈ C \ {0, 1}. (5)

Powyższa postać równania funkcyjnego jest jawnie symetryczna względem linii prostej<(s) = 1/2: zamiana s → 1

2 + s po obu stronach (5) pokazuje, że kombinacja funkcjiπ−

s2Γ(s2

)ζ(s) przyjmuje tę samą wartość w punktach 12 + s oraz 12 − s.

W pracy [71] Riemann w heurystyczny sposób wyprowadził dokładny wzór na π(x):

π(x) =N∑n=1

µ(n)n

(Li(x1/n)−

∑ρ

Li(xρ/n)). (6)

We wzorze powyżej µ(n) oznacza funkcję Mobiusa:

µ(n) =

1 dla n = 10 gdy n jest podzielne przez kwadrat liczby pierwszej p: p2|n(−1)r gdy n = p1p2 . . . pr

(7)

Powyższa definicja µ(n) wynika z (2) po napisaniu szeregu Dirichleta na odwrotnośćfunkcji dzeta:

1ζ(s)

=∞∏p=2

(1− 1

ps

)=∞∑n=1

µ(n)ns

. (8)

Możemy w tym miejscu wspomnieć, że funkcja Mobius ma fizyczną interpretację: miano-wicie w [88] pokazano, że µ(n) można uważać za operator (−1)F , dający liczbę fermionóww kwantowej teorii pola. W takim podejściu równość µ(n) = 0 dla n podzielnego przezkwadrat liczby pierwszej można interpretować jako zasadę wykluczenia Pauliego.

Sumowanie w (6) po ρ oznacza sumowanie po rozwiązaniach równania ζ(ρ) = 0, czylipo zerach dzety. Riemann udowodnił, że ζ(s) ma trywialne zera ζ(−2n) = 0 i możnawykazać, że ich wkład do (6) jest zaniedbywalny (jest rzędu 0.14). Z kolei nietrywialnezera ρn mogą istnieć tylko wewnątrz pasa krytycznego 0 ¬ <(s) ¬ 1, gdyż dla <(s) > 1żaden czynnik iloczynu po p w (2) nie znika. Riemann założył, że te wszystkie nietrywialnezera ρn (był przekonany, że jest ich nieskończenie wiele, p. poniżej wzór (13) na liczbę zerN(T )) leżą na prostej krytycznej dokładnie pośrodku pasa krytycznego, tzn. mają częśćrzeczywistą równą 12 :

3

Hipoteza Riemanna: ρn = 12 + ıγn. (9)

Z symetrii równania funkcyjnego (5) względem linii prostej <(s) = 1/2 oraz symetrii

względem sprzężenia zespolonego ζ(s?) = (ζ(s))? wynika, że jeżeli ρn = βn + iγn jestzerem, to ρ?n = βn − iγn i 1− ρn, 1− ρ?n są także zerami.

Dla zespolonych argumentów z powodu wieloznaczności funkcji logarytm nie możnaposługiwać się definicją podaną w (1) i dla zespolonych argumentów logarytm całkowyjest zdefiniowany przez Li(xρ) = Li(eρ log(x)), gdzie dla z = u+ ıv, v 6= 0:

Li(ez) =∫ u+ıv

−∞+ıv

ew

wdw. (10)

Równość (6) jest zdumiewająca: pomiędzy liczbami pierwszymi wykresem π(x) jest po-ziomy odcinek, wiec suma po wszystkich zerach musi dać w sumie z rosnącym trendem∑Nn=1

µ(n)n

Li(x1/n) funkcję odcinkami stałą, która będzie skakać o jeden przy przejściuargumentu x przez kolejne liczby pierwsze, Ilustruje to wykres na Rys. 1. Ściśle rzeczbiorąc, szereg w (6) daje limε→∞{π(x − ε) + π(x + ε)}, więc dla dla x będącego liczbąpierwszą, wartość otrzymana z szeregu po prawej stronie (6) leży w połowie pionowegostopnia między poziomymi odcinkami o rzędnych będących kolejnymi liczbami natural-nymi, zob. Rys. 1(b). Wzór (6) nie został dotychczas udowodniony, zresztą szereg w (6)nie może być absolutnie zbieżny, gdyż wtedy nieskończona suma ciągłych składnikówbyłaby funkcją ciągłą. Zadziwiające twierdzenie Riemanna o szeregach warunkowo zbież-nych (p. np. [76, tw. 3.54, str. 66]) mówi, że jeżeli szereg jest warunkowo zbieżny, to jegowyrazy można przepermutować w taki sposób, aby nowo otrzymany szereg był zbieżnydo dowolnej liczby. Odnośnie szeregu w (6) Riemann stwierdza, że naturalna kolejnośćsumowania po rosnących wartościach γn jest tą właściwą dającą wartość π(x) i zauwa-ża „mimochodem”, że zamiana porządku wyrazów może dać w wyniku dowolną liczbę:„durch veranderte Anordnung aber wurde sie jeden beliebigen reellen Werth erhaltenkonnen” („przez zamianę porządku można dostać każdą dowolną wartość rzeczywistą”).

W roku 1896 J. S. Hadamard (1865 – 1963) and Ch. J. de la Vallee Poussin (1866 –1962) niezależnie wykazali, że ζ(s) nie ma zer na linii 1 + it, czyli |xρ| < x. Zatem z (6)wynika, że suma po zerach nietrywialnych będzie zawierać składnik x w potędze mniejszejniż 1, więc dominujący wkład będzie pochodzić z pierwszego wyrazu w (6) µ(1)Li(x) gdyżlogarytm całkowy ma rozwinięcie asymptotyczne (tzn. szereg ten należy przerwać przyn(x) > log(x), kiedy jego wyrazy zaczynają rosnąć) postaci:

∫ dx

log x=

x

log(x)+

x

log2(x)+

2xlog3(x)

+6x

log4(x)+· · ·+ n!x

logn+1(x)+(n+1)!

∫ dx

logn+2 x, (11)

wynikające z całkowania przez części po prawej stronie (1). Gdy HR jest prawdziwa,wtedy wszystkie wyrazy w sumie po ρ we wzorze (6) będą miały wspólny czynnik

√x

a kombinacja składników postaci eıγn log(x) dla większości x daje oscylacje o amplitudziemniejszej niż

√x. Przykładem takich x, gdzie wyrazy te nie skracają się i „konspirują”,

aby ich suma dała znaczącą wartość jest liczba Skewesa xS, tzn. najmniejsza taka wartośćx, że po raz pierwszy zachodzi nierówność π(xS) > Li(xS), zob. np. [43] i cytowanetam prace. Ten wspólny czynnik

√x (przy założeniu HR) pomnożony przez sumę „fal”

eıγn log(x) sugeruje, że błąd w (1) przybliżenia π(x) przez Li(x) też powinien być rzędu√x.

4

Rysunek 1: Porównanie wykresu π(x) i prawej strony (6) z sumą po 50 i 500 nietrywialnychzerach ζ(s). Dla x będących liczbami pierwszymi wyraźnie widać, że niebieska linia przecinapionowe stopnie „schodów” wykresu π(x) głownie w ich połowie. Na rys. (b) pokazane jest tenefekt w powiększeniu wokół x = 31. Jest to zjawisko analogiczne do występującego w twierdzeniuDirichleta o zbieżności szeregów Fouriera.

Istotnie, L. Schoenfeld udowodnił [81, Corollary 1], że HR jest równoważna następującemujawnemu (tzn. bez żadnych ukrytych stałych) ograniczeniu na różnicę π(x)− Li(x):

HR ⇔ |π(x)− Li(x)| ¬ 18π√x log(x) dla wszystkich x ­ 2657. (12)

Na początku lat trzydziestych ubiegłego wieku Carl L. Siegel uzyskał dostęp do zacho-wanej spuścizny („Nachlass”) po Riemannie przechowywanej w bibliotece Uniwersytetuw Getyndze i przez blisko dwa lata pracowicie i z uporem studiował, zapisane trudnoczytelnym charakterem pisma, jego notatki. Okazało się, że Riemann znalazł formułę po-zwalającą obliczać wartości funkcji dzeta, o której nie wspomniał w swej jedynej pracy po-święconej teorii liczb [71]. Za pomocą tej formuły, obecnie nazywanej wzorem Riemanna–Siegela, Riemann znalazł przybliżone wartości kilku najniższych nietrywialnych zer dzetyi stwierdził, że wszystkie one mają część rzeczywistą równą 12 . W tabeli 1 prezentujemyprzybliżone wartości 10 pierwszych miejsc zerowych dzety w pasie krytycznym. W ro-ku 1903 J.P. Gram [34] wyliczył pierwszych 15 zer ζ(s); w czerwcu 1950 Allan Turingwykorzystał komputer Mark 1 na Uniwersytecie w Manchester do wyliczenia 1104 zer.

