spaces of pl manifolds and categories of simple maps b. jahren, … · 2018-05-07 · spaces of pl...

137
Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT No. 41, 2005/2006, spring ISSN 1103-467X ISRN IML-R- -41-05/06- -SE+spring

Upload: others

Post on 09-Jul-2020

3 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

Spaces of PL manifolds and categories of

simple maps

B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen

REPORT No. 41, 2005/2006, spring

ISSN 1103-467XISRN IML-R- -41-05/06- -SE+spring

Page 2: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

���������� �� �� ����������� ����������������� �"!#�$�� "� �%���&� �� �������

')(+*-,�.0/+12,23%46587:9<;=(<>?,+1%@2587A,�7%/B>C(<D�EGF<7%584

HJILKMILNPORQMSTOVU�WXSMSMY

Z�[T\^]M_T`Mab]Lced�fhgjilknm$fhoqp6fJrsoltvubwxfJgbtvilt$yzf{oliq|~}PfP���j���{kvuXk�il�b|xrqy�olpjf{k�isfnyR�8olk�olpjfhf{�MfP�{oolpbt�o�olpjf�rsgbtv�{f�k��%r�oqt�uTw~f)�C�8�A�6���{kvuXkviq�j|�rly�r�k$��t)�{k$yzgTtv�{oz�C����y�tv�b|~��k�w��=��|xr�p6kv�yzkvolkvg���fV���j|xm�tvwxfV��o�olk�oqp6fhw~k�kvg#rsgbt��^fhkv�%oqp6f)�C�8��d�pj|xolfPpjfPt���rsgbtv�{fhkv�G���8 +pj|��¡p�|�r�6f{¢T�jfP�)|���osfPiqy�r%kv��olpjf�tvwx£vfPujiqtv|��z¤J��olpjf{k�is�)¥�¦���§�k��Lolpjf�rsgbt��^f���¨�©�fPilfz�C�8��|xr+k��jfkv�8�+ª¬«L�j«®­�kvi�¯¬°�±L±C¨

² EG72³25872³24

´^µ OV¶n·?¸LIL¹�Onº»· µ¼M½h¾ UL¿NPOnÀTÁ8»¿)Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OV¶Vº»Å�¿�¸�ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶V¸Lº»NVÄÉOnUL¿�·X¶n¿$ļM½Ê¼M½h¾ UL¿�Ä�À µ º»Ë�·M»¸�Ã�ÀT¶VO¼M½ W ½h¾ UL¿ µ · µ ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸÌÃ�ÀT¶VO¼M½ Q ½ HJÂÊKM¿$ÁL¶�ÀXº»¹�Í�ÇqOnUL¿�·X¶PÎÏ·MË<NPÃ�ÀX¹�¿�N¼M½xÐL½�Ñ ¿�Â�ÀTOnºÊ· µ On·�·XOnUL¿$¶�Ã�ÀTÃC¿$¶VN

W ½RÒ µ NVºÊÄ"Ã8»¿)Ä#ÀTÃ8NW ½Ê¼M½RÓ ºÊÄ"Ã8»¿)Ä#ÀTÃ8N�·MËGNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ2NP¿$OnNW ½ W ½�Ô ·X¶nÄ�ÀXÂCNVIÕÁC¸Lº�ÖÕºÊNVº»· µ ·MË<NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂCNV¿�OnNW ½ Q ½R× ¿�·MÄ�¿$OV¶Vº»¹J¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ À µ ¸�NVIÕÁC¸Lº�ÖÕº»NPº»· µW ½xÐL½h¾ UL¿�¶V¿�¸LIL¹�¿�¸�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K=¹$Î?»º µ ¸L¿$¶W ½ÙØ?½�Ú ÀTÛÕº µ K=NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NV¿$OnN µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶W ½ Y ½h¾ UL¿ÀTÃLÃL¶V·6ÝÕº»Ä#ÀTOn¿)Âʺ»Ë�Onº µ K=ÃL¶n·Xî¿$¶VO¡ÎW ½ÙÞ?½RÓ IÕÁ®¸LºÊÖÕºÊNVº»· µ ·MË<NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂCNP¿$OnNh·6Ö0¿$¶Rß=à

Q ½h¾ UL¿ µ · µ ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸ�Ã�ÀT¶VOQ ½Ê¼M½Rá ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¿�N�·MËGNVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8NQ ½ W ½�⠺ʻ»º µ K=UL·X¶ µ NQ ½ Q ½�ã ·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�äLÁ®¿$¶RNP¿�å?IL¿ µ ¹$¿�NQ ½xÐL½�æ ·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶�ÀXÂC¶V¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnº»· µQ ½ÙØ?½h¾ IÕ¶ µ º µ K Ó ¿�¶V¶n¿�äLÁL¶nÀTOnº»· µ N�º µ On·=Á8I µ ¸LÂÊ¿�NQ ½ Y ½h¾ UL¿�·X¶n¿�Ä"N�H&À µ ¸�ç

ÐL½h¾ UL¿Ä#À µ ºÊË�·M»¸ÏÃ�ÀT¶VOÐL½Ê¼M½RÓ Ã�ÀX¹�¿$Nh·MË æ�è Ä#À µ º»Ë�·MÂʸLNÐL½ W ½RÓ Ã�ÀX¹�¿$Nh·MËGOnULºÊ¹nÛ0¿ µ º µ KMNÐL½ Q ½RÓ OV¶nÀXº»KMU0On¿ µ º µ K=·MËGOnULºÊ¹�Û0¿ µ º µ KMNÑ ¿�Ë�¿$¶n¿ µ ¹$¿�N

�®��gXfPrsf{o�u��héÕêÌë0���jìjí¼

Page 3: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

�n72³2@®E+/+3��®³���EG7� ¿:ÃL¶n¿�NV¿ µ OeÀ�ÃL¶n·?·MËÕ·MËÈOnUL¿�N{O�ÀTÁ8»¿eÃ�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OV¶Vº»Å�¿�¸�ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶V¸Lº»NVÄ OnUL¿�·X¶n¿�Ä NPO�ÀTOV¿�¸ÁC¿$»·�� ½

����������� � !#"%$�"'&)(+*-,.*0/214365�387:9;,<3>=?(+@BA6@[email protected]�EF*.GH9;/JI838=K*-5?LM*

NPOBQ�RTS%UWV�XZY � U OBQ�R S:U[V

\ @B,]*.3^L_(`LM@BAaD3�L-7cb)de&fA6385/ \ @8=hg0Ujilk�/J7:(mb)de&onp&rqrsrilsutZ@B,wvcxzy�y|{ã ¿$¶n¿ N O8Q�R S:UWV ¸L¿ µ ·XOn¿�NÏÀ�NPO�ÀTÁ8»¿ á H ¾ ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ N{Ã�ÀX¹�¿�¸L¿$ä µ ¿�¸Bº µ On¿$¶nÄ�N=·MË

Ä#À µ ºÊË�·M»¸LN~}��hUL¿$¶V¿�ÀXN � U OBQ�R S:U[V ¸L¿ µ ·XOn¿$N)À á H ¾ � ULº�On¿�UL¿�ÀX¸ NPÃ�ÀX¹�¿�¸L¿$ä µ ¿$¸�º µ On¿$¶nÄ�N·MË<ÀXÂÊKM¿$ÁL¶�ÀXºÊ¹�Í�ÇqOnUL¿$·X¶VÎ ½¾ ULº»NhºÊNRÀ�NPOnÀTÁ8»¿�¶nÀ µ KM¿�¿�ÝÕOV¿ µ NVº»· µ On·"Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿�OV¶nº»Å$¿�¸�Ë ÀXÄ�ºÊ»º»¿$Nh·MËGOnUL¿¹�Â�ÀXNVNPº»¹�ÀX¬ÆÈÇ�À µ ¸

� Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ OVUL¿�·X¶n¿�Ä�N ½�Ó IL¹�UÌÀ�OVUL¿�·X¶n¿�Ä���ÀXN�äL¶nN{O�N{O�ÀTOn¿�¸#Á ÎÏH ½ �h½Õã ÀTOV¹vUL¿�¶�º µ�� ã À ÞMØ }¾ ULÄ ½r�սʼ~� }�Á8IÕOÏULºÊN"ÃL¶n·È·MË�N���¿$¶n¿�º µ ¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿$On¿ ½ ¾ UL¿�ÀXº»Ä ·MËROVUL¿ÌÃL¶n¿�NV¿ µ OÏÃ�ÀTÃC¿�¶#º»N"OV·ÃL¶n·6ÖպʸL¿ÏÀ�¹$·MÄ"Ã8»¿$OV¿�ÃL¶n·?·MË�·MË�OnULº»N�¶n¿$NVILÂÊO�}���ULº»¹�U�ÃL¶n·jÖ?º»¸L¿�N�OnUL¿�Û0¿�Π»º µ Û ÁC¿$OC��¿$¿ µ OVUL¿KM¿�·MÄ�¿�OV¶nº»¹=On·XÃC·MÂÊ·MKXÎ ·MË�ULº»KMU?ÇܸLºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ ÀXÂzÄ#À µ ºÊË�·M»¸LN�À µ ¸AOVUL¿�ºÊ¶�ÀXIÕOn·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ"N~}:À µ ¸OnUL¿�ÀX»KM¿�ÁL¶�ÀXº»¹�Í�ÇqOVUL¿�·X¶VÎ�·MËeNPÃ�ÀX¹�¿�N�À µ ¸ NPOV¶nIL¹�OnIÕ¶n¿�¸�¶nº µ KÏNPî¿�¹$OV¶nÀ ½¾ UL¿�Ã�ÀTÃC¿$¶)ºÊNRÁ�ÀXNV¿�¸· µ À#Ä#À µ ILNP¹$¶nºÊÃLOhÁÈÎ�OVUL¿�äL¶VNPO�ÀXIÕOnUL·X¶�}���ºÊOVU�OnUL¿�NnÀXÄ�¿Onº�On»¿8}���ULº»¹�U���ÀXNR¶n¿�Ë�¿$¶V¶V¿�¸ OV·ÏÀXN� On·"ÀTÃLÃC¿�ÀT¶.�=º µ���� À��0W � À µ ¸�ÀXN � On·"ÀTÃLÃC¿�ÀT¶ S NVº µ ¹$¿�� Þ>� V �=º µ���� À�� Þ Á �q½� ¿äL¶VNPOR¶n¿�¹�ÀX»Â%OnUL¿�¹�»ÀXNVNVº»¹�ÀXÂeÆ Ç�À µ ¸ � Çq¹�·XÁC·X¶V¸Lº»NVÄ OnUL¿�·X¶n¿�Ä"N ½�è ¿$O U ÁC¿�À"¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O

Ä#À µ ºÊË�·M»¸#·MË%¸Lº»Ä�¿ µ NVº»· µ�� }Õ¿�º�OnUL¿$¶�º µ OnUL¿RÃ8»ÀXº µ On·Xî·M»·MKMºÊ¹�ÀXÂ�}0Ã8º»¿�¹$¿H�hºÊNV¿�Çq»º µ ¿�ÀT¶�·X¶�NPÄ�·?·XOnU¸Lºh�®¿$¶n¿ µ Onº»ÀTÁ8»¿JNV¿ µ NP¿ ½ H µ Æ Çܹ$·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ · µ U º»N�À¹$·MÄ"Ã�ÀX¹$O S �u� ¼ V ÇÜÄ#À µ ºÊË�·M»¸�� �hUL·MNP¿ÁC·MI µ ¸8ÀT¶PÎ ¸L¿$¹�·MÄ"ÃC·MNP¿�NÌÀXN�À�I µ º»· µZ� � �� U ��� ·MË�OC��·�¹�·?¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ Å$¿$¶n· NPIÕÁÕÇÄ#À µ ºÊË�·M»¸LN=ÀX»· µ K�OVUL¿�ºÊ¶"¹�·MÄ�Ä�· µ ÁC·MI µ ¸8ÀT¶VÎ�}zÀ µ ¸-NVIL¹�U-OnU8ÀTO�¿�ÀX¹vU º µ ¹�ÂÊILNVº»· µ U � �À µ ¸ � � � ºÊN)À�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎÌ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ ½�¾ ��·�Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ�N4� À µ ¸��¡ G· µ U ÀT¶V¿º»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»¹#ºÊË�OnUL¿$¶n¿Ïº»N�À�UL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄF} æ�è UL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�·X¶�¸Lº¢�C¿�·MÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ� ��£�¡ :}�ÀXN�ÀTÃLÃL¶V·XÃL¶nº�ÀTOn¿�Ë�·X¶�OnUL¿=KM¿$·MÄ�¿$OV¶nºÊ¹�¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ�}COnU8ÀTO)¶n¿�NPOV¶Vº»¹$OnN)On·ÏOnUL¿�º»¸L¿ µ OnºÊO¡Î· µ U ½ H µ Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ�º»N�NnÀXºÊ¸ On·�ÁC¿=OV¶nºÊÖ?º�ÀXÂ:º»Ë�º�O�º»Nº»NV·MÄ�·X¶PÃ8ULº»¹=OV·�OnUL¿"ÃL¶n·È¸LIL¹$O�ÆÈǹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ � � U ¤ � S ¥ ¼~� }<¹�· µ O�ÀXº µ º µ K U ÀXN U ¤ S ½ S ¾ UL¿�¶n¿Ïº»N�À�»º�OVOn»¿=On¿�¹�U µ º»¹�ÀXÂÃC·Mº µ OhÀTÁC·MIÕO�¹�·X¶ µ ¿�¶nNhº µ OnUL¿e¦ ´ â¬â ¹�ÀXNV¿>}+�hULºÊ¹�UF��¿UL¿�¶n¿KMÂÊ·MNVN�·6Ö0¿$¶ ½ VHJNVNVILÄ"¿ÌË�·X¶�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º�O^Î�OnU8ÀTO U ºÊN=Á�ÀXNV¿$¸BÀ µ ¸ ¹�· µLµ ¿�¹$On¿$¸?}�ÂÊ¿$O6§ � §#¨ S:U[V Á®¿�ºÊOnN

Ë�I µ ¸8ÀXÄ�¿ µ O�ÀXÂRKX¶V·MIÕÃ�}�À µ ¸BÂÊ¿$O � U?¨ S § V � ÍP¨ S:© � § � V<ª+S¬« § V ÁC¿�OnUL¿ � ULºÊOn¿$UL¿�ÀX¸BKX¶n·MIÕ÷MËa§ S ·MË�On¿ µ ¸L¿ µ ·XOn¿�¸ � U S § V<V ½�¾ · ¿�ÀX¹�U Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ � · µ U OnUL¿$¶n¿�º»N=ÀXNVNV·È¹�º�ÀTOV¿�¸À µ ¿�ÂÊ¿�Ä�¿ µ O®­ S ��¥ UWVT¯ � U�¨ S § V }L¹�ÀX»»¿$¸�ºÊOnN � ULº�On¿�UL¿�ÀX¸�OV·X¶nNVº»· µ�� Ú º�YMY }?° �8�l½z¾ ¶VºÊÖÕº»ÀXÂGÆÈǹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ"NeU8À�Ö0¿�Å�¿$¶n·�On·X¶nNVºÊ· µ ½ ´^µ KM¿ µ ¿�¶�ÀXÂ�} À µ ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄW�hº�OnU�Å�¿$¶n·�On·X¶nNVºÊ· µ ºÊN:¹�ÀX»ÂÊ¿�¸À µ � Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ ½B¾ UL¿�Æ Çܹ$·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ OnUL¿�·X¶V¿�Ä ·MË Ó®½zÓ Ä#ÀX»¿ S ¹�· µ ¹�¿�¶ µ º µ K OnUL¿�NPº»Ä"Ã8Â�ÎÈǹ�· µLµ ¿�¹�On¿�¸#¹�ÀXNV¿8}���UL¿ µ OnUL¿ � ULº�On¿�UL¿�ÀX¸�KX¶V·MIÕÃ#º»N:OV¶nº�ÖÕº�ÀX V À µ ¸"OnUL¿ � Çq¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ OnUL¿�·X¶n¿�Ä·MËw¦ ½ ç�ÀT¶n¸L¿ µ }�ç ½:Ú ÀXÅ�IÕ¶#À µ ¸²± ½:ѽ�Ó O�ÀXÂÊ»º µ KMN S Ë�·X¶"ÀT¶VÁ8ºÊOP¶�ÀT¶VÎ�Ë�I µ ¸8ÀXÄ�¿ µ O�ÀXÂ�KX¶n·MIÕÃ8N V }ÀXNVNV¿�¶VORË�·X¶ �6³ Ø OnU8ÀTO�OnUL¿ � ULº�On¿�UL¿�ÀX¸�OV·X¶nNVº»· µ ¸L¿$ä µ ¿�NJÀ�· µ ¿�ÇqOV·TÇÜ· µ ¿¹$·X¶V¶n¿�NPî· µ ¸L¿ µ ¹�¿

´ Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ�N�· µ UjµBª+S ºÊNV· V²¶·¸h¹ � U�¨ S § V� � ��º¹ ­ S ��¥ U[V

ÁC¿�O»�z¿�¿ µ OVUL¿�ºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�¹�»ÀXNVNV¿�N�·MË)Æ Çܹ$·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ�N�· µ U À µ ¸AOnUL¿Ï¿�ÂÊ¿�Ä�¿ µ OnN�·MË�OVUL¿� ULºÊOn¿�UL¿�ÀX¸"KX¶n·MIÕà ½eÓ ·)º µ OnUL¿�NP¿�¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ N~}MOnUL¿ � Çq¹�·XÁC·X¶V¸Lº»NVÄ�N:ÀT¶V¿�ÃL¶V¿�¹�º»NP¿�ÂÊÎ�OnUL¿zOP¶nºÊÖ?º�ÀXÂÆ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ"N ½¾ UL¿�ÀXºÊÄ ·MËÕÀ½¼¿¾ � ¾ ����À��BÁJÂ^�;à ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶V¸Lº»NVÄ OnUL¿�·X¶V¿�Ä º»N%On·�·XÁLOnÀXº µ À�NVºÊÄ�º»Â»ÀT¶%Ä�·?¸L¿�ÂTË�·X¶

OnUL¿JNPÃ�ÀX¹$¿eÄ S:U[V ·MˬÆÈÇq¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ�N�· µ U }?NV·�¸L¿$ä µ ¿�¸�OVU8ÀTO�¿�ÀX¹�U�Ä#ÀTÃÆÅ ¹ Ä S:U[V ¹�·X¶PǶn¿�N{ÃC· µ ¸LN�On·�À�Á8I µ ¸LÂÊ¿h·6Ö0¿$¶TÅ�·MË+ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶V¸Lº»NVÄ�Ne· µ U ½¬¾ UL¿�NV¿$O�·MË®º»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ ¹$Â�ÀXNVNV¿$N

Page 4: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� �

·MËRÆÈÇq¹�·XÁC·X¶V¸Lº»NVÄ�N�· µ U ¹�À µ ÁC¿#¶n¿$¹�·jÖ0¿�¶n¿�¸AÀXN�OnUL¿ÏNV¿$O §��-Ä S%UWV ·MË�Ã�ÀTOnU�¹�·MÄ"î· µ ¿ µ OVN·MË�OnUL¿ÌÆ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ N{Ã�ÀX¹�¿�Ä S%UWV }GÁ8IÕO]��¿#NP¿�¿$Û�À�¸L¿�NV¹�¶nºÊÃLOnºÊ· µ ·MË�OnUL¿#Ë�ILÂÊÂzUL·MÄ�·XOn·Xà ÎO¡Î?î¿�·MË�Ä S:U[V ½�� µ »ºÊÛ0¿�OnUL¿�¹$Â�ÀXNVNVº�ä8¹�ÀTOnºÊ· µ IÕà On·�º»NV·MÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ }�OnUL¿�Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OP¶nº»Å�¿$¸�À µ ÇNz��¿�¶ ��º»ÂÊÂGOn·�NV·MÄ�¿�¿�ÝÕOV¿ µ O�¸L¿$î¿ µ ¸ · µ OnUL¿�KM¿�·MÄ�¿$OV¶Vº»¹�¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ�·MË�Ä#À µ ºÊË�·M»¸LNJº µ ��ULº»¹�UOnUL¿�¹�· µ NPOV¶VIL¹$Onº»· µ N)O�ÀTÛ0¿�Ã8Â�ÀX¹$¿ ½ � ¿�OnUL¿$¶n¿$Ë�·X¶n¿ ��¶nº�On¿]Ä OBQ�R S:U[V Ë�·X¶�OVUL¿�N{Ã�ÀX¹�¿"·MË á H ¾Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ"N�· µ À�Ä#À µ º»Ë�·MÂʸ U }+�hUL¿$¶V¿ á H ¾ ºÊN�· µ ¿�·MË ¾�Ò)æ } æ�è À µ ¸ ¦ ´ â¬â�½

� ¿�NVU8ÀX»Â%NV¿�OVOn»¿�Ë�·X¶hÀ� À ¾� � � Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OV¶Vº»Å�¿�¸�ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶V¸Lº»NVÄÉOnUL¿�·X¶n¿$Ä } �hULºÊ¹�UÌÃL¶n·6ÖÕº»¸L¿$NÀ=UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎÏ¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ O�Ä�·?¸L¿$Â2Ë�·X¶hOnUL¿�NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿ á H ¾ Æ Çܹ$·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ N{Ã�ÀX¹�¿

N OBQ�R S:U[V � ¹�·M»ºÊÄ�

Ä O8Q�R S%U ¤ � S ¥ ¼~� � V��

¾ UL¿JÄ�·?¸L¿�Â�º»N�¸L¿�ä µ ¿�¸�º µ Í�ÇlOnUL¿�·X¶n¿�Onº»¹ROn¿�¶nÄ�N~}ÈÄ�IL¹�UÏ»º�Û0¿hOnUL¿R¸L¿$NV¹$¶nº�ÃLOnº»· µ ·MËCOnUL¿ � ULºÊOn¿�ÇUL¿�ÀX¸�KX¶n·MIÕÃ�º µ On¿$¶VÄ�N�·MË+OnUL¿�ÀX»KM¿$ÁL¶nÀXº»¹�ÍP¨{ÇÜKX¶n·MIÕÃÌ·MË+OnUL¿�º µ On¿�KX¶nÀXÂ�KX¶V·MIÕÃ̶nº µ K © � § �q½ � ¿��º»Â»Â+¿�ÝÕÃL¶V¿�NVN�¿�ÀX¹�U á H ¾ � ULº�On¿�UL¿�ÀX¸�NPÃ�ÀX¹�¿ � U OBQ�R S:U[V º µ On¿$¶VÄ�NJ·MËeOVUL¿�ÀX»KM¿$ÁL¶�ÀXºÊ¹�Í�ÇOnUL¿�·X¶PÎ�NPÃ�ÀX¹�¿�� S:UWV }¿��ULº»¹�U ��ÀXN�º µ OV¶n·?¸LIL¹$¿�¸ S »ÀT¶nKM¿�Â�Î Ë�·X¶�OnULº»N�Ã8IÕ¶Vî·MNV¿ V ÁÈÎ OnUL¿#äL¶nN{OÀXIÕOnUL·X¶ ½ HJN�NPOnÀTOn¿�¸�ÀTO�OnUL¿Ï·MIÕOnNV¿�O�}¬OnUL¿#Ä�·?¸L¿$Â�Ë�·X¶�OnUL¿#UL·MÄ�·XOn·Xà ΠO¡ÎÈÃC¿#·MË N O8Q�R S:UWV��º»Â»Â<Á®¿�OVUL¿�Á�ÀXNV¿$¸ »·È·Xà NPÃ�ÀX¹$¿ Y � U O8Q�R S:UWV ½�¾ UL¿ æ�è À µ ¸ ¾�ÒJæ � ULºÊOV¿�UL¿�ÀX¸ NPÃ�ÀX¹$¿�N� U���� S:U[V � � U R�� � S%UWV �hºÊ»ÂhÁ®¿ OVUL¿ NVÀXÄ�¿>}hNPº µ ¹�¿�ºÊOϺ»NÏÛ µ ·�� µ Á ÎBOV¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº»· µOnUL¿�·X¶PÎ OVU8ÀTO Ä ��� S:U[V�X Ä R�� � S:U[V Ë�·X¶ æ�è Ä#À µ ºÊË�·M»¸LNÏ·M˸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µZ� ³ Ø }�Á8IÕO� U�������� S:UWV �hºÊ»ÂCÁ®¿�¸Lº¢�C¿$¶n¿ µ O ½çzÎ ¸L¿$ä µ º�Onº»· µ }�OnUL¿`¾���� � � ¾ Á � Í"! À��)�;���$# � S:U[V���%FÀ��)� �~¼�¾ ��� U º»N#OnUL¿�»·È·XÃ

NPÃ�ÀX¹�¿ Y'& Æ)(�*,+.- S:UWV/& ·MË�OnUL¿#KM¿�·MÄ�¿�OV¶nº»¹=¶n¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ ·MË�OVUL¿#NVIÕÁC¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ ·MË�UL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N�º µ OnUL¿0(�*�Çܹ�· µ N{OV¶nIL¹$OnºÊ· µ · µ OnUL¿�¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ �hº�OnU ¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N�À µ ¸ ��¿�ÀTÛ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N1+.- S:UWV ·MËeä µ º�On¿�¶n¿$OV¶nÀX¹$OnºÊÖ0¿�N{Ã�ÀX¹�¿�N)·jÖ0¿�¶ U ½�Ó ¿�¿ ��� À�� Ø })°vW ½Ê¼~�q½ çzÎ�º�On¿$¶PÇÀTOnº µ K"OnUL¿2(�*�Çܹ�· µ N{OV¶nIL¹$OnºÊ· µ }�� S:U[V ·XÁLO�ÀXº µ NJÀ"¹�À µ · µ ºÊ¹�ÀXÂGº µ ä µ ºÊOn¿Â»·?·XÃ�NPÃ�ÀX¹�¿�NPOV¶VIL¹$OnIÕ¶n¿>}À µ ¸��z¿"Ä#À�Î�ÖպʿH� º�O�ÀXN)OnUL¿�I µ ¸L¿$¶nÂÊÎ?º µ K�º µ ä µ ºÊOV¿=ÂÊ·?·Xà N{Ã�ÀX¹�¿=·MËzÀ�NPî¿�¹$OV¶VILÄ ��S:UWV º µOnUL¿�NV¿ µ NV¿�·MˬÀX»KM¿$ÁL¶nÀXº»¹)On·XÃC·MÂÊ·MKXÎ ½¾ UL¿ æ�è � ULº�On¿�UL¿�ÀX¸�NPÃ�ÀX¹�¿Ïº»NNV·�¸L¿$ä µ ¿�¸AOVU8ÀTO�OnUL¿$¶n¿#ºÊN�À µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ�UL·MÄ�·XOn·Xà ΠäLÁC¿�¶

NV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿Æ S%U43 � S658V<V87¸ ¹ � S:U[V ¸ ¹ � U ��� S:U[V

Ë�·X¶<¿�ÀX¹vUNPÃ�ÀX¹�¿ U }���UL¿$¶n¿�Æ S:U93 � S658V<V � Y;:PSl��S658V=<lU?>¿V º»N�OnUL¿�I µ ¶V¿�¸LIL¹�¿�¸�KM¿ µ ¿$¶nÀX»º»Å$¿�¸UL·MÄ�·MÂÊ·MKXÎR·MË U ��ºÊOVU�¹�·È¿A@�¹$º»¿ µ OnNGº µ OVUL¿�NPî¿�¹$OV¶VILÄ ��S658V }jÀ µ ¸CB#ºÊN�OnUL¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ0ÀXNPNV¿�Ä�Á8ÂÊÎÄ#ÀTÃAOn· OnUL¿�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�Ë�I µ ¹$OV·X¶D� S:UWV ½-¾ UL¿�NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿�Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿�OV¶nº»Å$¿�¸ æ�è Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄOnUL¿�·X¶V¿�Ä ¹�À µ OnU ILNhÁC¿)¶n¿�N{O�ÀTOn¿�¸�ÀXN�Ë�·M»ÂÊ·���N ½����������� � !#"FE�"'&)(+*-,.*0/214365�387:9;,<3>=?(+@BA6@[email protected]�EHGJI_*-,e1�*.GH9�*-5�LM*

N �K� S:UWV ¸ ¹ Æ S:U93 � S658V<VL7¸ ¹ � S:UWV

\ @B,]*.3^L_(`LM@BAaD3�L-7lsut²A�385/ \ @B=hg0Ujilk�(+*-,M* B /21 7:(+* 3B1M1�*-AMIH= E6A�3MD�{¾ UL¿e¦ ´ â¬â � ULº�On¿�UL¿�ÀX¸�NPÃ�ÀX¹�¿�º»N�NV·�¸L¿$ä µ ¿�¸ÌOnU8ÀTO�OnUL¿�¶n¿�ºÊN�À µ ÀTOVIÕ¶�ÀXÂ2UL·MÄ�·XOn·Xà Î�äLÁC¿�¶

NV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿N S%U?>�VPO¸ ¹ � S:U[V ¸ ¹ � U�������� S%UWV

Ë�·X¶R¿�ÀX¹vU�N{Ã�ÀX¹�¿ U }��UL¿$¶n¿ N S:UL>�V � Y :MQ;: S%U?>�V À µ ¸0R:º»N�º µ ¸LIL¹$¿�¸�ÁÈÎ�OnUL¿I µ º�OhÄ�ÀTÃSJT � ¹ �mSU58V À µ ¸ OnUL¿�ÀXNVNV¿�Ä�Á8ÂÊÎ�Ä#ÀTà ½ ´^µ OnULºÊN¹�ÀXNP¿"OnUL¿"äLÁ®¿$¶�NV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿#ºÊN µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂÊÂÊÎNPÃ8ÂʺÊO=IÕÃ-On· UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�}¬Á Î-À NPO�ÀTÁ8ºÊ»º»Å�ÀTOnº»· µ Ä#ÀTÃ8� S:UWV ¹ �1V S%UWV X N S%U?>�V ½A¾ UL¿NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿�Ã�ÀT¶nÀXÄ�¿$OV¶nºÊÅ�¿�¸ ¦ ´ â¬â Æ Çܹ$·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ OVUL¿�·X¶n¿�Äɹ�À µ OVUÈILN�ÁC¿�¶V¿�NPO�ÀTOn¿$¸�ÀXN�Ë�·MÂÊ»·��hN ½

Page 5: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

����������� � !#"���"'&)(+*-,.*0/214365�387:9;,<3>=?(+@BA6@[email protected]�EHGJI_*-,e1�*.GH9�*-5�LM*

N ������� S:UWV ¸ ¹ N S:U?>�V O¸ ¹ � S%UWV

\ @B,0*M3^L_( LM@BAaD3�L-7�vcxzy�y A6385/ \ @8=hgcUp{]&#(+* A�3_D R /21w5�387�9;,<38=2= E�1¬D�= /J7%i�9�D�7»@�(+@BA6@B7»@.D�E�i1�@�7:(+*-,M*0/2103 5�387�9�,.38=?(+@8A6@B7»@.D�E \ 3^LH7C@B,-/���387�/¬@B5

� S:U[V��¸K¹ N S:UL>�V|¤ � U ������� S%UWV��

� ¿ µ ·XOn¿JOnU8ÀTO �hUL¿ µ U º»N�Á�ÀXNV¿�¸�À µ ¸�¹�· µLµ ¿�¹$OV¿�¸?}���ºÊOVUÌË�I µ ¸8ÀXÄ�¿ µ O�ÀXÂ%KX¶n·MIÕÃF§l}ÕOVUL¿ µ§#¨ � S:UWV �� ÍP¨ S%© � § � V À µ ¸ §)¨ � U OBQ�R S:U[V �� � U?¨ S § V }0À µ ¸�OnUL¿�NP¿�OVUL¿�·X¶n¿�Ä�N¬¶n¿$¹�·jÖ0¿�¶eOVUL¿¹�»ÀXNVNVº»¹�ÀXÂ�ºÊ¸L¿ µ OnºÊä8¹�ÀTOVº»· µ ·MË)§��HÄ OBQ�R S:U[V ��ºÊOnU � U?¨ S § V }ÕÁ8IÕOh· µ Â�ÎÌÀXË�OV¿$¶RNPOnÀTÁ8º»Â»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ ½¾ UL¿"ÃL¶n·?·MË�·MË�OnUL¿ æ�è ¹�ÀXNP¿#·MË ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä S ½»¼ ¹�À µ Á®¿#NVILÄ�Ä#ÀT¶Vº»Å�¿�¸ º µ OnUL¿#Ë�·MÂÊ»·��hº µ K

¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ ·MË+NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ2NV¿$OVNhÀ µ ¸�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂC¹�ÀTOn¿�KM·X¶Vº»¿�N T

N �K� S%UWV//

���

¹�·M»ºÊÄ�� � * �//

���

¹�·M»ºÊÄ �RÆ� � *

��������� * S:UWV // ���� * �

// Æ � � *

����� S���V//

����OO

���

��� �//

����OO

���

Æ �

����OO

���� � � S���V

// � � �//Æ �

ã ¿$¶n¿ � º»NRÀ"ä µ º�On¿�¹�·MÄ�Á8º µ ÀTOn·X¶nº�ÀXÂ%Ä#À µ ºÊË�·M»¸?}�hº�OnU�KM¿�·MÄ"¿$OV¶nºÊ¹�¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOVº»· µ OVUL¿�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$Oæ�è Ä#À µ º»Ë�·MÂʸ U � & � & ½Ì¾ UL¿ µ ·XO�ÀTOVº»· µ � * ¶V¿�Ë�¿$¶nN�On· æ�è Á8I µ ¸L»¿�N�·MË�NPO�ÀTÁ8Â�Î Ë�¶�ÀXÄ�¿$¸¹�·MÄ"Ã�ÀX¹�O"!®ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸLN~}ROnUL¿ µ ·XOnÀTOnº»· µ � � *�¶n¿�Ë�¿$¶nN�On· æ�è Ó ¿�¶V¶n¿�äLÁL¶nÀTOnº»· µ N�·MË�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$OÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀ }?OnUL¿ µ ·XO�ÀTOnºÊ· µ � ¶n¿�Ë�¿$¶VN�On·�ä µ º�On¿ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX NV¿$OnN S À�ÂʺÊOVOnÂÊ¿RÄ�·X¶n¿KM¿ µ ¿$¶nÀXÂhOnU8À µ ·X¶n¸L¿$¶n¿$¸ NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�¹�·MÄ=Ã8»¿�ÝÕ¿�N V À µ ¸ OnUL¿ µ ·XO�ÀTOVº»· µ � ¶n¿�Ë�¿�¶nN#On· KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂä µ ºÊOV¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX®NV¿$OnN ½�¾ UL¿�ÃL¶n¿$äÕÝÕ¿�N � À µ ¸ Æ϶n¿�Ë�¿�¶hOn·�¹�ÀTOn¿�KM·X¶Vº»¿�N�·MËGNVºÊÄ"Ã8»¿)Ä#ÀTÃ8N S ��ºÊOVU¹�· µ OV¶�ÀX¹$OVºÊÁ8»¿�ÃC·Mº µ O�º µ Ö0¿$¶nNP¿�N V À µ ¸ S ��¿�ÀTÛ V UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�N~}�¶n¿�NPî¿�¹$Onº�Ö0¿�ÂÊÎ ½�¾ UL¿¿ µ OV¶nºÊ¿�NJº µ OnUL¿�ÂÊ¿�Ë�OJU8À µ ¸ ¹�·M»ILÄ µ ¶n¿�Ë�¿$¶)On·"·XÁ$#{¿$¹$OnNw��ULº»¹�U?}2º µ À�NVILº�O�ÀTÁ8»¿NV¿ µ NV¿>}2¹$· µ O�ÀXº µU ·X¶ � ÀXNRÀ�¸L¿�Ë�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ ¶V¿$OV¶�ÀX¹$O ½

� ¿�NVUL·��Bº µ Ó ¿$¹$Onº»· µ N�Q ½ W;} Q ½ Q�À µ ¸ ÐL½Ê¼ OnU8ÀTOeOnUL¿�UL·X¶nº»Å$· µ O�ÀXÂL¶n·���N�ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�äLÁC¿�¶NV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿�N ½ ´^µ Ó ¿�¹$OnºÊ· µ N ÐL½ WÀ µ ¸ ÐL½ Q ��¿JNVUL·�� OnU8ÀTOzOnUL¿RÄ"º»¸L¸L»¿hÀ µ ¸#¶nº»KMU0O�U8À µ ¸�Ö0¿$¶VOVº»¹�ÀXÂÄ#ÀTÃ8N&% ÀT¶n¿UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N ½�¾ UL¿�NV¿�Ä#ÀTÃ8N�ÖպʿH� NPO�ÀTÁ8Â�Î�Ë�¶nÀXÄ�¿�¸ æ�è Ä�À µ º»Ë�·M»¸LNÀXN�î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�À }+À µ ¸ æ�è Á8I µ ¸LÂÊ¿�N�ÀXN æ�è Ó ¿$¶V¶n¿=äLÁL¶�ÀTOnº»· µ N ½ ´^µ Ó ¿�¹$OVº»· µ N�Q ½xÐ À µ ¸ Q ½ Ø �z¿NVUL·�� OnU8ÀTO�OnUL¿�Ä"º»¸L¸L»¿�À µ ¸Ì¶Vº»KMU0O�U8À µ ¸�Ö0¿$¶VOnºÊ¹�ÀXÂ2Ä#ÀTÃ8N('!*)�ÀT¶n¿)UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N ½¾ UL¿�NV¿#Ã�ÀXNVN�Ë�¶n·MÄ NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�¹$·MÄ"Ã8»¿�ÝÕ¿�NOn·�î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�ÀÌÁ Î KM¿�·MÄ�¿$OP¶nº»¹�¶n¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ }¬À µ ¸NVºÊÄ�ILÂ�O�À µ ¿�·MILNVÂ�Î�º µ OV¶n·È¸LIL¹�¿�À#NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂG¸Lº�¶n¿�¹$OnºÊ· µ ÁÈÎ�Ö?º»¿H��º µ K#ÃL¶n·È¸LIL¹$O)Á8I µ ¸L»¿�N�ÀXN æ�èÓ ¿$¶V¶V¿�äLÁL¶nÀTOnº»· µ N ½ ´^µ Ó ¿�¹$OnºÊ· µ Q ½»¼ ��¿�NVUL·�� OnU8ÀTO�OVUL¿�Ä�º»¸L¸LÂÊ¿�À µ ¸B¶Vº»KMU0OÏU8À µ ¸ Ö0¿$¶POnº�ǹ�ÀXÂ:Ä#ÀTÃ8N,+hÀT¶V¿"UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N ½�¾ UL¿�NV¿=º µ ¹�ÂÊIL¸L¿ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ<NV¿$OVNÀXÄ�· µ K�KM¿ µ ¿$¶nÀXÂ2NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX®NV¿�OnN ½eæ ÀT¶VOhW�¹$· µ O�ÀXº µ N�OVUL¿�Ë�·MI µ ¸8ÀTOVº»· µ ÀXÂ2Ä#ÀTOn¿�¶nº�ÀX · µ NVºÊÄ"Ã8»¿Ä#ÀTÃ8N�·MËhNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂzNV¿$OnN µ ¿�¿�¸L¿$¸ Ë�·X¶�OVUL¿�NV¿�ÃL¶V·?·MË�N ½�Ú ·X¶n¿�¸L¿$O�ÀXº»ÂÊ¿�¸ ¿vÝÕÃ8Â�À µ ÀTOVº»· µ N�À µ ¸¶n¿�Ë�¿�¶n¿ µ ¹�¿�N�ÀT¶n¿�KMºÊÖ0¿ µ º µ Ó ¿�¹$OnºÊ· µ N ¼M½»¼ À µ ¸ ¼M½ W ½�¾ UL¿ µ ¿$¶PÖ0¿�·MËeOnUL¿�¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ � � � S���V º»N

Page 6: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� �

· µ ¿ÌÄ"·?¸L¿�Â�Ë�·X¶"OVUL¿Ì»·È·XÃC¿�¸ æ�è � ULºÊOn¿�UL¿�ÀX¸ NPÃ�ÀX¹�¿ Y � U���� S���V ½ ´ OVN=¶n¿�»ÀTOnº»· µ On·�OVUL¿Ë�I µ ¹$On·X¶ � S �mV }ÈÂÊ¿�ÀX¸Lº µ K�On· ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä�N�S ½ W�À µ ¸ÏS ½ Q�À µ ¸�OnUL¿c¦ ´ â¬â ¹�ÀXNV¿J·MË ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä S ½»¼ }º»N�¶n¿$Ö?º»¿H�z¿�¸�º µ Ó ¿�¹$OnºÊ· µ ¼M½ Q ½´^µ Ó ¿�¹�Onº»· µ ¼M½�Ð }?��¿�¹�·MÄ�Ä�¿ µ O�· µ OnUL¿�¶n¿�»ÀTOnº»· µ ·MË�OVULº»N)Ã�ÀTÃC¿$¶ S À µ ¸ · µ ¿�·MË�� ½ ´ KMILNnÀ

� ´ K���� � V On·�OnU8ÀTO<·MË ã ÀTOn¹�UL¿$¶ � ã À ÞMØB� }b¶n¿�ÀX¹�ULº µ KROnUL¿z¹�· µ ¹�ÂÊILNVº»· µ OVU8ÀTO<º µ NPÃ8ºÊOn¿�·MËÕOnUL¿�Ä�ºÊNVNVº µ KOn¿�¹�U µ ºÊ¹�ÀXÂJ¸L¿$O�ÀXºÊ»N�·MËJOnUL¿�Â�ÀTOPOn¿$¶�}�ºÊOVN�Ä#ÀXº µ ¹$· µ ¹�»ILNVºÊ· µ N#OnIÕ¶ µ ·MIÕO#On· ÁC¿�¹�·X¶P¶n¿�¹$O ½ � ¿ÀX»NP·�¸Lº»NV¹$ILNVN�OnUL¿ÏÀXÂÊOV¿$¶ µ ÀTOnº�Ö0¿"ÀTÃLÃL¶n·0ÀX¹�U On·ÌOVUL¿ æ�è ¹�ÀXNV¿�·MË ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä S ½»¼ OVU8ÀTO�¹�À µ Á®¿ÀXNVNV¿$Ä�Á8ÂÊ¿�¸�Ë�¶n·MÄ Ã�ÀTî¿$¶nN�Á Î Ú�½ Ó On¿$º µ ÁC¿$¶nKM¿�¶ � Ó O.�MY � À µ ¸ ¾�½ H ½ á U8ÀTÃ8Ä#À µ�� á U� ÞB�l½

Page 7: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

$�"������ � À ¾� � � ¼¿¾ � ¾ ���^À��8ÁJÂ�� Ã Æ ! ��� ���8ÿÁ � � À���������� �

� ( � (��1%5��h,�7#���0E+. /�b,+@ ³´^µ OnULºÊN=NV¿$¹$Onº»· µ }�ÂÊ¿$O�ß=à � ´ S� �8¥ �,�,� ¥ à V & � à� · � � � ¼ ¥ � ³ S µ ÁC¿�OnUL¿ÌNPOnÀ µ ¸8ÀT¶n¸

À @ µ ¿��jÇqNVº»Ä=Ã8»¿�Ý ½ � ¿e��¶nº�On¿ ¦ ´ â¬â Ë�·X¶�OnUL¿�¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ#·MË�� : NVÄ�·È·XOnUÏÄ#À µ º»Ë�·MÂʸLN~} æ�è Ë�·X¶OnUL¿�¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ=·MË®Ã8ºÊ¿�¹�¿H��º»NV¿vÇÜ»º µ ¿�ÀT¶�Ä#À µ ºÊË�·M»¸LN~}ÈÀ µ ¸ ¾�Ò)æ Ë�·X¶�OnUL¿h¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ�·MË®OV·XÃC·M»·MKMºÊ¹�ÀXÂÄ#À µ ºÊË�·M»¸LN ½ � ¿ÏKM¿ µ ¿$¶nºÊ¹�ÀX»Â�Î���¶nºÊOn¿ á H ¾ Ë�·X¶�· µ ¿�·MË�OnUL¿�NP¿�KM¿�·MÄ"¿$OV¶nºÊ¹#¹�ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¿�N ½ è ¿�O� � � S ¥ ¼~� À µ ¸���Á®¿ROC��·äÕÝL¿$¸�¹$»·MNV¿�¸#º µ OV¿$¶VÖTÀX»Nzº µ�� ½ � ¿a��º»ÂÊ Ë�·X¶VÄ ¹�·MÂÊÂ�ÀT¶nN�ILNVº µ K � À µ ¸NPO�ÀTÁ8ºÊ»ºÊÅ�¿�Ä�À µ º»Ë�·M»¸LN�À µ ¸�î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�À"ILNVº µ K�� ½

� ��� �¿Á2À�Á%��� $�":$�"%$�"�S À V è ¿$O U Á®¿ÏÀ�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O á H ¾ Ä#À µ ºÊË�·M»¸?}¿��ºÊOnU�¿�Ä"ÃLO¡Î ·X¶ µ · µ Ç¿�Ä"ÃLO¡Î ÁC·MI µ ¸8ÀT¶VÎ ½ � ¿"¸L¿$ä µ ¿#OnUL¿ ����� Æ ! ��� ���8ÿÁ � � �~¼¿¾ ��� Ä S:U[V � Ä O8Q�R S:UWV·MË U ÀXNÀ�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX¬NV¿�O ½ ´ OnNSbÇÜNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�ÀT¶n¿�OnUL¿"¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$O á H ¾ Ä#À µ º»Ë�·MÂʸLN4� OnU8ÀTOÀT¶n¿�ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶V¸Lº»NVÄ�N�· µ U }�º ½ ¿ ½ }ÕOnUL¿)ÁC·MI µ ¸8ÀT¶VÎ

� � � U ��

º»N�À I µ º»· µ ·MËROC��· ¹�·È¸Lº»Ä�¿ µ NVº»· µ Å�¿�¶n· NVIÕÁ8Ä#À µ ºÊË�·M»¸LN#ÀXÂÊ· µ K OnUL¿�º�¶#¹�·MÄ�Ä�· µ ÁC·MI µ ¸8ÀT¶VÎ� U � � � }8À µ ¸ÌOVUL¿�º µ ¹�»ILNVºÊ· µ N

U � � � �

ÀT¶n¿)UL·MÄ�·XOn·Xà Î#¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿�N ½�â ·X¶�¿�ÀX¹�U�� ³ S }8À��jÇqNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�ÝÏ·MË)Ä S%UWV º»N�À á H ¾ Á8I µ ¸LÂÊ¿§ T�� ¹ ß=à"¶V¿�Â�ÀTOnº�Ö0¿"On·�OnUL¿�OV¶VºÊÖÕº»ÀXÂ�NPIÕÁLÁ8I µ ¸L»¿! ) T U ¤ ß�à ¹ ß=à8}:NVIL¹�U�OnU8ÀTO�¿�ÀX¹�UäLÁC¿�¶ ��" � §$# ¨ S V º»N�À á H ¾ Æ Çܹ$·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ · µ U �� U ¤ #}8Ë�·X¶% ¯ ß à ½

S Á V � ¿ÏÀX»NV·�¸L¿$ä µ ¿�À ��� � �J¾ �B�;à á H ¾ ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ�NPÃ�ÀX¹$¿ÆÄ S:U[V'& � Ä O8Q�R S%UWV'& }��UL·MNV¿SbÇqNVº»Ä=Ã8»º»¹$¿�N�ÀT¶n¿�Æ Çܹ$·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ�Na� · µ U ¿�åÈILºÊÃLÃC¿$¸F�hº�OnU�À=¹�UL·Mº»¹�¿�·MËG¹$·M»Â�ÀT¶~}Lº ½ ¿ ½ }À á H ¾ ¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K

(�T U ¤ � ¹ �

OnU8ÀTO�ºÊ¸L¿ µ OVºÊä8¿�N U ¤ S���ºÊOVU U º µ OnUL¿)NPO�À µ ¸8ÀT¶n¸���À�Î�}LÀ µ ¸#O�ÀTÛ0¿�N U ¤ � S ¥ ¼ V OV·=À µ ·Xî¿ µµ ¿�ºÊKMU Á®·X¶nUL·?·È¸A·MË U º µ � ½ H)�jÇÜNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�·MË½Ä S:UWV & ºÊN�À á H ¾ Á8I µ ¸LÂÊ¿ § T�� ¹ ß=à¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿�On·#À µ ¿$Ä�Á®¿�¸L¸L¿�¸�NVIÕÁLÁ8I µ ¸LÂÊ¿* ) T U ¤ � ¤ ß à ¹ ß à }®NVIL¹�U�OnU8ÀTOR¿�ÀX¹vU�äLÁ®¿$¶)º»NÀ�¹�·MÂÊÂ�ÀT¶n¿�¸ á H ¾ Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ�· µ U ½�¾ UL¿#Ä#ÀTÃ�Ä S%UWV'& ¹ Ä S%UWV OnU8ÀTO�Ë�·X¶nKM¿$OnNOVUL¿¹�UL·Mº»¹�¿�·MË<¹�·MÂÊÂ�ÀT¶�º»N�À ��¿�ÀTÛÌUL·MÄ�·XOV·XÃÈÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿>}LÁÈÎÏOnUL¿�¹�· µ OP¶�ÀX¹$Onº�Á8º»Â»º�O¡ÎÏ·MË<NPÃ�ÀX¹�¿�N�·M˹�·MÂÊÂ�ÀT¶nN ½

