1marjan.fesb.hr/~spodrug/mehanika loma/doktorat-pdf.doc · web viewa new energy-critical plane...

SVEUČILIŠTE U SPLITUFAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I

BRODOGRADNJE

SRĐAN PODRUG

PRILOG PROBLEMATICI INTEGRITETA ZUPČANIKA S OBZIROM NA ČVRSTOĆU KORIJENA ZUBA

DOKTORSKA DISERTACIJA

SPLIT, 2004.

Doktorska disertacija je izrađena u

Zavodu za strojarstvo i brodogradnjuFakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje

Sveučilište u Splitu

Mentor

Dr. sc. Damir Jelaska, red. prof.

Radnja ima 157 listova

Zahvaljujem se na korisnim savjetima i pomoći u konačnom oblikovanju rada mentoru prof.dr.sc. Damiru Jelaski, te članovima komisije prof.dr.sc Josipu Brniću, prof.dr.sc. Srečku Glodežu, prof.dr.sc. Nenadu Vuliću i prof.dr.sc. Željanu Lozini.

Disertaciju posvećujem supruzi Asji, bez njene ljubavi, podrške i razumijevanja sve ovo skupa ne bi bilo moguće.

SADRŽAJ

UPOTRIJEBLJENE OZNAKE_____________________________________________________7

1. UVOD_____________________________________________________________________10

2. INICIJACIJA PUKOTINE_________________________________________________13

2.1 MIKROSKOPSKI ASPEKTI ZAMORA_________________________________________13

2.2 PRINCIP LOKALNE DEFORMACIJE__________________________________________14

2.3 ODNOS NAPREZANJA I DEFORMACIJA PRI PROMJENJIVOM OPTEREĆENJU_______15

2.4 DEFINICIJA INICIJACIJE PUKOTINE_________________________________________192.4.1 Dijagram ovisnosti deformacije o vremenu do inicijacije pukotine__________19

2.4.2 Utjecaj srednjeg naprezanja________________________________________________23

2.5 INICIJACIJA PUKOTINE KOD STROJNIH DIJELOVA PRI VIŠEOSNOM STANJU NAPREZANJA____________________________________________________________24

2.5.1 Metode kritične ravnine____________________________________________________25

2.6 FAKTOR POVRŠINE_______________________________________________________30

2.7 ELASTO-PLASTIČNA KOREKCIJA____________________________________________312.7.1 Aproksimativne metode izračunavanja elasto-plastičnih naprezanja i deformacija________________________________________________________________________32

2.7.1.1 Neuberovo pravilo_____________________________________________________32

2.7.1.2 Glinkino pravilo________________________________________________________33

2.7.1.3 Hoffman - Seeger metoda – Generalizirani Neuber_____________________34

2.8 POSTUPAK IZRAČUNAVANJA VREMENA DO INICIJACIJE PUKOTINE_____________36

3. ŠIRENJE PUKOTINE_____________________________________________________40

3.1 ANALIZA POLJA NAPREZANJA U BLIZINI VRŠKA PUKOTINE____________________40

3.2 FAKTOR INTENZITETA NAPREZANJA________________________________________433.2.1 Metoda korelacija pomaka__________________________________________________44

3.2.2 Metoda modificiranog integrala zatvaranja pukotine________________________45

3.2.3 Metoda J-integrala računanog s ekvivalentnim površinskim integralom_____47

3.3 SMJER ŠIRENJA PUKOTINE________________________________________________493.3.1 Kriterij maksimalnog cirkularnog naprezanja (MCN-kriterij)________________50

4

3.3.2 Kriterij minimuma gustoće energije deformiranja (S-kriterij)_______________51

3.3.3 Kriterij maksimuma faktora oslobođene energije (G-kriterij)________________52

3.4 BRZINA ŠIRENJA PUKOTINE_______________________________________________53

3.5 ZATVARANJE-OTVARANJE PUKOTINE_______________________________________573.5.1 Efektivni faktor intenziteta naprezanja_____________________________________58

3.5.2 Faktor intenziteta naprezanja zatvaranja pukotine__________________________62

3.6 OGRANIČENJE PRIMJENE LINEARNO ELASTIČNE MEHANIKE LOMA____________66

4. DULJINA INICIRANE PUKOTINE_______________________________________68

4.1 KITAGAWA-TAKAHASHI DIJAGRAM_________________________________________68

4.2 KARAKTERISTIČNE DULJINE PUKOTINE_____________________________________694.2.1 Duljina pukotine a0_________________________________________________________69

4.2.2 Duljina pukotine a1_________________________________________________________69

4.2.3 Duljina pukotine a2_________________________________________________________70

5. VIJEK TRAJANJA ZUPČANIKA S OBZIROM NA ZAMOR MATERIJALA USLIJED SAVIJANJA U KORIJENU ZUBA_______________________________73

5.1 STANDARDIZIRANE PROCEDURE IZRAČUNA OPTERETIVOSTI KORIJENA ZUBA____735.1.1 Postupak izračunavanja naprezanja u korijenu zuba prema DIN 3990_______75

5.2 POSTUPAK IZRAČUNAVANJA NAPREZANJA U KORIJENU ZUBA METODOM KONAČNIH ELEMENATA__________________________________________________77

5.2.1 Profil zuba zupčanika_______________________________________________________77

5.2.1.1 Koordinate točke na ravnoj ozubnici___________________________________77

5.2.1.2 Evolventni dio profila zuba zupčanika__________________________________79

5.2.1.3 Prijelazna krivulja – profil podnožja zuba______________________________81

5.2.2 Model zupčanika___________________________________________________________83

5.2.3 Ciklus naprezanja u korijenu zuba zupčanika_______________________________85

5.3 INICIJACIJA PUKOTINE U KORIJENU ZUBA ZUPČANIKA________________________915.3.1 Zupčani par I_______________________________________________________________91

5.3.2 Zupčani par II______________________________________________________________98

5.4 ŠIRENJE PUKOTINE U KORIJENU ZUBA ZUPČANIKA_________________________1085.4.1 Zupčani par I______________________________________________________________108

5.4.1.1 Širenje pukotine uz aproksimaciju opterećenja silom u početnoj točki jednostrukog zahvata__________________________________________________________1095.4.1.2 Širenje pukotine uz aproksimaciju opterećenja uzimanjem u obzir okretanja zupčanika____________________________________________________________114

5

5.4.2 Zupčani par II_____________________________________________________________120

5.4.2.1 Širenje pukotine uz aproksimaciju opterećenja silom u krajnjoj točki jednostrukog zahvata__________________________________________________________1215.4.2.2 Širenje pukotine uz aproksimaciju opterećenja uzimanjem u obzir okretanja zupčanika____________________________________________________________123

6. ANALIZA REZULTATA_________________________________________________126

6.1 ANALIZA INICIJACIJE PUKOTINE U KORIJENU ZUBA ZUPČANIKA______________1266.1.1 Zupčani par I______________________________________________________________126

6.1.2 Zupčani par II_____________________________________________________________126

6.2 ANALIZA ŠIRENJA PUKOTINE U KORIJENU ZUBA ZUPČANIKA_________________1306.2.1 Usporedba numeričkih modela____________________________________________130

6.2.1.1 Zupčani par I_________________________________________________________130

6.2.1.2 Zupčani par II________________________________________________________131

6.2.2 Usporedba numerički i eksperimentalno dobivenih staza pukotine________134

6.3 VIJEK TRAJANJA ZUPČANIKA S OBZIROM NA LOM U KORIJENU ZUBA ZUPČANIKA

1386.3.1 Zupčani par I______________________________________________________________138

6.3.2 Zupčani par II_____________________________________________________________139

7. ZAKLJUČAK_____________________________________________________________143

LITERATURA________________________________________________________________145

SAŽETAK____________________________________________________________________154

SUMMARY__________________________________________________________________155

ŽIVOTOPIS___________________________________________________________________156

6

UPOTRIJEBLJENE OZNAKE

a osni razmak, mm omjer dvoosnosti duljina pukotine, mm

ac kritična duljina pukotine, mmb širina zupčanika, mmbi eksponent dinamičke čvrstoćeb0i smični eksponent dinamičke

čvrstoćeci eksponent cikličkih deformacijac0i smični eksponent cikličkih

deformacijaC konstanta materijala u Parisovoj

jednadžbi,

c* relativna tjemena zračnostCsur faktor površineD stvarna vrijednost plastične

deformacije kod statičkog opterećenja

ds smični parametar oštećenjadt vlačni parametar oštećenjady promjer odgovarajućeg kruga (y)

zupčanika.Bez indeksa y – diobeni krug, mm

E modul elastičnosti, MPapomoćni koeficijent pri računanju naprezanja u korijenu prema DIN 3990

FB sila okomita na bok zuba u rubnoj točki jednostrukog zahvata, N

Fn opterećenje okomito na bok zuba, N

Ft obodna sila na diobenom promjeru, N

G modul smicanja, MPa faktor oslobođene energije, MPa mm

pomoćni faktor pri računanju naprezanja u korijenu prema DIN 3990 ASTM broj koji definira veličinu zrna

g funkcija oblika u konceptu djelomičnog zatvaranja pukotine

H pomoćni faktor pri računanju naprezanja u korijenu prema DIN 3990

hF udaljenost između kritičnog presjeka u korijenu zuba i presjecišta simetrale zuba s pravcem djelovanja opterećenja, mm

hfP podnožna visina zuba ravne ozubnice, mm

i prijenosni omjerk konstanta materijala u smičnom

parametru oštećenjaK faktor intenziteta naprezanja,

KIC lomna žilavost,

Kcl FIN pri kojem dolazi do zatvaranja pukotine,

Kcl,plast FIN pri kojem dolazi do zatvaranja pukotine uslijed plastičnosti,

KL faktor trajnosti prema AGMA-iKop FIN pri kojem dolazi do otvaranja

pukotine,

Kth FIN na pragu širenja pukotine,

K' koeficijent cikličkog očvršćivanjam eksponent u Parisovoj jednadžbi

modul, mmn' eksponent cikličkog očvršćivanja

7

N vijek trajanja, ciklusaND granični broj ciklusaNi vrijeme do inicijacije pukotine,

ciklusaNp vrijeme širenja pukotine od

inicirane do proizvoljne duljine, ciklusa

R koeficijent asimetrije ciklusaRA relativno suženje (kontrakcija)Ra srednje odstupanje profila, mRm statička čvrstoća, MParp polumjer zone u kojoj je materijal

plastično deformiran, mRt granica tečenja, MPaS faktor gustoće energije

deformiranja, MPa mmSF stupanj sigurnosti protiv zamora

materijala uslijed savijanja u korijenu zuba

sF debljina zuba na kritičnom presjeku, mm

U omjer zatvaranja pukotinex faktor pomaka profilaX faktor raspodjele opterećenjaY faktor oblika u faktoru intenziteta

naprezanjaYF faktor oblika zubaYN faktor trajnosti prema DIN-uYS faktor koncentracije naprezanjaz broj zubiFe kut djelovanja opterećenja u

krajnjoj točki jednostrukog zahvatan kut nagiba boka zuba standardne

ravne ozubnicet teoretski (elastični) faktor

koncentracije naprezanjaw pogonski kut zahvata u

kinematskom polu y pogonski kut zahvata u proizvoljnoj

točki y k omjer lokalnog i nominalnog

naprezanja omjer lokalne i nominalne

deformacije bezdimenzijska linijska koordinata

duž zahvatne linije smična deformacijay polukut širine zuba na promjeru

odgovarajućeg kruga (y) zupčanika.

f' smični koeficijent cikličkih deformacija

veličina zrna, m normalna deformacijaf' koeficijent cikličkih deformacija stupanj prekrivanja profila pomoćni faktor pri računanju

naprezanja u korijenu prema DIN 3990

konstanta koja ovisi o stanju naprezanja

omjer FIN-a tipa I i tipa II Poissonov koeficijent' efektivni (elasto-plastični)

Poissonov koeficijentF polumjer zaobljenja prijelazne

krivulje na kritičnom presjeku, mm

fP polumjer zaobljenja podnožja ravne ozubnice, mm

red y ekvivalentni polumjer zakrivljenosti bokova u točki y zahvatne linije, mm

y polumjeri zakrivljenosti bokova u proizvoljnoj točki y, mm

normalno naprezanje, MPaD trajna dinamička čvrstoća glatkog

laboratorijskog uzorka, MPaDr trajna dinamička čvrstoća strojnog

dijela, MPaF naprezanje uslijed savijanja u

korijenu zuba, MPaF0 nominalno naprezanje uslijed

savijanja u korijenu zuba, MPaf' koeficijent dinamičke čvrstoće,

MPa cirkularno naprezanje, MPa tangencijalno naprezanje, MPaf' smični koeficijent dinamičke

čvrstoće kut između maksimalnog glavnog

8

naprezanja i osi x omjer CTODbrazde i CTODmax

INDEKSI

1,2 pogonski, gonjeni zupčanik1,2,3 indeksi glavnih naprezanja -

deformacijaI odcjepni tip otvaranja pukotineII klizni tip otvaranja pukotineIII rascjepni tip otvaranja pukotineA točka u presjeku zahvatne linije i

kruga preko glave gonjenog zupčanika

a amplitudno krug preko glave

B početna točka kontakta jednog para zubi

b temeljni krugC kinematski polcl zatvaranje pukotineD krajnja točka kontakta jednog para

zubiE točka u presjeku zahvatne linije i

kruga preko glave pogonskog zupčanika

e elastično krug u početnoj (krajnjoj) točki jednostrukog zahvata

eff efektivnieq, q ekvivalentni

exp eksperimentalnif podnožni krugm srednjen normalno

nominalnoop otvaranje pukotinep plastičnoS središte zakrivljenosti ravne

ozubniceth prag širenja pukotinew kinematski krug

KRATICE

CTOD pomak površina pukotine u njenom vršku okomito na smjer otvaranja pukotine

en engleskiFIN faktor intenziteta naprezanjaHB tvrdoća u BrinellimaHRC tvrdoća u Rockwell CHV tvrdoća u VickersimaKBM Kandil-Brown-Miller parametarLEML linearno elastična

mehanika lomamax maksimalnomin minimalno

9

1. Uvod 11

1.

2. UVOD

Postoji nekoliko standardiziranih procedura (DIN [1], AGMA [2], ISO [3], itd.) izračunavanja opteretivosti korijena zuba zupčanika. One najčešće uspoređuju maksimalno naprezanje u korijenu zuba zupčanika s dopuštenim naprezanjem. Maksimalno i dopušteno naprezanje ovise o nizu utjecajnih faktora kojima se uzimaju u obzir stvarni radni uvjeti (dodatna vanjska i unutrašnja dinamička opterećenja, raspodjela opterećenja po boku zuba i na pojedine zube u zahvatu, površinska hrapavost, itd.). Postupci Mehanike loma, kao znanstvene discipline, koja jedina omogućava izračun vijeka trajanja od nastanka pukotine do loma, u spomenutim standardima nisu upotrijebljeni. Tamo vijek trajanja ovisi samo o tvrdoći materijala zupčanika, što je vrlo gruba aproksimacija.

Prema novijim dostignućima Mehanike loma cjelokupan proces loma uslijed zamora strojnih dijelova može se podijeliti u četiri faze [4]: (1) nukleacija mikropukotina; (2) rast kratkih pukotina; (3) rast dugih pukotina; i (4) konačni lom strojnog dijela. Prve dvije faze najčešće se nazivaju periodom inicijacije pukotine, a rast dugih pukotina periodom širenja pukotine. Cjelokupni životni vijek strojnih dijelova se onda može odrediti kao suma ciklusa opterećenja potrebnih za inicijaciju pukotine Ni

i ciklusa opterećenja potrebnih za širenje pukotine od inicijalne do kritične duljine Np (slika 1.1):

.

1. Uvod 12

(lo g)

N (lo g)

R m

D

W h lero va kriv u lja

kriv u lja in icijacije p uko tin e

ö

N D

1/ 4

N p

N i

Slika 1.1 Krivulja inicijacije pukotine i krivulja vijeka trajanja

Ovakav pristup je prisutan u novijim istraživanjima integriteta zupčanika s obzirom na čvrstoću korijena, ali su ona uglavnom bila ograničena na period širenja pukotine [5], [6] uz zanemarivanje [7] ili samo eksperimentalno određivanje [8] perioda inicijacije. Obzirom da zupčanici pretežito rade u području visokocikličkog zamora, u kojem na period inicijacije otpada veći dio životnog vijeka strojnog dijela [9], proizlazi da se posebna pozornost mora posvetiti izračunavanju broja ciklusa do inicijacije pukotine.

Prema numeričkom modelu za izračunavanje broja ciklusa potrebnih za inicijaciju pukotine u korijenu cilindričnog zupčanika, zasnovanom na principu lokalne deformacije, predloženom u [10], [11], [12], pukotina se inicira na mjestu s najvećom koncentracijom deformacija kao rezultat povratnog plastičnog toka, odnosno ciklički ponavljane plastične deformacije.

Broj ciklusa potrebnih za širenje pukotine od inicijalne do kritične duljine može se odrediti primjenom linearno elastične mehanike loma, a prema kojoj je porast duljine pukotine po ciklusu funkcija raspona faktora intenziteta naprezanja. Kod kompliciranijih geometrija i složenih stanja naprezanja, kao što je slučaj kod korijena zuba zupčanika, ovisnost raspona faktora intenziteta naprezanja o duljini pukotine dobiva se pomoću metode konačnih elemenata. Numerička simulacija širenja

1. Uvod 13

pukotine se kod većine istraživanja [8], [10], [11], [12], [13], [14] provodi u programskom paketu Franc2D [15], [16], gdje je potrebno definirati iznos produljenja, a automatski se izračunava faktor intenziteta naprezanja i smjer širenja pukotine.

Cilj je istraživanja u ovom radu razviti numerički model za predviđanje vijeka trajanja zupčanika obzirom na lom u korijenu zuba. Istraživanje se sastoji iz dva dijela. U prvom se dijelu izračunava vrijeme do inicijacije pukotine, a u drugom broj ciklusa opterećenja potrebnih za rast pukotine od inicijalne do kritične duljine, odnosno do konačnog loma zuba zupčanika.

Prema numeričkom modelu [10], [11], [12] do inicijacije pukotine dolazi u točki korijena zuba cilindričnog zupčanika u kojoj je najveća vrijednost maksimalnog glavnog naprezanja. Naprezanje se računa metodom konačnih elemenata.

Međutim, obzirom da je stanje naprezanja na površini zuba zupčanika višeosno, u ovom će se radu vrijeme do inicijacije pukotine računati pomoću metoda kritične ravnine [17], koje uzimaju u obzir činjenicu da se pukotine iniciraju na određenim, povoljno orijentiranim ravninama. Metode kritične ravnine ne samo da predviđaju vrijeme do inicijacije pukotine, već pronalaženjem kritične ravnine predviđaju i pravac inicirane pukotine, što predstavlja dobar temelj za daljnju analizu širenja pukotine i izračunavanje ukupnog vijeka trajanja [18].

U modelima [5], [6], [8], [10], [11], [12], [13], [14] opterećenje se aproksimira ciklusom kod kojeg sila na zub cilindričnog zupčanika djeluje u početnoj (krajnjoj)1 točki jednostrukog zahvata i mijenja iznos od nula do maksimalne vrijednosti. Međutim, opterećenje se prenosi s pogonskog na gonjeni zupčanik mijenjajući, za vrijeme okretanja zupčanika, svoj pravac djelovanja, položaj i intenzitet. U istraživanju [19] se kod određivanja staze pukotine u korijenu zuba cilindričnog zupčanika ta činjenica uzima u obzir tako da se provodi kvasi-statička numerička simulacija u kojoj je zahvat zupčanika razlomljen na više slučajeva opterećenja koji se onda zasebno analiziraju.

1 početnoj za gonjeni zupčanik, odnosno krajnjoj za pogonski zupčanik

1. Uvod 14

U ovom će se radu istražiti utjecaj pomicanja opterećenja po boku zuba zupčanika na inicijaciju i na širenje pukotine. Slično kao i u [19] provest će se kvasi-statička simulacija, ali se neće smatrati da se pukotina širi okomito na smjer maksimalnog cirkularnog naprezanja za vrijeme ciklusa opterećenja, nego će se modificirati procedura koja je u [20] provedena na koničnim zupčanicima. Procedura predložena u [20] jedina je numerička procedura kojom se može analizirati širenje pukotine kod strojnih dijelova koji su neproporcionalno opterećeni (opterećenje kod kojega omjer faktora intenziteta naprezanja odcjepnog i kliznog tipa nije konstantan).

U istraživanju [21] je utvrđeno da značajan utjecaj na širenje pukotine u korijenu zuba zupčanika ima zatvaranje pukotine. Zatvaranje pukotine je kontakt površina pukotine za vrijeme djelovanja vremenski promjenjivog opterećenja, a kao posljedicu ima smanjenje raspona faktora intenziteta naprezanja. Smanjeni raspon faktora intenziteta naprezanja naziva se efektivni faktor intenziteta naprezanja i predstavlja onaj dio ciklusa opterećenja za koji je pukotina potpuno otvorena. U ovom radu će se efektivni faktor intenziteta naprezanja određivati kombinacijom analitičkog modela [22], [23] i koncepta djelomičnog zatvaranja pukotine [24] kod kojeg zatvaranje pukotine samo djelomično zaštićuje vršak pukotine od utjecaja cikličkog opterećenja, jer do zatvaranja ne dolazi u vršku pukotine, nego na maloj udaljenosti iza vrška pukotine.

Na osnovu rečenog očekuje se da će se opisanim numeričkim postupkom moći pouzdanije negoli prema ijednoj postojećoj metodi proračunati integritet zupčanika, te odrediti očekivani vijek trajanja zupčanika obzirom na zamor materijala uslijed savijanja u korijenu zuba.

15

3. INICIJACIJA PUKOTINE

Strojni dio podvrgnut opterećenjima posljedica kojih su vremenski promjenjiva naprezanja lomi se pri naprezanjima koja su znatno manja od statičke čvrstoće i od granice tečenja materijala. Ovo se događa kao posljedica zamora materijala.

Lom uslijed zamora je posljedica postupnog slabljenja otpora materijala. Mikroskopsko promatranje strojnog dijela, prije samog loma uslijed zamora, otkriva pojavu mikropukotina, čija interakcija vodi stvaranju makropukotine odgovorne za lom strojnog dijela.

U ovom će se poglavlju dati teorijske osnove mehanizma zamora materijala, te će se opisati mogućnosti numeričkog određivanja vremena do inicijacije pukotine. Posebna će se pozornost posvetiti metodama kritične ravnine koje predstavljaju najmodernije, numerički najzahtjevnije metode određivanja vremena do inicijacije pukotine kod strojnih dijelova pri višeosnom stanju naprezanja.

3.1 MIKROSKOPSKI ASPEKTI ZAMORA

Istraživanjem je mehanizama zamora utvrđeno je da je proces nastanka oštećenja strojnog dijela povezan s povratnim plastičnim tokom (gibanjem dislokacija naprijed-nazad). Dislokacije su linijske nepravilnosti u kristalnoj rešetci koje su odgovorne za gotovo sve vidove plastične deformacije duž ravnina klizanja kristala metala.

Zbog gibanja dislokacija se modificira unutarnja struktura materijala, čime dolazi do promjene ovisnosti naprezanja o deformacijama, odnosno materijal ciklički očvršćuje ili omekšava.

2. Inicijacija pukotine 16

Tendencija razvoja struktura dislokacija niskog energetskog nivoa [25], [26] dovodi do nehomogenosti cikličkih deformacija, što uzrokuje lokaliziranu pojavu plastičnih deformacija.

Lokalizacija plastične deformacije se pretežito događa u površinskim zrnima materijala i manifestira se pojavom brazdi (ravnina klizanja) [27]. Eksperimentima je utvrđeno da odstranivanjem tankog sloja površine koja sadrži brazde, nakon ponovnog opterećenja strojnog dijela, brazde se javljaju na istim mjestima, te se zato zovu trajne ravnine klizanja (en. persistent slip bands – PSB) [28].

Sm jer d jelo v an jao p tere en ja p ro m jen jivo gu v rem enu

ć

T rajna ra

v n in a klizan ja

P o v r in aš

I sp up en ječ

U d ub ljen je

Slika 2.2 Trajne ravnine klizanja

Daljnjim gibanjem i interakcijom dislokacija unutar trajne ravnine klizanja nastaju udubljenja (en. intrusion) i ispupčenja (en. extrusion), (slika 2.1) [29].

Udubljenja predstavljaju mjesta s visokom koncentracijom naprezanja zbog čega na tim mjestima dolazi do veće mogućnosti klizanja duž glavne ravnine klizanja, što dovodi do nastanka pukotine [30].

Osim opisanog mehanizma nastanka pukotine u jednom zrnu (intergranularno), pukotina se može začeti i na granici zrna (transgranularno) [31], jer granice zrna mogu predstavljati mjesta


lokalizacije plastične deformacije, te tako i mjesta moguće inicijacije pukotine.

Kod materijala koji sadrže nehomogenosti, kao što su uključine, mikropore, slojevi oksida, itd. plastična deformacija je koncentrirana u okolini ovih nehomogenosti zbog lokalnog porasta naprezanja.

3.2 PRINCIP LOKALNE DEFORMACIJE

Prema principu lokalne deformacije za opisivanje pouzdanosti strojnih dijelova opterećenih vremenski promjenjivim opterećenjima dovoljno je poznavanje promjene odnosa naprezanja i deformacije materijala na najopterećenijoj lokaciji [32].

Kako je ranije rečeno, s aspekta mehanike kontinuuma, pukotina se inicira na mjestu s najvećom koncentracijom deformacije kao rezultat povratnog plastičnog toka, odnosno ciklički ponavljane plastične deformacije. Pretpostavljajući da se najopterećenije područje može predstaviti vlaknom čiji je mehanički odziv sličan onom glatkog laboratorijskog uzorka (slika 2.2) onda prema principu lokalne deformacije:

Do inicijacije pukotine na strojnom dijelu dolazi puknućem vlakna materijala na površini strojnog dijela u neposrednoj blizini koncentratora naprezanja

Glatki laboratorijski uzorak može se koristiti za reprodukciju odnosa naprezanja i deformacije vlakna

Ukoliko vlakno strojnog dijela i glatki laboratorijski uzorak imaju identičnu povijest naprezanja, tada su i njihova vremena do inicijacije pukotine jednaka.


K o n cen trato rn ap rezan ja

G latk ilab o rato rijsk iuzo rak

N ajo p tere en ijalo kacija

ć

Slika 2.3 Princip sličnosti glatkog laboratorijskog uzorka i vlakna materijala na najopterećenijoj lokaciji

3.3 ODNOS NAPREZANJA I DEFORMACIJA PRI PROMJENJIVOM OPTEREĆENJU

Na slici 2.3 prikazana je petlja histereze. Petlja histereze se dobiva na način da se laboratorijski uzorak optereti preko granice tečenja materijala, te se dobiva krivulja (O-A-B) koja predstavlja statičku ovisnost naprezanja o deformaciji. Nakon toga uzorak se rastereti te ponovno optereti u tlačnom području do jednakog maksimalnog naprezanja, pa se zatim opet promijeni smjer opterećenja do jednakog maksimalnog naprezanja u vlačnom području. Tako se dobiva petlja histereze, odnosno jedan ciklus opterećenja u dijagramu ovisnosti naprezanja o deformaciji.


pe

2a =

2

a =

0

A

B

C

2

a =

2a =

Slika 2.4 Petlja histereze

Dimenzije petlje histereze su njena širina (raspon ukupne deformacije) i visina (raspon naprezanja). Raspon ukupne deformacije sastoji se od elastične e

i plastične deformacije p.Pri rasterećivanju tečenje materijala započinje u točki C, dakle pri

nižoj vrijednosti naprezanja nego u vlačnom području (točka A). Ovo ponašanje materijala poznato je kao Bauschingerov efekt.

Petlje histereze dobivaju se ispitivanjem materijala kontroliranom konstantnom deformacijom. Ta ispitivanja su definirana standardom ASTM E606 [33].

Kod ispitivanja ciklusom konstantne deformacije raspon naprezanja se najčešće mijenja s brojem ciklusa opterećenja. Ta promjena može biti:

raspon naprezanja raste – materijal ciklički očvršćuje raspon naprezanja pada – materijal ciklički omekšava raspon naprezanja je konstantan – materijal je ciklički stabilan raspon naprezanja i raste i pada – ovisno o rasponu

deformacije materijal može i očvršćivati i omekšavati.Na slici 2.4 a prikazan je efekt omekšavanja, a na slici 2.4 b efekt

očvršćivanja.


Razlog zbog kojeg materijal očvršćuje ili omekšava je povezan s dislokacijama (poglavlje 2.1). Naime, kod mekših materijala gustoća dislokacija je mala pa opterećivanje povećava gustoću i interakciju dislokacija pa time dolazi do očvršćivanja materijala, dok kod čvršćih materijala zbog razmještanja dislokacija dolazi do njegovog omekšavanja.

Većina materijala postigne stabilno stanje (naprezanje postigne vrijednost koju zadržava sve do pojave pukotine uslijed zamora) nakon 20-40% ukupnog vijeka trajanja do loma uslijed zamora [34].

Reprezentativnom histerezom uzima se ona koja odgovara broju ciklusa jednakom polovini broja ciklusa do pojave inicijacije pukotine. Ova histereza se naziva stabilizirana petlja histereze [35].

Vrhovi stabiliziranih petlji histereze, dobivenih opterećivanjem ciklusima različitih raspona deformacije definiraju cikličku krivulju ovisnosti naprezanja o deformaciji (slika 2.5).


1

2

3

4

x

x

i

i

N x N i N f N

1

2

3

4

x

x

i

i

N x N i N f N

a)

b )

c)

d )

Slika 2.5 Efekti cikličkog omekšavanja i očvršćivanja

U slučaju cikličkog omekšavanja ova krivulja se nalazi ispod statičke krivulje ovisnosti naprezanja o deformaciji, a u slučaju cikličkog očvršćenja iznad nje. Ako se ciklička i statička krivulja ovisnosti naprezanja o deformaciji sijeku, presjecište predstavlja amplitude naprezanja i deformacija za koje materijal ima neutralnu cikličku karakteristiku. Na osnovu poznate cikličke krivulje ovisnosti naprezanja o deformaciji, moguće je za svaku ukupnu amplitudu deformacije odrediti stabiliziranu petlju histereze, i amplitude elastične i plastične deformacije.


statička krivu lja

ciklička krivu lja

Slika 2.6 Ovisnost naprezanja o deformaciji za ciklički omekšani materijal

Ciklička krivulja ovisnosti naprezanja o deformaciji sastoji se od elastične i plastične deformacije i opisana je Ramberg-Osgood jednadžbom [36]:

,

gdje je:E – modul elastičnosti,K' – koeficijent cikličkog očvršćivanja,n' – eksponent cikličkog očvršćivanja.Korištenjem Masingove hipoteze, prema kojoj je krak stabilizirane

petlje histereze geometrijski identičan, ali numerički dvostruk cikličkoj krivulji ovisnosti naprezanja o deformaciji, može se izvesti jednadžba kraka petlje histereze:

1

22

n

E K


3.4 DEFINICIJA INICIJACIJE PUKOTINE

3.4.1 DIJAGRAM OVISNOSTI DEFORMACIJE O VREMENU DO INICIJACIJE PUKOTINE

Krivulja ovisnosti deformacije o vremenu do inicijacije pukotine dobiva se opterećivanjem glatkog laboratorijskog uzorka ciklusom konstantne deformacije.

Na slikama 2.4 prikazane su ovisnosti najvećih i najmanjih vrijednosti amplitude naprezanja i broja ciklusa. Na gornjem dijelu dijagrama prikazane su maksimalne (vlačne) vrijednosti, a na donjoj strani dijagrama minimalne (tlačne) vrijednosti. Za vrijeme procesa zamora, ali bez pojave pukotina, postoji stabilna ovisnost između ove dvije krivulje.

