sparčioji furjėtransformacija (fft) Šviesos...
TRANSCRIPT
-
Sparčioji Furjė transformacija (FFT)
Šviesos impulsų spektrai
Furjė eilutė
Nyquist teorema
Laboratorinis darbasŠviesos impulsų spektrai
-
Furje vaizdavimasBet kokią periodinę funkciją galima atvaizduoti Furjė eilute.Furjė eilutės apibendrinimas, kai funkcija nėra periodinė, yra Furjėtransformacija.
Funkcijos )(tf)(Furje vaizdas ωF
apibrėžiamas taip:
∫∞
∞−
−= dtetfF tiωω )()(
Tai yra Furje transformacija. Atvirkštinė Furje transformacijaduoda pradinę funkciją:
J. Fourier (1768-1830)
∫∞
∞−
= ωωπ
ω deFtf ti)(21)(
-
Furje vaizdavimas
Dvimatė Furje transformacija:
∫ ∫
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
+
∞
∞−
∞
∞−
−−
=
=
yxyikxik
yx
yikxikyx
dkdkekkFyxf
dxdyeyxfkkF
yx
yx
),()2(1),(
),(),(
2π
Skaičiuojant šviesos impulsų energijas bei pluoštų galias, svarbi Planšerelio teorema:
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
= ωωπ
dFdttf 22 |)(|21|)(|
∫ ∫ ∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
= yxyx dkdkkkFdxdyyxf2
22 |),(|
)2(1|),(|π
-
Spartusis Furje vaizdavimas (FFT)
1965 metais James Cooley kartu su John Tukey pasiūlėnaują būdą skaičiuoti Furje transformaciją.
James W. Cooley & John W. Tukey (1965): "An algorithm for themachine calculation of complex Fourier series", Math. Comput. 19, 297–301.
Įdomi FFT sukūrimo istorija.Richard Garwin iš IBM domėjosi, kaip būtų galima greičiau skaičiuotiFurjė transformaciją kompiuteriu. Jo tikslas buvo sukurti įrenginius,fiksuojančius Sovietų Sąjungos vykdomus bandomuosius branduoliniussprogimus. Jis pasiūlė šį uždavinį Cooley ir Tukey, Amerikos matematikams.Jie uždavinį išsprendė, prietaisai buvo pastatyti Sovietų Sąjungoskaimynistėje. Jie galėjo užfiksuoti sprogimus 15 km tikslumu.
-
Spartusis Furje vaizdavimas (FFT)
Reikia skaitmeniškai suskaičiuoti Furjė vaizdą:
∫∞
∞−
−= dtetfF tiωω )()(
Tuo tikslu daliname dažnio bei laiko intervalus į N dalių – diskretizacija:
Tuomet fazinis daugiklis:
-
Spartusis Furje vaizdavimas (FFT)
Dažnio ir laiko žingsniai siejami tokiu ryšiu (Nyquist teorema):
Fazinis daugiklis:
Pažymime funkcijų reikšmes:
-
Spartusis Furje vaizdavimas (FFT)
Diskrečioji Furje transformacija:
∑−
=
−=1
0
/2N
k
Nklikl efF
π
Atvirkštinė transformacija:
∑−
=
=1
0
/21 N
l
Nklilk eFN
f π
N*N operacijų reikia atlikti.Didinant N, skaičiavimo sparta mažėja kvadratiškai.
Atliekant FFT, sparta mažieja tik tiesiškai.
-
Spartusis Furje vaizdavimas (FFT)
Galime užrašyti:
Ni
N
k
klkl
eW
WfF
/2
1
0π−
−
=
=
=∑kur pažymėta
nN 2=Norint atlikti FFT, turi būti
Tuomet N galima dalinti iš 2 n kartų.
Atlikime šią procedūrą vieną kartą.
∑∑
∑∑−
=
−
=
−
=
++
−
=
+=
=+=
12/
0
2/12/
0
12/
0
)2/(2/
12/
0N
k
Nlklk
N
k
klk
N
k
lkNNk
N
k
klkl
WWhWf
WfWfF
-
Spartusis Furje vaizdavimas (FFT)
Pastebėję, kad
lliNl elNN
iW )1(2
2exp2/ −==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= − π
π
galime užrašyti
∑−
=
−+=12/
0))1((
N
k
klk
lkl WhfF
Arba, turime
∑
∑−
=+
−
=
−=
+=
12/
0
212
12/
0
22
)()(
,))((
N
k
klkkkl
N
k
klkkl
WWhfF
WhfF
Taigi, dabar turime dvi Furje transformacijas vietoj vienos.
-
Spartusis Furje vaizdavimas (FFT)
Anksčiau turėtume atlikti operacijų2N
Dabar sparta bus proporcinga N (logaritmas lėtai kintanti funkcija.)
NN 2log2
Nn 2log= -Tiek kartų reikia dalinti N*N matricąpusiau.