çzÎ À ����� $+ �¿Ã � � § T�� ¹ ß à ��¿ÏÄ�¿�À µ À á H ¾ »·?¹�ÀX»ÂÊÎ OV¶nº�ÖÕº»ÀXÂ�Ë ÀXÄ�ºÊÂÊÎ�}<º ½ ¿ ½ }:ÀÄ#ÀTÃ#NPIL¹vU#OnU8ÀTO�OnUL¿$¶n¿h¿�ÝLºÊNPOnNzÀ µ ·Xî¿ µ ¹�·6Ö0¿$¶ ´-, 7 µ ·MË�ß à À µ ¸ÏÀ á H ¾ ºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ ·jÖ0¿�¶, 7 S � À"ÂÊ·?¹�ÀXÂ2OV¶VºÊÖÕº»ÀX»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ V Ë�¶V·MÄ § # ¨ S , 7 V ¹ , 7 On·#À�ÃL¶n·?¸LIL¹$O�Á8I µ ¸L»¿>}®Ë�·X¶R¿�ÀX¹�U B ½â ·X¶r§�On·�ÁC¿JÀ á H ¾ Á8I µ ¸L»¿ ��� �J¾ À�Á�.��6À�� ÀKMº�Ö0¿ µ ÃL¶n·È¸LIL¹$O�NVIÕÁLÁ8I µ ¸LÂÊ¿>};��¿JÀXÂÊNV·�ÀXN{Û=OnU8ÀTO¿�ÀX¹�U�»·?¹�ÀX OV¶nº�ÖÕº»ÀX»º»Å�ÀTOnº»· µ ¶n¿�NPOV¶Vº»¹$OnNzOV·�OnUL¿Jº»¸L¿ µ Onº�O^Î�· µ OVUL¿RÃL¶n·?¸LIL¹$O�NPIÕÁLÁ8I µ ¸L»¿ ½ � ¿J¹�À µÀXÂh��À6Î?N�NVUÕ¶Vº µ ÛÏOnUL¿�·XÃC¿ µ ¹$·jÖ0¿$¶�On·"À=¹�·6Ö0¿$¶�ÁÈÎ�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹�O�NPIÕÁ8NV¿$OnN ´ Í 7 µ }+��UL·MNV¿�º µ OV¿$¶nº»·X¶VNNPOnºÊ»Â+¹�·jÖ0¿�¶�ß=à8}%À µ ¸�OnULºÊN)ÀX»»·���NRILNJOn·Ï· µ ÂÊÎF�z·X¶VÛF��ºÊOnU�¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$ORÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀϺ µ OnUL¿ æ�è¹�ÀXNV¿ ½¾ · ¿ µ NVIÕ¶n¿�OnU8ÀTO�OnUL¿�NV¿�¹�·M»ÂÊ¿�¹$OnºÊ· µ N�·MËhNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�ÀT¶n¿Ï¶n¿�ÀX»Â�Î�NV¿$OnNH}u��¿�Ä�º»KMU0O�ÀXNVNVILÄ"¿

OnU8ÀTO�¿�ÀX¹�UÏÁ8I µ ¸L»¿ � ¹ ß à º»N�¿�Ä�ÁC¿$¸L¸L¿�¸Ìº µ�� : ¤ ß à ¹ ß à ½e¾ ·=NPÄ�·?·XOnU�À µ Î#¹�·X¶ µ ¿�¶nNOnU8ÀTO�ÀT¶Vº»NV¿>}^��¿Jº µ On¿$¶PÃL¶n¿$O½¦ ´ â¬â Ä#À µ º»Ë�·MÂʸLN�ÀXNz¹�·MÄ�º µ K�¿�å?ILº�ÃLÃC¿�¸ ��ºÊOnUÏÀ�NPÄ�·?·XOnU µ ·X¶nÄ#ÀXÂä8¿�Âʸ?} ÂʺÊÛ0¿)º µ���� À��0W;}?°�Y �l½�¾ UL¿¿$Ä"Ã8U8ÀXNVº»N�º µ OnULº»N�Ã�ÀTÃC¿$¶®�hºÊ»ÂCÁ®¿�· µ OVUL¿ æ�è ¹�ÀXNV¿ ½

Page 8: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� �

� ��� �¿Á2À�Á%���Z$�":$�"�E�"�S À V ¾ UL¿C� À ¾� Á � ÁJ ¾ À�ÁJ���²� ¾�¼

� T Ä S:U[V ¹ Ä S:U ¤ � V

O�ÀTÛ0¿�N�À µ Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ � · µ U On·�OnUL¿�Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ � ¤ � · µ U ¤ � ½ ´ OºÊN ��¿�ÂÊÂ�ǸL¿$ä µ ¿�¸?}�NVº µ ¹�¿ U ¤ � � � ¤ � À µ ¸ S:� ¤ � V)��S � ¤ � � Vw� � ¤ � ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N ½z¾ UL¿C� À ¾� � � Æ ! ��� ���8ÿÁ � � �~¼¿¾ ��� ·MË U º»N�OnUL¿�¹�·M»ºÊÄ�ºÊO

NPOBQ�R|S:U[V � ¹�·M»ºÊÄ�

Ä O8Q�R|S%U ¤ � � V

·6Ö0¿$¶�� ³ S }�Ë�·X¶nÄ�¿�¸ �hº�OnU̶n¿�N{ÃC¿�¹$OhOn·=OnUL¿NPO�ÀTÁ8º»Âʺ»Å�ÀTOVº»· µ Ä#ÀTÃ8N ½T� ÀX¹vU�N{O�ÀTÁ8º»Âʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ Ä�ÀTú»NzÀ�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ ·MË2NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ8NV¿$OnN~}?NV·�OnUL¿R¹�·MÂʺ»Ä�º�O�U8ÀXN�OnUL¿RNnÀXÄ�¿hUL·MÄ�·XOn·Xà Î�O¡ÎÈÃC¿JÀXN�OVUL¿¹�·X¶V¶V¿�NPÃC· µ ¸Lº µ K�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎϹ�·MÂʺ»Ä�º�O�}Õ·X¶�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�On¿�»¿$NV¹�·XÃC¿ ½

S Á V ´^µ OnUL¿�¹�·MÂÊÂ�ÀT¶n¿�¸�¹�ÀXNV¿8}�OnUL¿�NPO�ÀTÁ8ºÊ»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ Ä#ÀTà � T Ä S%UWV & ¹ Ä S:U ¤ � V & O�ÀTÛ0¿�N�À¹�·MÂÊÂ�ÀT¶n¿�¸�Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ S ��¥ ( V · µ U OV·�OVUL¿ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄp� ¤ ��· µ U ¤ ����ºÊOnU#¹$·M»Â�ÀT¶

U ¤ � ¤ � &�� ���¸.¸¸»¹ � ¤ � �

� ÀX¹�U�¹�·?¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ Å�¿$¶V· á H ¾ ¿$Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K U ¹ U  Mº µ ¸LIL¹�¿�N<À�Ä#ÀTÃ Ä S:UWV & ¹ Ä S%U   V &OnU8ÀTO�O�ÀTÛ0¿�N S ��¥ ( V On·�OnUL¿�Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ

�  �� U   ¤ � �� � � � ¥

��ºÊOnU�OnUL¿"·XÁ ÖպʷMILN)¹�·M»»ÀT¶ (   T U   ¤ � ¹ �   ½�¾ ULº»N�Ä#ÀTÛ0¿�N Ä S:UWV & À µ ¸ N OBQ�R S%UWV & �¹�·MÂʺ»Ä � Ä S:U ¤ � � V'& ¹�·6ÖXÀT¶Vº�À µ O % + � �>À���� ��º µ U }�Ë�·X¶#¹�·?¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ Å�¿$¶V· ¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ KMN·MË á H ¾ Ä#À µ º»Ë�·MÂʸLN ½ ¾ UL¿�Ë�·X¶nKM¿�OnË�ILÂRÄ#ÀTà N OBQ�R S:U[V'& ¹ N OBQ�R S%UWV ºÊNÏÀX»NV·�À���¿�ÀTÛUL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½

� ¿eÄ�ILNPO���·X¶VÛ �hº�OnU)OnUL¿�¹$·M»Â�ÀT¶V¿�¸�Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ�NPÃ�ÀX¹$¿u��UL¿ µ Ë�I µ ¹$OV·X¶nº�ÀXÂʺÊO¡Î�º»N2¶n¿�åÈILºÊ¶n¿�¸?}Á8IÕO �hºÊ»Â2·MË�On¿ µ S Ë�·X¶hNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º�O^Î V #{ILNPOh¶V¿�Ë�¿$¶hOV·�OnUL¿�Ã8Â�ÀXº µ Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ NPÃ�ÀX¹�¿ ½z¾ ·�¿�ÝÕOV¿ µ ¸OnUL¿�Ë�I µ ¹�On·X¶nº�ÀXÂʺÊO¡Î�Ë�¶n·MÄ ¹$·?¸Lº»Ä"¿ µ NVº»· µ Å�¿$¶n· ¿$Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ KMN=On· KM¿ µ ¿$¶nÀXÂ�¹�· µ Onº µ IL·MILN#Ä#ÀTÃ8NU ¹ U  �·MˬOn·XÃC·MÂÊ·MKMº»¹�ÀXÂ%NPÃ�ÀX¹$¿�N~}2· µ ¿�¹�À µ ÃL¶n·È¹�¿�¿�¸ ÀXNJº µ � ã À Þ � } æ ¶n·Xà ½G¼M½ Q � ·X¶ � � À��0W;}à ½%¼jØ W � }ÕOn· �hULºÊ¹�UF��¿�¶V¿�Ë�¿$¶RË�·X¶�¸L¿$O�ÀXºÊ»N ½ *-A�38,��� �{� �{���{ â ·X¶�À�¹$·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ On·�Á®¿�¹�·MÄ�¿�À µ ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ ÀXË�On¿$¶�NVILºÊO�ÀTÁ8ÂÊ¿�NPO�ÀTÁ8º�Ç»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ }½�z¿�ÀTÛ0¿$¶ÏUL·MÄ�·XOn·XÃ8ºÊ¹�ÀXÂhU0Î?î·XOnUL¿�NV¿$N�NPI @�¹�¿ ½ â ·X¶Ï¿�Ý8ÀXÄ=Ã8»¿>}�»¿�O � ��� Á®¿ À¹�·È¸Lº»Ä�¿ µ NPº»· µ Å�¿�¶n·�º µ ¹$»ILNVºÊ· µ À µ ¸�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�·MËG¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O á H ¾ Ä#À µ ºÊË�·M»¸LN ½è ¿$O ( � T � � ¤ � ¹ � ÁC¿zÀ µ º µ On¿$¶nºÊ·X¶¬¹�·MÂÊÂ�ÀT¶+· µ OnUL¿�Á®·MI µ ¸8ÀT¶VÎ�·MË � }b»¿$O U � � ( � S � � ¤ ¼ VÀ µ ¸ �0� � ( � S � �W¤ � V8� S���� �mV ½¬¾ UL¿ µ � ��º»NeÀ)¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ Ë�¶n·MÄ U ��OV· � � � � � } À µ ¸OnUL¿Jº µ ¹�»ILNVºÊ· µ U � � � �Jº»N�À�UL·MÄ�·M»·MKXÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿)Á Î#¿�ÝÕ¹�º»NPº»· µ }?Á8IÕOa� �RºÊN�º µ KM¿ µ ¿$¶�ÀXµ ·XO=À µ ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ · µ U � ½ ã ·��z¿$Ö0¿$¶�}eº»Ë½��¿ÏNPO�ÀTÁ8ºÊ»º»Å$¿ÏOVUL¿�º µ ¹�»ILNPº»· µ � ��� OnUÕ¶n¿$¿OnºÊÄ�¿�N~} À µ ¸�ÃC¿$¶nË�·X¶VÄ OnUL¿�¹�·X¶P¶n¿�NPî· µ ¸Lº µ KϹ�· µ NPOV¶VIL¹$Onº»· µ NH}®OnUL¿ µ OnUL¿¶V¿�NVILÂÊOVº µ K#¹�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVĺ»N�À µ Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ ½´^µ Ä"·X¶n¿R¸L¿$O�ÀXºÊÂ�} ��¿)U8À�Ö0¿�À�¹�·È¸Lº»Ä�¿ µ NVº»· µ Å�¿$¶V·=º µ ¹�»ILNVºÊ· µ À µ ¸�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿

� ¤ ��� ���£¤ ��� ½�á UL·È·MNVº µ K"À µ º µ On¿$¶nºÊ·X¶R¹�·MÂÊÂ�ÀT¶ (�T � S�� ¤ ��� V ¤ � ¹ � ¤ ���· µ OVUL¿ÁC·MI µ ¸8ÀT¶PÎÌ·MË � ¤ ���>}+��¿�»¿$O U � ( S � S�� ¤ ��� V|¤ ¼ V } � � � S��W¤ ��� V À µ ¸

� � ( S � S�� ¤ � � V|¤ � V��mS�� ¤ � � � � ¤ � � V��

¾ UL¿ µ � º»N+À�¹$·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ Ë�¶n·MÄ U On· � ½¬¾ UL¿:OnUÕ¶n¿�¿eº µ ¹�ÂÊILNVº»· µ N U � � ¤ � � } � ���`¤ � �À µ ¸Æ� ��� ¤ ���h¹�À µ ÀX»Â8ÁC¿h·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸=ÁÈÎ�ÀTOVO�ÀX¹�ULº µ K�¹$¿�»ÂÊNz·MËC¸Lº»Ä"¿ µ NVº»· µP³ Q }ÈUL¿ µ ¹�¿JÀT¶V¿

Page 9: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

§#¨{ÇܺÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�N�Á Î�ÖXÀ µ ��ÀXÄ"ÃC¿ µ ��N�OVUL¿�·X¶n¿�Ä ½eÓ º µ ¹�¿ � ¤ ��� ��� ¤ ���RºÊN�ÀUL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿8}¬ºÊO�Ë�·MÂÊ»·��hNOVU8ÀTOÁC·XOVU U � � À µ ¸ � � � ÀT¶n¿�§)¨PÇqº»NV·MÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ�N ½ çzο�ÝÕ¹�º»NVºÊ· µ }�º�O"Ë�·MÂÊ»·��hN�OnU8ÀTO U � � º»N=À�UL·MÄ�·MÂÊ·MKXÎ ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿8} µ ·�� ��ºÊOnU ÀT¶VÁ8ºÊOP¶�ÀT¶Vλ·È¹�ÀXÂ�¹$·?¿A@"¹�º»¿ µ OnN ½ çzÎ OVUL¿#I µ ºÊÖ0¿$¶nNVÀXÂ�¹�·?¿A@"¹�º»¿ µ O�OnUL¿$·X¶n¿�Ä }:À µ ¸ è ¿$Ë�NV¹�UL¿$OnÅ�¸LI8ÀX»ºÊO¡Î Ë�·X¶OnUL¿�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O�Ä#À µ º»Ë�·MÂʸP� }�º�OhË�·MÂÊ»·��hN�OnU8ÀTO � � � ºÊNRÀ=UL·MÄ"·M»·MKXÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿8}®ÀXK0ÀXº µ��ºÊOnU ÀT¶VÁ8ºÊOV¶nÀT¶VÎ�»·È¹�ÀXÂ<¹�·È¿A@�¹�ºÊ¿ µ OnN ½"ã ¿ µ ¹�¿�Á®·XOnU U � � À µ ¸ � � � ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N~}®À µ ¸ � ºÊNhÀ µ ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶V¸Lº»NVÄ · µ U ½

´^µ OnUL¿�Ë�·M»ÂÊ·���º µ K�¸L¿$ä µ º�Onº»· µ N~} ��¿�¹�· µ NPOP¶nIL¹$O�À Ä�·?¸L¿� � � � � * S:U[V Ë�·X¶#OnUL¿�NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿ æ�èÆ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ NPÃ�ÀX¹�¿ N �K� S:UWV }2Á�ÀXNV¿$¸ · µ À�¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ ·MËeÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�À�À µ ¸ NVº»Ä=Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8N ½´^µ OnUL¿ µ ¿�ÝÕO�OC��· NP¿�¹$OnºÊ· µ N~}u��¿Æ�hºÊ»Âz¶n¿vÇÜ¿�Ý?ÃL¶n¿�NVN�OnULº»N�ÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�ÀXÂ�Ä�·È¸L¿�Â�º µ On¿$¶nÄ"N�·MËRÀ¹�ÀTOn¿$KM·X¶VÎ�·MË<NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂCNV¿�OnNRÀ µ ¸�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTÃ8NH} À µ ¸�OnUL¿ÀXÂÊKM¿$ÁL¶�ÀXºÊ¹Í�ÇqOnUL¿�·X¶PÎ�·MËGNPÃ�ÀX¹�¿�N~}¶n¿�N{ÃC¿�¹$OVºÊÖ0¿�Â�Î ½� ��� �¿Á2À�Á%��� $�":$�"��)" H æ�è Ä#ÀTÃ�� T Í ¹ � ·MË�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O�î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�À �hºÊ»ÂeÁC¿Ï¹�ÀX»ÂÊ¿�¸AÀ� Á%� ¼ � ��� ¾�¼ º»ËeºÊOJU8ÀXNJ¹�· µ OV¶�ÀX¹�OnºÊÁ8ÂÊ¿�ÃC·Mº µ O)º µ Ö0¿$¶nNP¿�N~}%º ½ ¿ ½ } º»Ë�� # ¨ S V º»NJ¹�· µ OV¶�ÀX¹�OnºÊÁ8ÂÊ¿�Ë�·X¶¿�ÀX¹�U�ÃC·Mº µ O� ¯ � ½ S H NPÃ�ÀX¹�¿�ºÊNG¹�· µ OV¶�ÀX¹�OnºÊÁ8ÂÊ¿zº»ËLº�O¬º»N<UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ O<On·RÀR· µ ¿�Çqî·Mº µ ONPÃ�ÀX¹�¿ ½ ´ OhºÊN~}8º µ Ã�ÀT¶VOnº»¹$ILÂ�ÀT¶�}LOnUL¿ µÌµ · µ ÇÜ¿�Ä"ÃLO¡Î ½ V´^µ OnULº»N<¹$· µ On¿vÝÕO�} Ú�½0á ·MUL¿ µ � á ·0Y Þ } ¾ ULÄ ½?¼M¼M½Ê¼~� U8ÀXN<ÃL¶n·6Ö0¿�¸�OnU8ÀTO:NVºÊÄ"Ã8»¿zÄ�ÀTÃ8N S ��ULº»¹�U

UL¿¹�ÀX»»¿$¸�¹�· µ OV¶�ÀX¹$Onº�Á8»¿�Ä#ÀTÃLÃ8º µ KMN V ÀT¶n¿�NVº»Ä=Ã8»¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N ½z¾ ��·=¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$OÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀ�ÀT¶n¿"OnU ILN�·MËzOnUL¿�NVÀXÄ�¿"NVºÊÄ"Ã8»¿=UL·MÄ�·XOn·Xà Î�O¡ÎÈÃC¿"ºÊË�À µ ¸ · µ ÂÊÎ º»Ë�OnUL¿�Î ¹�À µ Á®¿Â»º µ Û0¿�¸�Á Î�À�ä µ º�On¿z¹�U8ÀXº µ ·MËLNVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8N ½<¾ UL¿z¹�·MÄ=ÃC·MNVº�On¿�·MËÕOC��·JNVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8NGºÊN¬ÀXK0ÀXº µ ÀNVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTà ½:¾ ULºÊNzË�·M»ÂÊ·���N�Ë�¶V·MÄ æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½Ê¼M½ Q)ÁC¿�ÂÊ·�� }?º µ ÖÕº»¿-� ·MËCOVUL¿hÃC·MNVNPºÊÁ8º»ÂʺÊO¡Î�·MËOV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnº µ K�î·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶�À�À µ ¸ æ�è Ä#ÀTÃ8N ½:¾ U ILNT��¿h¹�À µ º µ On¿$¶VÃL¶n¿�OzOnUL¿hNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿hUL·MÄ�·XOn·Xà ÎO¡Î?î¿�N¬·MËÕÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶�À)ÀXNGOVUL¿zÃ�ÀTOnU�¹�·MÄ"î· µ ¿ µ OVN¬·MË S OnUL¿ µ ¿$¶VÖ0¿�·MË V ÀR¹�ÀTOn¿$KM·X¶VÎ�·MËLÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀÀ µ ¸�NVºÊÄ"Ã8»¿)Ä#ÀTÃ8N ½� ��� �¿Á2À�Á%����$�"%$�"���" è ¿$O+Í ÁC¿�À�¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$O%ÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶n· µ ½ � ¿�¸L¿$ä µ ¿�À�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂX¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ� � � � * S Í V ·MËÕ¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀh¹�· µ O�ÀXº µ º µ KhÍ ÀXN<À�¸L¿�Ë�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ ¶n¿�OV¶�ÀX¹$O�}TÀ µ ¸�NVºÊÄ"Ã8»¿ æ�èÄ#ÀTÃ8NRÁ®¿$OC��¿�¿ µ OnUL¿�NV¿ ½ ´^µ NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ+¸L¿�KX¶n¿�¿�S }COnUL¿�·XÁ #{¿�¹$OVNÀT¶n¿�¹$·MÄ"Ã�ÀX¹$OJÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀ �¿�åÈILºÊÃLÃC¿$¸ ��ºÊOnU�À æ�è ¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ KÀ µ ¸�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿�Í ¹ � ½:¾ UL¿�Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�N� T �'¹ �  CÀT¶n¿ROnUL¿hNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿ æ�è Ä#ÀTÃ8N�OVU8ÀTOz¶n¿�NPOP¶nº»¹$O�On·�OnUL¿Jº»¸L¿ µ Onº�O¡Î�· µ Í }?ÖÕº»À�OnUL¿JKMºÊÖ0¿ µ¿�Ä�ÁC¿$¸L¸Lº µ KMN ½ H�¸L¿�Ë�·X¶nÄ�ÀTOnº»· µ ¶V¿$OV¶�ÀX¹$OVº»· µ � ¹ Í ¿vÝLº»N{OnNRË�·X¶J¿�ÀX¹�U�·XÁ #{¿�¹$O~} Á8IÕO)À�¹�UL·Mº»¹$¿·MËGNPIL¹vU�À�Ä#ÀTÃ�ºÊN µ ·XO�Ã�ÀT¶VO�·MË+OnUL¿�NPOV¶nIL¹�OnIÕ¶n¿ ½´^µ NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂG¸L¿�KX¶n¿$¿ �;}2OnUL¿�·XÁ #{¿�¹$OVN�·MË � � � �à S Í V ÀT¶n¿ � ���;���B� � � ¾ À�ÁJ��� � S � æ�è

Ä#ÀTÃ8N���UL·MNV¿�I µ ¸L¿�¶nÂÊÎ?º µ K¹$· µ Onº µ IL·MILNeÄ#ÀTÃ=·MË�OV·XÃC·M»·MKMºÊ¹�ÀXÂÕNPÃ�ÀX¹$¿�N�ºÊN�À Ó ¿$¶V¶V¿�äLÁL¶�ÀTOVº»· µ V ·M˹�·MÄ"Ã�ÀX¹�OJÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�À § T � ¹ ß�à8}���ºÊOnU À æ�è ¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ KÌÀ µ ¸ UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿Í ¤ ß=à ¹ � ·jÖ0¿$¶¬ß=à8}TË�¶n·MÄ OVUL¿�ÃL¶n·È¸LIL¹$O<äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ ) T Í ¤ ß=à ¹ ß�à ½¬¾ UL¿zÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�N� T�� ¹ �  e·MË � � � �à S Í V ÀT¶n¿"OnUL¿�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿ æ�è äLÁ®¿$¶�Ä#ÀTÃ8N�·jÖ0¿$¶�ß=à=OVU8ÀTO¶n¿�N{OV¶nº»¹�OOn·ÌOVUL¿º»¸L¿ µ Onº�O¡Î�· µ Í ¤ ß=àB}8Ö?º�À�OnUL¿KMº�Ö0¿ µ ¿$Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ KMN ½

� ÀX¹�U æ�è ¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K�Í ¹ Í� :·MË�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹�O�î·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶�À̺ µ ¸LIL¹$¿�N�À S Ë�·X¶z��ÀT¶n¸ V Ë�I µ ¹vÇOn·X¶ � � � � * S Í V ¹ � � � � * S Í�  V OnU8ÀTO�O�ÀTÛ0¿�N=Í ¹ � On· Í�  ¹ Í�  � � }�À µ ¸-NVºÊÄ�º»Â»ÀT¶nÂÊÎ�º µÃ�ÀT¶�ÀXÄ�¿�OV¶nº»Å$¿�¸�Ë ÀXÄ"º»Â»ºÊ¿�N ½:¾ UL¿�Ã8ILNPUL·MIÕOhÍ�  �� � ¿�ÝLºÊNPOnN�ÀXNhÀ�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶V· µ }ÕÁC¿�¹�ÀXILNP¿�ÁC·XOVUÍ ¹ Í   À µ ¸�Í ¹ � ÀT¶n¿ æ�è ¿$Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ KMN ½�¾ ULº»N�Ä#ÀTÛ0¿�N � � ��� * S Í V À"¹$·jÖTÀT¶nº�À µ OJË�I µ ¹$OV·X¶º µ Í'}8Ë�·X¶ æ�è ¿�Ä�ÁC¿$¸L¸Lº µ KMN ½�¾ UL¿�¶n¿ºÊNRÀ µ ÀTOVIÕ¶�ÀXÂ�� À ¾ Á � Á% ¾ À�ÁJ��� � ¾¼

� T�� � � � * S Í V ¹ � � � � * S Í ¤ � V

OnU8ÀTO�O�ÀTÛ0¿�N�Í ¹ � On·�Í ¤ � ¹ � ¤ �l}�À µ ¸�NVº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶nÂ�Î#º µ Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OP¶nº»Å�¿$¸ÌË ÀXÄ�ºÊ»º»¿$N ½ ´ O�º»NÀ=UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎÏ¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�Á Î è ¿�Ä"Ä#À ÐL½Ê¼M½»¼ W�ÁC¿�ÂÊ·�� ½

Page 10: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� �

� ¿)·MË�On¿ µ ¶n¿�K0ÀT¶V¸ÌÀ�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀX®NP¿$O�ÀXN�À�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX ¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ��hº�OnU�· µ Â�Î#º»¸L¿ µ Onº�O¡Î#Ä�·X¶PÇÃ8ULº»NPÄ�N~}+À�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ<¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ ÀXN)OnUL¿�Á8º»NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX¬NV¿�OKMº�Ö0¿ µ Á Î ºÊOnN�¸L¿�KX¶n¿�¿-�hºÊNV¿ µ ¿$¶PÖ0¿S ¦)¿$ä µ º�Onº»· µ W ½ W ½»¼ V }LÀ µ ¸�À�Á8ºÊNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂCNV¿�ORÀXN�OnUL¿�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂCNV¿$OhKMºÊÖ0¿ µ ÁÈÎ�ºÊOVN�¸Lº»ÀXKM· µ ÀX ½H�Ä#ÀTÃÌ·Mˬ¹�ÀTOn¿�KM·X¶Vº»¿�N~}�º ½ ¿ ½ }�À"Ë�I µ ¹�On·X¶�}CºÊNRÀ"UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿º»ËGOnUL¿º µ ¸LIL¹�¿�¸�Ä�ÀT÷MË µ ¿$¶VÖ0¿$N�º»N�À �z¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½zÓ ¿�¿ � Ó ¿�Y�� }�°�W � } ��� I Þ Q }�° ¼~� ·X¶ ��� À Þ �MÀ }° ØB�Ë�·X¶�Ä�·X¶n¿�· µ OnUL¿�NP¿¹�· µ Ö0¿ µ Onº»· µ N ½� ��� �¿Á2À�Á%��� $�":$�"���" è ¿$O U ÁC¿�ÀϹ�·MÄ"Ã�ÀX¹$O æ�è Ä#À µ ºÊË�·M»¸ ½�¾ UL¿$¶V¿�ºÊN�À µ ÀTOnIÕ¶nÀXÂ<Ä#ÀTà ·MËNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂC¹�ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¿�N

% T Ä ��� S:U[V & ¹ � � � � * S:U ¤ � VOnU8ÀTO+O�ÀTÛ0¿�N S ��¥ ( V On·hOVUL¿�I µ ¸L¿$¶nÂÊÎ?º µ KJ¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$OGî·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶n· µ ·MËÕOnUL¿�Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ �£}8��ºÊOVUOnUL¿ æ�è ¿�Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K)À µ ¸�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿zÃL¶n·6ÖպʸL¿�¸�ÁÈÎ�OnUL¿z¹�·MÂÊÂ�ÀT¶ (�T U ¤ � ¹ �£}À µ ¸#ÖպʿH�hN æ�è Á8I µ ¸LÂÊ¿�N�·jÖ0¿$¶�ß à ÀXNzÁC¿$º µ K�Ã�ÀT¶VOnºÊ¹�ILÂ�ÀT¶�¹�ÀXNV¿�N�·MË æ�è Ó ¿�¶V¶n¿RäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N�·jÖ0¿�¶ß=à ½ ´ O�¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿�N|��ºÊOnU�OnUL¿NPOnÀTÁ8º»Â»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ Ä#ÀTÃ8NH}LNV·"º µ ¸LIL¹�¿�NJÀ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%Ä#ÀTÃ

% T N ��� S:U[V & ¹ ¹�·MÂʺ»Ä� � � � � * S%U ¤ � ¤ � � V��

ã ¿$¶n¿�º»N�OnUL¿ æ�è Ä#À µ ºÊË�·M»¸ÏÃ�ÀT¶VOR·MË�OnUL¿NPOnÀTÁ8»¿)Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OV¶Vº»Å�¿�¸�ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶V¸Lº»NVÄÉOnUL¿�·X¶n¿$Ä ½����������� � $�"%$�"���"Ft�*-7�U I_*]3FLM@BAaD3�L-7lsut A�385/ \ @B=hg�{6&#(+*-,M*0/21]365�3>7:9;,<38=#(+@BA6@[email protected]�E*.GH9;/JI83>=K*-5�LM*

N ��� S:UWV�X � � � � * S:UWV��� @B,.* D�,.*_L-/21�*-= E�il7:(+*-,.*0/214365�387:9;,<3>=¿L_( 38/%5�@ \ (+@8A6@B7»@.D�EF*.GH9;/JI83>=K*-5�LM*_1

N �K� S:UWV & � ¹�·M»ºÊÄ�

Ä �K� S:U ¤ � � V & �¸h¹ �¹�·MÂʺ»Ä

� � � � � * S:U ¤ � ¤ � � V� ¸�� � � � * S:U[V ¥

385�g4N ��� S:U[V & XZN �K� S%UWV�{çzÎ#OnUL¿�ÀT¶VKMILÄ�¿ µ Oh·MË ��� À��0W;}8à ½%¼jÞMØB� } �hULºÊ¹vU ��¿¿�Ý?Ã8Â�ÀXº µ ÁC¿$»·��0}8ºÊO�NVI @"¹�¿�NhOn·�ÃL¶n·6Ö0¿

¾ UL¿�·X¶n¿�Ä ¼M½»¼M½ÙÞ �hUL¿ µ U º»N�À#¹�·È¸Lº»Ä�¿ µ NPº»· µ Å�¿$¶n·�NVIÕÁ8Ä#À µ ºÊË�·M»¸ ·MË � IL¹$»º»¸L¿�À µ NPÃ�ÀX¹$¿>}+·X¶À�»º�OVOnÂÊ¿Ä�·X¶n¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂÊÂÊÎ�}��hUL¿ µ U º»NRN{O�ÀTÁ8ÂÊÎÌË�¶�ÀXÄ�¿�¸ S NP¿�¿�¦)¿$ä µ ºÊOnºÊ· µ ÐL½»¼M½ W V ½h¾ UL¿ÃL¶n·È·MË·MË�OnUL¿#NPO�ÀTÁ8Â�Î Ë�¶�ÀXÄ"¿�¸�¹�ÀXNV¿6��º»Â»ÂeÁC¿#KMº�Ö0¿ µ º µ æ ÀT¶VO Ð }:À µ ¸�ºÊN�·MIÕOn»º µ ¿�¸�º µ Ó ¿�¹$OVº»· µ ÐL½»¼M½á Ë ½ ¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ S ÐL½»¼M½Ê¼ Q V ½ *-A�38,�� �{� �{��� *.g89�L-7�/¬@B5 7»@ 7%(*�1_7C3 IH= E \ ,<38A *.g L.3B1�*���{ ã ¿$¶V¿���¿ ILNV¿ ÀANV¿�¹�· µ ¸ UL·TÇÄ�·XOn·Xà Π¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ O�Ä�·È¸L¿�Â Ä S:U[V � Ë�·X¶�OnUL¿AÆ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ NPÃ�ÀX¹�¿ ·MË U }w�hUL¿�¶n¿ ¿�ÀX¹�UÆ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ � ¹�·MÄ"¿�N�¿�å?ILº�ÃLÃC¿�¸ �hº�OnU À�¹�UL·Mº»¹�¿�·MËRÀ á H ¾ ¶n¿$OV¶�ÀX¹�Onº»· µ ) T � ¹ U }À µ ¸�NVº»Ä"º»Â�ÀT¶VÂÊÎ�º µ Ã�ÀT¶nÀXÄ�¿$OV¶nºÊÅ�¿�¸ Ë ÀXÄ�ºÊ»ºÊ¿�N ½�¾ UL¿"Ë�·X¶nKM¿$OnË�ILÂzÄ�ÀTÃ�Ä S:UWV � ¹ Ä S:U[V º»N�À��¿�ÀTÛ�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>}eNVº µ ¹$¿�¿�ÀX¹�UAº µ ¹�ÂÊILNVº»· µ U � � º»N�À�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ À µ ¸ ÀUL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ ½�â ·X¶�¿�ÀX¹�U á H ¾ ¸Lº»NV¹�Á8I µ ¸L»¿�� T � ¹ U OVUL¿$¶n¿ºÊNRÀ�¼ + � ��¿¾ ���� ¾¼���� T Ä S%UWV � ¹ Ä S:��V � }GOnU8ÀTOOnÀTÛ0¿�N�À µ Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ � · µ U �hº�OnU ¶n¿$OP¶�ÀX¹$OnºÊ· µ) T � ¹ U On·#OnUL¿�Ã8ILÂÊ»¿�¸?ÇlÁ�ÀX¹�Û Æ Çܹ$·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ � ¤ � � · µ � }���ºÊOnU�OnUL¿�Ã8ILÂÊ»¿�¸?ÇlÁ�ÀX¹nÛ¶n¿$OP¶�ÀX¹$OnºÊ· µ ½

U ¤ � �//�

//

���

� ¤ � � � � ���//

��

U ¤ � �

����

//�

//

���

� ¤ � �//

��� ���

����U

//�

//� �

//U

Page 11: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

��� ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

´ Ë�­ T U ¤ � � ¹ � º»N)À�NV¿$¹�· µ ¸ á H ¾ ¸LºÊNV¹�Á8I µ ¸L»¿>}%NV·�OVU8ÀTOJOnUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOn¿ �;­�¿$å?I8ÀX»NOnUL¿#ÃL¶n·�#{¿�¹$OVº»· µ ) T U ¤ � � ¹ U }¬OnUL¿ µ S �;­ V � ¿�å?I8ÀXÂÊN�OnUL¿ �MÇÜË�·M»¸�NPO�ÀTÁ8ºÊ»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ Ä�ÀTí � � � � � � ½eã ¿ µ ¹�¿�OnUL¿$¶n¿�º»N�À=¹�·MÄ"Ä�IÕOnÀTOnºÊÖ0¿J¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ T

Ä S:U[V � ���//

���

Ä S%�mV � � �//Ä S:U[V �

���Ä S:UWV ���

//Ä S:UWV

çzÎ ã ÀX¿��8º»KM¿$¶� � ÀX» � ã � Y Ø } á ·X¶ ½ ÐL½ W � }È¿�ÀX¹�U#¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$O æ�è Ä�À µ º»Ë�·M»¸ U ÀX¸LÄ�º�OnN�ÀNPO�ÀTÁ8ÂÊ¿µ ·X¶nÄ#ÀXÂ%¸LºÊNV¹�Á8I µ ¸L»¿ � T � ¹ U }�hº�OnU � ¿�Ä�ÁC¿�¸L¸L¿$¸`��ºÊOVU�¹�·?¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ Å�¿$¶V·�º µ NV·MÄ�¿� IL¹$»º»¸L¿�À µ !®ÇÜNPÃ�ÀX¹$¿ ½¬â IÕ¶POnUL¿$¶nÄ�·X¶V¿>} æ�è ¸Lº»NV¹:Á8I µ ¸L»¿�N<ÀX¸LÄ�ºÊO�NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿�º µ Ö0¿$¶VNV¿�N ½¬è ¿$O)­ T U ¤� � ¹ � Á®¿�OnUL¿�¸Lº»NV¹�Á8I µ ¸L»¿�º µ NVIL¹�UÏÀ�NPO�ÀTÁ8»¿�º µ Ö0¿$¶nNP¿hOn· ��} NVIL¹�U�OnU8ÀTO �;­�º»Neº»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»¹On·OVUL¿RÃL¶n·?¸LIL¹$O �MÇܸLº»NP¹RÁ8I µ ¸L»¿J·6Ö0¿$¶ U }?À µ ¸ ­ S � ¤ + � V ºÊNzº»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»¹�On·�OnUL¿hÃL¶V·?¸LIL¹$O �MǸLº»NP¹�Á8I µ ¸LÂÊ¿�·jÖ0¿$¶ � ½ çzÎ�OnUL¿�¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ&ÀTÁC·6Ö0¿>}XÃ8IL»Â�Á�ÀX¹�Û�ÀX»· µ K ��À µ ¸�­�¸L¿$ä µ ¿�UL·MÄ�·XOn·Xà κ µ Ö0¿$¶nNP¿Ä#ÀTÃ8N

N ��� S:UWV ���¸¬¹ N ��� S:��V � �¸C¹ N �K� S:UWVÀXË�On¿$¶hNPO�ÀTÁ8ºÊ»º»Å�ÀTOnº»· µ ½è ºÊÛ0¿H��º»NV¿8}eOnUL¿�¶n¿ÌºÊN=À UL·MÄ�·XOn·Xà Π¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ O=ÖTÀT¶nº»À µ O � � � � * S:U[V � ·MË � � � � * S%UWV }���ºÊOnU À

S ¹�· µ OV¶�ÀX¹�OnºÊÁ8ÂÊ¿ V ¹vUL·MºÊ¹�¿·MË%¶n¿$OP¶�ÀX¹$OnºÊ· µ ) T �'¹ U Ë�·X¶h¿�ÀX¹�UÌî·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶n· µ � ¹$· µ O�ÀXº µ º µ K U }À µ ¸�NVº»Ä"º»Â�ÀT¶VÂÊÎ�º µ Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OP¶nº»Å�¿$¸�Ë ÀXÄ�º»Âʺ»¿�N ½<¾ UL¿$¶V¿�ºÊN¬ÀJNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀX Ë�I µ ¹$On·X¶ � � T�� � ��� * S:U[V � ¹� � � � * S:��V � }CÁÈÎÌOnUL¿�Ã8IL»ÂÊÁ�ÀX¹nÛ�ÃL¶V·XÃC¿$¶VO¡Î�·MËeNVºÊÄ"Ã8»¿�Ä�ÀTÃ8N S NV¿�¿ æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½Ê¼M½ Q V ½ ´ O)ºÊN)ÀUL·MÄ�·XOn·Xà Π¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿>}:NVº µ ¹$¿�¿�ÀX¹vU�NPOnÀTÁ8º»Â»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ Ä#ÀTà � ºÊN�À�UL·MÄ�·XOn·Xà Π¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿Á Î è ¿�Ä�Ä�À ÐL½Ê¼M½»¼ W ½�¾ U ILNºÊO�NVI @"¹�¿�N�On·�ÃL¶V·jÖ0¿ ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä ¼M½»¼M½ Þ Ë�·X¶ � }#��ULº»¹�U ºÊN�N{O�ÀTÁ8ÂÊÎË�¶�ÀXÄ�¿$¸?}�º µ Ã8»ÀX¹�¿·MË U ½

*-A�38,��� �{� �{��{ H NPº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶ÏÀT¶nKMILÄ"¿ µ OÏÂÊ¿$OnNÏILN#¶n¿�¸LIL¹�¿�OnUL¿�NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿�Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OV¶Vº»Å�¿�¸ ¾�Ò)æÆ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ OnUL¿�·X¶V¿�Ä On· OVUL¿ æ�è ¹�ÀXNV¿ ½ çzÎ � Ú º�Y Ð>� À µ ¸ � ��º�Y Ð>� ¿�ÀX¹vUA¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O ¾�Ò)æÄ#À µ ºÊË�·M»¸ U ÀX¸LÄ�ºÊOnN�À µ ·X¶nÄ#ÀXÂ�¸Lº»NV¹RÁ8I µ ¸LÂÊ¿ � T � ¹ U º µ NV·MÄ�¿ � IL¹�Âʺ»¸L¿�À µ NPÃ�ÀX¹�¿8}LÀ µ ¸��ÀX¸LÄ�ºÊOVNGÀRNPOnÀTÁ8»¿zº µ Ö0¿$¶VNV¿ ½ HJN¬Àh¹�·È¸Lº»Ä�¿ µ NVº»· µ Å�¿�¶n·JNVIÕÁ8Ä#À µ ºÊË�·M»¸�·MË � IL¹�Âʺ»¸L¿�À µ N{Ã�ÀX¹�¿>} �¹�À µ ÁC¿�KMºÊÖ0¿ µ À æ�è NPOV¶nIL¹$OVIÕ¶n¿ ½ çzÎ#OnUL¿�ÀT¶nKMILÄ�¿ µ OhÀTÁC·6Ö0¿>} � � T N R�� � S:UWV ¹ N R�� � S%�mVº»N=À UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿ ½ â IÕ¶VOnUL¿$¶VÄ�·X¶n¿>}uÄ ��� S:��V ¹ Ä R�� � S:��V º»N"À�UL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�Ë�·X¶�! � ¸LºÊÄ S:��V ³ Ø }eÁ Î�OV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnºÊ· µ OVUL¿�·X¶VÎ � ç èGÞTÐ } ¾ ULÄ ½ Y ½ W � À µ ¸� � ÓLÞMÞ } � ½ Ø?½ÙØB�q½ ¾ U ILN N �K� S:��V X N R�� � S:��V }�À µ ¸-OnUL¿ ¾�Ò)æ ¹�ÀXNV¿Ì·MË ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä S ½Ê¼Ë�·M»ÂÊ·���N�Ë�¶n·MÄ OVUL¿ æ�è ¹�ÀXNV¿ ½

*-A�38,�� �{� �{� ���{ Ú ·X¶n¿"ÖTÀT¶nº�ÀTOnºÊ· µ N�ÀT¶n¿=ÃC·MNVNVº�Á8»¿�º µ OnUL¿�¸L¿�ä µ ºÊOnºÊ· µ ·MËzOnUL¿�Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄNPÃ�ÀX¹�¿ Ä S:UWV ½ â ·X¶"À äÕÝL¿$¸ Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ � · µ U }�OnUL¿ÏÃ�ÀTOnU ¹$·MÄ"ÃC· µ ¿ µ O=·MËwÄ S:UWV¹�· µ O�ÀXº µ º µ K � º»NRÀϹ$Â�ÀXNVNVºÊË�ÎÕº µ K#NPÃ�ÀX¹�¿�Ë�·X¶ á H ¾ Á8I µ ¸L»¿�Nc��ºÊOnU�äLÁ®¿$¶0�£}�¶n¿�Â�ÀTOVºÊÖ0¿On·�OVUL¿ÃL¶n·È¸LIL¹$O=Á8I µ ¸LÂÊ¿Æ��ºÊOVU�äLÁ®¿$¶ U ½ H UL·MÄ�·XOn·Xà Π¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ O=Ä"·?¸L¿�ÂzË�·X¶�OnULºÊN=¹$Â�ÀXNVNVºÊË�ÎÕº µ KNPÃ�ÀX¹�¿�ºÊNROnUL¿�Á�ÀT¶)¹�· µ NPOV¶nIL¹�Onº»· µ Å������ S � ¶V¿� UWV ·MˬOnUL¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�KX¶n·MIÕà ·MË á H ¾ ÀXI?ÇOn·MÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ�N�·MË¿� ¶V¿�Â�ÀTOnº�Ö0¿�OV· U ½�ã ¿ µ ¹$¿�OnUL¿$¶V¿º»N�À=UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎÏ¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿

Ä S:UWV�X��� ��� Å������ S � ¶V¿� UWV ¥

��UL¿$¶n¿ � � � ¶�À µ KM¿$Nh·6Ö0¿$¶�OVUL¿�NV¿�OR·MËGºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ ¹�»ÀXNVNV¿�N�·MË á H ¾ Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ�N�· µ U ½

Page 12: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� ���´^µ Ã�ÀT¶VOVº»¹�IL»ÀT¶�} �hUL¿ µ � � U ¤ � ºÊN�OVUL¿�ÃL¶n·È¸LIL¹$O)ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ · µ U �� U ¤ S } �z¿

ÀT¶n¿�»¿�¸�On·=OnUL¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ2KX¶n·MIÕÃ

S ¼M½Ê¼M½»¼M¼ V � S%UWV � ����� S:U ¤ � ¥ U ¤ ¼ V·MË ����� ����� �����Bà ¾ � ��� � S � Ã8NV¿$IL¸L·TÇܺ»NP·XOn·XÃ8º»¿�N V · µ U ½e¾ UL¿$NV¿�ÀT¶n¿JOnUL¿ á H ¾ ÀXIÕOV·MÄ�·X¶PÇÃ8ULº»NPÄ�N·MË U ¤ � OnU8ÀTO�ÃC·Mº µ OC��º»NV¿�äÕÝ�OVUL¿"¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿�Ä�¿ µ O�·MË U ¤ ¼ º µ�� S:U ¤ � V ½�¾ UL¿¹�· µ ¹�·X¶V¸8À µ ¹�¿�NOnU8ÀTO�¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿���ºÊOnU OnUL¿=ÃL¶V·�#{¿$¹$Onº»· µ On· � � � S ¥ ¼~� ÀT¶V¿�OnUL¿=NnÀXÄ�¿=ÀXN�OVUL¿º»NP·XOn·XÃ8º»¿�N·MË U ¶n¿� � U NPO�ÀT¶POnº µ K�ÀTOOnUL¿�º»¸L¿ µ Onº�O¡Î�}GÁ8IÕO�¹�· µ ¹�·X¶n¸8À µ ¹$¿�N�ÀT¶n¿ µ ·XO�¶n¿$å?ILºÊ¶V¿�¸On·�¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿6��ºÊOVU�OVULº»N�ÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ }�UL¿ µ ¹�¿�OnUL¿ µ ÀXÄ�¿�Ã8NP¿�IL¸L·TÇܺÊNV·XOn·Xà Π½ ¾ UL¿Ïº µ ¹�»ILNVºÊ· µ� S%UWV ¹ ����� S:U ¤ � ¶V¿� U ¤ S V ºÊNzÀ�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿8}?NV·�OnUL¿�Ã�ÀTOnU#¹�·MÄ"î· µ ¿ µ O·MË¿Ä S:U[V OVU8ÀTOh¹�· µ O�ÀXº µ NhOnUL¿)OV¶nºÊÖ?º�ÀXÂGÆ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ�NhºÊNhUL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ O�OV·=OnUL¿�Á�ÀT¶¹�· µ NPOP¶nIL¹$OnºÊ· µ Å�� S%UWV ½ ´^µ KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂ�}+Ä S:U[V º»N�À µ · µ Çܹ$· µLµ ¿�¹$Onº�Ö0¿¸L¿�ÂÊ·?·XÃ8º µ K�·MË%OnUL¿ á H ¾¹�· µ ¹�·X¶V¸8À µ ¹�¿�NPÃ�ÀX¹�¿ � S:U[V ½çzÎ�OnUL¿ � Çq¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ OnUL¿�·X¶n¿$Ä }MOnUL¿�NP¿$O�·MË�Ã�ÀTOnU"¹$·MÄ"ÃC· µ ¿ µ OnNe·MË�Ä S:U[V º»Neº µ Á8º #{¿�¹$OnºÊ· µ