Kada dođe do pojave pukotine, te započne njen rast, dolazi do značajnijeg pada apsolutnih vrijednosti ekstremnih naprezanja u vlačnom nego u tlačnom području.

U tlačnom području dolazi do međusobnog kontakta površina pukotine, te uzorak pokazuje praktično istu otpornost deformaciji kao da i nema pukotine.

Do pojave različitog ponašanja materijala u vlačnom i tlačnom području ne dolazi zbog promjene mehaničkih karakteristika materijala, već zbog gubitka integriteta tijela, tj. zbog pojave pukotine. Radi toga se ova činjenica može koristiti za otkrivanje inicijalnih pukotina i određivanje broja ciklusa za njihov nastanak [37].

Ova definicija inicirane pukotine nije zasnovana na njenoj geometrijskoj veličini, nego na različitom ponašanju uzorka u vlačnom i tlačnom području.

Na slikama 2.4 broj ciklusa do inicijacije pukotine označen je s Ni, broj ciklusa do loma uzorka s Nf, a razlike u ponašanju materijala u vlačnom i tlačnom području naglašene su s iscrtkanim tlačnim krivuljama ucrtanim na vlačnoj strani naprezanja.

Nakon inicijacije pukotine daljnje opterećivanje uzrokuje rast pukotine i na posljetku lom uzorka.


Podaci dobiveni ispitivanjima ciklusima konstantne deformacije moraju sadržavati jasnu definiciju inicijacije pukotine. Prihvatljive definicije inicijacije pukotine prema [35] su:

1) Prvi značajni otklon od stabiliziranog ponašanja, odnosno pojava značajnijeg pada naprezanja u vlačnom od onog u tlačnom području. Pouzdanost otkrivanja otklona ovisna je o osjetljivosti opreme, pa se u nekim slučajevima koriste razlike od 1-5%, a u drugim razlike i od 10 do 20%.

2) Rezultati kalibriranog nerazarajućeg inspekcijskog uređaja, kao što je sustav pada električnog potencijala.

Rezultati ispitivanja se unose u dijagram koji pokazuje promjenu vremena do inicijacije pukotine izraženu u broju promjena smjera opterećivanja (broj poluciklusa) (2Ni) (en. reversals) prema logaritmu amplitude deformacije (a) (slika 2.6).

Amplituda deformacije jednaka je sumi amplituda elastične i plastične deformacije.

U log-log dijagramu a-2Ni amplitude elastičnih i plastičnih deformacija, za većinu materijala, leže na pravcima.

Amplituda naprezanja (a) i broj promjena smjera opterećenja (2Ni) povezani su izrazom poznatim kao Basquinov zakon [38]:

,

gdje je:'f – koeficijent dinamičke čvrstoće,bi – eksponent dinamičke čvrstoće.

Basquinov izraz se može modificirati tako da omogućava izračunavanje amplitude elastične deformacije:

.

Coffin i Manson [39], [40] su neovisno jedan o drugom povezali amplitudu plastične deformacije i broj promjena smjera opterećenja jednostavnom eksponencijalnom jednadžbom:


,

gdje je:'f – koeficijent cikličkih deformacija,ci – eksponent cikličkih deformacija. Zbrajanjem amplitude elastične deformacije i amplitude plastične

deformacije dobiva se izraz koji povezuje ukupnu deformaciju i broj promjena smjera opterećenja i ovdje će se zvati Basquin-Manson-Coffinova jednadžba, iako se u literaturi može susresti i naziv jednadžba Morrowa [41]:

.

b1

1c

B ro j p ro m jen a sm jera o p tere en ja, 2ć N i (lo g)

Ampl

ituda

def

orm

acije

, a

(log)

f

f

E

ea

pa

Slika 2.7 Dijagram ovisnosti broja ciklusa do inicijacije pukotine o amplitudi deformacije

Dakle, uz modul elastičnosti, krivulja ovisnosti vremena do inicijacije pukotine o amplitudi deformacije definirana je s četiri karakteristike materijala ('f, bi, 'f, ci ). Ove karakteristike materijala dobivaju se


regresijskom analizom rezultata ispitivanja [35], [42] te su dostupne za široki spektar materijala.

Godinama su međutim provođena i brojna ispitivanja s ciljem dobivanja međusobne ovisnosti između statičkih i cikličkih karakteristika materijala [43]. Manson [44] je predložio dvije metode: korelacijsku metodu kroz četiri točke i metodu univerzalnog nagiba krivulja. Prema korelacijskoj metodi kroz četiri točke po dvije točke na pravcima amplitude elastične i plastične deformacije definirane su preko statičkih karakteristika materijala. Prema metodi univerzalnog nagiba krivulja eksponent dinamičke čvrstoće i eksponent cikličkih deformacija, odnosno nagibi elastične i plastične linije su jednaki za sve materijale.

Uključivanjem u ispitivanja većeg broja materijala Muralidharan i Manson [45] su predložili modificiranu metodu univerzalnog nagiba, a Ong [46] modificiranu korelacijsku metodu kroz četiri točke. Roessle i Fatemi [47] su predložili najnoviju metodu tvrdoće za koju je potrebno poznavati samo modul elastičnosti i tvrdoću materijala da bi se približno izračunale cikličke karakteristike čelika.

Tablica 2-1 Ovisnost statičkih i cikličkih karakteristika materijala

Naziv metode

Korelacijska metoda kroz četiri točke [44]

Metoda univerzalnog nagiba krivulja [44]

Modificirana korelacijska metoda kroz četiri točke [46]

'f 1,9018Rm m 1R D

bi

5

2,5 1log0,91log

4 10

D

-0,12 0,81m m1 log 0,16 log

6R RE E

'f 0,7579D0,6 D


ci 3*41 0,0132 1 1log log

3 1,91 3 4D

Nap 1)

-0,6 *

0,007371 2log log4 2,074

D

Nap 2)

Nap. 1) je raspon elastične deformacije kod 104 ciklusa

Nap. 2)

0,81m f2 log 0,16 log

3 E* f 10E

RE

Naziv metode

Modificirana metoda univerzalnog nagiba krivulja [45]

Metoda tvrdoće [47]

'f 0,832m0,623 RE

E

4,25 225 ,MPaHB

bi -0,09 -0,09'f 0,53

0,155 m0,0196ERD

21 0,32 487 191000HB HBE

ci -0,56 -0,56

U tablici 2-1 je:Rm –statička čvrstoća materijalaD - stvarna vrijednost plastične deformacije kod statičkog

opterećenja, 1ln1

DRA

, gdje je RA relativno suženje

(kontrakcija)HB – tvrdoća u BrinellimaUsporedbom provedenoj u [48] zaključeno je da su eksponent

dinamičke čvrstoće i eksponent cikličkih deformacija, kod metoda koje pokazuju najbolje slaganje s eksperimentalnim rezultatima (modificirana metoda univerzalnog nagiba krivulja i metoda tvrdoće), jednaki za čelike i iznose:

,

.

Koeficijenti dinamičke čvrstoće i cikličkih deformacija međutim znatnije ovise o samom kriteriju inicijacije, te je ustanovljeno da kriterij


inicijacije za koji pad naprezanja iznosi 10%, modificirana metoda univerzalnog nagiba krivulja daje najbolju korelaciju.

Iz izraza dobiva se:

.

Uvrštavanjem Manson-Coffinovog zakona u izraz te izjednačavanjem s Basquinovim zakonom dobiva se:

,

odakle slijedi:

.

Dakle dovoljno je znati četiri cikličke karakteristike materijala, a preostale dvije se iz njih mogu odrediti.

3.4.2 UTJECAJ SREDNJEG NAPREZANJA

Ispitivanja ciklusom konstantne deformacije provode se simetričnim ciklusom deformacija (r = -1). U slučaju opterećenja s drugačijom asimetrijom ciklusa treba uzeti u obzir srednje naprezanje. Razvijeno je niz teorija korekcije srednjeg naprezanja, no bez konsenzusa o tome koja od njih je najbolja [49]. Metode su bazirane na parametrima naprezanja, deformacije ili energije. Ipak najširu upotrebu imaju Morrow-ova metoda i SWT (Smith-Watson-Topper) metoda.

Da bi uzeo u obzir srednje naprezanje Morrow [50] je predložio modifikaciju elastičnog dijela izraza :

i if ma i fi

' 2 ' 2b cN NE

,

gdje je: m - srednje naprezanje.Morrow-ova jednadžba je u skladu s zapažanjem da je utjecaj

srednjeg naprezanja značajan na male vrijednosti plastične deformacije, a malo utječe na visoke vrijednosti plastične deformacije. Može se međutim uočiti da prema ovoj metodi omjer elastičnih i plastičnih deformacija ovisi o srednjem naprezanju, što nije točno.


Smith, Watson i Topper [51] su predložili drugačiji pristup, te su srednje naprezanje uzeli u obzir preko maksimalnog naprezanja:

Za r = -1 maksimalno naprezanje je:

.

Množenjem izraza s prethodnim izrazom dobiva se:

.

Može se uočiti da prema Smith-Watson-Topper (SWT) jednadžbi do oštećenja uslijed zamora ne može doći ukoliko je maksimalno naprezanje jednako nuli ili ima negativnu vrijednost, što nije točno.

Dakle oba pristupa imaju svoje nedostatke, pa se za naprezanja koja su pretežito vlačna preporuča SWT pristup koji daje konzervativnije rezultate, dok za naprezanja koja su pretežito tlačna, Morrov-ov pristup daje realističnije predviđanje životnog vijeka.

Za slučaj torzijskog opterećenja koristi se izraz analogan izrazu :

.

Dakle, uz modul smicanja G krivulja ovisnosti vremena do inicijacije pukotine o amplitudi smične deformacije definirana je s četiri smične cikličke karakteristike materijala ('f, b0i, 'f, c0i). Ove se smične karakteristike mogu dobiti regresijskom analizom rezultata ispitivanja provedenih opterećivanjem uzoraka ciklusima konstantne smične deformacije.

Za razliku od vlačnih cikličkih karakteristika materijala, smične su cikličke karakteristike dostupne samo za mali broj materijala, pa se najčešće izračunavaju iz statičkih karakteristika materijala. Prema [48], smični se eksponenti mogu uzeti jednaki vlačnim eksponentima, te se pomoću kriterija ekvivalentne deformacije može izračunati:


3.5 INICIJACIJA PUKOTINE KOD STROJNIH DIJELOVA PRI VIŠEOSNOM STANJU NAPREZANJA

Stanje je naprezanja kod većine strojnih dijelova podvrgnutih opterećenjima promjenjivima u vremenu višeosno. Kod višeosnog se stanja naprezanja barem dva glavna naprezanja mijenjaju s vremenom. Višeosno se naprezanje kod kojeg se mijenja omjer glavnih naprezanja i/ili pravac glavnih naprezanja naziva neproporcionalno.

Razvijeno je niz metoda za određivanje vremena do inicijacije pukotine strojnog dijela podvrgnutog višeosnom stanju naprezanja [52], [53].

Metode se mogu podijeliti u tri osnovne skupine [52]:1) metode ekvivalentnih naprezanja ili deformacija2) energijske metode3) metode kritične ravnine

U najranijoj su fazi metode bile fokusirane na traženje procedure pronalaženja ekvivalentnog naprezanja (deformacija) zasnovane na statičkim teorijama tečenja materijala (von Mises ili Tresca kriteriji). Tim procedurama transformira se amplituda višeosnog naprezanja (deformacije) u ekvivalentnu amplitudu jednoosnog naprezanja (deformacije) koja bi proizvela isto oštećenje uslijed zamora kao i višeosno stanje. Nakon pronalaženja ekvivalentne amplitude i njenog uvrštavanja u Basquin-Manson-Coffin izraz može se izračunati vrijeme do inicijacije pukotine.

Pojava inicijacije pukotine vezana je uz plastičnu deformaciju materijala (poglavlje 2.1), koja ovisi o obliku petlje histereze. Metode koje su zasnovane na ekvivalentnom naprezanju (deformaciji) ne mogu opisati ovisnost procesa zamora o obliku petlje histereze. Taj nedostatak metoda ekvivalentnog naprezanja (deformacije) prevladan je energijskim metodama (metodama plastičnog rada). Rad plastične deformacije koji se izračunava po jedinici volumena za jedan ciklus opterećenja je parametar koji se postavlja u odnos s vremenom potrebnim za inicijaciju pukotine.


Pukotine se iniciraju i rastu na određenim ravninama (trajnim ravninama klizanja), (poglavlje 2.1). Ovu činjenicu ne uzimaju u obzir prethodne dvije metode, gdje se zbrajaju oštećenja koja nastaju na različitim ravninama. Taj nedostatak je prevladan s metodama kritične ravnine.

3.5.1 METODE KRITIČNE RAVNINE

Trajne ravnine klizanja javljaju se na ravninama maksimalne smične deformacije, te je općeprihvaćeno da su smično naprezanje i deformacija osnovni uzrok nukleacije mikropukotine.

Važnu ulogu u razvoju pukotine imaju i naprezanje i deformacija okomiti na ravninu maksimalne smične deformacije, što je prikazano na slici 2.7.

a)

b )

Slika 2.8 Trenje na rubovima pukotine kod djelovanja smične deformacije a), te utjecaj normalne deformacije b)

Sa slike 2.7 se vidi da maksimalna smična deformacija širi pukotinu, čemu se između ostalog suprotstavlja i trenje na rubovima pukotine (en. crack faces). Ukoliko vlačno naprezanje djeluje okomito na ravninu maksimalne smične deformacije, tada se rubovi pukotine razdvajaju, trenje se smanjuje, te se omogućava širenje pukotine i smanjenje vijeka trajanja. Ovu ideju su prvi formulirali Miller i Brown [54]:

.

Kasnije je ovaj izraz modificirao Kandil, povezivanjem izraza i [55]:


.

Lijeva strana izraza predstavlja Kandil-Brown-Miller (KBM) parametar, gdje jea,max amplituda maksimalne smične deformacije, a,n

amplituda normalne deformacije okomita na ravninu maksimalne smične deformacije, a S, i konstante materijala.

Kod opterećenja koje uzrokuje višeosno i neproporcionalno naprezanje KBM parametar ne daje dobre rezultate jer ne može uzeti u obzir mogućnost rotacije ravnine maksimalne smične deformacije. Drugi se nedostatak KBM parametra očituje u tome što su vjekovi trajanja kod niskocikličnog zamora neproporcionalnim opterećenjem kraći od onih za slično proporcionalno opterećenje [56]. Razlog za to je što dodatna rotacija glavnih pravaca naprezanja uzrokuje dodatno očvršćivanje materijala, a KBM parametar to ne može opisati jer je definiran samo preko deformacije.

Nabrojeni nedostaci prevladani su modelima koji će se ovdje nazvati Socievim [17], iako se u literaturi često nazivaju i imenima njegovih suradnika (Fatemi, Bannantine).

U Socievim modelima mogućnost se rotacije pravaca glavnih naprezanja uzima u obzir tako da se kritična ravnina ne definira kao ravnina maksimalne smične deformacije, nego se definira parametar oštećenja, te se traži ravnina na kojoj taj parametar ima maksimalnu vrijednost.

Dodatno se očvršćivanje materijala u Socievim modelima uzima u obzir uključivanjem naprezanja u parametar oštećenja.

Slijedeća važna karakteristika Socievih modela je uzimanje u obzir činjenice da su nukleacija i rani rast pukotine ovisni o amplitudi i vrsti naprezanja te o vrsti materijala.

Prvi dio perioda inicijacije je faza nukleacije mikropukotina, koje nastaju na ravninama maksimalne smične deformacije (trajnim ravninama klizanja). Nakon nukleacije započinje drugi dio perioda inicijacije, odnosno rast kratkih pukotina. U toj fazi pukotine najprije rastu na ravninama maksimalne smične deformacije. Taj se period naziva prva


faza rasta, dok se pukotine nazivaju smičnim pukotinama. Nakon postizavanja određene duljine pukotine najčešće dolazi do prijelaza u drugu fazu rasta, u kojoj pukotine rastu na ravninama okomitim na pravac maksimalnog glavnog naprezanja i nazivaju se vlačne pukotine (slika 2.8).

p rav ac d jelo v an jao p tere en jać

trajn e rav n in ek lizan ja

faz arasta I

faza rasta I I

p uko tin a tip a I I(sm i n a)č

p uko tin a tip a I(v la n a)č

Slika 2.9 Faze rasta pukotina

Smične se pukotine se nadalje dijele na pukotine tipa A i tipa B ovisno o dvoosnom omjeru (en. biaxiallity ratio), odnosno omjeru minimalnog i maksimalnog glavnog naprezanja na površini strojnog dijela, što je prikazano na slici 2.9.


1

23

p o v ršin a

1

3

2

sm jer širen ja p uko tin e

3

1

2

1

3

2

faz a rasta I faz a rasta I I

Sm i n a p uko tin a tip a Ač

Sm i n a p uko tin a tip a Bč

Slika 2.10 Ravnine širenja pukotina ovisno o omjeru naprezanja (deformacije)

Hoće li i kada će doći do prijelaza iz prve u drugu fazu rasta ovisi o materijalu, stanju naprezanja i amplitudi naprezanja. U [17] su dani dijagrami za tri materijala koji predstavljaju ekstreme u ponašanju izotropnih materijala za vrijeme vlačnog ili torzijskog ispitivanja opterećenjima promjenjivim u vremenu (slika 2.10).


102

102

102

102

104

104

104

104

10 3

10 3

103

103

105

105

105

105

106

106

10 6

10 6

10 7

10 7

10 7

10 7

0

0

0

0

0,2

0,2

0,2

0,2

0,4

0,4

0,4

0,4

0,6

0,6

0,6

0,6

0,8

0,8

0,8

0,8

1

1

1

1

Sm i n ep uko tin e

č

sm i n ep uko tin e

č

V la n ep uko tin e

č

V la n ep uko tin e

č

nuk leacija

nuk leacija

v ijek trajan ja, N f


N/N

N/N

ff

Č 4580, T o rz ija

Č 1531, T o rz ija



V la n ep uko tin e

č

V la n ep uko tin e

č

nuk leacija p uko tin e

nuk leacija p uko tin e

Č 4580, V lak - T lak

N/N

N/N

ff

Č 1531, V lak -T lak

Sm i n ep uko tin e

č

102 102104 104103 103105 105106 106107 1070 00,2 0,20,4 0,40,6 0,60,8 0,81 1

nuk leacija


N/N

f

N i C r 19 N b M o (I n co n el-718), T o rz ija


nuk leacija p uko tin e N/N

f

N i C r 19 N b M o (I n co n el-718), V lak - T lak

V la n ep uko tin e

čV la n ep uko tin e

čSm i n ep uko tin e

čSm i n ep uko tin e

č

Slika 2.11 Prikaz dominantnih mehanizama rasta pukotina za tri materijala [17]

Socieva metoda predviđa dva modela, jedan za slučaj kad se pukotine opažaju u smjeru maksimalne smične deformacije, te drugi u kojem se pukotine opažaju u smjeru maksimalnog vlačnog naprezanja.

Za smični model:

.

Lijeva strana izraza predstavlja smični parametar oštećenja (ds), gdje je za razliku od KBM parametra uključeno maksimalno normalno naprezanje max na ravnini maksimalne smične deformacije, konstanta materijala k, i granica tečenja Rt, ovim dodacima parametru KBM uzima


se u obzir dodatno očvršćivanje materijala kod neproporcionalnog opterećenja. Na desnoj strani je izraz .

Za vlačni model, Socie je predložio korištenje Smith-Watson-Topper (SWT) jednadžbe :

.

Lijeva strana jednadžbe predstavlja vlačni parametar oštećenja (dt).Socievi se modeli koriste na način da se za točku na površini strojnog

dijela traži ravnina s maksimalnom vrijednosti parametra ds te ravnina s maksimalnom vrijednosti parametra dt. Broj se ciklusa opterećenja izračunava za parametar oštećenja većeg iznosa, te se tako dobiva konzervativnija procjena vremena potrebnog za inicijaciju pukotine.

Nedostatak dosad navedenih parametara oštećenja (KBM, dt, ds) je u nepostojanju povezanosti s osnovama mehanike kontinuuma (npr. zbrajanje smične i normalne deformacije u izrazu ). Zbog tog razloga u posljednjih desetak godina razvijaju se modeli koji spajaju metode kritične ravnine i energijske metode [57], [58].

Analiza nekih parametara oštećenja, te njihova usporedba s eksperimentalnim rezultatima dana je u [59].

3.6 FAKTOR POVRŠINE

Inicijacija pukotine prvenstveno je površinski fenomen. Kako je ranije kazano da se ovisnost vremena do inicijacije pukotine o deformaciji dobiva opterećivanjem glatkog laboratorijskog uzorka ciklusom konstantne deformacije [35], potrebno je na neki način uzeti u obzir stvarnu hrapavost površine strojnog dijela.

Povećanje hrapavosti površine smanjuje vrijeme do inicijacije pukotine [60].

Hrapavost se površine strojnog dijela prema [32] uzima u obzir faktorom površine Csur, kojim se smanjuje trajna dinamička čvrstoća D

glatkog laboratorijskog uzorka:


,

gdje je Dr trajna dinamička čvrstoća strojnog dijela.

Na slici 2.11 prikazan je dijagram ovisnosti faktora površine Csur o statičkoj čvrstoći Rm i srednjem odstupanju profila Ra. Iz dijagrama se može uočiti da su čelici veće čvrstoće osjetljiviji na povećanje hrapavosti od čelika manje čvrstoće.

1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600

1

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,81,6

3,2

6,4

12,725,4

50,8

0,40,2

0,1

0,4900800700600500400300

Stati k a v rsto a R , M P ač č ć m

Fakt

or h

rapa

vosti

C su

r

Sred n je o d stup an je p ro fi la , m R a

Slika 2.12 Dijagram ovisnosti faktora površine o statičkoj čvrstoći i srednjem odstupanju profila

Promjena trajne dinamičke čvrstoće uzrokuje promjenu nagiba pravca elastične deformacije u dijagramu ovisnosti vremena do inicijacije o deformaciji, tj. promjenu eksponenta dinamičke čvrstoće bi.

Iz Basquinovog izraza :

,

gdje je ND granični broj ciklusa (106-107).


3.7 ELASTO-PLASTIČNA KOREKCIJA

Kako je kazano u poglavlju 2.2 poznavanje lokalne deformacije i lokalnog naprezanja na najopterećenijoj lokaciji neophodno je za predviđanje vremena do inicijacije pukotine na strojnom dijelu metodom lokalne deformacije. Lokalne se vrijednosti naprezanja i deformacija mogu odrediti na tri načina: direktnim mjerenjem deformacije, elasto-plastičnim konačnim elementima te aproksimativnim metodama kojima se iz nominalnog naprezanja izračunavaju lokalno naprezanje i lokalna deformacija. Kako analize elasto-plastičnim konačnim elementima mogu biti skupe i dugotrajne [61], [62] ovdje će se posebna pažnja posvetiti aproksimativnim metodama.

3.7.1 APROKSIMATIVNE METODE IZRAČUNAVANJA ELASTO-PLASTIČNIH NAPREZANJA I DEFORMACIJA

U elastičnom se području lokalne vrijednosti naprezanja i deformacija mogu izračunati iz:

,

gdje je t teoretski (elastični) faktor koncentracije naprezanja, omjer lokalne i nominalne deformacije, a k omjer lokalnog i nominalnog naprezanja.

Nakon pojave lokalnog plastičnog tečenja jednakost više ne vrijedi, te je potrebno koristiti aproksimativne modele izračunavanja lokalnih naprezanja i deformacija, od kojih su najčešće korišteni Neuberovo pravilo [63] i pravilo gustoće energije deformiranja (Glinkino pravilo) [64]. Ukoliko se ove metode koriste kada je nominalno naprezanje ispod granice tečenja materijala, tada daju razumne aproksimacije redistribucije naprezanja i deformacija.

3.7.1.1 Neuberovo pravilo

Prema Neuberovom pravilu umnožak naprezanja i deformacije je konstantan:

.


Lijeva strana izraza predstavlja umnožak naprezanja i deformacije u elasto-plastičnom području, a desna strana umnožak njima ekvivalentnih teoretskih potpuno elastičnih naprezanja i deformacije:

.

Uvrštavanje prethodnog izraza u Neuberovo pravilo dobiva se:

.

Nominalno naprezanje je niže od granice tečenja pa za njega vrijedi Hookeov zakon:

.

Množenjem izraza s E i dijeljenjem s dobiva se:

,

.

Što su najčešći oblici u kojima se izražava Neuberovo pravilo. Dakle, teoretski faktor koncentracije naprezanja jednak je geometrijskoj sredini faktora koncentracije deformacije i faktora koncentracije naprezanja.

Na slici 2.12a prikazan je dijagram ovisnosti naprezanja o deformaciji, u kojemu Neuberovo pravilo predstavlja hiperbolu, čije presjecište s cikličkom krivuljom naprezanje-deformacija, koja se može opisati Ramberg-Osgood jednadžbom , predstavlja lokalne elasto-plastične vrijednosti naprezanja i deformacije.


a) Neuberovo pravilo b) Glinkino pravilo

Slika 2.13 Grafički prikaz aproksimativnih metoda izračunavanja lokalnih naprezanja i deformacija

Jednakost šrafiranih površina u dijagramu predstavlja Neuberovo pravilo

Uvrštavanjem izraza u izraz dobiva se izraz iz kojeg se izračunava ordinata presjecišta Neuberove hiperbole i Ramberg-Osgodove jednadžbe:

.

3.7.1.2 Glinkino pravilo

Prema ovom se pravilu gustoća energije deformiranja na mjestu koncentracije naprezanja ne mijenja značajno ako je lokalno plastično deformiran materijal okružen pretežito elastično deformiranim materijalom. Ovo je razumna pretpostavka jer relativno veliki volumen elastično deformiranog materijala određuje količinu energije deformiranja koju će apsorbirati mali volumen materijala koji je plastično deformiran. Glinkino pravilo je prikazano dijagramom na slici 2.12b jednakošću šrafiranih površina i izraženo jednadžbom:

.


Nakon uvrštavanja izraza i u lijevu stranu, a Ramberg-Osgodove jednadžbe u desnu stranu prethodnog izraza, te integriranja, dobiva se:

.

Usporedbom Neuberovog i Glinkinog pravila, može se uočiti da je

jedina razlika u faktoru 2 1n ispred drugog dijela izraza na desnoj

strani. Kako je n' < 1, proizlazi da je faktor 2 1n veći od jedan. Zbog

toga će vrijednosti naprezanja i deformacije izračunatih pomoću Glinkinog pravila biti uvijek niže od onih izračunatih pomoću Neuberovog pravila. Do istog zaključka može se doći i uspoređivanjem površina u dijagramima na slici 2.12.

U [65] i [66] zaključeno je da Neuberovo pravilo podcjenjuje lokalnu deformaciju, a da je Glinkino pravilo precjenjuje. Također je utvrđeno da Neuberovo pravilo daje bolje predviđanja lokalnih naprezanja i deformacije kod ravninskog stanja deformacije, a Glinkino pravilo daje bolja predviđanja kod ravninskog stanja naprezanja. Što je veći teoretski faktor koncentracije naprezanja to se predviđanja Glinkinim pravilom poboljšavaju. Također je utvrđeno da Neuberova metoda daje bolja predviđanja za vlačno naprezanje nego za naprezanje uslijed savijanja, obrnuto vrijedi za Glinkinu metodu, koja daje bolja predviđanja i za torzijsko opterećenje.

3.7.1.3 Hoffman - Seeger metoda – Generalizirani Neuber

Korištenje Neuberove ili Glinkine metode s jednoosnom cikličkom krivuljom ovisnosti naprezanja o deformaciji, za predviđanje lokalnih naprezanja i deformacija kod strojnih dijelova koji su višeosno napregnuti, može dovesti do značajnih grešaka.

Predviđanje lokalnih naprezanja i deformacija kod višeosnog proporcionalnog naprezanja može se provesti Hoffman-Seegerovom metodom [67]. Po ovoj metodi provodi se Neuberovo pravilo na ekvivalentnim naprezanjima i deformacijama. Nakon toga izračunavaju se glavna naprezanja i deformacije korištenjem Henckyovog zakona tečenja.


Prvi korak je izračunavanje von Misesovog ekvivalentnog naprezanja:

,

gdje indeks e označava elastične vrijednosti.

Ukoliko se promatranje ograniči na površinu strojnog dijela ( ),

te ako je opterećenje proporcionalno (dvoosni omjer ),

izraz može se pisati:

.

Kako je , a na površini strojnog dijela , proizlazi:

.

Sada se provodi Neuberova korekcija ovih ekvivalentnih teoretskih potpuno elastičnih vrijednosti naprezanja i deformacije.

Jednoosna ciklička krivulja ovisnosti naprezanja i deformacije je:1 '

q qq '

n

E K

,

a Neuberovo pravilo:

.

Pomoću Henckyjevog se zakona tečenja, uz pretpostavku da je omjer glavnih deformacija jednak u elastičnom i elasto-plastičnom području (

), iz dobivenih ekvivalentnih lokalnih naprezanja i deformacija

izračunavaju lokalna glavna naprezanja i deformacije:

,

,

,

,


,

.

gdje je efektivni (elasto-plastični) Poissonov koeficijent:

,

te elasto-plastični dvoosni omjer:

2

1

2

1

'

1 'a

.

Kao što je iz izvoda vidljivo metoda je primjenjiva za izračunavanje elasto-plastičnih naprezanja i deformacija na površini strojnog dijela višeosnog proporcionalnog stanja naprezanja. U slučaju da je strojni dio višeosno neproporcionalno napregnut elasto-plastična naprezanja i deformacije se izračunavaju elasto-plastičnim konačnim elementima.

3.8 POSTUPAK IZRAČUNAVANJA VREMENA DO INICIJACIJE PUKOTINE

Procedura izračunavanja vremena do inicijacije pukotine na strojnom dijelu slična je onoj opisanoj u [18], [68]. Može se podijeliti u slijedeće faze:

1. Ciklus opterećenja se dijeli na proizvoljni broj koraka n. 2. Provodi se analiza linearno elastičnim konačnim elementima za

najnepovoljniji slučaj opterećenja, te se uočavaju kritične lokacije. 3. Na kritičnim mjestima se izračunavaju naprezanja i deformacije, za

cjelokupni ciklus opterećenja, linearno elastičnim konačnim elementima.

4. Izračunava se omjer dvoosnosti ae i kut koji maksimalno glavno naprezanje zatvara s lokalnom x osi. Pomoću ovih se parametara prema tablici 2-2 određuje se stanje naprezanja na površini strojnog dijela.


Tablica 2-2 Ovisnost stanja naprezanja o omjeru dvoosnosti

Omjer dvoosnosti ae

Kut između maksimalnog

glavnog naprezanja i x osi

Stanje naprezanja

0 Konstantan Jednoosno

Konstantan, različit od nula

Konstantan Proporcionalno opterećenje

Promjenjiv Promjenjiv Neproporcionalno opterećenje

5. Izračunavaju se na kritičnim mjestima lokalna elasto-plastična naprezanja i deformacije, i to ukoliko je opterećenje jednoosno, Neuberovom metodom, ukoliko je opterećenje proporcionalno Hoffmann-Seegerovom metodom, a ukoliko je opterećenje neproporcionalno elasto-plastičnom metodom konačnih elemenata.

Nadalje je opisan postupak koji se može primijeniti za strojni dio koji je opterećen višeosnim neproporcionalnim opterećenjem promjenjive amplitude.

6. Definiranje proizvoljne ravnine pomoću kutova prikazanih na slici 2.13 te iz kutova izračunavanje smjera normale na tu ravninu:


y

x

z

x '

z 'y'

P o v r in a stro jn o gd ijela

š

P ro izvo ljn a rav n in a

M o gu i p ravacp uko tin e

ć

Slika 2.14 Kutovi kojima se definira položaj ravnine koja moguća kritična ravnina

7. Izračunavanje normalne deformacije , smične deformacije i normalnog naprezanja na proizvoljnoj ravnini u j-tom vremenskom trenutku, iz prethodno izračunatih povijesti tenzora naprezanja i tenzora deformacije:

,

,

,

gdje je:

,

,

,

.

