2018 ruduo gauso modos - vilniaus...

Kompiuterinė lazerių fizika

Viktorija Tamulienė

Vilniaus universitetasFizikos fakultetas

2018 ruduoGauso modos

Difrakcija 1 / 44

Turinys

1 Gauso pluoštaiBendražidinio rezonatoriaus skersinės modosErmito ir Gauso pluoštaiGauso pluoštasLagero ir Gauso pluoštaiBeselio bei Beselio ir Gauso pluoštaiUžduotisGauso pluošto sklidimo per kūginę prizmę modeliavimas

Difrakcija 2 / 44

Turinys


Gauso pluoštai Difrakcija 3 / 44

Turinys



Bendražidinio rezonatoriaus skersinės modos

Bendražidinis (konfokalinis) rezonatorius (l = R).Atstumas tarp veidrodžių daug didesnis už veidrodžių matmenis.Fraunhorferio difrakcija.Stabilus rezonatorius. Skirstiniai ant pirmo ir antro veidrodžiųsutampa:

Φ(x, y) =∫

Ψ(x′, y′) exp[− ik(xx′ + yy′)

l

]dx′dy′. (1)

Čia integruojama pagal veidrodžio paviršių. Tarę, kad Φ veidrodžiokraštuose slopsta, integralo ribas galime praplėsti į begalybę:

Φ(x, y) =∞∫−∞

∞∫−∞

Φ(x′, y′) exp[− ik(xx′ + yy′)

R

]dx′dy′. (2)


Bendražidinio rezonatoriaus skersinės modos

Tarkime, kad Φ(x, y) = f(x)g(y) faktorizuojasi. Tuomet reikia spręstilygtį

f(x) =∞∫−∞

f(x′) exp[− ik(xx′)

R

]dx′. (3)

Nesunku įsitikinti, kad šios lygties sprendinys yra Gauso funkcija

f(x) ∝ exp(−kx

2

2R

). (4)

Dvimatis Furjė vaizdas yra toks pat skirstinys kaip ir transformuojamafunkcija: Ermito ir Gauso bei Lagero ir Gauso pluoštai.


Turinys



Ermito ir Gauso pluoštai

Norint gauti Ermito ir Gauso pluošto keitimąsi nuo sklidimokoordinatės z, reikia spręsti parabolinę difrakcijos lygtį Dekartokoordinatėse.Atsakymas:

Alm(x, y, z) = almvρ0ρ(z)Hl

[√2x

ρ(z)

]Hm

[√2y

ρ(z)

]×

× exp[−x2+y2

ρ2(z) − ik0x2+y2

2R(z) + i(l +m+ 1) arctan(zld

)].

(5)




[√2x

ρ(z)

]Hm

[√2y

ρ(z)

]×

× exp[−x2+y2

ρ2(z) − ik0x2+y2


)].

Čia almv – amplitudė,

l, m – modos numeriai,

ρ(z) = ρ0

√1 +

(zld

)2– pluoštelio radiusas,

ρ0 apibūdina pluošto matmenis sąsmaukoje (z = 0),

ld = k0ρ20

2 – difrakcinis nuotolis (Relėjaus ilgis).




[√2x

ρ(z)

]Hm

[√2y

ρ(z)

]×

× exp[−x2+y2

ρ2(z) − ik0x2+y2


)].

Kreivumo spindulys:

R(z) = z

(1 + l2d

z2

)(6)

(l +m+ 1) arctan(zld

)– Guji fazė.

Hl – Ermito daugianaris (polinomas), apibrėžiamą kaip

Hl(ξ) = (−1)l exp(ξ2) dl

dξlexp(−ξ2). (7)



Hl(ξ) = (−1)l exp(ξ2) dl

dξlexp(−ξ2).