��ºÊOnU�OnUL¿ � ULºÊOV¿�UL¿�ÀX¸ KX¶n·MIÕà � U�¨ S § V � ÍP¨ S:© � § � V<ª+S¬« § V };��UL¿ µ�� � ¸LºÊÄ S:U[V ³ Ø À µ ¸U º»N�¹�· µLµ ¿$¹$On¿�¸���ºÊOnU Ë�I µ ¸8ÀXÄ"¿ µ OnÀXÂ�KX¶n·MIÕÃ�§ ½#â ·X¶�¸Lº»NP¹�· µLµ ¿�¹$On¿$¸ U }+OnUL¿ � ULºÊOV¿�UL¿�ÀX¸KX¶n·MIÕÃ�NVUL·MILÂʸ�ÁC¿�º µ On¿�¶VÃL¶n¿$On¿$¸�ÀXN�OnUL¿�NVILÄ ·MË<OnUL¿ � ULºÊOn¿�UL¿�ÀX¸ KX¶V·MIÕÃ8N)ÀXNVNV·?¹$º�ÀTOn¿�¸�OV·�ºÊOnNº µ ¸Lº�ÖպʸLI8ÀXÂ<Ã�ÀTOnU ¹�·MÄ=ÃC· µ ¿ µ OnN ½�â ·X¶�¿�ÀX¹vU ¿�»¿�Ä"¿ µ O ­ ¯ � U�¨ S § V }��z¿ ��¶nºÊOV¿�Ä S:U[V � Ë�·X¶OnUL¿"Ã�ÀTOVU ¹�·MÄ"ÃC· µ ¿ µ O�·MË|Ä S:U[V OnU8ÀTO�¹�· µ NVº»N{OnN�·MËzOnUL¿ÌÆ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ�N0��ºÊOnU � ULºÊOV¿�UL¿�ÀX¸On·X¶nNPº»· µ ­ ½eâ ·X¶�¿vÝ8ÀXÄ"Ã8ÂÊ¿>}+Ä S:UWV � X Å�� S:U[V º»N�OnUL¿ � Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ N{Ã�ÀX¹�¿ ½Ó OnºÊ»ÂRÀXNPNVILÄ�º µ K � ³ Ø } ��¿�¹�À µ ä µ ¸ À µ Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ �'¨ÏË�¶n·MÄ U On· U � } ��ºÊOVU� ULºÊOn¿�UL¿�ÀX¸ On·X¶VNVº»· µ ­ ¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿ÌOV· U }�À µ ¸ À NV¿�¹$· µ ¸ Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ ����Ë�¶n·MÄ U � OV·

U }#�hº�OnU � ULºÊOn¿$UL¿�ÀX¸ On·X¶nNVºÊ· µ ¸ ­ ¶n¿�Â�ÀTOVºÊÖ0¿�On· U � ½Ï¾ UL¿ µ � ¨ � � � ��� �� U ¤ � À µ ¸��� � � �'¨r�� U � ¤ � }jÁ Î�OVUL¿�NVILÄ Ë�·X¶nÄ�ILÂ�À�Ë�·X¶ � ULºÊOn¿�UL¿�ÀX¸On·X¶nNVºÊ· µ À µ ¸OVUL¿ � Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄOnUL¿�·X¶V¿�Ä ½ × ÂÊILº µ K���ºÊOnU²���ÌÀTO U }�À µ ¸ �'¨#ÀTO U � }z¶n¿$NPÃC¿�¹�OnºÊÖ0¿�Â�Î�}�¸L¿$ä µ ¿�UL·MÄ�·XOn·Xà κ µ Ö0¿$¶nNP¿Ä#ÀTÃ8N

Ä S:UWV � ¹ Ä S:U � V � ¹ Ä S:UWV � �ã ¿ µ ¹�¿

S ¼M½Ê¼M½»¼ W V Ä S:U[V � ��Ä S%UWV � X �

�Ä S:U � V � X �

�Å�� S:U � V ¥

��UL¿$¶n¿0­ ¯ � U?¨ S § V ½

� (��®( ��1�5 7%EG7�� ��,+7����0EG.0/ �T,�@ȳ´^µ OnULºÊN+NP¿�¹$OnºÊ· µ »¿$OGß�àeÁC¿:OnUL¿�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ-�jÇqNVº»Ä=Ã8»¿�Ý�}jOnUL¿eNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂXNP¿$O���ºÊOnU�KM¿�·MÄ�¿$OP¶nº»¹

¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOVº»· µ & ß à & OVUL¿�NPOnÀ µ ¸8ÀT¶n¸�À @ µ ¿ �jÇqNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý ½� ��� �¿Á2À�Á%��� $�"�E�"%$�" H NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂGNP¿$O � º»N � ��ÁJÀ�� º»ËeºÊO�º»N)KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿�¸�Á Î�ä µ ºÊOV¿�ÂÊÎ�Ä#À µ ÎNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N ½ H�Ä#ÀTà � T � ¹ � ·MË¬ä µ ºÊOV¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ�NV¿$OnNw��º»ÂÊÂ�Á®¿�¹�ÀX»ÂÊ¿�¸ ÀD� Á:� ¼ � �m� ¾�¼º»Ë%º�OnN�KM¿�·MÄ�¿$OP¶nº»¹R¶n¿�ÀX»º»Å�ÀTOnº»· µ & � & T & � & ¹ & � & U8ÀXN�¹�· µ OV¶�ÀX¹�OnºÊÁ8ÂÊ¿RÃC·Mº µ O�º µ Ö0¿$¶nNV¿$N~}Lº ½ ¿ ½ }ÕºÊË%Ë�·X¶¿�ÀX¹�U ¯L& � & OnUL¿)ÃL¶n¿�ºÊÄ#ÀXKM¿ & � & # ¨ S V º»N�¹�· µ OV¶�ÀX¹$OVºÊÁ8»¿ ½H�Ä�ÀTà � T � ¹ � ·MË�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂRNV¿�OnN�º»N�À� � ¾ � �)�����À�� ¼ #p�� + Á�. ¾ � � � ��� ºÊË

ºÊOVN�KM¿�·MÄ"¿$OV¶nºÊ¹�¶V¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ & � & º»N�ÀAUL·MÄ�·XOn·Xà ÎB¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½ H Ä#ÀTà � T � ¹ � ·MËNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂLNV¿�OnNzº»N�À ��� � � ¾ À�ÁJ��� ºÊË2ºÊO�º»N�º µ #{¿�¹$Onº�Ö0¿Rº µ ¿�ÀX¹�U#¸L¿�KX¶n¿�¿>}È·X¶z¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ OnÂ�Î�}ȺÊËCºÊOnNKM¿�·MÄ�¿�OV¶nº»¹�¶n¿�ÀX»º»Å�ÀTOnº»· µ & � & ºÊN�À µ ¿$Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K ½ � ¿hNnÀ�Î�OnU8ÀTO �#º»N�À �$�¿ÁJÀ��M��� � � ¾ À�Á%��� º»Ë }Ë�IÕ¶VOnUL¿�¶nÄ�·X¶n¿>} � º»NhKM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿�¸�ÁÈÎÏOnUL¿�º»Ä#ÀXKM¿J·MË � À µ ¸�ä µ ºÊOV¿�ÂÊÎ�Ä#À µ ÎÏ·XOnUL¿$¶hNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿$N ½

� ¿�NVU8ÀX»¬NP¿�¿"º µ Ó ¿�¹$OVº»· µ W ½Ê¼ Á®¿�»·�� OnU8ÀTO�NVº»Ä=Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8N�ÀT¶n¿ �z¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖÈÇÀX»¿ µ ¹�¿�N~}�À µ ¸ OnU8ÀTO"OVUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOn¿�·MËROC��· NVº»Ä=Ã8»¿ÌÄ�ÀTÃ8N"º»N�ÀXK0ÀXº µ À NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿ÌÄ#ÀTà ½ ´^µÃ�ÀT¶VOnºÊ¹�ILÂ�ÀT¶~}8OVUL¿�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8N�·MËGä µ º�On¿�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NV¿$OnN�Ë�·X¶nÄ À=¹�ÀTOn¿$KM·X¶VÎ ½

Page 13: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�z� ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

� ��� �¿Á2À�Á%��� $�"FE�"FE�" çzÎ�OnUL¿���· µ ¿�¸8À »¿$Ä�Ä#À }�OVUL¿$¶n¿�ºÊN#À · µ ¿�ÇlOn·TÇÜ· µ ¿�¹�·X¶P¶n¿�NPî· µ ¸L¿ µ ¹�¿ÁC¿�O»�z¿�¿ µ OVUL¿ !®ÇÜNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�� ·MËeÀ#NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NV¿$O � À µ ¸ OVUL¿�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂGÄ#ÀTÃ8N��� T ß �

¹� ½ � ¿ ¹�ÀX»Â��� OVUL¿ ��� ¼ �B� � � ��À�Á � � � ¾¼ ·MË�� ½ H NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NV¿$O � �hºÊ»Â�Á®¿�¹�ÀX»ÂÊ¿�¸����� ! � Á�� ��+ �J¾ � º»Ë�Ë�·X¶�¿�ÀX¹�U µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿ NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�� ¯ � OnUL¿�¶n¿$ÃL¶V¿�NV¿ µ Onº µ K Ä�ÀTÃ�� T ß �

¹ � º»N�À=¹$·XäLÁL¶�ÀTOnº»· µ ½

´^µ À µ Î�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ+NV¿�O � } OnUL¿�KM¿�·MÄ�¿$OP¶nº»¹¶V¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ & �� & T & ß � & ¹ & � & ·MˬOnUL¿�¶n¿$ÃL¶n¿vÇNV¿ µ Onº µ K�Ä#ÀTÃ=·MËCÀ µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿hNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ�#¶n¿�NPOV¶Vº»¹$OnN:On·À µ ¿�Ä�ÁC¿$¸L¸Lº µ K·MË�OnUL¿hº µ OV¿$¶nº»·X¶·MË & ß � & ½J¾ UL¿�ÀX¸L¸LºÊOnºÊ· µ ÀXÂG¹�· µ ¸Lº�Onº»· µ Ë�·X¶ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶)NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ+NP¿$OnNJº»NROVU8ÀTOJOnULº»NRÄ�ÀTú»Nz¶V¿�å?ILº�¶n¿�¸ÏOn·�ÁC¿�À µ ¿$Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K�·MË%OnUL¿w�hUL·MÂÊ¿)·MË & ß � & ½ ´^µ ·XOnUL¿$¶½��·X¶V¸LN~}ÕOnUL¿)º»Ä#ÀXKM¿$Nz·MËOnUL¿�Ö0¿$¶VOnºÊ¹�¿�N�Ä�ILN{ORÀXÂÊÂCÁC¿¸LºÊNPOnº µ ¹$O ½

� UL¿ µ Ö?º»¿H��¿$¸ ÀXN)NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ+NV¿$OnN~}%·X¶n¸L¿�¶n¿�¸ NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂG¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿�ÝL¿$NRÃL¶n·jÖ?º»¸L¿�¿�ÝLÀXÄ"Ã8»¿�N·MË µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶eNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX NV¿$OnNH}XÁ8IÕO µ ·XO¬ÀX» µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶eNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂÈNP¿$OnN:ÀT¶nºÊNV¿zOnULº»N¿��À6Î ½â ·X¶¿�ÝLÀXÄ"Ã8»¿8}�OnUL¿"I µ º»· µ ß ¨ �� ��� ß ¨ ·MË�O»�z· ¼ ÇÜNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�ÀX»· µ KÌOVUL¿�ºÊ¶�ÁC·MI µ ¸8ÀT¶VÎ�º»NÀµ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶hNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂCNV¿�O�}LÁ8IÕO µ ·XOhÀ µ ·X¶n¸L¿$¶n¿$¸�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂC¹�·MÄ=Ã8»¿�Ý ½� ��� �¿Á2À�Á%��� $�"�E�"��?" â ·X¶ÏÀ µ ÎBNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�NV¿�O � }�»¿�O � S���V ÁC¿�OnUL¿�¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ ·MËJä µ ºÊOV¿¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ N�� T � ¹ � ½�¾ UL¿=Ä"·X¶VÃ8ULº»NVÄ"N�Ë�¶V·MÄ���OV·��;  T � ¹ �  :ÀT¶n¿�OnUL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂÄ#ÀTÃ8N � T �[¹ �  �I µ ¸L¿�¶ � }Lº ½ ¿ ½ }ÕOnUL·MNV¿�NnÀTOnºÊNVË�ÎÕº µ K ��� � �;  ½â ·X¶�ä µ ºÊOn¿ � }�»¿�O � � � S���VP� � S���V ÁC¿�OVUL¿�NVIÕÁC¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ ��ºÊOnU ·XÁ #{¿�¹�OnNÏNVIL¹�U OnU8ÀTO

� T � ¹ � ºÊN)À���¿�ÀTÛÌUL·MÄ�·XOn·Xà ÎÌ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿>}%À µ ¸�Ä�·X¶VÃ8ULº»NPÄ�NhNVIL¹�U�OnU8ÀTO � T � ¹ �  º»N<ÀhNVº»Ä=Ã8»¿zÄ#ÀTà ½+è ¿�O � S���Vr� � S���V À µ ¸ ���� S���Vr� ��� � S �mV ÁC¿zOVUL¿zË�IL»ÂÈNVIÕÁC¹�ÀTOV¿�KM·X¶nº»¿$NKM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿�¸ÏÁÈÎ�OVUL¿J·XÁ$#{¿$¹$OnN�� T � ¹ � Ë�·X¶|�hULºÊ¹vU � º»N µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶ ½�è ¿$O�+ T����� S���V ¹��� � S �mV Á®¿�OnUL¿�º µ ¹�ÂÊILNVº»· µ Ë�I µ ¹$On·X¶ ½¾ UL¿R¸L¿$ä µ ºÊOVº»· µ ·MË ��� � S �mV · µ ÂÊÎ=Ä#ÀTÛ0¿�N�NV¿ µ NV¿8}LÀXNzNPO�ÀTOV¿�¸?}?Ë�·X¶zä µ º�On¿ � }ÈNVº µ ¹�¿®��¿RU8À�Ö0¿

µ ·XO�¸L¿�ä µ ¿�¸��hU8ÀTO�ºÊO�Ä�¿�À µ N�Ë�·X¶ � T � ¹ �  eOn·�ÁC¿#À�NVº»Ä=Ã8»¿�Ä#ÀTÃm��UL¿ µ � ·X¶ �  �ÀT¶V¿µ ·XORä µ º�On¿ ½ � ¿4��º»ÂÊÂ+¿vÝÕOn¿ µ ¸�OnUL¿�¸L¿�ä µ ºÊOnºÊ· µ ·MË ��� � S���V On·#KM¿ µ ¿$¶nÀXÂGNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NV¿$OnN � º µ¦)¿$ä µ ºÊOVº»· µ Q ½»¼M½Ê¼ W;}GÀXN�OnUL¿"¹�·MÂʺ»Ä�º�O·MË�OnUL¿�¹�ÀTOn¿$KM·X¶nº»¿�N � � � S�� 7 V �hUL¿�¶n¿ � 7 ¶�À µ KM¿$N�·jÖ0¿�¶OnUL¿)ä µ ºÊOn¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂCNPIÕÁ8NV¿$OnN�·MË � ½e¾ UL¿�¹�ÀTOn¿�KM·X¶Vº»¿�N � S���V À µ ¸ ��� � S���V ÀT¶n¿�· µ ÂÊÎ µ · µ Ç¿�Ä"ÃLO¡Îe�hUL¿ µ � º�OnNV¿�ÂÊËÕº»N µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�}MNVº µ ¹�¿zOnUL¿$¶V¿z¹�À µ · µ ÂÊÎ�ÁC¿zÀR¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ � T � ¹ �On·"À µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶hNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂCNV¿�O � ��UL¿ µ � º»NhÀX»NV· µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶ ½

� ��� �¿Á2À�Á%��� $�"FE�" �#" ¾ UL¿ÌKM¿�·MÄ�¿�OV¶nº»¹�¶V¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ & � & ·MËhÀ�ä µ º�On¿ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�NPº»Ä"Ã8Âʺ�ǹ�º»ÀXÂRNV¿$O � º»N#¹�À µ · µ ºÊ¹�ÀX»Â�ÎBÀ ¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O#î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶n· µ }½�hULºÊ¹vU ��¿�¹�ÀXÂÊÂhOnUL¿`¼ � � ##��� Ã�� ¾ ���� ¾ � ÁJ ¾ À�Á%��� ·MË � ½ ´ OnN�î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�ÀXÂ<NPOP¶nIL¹$OnIÕ¶n¿�º»N�¹�U8ÀT¶�ÀX¹$On¿�¶nº»Å�¿$¸�Á Î�OnUL¿=¹$· µ ¸LºÊOnºÊ· µ OnU8ÀTO& �� & T & ß � & ¹ & � & ºÊN)À æ�è Ä�ÀTÃ�Ë�·X¶)¿�ÀX¹�U S µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿ V NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�� ·MË � ½)¾ UL¿�KM¿�·TÇÄ�¿$OP¶nº»¹e¶n¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ & � & T & � & ¹ & � & ·MË�ÀRNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀX Ä#ÀTÃ�·MËÕä µ ºÊOn¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶:NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂNV¿$OVNhº»N�OnUL¿ µ À æ�è Ä�ÀTà ½â ·X¶)À µ Î̹�·MÄ"Ã�ÀX¹$OhÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶n· µ Í }®Â»¿�O � � � S Í V ÁC¿�OVUL¿�¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎÌ·MË æ�è ¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ KMN

� T Í ¹ � ·MË�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O¬Ã®·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶�À } À µ ¸=NVºÊÄ"Ã8»¿ æ�è Ä#ÀTÃ8N�� T �'¹ �  ÕI µ ¸L¿$¶zÍ ½<â ·X¶�À µ Îä µ ºÊOV¿ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ:NV¿$O � ÂÊ¿$O ) T������ S���V ¹ ����� S & � &�V ÁC¿"OVUL¿�ÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�ÀX¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOVº»· µ Ë�I µ ¹$On·X¶JOVU8ÀTOJO�ÀTÛ0¿�N�� T � ¹ � OV· & � & T & � & ¹ & � & }2À µ ¸�NVº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶nÂ�Î�Ë�·X¶JÄ�·X¶PÇÃ8ULº»NPÄ�N ½Rè ¿$O '! T���� � S Í V ¹ � � � � * S Í V Á®¿�OnUL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ%Ë�I µ ¹$On·X¶)OnU8ÀTOJº µ ¹�»IL¸L¿$N ��� � S Í VÀXN�OnUL¿�SbÇqNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿$N�º µ � � � � * S Í V }8ÀXN�º µ OV¶n·È¸LIL¹�¿�¸�º µ ¦)¿$ä µ ºÊOnºÊ· µ ¼M½Ê¼M½ Ø?½Ó ¿�¿|¦)¿$ä µ º�Onº»· µ Q ½�ÐL½Ê¼ Ë�·X¶¬Ä�·X¶V¿z· µ ¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O+ÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�À } æ�è Ä#ÀTÃ8N<À µ ¸�OVUL¿zÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�ÀXÂ

¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOVº»· µ Ë�I µ ¹$OV·X¶ ½e¾ UL¿ µ · µ ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸ�Ã�ÀT¶VOnN<·MËLOnUL¿zN{O�ÀTÁ8»¿zÃ�ÀT¶�ÀXÄ"¿$OV¶nºÊÅ�¿�¸"Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄOnUL¿�·X¶V¿�Ä Ë�·MÂÊ»·�� ½����������� � $�"FE�"���"Ft)*-7 � I_*]3�Gl5�/J7C*45�@B5��C1_/J5��89;=h38,01_/JAwD�= /¬L-/�3>=?1�*-7C{Æ&#(+* \ 9;=2=)/%5�L-= 9�1_/¬@B5

Page 14: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �\ 9;5�L-7»@B,

+ T���� � S �mV ¹ � � � S���V/2143�(+@BA6@B7»@.D�EF*MGH9�/%I838=K*-5�L_*�{¾ UL¿�·X¶n¿�Ä ¼M½ W ½ÙØ �hºÊ»Â?Á®¿�ÃL¶n·6Ö0¿�¸#ÀXN¬Ã�ÀT¶VOe·MË æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ Q ½Ê¼M½»¼�ÐL½<á Ë ½ ¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ S Q ½»¼M½Ê¼jØ V ½

����������� � $�"FE�"��?" t�*-7 � I_*�3HGl5/J7»* 5�@B5 � 1_/J5��>9�=h38,e1_/JAaD�= /¬L-/�38=�1�*-7 {�&#(+* L_@BAaD�@�1-/J7C*'! � ) T���� � S���V ¹ � � � � * S & � & V

@ \ 7%(*uD�@B= E�(*.g8,<3>=�,M*.38= /���387:/ @B5 \ 9;5�L-7»@B, ) 3>5�g�7:(+* S � 1_/%AaD�=K*���/J5�LH= 9^1_/ @B5 '! i�/21e3](+@BA6@[email protected]�E*.GH9;/JI83>=K*-5�LM*�{¾ UL¿�·X¶n¿�Ä ¼M½ W ½ Y�º»NRÃL¶V·jÖ0¿�¸ ÀTOJOnUL¿�¿ µ ¸ ·MË Ó ¿�¹�Onº»· µ Q ½ Ø?½�á Ë ½ ¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ S Q ½ Ø?½xÐ V ½ � ¿�¸L·

µ ·XOJ¹�»ÀXº»Ä OnU8ÀTOROnUL¿�º µ ¸LºÊÖպʸLI8ÀXÂGË�I µ ¹$OV·X¶nN ) T���� � S �mV ¹ ��� � S & � &�V À µ ¸ '! T���� � S & � &�V ¹� � � � * S & � &�V ÀT¶n¿ UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿�N~})· µ ÂÊÎ OnUL¿�º�¶�¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿ ½ ¾ UL¿�ÃL¶n·È·MË�º µ Ö0·MÂÊÖ0¿�NË ÀX¹$On·X¶Vº µ K#OnUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOn¿º µ À#¸Lºh�C¿�¶n¿ µ Oe��À6Î�}®OVUÕ¶n·MILKMU À#NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�¹�ÀTOn¿$KM·X¶VÎ � ��� * S���V }On·�ÁC¿�º µ OV¶n·?¸LIL¹$¿�¸�º µ ¦�¿�ä µ ºÊOnºÊ· µ Q ½»¼M½ÙÞ S ¸ V ½¾ UL¿�¹�· µ NPOP¶nIL¹$OnºÊ· µ � º¹ � � � S���V º»N+¹�·jÖTÀT¶nº»À µ OnÂ�Î�Ë�I µ ¹$On·X¶nº»ÀXÂȺ µ OnUL¿�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂMNV¿$O � ½ ´ O

º»N¬UL·MÄ"·XOn·XÃÈκ µ ÖXÀT¶Vº�À µ O:º µ OnUL¿�NV¿ µ NV¿�OnU8ÀTOeÀ µ Î4��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ � T � ¹ �  º µ ¸LIL¹$¿�N�À�UL·MÄ�·XOn·Xà Π¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿���� T?��� � S���V ¹ ��� � S��   V ½ � µ º»· µ ÀXÂÊ· µ K � ¸L¿�ä µ ¿�NÀANPILÄ ·Xî¿$¶�ÀTOnºÊ· µ · µ ��� � S���V OnU8ÀTOÌÄ�ÀTÛ0¿�NϺÊOÌÀAKX¶n·MIÕÃ8ÂʺÊÛ0¿ Ä�· µ ·Mº»¸?} �hº�OnU §�� ��� � S���Vº»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»¹�On·)OnUL¿ � ULº�On¿�UL¿�ÀX¸"KX¶n·MIÕÃ�·MË�§)¨ S �mV ½:Ó ¿�¿a¦)¿$ä µ º�Onº»· µ Q ½»¼M½Ê¼M¼ } á ·X¶n·MÂÊÂ�ÀT¶VÎ�Q ½ W ½�ÐÀ µ ¸ æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ Q ½ W ½ÙØ Ë�·X¶�ÃL¶n¿�¹�ºÊNV¿N{O�ÀTOn¿�Ä�¿ µ OnN�À µ ¸ÌÃL¶n·È·MË�N ½

� (��2(��. FG5� @C,#�2� Í �n³C1�58E+@ �-E���4 �T,?�C584â ·X¶�À µ Î NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ:NV¿�O � }G»¿�OC+.- S �mV ÁC¿"OVUL¿�¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ�·MËzä µ º�On¿"¶n¿�OV¶�ÀX¹$Onº�Ö0¿"NPÃ�ÀX¹$¿�N

·6Ö0¿$¶ � }���ºÊOnU ·XÁ #{¿�¹$OnN S � ¥ )�¥ � V �hUL¿�¶n¿ � T � ¹ � º»N�À#ä µ ºÊOn¿�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ ·MËeNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂNV¿$OVN~})À µ ¸ ) T � ¹ � º»N�À�¶V¿$OV¶�ÀX¹$OVº»· µ }hNP· ) � � + ��� ½ H Ä�·X¶VÃ8ULº»NPÄ Ë�¶n·MÄ S � ¥ )B¥ � VOn· S �   ¥ )   ¥ �   V º»N�À�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�Ä#ÀTà � T � ¹ �   ·jÖ0¿$¶=À µ ¸�I µ ¸L¿$¶ � }:NV· ) � )   � À µ ¸��� � �   ½�¾ UL¿$¶V¿º»N�À=Ë�I µ ¹�On·X¶H+.- S���V ¹ � S���V OnU8ÀTO�Ë�·X¶nKM¿$OnN�OnUL¿N{OV¶nIL¹$OnIÕ¶nÀXÂ%¶V¿$OV¶�ÀX¹$OVº»· µ N ½S ¾ UL¿¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ � S���V ��ÀXNh¸L¿ µ ·XOn¿�¸ � - S���V º µ�� � À Þ �TÁ � À µ ¸ � � À�� ØB�q½ V¾ UL¿�OC��· NVIÕÁ®¹�ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¿�N (�� +.- S���V À µ ¸ Æ +.- S���V ·MË.+.- S���V }z·MËJÄ#ÀTÃ8N � T � ¹ �  

OnU8ÀTOÀT¶n¿"¹$·XäLÁL¶�ÀTOnº»· µ NÀ µ ¸m��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N~}G¶n¿�N{ÃC¿�¹$OVºÊÖ0¿�Â�Î�}+Ä#ÀTÛ0¿ +.- S���VÀ ¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ �hº�OnUB¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N�À µ ¸ ��¿�ÀTÛ ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�NϺ µ OnUL¿�NP¿ µ NV¿ ·MË ��� À�� Ø } ° ¼M½Ê¼À µ ¸ ° ¼M½ W �l½�¾ UL¿ (�*�Çܹ$· µ NPOV¶nIL¹$OVº»· µ (�*,+.- S���V ºÊNOnUL¿ µ ¸L¿$ä µ ¿�¸�ÀXN�À�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂe¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎS ��ºÊOnUB¹�·XäLÁL¶nÀTOnº»· µ N�À µ ¸ ��¿�ÀTÛB¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N V }hNP¿�¿ ��� À�� Ø } ° ¼M½ Q � }hÀ µ ¸BOnUL¿`¾ � � � � ¾ Á �Í"! À��������/# ·MË�OnUL¿NPÃ�ÀX¹$¿ � ºÊN�¸L¿$ä µ ¿$¸�On·=Á®¿�OnUL¿�»·È·XÃ�NPÃ�ÀX¹�¿

S ¼M½ Q ½»¼ V � S���V � Y2& Æ�(�* +�- S���V$& �H µ Î4��¿�ÀTÛ�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ � ¹ �  Õº µ ¸LIL¹�¿$N�À)UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ � S���V ¹� S��   V }8À µ ¸F��¿�¹�À µ ��¶nºÊOV¿ � S:U[V Ë�·X¶H� S���V ��UL¿ µ U � & � & ½¾ UL¿C(�*�Çܹ�· µ N{OV¶nIL¹$OnºÊ· µ ¹�À µ Á®¿º�On¿$¶�ÀTOn¿$¸?}8À µ ¸ÌOnUL¿NP¿�å?IL¿ µ ¹$¿�·MËGNPÃ�ÀX¹$¿�N

! º¹ & Æ (�*������ (�*� ��� ��

+�- S���V$&

S ��ºÊOnUÏÀTÃLÃL¶V·XÃL¶nº�ÀTOn¿JN{OV¶nIL¹$OnIÕ¶V¿JÄ#ÀTÃ8N V ¸L¿$ä µ ¿�À�NPî¿�¹$OV¶nILÄ �mS���V }^�hULºÊ¹�U�U8ÀXN � S �mV ÀXN�ºÊOnNI µ ¸L¿$¶nÂ�ÎÕº µ K̺ µ ä µ º�On¿�»·?·Xà NPÃ�ÀX¹$¿ ½�è ¿$O � � ´ ! º¹ ( � µ ÁC¿�OnUL¿ �~¼ ���;��� �~¼ � �>À�� + � ½ ´^µOnUL¿�NPÃC¿�¹$º�ÀXÂ%¹�ÀXNV¿ � � 5 OVUL¿$¶n¿ºÊNhÀ�I µ ºÊO�Ä#ÀTÃ

SJT � ¹ �mSU58V ¥

Page 15: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

ÀX¸�#{·Mº µ O�On· OnUL¿ Á�ÀXNP¿�¸ Ä#ÀTà ( �¹ & Æ +.- S658V$& OnU8ÀTOÏO�ÀTÛ0¿$NÏOVUL¿ µ · µ ÇlÁ�ÀXNV¿ î·Mº µ OÏOn·�OVUL¿

SbÇÜNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�¹�·X¶V¶n¿$NPÃC· µ ¸Lº µ K"On·=OVUL¿·XÁ #{¿�¹$O �hº�OnU � � ( � ½¾ UL¿�NV¿�NPÃC¿$¹$OV¶�À�¹�À µ Á®¿�KMºÊÖ0¿ µ Ä�·X¶n¿�NPOP¶nIL¹$OnIÕ¶n¿ ½ çzÎ � ×�ã ��� } æ ¶V·Xà ½ Y ½»¼M½Ê¼~� ¿�ÀX¹�U ��S���V º»N

µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂÊÂÊÎÌÀ�NPÎÕÄ"Ä�¿$OV¶nºÊ¹�N{ÃC¿�¹$OP¶nILÄ � ã�ÓLÓ SMS � }���ºÊOnU�OnUL¿NPÎÕÄ�Ä"¿$OV¶nºÊ¹�KX¶n·MIÕà Q ��ÀX¹$Onº µ K#· µOnUL¿ !®ÇlOnU�NPÃ�ÀX¹�¿zÁ Î�ÃC¿$¶VÄ�IÕOVº µ KROnUL¿ (�*�Çܹ�· µ N{OV¶nIL¹$OnºÊ· µ N ½¬â IÕ¶VOnUL¿$¶nÄ"·X¶n¿>}XOnUL¿�NVÄ�ÀXNVU�ÃL¶n·?¸LIL¹�O·MË®ä µ º�On¿�Á�ÀXNV¿$¸#NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂLNV¿$OnN�º µ ¸LIL¹�¿�NzÀÄ�ILÂÊOnº�Ã8»º»¹�ÀTOnº»· µ�� T ��S658V <��S658V ¹ ��S658V OnU8ÀTO�}On·MKM¿$OVUL¿$¶¿��ºÊOnU�OnUL¿�I µ º�O¬Ä#ÀTà S }MÄ#ÀTÛ0¿�N �mS658V ÀR¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿�N{ÎÕÄ�Ä�¿�OV¶nº»¹:¶nº µ KJNPÃC¿�¹�OV¶nILÄ ½� ÀX¹�U�N{ÃC¿�¹$OP¶nILÄ ��S���V º»N µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂÊÂÊÎ�À µ ��S658V ÇqÄ�·?¸LILÂÊ¿)NPÃC¿�¹�OV¶nILÄ ½â ·X¶<Á�ÀXNV¿�¸=À µ ¸�¹�· µLµ ¿�¹$On¿$¸ � }TOnUL¿�¶n¿�º»N¬ÀJUL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ O:¸L¿�ä µ ºÊOnºÊ· µ ·MË�� S���V ÀXN

OnUL¿hÀX»KM¿$ÁL¶�ÀXºÊ¹hÍ�ÇqOnUL¿$·X¶VÎ�Í S¡� � Y�� � V ·MË®OnUL¿hN{Ã8UL¿$¶nº»¹�ÀX KX¶n·MIÕÃ"¶nº µ K � � Y�� �l½<ã ¿$¶n¿ Y&� ¹�À µÁC¿hº µ On¿$¶VÃL¶n¿�On¿�¸�ÀXN�OnUL¿ �À µ ÂÊ·?·XÃ#KX¶n·MIÕÃÏ·MË � } NV¿�¿ � � À � Y � } À µ ¸ � � Y&� � º»Nzº�OnN�I µ ¶V¿�¸LIL¹�¿�¸NVILNPî¿ µ NVºÊ· µ N{ÃC¿�¹$OP¶nILÄ Q : S�Y��mV > }TÖպʿH��¿�¸�ÀXN¬À�NPÎÕÄ�Ä"¿$OV¶nºÊ¹e¶nº µ KRNPî¿�¹$OV¶nILÄF}X·X¶:À µ ηXOnUL¿�¶¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ O µ ·XOVº»· µ ½çzÎ ��� À�� Ø } ¾ ULÄ ½ Q ½ Q ½Ê¼~� }?OnUL¿�¶n¿ºÊNhÀ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%UL·MÄ�·XOn·Xà Î#äLÁC¿$¶hNV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿

S ¼M½ Q ½ W V Æ S�� 3 � S658V<V 7¸ ¹ � S���V ¹ � U ��� S���V

·MËGUL·MÄ"·XOn·XÃÈÎÏË�I µ ¹�On·X¶nNRº µ � } �hUL¿�¶n¿

Æ S�� 3 � S658V<V � Y : Ss�mS658V < �D>�V

º»N�OVUL¿�I µ ¶V¿�¸LIL¹�¿�¸-UL·MÄ"·M»·MKMº»¹�ÀXÂ�Ë�I µ ¹$OV·X¶�ÀXNVNP·?¹�º»ÀTOn¿�¸ On·�OnUL¿ÏNPÃC¿$¹$OV¶nILÄ ��S658V ½�Ó ¿�¿�ÀX»NP·¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ S ¼M½�ÐL½ÙÞ V ÁC¿�ÂÊ·�� ½�¾ UL¿ �� �� �¿ÁJÀ��;��� ¾ à �~¼¿¾ ��� � U �K� S �mV ¹�À µ ÁC¿�¸L¿$ä µ ¿�¸ ÀXNÀ µ Î�· µ ¿�·MËLOnUL¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ο$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ O:NPÃ�ÀX¹$¿�N:º µ ��� À�� Ø } ¾ ULÄ ½ Q ½»¼M½ÙÞB�q½<¾ UL¿zÃL¶n·È·MË�·MËLOnU8ÀTOOnUL¿�·X¶V¿�Ä ¹$· µ O�ÀXº µ N�NV·MÄ�¿�Ë�·X¶<��ÀT¶V¸ ¶n¿�Ë�¿$¶n¿ µ ¹�¿�N�On·Ì¶V¿�NVILÂÊOVNÃL¶n·6Ö0¿�¸ º µ OnUL¿"ÃL¶n¿�NP¿ µ OÃ�ÀTÃC¿$¶�}��ULº»¹�UF��¿�U8À6Ö0¿�NVILÄ�Ä#ÀT¶Vº»Å�¿�¸�º µ Ñ ¿�Ä#ÀT¶PÛ ¼M½�ÐL½ Ø?½¾ UL¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂeÄ#ÀTà B º»N�ÀÌUL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿�Ë�·X¶ � � 5 }���ULº»¹�U ¹�U8ÀT¶�ÀX¹$OV¿$¶nº»Å$¿�N

ºÊO�IÕÃ�On·=UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�ÀXN�OnUL¿ ¾��,� �;� � # � ¾¼AÀXNVNV·È¹�º�ÀTOn¿$¸ÌOn·=OVUL¿UL·MÄ�·XOn·Xà ÎË�I µ ¹$On·X¶ � S���V }TNV¿�¿ ��� � �0Ø }+° ¼~�l½¬¾ UL¿�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�äLÁC¿$¶eNV¿$å?IL¿ µ ¹�¿ S ¼M½ Q ½ W V ºÊN¬· µ ¿�·MË S NPÎ?Ä=ÇÄ�¿$OP¶nº»¹ V NPî¿�¹$OV¶�À }0ÀXNGº»NGNP¿�¿ µ Ë�¶n·MÄ � � À�� Ø } ¾ ULÄ ½ Q ½ Q ½Ê¼~� Á Î�ºÊOn¿$¶nÀTOnº µ KhOVUL¿ (�*$Çq¹�· µ NPOV¶VIL¹$Onº»· µ ½ã ¿ µ ¹�¿�OnUL¿$¶n¿�º»N�À µ ÀTOnIÕ¶nÀXÂ�¹$·XäLÁC¿$¶hNV¿�å?IL¿ µ ¹�¿�·MË<NPî¿�¹$OV¶nÀ

S ¼M½ Q ½ Q V �mS658V < �D> 7¸ ¹ ��S���V ¹ � � �K� S �mV ¥

À µ ¸ � U �K� S �mV�XZY : � � ��� S���V ½çzÎ ��� À�� Ø } æ ¶n·Xà ½ Q ½»¼M½Ê¼~� À µ ¸"·MIÕ¶ ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä"N ¼M½Ê¼M½ Þ } ¼M½ W ½ Ø À µ ¸ ¼M½ W ½ YROnUL¿$¶n¿�º»NeÀ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ

¹�U8ÀXº µ ·MË+UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N

N �K� S & � &�V �¸h¹ � � � � * S & � & V � ¸ ��� � S���V �¸h¹ ��� � S���V �¸K¹ Y � U �K� S �mV ¥

Ë�·X¶�¿�ÀX¹�U ¹$·MÄ"Ã�ÀX¹$O æ�è Ä#À µ ºÊË�·M»¸?}�OV¶nº�À µ KMIL»ÀTOn¿�¸ ÀXN U � & � & ½ ¾ ULº»NÏ¿�NPO�ÀTÁ8Âʺ»NVUL¿$NÏOVUL¿UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�·MË ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä S ½»¼ º µ OnUL¿ æ�è ¹�ÀXNV¿ ½:¾ UL¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎäLÁ®¿$¶eNV¿�å?IL¿ µ ¹�¿·MË ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä�S ½ WϺÊN�OnUL¿ æ IÕÃLî¿"NV¿$å?IL¿ µ ¹�¿=·XÁLO�ÀXº µ ¿$¸�Á Î�¹$· µ Onº µ ILº µ K S ¼M½ Q ½ W V · µ ¿�NPOn¿$à OV·OnUL¿�»¿�Ë�O ½

¾ UL¿ ���$����� ��ÁJÀ��;��� ¾ à �~¼¿¾ ��� � U ����� � S���V º»NzNV·¸L¿$ä µ ¿�¸ÏOnU8ÀTO�OnUL¿�¶n¿Rº»NzÀ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂUL·MÄ�·XOn·Xà Î#äLÁC¿�¶RNV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿

S ¼M½ Q ½�Ð V N S��D>�VPO¸ ¹ � S �mV ¹ � U �������aS �mV��

Page 16: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �ã ¿$¶n¿

N S��D>�V � ¹�·MÂʺ»Ä� Y � Q � �D> � Y : Q : �D> � Y : S¡�< �D>�Vº»N=OnUL¿�I µ ¶n¿�¸LIL¹$¿�¸ UL·MÄ"·M»·MKMº»¹�ÀXÂ�Ë�I µ ¹�On·X¶�ÀXNVNV·È¹�º�ÀTOn¿$¸-On· OnUL¿�N{Ã8UL¿$¶n¿�NPÃC¿$¹$OV¶nILÄ � ½ � ¿¸L¿$ä µ ¿OVUL¿�NPî¿�¹$OV¶VILÄ Ä#ÀTà R T Q : �D> ¹ ��S���V ÀXN�OVUL¿¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿

Q : �D> � �D< �D> ��� ���¸.¸+¸»¹ ��S658V < �D> 7¸ ¹ ��S���V ¥

À µ ¸ S ¼M½ Q ½�Ð V º»NeOnUL¿RUL·MÄ�·XOn·Xà Î�äLÁC¿�¶�NV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿J·MË2º µ ä µ º�On¿hÂÊ·?·XÃ#N{Ã�ÀX¹�¿�N�OnU8ÀTO�I µ ¸L¿$¶nÂʺ»¿�N�OVUL¿¹�·XäLÁ®¿$¶RNV¿$å?IL¿ µ ¹�¿·MË S NPÎ?Ä�Ä�¿$OP¶nº»¹ V N{ÃC¿�¹$OP¶�À

S ¼M½ Q ½ Ø V Q : �D> O¸ ¹ ��S���V ¹ � � ����� � S���V��

� ¿�¹�À µ�µ ·�� ¸L¿�¸LIL¹�¿ ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä S ½ Q=À µ ¸ÌOnUL¿0¦ ´ â¬â ¹�ÀXNP¿·MË ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä S ½»¼ Ë�¶n·MÄ ¾ UL¿�Ç·X¶n¿�Ä S ½ W;}®Á Î�OnUL¿�ÀT¶nKMILÄ"¿ µ O)¿vÝÕÃ8Â�ÀXº µ ¿�¸�º µ'��� À Þ �TÁ�}�°�Q � À µ ¸ ��� À��0W;})°�W �q½ � ¿�¹�· µ NVºÊ¸L¿$¶UL·MÄ�·XOn·Xà Î�Ë�I µ ¹$On·X¶VN���Ë�¶V·MÄ N{Ã�ÀX¹�¿�N�On·�Á�ÀXNV¿�¸#NPÃ�ÀX¹$¿�N~}ÕNVIL¹�U�OnU8ÀTOeOnUL¿$¶V¿hº»N�À µ ÀTOnIÕ¶nÀXÂ�Ä�ÀTÃ� S%UWV ¹ UL·XäLÁ S � S:UL>�V ¹ � SU58V<V ½�¾ UL¿� À ¾� Á � Á% ¾ À�Á%��� �CV ·MË�� S µ ·XO)¶n¿�»ÀTOn¿�¸ On·�OVUL¿·XOnUL¿$¶�ÛÕº µ ¸�·MËGN{O�ÀTÁ8º»Âʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ OVU8ÀTO®��¿�ILNV¿ V º»N�À µ I µ ¶n¿�¸LIL¹$¿�¸�UL·MÄ�·M»·MKMºÊ¹�ÀXÂCË�I µ ¹$On·X¶~}���ºÊOnU

� V S:UWV�X ¹�·MÂʺ»Ä� Y � UL·XäLÁ S � S Q � S:UL>�V<V ¹ � S658V<V��

´^µ OVUL¿ µ ·XOnÀTOnº»· µ ·MË � × · � STÁ � }��CV S%UWV ��� �� S:U?>�V }>��UL¿$¶n¿ � �� º»N<OnUL¿�¸Lºh�®¿$¶n¿ µ Onº»ÀXÂL·MË��ÀTO 5 ½�¾ UL¿�¶n¿=ºÊNÀ µ ÀTOnIÕ¶�ÀX¬Ä�ÀTÃ�� S:UWV ¹ � V S:UWV }���ULº»¹�U ºÊN�À�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿��UL¿ µ ¿$Ö0¿$¶ � ºÊOnNP¿�»ËRºÊN#À UL·MÄ�·MÂÊ·MKMº»¹�ÀXÂ�Ë�I µ ¹�On·X¶ ½ ¾ ULºÊN�Ë�·X¶nÄ ·MËJNPO�ÀTÁ8ºÊ»º»Å�ÀTOnº»· µ ÃL¶n¿�NV¿$¶PÖ0¿�Nµ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ#äLÁ®¿$¶RNV¿$å?IL¿ µ ¹�¿$N ½

� ÀX¹�U�On¿$¶nÄ º µ OVUL¿=UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�äLÁ®¿$¶�NV¿�å?IL¿ µ ¹�¿"·MË ¾ UL¿$·X¶n¿�Ä S ½ W�º»N)NVIL¹�U ÀÏUL·MÄ�·XOn·Xà ÎË�I µ ¹$On·X¶ ½�ã ¿ µ ¹�¿�OnUL¿$¶n¿�º»N�À µ ÀTOnIÕ¶nÀXÂ�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎÏ¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿

Y UL·XäLÁ S � S:UWV ¹ � V S:U[V<V �¸h¹ UL·XäLÁ S�N ��� S%UWV ¹ N ����� V S:U[V<V��

¾ UL¿�NPOnÀTÁ8»¿JÆÈÇq¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ NPÃ�ÀX¹�¿ N ��� � � S:UWV ¹�À µ ÀX»NP·�ÁC¿�¿�Ý?On¿ µ ¸L¿�¸�On·�NPIL¹vU�À�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎË�I µ ¹$On·X¶ ½ çzÎ Ú ·X¶n»¿$O~��N#¸Lº»N #{I µ ¹$Onº»· µ »¿�Ä�Ä�À � ç è�ÑJÞMØ } ° ¼~� }�¹�Ë ½ � ã À Þ � } è ¿$Ä ½�Ø?½�Ð>� }�OVUL¿NPO�ÀTÁ8ºÊ»ºÊÅ�¿�¸�Ë�I µ ¹$On·X¶ N ��� � ��� V S:U[V º»Ne¹�· µ OV¶�ÀX¹$Onº�Á8»¿ ½ çzÎ�NPÄ�·?·XOnULº µ KJOnUL¿�·X¶VÎ�}0ÀXÂÊNV·�Û µ ·�� µ ÀXNÚ ·X¶n»¿�O���N+¹�·MÄ"Ã�ÀT¶nºÊNV· µ OnUL¿�·X¶V¿�Ä }TOnUL¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�äLÁ®¿$¶¬·MËÕOnUL¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀX Ä#ÀTà N ����� � S:U[V ¹N ��� S:UWV ºÊN�À UL·MÄ�·MÂÊ·MKMº»¹�ÀXÂ�Ë�I µ ¹$On·X¶ � ç è<ÞMÞ }|° Ð>�l½ ã ¿ µ ¹�¿�OnUL¿$¶n¿�º»N�À µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ�¹�U8ÀXº µ ·MËUL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N

N ������� S%UWV � ¸ UL·XäLÁ S�N ������� S%UWV<V ¹ N ����� ��� V S%UWV<V�¸h¹ UL·XäLÁ S�N ��� S:U[V ¹ N ����� V S:UWVzV �

¾ UL¿¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿Ä#ÀTà N S:UL>�V O¸ ¹ � S:UWV ¹ � V S:UWV º»NRÀ"UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>}8ÁÈÎOnUL¿ � ÖTÀ µ º»NVULº µ K�·MË8OnUL¿�Ä�ÎÕNPOn¿�¶VÎ�UL·MÄ�·MÂÊ·MKXÎ�OnUL¿$·X¶VÎ � ��� À�� Þ À } ¾ ULÄ ½ �q½ HJÂ�On¿$¶ µ ÀTOVºÊÖ0¿�Â�Î�}bOnULºÊN¹�À µ Á®¿=¸L¿$¸LIL¹�¿�¸ Ë�¶n·MÄ ç ½ ´ ½ ¦)I µ ¸8ÀXN~�%OnUL¿�·X¶n¿$Ä · µ ¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿�Í�ÇlOnUL¿�·X¶VÎ � ¦)I �0Þ }%à ½ WMW Ð>� }��ULº»¹�U ºÊÄ"Ã8»ºÊ¿�NROnU8ÀTO)OnUL¿�¹$ÎÕ¹$»·XOn·MÄ�ºÊ¹OV¶�ÀX¹$¿=Ä#ÀTà º µ ¸LIL¹�¿�N�À�ÃL¶n·Xä µ º�On¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖÈÇÀX»¿ µ ¹�¿ �1V S:UWV]X � �CV S%UWV }¬On·MKM¿$OVUL¿$¶���ºÊOVU�OnUL¿�¹�ÀXÂʹ�ILÂ�ÀTOnºÊ· µ � �CV S:UWV]X N S:UL>�V ·MË� ã ¿ �XÐ>�q½ ¾ UL¿�¶�ÀTOnº»· µ ÀXÂ)¶n¿�NPILÂÊO ��ÀXNÌ·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸ º µ£��� À Þ �TÁ�} æ ¶V·Xà ½ W ½ �8� Ë�¶n·MÄ ��·X¶VÛ ÁÈÎH ½ ç�·X¶n¿� � ç�· ÞTÐ>� } â�½2¾�½®â ÀT¶V¶V¿�»¬À µ ¸ � ½ Ç áJ½2ã NVº»À µ K � â¬ã�Þ � �q½ ´ O)Ë�·M»»·���NROnU8ÀTOJOnUL¿�¹�·MÄ=ÇÃC·MNPºÊOn¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%Ä#ÀTÃ

UL·XäLÁ S � S:UWV ¹ � V S:U[V<V ¹ � S:UWV ¹ � U ����� �®S:U[V

Page 17: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

º»N�À�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ ½ ´^µ ¹�·MÄ�Á8º µ ÀTOnºÊ· µ }^�z¿R·XÁLO�ÀXº µ À µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ�¹�U8ÀXº µ ·MË2UL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N�OnU8ÀTO�º µ ¸LIL¹�¿$NhOnUL¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿

N ������� S%UWV�XZY � U ������� S:UWV

¹�»ÀXº»Ä�¿�¸�º µ ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä S ½Ê¼M½¬¾ UL¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�äLÁ®¿$¶�NP¿�å?IL¿ µ ¹$¿h·MË ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä S ½ QJº»N¬OnUL¿ æ IÕÃLî¿NV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿�·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸ ÁÈÎ ¹�· µ Onº µ ILº µ K S ¼M½ Q ½�Ð V · µ ¿ NPOn¿$à On·�OVUL¿�ÂÊ¿�Ë�O ½ ¾ UL¿ NPO�ÀTÁ8ºÊ»ºÊÅ�ÀTOnº»· µÄ#ÀTà � S:U[V ¹ � V S:U[V ÃL¶n·6ÖպʸL¿�N�À µ ÀTOVIÕ¶�ÀXÂ�NPÃ8»º�OVOnº µ K�·MË�R T N S%U?>�V ¹ � S:U[V }¬IÕÃAOV·UL·MÄ�·XOn·Xà Î�}ÈÀ µ ¸�On·MKM¿�OnUL¿$¶T��ºÊOnU#OnUL¿JÄ�ÀTà � S:UWV ¹ � U ������� S:U[V ºÊOz¸L¿$ä µ ¿�N�OnUL¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂUL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏË ÀX¹$On·X¶Vº»Å�ÀTOnºÊ· µ ·MË�OnUL¿�OnUL¿$·X¶n¿�Ä ½