8. Kako je ciklus opterećenja podijeljen na n koraka, provesti prethodnu točku 7. za sve trenutke vremena (za i = 1 to n). Na taj način dobiva se povijest i na proizvoljnoj ravnini.


9. Odrediti amplitudu normalne deformacije a, amplitudu smične deformacije a i maksimalno normalno naprezanje max na proizvoljnoj ravnini iz povijesti i .

max min max mina a,

2 2

.

10. Izračunati vrijednosti smičnog ds i vlačnog parametra oštećenja dt .11. Izračunati vrijeme do inicijacije pukotine za smični Nis i vlačni Nit

model:

,

.

Rješenje se dobiva Newton-Raphsonovom metodom. Postupak se provodi tako da se za smični model izračuna vrijeme do inicijacije uz zanemarivanje drugog dijela izraza desne strane jednadžbe . Nakon toga izračuna se vrijeme do inicijacije uz zanemarivanje prvog dijela izraza desne strane jednadžbe . Uzima se veći od ovih dvaju vjekova trajanja, te se s njim kao početnim rješenjem provodi Newton-Raphsonov postupak. Postupak ekvivalentan opisanom provodi se i za vlačni model.

12. Odrediti oštećenje uslijed zamora za promatrani ciklus opterećenja na proizvoljnoj ravnini:

.

13. U slučaju opterećenja ciklusom promjenjive amplitude potrebno je zbrojiti oštećenja uslijed zamora svih ciklusa opterećenja korištenjem Minerovog pravila, i tako odrediti oštećenje uslijed zamora za blok opterećenja:

.

gdje je m broj ciklusa u bloku opterećenja, a Nisk i Nitk brojevi ciklusa do inicijacije pukotine za k-ti ciklus bloka.


14. Promjena kutova koji definiraju moguće ravnine kao kritičnu ravninu,

i to za vlačni model zadržavajući o90 rotirati od 0o do 180o uz

korak od npr. 2o, a za smični model najprije za o90 rotirati od 0o

do 180o s korakom 2o, te za o45 rotirati od 0o do 180o s korakom

2o. Iz poglavlja 2.5.1 jasno je zašto nije potrebno rotirati od 0o do 180o, nego je dovoljno promatrati navedene ravnine. Za novu moguću kritičnu ravninu ponavlja se postupak od točke 7. do točke 13. Nakon što se izračunaju oštećenja uslijed zamora za blok opterećenja za sve moguće kritične ravnine, traže se maksimalne

vrijednosti oštećenja i označavaju sa max max i Ds Dt . Ravnina na kojoj je

maxDs je kritična ravnina smičnog modela, a ravnina na kojoj je maxDt je

kritična ravnina vlačnog modela.15. Vrijeme do inicijacije pukotine u blokovima opterećenja je iz

oštećenja na kritičnim ravninama:

.

Manja od ove dvije prethodno izračunate veličine je konačna procjena vremena do inicijacije pukotine.

48

4. ŠIRENJE PUKOTINE

U okviru mehanike loma određuju se polja lokalnih naprezanja i deformacija oko vrška pukotine pomoću globalnih parametara, kao što su opterećenje i geometrija strojnog dijela. Principi određivanja polja lokalnih naprezanja i deformacija najčešće se dijele na linearno elastični pristup (en. Linear Elastic Fracture Mechanics – LEFM) i nelinearni pristup, koji se nadalje dijeli na elasto-plastični (eng. Elastic-Plastic Fracture Mechanics - EPFM) , viskoelastični i viskoplastični pristup

U ovom će se radu dalje razmatrati samo princip linearno elastične mehanike loma, kod koje je nelinearna deformacija materijala ograničena na manje područje oko vrška pukotine.

Dat će se teorijske osnove linearno elastične mehanike loma s posebnim osvrtom na izračunavanje faktora intenziteta naprezanja metodom konačnih elemenata. Opisat će se najčešće korišteni kriteriji za određivanja smjera širenja pukotine. Također će se opisati mogućnosti izračunavanja faktora intenziteta naprezanja pri kojem dolazi do zatvaranja pukotine, odnosno do kontakta površina pukotine za vrijeme djelovanja vremenski promjenjivog opterećenja.

4.1 ANALIZA POLJA NAPREZANJA U BLIZINI VRŠKA PUKOTINE

Ako se postavi polarni koordinatni sustav s ishodištem u vrhu pukotine tada se polje naprezanja linearno elastičnog tijela s pukotinom može opisati izrazom [69]:

,

3. Širenje pukotine 49

gdje je: ij tenzor naprezanja, r i definiraju točku u polarnim koordinatama u odnosu na vršak pukotine (slika 3.1), k je konstanta, a fij i gij su bezdimenzijske funkcije ovisne o .

Dijelovi izraza višeg reda ovise o geometriji. Rješenje za bilo koju

geometriju uvijek sadrži izraz proporcionalan1 r . Kada 0r prvi dio

izraza teži u beskonačnost, a ostali dijelovi izraza su konstantni ili teže nuli. Dakle, izraz opisuje singularnost naprezanja, budući je r =0 asimptota naprezanja.

x

y

p uko tin a

x

y

x y

r

p uko tin a

r

rr

Slika 3.15 Definicija koordinatnih osi

Poznata su tri glavna tipa otvaranja pukotine, prikazana na slici 3.2. To su I tip ili odcjepni tip, II tip ili klizni tip i III tip ili rascjepni tip.

x

z

yx x

z z

y yx x

z z

y y

a) Tip I – odcjepni b) Tip II – klizni c) Tip III – rascjepni

(en. opening) (en. in-plane shear) (en. out-of-plane shear)

Slika 3.16 Tri osnovna tipa opterećenja s pripadajućim tipovima pukotine

Svaki način otvaranja pukotine proizvodi 1 r singularitet u vršku

pukotine, a konstanta k i funkcija fij ovise o načinu otvaranja pukotine


Konstanta k se zamjenjuje s faktorom intenziteta naprezanja (FIN) K,

gdje je 2K k . Faktoru intenziteta naprezanja dodaju se indeksi tako da

se naznači način otvaranja pukotine. Sada se polje naprezanja oko vrška pukotine za izotropni linearno elastični materijal može opisati slijedećim izrazima:

,

,

.

U slučaju kad postoji više načina otvaranja pukotine, tada se zbrajanjem dobiva polje naprezanja:

Pomoću Westergaardovih funkcija naprezanja može se doći do analitičkog rješenja raspodjele naprezanja oko vrška pukotine:

,

,

.

za stanje ravninske deformacije: z x y .

U polarnom koordinatnom sustavu stanje naprezanja oko vrška pukotine je:

,

,

.


Prethodni izrazi vrijede u okolini bliskoj vršku pukotine, odnosno u području koje se naziva zonom s dominantnom singularnosti. Izvan te zone naprezanje je dominantno ovisno o geometriji strojnog dijela, odnosno drugom dijelu izraza na desnoj strani jednadžbe .

Iz izraza do vidljivo je da faktori intenziteta naprezanja u potpunosti opisuju stanje naprezanja oko vrška pukotine. Ova mogućnost opisivanja stanja oko vrška pukotine samo s jednim parametrom jedna je od najvažnijih značajki mehanike loma.

Pomaci su također u potpunosti opisani faktorom intenziteta naprezanja:

,

,

gdje je G modul smicanja, a konstanta koja ovisi o stanju naprezanja:31

- za ravninsko stanje naprezanja,

3 4 - za ravninsko stanje deformacije.

4.2 FAKTOR INTENZITETA NAPREZANJA

Faktor intenziteta naprezanja je ovisan o duljini i orijentaciji pukotine, geometriji strojnog dijela te raspodjeli opterećenja, i općenito ima oblik:

,

gdje je Y faktor oblika, kojim se uzima u obzir utjecaj geometrije elementa, duljine pukotine i tipa opterećenja. Faktor oblika je jednak jedan za pukotinu u beskonačnoj ploči okomitoj na jednolično opterećenje. Analitički i empirijski izrazi za izračunavanje faktora intenziteta naprezanja za uzorke jednostavne geometrije s različitim oblicima pukotina, te različito opterećenih mogu se pronaći u literaturi [70]. Kako strojni dijelovi najčešće nisu jednostavne geometrije, te su najčešće podvrgnuti složenom stanju naprezanja, razvijene su metode


izračunavanja faktora intenziteta naprezanja metodom konačnih elemenata.

U početnim studijama izračunavanja faktora intenziteta naprezanja korištenjem metode konačnih elemenata, da bi se riješio problem singularnosti polja naprezanja, koristila se veoma gusta mreža elemenata.

Kako je kod elastičnih materijala nemoguće «1 r singularnost» postići

standardnim elementima, razvijeni su hibridni elementi, tj. singularni izoparametarski četvrtinski elementi [71]. Singularni izoparametarski četvrtinski element je dobiven iz izoparametarskog 8-čvornog kvadratnog elementa, na način da se čvorovi 1, 4 i 8 grupiraju u vršku pukotine, a čvorovi sa sredine stranice premještaju na četvrtinu duljine stranice.

1

8

4 7 3

6

25

p uko tin a

3

6

2

1,4,8

7

3

6

2

5x

y

L / 43 / 4LL

a) Izoparametarski 8-čvorni kvadratni element b) Singularni izoparametarski četvrtinski element

Slika 3.17 Izoparametarski 8-čvorni kvadratni element i singularni izoparametarski četvrtinski element

Postoji niz metoda za izračunavanje faktora intenziteta naprezanja korištenjem metode konačnih elemenata, a najčešće su korištene:

Metoda korelacija pomaka (en. Displacement Correlation Technique – DCT) [72]

Faktor oslobođene potencijalne energije dobiven metodom modificiranog integrala zatvaranja pukotine (en. Modified Crack Closure Integral Technique – MCC) [73], [74],

Metoda J-integrala dobivenog pomoću ekvivalentnog površinskog integrala (en. Equivalent Domain Integral – EDI) [75]


4.2.1 METODA KORELACIJA POMAKA

U metodi korelacije pomaka se pomaci dobiveni metodom konačnih elemenata izjednačavaju s analitičkim rješenjem izraženim preko faktora intenziteta naprezanja.

L

r

x , u

y, v

p uko tin a ABD

C

EL / 4

Slika 3.18 Izoparametarski singularni elementi oko vrška pukotine

Polje pomaka u može se definirati pomacima čvorova izoparametarskog singularnog četvrtinskog elementa (slika 3.4):

,

,

ovdje je uA i vA pomak krutog tijela na x odnosno y pravcusmjeru. Relativni pomak između dvije točke simetrične u odnosu na x os je:

* , , ,u r u r u r

* , , ,v r v r v r .

Uvrštavanjem u izraze i dobiva se:

,


.

S druge se strane analitičko rješenje relativnog pomaka za o180

dobiva iz apsolutnih pomaka i , uz izraze i , a glasi:

,

.

Da bi izrazi i , te izrazi i bili jednaki, članovi uz r moraju biti

jednaki, pa se dobivaju faktori intenziteta naprezanja:

,

.

4.2.2 METODA MODIFICIRANOG INTEGRALA ZATVARANJA PUKOTINE

Metoda modificiranog zatvaranja pukotine zasnovana je na pretpostavci da ukoliko se pukotina produlji za infinitezimalnu vrijednost a, da će na jednakoj udaljenosti od vrška pukotine prije i poslije njena produljenja, pukotine biti jednako otvorene (slika 3.5).

a

v r a x( = - , = )

a -x a - x x

x

y

rasp o d jela y

( = , = 0)r xy

Slika 3.19 Pukotina prije i poslije produljenja (rasta)


Tada je rad potreban za produljenje pukotine za vrijednost a, jednak radu potrebnom za zatvaranje pukotine za a:

.

Faktor oslobođene energije je onda jednak:

.

Isto tako za tip II opterećenja:

.

Problem se najprije rješavao u dva koraka, odnosno s dvije analize metodom konačnih elemenata, jedna prije produljenja i druga nakon produljenja pukotine. Rybicki i Kanninen [76] su prvi riješili problem sa samo jednom analizom metodom konačnih elemenata, koristeći četvrtasti element s četiri čvora. Raju [73] je proširio metodu za nesingularne i singularne elemente bilo kojeg reda.

a

x , u

y, v

p uko tin a i jll '

m

m ' F yi

F x i

F yj

F x j

vlul

u l' v l '

vmum

um 'vm '

k

F

F

yk

x k

I J


Slika 3.20 Čvorovi, sile i pomaci u izoparametarskim singularnim elementima oko vrška pukotine

Rad pretpostavljene distribucije naprezanja na pomicanju granica elemenata I i J izjednačava se sa radom sila Fyi, Fyj i Fyk na pomacima vi, vj

i vk :

Distribucija naprezanja duž apscise se aproksimira s prva tri člana izraza :

.

Uvrštavanjem u izraz izraza i funkcije oblika izoparametarskog singularnog četvrtinskog elementa, mogu se izračunati konstante A1, A2 i A3. Uvrštavanjem dobivenih konstanti izraženih preko sila u čvorovima u izraz te provođenjem integracije dobiva se izraz za izračunavanje faktora oslobođene energije [74].

Izrazi za izračunavanje faktora oslobođene energije za singularne elemente su dosta komplicirani, a pogotovo se dodatno kompliciraju za slučaj mješovitog tipa opterećenja. Zbog toga se izrazi pojednostavljuju uzimanjem samo prvih dvaju članova izraza . Tada se dobiva:

I 11 ' 12 ' 21 ' 22 '1

2 yi m m l l yj m m l lG F t v v t v v F t v v t v va

,

II 11 ' 12 ' 21 ' 22 '1

2 xi m m l l xj m m l lG F t u u t u u F t u u t u ua

,

gdje je:

11 12 21 223 16 , 6 20, , 12 2

t t t t .

U linearno elastičnim uvjetima veza između faktora oslobođene energije i faktora intenziteta naprezanja je:

.

gdje je:E E - za ravninsko stanje naprezanja,


21EE

- za ravninsko stanje deformacije.

4.2.3 METODA J-INTEGRALA RAČUNANOG S EKVIVALENTNIM POVRŠINSKIM INTEGRALOM

J-integral je proizvoljni (ne ovisi o obliku krivulje) krivuljni integral (slika 3.7a):

dik k ij j

k

uJ wn nx

,

gdje je w gustoća energije deformaciranja:

.

Krivuljne integrale je nespretno računati metodom konačnih elemenata, pa se integracija duž krivulje zamjenjuje integracijom po površini. Taj se alternativni pristup izračunavanja J-integrala naziva metoda ekvivalentnog površinskog integrala [75].

x x

x x

1 1

2 2

0

n

1

0

0

B

C

A

+

-

a) Koordinatni sustav i krivulja oko vrška pukotine b) Površina A omeđena krivuljama i 1

Slika 3.21 Krivulje oko vrška pukotine

Izraz modificira se množenjem s težinskom funkcijom q koja ima vrijednost jednaku jedan na unutarnjoj konturi 0, a nula na vanjskoj konturi 1 (slika 3.7b):


.

Gornji se izraz uz pogodne transformacije može pisati:

.

U prethodnom je izrazu prvi izraz na desnoj strani integral duž

zatvorene konture 0 1 , koja ne uključuje vršak pukotine, a

drugi izraz s desne strane predstavlja integrale na rubovima pukotine duž

linija ( B0iC0).

Integral duž zatvorene konture iz izraza primjenom Stokesova teorema može se transformirati u integral iznad površine A:

.

Za linearno elastični materijal drugi izraz na desnoj strani prethodnog izraza je jednak nuli. Također J1 za linearno elastični materijal je ekvivalentan faktoru oslobođene energije izračunatom pomoću metode virtualnog produljenja pukotine [77].

Linijski integrali 1 B0 C0J kada nisu opterećeni rubovi pukotine su

jednaki nuli. Linijski integrali 2 B0 C0J su jednaki nuli, u slučaju kada nema

opterećenja na rubovima pukotine, samo kada je opterećenje tipa I ili tipa

II, u slučaju opterećenja mješovitog tipa 2 B0 C0J su različiti od nule, jer u

tom slučaju uz singularna naprezanja oko vrška pukotine postoje i ona nesingularna. Postojanje linijskog integrala različitog od nule poništava prednosti transformacije krivuljnog u površinski integral.

Računanje se linijskih integrala može izbjeći provođenjem metode dekompozicije [75]. Ovim se pristupom polja pomaka i naprezanja rastavljaju na simetrični (tip I) i antisimetrični (tip II) dio. Pomoću tako rastavljenih pomaka i naprezanja mogu se dobiti dva simetrična integrala JS1, i JS2, te dva antisimetrična integrala JAS1 i JAS2. Integrali JS2 i JAS2 su jednaki nuli (produkt singularnog i nesingularnog naprezanja za rastavljeno simetrično i antisimetrično polje naprezanja je jednak nuli


[75]), pa je onda za linearno elastični materijal, te uz uvjet da nema opterećenja na rubovima pukotine:

,

.

Kako je za linearno elastični materijal J integral identičan faktoru oslobođene energije, onda se uz pomoć izraza mogu dobiti faktori intenziteta naprezanja.

Metodom konačnih elemenata integrali i se rješavaju tako da se provodi integracija na elementima odabranim da predstavljaju površinu A. Odabrana površina je najčešće rozeta trokutastih izoparametarskih singularnih elemenata (slika 3.4).

4.3 SMJER ŠIRENJA PUKOTINE

Smjer širenja pukotine ovisi o stanju naprezanja u blizini vrška pukotine. Razvijeno je niz kriterija za predviđanje smjera širenja pukotine u polju naprezanja mješovitog tipa (kombinacija tipa I i tipa II opterećenja) [78], [79]. Većina kriterija za predviđanje smjera širenja pukotine prvotno je razvijena za statičko opterećenje. Kako ne postoje kriteriji razvijeni posebno za promjenjivo opterećenje, te iako postoje značajne razlike u smjerovima širenja pukotine kod statičkog i promjenjivog opterećenja [80], to se statički kriteriji koriste za predviđanje širenja pukotine i kod promjenjivog opterećenja.

Problem je predstavljen slikom 3.8, odnosno pločom s pukotinom nagnutom pod kutom u odnosu na smjer nominalnog naprezanja .


2a

a

x

y

Slika 3.22 Problem pukotine pod kutom u odnosu na smjer nominalnog naprezanja

Najčešće korišteni kriteriji su: kriterij maksimalnog cirkularnog naprezanja, kriterij minimuma gustoće energije deformiranja i kriterij maksimuma faktora oslobođene energije.

4.3.1 KRITERIJ MAKSIMALNOG CIRKULARNOG NAPREZANJA (MCN-KRITERIJ)

Jedan od prvih pokušaja predviđanja smjera širenja pukotine u slučaju kombiniranog opterećenja tipovima I i II bio je onaj Erdogana i Siha [81]. Oni su istraživali širenje pukotine u ploči iz krhkog materijala, te su predložili kriterij po kojem je pravac širenja pukotine okomit na pravac maksimalnog cirkularnog naprezanja.

Matematički se ovaj kriterij može pisati:

.

Primjenom MCN kriterija na izraz dobiva se:


,

.

Rješavanjem izraza izračunava se kut širenja pukotine:

212arctan 84 4

gdje je I IIK K omjer faktora intenziteta naprezanja.

4.3.2 KRITERIJ MINIMUMA GUSTOĆE ENERGIJE DEFORMIRANJA (S-KRITERIJ)

Prema kriteriju minimuma gustoće energije deformiranja [82], pravac širenja pukotine prolazi kroz točku na kružnici koja je opisana oko vrška pukotine, a u kojoj je energija deformiranja minimalna.


2

20, 0S S

gdje je: S faktor gustoće energije deformiranja, definiran izrazom:

0ddWS rV

gdje je d dW V funkcija gustoće energije deformiranja po jedinici

volumena, a r0 udaljenost od vrška pukotine. Korištenjem se izraza koji opisuju polje naprezanja do može dobiti funkcija gustoće energije deformiranja po jedinici volumena, čijim se uvrštavanjem u prethodni izraz dobiva faktor gustoće energije deformiranja:

2 211 I 12 I II 22 II2S a K a K K a K

gdje su faktori aij funkcije kuta :


Primjenom S kriterija na izraz dobiva se:

.

4.3.3 KRITERIJ MAKSIMUMA FAKTORA OSLOBOĐENE ENERGIJE (G-KRITERIJ)

Analizom utjecaja malog virtualnog produljenja pukotine [83] predložen je kriterij prema kojemu je pravac širenja pukotine u smjeru maksimuma faktora oslobođene energije.


.

Irwin [84] je definirao faktor oslobođene energije kao mjeru energije dostupne za produljenje pukotine. Za linearno elastične materijale u mješovitom polju naprezanja, ukoliko je produljenje pukotine u ravnini originalne pukotine, ovisnost faktora oslobođene energije i faktora intenziteta naprezanja se može opisati izrazom:

.

U stvarnosti se ravnina produljenja pukotine u mješovitom polju naprezanja neće podudarati s ravninom originalne pukotine, te je samim tim izraz pogrešan. Međutim, ukoliko se faktori intenziteta naprezanja u izrazu shvate kao faktori intenziteta naprezanja infinitezimalno, pod kutom (slika 3.8) produljene pukotine, tada izraz vrijedi i glasi:

,

gdje su *IK i *

IIK lokalni faktor intenziteta naprezanja u vršku

infinitezimalno produljene pukotine, koji se razlikuju od nominalnih KI i

KII. Prema [85] *IK i *

IIK se mogu računati iz izraza:


,

.

Faktor intenziteta naprezanja za infinitezimalno produljenu pukotinu ima maksimalnu vrijednost kada je:

.

Kako je:

.

Proizlazi da će izraz biti zadovoljen kada je *II 0K (odnosno

*Id 0

dK

).

Pošto je:

proizlazi da je kriterij maksimuma faktora oslobođene energije, ukoliko se lokalni faktori računaju prema izrazima i identičan kriteriju maksimalnog cirkularnog naprezanja. Ovakav pristup prihvaćen je i u [69] i u [86].

Prema [83] i [87] *IK i *

IIK se računaju iz izraza:

,

.

Uvrštavanjem prethodnih izraza u i primjenom G-kriterija može se također izračunati kut pod kojim će doći do produljenja pukotine.

Kao točniji postupak izračunavanja lokalnih faktora intenziteta naprezanja prema [88] može se usvojiti postupak dan u [83], dok prema [89] oba postupka imaju zadovoljavajuću točnost.

Uz ova dva postupka izračunavanja lokalnih faktora intenziteta naprezanja postoje i još neki, prvenstveno numerički postupci prema


kojima se lokalni faktori računaju različitim polinomnim aproksimacijama [88].

4.4 BRZINA ŠIRENJA PUKOTINE

Kako je ranije kazano, ukoliko je plastična zona ispred vrška pukotine relativno mala u odnosu na duljinu pukotine, stanje oko vrška pukotine može se opisati samo s jednim parametrom - faktorom intenziteta naprezanja. Primjena mehanike loma u izračunavanju brzine širenja pukotine zasnovana je na principu sličnosti. Prema principu sličnosti dvije pukotine opterećene promjenjivim opterećenjem, s ciklusom jednakog konstantnog raspona faktora intenziteta naprezanja, imaju jednako polje naprezanja i deformacije oko vrška pukotine, a iz toga proizlazi da će i brzina širenja tih dviju pukotina biti jednaka. Dakle, porast duljine pukotine po ciklusu je funkcija raspona faktora intenziteta naprezanja

,da f K RdN

gdje je max minK K K , a min maxR K K .

Na slici 3.9 dan je shematski log-log dijagram ovisnosti porasta duljine pukotine po ciklusu o rasponu faktora intenziteta naprezanja. Dijagram prikazuje tipičnu krivulju rasta pukotine u metalima.

P o d ru je I

č P o d ru je I I

č

P o d ru je I I I

č

dd

aN

K th K c

, lo g

K , lo g


Slika 3.23 Tipična krivulja rasta pukotine u metalima

Uočljivo je da je širenje pukotine na početku ubrzano (područje I), zatim prelazi u fazu stabilnog rasta (područje II), da bi konačno prešlo u fazu kritičnog širenja pukotine (područje III).

U području I brzina širenja pukotine teži nuli kako se raspon faktora intenziteta naprezanja približava pragu širenja pukotine:

gdje je ath duljina začete pukotine. Smatralo se da je prag širenja pukotine konstanta materijala, ali su istraživanja pokazala da ovisi i o koeficijentu asimetrije ciklusa, preopterećenju, temperaturi i uvjetima okoline [90]. Broj parametara koji utječu na prag širenja pukotine može se smanjiti definiranjem efektivnog praga širenja pukotine:

gdje je Kcl faktor intenziteta naprezanja pri kojem dolazi do zatvaranja pukotine (poglavlje 3.5).

U području II pukotina raste linearno u log-log dijagramu, pa se može opisati jednadžbom:

dd

ma C KN

gdje su C i m konstante materijala koje se određuju eksperimentalno. Ova zakonitost poznata je kao Parisov zakon. Usporedbom prethodnih dvaju izraza i uočava se da prema Parisovu zakonu brzina širenja pukotine ne ovisi o koeficijentu asimetrije ciklusa R.

U području III pukotina ubrzano raste kako se raspon faktora intenziteta naprezanja približava Kc:

C IC C,min CK K K a Y

gdje je aC kritična duljina pukotine, a KIC lomna žilavost.Kako Parisov zakon vrijedi samo u području II pokušavalo se pronaći

jednadžbe koje bi opisivale rast pukotine i u drugim područjima rasta. Jedna od takvih je Formanova jednadžba koja opisuje rast pukotine u područjima II i III:


.

Klesnil i Lucas modificirali su Parisov zakon uzimajući u obzir prag širenja pukotine, te tako dobili jednadžbu rasta pukotine koja vrijedi u područjima I i II:

.

McEvily je razvio izraz koji vrijedi za čitavu krivulju rasta pukotine, i koji je za razliku od prethodnih jednadžbi, koje su dobivene empirijski, zasnovan na jednostavnom fizikalnom modelu.:

.

Iz svih ovih jednadžbi , , i integriranjem može se dobiti vrijeme potrebno za rast pukotine od neke proizvoljne do kritične duljine. Također svi navedeni izrazi vrijede u slučaju opterećenja tipa I.

Ispitivanjem opterećenjem mješovitog tipa (tip I i tip II) [90] uočeno je da i mali raspon faktora intenziteta naprezanja tipa II značajno povećava brzinu širenja pukotine. Zbog toga su razvijeni modeli koji uzimaju u obzir i doprinos opterećenja tipa II, najčešće korištenjem ekvivalentnog faktora intenziteta naprezanja u Parisovoj jednadžbi :

.

Ideja korištenja ekvivalentnog faktora intenziteta naprezanja je posebno privlačna jer je većina podataka o materijalima podvrgnutih promjenjivom opterećenju dobivena ispitivanjima opterećenjima konstantne amplitude tipa I, te bi bilo od velike važnosti kad bi se ti podaci mogli koristiti u konstruiranju s obzirom na zamor i u slučaju opterećenja mješovitog tipa.

Za određivanje ekvivalentnog faktora intenziteta naprezanja može se koristiti kriterij maksimalnog cirkularnog naprezanja, te je u tom slučaju iz izraza , odnosno izraza [91]:


gdje je 0 smjer širenja pukotine dobiven iz MCN-kriterija .Tanaka [92] je razvio model zasnovan na pretpostavci da plastične

deformacije zbog promjenjivog vlačnog naprezanja ne utječu na plastične deformacije zbog promjenjivog smičnog naprezanja i obrnuto, te da je rezultirajuće polje pomaka zbroj pomaka uslijed obaju tipova opterećenja:

.

Mješoviti tip opterećenja se osim ekvivalentnim faktorom intenziteta naprezanja može uzeti u obzir i pomoću faktora gustoće energije deformiranja, pa se u tom slučaju modificira Parisova jednadžba i glasi [93]:

dd

na C SN

gdje je:

11 0 I I 12 0 I II II I 22 0 II II2S a K K a K K K K a K K

gdje je 0 smjer širenja pukotine dobiven primjenom S-kriterija , faktori a11, a12, a22 su dobiveni uvrštenjem kuta 0 u izraze , KI i KII su rasponi

FIN-a, a IK i IIK su srednje vrijednosti FIN-a.

U [94] je provedena usporedba eksperimentalno dobivenih vjekova trajanja s vjekovima trajanja do pojave kritične pukotine dobivenih ekvivalentnim faktorom intenziteta naprezanja i faktorom gustoće energije deformiranja . Ustanovljeno je da izraz daje najbolje podudaranje s eksperimentalnim podacima za slučajeve mješovitog tipa opterećenja s dominantnim opterećenjem tipa I.

Osim ovih postoji i niz drugih faktora čiji se rezime može pronaći u [78], a u novije vrijeme razvijen je i faktor akumulirane energije elastične deformacije [95].

4.5 ZATVARANJE-OTVARANJE PUKOTINE

Kontakt između površina pukotine za vrijeme djelovanja vremenski promjenjivog opterećenja naziva se zatvaranje pukotine.

Fenomen zatvaranja pukotine opće je prihvaćen mehanizam koji presudno utječe na niz značajki koje određuju ponašanje pukotina, kao


što su, koeficijent asimetrije ciklusa opterećenja, vremenski promjenjivo opterećenje promjenjive amplitude, fenomen kratkih pukotina, mikrostruktura, okoliš i prag širenja pukotine [96].

Tri najznačajnija mehanizma zatvaranja pukotine prikazana su na slici 3.10 [97].

Zatvaranje pukotine uslijed plastičnosti (en. plasticity induced crack closure) nastaje uslijed zaostalih plastičnih deformacija u materijalu iza propagirajuće pukotine (slika 3.10a). Ovu je činjenicu prvi uočio 1968. godine Elber [98] i od tada je ovaj fenomen predmet mnogobrojnih istraživanja, kojima je predloženo niz analitičkih i numeričkih rješenja. Teoretskim modelom zatvaranja pukotine uslijed plastičnosti Budianskyja i Hutchinsona [99] dobivene su funkcionalne ovisnosti zaostalih plastičnih deformacija i CTOD (en. crack tip opening displacement) o opterećenju. Kako se ovim pristupom nije mogao opisati utjecaj povijesti naprezanja intenzivno su se započeli razvijati numerički modeli u kojima se područje zaostale plastičnosti prikazuje tankim slojevima idealno plastičnog materijala (en. strip yield model) [100], [101]. U najnovije se vrijeme do rješenja problema zatvaranja pukotine pokušava doći metodom konačnih elemenata [102].

Zatvaranje pukotine uslijed hrapavosti i zatvaranje pukotine uslijed korozije su mehanizmi koji su dominantni u području uz prag širenja pukotine te im utjecaj slabi s rastom faktora intenziteta naprezanja, odnosno povećavanjem plastične zone oko vrška pukotine.

Zatvaranje pukotine uslijed hrapavosti uzrokovano je mikrostrukturom materijala. Naime, i kod pukotina koje globalno gledajući rastu djelovanjem opterećenja tipa I, heterogenosti na mikrostrukturalnom nivou mogu uzrokovati mješovito stanje naprezanja oko vrška pukotine. Na slici 3.10b prikazan je odmak vrška pukotine od ravnine simetrije, te uslijed toga dolazi do utjecaja opterećenja tipa II i pomicanja površina pukotine koje uzrokuje njeno zatvaranje. Kod materijala krupno zrnate strukture izraženija je pojava zatvaranja pukotine uslijed hrapavosti.