5

Ciekawostką jest to, że Turing nie wierzył w prawdziwość HR i przeprowadził oblicze-nia „... w nadziei, że będzie można znaleźć zera poza linią krytyczną”, zob. [91, str. 99].Dziesięć lat temu S. Wedeniwski (2005) kierował internetowym projektem zetagrid [93],w ramach którego w ciągu czterech lat stwierdzono, że 1011 zer jest na linii krytycznej,tzn. na linii 12 + ıt aż do t < 29, 538, 618, 432.236.

Tabela 1

n 12 + ıγn n 1

2 + ıγn1 1

2 + ı14.134725142 . . . 6 12 + ı37.586178159 . . .

2 12 + ı21.022039639 . . . 7 1

2 + ı40.918719012 . . .3 1

2 + ı25.010857580 . . . 8 12 + ı43.327073281 . . .

4 12 + ı30.424876126 . . . 9 1

2 + ı48.005150881 . . .5 1

2 + ı32.935061588 . . . 10 12 + ı49.773832478 . . .

Niech N(t) oznacza funkcję zliczającą nietrywialne zera do T , tzn. N(T ) =∑n Θ(T −

=[ρn]). W swojej pracy z 1859 roku Riemann podał wzór:

N(T ) =T

2πlog

(T

2πe

)+

78

+O(log(T )), (13)

który został udowodniony w 1905 roku przez von Mangoldta. Na rys.2 pokazany jestwykres różnicy N(T )− T

2π log(T2πe

)− 78 do T = 5× 106.

Jak udowodnić HR? Praktycznie nikt nie stara się zrobić tego wprost. Znanych jestponad 100 kryteriów albo równoważnych HR albo takich stwierdzeń, z których prawdzi-wości wynika prawdziwość HR. Z braku miejsca podamy tutaj kilka takich kryteriów,które można zwięźle wyrazić. Kryterium Riesza: niech

R(x) =∞∑k=0

(−1)kxk+1

k!ζ(2k + 2).

M. Riesz w 1916 roku [72] udowodnił, że

HR ⇔ R(x) = O(x1/4+ε

).

W 2000 roku J. C. Lagarias [49] podał elementarne kryterium dla HR: HR jest rów-noważna spełnieniu poniższych nierówności dla wszystkich naturalnych n

σ(n) ≡∑d|nd ¬ Hn + eHn log(Hn), (14)

gdzie σ(n) jest sumą wszystkich dzielników n a Hn jest n-tą liczbą harmoniczną Hn =∑nj=1

1j. Aby obalić HR wystarczy znaleźć jedną wartość n, dla której powyższa nierówność

będzie naruszona. Ponieważ nie jest łatwo wyliczyć Hn dla n ∼ 10100000 z dostatecznądokładnością, K. Briggs [11] rozpoczął sprawdzanie na komputerze kryterium G. Robina[73] dla HR:

RH ⇔∑d|nd < eγn log log(n) for n > 5040. (15)

Dla niektórych n Briggs otrzymał dla różnicy między lewą a prawą stroną powyżej nie-równości wartość rzędu 10−6, a więc HR była bliska obaleniu. Podamy jeszcze krótkie w

6

sformułowaniu kryteria całkowe: V. V. Volchkov [92] udowodnił, że poniższa równość jestrównoważna prawdziwości HR:∫ ∞

0

1− 12t2

(1 + 4t2)3

∫ ∞12

log(|ζ(σ + it)|dσdt = π3− γ

32. (16)

W pracy [5] wykazano, że poniższa równość jest równoważna prawdziwości HR:∫<(s)= 12

log(|ζ(s)|)|s|2

|ds| = 0. (17)

Zauważmy, że przekonanie o ważności HR nie jest powszechne. Kilku słynnych mate-matyków, np. J.E. Littlewood, P. Turan i A.M. Turing nie wierzyli, że HR jest prawdziwa.A. Ivić zrobił przegląd powodów stawiających prawdziwość HR pod znakiem zapytania[39] (przedrukowany w [10, str.137]), który nosił znamienny tytuł „O kilku powodach, abywątpić w Hipotezę Riemanna”. Gdy A. J. Derbyshire zapytał Odlyzkę o jego opinię natemat słuszności RH ten odpowiedział „albo to jest prawda, albo nie jest prawda” [21,str. 389]. Na tej samej stronie można znaleźć argumenty Odlyzki, że jest mało prawdopo-dobnym znalezienie zera poza prostą krytyczną poniżej 1010

10000.

Rysunek 2: Wykres ilustrujący wzór (13) do T = 5 × 106. Gdyby pionowy odcinek (0, 1) miałdługość 4 cm, to pozioma oś, narysowana w skali liniowej zamiast w logarytmicznej, miałabydługość 200 km.

7

3 Mechanika kwantowa i Hipoteza Riemanna

Pierwsza metoda udowodnienia HR metodami fizycznymi została przedstawiona w 1914roku przez George Polya w trakcie rozmowy z Edmundem Landauem, który zapytał Po-ly’ę: „Znasz trochę fizykę. Czy jest jakiś fizyczny powód, dla którego HR miałaby byćprawdziwa?” Polya odpowiedział, że byłoby tak wtedy, gdyby HR dało się powiązać ztakim fizycznym problemem, którego wartości własne byłyby rzeczywiste i odpowiada-łaby nietrywialnym zerom dzety. Cała ta historia opisana jest w korespondencji Odlyzkiz 95 – letnim wówczas Polyą i udostępniona na stronie [17]. Należy podkreślić, że roz-mowa ta odbyła się wiele lat przed powstaniem mechaniki kwantowej i pojawieniem sięrównania Schroedingera na poziomy energetyczne. Prawdopodobnie Polya został zainspi-rowany przez prace Weyla [94] z lat 1911–1912 o rozkładzie wartości własnych laplasjanówokreślonych na zwartych obszarach, w szczególności o drganiach własnych bębnów (słyn-ny problem „Czy można usłyszeć kształt bębna?”, [41]). Później podobny pomysł miałprzedstawić D. Hilbert i obecnie używa się zwrotu „ przypuszczenie Hilberta-Polya” [17].Jeżeli HR jest prawdziwa, wtedy można nietrywialne zera uporządkować zgodnie z ro-snącą wartością części urojonej i próbować przyporządkować je w sposób 1–1 wartościomwłasnym pewnego operatora hermitowskiego (takie operatory mają rzeczywiste warto-ściom własne). Trzeba więc znaleźć kwantowy układ fizyczny opisany hamiltonianem opoziomach energetycznych En = γn. W mechanice kwantowej wartości energii En jakie-goś układu kwantowego otrzymuje się rozwiązując równanie Schrodingera bez czasu, czylizagadnienie na wartości własne postaci (gdy nie ma degeneracji)

Hψn = Enψn, (18)

gdzie H jest samosprzężonym (fizycy najczęściej nie odróżniają hermitowskości od sa-mosprzężoności — różnica między tymi pojęciami jest dla nich zbyt subtelna, zresztą wprzestrzeniach skończenie wymiarowych hermitowskość = samosprzężoność 2) operatoremnazywanym hamiltonianem badanego układu (klasycznie jest sumą energii kinetycznej ienergii oddziaływania) a ψn jest funkcją stanu („funkcją falową”) układu mającego energięEn. Symbolicznie ideę Hilberta-Polya można zapisać wzorem ζ(12+ıH) = 0, gdzie H† = Hi † oznacza sprzężenie hermitowskie: jeżeli w przestrzeni Hilberta, w której działa operatorA, zadany jest iloczyn skalarny (·, ·) to (A†x, y) = (x, Ay) dla wszystkich wektorów x, y zdziedziny A.

Około roku 1971 Hugh Montgomery zapytał: co można się dowiedzieć o odstępachmiędzy nietrywialnymi zerami, zakładając HR. Rezultat tych badań ukazał się dwa latapóźniej w roku 1973 [61]. W szczególności w pracy tej sformułował on przypuszczenie, żefunkcja korelacyjna urojonych części zer dzety ma postać (tutaj liczby 0 < α < β < ∞2P. Lax na str. 414 „Functional Analysis” [52] przytacza anegdotę:W 1960 Friedrichs spotkał Heisen-

berga i skorzystał z okazji, aby wyrazić mu głęboką wdzięczność matematyków za stworzenie mechanikikwantowej, która dała początek pięknej teorii operatorów na przestrzeni Hilberta. Heisenberg przyznał, żetak było; Friedrichs dodał następnie, że matematycy, w jakiejś mierze, się zrewanżowali. Wyglądało, żeHeisenberg nie wie o co chodzi, więc Friedrichs zwrócił uwagę, że von Neumann był tym matematykiem,który wyjaśnił różnicę między operatorem samosprzężonym i takim, który jest tylko symetryczny. „ A jakajest różnica”, zapytał Heisenberg.