� (��%(�D�5�.M,Õ³���EG7A³CE-E+³21%58@ �T, ��58@24¾ UL¿#Ä#ÀXº µ ÀXNPNV¿$¶VOnºÊ· µ º µ ã ÀTOn¹�UL¿$¶��xN�Ã�ÀTÃC¿$¶ � ã À ÞMØB� º»NULº»N ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä �սʼ }<NnÀ�ÎÕº µ K�OnU8ÀTO

OnUL¿$¶V¿zº»N¬À �MÇܹ�· µLµ ¿�¹�On¿�¸�Ä#ÀTÃ�Ë�¶n·MÄ OnUL¿ æ�è Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ�NPÃ�ÀX¹�¿TÄ ��� S:U[V On·JÀR¹$Â�ÀXNVNVºÊË�ÎÕº µ KNPÃ�ÀX¹�¿�� S:UWV Ë�·X¶ æ�è Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N0�hº�OnU ÀÏäLÁC¿$¶�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�OV¶nºÊÖ?º�ÀXÂʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ Ë�¶n·MÄ OVUL¿ÃL¶n·È¸LIL¹$O�Á8I µ ¸LÂÊ¿ ��ºÊOnUÏäLÁC¿�¶ U }ÕÃL¶n·jÖ?º»¸L¿�¸�OnU8ÀTO&! � ¸LºÊÄ S:U[V ³ Q � � Ø?½�¾ UL¿�Ä�·?¸L¿�®Ë�·X¶� S:U[V ¹�UL·MNV¿ µ ÁÈÎ ã ÀTOn¹�UL¿$¶R¿$å?I8ÀX»N�OnUL¿NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂCNV¿$Oh·MË<·XÁ #{¿�¹$OnNRº µ ·MIÕ¶�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2¹�ÀTOn¿�ÇKM·X¶VÎ � � � � * S:U[V ½ ´^µ ã ÀTOn¹�UL¿$¶���N æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ Q ½»¼ }8OnULºÊNRNPÃ�ÀX¹�¿�ºÊNJÀXNVNV¿�¶VOn¿�¸�On·"Á®¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ O�On·ÌOVUL¿ µ ¿$¶VÖ0¿#·MË ��� � S%UWV ½Ï¾ U8ÀTO�Ã�ÀT¶VOnºÊ¹�ILÂ�ÀT¶¹�Â�ÀXºÊÄ�ÀTÃLî¿�ÀT¶nNOn·�ÁC¿�¸Lº @�¹�ILÂ�OOn·ÌÃL¶V·jÖ0¿�º µ OnUL¿"î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�ÀXÂe¹�· µ OV¿�ÝÕO�}+NVº µ ¹$¿�OnUL¿=ÃL¶n·Xî·MNV¿�¸�ÀT¶nKMILÄ�¿ µ OË�·X¶�ULº»N æ ¶n·Xî·MNVº�ÇOnºÊ· µ W ½ Ø Ä#ÀTÛ0¿$NhNVºÊK µ ºÊä8¹�À µ OJILNV¿�·Mˬ¹�UL·MNV¿ µ OV¶Vº�À µ KMILÂ�ÀTOVº»· µ N ½�ã ·���¿$Ö0¿$¶�}®ºÊORºÊNR¹�·X¶V¶V¿�¹$OROnU8ÀTO� S:U[V º»N�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ O�On·�OnUL¿ µ ¿$¶PÖ0¿�·MË�OnUL¿#NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ � � � � * S:UWV }GNV·º µ ¿$NVNV¿ µ ¹�¿8} ã ÀTOn¹�UL¿$¶��xN ¾ UL¿$·X¶n¿�Ä �սʼ ¹�Â�ÀXºÊÄ�N=OVU8ÀTO�OnUL¿�Ä#ÀTÃ²Ä ��� S:U[V ¹ ���� � * S:U[V º»NÀTÁC·MIÕO S ! ª Q V Çܹ�· µLµ ¿$¹$On¿�¸?}eË�·X¶(! � ¸Lº»Ä S:UWV ½ Ó OnÀTÁ8º»Â»ºÊÅ�º µ KP��ºÊOnU ¶n¿$NPÃC¿�¹�O�OV·�OVUL¿�¸LºÊÄ�¿ µ ÇNVºÊ· µ }®OnULº»NRÀXÄ�·MI µ OVNhOn·�OnUL¿�Ä#À µ ºÊË�·M»¸ÌÃ�ÀT¶PO ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä ¼M½»¼M½ÙÞ ·MË:·MIÕ¶JNPO�ÀTÁ8ÂÊ¿�Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OP¶nº»Å�¿$¸Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ OnUL¿$·X¶n¿�Ä ½�¾ U ILN�OnUL¿�N{O�ÀTÁ8»¿�Ë�·X¶nÄ ·MË ã ÀTOV¹vUL¿�¶���N�Ä#ÀXº µ ÀXNVNP¿$¶VOnºÊ· µ º»N�¹�·X¶P¶n¿�¹$O ½¾ UL¿)¶V¿�»¿$ÖTÀ µ ¹�¿�·MË+NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿JÄ#ÀTÃ8N�On·�OnUL¿�N{OnIL¸ÕÎÏ·MË æ�è UL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ"Nz·MË+Ä�À µ º»Ë�·M»¸LN

Ä#À�Î�ÁC¿RÄ�·XOVºÊÖTÀTOn¿�¸�ÁÈÎ=OnUL¿hË�·MÂÊ»·��hº µ KOnUL¿�·X¶n¿$Ä ·MË Ú�½Lá ·MUL¿ µ�� á · Þ S } ¾ ULÄ ½�¼~� T â ·X¶ S NnÀ�Î V¹�ÂÊ·MNV¿�¸ æ�è !®ÇÜÄ�À µ º»Ë�·M»¸LN U À µ ¸ � ��ºÊOnU ! ³ Ø ¿�ÀX¹�U�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿ æ�è Ä#ÀTà U ¹ � ¹�À µ Á®¿I µ º»Ë�·X¶VÄ�ÂÊÎ�ÀTÃLÃL¶n·�ÝLºÊÄ#ÀTOn¿�¸ÏÁ ÎÌÀ æ�è UL·MÄ�¿$·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ U �� � ½ H&NPº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶�¶n¿�NPILÂÊO�º µ OVUL¿¾�Ò)æ ¹�ÀTOn¿$KM·X¶VÎ���ÀXN�ÃL¶n·6Ö0¿�¸ÌÁ Î è�½ Ó ºÊ¿$ÁC¿ µ Ä�À µLµ�� Ó º Þ W �q½¾ UL¿eäL¶nN{O¬ÀXIÕOnUL·X¶��xN�Ã�ÀTî¿$¶ � � À Þ �TÁ � S Ë�¶n·MÄ OnUL¿ ¼��0Þ Y Ó OnÀ µ Ë�·X¶n¸�¹�· µ Ë�¿$¶V¿ µ ¹�¿ V ¹$· µ O�ÀXº µ N~}Xº µ

ºÊOVN Ó ¿�¹$OnºÊ· µ Ø }®OnUL¿�ÀXNVNV¿�¶VOnº»· µ OnU8ÀTO ã ÀTOn¹�UL¿$¶���NRî·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�ÀXÂGÄ"·?¸L¿� ��� � � * S:UWV Ë�·X¶ N �K� S:UWVº»NÏUL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ ¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ OÏOn·�OnUL¿ Ä�·?¸L¿� � � � S���V º µ On¿$¶VÄ�NÏ·MË�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂhNV¿$OnN~}®�hUL¿$¶V¿U � & � & ÀXN�ILNVI8ÀX ½ ¾ ULºÊN�OP¶�À µ NVÂ�ÀTOVº»· µ º»NÏOnUL¿�¹$· µ On¿ µ OÌ·MË·MIÕ¶ µ · µ ÇÜÄ#À µ ºÊË�·M»¸ ¾ UL¿�·TǶn¿�Ä"N ¼M½ W ½ Ø À µ ¸ ¼M½ W ½ Y ½:â IÕ¶VOVUL¿$¶nÄ�·X¶n¿8} Ó ¿�¹$OnºÊ· µ Ø ·MË�OnU8ÀTO�Ã�ÀTî¿$¶R¹$· µ O�ÀXº µ N�OVUL¿UL·MÄ�·XOn·Xà ÎäLÁC¿�¶ÏNV¿�å?IL¿ µ ¹�¿�NÏ·MË ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä�N#S ½ W À µ ¸ S ½ Q ½ ¾ UL¿�º�¶#ÃL¶n·?·MË�N�ÀTÃLÃC¿�ÀT¶n¿$¸ º µ¡��� À�� ØB� }z¿�Ý?ǹ�¿$ÃLO�Ë�·X¶�OnUL¿�¶V¿�NVILÂÊO�OVU8ÀTO2� V S:U[V4X N S:U?>�V }���ULº»¹�U�ÀTÃLÃC¿�ÀT¶n¿�¸�º µo��� À�� Þ À �l½�Ó ¿�¿�ÀX»NP·Ñ ¿$Ä#ÀT¶VÛ ¼M½�ÐL½ÙØ Á®¿�»·�� ½ã ÀTOn¹�UL¿$¶��xN�Ã�ÀTî¿$¶ � ã À Þ � � º µ OnUL¿�NnÀXÄ�¿#ÃL¶n·È¹�¿�¿�¸Lº µ KMN"NVIÕ¶VÖ0¿�ÎÕN~}�ÀXÄ�· µ K�·XOVUL¿$¶=OVULº µ KMN~}

UL·��ɹ�· µ ¹�·X¶n¸8À µ ¹�¿ÌNPÃ�ÀX¹�¿�N S �hº�OnUAOVUL¿�ºÊ¶=¹�À µ · µ º»¹�ÀXÂ�º µ Ö0·MÂÊIÕOnº»· µ V Ä�¿�ÀXNVIÕ¶n¿�OVUL¿�¸Lº¢�C¿$¶n¿ µ ¹�¿ÁC¿�O»�z¿�¿ µ OnUL¿ � UL· µ ¿�NPO.�"ÀXIÕOn·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�N�KX¶n·MIÕÃ8Nh·MËGÄ#À µ º»Ë�·MÂʸLNhÀ µ ¸ÌOVUL¿�Á8»·È¹nÛÌÀXIÕOV·MÄ�·X¶PÇÃ8ULº»NPÄ KX¶n·MIÕÃ8N�·MË+Ä#À µ ºÊË�·M»¸LN~}��hULºÊ¹vU�ÀT¶n¿J¸L¿$OV¿$¶nÄ�º µ ¿�¸�Á ÎÏNVIÕ¶nKM¿�¶VÎ#OnUL¿�·X¶VÎ � � Â Þ S }�° ¼jÞ?½ H �q½¾ UL¿"NPî¿�¹$OV¶�ÀXÂ:NV¿$å?IL¿ µ ¹�¿"·MË � ã À Þ � } æ ¶n·Xà ½ W ½Ê¼~� Ä#ÀTÛ0¿�NJOnULº»N)ÃL¶n¿�¹$º»NV¿=º µ OnUL¿�¹�· µ ¹�·X¶V¸8À µ ¹�¿NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿J¶�À µ KM¿ ½ ´^µ�� �o� ��� } ¾ ULÄ ½ H � } Ú�½ � ¿�º»NPNhÀ µ ¸�ç ½ � º»Â»Âʺ�ÀXÄ�N�¿�ÝÕÃL¶n¿$NVN�OVULº»N�NPî¿�¹$OV¶�ÀXÂNV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿#ÀXN�¹�·MÄ�º µ K�Ë�¶n·MÄ OnUL¿ ©½ª WjÇÜUL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�·X¶VÁ8ºÊO�NPî¿�¹$OV¶�ÀXÂeNV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿�·MËzÀ µ º µ Ö0·M»I?ÇOnºÊ· µ · µ OnUL¿�NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿"ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶V¸Lº»NVÄ N{Ã�ÀX¹�¿>}���ºÊOnU�º�OnNRº µ ä µ ºÊOn¿�ÂÊ·?·XÃ�NPÃ�ÀX¹$¿�NPOV¶nIL¹$OVIÕ¶n¿ ½R¾ UL¿�º�¶Â�ÀTOV¿$¶�NVIÕ¶PÖ0¿$Î ��� � S ¼~� ¿�Ý?Ã8Â�ÀXº µ N~}�ÀXÄ�· µ K Ä�À µ Î�·XOnUL¿$¶"OnULº µ KMN~}�UL·�� OnULº»N=¹�· µ OP¶nºÊÁ8IÕOnºÊ· µ

Page 18: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �Ë�¶n·MÄ ¹�· µ ¹�·X¶V¸8À µ ¹�¿JÀ µ ¸�Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ NPÃ�ÀX¹$¿�NzÀXÂÊNV·Ä�¿�ÀXNVIÕ¶n¿�N:OnUL¿h¸Lº¢�C¿$¶V¿ µ ¹�¿hÁ®¿$OC��¿�¿ µ OVUL¿� UL· µ ¿�NPO<�=Ä�·È¸LIL»º NPÃ�ÀX¹�¿JÃ�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OP¶nº»Å�º µ K�Á8I µ ¸L»¿�N�·MË%¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O�Ä�À µ º»Ë�·M»¸LNH}LÀ µ ¸#OnUL¿JÁ8»·?¹nÛÄ�·È¸LIL»º2NPÃ�ÀX¹�¿�KMºÊÖ0¿ µ ÁÈÎ�OnUL¿�NVIÕ¶nKM¿$¶PÎ̹�»ÀXNVNVº�ä8¹�ÀTOnº»· µ ·MËGÄ#À µ ºÊË�·M»¸LN ½´^µ OnUL¿�Ä�¿�À µ Onº»Ä"¿>} Ú�½�Ó On¿�º µ Á®¿$¶nKM¿$¶��xN�Ã�ÀTî¿$¶ � Ó OM�MY � ÀTÃLÃC¿�ÀT¶V¿�¸?}c�hUL·MNV¿ ¾ UL¿$·X¶n¿�Ä ¼

ÃL¶n·6Ö0¿�N:OnU8ÀTO S OnUL¿ µ ¿$¶VÖ0¿�·MË V ��� � S���V ºÊNeÀ�¹�»ÀXNVNVºÊË�ÎÕº µ K)NPÃ�ÀX¹$¿�Ë�·X¶ æ�è�Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N���ºÊOVUäLÁC¿�¶nN·MË�OVUL¿=UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�O¡Î?î¿=·MË U � & � & À µ ¸��hº�OnU�äLÁ®¿$¶�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�OP¶nºÊÖ?º�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ N ½¾ UÈILN ��� � S���V�X � S:U[V }��hULºÊ¹vU�ºÊNG¹�ÂÊ·MNV¿�On·�·MIÕ¶ ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä ¼M½ W ½ Y ½Gã º»N+ÀT¶nKMILÄ�¿ µ OnN+º µ ¹�ÂÊIL¸L¿�¸S OnUL¿ µ V I µ Ã8IÕÁ8»ºÊNVUL¿�¸B¶n¿�NVILÂ�OnN#·MËROnUL¿ÌäL¶nN{OÏÀXIÕOnUL·X¶�}|��ULº»¹�U µ ·�� ÀTÃLÃC¿�ÀT¶�º µ OnUL¿ÌÃL¶V¿�NV¿ µ OÃ�ÀTÃC¿�¶ ½ H Ä�ÀXº µ On·È·MÂ?º»NeÀJNPî¿�¹�º�ÀXÂL¹�ÀTOn¿�KM·X¶VηMË�ä µ º�On¿�¹�· µ Ö0¿vÝ�¹�¿�»Â?¹�·MÄ"Ã8»¿vÝL¿�N¬º µ � IL¹�»ºÊ¸L¿�À µNPÃ�ÀX¹�¿ ½eÓ On¿�º µ ÁC¿�¶nKM¿$¶��xN ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä�W�º»N%OnUL¿�NnÀXÄ�¿�ÀXNG·MIÕ¶ ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä ¼M½ W ½ Ø }��hº�OnUº�OnN�äL¶VNPO S µ · µ ÇË�I µ ¹$On·X¶Vº�ÀX V ÃL¶n·È·MË ½�ã ºÊN�¿�ÝÕî·MNVºÊOnºÊ· µ ºÊN=NPUL·X¶VOn¿$¶�}�º µ Ã�ÀT¶VO=Á®¿�¹�ÀXILNV¿�U8ÀX»Ë�·MË�OnUL¿�Ä#ÀTOn¿$¶nº»ÀX¸L¿$Ö0¿�ÂÊ·XÃC¿�¸Ìº µ ·MIÕ¶ æ ÀT¶VORW�º»N�º»Ä=Ã8»º»¹$ºÊO�º µ OnUL¿Â»ÀXNPO�äLÖ0¿�Âʺ µ ¿�N�·MË � Ó OM�MY }Õà ½%¼��8�q½Ô ¿�Ý?O�} ¾�½ H ½ á U8ÀTÃ8Ä#À µ �xN<Ã�ÀTÃC¿$¶ � á U� ÞB� ÀTÃLî¿�ÀT¶n¿�¸ ½:ã º»N ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä QRÃL¶n·6Ö0¿�N:OnUL¿�NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿

Ë�·X¶nÄ ·MË ã ÀTOn¹�UL¿$¶��xNzÄ#ÀXº µ ¹�»ÀXº»Ä }MOnU8ÀTOzÀ�Ö0¿$¶nNPº»· µ ·MË N ��� S:U[V ºÊN�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ O�OV·OnUL¿�¹�Â�ÀXNVNPº»Ë�ÎÕº µ KNPÃ�ÀX¹$¿ � S:U[V ½<Ú ·?¸LILÂÊ·OnUL¿�º»¸L¿ µ Onº�ä8¹�ÀTOnº»· µ ·MË � S:U[V ��ºÊOVU � � � � * S%UWV }MOnULºÊN�º»N¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ OROn·�·MIÕ¶ ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä ¼M½Ê¼M½ Þ }�À µ ¸ �hUL¿ µ ¹$·MÄ�Á8º µ ¿�¸ ��ºÊOnU Ó OV¿�º µ ÁC¿$¶VKM¿$¶���NROVUL¿�·X¶n¿�Ä�NºÊO¬¶V¿�¹�·6Ö0¿$¶nN¬OnUL¿ æ�è ¹�ÀXNV¿�·MË8·MIÕ¶ ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä S ½»¼M½ ´^µ À�NPº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶���À6Î�} á U8ÀTÃ8Ä#À µ ��N ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä Wº»N�À µ ÀX»·MKM·MILN)On·�·MIÕ¶Ä#ÀXº µ KM¿$·MÄ�¿$OV¶nºÊ¹ ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä ÐL½Ê¼M½»¼�Ð }2¿�ÝÕ¹�¿$ÃLO�OnU8ÀTO á U8ÀTÃ8Ä#À µ ��·X¶VÛÕN��ºÊOnU�Ä#À µ ºÊË�·M»¸LN�¿�Ä�ÁC¿$¸L¸L¿�¸'��ºÊOnU�¹�·È¸Lº»Ä�¿ µ NVº»· µ Å�¿$¶V·�º µ NP·MÄ�¿ � IL¹�Âʺ»¸L¿�À µ NPÃ�ÀX¹�¿8}u��ULº»Â»¿��¿ ��·X¶VÛ ��ºÊOnU�NPO�ÀTÁ8Â�ÎÏË�¶�ÀXÄ�¿�¸�Ä#À µ ºÊË�·M»¸LN ½eã º»N�Ä#ÀXº µ OV·?·MÂCºÊNhÀ�NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿)äLÁ®¿$¶n¿�¸Ì¹�· µ OP¶n·M»ÂÊ¿�¸Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄÉOnUL¿�·X¶V¿�Ä ½

� ¿ µ · µ ¿$OnUL¿�ÂÊ¿�NVN|�hºÊNVU"On·�ÃL¶n¿�NV¿ µ O�UL¿$¶n¿ROVUL¿�äL¶nNPO�ÀXIÕOnUL·X¶���N�·X¶nº»KMº µ ÀX ÀT¶VKMILÄ�¿ µ OnN�Ë�·X¶zOVUL¿NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿�Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OP¶nº»Å�¿$¸ ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ OnUL¿�·X¶V¿�Ä ½R¾ UL¿�On·?·MÂÊNhILNV¿$¸�º µ ·MIÕ¶JÃL¶V¿�NV¿ µ O�ÀTOnºÊ· µ ÀT¶V¿Ä�IL¹�U ¹�»·MNP¿$¶�On·�OnUL·MNV¿"·MË ��� À�� ØB� }��hULºÊ¹vU ÃL¶V·jÖ?º»¸L¿�N�OnUL¿"¹�· µLµ ¿$¹$Onº»· µ · µ ��ÀT¶n¸LNË�¶n·MÄ OVUL¿� ULºÊOn¿�UL¿�ÀX¸�NPÃ�ÀX¹�¿�NeOn·�ÀX»KM¿$ÁL¶�ÀXºÊ¹�Í�ÇlOnUL¿�·X¶VÎ ½eÓ º µ ¹�¿�OnUL¿�OnUL¿�·X¶V¿�Ä º»NeÀ�Û0¿$Î�¶V¿�NVILÂÊO~}^��¿�U8À�Ö0¿ÀX»NP·�OV¶nº»¿$¸ µ ·XO�OV·�»¿�À�Ö0¿ROn·?·�Ä�À µ Î"NPOn¿$Ã8N~}?KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ N�·X¶�¶n¿�»ÀTOnºÊÖ?º»Å�ÀTOnºÊ· µ N�On·�Á®¿Rä8»ÂÊ¿�¸º µ ÁÈÎ�OnUL¿)¶n¿�ÀX¸L¿$¶ ½â IÕ¶VOnUL¿$¶nÄ"·X¶n¿>}0NV·MÄ�¿�·MË®OnUL¿�U8ÀT¶n¸L¿$¶z¶n¿$NVILÂÊOnN�·MËC·MIÕ¶ æ ÀT¶PO�W;} º µ ¹�ÂÊIL¸Lº µ KOVUL¿hKM¿ µ ¿$¶nÀX ¹�ÀXNP¿

·MË ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä W ½ Q ½ W=À µ ¸�ºÊOVNh¹�· µ NV¿$å?IL¿ µ ¹�¿ æ ¶n·XÃC·MNPºÊOnºÊ· µ W ½ Q ½ Q } ��¿$¶n¿�ILNP¿�¸�º µ�� � À�� Ø }?°vQ ½»¼~�· µ OnUL¿ ��À6Î�On· ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä S ½ W ½ã ¿ µ ¹�¿�OnUL¿�NV¿�¶n¿�NVILÂ�OnN�ÀT¶n¿"ÀXÂÊNV· µ ¿�¿�¸L¿�¸ Ë�·X¶ ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä S ½ QÀ µ ¸�OnUL¿®¦ ´ â¬â ¹�ÀXNP¿R·MË ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä S ½»¼M½ ´ Oz¸L·È¿�N µ ·XOzNP¿�¿�Ä OV·ÁC¿hî·MNVNVº�Á8»¿hOn·�¸L¿�¸LIL¹�¿JOnUL¿�NP¿¶n¿�NPILÂÊOnN�Ë�¶n·MÄ Ó On¿�º µ ÁC¿�¶nKM¿$¶)À µ ¸ á U8ÀTÃ8Ä#À µ �xN�Ã�ÀTî¿$¶nN ½Ñ ¿�OnIÕ¶ µ º µ KÏOn· ã ÀTOn¹�UL¿$¶��xN)·X¶nº»KMº µ ÀXÂGÃ�ÀTÃC¿$¶~}COnUL¿�I µ NPO�ÀTÁ8»¿�Ë�·X¶nÄ ·MË:OnUL¿�Ä#ÀXº µ ÀXNPNV¿$¶VOnºÊ· µ

��·MILÂʸ#º»Ä"Ã8Â�Î µ ·XO�· µ ÂÊÎ�OnUL¿RNPOnÀTÁ8»¿R¹�· µ ¹$»ILNVºÊ· µ }?Á8IÕO�ÀX»NP·�À æ�è ¹�· µ ¹�·X¶V¸8À µ ¹�¿JNPO�ÀTÁ8ºÊ»ºÊO¡Î�¶n¿�ÇNVILÂ�O � ã À Þ � } á ·X¶ ½��Õ½ W � On·�OnUL¿�¿-�C¿�¹$O+OnU8ÀTOGÀ�NVILNPî¿ µ NVºÊ· µ Ä#ÀTà � T � ��� S:U[V ¹ � ��� S:U ¤ � Vº»N�ÀTÁC·MIÕO S ! ª Q V Çq¹�· µLµ ¿�¹$OV¿�¸?}8Ë�·X¶ ! � ¸Lº»Ä S%UWV ½ ¦)¿�»·È·XÃ8º µ K�· µ ¹�¿>}8OnULº»N|��·MILÂʸ�º»Ä=Ã8ÂÊÎ�OnU8ÀTOOnUL¿�N{O�ÀTÁ8º»Âʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ Ä#ÀTà � T Ä ��� S:UWV ¹ Ä �K� S:U ¤ � V ºÊNRÀX»NP·#ÀTÁC·MIÕO S ! ª Q V Çܹ$· µLµ ¿�¹$On¿�¸ ½HJN���¿�ÁL¶Vº»¿ �LÎ�¸Lº»NP¹�ILNVN�º µ Ñ ¿�Ä#ÀT¶VÛ ÐL½ W ½ Q }M·MIÕ¶�Ä�¿$OnUL·È¸LNeÀT¶n¿�¿$NVNV¿ µ Onº�ÀXÂÊÂÊÎ�NPOnÀTÁ8»¿ ½ ´^µ Ã�ÀT¶POnº»¹�ÇILÂ�ÀT¶~}���¿=¸L· µ ·XO)¶n¿�¹�·6Ö0¿$¶�OnUL¿�NV¿ æ�è ¹�· µ ¹�·X¶n¸8À µ ¹�¿�NPO�ÀTÁ8ºÊ»º�O^Î̶n¿�NVILÂ�OnN ½�ã ·���¿$Ö0¿$¶~}��z·X¶VÛÕº µ Kº µ OnUL¿c¦ ´ â¬â ¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ�} � ½ ´ KMILNnÀ�ÃL¶n·jÖ0¿$¸ÏOVUL¿JË�·M»»·���º µ K�¹�· µ ¹�·X¶n¸8À µ ¹$¿�N{O�ÀTÁ8º»ÂʺÊO¡Î=¶V¿�NVILÂÊO�º µ� ´ K���� � }LILNVº µ K ã ÀTOn¹�UL¿$¶���N æ�è ÀT¶nKMILÄ"¿ µ OhÀXN�À µ ·MIÕOn»º µ ¿�Ë�·X¶�OnUL¿�ÃL¶n·?·MË ½����������� � $�"��)"%$ � � ��+ �~¾�� "f&#(+*e1-9^1¬D�*-5+1_/¬@85`A�3MD

� T � ����� � S:U[V ¹ � ��� � � S:U ¤ � V/21 � �<LM@B5�5�*ML-7»*.g�i \ @B,®3>=2=�L_@BAaD3^LH7?1_A6@�@87%( ! �CA�3>5/ \ @B=hg81)U kl/J7%( ! ³ Ä#ÀbÝ ´ W � � Þ ¥�Q � � Ð µ {

¦)¿�»·È·XÃ8º µ K · µ ¹�¿>}=À µ ¸�ºÊOV¿$¶�ÀTOnº µ K+}�ºÊO Ë�·M»ÂÊ·���N OVU8ÀTO�OnUL¿Aº µ ä µ º�On¿AN{O�ÀTÁ8º»Âʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ Ä�ÀTÃÄ ����� � S:U[V ¹ N ����� � S:U[V ºÊN S � � ¼ V Çq¹�· µLµ ¿�¹$OV¿�¸?} Ë�·X¶ U }$! À µ ¸ �ÏÀXN�º µ OVUL¿�OnUL¿$·X¶n¿�Ä ½

Page 19: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

� UL¿ µ ¹�·MÄ�Á8º µ ¿$¸m�hº�OnU ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä�S ½ Q }�À µ ¸ ¹�ÀX»¹$ILÂ�ÀTOnºÊ· µ N�·MË�OnUL¿"ÀXÂÊKM¿$ÁL¶�ÀXºÊ¹=Í�ÇqOnUL¿$·X¶VÎ�·MËNPÃ�ÀX¹�¿$N.� S:UWV }8OnULºÊNR»¿�ÀX¸LNROV·�¹�· µ ¹$¶n¿�On¿�¶n¿�NVILÂ�OnNJ· µ OnUL¿�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�KX¶n·MIÕÃ8Nc§ � � ��� � � S:UWVÀ µ ¸ § � Ä ����� � S:U[V }LË�·X¶ +eIÕÃ�On·"ÀTÁC·MIÕO ! ª Q ½´^µ OnUL¿�¹�· µ OV¶�ÀX¹�OnºÊÁ8ÂÊ¿¹�ÀXNV¿ U � � � X 5 } OVUL¿$¶n¿�ºÊNJÀ=¶�ÀTOnºÊ· µ ÀXÂ+UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿

� S658V ¹ Í S:©½V }�À µ ¸ OnUL¿�¹$· µ NV¿�å?IL¿ µ ¹�¿�N�Ë�·X¶�§ � � � ��� S � � V���� ·MË�ç�·X¶n¿$Â���N�¹�ÀX»¹$ILÂ�ÀTOnºÊ· µ·MËeÍ � S:©½V���� � ç�· ÞTÐ>� ��¿$¶n¿�¿�Ý?Ã8Â�ÀXº µ ¿�¸�º µ � � À Þ �TÁ�} ¾ ULÄ ½ Q ½ W � À µ ¸ � ´ K���� }®Ã ½�ÞB�q½ H µ ÀXÂ�Ç·MKM·MILN=¶nÀTOnº»· µ ÀXÂ�¶n¿�NPILÂÊOnN=Ë�·X¶�NPÃ8UL¿$¶Vº»¹�ÀXÂ�NPÃ�ÀX¹�¿�Ë�·X¶nÄ"N ��¿�¶n¿�·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸-º µ � â¬ã�Þ � � } � ã ±��0W �À µ ¸ � ã ±��MQ �l½�á ÀXÂʹ�ILÂ�ÀTOVº»· µ N�·MË<OnUL¿ LÇlOn·X¶nNVºÊ· µ º µ § � � S658V ��¿$¶V¿�Ä#ÀX¸L¿�º µ � Ñ ·0S0W � Ë�·X¶% � WÀ µ ¸ � Ñ ·0SMQ � Ë�·X¶�·?¸L¸ ¶n¿�KMILÂ�ÀT¶ÏÃL¶nºÊÄ�¿�N~}RÀ µ ¸ NV·MÄ�¿�¹�· µ NP¿�å?IL¿ µ ¹$¿�N�Ë�·X¶�OnUL¿ LÇlOn·X¶nNVºÊ· µ º µ§ � � � ��� S � � V ��¿$¶n¿�¸Õ¶�À�� µ º µ Ó ¿�¹$OVº»· µ Y�·MË+OnU8ÀTO�Ã�ÀTÃC¿$¶ ½

¦ ½ ç�IÕ¶nKMUL¿$»¿�ÀJÀ µ ¸ ѽbè ÀXNPUL·MË � ç èGÞMÞ } ¾ ULÄ ½XáT� ILNP¿�¸�NVÄ�·?·XOVULº µ K�OVUL¿�·X¶VÎ�À µ ¸ Ú ·X¶nÂÊ¿$O���N¸Lº»N #{I µ ¹$Onº»· µ »¿�Ä"Ä#À�On·�NVUL·�� OnU8ÀTO�OVUL¿ æ�è ¹�· µ ¹$·X¶n¸8À µ ¹�¿�NPO�ÀTÁ8º»ÂʺÊO¡Î OVUL¿�·X¶n¿�Ä NPOnÀTOn¿�¸ ÁÈÎã ÀTOn¹�UL¿$¶w�z·MIL»¸�ºÊÄ"Ã8ÂÊÎ�À�¦ ´ â¬â ¹�· µ ¹�·X¶n¸8À µ ¹$¿�NPO�ÀTÁ8º»ÂʺÊO¡ÎÏOnUL¿�·X¶n¿$Ä } º µ ÀTÁC·MIÕOhU8ÀX»Ë<OnUL¿ æ�è¹�· µ ¹�·X¶V¸8À µ ¹�¿ NPOnÀTÁ8»¿�¶�À µ KM¿ ½&¾�½�× ·?·È¸ �hºÊ»»ºÊ¿�º»Ä"ÃL¶V·jÖ0¿�¸B· µ OnULº»N�ÀT¶nKMILÄ"¿ µ O~}hILNVº µ KAULºÊNÄ�ILÂÊOnº�Ã8»¿�¸Lº»N #{I µ ¹$OVº»· µ »¿�Ä�Ä�À=Ë�¶n·MÄ � × · � SMÀ � } On·#¿�N{O�ÀTÁ8»ºÊNVU À6¦ ´ â¬â ¹�· µ ¹$·X¶n¸8À µ ¹�¿�NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿¶�À µ KM¿�· µ ÂÊÎÏOnUÕ¶n¿$¿Â»¿$NVN�OnU8À µ NVIL¹�U�À µ ÀXNVNPILÄ�¿�¸ æ�è ¹�· µ ¹�·X¶n¸8À µ ¹�¿NPO�ÀTÁ8»¿)¶�À µ KM¿ ½ã ·���¿$Ö0¿$¶�} µ ·#ÃL¶n·?·MË:·MË:À�¹�· µ ¹�·X¶V¸8À µ ¹�¿�NPO�ÀTÁ8º»ÂʺÊO¡ÎÌOVUL¿�·X¶n¿�Ä Ë�·X¶)KM¿ µ ¿$¶�ÀX æ�è Ä�À µ º»Ë�·M»¸LN

NV¿�¿$Ä�NeOV·�Á®¿�Û µ ·�� µ ½ ´^µ OnUL¿�ÀTÁ8NV¿ µ ¹$¿h·MËCÀ æ�è ÃL¶n·?·MË } ºÊO���ÀXN:·XÁ8NV¿$¶PÖ0¿�¸"Á Î"ç�IÕ¶nKMUL¿$»¿�À�À µ ¸Á Î × ·?·È¸ �hºÊ»Âʺ»¿ROnU8ÀTO�Ë�·X¶�NVÄ�·È·XOnU8ÀTÁ8»¿JÄ�À µ º»Ë�·M»¸LN U · µ ¿)¹�À µ ¸L¿�¸LIL¹�¿À æ�è ¹�· µ ¹�·X¶V¸8À µ ¹�¿NPO�ÀTÁ8ºÊ»º�O^Î"OnUL¿�·X¶n¿�Ä Ë�¶V·MÄ ´ KMILNVÀ ��N½¦ ´ â¬â ¹�· µ ¹�·X¶V¸8À µ ¹�¿NPOnÀTÁ8º»Â»º�O¡Î"OnUL¿�·X¶V¿�Ä };��ºÊOnUÏOnUL¿)NnÀXÄ�¿¹�· µ ¹�·X¶V¸8À µ ¹�¿)NPO�ÀTÁ8»¿R¶nÀ µ KM¿ ½e¾ UL¿)ÀT¶nKMILÄ"¿ µ O�ÁC¿�ÂÊ·��o��ÀXN�¿�ÝÕÃ8»ÀXº µ ¿�¸�OV·�ILN�Á Î × ·?·È¸ �hºÊ»»ºÊ¿ ½´ O�Ë�·MÂÊ»·��hN"OVU8ÀTO"OnUL¿�·XÃLOnºÊÄ#ÀXÂ|¦ ´ â¬â ¹�· µ ¹�·X¶n¸8À µ ¹�¿�NPOnÀTÁ8»¿�¶nÀ µ KM¿�À µ ¸ OnUL¿�·XÃLOnºÊÄ#ÀX æ�è¹�· µ ¹�·X¶V¸8À µ ¹�¿�NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿�¶nÀ µ KM¿Ë�·X¶�NVÄ�·?·XOVU8ÀTÁ8»¿)Ä#À µ º»Ë�·MÂʸLNhÀT¶V¿�ÃL¶�ÀX¹�Onº»¹�ÀXÂÊÂÊÎ#OnUL¿�NnÀXÄ�¿ ½

������� � �%¾ �/# $�" �#"�E ��� + � � ��� � � ¾� Æ�?��à � Á � � Á%� � "'&#(+* 1_9^1 D�*-5+1_/ @B5`A�3MD

� T � ��� S:U[V ¹ � �K� S:U ¤ � V

/21 � �.LM@B55�*_L-7C*Mg�i \ @B,|LM@8AaD3^L-7�1_A @�@B7:( 3 IH=K* ! �CA�385�/ \ @B=hgB1#U k�/%7%( ! ³ Ä#ÀbÝ ´ W � � Þ ¥�Q � � Ð µ {s½,.@�@ \ { è ¿$O U Á®¿)À�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O|¦ ´ â¬â !®ÇÜÄ#À µ ºÊË�·M»¸ÏÀ µ ¸Ï»¿�O� ¹ U Á®¿JºÊOnN�Ë�¶nÀXÄ�¿RÁ8I µ ¸L»¿>}º ½ ¿ ½ } OnUL¿hÃL¶nº µ ¹�ºÊÃ�ÀX � �ÈÇqÁ8I µ ¸LÂÊ¿�ÀXNPNV·?¹�º»ÀTOn¿�¸�On·�OnUL¿RO�À µ KM¿ µ OzÁ8I µ ¸L»¿J·MË U ½ ç�Î=NVÄ�·È·XOnULº µ KOnUL¿�·X¶PÎ � ç èGÞTÐ } ¾ ULÄ ½8ÐL½ W � OnUL¿$¶V¿º»N�À=UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ#äLÁ®¿$¶RNP¿�å?IL¿ µ ¹$¿

� � ��� S:U[V ¹ � S:U[V ¹ � S:U43 � � ª � � V �

ã ¿$¶n¿ � S:U43 � � ª � � V ¸L¿ µ ·XOn¿$N�OnUL¿�NPÃ�ÀX¹�¿�·MËGNV¿�¹�Onº»· µ N � º µ OVUL¿�äLÁ®¿$¶hÁ8I µ ¸LÂÊ¿�ÀXNVNV·È¹�º�ÀTOV¿�¸On·� ¹ U �hº�OnU äLÁC¿$¶� � � ª � ��}¬NVIL¹�U�OnU8ÀTO � & � U Ä#ÀTÃ8NOn·�OnUL¿�Á�ÀXNV¿#î·Mº µ O�º µ ¿�ÀX¹�UäLÁC¿�¶ ½ S ¾ UL¿zÃL¶V¿�¹�º»NP¿�NPOnÀTOn¿�Ä�¿ µ O¬¶n¿�åÈILºÊ¶n¿$N�À)¸L¿$On·MIÕ¶:Ö?º�ÀRNPÃ�ÀX¹�¿$N�·MË8Ã8º»¿�¹$¿H�hºÊNV¿�¸Lºh�C¿�¶n¿ µ Onº�ÀTÁ8ÂÊ¿Ä#ÀTÃ8N~}��ULº»¹�UP��¿�NVIÕÃLÃL¶n¿$NVN ½ V â ·X¶h¹�· µ ¹�·X¶n¸8À µ ¹�¿�N{Ã�ÀX¹�¿�N � ç èGÞMÞ } S W ½�Ð V � OnUL¿$¶V¿�º»NJÀ=NVº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶UL·MÄ�·XOn·Xà Î#äLÁC¿�¶RNV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿

S ¼M½xÐL½ Q V � ����� � S:U[V ¹ � �K� S:U[V ¹ � S:U43 � � V ¥

��UL¿$¶n¿ � S:U93 ��� V ºÊN�OVUL¿NPÃ�ÀX¹�¿�·MË<NV¿�¹�Onº»· µ N�º µ À�Á8I µ ¸L»¿�·jÖ0¿$¶ U �hº�OnU�äLÁ®¿$¶

��� � UL·XäLÁ S � � ª � � ¹ � � > ¨ ª � � > ¨ V ¥

��ºÊOnU�ÃL¶n¿$NV¹$¶nº�ÁC¿�¸�ÁC¿�U8À�ÖպʷX¶�· µÆ� U ½ S ç�IÕ¶nKMUL¿$»¿�À è ÀXNVUL·MË���¶nº�On¿ � �#Ë�·X¶�OVUL¿����� ª � � ���À µ ÀX»·MKMIL¿�·MËGOnULºÊN�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ#äLÁ®¿$¶ ½ V

Page 20: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �è ¿$O

� O8Q�R S%UWV � UL·XäLÁ S � OBQ�R S:U[V �¸ ¹ � O8Q�R S:U ¤ � V<VÁC¿�OVUL¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�äLÁ®¿$¶�·MËzOnUL¿#NVILN{ÃC¿ µ NVºÊ· µ Ä#ÀTÃ�Ë�·X¶ á H ¾ ¹�· µ ¹�·X¶n¸8À µ ¹$¿�N ½ çzÎ � ç èGÞMÞ }¾ ULÄ ½ H � OnUL¿�¹�· µ ¹�·X¶n¸8À µ ¹�¿�NVILN{ÃC¿ µ NVºÊ· µ Ä#ÀTÃ8NRÀT¶n¿¹�·MÄ"Ã�ÀTOnº�Á8»¿ �hº�OnU�À"NVILNPî¿ µ NVºÊ· µ Ä�ÀTÃ�CT ��� ¹ Y � � > ¨�}8NV·=OnUL¿�¶n¿ºÊNhÀ�UL·MÄ�·XOn·Xà Î#äLÁC¿$¶hNV¿�å?IL¿ µ ¹�¿S ¼M½xÐL½�Ð V � ������� S%UWV ¹ � �K� S:UWV ¹ � S:U93 � � V ¥��UL¿$¶n¿ � S:U93 � � V º»N�OnUL¿N{Ã�ÀX¹�¿·MË<NP¿�¹$OnºÊ· µ Nhº µ À�Á8I µ ¸LÂÊ¿ ��ºÊOnU�äLÁC¿$¶

� � � UL·XäLÁ S � ���¸ ¹ Y � � > ¨ V ¥NPOnºÊ»Â���ºÊOnU�ÃL¶n¿�NV¹�¶nºÊÁ®¿�¸�ÁC¿�U8À�ÖպʷX¶h· µ � U ½¾ UL¿�¹�·MÂÊILÄ µ N�º µ OnUL¿�Ë�·M»ÂÊ·���º µ K=¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄÉÀT¶V¿UL·MÄ�·XOn·Xà Î#äLÁC¿�¶RNV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿�N T

� � �//

��

Y � � > ¨

��� � > ¨ ª � � ��������//

��

Y0S � � > � ª � � > ¨ V

�� � � > ¨ ª � � �� �//Y S � � > � ª � � > ¨ V

¾ UL¿�»·���¿$¶�Ö0¿$¶VOVº»¹�ÀX ÀT¶V¶n·���NGÀT¶n¿ S ! � W V Çܹ$· µLµ ¿�¹$On¿�¸�Ë�·X¶ ! ³ Ø }jÁÈÎ�OnUL¿ � ª � � ���BNPO�ÀTÁ8º»ÂʺÊO¡ÎOnUL¿�·X¶V¿�Ä � � ÓLÞMÞ } � ½ Ø?½ W �l½�ã ¿ µ ¹�¿�� �?} Y � � > ¨�À µ ¸�OnUL¿�IÕÃLî¿$¶)UL·X¶nº»Å$· µ O�ÀXÂ+Ä#ÀTà � ÀT¶V¿�ÀX»ÂS ! � ¼ V Çq¹�· µLµ ¿�¹$On¿$¸?}CÀ µ ¸�OVUL¿UL·MÄ�·XOn·Xà Î#äLÁC¿�¶ � ��º»NhÀTO�ÂÊ¿�ÀXNPO !®Çܹ�· µLµ ¿$¹$On¿�¸ ½´ KMILNnÀ ��N�OnUL¿�·X¶n¿�Ä�º»Ä"Ã8Âʺ»¿�N�OnU8ÀTO � ������� S%UWV ºÊN S � ¸ ¼ V Çq¹�· µLµ ¿�¹$On¿$¸?}�Ë�·X¶ U } !BÀ µ ¸ �

ÀXN�ÀTÁC·6Ö0¿ ½ ´^µ ÀX¸L¸LºÊOnºÊ· µ } � T � ����� � S:U[V ¹ � ������� S%U ¤ � V º»N�SbÇq¹�· µLµ ¿�¹$On¿$¸ S Ë�·X¶(! ³Þ V ½RÓ º µ ¹�¿ � S:U43MY � � > ¨ V ºÊN ¼ Çܹ�· µLµ ¿$¹$On¿�¸?}2º�OJË�·M»ÂÊ·���NRË�¶n·MÄ S ¼M½�ÐL½ Q V OnU8ÀTO � T � ��� S:UWV ¹� ��� S:U ¤ � V ºÊNhÀTO�»¿�ÀXN{ORSbÇq¹�· µLµ ¿�¹$On¿$¸ ½Ô ·�� ¹�· µ NVºÊ¸L¿$¶"OnUL¿�NPî¿�¹�º�ÀXÂ�¹�ÀXNP¿ U � � � ½�¾ UL¿�NPÃ�ÀX¹�¿�N � S �

� V } � ��� S � � V À µ ¸� ��� S � � V ÀT¶n¿JÀXÂÊ ¹$· µ OV¶nÀX¹$OnºÊÁ8ÂÊ¿>}ÈÁ Î�OnUL¿RHJ»¿vÝ8À µ ¸L¿$¶zOP¶nº»¹nÛ ½:¾ UL¿hO�À µ KM¿ µ OzÁ8I µ ¸LÂÊ¿J·MË � � º»NOV¶nº�ÖÕº»ÀXÂ�}®NP· � S �

� 3 � � V � Y � � � ½ ´ KMILNnÀ �xNJOnUL¿�·X¶n¿�Ä À µ ¸ S ¼M½xÐL½�Ð V OnUL¿ µ º»Ä=Ã8ÂÊÎÌOVU8ÀTO Y � � �º»N �MÇܹ�· µLµ ¿�¹�On¿�¸ ½ ´ O�Ë�·MÂÊ»·��hN�OnU8ÀTO � �#ºÊN S ! � � V Çq¹�· µLµ ¿�¹$OV¿�¸?}8NVº µ ¹�¿c��¿hNnÀ�� ÀTÁC·6Ö0¿hOnU8ÀTO � �º»N�ÀTO�»¿�ÀXNPO !®Çܹ$· µLµ ¿�¹$On¿�¸ ½Ñ ¿�OnIÕ¶ µ º µ K�OV·=OnUL¿�¹�ÀXNV¿·MË:À"KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂ�NVÄ�·?·XOVU8ÀTÁ8»¿,!®ÇÜÄ#À µ ºÊË�·M»¸ U }�OVUL¿NV¿�¹�Onº»· µ NPÃ�ÀX¹$¿

� S:U43 � � V º»N�MÇܹ�· µLµ ¿�¹�On¿�¸�ÁÈηXÁ8NPOV¶nIL¹$OVº»· µ OnUL¿�·X¶VÎ ½+ã ¿ µ ¹�¿ � �K� S%UWV ºÊN S � ¸ ¼ V Çܹ�· µLµ ¿�¹�On¿�¸Á Î ´ KMILNnÀ ��N�OnUL¿$·X¶n¿�Ä À µ ¸ S ¼M½�ÐL½xÐ V ½ ´ O�Ë�·MÂÊ»·��hNOVU8ÀTO�OnUL¿ æ�è ¹�· µ ¹�·X¶n¸8À µ ¹�¿�NPO�ÀTÁ8ºÊ»ºÊÅ�ÀTOnº»· µÄ#ÀTà � T � ��� S:UWV ¹ � ��� S:U ¤ � V ºÊN �MÇܹ�· µLµ ¿�¹�On¿�¸?}%NVº µ ¹$¿4��¿�NnÀ�� ÀTÁC·6Ö0¿�OnU8ÀTOJº�OJº»N)ÀTO»¿�ÀXNPORSbÇq¹�· µLµ ¿�¹$OV¿�¸ ½ �

´^µ À ¶n¿�Â�ÀTOVºÊÖ0¿ ��À6Î�} ´ KMILNnÀ ��N�OVUL¿�·X¶n¿�Ä ºÊÄ"ÃL¶n·6Ö0¿�N�· µ OnUL¿�¹$ºÊOn¿�¸ � ª � � ��� NPO�ÀTÁ8º»ÂʺÊO¡ÎOnUL¿�·X¶V¿�Ä }ÕÁ ÎÌNVUL·���º µ K=OVU8ÀTO�OnUL¿ æ�è NVILN{ÃC¿ µ NVºÊ· µ Ä#ÀTÃ

� � > ¨ ª � � � �¸C¸+¸%¹ Y S � � > � ª � � > ¨ Vº»N�ÀTO�»¿�ÀXNPO S ! � � � W V Çܹ�· µLµ ¿�¹�On¿�¸?})��UL¿ µ ! ³ Ä#ÀbÝ ´ W � � Þ ¥�Q � � Ð µ ½ ´{µ ¹�·MÄ"Ã�ÀT¶Vº»NV· µ }OnUL¿ ¦ ´ â¬â NVILNPÃC¿ µ NVº»· µ Ä#ÀTÃ