Zatvaranje pukotine uslijed korozije posebno je izraženo u agresivnom okolišu, a nastaje kad čestice oksida ostanu uklinjene između površina pukotine (slika 3.10c).

zao stala p lasti n ad efo rm acija

č

a) zatvaranje pukotine b) zatvaranje pukotine c) zatvaranje pukotineuslijed plastičnosti uslijed hrapavosti uslijed korozija

Slika 3.24 Dominantni mehanizmi zatvaranja pukotine [97]

Zatvaranje pukotine, ma koji joj bio uzrok, utječe na raspon faktora intenziteta naprezanja oko vrška pukotine, te samim tim i na širenje pukotine. Dio ciklusa opterećenja koji uzrokuje oštećenje smanjuje se sa zatvaranjem pukotine, a to smanjenje se uzima u obzir efektivnim faktorom intenziteta naprezanja

4.5.1 EFEKTIVNI FAKTOR INTENZITETA NAPREZANJA

Efektivni je faktor intenziteta naprezanja onaj dio ciklusa opterećenja za koji je pukotina potpuno otvorena, a određuje se iz izraza:

gdje je Kcl maksimalni faktor intenziteta naprezanja pri kojem su površine pukotine spojene, i ostaju spojene za vrijeme faze rasterećenja. Ponekad se FIN zatvaranja (Kcl) u izrazu zamjenjuje s FIN otvaranja (Kop) definiranim kao minimalni faktor intenziteta naprezanja pri kojem je pukotina u potpunosti otvorena, i ostaje otvorena za vrijeme faze


opterećenja. Kcl i Kop su obično istog reda veličine, ali nisu nužno i jednaki kao što su prikazani na slici 3.11.

Uz efektivni faktor intenziteta naprezanja često se zatvaranje pukotine opisuje i parametrom koji se naziva omjer zatvaranja:

.

Ovaj omjer teži jedinici za pukotine kod kojih nema zatvaranja, odnosno teži nuli ukoliko je pukotina zatvorena duž cjelokupnog ciklusa opterećenja.

KK

eff

K

K

m in

m ax

K o pKcl

v rijem e

Slika 3.25 Definicija efektivnog faktora intenziteta naprezanja

Kako se pukotina ne može širiti dok je zatvorena, efektivnim faktorom intenziteta naprezanja se modificira Parisova jednadžba :

.

Upotrebom ovako definiranog efektivnog faktora intenziteta naprezanja eksperimentalni podaci rasta pukotine za različite koeficijente asimetrije ciklusa opterećenja se stapaju u jednu krivulju.

Najnovija istraživanja [24] uvode novi koncept djelomičnog zatvaranja pukotine (en. partial crack closure) kod kojeg značajan utjecaj na oštećenje uslijed zamora ima i opterećenje za koje je faktor intenziteta naprezanja ispod FIN-a otvaranja. Zatvaranje pukotine, odnosno kontakt njenih površina samo djelomično zaštićuje vršak pukotine od utjecaja cikličkog opterećenja, jer do zatvaranja ne dolazi u vršku pukotine, nego na maloj udaljenosti d iza vrška pukotine. Ova pojava je pogotovo


izražena u blizini praga širenja pukotine, odnosno u području gdje dominantnu ulogu imaju zatvaranje pukotine uslijed hrapavosti i korozije [103]

U [24] djelomično zatvaranje pukotine je modelirano krutim klinom debljine 2t umetnutim u pukotinu na udaljenosti d od vrška pukotine (slika 3.12a). Djelomično zatvaranje započinje kada površine pukotine dotaknu klin (za Kcl), a daljnje smanjenje opterećenja zašiljuje vršak pukotine. Promjena geometrije vrška pukotine uzrokuje porast deformacije ispred vrška pukotine.

2t

d

p ro fi l p uko tin eza =K K w

2h

d

p ro fi l p uko tin eza =K K o p p ro fi l p uko tin e

za =K K m in

a) pukotina otvorena krutim klinom b) pukotina pod djelovanjem vanjskog opterećenja

bez djelovanja dodatnog opterećenja

Slika 3.26 Shematski prikaz koncepta djelomičnog zatvaranja pukotine

Faktor intenziteta naprezanja zbog umetanja klina, a bez djelovanja dodatnog opterećenja je:

.

S druge strane FIN zatvaranja se dobiva iz izraza za , v h r d i ravninsko stanje naprezanja:

.

Kada je h t dolazi do kontakta površine pukotine i klina, odnosno do

djelomičnog zatvaranja pukotine. To znači da je I clK K , kada jeh t , i iz

jednadžbi i proizlazi:

.


Na slici 3.12b prikazana je promjena geometrije vrška pukotine za vrijednosti faktora intenziteta naprezanja koje su manje od Kcl. Kao aproksimacija profila pukotine kod opterećenja jednakog nuli može se uzeti profil pukotine s umetnutim klinom bez djelovanja dodatnog opterećenja, prikazan isprekidanom linijom na slici 3.12b. Dakle, Kcl se može smatrati gornjom, a Kklina donjom granicom za izračunavanje efektivnog faktora intenziteta naprezanja:

,

ili kada je cl min2 K K :

.

Dakle, prema konceptu djelomičnog zatvaranja pukotine efektivni faktor intenziteta naprezanja ima vrijednost koja se može kretati unutar

navedenih granica. U [24] se kao aproksimacija, za slučaj min 0K predlaže

izraz:

eff 2/ PI0 max cl2K K K K

odnosno, za min 0K :

.

Usporedbom ovih izraza može se uočiti da je 2/ PI0 2/ PIK K za

cl min 0K K , odnosno da je 2/ PI0 2/PIK K za min 0K . Međutim u [96]

konstatira se da je ta razlika mala, te se kao donja granica efektivnog faktora intenziteta naprezanja može usvojiti izraz .

Ova modificirana vrijednost efektivnog faktora intenziteta naprezanja pokazuje značajno poboljšanje u korelaciji porasta duljine pukotine po ciklusu i koeficijenta asimetrije ciklusa u blizini praga širenja pukotine, dok za veće vrijednosti porasta duljine pukotine po ciklusu, tj. u području II rasta pukotine (Parisovo područje) tradicionalni pristup (definiran izrazom ) daje bolje rezultate [24], [104].

Naime, u području blizu praga širenja pukotine dominantnu ulogu imaju zatvaranje pukotine uslijed hrapavosti i korozija. Kod ovih


mehanizama zatvaranja pukotine, zbog smicanja površina pukotine određene hrapavosti i s nakupinama oksida, dolazi do kontakta površina pukotine prije nego što dođe do potpunog zatvaranja u vršku pukotine, to znači da dolazi do djelomičnog zatvaranja pukotine. U Parisovom području, međutim, dominantu ulogu ima mehanizam zatvaranja pukotine uslijed plastičnosti, jer su u tom području hrapavost površina pukotine i veličina oksidnih čestica zanemarivi u odnosu na relativni razmak površina pukotine. Zbog toga je u [96] dano poboljšanje modela djelomičnog zatvaranja pukotine:

eff max cl21 1K K K g

gdje je g funkcija oblika:

.

U blizini praga širenja pukotine max thK K funkcija 1g , pa se onda

vrijednost efektivnog faktora intenziteta naprezanja približava onome izračunatome prema konceptu djelomičnog zatvaranja pukotine . U

Parisovom području max thK K funkcija 0g , pa se onda vrijednost

efektivnog faktora intenziteta naprezanja približava onome izračunatome prema tradicionalnom pristupu .

4.5.2 FAKTOR INTENZITETA NAPREZANJA ZATVARANJA PUKOTINE

Metode određivanja FIN-a zatvaranja pukotine dijele se na eksperimentalne, numeričke i analitičke.

Postoji niz eksperimentalnih metoda otkrivanja zatvaranja pukotine, kao što su tehnike pada električnog potencijala, metode akustične emisije, ili primjerice uočavanje mjesta i trenutka prekidanja zraka svijetla [105], no najčešće korištena je metoda mehaničkog mjerenja ovisnosti pomaka o opterećenju (en. compliance method). Na slici 3.13a prikazani su mogući načini dobivanja ovisnosti pomaka i opterećenja, mjerenjem deformacije uzorka [99], a na slici 3.13b shematski je


prikazana ovisnost opterećenja o pomaku za uzorak kod kojega dolazi do zatvaranja pukotine.

p o m ak

opter

een

je ili

FIN

ć

P1

P2

P3

K , Kcl o p

a) Oprema za četiri najčešća načina mjerenja b) Shematski prikaz ovisnosti

zatvaranja pukotine naprezanja o pomaku

Slika 3.27 Metoda mehaničkog mjerenja krivulje ovisnosti pomaka o opterećenju

Gornji i donji dio krivulje imaju konstantne nagibe koji odgovaraju potpuno otvorenoj odnosno potpuno zatvorenoj pukotini. Međutim postoji niz problema u određivanju raspona opterećenja pri kojem dolazi do zatvaranja pukotine

Najprije, kao što se može uočiti na slici 3.13b, često postoji značajan raspon opterećenja za koje je pukotina djelomično zatvorena, pa se zatvaranje može definirati kao otklon od linearnosti u točkama P1 ili P3, ili ekstrapolacijom potpuno otvorene i potpuno zatvorene krivulje

m jern a traka sastražn je stran e

m jern a trakau b liz in i p uko tin e

m jern e trake na o tvo ru p uko tin e

m jern a traka sp o m ičn im k lip o m


ovisnosti opterećenja o pomaku do točke presjecišta P2. Nadalje krivulja ovisnosti opterećenja o pomaku može postati histereza, tj. FIN zatvaranja i FIN otvaranja nisu jednaki, te također pojava šuma pri snimanju krivulje može onemogućiti ispravno određivanje trenutka zatvaranja pukotine.

Uloženo je mnogo napora ne bi li se ustanovila standardizirana eksperimentalna metoda kojom bi se navedeni problemi prevladali i time dala vjerodostojnost eksperimentalnim mjerenjima nivoa zatvaranja pukotina. Najčešće korištene metode određivanja nivoa zatvaranja pukotina su [106]:

metoda promjene nagiba krivulje metoda aproksimacije krivulje

Točka se zatvaranja pukotine metodom promjene nagiba krivulje određuje promatranjem promjene lokalnog nagiba krivulje ovisnosti pomaka o opterećenju. Korištene definicije točke zatvaranja su:

točka zatvaranja je ona točka u kojoj je lokalni nagib različit od nagiba u gornjem dijelu krivulje za određeni postotak (primjerice 5%) – ova metoda je prihvaćena od standarda ASTM E647-99.

točka zatvaranja je ona točka za koju je promjena nagiba dva susjedna segmenta krivulje (krivulja je podijeljena na određeni broj segmenata jednake duljine) veća od nekog postotka (primjerice 5%).

Metodom aproksimacije krivulje, krivulja ovisnosti pomaka o opterećenju se dijeli na linearni dio (gornji dio) i dio aproksimiran polinomom drugog stupnja (donji dio). Točka zatvaranja pukotine je ona točka za koju je:

apsolutna razlika u koordinatama ova dva dijela minimalna razlika u nagibima pravca (gornji dio) i segmenta polinoma

(donji dio) minimalna.Usporedbom navedenih metoda određivanja točke zatvaranja

pukotine u [106] ustanovljeno je da metoda aproksimacije krivulje daje bolje rezultate s aspekta osjetljivosti i konzistentnosti u odnosu na metodu promatranja promjene nagiba krivulje.


Što se tiče numeričkih modela zatvaranja pukotine, u uvodu u ovo poglavlje spomenute su najznačajnije numeričke metode određivanja zatvaranja pukotine uslijed plastičnosti, osim njih razvijeni su i neki numerički modeli zatvaranja pukotine uslijed hrapavosti kojima se najčešće površine pukotine idealiziraju pilastim profilom [107], [108].

Newman je u [22], [23] razvio analitički model u koji su uključeni mehanizmi zatvaranja pukotine uslijed plastičnosti, hrapavosti i korozije.

U ovom će se radu utjecaj hrapavosti i korozije uzeti u obzir modelom djelomičnog zatvaranja pukotine što će uz analitičku metodu određivanja faktora intenziteta naprezanja zatvaranja pukotine uslijed plastičnosti opisanu u [96] omogućiti izračunavanje efektivnog faktora intenziteta naprezanja.

Analitički model određivanja faktora intenziteta naprezanja zatvaranja pukotine uslijed plastičnosti koji je opisan u [22] predstavlja modifikaciju analitičkog modela Budiansky i Hutchinsona [99]. Model Budiansky i Hutchinsona povezuje zaostalu plastičnu deformaciju i pomak površina pukotine u njenom vršku okomito na smjer otvaranja pukotine (CTOD). U njihovom istraživanju dan je dijagram ovisnosti omjera veličine plastične brazde zaostale iza pukotine (CTODbrazde) i vrijednosti CTODmax

(CTOD pri maksimalnom opterećenju) (slika 3.14) o koeficijentu asimetrije ciklusa opterećenja.

Slika 3.28 Vršak pukotine pri djelovanju maksimalnog opterećenja


Na slici 3.15 rezultati Budiansky i Hatchinsona su prikazani simbolima, a kroz te točke je Newman [22] aproksimirao polinom četvrtog stupnja:

.

Korištenje izraza umjesto kompletne procedure Budiansky i Hutchinsona značajno pojednostavljuje izračunavanje faktora intenziteta naprezanja zatvaranja pukotine, koji se za slučaj zatvaranja pukotine uslijed plastičnosti izračunava iz izraza:

.

Prema Newmanu [22] ovisnost f R definirana je za pozitivne

vrijednosti koeficijenta asimetrije ciklusa. Ovdje će se krivulja

cl, plast maxK K f R produžiti i u negativno područje koeficijenta asimetrije

ciklusa, ali će se provesti modifikacija slično kao u programu AFGROW [109], [110] tako da će se izračunati točka infleksije izraza (Rinf) pa će se

za infR R omjer cl, plast maxK K uzeti jednak onome u točki infleksije (slika

3.16).

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00R

0.85

0.90

0.95

1.00


Slika 3.29 Promjena faktora s koeficijentom asimetrije ciklusa R [99]

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

R

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9K

cl,p

last

/Km

ax

Tock

a in

fleks

ije, R

inf =

-0,1

33

Slika 3.30 Promjena omjera cl, plast maxK K s koeficijentom asimetrije ciklusa R

Uvrštavanjem izraza u izraz dobiva se izraz za izračunavanje efektivnog faktora intenziteta naprezanja, koji uzima u obzir sve navedene mehanizme zatvaranja pukotine, a vrijedi u cijelom području rasta pukotine, od praga širenja do konačnog loma.

.

Ovdje izveden izraz zasnovan je na najnovijim spoznajama o zatvaranju pukotine [96], a u odnosu na izraze, odnosno proceduru danu u [22], [23] ima značajno jednostavniji oblik.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10K max / K th

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

K eff /K

max

R=0

R=0,5

R=0,9

R=0,25

R=0,75

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

K m ax / K th

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

K cl /K

max

R=0

R=0,5

R=0,9

R=0,25

R=0,75

Slika 3.31 Grafički prikaz izraza

Na slici 3.17 prikazana je promjena efektivnog faktora intenziteta naprezanja i faktora intenziteta naprezanja zatvaranja pukotine s promjenom maksimalnog faktora intenziteta naprezanja za različite faktore asimetrije ciklusa opterećenja.

4.6 OGRANIČENJE PRIMJENE LINEARNO ELASTIČNE MEHANIKE LOMA

Prema ASTM E399 standardu ukoliko je omjer veličine zone u kojoj je materijal plastično deformiran rp prema duljini pukotine a manji od 0,4 tada se mogu primijeniti principi linearno elastične mehanike loma:

.

Granica između plastičnog i elastičnog područja može se odrediti izjednačavanjem von Mises ekvivalentnog naprezanja i granice tečenja materijala. Za =0 i ravninsko stanje deformacije dobiva se izraz:

.

Obzirom da je izraz izveden iz naprezanja linearno elastičnog materijala (izrazi do ), potrebno je na neki način uzeti u obzir povećanje plastične zone do koje će doći zbog redistribucije naprezanja prilikom


dostizanja granice tečenja. Prema [22] veličina plastične zone s redistribuiranim naprezanjem je jednaka:

.

Ovi izrazi su izvedeni za statičko opterećenje. Kod dinamičkog opterećenja, prilikom rasterećenja dolazi do povratnog plastičnog toka,

koji se uzima u obzir uvrštavanjem I 2K umjesto KI , i II 2K umjesto KII

u izraz . Uvrštavanjem u izraz dobiva se područje primjene linearno elastične mehanike loma:

.

81

5. DULJINA INICIRANE PUKOTINE

U poglavlju 2.4 inicijacija pukotine definirana je na osnovi pojave različitosti ponašanja materijala u vlačnom i tlačnom području, za vrijeme opterećivanja glatkog laboratorijskog uzorka ciklusom konstantne deformacije, a ne na osnovi njene geometrijske veličine. Da bi se mogao izračunati broj ciklusa potreban za širenje tako inicirane pukotine do njene kritične veličine iz jednadžbi , , i potrebno je poznavati duljinu inicirane pukotine.

5.1 KITAGAWA-TAKAHASHI DIJAGRAM

Promjena duljine pukotine za vrijeme procesa zamora materijala može se promatrati u dijagramu ovisnosti njene duljine o rasponu naprezanja.

log

th

lo g aa 1 a 0 a 2

Mikr

ostru

ktur

alno

kratk

e puk

otin

e

F iz ikaln o k ratke p uko tin e D uge p uko tin e

(L E M L )

T rajn a d in am i ka v rsto a č č ć

P rag širen ja p uko tin ethK Y a

Slika 4.32 Kitagawa-Takahashi dijagram

Prag širenja pukotine Kth zanemarivanjem utjecaja okoliša, temperature i preopterećenja predstavlja konstantu materijala i u log-log dijagramu ovisnosti raspona naprezanja na pragu širenja pukotine i

4. Duljina inicirane pukotine 82

duljine pukotine predstavlja pravac nagiba –1/2. To bi značilo da ukoliko se smanjuje duljina pukotine da se treba kontinuirano povećavati raspon naprezanja potreban za njeno produljenje. Međutim ukoliko je duljina pukotine nula (polirani laboratorijski uzorak) raspon naprezanja na pragu širenja pukotine nije beskonačan nego je jednak trajnoj dinamičkoj čvrstoći materijala. Dakle, može se u dijagram ucrtati horizontalna linija s vrijednosti jednakoj trajnoj dinamičkoj čvrstoći materijala.

Eksperimentalno dobivena promjena praga širenja pukotine s duljinom pukotine ima oblik prikazan na slici 4.1, gdje izmjereni prag širenja pukotine odstupa od predviđanja za duge pukotine kod duljine pukotine a2, te se spaja s trajnom dinamičkom čvrstoćom kod duljine pukotine a1. Dobiveni dijagram naziva se Kitagawa-Takahashi dijagram [111].

Na dijagramu su prikazane tri karakteristične duljine pukotine (a0, a1

i a2), i za sve tri postoje istraživanja koja podupiru njihovo korištenje kao granice između faze inicijacije i faze propagacije pukotine.

5.2 KARAKTERISTIČNE DULJINE PUKOTINE

5.2.1 DULJINA PUKOTINE a0

Duljina pukotine a0 predstavlja presjecište linije praga širenja dugih pukotina i linije trajne dinamičke čvrstoće. Uvrštavanjem trajne dinamičke čvrstoće u izraz dobiva se:

.

Pomoću ove duljine prema [112] može se definirati zakrivljeni dio Kitagawa-Takahashi dijagrama:

.

Postoji niz istraživanja [4], [10], [113] u kojima se fazom inicijacije smatra rast kratkih pukotina do duljine a0. Nedostatak ovog pristupa je u nedostatku fizikalnog smisla duljine pukotine a0, a prednost je u jednostavnosti njenog izračunavanja, za koju je potrebno poznavati samo


trajnu dinamičku čvrstoću i prag širenja dugih pukotina, jer se u svim tim istraživanjima vrijednost faktora oblika uzima jednaka jedinici.


Duljina pukotine a1 predstavlja granicu između mikrostrukturalno i fizikalno kratkih pukotina. Pukotina duljine a1 se naziva i nepropagirajuća pukotina i predstavlja duljinu najduže pukotine koja ne smanjuje trajnu dinamičku čvrstoću uzorka.

Na slici 4.2 u dijagramu ovisnosti porasta duljine pukotine po ciklusu i duljine pukotine prikazan je tipičan rast mikrostrukturalno kratkih pukotina. Na dijagramu se može uočiti oscilatorna ovisnost, koja se sastoji od periodične pojave ravnina klizanja različite orijentacije u susjednim kristalnim zrnima i periodičnog blokiranja dislokacija na granicama kristalnih zrna. Isprekidana linija u dijagramu predstavlja idealizaciju ovog oscilatornog klizanja i definira duljinu pukotine a1, koja se naziva i najsnažnija mikrostrukturalna barijera [114], [115], te je prema [114] nešto veća od veličine kristalnog zrna (), a veličina joj ovisi o kompoziciji i razmještaju mikrostrukturalnih veličina (zrna, granica zrna, granica između različitih faza metala, itd.).

Ukoliko raspon naprezanja nije dovoljno velik da dođe do pojave ravnine klizanja u susjednom zrnu, tada dolazi do prestanka rasta kratke pukotine. Ukoliko pukotina pređe granicu a1, ona nastavlja rast pod opadajućim utjecajem mikrostrukture sve dok ne dostigne duljinu

1 2...7a ka k [114], nakon čega je utjecaj mikrostrukturnih veličina

zanemariv.


lo g a a a 21

dlo gd

aN

Slika 4.33 Porast duljine pukotine po ciklusu u ovisnosti o duljine pukotine za

mikrostrukturalno kratke pukotine 1a a i fizikalno kratke pukotine 1 2a a a

U [116] promatrane su kratke pukotine u polukružnom udubljenju za koje je poznata promjena faktora intenziteta naprezanja s duljinom pukotine. Duljina pukotine a1 se onda dobiva kao presjecište krivulje promjene faktora intenziteta naprezanja za kratke pukotine i Kitagawa-Takahashi krivulje. Eksperimentalno dobiveno vrijeme do nastanka ovako definirane duljine pukotine a1 i vrijeme do inicijacije pukotine dobiveno metodom lokalne deformacije imaju zadovoljavajuće malo odstupanje.


Duljina pukotine a2 predstavlja granicu između kratkih pukotina i dugih pukotina, na koje se može primijeniti u prethodnom poglavlju opisana linearno elastična mehanika loma (LEML)

Jedan od načina izračunavanja karakteristične duljine pukotine dan je u [117], gdje se korištenjem Navarro-de los Rios modela, traži presjecište linije za koju dolazi do prestanka rasta pukotine i granice između kratkih i dugih pukotina. Linija prestanka rasta pukotine definirana je graničnim naprezanjem koje je potrebno premašiti da bi se rast pukotine nastavio u protivnom dolazi do zaustavljanja pukotine:


.

Dok je granica između kratkih i dugih pukotina definirana stvaranjem trajne ravnine klizanja u dva uzastopna kristalna zrna, odnosno veličina plastične zone ispred vrška pukotine mora biti jednaka dvostrukoj veličini kristalnog zrna :

,

gdje je t,D dinamička granica tečenja.

Izjednačavanjem prethodne dvije jednadžbe ( ) dobiva

se duljina pukotine koja predstavlja granicu između kratkih i dugih pukotina:

.

U istraživanjima [118], [119] ustanovljeno je da se na kritičnom mjestu dinamički opterećene konstrukcije formira područje veličine d*, čija granica predstavlja zapreku širenju kratkih pukotina. Od trenutka kad pukotine uspiju preći tu zapreku njihovo se ponašanje može opisati linearno elastičnom mehanikom loma, odnosno veličina karakterističnog

područja je granica između kratkih i dugih pukotina *2d a . Vrijeme

potrebno za nastajanje pukotine te duljine predstavlja period inicijacije pukotine Ni. Na temelju ovog objašnjenja u ovom radu će se za duljinu inicirane pukotine odabrati duljina a2.

U [118] opisano je više eksperimentalnih procedura određivanja veličine a2 (rendgensko snimanje, vizualno uočavanje trenutka ubrzanja rasta pukotine). Eksperimentalno određena veličina karakterističnog područja može značajno (i do reda veličine) premašivati veličinu kristalnog zrna materijala.

Kako bi analitičko određivanje veličine a2 bio iznimno složen zadatak, jer je potrebno riješiti elasto-plastični problem uz uzimanje u obzir cikličkog očvršćivanja na mikrostrukturalnom nivou i anomalija


podpovršinskog sloja, u [119] je dana pojednostavljena empirijska formula:

gdje je faktor koji za čelike visoke čvrstoće i aluminijske slitine ima vrijednost 1, a za razvlačive čelike 0,7.

87

6. VIJEK TRAJANJA ZUPČANIKA S OBZIROM NA ZAMOR MATERIJALA USLIJED SAVIJANJA U KORIJENU ZUBA

U ovom će se poglavlju postignuća iz područja inicijacije i širenja pukotine opisana u prethodnim poglavljima primijeniti na cilindričnim zupčanicima s ravnim zubima radi određivanja staze pukotine i vijeka trajanja s obzirom na zamor materijala uslijed savijanja u korijenu zuba.

6.1 STANDARDIZIRANE PROCEDURE IZRAČUNA OPTERETIVOSTI KORIJENA ZUBA

Postoji nekoliko standardiziranih procedura (DIN [1], AGMA [2], ISO [3], itd.) izračunavanja opteretivosti korijena zuba zupčanika. One najčešće uspoređuju maksimalno naprezanje u korijenu zuba zupčanika s dopuštenim naprezanjem. Maksimalno i dopušteno naprezanje ovise o nizu utjecajnih faktora kojima se uzimaju u obzir stvarni radni uvjeti (dodatna vanjska i unutrašnja dinamička opterećenja, raspodjela opterećenja po boku zuba i na pojedine zube u zahvatu, površinska hrapavost, itd.).

Vijek trajanja zupčanika obzirom na zamor materijala uslijed savijanja u korijenu zuba se prema standardima može procijeniti iz dijagrama ovisnosti faktora trajnosti o broju ciklusa do loma. Faktor trajnosti predstavlja kvocijent maksimalnog naprezanja u korijenu zuba zupčanika i dinamičke čvrstoće korijena zuba obzirom na savijanje. Dinamička čvrstoća korijena zuba predstavlja 99% vjerojatnost preživljavanja 107 ciklusa opterećenja.

Dijagram na slici 5.1 prikazuje promjenu faktora trajnosti prema AGMA standardu (identičan faktoru trajnosti prema ISO standardu), dok

5. Vijek trajanja zupčanika s obzirom na zamor materijala uslijed savijanja u korijenu zuba 88

dijagram na slici 5.2 prikazuje promjenu faktora trajnosti prema DIN-u. Iz dijagrama se vidi da je osnovna razlika između AGMA i DIN standarda u području iznad 107 ciklusa opterećenja. Također, prema AGMA-i promjena vijeka trajanja s maksimalnim naprezanjem u korijenu zuba zupčanika ovisi samo o tvrdoći materijala zupčanika, dok prema DIN-u ovisi samo o vrsti materijala.

Iz navedenog se može zaključiti da standardi daju mogućnost samo vrlo grube aproksimacije vijeka trajanja zupčanika s obzirom na zamor materijala uslijed savijanja u korijenu zuba.

102 103 104 105 106 107 108 109 1010

Broj promjena opterecenja, N

1,0

0,60,70,80,9

2,0

3,0

4,0

Fakt

or t

rajan

osti,

KL

400 HB

površinskiotvrdnut

0.1489.4518LK N

0.11926,1514LK N

0.10454.9404LK N250 HB

160 HB

0,05382,3194LK N 0,01781,3558LK N

0,03231,6831LK N

uobicajenaprimjena

specijalna primjena (zahtjev za mirnim radom iniskim nivoom vibracija)

Slika 5.34 Faktor trajnosti prema AGMA standardu


101.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.5

3.0

broj promjena opterecenja N

konstrukcijski celici, celici za poboljsavanjenodularni lijev, temper lijev (perlitni)

celici za poboljsavanje initriranje (plinsko), sivi lijev

celici za poboljsavanjenitrirani u solnoj kupci

celici zacementiranje

10 10 10 10 10

Fakt

or tr

ajnos

ti, Y

N

2 3 4 5 6 7

Slika 5.35 Faktor vijeka trajnosti prema DIN standardu

6.1.1 POSTUPAK IZRAČUNAVANJA NAPREZANJA U KORIJENU ZUBA PREMA DIN 3990

Naprezanje uslijed savijanja u korijenu zuba prema DIN 3990 (metoda B) [1] računa se iz izraza:

F F0 SY

gdje je F0 nominalno naprezanje uslijed savijanja u kritičnom presjeku zuba, kada opterećenje djeluje u početnoj (krajnjoj) točki jednostrukog zahvata, a YS je faktor koncentracije naprezanja. Kritični presjek je definiran točkom u kojoj pravac nagnut pod kutom od 30o u odnosu na simetralu zuba tangira prijelaznu krivulju.

Izraz za izračunavanje ovako definiranog nominalnog naprezanja je:

B Fe FF0 2

F

cos

6

M F hbsW

.


Slika 5.36 Naprezanje u korijenu zuba zupčanika

gdje je FB sila okomita na bok zuba u početnoj (krajnjoj) točki jednostrukog zahvata, b širina zupčanika, hF udaljenost između kritičnog presjeka i presjecišta simetrale zuba s pravcem djelovanja opterećenja, sF

debljina zuba na kritičnom presjeku, a Fe kut djelovanja opterećenja u početnoj (krajnjoj) točki jednostrukog zahvata (slika 5.3) Opterećenje FB

se može izraziti preko obodne sile na diobenom promjeru:

.

Uvrštavanjem izraza u izraz te njegovim sređivanjem, može se pisati:

.

Na desnoj strani izraza drugi razlomak predstavlja faktor oblika zuba:

.

Pa je konačni izraz za izračunavanje naprezanja u korijenu zuba:


.

Faktor koncentracije naprezanja se izračunava iz izraza:

,

gdje je F polumjer zaobljenja prijelazne krivulje na kritičnom presjeku.

Izraz vrijedi za i za . U slučajevima kada je n veći

od 20o, izraz se može koristiti kao aproksimacija vrijednosti YS na strani sigurnosti, dok za n manji od 20o, treba povećati za nekoliko postotaka vrijednost YS izračunatu iz izraza .

Udaljenost između kritičnog presjeka i presjecišta simetrale zuba s pravcem djelovanja opterećenja hF, debljina zuba na kritičnom presjeku sF, kut djelovanja opterećenja u početnoj (krajnjoj) točki jednostrukog zahvata Fe i polumjer zaobljenja prijelazne krivulje na kritičnom presjeku F se izračunavaju iz izraza:

,

,

,

,

gdje su:

,

,

.


Podnožna visina je značena s hf, a polumjer zaobljenja podnožja standardnog profilasfP.

Vrijednost parametra izračunava se iterativnim postupkom, s

početnom vrijednošću 6 , iz izraza:

.

Promjer kruga krajne točke jednostrukog zahvata je:

2 22 2

a b n be

cos2 14 2

d d d ddz

,

a polukut širine zuba na promjeru definiranom krajnjom točkom jednostrukog zahvata:

.

6.2 POSTUPAK IZRAČUNAVANJA NAPREZANJA U KORIJENU ZUBA METODOM KONAČNIH ELEMENATA

6.2.1 PROFIL ZUBA ZUPČANIKA

Da bi se metodom konačnih elemenata mogla dobiti naprezanja u korijenu zuba zupčanika najprije je potrebno izraditi model zupčanika. Opisan je postupak izvođenja jednadžbi koje opisuju geometriju zuba zupčanika dobivenog odvaljivanjem alata u obliku ravne ozubnice.

6.2.1.1 Koordinate točke na ravnoj ozubnici

Položaj svake točke na ravnoj ozubnici definiran je koordinatama u i v (slika 5.4). Tako su koordinate središta zakrivljenosti ravne ozubnice (S) jednake:


Slika 5.37 Standardni osnovni profil

Položaj ravne ozubnice u odnosu na zupčanik definiran je položajem srednje linije profila ozubnice (diobeni pravac ozubnice) prema diobenom krugu zupčanika. Na slici 5.5a diobeni pravac ozubnice je za pomak

profila xm odmaknut od tangente na diobeni krug u točki P.