8

są ustalone):

∑0<γ,γ′¬T

2παlog T ¬γ−γ

′¬ 2πβlog T

1→∫ β

α

(1−

(sin πuπu

)2)du, gdy T →∞. (19)

Wiosną 1972 Montgomery odwiedził Instytut Studiów Zaawansowanych w Princeton.Hinduski matematyk Sarvadamana D. S. Chowla, który urodził się w Londynie, zmusiłnieśmiałego Montgomerego do przedstawienia rezultatów jego badań sławnemu fizykowiFreemanowi Dysonowi. Opis tego zdarzenia można znaleźć w wielu książkach , np. [78,str. 134–136], [21, str. 316–318], [80, str. 263–264]. Dyson natychmiast rozpoznał we wzo-rze (19) tę samą postać, którą otrzymał na początku lat sześćdziesiątych jako funkcjękorelacyjną wartości własnych losowych macierzy z unitarnego zespołu gaussowskiego.Dyson był autorem cyklu prac o statystycznej teorii poziomów energetycznych złożonychukładów modelowanych za pomocą macierzy losowych [22], [23]. Współautorem dwóchostatnich prac był Madan L. Mehta, który później napisał blisko 700–stronicową „biblię”o macierzach losowych [58]. W fizyce macierze losowe pojawiły się w celu opisania wła-sności ciężkich jąder atomowych. Widma lekkich atomów (np. wodoru — przypadek ściślerozwiązywalny) są proste i regularne, natomiast widma ciężkich atomów, takich jak np.238U, są skomplikowane i rozłożone „chaotycznie”. Nieznane są hamiltoniany oddziaływańw jądrach takich ciężkich atomów, zresztą fizyka układów wielu ciał oparta jest na me-todach przybliżonych. Na początku lat pięćdziesiątych ubiegłego wieku przy niektórychreaktorach atomowych kilka grup badawczych rozpoczęło wyznaczanie poziomów energe-tycznych jąder uranu, bardzo dobre przedstawienie historii tych pomiarów można znaleźćw [30]. W pewnych przypadkach udało się wyznaczyć od kilkuset do ponad tysiąca pozio-mów. Stwierdzono brak energii leżących blisko siebie, zjawisko to nazwano odpychaniempoziomów. W przypadku skończenie wymiarowym (18) jest układem równań jednorod-nych na współrzędne wektora ψn w jakiejś bazie i aby otrzymać niezerowe wektory własnewyznacznik układu równań (18) musi znikać, więc wartości własne λn są rzeczywistymi (booperator hermitowski ma rzeczywiste wartości własne) rozwiązaniami równania charakte-rystycznego det(H − λI) = 0 (wielomianowego) stopnia równego rozmiarowi przestrzeniHilberta, w której działa operator H. Ponieważ nie znamy hamiltonianiu dla jąder cięż-kich atomów, w latach pięćdziesiątych ubiegłego wieku Eugene Wigner zaproponował,aby do ich opisu używać macierze dużego wymiaru o losowych elementach wybranych zodpowiednim rozkładem prawdopodobieństwa. Konkretnie oznacza to, że jeżeli M jestmacierzą kwadratową N ×N o elementach Mij, to prawdopodobieństwo P (Mij ∈ (a, b))tego, że element macierzowy Mij przyjmie wartość w przedziale (a, b) dane jest całką:

P (Mij ∈ (a, b)) =∫ b

afij(x)dx,

gdzie fij jest gęstością rozkładu prawdopodobieństwa, przy czym elementy Mij są sta-tystycznie wzajemnie niezależne, co oznacza, że prawdopodobieństwo dla całej macierzyjest iloczynem powyższych czynników dla pojedynczych elementów Mij. Jednak w zasto-sowaniach fizycznych macierz ma reprezentować mierzalne rzeczywiste wielkości i dlategoM musi być samosprzężona („hermitowska”): M† = M, czyli elementy macierzowe musząspełniać Mij = M?

ji, tzn. elementy na diagonali są liczbami rzeczywistymi i wystarczywylosować tylko elementy na diagonali i np. nad nią. Wybór bazy, w której reprezen-towany jest hamiltonian jest sprawą dowolną i zmiana bazy opisanej macierzą unitarną

9

U , U †U = I, oznacza przekształcenie podobieństwa U−1HU = H ′. Dodatkowo praw-dopodobieństwa wylosowania macierzy powiązanych transformacją podobieństwa (tzn. tesame operacje zapisane w różnych bazach) muszą być takie same: P (U−1HU) = P (H).Warunki te wyznaczają postać prawdopodobieństwa wylosowania macierzy H, zob. [58,Theorem 2.6.3, str. 47]:

P (H) = e−atrH2+btrH+c, (20)

gdzie a jest dodatnią liczbą rzeczywistą, b i c są rzeczywiste oraz tr oznacza ślad ma-cierzy: tr M =

∑Ni=1Mii. Wartość stałej c wyznacza warunek unormowania prawdopo-

dobieństwa. Dla macierzy samosprzężonej (=hermitowskiej) H† = H mamy trH2 =∑Ni=1

∑Nk=1HikHki =

∑Ni=1

∑Nk=1HikH

?ik =

∑Ni=1

∑Nk=1 |Hik|2 i wszystkie wyrazy w (20)

mają postać gaussowską. Ponieważ eksponenta sumy czynników jest iloczynem eksponentod każdego czynnika oddzielnie, prawa strona równania (20) istotnie ma postać iloczynugęstości rozkładów normalnych Gaussa, dlatego taki zespół macierzy losowych nazywa sięunitarnym zespołem gaussowskim, po angielsku Gaussian Unitary Ensemble i w skrócieGUE. Rozważa się także zespoły ortogonalne gaussowskie GOE (macierze są rzeczywisteoraz symetryczne i dlatego zmiana bazy opisana jest macierzą ortogonalną) oraz sym-plektyczne zespoły gaussowskie GSE. Podkreślmy, że czynniki gaussowskie otrzymuje sięz żądania niezmienniczości prawdopodobieństw wylosowania macierzy względem odpo-wiednich transformacji podobieństwa macierzy hermitowskich lub symetrycznych. Te róż-ne zespoły macierzy losowych związane są z symetriami układów fizycznych: GOE opisujeukłady niezmiennicze względem odbicia czasu a GUE stosuje się do układów łamiącychsymetrię odbicia czasu. Wartości własne takich macierzy nie są czysto losowe: przeskalo-wane (ang. „unfolded”) odstępy s między nimi nie są opisane przez rozkład Poissona e−s,lecz np. dla zespołu GUE przez wzór:

P (s) =32π2s2e−4s

2/π. (21)

Przeskalowanie (ang. „unfolding”) oznacza pozbycie się stałego trendu w widmie E1, E2, . . .,tzn. podzielenie dn = En+1 − En przez średni odstęp między poziomami d(E) : sn =(En+1 − En))/d(E). Dla zer ζ(s) na mocy wzoru (13) oznacza to przejście od różnicγn+1 − γn do zmiennej sn = (γn+1 − γn) log(γn)/2π. Na rysunku 3 pokazano porównanie(21) z realnymi odstępami dla zer ζ(s).