Randame, kad

H0(ξ) = 1, H1(ξ) = 2ξ, H2(ξ) = 4ξ2 − 2, H3(ξ) = 8ξ2 − 12ξ (8)

ir t. t.Galioja rekurenčioji formulė

Hl+1(ξ) = 2ξHl(ξ)− 2lHl−1(ξ). (9)



Funkcijos fl(ξ) = Hl(ξ) exp(−ξ2), čia ξ =√

2x/ρ, grafikai:

l: 0 (a), 1 (b), 2 (c), 3 (d), 10 (e)


Ermito ir Gauso pluoštaiIntensyvumo skirstinys:

Ilm(ξ, η) = f2l (ξ)f2

m(η) = H2l (ξ)H2

m(η) exp(−ξ2 − η2). (10)

Čia ξ =√

2x/ρ, η =√

2y/ρ


Turinys



Gauso pluoštasKai l = m = 0, (5) amplitudė aprašo Gauso pluoštą:

A00(x, y, z) = avρ0ρ(z) exp

[−x

2 + y2

ρ2(z) − ik0x2 + y2

2R(z) + i arctan(z

ld

)].

(11)


Gauso pluoštas

ρ(z) = ρ0

√1 +

(zld

)2– pluoštelio radiusas,

av(z) = avρ0/ρ(z) = av/√

1 + z2/l2d – viršūnė,

R(z) = z

(1 + l2d

z2

)– kreivumo spindulys.


Gauso pluoštasPanagrinėkime fazinį daugiklį

exp(−ik0z − i

k0(x2 + y2)2R(z)

). (12)

Lygtis

k0z + k0(x2 + y2)2R = S(x, y, z) = const (13)

yra paviršiaus lygtis, o

grad S =(

x0∂

∂x+ y0

∂

∂y+ z0

∂

∂z

)S (14)

yra statmenas tam paviršiui vektorius. Kai y = 0 (išvestinė ∂R/∂znereikšminga),

grad S = k0

(x

Rx0 + z0

). (15)


Gauso pluoštas

grad S = k0

(x

Rx0 + z0

).

Dydis R yra kreivumo spindulys.


Gauso pluoštasR(z) = z

(1 + l2d

z2

)Kai z = 0, kreivumo spindulys yra lygus begalybei, tai reiškia, kadsąsmaukoje bangos frontas yra plokščias. Pluoštui sklindant kreivumospindulys mažėja, kreivumas didėja. ld/R(z) kreivės maksimumaspasiekiamas, kai z = ld, paskui ld/R vėl mažėja iki nulio.


Gauso pluoštasGauso pluošto Guji fazė arctan(z/ld) kinta nuo 0 iki π/2.Gauso pluoštas susidaro lazerio rezonatoriuje. Raskime stabilausrezonatoriaus sąlygą bendru atveju, kai veidrodžių kreivumo spinduliainelygūs. Tegu rezonatoriaus veidrodžiai išdėstyti palei z ašį, pirmojoveidrodžio koordinatė z1, antrojo z2. Jų kreivumo spinduliai atitinkamaiyra R1 ir R2. Pareikalavę, kad Gauso pluošto kreivumo spindulys, kaisklidimo nuotolis z1 ir z2, atitinkamai būtų lygus R1 ir R2, gauname

R1 = l2dz1

+ z1,

−R2 = l2dz2

+ z2.

(16)

Kitas sąryšis:z1 − z2 = d > 0, (17)

čia d – atstumas tarp veidrodžių.Gauso pluoštai Difrakcija 20 / 44

Gauso pluoštas

Eliminavę dydį l2d (16) išraiškose ir pasinaudoję (17), gauname

z1 = d(R2 − d)R1 +R2 − 2d,

z2 = d(d−R2)R1 +R2 − 2d

(18)

irl2d = d(R1 − d)(R2 − d)(R1 +R2 − d)

(R1 +R2 − 2d)2 . (19)


Gauso pluoštas

Stabilaus rezonatoriaus sąlygos:1) (R1 − d)(R2 − d) ≥ 0,2) R1 +R2 − d ≥ 0.Kai tenkinamos pirma ir antra nelygybės, l2d ≥ 0.