Položaj neke točke Q ravne ozubnice u odnosu na nepomični koordinatni sustav sa središtem u osi zupčanika, nakon zakretanja zupčanika za kut prikazan je na slici 5.5b i definiran koordinatama X i Y .

Transformiranjem ovih koordinata u koordinatni sustav (x,y) vezan za zupčanik (slika 5.5c) dobiva se:

Dakle, poznavanjem parametara ravne ozubnice (n, c*, fP), te parametara zupčanika (m, z, x), mogu se iz izraza pronaći koordinate bilo koje točke profila zuba zupčanika za bilo koji kut zakreta .


a) b) c)

Slika 5.38 a) položaj ravne ozubnice prema zupčaniku, b) položaj neke točke ravne ozubnice u koordinatnom sustavu X-Y, c) položaj neke točke ravne

ozubnice u koordinatnom sustavu x-y

6.2.1.2 Evolventni dio profila zuba zupčanika

Evolventa se generira točkom na pravcu (generatrisi) koji se valja bez klizanja po obodu temeljne kružnice promjera db (slika 5.6a). Polarne koordinate točke na evolventnom profilu koja odgovara općenitom kutu generatrise su:

Kada se ravna ozubnica nalazi u simetričnom položaju (slika 5.6b), za

koji je 0 , tada je kut generatrise jednak zbroju polukuta širine zuba na

temeljnom krugu b i kuta nagiba boka zuba ravne ozubnice n. Proizlazi da su kutevi generatrise i zakreta zupčanika povezani izrazom:

.

Jednadžba boka zuba ravne ozubnice u koordinatnom sustavu x-y (slika 5.6b) je:

.


Konstantni polukut debljine zuba na temeljnom krugu b može se izračunati ako se koordinate točke T1, dobivene uvrštavanjem

pripadajućeg kuta generatrise u izraz , uvrste u izraz :

.

/

a) b)Slika 5.39 a) Generiranje evolventnog profila, b) karakteristične veličine kod

simetričnog položaja ravne ozubnice

Maksimalni kut generatrise se izračunava za točku evolvente na promjeru preko glave, koji je u slučaju kad nema skraćenja glave jednak

a a2d d xm h , gdje je ha visina zuba ravne ozubnice iznad srednje linije

profila. U slučaju da je promjer preko glave - sa skraćenjem glave, tada je potrebno definirati i zupčanik s kojim će se vršiti sparivanje

.

Do zašiljenosti zuba dolazi ukoliko je pripadajući max 0 , iz ovog

uvjeta proizlazi maksimalni dopušteni pomak profila za koji je još uvijek širina zuba na krugu preko glave veća od nule. Uvrštavanjem u i sređivanjem dobiva se:


.

Ovaj izraz se mora rješavati iterativno jer su max i (xm)max međusobno zavisni preko izraza .

Minimalni kut generatrise min, u slučaju kada ne dolazi do podrezivanja korijena, odnosno kada je točka T1 profila ravne ozubnice (slika 5.4) izvan temeljnog kruga, dobiva se iz ordinate točke središta zakrivljenosti ravne ozubnice:

,

pa slijedi:

.

Odgovarajuća donja granica prijelazne krivulje proizlazi iz .

Za min 0 iz proizlazi minimalni dopušteni pomak profila za koji još

uvijek ne dolazi do podrezivanja korijena:

.

6.2.1.3 Prijelazna krivulja – profil podnožja zuba

Dok se odvaljivanjem ravnog boka zuba ozubnice oblikuje evolventni profil, odvaljivanjem središta zakrivljenosti ozubnice dobiva se produžena evolventa. Profil podnožja zuba predstavlja ovojnicu preko polumjera zakrivljenosti ravne ozubnice iz pojedinih točaka produžene evolvente.


Slika 5.40 Generiranje prijelazne krivulje

Koordinate točaka produžene evolvente (xC, yC) dobivaju se uvrštavanjem izraza u . Jednadžba prijelazne krivulje je (slika 4c):

gdje je:

.

Kut zakreta zupčanika koji definira gornju granicu prijelazne krivulje odgovara točki T2 sa slike 5.4 koja leži na krugu preko korijena

:

.

Ukoliko je faktor pomaka profila manji od minimalnog dobivenog iz , dolazi do podrezivanja korijena zuba zupčanika. U tom slučaju treba pronaći presjecište evolvente i prijelazne krivulje. Rješenje se može dobiti numeričkim pronalaženjem nul točke funkcije dobivene izjednačavanjem jednadžbe evolvente i jednadžbe prijelazne krivulje . Kao rješenje dobivaju se min i min koji nisu međusobno zavisni preko izraza .


Ova procedura je upisana u Visual Basic for Applications unutar AutoCAD-a, te je dobiven makro koji za unesene karakteristike zupčanika i alata crta profil zuba zupčanika (slika 5.8).

Slika 5.41 Prozor u AutoCAD-u za upisivanje podataka potrebnih za crtanje zupčanika

6.2.2 MODEL ZUPČANIKA

Prema [120], [5], [6] za slučaj simetrične raspodjele opterećenja po dužini boka zuba, dvodimenzionalni modeli zupčanika daju rezultate približno jednake onima dobivenih analizom trodimenzionalnih modela, a uz znatno manji utrošak vremena za izradu modela i dobivanje rezultata.

Profil zuba zupčanika dobiven postupkom opisanim u prethodnom poglavlju, sada se učitava u programski paket za analizu metodom konačnih elemenata ADINA.


a) model s jednim zubom b) model s tri zuba


c) model čitavog zupčanikaSlika 5.42 Modeli zupčanika

Za numeričko određivanje naprezanja i deformacija u korijenu zuba zupčanika koriste se modeli s jednim zubom [10] (slika 5.9a), modeli s tri zuba [121], [122], [123], [124] (slika 5.9b) te modeli čitavog zupčanika. [14], [13], [125] (slika 5.9c). Na slici 5.9 prikazani su modeli opterećeni silom koja djeluje u početnoj točki jednostrukog zahvata gonjenog zupčanika parmetara iz tablice 5-1.

Rubni uvjeti su modelirani prema slici, dakle modelu s jednim i tri zuba onemogućeni su pomaci svih čvorova na lijevoj, desnoj i donjoj strani modela, dok se modelu čitavog zupčanika, onemogućava zakretanje fiksiranjem četiri čvora na promjeru na kojem je zupčanik vezan s vratilom.

Prema [5] i [121] ukoliko je širina zupčanika šest puta veća od modula tada se može kazati da u zubu zupčanika vlada stanje ravninske deformacije, u protivnom u zubu zupčanika imamo stanje ravninskog naprezanja. Obzirom da je iz tablice 5-1, širina zuba 28mm 6 27mmb m proizlazi da u zubu zupčanika zupčanog para I vlada stanje ravninske deformacije.

Udaljenost između kruga preko korijena i donje strane modela zupčanika s jednim i tri zuba je uzeta jednaka visini zuba, jer je tada zanemariv utjecaj uklještenja donje strane modela na rotaciju baze zuba.

Tablica 5-3 Podaci o zupčanom paru I

Ulazni podaciz1 11z2 39m, mm 4,5 mmx1 0,526x2 0,0593b1, mm 32,5b2, mm 28n 24

*c 0,35*f 0,25

promjer preko glave

sa skraćenjem glave


Izračunate veličinea 115 mmd1 49,5 mmd2 175,5 mmdw1 50,600 mmdw2 179,401 mmdb1 45,221 mmdb2 160,327 mmda1 62,968 mmda2 184,767 mmdf1 42,084 mmdf2 163,884 mma 1,256sF2 10,656 mmhF2 7,147 mmYF2 (DIN 3990B)

1,66346

YS2 (DIN 3990B)

1,97543

Prema [126] najveće razlike između navedenih modela su u predviđanju pomaka točaka modela, odnosno modeli sa manjim brojem zubi predviđaju manje pomake. Rezultati prikazani u tablici 5-2 potvrđuju te ocjene. U tablici 5-2 se uspoređuju pomaci točke na krugu preko glave, na zubu (i na strani zuba) koji prenosi opterećenje.

Međutim ukoliko se promatra maksimalno glavno naprezanje u najopterećenijoj točki korijena zuba koji prenosi opterećenje može se uočiti da su razlike mnogo manje od razlika kod pomaka. Tako je razlika u naprezanjima između modela s jednim zubom i modela čitavog zupčanika 2,8%, a između modela s tri zuba i modela čitavog zupčanika –0,4%.

Uzimanjem u obzir činjenice da za analizu inicijacije pukotine presudnu ulogu ima naprezanje u najopterećenijoj točki korijena zuba, te uzevši u obzir jednostavnost modela i potrebno vrijeme računanja, odabire se model s tri zuba kao optimalan model zupčanika koji će se nadalje analizirati u ovom radu.

5. Vijek trajanja zupčanika s obzirom na zamor materijala uslijed savijanja u korijenu zuba 102Tablica 5-4 Pomaci točke na krugu preko glave i maksimalno glavno naprezanje u korijenu zuba

FB/b, N/mm

F (DIN

3990), N/mm2

model s 1 zubom model s 3 zuba model čitavog zupčanika

pomak, mm

1, N/mm2

pomak, mm

1, N/mm2

pomak, mm

1, N/mm2

800 533,681 2,656 10-2 508,35 3,256

10-2 492,57 5,482 10-2 494,49

1200800,52

13,984 10-2 762,53 4,884

10-2 738,85 8,223 10-2 741,73

16001067,3

625,312 10-2 1016,70 6,512

10-2 985,14 1,096 10-1 988,98

20001334,2

026,640 10-2 1270,88 8,140

10-2 1231,42 1,370 10-1 1236,22

Usporede li se naprezanja u korijenu zuba izračunata metodom konačnih elemenata s naprezanjem u korijenu dobivenim prema DIN-u 3990 , može se uočiti činjenica koja je također naznačena u [126], da su takva predviđanja najčešće konzervativna. To je pogotovo naglašeno u ovom slučaju jer je i ranije u poglavlju 5.1.1 rečeno da procjena faktora koncentracije naprezanja prema izrazu za kut nagiba standardnog profila veći od 20o konzervativna.

6.2.3 CIKLUS NAPREZANJA U KORIJENU ZUBA ZUPČANIKA

Opterećenje se prenosi s pogonskog na gonjeni zupčanik mijenjajući, za vrijeme okretanja zupčanika, svoj pravac djelovanja, položaj i intenzitet.

Da bi se istražio utjecaj pomicanja opterećenja na naprezanje u korijenu zupčanika, analiza je podijeljena na šesnaest odvojenih slučajeva opterećenja. Od toga su 4 slučaja opterećenja kad sila djeluje na zub ispred i 4 slučaja kad djeluje na zub iza zuba koji se analizira, 6 slučajeva kad cjelokupno opterećenje djeluje na zubu koji se analizira, te 2 slučaja kad se opterećenje raspodjeljuje na po dva zuba (slika 5.10).

Sila koja djeluje okomito na bok zuba dobiva se iz izraza:

.


11b12

13

14

56

78

91011

4b

1

2

34a

0

15

A - 1

B - 1

D - 1

E - 1

AB

D

E

A + 1

D + 1

E + 1

B + 1

Slika 5.43 Slučajevi opterećenja gonjenog zupčanika zupčanog para I

X je faktor raspodjele opterećenja, a uzima u obzir raspodjelu opterećenja na zube u zahvatu. Xse računa redom za točke duž zahvatne linije, te ima oblik kao na slici 5.11.

Slika 5.44 Raspodjela X

je bezdimenzionalni parametar kojim se definiraju linearne koordinate na zahvatnoj liniji. Vrijednost parametra duž zahvatne linije je od “–1” u točki T1 koja se nalazi na diralištu zahvatne linije i temeljnog kruga pogonskog zupčanika do i u točki T2 koja se nalazi na diralištu


zahvatne linije i temeljnog kruga gonjenog zupčanika. Vrijednost parametra u kinematskom polu “C” je = 0.

AB

Cy

DE

wy 1

w

y 2

pb

pb 2 = )i

y 1

y2

T ( = -1 )1 K ru g p rek o g la v e 2

K ru g p rek o g lav e 1

O 2

O 1

a1

a2

Slika 5.45 Linearna koordinata duž linije zahvata

Za proizvoljnu točku y na zahvatnoj liniji parametar iznosi:

y1 y2y

w w

tan tan1 1

tan tani

,

gdje je:y1,2 pogonski kut zahvata u proizvoljnoj točki y ,w pogonski kut zahvata u kinematskom polu.

Promatranjem geometrijskih odnosa i slike 5.12 mogu se napisati izrazi za karakteristične točke na zahvatnoj liniji:

a2A

w

tan 1tan

i

,

a1E

w

tan 1tan

,


B E1 w

2tanz

,

D A1 w

2tanz

,

gdje je: A točka u presjeku zahvatne linije i kruga preko glave gonjenog zupčanika,E točka u presjeku zahvatne linije i kruga preko glave pogonskog zupčanika,B početna točka kontakta jednog para zubi,D krajnja točka kontakta jednog para zubi,a1,2 kut pritiska na krugu preko glave.

Također se iz slike 5.12 može uočiti da je:

C2 y2y1 C1y

C1 C2

i

,

gdje je: C1,2 polumjeri zakrivljenosti bokova u kinematskom polu,y1,2 polumjeri zakrivljenosti bokova u proizvoljnoj točki y.

Iz izraza mogu se izlučiti izrazi za računanje polumjera zakrivljenosti bokova:

y1 C1 y1 ,

yy2 C2

ii

.

Kako je polumjer zakrivljenosti bokova u kinematskom polu

wC1

sin(1 )

ai

,

wC2

sin(1 )

iai

,

dobivaju se izrazi za polumjere zakrivljenosti u proizvoljnim točkama zahvata

yy1 w

1sin

1a

i

,

yy2 wsin

1i

ai

,


odnosno promjeri zupčanika na proizvoljnim krugovima:

.

Polukut širine zuba se može dobiti iz izraza:

,

pa je onda kut djelovanja sile u proizvoljnoj točki boka zuba (na slici 5.3 prikazana je sila i kut djelovanja sile za početnu točku jednostrukog zahvata):

.

Kut za koji se treba zakrenuti zupčanik tako da zahvat iz primjerice točke A dođe u točku B je:

.

Točka prijelazne krivulje definirana je preko kuta koji tangenta u toj točki zatvara sa simetralom zuba. U tablici 5-3 i na slici 5.14 prikazana je za tri točke prijelazne krivulje (slika 5.13) promjena normalnog naprezanja na ravnini okomitoj na površinu s promjenom položaja opterećenja za zupčani par I (tablica 5-1).

Tablica 5-5 Naprezanja u korijenu zuba zupčanika za različite položaje opterećenja

Položajoptereć

enjay F y

kut zakre

ta

Fn/bN/

mm

,

N/mm2

=39,64o

,

N/mm2

=84,97o

,

N/mm2

=14,07o

0 (A-1)29.805 * -

0,49945 0 * 0* 0* 0*

1 (B-1)27,991

17,327

-0.20772

2,367 800 21,330

-183,50

626,454

2 25,427

14,112 0,18842 5,58

1 800 8,722-

169,211

21,000


3 (D-1)22,377

10,463 0,63821 9,23

2 800 -2,775-

148,316

15,324

44a 21,3

85 9,581 0,7801910,384

410256,86

7 39,420 187,301

4b 28,923

27,763

-0,35636 390

5 (B) 27,991

26,558

-0,20772

11,589 800 492,78

1221,70

3331,06

7

6 27,013

25,314

-0,05458

12,833 800 454,51

9215,80

7294,49

5

7 25,973

24,016 0,10552 14,1

31 800 418,127

210,313

260,203

8 24,861

22,653 0,27342 15,4

94 800 384,334

205,584

228,631

9 23,668

21,217 0,45041 16,9

30 800 353,946

202,164

200,055

10 (D) 22,377

19,694 0,63821 18,4

54 800 337,877

203,411

182,977

11

11a

21,385

18,542 0,78019

19,606

410196,37

1120,72

8111,70

111b

28,923

36,994

-0,35636 390

12 (B+1)

27,991

35.789

-0,20772

20,812 800 -0,392 16,177 -7,591

13 25,427

32,574 0,18842 24,0

26 800 4,321 18,665 -5,442

14 (D+1)

22,377

28.043 0,63821 27,6

76 800 9,069 22,191 -3,604

15 (E+1)

20,324 * 0,92993 30,0

43 * 0* 0* 0*

* u točki 0 sila je jednaka nuli, a cjelokupno opterećenje je na zubu ispred, također u točki 15 sila je jednaka nuli, a cjelokupno opterećenje je na zubu iza, naprezanja nisu jednaka nuli, ali će se uzeti ovdje takvima, radi opisivanja jednog ciklusa


Slika 5.46 Tri karakteristične točke prijelazne krivulje

Slika 5.47 Ciklusi naprezanja u korijenu zuba zupčanika


6.3 INICIJACIJA PUKOTINE U KORIJENU ZUBA ZUPČANIKA

6.3.1 ZUPČANI PAR I

U ovom poglavlju izračunat će se vrijeme do inicijacije pukotine u korijenu zuba gonjenog zupčanika zupčanog para I (tablica 5-1), procedurom opisanom u poglavlju 2.8.

Za ravninsko stanje deformacije na slici 5.15 prikazane su komponente tenzora naprezanja i deformacije na prijelaznoj krivulji zupčanika. Na ravnini okomitoj na površinu prijelazne krivulje su komponente naprezanja i deformacije (u elastičnom području) jednake:

,

,

,

,

,

.

Obzirom da je uvijek samo jedna od komponenti ili različita od

nule onda proizlazi da je normalno naprezanje na ravnini okomitoj na površinu jednako:

,

odnosno, preostale dvije komponente naprezanja su:,

.


Komponente deformacija na toj su ravnini jednake:

,

,

.

y

z

x

x

2

t

2

t

Slika 5.48 Komponente tenzora naprezanja i deformacije

Iz izraza i može se izračunati omjer dvoosnosti:

.

Dakle, omjer dvoosnosti je konstantan, te je također kut koji normalno naprezanje zatvara s lokalnom osi y konstantan (jer je ravnina maksimalnog normalnog naprezanja uvijek okomita na prijelaznu krivulju). Iz tablice 2-2 onda proizlazi da je naprezanje na površini višeosno, proporcionalno, konstantne amplitude. Odatle proizlazi da vlačni parametar oštećenja ima maksimalnu vrijednost na ravnini okomitoj na površinu na kritičnoj lokaciji, koja predstavlja kritičnu ravninu vlačnog modela:

.

Iz ciklusa naprezanja u korijenu zuba (slika 5.14) može se uočiti da je

maksimalno za položaj opterećenja u početnoj točki jednostrukog


zahvata (B - točka 5), pa proizlazi da je kritična lokacija ona točka

prijelazne krivulje u kojoj je maksimalno za položaj opterećenje u točki

B. Kut koji tangenta na prijelaznu krivulju u kritičnoj lokaciji zatvara sa simetralom promatranog zuba je = 39,64o.

Amplituda normalne deformacije je jednaka:

.

Ukoliko je za položaj opterećenja u karakterističnim točkama zahvata

sa slike 5.14 na kritičnoj lokaciji prijelazne krivulje uvijek veće ili

jednako nuli onda je:

,

odnosno vlačni parametar oštećenja je jednak:

.

Ukoliko međutim poprima negativnu vrijednost na kritičnoj

ravnini za vrijeme ciklusa opterećenja, tada treba izračunati minimalnu vrijednost normalne deformacije. Minimalne vrijednosti deformacije mogu biti za položaj sile u rubnim točkama jednostrukog zahvata zuba ispred i iza promatranog (B-1, D-1, B+1, D+1). Odnosno minimalna vrijednost normalne deformacije je:

.

Odnosno vlačni parametar oštećenja je:

.

Smični parametar oštećenja za proporcionalno naprezanje konstantne amplitude ima maksimalnu vrijednost na ravnini koja je od kritične ravnine za vlačni model zakrenuta za kut od 45o. To je ravnina na kojoj je amplituda smične deformacije maksimalna, odnosno to je kritična ravnina smičnog modela. Na toj ravnini smična deformacija je jednaka:


.

Uvrštavanjem izraza i dobiva se:

.

Dakle, smična deformacija se za vrijeme ciklusa opterećenja mijenja

kao i , pa je amplituda smične deformacije za slučaj kada je uvijek

veće ili jednako nuli, jednaka:

,

pa je smični parametar oštećenja jednak:

.

Ukoliko za vrijeme ciklusa opterećenja postaje negativno, tada je:

,

odnosno amplituda smične deformacije je:

.

U tom je slučaju smični parametar oštećenja jednak:

.

Sada se Newton-Raphsonovom numeričkom metodom, čiji je način provođenja opisan u točki 8. poglavlja 2.8 izračunava vrijeme do inicijacije pukotine na kritičnom mjestu u korijenu zuba zupčanika.

Materijal zupčanog para I je čelik za poboljšavanje Č4732 (tablica 5-4).

Tablica 5-6 Sastav materijala zupčanog para I42 Cr Mo 4 – AISI 4142 – Č4732

C Si Mn Cr Mo0,43% 0,22% 0,59% 1,04% 0,17%


Zubi zupčanika su toplinski obrađeni kako slijedi: grijanje na 810oC, zatim hlađenje u ulju 3 minute i na kraju popuštanje na 180oC.

Dobivena su svojstva materijala prikazana u tablici 5-5 [32], [10], [13], [127].

Tablica 5-7 Podaci o materijalu zupčanog para I - inicijacija

42 Cr Mo 4 – AISI 4142 – Č4732E, MPa 206000 n' 0,14 k [18] 1G, MPa 80000 K' 2259 f', MPa 1051

0,3 f', MPa 1820 b0i -0,08Rm ,MPa 1000 bi -0,08 f' 1,13Rt, MPa 800 f' 0,65 c0i -0,76Dr, MPa 550 ci -0,76 e,D 700

Pomoću podataka o materijalu, dijagrama na slici 2.11 i jednadžbe mogu se izračunati eksponenti dinamičke čvrstoće za različita srednja odstupanja profila Ra(tablica 5-6).


Tablica 5-8 Promjena eksponenta dinamičke čvrstoće sa srednjim odstupanjem profila

Ra, m Csur bi

0,8 0,913 -0,08613,2 0,796 -0,09536,4 0,709 -0,1030

Vrijeme do inicijacije pukotine na kritičnom mjestu u korijenu zuba zupčanika, za naprezanja i deformacije u elastičnom području izračunate metodom konačnih elemenata, dano je u tablici 5-7. Na slici 5.16 prikazana je kritična lokacija (definirana kutom ) na prijelaznoj krivulji, te položaji kritičnih ravnina vlačnog i smičnog modela.

Tablica 5-9 Vrijeme do inicijacije pukotine u korijenu zuba zupčanika (naprezanje i deformacije u elastičnom području)

FB/b, N/mm

, N/mm

2

Ra=0 Ra=0,8 m Ra=3,2 m Ra=6,4 m

vlačni mode

l

smični

model

vlačni mode

l

smični

model

vlačni mode

l

smični

model

vlačni mode

l

smični

model

800492,

68,54

108

4,81

108

1,90

108

1,11

108

2,83

107

1,77

107

7,42

106

1,19

107

1000

615,7

5,26

107

1,33

107

1,43

107

9,26

106

2,73

106

5,69

106

8,69

105

3,96

106

1200

738,8

5,38

106

4,42

106

1,73

106

3,11

106

4,15

105

1,89

106

1,57

105

1,26

106

1400

862,0

8,00

105

1,35

106

2,99

105

8,90

105

8,91

104

4,90

105

3,97

104

302

105

1600

985,1

1,59

105

2,64

105

6,94

104

1,66

105

2,56

104

8,92

104

1,34

104

8,10

104


kritičn a rav n in av lačn o g m o d ela

kritičn a rav n in asm ičn o g m o d ela

= 39,64o

Slika 5.49 Kritična lokacija

Obzirom da su naprezanja na kritičnoj lokaciji takva da dolazi do pojave lokalnog plastičnog tečenja, potrebno je provesti elasto-plastičnu korekciju naprezanja i deformacija.

U poglavlju 2.7.1.3 je kazano da se kod višeosnog proporcionalnog naprezanja lokalna naprezanja i deformacije mogu izračunati Hoffman-Seegerovom metodom. Iz jednadžbe koja u konkretnom slučaj glasi:

,

može se izračunati ekvivalentno elastično naprezanje. Kako je

ekvivalentna elastična deformacija , može se pomoću izraza i ,

Newton-Raphsonovim numeričkim postupkom izračunati ekvivalentne vrijednosti lokalnog naprezanja q i lokalne deformacija q. Sada se prema izrazu može izračunati efektivni Poissonov koeficijent, odnosno iz izraza elasto-plastični dvoosni omjer koji je u konkretnom slučaju:

'a ,

jer je pretpostavka da je omjer glavnih deformacija jednak u elastičnom i

elasto-plastičnom području ( ).

Sada su lokalna glavna naprezanja i lokalne glavne deformacije jednake:


,

,

,

,

,

.

Izračunato vrijeme do inicijacije pukotine na kritičnom mjestu u korijenu zuba zupčanika za lokalna naprezanja i deformacije izračunate Hoffman-Seegerovom metodom dani su u tablici 5-8, i grafički prikazani u dijagramu na slici 5.17.

U tablicama 5-7 i 5-8 su izračunata vremena do inicijacije pukotine prema vlačnom i smičnom modelu. S obzirom da je u poglavlju 2.8 rečeno da manja od ove dvije izračunate veličine predstavlja konačnu procjenu vremena do inicijacije pukotine, to su te konačne procjene u tablicama masno otisnute.

Tablica 5-10 Vrijeme do inicijacije pukotine u korijenu zuba zupčanika uz elasto-plastičnu korekciju naprezanja i deformacija

FB/b, N/mm

n, N/mm2

Ra=0 m Ra=0,8 m Ra=3,2 m Ra=6,4 m

vlačni mode

l

smični

model

vlačni mode

l

smični

model

vlačni mode

l

smični

model

vlačni mode

l

smični

model

800 491,78,54

108

4,69

108

1,90

108

1,09

108

2,83

107

1,75

107

7,42

106

1,19

107

1000 611,85,28

107

1,30

107

1,43

107

8,94

106

2,73

106

5,56

106

8,69

105

3,85

106

1200 725,75,43

106

4,05

106

1,74

106

2,86

106

4,18

105

1,73

106

1,58

105

1,14

106

1400 828,78,16

105

1,03

106

3,05

105

6,79

105

9,05

104

3,64

105

4,03

104

2,24

105


1600 917,91,65

105

1,32

105

7,18

104

8,44

104

2,64

104

7,42

104

1,37

104

6,72

104

104 105 106 107 108

500

600

700

800

900

n, N

/mm

2

Ra = 0,8Ra = 3,2Ra = 6,4

Ni, broj ciklusa do inicijacije pukotine

Slika 5.50 Vrijeme do inicijacije pukotine u korijenu zuba zupčanika


6.3.2 ZUPČANI PAR II

U ovom poglavlju izračunat će se vrijeme do inicijacije pukotine u korijenu zuba pogonskog zupčanika zupčanog para II (tablica 5-9) koji su ispitivani u NASA Langley Research centru [8], [128], [130].

Prijelazna krivulja zupčanika dobivena na osnovi ulaznih podataka iz tablice 5-9, naknadno je dodatno ručno modificirana kao i u [128] radi što boljeg poklapanja sa stvarnim zupčanicima koji su eksperimentalno ispitivani. Također u [128] ispitivani su zupčanici različitih širina vijenca, definiranih s mB, omjerom širine vijenca i visine zuba.

Tablica 5-11 Podaci o zupčanom paru II

Izračunate veličinea 88,578 mmd1 88,90 mmd2 88,90 mmdw1 88,578 mmdw2 88,578 mmdb1 83,539 mmdb2 83,539 mmda1 95,25 mmda2 95,25 mmdf1 80,01 mmdf2 80,01 mma 1,740w 19,42030

Ulazni podaciz1 28 z2 28m, mm 3,175 mmx1 -0,05x2 -0,05b1, mm 6,35b2, mm 6,35n 20

*c 0,35*f 0*ah 1,05*fh *1 1,35c

promjer preko glave

bez skraćenja glave


sF1 6,392 mmhF1 3,700 mmYF1 (DIN 3990B) 1,747YS1 (DIN 3990B) 2,072

Obzirom da je iz tablice 5-9, širina zuba , prema [5] i [121] u zubu zupčanika zupčanog para II vlada stanje ravninskog naprezanja.

Za ravninsko stanje naprezanja na slici 5.18 prikazane su komponente tenzora naprezanja i deformacije na prijelaznoj krivulji zupčanika. Ravnina maksimalnog glavnog naprezanja je okomita na površinu. Na ravnini okomitoj na površinu su komponente naprezanja i deformacija (za elastično područje) jednake:

,

,

,

,

,

.


y

z

x

x

x

t

Slika 5.51 Komponente tenzora naprezanja i deformacije

Obzirom da je uvijek samo jedna od komponenti ili različita od

nule onda proizlazi da je normalno naprezanje na ravnini okomitoj na površinu jednako:

,

odnosno, naprezanje koje leži u toj ravnini:

.

Komponente deformacija na toj su ravnini jednake:

,

,

,

Iz izraza i može se izračunati omjer dvoosnosti:

.

Dakle, omjer dvoosnosti je jednak nuli, te je također kut koji normalno naprezanje zatvara s lokalnom osi y konstantan (jer je ravnina maksimalnog normalnog naprezanja uvijek okomita na prijelaznu krivulju). Iz tablice 2-2 onda proizlazi da je naprezanje na površini jednoosno, konstantne amplitude.


Odatle proizlazi da vlačni parametar oštećenja ima maksimalnu vrijednost na ravnini okomitoj na površinu na kritičnoj lokaciji, koja predstavlja kritičnu ravninu vlačnog modela:

.

U tablici 5-10 i na slici 5.20 prikazan je ciklus naprezanja u korijenu zuba pogonskog zupčanika zupčanog para II, za položaje djelovanja opterećenja prikazane na slici 5.19. Dane su vrijednosti naprezanja za puni zupčanik (mB = 3,3) i zupčanik s tankim vijencem (mB = 0,3). Može se uočiti da je n,e maksimalno za položaj opterećenja u krajnjoj točki jednostrukog zahvata (D - točka 7). Onda je kritična lokacija, točka

prijelazne krivulje s najvećom vrijednosti naprezanja kad je

opterećenje u točki D. Kut koji tangenta na prijelaznu krivulju u kritičnoj lokaciji zatvara sa simetralom promatranog zuba je =25,235o.

1

2

0

3a

4a

3b4b

567

8a

9a

8b9b

1011

12

B - 1

D - 1

E -1

A - 1

A

BD

EE + 1

D + 1B + 1

A + 1

Slika 5.52 Položaji djelovanja opterećenja


Tablica 5-12 Promjena normalnog naprezanja u kritičnoj lokaciji =25,235o , na kritičnoj ravnini

Položajopterećenja y F y

kut zakreta X

mB = 3,3B 511,561N mmFb

, N/mm2

mB = 0,3B 334,826N mmFb

, N/mm2

0 (A-1) 8,942 *-

1,19016

0 10*

0*

1 (B-1) 17,919 1,676

-0,7193

19,426 1

11,153-187,250

2 (D-1) 20,895 5,022

-0,5536

712,76

8 114,876

-224,554

33a 24,27

6 8,991-

0,35724

16,730

0,583199,676 -18,665

3b 12,769 0,417

44a 26,73

0 12,004

-0,2080

719,74

00,266

360,179 179,0474b 15,60

1 0,734

5 (B) 17,919

14,533

-0,0828

222,26

7 1 521,198 386,971

6 19,482

16,275

0,00342

24,009 1 555,510 414,003

7 (D) 20,895

17,879

0,08282

25,613 1 590,235 444,063

88a 23,94

3 21,448

0,25949

29,176

0,625433,377 347,252

8b 12,388 0,375

99a 26,50

1 24,574

0,41427

32,299

0,296237,170 224,845

9b 15,334 0,704

10 (B+1) 17,919

27,390

0,55367

35,113 1 -1,313 70,275

11 (D+1) 20,895

30,736

0,71931

38,456 1 -2,607 90,621

12 (E+1) 28,712 * 1,1901

647,88

1 1 0* 0** u točki 0 sila je jednaka nuli, a cjelokupno opterećenje je na zubu ispred, u točki 12 sila je jednaka nuli, a cjelokupno opterećenje je na zubu iza, naprezanja nisu jednaka nuli, ali će se uzeti ovdje takvima, radi opisivanja jednog ciklusa


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

kut zakreta, o

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600 n

e , MP

a = 25,235o

mB = 0,3mB = 3,3

Slika 5.53 Ciklus naprezanja u korijenu zuba zupčanika

Amplituda normalne deformacije izračunava se prema izrazu . Ukoliko je za položaj opterećenja u karakterističnim točkama zahvata sa

slike 5.20 na kritičnoj lokaciji prijelazne krivulje uvijek veće ili jednako

nuli onda je:

,

odnosno vlačni parametar oštećenja je jednak:

.