Przez kilka lat odkryty w czasie krótkiej rozmowy Montgomery’ego z Dysonem związeknietrywialnych zer ζ(s) z wartościami własnymi macierzy GUE nie wzbudzał dużego zain-teresowania. W latach osiemdziesiątych A. Odlyzko rozpoczął sprawdzanie przypuszczenia(19) za pomocą superkomputerów Cray-1 i Cray X-MP. Wyniki tych obliczeń ukazały sięw 1987 roku w pracy [65] i z grubsza potwierdzały (19). Małe rozbieżności zanikają bar-dzo wolno z posuwaniem się po prostej krytycznej i Odlyzko kontynuował obliczenia nacoraz szybszych komputerach i coraz dalej na osi <[s] = 1

2 w różnych przedziałach wokółzera n = 1020 [63], następnie wokół γ1021 [64] i na koniec przy zerze o n = 1022 [66]. Teempiryczne dane, zob. rys. 4, potwierdziły słuszność przypuszczenia, że urojone częścikolejnych nietrywialnych zer ζ(s) wykazują takie samo zachowanie jak różnice międzyparami wartości własnych losowych macierzy z rozkładem GUE. Dopiero doświadczal-ne potwierdzenie przypuszczenia Montgomery’ego (19) spowodowało gwałtowny wzrostzainteresowania związkami miedzy zerami dzety Riemanna a wartościami własnymi loso-wych macierzy. W [79, str.146] P. Sarnak napisał: „Na poziomie fenomenologicznym tojest chyba najbardziej zdumiewające odkrycie dotyczące dzety od czasów Riemanna.” W

10

ten sposób mało konkretna hipoteza Hilberta–Poly’a zyskała wiarygodność i teraz wia-domo, że układ fizyczny odpowiadający ζ(s) musi łamać symetrię względem odwróceniaczasu. Na konferencji „Quantum chaos and statistical nuclear physics”, która odbyła sięw styczniu 1986 roku w Mexico City 1986, Michael Berry wygłosił wykład Riemann’sdzeta function: a model for quantum chaos? [8]. Stał się on manifestem dla tych, którzychcą udowodnić HR, znajdując odpowiedni operator HR taki, że HR|Ψk〉 = γk|Ψk〉. Tenhipotetyczny układ kwantowy (fikcyjny pierwiastek, którego jądro posiada poziomy ener-getyczne pokrywające się z γn) został nazwany przez O. Bohigasa „Riemannium”, zob.[53, 36]. Dodatkowo w [8] Berry argumentował, że HR powinien mieć klasyczną granicę, wktórej wszystkie orbity sa chaotyczne. Kilka lat później M. Berry i J. Keating w pracy [7]zaproponowali jawny przykład „Riemanium”: HR = xp, tzn. iloczyn operatora położeniax = x i pędu p = −ı~ d

dx, gdzie ~ = 1.055 . . . × 10−34J · s jest stałą Plancka. Głównym

argumentem za tym był wzór na liczbę poziomów o energii mniejszej niż E:

N(E) =E

2π

(log

(E

2π

)− 1

)+

78

+ . . . ,

co dokładnie pokrywa się ze wzorem (13), ale nie było dowodu na to, że wartości En = γn.Zauważmy, że znany jest specjalny rodzaj bilardu, dla którego formuła dająca liczbęwartości energii mniejszej od E ma wiodące człony dokładnie takie same, jak w (13),jednak dalsze wyrazy się różnią [89, wzory (34–35)]. Przypomnijmy, że dwa bębny mogąmieć różne kształty, ale takie same widmo wibracji, a więc także takie same funkcjezliczające poziomy < E. W roku 2011 S. Endres and F. Steiner [27] wykazali, że widmoHR = xp na dodatniej osi x jest ciągłe a zatem HR = xp nie może być operatoremHilberta—Polya, zob. także serię prac G. Sierry, n.p. [87, 32], gdzie rozważano pewnemodyfikacje HR = xp.

W sierpniu 1998 roku podczas konferencji w Seattle poświęconej 100 – leciu twierdze-nia o liczbach pierwszych P. Sarnak zaoferował butelkę dobrego wina dla fizyków, którzy zprawa Montgomery’ego–Odlyzki potrafią otrzymać informacje nie znane wcześniej mate-matykom. Już dwa lata później musiał pójść do sklepu po obiecane wino. Na konferencjiw Wiedniu we wrześniu 1998 roku Jon Keating wygłosił wykład, podczas którego podałrozwiązanie (ale nie dowód) tzw. problemu momentów dzety. Wyniki te ukazały się wewspólnej pracy z jego doktorantką Niną Snaith [45]. Od blisko stu lat matematycy staralisię wyliczyć momenty funkcji dzeta na prostej krytycznej

1T

∫ T

0|ζ(12 + ıt)|2kdt, gdy T →∞ (22)

G.H. Hardy i J.E. Littlewood blisko sto lat temu [35, Tw. 2.41] wyliczyli drugi moment:

1T

∫ T

0|ζ(12 + ıt)|2dt ∼ log(T ), gdy T →∞. (23)

Czwarty moment wyliczył A.E. Ingham w 1926 roku [37, Tw. B]

1T

∫ T

0|ζ(12 + ıt)|4dt ∼ 1

2π log4(T ), gdy T →∞. (24)

Wyższe momenty, mimo wielu wysiłków, nie udało się wyliczyć, ale znana była przypusz-czalna postać dla k = 3 [15]:∫ T

1|ζ(12 + it)|6 dt ∼ 42

9!

∏p

(

1− 1p

)4 (1 +

4p

+1p2

)T log9 T dla dużych T, (25)

11

Rysunek 3: Histogram znormalizowanych od-stępów między kolejnymi zerami dzety otrzyma-ny dla 5000000 zer. Punkty reprezentujące te od-stępy są odległe o ∆s = 0.05.

Rysunek 4: Wykres ilustruje przypuszczenie(19) Montgomery dla 5000000 zer dzety. Punk-ty reprezentujące funkcję korelacyjną były wyli-czone ze wzoru po lewej stronie (19) dla 5000000pierwszych zer ζ(s) i są odległe o ∆u = 0.05.

a także jeszcze bardziej skomplikowane wyrażenie dla k = 4 [16]. Keating i Snaith udo-wodnili ogólne twierdzenie o momentach losowych macierzy, których wartości własne mająrozkład GUE i jeżeli zachowanie ζ(s) jest modelowane przez wyznacznik takich macierzy,to ich wynik zastosowany do dzety daje

1T

∫ T

0

∣∣∣ζ(12 + ıt)∣∣∣2k dt ∼ fka(k)(log T )k

2, (26)

gdzie

a(k) =∏

p prime

(1− 1

p

)k2 ∞∑m=0

(Γ(m+ k)m! Γ(k)

)2p−m, (27)

a liczby fk są dane wzorem:

fk =G2(k + 1)G(2k + 1)

.

W powyższym wzorze G(·) jest funkcją Barnes’a spełniającą rekurencję G(z + 1) =Γ(z)G(z), czyli dla naturalnych argumentów funkcja ta jest „silnią po silniach”: G(n) =1!·2!·3! . . . (n−2)!. Oczywiście wynik Keatinga i Snaith daje wzory (23)–(25) odpowiedniodla k = 1, 2, 3.

Pod koniec XX wieku krążyły plotki, że Allain Connes udowodnił HR używając rozwi-niętą przez niego niekomutatywną geometrię. Connes [14] skonstruował układ kwantowy,którego poziomy energetyczne odpowiadały wszystkim zerom dzety Riemanna leżącym naprostej krytycznej. Operator, który on skonstruował, działa na bardzo wymyślnej prze-strzeni, nazywanej niekomutatywną przestrzenią klas adeli. Dobre omówienie tych pojęćmożna znaleźć w [42]. Podejście to jest bardzo skomplikowane i tak naprawdę zera dzety

12

są liniami absorpcyjnymi (brakującymi poziomami) w ciągłym widmie. W miarę upływuczasu podekscytowanie związane z ideami Connesa zanikło i nadzieje, że doprowadzą onedo dowodu HR okazały się płonne. Panuje opinia, że Connes przesunął problem udowod-nienia HR na równoważne zadanie wykazania słuszności pewnej formuły śladowej.

Wspomnijmy jeszcze o pracy S. Okubo[68] zatytułowanej „Lorentz-Invariant Hamilto-nian and Riemann Hypothesis”. Nie jest to dokładnie realizacja pomysłu Polya i Hilberta:występujący w tej pracy dwuwymiarowy operator różniczkowy (hamiltonian H) nie po-siada jako wartości własne γn. Zamiast tego zera dzety występują w specjalnym warunkubrzegowym na rozwiązania równania Schroedingera. Jednak rozwiązania tego równania wnaturalnym iloczynie skalarnym nie są normalizowalne.

P. Crehan w pracy [19] wykazał, że dla każdego ciągu poziomów energetycznych En,który nie rośnie szybciej niż ea+bn, gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą oraz b >0, istnieje nieskończenie wiele klasycznie całkowalnych hamiltonianów, których widmopokrywa się z tym ciągiem En. Crehan zauważa w [19], że ze wzoru (13) wynika, iżczęści urojone nietrywialnych zer dzety spełniają ten warunek wzrostu, a zatem istniejenieskończenie wiele klasycznie całkowalnych hamiltonianów, których widmo pokrywa sięz ciągiem γn. Jednak nie wynika z tego, że nie istnieją zera poza prostą krytyczną — totwierdzenie dotyczy tylko zer o części rzeczywistej równej 12 , a nie dowolnych zer ρ = β+ıtw pasie krytycznym: 0 < β < 1.