Gauso pluoštas

1

2 [ x , y ]=meshgr id ( −3 :0 . 05 : 3 , −3 :0 . 05 : 3 ) ;3 f=exp(−x .^2−y .^2 ) ;4 s u r f ( x , y , f . ^2 )5 v iew (2)6 shad ing i n t e r p7 co lormap ( g ray )8 pbaspec t ( [ 1 1 1 ] )9 a x i s o f f


Turinys



Lagero ir Gauso pluoštai

Lagero ir Gauso pluoštai yra parabolinės difrakcijos lygties, užrašytoscilindrinėje koordinačių sistemoje (r, ψ, z), sprendiniai. Lygties pavidalasyra toks:

∂A(r, ψ, z)∂z

= − i

2k0

(1r

∂

∂r

(r∂A

∂r

)+ 1r2∂2A

∂ψ2

), (20)

čia ψ – azimutinis kampas, r – spindulio koordinatė.Sprendinys:

Alp(r, ψ.z) = alpvρ0ρ(z)

[r

ρ(z)

]lLlp

[2r2

ρ2(z)

]×

× exp[− r2

ρ2(z) −ik0r2

2R(z) + ilψ + i(2p+ l + 1) arctan(zld

)].

(21)


Lagero ir Gauso pluoštai

Alp(r, ψ.z) = alpvρ0ρ(z)

[r

ρ(z)

]lLlp

[2r2

ρ2(z)

]×

× exp[− r2

ρ2(z) −ik0r2

2R(z) + ilψ + i(2p+ l + 1) arctan(zld

)].

p – spindulinis (radialinis) indeksas,l – azimutinis indeksas.

Lagero daugianariai (polinomai):

Llp(x) = 1p!e

xx−ldp

dxp

[e−xxp+l

](22)


Lagero ir Gauso pluoštaiLagero daugianariai (polinomai):

Llp(x) = 1p!e

xx−ldp

dxp

[e−xxp+l

]Ll0(x) = 1, Ll1(x) = l + 1− x, L0

1(x) = 1− x, L02(x) = 1− 2x+ x2/2.

l = p = 0, Gauso pluoštas.

Kai p = 0:

Al0(r, ψ.z) = al0vρ0ρ(z)

[r

ρ(z)

]l×

× exp[− r2

ρ2(z) −ik0r2

2R(z) + ilψ + i(l + 1) arctan(zld

)].

(23)

Sklindančių Lagero ir Gauso pluoštų gaubtinės pavidalas, kaip ir Ermito irGauso pluoštų, nekinta.


Lagero ir Gauso pluoštaiIntensyvumo Ilp(ξ) = (ξ)2l

[Llp(2ξ2)

]2exp(−2ξ2) skirstiniai. ξ = r/ρ0,

z = 0.

Kai l 6= 0, optiniai sūkuriai.Gauso pluoštai Difrakcija 28 / 44

Turinys



Beselio bei Beselio ir Gauso pluoštaiBeselio pluoštas yra Helmholco lygties sprendinys. Helmholco lygtis:

∆E + k20E = 0. (24)

Įrašome E(x, y, z) = A(x, y) exp(−ikzz). kz yra bangos vektoriausdedamoji išilgai sklidimo krypties.

A nepriklauso nuo sklidimo nuotolio z. Pluoštas nedifraguoja.(∂2

∂x2 + ∂2

∂y2

)A(x, y) +

(k2

0 − k2z

)A(x, y) = 0. (25)

Ši lygtis cilindrinėje koordinačių sistemoje virsta Beselio funkcijų lygtimi.Beselio funkcija tenkina lygtį:

r2∂2u

∂r2 + r∂u

∂r+ (r2β2

0 − l2)u = 0. (26)


Beselio bei Beselio ir Gauso pluoštai

Beselio funkcijų lygtis:

r2∂2u

∂r2 + r∂u

∂r+ (r2β2

0 − l2)u = 0.

Sprendinys u = Jl(β0r), čia Jl – pirmos rūšies l-tosios eilės Beseliofunkcija.(25) lygtyje skersinę laplasiano dalį užrašome cilindrinėje koordinačiųsistemoje:

∆r,ψA = ∂2A

∂r2 + 1r

∂A

∂r+ 1r2∂2A

∂ψ2 . (27)

x = r cosψ, y = r sinψ.

Taigi, A atitinka u exp(ilψ).