Ukoliko međutim poprima negativnu vrijednost na kritičnoj

lokaciji prijelazne krivulje za vrijeme ciklusa opterećenja, tada treba izračunati minimalnu vrijednost normalne deformacije. Minimalne vrijednosti deformacije mogu biti za položaj sile u rubnim točkama jednostrukog zahvata zuba ispred i iza promatranog (B-1, D-1, B+1, D+1). Odnosno minimalna vrijednost normalne deformacije je:


.

Odnosno vlačni koeficijent oštećenja je:

.

Smični parametar oštećenja ima, maksimalnu vrijednost na ravnini koja je od kritične ravnine za vlačni model zakrenuta za kut od 45o. To je ravnina na kojoj je amplituda smične deformacije maksimalna, odnosno to je kritična ravnina smičnog modela. Uvrštavanjem izraza i u izraz dobiva se smična deformacija na toj ravnini:

.

Dakle, smična deformacija se za vrijeme ciklusa opterećenja mijenja

kao i , pa je amplituda smične deformacije za slučaj kada je uvijek

veće ili jednako nuli jednaka:

.

Odnosno smični parametar oštećenja je:

.

Ukoliko za vrijeme ciklusa postaje negativno, tada je:

,

odnosno amplituda smične deformacije je:

.

U tom je slučaju smični parametar oštećenja jednak:

.

Materijal zupčanog para II je čelik za cementiranje 14 NiCrMo 13-4 (najsličniji materijal prema HRN je Č5420) (tablica 5-11) [129].

5. Vijek trajanja zupčanika s obzirom na zamor materijala uslijed savijanja u korijenu zuba 125Tablica 5-13 Sastav materijala zupčanog para II

14 NiCrMo 13-4 - AISI 9310C Mn P S Si Cu Ni Cr Mo

0,1% 0,63% 0,005%

0,005%

0,27% 0,13% 3,22% 1,21% 0,12%

Zubi zupčanika su cementirani i kaljeni kako slijedi: cementiranje 8 sati pri 1000 oC, zatim hlađenje na zraku do sobne temperature, nakon toga grijanje 2,5 sata na 750 oC i opet ohlađivanje na sobnu temperaturu. Opet grijanje na 950 oC pa kaljenje u ulju i na posljetku popuštanje 2 sata na 270 oC.

Dobiveni su površinski otvrdnuti zubi zupčanika s tvrdoćom površine H1 = 61 HRc (710 HV), tvrdoćom jezgre H2 = 38 HRc (375 HV), tvrdoćom H3 = 50 HRc (550 HV) na udaljenosti deff = 0,78 mm od površine, kao što je prikazano na slici 5.21 [128].

Ostala svojstva materijala dana su u tablici 5-12 [128, 129].

Tablica 5-14 Podaci o materijalu zupčanog para II

14 NiCrMo 13-4 - AISI 9310E, MPa G, MPa Rm ,MPa Rt, MPa207000 80000 0,3 1277 1104


6258545046423834

Tvrd

oća,

HRC

0 0,508 1,016 1,524 2,032 2,540U daljen o st o d p o v ršin e, m m

Slika 5.54 Promjena tvrdoće s udaljenošću od površine zuba zupčanog para II

Obzirom na vrijednosti trajne dinamičke čvrstoće korijena zuba materijala zupčanog para II i izračunatog naprezanja u korijenu zuba u [128] se smatralo da će teško doći do inicijacije pukotine u korijenu zuba zupčanika. Zbog toga su u korijenu na kritičnoj lokaciji (=25,235o) napravljena udubljenja (slika 5.22), gdje će se zbog povećanja faktora koncentracije naprezanja lakše inicirati pukotina.

A

kut udubljenja,

Detalj A

duljina, lu

širina

, bu

Slika 5.55 Udubljenje u korijenu zuba zupčanika

U ovom radu će se uspoređivati rezultati sa dva provedena ispitivanja iz [128] (tablica 5-13).


Tablica 5-15 Dimenzije udubljenja na ispitivanim zupčanicima

Test mBDimenzije udubljenja

Kut, Duljina, lu, mm

Širina, bu, mm

1 3,3 63 0,127 0,1272 0,3 64 0,254 0,152

Modeli zupčanika s udubljenjima prema tablici 5-13, prikazani su na slikama 5.23. i 5.24. Metodom konačnih elemenata izračunat je iznos maksimalnog normalnog naprezanja kada je opterećenje u krajnjoj točki jednostrukog zahvata za elastično područje. Maksimalno normalno naprezanje se u oba slučaja nalazi u vršku udubine. U tablici 5-14 dan je i iznos minimalnog normalnog naprezanja, te koeficijenta asimetrije ciklusa normalnog naprezanja u vršku pukotine na ravnini okomitoj na površinu.

Tablica 5-16 Naprezanje u vršku udubljenja i koeficijent asimetrije ciklusa

Test FB/b, N/mm

Maks. normalno naprezanje

, MPa

Min. normalno naprezanje R

1 511,561 1790 -0,00168

2 334,826 1518 -0,519


Slika 5.56 Model zupčanika s udubljenjem u korijenu – Test 1

Slika 5.57 Model zupčanika s udubljenjem u korijenu – Test 2

Obzirom da su naprezanja na kritičnoj lokaciji takva da dolazi do pojave lokalnog plastičnog tečenja, potrebno je provesti elasto-plastičnu korekciju naprezanja i deformacija.

U poglavlju 2.8 je kazano da se kod jednoosnog naprezanja lokalna naprezanja i deformacije mogu izračunati Neuberovom metodom. Da bi se sada mogla provesti Neuberova korekcija i izračunati vrijeme do inicijacije pukotine potrebno je uz podatke o materijalu iz tablice 5-12 poznavati i krivulju cikličke deformacije (a – a) i krivulju ovisnosti vremena do inicijacije pukotine o amplitudi deformacije (a – 2Ni). S obzirom da se u konkretnom slučaju radi o površinski otvrdnutom zubu zupčanika, to će se karakteristike materijala potrebne za opisivanje tih krivulja mijenjati s udaljenošću od površine.

Iz geometrije udubljenja izračunava se udaljenost vrška udubljenja od površine. Iz dijagrama na slici 5.21 ili iz izraza [128] određuje se tvrdoća na izračunatoj udaljenosti od površine (tvrdoća u HV):

,

.

Tablica 5-17 Tvrdoća u vršku udubljenja

Test Udaljenost od površine

Tvrdoća, HV Tvrdoća, HB

1 0,127 706 665


2 0,251 693 653

Sada se pomoću metode tvrdoće [47] (tablica 2-1) mogu izračunati približne karakteristike materijala na kritičnoj lokaciji udubljenja (tablica 5-16). Iz izraza izračunati su koeficijent i eksponent cikličkog očvršćivanja. Nakon toga se provodi Neuberova korekcija i izračunavaju lokalna naprezanja i deformacije (tablica 5-17).

Tablica 5-18 Karakteristike materijala - inicijacija

test 1 test 2 test 1 test 2f', MPa 3051 3000 f', MPa 1761 1732

f' 0,046 0,050 f' 0,080 0,087bi -0,09 -0,09 b0i -0,099 -0,099ci -0,56 -0,56 c0i -0,56 -0,56

K', MPa 5009 4859 n' 0,161 0,161

Tablica 5-19 Lokalno naprezanje i deformacija u vršku pukotine

Test n, MPa n,a

1 1679 34,077 10

2 1461 35,541 10

Sada se Newton-Raphsonovom numeričkom metodom, čiji je način provođenja opisan u poglavlju 2.8 izračuna vrijeme do inicijacije pukotine na kritičnom mjestu (u vršku udubljenja u korijenu zuba zupčanika). Konačna procjena vremena do inicijacije pukotine na kritičnom mjestu u korijenu zuba zupčanika masno je otisnuta u tablici 5-18, a položaj i smjer kritične ravnine dan je na slici 5.25.

Tablica 5-20 Vrijeme do inicijacije pukotine u korijenu zuba zupčanika

Test Ni, ciklusavlačni model smični model

1 19600 1380002 7000 13100


25,235°

27°

Kriticna ravnina

25,235°

28°

Kriticna ravnina

a) Test 1 b) Test 2

Slika 5.58 Kritična lokacija

6.4 ŠIRENJE PUKOTINE U KORIJENU ZUBA ZUPČANIKA

Numerička simulacija rasta pukotine provedena je u programskom paketu FRANC2D [15], [16].

FRANC2D je paket u kojem je moguća provedba poluautomatske simulacije širenja pukotine. Korisnik treba prije svakog koraka produljenja pukotine definirati iznos produljenja, a sve ostalo se provodi automatski u slijedećim koracima:

1) Analiza metodom konačnih elemenata.2) Izračunavanje faktora intenziteta naprezanja. 3) Određivanje smjera širenja pukotine. 4) Lokalno brisanje mreže konačnih elemenata u području u koje će

se produljiti pukotina.5) Produljenje pukotine za zadani iznos produljenja u smjeru

izračunatom u točki 3.6) Automatsko obnavljanje mreže konačnih elemenata.


Da bi se moglo započeti sa simulacijom rasta pukotine potrebno je poznavati duljinu, lokaciju i orijentaciju inicirane pukotine. Lokacija i


orijentacija inicirane pukotine definirani su na slici 5.16, a različite definicije njene duljine su dane u poglavlju 4. Podaci o materijalu potrebni za izračunavanje brzine širenja pukotine dani su u tablici 5-19 [10].

Tablica 5-21 Podaci o materijalu - propagacija

42 Cr Mo 4 – SAE(AISI) 4142 – Č4732

Kth, MPa mm 269C,

mm

ciklus× MPa mmm

173,31 10

KIc, MPa mm 2620 m 4,16

Efektivni faktor intenziteta naprezanja na pragu širenja pukotine može se izračunati iz izraza i u konkretnom je slučaju:

.

Prosječna veličina zrna za materijal 42CrMo4 je G = 7 [132] prema ASTM standardu. Iz ASTM broja G može se izračunati broj zrna n po kvadratnom inchu:

,

iz čega je prosječna površina koju zauzima kristalno zrno jednaka:

,

Promjer zrna je sada jednak:

,

U konkretnom slučaju prosječna veličina zrna je 32 m.Sada se mogu izračunati karakteristične duljine pukotine, a0, a1 i a2.

Tablica 5-22 Duljina inicirane pukotine

a1, m a0, m a2, m

~= 32 76 iz jednadžbe 172 iz jednadžbe 212 iz jednadžbe

Na osnovu izlaganja u poglavlju 4 kao duljina inicirane pukotine odabire se duljina a2, odnosno najmanja duljina pukotine na koju se može primijeniti linearno elastična mehanika loma.

Prema tablici 5-20 odabire se duljina inicirane pukotine od 200 m.


6.4.1.1 Širenje pukotine uz aproksimaciju opterećenja silom u početnoj točki jednostrukog zahvata

U dosadašnjim istraživanjima širenja pukotine u korijenu zuba zupčanika opterećenje se aproksimiralo ciklusom kod kojeg sila na zub djeluje u početnoj točki jednostrukog zahvata i mijenja iznos od nula do maksimalne vrijednosti (slika 5.26). Ovakav postupak proveden je u [10], [14], [13].

F / bB

t

Slika 5.59 Aproksimativni ciklus opterećenja silom u početnoj točki jednostrukog zahvata

Inicirana pukotina definirane duljine postavlja se u kritičnu lokaciju na kritičnu ravninu pa se provodi analiza metodom konačnih elemenata (slika 5.27).

Iz izračunatih pomaka čvorova oko vrška pukotine izračunavaju se faktori intenziteta naprezanja.

U paket FRANC2D su uključene tri metode određivanja faktora intenziteta naprezanja: metoda korelacije pomaka (poglavlje 3.2.1), metoda modificiranog integrala zatvaranja pukotine (poglavlje 3.2.2) i metoda J-integrala (poglavlje 3.2.3). Prema [16] i [133] sve tri metode u slučaju dovoljno usitnjene mreže konačnih elemenata daju iste, točne rezultate. Ipak, prema [16] u slučajevima pukotina proizvoljne geometrije opterećenih kompleksnim opterećenjima mješovitog tipa, metode modificiranog integrala zatvaranja pukotine i J-integrala su pouzdanije od metode korelacije pomaka.


Slika 5.60 Inicijalna pukotina

Na osnovu navedenog u radu će se faktori intenziteta naprezanja izračunavati metodom J-integrala.

Iz izračunatih faktora intenziteta naprezanja određuje se smjer širenja pukotine. U paket su uključena tri kriterija: MCN-kriterij (poglavlje 3.3.1), S-kriterij (poglavlje 3.3.2) i G-kriterij (poglavlje 3.3.3).

Prema [16] sva tri kriterija daju približno iste rezultate, odnosno približno iste staze pukotine. Obzirom da MCN-kriterij ima najjednostavniji oblik, u ovom radu će se smjer širenja pukotine izračunavati iz MCN-kriterija.

Nakon toga u izračunatom smjeru treba produljiti pukotinu za iznos produljenja a. Ovo produljenje definira korisnik, a pri njegovom određivanju treba voditi računa o vremenu potrebnom za izračunavanje i o potrebnoj točnosti rezultata. Premalo produljenje povećava vrijeme izračunavanja staze pukotine i vijeka trajanja, a prevelikim produljenjem dolazi do grešaka koje se akumuliraju sa svakim novim korakom produljenja. Iznos produljenja bi trebalo smanjiti na dionicama gdje su

veće vrijednosti omjera II IK K , te na područjima gdje su veće vrijednosti

gradijenta faktora intenziteta naprezanja. Jedan način određivanja iznosa produljenja opisan je u [134] (slika

5.28).


Kružni luk PnP'n+1 prikazan na slici 5.28 predstavlja stvarnu stazu pukotine, ta staza može se aproksimirati ili sa dvije tangente PnP'n i P'nPn+1

ili jednom sekantom PnPn+1.

a '

a '

a

Pn - 1

Pn

P 'n

Pn+ 1

1

2

vv'

P 'n + 1

Slika 5.61 Stvarna i aproksimirana staza pukotine

Procedura dobivanja karakterističnih točaka staze je kako slijedi: ukoliko se vršak pukotine nakon n-tog koraka produljenja nalazi u točki Pn, tada se do novog položaja vrška pukotine Pn+1 može doći tako da se pomoću MCN kriterija izračuna kut 1 i produlji pukotina za iznos a' do točke P'n. S vrškom pukotine u točki P'n izračunaju se novi faktori intenziteta naprezanja i izračuna MCN kriterijem novi kut 2 pod kojim će doći do produljenja pukotine za iznos a' do točke Pn+1. Na opisani način dobivena je tangencijalna staza pukotine PnP'nPn+1, a sekantna staza pukotine dobije se spajanjem točaka Pn i Pn+1. Sa vrškom pukotine u Pn+1

izračunavaju se faktori intenziteta naprezanja za pukotinu aproksimiranu s dvije tangente pa se iz njih MCN kriterijem dobiva novi pravac produljenja v', odnosno pravac produljenja v dobiven MCN kriterijem za faktore intenziteta naprezanja pukotine aproksimirane sekantom.

Uvjet koji pravci produljenja trebaju zadovoljiti opisan je nejednadžbom:

'v v e


gdje je e granični kut koji prema [134] iznosi 0,1o. Iznos produljenja za koji je zadovoljen uvjet definira sekantu PnPn+1 koja se odabire kao staza pukotine.

Svakih pet koraka provođena je opisana analiza iznosa produljenja te je odabran iznos produljenja od 0,2 mm do duljine pukotine od 4 mm, a nakon te duljine pukotine iznos produljenja od 0,4 mm. Odabrana produljenja zadovoljavaju uvjet duž čitave staze pukotine. Također je svakih pet koraka provođena kontrola primjenjivosti principa linearno elastične mehanike loma prema izrazu .


Slika 5.62 Predviđena staza pukotine

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

a, mm

0

500

1000

1500

2000

2500

Keq

, MP

a m

m0,

5

KIc = 2620 MPa mm0,5 800 N/mm 1000 N/mm 1200 N/mm 1400 N/mm 1600 N/mm

FB/b =

FB/b =FB/b =FB/b =FB/b =

Slika 5.63 Ovisnost faktora intenziteta naprezanja o duljini pukotine za pukotinu iniciranu prema vlačnom modelu

Pukotina se produljuje sve dok ekvivalentni faktor intenziteta naprezanja koji se izračunava iz izraza ne dostigne kritičnu vrijednost KIc.

Na kraju se kao rezultat dobiva staza pukotine (slika 5.29) i ovisnost faktora intenziteta naprezanja o duljini pukotine (slika 5.30).

Uvrštavanjem ekvivalentnih faktora intenziteta naprezanja u izraz dobivaju se efektivni faktori intenziteta naprezanja. Korištenjem podataka o materijalu (tablica 5-19) te provođenjem numeričke integracije jednadžbe izračunava se broj ciklusa potreban za rast pukotine od inicirane do kritične duljine pukotine:

.


Promjena duljine pukotine s brojem ciklusa za pukotinu iniciranu prema vlačnom modelu prikazana je na slici 5.31, a izračunati vjekovi trajanja i kritične duljine pukotine prikazani su u tablici 5-21.

0.01.0*105

2.0*105

3.0*1054.0*105

5.0*1056.0*105

7.0*1058.0*105

9.0*1051.0*106

1.1*1061.2*106

1.3*1061.4*106

1.5*106

Np, ciklusa

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

a, m

m

800 N/mm 1000 N/mm 1200 N/mm 1400 N/mm 1600 N/mmFB/b =FB/b =FB/b =FB/b =FB/b =

Slika 5.64 Promjena duljine pukotine s brojem ciklusa za pukotinu iniciranu prema vlačnom modelu


Tablica 5-23 Broj ciklusa potreban za rast pukotine od inicirane do kritične duljine

FB/b , N/mm

Kritična duljina pukotineac , mm Broj ciklusa, Np

Za pukotinu iniciranu prema vlačnom modelu

Za pukotinu iniciranu prema smičnom modelu



800 8,6 8,5 1,233106 1,563106

1000 8,1 8,0 5,226105 6,646105

1200 7,5 7,5 2,550105 3,274105

1400 7,0 6,9 1,378105 1,786105

1600 6,5 6,4 8,026104 1,050105

6.4.1.2 Širenje pukotine uz aproksimaciju opterećenja uzimanjem u obzir okretanja zupčanika

Utjecaj pomicanja opterećenja po boku zuba na širenje pukotine u korijenu zuba cilindričnog zupčanika s ravnim zubima razmatran je u [19], gdje je pretpostavljeno da će se pukotina širiti u okomito na smjer maksimalnog cirkularnog naprezanja za vrijeme ciklusa opterećenja. Kako je u [19] utvrđeno da je maksimalno cirkularno naprezanje uvijek kada je sila u početnoj točki jednostrukog zahvata, to su autori zaključili da se ciklus opterećenja može aproksimirati silom u početnoj točki jednostrukog zahvata (poglavlje 5.4.1.1).

U [20] istraživan je utjecaj pomicanja opterećenja na širenje pukotine u korijenu koničnih zupčanika, te je ustanovljena procedura koja će se u ponešto izmijenjenom obliku provesti u ovom radu.

Analiza je podijeljena na šesnaest odvojenih slučajeva opterećenja (j = 0 do 15) (slika 5.10). Inicirana pukotina duljine 0,2 mm postavljena je u kritičnu lokaciju na kritičnu ravninu te su u programskom paketu FRANC2D izračunati faktori intenziteta naprezanja za vrijeme jednog ciklusa opterećenja (slika 5.32 i slika 5.33).

Obzirom da se iz slike 5.32 i slike 5.33 vidi da omjer KII prema KI nije konstantan za vrijeme jednog ciklusa, proizlazi da je opterećenje neproporcionalno. To znači da će svakom koraku opterećenja odgovarati drugačiji kut širenja pukotine . Ovdje će se međutim, razviti procedura kojom će se odrediti jedinstveni smjer širenja pukotine na kraju jednog ciklusa opterećenja.


-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

kut zakreta zupčanika (o)

fakt

orin

tenz

iteta

napr

ezan

jaI(

MPa

mm

1/2

)

Slika 5.65 Promjena FIN-a tipa I za vrijeme jednog ciklusa opterećenja

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

kut zakreta zupčanika (o)

fakt

orin

tenz

iteta

napr

ezan

jaII

(MPa

mm

1/2

)

Slika 5.66 Promjena FIN-a tipa II za vrijeme jednog ciklusa opterećenja


Najprije se pomoću izračunatih faktora intenziteta naprezanja KI(j) i KII(j) izračunavaju kutovi širenja pukotine za korak opterećenja od j -1 do j:

,

gdje su KI(jmax) i KII(jmax) faktori intenziteta naprezanja za slučaj opterećenja koji daje maksimalni faktor intenziteta naprezanja tipa I na promatranom intervalu.

Pomoću izračunatih kutova mogu se izračunati ekvivalentni faktori intenziteta naprezanja za j-ti slučaj opterećenja:

.

Potrebno je među njima pronaći najveći, koji je uvijek za slučaj opterećenja u početnoj točki jednostrukog zahvata, te pomoću njega izračunati faktor intenziteta zatvaranja pukotine:

.

Na slici 5.32 je isprekidanom linijom ucrtan faktor intenziteta naprezanja pri kojem dolazi do zatvaranja pukotine duljine 0,2 mm.

Također se sada iz Parisove jednadžbe može izračunati produljenje pukotine na kraju jednog ciklusa opterećenja:

.

Kako pukotina raste samo onda kada je Keq(j) veći od Kcl, u obzir se za produljenje pukotine unutar jednog ciklusa opterećenja uzimaju samo koraci opterećenja za koje je faktor intenziteta naprezanja iznad onoga zatvaranja pukotine. Za te se korake opterećenja izračunava produljenje pukotine proporcionalno omjeru promjene ekvivalentnog j-tog FIN-a prema efektivnom FIN-u:

.

Da bi se osiguralo da cjelokupni dio ciklusa od trenutka otvaranja pa do trenutka zatvaranja pukotine sudjeluje u produljenju pukotine


potrebno je utvrditi između kojih slučajeva opterećenja dolazi do presjeka krivulja Kcl i Keq(j). Kada se utvrdi interval opterećenja za koji je:

eq( -1) cl eq( )j jK K K , postavlja se da je eq( -1) cljK K , odnosno kada se utvrdi

interval za koji je: eq( -1) cl eq( )j jK K K , postavlja se da je eq( ) cljK K .

Kao rezultat na kraju jednog ciklusa opterećenja dobiva se staza pukotine koja je shematski prikazana za slučaj opterećenja koji se sastoji od četiri intervala na slici 5.34. Staza se aproksimira ravnom linijom koja spaja položaj pukotine na početku ciklusa opterećenja i položaj pukotine na kraju ciklusa opterećenja. Aproksimativna ravna linija ima duljinu dac, a orijentacija joj je definirana kutom f, koji se može izračunati iz izraza:

.

Obzirom da je produljenje pukotine na kraju jednog ciklusa opterećenja premalo da bi se provelo obnavljanje geometrije i mreže konačnih elemenata oko vrška pukotine, potrebno je pukotinu u smjeru f

produljiti za iznos produljenja koji se može odabrati kao i u poglavlju 5.4.2 jednakim 0,2 mm.

v ršakp uko tin e

2

1

3

4

d a

d a

d a

d a

(0 ,1)

(1,2)

(2,3)

(3,4)

(0 ,1)

(1 ,2)

(2 ,3)

(2 ,3)

f

x

y

d a c

Slika 5.67 Shematski prikaz rasta pukotine za vrijeme ciklusa opterećenja koji se sastoji od 4 intervala


Na kraju se kao rezultat dobiva staza pukotine (slika 5.35) i ovisnost ekvivalentnog faktora intenziteta naprezanja o duljini pukotine (slika 5.36).

Slika 5.68 Predviđena staza pukotine

Numeričkom integracijom izraza dobiva se promjena duljine pukotine s brojem ciklusa, koja je za pukotinu iniciranu prema vlačnom modelu prikazana na slici 5.37, te vjekovi trajanja koji su s kritičnim duljinama pukotine prikazani u tablici 5-22.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

a, mm

500

1000

1500

2000

2500

Keq

, MP

a m

m0,

5

800 N/mm 1000 N/mm 1200 N/mm 1400 N/mm 1600 N/mm

KIC = 2620 MPa mm0,5

FB/b =FB/b =FB/b =FB/b =FB/b =

O bzirom da se iz Error! Reference source not found. i Error! Reference source not found. vidi da omjer KII prema KI nije konstantan za vrijeme jednog ciklusa, proizlazi da je opterećenje neproporcionalno. To znači da će svakom koraku opterećenja odgovarati drugačiji kut širenja pukotine Error! Reference source not found.. O vdje će se međutim, razviti procedura kojom će se odrediti jedinstveni smjer širenja pukotine na kraju jednog ciklusa opterećenja.


Slika 5.69 Ovisnost faktora intenziteta naprezanja o duljini pukotine za pukotinu iniciranu prema vlačnom modelu


FB/b , N/mm

Kritična duljina pukotineac , mm Broj ciklusa, Np





800 9 8,9 1,323106 1,678106

1000 8,4 8,3 5,582105 7,100105

1200 7,9 7,9 2,725105 3,499105

1400 7,4 7,3 1,472105 1,908105

1600 6,8 6,7 8,552104 1,119105

0.01.0*105

2.0*105

3.0*1054.0*105

5.0*1056.0*105

7.0*1058.0*105

9.0*1051.0*106

1.1*1061.2*106

1.3*1061.4*106

1.5*106

Np, ciklusa

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

a, m

m

800 N/mm 1000 N/mm 1200 N/mm 1400 N/mm 1600 N/mm

Tablica Error! No text of specified style in document.-1 Broj ciklusa potreban za rast pukotine od inicirane do kritične duljine

FB/b =FB/b =FB/b =FB/b =FB/b =


Slika 5.70 Promjena duljine pukotine s brojem ciklusa za pukotinu iniciranu prema vlačnom modelu

Tri bitna poboljšanja procedure razvijene u [20] uvedena su u ovom radu:

1) U proceduri iz [20] nije uzet u obzir doprinos FIN-a tipa II na brzinu širenja pukotine. Prema [90] i mali raspon FIN-a tipa II značajno povećava brzinu širenja pukotine pa je u ovom radu uzet u obzir korištenjem ekvivalentnog FIN-a.

2) Prema proceduri u [20] pukotina raste samo onda kada je promjena FIN-a tipa I između dva koraka opterećenja pozitivna, dok u ovom radu pukotina raste i za negativnu promjenu ekvivalentnog FIN-a ukoliko je veći ekvivalentni FIN promatranog intervala iznad FIN-a zatvaranja pukotine. Ova promjena procedure ne bi bila potrebna da su raspodjele FIN-ova tipa I i II simetrične oko početne točke jednostrukog zahvata za jedan ciklus opterećenja. Međutim, kako se iz slika 5.32 i 5.33 vidi da to nije slučaj, zanemarivanje dijela ciklusa nakon početne točke jednostrukog zahvata značajno bi modificiralo stazu pukotine, i to pogotovo u slučaju kao što je promatrani kada se ispituje staza pukotine u korijenu zuba gonjenog zupčanika.

3) Prema proceduri u [20] broj ciklusa potrebnih za proizvoljno produljenje pukotine računa se tako da se podijeli željeno produljenje (prema [20] ) s produljenjem nakon jednog ciklusa dac. Na taj način akumulira se značajna greška, koja je u ovom radu izbjegnuta provođenjem numeričke integracije (trapeznom formulom). Razlika u izračunatim vremenima potrebnim za rast pukotine od inicijalne do

kritične duljine za opterećenje prikazana je u dijagramu

na slici 5.38. Dakle korištenjem procedure iz [20] akumulira se pogreška od 13,3%, koja bi dodatno rasla s povećanjem iznosa produljenja.


0.01.0*105

2.0*105

3.0*1054.0*105

5.0*1056.0*105

7.0*1058.0*105

9.0*1051.0*106

1.1*1061.2*106

1.3*1061.4*106

1.5*1061.6*106

Np, ciklusa

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9a,

mm

numericka integracijaprema Spievak et al. (20)

Slika 5.71 Usporedba brzine širenja pukotine za proceduru prema [20] i proceduru iz ovog rada


Karakteristike materijala zupčanog para II potrebne za opisivanje širenja pukotine dane su u tablici 5-23 [20], [128], [129]. Ove karakteristike materijala su dobivene ispitivanjem ne cementiranih uzoraka, a koristit će se u ovom radu jer bolje opisuju širenje pukotine, s obzirom da je relativno mala debljina otvrdnutog sloja (slika 5.21), pa proizlazi da pukotina većim dijelom raste u neotvrdnutom dijelu zuba.

Tablica 5-25 Podaci o materijalu zupčanog para II – propagacija

14 NiCrMo 13-4 (AISI 9310)

Kth, MPa mm 122 C, mm

ciklus× MPa mmm 133,128 10

KIc, MPa mm 2954 m 2,954Efektivni faktor intenziteta naprezanja na pragu širenja pukotine

može se izračunati iz izraza i u konkretnom je slučaju


th,eff 228 MPa mmK pa se iz izraza i mogu izračunati karakteristične

duljine pukotine 0 5 μma i 2 10 μma .

Na osnovu izlaganja u poglavlju 4. kao duljina inicirane pukotine

odabire se duljina 2 10 μma , odnosno najmanja duljina pukotine na koju

se može primijeniti linearno elastična mehanika loma.

6.4.2.1 Širenje pukotine uz aproksimaciju opterećenja silom u krajnjoj točki jednostrukog zahvata

Opterećenje se aproksimira ciklusom kod kojeg sila na zub djeluje u krajnjoj točki jednostrukog zahvata i mijenja iznos od nula do maksimalne

vrijednosti. Inicirana pukotina duljine 2 10 μma postavlja se u kritičnu

lokaciju na kritičnu ravninu pa se provodi analiza metodom konačnih elemenata. Iz izračunatih pomaka čvorova oko vrška pukotine metodom J-integrala izračunavaju se faktori intenziteta naprezanja. Iz izračunatih faktora intenziteta naprezanja određuje se MCN-kriterijem smjer širenja pukotine. Nakon toga u izračunatom smjeru treba produljiti pukotinu za iznos produljenja a. Odabran je iznos produljenja od 5 m do duljine pukotine od 25 m, nakon toga iznos produljenja od 25 m do duljine pukotine od 0,2 mm, te nakon toga iznos produljenja od 0,1 mm. Pukotina se produljuje sve dok ekvivalentni faktor intenziteta naprezanja koji se izračunava iz izraza ne dostigne kritičnu vrijednost KIc.

Na kraju se kao rezultat dobiva staza pukotine (slika 5.39 i slika 5.40) i ovisnost faktora intenziteta naprezanja o duljini pukotine (slika 5.41).