Od wielu lat rozwijana jest idea kwantowych komputerów. Odkrycie przez Petera Shorakwantowego algorytmu faktoryzacji [86] pokazało, że klasyczne problemy o dużej złożo-ności mogą zostać znacznie przyspieszone (przynajmniej w teorii) z pomocą komputerówkwantowych. Czy jest możliwe zaprojektowanie kwantowego komputera weryfikującegoHR? Mamy tutaj na myśli coś bardziej pomysłowego niż np. połączenie algorytmu Shoraz kryterium Lagariasa. W roku 2013 pojawiła się praca [70], w której autorzy (zakładającHR) zbudowali unitarny operator z wartościami własnymi równymi kombinacji nietrywial-nych zer dzety ρ?j/ρj — takie kombinacje leżą oczywiście na kole jednostkowym. Następnieskonstruowali oni kwantowy układ realizujący tę unitarną macierz. Inny kwantowy kom-puter weryfikujący HR był zaproponowany w [50, Sect. IIC]. Jego działanie oparte jest nakwantowym obliczaniu liczby liczb pierwszych mniejszych niż x, zaproponowanym przeztych samych autorów w [51] i szukaniu naruszenia nierówności (12). Dodajmy, że w po-dobny sposób Latorre i Sierra proponują szukać liczbę Skewesa [50, Sect. IID].

Nie mamy miejsca, aby omówić zastosowania ζ(s) w teorii zjawiska Casimira, temutematowi poświęcona jest obszerna praca przeglądowa [46], ani w teorii strun: [13, 2].

4 Mechanika Statystyczna i HR

Suma statystyczna Z(β) jest podstawową wielkością używaną w fizyce statystycznej, tutajβ = 1/kBT : kB = 1.3806488 . . .× 10−23[J/K] jest stałą Boltzmanna, a T jest temperatu-rą. Pozostałe funkcje termodynamiczne (energia całkowita, energia swobodna, entropia,ciśnienie itd.) mogą być wyrażone jako jej pochodne. Na przykład ciepło właściwe przystałej objętości wyraża się przez pochodną:

cV = kBT2∂2 log(Z)∂T 2

.

Przejścia fazowe występują tam, gdzie Z(β) = 0. Dla układu wymieniającego ciepło z oto-czeniem przy ustalonej liczbie cząstek, temperaturze i objętości a mogącego się znajdować

13

w mikrostanach o energiach En jest ona zdefiniowana wzorem:

Z(β) =∑n

e−βEn . (28)

Okazuje się, że dla pewnych układów Z(β) spełnia relację analogiczną do równania funk-cyjnego dla ζ(s) a położenie na płaszczyźnie zespolonej zer przedłużonej analitycznie sumystanów jest silnie zawężone, np. do okręgu. Te dwa fakty stały się punktem wyjścia dlapróby udowodnienia HR.

Łatwo jest skonstruować układ posiadający ζ(s) jako sumę statystyczną. Problemskonstruowania 1–wymiarowego hamiltonianu, którego widmo pokrywałoby się ze zbio-rem liczb pierwszych omawiany był w [62], [84], [83], a także praca przeglądowa [75]. Popewnych modyfikacjach byłoby możliwe zbudowanie hamiltonianiu H, mającego wektorywłasne |pn〉 indeksowane liczbami pierwszymi pn z wartościami własnymi Epn = E log(pn),gdzie E jest stałą o wymiarze energii. Układ taki bywa nazywany „gazem Riemanna”, zob.np. [40], [88] oraz [4]. Stan N – cząstkowy może być rozłożony na stany |pn〉 na mocypodstawowego twierdzenia arytmetyki:

N = pα11 pα22 · · · p

αkk =

k∏i=1

pαii .

Energia stanu |N〉 jest równa E(n) = E∑ki=1 αi log(pi) = E log(N), wtedy suma stanów

Z jest dana przez funkcję dzeta Riemanna:

Z(T ) =∞∑n=1

exp(−EnkBT

)=∞∑n=1

exp(−E log nkBT

)=∞∑n=1

1ns

= ζ(s), s ≡ E/kBT.

Równanie funkcyjne (5) może być zapisane w niesymetrycznej postaci:

2Γ(s) cos(π

2s

)ζ(s) = (2π)sζ(1− s).

Ta postać jest podobna do relacji dualności Kramersa–Wanniera [48] dla sumy stanówZ(J) dwuwymiarowego modelu Isinga z parametrem J wyrażonym w jednostkach kT :

Z(J) = 2N(cosh(J))2N(tanh(J))NZ(J), (29)

gdzie tym razem N oznacza liczbę spinów a J jest związana z J relacją e−2J = tanh(J),p. np. [28]. Z drugiej strony, jak widać z (28), sumy stanów nie mają zer dla rzeczywistychtemperatur, dopiero przedłużone analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną mają zera ze-spolone leżące na okręgu. Zera sumy statystycznej odpowiadają za przejścia fazowe, tzn.nieciągłości różnych wielkości wyrażonych przez pochodne Z(β). Jedynie w granicy ter-modynamicznej N →∞ zespolone zera mają punkt skupienia przy rzeczywistej wartościtemperatury. Pierwsze tego typu twierdzenia udowodnili C.N. Yang i T.D. Lee [96, 54].W języku polskim można się zapoznać z teorią Yanga–Lee w [55, str. 351–354]. Ponieważte twierdzenia „kołowe” ograniczają położenie zer, nasuwa się pomysł zastosowania ichdo HR. Aby kontynuować tę analogię, trzeba znaleźć układ, którego suma stanów będziewyrażona przez ζ(s). Wtedy można mieć nadzieję udowodnienia HR powołując się natwierdzenie Lee–Yanga. Twierdzenie to dotyczy przejść fazowych układów spinowych w

14

zewnętrznym polu magnetycznym, zob. praca przeglądowa [6]. M. Fisher [31] z kolei roz-począł szukanie zer sumy stanów na zespolonej płaszczyźnie temperatury i także okazałosię, że dla specjalnego układu Isinga zanurzonego w polu magnetycznym zera kanonicznejsumy stanów również leżą na okręgu jednostkowym, tym razem na zespolonej płaszczyź-nie zmiennej v = sinh(2Jβ), gdzie J > 0 jest stałą sprzężenia z polem magnetycznym.Prosta krytyczna s = 1

2 + it może być odwzorowana na okrąg jednostkowy za pomocątransformacji s→ u = s/(1− s) = (12 + ıt)/(12 − ıt), wtedy |u| = 1. Tak więc przez dobórodpowiedniego układu spinowego z sumą stanów Z(β) wyrażoną przez ζ(s) można sięstarać udowodnić HR powołując się na twierdzenie Lee–Yanga.

W serii prac A. Knauf [47] podjął powyżej opisany plan zaatakowania HR. W tych pra-cach wprowadził on układ spinowy z sumą stanów wyrażoną w granicy termodynamicznejprzez funkcję dzeta: Z(s) = ζ(s − 1)/ζ(s) ze zmienną s interpretowaną jako odwrotnośćtemperaturury. Jednakże postać oddziaływania między spinami w tym modelu nie należydo klasy do której stosują się twierdzenia „kołowe”. Ta idea była dalej podjęta w pracy[29]. Autorzy pracy [69] udowodnili, że HR jest równoważna nierównościom spełnianymprzez stany Kubo—Martina—Schwingera w dynamicznym układzie kwantowym Bosta iConnesa rozważanym w odpowiednim zakresie temperatur. Funkcja ζ(s) występuje w wie-lu innych miejscach: w teorii bozonów i fermionów, teorii kondensatu Bosego–Einsteinacondensate, zob. np. [82, chap. III E].

Ciepło właściwe ciał stałych pozwala doświadczalnie znaleźć obszar wolny od zer ζ(s).Ciepło właściwe przy stałej objętości cV (T ) można wyrazić przez gęstość stanów g(ω)fononów (kwantów drgań sieci krystalicznej — fotony są kwantami drgań pola elektroma-gnetycznego) o energii ~ω wzorem:

cV (T ) =∫ ∞0

(~ωkBT

)2e~ω/kBT

(e~ω/kBT − 1)2g(ω)dω

Problem odwrotny, tzn. wyznaczenie gęstości stanów ze zmierzonej zależności cV (T ) odtemperatury, został rozwiązany w pracach [95] i [60]:

g(ω) =1

2πω

∫ ∞−∞

ωik+sQ(k)Γ(ik + s+ 2)ζ(ik + s+ 1)

dk, (30)

gdzie

Q(k) =∫ ∞0

uik+s−1cV

(1u

)du.

Występujący w (30) parametr s przebiega odcinek s1 < s < s2, gdzie s1 i s2 są wy-kładnikami T w zależności od temperatury ciepła cV (T ) odpowiednio w wysokiej i niskiejtemperaturze

cV (T ) ∼ T s1 (T →∞), cV (T ) ∼ T s2 (T → 0).