-
Šviesos impulsaiElektrinio lauko stipris, moduliuotas erdvėje ir laike:
arba
kur
•Bangos sklidimo kryptį apibrėžia bangos vektorius•vienetinis bangos poliarizacijos vektorius •nešantysis (centrinis) bangos ciklinis dažnis •kompleksinė bangos amplitudė
0kr
er
0ω
),,,( zyxtA
),( ztAA = - šviesos impulsas
-
Šviesos impulsai
Furjė vaizdas
čia
-
Šviesos impulsai
Gauso impulsas
)/exp()0,( 202
0 τtatA −=
Spektras
.4
exp)(20
2
00 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ Ω−=Ω
ττπ aSGauso impulso spektras – taippat Gauso funkcija.
-
Šviesos impulsai
Stačiakampis impulsas
vaconstta ==)( 2200 ττ ≤≤− t
.
2
2sin
)(0
0
0 τ
τ
τΩ
Ω
=Ω vaS
Impulso spektras:
.56.5
05.0 τ≈∆Ω
Tokio impulso trukmė bet kuriameintensyvumo aukštyje yra 0τ
Kai (monochoromatinė banga), spektras yra delta funkcija.∞→0τ
-
Šviesos impulsaiImpulso spektras:
[ ]∫∞
∞−
Ω−=Ω .
)/cosh(exp)(
0τtdttiaS v
.2
sec)( 00 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Ω=Ωπττπ haS v
Hiperbolinio sekanto impulsas
),/(sec)( 0τthata v=
5.02
sec0
5.02 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ττh
).12ln(2 05.0 += ττ .)12ln(4
05.0 πτ
+=∆Ω
-
Laboratorinis darbas Nr.: 3Šviesos impulsų spektrai
Rasime šviesos impulsų spektrus FFT metodu.
•diskretizuotas laikas turi būti sudalintas į dalis.•dažnio intervalas užduodamas , kur ht – laiko žingsnis•naudojamos Matlab funkcijos fft() ir fftshift().
nN 2=htht /../ ππ−
-
Furjė eilutė
Furjė vaizdas yra Furjė eilutės apibendrinimas.Periodinę intervale funkciją galima atvaizduoti Furjė eilute:
kur
Funkcija f(t) gali būti su trūkiais.
-
Furjė eilutė
Stačiakampė bangaIntervale ją aprašo funkcija:
Suma konverguoja kaip 1/n.
-
Furjė eilutė
Stačiakampė banga
Stačiakampės bangos skleidimas Furjė eilute.Skleidimo narių skaičius: 1 (a), 2 (b), 3 (c), 5 (d), 10 (e).
-
Furjė eilutė
Pjūklinė bangaJą aprašanti funkcija intervale
Arba:
Kaip ir stačiakampės bangos atveju suma konverguoja kaip 1/n.
-
Furjė eilutė
Trikampė banga
-
Pjūklinė banga
Trikampė banga
Harmoninė banga
-
Garso įrašymas su Matlab
Stačiakampio signalo vertimo garsu Matlab kodas.
Stačiakampėbanga
Komanda, verčianti y garsu
-
Furjė eilutė ir Furjė integralas
Neperiodinei funkcijai Furjė eilutė virsta Furjė ingeralu.
Jei f(t) periodinė [-T T] intervale, tai Furjė eilutė
kur
-
Furjė eilutė ir Furjė integralas
arba
Kai funkcija f (t) neperiodinė, t.y. Be to pažymime
Gauname
-
Furjė eilutė ir Furjė integralas
Sumą pakeičiame integralu:
cos(x) – lyginė funkcija. Pakeičiame integravimo ribas:
sin(x) - nelyginė funkcija, todėl
Sudedame šiuos du integralus ir pasinadojame Oilerio formule:
-
Furjė eilutė ir Furjė integralas
Tai yra Furjė transformacija. Buvo panaudota prielaida:
-
Žemo dažnio filtras
Matėme, kad periodines bangas galima skleisti Furjė eilute.Pavyzdžiui, stačiakampės bangos atveju:
Žemo dažnio filtras nufiltruoja aukštesnių dažnių harmonikas.Gaunamas iškraipytas signalas.
R
CUin
UŽemo dažnio filtras – RC kontūras:
-
Žemo dažnio filtras
R
CUin
U Žemo dažnio filtro lygtis:
čia
Tegul paduodamas harmoninis signalas
Ieškosime sprendinio kaip to paties dažnio signalą
-
Žemo dažnio filtras
arba
Išėjimo signalo amplitudė priklauso nuo paduodamo signalo dažnio.Filtro perdavimo funkcija-pralaidumo juosta.
-
Žemo dažnio filtras
Stačiakampės bangos iškraipymas žemo dažnio filtru.
-
Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon teoremaKokie turi būti laikinis ir dažninis žingsniai atliekant diskrečią Furjėtransformaciją?
Funkcija
spektras Spektro plotis
-Nyquist dažnis
Periodinė funkcija,Periodas
-
Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon teorema
Periodinė funkcija skleidžiama Furjė eilute:
Skleidimo koeficientai:
-
Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon teorema
Spektriškai ribotas spektras
Stačiakampė funkcija
Atvirkštinė Furjė transformacija:
-
Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon teorema
Taigi gavome
Whittaker-Shannon interpolation formula
Ši formulė tiksli šiuoselaiko taškuose
t=
Laiko žingsnis susijęs su spektro pločiu – turi būti pakankamai mažas.Spektrinis žingsnis atvirkščiai proporcingas laikiniam.