Slika 5.72 Staza pukotine za zupčani par II – Test 1


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

a, mm

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Keq

, MP

amm

0,5

KIC = 2954 MPamm0,5

Test 1Test 2

Slika 5.74 Ovisnost faktora intenziteta naprezanja o duljini pukotine

Uvrštavanjem ekvivalentnih faktora intenziteta naprezanja u izraz dobivaju se efektivni faktori intenziteta naprezanja. Korištenjem podataka o materijalu (tablica 5-23), te provođenjem numeričke integracije jednadžbe izračunava se broj ciklusa potreban za rast pukotine od inicirane do kritične duljine pukotine. Promjena duljine pukotine s brojem ciklusa prikazana je na slici 5.42, te je izračunat broj ciklusa potreban za rast pukotine od inicirane do kritične duljine (tablica 5-24)


0.01.0*104

2.0*104

3.0*1044.0*104

5.0*1046.0*104

7.0*1048.0*104

9.0*1041.0*105

1.1*1051.2*105

1.3*1051.4*105

1.5*1051.6*105

1.7*105Np, ciklusa

0

1

2

3

4

5

a, m

m

Test 1Test 2

Slika 5.75 Promjena duljine pukotine s brojem ciklusa


Test aC , mm Np, ciklusa

1 4,9 51,62 10

2 2,0 51,30 10

6.4.2.2 Širenje pukotine uz aproksimaciju opterećenja uzimanjem u obzir okretanja zupčanika

Analiza je podijeljena na trinaest odvojenih slučajeva opterećenja (j = 0 do 12)(slika 5.19). Inicirana pukotina duljine 10 m postavlja se u kritičnu lokaciju na kritičnu ravninu te se provodi procedura opisana u poglavlju 5.4.1.2.


Kao rezultat dobiva se staza pukotine (slika 5.43, slika 5.44) i ovisnost ekvivalentnog faktora intenziteta naprezanja o duljini pukotine (slika 5.45).




0 1 2 3 4 5

a, mm

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Keq

MP

a m

m0,

5

KIC = 2954 MPa mm0,5

Test 1Test 2

Slika 5.78 Ovisnost faktora intenziteta naprezanja o duljini pukotine


0.01.0*104

2.0*104

3.0*1044.0*104

5.0*1046.0*104

7.0*1048.0*104

9.0*1041.0*105

1.1*1051.2*105

1.3*1051.4*105

1.5*1051.6*105

1.7*105Np, ciklusa

0

1

2

3

4

5a,

mm

Test 1Test 2

Slika 5.79 Promjena duljine pukotine s brojem ciklusa

Numeričkom integracijom izraza dobiva se promjena duljine pukotine s brojem ciklusa (slika 5.46), te vjekovi trajanja koji su s kritičnim duljinama pukotine prikazani u tablici 5-25.


Test aC , mm Np, ciklusa

1 5,0 51,61 10

2 2,1 51,31 10

153

7. ANALIZA REZULTATA

7.1 ANALIZA INICIJACIJE PUKOTINE U KORIJENU ZUBA ZUPČANIKA


Iz rezultata prikazanih u poglavlju 5.3.1 mogu se izvesti zaključci o utjecaju površinske hrapavosti i lokalnog plastičnog tečenja na vrijeme potrebno za nastanak inicijalne pukotine.

Površinska hrapavost, u ovom radu promatrana preko srednjeg odstupanja profila Ra, utječe na vrijeme do inicijacije pukotine promjenom eksponenta dinamičke čvrstoće bi, kao što je pokazano u poglavlju 2.6. Smanjivanje vremena do inicijacije pukotine povećanjem površinske hrapavosti vidljivo je u tablicama 5-7 i 5-8, odnosno na slici 5.17.

Iz rezultata danih u tablicama 5-7 i 5-8, proizlazi da za manja naprezanja u korijenu zuba i manje površinske hrapavosti nastaju smične pukotine, dok povećanjem naprezanja, odnosno povećanjem hrapavosti površine nastaju vlačne pukotine. Ova uočena činjenica se dobro podudara s ponašanjem materijala Č1531, koji je kao i materijal zupčanog para I čelik za poboljšavanje, u slučaju vlačno-tlačnog opterećenja, prikazanom na dijagramu f) slike 2.10.

U tablici 5-8 uočava se povećanje vremena do inicijacije pukotine uzimanjem u obzir lokalnog plastičnog tečenja, koje je posebno izraženo za slučajeve većeg naprezanja u korijenu zuba zupčanika.

6. Analiza rezultata 154


U [128] dana su eksperimentalno dobivena vremena potrebna za inicijaciju pukotine u vršku udubljenja u korijenu pogonskog zupčanika zupčanog para II za testove 1 i 2.

Ispitivanje je u [128] provedeno pomoću posebne mjerne trake, s deset niti kružnog oblika, zalijepljene oko udubljenja u korijenu zuba (slika 6.1). Niti su izrađene tako da kad se pukotina proširi kroz njih, dolazi do njihovog pucanja i time do rasta električnog otpora mjerne trake. Na taj način snima se funkcionalna ovisnost duljine pukotine o broju ciklusa opterećenja.

Slika 6.80 Mjerna traka za praćenje rasta pukotine u korijenu zuba zupčanika

Ovisnost broja ciklusa o duljini pukotine za test 1 prikazana je na slici 6.2, a za test 2 na slici 6.3, a dobivene su mjernim trakama smještenim s prednje i stražnje strane zupčanika.


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

Duljina pukotine, mm

60000

70000

80000

90000

100000

110000

120000

130000

140000

150000

160000

170000

Bro

j cik

lusa

Prednja stranaStražnja strana

Slika 6.81 Ovisnost duljine pukotine o broju ciklusa za test 1 (mB = 3,3)

U [128] inicijacija pukotine je definirana puknućem prve niti na mjernoj traci. Iz slika 6.2 i 6.3 može se očitati vrijeme potrebno za inicijaciju pukotine i duljina inicirane pukotine, koji su prikazani u tablici 6.1.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8


1.0*106

1.5*106

2.0*106

2.5*106

3.0*106

3.5*106

4.0*106

Bro

j cik

lusa

Prednja stranaStražnja strana


Slika 6.82 Ovisnost duljine pukotine o broju ciklusa za test 2 (mB = 0,3)

Tablica 6-28 Eksperimentalno dobivena vremena do inicijacije pukotine za zupčani par II

TestPrednja strana Stražnja strana

ai,exp, mm Ni,exp ai,exp, mm Ni,exp

1 0,229 100300 0,178 783002 0,635 2910000 0,457 1060000

Može se uočiti približno uniforman rast pukotine po širini zupčanika

za test 1, dok kod testa 2 dolazi do značajnije razlike u rastu pukotine na prednjoj i stražnjoj strani zupčanika. Dakle, kod testa 2 naglašen je trodimenzionalni efekt, te je upitna mogućnost dvodimenzionalnog razmatranja inicijacije i rasta pukotine.

U ovom radu za duljinu inicirane pukotine odabrana je najmanja duljina pukotine na koju se može primijeniti linearno elastična mehanika loma i ona je za materijal zupčanog para II izračunata u poglavlju 5.4.2 i iznosi 10 m. Da bi se mogli usporediti numerički i eksperimentalni rezultati, potrebno je izračunati i broj ciklusa potrebnih za rast pukotine od duljine 10 m do duljine od ai,exp = 0,2 mm, što je aritmetička sredina duljine inicirane pukotine na prednjoj i stražnjoj strani zupčanika u testu 1, odnosno do ai,exp = 0,53 za test 2. Broj ciklusa potrebnih za rast pukotine od inicirane do proizvoljne duljine dobiva se numeričkom integracijom izraza ili iz dijagrama na slici 5.46 i pribraja se broju ciklusa iz tablice 5-18. Dobiveni rezultati prikazani su u tablici 6-2.

Tablica 6-29 Broj ciklusa potreban za nastanak pukotine koja dovodi do pucanja prve niti mjerne trake

Testai,

mmNi

, mmN

ai,exp, mm

1 0,01 19600 0,19 32000 0,2 516002 0,01 7000 0,52 80000 0,53 87000


U [128] eksperimentalno dobivena vremena do inicijacije pukotine su uspoređena s rezultatima iz [135] dobivenima savijanjem jednog zuba zupčanika iz istog materijala. Vremena do inicijacije pukotine dobivena u [135] prikazani su u dijagramu na slici 6.4 u ovisnosti o naprezanju u korijenu zuba. Iz slike 6.4 se može očitati za test 1 vrijeme do inicijacije pokotine Ni = 6450 ciklusa, a za test 2 Ni = 48400 ciklusa.

1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 0 62 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7

N i, bro j ciklusa do in ic ijacije

1400

1600

1800

2000

1

2628 - 249.1*log N i

1679

6450 48400

1461

, MP

a

Slika 6.83 Broj ciklusa do inicijacije u ovisnosti o naprezanju u korijenu zuba prema [134]

Rezultati dobiveni numeričkim postupkom u ovom radu za test 1 (puni zupčanik) pokazuju dobro poklapanje s eksperimentalnim rezultatima iz [128] i [135], dok rezultati za test 2 (zupčanik s tankim vijencem) pokazuju značajnije odstupanje od navedenih eksperimentalnih rezultata. Razlozi odstupanja od eksperimentalnih rezultata iz [135] su u činjenici što su ispitivani puni zupčanici, kod kojih kao što se vidi u ovom radu, je zanemarivo naprezanje u korijenu u tlačnom području, za razliku od zupčanika s tankim vijencima kod kojih je značajan utjecaj tlačnog naprezanja u korijenu na amplitudu normalne deformacije, a samim tim i na vrijeme do inicijacije pukotine. Iz toga proizlazi da podaci koji daju


ovisnost naprezanja o vremenu do inicijacije bez uzimanja u obzir i amplitude deformacije ne mogu biti primjenjivi na zupčanike s tankim vijencima.

7.2 ANALIZA ŠIRENJA PUKOTINE U KORIJENU ZUBA ZUPČANIKA

Najprije će se u ovom poglavlju usporediti rezultati dva promatrana numerička modela, prvi u kojemu se opterećenje aproksimira ciklusom kod kojeg sila na zub cilindričnog zupčanika djeluje u početnoj (krajnjoj) točki jednostrukog zahvata i mijenja iznos od nula do maksimalne vrijednosti i drugi u kojemu se simulira okretanje zupčanika provođenjem kvasi-statičke numeričke simulacije u kojoj je zahvat zupčanika razlomljen na više slučajeva opterećenja koji se onda zasebno analiziraju. Nakon toga će se numerički rezultati zupčanog para II usporediti s eksperimentalno dobivenim stazama pukotine u korijenu zuba.

7.2.1 USPOREDBA NUMERIČKIH MODELA

7.2.1.1 Zupčani par I

Razlika u stazama pukotine za dvije promatrane aproksimacije opterećenja prikazana je na slici 6.5, a razlika u broju ciklusa potrebnih za rast pukotine od inicirane do kritične duljine na slici 6.6.


Slika 6.84 Usporedba staza pukotine: A – sila u početnoj točki jednostrukog zahvata, B – sila se pomiče po boku zuba

Uočene razlike u stazi pukotine, a i u broju ciklusa do loma nisu zanemarive, kao što bi se dalo zaključiti iz [19], te opravdavaju korištenje aproksimacije ciklusa opterećenja uzimanjem u obzir okretanja zupčanika.

50000 412500 775000 1137500 1500000

500

600

700

800

900

n, N

/mm

2

Np, ciklusa

sila u pocetnoj tocki jed. zahvatasila se pomice po boku zuba

Slika 6.85 Usporedba broja ciklusa potrebnih za širenje pukotine od inicijalne do kritične duljine

7.2.1.2 Zupčani par II

Razlike u stazama pukotine za dvije promatrane aproksimacije opterećenja prikazane su na slici 6.7 za test 1 i na slici 6.8 za test 2, a razlike u broju ciklusa potrebnih za rast pukotine od inicirane do kritične duljine na slici 6.9 za test 1 i na slici 6.10 za test 2.

Uočene razlike u stazi pukotine i broju ciklusa potrebnih za rast pukotine od inicirane do kritične duljine manje su nego kod zupčanog para I. Razlog tome je prvenstveno u stupnju prekrivanja profila a, koji je


značajno manji za zupčani par I što podrazumijeva duži jednostruki zahvat, te položeniji ciklus naprezanja (slika 5.14), odnosno položeniju raspodjelu FIN-a tipa I (slika 5.32). Položenija raspodjela FIN-a tipa I znači da uz silu u početnoj točki jednostrukog zahvata i okolni koraci opterećenja imaju značajan utjecaj na rast pukotine, jer su iznad FIN-a zatvaranja pukotine, a zbog neproporcionalnog karaktera opterećenja, dolazi do širenja pukotine pod različitim kutom za svaki korak opterećenja. Zupčani par II ima strmi ciklus naprezanja u korijenu zuba (slika 5.20), te zbog toga malen utjecaj okolnih koraka opterećenja na stazu pukotine prvenstveno determiniranu silom u krajnjoj točki jednostrukog zahvata.


Slika 6.86 Usporedba staza pukotine za test 1: A – sila u krajnjoj točki jednostrukog zahvata, B – sila se pomiče po boku zuba

Slika 6.87 Usporedba staza pukotine za test 2: A – sila u krajnjoj točki jednostrukog zahvata, B – sila se pomiče po boku zuba

0.01.0*104

2.0*104

3.0*1044.0*104

5.0*1046.0*104

7.0*1048.0*104

9.0*1041.0*105

1.1*1051.2*105

1.3*1051.4*105

1.5*1051.6*105

1.7*105Np, ciklusa

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

a, m

m

Sila u krajnjoj tocki jednostrukog zahvataSila se pomice po boku zuba


Slika 6.88 Usporedba broja ciklusa potrebnih za širenje pukotine od inicijalne do kritične duljine za test 1

0.01.0*104

2.0*104

3.0*1044.0*104

5.0*1046.0*104

7.0*1048.0*104

9.0*1041.0*105

1.1*1051.2*105

1.3*1051.4*105

Np, ciklusa

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

a, m

m

Sila u krajnjoj tocki jednostrukog zahvataSila se pomice po boku zuba

Slika 6.89 Usporedba broja ciklusa potrebnih za širenje pukotine od inicijalne do kritične duljine za test 2

7.2.2 USPOREDBA NUMERIČKI I EKSPERIMENTALNO DOBIVENIH STAZA PUKOTINE

U [128] prikazane su uz eksperimentalno dobivene staze pukotine za testove 1 i 2, staze i za još nekoliko provedenih ispitivanja, gdje se promatrala staza pukotine na gonjenom zupčaniku zupčanog para II (slika 6.11 i tablica 6-3), različitih širina vijenca i geometrije udubljenja (tablica 6-4).


12

0

3a4a

3b

4b

567

8a9a

8b

9b

1011

12D - 1

B - 1

A - 1

E - 1

E

DB

AA + 1

B + 1D + 1

E + 1

Slika 6.90 Opterećenje gonjenog zupčanika zupčanog para II

Tablica 6-30 Opterećenje gonjenog zupčanika zupčanog para IIPoložaj

Opterećenja y F ykut

zakreta X

0 28,712 --

1,19016

0 1

1 20,895 5,022-

0,71931

9,426 1

2 17,919 1,676-

0,55367

12,768 1

33a 15,601 -1,140 -

0,41427

15,294

0,7043b 26,730 24,574 0,296

44a 12,769 -4,266 -

0,25949

18,305

0,3754b 24,276 21,448 0,625

5 20,895 17,879-

0,08282

22,267 1

6 19,482 16,275-

0,00342

23,870 1

7 17,919 14,533 0,08282

25,613 1

8 8a 15,334 12,004 0,20802

28,426

0,7348b 26,501 37,718 0,266

9 9a 12,388 8,991 0,3571 31,54 0,417


9 99b 23,943 34,705 0,58310 20,895 30,736 0,5536

735,11

3 1

11 17,919 27,390 0,71931

38,456 1

12 8,942 - 1,19016

47,881 1

Tablica 6-31 Dimenzije udubljenja na ispitivanim zupčanicima

Test mBDimenzije udubljenja

Kut, Duljina, lu, mm

Širina, bu, mm

3 3,3 37 0,152 0,1784 0,5 34 0,254 0,1785 0,3 30 0,229 0,229

Na slikama 6.12, 6.13, 6.14, 6.15 i 6.16 dane su usporedbe staza pukotine za testove od 1 do 5 na zupčanom paru II. Na slikama s A je označena staza dobivena numerički, djelovanjem sile u početnoj (krajnjoj) točki jednostrukog zahvata, s B je označena staza dobivena numerički, simulacijom okretanja zupčanika, a s C je označena eksperimentalno dobivena staza pukotine.

A

B

C

Slika 6.91 Usporedba staza pukotine za test 1


A BC


AB

C



A

BC


ABC


Iz slika 6.12 i 6.14 vidljivo je dobro poklapanje staza pukotina na punom zupčaniku, te iz slike 6.16 dobro poklapanje staza na zupčaniku s tankim vijencem mB = 0,3.

Na slici 6.13 vidljiva je eksperimentom dobivena staza pukotine koja odudara od numerički dobivene staze, ali i od trenda koji se može uočiti na slici 6.16 za zupčanik iste širine vijenca.

Na slici 6.15 uočava se slabo poklapanje staza pukotine za zupčanik s vijencem mB = 0,5. Prema [128] staza pukotine za zupčanik mB = 0,5 je nestabilna i ovisi o početnim uvjetima. Istraživan je utjecaj smjera


inicirane pukotine, širine vijenca i položaja početne točke jednostrukog zahvata, i utvrđeno je da male promjene promatranih parametara tako mijenjaju polje naprezanja u korijenu zuba da dovode do značajne promjene staze pukotine.

Razlike u stazama su u [128] protumačene i zaostalim naprezanjima zbog izrade udubljenja, te mogućim razlikama u geometriji udubljenja između modela i stvarnih testiranih zupčanika nastalim zbog grešaka u mjerenju. Također, prema [136] na stazu pukotine utječe i brzina vrtnje, odnosno centrifugalna sila, koja kod dobivanja eksperimentalnih staza u [128] nije bila zanemariva jer su se zupčanici ispitivani pri brzini vrtnje od 10000 min-1.

No, bez obzira na uočene razlike ipak se može, uzimajući u obzir sve promatrane testove, konstatirati dobro poklapanje staza dobivenih numeričkim postupkom sa stazama pukotina dobivenih eksperimentalno.

Još jednom se ovdje može uočiti mala razlika između dva numerička modela promatrana u ovom radu, a koja je objašnjena u prethodnom poglavlju kratkim jednostrukim zahvatom, odnosno strmom raspodjelom naprezanja u korijenu zuba zupčanika.

7.3 VIJEK TRAJANJA ZUPČANIKA S OBZIROM NA LOM U KORIJENU ZUBA ZUPČANIKA


Kao što je kazano u prvom poglavlju, cjelokupni životni vijek strojnih dijelova se može odrediti kao suma ciklusa naprezanja Ni potrebnih za inicijaciju pukotine i ciklusa naprezanja Np potrebnih za širenje pukotine od inicijalne do kritične duljine (slika 1.1).

U dijagramu na slici 6.17 prikazane su krivulje inicijacije i krivulje vijeka trajanja za tri različite površinske hrapavosti boka zuba zupčanika. Uočava se jako dobro podudaranje izračunatog vijeka trajanja s eksperimentalnim podacima iz [137].


400

500

600

700

800

900

1000

1100

104 105 106 107 108

Ra = 0,8Ra = 3,2Ra = 6,4

N, ukupni vijek trajanjaNi, vijek trajanja do inic. puk.

Eksper. rezultati, Ra = 3,2 m [137], Vjerojatnost loma 90%

Broj ciklusa, Ni i N

n, N

/mm

2

Numericki rezultati prema [10]

Slika 6.96 Vijek trajanja zupčanika obzirom na lom zuba u korijenu

Također su u dijagramu na slici 6.17 prikazani numerički rezultati prema [10]. Bolje podudaranje s eksperimentalnim podacima rezultata iz ovog rada od onih iz [10] može se uočiti u dijagramu na slici 6.18.


105 1065 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9

Eksperimentalno odreden vijek trajanja, Nexp

105

106

5

6

789

2

3

4

5

6

789

Num

eric

ki o

dred

en v

ijek

traja

nja,

Nnu

m

Numericki rezultati iz ovog radaNumericki rezultati prema (10)

Slika 6.97 Usporedba numeričkih predviđanja vjekova trajanja i eksperimentalnih rezultata


Na slici 6.19 i slici 6.20 dana je usporedba broja ciklusa potrebnih za rast pukotine proizvoljne duljine snimljenih eksperimentalno i dobivenih numeričkim postupkom opisanim u ovom radu.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2


5.0*104

6.0*104

7.0*104

8.0*104

9.0*104

1.0*105

1.1*105

1.2*105

1.3*105

1.4*105

1.5*105

1.6*105

1.7*105

Bro

j cik

lusa

Prednja stranaStražnja stranaNumericki


Slika 6.98 Usporedba broj ciklusa – duljina pukotine za test 1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8


7.0*104

1.1*106

2.0*106

3.0*106

4.0*106

Bro

j cik

lusa

Prednja stranaStražnja stranaNumericki

Slika 6.99 Usporedba broj ciklusa – duljina pukotine za test 2

Sa slike 6.19 vidi se da na početku rasta pukotine postoji malo odstupanje numeričkih od eksperimentalnih podataka. Međutim, ukoliko se usporede numerički i eksperimentalno dobiveni brojevi ciklusa do loma zuba za test 1 dobivaju se rezultati prikazani u tablici 6-5.

Tablica 6-32 Usporedba eksperimentalnih i numeričkih rezultata za test 1

Test 1 ai,mm Ni Np N = Ni + Np

Eksperimentalni

rezultati

Prednja strana 0,229 100300 82100 182400Stražnja strana 0,178 78300 104100 182400

Numerička predviđanja prema [128]

0,254 340000 80000 420000

Numerička predviđanja prema ovom radu

0,01 19600 162000 181600

Može se uočiti izvanredno poklapanje numeričkih predviđanja prema ovom radu s eksperimentalnim podacima. Također se vidi usporedbom rezultata iz [128] i rezultata iz ovog rada značajno poboljšanje numeričkog modela i točnija mogućnost predviđanja vijeka trajanja zupčanika obzirom na zamor materijala uslijed savijanja u korijenu zuba.


Sa slike 6.20 vidi se veće odstupanje numeričkih od eksperimentalnih podataka. Numerički i eksperimentalni rezultati za test 2 dani su u tablici 6-6.

Uočava se veliko odstupanje numeričkog predviđanja od eksperimentalnih rezultata.


Tablica 6-33 Usporedba eksperimentalnih i numeričkih rezultata za test 2

Test 2 ai,mm Ni NpN = Ni +

Np

Eksperimentalni

rezultati

Prednja strana 0,635 2,91∙106

1,0504∙106

3,9604∙106

Stražnja strana 0,457 1,06∙106

2,9004∙106

3,9604∙106

Numerička predviđanja prema [128] 0,254 1,53∙10

6 9,2∙105 2,45∙106

Numerička predviđanja prema ovom radu 0,01 7000 1,3∙105 1,37∙105

Najprije će se dati osvrt na činjenicu što se numeričko predviđanje prema [128] bolje slaže se eksperimentalnim rezultatima. U [128] izračunat je broj ciklusa potreban za rast pukotine od inicijalne do kritične duljine uz pomoć Parisove jednadžbe , te još nekoliko modela širenja pukotine, i sa svakim od njih dobiveno je vrijeme širenja pukotine ekstremno kratko u odnosu na ono dobiveno eksperimentalno. Radi toga je u [128] uključen u razmatranje fenomen zatvaranja pukotine i to preko izraza . Uočeno je dobro poklapanje s eksperimentalnim rezultatima ukoliko se za test 1 uzme omjer zatvaranja pukotine U = 0,8, a za test 2 U = 0,4. Obzirom da je Elber [98] eksperimentalno za 2024-T3 aluminijsku leguru dobio linearnu ovisnost između omjera zatvaranja pukotine U i koeficijenta asimetrije ciklusa R, to je iskorišteno tako da je izveden izraz:

,čijim su korištenjem dobiveni numerički rezultati prikazani u tablici 6-5. Međutim, ti rezultati nisu točni, jer je raspon FIN-a uzet jednak FIN-u kod djelovanja sile u krajnjoj točki jednostrukog zahvata, odnosno uzet je

minimalni FIN jednak nuli. Dakle korišten je izraz koji vrijedi

samo za R = 0, i radi toga su dobiveni rezultati bliži eksperimentalnim.

Da je korišten ispravan izraz , dobili bi se rezultati lošiji

od numeričkih rezultata iz ovog rada.U [128] dobiven je i potrebni broj ciklusa do inicijacije pukotine bliži

eksperimentalno dobivenim rezultatima. Razlog je u tome što su korišteni rezultati iz [135], gdje kao što je ranije rečeno, nije promatran tlačni dio


ciklusa naprezanja, pa se rezultati ne mogu primijeniti na zupčanike s tankim vijencima.

Međutim, činjenica je da se numerička predviđanja iz ovog rada ne slažu najbolje s eksperimentalnim rezultatima. Teško je izvoditi zaključke na osnovu samo ovog jednog testa zupčanika s tankim vijencem mB = 0,3. U radu [128] ispitana su još dva zupčanika takve širine vijenca, ali kod njih nisu bile postavljene mjerne trake za praćenje širenja pukotine pa nisu detaljno analizirani u ovom radu. Kod tih zupčanih parova promatrane su staze pukotine, te se staza pukotine kod testa 6 podudara se sa stazom pukotine iz testa 5 (slika 6.16), dakle dosta se razlikuju od eksperimentalno dobivene staze za test 2 i bolje se slažu s numeričkim predviđanjem. Opterećenje i vjekovi trajanja za ta dva testa dana su u tablici 6-7.

Tablica 6-34 Vjekovi trajanja zupčanika s tankim vijencima mB = 0,3

Test mB N, ciklusa5 0,3 334,826 2,28∙106

6 0,3 452,428 9∙104

Na osnovu uočenog velikog rasipanja u vjekovima trajanja zupčanika s tankim vijencem mB = 0,3, te na osnovu velikog odudaranja staze pukotine za test 2 od predviđanja i eksperimentalno dobivenih staza slične geometrije, može se zaključiti da rezultati dobiveni testom 2 nisu reprezentativni za analizu ponašanja zupčanika s tankim vijencima. Dakle, da bi se moglo analizirati ponašanje zupčanika s tankim vijencima, kod kojih očito postoji veliko rasipanje rezultata, trebalo bi provesti opširnije eksperimentalno ispitivanje.

174

8. ZAKLJUČAK

Numerički model razvijen u ovom radu u sebi objedinjava najnovija znanstvena postignuća iz područja inicijacije i širenja pukotine u strojnim dijelovima.

Dio numeričkog modela u kojem se izračunava vrijeme do inicijacije pukotine u korijenu zuba zupčanika zasnovan je na metodama kritične ravnine, koje predstavljaju najmodernije i numerički najzahtjevnije metode određivanja vremena do inicijacije pukotine.

Obzirom da je u ovom radu pretpostavljena simetrična raspodjela opterećenja po širini zuba korišteni su dvodimenzionalni modeli zupčanika. Time se značajno pojednostavljuje procedura izračunavanja vremena do inicijacije pukotine metodama kritične ravnine, te eliminira njihov nedostatak numeričke zahtjevnosti.

Kritična ravnina vlačnog modela općenito je uvijek okomita na površinu strojnog dijela, pa onda proizlazi da kod dvodimenzionalnog modela kritična ravnina vlačnog modela predstavlja ravninu maksimalnog glavnog naprezanja. Kritična ravnina smičnog modela za dvodimenzionalni model predstavlja ravninu maksimalne smične deformacije koja s ravninom maksimalnog glavnog naprezanja zatvara kut od 45o.

Dakle, kod dvodimenzionalnih modela nije potrebno, kao kod trodimenzionalnih, u svakoj točki strojnog dijela transformacijom naprezanja i deformacija, tražiti kritičnu ravninu, odnosno ravninu s maksimalnom vrijednošću vlačnog i smičnog parametra oštećenja.

S obzirom da je analizom ciklusa naprezanja u korijenu zuba utvrđeno da je najveće naprezanje na prijelaznoj krivulji uvijek kad je opterećenje u krajnjoj točki jednostrukog zahvata, onda proizlazi da će u ravnini okomitoj na površinu, u točki najvećeg maksimalnog glavnog naprezanja, biti najveća vrijednost vlačnog parametra oštećenja, a u

7. Zaključak 175

ravnini nagnutoj pod 45o u odnosu na tu ravninu najveća vrijednost smičnog parametra oštećenja.

U ovom radu je, za razliku od većine dosadašnjih istraživanja inicijacije i širenja pukotine u korijenu zuba zupčanika, uzeta u obzir činjenica da se opterećenje prenosi s pogonskog na gonjeni zupčanik mijenjajući svoj pravac djelovanja, položaj i intenzitet. Na taj način dobiva se realniji ciklus naprezanja u korijenu zuba zupčanika. To je kod izračunavanja vremena do inicijacije pukotine značajno, jer vlačni parametar oštećenja u sebi sadrži amplitudu normalne, a smični parametar oštećenja amplitudu smične deformacije. Dakle, zanemarivanjem dijela ciklusa naprezanja u tlačnom području, što se čini ukoliko se opterećenje aproksimira silom u krajnjoj točki jednostrukog zahvata, čini se značajna greška, koja je posebno izražena kod zupčanika s tankim vijencima.

Iz lokalnih naprezanja i deformacija dobivenih metodom konačnih elemenata uz naknadnu elasto-plastičnu korekciju, izračunavaju se vrijednosti vlačnog i smičnog parametra oštećenja, a onda iz njih vremena do inicijacije pukotine. Pukotina će se inicirati na onoj kritičnoj ravnini za koju se dobije manje potrebno vrijeme za inicijaciju pukotine. Dakle, metode kritične ravnine osim što predviđaju vrijeme do inicijacije pukotine, predviđaju i pravac inicirane pukotine, što predstavlja dobar temelj za daljnju analizu širenja pukotine.

Na osnovu provedene analize za duljinu inicirane pukotine odabrana je najmanja duljina pukotine na koju se može primijeniti linearno elastična mehanika loma.

Dio numeričkog modela u kojem se izračunava vrijeme potrebno za rast pukotine od inicirane do kritične duljine zasniva se na principima linearno elastične mehanike loma.

U radu su istražene razlike u vremenima širenja pukotine i stazama pukotine dobivenima uz aproksimaciju ciklusa opterećenja silom koja djeluje u početnoj (krajnjoj) točki jednostrukog zahvata i uz simulaciju okretanja zupčanika, odnosno uzimanjem u obzir promjene položaja, pravca i intenziteta opterećenja.

7. Zaključak 176

Utvrđeno je da razlike nisu zanemarive, pogotovo za manje vrijednosti stupnja prekrivanja profila, tj. za slučajeve dužeg jednostrukog zahvata.

U razmatranje je uključen i fenomen zatvaranja pukotine, gdje analitičkom modelu zatvaranja pukotine uslijed plastičnosti pridružen i koncept djelomičnog zatvaranja pukotine. Kod tog koncepta zatvaranje pukotine samo djelomično zaštićuje vršak pukotine od utjecaja cikličkog opterećenja, jer do zatvaranja ne dolazi u vršku pukotine nego na maloj udaljenosti iza vrška pukotine. Time se uz zatvaranje pukotine uslijed plastičnosti u obzir uzimaju i ostala dva dominantna mehanizma zatvaranja pukotine: zatvaranje pukotine uslijed hrapavosti i zatvaranje pukotine uslijed korozije.

Svim ovim saznanjima upotpunjenom numeričkom procedurom dobivaju se procjene vijeka trajanja zupčanika s obzirom na zamor materijala uslijed savijanja u korijenu zuba koje se značajno bolje podudaraju s eksperimentalnim rezultatima od postojećih metoda procjene vijeka trajanja.