Prawo Dulonga–Petita daje s1 = 0 (w dużych temperaturach ciepło właściwe większościmateriałów jest stałe i wynosi w przybliżeniu 25 dżuli na stopień Kelvina na mol sub-stancji) i s2 = d (d–wymiar przestrzeni, cV ∼ T d). Aby nie było rozbieżności pod całkąwzględem k we wzorze (30) występująca w mianowniku ζ(ik + 1 + s) nie może być zero,tzn. obszar wolny od zer to odcinek [1, 1 + d] — lewy koniec to fakt udowodniony przezJ. S. Hadamarda i Ch. J. de la Vallee Poussina.

15

5 Ruchy losowe, bilardy, doświadczenia.

Funkcja Mobiusa zdefiniowana wzorem (7) przyjmuje tylko trzy wartości: -1, 0 i 1. Praw-dopodobieństwa przyjęcia wartości µ(n) = 1 oraz µ(n) = −1 są takie same i wynoszą3/π2 ≈ 0.3039, zatem prawdopodobieństwo, że µ(n) = 0 jest 1− 6/π2 ≈ 0.3921. Używa-jąc wartości 1 i -1 funkcji Mobiusa zamiast orłów lub reszek wyrzucanej monety możnagenerować 1–wymiarowy ruch losowy. Całkowite przesunięcie takiego błądzenia losowegopo wykonaniu n kroków jest dane przez funkcję sumacyjną M(n) =

∑k<n µ(k), która na-

zywana jest funkcją Mertensa. Wiadomo, że średnie przesunięcie w symetrycznym ruchulosowym po wykonaniu n kroków rośnie jak

√n (niezależnie od wymiaru przestrzeni).

To podobieństwo M(n) do symetrycznego ruchu losowego doprowadziło F. Mertensa podkoniec XIX wieku do przypuszczenia, że M(n) rośnie nie szybciej niż średnie przesunię-cie w błądzeniu losowym, tzn. |M(n)| <

√n. Następujące łatwe rachunki pokazują, że z

hipotezy Mertensa wynika HR (zob. (8)):

1ζ(s)

=∞∑n=1

µ(n)ns

=∞∑n=1

M(n)−M(n− 1)ns

=∞∑n=1

M(n)(

1ns− 1

(n+ 1)s

)=

=∞∑n=1

M(n)∫ n+1

n

sdx

xs+1= s

∞∑n=1

∫ n+1

n

M(x)dxxs+1

= s∫ ∞1

M(x)dxxs+1

.

Jeżeli M(x) <√x wtedy ostatnia całka daje

∣∣∣ 1ζ(s)

∣∣∣ < |s|σ− 12

, zatem na prawo od <[s] = 12

odwrotność funkcji dzeta jest ograniczona, więc nie mogą istnieć zera dzety w tym ob-szarze i otrzymujemy prawdziwość HR. Przez wiele lat matematycy żywili nadzieję naudowodnienie HR poprzez pokazanie słuszności |M(n)| <

√n. Jednakże w 1985 roku A.

Odlyzko i H. te Riele [67] obalili przypuszczenie Mertensa. Do dowodu użyli oni wartościpierwszych 2000 zer ζ(s) wyliczonych z dokładnością 100–105 cyfr. Te obliczenia zajęły 40godzin na superkomputerze CDC CYBER 750 i 10 godzin na Cray-1. Posługując się Ma-thematicą rachunki te można powtórzyć na współczesnym laptopie w ciągu kilku minut.Littlewood udowodnił, że RH jest równoważna nieco zmienionej hipotezie Mertensa:

M(n) = O(n1/2+ε)⇔ HR jest prawdziwa.

Fakt, że M(n) zachowuje się jak 1–wymiarowy ruch losowy był zastosowany w pracy [33]do pokazania, że HR jest prawdziwa z „prawdopodobieństwem 1”.

W pracy [85] M. Shlesinger badał specjalny 1–wymiarowy ruch losowy tak zdefinio-wany, aby mógł być powiązany z HR. Prawdopodobieństwo skoku do węzła odległego o±l kroków wyraża się jawnie przez funkcję Mobiusa:

p(±l) =12C

(1

l 1+β± µ(l)

l 1+β−ε

), β > 0,

gdzie C = 1ζ(1+β)+ 1

ζ(1+β)jest czynnikiem normalizacyjnym. Takie błądzenie losowe Shlesin-

ger nazwał ruchem losowym „Riemanna–Mobiusa”. Pewne ogólne własności tzw. funk-cji struktury λ(k), która jest transformatą Fouriera prawdopodobieństw p(l): λ(k) =∑l eiklp(l), pozwoliły Shlesingerowi zlokalizować zespolone zera dzety wewnątrz pasa kry-

tycznego, jednak wynik J. Hadamarda i Ch. J. de la Vallee–Poussina ζ(1 + it) 6= 0 nieudało się otrzymać tą metodą. Ciekawe, że istnienie zer poza prostą krytyczną nie jestsprzeczne z zachowaniem λ(k), wynikającym z ogólnych zasad prawdopodobieństwa.

16

W pracy [1] podana była stochastyczna interpretacja funkcji dzeta. Istnieje wiele in-nych związków HR z ruchami losowym lub ruchami Browna, w pracy [9] można znaleźćobszerny przegląd rezultatów wyrażających wartości oczekiwane różnych zmiennych loso-wych przez ζ(s).

Rysunek 5: Wykres funkcji wystę-pującej w całkowej reprezentacji (32)funkcji dzeta na prostej krytycznej.

W artykule [12] L.A. Bunimovich oraz C.P. Det-tmann rozważali punktową cząstkę odbijającą się wkołowym bilardzie, na obwodzie którego zrobionomały otwór, widziany ze środka okręgu pod kątemε. Niech P1(t) oznacza prawdopodobieństwo, że kul-ka nie wypadnie poza bilard z jednym otworem doczasu t. Bunimovich i Dettmann otrzymali dokład-ny wzór na P1(t) wyrażony przez ζ(s) i pokazali, żeHR jest równoważna temu, że

limε→0

limt→∞

εδ(tP1(t)− 2/ε) = 0 (31)

będzie zachodzić dla każdego δ > −1/2. Wartość1/2 jest wprost związana z położeniem zer dzety naprostej <[s] = 1

2 . Bardziej skomplikowany wzór Bu-nimovich i Dettmann otrzymali dla bilardu z dwomaotworami. W zasadzie możliwe jest przeprowadzenie

doświadczeń weryfikujących (31) za pomocą wnęk mikrofalowych lub bilardów zbudowa-nych z mikrolaserów. Takie doświadczenia mogą obalić HR gdyby się okazało, że zacho-wanie różnicy tP1(t) − 2/ε w granicy gdy rozmiar otworu ε → 0 będzie wolniejsze niżε1/2.

W roku 1947 van der Pol zbudował urządzenie elektromechaniczne, które sporządzałowykres ζ(12 + ıt). Idea działania tego przyrządu była oparta na następującej reprezentacji:

ζ(12 + ıt)12 + ıt

=∫ ∞−∞

(e−x/2bexc − ex/2

)e−ıxtdx. (32)

Tutaj b·c oznacza część całkowitą. Powyższe wyrażenie jest transformatą Fouriera funkcjiy(x) = e−x/2bexc−ex/2. Wykres tej funkcji przedstawiono na rys. 5. Van der Pol wyciął no-życzkami kształt tej funkcji na obwodzie kartonowego koła. Strumień światła przechodziłprzez brzeg obracającego się dysku i trafiał do fotokomórki. Powstający w wyniku zjawi-ska fotoelektrycznego prąd był nałożony na prąd o zmiennej częstotliwości, co pozwalałow analogowy sposób wykonać transformatę Fouriera. W rezultacie van der Pol otrzymałwykres modułu |ζ(12 + it)/(12 + it)|, na którym położenie pierwszych 29 nietrywialnychzer dzety można było zlokalizować z dokładnością lepszą niż %1. Niedawno ukazała siępraca [18], w której zaproponowano doświadczalną realizację ζ(s) za pomocą chłodnychatomów.

F. Dyson w [24] wskazuje na możliwość udowodnienia HR używając podobieństwamiędzy jednowymiarowymi quasi–kryształami a zerami funkcji ζ(s): jeżeli HR jest praw-dziwa, to położenie nietrywialnych zer dzety zdefiniowałoby quasi–kryształ w D = 1,jednak nie ma klasyfikacji takich quasi–kryształów.