Beselio bei Beselio ir Gauso pluoštaiHelholco lygties sprendinys:

Al(r, ψ) = avJl(β0r) exp(ilψ), (28)

β0 =√k2

0 − k2z



Kai l 6= 0, Beselio pluoštas yra optinis sūkurys.

Idealaus Beselio pluošto galia yra begalinė. Suintegravę amplitudės (28),kai l = 0, modulio kvadratą pagal r, ψ, gausime begalybę:

P =∞∫

0

rJ20 (β0r)dr =∞. (29)

Integralo (29) reikšmė begalinė dėl to, kad funkcija J0 nepakankamaigreitai slopsta:

J0(β0r) ≈√

2πβ0r

cos(β0r −

π

4

), kai β0r � 1. (30)

Taigi eksperimentais Beselio pluoštas negali būti gautas.



Beselio ir Gauso pluoštas, kai z = 0:

Al(r, ψ) = avJl(β0r) exp(−r

2

ρ20

+ ilψ

). (31)

Kai β0ρ0 � 1, gana daug Beselio žiedų telpa į Gauso gaubtinę ir pluoštasbūna panašus į Beselio pluoštą.

Beselio ir Gauso pluošto galia, kitaip nei Beselio pluošto, yra baigtinė.


Beselio bei Beselio ir Gauso pluoštaiPluošto kampinis spektras yra jo gaubtinės dvimatis Furjė vaizdas.

Dvimatė Furjė transformacija:∞∫0

∞∫0A(x, y) exp(ikxx+ ikyy)dxdy =

=∞∫0

2π∫0A(r, ψ) exp(ik⊥r cos(θ − ψ))dψrdr.

(32)

Čia θ, k⊥ – azimutinis kampas ir spindulinė koordinatė kx, ky plokštumoje.Čia

x = r cosψ, y = r sinψ,

kx = k⊥ cos θ, ky = k⊥ sin θ.(33)



Beselio funkcija gali būti pavaizduota kaip tokio pavidalo integralas:

J0(k⊥r) = 12π

2π∫0

exp(ik⊥r cos θ)dθ, (34)

todėl nulinės eilės Beselio modos spektras gali būti užrašytas taip:

S0 = 2πav∞∫0rJ0(β0r)J0(k⊥r) exp

(− r2

ρ20

)dr =

= πavρ20 exp

[− (β2

0+k2⊥)ρ2

04

]I0(β0k⊥

2 ρ20

).

(35)


Beselio bei Beselio ir Gauso pluoštaiKai β0ρ0 � 1,

S0(k⊥) ≈√πavρ0β0

exp(−(β0 − k⊥)2ρ2

04

). (36)

S20n = S2

0/(√πavρ0/β0)2 grafikas:

Beselio ir Gauso pluošto spektras yra baigtinio pločio žiedas.



Difrakcija


Turinys



Užduotis

Nusibraižyti pasirinktus Ermito ir Gauso, Lagero ir Gauso bei Beselio irGauso pluoštus. Apskaičiuoti jų spektrus – dvimates Furjė transformacijas.


Turinys



Gauso pluošto sklidimo per kūginę prizmę modeliavimas

Beselio ir Gauso pluoštas gali būti sudarytas praleidus nulinės eilės Gausopluoštą per kūginę prizmę.



Sumodeliuokime tokį sklidimą aprašančią lygtį

∂A

∂z= −ik0(n(x, y, z)− 1)A− i

2k0

(∂2

∂x2 + ∂2

∂y2

)A (37)

tarę, kad pradinė sąlyga A0 = exp(−x2+y2

ρ2

). Čia n(x, y, z) yra lūžio

rodiklis, lygus n1 kūginės prizmės ribose ir 1 už jos ribų. n1 yra medžiagos,iš kurios pagaminta prizmė, lūžio rodiklis. Už kūgio ribų susidaro kūginispluoštas, kurio amplitudės maksimumas yra nuotoliu

zu = 32Ldβ0ρ

. (38)

Čia β0 = k0(n1 − 1)α, o α yra kūgio pagrindo kampas.


2018 ruduo gauso modos - vilniaus...

Documents