( � �� � � > ¨ ª � ����������¸�¸+¸+¸_¹ Y S � � > � ª � � > ¨ V �� Y ( � > ¨

Page 21: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

º»N�ÃL¶n¿�¹$º»NV¿�Â�Î S W�! ¸ ¼ V Çܹ�· µLµ ¿�¹�On¿�¸?}8ÁÈÎ â ¶V¿�IL¸L¿ µ OnU8ÀXÂ��xN�OnUL¿�·X¶V¿�Ä ½ *-A�38,�� �{���{���{ ¾ UL¿�¶n¿�ÀT¶n¿eNV·MÄ�¿�Ë�·X¶<��ÀT¶n¸¶V¿�Ë�¿$¶n¿ µ ¹$¿�N¬º µ�� � À�� Ø }�°nQ ½»¼~� }j¹�· µ ¹�¿�¶ µ º µ KJNVºÊÄ"Ã8»¿Ä#ÀTÃ8N~}zOV· OnUL¿ÌÃL¶n¿$NV¿ µ O#Ã�ÀTÃC¿$¶ ½ â ·X¶"OnUL¿Ì¶V¿�ÀX¸L¿$¶��xN#¹�· µ Ö0¿ µ º»¿ µ ¹�¿8} ��¿ÌÄ#ÀTÛ0¿�OnUL¿$NV¿�Ä�·X¶n¿¿�Ý?Ã8»º»¹$ºÊO�UL¿$¶n¿ ½ ¾ UL¿�¹�»ÀXº»Ä�OVU8ÀTO�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿#Ä#ÀTÃ8N�Ë�·X¶nÄ À�¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ�}�À µ ¸�NnÀTOnºÊNVË�Î�À�KM»ILº µ K»¿$Ä�Ä#À ��� À�� Ø }eà ½:Ð S ¼~� º»N�¹�· µ O�ÀXº µ ¿$¸ º µ æ ¶n·Xî·MNVºÊOVº»· µ W ½»¼M½ Q ½ ¾ UL¿�¹�Â�ÀXºÊÄ�OnU8ÀTO�OnUL¿ÆÄ�ÇNPÃ�ÀX¹�¿ � � � S���V º»N�KX¶n·MIÕÃÕÇÜÂʺÊÛ0¿ ��� À�� Ø }Õà ½8Ð S0W � º»N�·MIÕ¶ á ·X¶n·MÂÊÂ�ÀT¶VÎ�Q ½ W ½�ÐL½¾ UL¿�ÃL¶n·?·MË�·MË � � À�� Ø } è ¿�Ä ½ Q ½Ê¼M½�Ð>� ¹�· µ OnÀXº µ N�OnUÕ¶n¿$¿�Ë�·X¶z��ÀT¶n¸ ¶n¿�Ë�¿$¶V¿ µ ¹�¿�N ½ ¾ UL¿ � �z¿�»Â

Û µ ·�� µ ÀT¶VKMILÄ�¿ µ O.�0��ÀXN�ºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�ºÊO�º µ�� ×�� Y ÞB� }ÈÁ8IÕO�ºÊNz¿�Ý?Ã8»º»¹$ºÊO�º µ ·MIÕ¶ è ¿�Ä"Ä#ÀQ ½ W ½»¼�ÐL½:¾ UL¿Ë ÀX¹$OJOnU8ÀTOhOnUL¿�NVIÕÁ®¸LºÊÖÕºÊNVº»· µ ·MËeÀ�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ�º»NRNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�ÀXK0ÀXº µ ºÊNR·MIÕ¶ æ ¶n·Xî·MNVºÊOVº»· µ W ½ Q ½ Q ½H�OJOnULº»NRî·Mº µ O�}®OnUL¿�Ë�ILÂÊÂ<NPOV¶n¿ µ KXOnU�·MË:·MIÕ¶ ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä W ½ Q ½ W=ºÊNJILNV¿�¸ ½�¾ U ILNJOnULº»NR¶V¿�NVILÂÊO~}C· µOnUL¿�åÈI8ÀXNVº�Ç µ ÀTOnIÕ¶�ÀX»º�O¡Î·MËLOnUL¿ â ¶nºÊOVNV¹�U æ IÕÃLÃC¿�UL·MÄ"¿�·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ }TºÊNGÃL¶n¿�NP¿ µ OVÂÊÎ�¶n¿$å?ILºÊ¶V¿�¸�Ë�·X¶OnUL¿�ºÊ¸L¿ µ OVºÊä8¹�ÀTOnºÊ· µ � � � S���V|X Y � U �K� S �mV }CÀ µ ¸�OnU ILN�Ë�·X¶ ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä�N)S ½»¼ }®S ½ W�À µ ¸�S ½ Q ½¾ UL¿�¶n¿�NPILÂÊO�OnU8ÀTO�OVUL¿Â�ÀXN{O�Ö0¿$¶POn¿�Ý�Ä#ÀTÃ̺»N�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�ºÊN�·MIÕ¶ æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ W ½Ê¼jÞ?½¾ UL¿$¶n¿ÏÀT¶n¿#OC��·�¶n¿�Ë�¿$¶V¿ µ ¹�¿�N�· µ Ã�ÀXKM¿ Ð SMY�·MË ��� À�� ØB� On·�·MIÕ¶ æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ Q ½ W ½ÙØ }¬º ½ ¿ ½ }

OnU8ÀTO�OnUL¿�Ë�I µ ¹$On·X¶ � º¹ ��� � S���V ¶V¿�NPÃC¿$¹$OnNa��¿�ÀTÛ�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎÏ¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�N ½¾ UL¿�¹$· µ ¹�»IL¸Lº µ K�¶n¿$Ë�·X¶nÄ�ILÂ�ÀTOnºÊ· µf� � À�� Ø } æ ¶n·Xà ½ Q ½ Q ½ W � ·MË � � À�� Ø } ¾ ULÄ ½ Q ½ Q ½Ê¼~� ºÊN µ ·XO

¶nºÊKMU O�ÀXNJNPOnÀTOn¿�¸ ½ ´^µ OnUL¿�¸L¿�ä µ ºÊOnºÊ· µ ·MË:OnUL¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ+¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ +�- S���V *B}COVUL¿�¹$· µ ¸LºÊOnºÊ· µ· µ OVUL¿·XÁ #{¿�¹$OnN�º µ NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂC¸L¿�KX¶n¿$¿ ��OnU8ÀTO�OVUL¿�¹�·MÄ=ÃC·MNVº�On¿�Ä�ÀTÃ

��¸ ¹ � ¤ ß à "��¸�¹ ß à

º»NG»·?¹�ÀX»ÂÊÎ)äLÁ®¿$¶¬UL·MÄ�·XOn·Xà Î�OV¶nºÊÖ?º�ÀXÂ:}bNVUL·MILÂʸ�ÁC¿�¶n¿�Ã8Â�ÀX¹�¿�¸4��ºÊOVU�OnUL¿zNPOV¶V· µ KM¿$¶¬¹�· µ ¸Lº�Onº»· µ OnU8ÀTOOnUL¿=Ä#ÀTà ºÊN�À Ó ¿$¶P¶n¿"äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ ½#¾ ULº»NÂÊ¿�ÀX¸LN�OV·ÌOnUL¿"Ë�·MÂÊ»·��hº µ K�¸L¿$ä µ º�Onº»· µ À µ ¸ ¹�·X¶V¶n¿�¹�On¿�¸ÃL¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ ½� ��� �¿Á2À�Á%��� $�" �#"��?" ¾ · ¿�ÀX¹vU NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NV¿$O � �z¿�ÀXNVNV·?¹$º�ÀTOn¿ À-NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ�+ * S �mV ½ ´^µ NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ�¸L¿�KX¶n¿�¿ ��}�º�O�ºÊN�OnUL¿�Ë�IL»ÂhNVIÕÁC¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ-·MË�+.- S�� ¤ ß à V KM¿ µ ¿$¶PÇÀTOn¿�¸�ÁÈÎ�OnUL¿�·XÁ #{¿�¹$OnN S � ¥ )�¥ � V Ë�·X¶ �hULºÊ¹vU�OnUL¿¹�·MÄ=ÃC·MNVº�On¿)Ä#ÀTÃ

��¸ ¹ � ¤ ß à "��¸�¹ ß à

º»N�À Ó ¿$¶V¶V¿ äLÁL¶�ÀTOVº»· µ ½ è ¿$O �+ � * S �mV ÁC¿�OnUL¿�Ë�IL»ÂJNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NVIÕÁC¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ ��ºÊOVU ·XÁ #{¿�¹$OVNNVIL¹�U�OnU8ÀTO � T � ¤ ß�à ¹ � º»NRÀX»NV·#À��z¿�ÀTÛÌUL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿8}CÀ µ ¸�»¿�O � Ç�À µ ¸ ÆÈÇÃL¶n¿$äÕÝÕ¿�N<º µ ¸Lº»¹�ÀTOn¿�OnUL¿�NVIÕÁ®¹�ÀTOn¿�KM·X¶Vº»¿�N<·MËLNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTÃ8NGÀ µ ¸4��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N~}¶n¿�N{ÃC¿�¹$OVºÊÖ0¿�Â�Î ½çzÎ ��� À�� Ø } ¾ ULÄ ½ Q ½ Q ½Ê¼~� }?OnUL¿�¶n¿ºÊNhÀ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎϹ�ÀT¶VOn¿�NPº�À µ NPå?I8ÀT¶n¿

S ¼M½xÐL½ Þ V � (�* + � - S�� ��� V //

��

� (�* +�- S�� ��� V

��Æ�(�* + � - S�� ��� V //Æ)(�* +�- S�� ��� V

��UL¿$¶n¿ � ��� ºÊNJOnUL¿�Á8ºÊNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ<NV¿�O�OnU8ÀTO�º µ NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ<¸L¿$KX¶n¿�¿ �Ï¿�åÈI8ÀX»NJOnUL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂNV¿$O � �� � Ú ÀTà S ß à ¥ ��V }��hº�OnU LÇqNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿$N�OnUL¿�Ä#ÀTÃ8N"ß " ¤ ß à ¹ � ½A¾ UL¿�IÕÃLî¿$¶Â»¿$Ë�ORU8À µ ¸ÌOn¿�¶nÄ ºÊNh· µ ¿�Ä�·?¸L¿�Â%Ë�·X¶ � U ��� S���V }ÕOnUL¿�»·���¿$¶RÂÊ¿�Ë�ORU8À µ ¸�OV¿$¶nÄ º»N�¹�À µ · µ º»¹�ÀXÂÊÂÊι�· µ OV¶�ÀX¹$OVºÊÁ8»¿8} À µ ¸�OnUL¿�ÂÊ·?·XÃÌNPÃ�ÀX¹�¿�NR·MË�OnUL¿�¶Vº»KMU0OhU8À µ ¸ÌOV¿$¶nÄ�N�ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ OOn·�Æ S�� 3 � S658V<V À µ ¸ � S���V }0¶n¿�N{ÃC¿�¹$OVºÊÖ0¿�Â�Î ½�¾ UL¿)UL·MÄ�·XOn·Xà Î"äLÁ®¿$¶�NV¿�å?IL¿ µ ¹�¿ S ¼M½ Q ½ W V º»NzÃ�ÀT¶VO·MË+OVUL¿ æ IÕÃLî¿�äLÁ®¿$¶RNV¿$å?IL¿ µ ¹�¿¸L¿$¶nºÊÖ0¿$¸�Ë�¶n·MÄ OnULº»N�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎϹ�ÀT¶VOn¿$NVº�À µ NVå?I8ÀT¶n¿ ½

Page 22: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ���¡$�" �#"���" &#(+*-,M* /21436(+@BA6@[email protected]�EÆLM38,_7»*_1_/�3>5P1~GH938,.*

� (�* �+ � * S���V //

��

� (�* �+ * S���V

���(�* �+ � * S���V // �(�* �+ * S �mV

385�g6/J7T/21 (+@BA @B7C@MD�E *.GH9;/JI838=K*-5�7u7»@�7:(+*e1~G~9+38,M*]3 I-@BI>*'IHE�365�387:9;,<3>=�A�3MD�{s½,.@�@ \ { ¾ UL¿ µ ÀTOVIÕ¶�ÀX¬Ä#ÀTÃ�·MËzUL·MÄ�·XOn·Xà Î�¹�ÀT¶VOV¿�NVº�À µ NVå?I8ÀT¶V¿�NºÊN�º µ ¸LIL¹�¿�¸ Á Î�OnUL¿"Ë�I µ ¹$OV·X¶+.- S�� ��� V ¹ �+ * S���V KMºÊÖ0¿ µ º µ NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX®¸L¿�KX¶n¿�¿ ��Á ÎÏOnUL¿¹�·MÄ=ÃC·MNVº�On¿

+.- S�� �� V ¹ +�- S�� �� ¤ ß à V ¹ +�- S�� ¤ ß à V ¥

��UL¿$¶n¿�OnUL¿�äL¶VNPOÄ�ÀTà ºÊN�KMº�Ö0¿ µ Á Î�ÃL¶n·?¸LIL¹�O ��ºÊOnU ß à }GÀ µ ¸ OnUL¿=NP¿�¹�· µ ¸ Ä#ÀTà ºÊN�º µ ¸LIL¹�¿�¸Á Î

S���� ¥ ) V T � �� ¤ ß à ¹ � ¤ ß à��UL¿$¶n¿ ��� ºÊN�OVUL¿=¿$ÖTÀX»I8ÀTOVº»· µ Ä#ÀTà ½ � UL¿ µ ÀTÃLÃ8»ºÊ¿�¸�OV·�À#¶n¿$OV¶�ÀX¹�OnºÊÖ0¿�NPÃ�ÀX¹�¿ � ·6Ö0¿$¶ � ��OnUL¿Ï¶n¿�NVILÂ�O"ºÊN"À Ó ¿$¶V¶V¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ ·6Ö0¿$¶ � ¤ ß=à8}eÁÈÎ OVUL¿�äLÁ®¿$¶�KMÂÊILº µ K »¿�Ä�Ä�À�Ë�·X¶ Ó ¿$¶V¶V¿äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N~} æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ÙÞ?½ Þ?½:¾ UL¿)ÃL¶V·?·MË%OnUL¿ µ KM·?¿�N�OnUÕ¶n·MILKMU�ÀXN�º µ�� � À�� Ø }?à ½ÕÐL¼ � � }ÕIÕÃOn·ÏOnUL¿�¹�Â�ÀXºÊÄ OnU8ÀTO � � � S���V ¹ � � � � * S���V º»N�À�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½ ç�IÕO�OVULº»N �hºÊ»ÂGÁ®¿ÃL¶n·6Ö0¿�¸�ÀXN á ·X¶V·M»Â�ÀT¶PÎ�Q ½ Ø?½ W ½HJ¹$OnI8ÀXÂÊÂÊÎ�}TOVUL¿�äLÁ®¿$¶�KM»ILº µ K�»¿$Ä�Ä#ÀRË�·X¶ Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N���ÀXN�ÀXÂÊNV·)ILNV¿�¸�º µ OVUL¿�Ö0¿�¶nºÊä8¹�ÀbÇ

OnºÊ· µ OnU8ÀTOROnUL¿NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ%¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ �+ * S���V º µ ¦)¿$ä µ º�Onº»· µ ¼M½xÐL½ Y�º»NJÀ"NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ��ºÊOnU�¹$·XäLÁL¶�ÀTOnº»· µ N 3 OnU8ÀTO~}�º µ Ã�ÀT¶VOnºÊ¹�ILÂ�ÀT¶~}�Ë�·X¶h¿$Ö0¿$¶VÎ ��OnUL¿¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ �+ à S���V ºÊNRÀ=¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ��ºÊOnU�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N~}�ÀXN�¶n¿�åÈILºÊ¶n¿$¸ÌË�·X¶hOVUL¿�ILNV¿·MË+OnUL¿C(�*�Çq¹�· µ NPOV¶nIL¹�Onº»· µ ½ �

´^µ OnUL¿ � Ä#À µ ºÊË�·M»¸�ÀTÃLÃL¶V·0ÀX¹vU+�#Ã�ÀTî¿$¶ ��� À��0W;} æ ¶V·Xà ½CØ?½Ê¼~� } À�NVº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶ S ÀTÃLÃL¶n·�ÝLºÊÄ#ÀTOn¿�Â�Î VUL·MÄ�·XOn·Xà Î-¹�ÀT¶VOn¿�NVº»À µ NVå?I8ÀT¶n¿�ºÊN#¹�· µ NPOV¶nIL¹�On¿�¸?}®��UL¿$¶n¿�OnUL¿�¿ µ OV¶nºÊ¿�N�ÀT¶n¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX S NV¿$OVN·X¶ V ¹�ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¿�N"·MË á H ¾ Ä#À µ º»Ë�·MÂʸLN ½ HJN"¸LºÊNV¹�ILNVNP¿�¸Bº µ¡��� À��0W;}�ÃLà ½h¼jÞ � ¼ �MS � }�OnUL¿�¶n¿�º»NÀ ¹�U8ÀXº µ ·MË)UL·MÄ�·XOn·Xà Π¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�N#¶n¿�»ÀTOnº µ K OVUL¿�Ä#À µ º»Ë�·MÂʸ NVå?I8ÀT¶n¿�OV· OnUL¿�NVå?I8ÀT¶V¿�·MËæ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ ¼M½�ÐL½ � ½ ¾ ULºÊN̺»N�UL·�� · µ ¿ ¹�À µ ¸L¿�¸LIL¹�¿ ��� À��0W;} æ ¶n·Xà ½hØ?½ ØB� }RË�·X¶ á H ¾ �æ�è }COnU8ÀTO)OnUL¿�Ä#À µ ºÊË�·M»¸ Ë�I µ ¹$On·X¶�OnU8ÀTO�¹�·X¶V¶n¿�N{ÃC· µ ¸LN)On· � (�* +�- S�� ��� VaX � (�* �+ * S �mV ºÊN�ÀUL·MÄ�·MÂÊ·MKMº»¹�ÀXÂCË�I µ ¹�On·X¶Rº µ � ½

Page 23: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�_� ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

E�"� � � Á%� ¼ � ��� ¾�¼ �

�®( � (������ ��.05 �h, �84"E���4���� �8.��2����,�.Ì465L³24´^µ OnULº»N�NV¿�¹$OVº»· µ ��¿J¸L¿$ä µ ¿JNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿hÄ#ÀTÃ8N�·MËCä µ ºÊOn¿RNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�NP¿$OnN~}LÀ µ ¸#¿$NPO�ÀTÁ8»ºÊNVU#NV·MÄ�¿

·MË+OVUL¿�ºÊ¶hË�·X¶nÄ#ÀXÂCÃL¶n·Xî¿$¶VOnºÊ¿�N ½è ¿$O"ß ÁC¿#OnUL¿ÏNPÛ0¿�ÂÊ¿$On· µ ¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ ·MË�ä µ º�On¿ µ · µ ÇÜ¿�Ä=ÃLO^Î�·X¶V¸Lº µ ÀX»NH}���ºÊOVUA·XÁ #{¿�¹$OVN�OVUL¿

»º µ ¿�ÀT¶nÂ�ÎJ·X¶n¸L¿$¶n¿$¸�NV¿$OnN � ! � � ´ S�� ¼ � ������� ! µ Ë�·X¶ ! ³ S }bÀ µ ¸Ä"·X¶VÃ8ULº»NVÄ"NKB T � ! � ¹ ��� �OnUL¿�·X¶n¸L¿�¶PÇqÃL¶n¿$NV¿$¶VÖ?º µ K�Ë�I µ ¹$Onº»· µ N ½ H NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NV¿$O � º»N)À�¹$· µ OV¶nÀ6ÖTÀT¶nº�À µ O)Ë�I µ ¹$On·X¶�Ë�¶n·MÄß On·�NV¿$OnN ½�¾ UL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂGNP¿$O�ß�à�º»N)OnUL¿�Ë�I µ ¹$On·X¶¶V¿$ÃL¶n¿�NV¿ µ On¿$¸ ÁÈÎ�OnUL¿�·XÁ #{¿�¹$O � � �q½ � ¿¶n¿�Ë�¿�¶hOn· � × � Y ÞB� } � â¬æT� S }�° Ð>� ·X¶ � × ± ���8� Ë�·X¶�OnUL¿�OnUL¿�·X¶VÎ�·MËGNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂCNV¿$OnN ½� ��� �¿Á2À�Á%���PE�"%$�"%$�" è ¿$O � T � ¹ � ÁC¿�À#Ä#ÀTÃ�·MË¬ä µ ºÊOV¿�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ+NP¿$OnN ½ � ¿�NnÀ�Î�OnU8ÀTO� º»NÏÀ � Á%� ¼ � � � ¾�¼&º»Ë)ºÊOnN#KM¿$·MÄ�¿$OV¶nºÊ¹�¶n¿�ÀX»º»Å�ÀTOnº»· µ & � & T & � & ¹ & � & U8ÀXN#¹�· µ OV¶�ÀX¹�OnºÊÁ8ÂÊ¿ÃC·Mº µ O�º µ Ö0¿$¶nNP¿�N~}�º ½ ¿ ½ }Lº»Ë+Ë�·X¶h¿�ÀX¹vU�ÃC·Mº µ O ¯?& � & OnUL¿�ÃL¶V¿�º»Ä#ÀXKM¿ & � & # ¨ S V º»N�À�¹�· µ OV¶�ÀX¹�OnºÊÁ8ÂÊ¿On·Xî·M»·MKMº»¹�ÀXÂCNPÃ�ÀX¹�¿ ½

� ¿�NV·MÄ�¿$OVº»Ä�¿�N�¸L¿ µ ·XOV¿�À=NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä�ÀTÃÌÁ Î � ���¸ ¸J¹ � ½� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� E�"%$�"�E�" d A�3_D � T � ¹ � @ \ Gl5/J7»*01-/JAaD�= /¬LH/�38=?1�*H7%10/21�3 1_/JAaD�=K*0A�3MD�/ \385�gm@B5= E`/ \ & � & T & � & ¹ & � &�/21 3P(+*-,M*.g8/J7C38,_EFkT*.3 � (+@8A6@B7»@.D�Em*.GH9;/JI83>=K*-5�LM*Miw/�{%*�{hia/ \®\ @B,*.3^L-( @.D�*-5f1_9)IH1�*-7 , � & � &u7:(+* ,.*_1-7:,-/¬L-7»*.gPA63MD & � & # ¨ S , V ¹ , /21 3Pk|*.3 � (+@BA6@[email protected]�E*.GH9;/JI83>=K*-5�LM*�{ x.5 D38,_7�/¬L-9;=h38,Mi|3�1_/JAwD�=K*0A�3_D�/2143 kT*.3 � (+@BA6@B7»@.D�E *.G~9�/JI>38=K*-5�LM*�{¾ ULº»N�Ë�·MÂÊ»·��hN�º»Ä�Ä�¿$¸Lº�ÀTOn¿�Â�Î�Ë�¶n·MÄ OVUL¿�Ä�·X¶n¿=¸L¿$O�ÀXº»ÂÊ¿�¸ æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½Ê¼M½ ��Á®¿�»·�� ½ � ¿

NVU8ÀXÂÊÂ%ÃL¶Vº µ ¹�º�Ã�ÀX»ÂÊÎ�ILNV¿�OnUL¿�Ë�·M»»·���º µ K"¹$· µ NV¿�å?IL¿ µ ¹�¿�N ½� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� E�":$�"��?"Ft)*H7 � T � ¹ � 385�g T � ¹ � I_*ÆA�3MD�1 @ \ Gl5/J7»* 1_/JAaD�= /¬L-/�38=1�*-7:1~{

3 � Mbr@8AaD�@�1_/%7:/¬@85 �ex \ � 385�g��38,M*a1-/JAaD�=K*Mi�7:(+*-5F1�@�/21c7%(*-/J, LM@BAaD�@�1_/J7»* � T � ¹ � { I�� / �B(^7 L.385�L_*-=2=h387�/¬@B5 � x \ � 3>5�g� � 3>,.*e1_/%AaD�=K*Miu7:(+*-5�/21e1_/JAaD�=K*�{ zL � �s|9;=2= IM3^L�� �]s½9�=2= IM3�L���1]@ \ 1_/JAaD�=K* A�3MD�1]38,.* 1_/JAaD�=K*�{ g � ��½= 9;/J5���=K*HA]A�3 ��t)*-7

� ¨

�����

� �oooo

�����

//� �

������ ¨ � �

oooo // � �

I_*Æ3mLM@8A]A]9;7 387�/JI>* g8/�3 �8,<38A @ \ Gl5/J7»*�1_/%AaD�= /¬L-/¬38=�1�*-7:1.ic1_9�L_(�7:( 387c7:(+* A�3MD�1 � � ¹ � ¨385�g � � ¹ � ¨ 38,.* L_@ GJIH,.387:/ @B5+1a385�g47%(+*wA�3MD�1 � � ¹ � � \ @B, + � S ¥ ¼ ¥vW 38,.*®1_/JAaD�=K*�{]&#(+*-57:(+* /J5�g>9LM*Mg�A�3MDf@ \ D�9�1M(+@89�7:1

� ¨ � ��� � � ¹ � ¨ ��� � � �

/21 1-/JAaD�=K*�{Ó º»Ä=Ã8»¿)Ä#ÀTÃ8N�¸L· µ ·XO�U8À6Ö0¿�OnUL¿�»¿�Ë�O�¹�À µ ¹�¿�ÂÊÂ�ÀTOnºÊ· µ ÃL¶n·Xî¿$¶VO¡Î�}8ÀXN�OnUL¿¹�·MÄ=ÃC·MNVº�On¿�ß �

¹ß ¨

¹ ß � º»ÂÊ»ILNPOV¶nÀTOn¿�N ½Ï¾ UL¿�¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ U0Î?ÃC·XOVUL¿�NV¿�N�º µ OnUL¿�KMÂÊILº µ K�ÂÊ¿�Ä�Ä#ÀϹ�À µLµ ·XO�Á®¿·MÄ�º�OVOn¿�¸?}8ÀXN�OnUL¿)Ö0¿$¶VOnºÊ¹�ÀXÂ%Ä#ÀTÃÌË�¶V·MÄ ß ¨ � � ß ¨ � ß ¨ On·�ß �

¸ � ß ¨¸ ¹ ß � NPUL·���N ½

� ¿�ÀTÛÌUL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿�N)U8À6Ö0¿�OnUL¿=WjÇq·MIÕOPÇÜ·MË»ÇÜQ#ÃL¶V·XÃC¿$¶VO¡Î�}���ULº»¹�U ¹�·MÄ�Á8º µ ¿�NROVUL¿¹�·MÄ"î·MNVºÊOVº»· µ }0¶nº»KMU0O�¹�À µ ¹�¿$»Â�ÀTOVº»· µ À µ ¸Ï»¿$Ë�O�¹�À µ ¹�¿�ÂÊÂ�ÀTOnºÊ· µ ÃL¶n·Xî¿$¶VOnºÊ¿�N ½�¾ UL¿$Î�ÀT¶n¿R·MË�On¿ µ�µ ·XOÃL¶n¿�NP¿$¶VÖ0¿�¸�I µ ¸L¿$¶�Ã8IL»Â�Á�ÀX¹�Û�}�Á8IÕO�NnÀTOnºÊNVË�ÎÏOnUL¿KMÂÊILº µ K=»¿�Ä�Ä�À � × ± ��� } ´V´ ½ � ½ � �q½

Page 24: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

s½,.@�@ \ @ \ s½,[email protected]�@�1_/J7�/¬@B5�� {� �{���{0S À V â ·X¶�¿�ÀX¹�U ·Xî¿ µ NVIÕÁ8NV¿$O , � & � & OnUL¿"¶V¿�NPOV¶nºÊ¹$On¿�¸ Ä�ÀTÃ& � & # ¨ S , V ¹ , Ë ÀX¹$On·X¶nNhÀXN

& � & # ¨ S , V �¸¢¹ & & # ¨ S , V �¸h¹ ,

��UL¿$¶n¿�OnUL¿ äL¶nNPO�Ä#ÀTà º»N À �z¿�ÀTÛ UL·MÄ�·XOn·Xà Π¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿�Á®¿�¹�ÀXILNV¿ � ºÊN�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�À µ ¸& K& # ¨ S , V º»N"·XÃC¿ µ }�À µ ¸ OnUL¿�NV¿�¹$· µ ¸ Ä#ÀTÃBºÊN#Àm��¿�ÀTÛ UL·MÄ�·XOn·Xà Π¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�ÁC¿�¹�ÀXILNV¿ ºÊN�NVºÊÄ"Ã8»¿�À µ ¸ , º»N�·XÃC¿ µ ½

S Á V â ·X¶)¿�ÀX¹�U ·Xî¿ µ NPIÕÁ8NV¿$O , � & � & OVUL¿�ÃL¶V¿�º»Ä#ÀXKM¿ & & # ¨ S , V ºÊN�·Xî¿ µ º µ & � & }2NV·�OVUL¿Â»¿$Ë�OhU8À µ ¸�Ä�ÀTÃ�À µ ¸ÌOnUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿�Ä�ÀTÃ�º µ

& � & # ¨ S , V �¸h¹ & & # ¨ S , V ¸ ¹ ,

ÀT¶n¿)ÁC·XOnU ��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N ½�ã ¿ µ ¹$¿�NV·"ºÊN�OVUL¿�¶nºÊKMU O�U8À µ ¸�Ä#ÀTà ½S ¹ V × ¿�·MÄ"¿$OV¶nºÊ¹ ¶n¿�ÀX»º»Å�ÀTOnº»· µ ¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿�NÆ�hº�OnU Ã8IL»Â�Á�ÀX¹nÛÕN~})NV· OVULº»N�Ë�·MÂÊ»·��hN�Ë�¶n·MÄ OVUL¿

¸L¿$ä µ º�Onº»· µ ·MË+NVº»Ä=Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8N�º µ On¿�¶nÄ�N�·MËGÃL¶n¿�ºÊÄ#ÀXKM¿�N�·MËGî·Mº µ OnN ½S ¸ V è ¿�O � S�� � ¹ � � V � � � ¤ ß ¨ � ��� � �

ÁC¿�OnUL¿ S ·X¶n¸Lº µ ÀT¶VÎ V Ä#ÀTÃLÃ8º µ K ¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶#·MËJOnUL¿�Ä�ÀTà � � ¹ � � ½ ¾ UL¿�Ë�¶n· µ O#º µ ¹�»ILNVºÊ· µ� � ¹ � S�� � ¹ � � V ºÊN�À�¹$·XäLÁL¶�ÀTOnº»· µ }ÕÀ µ ¸�º�OnN�¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿a��ºÊOVU�OnUL¿)¹$Î?»º µ ¸L¿$¶�ÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ ) T � S�� � ¹ � � V ¹ � �h¿�å?I8ÀXÂÊNzOnUL¿JKMºÊÖ0¿ µ Ä#ÀTà � � ¹ � � ½e¾ UL¿J¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶�ÃL¶V·�#{¿$¹$Onº»· µ º»NÀÌNVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ�}�ÁC¿�¹�ÀXILNP¿�Ë�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ ·MË�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K̹$Î?»º µ ¸L¿$¶nN�¹�·MÄ"Ä�IÕOV¿�Ne��ºÊOVU KM¿�·MÄ�¿$OP¶nº»¹¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOVº»· µ }�À µ ¸ ¿�ÀX¹�U ÃC·Mº µ O�º µ Ö0¿�¶nNV¿ ·MË & � S�� � ¹ � � V/& ¹ & � � & º»N�À-¹$· µ ¿>}�UL¿ µ ¹�¿¹�· µ OV¶�ÀX¹$OVºÊÁ8»¿ ½M� NVº µ K�OnU8ÀTO � � ¹ � ¨º»NÀ̹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ }Gº�OË�·MÂÊ»·��hN�¿�ÀXNVºÊÂÊÎ�OnU8ÀTO�ÀXÂÊNV·�OVUL¿Ä#ÀTà ·MË�Ã8ILNVUL·MIÕOnN � ¨ � ��� � S � � ¹ � � V ¹ � ¨ � ��� � ��ºÊN�NVºÊÄ"Ã8»¿ ½ HR¶nKMILº µ KÌÂʺÊÛ0¿H��º»NV¿��ºÊOnU�OnUL¿ � � } ��¿�·XÁLO�ÀXº µ À=¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖ0¿JNVåÈI8ÀT¶n¿

� ¨ � ��� � S � � ¹ � � V ���//

�����

� ¨ � ��� � �

��� ¨ ��� � � S � � ¹ � � V ���// � ¨ � � � � �

��ºÊOnU�NVºÊÄ"Ã8»¿UL·X¶nº»Å�· µ O�ÀXÂ+Ä#ÀTÃ8N ½J¾ UL¿�»¿�Ë�O)U8À µ ¸�Ö0¿$¶POnº»¹�ÀXÂ+Ä#ÀTÃ�º»NhNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿>}®Ë�·X¶)¿�ÀX¹vU�ÃC·Mº µ Oº µ Ö0¿$¶nNP¿J·MË2ºÊOnN�KM¿�·MÄ�¿$OV¶Vº»¹�¶V¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ º»N�ÀXÂÊNV·�ÀÃC·Mº µ Ozº µ Ö0¿$¶nNV¿R·MË2· µ ¿J·MËCOVUL¿RÄ#ÀTÃ8N & � � & ¹& � � & } Ë�·X¶ + � S ¥ ¼ ¥vW ½ çzÎÏOnUL¿�¹�·MÄ=ÃC·MNVº�Onº»· µ À µ ¸�¶Vº»KMU0OR¹�À µ ¹�¿$»Â�ÀTOVº»· µ ÃL¶n·Xî¿$¶VOnºÊ¿�NR·MˬNVºÊÄ"Ã8»¿Ä#ÀTÃ8N~}Lº�OhË�·MÂÊ»·��hN�OnU8ÀTO�OnUL¿�¶Vº»KMU0OhU8À µ ¸ÌÖ0¿�¶VOnº»¹�ÀXÂ2Ä#ÀTÃ�ºÊN�NVºÊÄ"Ã8»¿ ½ �

¾ UL¿�KM¿�·MÄ"¿$OV¶nºÊ¹z¶n¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ & � & ·MË®À�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ?NV¿�O�ºÊN�À á � ¹$·MÄ"Ã8»¿�Ý�}>�hº�OnU�· µ ¿�·Xî¿ µ!®Çܹ$¿�» � � � & � & Ë�·X¶�¿�ÀX¹vU µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿ !®ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ"º µ � ½¬Ñ ¿�¹�ÀX»Â8OnU8ÀTO�Á Î=OVUL¿ �z· µ ¿$¸8À»¿$Ä�Ä#À }<¿�ÀX¹�U !®ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ � ¯ � � ¹�·X¶V¶V¿�NPÃC· µ ¸LN�On· À�¶n¿$ÃL¶n¿$NV¿ µ Onº µ K Ä�ÀTà �� T ß �

¹ � }À µ ¸�¹�· µ Ö0¿$¶nNP¿�ÂÊÎ ½

r�;��� ¾ E�":$�" �#" t)*-7 � T � ¹ � I_* 34A�3MD�@ \ Gl5/J7»* 1_/%AaD�= /¬L-/¬38= 1�*-7:1.i)=K*-7 ¯L& � &�385�g0=K*H7���[� & � & I_*T7:(+*[email protected]�*-5ÆLM*-=2=;7:( 387¿LM@857 3>/J5+1 i?/%5�7:(+* b�� 1-7:,-9L-7�9;,.*w@B5 & � &h{�&#(+*)D�,.*-/%A�3 �^*& � & # ¨ S V0/2143 Gl5/J7»*�b�� L_@BAaD�=K*��>irk�/J7:( S ! ¸ � V �C1 ��*-=K*-7»@B5�*MGH9+3>=�7C@67%(* /J57»*-,M1�*ML-7�/¬@B5m@ \& � & # ¨ S Vckl/J7%(67:(+* ! �C1 ��*-=K*-7»@B5`@ \ & � &h{ � @8,.*uD�,.*MLH/21�*-= E�i & � & # ¨ S Vw( 3B1e@B5�*[email protected]�*-5 S ! ¸ � V �LM*-=2=�& � & # ¨ S V�� �

� \ @8,`*.3�L_(²@.D�*H5 ! �<LM*H=2= �� 7:( 3874A�3MD�1 7»@ � � 9�5�g^*-, � i�/%5 7:(+*�b��

1_7�,_9�L-7�9�,M* @B5 & � &h{

Page 25: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

s½,.@�@ \ { è ¿$O � ¯ � � Á®¿�OnUL¿ µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿�NVºÊÄ"Ã8»¿vÝ ¹$·X¶V¶n¿�NPî· µ ¸Lº µ K OV· ��� }zÀ µ ¸-»¿$O� ¯ & ß � & Á®¿�OnUL¿�I µ º»åÈIL¿�º µ On¿$¶Vº»·X¶Rî·Mº µ OROnU8ÀTORºÊNRÄ#ÀTÃLî¿�¸�On· I µ ¸L¿$¶ & �� & T & ß � & ¹ & � & ½� ¶nº�On¿ � � ß � � ��� �   }��hº�OnU �� T ß �

¹ � ¶V¿$ÃL¶n¿�NV¿ µ Onº µ K�À µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿=NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý� ¯ � ��}JÀ µ ¸ NPIÕÃLÃC·MNV¿�º µ ¸LIL¹$Onº�Ö0¿�ÂÊÎ OVU8ÀTO�OVUL¿�ÂÊ¿�Ä�Ä#À UL·MÂʸLN�Ë�·X¶�OnUL¿�¶n¿�N{OV¶nº»¹�On¿�¸ Ä�ÀTÃ��  T �   ¹ � ½ ´ Ë � S � V � � � S � V Ë�·X¶ÌNP·MÄ�¿�¸L¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹$Î ·XÃC¿$¶nÀTOn·X¶ � }Jº ½ ¿ ½ }RÀ µ ·X¶n¸L¿$¶PÇÃL¶n¿�NP¿$¶VÖÕº µ K�NVIÕ¶�#{¿$¹$Onº»· µ � T � ! � ¹ � � � }LOnUL¿ µ ��¿�U8À�Ö0¿�À�¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿J¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ T

� ß �// //

��

ß � �//

����

ß �

�����  

// //�

-// �

¾ UL¿�ÃL¶V¿�º»Ä#ÀXKM¿ � � & � & # ¨ S��^V ·MË)OnUL¿�º µ On¿$¶nºÊ·X¶#ÃC·Mº µ O � I µ ¸L¿$¶�OnUL¿�À @ µ ¿ Âʺ µ ¿�ÀT¶ÏÄ�ÀTÃ& � & T & ß � & ¹ & ß � & ºÊN�À�¹�· µ Ö0¿�Ý S ! ¸ � V Çܹ�¿$»Â�} ��ºÊOVU�Á®·MI µ ¸8ÀT¶VÎ�¿�å?I8ÀXÂCOn·�OnUL¿�º µ On¿$¶VNV¿�¹$OnºÊ· µ( � & � ß � & � � ½ çzÎ�º µ ¸LIL¹$Onº»· µ } (�º»NGÄ#ÀTÃLÃC¿�¸�º µ On·ROVUL¿ S ! ¸ � ¸ ¼ V ÇqNPÛ0¿�»¿�On· µ ·MË & ��  & # ¨ S V }À µ ¸ & � & # ¨ S V º»N"·XÁLOnÀXº µ ¿�¸-Ë�¶V·MÄ & �   & # ¨ S V Á Î-ÀTOVOnÀX¹vULº µ K S � ¥ ( V �� S � � # � ¥ ( � # � # ¨ VÀX»· µ K=OnULº»N�Ä#ÀTà ½�ã ¿ µ ¹$¿ & � & U8ÀXN�OnUL¿�ÀXNVNV¿$¶VOV¿�¸ á � NPOP¶nIL¹$OnIÕ¶n¿ ½ ´ Ë� S � V º»N µ ·XOJÀ"¸L¿�KM¿ µ Ç¿$¶�ÀTOVº»· µ ·MË ��}LOnUL¿ µ & �   & # ¨ S V � & � & # ¨ S V À µ ¸ÌOVUL¿$¶n¿ºÊN µ ·XOVULº µ K�Ä�·X¶V¿)OV·=ÃL¶n·6Ö0¿ ½ �

� ¿�NVU8ÀXÂʬILNV¿�OnUL¿�Ë�·M»ÂÊ·���º µ K#OC��·#¶n¿�NVILÂ�OnN)·MË Ñ�½�á)½®è ÀX¹�UL¿$¶ ½¾ ·ÏNPO�ÀTOn¿�OVUL¿�Ä }���¿�äL¶nN{O¶n¿$Ö?º»¿H� NP·MÄ�¿�î·Mº µ OPÇÜNP¿$O�OV·XÃC·M»·MKXÎ ½� ��� �¿Á2À�Á%��� E�":$�"���" H On·XÃC·MÂÊ·MKMº»¹�ÀX NPÃ�ÀX¹�¿�º»N�¹�ÀX»ÂÊ¿�¸�À � + � � Á:Ã�� ¾ � ��� Á � � ���8���?��ò��� !À�� ¾ �>À6S ��ÔJÑ V ºÊË<ºÊO�º»N�UL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶PÃ8ULº»¹JOn·�À�¶n¿$OV¶nÀX¹$OR·MˬÀ µ ·XÃC¿ µ NPIÕÁ8NV¿$OR·MËGNV·MÄ�¿ S ÀXÂh��À�ÎÕNä µ ºÊOV¿�ÇܸLºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ ÀX V � IL¹$»º»¸L¿�À µ NPÃ�ÀX¹�¿ ½0� Ö0¿�¶VÎ�ä µ ºÊOV¿ á � ¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿�Ý�ºÊN�À�¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$O ��ÔJÑ� ã ÀMS0W;} á ·X¶ ½ H ½Ê¼ S �q½ H Ä�¿$OV¶nºÊ¹�NPÃ�ÀX¹$¿ � º»N<¹�ÀXÂÊ»¿�¸�À µ ¾ � � ��+ À������;Á � � ���8�)�?��Ã�����À�� ¾ ��ÀS H ÔJÑ V º»Ë }+�hUL¿ µ ¿$Ö0¿$¶ � ºÊN�¿�Ä�Á®¿�¸L¸L¿�¸�ÀXN�À�¹�»·MNP¿�¸ÌNVIÕÁ8N{Ã�ÀX¹�¿·MË+À�Ä"¿$OV¶nºÊ¹�N{Ã�ÀX¹�¿ � }ÕOVUL¿ µ� ºÊN�À�¶n¿$OP¶�ÀX¹$O�·MË�NV·MÄ"¿ µ ¿$º»KMU0ÁC·X¶nUL·È·?¸ ·MË � º µ � ½]� IL¹$»º»¸L¿�À µ NPÃ�ÀX¹�¿$N�ÀT¶n¿�H ÔJÑ �xN~}2ÁÈξ º»¿$OnÅ$¿>��NJ¿�Ý?On¿ µ NVºÊ· µ OnUL¿�·X¶n¿�ÄF}CÀ µ ¸ ºÊOJºÊNJÀ#Ë�·X¶nÄ#ÀX»º�O¡Î�OVU8ÀTOJOnUL¿�¹�Â�ÀXNPNJ·MËeH ÔJÑ ��NRºÊNJ¹�»·MNP¿�¸I µ ¸L¿$¶�Ã�ÀXNPNnÀXKM¿=On·�·XÃC¿ µ NVIÕÁ8NV¿$OnN�À µ ¸�¶n¿$OV¶�ÀX¹�OnN � â¬æT� S } æ ¶n·Xà ½ H ½ Y ½�Ð>�q½=¾ UL¿$¶n¿�Ë�·X¶n¿"¿$Ö0¿$¶VÎ��ÔJÑ ºÊNhÀ µ H ÔJÑ�½¾ UL¿��� �8����������À�� ¼ #mÀ # ¼ � S ·X¶J� � ¾¼ � V ·MË2À¹�·MÄ"Ã�ÀX¹�O�NVIÕÁ8N{Ã�ÀX¹�¿ � ·MË®OnUL¿ ã º»Â�ÁC¿$¶VO

NPÃ�ÀX¹�¿�·MËNVåÈI8ÀT¶n¿�ÇqNVILÄ�Ä#ÀTÁ8ÂÊ¿ NP¿�å?IL¿ µ ¹$¿�NF��ÀXN�¸L¿$ä µ ¿�¸ Á Î � ½ ç�·X¶nNVIÕÛ � ç�·0Y�� }e°M� �q½ çzÎ� ¶VÎ?NV·MU µ ��NJ¿�Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K#OnUL¿�·X¶V¿�Ä � � ¶vW Ð>� } OnUL¿�¹$Â�ÀXNVNJ·MˬOnUL¿�NP¿�N{Ã�ÀX¹�¿�N)¿�å?I8ÀXÂÊNROnUL¿�¹�»ÀXNVNJ·M˹�·MÄ"Ã�ÀX¹�O�NP¿$Ã�ÀT¶�ÀTÁ8»¿�Ä�¿$OP¶nº»¹�NPÃ�ÀX¹$¿�N~}+À µ ¸ º µ ¹$»IL¸L¿�N�ÀX»¬¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$O ��ÔJÑ ��N ½�¾ ��·�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$OH ÔJÑ �xNh¿�Ä�Á®¿�¸L¸L¿�¸�º µ ã º»ÂÊÁ®¿$¶VO�NPÃ�ÀX¹�¿�U8À�Ö0¿OnUL¿�NnÀXÄ�¿��á ¿�¹�U�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎÏO¡Î?î¿�ºÊË:À µ ¸�· µ ÂÊκ»Ë+OnUL¿$Î�U8À6Ö0¿�OnUL¿NnÀXÄ"¿�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎÏO¡Î?î¿ � ç�·0Y�� } S � ½ Y V �q½ ´^µ Ã�ÀT¶VOnºÊ¹�ILÂ�ÀT¶~} À=¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O ��ÔJÑU8ÀXN�OVUL¿ �á ¿�¹�U�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�O¡Î?î¿·MË<À�ÃC·Mº µ O�º»Ë¬À µ ¸�· µ ÂÊÎ�º»Ë+ºÊO�º»N�¹�· µ OV¶�ÀX¹$Onº�Á8»¿ ½â ·X¶NV¿�Ã�ÀT¶�ÀTÁ8»¿#Ä�¿�OV¶nº»¹�NPÃ�ÀX¹�¿$N�OnUL¿ Ú ¿ µ KM¿$¶ � ¶VÎÕNV·MU µ º µ ¸LIL¹$Onº�Ö0¿�¸Lº»Ä�¿ µ NVº»· µ À µ ¸ OVUL¿

�á ¿�¹�U è ¿$Á®¿�NVKMIL¿�¹�·6Ö0¿$¶nº µ K ¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ ÀT¶n¿�¿�å?I8ÀX ½-Ó ¿$¿F¦)¿$ä µ ºÊOVº»· µ N ´P´V´ ½»¼ À µ ¸ � ½»¼ À µ ¸¾ UL¿�·X¶n¿�Ä � ½ �Ï·MË ã IÕ¶V¿H�hºÊ¹�Å � ÀXÂÊ»Ä#À µLµf� ã � ÐL¼~�q½�� Ö0¿$¶VÎ�ä µ º�On¿�ÇܸLºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ ÀXÂ:NV¿$Ã�ÀT¶�ÀTÁ8ÂÊ¿Ä�¿$OP¶nº»¹�NPÃ�ÀX¹�¿�¹�À µ ÁC¿�¿�Ä�ÁC¿�¸L¸L¿�¸ º µ À � IL¹�»ºÊ¸L¿�À µ NPÃ�ÀX¹$¿>}�À µ ¸-¹�· µ Ö0¿$¶nNV¿$ÂÊÎ�}�¿$Ö0¿$¶PÎANPIÕÁÕÇNPÃ�ÀX¹�¿ ·MË�À � IL¹�Âʺ»¸L¿�À µ NPÃ�ÀX¹$¿ º»N�À ä µ º�On¿�Çq¸Lº»Ä�¿ µ NPº»· µ ÀXÂ�NV¿$Ã�ÀT¶�ÀTÁ8ÂÊ¿ Ä�¿$OV¶nºÊ¹�N{Ã�ÀX¹�¿ ½ Ó ¿$¿¾ UL¿�·X¶n¿�Ä�N ´V´V´ ½»¼ } ´ � ½»¼ À µ ¸ � ½ Q ·MË � ã � ÐL¼~�l½ ´^µ Ã�ÀT¶VOnºÊ¹�ILÂ�ÀT¶�}�¿�Ö0¿$¶VÎ ��ÔJÑ º»N�À ä µ ºÊOn¿�ǸLº»Ä"¿ µ NVº»· µ ÀXÂ2NP¿$Ã�ÀT¶�ÀTÁ8»¿Ä�¿$OV¶nºÊ¹)NPÃ�ÀX¹�¿ ½Ú�½ çz¶n·�� µ'� ç�¶nYMS � ¸L¿$ä µ ¿$¸ À�NVIÕÁ8NPÃ�ÀX¹$¿ � ·MËeÀ µ !®ÇÜÄ#À µ ºÊË�·M»¸ U OV·�ÁC¿ ��� � � + �%¾ � º»Ë:ºÊO