Model predložen u ovom radu može se poboljšati dodatnim teoretskim i numeričkim istraživanjima, te prvenstveno dodatnim eksperimentalnim istraživanjima, u cilju dobivanja pouzdanih karakteristika materijala. Radi dodatne verifikacije rezultata numeričkog modela bilo bi neophodno provesti sveobuhvatna ispitivanja stvarnih zupčanika. Time bi se dobio utjecaj različitih parametara zupčanog prijenosa (x, , z, ...) na čvrstoću i vijek trajanja zupčanika.

177

LITERATURA

[1] DIN 3990 Teil 3, Tragfähigkeitsberechnung von Stinräden, Berechnung der Zahnfußtragfähigkeit, Beut Verlag GMBH, Berlin, 1987.

[2] AGMA 6033/2-AXX, Standard for Marine Gear Units: Part 2, Rating, 1992.

[3] ISO 6336-3, Calculation of Load Capacity of Spur and Helical Gears – Part 3, Calculation of Tooth Bending Strength, 1996.

[4] Vasudevan, A.K., Sadananda, K., Glinka, G., Critical Parameters for Fatigue Damage, International Journal of Fatigue, 23, pp. 39-53, 2001.

[5] Pehan, S., Hellen, T.K., Flašker, J., Glodež, S., Numerical Methods for Determining Stress Intensity Factors vs Crack Depth in Gear Tooth Roots, International Journal of Fatigue, 19 (10), pp. 677-685, 1997.

[6] Blarasin, A., Guagliano, M., Vergani, L., Fatigue Crack Growth Prediction in Specimens Similar to Spur Gear Teeth, Fatigue Fract. Engng. Mater. Struct., 20 (8), pp. 1171-1182, 1997.

[7] Kato, M., Deng, G., Inoue, K., Takatsu, N., Evaluation of the Strength of Carburized Spur Gear Teeth Based on Fracture Mechanics, JSME International Journal, 36, 233-240, 1993.

[8] Lewicki, D.G., Ballarini, R., Rim Thickness Effects on Gear Crack Propagation Life, International Journal of Fatigue, 87, pp. 59-86, 1997.

[9] Jelaska, D., Crack Initiation Life at Combined HCF/LCF Loading, poglavlje u knjizi «Life Assessment and Manegement for Structural Components», Ukrajinska Akademija znanosti, ESIS, Vol. 1, 239-246, Kyev 2000.

[10] Glodež, S., Šraml, M., Kramberger, J., A Computational Model for Determination of Service Life of Gears, International Journal of Fatigue, 24(10), pp 1013-1020, 2002.

Literatura 178

[11] Jelaska, D., Glodež, S. Kramberger, J., Podrug, S., Numerical Modelling of Gear Tooth Root Fatigue Behaviour, Proc. OF THE Int. Conf. On Fatigue Crack Paths (FCP 2003), pp. 49-55., Parma, 2003.

[12] Jelaska, D., Glodež, S., Kramberger, J., Podrug, S., Numerical Modelling of the Crack Propagation Path at Gear Tooth Root, Proc. of the ASME Int. 2003 DETC, Chicago, 2003.

[13] Kramberger, J., Šraml, M., Potrč., I., Flašker, J., Numerical Calculation of Bending Fatigue Life of Thin-Rim Spur Gears, 71(4-6), pp. 647-656, 2004.

[14] Lewicki, D.G., Gear Crack Propagation Path Studies – Guidelines for Ultra-Safe Design, NASA/TM–2001-211073, 2001.

[15] FRANC2D, User's Guide, Version 2.7, Cornell University, 1993.

[16] Bittencourt, T.N., Wawrzynek, P.A., Ingraffea, A.R., Sousa, J.L., Quasi-Automatic Simulation of Crack Propagation for 2D LEFM Problems, Engineering Fracture Mechanics, 55 (2), pp. 321.334, 1996.

[17] Socie, D., Bannantine, J., Bulk Deformation Damage Models, Materials Science and Engineering, A103, pp. 3-13, 1988.

[18] Das, J., Sivakumar, S.M, An Evaluation of Multiaxial Fatigue Life Assessment Methods for Engineering Components, Int. Journal of Pressure Vessels and Piping, 76(1999), pp.741-746, 1999.

[19] Lewicki, D.G., Spievak, L.E., Handschuh, R.F., Consideration of Moving Tooth Load in Gear Crack Propagation Predictions, NASA/TM-2000-210227, 2000.

[20] Spievak, L.E., Wawrzynek, P.A., Ingraffea, A.R., Lewicki, D.G., Simulatin Fatigue Crack Growth in Spiral Bevel Gears, Engineering Fracture Mechanics, 68, 53-76, 2001.

[21] Gugliano, M., Vergani, L., Effect of Crack Closure on Gear Crack Propagation, International Journal of Fatigue, 23, pp. 65-73, 2001.

[22] Newman, J.A., Riddell, W.T., Piascik, R.S., A Threshold Fatigue Crack Closure Model: Part I – Model Development, Fatigue Fract Engng Mater Struct, 26, pp. 603-614, 2003.

[23] Newman, J.A., Riddell, W.T., Piascik, R.S., A Threshold Fatigue Crack Closure Model: Part II – Experimental Verification, Fatigue Fract Engng Mater Struct, 26, pp. 615-625, 2003.

Literatura 179

[24] Paris, P.C., Tada, H., Donald, J.K., Service Load Fatigue Damage – a Historical Perspective, International Journal of Fatigue, 21, pp.S35-S46, 1999.

[25] Laird, C., et al., Low-Energy Dislocation Structures Produced by Cyclic Deformation, Mat. Sci. & Eng., 81(1986), 433-450, 1986.

[26] Mura, T., A Theory of Fatigue Crack Initiation, Mat. Sci & Eng., A176(1994), 61-70, 1994

[27] Schijve, J., Fatigue of Structures and Materials in the 20th Century and the State of the Art, International Journal of Fatigue, 25 (2003), 679-702, 2003.

[28] Carstensen, J.V., Structural Evolution and Mechanisms of Fatigue in Polycrystalline Brass, PhD Thesis, 1998.

[29] Lin, T.H., et al., Micromechanic Analysis of Fatigue Band Crossing Grain Boundary, Materials Science & Engineering, A246(1998), 169-179, 1998.

[30] Polak, J., The Growth of Short Cracks and Life Prediction, VII Summer School of Fracture Mechanic-Current Research on Fatigue and Fracture Pokrzywna Poland, 18-22. 06. 2001.

[31] Nakai, Y., Evaluation of Fatigue Damage and Fatigue Crack Initiation Process by Means of Atomic Force Microscopy, Materials Science Research International, 7 (2), 1-9, 2001.

[32] MSC/FATIGUE User's Manual

[33] ASTM Standard E606-92. Standard Practise for Strain-Controlled Fatigue Testing In: Annual Book of ASTM Standards, vol.03.01. ASTM; 523-537, 1997.

[34] Moosbrugger, C., Representation of Stress – Strain Behavior, Atlas of Stress-Strain Curves, ASM International, 1-19, 2002

[35] Dep. of Defense of USA, Military Handbook, Metallic Materials and Elements for Aerospace Vehicle Structures, 1998

[36] Ramberg, W, Osgood, W.R., NACA Technical Note No.902, 1943

[37] Janković, M., About Some Various Interpretations of the Fatigue Criterion at Low Number of Strain Cycles, Facta Universitatis – Mechanical Engineering, Vol.1, No. 8, 955-964, 2001.

[38] Basquin, O.H., The exponential law of endurance tests, Proc. Am. Soc. Test. Mat., Vol. 10, pp 625-630, 1910.

Literatura 180

[39] Manson, S.S., Behaviour of Materials under Conditions of Thermal Stress, Heat Transfer Symp., University of Michigan Engineering Research Institute, 9-75, 1953.

[40] Coffin, L.F., A Study of the Effects of Cyclic Thermal Stresses on a Ductile Metal, Trans. Am. Soc. for Test. and Mat., vol.76, 931-950, 1954.

[41] Morrow J.D, Cyclic Plastic Strain Energy and Fatigue of Metals, In: International Friction, Damping, and Cyclic Plasticity, ASTM; 45-86, 1965.

[42] Williams, C.R., Lee, Y.L., Rilly, J.T., A Practical method for Statistical Analysis of Strain-Life Fatigue Data, International Journal of Fatigue, 25(2003), 427-436, 2003.

[43] Brennan, F.P., The Use of Approximate Strain-Life Fatigue Crack Initiation Predictions, Fatigue, Vol 16, 351-356, 1994.

[44] Manson, S.S., Fatigue: a complex subject-some simple approximations, Experimental mechanics, Vol. 5, No. 7, pp. 193-226, 1965.

[45] Muralidharan, U., Manson, S.S., Modified Universal Slopes Equations for Estimation of Fatigue Characteristics, ASME Trans. J. Engng. Mater. and Tech., 110, pp. 55-58, 1988.

[46] Ong, J.H., An Evaluation of Existing Methods for the Prediction of Axial Fatigue Life from Tensile Data, International Journal of Fatigue, 15, pp. 13-29, 1993

[47] Roessle ML, Fatemi A., Strain-Controlled Fatigue Properties of Steels and Some Simple Approximations, International Journal of Fatigue, 22 (2000), 495-511, 2000.

[48] Kim, K.S, Chen, X, Han, C., Lee, H.W., Estimation methods for Fatigue Properties of Steels under Axial and Torsional Loading, International Journal of Fatigue, 24(2002), 783-793, 2002

[49] Nihei, M., Heuler, P., Boller, Ch., Seeger, T., Evaluation of Mean Stress Effects on Fatigue Life by use of Damage Parameters, International Journal of Fatigue, No. 3(1986), pp 119-126, 1986

[50] Morrow, J.D., Fatigue Properties of Metals, Fatigue Design Handbook, SAE, Warrendale, section 3.2, 1968

[51] Smith, K.N., Watson, P., Topper, T.H., A Stress-Strain Function for the Fatigue of Metals, J of Mater, JMLSA, 5(4), pp. 767-778, 1970.

Literatura 181

[52] Tipton, S.M., Nelson, D.W., Advances in Multiaxial Fatigue Life Prediction for Components with Stress Concentrations, International Journal of Fatigue, Vol. 19 No.6, pp. 503-515, 1997.

[53] You, B.R., Lee, S.B., A Critical Review on Multiaxial Fatigue Assessments of Metals, International Journal of Fatigue, Vol. 18 No. 4, pp. 235-244, 1996.

[54] Brown, M.W., Miller, K.J., A theory for fatigue failure under multi-axial stress–strain conditions. Proc Inst Mech Engrs, 187 (65), pp. 745–755, 1973.

[55] Kandil, F.A., Brown, M.W., Miller, K.J., Biaxial low-cycle fatigue fracture of 316 stainless steel at elevated temperatures. In: Book 280, The Metals Society, London, pp. 203–210, 1982.

[56] Chen, X., Gao, Q., Sun, X.F., Damage Analysis of Low-Cycle Fatigue Under Non-Proportional Loading, Fatigue, Vol. 16, pp. 221-225., 1994

[57] Glinka, G., Wang, G., Plumtree, A., Mean stress effects in multiaxial fatigue, Fatigue Fract Eng Mater Struct, 18 , pp. 755–764, 1995.

[58] Varvani-Farahani, A., A new energy-critical plane parameter for fatigue life assessment of various metallic materials subjected to in-phase and out-of-phase multiaxial fatigue loading conditions, Int J Fatigue, 22, pp. 295–305, 2000.

[59] Han, C., Chen, X., Kim, K.S., Evaluation of multiaxial fatigue criteria under irregular loading, International Journal of Fatigue, Volume 24, Issue 9, pp. 913-922, 2002.

[60] Boyoumi, M.R., Abdellatrif, A.K., Effect of Surface Finish on Fatigue Strength, Engineering Fracture Mechanics, Vol.51 No.5, pp. 861-870, 1995.

[61] Desmorat, R., Fast Estimation of Localized Plasticity and Damage by Energetic Methods, Int. Journal of Solids and Structures, 39, pp. 3289-3310, 2002.

[62] Ogarevic, V.V., Aldred, J., An Implementation of Low-Cycle Multiaxial Fatigue Methods, ECCM-2001, Cracow, Poland, 26-29 June 2001.

[63] Neuber, H., Theory of Stress Concentration for Shear-Strained Prismatical Bodies with Arbitrary Nonlinear Stress-Strain Law, Journal of Applied Mechanics, Trans. of the ASME, 28(4), pp. 544-550, 1961.

Literatura 182

[64] Molski, K., Glinka, G., A Method of Elastic-Plastic Stress and Strain Calculation at a Notch Root, Materials Science and Engineering, 50, pp. 93-100, 1981.

[65] Knop, M., Jones, R., Molent, L., Wang, C., On the Glinka and Neuber Methods for Calculating Notch Tip Strains under Cyclic Load Spectra, International Journal of Fatigue, 22, pp.743-755, 2000.

[66] Visvanatha, S.K., Straznicky, P.V., Hewitt, R.L., Influence of Strain Estimation Methods on Life Predictions Using the Local Strain Approach, International Journal of Fatigue, 22, pp. 675-681, 2000.

[67] Hoffmann, M., Seeger, T., A Generalized Method for Estimating Multiaxial Elastic-Plastic Notch Stresses and Strains, parts 1 and 2, Journal of Engineering Materials and Technology, Transactions of the ASME, 107, pp. 250-260, 1985.

[68] Tang, J., Ogarevic, V., Tsai, C.-S., An Integrated CAE Environment for Simulation-Based Durability and Reliability Design, Advances in Engineering Software, 32(2001), pp. 1-14, 2001.

[69] Anderson, T.L., Fracture Meshanics: Fundamentals and Applications – Second Edition, CRC Press, 1995.

[70] Blake, A., Practical Fracture Mechanics in Design, Marcel Dekker, Inc., 1996.

[71] Barsoum, R.S., On the Use of Isoparametric Finite Elements in Linear Fracture Mechanics, Journal Numer. Methods Engrg., 10, pp. 25-37, 1976.

[72] Shih, C.F., de Lorenzi, H.G., German, M.D., Crack Extension Modeling with Singular Quadratic Isoparametric Elements, Int. J. Fract, 12, pp. 647-651, 1976.

[73] Raju, I.S., Calculation of Strain-Energy Release Rates with Higher Order and Singular Finite Elements, Engineering Fracture Mechanics, 28(3), pp.251-274, 1987.

[74] Badari Narayana, K., Dattaguru, B., Certain Aspects Related to Computation by Modified Crack Closure Integral (MCCI), Engineering Fracture Mechanics, 55(2), pp. 335-339, 1996.

[75] Raju, I.S., Shivakumar, K.N., An Equivalent Domain Integral Method in the Two-Dimensional Analysis of Mixed Mode Crack Problems, Engineering Fracture Mechanics, 37(4), pp.707-725, 1990.

Literatura 183

[76] Rybicki, E.F., Kanninen, M.F., A Finite Element Calculation of Stress Intensity Factors by a Modified Crack Closure Integral, Engng Fracture Mech, 9, pp. 931-938, 1977.

[77] Hellen, T.K., On the Method of Virtual Crack Extension, Int. J. Numer. Meth. Eng., 9(1), pp. 187-207, 1975.

[78] Qian, J., Fatemi, A., Mixed Mode Fatigue Crack Growth, Engineering Fracture Mechanics, 55(6), pp. 1277-1284, 1996.

[79] Khan, S.M.A., Khraisheh, M.K., Analysis of Mixed Mode Crack Initiation Angles under Various Loading Conditions, Engineering Fracture Mechanics, 67, pp. 397-419, 2000.

[80] Abdel Mageed, A.M., Pandey, R.K., Mixed mode crack growth under static and cyclic loading in A1-alloy sheets, Engineering Fracture Mechanics, 40(2), pp. 371-385, 1991.

[81] Erdogan, F., Sih, G.C., On the Crack Extension in Plates under Plane Loading and Transverse Shear, J Basic Eng D, 85, pp. 519-525, 1963.

[82] Sih, G.C., Strain Energy Density Factor Applied to Mixed Mode Crack Problems, Int. J. Fract., 10, pp. 305-321, 1974.

[83] Hussain, M.A., Pu, S.L., Underwood, J., Strain Energy Release Rate for a Crack under Combined Mode I and Mode II, Fract Anal ASTM STP, 560, pp. 2-28, 1974.

[84] Irwin, G.R., Onset of Fast Crack Propagation in High Strength Steel and Aluminum Alloys, Sagamore Research Conference Proceedings, 2, pp. 289-305, 1956

[85] Nuismer, R.J., An Energy release Rate Criterion for Mixed Mode Fracture, International Journal of Fatigue, 11, pp. 245-250, 1975.

[86] Wang, C.H., Introduction to Fracture Mechanics, DSTO-GD-0103, Department of Defence, 1996.

[87] Yishu, Z., Griffith’s Criterion for Mixed Mode Crack Propagation, Engineering Fracture Mechanics, 26(5), pp. 683-689, 1987.

[88] Ichikawa, M., A Note on Mixed Mode Energy Release Rate, Engineering Fracture Mechanics, 26(2), pp. 311-312, 1987.

[89] Wang, M.H., A Theory for the Mixed Energy Release Rate, Engineering Fracture Meshanics, 22(4), pp. 661-671, 1985.

[90] Andersen, M.R., Fatigue Crack Initiation and Growth in Ship Structures, PhD Thesis, Technical University of Denmark, 1998.

Literatura 184

[91] Yan, X., Du, S., Zhang, Z., Mixed-Mode Fatigue Crack Growth Prediction in Biaxially Streched Sheets, Engineering Fracture Mechanics, 43(3), pp. 471-475, 1992.

[92] Tanaka, K., Fatigue Crack Propagation from a Crack Inclined to the Cycle Tensile Axis, Engineering Fracture Mechanics, 6, pp. 493-507, 1974.

[93] Sih, G.C., Barthelmy, B.M., Mixed Mode Fatigue Crack Growth Prediction, Engineering Fracture Mechanics, 13, pp. 439-451, 1980.

[94] Abdel Mageed, A.M, Pandey, R.K., Studies on Cyclic Crack Path and the Mixed-Mode Crack Closure Behaviour in Al Alloy, International Journal of Fatigue, 14(1), pp. 21-29, 1992.

[95] Pavlou, D.G., Labeas, G.N., Vlachakis, N.V., Pavlou, F.G., Fatigue Crack Propagation Trajectories under Mixed-Mode Cyclic Loading, Engineering Structures, 25, pp. 869-875, 2003

[96] Kujawski, D., Enhanced Model of Partial Crack Closure for Correlation of R – Ratio Effects in Aluminum Alloys, International Journal of Fatigue, 23, pp. 95-102, 2001.

[97] Newman, J.C. Jr., The Merging of Fatigue and Fracture Mechanics Concepts: a Historical Perspective, Progress in Aerospace Sciences, 34, pp. 347-390, 1998.

[98] Elber, W., Fatigue Crack Closure under Cyclic Tension, Engineering Fracture Mechanics, 2, 37-45, 1970.

[99] Budiansky, B., Hutchinson, J.W., Analysis of Closure in Fatigue Crack Growth, Journal of Applied Mechanics, 45, pp. 267-276, 1978.

[100] Ibso, J.B., Agerskov, H., An Analytical Model for Fatigue Life Prediction Based on Fracture Mechanics and Crack Closure, Journal Construct. Steel Res., 37(3), pp. 229-261, 1996.

[101] Kim, J.H., Lee, S.B., Prediction of Crack Opening Stress for Part-Through Cracks and its Verification using a Modified Strip.Yield Model, Engineering Fracture Mechanics, 66, pp. 1-14, 2000.

[102] Solanki, K., Daniewicz, S.R., Newman, J.C. Jr., A New Methodology for Computing Crack Opening from Finite Element Analyses, Engineering Fracture Mechanics, ...,2003.

[103] Kujawski, D., Keff Parameter under Re-examination, International Journal of Fatigue, 25(9-11), pp. 793-800, 2003.

Literatura 185

[104] Kujawski, D., Utilization of Partial Crack Closure for Fatigue Crack Growth Modeling, Engineering Fracture Mechanics, 69, pp. 1315-1324, 2002.

[105] Taylor, D., Fatigue Threshold, Butterworths & Co., 1989.

[106] Xu, Y., Gregson, P.J., Sinclair, I., Systematic Assessment and Validation of Compliance-Based Crack Closure Measurements in Fatigue, Materials Science and Engineering, A284, pp. 114-125, 2000.

[107] Llorca, J., Roughness Induced Fatigue Crack Closure: a Numerical Study, Fatigue Fract Engng Mater Struct, 15, pp.665-669, 1992.

[108] Zhang, X.P., Li, J.C., Wang, C.H., Ye, L., Mai, Y.W., Prediction of Short Fatigue Crack Propagation Behaviour by Characterization of Both Plasticity and Roughness Induced Crack Closures, International Journal of Fatigue, 24, pp. 529-536, 2002.

[109] Harter, J.A., AFGROW Users Guide and Technical Manual, Air Force Research Laboratory Report, 2002.

[110] Harter, J.A., Comparison of Contemporary FCG Life Prediction Tools, International Journal of Fatigue, 21, pp.S181-S185, 1999. Literatura – duljina inicirane pukotine

[111] Kitagawa, H., Takahashi, S., Applicability of Fracture Mechanics to Very Small Cracks or the Cracks in the Early Stage, Proc. Int. Conf. on the Mechanical Behaviour of Materials (ICM2), American Society of Metals, pp. 627-631, 1976.

[112] ElHaddad, M.H., Topper, T.H., Smith, K.N., Prediction of Non-Propagating Cracks, Engineering Fracture Mechanics, 11, pp. 573-584, 1979.

[113] Makkonen, M., Statistical Size Effect in the Fatigue Limit of Steel, International Journal of Fatigue, 23, pp. 395-402, 2001.

[114] McDowell, D.L., Multiaxial Small Fatigue Crack Growth in Metals, International Journal of Fatigue, 19(1), pp. 127-135, 1997.

[115] Chapetti, M.D., Fatigue Propagation Threshold of Short Cracks under Constant Amplitude Loading, International Journal of Fatigue, 25(12), pp. 1319-1326, 2003.

[116] Shang, D.-G., Yao W.-X., Wang, D.-J., A New Approach to the Determination of Fatigue Crack Initiation Size, International Journal of Fatigue, 20(9), pp. 683-687, 1998.

Literatura 186

[117] Rodopoulos, C.A., de los Rios, E.R., Theoretical Analysis on the Behaviour of Short Fatigue Cracks, International Journal of Fatigue, 24, pp. 719-724, 2002.

[118] Ostash, O.P., Panasyuk, V.V., Kostyk, E.M., A Phenomenological Model of Fatigue Macrocrack Initiation Near Stress Concentrators, Fatigue Fract Engng Mater Struct, 22, pp. 161-172, 1998.

[119] Ostash, O.P., Panasyuk, V.V., Kostyk, E.M., Assessment of the Period to Fatigue Macrocrack Initiation Near Stress Concentrators by Means of Strain Parameters, Fatigue Fract Engng Mater Struct, 22, pp. 687-696, 1999.

[120] Pehan, S., Hellen, T.K., Flašker, J., Applying Numerical Methods for Determining the Service Life of Gears, Fatigue Fract. Engng. Mater. Struct., 18 (9), pp. 971-979, 1995.

[121] MacAldener, M., Olsson, M., Interior Fatigue Fracture of Gear Teeth, Fatigue Fract. Engng. Mater. Struct., 23, pp. 283-292, 2000.

[122] Sfakiotakis, V.G., Anifantantis, N.K., Finite Element Modeling of Spur Gearing Fracture, Finite Elements in Analysis and Design, 39(2), pp.79-92, 2002.

[123] Pimsarn, M., Kazerounian, K., Efficient Evaluation of Spur Gear Tooth Mesh Load using Pseudo-Interference Stiffness Estimation Method, Mechanism and Machine Theory, 37, pp. 769-786., 2002.

[124] Ciavarella, M., Demelio, G., Numerical Methods for the Optimisation of Specific Sliding, Stress Concentration and Fatigue Life of Gears, International Journal of Fatigue, 21, pp. 465-474, 1999.

[125] Gugliano, M, Riva, E., Guidetti, M., Contact Fatigue Failure Analysis of Shot-Peened Gears, Engineering Failure Analysis, 9, pp. 147-158, 2002.

[126] Çelik, M., Comparison of Three Teeth and Whole Body Models in Spur Gear Analysis, Mechanism and Machine Theory, 34, pp. 1227-1235, 1999.

[127] Aberšek, B., Flašker, J., Numerical Methods for Evaluation of Service Life of Gear, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 38, pp. 2531-2545, 1995.

[128] Lewicki, D.G., Crack Propagation Studies to Determine Benign or Catastrophic Failure Modes for Aerospace Thin-Rim Gears, PhD dissertation, Case Western Reserve University, 1995.

Literatura 187

[129] Spievak, L. E., Wawrzynek, P. A., Ingraffea, A. R., Simulating Fatigue Crack Growth in Spiral Bevel Gears, NASA/CR-2000-210062, 2000.

[130] Krantz, T. L., et al., Increased Surface Fatigue Lives of Spur Gears by Application of a Coating, NASA/CR-2003- 212463, 2003.

[131] Decker, H.J., Crack Detection for Aerospace Quality Spur Gears, NASA/TM-2002-2682, 2002.

[132] Smoljan, B., Ovisnost konstrukcijske čvrstoće o strukturi čelika Č4732, Strojarstvo, 34(3/5), pp. 101-104, 1992.

[133] Miranda, A.C.O., Meggiolaro, M.A., Castro, J.T.P., Martha, L.F, Fatigue Life Prediction of Complex 2D Components under Mixed-Mode Variable Amplitude Loading, International Journal of Fatigue, 25(9-11), pp. 1157- 1167, 2003.

[134] Denda, M., Dong, Y.F., Analytical Formulas for a 2-D Crack tip Singular Boundary Element for Rectilinear Cracks and Crack Growth Analysis, Engineering Analysis with Boundary Elements, 23, pp. 35-49, 1999.

[135] Heath, G.F., Bossler, R.B., Advanced Rotorcraft Transmission (ART) Program – Final Report, NASA CR-191057, Army Research Laboratory ARL-CR-14, 1981.

[136] Lewicki, D.G., Effect of Speed (Centrifugal Load) on Gear Crack Propagation Direction, NASA/TM-2001-211117, 2001

[137] Niemann, G., Winter, H., Machinenelemente-Band II, Springer Verlag, 1983.

188

SAŽETAK

U radu je razvijen numerički model izračunavanja vijeka trajanja zupčanika s obzirom na zamor materijala uslijed savijanja u korijenu zuba. Cjelokupan proces loma zuba uslijed zamora podijeljen je na period inicijacije i period širenja pukotine.

U ovom radu je, za razliku od većine dosadašnjih istraživanja inicijacije i širenja pukotine u korijenu zuba zupčanika kod kojih je opterećenje aproksimirano silom u krajnjoj točki jednostrukog zahvata, uzeta u obzir činjenica da se opterećenje prenosi s pogonskog na gonjeni zupčanik mijenjajući svoj pravac djelovanja, položaj i intenzitet.

Vrijeme do inicijacije pukotine određivano je metodama kritične ravnine, kojima se uz vrijeme do inicijacije pukotine predviđa i pravac inicirane pukotine, što predstavlja dobru polaznu točku daljnje simulacije širenja pukotine.

Simulacija rasta pukotine od inicirane do kritične duljine provedena je korištenjem metode konačnih elemenata i linearno elastične mehanike loma. Promjena pravca djelovanja, položaja i intenziteta opterećenja za vrijeme okretanja zupčanika uzrokuje neproporcionalno polje naprezanja u korijenu zuba zupčanika. U radu je razvijena procedura širenja pukotine za neproporcionalno opterećenje uz uzimanje u obzir i fenomena zatvaranja pukotine.

Vijek trajanja zupčanika s obzirom na zamor materijala uslijed savijanja u korijenu zuba na kraju se dobiva kao suma broja ciklusa potrebnih za inicijaciju pukotine i broja ciklusa potrebnih za širenje pukotine od inicirane do kritične duljine.

Vjekovi trajanja dobiveni numeričkim modelom uspoređeni su s rezultatima numeričkih modela drugih istraživača i eksperimentalno dobivenim vjekovima trajanja stvarnih zupčanika. Ovim radom dobiveni numerički rezultati pokazuju značajna poboljšanja u procjeni vijeka

189

trajanja zupčanika s obzirom na zamor materijala uslijed savijanja u korijenu zuba u odnosu na dosadašnje numeričke modele.

KLJUČNE RIJEČI: zupčanici, inicijacija pukotine, metode kritične ravnine, širenje pukotine, mehanika loma, zatvaranje pukotine

190

SUMMARY

A computational model for determination of service life of gears in regard to bending fatigue in a gear tooth root is presented. The fatigue process leading to tooth breakage is divided into crack initiation and crack propagation period.

The fact that in actual gear operation, the magnitude and the position of the force changes as the gear rotates through the mesh is taken into account.

The critical plane method has been used to determine the number of stress cycles required for the fatigue crack initiation. The critical plane methods predict not only fatigue crack initiation life, but also the initiated crack direction, which makes a good starting point for further fatigue crack propagation studies.

Finite element method and linear elastic fracture mechanics theories are then used for the further simulation of the fatigue crack growth under a moving load. Moving load produces a non-proportional load history in a gear's tooth root. An approach that accounts for fatigue crack closure effects is developed to propagate crack under non-proportional load.

The total number of stress cycles for the final failure to occur is then a sum of stress cycles required for the fatigue crack initiation and number of loading cycles for a crack propagation from the initial to the critical length.

The computational results are compared with other investigators’ numerical results and service lives of real gears. The fatigue lives determined in this work show a reasonable agreement with experimental results and exhibit significant improvement compared with the existing numerical models.

191

KEY WORDS: gears, crack initiation, critical plane damage models, crack propagation, fracture mechanics, crack closure

192

ŽIVOTOPIS

Srđan Podrug je rođen 6. ožujka 1971. godine u Splitu gdje je završio osnovnu školu i srednju školu u Matematičko informatičkom obrazovnom centru.

Studij strojarstva na FESB-u u Splitu upisao je 1989. godine. Tijekom studija je dobio tri nagrade Sveučilišta u Splitu kao student strojarstva na FESB-u s najboljim prosjekom ocjena za školske godine 1990/91, 1991/92 i 1992/93. Diplomirao je 26. listopada 1994. godine s odličnim uspjehom. Tema rada bila je «Kontrola i predviđanje djelovanja pomorskog objekta».

Nakon odsluženja vojne obveze zaposlio se 5. veljače 1996. godine kao znanstveni novak na FESB-u u Splitu, gdje je 1. svibnja 2000. godine izabran u suradničko zvanje mlađi asistent, a 15. rujna 2000. godine u suradničko zvanje asistent za područje tehničkih znanosti, znanstveno polje strojarstvo, grana opće strojarstvo – konstrukcije.

U prosincu 1996. godine upisao je poslijediplomski studij na FSB-u u Zagrebu, smjer «Teorija konstrukcija» usmjerenje «Konstruiranje i oblikovanje mehaničkih konstrukcija». Sve ispite je položio s ocjenom izvrstan, te 19. travnja 2000. godine obranio magistarski rad pod naslovom «Istraživanje zaribavanja cilindričnih evolventnih zupčanika» pod mentorstvom prof. dr. sc. Milana Opalića.

Od školske godine 1996/97 održava konstrukcijske vježbe iz kolegija «Tehničko crtanje» i «Elementi strojeva», a od školske godine 1999/2000 konstrukcijske i auditorne vježbe, te pismene ispite iz kolegija «Elementi strojeva 1» i «Elementi strojeva 2».

Kooautor je 8 znanstvenih radova, 2 stručna rada i 3 uputstva za konstrukcijske vježbe za kolegij «Elementi strojeva».

193

Član je European Structural Integrity Society (ESIS) i Hrvatskog društva za elemente strojeva i konstruiranje.

Oženjen je i otac je dvoje djece.

1marjan.fesb.hr/~spodrug/mehanika loma/doktorat-pdf.doc · web viewa new energy-critical plane...

Documents