17

6 Zakończenie

W pracy zebraliśmy wiele przykładów problemów fizycznych związanych z HR. W XIXwieku wszystkie te związki nie były znane, jednak Riemann wierzył, że odpowiedź namatematyczne pytania można uzyskać ze strony fizyki. Podobno Riemann sam przepro-wadzał fizyczne doświadczenia, aby sprawdzić swoje twierdzenia, zob. [26]. Dodajmy, żeE. Bombieri, laureat Medalu Fieldsa, wierzy, że HR będzie udowodniona przez fizyka, zob.[80, str. 4]. Zebrane przykłady są potwierdzeniem poglądu M. Atiyaha, który w [3] na str.287 pisze: „Interakcja między matematykami a fizykami jest procesem dwustronnym zkorzyścią dla obu stron”.

Literatura

[1] K. S. Alexander, K. Baclawski, and G. C. Rota. A stochastic interpretation of theRiemann zeta function. Proceedings of the National Academy of Sciences, 90(2):697–699, 1993.

[2] C. Angelantonj, M. Cardella, S. Elitzur, and E. Rabinovici. Vacuum stability, stringdensity of states and the Riemann zeta function. Journal of High Energy Physics,2011(2):1–27, 2011.

[3] M. Atiyah. Geometry Topology and Physics. Quarterly Journal of the Royal Astro-nomical Society, 29:287–299, Sept. 1988.

[4] I. Bakas and M. J. Bowick. Curiosities of arithmetic gases. Journal of MathematicalPhysics, 32(7):1881–1884, 1991.

[5] M. Balazard, E. Saias, and M. Yor. Notes sur la fonction ζ de Riemann. II. Adv.Math., 143(2):284–287, 1999.

[6] I. Bena, M. Droz, and A. Lipowski. Statistical Mechanics of Equilibrium and None-quilibrium Phase Transitions: The Yang-–Lee Formalism. International Journal ofModern Physics B, 19(29):4269–4329, 2005.

[7] M. Berry and J. Keating. H = xp and the Riemann Zeros. w Supersymmetry andTrace Formulae: Chaos and Disorder, volume 370 of NATO ASI Series B Physics,pages 355–368. Plenum Press, 1999.

[8] M. V. Berry. Riemann’s zeta function: a model for quantum chaos? w T. H. Seligmanand H. Nishioka, editors, Quantum chaos and statistical nuclear physics, volume 263of Lecture Notes in Physics, pages 1–17. Springer Berlin / Heidelberg, 1984.

[9] P. Biane, J. Pitman, and M. Yor. Probability laws related to the Jacobi theta and Rie-mann zeta functions, and Brownian excursions. Bull. Amer. Math. Soc., 38(4):435–465, 2001.

[10] P. Borwein, S. Choi, B. Rooney, and A. Weirathmueller. The Riemann Hypothe-sis: A Resource For The Afficionado And Virtuoso Alike. Springer Verlag (Berlin,Heidelberg, New York), 2007.

18

[11] K. Briggs. Abundant Numbers and the Riemann Hypothesis. Experimental Mathe-matics, 15, Number 2:251–256, 2006.

[12] L. Bunimovich and C. Dettmann. Open Circular Billiards and the Riemann Hypo-thesis. Physical Review Letters, 94(10):100201, 2005.

[13] S. Cacciatori and M. Cardella. Equidistribution rates, closed string amplitudes, andthe Riemann hypothesis. Journal of High Energy Physics, 2010(12), 2010.

[14] A. Connes. Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemannzeta function. Selecta Math. (N.S.), 5(1):29–106, 1999.

[15] J. B. Conrey and A. Ghosh. A conjecture for the sixth power moment of the riemannzeta-function. Int. Math. Res. Notices, 1998:775–780, 1998.

[16] J. B. Conrey and S. M. Gonek. High moments of the riemann zeta-function. DukeMath. J., 107(3):577–604, 04 2001.

[17] Korespondencja o początkach przypuszczenia Hilberta-Polya na stronie www A. Od-lyzko. http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/polya/index.html.

[18] C. E. Creffield and G. Sierra. Finding zeros of the riemann zeta function by periodicdriving of cold atoms. Phys. Rev. A, 91:063608, Jun 2015.

[19] P. Crehan. Chaotic spectra of classically integrable systems. J. Phys. A: Math. Gen.,28:6389–6394, 1995.

[20] J. Derbyshire. Prime Obsession. Bernhard Riemann and the greatest unsolved pro-blem in mathematics. Joseph Henry Press, Washington, 2003.

[21] J. Derbyshire. Obsesja liczb pierwszych. NAKOM, Poznań, 2009.

[22] M. L. Mehta and F. J. Dyson. Statistical theory of the energy levels of complexsystems. I, II, III. Journal of Mathematical Physics, 3(1):140–156, 157–165, 166–175, 1962. Journal of Mathematical Physics, 4(5):713—-719, 1963.

[23] F. J. Dyson and M. L. Mehta. Statistical theory of the energy levels of complexsystems. IV. Journal of Mathematical Physics, 4(5):701—-712, 1963. Statisticaltheory of the energy levels of complex systems. V. Journal of Mathematical Physics,4(5):713—-719, 1963.

[24] F. Dyson. Birds and frogs. Notices of the AMS, 56(02):212–223, February 2009.

[25] H. M. Edwards, Riemann’s zeta function. Academic Press, 1974. Pure and AppliedMathematics, Vol. 58.

[26] E. Elizalde. Bernhard Riemann, a(rche)typical mathematical-physicist? Frontiers inPhysics, 1(11), 2013.

[27] S. Endres and F. Steiner. The Berry-–Keating operator on L2(R>, dx) and on com-pact quantum graphs with general self-adjoint realizations. Journal of Physics A:Mathematical and Theoretical, 43(9):095204, 2010.

19

[28] R. P. Feynman. Statistical mechanics: a set of lectures by R. P. Feynman. Frontiersin physics. W. A. Benjamin, Inc., New York, NY, USA, 1972.

[29] J. Fiala and P. Kleban. Generalized Number Theoretic Spin Chain – Connections toDynamical Systems and Expectation Values. Journal of Statistical Physics, 121(3-4):553–577, 2005.

[30] F. W. K. Firk and S. J. Miller. Nuclei, primes and the random matrix connection.Symmetry, 1(1):64–105, 2009.

[31] M. E. Fisher. The nature of critical points. w W. Brittin, editor, Lectures in Theoreti-cal Physics, volume VIIC, page p.1. University of Colorado Press, Boulder, Colorado,1965.

[32] S. German. General covariant xp models and the Riemann zeros. Journal of PhysicsA: Mathematical and Theoretical, 45(5):055209, 2012.

[33] I. J. Good and R. F. Churchhouse. The Riemann hypothesis and pseudorandomfeatures of the Mobius sequence. Mathematics of Computation, 22:857–861, 1968.

[34] J. P. Gram. Note sur les zeros de la fonction de Riemann. Acta Math., 27:289–304,1903.

[35] G. H. Hardy and J. E. Littlewood. Contributions to the theory of the Riemann zetafunction and the theory of prime distribution. Acta Mathematica, 41:119–196, 1918.

[36] B. Hayes. The Riemannium. American Scientist, 91(4):296—300, July–August 2003.

[37] A. Ingham. Mean-value theorems in the theory of the Riemann zeta-function. Proc.London Math. Soc., s2-27(1):pp. 273–300, 01 1928.

[38] A. Ivić, The Riemann zeta-function : the theory of the Riemann zeta-function withapplications. New York: Wiley, 1985.

[39] A. Ivic. On some reasons for doubting the Riemann hypothesis. arXiv:math/0311162,Nov. 2003.

[40] B.L. Julia. Thermodynamic limit in number theory: Riemann-Beurling gases PhysicaA: Statistical Mechanics and its Applications, 203(4):pp. 425–436, 1994.

[41] M. Kac. Can one hear the shape of a drum? The American Mathematical Monthly,73(4):pp. 1–23, 1966.

[42] J. Kaczorowski. VIII problem Hilberta. W W. Więsław, edytor, Problemy Hilberta,VII Ogólnopolska Szkoła Historii Matematyki, (Międzyzdroje, 10–14 maja 1993),strony 85–118, IHN PAN, Warszawa, 1997.

[43] J. Kaczorowski. On sign-changes in the remainder-term of the prime-number formula,I, II. Acta Arithetica, 44:365–377, 1984. Acta Arithetica, 45:65–74, 1984.

[44] A. Karatsuba and S. M. Voronin, The Riemann zeta-function. Berlin New York:Walter de Gruyter, 1992.

20

[45] J. Keating and N. Snaith. Random matrix theory and ζ(1/2 + ıt). Commun. Math.Phys, 214:57 – 89, 2000.