º»N)OnUL¿=º µ On¿$¶nNV¿$¹$Onº»· µ � �� :� · ¨ N � ·MËzÀÌNV¿$å?IL¿ µ ¹�¿"·MË�¹�ÂÊ·MNV¿�¸?}GOn·Xî·M»·MKMºÊ¹�ÀX !®Çܹ$¿�»ÂÊNº µ U }��ºÊOnU N � > ¨h¹$· µ O�ÀXº µ ¿�¸�º µ OnUL¿�º µ On¿$¶nºÊ·X¶h·MË N � }8Ë�·X¶R¿�ÀX¹vU"+ ³ ¼M½Ñ½�áJ½�è ÀX¹�UL¿$¶ � è ÀMY � Á�}�à ½RÞ?¼ � � ¸L¿$ä µ ¿$¸ À NPÃ�ÀX¹�¿0� On·�ÁC¿ ��� � � ! � Á ��� º»ËºÊO�¹�À µ Á®¿

¿�Ä�ÁC¿$¸L¸L¿�¸�ÀXN�À¹�¿�ÂÊ»IL»ÀT¶�NVIÕÁ8NPÃ�ÀX¹�¿)·MË2NV·MÄ"¿hÄ#À µ ºÊË�·M»¸ ½¬â IÕ¶VOnUL¿$¶nÄ"·X¶n¿>}ÈÀ�Ä#ÀTà � T � ¹ �

Page 26: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

·MˬOn·XÃC·MÂÊ·MKMº»¹�ÀXÂ%NPÃ�ÀX¹$¿�N)º»N ��� � � ! � Á ��� ºÊË�� # ¨ S V º»NJÀ�¹$¿�» ÇÜ»º�Û0¿�NPÃ�ÀX¹�¿�Ë�·X¶J¿�ÀX¹vU� ¯ � ½ H µ ι�¿�ÂÊ»IL»ÀT¶h·X¶�¹�¿�ÂÊÂ�ÇÜÂʺÊÛ0¿�NPÃ�ÀX¹�¿�º»N µ · µ ÇÜ¿�Ä"ÃLO¡Î�}�À µ ¸�À µ Î�¹�¿�» ÇÜÂʺÊÛ0¿)Ä#ÀTÃ�ºÊN�NPIÕ¶�#{¿�¹$Onº�Ö0¿ ½

¦ ½�ѽ6Ú ¹ Ú º»ÂÊÂ�À µ�� Ú ¹�Y Ð>� ¸L¿$ä µ ¿�¸�À µ ¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K �CT � ¹ � On·�U8À�Ö0¿u¼ ��� ¼ ����À # , � :º»Ë%Ë�·X¶�¿�ÀX¹�UÏ·XÃC¿ µ NPIÕÁ8NV¿$O , ·MË � ¹$· µ O�ÀXº µ º µ K � S � V OVUL¿$¶n¿J¿�ÝÕº»NPOnNzÀ µ ·Xî¿ µ NVIÕÁ8NV¿$O � ·MË ���ºÊOnU � S � VT���£� , }8NVIL¹�U�OnU8ÀTO�OnUL¿�º µ ¹�ÂÊILNVº»· µ Ä�ÀTà � � , ºÊN µ IL»Â�ÇqUL·MÄ�·XOn·XÃ8ºÊ¹�º µ , ½H Ä#ÀTà � T � ¹ � ·MËeOn·XÃC·MÂÊ·MKMº»¹�ÀXÂGNPÃ�ÀX¹�¿�N�º»N�ÀƼ ��� ¼ ���`�������À�� ¼ #Z�� + Á . ¾ � � � ���

º»Ë�� º»N�ÃL¶n·XÃC¿�¶ S ÃL¶n¿$º»Ä#ÀXKM¿�N�·MË<¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$OhNP¿$OnNJÀT¶n¿�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹�O V À µ ¸�OnUL¿$¶n¿�ÀT¶V¿�ÃL¶n·Xî¿$¶RÄ#ÀTÃ8N T �£¹ � }�Ä T � ¤ � ¹ � À µ ¸`Ä`  T � ¤ � ¹ � NVIL¹�U�OnU8ÀTOcÄ º»NRÀ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÌË�¶n·MÄ ��On·+ � � À µ ¸FÄ   º»NhÀ=UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏË�¶n·MÄ � On·+ � � ½����������� � E�"%$�"�� � ¾ �8�)�;� � " &#(+* \ @B=2=K@8k�/J5���LM@85�g8/J7�/¬@B5+1Æ38,M*F*MGH9�/%I838=K*-57 \ @B, 32Gl5/J7»* �g8/JA *-5+1_/¬@85�38=�LM@BAwD3^L-7u1�* D3>,<3 IH=K*0A6*-7�,_/¬L01¬D3^LM* � {

3 � � /21�LM*-=2= �»= / ��*�{ I�� � ( 3B1e7:(+*��bT*ML_(�(+@8A6@B7»@.D�E67:EMD�*�@ \ 3eD�@B/J57C{ zL � � /21e5�@B5?*-AaD�7�EÆ385�gÆ3^g8A]/J7:14385�*HAI_*.g�g>/J5���k�/%7%(]D�,[email protected]�*-,_7�E , �': /J5�7C@ 3>5���� {

s½,.@�@ \ { ¾ ULº»N�º»NJOnUL¿�OnUL¿$·X¶n¿�Ä · µ Ã�ÀXKM¿ Ø>��� ·MË � è ÀMY � À �q½�è ÀX¹�UL¿$¶�¸L·?¿$N µ ·XO�NPOnÀTOn¿�OnU8ÀTO1�NVUL·MILÂʸÏÁ®¿RNV¿$Ã�ÀT¶nÀTÁ8»¿>}?Á8IÕOzULº»N�ÃL¶n·È·MË�N�ILNV¿hOnU8ÀTOJ� ¹�À µ ÁC¿R¿$Ä�Á®¿�¸L¸L¿�¸Ïº µ NP·MÄ�¿ � IL¹�»ºÊ¸L¿�À µNPÃ�ÀX¹�¿8}��hULºÊ¹vU�¶n¿�åÈILºÊ¶n¿$NJNV¿$Ã�ÀT¶�ÀTÁ8ºÊ»ºÊO¡Î ½)Ò Á ÖÕº»·MILNPÂÊÎ�}C¿�º�OnUL¿$¶)· µ ¿�·MË:¹�· µ ¸Lº�Onº»· µ N S À V À µ ¸ S Á Vº»Ä=Ã8»º»¿$N�OVU8ÀTO ��º»N µ · µ ¿�Ä"ÃLO¡Î ½ �

����������� � E�":$�"�� � ¾ �8����� � " t)*H7 � T � ¹ � I_*�30D�,[email protected]�*H,�A�3MD²@ \ ��� �� 1~{ &)(+*-5 3 �� /J1�L_*-=2= �C= / ��*�/ \ 385�gP@B5= E / \ I�� � /2101_9;,��*_L-7:/%I>*]385�g \ @B,�*.3^L_([email protected]�*H5�1_9�I-1�*H7 , � � 7:(+*,.*-1_7:,-/¬L-7»*.g�A�3MD � # ¨ S , V ¹ , /J143 D�,[email protected]�*-,e(+@BA6@B7»@.D�E *.G~9�/JI>38=K*-5�LM*�{s½,.@�@ \ { Ó ¿$¿ � è ÀMY � Á�} ¾ ULÄ ½2¼M½ W �q½ �

� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� E�":$�"���" t)*-7 � T � ¹ � I_*e34A�3MDm@ \ Gu5/J7»* 1_/JAaD�= /¬L-/�38=1�*-7:1.i�k�/%7%(�^*M@BA6*H7 �,_/ L ,.*.3>= /���387�/¬@B5 & � & T & � & ¹ & � &¢{ &)(+* \ @B=2=K@8k�/J5��FLM@B5�g8/%7:/¬@85+1� 3 �� \ �638,M* *.GH9;/JI83>=K*-57 �

3 � � /2143�1_/%AaD�=K*0A63MD�� I�� y)@8,0*.3^L_(eD�@B/J5�7 ¯L& � & i�7%(*lD�,M*-/JA�3 �^* & � & # ¨ S Vc( 3B1w7:(+*��bT*ML_(6(+@BA6@[email protected]�E]7:EMD�*4@ \

3eD�@B/J57�� zL �D& � &?/2143ÆLM*H=2= �C= / ��*4A�3MD�D�/%5���� g � & � &l/21 3`(+*-,.*Mg8/J7C38,_E�D�,[email protected]�*H,6(+@BA6@B7»@.D�E *.GH9;/JI83>=K*-5�LM*Mie/¬{%*�{¢i \ @8,F*.3^L_([email protected]�*H5'1-9)I-1�*-7

, � & � &�7%(+*0,.*_1_7�,_/ L-7C*Mg�A�3MD & � & # ¨ S , V ¹ , /2143 D�,.@MD�*-, (@BA6@B7»@.D�E *.GH9;/JI83>=K*-5�LM*�� z* � & � &#/J1]3 (+*-,M*.g8/J7C38,_E6(@BA6@B7»@.D�E *MGH9�/%I838=K*-5�L_*MiT/¬{%*�{¢i \ @B,�*.3^L_(�@.D�*-5m1_9�I-1�*H7 , � & � &

7:(+* ,.*-1_7:,-/¬L-7»*.g�A�3_D8& � & # ¨ S , V ¹ , /J143�(+@8A6@B7»@.D�E *.GH9;/JI838=K*H5�LM*�� \ ��& � &�/2143�(*-,.*.g>/J7 3>,_E�kT*.3 �](@BA6@B7»@.D�E *.GH9;/JI83>=K*-5�LM*�{

s½,.@�@ \ { çzÎ è ¿�Ä�Ä#ÀÌW ½»¼M½�Ð }�¿�ÀX¹�U ÃL¶n¿�ºÊÄ#ÀXKM¿ & � & # ¨ S V º»NÀ�ä µ ºÊOV¿ á � ¹�·MÄ=Ã8»¿�Ý�}+UL¿ µ ¹$¿ÏÀ¹�·MÄ"Ã�ÀX¹�O ��ÔJѽeÓ · ÁÈÎAç�·X¶nNVIÕÛ���N�¶n¿�NVILÂ�O"¹$ºÊOn¿�¸-ÀTÁC·6Ö0¿>} & � & # ¨ S V º»N�¹�· µ OV¶�ÀX¹$OVºÊÁ8»¿�º»ËhÀ µ ¸· µ ÂÊÎ�ºÊËhº�O=U8ÀXN�OnUL¿ �á ¿$¹vU UL·MÄ�·XOn·Xà ΠO^ÎÈÃC¿Ï·MËRÀ�ÃC·Mº µ O ½�¾ U ILN S��;V���� S��~V ½ ç�Î OVUL¿¸Lº»Ä"¿ µ NVº»· µ OnUL¿$·X¶VÎ ¶n¿$Ö?º»¿H��¿$¸ ÀTÁ®·jÖ0¿>}�¿�ÀX¹�U & � & # ¨ S V º»NÏÀ ä µ ºÊOV¿�ÇܸLºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ ÀXÂR¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$ONV¿$Ã�ÀT¶nÀTÁ8»¿�Ä�¿�OV¶nº»¹�NPÃ�ÀX¹�¿ ½�¾ U ILN S��HV���� S ( V ÁÈÎ�OnUL¿�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�·MË ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä W ½Ê¼M½ Y S À VÀ µ ¸ S Á V ½�¾ UL¿=ºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�ÀTOnºÊ· µ S ( V � � S � V Ë�·M»»·���N�Ë�¶V·MÄ ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä�W ½Ê¼M½ Þ ÀTÃLÃ8»ºÊ¿�¸�On·�OVUL¿Ä#ÀTà & � & T & � & ¹ & � & }u��ULº»¹�U-º»N�ÃL¶n·XÃC¿�¶ S À µ ¸A¹�»·MNV¿$¸ V NVº µ ¹�¿ & � & ºÊN"¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$O=À µ ¸ & � &º»N ã ÀXILNV¸L·X¶<� ½Ï¾ UL¿�ºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�ÀTOnºÊ· µ N S � V � � S���V À µ ¸ S���V � � S � V ÀT¶V¿"·XÁ ÖÕº»·MILNH}<NVº µ ¹$¿¿$Ö0¿$¶PÎÃL¶n·Xî¿$¶:UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿�º»N¬ÀRUL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>} À µ ¸�¿$Ö0¿�¶VÎ�UL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�º»N�À ��¿�ÀTÛ�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎÏ¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½´ OJ¶n¿�Ä#ÀXº µ NhOn·#ÃL¶n·6Ö0¿�OnU8ÀTO S � V � � S ( V ½�¾ U ILN�NPIÕÃLÃC·MNV¿�OnU8ÀTO � T � ¹ � ºÊN)ÀÏÄ�ÀTÃ

·MË�ä µ ºÊOn¿#NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�NV¿�OnN~}:NVIL¹�U�OVU8ÀTO & � & T & � & ¹ & � & ºÊN�À�UL¿$¶n¿�¸Lº�O�ÀT¶VÎ��z¿�ÀTÛ UL·MÄ�·XOn·Xà Î

Page 27: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½ � ¿�NVU8ÀX»Â%¸L¿�Ä�· µ N{OV¶�ÀTOn¿)ÁC¿�ÂÊ·�� OVU8ÀTO & � & º»N�NVIÕ¶�#{¿�¹$OVºÊÖ0¿>}®À µ ¸�OnU8ÀTO�OnUL¿º µ ¹�»I?ÇNVºÊ· µ � � & � & # ¨ S Vw� & � & U8ÀXNJÃL¶n·Xî¿$¶VO¡Î , �': }2Ë�·X¶)¿�ÀX¹vU ¯ & � & ½�¾ ULº»Nw��º»ÂÊÂG¹�·MÄ=Ã8»¿$On¿OnUL¿ÃL¶V·?·MË }�NVº µ ¹�¿ & � & º»NRÀ µ ��ÔJÑ }8NV·�Á Î�OVUL¿�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�·MË ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä W ½Ê¼M½ Y S À V À µ ¸ S ¹ V¿�ÀX¹�UÌî·Mº µ Ohº µ Ö0¿$¶VNV¿ & � & # ¨ S V º»N�¹�¿�» ÇÜÂʺÊÛ0¿>}�À µ ¸�OVULº»N�Ö0¿�¶nºÊä8¿�N S ¹ V ½¾ UL¿#º»Ä#ÀXKM¿ � � & � & S & � &�V4� & � & ºÊN�¹�»·MNP¿�¸?}¬NVº µ ¹$¿ & � & ºÊN�¹�»·MNP¿�¸?}¬NV· , � & � & � � º»N

·XÃC¿ µ ½ ´ OnN�ÃL¶n¿�º»Ä�ÀXKM¿ & � & # ¨ S , V º»N�¿�Ä"ÃLO¡Î�}¬NV·�OnUL¿Ï¶n¿�NPOV¶Vº»¹$On¿$¸AÄ#ÀTà & � & # ¨ S , V ¹ , ¹�À µ· µ ÂÊÎ"ÁC¿�À4��¿�ÀTÛ#UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ"¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿c�hUL¿ µ , º»N�¿�Ä=ÃLO^Î�}Ⱥ ½ ¿ ½ };��UL¿ µ & � & º»N�NVIÕ¶�#{¿�¹�OnºÊÖ0¿ ½´ O"¶n¿$Ä#ÀXº µ N�On· Ö0¿$¶nºÊË�Î OnUL¿�ÃL¶n·XÃC¿$¶PO^Î , �': ½ è ¿�OD� � & � & # ¨ S VF� , � & � & ��ºÊOVU

, ·Xî¿ µ ½ ¾ UL¿Ì¹�·MÄ"Ã8»¿$Ä�¿ µ O"Í � & � & � , ºÊN"¹�ÂÊ·MNV¿�¸?}�NV· º�OnN"ºÊÄ#ÀXKM¿ & � & S Í V�� & � & º»N¹�ÂÊ·MNV¿�¸ À µ ¸�¸L·?¿�N µ ·XO)¹�· µ O�ÀXº µ ½w� ÀX¹�U�ÃC·Mº µ OJº µ À á � Çܹ�·MÄ=Ã8»¿�Ý�U8ÀXN)ÀT¶VÁ8ºÊOV¶nÀT¶nº»Â�ÎÌNVÄ�ÀX»¹�· µ OV¶�ÀX¹$OVºÊÁ8»¿=·XÃC¿ µ µ ¿�º»KMU0ÁC·X¶nUL·È·?¸LN � ã ÀMS0W;} æ ¶n·Xà ½ H ½�Ð>� }%NV· ¯ & � & U8ÀXNÀ�¹�· µ OV¶�ÀX¹�OnºÊÁ8ÂÊ¿·XÃC¿ µ µ ¿�º»KMU0ÁC·X¶nUL·È·?¸ � OnU8ÀTO¸L·?¿�N µ ·XO�Ä�¿�¿$O & � & S Í V ½ ç�Î ÀXNVNVILÄ=ÃLOnº»· µ }GOVUL¿"¶n¿�NPOP¶nº»¹$OV¿�¸Ä#ÀTà & � & # ¨ S%�mV ¹ � º»NRÀ]��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>}8NV·=ÁÈÎ�¸L¿$ä µ º µ K � � & � & # ¨ S%�mV��¿�U8À6Ö0¿�·XÁLO�ÀXº µ ¿$¸�À µ ·Xî¿ µ }��z¿�ÀTÛÕÂ�Î�¹�· µ OP¶�ÀX¹$Onº�Á8»¿ µ ¿�º»KMU0ÁC·X¶nUL·È·?¸=·MË�� OVU8ÀTO�ºÊN�¹�· µ O�ÀXº µ ¿�¸º µ , } µ ÀXÄ�¿�Â�Î � ½Ô ·�� & � & ºÊN<À µ ��ÔJÑ }XÀ µ ¸�OnU ILN:À µ H ÔJÑ }jNV·Jº�OnNG·Xî¿ µ NVIÕÁ8NV¿$O � ºÊN¬ÀX»NV·RÀ µ H ÔJѽb¾ U ILN

� U8ÀXNeOnUL¿�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�O¡Î?î¿�·MËCÀ á � Çq¹�·MÄ"Ã8»¿vÝ?}0ÁÈÎ Ú º»Â µ ·X¶���NeOnUL¿�·X¶n¿�Ä � Ú º Ø>� } ¾ ULÄ ½L¼ S À VÀ µ ¸ S ¸ V �l½:Ó ¿�¿�ÀXÂÊOn¿�¶ µ ÀTOnºÊÖ0¿$ÂÊÎ � â¬æT� S } ¾ ULÄ ½MØ?½ W ½»¼~�l½Gã ¿ µ ¹�¿�OnUL¿T�z¿�ÀTÛÕÂ�Î�¹�· µ OV¶�ÀX¹$OVºÊÁ8»¿�NPÃ�ÀX¹$¿� ºÊNhº µ Ë ÀX¹$O�¹�· µ OV¶�ÀX¹$Onº�Á8»¿>}8NV·=OnUL¿�º µ ¹�»ILNPº»· µ � � , ºÊN µ IL» ÇÜUL·MÄ�·XOn·XÃ8ºÊ¹ ½ �

*-A�38,����;{� �{��{ ¾ UL¿$¶n¿hºÊN�À)On¿�¹�U µ º»¹�ÀXÂ�ÖTÀT¶nº�À µ O�·MË�¦)¿$ä µ ºÊOVº»· µ W ½Ê¼M½»¼ À µ ¸ æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½»¼M½ WOnU8ÀTO4��º»ÂÊÂzÀXÂÊNV·�ÁC¿ µ ¿�¿$¸L¿�¸?}eÃL¶Vº µ ¹�º�Ã�ÀX»ÂÊÎ º µ æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ N�W ½ Þ?½ Ø À µ ¸AW ½ÙÞ?½ Y ½�è ¿$O � Á®¿ÏÀäÕÝL¿$¸ NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ<NV¿�O�À µ ¸ � � & � & ÀÏäÕÝL¿�¸ ·XÃC¿ µ NPIÕÁ8NV¿$O ½ H Ä#ÀTà � T � ¹ � ·MË�ä µ ºÊOV¿NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX¬NV¿�OnN�·6Ö0¿$¶ � }<º ½ ¿ ½ }GÀ�Ä#ÀTà ¹�·MÄ"Ä�IÕOVº µ K ��ºÊOVU KMºÊÖ0¿ µ NPOV¶nIL¹$OVIÕ¶n¿�Ä#ÀTÃ8N � ¹ �À µ ¸ � ¹ � }���º»Â»Â+ÁC¿�¹�ÀX»ÂÊ¿�¸0� Á:� ¼ � ��� .��;� � º»ËeË�·X¶�¿$Ö0¿$¶VÎ�·Xî¿ µ NPIÕÁ8NV¿$O , � & � & OnU8ÀTOº»N#¹$· µ O�ÀXº µ ¿�¸ º µ OnUL¿�ÃL¶n¿�ºÊÄ#ÀXKM¿�·MË � OnUL¿�¶V¿�NPOV¶nºÊ¹$On¿�¸ Ä#ÀTà & � & # ¨ S , V ¹ , º»N�À���¿�ÀTÛUL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½6� åÈILºÊÖTÀX»¿ µ OnÂÊÎ�}%OnU8À µ Û?N�On· è ÀX¹�UL¿$¶�}���º»N�NVºÊÄ"Ã8»¿�·jÖ0¿�¶ � ºÊË�À µ ¸· µ ÂÊÎ�ºÊËC¿�ÀX¹�U�ÃC·Mº µ O ¯L& � & ¹$· µ O�ÀXº µ ¿�¸#º µ OnUL¿hÃL¶n¿$º»Ä#ÀXKM¿�·MË � U8ÀXN�¹�· µ OP¶�ÀX¹$Onº�Á8»¿�ÃL¶V¿�º»Ä#ÀXKM¿I µ ¸L¿$¶ & � & ½�æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ N"W ½»¼M½ Q�À µ ¸-W ½»¼M½ ��Á®·XOnU ¹�ÀT¶P¶VÎ�·jÖ0¿$¶�On· OnULº»N�NVºÊOVI8ÀTOnº»· µ }�º µ OVUL¿NV¿ µ NP¿)OVU8ÀTO�ÀX»®NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX NV¿�OnN�À µ ¸�Ä�ÀTÃ8Nz¹�À µ ÁC¿RO�ÀTÛ0¿ µ ·6Ö0¿$¶ � }LÀ µ ¸ÏOnUL¿ROn¿�¶nÄ � NVºÊÄ"Ã8»¿~�Ä#À�ÎÁ®¿�¶V¿$Ã8Â�ÀX¹�¿$¸=OnUÕ¶n·MILKMUL·MIÕO:Á Î � NVºÊÄ"Ã8»¿�·6Ö0¿$¶ � � ½¬¾ ·)NV¿�¿�OnULºÊN¬· µ ¿�Ä"·?¸LºÊä8¿$N:OVUL¿�ÀTÁC·6Ö0¿ÀT¶nKMILÄ�¿ µ OnN�º µ À=NPOP¶�ÀXº»KMU0OnË�·X¶<��ÀT¶V¸F��À�Î ½

�®( �®(���EG@ ��,+.Ì4j3 /)���)��4���EG7AE���4���� �8.��2����,�.Ì465L³24´^µ OnULº»NGNV¿�¹$OnºÊ· µ ��¿�¸L¿$ä µ ¿zOnUL¿�ç�ÀT¶V¶�ÀTOPO µ ¿$¶VÖ0¿½Å S���V À µ ¸�OnUL¿ �À µ�µ ·X¶VÄ#ÀXÂÈNPIÕÁC¸LºÊÖ?º»NVºÊ· µ

( � S���V ·MˬÀ�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NV¿$O � ½ � ¿�ÀX»NV·�¸L¿�ä µ ¿OnUL¿Â»ÀXNPO�Ö0¿$¶VOn¿�Ý�Ä#ÀTà ��� T ( � S���V ¹ � }À µ ¸�NVUL·�� OnU8ÀTO�ºÊO�º»N�À=NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ�Ë�·X¶R¿�ÀX¹�UÌä µ º�On¿�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NV¿$O � ½

� ¿�¹�ÀX»Â:¿�ÀX¹�U º µ #{¿�¹$Onº�Ö0¿=Ä"·X¶VÃ8ULº»NVÄ � º µ ß À % ¾ ����� ¼ ��� ¾ À���� }+À µ ¸ ¿�ÀX¹�U NPIÕ¶�#{¿�¹$Onº�Ö0¿Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ � º µ ß À Ã)� � � ����� ¾ � # � ¼ �;� ¾ À���� ½ � ¿ ��¶nº�On¿MR � T � ! � ¹ � ! � Ë�·X¶�OnUL¿�º»¸L¿ µ ÇOnº�O^Î Ä�·X¶PÃ8ULº»NVÄ ·MË � ! � }G·MË�OV¿ µ OnUL·MILKMU0O�·MË�ÀXNÀ µ !®ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ ·MË�ß � ½ Hj¼ ��� ¼ �;� Ë ÀX¹�¿�·X¶¸L¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀX¹$Î ·Xî¿$¶�ÀTOn·X¶�ºÊN�· µ ¿�OnU8ÀTO�ºÊN µ ·XO�¿�å?I8ÀXÂeOn·�OnUL¿#ºÊ¸L¿ µ OVºÊO¡Î ½�¾ UL¿ +sÇqOVU�Ë ÀX¹$¿#·XÃC¿$¶PÇÀTOn·X¶�� � T � ! ¸ ¼~� ¹ � ! � Ä#ÀTÃ8N µ ·�¿�ÂÊ¿�Ä�¿ µ O�On· +<}���ULº»Â»¿�OVUL¿��XÇqOVU�¸L¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹$Î�·Xî¿$¶�ÀTOn·X¶� � T � ! � ¼~� ¹ � ! � Ä#ÀTÃ8N�O»�z·R¿�»¿$Ä�¿ µ OnNGOn·�� ½<â ·X¶¬À µ Î�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ0·XÁ$#{¿$¹$O � À µ ¸�Ä�·X¶PÃ8ULº»NVÄB T � � � ¹ � ! � º µ ß�}+��¿ ��¶nºÊOV¿ B � T � � ¹ �

�Ë�·X¶�OnUL¿º µ ¸LIL¹�¿�¸�Ä�·X¶PÃ8ULº»NVÄ ½

� ��� �¿Á2À�Á%��� E�"FE�":$�" ¾ UL¿ ���;� .���� � ·MˬÀ�NVÄ�ÀX»Â2¹�ÀTOn¿$KM·X¶VÎ � ºÊN�OnUL¿NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NV¿$Ow��ºÊOVU�jÇqNVº»Ä=Ã8»º»¹$¿�N�OVUL¿NV¿$O � à � ·MË<Ë�I µ ¹$On·X¶nN (�T � � � ¹ � }8·X¶h¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ OnÂ�Î�}ÕOnUL¿�NV¿$OR·MË+¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ"N

( � ¹ ( ¨ ¹ ����� ¹ ( à

Page 28: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

º µ � ½�¾ UL¿"NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX¬N{OV¶nIL¹$OnIÕ¶V¿"º»N�KMºÊÖ0¿ µ ÁÈÎ ¶nºÊKMU O�¹�·MÄ"î·MNVºÊOnºÊ· µ }%NV·"B � S ( V � ( � BBË�·X¶¿�ÀX¹�U Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ B º µ ß ½=Ú ·X¶n¿"¿�Ý?Ã8»ºÊ¹�ºÊOnÂ�Î�}2OnUL¿ +sÇlOnU Ë ÀX¹�¿=·XÃC¿$¶nÀTOn·X¶�¸L¿�ÂÊ¿$On¿�N�OnUL¿"·XÁ #{¿�¹�O( � }ÕÀ µ ¸"OVUL¿ �MÇlOnU�¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹$Î"·XÃC¿$¶�ÀTOV·X¶�º µ NV¿$¶VOnN�OnUL¿hºÊ¸L¿ µ OVºÊO¡Î"Ä"·X¶VÃ8ULº»NVÄ ·MË ( �

½ H Ë�I µ ¹$OV·X¶� T*� ¹ � º µ ¸LIL¹�¿�N)À�Ä�ÀTà � � T � � ¹ � � ·MˬNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ%NV¿$OVN~} O�ÀTÛ?º µ K�OnUL¿ �jÇqNVº»Ä=Ã8»¿�Ý( ÀTÁC·6Ö0¿�OV· � � ( }+º ½ ¿ ½ }2OnUL¿�¶V¿�NVILÂÊOVº µ K̸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ � S ( � V ¹ � S ( ¨ V ¹ ����� ¹ � S ( à V º µ � ½H µ ÀTOVIÕ¶�ÀXÂ�OV¶�À µ NVË�·X¶nÄ�ÀTOnº»· µ T � ¹ � ·MËhË�I µ ¹�On·X¶nN � ¥ � T � ¹ � ¹�À µ ÁC¿�ÖպʿH��¿�¸ ÀXNÀ�Ë�I µ ¹$On·X¶ � T � ¤ � ¼~� ¹ � }�À µ ¸ º µ ¸LIL¹$¿�N"À�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂzUL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ � � T � � ¤ ß ¨ ���'S � ¤ � ¼~� V ¹ � � Ë�¶n·MÄ � � On· � � ½¾ UL¿ µ ¿$¶VÖ0¿ � � ·MËeÀ#Ã�ÀT¶POnº�ÀXÂÊÂÊÎ�·X¶n¸L¿$¶n¿�¸ NV¿$O�� ºÊNROnUL¿ µ ¿$¶VÖ0¿�·MË � Ö?º»¿H��¿$¸�ÀXN)À#NVÄ�ÀX»Â

¹�ÀTOn¿$KM·X¶VÎ�}zº ½ ¿ ½ }u�hº�OnU-· µ ¿�·XÁ #{¿�¹$O�Ë�·X¶#¿�ÀX¹�U ¿�»¿$Ä�¿ µ O#·MË*��}�À NPº µ KM»¿ÌÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ � ¹ �º»Ë ��� � º µ OnUL¿ÏÃ�ÀT¶VOnº»ÀXÂ�·X¶n¸L¿$¶nº µ K+}zÀ µ ¸ µ · Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�N�Ë�¶n·MÄ � On· � ·XOnUL¿$¶<��º»NP¿ ½ H µ ηX¶n¸L¿$¶{ÇqÃL¶n¿�NP¿$¶VÖÕº µ K#Ë�I µ ¹$OnºÊ· µ �CT � ¹ � OnUL¿ µ º µ ¸LIL¹�¿�NhÀ=Ä#ÀTà � �'T � � ¹ � � ½¾ UL¿�OV¶nºÊÖ?º�ÀXÂ�·XÁ8NV¿$¶VÖTÀTOnºÊ· µ OVU8ÀTO#¿�ÀX¹�U NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý ·MË�À NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NV¿$OϺÊN�OnUL¿�¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀbÇ

OnºÊ· µ ·MË�NV·MÄ�¿ µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿�NVº»Ä=Ã8»¿�ÝϹ�À µ Á®¿�NVU8ÀT¶PÃC¿ µ ¿�¸�On·�OVUL¿�Ë�·MÂÊ»·��hº µ K=I µ ºÊå?IL¿ µ ¿$NVNNPO�ÀTOV¿�Ä�¿ µ O�}ÕÛ µ ·�� µ ÀXN�OVUL¿ � Á � � � �;� ����� Á � �;� � �;��� ¾ ½ r�;��� ¾ E�"�E�"�E�" �®3�L_( 1_/JAaD�=K* � � @ \ 3 1-/JAaD�= /¬LH/�38=)1�*-7 � ( 3B1�3 9;5/�GH9�*�g^*MLM@BAwD�@�1_/J7�/¬@B5/J5`7:(+* \ @B,_A

� � � � S �� V ¥k�(+*H,.* � � /2143 5�@B5��zg�* �^*-5�*H,<387»* 1_/JAaD�=K*���/J5 � 385�g � /2143Æg^* �^*-5?*-,<3^LHE�@.D�*-,<387»@B,�{s½,.@�@ \ { Ó ¿$¿ � � �%Ø S } S � ½ Q V � ·X¶ � â¬ær� S } ¾ ULÄ ½LÐL½ W ½ Q �l½ �

� ¿zNPU8ÀX»Â?¹�ÀX» � � OnUL¿ ����� ! Ã�� � � ���;� ¾ À�� ¼¿¾ ��À ·MË � ½ ´ Ë �=º»N<ÀXÂʶn¿�ÀX¸ÕÎ µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿8}OnUL¿ µ ·MË%¹�·MIÕ¶nNP¿ � � � � À µ ¸ � ºÊN�OnUL¿Jº»¸L¿ µ Onº�O¡Î�}ÈÁ8IÕO�·XOnUL¿$¶z�hºÊNV¿ � ºÊN�ÀÃL¶n·XÃC¿�¶�¸L¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹$ηXÃC¿�¶�ÀTOn·X¶ ½¾ UL¿=Ë�·MÂÊ»·��hº µ K̹�· µ NPOP¶nIL¹$OnºÊ· µ Å S���V ��ÀXN�¹�ÀX»»¿$¸�OnUL¿ µ ¿$¶VÖ0¿�Ë�I µ ¹$On·X¶ � � Á Î�ç�ÀT¶V¶�ÀTOVO

� ç�À Ø Y }¿°�W � }+À µ ¸ OnUL¿"N{O�ÀT¶�Ë�I µ ¹$On·X¶ � � º µ²� â¬æT� S }2à ½ W ¼��8�q½ � ¿]��º»Â»Â¬º µ NPOn¿�ÀX¸ ¹�ÀX»¬º�O�OVUL¿ç�ÀT¶V¶�ÀTOVO µ ¿$¶PÖ0¿·MË � ½

� ��� �¿Á2À�Á%��� E�"FE�"��?" â ·X¶�À µ Î NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX¬NV¿$O � }<ÂÊ¿$O � � � ´ � � & � ¯���µ Á®¿"OnUL¿�NV¿�O·MËeºÊOnN µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOV¿=NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N ½�× ºÊÖ0¿ � � OnUL¿�Ã�ÀT¶VOnº»ÀXÂ<·X¶n¸L¿$¶nº µ K �hUL¿$¶V¿� � �̺»Ë�� º»NÀ�Ë ÀX¹�¿#·MË���}¬º ½ ¿ ½ }¬º»Ë � � � � S � V Ë�·X¶�NP·MÄ�¿�Ë ÀX¹�¿Ï·XÃC¿�¶�ÀTOn·X¶ � ½�è ¿$O�OnUL¿ � ¾ �B� ¾ À�À �)�;� .��Å S���V � �'S�� � ¥ �wV Á®¿ROnUL¿ µ ¿$¶VÖ0¿J·MË2OnULºÊN�Ã�ÀT¶VOnº»ÀX»Â�Î"·X¶n¸L¿�¶n¿�¸�NV¿$O ½ H �jÇqNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý"·MË)Å S���Vº»N�ÀϹ�U8ÀXº µ S ��� � ����� � � à V ·MË µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿"NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�N)·MË � }��hUL¿�¶n¿ � � º»N�ÀÏË ÀX¹�¿�·MË� � > ¨hË�·X¶h¿�ÀX¹�U�S � + � � ½H Ä#ÀTà � T � ¹ � ·MË�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX NV¿�OnN�º µ ¸LIL¹�¿$N�À�Ë�I µ ¹$OVº»· µ � � T � � ¹ � � }ÕKMº�Ö0¿ µ ÁÈÎ

� � S � V � � S � V � ½�¾ ULºÊNhË�I µ ¹$OnºÊ· µ º»N�·X¶n¸L¿$¶PÇlÃL¶n¿�NV¿$¶PÖÕº µ K+}�ÁC¿�¹�ÀXILNV¿�º»Ë ��ºÊNRÀ�Ë ÀX¹�¿�·MË ��}8OVUL¿ µOnUL¿ µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿RÃ�ÀT¶VO�·MË � S � V º»NzÀ�Ë ÀX¹�¿J·MË®OnUL¿ µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿RÃ�ÀT¶VO�·MË � S � V ½<ã ¿ µ ¹$¿OnUL¿$¶V¿º»NhÀ µ º µ ¸LIL¹$¿�¸�Ä#ÀTÃ�·MË µ ¿�¶VÖ0¿�NwÅ S � V T Å S���V ¹ Å S � V }��ULº»¹�U�Ä#ÀTÛ0¿$N�OnUL¿ç�ÀT¶V¶�ÀTOVOµ ¿$¶VÖ0¿À=¹�·6ÖTÀT¶nº�À µ OhË�I µ ¹�On·X¶ ½

¾ UL¿�ç�ÀT¶P¶�ÀTOVO µ ¿$¶PÖ0¿�Ë�I µ ¹$On·X¶eU8ÀXN<Á�ÀX¸=UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�ÃL¶n·Xî¿$¶VOnºÊ¿�N:º µ KM¿ µ ¿$¶�ÀX ½<â ·X¶:¿�Ý8ÀXÄ"Ã8ÂÊ¿>}��UL¿ µ � � ß � ª � ß � Ë�·X¶ ! ³ ¼ }®OVUL¿ µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿"SbÇqNVº»Ä=Ã8»¿�Ý�º»N�À#Ë ÀX¹�¿�·MË:OVUL¿ µ · µ ǸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿ !®ÇqNVº»Ä=Ã8»¿�Ý�}LNV·6Å S���V �� ß ¨ º»N�¹�· µ OP¶�ÀX¹$Onº�Á8»¿ ½�� ¾ � ¼ � � E�"�E�" �#" â ·X¶ � � ß � } � � º»N�OnUL¿ÌNV¿�O�·MËRÀXÂÊÂ�Ë ÀX¹�¿�N�·MËRß � ½ ´ O"¿�å?I8ÀXÂÊN�OVUL¿NV¿$O�·MËeË ÀX¹�¿=·Xî¿$¶�ÀTOn·X¶VN � T � � � ¹ � ! � ��ºÊOnU�O�ÀT¶nKM¿$O � ! � }%À µ ¸ ºÊN)º»NV·MÄ�·X¶PÃ8ULº»¹�On·ÏOnUL¿�NV¿$O�·M˵ · µ ÇÜ¿$Ä"ÃLO¡Î�NPIÕÁ8NV¿$OnN � S � � � VT� � ! � }L·X¶n¸L¿$¶n¿$¸ÌÁÈÎ�º µ ¹�»ILNVºÊ· µ ½ � UL¿ µ Ö?º»¿H�z¿�¸�ÀXN�À µ ·X¶n¸L¿�¶n¿�¸NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ2¹�·MÄ=Ã8»¿�Ý � â¬ær� S }Õà ½+¼jØ W � }LOnUL¿�ç�ÀT¶V¶�ÀTOPO µ ¿�¶VÖ0¿�Å S ß � V ¹�À µ ÁC¿ºÊ¸L¿ µ OnºÊä8¿�¸ ��ºÊOVU

Page 29: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

OnUL¿:Á�ÀT¶VÎÕ¹$¿ µ OP¶nº»¹�NVIÕÁC¸Lº�ÖÕº»NPº»· µ ·MËÕß � � â¬ær� S }6à ½0¼M¼M¼~�l½GÚ ·X¶n¿:ÃL¶n¿�¹�ºÊNV¿�ÂÊÎ�}jOnUL¿$¶n¿eº»N+À�¹�À µ · µ º»¹�ÀXÂUL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ

Æ � T & Å S ß � V$& ¶ ·¸h¹ & ß � &

OnU8ÀTO�O�ÀTÛ0¿�N�OVUL¿�SbÇܹ�¿$» S � V º µ & Å S ß � V$& ¹�·X¶V¶n¿�N{ÃC· µ ¸Lº µ K#On·�À"Ë ÀX¹�¿�·Xî¿$¶�ÀTOn·X¶ � T � � � ¹ � ! �On·�OnUL¿'�¾ �/#���� ��À��;��� ��� ·MË<OnUL¿�Ë ÀX¹�¿ � � & ß � & ·MË & ß � & ½J¾ UL¿�Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ On¿$¶)·MË & ß � & º»NhOVUL¿ÃC·Mº µ O�� � � R

�� ��ºÊOnU�Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ OV¶nº»¹Ï¹�·È·X¶n¸Lº µ ÀTOV¿�N S �B¥ �,�,� ¥

�V ÀX»Âz¿$å?I8ÀXÂzOn· ¼ ª+S �p� ¼ V }

À µ ¸ � ��� ºÊNJºÊOnNJºÊÄ#ÀXKM¿I µ ¸L¿$¶ & � & T & ß �D& ¹ & ß � & ½ ´ OVNhÁ�ÀT¶VÎÕ¹$¿ µ OP¶nº»¹�¹�·È·X¶n¸Lº µ ÀTOn¿$N)ÀT¶n¿�OnU ILNS� �8¥ �,�,� ¥ � V }��hUL¿�¶n¿ µ ·�� � � ¼ ª+S �²� ¼ V º»Ë�++ºÊN:º µ OVUL¿�ºÊÄ#ÀXKM¿�·MË � }ÈÀ µ ¸ � � S�·XOVUL¿$¶<��º»NV¿ ½â IÕ¶VOnUL¿$¶nÄ"·X¶n¿>}COnUL¿�UL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ Æ � Ä#ÀTÃ8NJ¿�ÀX¹�U NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�º µ & Å S ß � V$& À @ µ ¿=Âʺ µ Ç

¿�ÀT¶nÂ�Î�On· & ß � & }2º µ OnUL¿�NV¿ µ NV¿�OVU8ÀTO�Ë�·X¶�¿�ÀX¹�U��jÇÜNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý � � S � � � ����� � � à V º µ Å S ß � VOnUL¿�Ä#ÀTÃ8N

& ß à &�� �� �¸�¹ & Å S ß � V$& � �¸�¹ & ß � &

O�ÀTÛ0¿ S� �8¥ �,�,� ¥ à V º µ & ß à & On·% � � à� · � � S � � V º µ & Å S ß � V$& }8À µ ¸ÌOnUL¿ µ On·

Æ � S % V �à�

� · � � � � � �

º µ & ß � & ½:¾ UL¿�NV¿JUL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ"N�ÀT¶V¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ�Ë�·X¶zË ÀX¹$¿R·XÃC¿$¶nÀTOn·X¶nN � T � � � ¹ � ! � } º µ OVUL¿NV¿ µ NP¿hOnU8ÀTO & � & � Æ � � Æ�� � & Å S � V$& ½ ´ OzË�·MÂÊ»·��hN:OnU8ÀTOzºÊË � ºÊN�OnUL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂLNV¿$O�ÀXNVNV·È¹�º�ÀTOV¿�¸On·ÏÀ µ ·X¶n¸L¿�¶n¿�¸�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ%¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿�Ý?}8OnUL¿ µ Å S���V ºÊNhOnUL¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ%NV¿�O)ÀXNVNV·È¹�º�ÀTOn¿$¸�On·#ºÊOnNÁ�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ OV¶nº»¹ÏNVIÕÁ®¸LºÊÖ?º»NVºÊ· µ }�À µ ¸�OnUL¿$¶n¿ÏºÊN�À ¹�À µ · µ ºÊ¹�ÀXÂzUL·MÄ�¿$·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ Æ � T & Å S �mV/& ��& � & ½�Ó ¿$¿�ÀX»NP· ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä W ½ Q ½Ê¼ Á®¿�»·�� ½ *-A�38,�� �;{ �;{ ��{ ¾ UL¿�UL·MÄ�¿$·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ�N�Æ �=·MË � Ý8ÀXÄ"Ã8ÂÊ¿hW ½ W ½�Ð ÀT¶n¿ ���À µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂLË�·X¶�Ä�·MNPO¸L¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀX¹$Î�·XÃC¿$¶�ÀTOV·X¶nN � ½eâ ·X¶�º µ NPOnÀ µ ¹�¿>}LOnUL¿NPå?I8ÀT¶n¿

& Å S ß � V$& �//

� � � ��� ���

& ß � &

� � ���& Å S ß ¨ V$& � �

//& ß ¨ &

¸L·?¿$N µ ·XO�¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿"Ë�·X¶�¿$ºÊOnUL¿$¶�·MË�OnUL¿�OC��·�¸L¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹$Î�Ä�ÀTÃ8N ��� �� ¥ � ¨ T ß � ¹ ß ¨ ½

´^µ Ë ÀX¹$O~}8OVUL¿$¶n¿¸L·È¿�N µ ·XOh¿�ÝÕº»NPO�À µ Î µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%UL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ Æ � T & Å S �mV/& �� & � & Ë�·X¶ �º µ À"¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ�·MˬNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NV¿$OnNhOVU8ÀTOh¹�· µ O�ÀXº µ NhOnUL¿�NV¿�O»�z·�¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀX¹$Î�Ä#ÀTÃ8N ½�¾ UL¿�O»�z·SbÇܹ$¿�»ÂÊN S � ¨ V À µ ¸ S R � V ·MË & Å S ß � V$& ��º»Â»Â2U8À�Ö0¿¸Lº¢�C¿$¶V¿ µ Ohº»Ä#ÀXKM¿$N�I µ ¸L¿�¶ROnUL¿�¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K

S & � � & ¥ & � ¨ & V � Æ � T & Å S ß � V$& ¹ & ß ¨ &^¤L& ß ¨ & ¥

Á8IÕO�OnUL¿�ºÊ¶�º»Ä�ÀXKM¿�N�I µ ¸L¿$¶ S Æ ��� � & Å S � � V$& ¥$Æ ��� � & Å S � ¨ V$&�V ��º»Â»Â ÁC¿�OVUL¿�NnÀXÄ"¿ ½�Ó ¿�¿ � â¬æ Y Þ }à ½ Ø S�� � À µ ¸ � â¬ær� S }ÕÃLà ½+¼ W Ð ¼ W ØB�l½

� ¿ µ ·�� OnIÕ¶ µ On·�OnUL¿)»¿�Ë�O ��À µ ¿�Ý?On¿ µ NVºÊ· µ ·MË%OnUL¿�ç�ÀT¶P¶�ÀTOVO µ ¿$¶PÖ0¿>} µ ÀXÄ�¿�ÂÊÎ"OnUL¿ µ ·X¶nÄ#ÀXÂNVIÕÁ®¸LºÊÖÕºÊNVº»· µ Ë�I µ ¹$On·X¶~}r�hULºÊ¹�U U8ÀXN�Ä�IL¹vU�ÁC¿$OPOn¿$¶=UL·MÄ�·XOn·Xà ΠÃL¶n·XÃC¿�¶VOnº»¿$N ½ ¾ UL¿�Ë�·MÂÊ»·��hº µ K¸L¿$ä µ º�Onº»· µ ºÊN�Ë�¶V·MÄ � × � Y Þ } ´V´ ½»¼M½Ê¼~�q½

Page 30: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

� ��� �¿Á2À�Á%��� E�"FE�"��?" â ·X¶R¿�ÀX¹�U�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ2NV¿�O � }8»¿$O�OnUL¿'� Á%� ¼ � � � ¾ À�� � ���/# NPº»Ä"à S���VU8À�Ö0¿J·XÁ$#{¿$¹$OnNzOnUL¿RÃ�ÀXº�¶nN S � ! � ¥ � V �hº�OnU�� ¯ � ��}ÕÀ µ ¸ÏÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�NzË�¶V·MÄ S � � � ¥ � V On· S � ! � ¥ � VOnUL¿JÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ�NJB T ��� � ¹ � ! � º µ ß NVIL¹�UÏOnU8ÀTO B � S � V � � ½ ´^µ ·XOVUL¿$¶½��·X¶n¸LN~}ÕNPº»Ä"à S���V �� ª�� º»N�OVUL¿�»¿�Ë�O�äLÁC¿$¶�ÀTO � ·MËzOnUL¿�z· µ ¿$¸8À�¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K � ·MË�ß º µ On·�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX¬NV¿$OnN ½H Ä�ÀTà � T � ¹ � º µ ¸LIL¹�¿�N�À�Ë�I µ ¹$On·X¶"NVº»Ä=à S���V ¹ NPº»Ä"à S � V OnU8ÀTO�O�ÀTÛ0¿�N S � ! � ¥ � V OV·S � ! � ¥ � S � V<V }ÈNV·"NVºÊÄ"à S ¸ V ºÊNhÀ�Ë�I µ ¹$On·X¶hË�¶n·MÄÉNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NV¿$OnN�On·�NVÄ#ÀX»Â2¹�ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¿�N ½

¾ UL¿"¶nIL»¿ S � ! � ¥ � V º¹ ß � ¸L¿$ä µ ¿�N�À�Ë�I µ ¹$OV·X¶�Ë�¶n·MÄ�NVºÊÄ"à S���V On·�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ:NV¿$OVN~}:À µ ¸OnUL¿�¶n¿$ÃL¶n¿�NP¿ µ OVº µ K�Ä#ÀTÃ8N �� T ß �

¹ � ¹�·MÄ�Á8º µ ¿)On·"À µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%ºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ

¹$·M»º»Ä������� � � �

� S � ! � ¥ � V º¹ ß � ¶·¸¢¹ �9�

¾ UL¿Â»¿$Ë�OhU8À µ ¸�NPº»¸L¿¹�À µ ÀX»NV·�ÁC¿e��¶VºÊOVOn¿ µ ÀXN�OnUL¿ºÊ¸L¿ µ OVºÊä8¹�ÀTOnºÊ· µ NPÃ�ÀX¹$¿