[46] K. Kirsten. Basic zeta functions and some applications in physics. w J. Dehesa,J. Gomez, and A. Polls, editors, A Window into Zeta and Modular Physics, volume 57of MSRI Publications, pages 101–143. Cambridge University Press, 2010.

[47] A. Knauf. On a ferromagnetic spin chain. Communications in Mathematical Phy-sics, 153(1):77–115, 1993. On a ferromagnetic spin chain. II. Thermodynamic limit.Journal of Mathematical Physics, 35(1):228–236, 1994. The Number-TheoreticalSpin Chain and the Riemann Zeroes. Communications in Mathematical Physics,196(3):703–731, 1998.

[48] H. A. Kramers and G. H. Wannier. Statistics of the two-dimensional ferromagnet.part i. Phys. Rev., 60:252–262, Aug 1941.

[49] J. C. Lagarias. An elementary problem equivalent to the Riemann Hypothesis. Amer.Math. Monthly, 109:534–543, 2002.

[50] J. I. Latorre and G. Sierra. There is entanglement in the primes. Quantum Informa-tion & Computation, 15:622–659, 2015.

[51] J. I. Latorre and G. Sierra. Quantum computation of prime number functions. Qu-antum Information & Computation, 14:0577-0588, 2014.

[52] P. Lax. Functional Analysis. John Wiley and Sons, Inc., 2002.

[53] P. Leboeuf, A. G. Monastra, and O. Bohigas. The Riemannium. Regular and ChaoticDynamics, 6:205–210, 2001.

[54] T. D. Lee and C. N. Yang. Statistical theory of equations of state and phase transi-tions. II. lattice gas and Ising model. Phys. Rev., 87:410–419, Aug 1952.

[55] J. Łopuszański, A. Pawlikowski Fizyka Statystyczna. Wydawnictwo Naukowe PWN,Warszawa, 1969.

[56] K. Maslanka. Liczba i kwant. OBI, Kraków, 2004.

[57] K. Maurin. Analiza, cz. 1. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2010.

[58] M. L. Mehta. Random Matrices. Academic Press, San Diego, California, secondedition, 1991.

[59] M. Milgram. Integral and Series Representations of Riemann’s Zeta Function andDirichlet’s Eta Function and a Medley of Related Results. Journal of Mathematics,2013:Article ID 181724, 2013.

[60] D. Ming, T. Wen, J. Dai, W. E. Evenson, and X. Dai. A unified solution of the specific-heat–phonon spectrum inversion problem. EPL (Europhysics Letters), 61(6):723,2003.

21

[61] H. L. Montgomery. The pair correlation of zeros of the zeta function. w AnalyticNumber Theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ., St. Louis,MO., 1972), pages 181–193. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1973.

[62] G. Mussardo. The Quantum Mechanical Potential for the Prime Numbers.arXiv:cond-mat/9712010, 1997.

[63] A. M. Odlyzko. The 1020-th zero of the Riemann zeta function and 175 million of itsneighbors. 1992 revision of 1989 manuscript.

[64] A. M. Odlyzko. The 1021-st zero of the Riemann zeta function. Nov. 1998 note forthe informal proceedings of the Sept. 1998 conference on the zeta function at theEdwin Schroedinger Institute in Vienna.

[65] A. M. Odlyzko. On the distribution of spacings between zeros of the zeta function.Math. Comp., 48:273–308, 1987.

[66] A. M. Odlyzko. The 1022-nd zero of the Riemann zeta function. w M. van Frankenhuy-sen and M. L. Lapidus, editors, Dynamical, Spectral, and Arithmetic Zeta Functions,number 290 in Amer. Math. Soc., Contemporary Math. series, pages 139–144, 2001.

[67] A. M. Odlyzko and H. J. J. te Riele. Disproof of the Mertens Conjecture. J. ReineAngew. Math., 357:138–160, 1985.

[68] S. Okubo. Lorentz-invariant Hamiltonian and Riemann hypothesis. Journal of Phy-sics A: Mathematical and General, 31(3):1049–1057, 1998.

[69] M. Planat, P. Sole, and S. Omar. Riemann hypothesis and quantum mechanics.Journal of Physics A Mathematical General, 44(14):145203, Apr. 2011.

[70] R. V. Ramos and F. V. Mendes. Riemannian Quantum Circuit. Physics Letters A,378(20):1346–1349, May 2014.

[71] B. Riemann. Ueber die anzahl der primzahlen unter einer gegebenen grosse. Monats-berichte der Berliner Akademie, pages 671–680, November 1859. english translationavailable at http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann.

[72] M. Riesz. Sur l’hypothese de Riemann. Acta Mathematica, 40(1):185–190, 1916.

[73] G. Robin. Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et Hypothese deRiemann. J. Math. Pures Appl. (9), 63(2):187–213, 1984.

[74] D. Rockmore. Stalking the Riemann hypothesis : the quest to find the hidden law ofprime numbers. Pantheon Books, New York, 2005.

[75] H. C. Rosu. Quantum hamiltonians and prime numbers. Modern Physics Letters A,18:1205–1213, 2003.

[76] W. Rudin. Podstawy analizy matematycznej. Wydawnictwo Naukowe PWN, War-szawa, szóste edition, 2006.

[77] K. Sabbagh. Dr. Riemann’s Zeros: The Search for the $1 million Solution to theGreatest Problem in Mathematics. Atlantic Books, November 2002.

22

[78] K. Sabbagh. The Riemann hypothesis : the greatest unsolved problem in mathematics.Farrar, Straus, and Giroux, New York, 2002.

[79] P. Sarnak. Quantum Chaos, Symmetry, and Zeta functions, II: Zeta functions. wB. J. J. L. S. Yau, editor, Current Developments in Mathematics, volume 1997, pages145–159. International Press, 1997.

[80] M. Sautoy. The music of the primes : searching to solve the greatest mystery inmathematics. HarperCollins, New York, 2003.

[81] L. Schoenfeld. Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x). II. Ma-thematics of Computation, pages 337–360, 1976.

[82] D. Schumayer and D. A. W. Hutchinson. Physics of the Riemann hypothesis. Rev.Mod. Phys., 83(2):307–330, Apr 2011.

[83] D. Schumayer, B. P. van Zyl, and D. A. W. Hutchinson. Quantum mechanicalpotentials related to the prime numbers and riemann zeros. Phys. Rev. E, 78:056215,Nov 2008.

[84] S. K. Sekatskii. On the Hamiltonian whose spectrum coincides with the set of primes.ArXiv e-prints, 2007.

[85] M. F. Shlesinger. On the Riemann hypothesis: a fractal random walk approach.Physica. A, 138(1–2):310–319, 1986.

[86] P. W. Shor. Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Lo-garithms on a Quantum Computer. arXiv:quant-ph/9508027, Aug. 1995.

[87] G. Sierra and J. Rodriguez-Laguna. The h = xp model revisited and the Riemannzeros. 106:200201, 2011.

[88] D. Spector. Supersymmetry and the Mobius inversion function. Communicationsin Mathematical Physics, 127(2):239–252, 1990. Duality, partial supersymmetry, andarithmetic number theory. Journal of Mathematical Physics, 39(4):1919–1927, 1998.

[89] F. Steiner and P. Trillenberg. Refined asymptotic expansion for the partition functionof unbounded quantum billiards. J. Math. Phys., 31(7):1670–1676, 1990.

[90] E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-function. New York: The Cla-rendon Press Oxford University Press, second ed., 1986.

[91] A. M. Turing. Some calculations of the Riemann zeta-function. Proc. London Math.Soc. (3), 3:99–117, 1953.

[92] V. V. Volchkov. On an equality equivalent to the Riemann Hypothesis. Ukraın. Mat.Zh., 47(3):422–423, 1995.

[93] S. Wedeniwski. Zetagrid Project. http://think-automobility.org/geek-stuff/zetagrid.

23

[94] H. Weyl. Uber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte. Nachrichten derKoniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, 2:110—117, 1911. Uberdie Abhangigkeit der Eigenschwingungen einer Membran und deren Begrenzung. Jo-urnal fur die reine und angewandte Mathematik, 141:1–11, 1912.

[95] W. Tao et. al. New exact solution formula for specific heat-phonon spectrum inversionand its application in studies of superconductivity. Physica C: Superconductivity,341-348, 2000.

[96] C. N. Yang and T. D. Lee. Statistical theory of equations of state and phase transi-tions. i. theory of condensation. Phys. Rev., 87:404–409, Aug 1952.

[97] D. Zagier. The first 50 million prime numbers. Mathematical Intelligencer, 0:7–19,1977.

24