������

S � � ¤ ß � V<ª � ¥

��UL¿$¶n¿ � ºÊNzKM¿ µ ¿$¶�ÀTOV¿�¸�Á Î�OnUL¿R¶V¿�Â�ÀTOnºÊ· µ S B � S � V ¥ � V � S �)¥ B � V Ë�·X¶ B T ��� � ¹ � ! � } � ¯ � �À µ ¸ � ¯ ß �

�½�¾ UL¿�Ë�·M»ÂÊ·���º µ K�¸L¿$ä µ ºÊOVº»· µ ºÊN�¸LIL¿�On·�¦ ½ ��À µ�� ��À ØMÞ }�° ÞB� }LNP¿�¿�ÀXÂÊNV· � â¬æT� S }

°~° ÐL½ W�À µ ¸ ÐL½ Y �q½� ��� �¿Á2À�Á%���LE�"FE�" ��" è ¿�O � ÁC¿RÀ�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ8NV¿$O ½e¾ UL¿h¶nIL»¿$N S � ! � ¥ � V º¹ Å S ß � V À µ ¸ B º¹Å S B V ¸L¿$ä µ ¿�À"Ë�I µ ¹$On·X¶)Ë�¶V·MÄ NVºÊÄ"à S���V OV·�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ2NV¿$OVN ½h¾ UL¿ �����B� ¾�� � + ÿÁ .�Á � ÁJ���·MË � º»N�¿�å?I8ÀXÂ2On·�OnUL¿�¹$·M»º»Ä"ºÊO

( � S���V � ¹�·MÂʺ»Ä������� � � �

� S � ! � ¥ � V º¹ Å S ß � V

·MËCOnULºÊN�Ë�I µ ¹$On·X¶ ½ ´^µ ·XOnUL¿$¶T��·X¶V¸LN~}�( � ºÊN�OnUL¿J»¿$Ë�O �À µ ¿�Ý?On¿ µ NVºÊ· µ�� Ú�èGÞ?¼ }� ½ Q S ¼ S V � ·MËCOVUL¿Ë�I µ ¹$On·X¶ � ! ��º¹ Å S ß � V Ë�¶n·MÄ ß On·"NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NV¿$OnNH}CÀX»· µ K=OnUL¿ ��· µ ¿�¸8À"¿�Ä�ÁC¿$¸L¸Lº µ K � ·MËß º µ On·"NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NV¿$OnN ½ � ¿�¹�À µ ÀXÂÊNV·���¶nºÊOV¿

S W ½ W ½ � V ( � S���V � ������

S � � ¤ Å S ß � V<V<ª � ¥

��UL¿$¶n¿ � º»N�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿�¸ Á Î�OnUL¿�¶n¿�»ÀTOnº»· µ S B � S � V ¥ � V � S �)¥MÅ S B V~S � VzV Ë�·X¶'B T ��� � ¹ � ! � }� ¯ � �ÌÀ µ ¸ � ¯ Å S ß � V

�½

â ·X¶�¿�ÀX¹vUÌÄ#ÀTà � T � ¹ � OnUL¿Ë�I µ ¹$OV·X¶ S � ! � ¥ � V º¹ Å S ß � V ¿�ÝÕOn¿ µ ¸LN�·6Ö0¿$¶�OnUL¿Ë�I µ ¹$OV·X¶NVºÊÄ"à S���V ¹ NPº»Ä"à S � V }8NV·=OnUL¿�¶n¿ºÊNhÀ µ º µ ¸LIL¹�¿�¸�Ä�ÀTÃ�·MËG¹$·M»º»Ä"ºÊOnN

( � S � V T ( � S���V ¹ ( � S � V

OnU8ÀTOÄ#ÀTÛ0¿�N ( � ÀÌË�I µ ¹$OV·X¶�Ë�¶n·MÄ�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX¬NV¿$OnNOV·ÌNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ:NV¿$OVN ½Ï¾ UL¿=¶n¿$ÃL¶n¿�NP¿ µ OVº µ KÄ#ÀTÃ8N �� T ß �

¹ � º µ ¸LIL¹�¿ÏÄ#ÀTÃ8N�Å S �� V T Å S ß � V ¹ Å S���V OnU8ÀTO�¹�·MÄ�Á8º µ ¿=On·�¸L¿$ä µ ¿�Àµ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%Ä#ÀTÃ

� � T ( � S���V ¹ Å S���V ¥ÀX»NP·=Û µ ·�� µ ÀXN�OVUL¿�¹�À µ · µ ºÊ¹�ÀXÂ%Ä#ÀTÃ�Ë�¶V·MÄ À�»¿�Ë�O �À µ ¿�ÝÕOn¿ µ NVº»· µ ½

Page 31: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

r�;��� ¾ E�"FE�"��?" &)(+*�5�@B,-A�38=�1-9)IMg>/JI�/21_/ @B5 \ 9�5?L-7C@8, ( � D�,.*-1�*-,_I�*_16LM@ GJI~,<387�/¬@B5+1�3>5�g`38=2=LM@B= /%A]/J7:1�@ \ 1_/%AaD�= /¬L-/¬38=�1�*-7:1~{½x \ � /J1 Gl5/J7»*Mi|@B,05�@B5 � 1_/J5��>9�=h38,Miu7:(+*-5P1�@6/21 ( � S���V�{s½,.@�@ \ { ¾ UL¿zÃL¶n¿�NP¿$¶VÖTÀTOnº»· µ ·MË8¹�·M»ºÊÄ�ºÊOnN+º»N<Ë�·X¶VÄ#ÀXÂ�}XNVÀ6ÎË�¶n·MÄ&OnUL¿�Ë�·X¶nÄ�IL»À S W ½ W ½ � V ½¬Ó IÕÃLî·MNV¿� � ß � � ��� �   ½:¾ UL¿ µ ( � S���V ºÊN¬·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸�Ë�¶n·MÄ ( � S �   V Á Î�ÀTOVO�ÀX¹�ULº µ K ( � S ß � V ÀXÂÊ· µ KOnUL¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NVIÕÁ8NV¿�O'( � S � ß � V }CNV· ( � S��   V ¹ ( � S���V º»NJÀ#¹�·XäLÁL¶nÀTOnº»· µ ½Jæ ¶n¿�NV¿$¶PÖXÀTOnºÊ· µ·MˬKM¿ µ ¿$¶nÀXÂG¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ NJË�·M»ÂÊ·���NhÁ Î�À=Ã�ÀXNPNnÀXKM¿�On·#¹�·MÂʺ»Ä�º�OnN ½�Ó ¿�¿�ÀXÂÊNV· � â¬ær� S } á ·X¶ ½ ÐL½ W ½ �À µ ¸ ÐL½ W ½»¼M¼~�q½¾ UL¿Jç�ÀT¶V¶�ÀTOVO µ ¿$¶VÖ0¿ Å S ß � V � ( � S ß � V º»Neä µ ºÊOn¿RÀ µ ¸ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶�}ÕÀ µ ¸6�z¿JU8À6Ö0¿ #{ILN{O

NV¿�¿ µ OnU8ÀTO�º»Ë � ß �¹ �  2ºÊN�À=¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ }ÕOnUL¿ µ NV·"ºÊN;( � S � ß � V ¹ ( � S �   V ½:ã ¿ µ ¹�¿�º»Ë �

º»N)ä µ ºÊOV¿>}+·X¶ µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶~}+OnUL¿ µ NV·ÌºÊNC( � S �mV }CÁÈÎ º µ ¸LIL¹�Onº»· µ ·6Ö0¿$¶�OnUL¿ µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�·MË � À µ ¸ÌÀ=Ã�ÀXNVNnÀXKM¿)On·"¹$·M»º»Ä"ºÊOnN ½ �

Ñ ¿$¹�ÀX»ÂzË�¶V·MÄ ¦)¿$ä µ ºÊOnºÊ· µ ¼M½ W ½ W�OVU8ÀTO�À�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�NV¿�O � ºÊN µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�º»Ë�Ë�·X¶�¿�ÀX¹�Uµ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý � ¯ � � OnUL¿�¶n¿�ÃL¶n¿�NV¿ µ Onº µ K#Ä#ÀTà �� T ß �

¹ � º»NRÀ�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ·MËeNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ<NV¿$OVN~}%·X¶�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ OnÂ�Î�}2º»Ë�ÀX»Â<º�OnNJÖ0¿$¶VOnºÊ¹�¿�N�ÀT¶n¿�¸Lº»NPOVº µ ¹$O ½ H µ Î�·X¶n¸L¿�¶n¿�¸ NPº»Ä=ÇÃ8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿�Ý�º»N µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶�}���UL¿ µ ÖպʿH��¿�¸�ÀXNhÀ�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ%NV¿$O ½�¾ UL¿ µ ¿$¶VÖ0¿ � � ·MËÀ µ Î�Ã�ÀT¶VOnº»ÀX»ÂÊÎ�·X¶n¸L¿$¶V¿�¸�NV¿$O S Á8IÕO µ ·XO)·MË:¿$Ö0¿$¶PÎ�¹�ÀTOn¿$KM·X¶VÎ V ºÊNJNVIL¹�U À µ ·X¶n¸L¿�¶n¿�¸�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀX¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿�Ý?}GÀ µ ¸ OnU ILN�À µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ:NV¿�O ½ ´^µ Ã�ÀT¶VOVº»¹�IL»ÀT¶�}GOnUL¿#ç�ÀT¶V¶nÀTOVO µ ¿$¶PÖ0¿Å S���V ·MË<À µ Î�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NV¿$O�º»N�À µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶hNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ2NV¿$O ½ r�;��� ¾ E�"�E�":$�!�" &)(+* L.385�@B5�/¬L.38=rA�3MD � � T ( � S �mV ¹ Å S �mV6/2161_9�,���*ML-7�/JI>*_i \ @B, *.3^L_(1_/JAwD�= /¬L-/�3>=�1�*-7 � {s½,.@�@ \ { H µ Î �6ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ�·MË�Å S���V ¹�À µ ÁC¿0��¶nºÊOPOn¿ µ ÀXNJÀ"¹�U8ÀXº µ � �� S � V � ����� � � �à S � V � �·MË µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿ÌNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�N�·MË � }���ºÊOVU � ¯ � ��À µ ¸ � � � ����� � � à � R � ½ ¾ UL¿ µS �)¥ � � � ����� � � à V º»N�À �6ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ�·MË.( � S �mV OVU8ÀTO=Ä�ÀTÃ8N�On· OVUL¿�KMº�Ö0¿ µ �6ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ�·MËÅ S���V ½ �

r�;��� ¾ E�"�E�":$�$�"Fx \ � /21®5�@85�� 1_/J5 �89�=h3>, 7:(+*-5Æ7:(+* L.385�@B5�/¬L.38=+A�3_D � � T ( � S���V ¹ Å S���V/2143>5�/21�@8A6@B,¬D�(^/21_A4iT3>5�gÆLM@B5�I>*-,M1�*-= E�{s½,.@�@ \ { ´^µ OnUL¿�NPî¿�¹�º»ÀXÂ?¹�ÀXNV¿ � � ß � }XOnUL¿�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎNVº»Ä"à S ß � V U8ÀXN<OnUL¿zOn¿$¶nÄ"º µ ÀX·XÁ #{¿�¹$O S � ! � ¥AR � V }bNV·hOnUL¿�¹�·M»ºÊÄ�ºÊO�¸L¿$ä µ º µ K1( � S ß � V ºÊNG¹�À µ · µ ºÊ¹�ÀX»Â�Î�ºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊ¹eOV·�OnUL¿eÖXÀXÂÊIL¿·MËROnUL¿�Ë�I µ ¹$OV·X¶�ÀTO�OnU8ÀTO�·XÁ #{¿�¹�O�}hÀ µ ¸ � ��� T ( � S ß � V ¹ Å S ß � V ¿�åÈI8ÀX»N"OnUL¿�¹�À µ · µ º»¹�ÀXº»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ ½Ú ·X¶n¿ KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂÊÂÊÎ�}RË�·X¶�À�ä µ ºÊOV¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂhNV¿$O � ��¶nº�On¿ � �� ß � � ��� �  %}w�hUL¿$¶V¿

�� T ß �¹ � º»N�OnUL¿�¶n¿�ÃL¶n¿�NV¿ µ Onº µ KJÄ#ÀTÃ�·MËLÀ µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿zNVºÊÄ"Ã8»¿�Ý�� ¯ � �·MËÕÄ�ÀbÝLº»Ä�ÀXÂ

¸Lº»Ä"¿ µ NVº»· µ ½�á · µ NVº»¸L¿$¶�OnUL¿�¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿JNVå?I8ÀT¶n¿

( � S ß � V?� V � � ��� �( � S �   V ¶·

//

¶ ·��

( � S���V

���

��Å S ß � V#�� � ��� � Å S��   V

//ŠS �mV��

¾ UL¿J»¿�Ë�O�U8À µ ¸ÏÖ0¿$¶VOnºÊ¹�ÀX®Ä�ÀTÃϺ»N�À µ º»NV·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄF}ÈÁ Î#º µ ¸LIL¹$OVº»· µ · µ OnUL¿J¸Lº»Ä�¿ µ NVº»· µ ·MË �À µ ¸ÏOnUL¿ µ ILÄ�ÁC¿�¶h·MË µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿ !®ÇÜNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�º µ � }LÀ µ ¸ÏOnUL¿)NPÃC¿$¹�º�ÀXÂ2¹�ÀXNP¿ � � ß � ½¾ UL¿ IÕÃLÃC¿$¶�UL·X¶nº»Å�· µ O�ÀXÂ�Ä#ÀTà ºÊN�À µ ºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ }hÁ Î è ¿�Ä�Ä�À-W ½ W ½ � Ë�·X¶�OnUL¿ ¹�ÀXNP¿ ·MËÃ8ILNVUL·MIÕOnN ½çzÎ)OnUL¿�ÀXNVNVILÄ"ÃLOVº»· µ OnU8ÀTO � º»N µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶�} ���¶n¿�NPOV¶Vº»¹$OnN+On·JÀR¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ]� ß �

¹ �   }��ULº»¹�U�º µ ¸LIL¹�¿�N�À µ º µ #{¿�¹$Onº�Ö0¿�Ë�I µ ¹$Onº»· µ S � ß � V � ¹ S��   V �R½ �)ºÊ¿H��º µ K#ºÊOJÀXNJÀ µ º µ ¹�ÂÊILNVº»· µ }

Page 32: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �OnUL¿JÃ�ÀT¶VOnº»ÀX»Â�Î"·X¶n¸L¿�¶n¿�¸�NV¿$O � � ºÊN�º»NV·MÄ"·X¶VÃ8ULº»¹hOV·�OVUL¿�I µ ºÊ· µ ·MË S ß � V � À µ ¸ S��   V � ÀXÂÊ· µ KOnUL¿�º�¶Rº µ On¿�¶nNV¿�¹$OVº»· µ S � ß � V � ½ ´ OhË�·M»»·���N�OnU8ÀTO�OnUL¿ µ ¿$¶PÖ0¿�Å S���V � � � � º»N�OnUL¿�I µ ºÊ· µ ·MËOnUL¿ µ ¿$¶VÖ0¿�N®Å S ß � V À µ ¸FÅ S��   V ÀXÂÊ· µ K�Å S � ß � V }Lº ½ ¿ ½ }ÕOnU8ÀTO�OnUL¿)»·���¿$¶�UL·X¶nº»Å$· µ O�ÀXÂ2Ä�ÀTÃ̺ µOnUL¿�¹$·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnºÊÖ0¿�NVåÈI8ÀT¶n¿#ÀTÁC·6Ö0¿�ºÊN�À µ º»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ ½#ã ¿ µ ¹�¿�OnUL¿=¶nº»KMU0O�U8À µ ¸ Ö0¿$¶VOVº»¹�ÀXÂÄ#ÀTÃ�( � S���V ¹ Å S���V º»N�À µ ºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄɺ µ OnULº»N�¹�ÀXNV¿ ½¾ UL¿�¹�ÀXNP¿h·MËCº µ ä µ ºÊOn¿ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶ � Ë�·M»ÂÊ·���NeÁ Î�Ã�ÀXNVNnÀXKM¿�OV·�OnUL¿�ä8ÂÊOn¿�¶n¿�¸�¹�·MÂʺ»Ä�º�O:·jÖ0¿�¶

OnUL¿�ä µ ºÊOn¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ?NVIÕÁ8NV¿$OnNe·MË � }M·X¶n¸L¿�¶n¿�¸"Á Î�º µ ¹�ÂÊILNVº»· µ } NVº µ ¹�¿�Á®·XOnU( � À µ ¸�Å ¶n¿$NPÃC¿�¹�ONVIL¹�U�¹�·MÂʺ»Ä�º�OnN ½â ·X¶�OVUL¿¹�· µ Ö0¿$¶nNV¿�º»Ä"Ã8Âʺ»¹�ÀTOVº»· µ S ��ULº»¹�UF��¿e�hºÊ» µ ·XO�Ä#ÀTÛ0¿�À µ Î�ILNV¿�·MË V }LNVIÕÃLî·MNV¿OnU8ÀTO

( � S���V ¹ Å S���V ºÊN#À µ ºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ }�À µ ¸ ¹�· µ NPº»¸L¿$¶�À µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿ !®ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿�Ý �·MË � ½Gè ¿$O � � � ÁC¿eOnUL¿zNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂMNPIÕÁ8NV¿$O¬KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿�¸�Á Î �)}MÀ µ ¸0��¶nº�On¿ � � ß � � ��� � ½´^µ OnUL¿�¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿J¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ

( � S � ß � V//

��

( � S ß � VV � � �� �

%%JJJJJJJJJ

��( � S � V //( � S � V // //

( � S���V ���//ŠS���V

OnUL¿�NVå?I8ÀT¶V¿º»N�À�Ã8ILNVUL·MIÕO)À µ ¸"( � S � V ¹ ( � S �mV ºÊNhÀ�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ }LÁÈÎ è ¿�Ä�Ä#À=W ½ W ½ �Õ½ HJN� T � � � ¹ � ! � ¶�À µ KM¿�NzOVUÕ¶n·MILKMU#OnUL¿RË ÀX¹�¿�N�·MË+ß � }?OnUL¿hÃ�ÀXº�¶<��º»NV¿J¸LºÊNPOnº µ ¹�O ¼ ÇÜNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N S � �R � V ·MË�( � S ß � V }��hULºÊ¹�UÏÀT¶n¿ µ ·XO�º µ ( � S � ß � V }0¶n¿�Ä#ÀXº µ Ã�ÀXº�¶<�hºÊNV¿h¸LºÊNPOnº µ ¹$O�º µ ( � S � V À µ ¸#º µ( � S���V ½:¾ UL¿�º�¶hºÊÄ#ÀXKM¿�N�º µ ( � S���V ÀT¶n¿)OnUL¿ ¼ ÇqNVº»Ä=Ã8»º»¹$¿�N S ��¥ � � R � V ½ çzÎ#OnUL¿ÀXNPNVILÄ"ÃLOnºÊ· µ· µ � � OVUL¿$Î̶n¿$Ä#ÀXº µ Ã�ÀXºÊ¶<��º»NV¿¸Lº»NPOnº µ ¹$OJº µ Å S �mV }�NP·�OnUL¿ ¼ ÇÜNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�N S � � S � V � � � V ÀT¶V¿ÀX»Â�¸Lºh�®¿$¶n¿ µ O ½�¾ ULºÊN�Ä"¿�À µ N�OnU8ÀTO�OnUL¿#Ë ÀX¹�¿$N � � S � V ·MË��-º µ � ��ÀT¶n¿ÏÀX» µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿À µ ¸�¸Lº»NPOnº µ ¹$O�}eº ½ ¿ ½ }<OnUL¿#¶n¿�ÃL¶n¿�NV¿ µ Onº µ K Ä#ÀTà �� T ß �

¹ � ºÊN=À�¹�·XäLÁL¶nÀTOnº»· µ ½ ¾ U ILN � º»Nµ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶ ½ �

*-A�38,�� �;{ �;{� �;{ ¾ ·�¿�ÀX¹�U�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ�NV¿$O � OVUL¿$¶n¿)º»N�À�I µ ºÊÖ0¿�¶nNnÀXÂ��Tº µ ºÊOnº»ÀX®NVIÕ¶ #{¿�¹$Onº�Ö0¿�Ä�ÀTÃ� ¹ � � On·�À µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶GNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂXNV¿$O � � }���ULº»¹�U0��¿e¹�ÀXÂÊÂXOnUL¿ Ã)� � Á�� ��+ �%¾ �BÁ% ¾ À�Á%���·MË � ½¬â ·X¶zNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ8NVIÕÁ8NV¿$OnNH}8À µ ¸�ÀT¶PÁ8ºÊOV¶�ÀT¶PÎ=ÃL¶n·È¸LIL¹$OnN~}?·MË µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ8NV¿$OVNÀT¶n¿�ÀXK0ÀXº µ�µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�}�NV· � � ¹�À µ Á®¿¸L¿$ä µ ¿�¸�ÀXN�OnUL¿�º»Ä#ÀXKM¿)·MË+OVUL¿¹�À µ · µ ºÊ¹�ÀXÂ%Ä#ÀTÃ

� ¹ �-�� ��� � �OnU8ÀTO�O�ÀTÛ0¿�N � ¯ � ��On· S � S � V<V -^}�hUL¿$¶V¿ � ¶�À µ KM¿�N�·jÖ0¿�¶JÀX»Â�å?IL·XOVº»¿ µ OhÄ�ÀTÃ8NhË�¶n·MÄ � · µ OV·µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶hNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂCNV¿�OnN � ½ H µ Î�NVIÕ¶ #{¿�¹$Onº�Ö0¿Ä#ÀTà � T � ¹ � On·�À µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶ �OnUL¿ µ Ë ÀX¹$On·X¶nN�I µ º»å?IL¿$ÂÊÎ�·jÖ0¿�¶ � ¹ � � ½á À µ � � Á®¿JKMºÊÖ0¿ µ À�Ä"·X¶n¿R¿�Ý?Ã8»º»¹$ºÊOz¸L¿$NV¹$¶nº�ÃLOnº»· µ��Ì´ N � S ( � S���V<V ��ZÅ S���V Ë�·X¶�¶n¿�KMILÂ�ÀT¶

·X¶�·XÃÕÇq¶n¿$KMILÂ�ÀT¶ � S NV¿$¿�¦)¿$ä µ º�Onº»· µ W ½ Ø?½ Q V � ´ N � S � S � V<V �� U S � V ��UL¿ µ � T � ¹ � U8ÀXNNVºÊÄ"Ã8»¿�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶�¶n¿�¸LIL¹�Onº»· µ S NV¿�¿0¦)¿$ä µ º�Onº»· µ W ½�ÐL½ � V �� ��� �¿Á2À�Á%��� E�"�E�"%$ �?" ¦)¿$ä µ ¿�OnUL¿�¹�· µ ¿�· µ ß � On·�ÁC¿�¹�· µ ¿ S ß � V � �fS � ! � � ´ ��µBV } �hUL¿$¶V¿� ! � � ´ �µ º»N�·X¶n¸L¿$¶n¿�¸�Á Î�ÀX¸�#{·Mº µ º µ KJÀ µ ¿H� }XKX¶n¿�ÀTOn¿�NPO�}b¿�»¿$Ä�¿ µ O � On· � ! �q½G¾ UL¿e¶nIL»¿ S � ! � ¥ � V º¹¹�· µ ¿ S ß � V ¸L¿$ä µ ¿�N)À=Ë�I µ ¹�On·X¶JË�¶n·MÄ NVº»Ä=à S���V OV·"NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ2NV¿�OnN~} À µ ¸ÌOnUL¿ ������� · µ � º»N¸L¿$ä µ ¿�¸�ÀXN

¹�· µ ¿ S���V � ¹$·M»º»Ä������� � � �

� S � ! � ¥ � V º¹ ¹�· µ ¿ S ß � V �

¾ UL¿�º µ ¹�»ILNPº»· µf� ! � � � ! � � ´ ��µ º µ ¸LIL¹$¿�N�OVUL¿ µ ÀTOVIÕ¶�ÀXÂ<Á�ÀXNV¿�º µ ¹�ÂÊILNVº»· µ N�ß �¹ ¹$· µ ¿ S ß � V

À µ ¸ + T � ¹ ¹�· µ ¿ S���V ½

Page 33: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

*-A�38,�� �;{ �;{� ��{ ¾ UL¿ �6ÇÜNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�·MË2¹�· µ ¿ S���V ¹�À µ ÁC¿R¿�Ý?Ã8»ºÊ¹�ºÊOnÂ�Î�¸L¿�NV¹$¶nº�ÁC¿�¸�ÀXN�OVUL¿�Ã�ÀXºÊ¶VNS � T � � � � � � ¥ � ¯ � " V Ë�·X¶�S � � �;}��hUL¿�¶n¿ � � � à �,�,� � " > ¨ ºÊNÀ % �B����À"% ¾ ��� ·MË � � � }On·MKM¿$OVUL¿$¶c�hº�OnU�OnUL¿�Ö0¿$¶VOV¿�Ý � ½ HJÂÊOn¿�¶ µ ÀTOnºÊÖ0¿$ÂÊÎ�} � ¹�À µ ÁC¿�º µ On¿�¶VÃL¶n¿$On¿$¸ ÀXNROnUL¿�I µ ºÊå?IL¿�Ã�ÀXºÊ¶S � ¥ � V �hº�OnU� � ¸ ¼ }8NV¿�¿ ¦)¿$ä µ ºÊOnºÊ· µ W ½�ÐL½Ê¼M½ r�;��� ¾ E�"FE�"%$ ��" &#(+* LM@B5�* \ 9;5�L-7»@B, D�,.*-1�*-,_I�*_16LM@ GJI~,<387�/¬@B5+1�3>5�g`38=2=TL_@B= /JA]/J7:1 @ \ 1_/JA�D�= /¬LH/�38=�1�*-7:1~{½x \ � /21 Gl5/%7C*Mi|@8, 5�@85�� 1_/J5 �89�=h3>,.iu7:(+*-5P1�@�/21 ¹�· µ ¿ S���V�{s½,.@�@ \ { ¾ UL¿�ÃL¶n¿�NP¿$¶VÖTÀTOnº»· µ ·MË�¹�·M»ºÊÄ�ºÊOnN�º»N�Ë�·X¶VÄ#ÀX ½�Ó IÕÃLÃC·MNV¿ � � ß � � ��� �   ½�¾ UL¿ µ¹�· µ ¿ S���V ºÊN�·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸ÌË�¶V·MÄ ¹$· µ ¿ S��   V ÁÈÎ�ÀTOVOnÀX¹vULº µ K=¹$· µ ¿ S ß � V �� ß � > ¨ ÀX»· µ K�OnUL¿�UL·X¶ µ¹�· µ ¿ S � ß � V ����

� > ¨� > ¨ }�NV¿$¿F¦)¿$ä µ ºÊOVº»· µ Q ½ W ½»¼M½�¾ UL¿�¶V¿�Ä#ÀXº µ º µ K�¹$Â�ÀXº»Ä"N�Ë�·MÂÊ»·�� Ë�¶n·MÄ OnULºÊN·XÁ8NV¿$¶PÖXÀTOnºÊ· µ ½ �

¾ UL¿�KM¿�·MÄ�¿�OV¶nº»¹¬¶n¿�ÀX»º»Å�ÀTOnº»· µ N & ( � S���V$& À µ ¸ & � & ÀT¶n¿�UL·MÄ"¿�·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊ¹>}b¿�Ö0¿ µ º»Ë µ · µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂUL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ ¿�ÝLºÊNPOnN ½ ´^µ OnUL¿Ï¹�ÀXNV¿Ï·MË�NPº µ KMILÂ�ÀT¶ S � µ ·XO µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶ V � OnULº»N�ºÊN�À¸Lº @"¹�ILÂÊO�Ë ÀX¹$O�¸LIL¿�OV· â ¶nºÊOVNV¹�U�À µ ¸ æ IÕÃLÃC¿ � â¬æ Y ÞB� } ��ULº»¹�U ��¿ ��º»Â»Â2¿vÝÕOn¿ µ ¸�º µ Ó ¿�¹$OnºÊ· µ W ½ QÁC¿$»·�� ½ ã ·���¿$Ö0¿$¶�}�OnUL¿$¶V¿ ¿vÝLº»N{OnNÏÀ µ ·XOnUL¿$¶#¶n¿$Â�ÀTOnºÊ· µ Á®¿$OC��¿�¿ µ ( � S���V À µ ¸ � }½�hULºÊ¹vU º»Nµ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ0À µ ¸ÀX»NV·�Ä�IL¹�U¿�ÀXNVºÊ¿$¶�On·�NP¿$OGIÕÃ�} µ ÀXÄ�¿�Â�ÎJOnUL¿:Â�ÀXNPO�Ö0¿$¶VOn¿vÝ�Ä#ÀTà ��� T ( � S���V ¹ � ½� ¿�¶n¿�¹�ÀXÂÊÂ�º�OnN�¸L¿$ä µ ºÊOVº»· µ Ë�¶n·MÄ � ��À ØMÞ }�° ÞB�q½� ��� �¿Á2À�Á%��� E�"�E�":$ �?" è ¿$O � � T S ß � V � ¹ � ! � ÁC¿�OVUL¿�Ë�I µ ¹$OVº»· µ

S � T � � � ¹ � ! � V º ¸�¹ � S � V

OnU8ÀTO�O�ÀTÛ0¿�N ¿�ÀX¹�U µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿-NVºÊÄ"Ã8»¿�Ý º µ ß � OV· º�OnN�Â�ÀXNPO�Ö0¿$¶VOV¿�Ý ½ ´ O º»N ·X¶n¸L¿$¶PÇÃL¶n¿�NP¿$¶VÖÕº µ K+}zÁC¿�¹�ÀXILNV¿�OnUL¿Ì»ÀXNPO"Ö0¿�¶VOn¿�ÝA·MË)À µ Î Ë ÀX¹�¿Ì·MË � º»N=»¿�NPN"OnU8À µ ·X¶"¿�å?I8ÀXÂ�On·�OVUL¿Â�ÀXN{ORÖ0¿$¶VOn¿vÝ�·MË � ½ ´ OJºÊN µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂGº µ � ! � } ÁC¿$¹�ÀXILNV¿�Ë�·X¶)¿�ÀX¹�U�Ä�·X¶VÃ8ULº»NPÄ B T � ! � ¹ � � º µ ßOnUL¿�Â�ÀXNPO�Ö0¿$¶VOV¿�Ý�·MË B � ¿$å?I8ÀX»N�OnUL¿�Â�ÀXNPO�Ö0¿$¶VOn¿vÝ�·MË<ºÊOnN µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿�Ã�ÀT¶VO S B � V �h½æ ÀXNVNVº µ K=On· µ ¿$¶VÖ0¿�NH}���¿�·XÁLO�ÀXº µ À=»ÀXNPO�Ö0¿$¶VOn¿�Ý�Ä#ÀTÃ�·MË<NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX®NV¿$OnN

� � T Å S ß � V ¹ ß � ¥

��ULº»¹�U�º»N µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%º µ�� ! � º µ OnUL¿�NV¿ µ NV¿�OnU8ÀTOhË�·X¶h¿�ÀX¹�U"B T � ! � ¹ � � OnUL¿�NVå?I8ÀT¶V¿

Å S ß � V � �//

� � 7 ���

ß �

7��Å S ß " V ���

//ß "

¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿$N ½�ã ¿ µ ¹�¿ S � ! � ¥ � V º¹ � � T Å S ß � V ¹ ß � ¸L¿$ä µ ¿�N"À µ ÀTOVIÕ¶�ÀXÂzOV¶�À µ NVË�·X¶VÄ#ÀTOnº»· µ·MˬË�I µ ¹$On·X¶VN�Ë�¶V·MÄ NVºÊÄ"à S���V On·#NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�NP¿$OnN ½h¾ UL¿�º µ ¸LIL¹�¿�¸ Ä#ÀTÃ�·MË:¹�·M»ºÊÄ�ºÊOVN�·MˬOnUL¿�NP¿Ë�I µ ¹$On·X¶VNhº»N�ÁÈÎ�¸L¿$ä µ º�Onº»· µ OnUL¿ �J¾ � À�.��;��À�� � ¾�¼

� � T ( � S���V ¹ �9�

´ OhºÊN�N{OV¶�ÀXº»KMU0OnË�·X¶<��ÀT¶n¸ÌOn·�¹�UL¿�¹nÛÌOnU8ÀTO ��� º»N µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%º µ OnUL¿�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NV¿$O � ½

� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� E�"�E�":$ ��" &)(+* =h3B1_7 I>*-,-7C*���A�3MD � � T ( � S �mV ¹ � /J1 1_/JAaD�=K*_i \ @B,P*.3^L_(Gl5/%7C*e1-/JAaD�= /¬LH/�38=�1�*-7 � {

Page 34: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� �=�

s½,.@�@ \ { � ¿�ÃL¶n·È¹�¿�¿�¸�Á Î̺ µ ¸LIL¹$OnºÊ· µ · µ OnUL¿�¸Lº»Ä�¿ µ NPº»· µ ! ·MË � À µ ¸ÌOnUL¿ µ ILÄ�Á®¿$¶R·MË µ · µ ǸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿(!®ÇÜNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�NJ·MË � ½�á UL·È·MNV¿�À µ º»NV·MÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ � �� ß � � ��� �   ½ ´{µ ·X¶n¸L¿�¶On·=NVUL·�� OnU8ÀTO�OnUL¿�Ä#ÀTÃ

� � T ( � S���V �� ( � S ß � V?� V � � ��� �( � S �   V ¹ ß � � ��� �   �� �

º»N�NVºÊÄ"Ã8»¿8}?ºÊO|��º»ÂÊÂCNVI @"¹�¿>}LÁÈÎ"OnUL¿)KM»ILº µ K�»¿$Ä�Ä#ÀË�·X¶�NVºÊÄ"Ã8»¿JÄ#ÀTÃ8N�À µ ¸ è ¿�Ä�Ä#À�W ½ W ½ � }ÈOV·NVUL·���OVU8ÀTOhOnUL¿OVUÕ¶n¿�¿�Ä#ÀTÃ8NH( � S ß � V ¹ ß � } ( � S � ß � V ¹ � ß � À µ ¸ ( � S��   V ¹ �  +ÀT¶V¿ÀX»Â2NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿ ½ ´^µ OnUL¿NV¿$¹�· µ ¸�À µ ¸ÌOnULº�¶n¸Ì¹�ÀXNV¿�NhOnULºÊN�UL·MÂʸLN�Á Î�OnUL¿�º µ ¸LIL¹$Onº�Ö0¿U0Î?ÃC·XOVUL¿�NVº»N ½¾ ·�U8À µ ¸LÂÊ¿ROnUL¿JäL¶nNPO�¹�ÀXNV¿8};��¿ µ ·XOn¿ROnU8ÀTO�ß � U8ÀXN�À�KX¶n¿�ÀTOn¿�N{O µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý

S OnUL¿=º»¸L¿ µ Onº�O^Î R ��· µ²� ! � V }�NV·"( � S ß � V Ä#À�Î�ÁC¿"ºÊ¸L¿ µ OnºÊä8¿�¸��hº�OnU OnUL¿�¹�· µ ¿"· µ ( � S � ß � V }À µ ¸ÌOnUL¿�Ä#ÀTà � ���#Ä#À�Î#ÁC¿Ë ÀX¹�On·X¶n¿�¸ÌÀXNRÀ=¹$·MÄ"ÃC·MNVº�On¿

¹$· µ ¿ S ( � S � ß � VzV ¹ ¹�· µ ¿ S � ß � V ¹ ß � �¾ UL¿ äL¶nN{O�Ä�ÀTà ºÊN#OnUL¿�¹$· µ ¿ · µ OnUL¿ Â�ÀXNPO#Ö0¿�¶VOn¿�Ý Ä#ÀTà Ë�·X¶ � ß � }®��ULº»¹�U ºÊNÏNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�ÁÈÎOnUL¿=º µ ¸LIL¹$Onº�Ö0¿=U0Î?î·XOnUL¿�NVºÊN�À µ ¸ OVUL¿�Ã8ILÂÊÂÊÁ�ÀX¹nÛÈÇRÀ µ ¸ KM»ILº µ K�ÃL¶n·Xî¿$¶VOnºÊ¿�N�·MËzNVº»Ä=Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8N ½¾ UL¿"NV¿�¹$· µ ¸ Ä#ÀTà OnÀTÛ0¿�N�OVUL¿=¹�· µ ¿�ÃC·Mº µ O�On·�OVUL¿"Â�ÀXN{O�Ö0¿�¶VOn¿�Ý�·MË�ß � }GÀ µ ¸ ºÊOnN�KM¿�·MÄ�¿$OP¶nº»¹¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOVº»· µ U8ÀXN�ÃC·Mº µ OϺ µ Ö0¿�¶nNV¿�N#OnU8ÀTOÏÀT¶V¿�ÃC·Mº µ OnN#·X¶Ïº µ On¿�¶VÖXÀXÂÊN~}�NV·�ºÊOϺÊN#ÀX»NV·�À NVºÊÄ"Ã8»¿Ä#ÀTà ½ �

� ��� �¿Á2À�Á%���PE�"FE�"%$ �?" ¾ UL¿$¶n¿�º»N)À µ º µ Ö0·M»IÕOnº�Ö0¿�¹�·6ÖXÀT¶Vº�À µ O)Ë�I µ ¹$On·X¶ S ¸ V��" T ß ¹ ß OnU8ÀTO�}

UL¿�IÕ¶nºÊNPOnºÊ¹�ÀX»Â�Î�}%OnÀTÛ0¿�N)¿�ÀX¹�U ·XÁ #{¿�¹$O � ! � � ´ S � ¼ � ����� � ! µ On·ÏOnUL¿=NVÀXÄ�¿�NV¿$Oe�hº�OnU OVUL¿¶n¿$Ö0¿�¶nNV¿�¸ On·XO�ÀX¬·X¶V¸L¿$¶nº µ K ½�Ó º µ ¹�¿���¿"ÀT¶n¿���·X¶VÛ?º µ KÆ�hº�OnU�ß ÀXN�ÀÌNVÄ#ÀXÂʬNPÛ0¿�ÂÊ¿$On· µ Ë�·X¶OVUL¿¹�ÀTOn¿$KM·X¶VÎ ·MËzÀX»Â:ä µ ºÊOn¿ µ · µ Çq¿�Ä"ÃLO¡Î�·X¶n¸Lº µ ÀXÂÊN~} � ! � � " ºÊNOnUL¿ µ ¹�À µ · µ ºÊ¹�ÀX»Â�Î º»¸L¿ µ OnºÊä8¿$¸���ºÊOVU� ! � ÀXK0ÀXº µ }®Á8IÕO)¿�ÀX¹vU Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ B T � � � ¹ � ! � ºÊNRÄ#ÀTÃLî¿�¸�On·#OnUL¿�Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ B � " KMºÊÖ0¿ µÁ Î B�� " S + V � ! ¸ B S � ¸ + V Ë�·X¶ + ¯ � � �q½¾ ·#¿�ÀX¹�U NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ�NV¿$O � }®¹�· µ NPº»¸L¿$¶n¿$¸ ÀXN)À�¹�· µ OV¶�À�ÖXÀT¶Vº�À µ O)Ë�I µ ¹$On·X¶�Ë�¶n·MÄ ß OV·#NV¿$OnN~}

OnUL¿ � ¼¿¼ � � Á2À�� NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ�NP¿$O � � " º»N�OVUL¿�¹$·MÄ"ÃC·MNVº�On¿#Ë�I µ ¹$On·X¶ � � S ¸ V �" ½ ¾ UL¿ÏNV¿$O�·MË

!®ÇÜNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�N�·MË ��� " ¿�å?I8ÀXÂÊNOnU8ÀTO·MË � }�Á8IÕO�OnUL¿�·X¶V¸L¿$¶nº µ KÌ·MËzOnUL¿"Ö0¿$¶VOVº»¹�¿�Nº»N¶n¿�Ö0¿$¶nNV¿�¸?}º µ OnUL¿�NV¿ µ NP¿ÌOnU8ÀTO�· µ !®ÇÜNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N=OVUL¿"+sÇlOnU Ë ÀX¹�¿�Ä#ÀTà ·MË ��� " ¿�å?I8ÀXÂÊN=OnUL¿ S ! ¸ + V ÇlOnUË ÀX¹�¿�Ä#ÀTÃB·MË � }�À µ ¸BNVº»Ä"º»Â�ÀT¶VÂÊÎ�Ë�·X¶#OnUL¿�·XOnUL¿$¶ÏNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�N{OV¶nIL¹$OnIÕ¶V¿ Ä�ÀTÃ8N ½ ¾ UL¿$¶n¿�º»NÀ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ�UL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ ·MË�KM¿$·MÄ�¿$OV¶nºÊ¹"¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOVº»· µ N & � & �� & ��� " & }¬º µ ¸LIL¹�¿�¸�ÁÈÎ OVUL¿UL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ & ß � & �� & ß � & OnU8ÀTOO�ÀTÛ0¿�N S� �>¥ �,�,� ¥ � V On· S� ��¥ �,�,� ¥ � V º µ Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ OV¶nºÊ¹¹�·È·X¶n¸Lº µ ÀTOn¿$N ½� ��� �¿Á2À�Á%���4E�"FE�":$ ��" ¾ UL¿�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂz·XÃLÃC·MNPºÊOn¿#On·�OnUL¿ µ ·X¶nÄ#ÀXÂ�NVIÕÁ®¸LºÊÖÕºÊNVº»· µ ( � S���V º»NOnUL¿ � ¼K! �����8� ¾ � � + ÿÁ�.�Á � ÁJ��� ( � � " S���V � ( � S���V�� " ½ ´ Oz¹�À µ ÁC¿R¸L¿�ä µ ¿�¸�ÀXN�OnUL¿R¹$·M»º»Ä"ºÊO·MË2OnUL¿)Ë�I µ ¹$On·X¶ S � ! � ¥ � V º¹ Å � " S ß � V � Å S ß � V�� " }��hUL¿$¶V¿ µ ·�� Å � " S ß � V Ä#À�Î=Á®¿)¸L¿$ä µ ¿�¸ÀXN�OnUL¿ µ ¿$¶VÖ0¿�·MË�OnUL¿ÏÃ�ÀT¶VOnº»ÀX»Â�Î ·X¶n¸L¿$¶V¿�¸ NV¿�O"·MË µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿$N�º µ ß � ��ºÊOVUOnUL¿=·XÃLÃC·MNVº�On¿"·X¶n¸L¿�¶nº µ K�Ë�¶n·MÄ OVU8ÀTO�·MËr¦)¿$ä µ º�Onº»· µ W ½ W ½ Q }�·X¶�º µ ¸LIL¹$Onº�Ö0¿�ÂÊÎ�ÀXN�OnUL¿"¹�· µ ¿=· µ( � � " S � ß � V }��hº�OnU�OnUL¿�¶nIL»¿�OnU8ÀTOJOnUL¿�¹�· µ ¿�î·Mº µ O)º»NJOnUL¿ Á ��ÁJÀ�Á ¾ �¬Ö0¿�¶VOn¿�Ý ·MËeÀ µ Î�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�ݹ�· µ O�ÀXº µ º µ K"º�O ½è ¿$O � � "� T S ß � V � ¹ � ! � ÁC¿�OnUL¿�Ë�I µ ¹$OVº»· µ OVU8ÀTO#O�ÀTÛ0¿�N#¿�ÀX¹�U Ë ÀX¹$¿ � T ��� � ¹ � ! � OV·

ºÊOVN � äL¶nNPO<� Ö0¿$¶VOn¿vÝ � S S V ½ ´ O"º µ ¸LIL¹�¿$NÏÀ Ä#ÀTÃ-·MË µ ¿$¶PÖ0¿�N � � "� T Å � " S ß � V ¹ ß � OVU8ÀTO�º»Nµ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ:º µ²� ! �l½=â ·X¶�¿�ÀX¹�U NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ<NV¿�O � OVUL¿=¶nILÂÊ¿ S � ! � ¥ � V º¹ � � "� ¸L¿$ä µ ¿�N�À µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂOV¶�À µ NPË�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ ·MË�Ë�I µ ¹$On·X¶nN�Ë�¶n·MÄ NVº»Ä=à S���V On·�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ<NV¿$OVN~}#��ºÊOVU�¹�·MÂʺ»Ä�º�OROnUL¿ ��� � À.��;��À�� ²� ¾¼

� � "� T ( � � " S���V ¹ � �

¾ UL¿ µ ·X¶VÄ#ÀXÂGNVIÕÁ®¸LºÊÖ?º»NVºÊ· µ N ( � S���V À µ ¸ ( � S���� " V ÀT¶n¿�º µ Ë ÀX¹$O)¿�åÈI8ÀXÂ�}%ÀXN)å?IL·XOnºÊ¿ µ OnNJ·MË� ����� � � ¤ Å S ß � V � � ����� ��� "� ¤ Å S ß � V ½�Ó ·�OVUL¿häL¶nNPOzÖ0¿�¶VOn¿�Ý�Ä#ÀTÃ#Ë�·X¶ � ¿�åÈI8ÀX»N�OVUL¿

Page 35: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

·XÃLÃC·MNPºÊOn¿�·MË:OnUL¿�Â�ÀXNPO)Ö0¿$¶VOV¿�Ý�Ä#ÀTà Ë�·X¶ ��� " ½ ´^µ Ã�ÀT¶POnº»¹�IL»ÀT¶�} æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ W ½Ê¼jÞ º»Ä"Ã8Âʺ»¿�NOnU8ÀTOhÀX»NV·�OnUL¿)äL¶nNPOhÖ0¿�¶VOn¿�Ý�Ä#ÀTà � � "� º»N�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿>}LË�·X¶�¿�ÀX¹�U�ä µ ºÊOn¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ2NV¿$O � ½

�®(��2(��=58E �R5L³2@?�2� @25L,+.����X,Õ³���EG7A,�7%/ 463 ®/#������4���E+7¾ UL¿�Ë�·M»ÂÊ·���º µ K ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä W ½ Q ½»¼ }+OVU8ÀTOOnUL¿�KM¿$·MÄ�¿$OV¶nºÊ¹�¶V¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ N�·MË � À µ ¸ ( � S���V

ÀT¶n¿�UL·MÄ"¿�·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊ¹>}r��ÀXN�N{O�ÀTOn¿�¸-Á Î-ç�ÀT¶V¶nÀTOVO�º µ � ç�À Ø Y } ¾ ULÄ ½ Q � }zÁ8IÕO�äL¶nN{O�ÃL¶n·XÃC¿�¶nÂÊÎÃL¶n·6Ö0¿�¸�º µ�� â¬æ Y Þ } Ó ÀTOnÅ � Á Î â ¶nº�OnNV¹�U�À µ ¸ æ IÕÃLÃC¿>}8NVº µ ¹�¿ � ç�À Ø Y } è ¿�Ä ½ Q ½»¼~� º»N½��¶n· µ K ½zÓ ¿$¿ÀX»NP· � â¬æT� S } ¾ ULÄ ½<ÐL½ Y ½�Ð>�q½ � ¿ÏNVU8ÀX»Â�ÀXÂÊNV·�·XÁLO�ÀXº µ ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä W ½ Q ½ W;}¬ÀXNVNP¿$¶VOnº µ K OnU8ÀTO�OVUL¿UL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ"N & ( � S���V$& �� & � & À µ ¸ & ( � S � V/& �� & � & ¹�À µ ÁC¿�¹vUL·MNP¿ µ On·)ÁC¿�¹�·MÄ"Ã�ÀTOnº�Á8»¿��ºÊOnU�¶n¿�NPî¿�¹$OhOV·�À�ÃL¶V¿$ÖպʷMILNVÂÊÎ�KMºÊÖ0¿ µ Ä#ÀTà � T � ¹ � }+��UL¿ µ � º»N µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶ ½¾ ULº»N�Û?º µ ¸ ·MË�å?I8ÀXNVº Ç µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂʺÊO¡Î NPO�ÀTOn¿$Ä�¿ µ OÂÊ¿$OnNILN�ÃL¶n·jÖ0¿=º µ æ ¶n·XÃC·MNPºÊOnºÊ· µ W ½ Q ½ Q�OnU8ÀTO

( � ÃL¶V¿�NV¿$¶VÖ0¿$N�NVº»Ä=Ã8»¿ÌÄ�ÀTÃ8N=·MËRä µ º�On¿ÌNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NP¿$OnN ½B¾ ULº»N"¶V¿�NVILÂÊO"º»N µ ¿�¿�¸L¿�¸BË�·X¶"OVUL¿ÃL¶n·È·MËC·MË è ¿�Ä�Ä#À�Q ½»¼M½xÐ À µ ¸ ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä Q ½»¼M½ÙÞ ·MË ��� À�� ØB� }��hULºÊ¹vU"º µ OnIÕ¶ µ º»N µ ¿�¿�¸L¿�¸#Ë�·X¶�·MIÕ¶UL·MÄ�·XOn·Xà ÎäLÁ®¿$¶eNV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿ S ¼M½ Q ½ W V } ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä�N:S ½ WJÀ µ ¸"S ½ Q }MÀ µ ¸�OVUL¿ ¦ ´ â¬â ¹�ÀXNV¿�·MË ¾ UL¿�·TǶn¿�Ä S ½Ê¼M½:¾ UL¿�å?I8ÀXNVº Ç µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂʺÊO¡Î�ÀX»NP·�ºÊÄ"Ã8»ºÊ¿�N¬OnU8ÀTO ( � ÃL¶n¿�NP¿$¶VÖ0¿�N Ó ¿�¶V¶n¿�äLÁL¶nÀTOnº»· µ N~}���ULº»¹�U��¿#Ä#ÀTÛ0¿=ILNV¿#·MË�º µ OnUL¿"ÃL¶V·?·MË�·MË æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ W ½ Þ?½ Y ½ HJN�¸LºÊNV¹�ILNVNP¿�¸Aº µ Ñ ¿�Ä#ÀT¶PÛ W ½ W ½ Ø }OnUL¿$¶V¿¸L·?¿$N µ ·XO�¿�ÝLºÊNPO�À µ Î µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%UL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ & ( � S���V$& �� & � & ½´^µ OnUL¿=NPÃC¿�¹$º�ÀXÂe¹�ÀXNV¿���UL¿ µ ��¿"· µ ÂÊÎ ¹�· µ NVºÊ¸L¿$¶�ä µ ºÊOV¿ µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX¬NV¿$OnN �

À µ ¸ � }0OnUL¿�ÃL¶V·?·MË�NzÀT¶V¿hÄ�IL¹�U�¿�ÀXNVºÊ¿$¶�}ÕÀ µ ¸���¿hNVU8ÀXÂÊÂ8KMºÊÖ0¿�OVUL¿�NV¿�äL¶VNPO ½e¾ ULºÊNu��º»ÂÊÂLNVI @�¹�¿hË�·X¶OnUL¿"ÀTÃLÃ8»º»¹�ÀTOnº»· µ ·MË�OnUL¿�NP¿=¶n¿�NPILÂÊOnN�On· ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä ¼M½ W ½ Y ½ ´ Oe�hºÊ»Â:ÀXÂÊNV·ÌNVI @"¹�¿"Ë�·X¶�OnUL¿ µ · µ ÇË�I µ ¹$On·X¶Vº�ÀXÂ:äL¶nNPOÃL¶V·?·MËz·MË ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä ¼M½ W ½ Ø }�KMºÊÖ0¿ µ º µ Ó ¿�¹�Onº»· µ Q ½Ê¼M½�¾ UL¿$¶n¿�ÀXË�On¿�¶�}���¿=NVU8ÀXȦn¿$ä µ ¿#OnUL¿�ÃL¶V·?·MË�·MË â ¶VºÊOnNV¹�U�À µ ¸ æ IÕÃLî¿�On·�ÀX»NV·�¹$·jÖ0¿$¶�OVUL¿#¹�ÀXNV¿#·MË�KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂ�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂNV¿$OVN ½ ¾ ULº»N���º»ÂÊÂ�Á®¿ µ ¿�¿�¸L¿�¸ Ë�·X¶�OnUL¿�¹$· µ NPOV¶nIL¹$OVº»· µ ·MËJOnUL¿�ºÊÄ"ÃL¶n·6Ö0¿�Ä�¿ µ O�Ë�I µ ¹$OV·X¶ � º µÓ ¿�¹$OVº»· µ W ½ÙØ }�À µ ¸�OnU ILNË�·X¶�OnUL¿�Ë�I µ ¹$On·X¶nº»ÀXÂeNP¿�¹�· µ ¸ ÃL¶n·È·MË�·MË ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä ¼M½ W ½ Ø }%ÀXN ��¿�ÂÊÂ:ÀXNË�·X¶�OnUL¿¹�º�On¿�¸Ì¶V¿�NVILÂÊOVN�Ë�¶n·MÄ ��� À�� Ø }�°�Q ½»¼~�l½����������� � E�"���"%$�" t�*-7 � I_*�361_/JAaD�= / L-/�38=�1�*H7 { &)(+*-,.* *���/21_7:1436(+@BA6*M@8A6@B,¬D�(^/21_A

Æ � T & ( � S���V$& ¶ ·¸K¹ & � & ¥

k�(^/ L_(Æ/21 (@BA6@B7»@.D�/¬L07C@67%(+* �^*M@BA6*H7:,-/¬L ,.*M38= /���387�/¬@B5 & ��� &)@ \ 7%(+*4=h3B1_7TI>*-,-7C* � A�3MD�{����������� � E�"��?"�E�" t)*-7 � T � ¹ � I-*43�A�3MD�@ \ 1_/%AaD�= /¬L-/¬38=�1�*-7:1.i�k�/J7:( � 5?@B5�� 1_/%5��89;=h38,~{&#(+*H,.*]*���/21_7:143�(+@8A6*M@BA6@8,¬D�(^/J1_A Æ - T & ( � S���V$& �� & � &�1_9L-( 7:( 387T7%(*e1~GH938,.*

& ( � S���V$& ���//

� V � � - � ���

& � &

�-�

��& ( � S � V$& ���//& � &

LM@BA A]9�7»*_1.iTk�/J7:( Æ - (+@BA @B7C@MD�/¬L 7»@�& � � &)385�g Æ � T & ( � S � V$& �� & � &�3B143 I_@8I>*�{� ¿)äL¶nNPOhÄ#ÀTÛ0¿JOnUL¿�Ë�·MÂÊ»·��hº µ K"¸L¿�¸LIL¹�Onº»· µ ½

� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� E�"��?"��?"Ft)*H7 � T � ¹ � I_*a3eA�3MD`@ \ Gu5/J7»*r1_/%AaD�= /¬L-/¬38=^1�*-7%1�{rx \ � /J1r1-/JAaD�=K*7:(+*-5`1�@�/21e/J7:1e5�@8,_A�38=�1_9)I_g8/JI�/21-/¬@B5 ( � S � V T ( � S���V ¹ ( � S � V_i|3>5�g LM@85I>*-,_1�*-= E�{s½,.@�@ \ { Ó IÕÃLî·MNV¿�äL¶VNPO�OnU8ÀTO � T � ¹ � ºÊN�À)NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ=·MË µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ?NV¿$OnN ½� NVº µ K-· µ ÂÊÎBOnUL¿ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�¹�ÀXNV¿ ·MË ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä W ½ Q ½ W;}hOnUL¿$¶V¿ ÀT¶n¿ UL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�NÆ - T & ( � S �mV/& �� & � & À µ ¸�Æ � T & ( � S � V$& �� & � & NVIL¹�U OnU8ÀTO & � & � Æ - � Æ � � & ( � S � V$& ½

Page 36: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

¾ UÈILN�¿�ÀX¹�U�ÃL¶n¿�ºÊÄ#ÀXKM¿ & ( � S � V$& # ¨ S �  V Ë�·X¶ �  ¯L& ( � S � V/& º»N�UL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶PÃ8ULº»¹ROn·=À�ÃL¶V¿�º»Ä#ÀXKM¿& � & # ¨ S V Ë�·X¶ � Æ �cS   V }�À µ ¸ÌOnUL¿$¶V¿�Ë�·X¶n¿¹$· µ OV¶nÀX¹$OnºÊÁ8ÂÊ¿ ½�Ó · ( � S � V ºÊNRÀ=NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä�ÀTà ½Ó IÕÃLÃC·MNP¿ µ ¿�Ý?O�OnU8ÀTO � T � ¹ � ºÊN�À NVºÊÄ"Ã8»¿ÏÄ#ÀTÃ�}���ºÊOnU � µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶ ½ çzÎ OVUL¿

KM¿ µ ¿$¶nÀX®NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂL¹�ÀXNP¿J·MË ¾ UL¿$·X¶n¿�ÄÉW ½ Q ½ W;}MOnUL¿JÀT¶nKMILÄ"¿ µ O #{ILNPO�KMºÊÖ0¿ µ NVUL·��hNzOnU8ÀTO ( � S � Vº»N�À=NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTà ½Ô ·��-NVIÕÃLî·MNV¿�OnU8ÀTO�� T � ¹ � º»NeÀ µ Î�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTÃ�}0À µ ¸ ��¶nº�On¿ � � ß � � ��� �   ½¬è ¿�O�£¤ � ß � Á®¿�OnUL¿�Ã8IL»Â�Á�ÀX¹nÛ=·MËCß �

¹ � ÀX»· µ K � T � ¹ � } À µ ¸�NPº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶nÂ�Î�Ë�·X¶ �j¤ � � ß �À µ ¸ � ¤ � �   ½ ´^µ OnUL¿�¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿J¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ

� ¤ � ß �

��

� ¤ � � ß �oo //

��

� ¤ � �  

��ß � � ß �oo // �  

OnUL¿zÖ0¿$¶POnº»¹�ÀXÂ?Ä#ÀTÃ8N¬ÀT¶n¿�NVºÊÄ"Ã8»¿�ÁÈÎ�OnUL¿zÃ8ILÂÊÂÊÁ�ÀX¹nÛ�ÃL¶n·Xî¿$¶VO¡Î�}0À µ ¸�OnUL¿zÃ8ILNVUL·MIÕOeº µ OnUL¿�IÕÃLî¿$¶¶n·��&ºÊNRº»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»¹�On· � ¤ � � � � ½ HRÃLÃ8ÂÊÎ ( � On·�OnULºÊNh¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ ½�¾ UL¿Ö0¿�¶VOnº»¹�ÀXÂ+Ä#ÀTÃ8N( � S��[¤ � ß � V ¹ ( � S ß � V À µ ¸( � S��W¤ � � ß � V ¹ ( � S � ß � V ÀT¶n¿�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿>}XÁ Î�OnUL¿�¹�ÀXNV¿�·MËÀRNVºÊÄ"Ã8»¿zÄ�ÀTÃ�On·)À µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶:NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX NV¿$O S µ ÀXÄ"¿�ÂÊÎ�ß � À µ ¸ � ß � V #{ILNPO:¹�· µ NPº»¸L¿$¶n¿$¸ ½¾ UL¿RÖ0¿$¶VOnºÊ¹�ÀX®Ä#ÀTà ( � S�� ¤ � �   V ¹ ( � S �   V º»N�NVºÊÄ"Ã8»¿�ÁÈÎ#À µ º µ ¸LIL¹$OnºÊ· µ · µ OVUL¿ µ ILÄ�ÁC¿�¶·MË µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿)NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�Nzº µ � ½:ã ¿ µ ¹�¿ROnUL¿RÃ8ILNVUL·MIÕO�Ä�ÀTÃ�( � S � V T ( � S �mV ¹ ( � S � Vº»N�NVºÊÄ"Ã8»¿>}ÕÁ Î�OnUL¿�KMÂÊILº µ K=»¿�Ä�Ä�À�Ë�·X¶hNVº»Ä=Ã8»¿)Ä#ÀTÃ8N ½¾ UL¿�ÃL¶n·È·MËR·MËhOnUL¿�¹$· µ Ö0¿$¶VNV¿�º»N=¿�ÀXNVºÊ¿$¶�}�À µ ¸ ¸L·È¿�N µ ·XO=¶n¿�å?ILº�¶n¿ ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä W ½ Q ½ W ½ çzÎ

µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂʺÊO¡Î�·MË:OVUL¿�Â�ÀXNPORÖ0¿�¶VOn¿�Ý�Ä#ÀTà ��¿�U8À�Ö0¿ � � ��� � � � � ( � S � V }��hUL¿$¶V¿ ��� À µ ¸ � �ÀT¶n¿)NVºÊÄ"Ã8»¿JÁ Î æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ W ½ W ½»¼jÞ?½¬ã ¿ µ ¹$¿�ºÊË ( � S � V ºÊN�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿>}?OnUL¿ µ ��º»N�NVº»Ä=Ã8»¿JÁÈÎ#OVUL¿¹�·MÄ"î·MNVºÊOVº»· µ À µ ¸Ì¶nº»KMU0O�¹�À µ ¹�¿�ÂÊÂ�ÀTOnºÊ· µ ÃL¶n·Xî¿$¶VOnºÊ¿�N�·MËGNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿)Ä#ÀTÃ8N ½ �

� ¿)¹�· µ Onº µ IL¿�Á Î#¶n¿$Ö?º»¿H��º µ K�OnUL¿JÃL¶n·È·MËG·MË ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä W ½ Q ½»¼ Á Î â ¶VºÊOnNV¹�UÌÀ µ ¸ æ IÕÃLÃC¿>}8º µ ÇOV¶n·È¸LIL¹�º µ K�NV·MÄ�¿ µ ·XO�ÀTOVº»· µ ÀX»· µ KJOnUL¿½��À�Î ½<â ·X¶:OnUL¿�NVIÕÁ8NP¿�å?IL¿ µ O�ÃL¶V·?·MË�·MË ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä W ½ Q ½ W;}OnUL¿RÄ�ÀXº µ ¹�U8À µ KM¿a��º»ÂÊÂLÁC¿hOnU8ÀTO�Á�ÀT¶VÎÕ¹$¿ µ OV¿$¶nN�·MËCNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�º µ � ÀT¶n¿�¶n¿$Ã8»ÀX¹�¿�¸#ÁÈÎ=NVILº�O�ÀTÁ8ÂÊθL¿$ä µ ¿�¸�Ã8NV¿�IL¸L·TÇqÁ�ÀT¶PÎÕ¹�¿ µ On¿$¶VN·MËeNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿$NJº µ � }���ºÊOVU�¶V¿�NPÃC¿$¹$O�OV· � ½ ´^µ ¿�ÀX¹vU ¹�ÀXNV¿8}��z¿äL¶nNPOhKMºÊÖ0¿JOnUL¿�¿�ÀXNVº»¿�¶hÃL¶n·È·MËGº µ OnUL¿¹�ÀXNV¿·MË�ä µ ºÊOn¿ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶ � S À µ ¸ � V ½s½,.@�@ \ @ \ &)(+*M@B,M*-A � {���{� �i]7:(+*F5?@B5�� 1_/%5��89;=h38,�L.3B1�*�{ Ó IÕÃLÃC·MNV¿�OnU8ÀTO � ºÊN#À ä µ ºÊOn¿ µ · µ ÇNVº µ KMILÂ�ÀT¶�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX NV¿$O ½e¾ UL¿ µ OnUL¿�¶n¿)º»N�À�UL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄÉÆ � T & ( � S���V$& ¹ & � & }ÕÀ @ µ ¿Â»º µ ¿�ÀT¶�· µ ¿�ÀX¹�U�NVºÊÄ"Ã8»¿vÝ�·MË ( � S���V }0NVIL¹�U"OVU8ÀTO�Ë�·X¶�¿�ÀX¹�U µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿hNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�Ï·MË � }��ºÊOnU�¶n¿$ÃL¶n¿�NP¿ µ OVº µ K#Ä#ÀTà �� T ß �

¹ � }LOnUL¿�NVåÈI8ÀT¶n¿

& ( � S ß � V$& � �//

� V � � �� � ���

& ß � &

� �� ���& ( � S �mV/& � �

//& � &

¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿$N~}���UL¿$¶n¿�Æ���º»N)ÀXNJº µ � Ý8ÀXÄ"Ã8ÂÊ¿�W ½ W ½xÐL½J¾ ULº»NRÃL¶n·Xî¿$¶VO¡Î�¹�U8ÀT¶�ÀX¹$On¿�¶nº»Å�¿$N�Æ � S º»Ë:ºÊO¿�ÝÕº»NPOnN V }LNVº µ ¹$¿OnUL¿�º»Ä#ÀXKM¿�N�·MËGOVUL¿�Ä#ÀTÃ8N & ( � S �� V$& ¹�·jÖ0¿�¶ & ( � S���V$& ½çzÎ�º µ ¸LIL¹$Onº»· µ } �z¿�¹�À µ ��¶nº�On¿ � � ß � � ��� �   };��UL¿$¶n¿ � ß �

¹ �   ºÊN�À�¹�·XäLÁL¶nÀTOnº»· µ }À µ ¸�ÀXNVNVILÄ�¿JOnU8ÀTORÆ ��� � Æ��?}®Æ ���#À µ ¸�Æ ��� ¿�ÝÕº»NPO ½�¾ ·�¸L¿�ä µ ¿�Æ � ÀXNzOnUL¿)º µ ¸LIL¹�¿�¸ÌÄ�ÀT÷MË+Ã8ILNPUL·MIÕOnNRº µ OnUL¿¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ ÁC¿�ÂÊ·�� }

& ( � S ß � V$&

� ���

& ( � S � ß � V$&oo

����� ���

//& ( � S��   V$&

� � ���& ß � & & � ß � &

oo //& �   &

Page 37: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

��¿ #{ILNPO µ ¿$¿�¸ On·�Û µ ·�� OnU8ÀTO�OnUL¿�»¿�Ë�O=U8À µ ¸-NVåÈI8ÀT¶n¿�¹$·MÄ�Ä�IÕOn¿�N~}:NVº µ ¹�¿�OnUL¿Ï¶nºÊKMU O=U8À µ ¸NVåÈI8ÀT¶n¿�¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿�N�ÁÈÎOnUL¿�¹�U8ÀT¶�ÀX¹$On¿$¶Vº»Å�º µ K)ÃL¶V·XÃC¿$¶VO¡Î ½ ç�IÕO<OVULº»N<Ë�·MÂÊ»·��hN¬Ë�¶n·MÄ OnUL¿�Ë ÀX¹$O¬OnU8ÀTOOnUL¿)UL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ"N�Æ ��ÀT¶n¿ µ ÀTOVIÕ¶�ÀXÂ2Ë�·X¶�Ë ÀX¹�¿�·XÃC¿$¶�ÀTOV·X¶nN~}LÀ µ ¸�ÀX»®OVUL¿ µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�·MË � ß � ÀT¶n¿�Ë ÀX¹�¿�Nh·MË¬ß � ½ �

s½,.@�@ \ @ \ &)(+*M@B,M*-A �;{���{ �i 7:(+*��^*-5�*H,<38=aL.381�*�{ Ô ·��É»¿$O � Á®¿ÌÀ µ Î�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ�NP¿$O ½�â ·X¶¿�ÀX¹�U�NVºÊÄ"Ã8»¿vÝ � ¯ � ��} â ¶nºÊOVNV¹�U�À µ ¸ æ IÕÃLÃC¿ � â¬æ Y ÞB� ¹�· µ N{OV¶nIL¹$ORÀ=Ä#ÀTÃ

S W ½ Q ½�Ð V Æ � T & Å S ß � V/& ¹ & ß � &

OnU8ÀTO�¸L¿$ÃC¿ µ ¸LNR· µ S � ! � ¥ � V º µ NPº»Ä"à S �mV } �hº�OnU�OnUL¿�Ë�·M»ÂÊ·���º µ K µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂʺÊO¡Î#ÃL¶n·XÃC¿�¶VO¡Î ½� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ���PE�"��?" ��"Fy)@8,]*-I�*-,_E6A6@B, D�(^/21-A B T � ! � ¹ � � /J5 ß i 385�geD�38/J,�@ \ 1_/JAwD�= /¬LM*_1� ¯ � � i � ¯ � " k�/J7:( B � S � V � � iu7:(+*01~GH938,.*

& Å S ß � V$& ���//

� � � 7 � ���

& ß � &

� 7 ���& Å S ß " V$& ���

//& ß " &

LM@BA A]9�7»*_1~{¾ UL¿=ÀXNPNV·?¹�º»ÀTOnº»· µ S � ! � ¥ � V º¹ Æ � OVUÈILN�¸L¿$ä µ ¿�N�À µ ÀTOVIÕ¶�ÀXÂGOV¶�À µ NPË�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ ·MË�Ë�I µ ¹$OV·X¶nNË�¶n·MÄ NVº»Ä"à S���V On·OVUL¿R¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ"·MËCOn·Xî·M»·MKMºÊ¹�ÀXÂ8NPÃ�ÀX¹�¿�N~} ��UL·MNV¿Rº µ ¸LIL¹�¿�¸ÏÄ#ÀTÃ#·MË2¹$·M»º»Ä"ºÊOnN

Æ � � ¹�·MÂʺ»Ä������� � � �

� S � ! � ¥ � V º¹ Æ � T & ( � S���V$& ¹ & � &

º»N<OVUL¿�¸L¿�NVºÊ¶V¿�¸"Ä#ÀTÃ�Æ � Ë�·X¶eOVUL¿zOnUL¿�·X¶n¿�Ä ½<ã ¿$¶n¿T��¿�ÀT¶n¿�ILNPº µ K)OnU8ÀTO¬KM¿�·MÄ�¿�OV¶nº»¹�¶n¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿$N��hº�OnU�OnUL¿�¹�·M»ºÊÄ�ºÊOVN<¿�ÝÕÃL¶V¿�NVNVº µ K � À µ ¸M( � S���V }Xº µ ¦)¿$ä µ ºÊOVº»· µ N�W ½ W ½ YJÀ µ ¸�W ½ W ½ Þ }¶n¿�N{ÃC¿�¹$OVºÊÖ0¿�Â�Î ½�¾ UL¿=Ä#ÀTÃ�Æ � ¹�À µ ÀX»NV·ÏÁC¿=¹�U8ÀT¶�ÀX¹$On¿$¶Vº»Å�¿�¸�ÁÈÎ�OnUL¿�¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�ÖÕº�O^Î�·MË�OVUL¿NVåÈI8ÀT¶n¿

S W ½ Q ½ Y V & Å S ß � V$& ���//

� V � � �� � ���

& ß � &

� �� ���& ( � S���V$& � �

//& � &

Ë�·X¶¬¿�ÀX¹�U�NVºÊÄ"Ã8»¿vÝ � ¯ � ��}8��ºÊOVU�¶n¿$ÃL¶n¿�NP¿ µ OVº µ K)Ä#ÀTà �� T ß �¹ � ½ ´^µ OnUL¿zIÕÃLî¿$¶:»¿$Ë�O¬U8À µ ¸

¹�·X¶ µ ¿�¶u��¿�U8À�Ö0¿�ºÊ¸L¿ µ OnºÊä8¿�¸M( � S ß � V � Å S ß � V ½<¾ ·�NPUL·�� OnU8ÀTOzÆ � ºÊNeÀ�UL·MÄ�¿$·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ }â ¶nºÊOnNP¹vU�À µ ¸ æ IÕÃLî¿�ÃL¶n·6Ö0¿�OVUL¿Ë�·M»ÂÊ·���º µ K�¹�»ÀXº»Ä ½� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� E�"��?" ��" y)@8,�*.3�L_(�5�@B5 �zg^* �^*H5�*-,<3>7C*]1_/%AaD�=K*�� � ¯ � � iw7%(+*�A�3MD Æ � 7C3 ��*_17:(+* /J57»*-,-/¬@B,�@ \ & Å S ß � V/& IH/ ��*ML-7�/JI>*-= E�@B57»@�7:(+*0/J5�7C*-,-/¬@B,]@ \ & ß � &h{´ O�Ë�·MÂÊ»·��hN�OnU8ÀTO"Æ � ºÊN�À�¹�· µ Onº µ IL·MILN�Á8º #{¿�¹$OnºÊ· µ ½ ´ O�ºÊN�ÀX»NP·�¹�»·MNP¿�¸?}¬Ë�·X¶ & ( � S���V$& À µ ¸

& � & U8À�Ö0¿=OnUL¿�On·XÃC·MÂÊ·MKMº»¿�N�¸L¿$On¿$¶VÄ�º µ ¿�¸ Á Î ÀX»¬OnUL¿"Ä�ÀTÃ8N & ( � S �� V$& À µ ¸ & �� & }�¶n¿�NPî¿�¹$Onº�Ö0¿�ÂÊÎ�}À µ ¸ æ ¶n·Xî·MNVºÊOVº»· µ W ½ Q ½ Þ ºÊÄ"Ã8»ºÊ¿�N�OnU8ÀTO�Æ � º»NRÀϹ$»·MNV¿�¸�NVIÕ¶ #{¿�¹$OnºÊ· µ ½J¾ U ILNÆ � ºÊNJÀ�UL·MÄ�¿�·TÇÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ ½

Page 38: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� ���

� ¿ µ ·��&¶n¿�ÖÕº»¿-��OnUL¿�¸L¿�ä µ ºÊOnºÊ· µ ·MˬOnUL¿�Ä#ÀTÃ Æ � ½c� ÀX¹�U�ÃC·Mº µ O % ¯ & Å S ß � V$& º»NRº µ OVUL¿º»Ä�ÀXKM¿�·MËGOVUL¿�À @ µ ¿ �jÇÜNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý & ß à & ÀXNVNP·?¹�º»ÀTOn¿�¸ÌOn·"NV·MÄ�¿ �6ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ S � � � ����� � � à V ·MËÅ S ß � V }8À µ ¸�¹�À µ OVUL¿$¶n¿�Ë�·X¶n¿�ÁC¿e��¶nº�OVOn¿ µ ÀXNhÀ�¹�· µ Ö0¿�Ý�»º µ ¿�ÀT¶h¹�·MÄ�Á8º µ ÀTOnº»· µ

S W ½ Q ½ � V % �à�

� · � � S � � V

·MËROnUL¿�SbÇq¹�¿�ÂÊ»N S � � V º µ & Å S ß � V$& ½B¾ UL¿ µ ILÄ�ÁC¿$¶nN S �B¥ �,�,� ¥ à V �hº�OnU � à� · � � � ¼ À µ ¸ � ³ S=ÀT¶n¿)OnUL¿�Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ OV¶nºÊ¹¹�·È·X¶n¸Lº µ ÀTOn¿$N�·MË % º µ OnULºÊN �6ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ ½â ·X¶#¿�ÀX¹�U S � � � � � ��OnUL¿�¶n¿�»ÀTOnº»· µ �

�� � � ÀXNVNV¿�¶VOnN#OnU8ÀTO�OnUL¿�ºÊÄ#ÀXKM¿�·MË �

�º»N�¹�· µ O�ÀXº µ ¿�¸�º µ OnUL¿�ºÊÄ#ÀXKM¿=·MË � � }<NV·ÌOnUL¿�¶n¿�º»N�ÀÌI µ º»åÈIL¿�Ë ÀX¹�¿�·Xî¿$¶�ÀTOn·X¶ � � �NPIL¹vU OnU8ÀTO

��� � � � � �

½�Ó ¿�¿¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ S W ½ Q ½Ê¼ S V ÁC¿�ÂÊ·�� ½¾ UL¿�Ã8Â�ÀX¹�¿�Ä"¿ µ O�·MË�OVUL¿�NVº»Ä=Ã8»¿�Ý � º µ OVUL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂeNV¿$O � ¿ µ On¿$¶nN�ÀXN�Ë�·MÂÊ»·��hN ½�â ·X¶

¿�ÀX¹�U S � � � ��OnUL¿�Ë ÀX¹�¿ � �� S � V ¹�À µ I µ ºÊå?IL¿�Â�Î�ÁC¿���¶nºÊOVOV¿ µ ÀXN ��� S�� � V Ë�·X¶�NV·MÄ�¿�¸L¿�KM¿ µ Ç¿$¶�ÀX¹�Î�·XÃC¿$¶nÀTOn·X¶ � � À µ ¸ À µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿=NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý � � º µ � }®Á Î�OnUL¿ � º»ÂÊ¿ µ Á®¿$¶nK� � º»Â�ÁC¿$¶

è ¿�Ä�Ä#À=W ½ W ½ W ½â ·X¶J¿�ÀX¹�U S � � � � � ����¿�¹�À µ I µ º»åÈIL¿�ÂÊÎ�Ë ÀX¹$On·X¶JOnUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿�Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ � � � � �º µ ß ÀXNhÀ�¸L¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀX¹$Î�·XÃC¿$¶�ÀTOV·X¶ � � �

Ë�·MÂÊ»·���¿�¸�ÁÈÎ�À�Ë ÀX¹�¿·Xî¿$¶�ÀTOn·X¶ '� � �½ � ¿�NPU8ÀX»Â�ÀTÃLÃ8ÂÊÎ

OnUL¿�Ë�·M»»·���º µ K�¸L¿$ä µ ºÊOnºÊ· µ On·�OnUL¿�¸L¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹$ÎÌ·XÃC¿$¶nÀTOn·X¶ � � �½

� ��� �¿Á2À�Á%��� E�"���"���" â ·X¶�¿�ÀX¹�U�¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹�Î�·Xî¿$¶�ÀTOn·X¶ � T � ! � ¹ � � � ��¿)¸L¿$ä µ ¿º�OnN � ¾ #Á !� ¾ � � � �>À�ÁJ������ T ��� � ¹ � ! � On·�ÁC¿)OnUL¿Ë ÀX¹�¿�·XÃC¿$¶nÀTOn·X¶hKMº�Ö0¿ µ Á Î

�� S + V � Ä#ÀbÝ � # ¨ S + V � Ä#ÀbÝ ´ � ¯ � ! � & � S � V � + µ �

¾ UL¿ µ � ���� R�º»NhOnUL¿�ºÊ¸L¿ µ OnºÊO¡Î�· µ'��� �l½hâ ·X¶ROC��·#¹�·MÄ"î·MNnÀTÁ8»¿�¸L¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹$Î�·Xî¿$¶�ÀTOn·X¶VN �

À µ ¸ ­�OnUL¿�Ä�ÀbÝLº»Ä�ÀX®NV¿�¹�Onº»· µ N�NnÀTOnº»NPË�Î S � ­ V � � �­ �� ½¾ UL¿�NV¿J¸L¿$ä µ º�Onº»· µ N�ÂÊ¿�ÀX¸#On·�OnUL¿JË�·M»ÂÊ·���º µ K�¹$·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnºÊÖ0¿�¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ ½<â ·X¶zO¡Î?ÃC·MKX¶nÀTÃ8ULº»¹�ÀXÂ

¶n¿�ÀXNP· µ Nw��¿�º»¸L¿ µ OnºÊË�Î�¿�ÀX¹�U � ! � ��ºÊOVU�ºÊOnNJºÊÄ#ÀXKM¿�ß � I µ ¸L¿$¶JOnUL¿ ��· µ ¿�¸8À#¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K+}2À µ ¸��¶nºÊOn¿ � ¸ � Ë�·X¶RÀ�KM¿ µ ¿$¶nºÊ¹NVIL¹�U�·XÁ #{¿�¹$Oh·MË¬ß T

S W ½ Q ½»¼ S V � ¸ ��� ��� //

·

AAAA

AAAA

� ¸ �

� �##� ��� //

� �����

� ¸ � � � //

� ���

� ! ���

��??

????

??

� ¸ ��� ��� //

� ¸ � � � //�

â ·X¶R¿�ÀX¹�U�Ë ÀX¹�¿�·Xî¿$¶�ÀTOn·X¶ � T ��� � ¹ � ! � }+��¿Â»¿$O � ��� ¯ & ß � & Á®¿OnUL¿Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ On¿$¶J·MË<OVUL¿Ë ÀX¹�¿�·MË�ß � ¶n¿�ÃL¶n¿�NV¿ µ On¿�¸�ÁÈÎ � ½ HJN)¶n¿�¹�ÀXÂÊ»¿�¸�º µ � ÝLÀXÄ"Ã8»¿�W ½ W ½�Ð }COnULºÊN�ºÊN�OVUL¿�î·Mº µ Oe��ºÊOVUÁ�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ OV¶nº»¹�¹�·?·X¶V¸Lº µ ÀTOn¿�N S� �>¥ �,�,� ¥ � V }���UL¿$¶n¿ � � ¼ ª+S � � ¼ V º»Ë +�º»N�º µ OnUL¿�º»Ä#ÀXKM¿�·MË � }À µ ¸ � � SÏ·XOVUL¿$¶<��º»NV¿ ½ � ¿�NPU8ÀX»ÂGÄ�ÀTÛ0¿�ILNV¿�·MˬOnUL¿�Á�ÀT¶VÎÕ¹$¿ µ OV¿$¶nN)·MËeOVUL¿�¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿�Ë ÀX¹$¿·XÃC¿�¶�ÀTOn·X¶nN �

��� � �

Ë�·X¶hS � � � � � � ½¾ UL¿�Ä#ÀTÃ Æ � T & Å S ß � V$& ¹ & ß � & º»N�¸L¿$ä µ ¿�¸�º µ�� â¬æ Y Þ } S Ð V � Á Î�OnUL¿�¿�Ý?Ã8»º»¹$ºÊO�Ë�·X¶nÄ�ILÂ�À

Æ � S % V � ���� à�S ¼ ¸ � ¸ ����� ¸ �

> ¨ V � ����� ���� �

����� � à

� � � � �

�� � �� ¥

Page 39: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

¸LIL¿�On· æ IÕÃLÃC¿ ½�Ô ·XOn¿=OVU8ÀTO �� �

� ��½ HJN�À µ ·XO�ÀTOnºÊ· µ ÀXÂ�¹$· µ Ö0¿ µ OnºÊ· µ }¿��¿�»¿�O � � �

� ����UL¿ µ � � � ½�¾ UL¿ µ ��¿�¹�À µ ¶n¿H��¶nºÊOV¿�OnUL¿�Ë�·X¶nÄ�ILÂ�À�ÀTÁC·6Ö0¿�ÀXN

S W ½ Q ½»¼M¼ V Æ � S % V �à�

� � � ·�� � � � �

�� � �� �

¾ UL¿�NPILÄ ¿�ÝÕÃL¶n¿$NVNVº»· µ S W ½ Q ½ � V Ë�·X¶,% ºÊN µ ·XO�I µ ºÊå?IL¿>}%NVº µ ¹�¿�OnUL¿��jÇqNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�º µ åÈIL¿�NPOnºÊ· µÄ#À�Î�Á®¿�¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿�À µ ¸ S �>¥ �,�,� ¥ à Vw¯ & ß=à & Ä�º»KMU0O µ ·XOJÁ®¿�À µ º µ On¿$¶nºÊ·X¶RÃC·Mº µ O�} Á8IÕO)· µ ¿¹�À µ Ã�ÀXNVNË�¶n·MÄ�À µ Î · µ ¿=NVIL¹�U�NVILÄ ÃL¶n¿$NV¿ µ O�ÀTOnº»· µ ·MË % On·�À µ Î�·XOnUL¿$¶�Á Î À�ä µ ºÊOn¿"¹vU8ÀXº µ·MË�OnUL¿ÏË�·M»ÂÊ·���º µ K�OC��·�·XÃC¿�¶�ÀTOnº»· µ N T S À V ¸L¿$»¿$Onº µ K ÀÌOV¿$¶nÄ � S � � V ��UL¿ µ � � S }:À µ ¸ S Á V¹�·MÄ�Á8º µ º µ K=OC��·�On¿$¶nÄ�N � S � � V � � > ¨ S � � > ¨ V On· S � � � > ¨ V~S � � V ��UL¿ µ � � � � � > ¨ ½â ¶nºÊOnNP¹vU�À µ ¸ æ IÕÃLî¿)î·Mº µ O�·MIÕO�OnU8ÀTO�¿�ÀX¹�UÌ·MË2OnUL¿�NP¿�·Xî¿$¶�ÀTOnºÊ· µ N�»¿�À�Ö0¿ROnUL¿JÃC·Mº µ ORÆ � S % V¸L¿$ä µ ¿�¸ ÁÈÎ-OVUL¿ ¿vÝÕÃL¶n¿�NPNVº»· µ S W ½ Q ½Ê¼M¼ V I µ ¹�U8À µ KM¿�¸ ½�ã ¿ µ ¹�¿ Æ � T & Å S ß � V/& ¹ & ß � & ºÊN�À

��¿�ÂÊÂ�Çq¸L¿$ä µ ¿�¸?}h¹$· µ Onº µ IL·MILNÏÄ#ÀTà ½ â IÕ¶VOnUL¿$¶nÄ"·X¶n¿>}�OnUL¿$ÎAÖ0¿$¶nº»Ë�ÎAOnU8ÀTO�OnUL¿$NV¿�Ä#ÀTÃ8N�NnÀTOVº»NVË�Îæ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ NW ½ Q ½ÙØ À µ ¸�W ½ Q ½ Þ }%UL¿ µ ¹�¿�¸L¿�ä µ ¿ÏÀ�UL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ�Æ � T & ( � S���V$& �� & � & ½¾ U8ÀTO¬¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿$On¿�N�OnUL¿�ÃL¶n·È·MËL·MËÕOnUL¿�ºÊ¶GOnUL¿�·X¶n¿�Ä ½ � ¿z¸L· µ ·XOG¶n¿$ÃL¶n·È¸LIL¹�¿zOnUL¿�¶n¿$NPO¬·MËÕOnUL¿�º�¶:ÀT¶PÇKMILÄ�¿ µ OnN~} NVº µ ¹�¿a��¿�NVU8ÀX» µ ¿�¿�¸�OV·�KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂʺ»Å�¿�OnUL¿�Ä Ë�·X¶�OnUL¿�ÃL¶n·?·MË®·MË ¾ UL¿$·X¶n¿�Ä W ½ Q ½ W ½ �

*-A�38,�� �;{���{� �;{ Ô ·XOn¿�OnU8ÀTO�Æ � S % V º»N�º µ KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂeÀÏå?I8ÀX¸Õ¶�ÀTOVº»¹>}2¶�ÀTOnUL¿�¶�OnU8À µ »º µ ¿�ÀT¶�}%¿�Ý?ÇÃL¶n¿�NPNVº»· µ º µ OnUL¿�Á�ÀT¶VÎÕ¹�¿ µ OV¶Vº»¹Ì¹$·?·X¶n¸Lº µ ÀTOn¿�N"·MË % ½AÔ · Âʺ µ ¿�ÀT¶=¿�ÝÕÃL¶V¿�NVNVºÊ· µ ¹�À µ Á®¿ÌË�·MI µ ¸NVIL¹�UÏOnU8ÀTO æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ Q ½ Ø UL·M»¸LN~}LÀXN�¿�ÝÕÃ8»ÀXº µ ¿�¸#º µ�� â¬æ Y Þ } à ½LØ?¼ W �l½ ´{µ Ã�ÀT¶POnº»¹�IL»ÀT¶�}ÈOVUL¿¹�· µ NPOP¶nIL¹$OnºÊ· µ KMºÊÖ0¿ µ º µ�� ç�À Ø Y }�°�Q � ¸L·?¿�N µ ·XO®�z·X¶VÛ ½ *-A�38,�� � {���{� �;{ ´ Ë%¿�ÀX¹�UÌË ÀX¹�¿ � �� S � V ºÊN�ÀXÂʶn¿�ÀX¸ÕÎ µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿>}�ÀXN�º»NzOVUL¿�¹�ÀXNV¿w�hUL¿ µ �º»N µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOV¿"À µ ¸ � ºÊN µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�}2OnUL¿ µ ¿�ÀX¹�U � � º»NJOnUL¿�ºÊ¸L¿ µ OVºÊO¡Î�}2NV·Ï¿�ÀX¹�U � � �À µ ¸ �� � �

ºÊN�OnUL¿�º»¸L¿ µ Onº�O^Î�}�À µ ¸ � ���� � �� � � �

�� ½�ã ¿ µ ¹$¿º µ OnULº»N�¹�ÀXNV¿

Æ � S % V �à�

� ·��� ��� ¥

À µ ¸"Æ � T & Å S ß � V/& ¹ & ß � & ¿�å?I8ÀXÂÊN+OnUL¿�¹�À µ · µ º»¹�ÀX UL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ�Æ���·MË � Ý8ÀXÄ"Ã8ÂÊ¿zW ½ W ½�ÐL½¾ UÈILN~}+Ë�·X¶ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶ � OnUL¿ â ¶nºÊOVNV¹�U æ IÕÃLÃC¿=UL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ�Æ � T & ( � S���V$& �� & � &NPî¿�¹�º�ÀXÂʺ»Å�¿$N�On·ÏOnUL¿�UL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ ��¿�äL¶nNPO�¹�· µ NPOV¶VIL¹$On¿�¸ Ë�·X¶ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂNV¿$OVN ½

� ¿ µ ·�� OnIÕ¶ µ On·"OnUL¿�¹�ÀXNV¿�·MË<NPIÕÁC¸LºÊÖ?º»¸Lº µ K#À=Ä#ÀTà � T � ¹ � ·MˬNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ2NP¿$OnN ½�¾ ·NV¿�¿�UL·�� OVUL¿�UL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�N:Æ � À µ ¸�Æ � Ë�¶n·MÄ ¾ UL¿$·X¶n¿�Ä W ½ Q ½Ê¼ ¹�À µ Ë ÀXº»Â On·RÁC¿ µ ÀTOVIÕ¶�ÀXÂ�}NVIÕÃLî·MNV¿�OVU8ÀTO � À µ ¸ � ÀT¶n¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶�}0¹�· µ NVº»¸L¿�¶zÀ µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý � ¯"� ��}À µ ¸"Ë ÀX¹�On·X¶eºÊOnNeº»Ä#ÀXKM¿ � S � V ÀXN � � S � V Ë�·X¶�À�¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹$Î�·XÃC¿�¶�ÀTOn·X¶ � T � ! � ¹ � � À µ ¸"À µ · µ ǸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý � ¯ � " ½�¾ UL¿ µ º µ OVUL¿ S µ · µ Çq¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿ V NVå?I8ÀT¶V¿

& Å S ß � V$& ���//

� � � ��� ���

& ß � &

� � ���& Å S ß " V$& ���

//& ß " &

OnUL¿=Ä#ÀTÃAÆ � � Æ�� O�ÀTÛ0¿$N�OnUL¿"SbÇܹ�¿�ÂÊ S R � V ·MË & Å S ß � V$& On·ÌOnUL¿�Á�ÀT¶VÎÕ¹�¿ µ On¿�¶ � � � � R � � º µ& ß � & }>��ULº»ÂÊ¿ & Å S � V$& O�ÀTÛ0¿$N S R � V On·)OnUL¿�SbÇܹ�¿�ÂÊ S R " V º µ & Å S ß " V$& }���ULº»¹�U=Ä�ÀTÃ8N:Á Î�Æ � � Æ-"�OV·OnUL¿hÁ�ÀT¶PÎÕ¹�¿ µ On¿$¶ � " � � R " � º µ & ß " & ½:¾ UL¿hÃL¶V·XÁ8»¿�Ä º»N�OVU8ÀTO�OnUL¿RÀ @ µ ¿RÂʺ µ ¿�ÀT¶�Ä#ÀTà & � & ¸L·?¿$N

Page 40: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� ���

µ ·XOzº µ KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂ8O�ÀTÛ0¿ ���=On· � " ½:ã ¿ µ ¹$¿hOnUL¿RNVåÈI8ÀT¶n¿RÀTÁ®·jÖ0¿h¸L·?¿�N µ ·XO�º µ KM¿ µ ¿$¶�ÀX®¹$·MÄ�Ä�IÕOn¿ ½çzÎ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂʺÊO¡Î�}2ILNVº µ K�OnUL¿�NVåÈI8ÀT¶n¿ S W ½ Q ½ Y V Ë�·X¶�� ¯ � � À µ ¸ � ¯ � "+}%OVUL¿=NnÀXÄ"¿�ÃL¶n·XÁ8»¿�ÄÀTÃLÃ8»ºÊ¿�NhOn·�OVUL¿�NVå?I8ÀT¶V¿�º µ ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä W ½ Q ½ W;}�º»Ë¿��¿�OV¶VÎÌOV·�ILNV¿"Æ � º µ Ã8Â�ÀX¹�¿�·MË<OVUL¿ S Î0¿$OROV·ÁC¿�NPÃC¿$¹�ºÊä8¿�¸ V UL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ Æ - ½��¿�¿$Ã8º µ K#OnUL¿�ÀXNPNVILÄ"ÃLOnºÊ· µ OnU8ÀTO � º»N µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�}C·MIÕ¶)NP·M»IÕOnºÊ· µ º»NhOn·#ÂÊ¿�À�Ö0¿=Æ � I µ Ç

¹�U8À µ KM¿�¸?}<À µ ¸�On·Ï¶n¿$Ã8»ÀX¹�¿�OVUL¿=Ä#ÀTÃ8N�Æ � Á Î�Ä#ÀTÃ8N�Æ-� T & Å S ß � V/& ¹ & ß � & OVU8ÀTO�OnÀTÛ0¿�OVUL¿

SbÇܹ$¿�» S R � V On·�À µ º µ On¿�¶nº»·X¶�ÃC·Mº µ O�·MË & ß � & OnU8ÀTO�º»N)Ä#ÀTÃLî¿�¸�Á Î & � & On·ÏOnUL¿�Á�ÀT¶PÎÕ¹�¿ µ On¿$¶·MË& ß " & ½ H NVILºÊOnÀTÁ8»¿RÃC·Mº µ Ozº»NzOnUL¿RÃ8NV¿$IL¸L·TÇqÁ�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ On¿$¶ � �� ¯L& ß � & }^�hULºÊ¹�U�¸L¿$î¿ µ ¸LN µ ·XO�· µ ÂÊη µ OVUL¿NVºÊÄ"Ã8»¿�ÝÌß � }LÁ8IÕOJÀXÂÊNV·"· µ OnUL¿NVIÕ¶ #{¿�¹$Onº�Ö0¿Ä#ÀTà � T ß �

¹ ß " ½

� ��� �¿Á2À�Á%��� E�"���"%$ �#" è ¿$O � T � ! � ¹ � � Á®¿#À�¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀX¹$Î ·XÃC¿�¶�ÀTOn·X¶ ½�â ·X¶¿�ÀX¹�U + ¯ � �»¿�O �

� � � ¯ & ß � & ÁC¿�OVUL¿ÌÁ�ÀT¶VÎÕ¹$¿ µ OV¿$¶#·MËhOnUL¿�ÃL¶n¿�º»Ä�ÀXKM¿ & � & # ¨ S + VF� & ß � & ·MËhOnUL¿ÌÖ0¿�¶VOn¿�ÝS + VT¯?& ß " & ½<¾ ULºÊN:ÃL¶V¿�º»Ä#ÀXKM¿�º»NGOnUL¿�Ë ÀX¹�¿�·MË & ß � & N{Ã�À µLµ ¿�¸�Á Î�OnUL¿�Ö0¿$¶POnº»¹�¿$N¬º µ � # ¨ S + V½� � ! �q½è ¿$O�OnUL¿ ¼ � � + Ã�� ! ¿¾ �/#���� ��À��;� � �� ¯L& ß � & }���ºÊOnU�¶n¿�NPî¿�¹$O�OV· � } Á®¿�OnUL¿�Á�ÀT¶VÎÕ¹$¿ µ OV¿$¶�·MË OVUL¿À @ µ ¿ LÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ � " � & ß � & N{Ã�À µLµ ¿�¸�ÁÈÎ�OnUL¿)ÃC·Mº µ OnN �

�� � ¥ �,�,� ¥ � � " � ½¾ UL¿ µ & � & Ä#ÀTÃ8N � "�UL·MÄ�¿$·MÄ�·X¶VÃ8ULº»¹�ÀX»ÂÊÎ�· µ On· & ß " & }ÕÀ µ ¸�OnÀTÛ0¿�N�OnUL¿RÃ8NV¿$IL¸L·TÇqÁ�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ On¿$¶

� �� On·ROnUL¿zÁ�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ On¿$¶ � "�·MË & ß " & ½ ´^µ Ã�ÀT¶VOVº»¹�IL»ÀT¶�} � �� º»N:À µ º µ On¿$¶Vº»·X¶¬ÃC·Mº µ O<·MË & ß � & ½<â ·X¶:À µ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ O�¸L¿$ä µ ºÊOVº»· µ }L»¿�O�!

�Á®¿)OVUL¿J¹�ÀT¶n¸Lº µ ÀXÂʺÊO¡Î�·MË � # ¨ � S � V � ´ � ¯ � ! � & � S � V � � S � V_µ }

Ë�·X¶�¿�ÀX¹�U � ¯ � ! �l½e¾ UL¿ µ � �� � S� �8¥ �,�,� ¥ � V ��ºÊOnU �� ¼ ª !

�S � ¼ V ½

� ��� �¿Á2À�Á%��� E�"���"%$ ��" è ¿$O � T � ¹ � ÁC¿�À Ä#ÀTÃ-·MËhNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�NV¿$OnN~} � ¯ � �-À µ !®ÇNVºÊÄ"Ã8»¿�Ý�À µ ¸ � T ��� � ¹ � ! � À�Ë ÀX¹�¿�·XÃC¿$¶�ÀTOV·X¶ ½ � ¶nºÊOn¿ � � � S � V � � S � � S � V<VT¯ � � ÀXN�� � S � V��UL¿$¶n¿�� T ��� � ¹ � ) � º»NhÀ�¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀX¹$Î�·XÃC¿�¶�ÀTOn·X¶JÀ µ ¸ � ¯ � ��ºÊN µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿ ½ ¦)¿$ä µ ¿OnUL¿ ¼ � � + Ã)� ! ¿¾ �$#���� ��À������ %aÀ�����% ¾ ��� � ·MË ��}+��ºÊOnU�¶n¿�NPî¿�¹$OhOV· ��}LOn·�ÁC¿�OVUL¿�ÃC·Mº µ O

� ��� -� � & � & S ����V

º µ & ß � & ½�¾ ULº»N�º»N�OnUL¿ÌºÊÄ#ÀXKM¿#I µ ¸L¿$¶ & � & ·MË�OnUL¿�Ã8NV¿�IL¸L·TÇqÁ�ÀT¶PÎÕ¹�¿ µ On¿$¶ � ��·MË & ß � & ��ºÊOVU

¶n¿�N{ÃC¿�¹$O�On·�� ½ ´^µ OVUL¿�KM¿�·MÄ"¿$OV¶nºÊ¹R¶n¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ ·MË�OnUL¿)Ë�·M»ÂÊ·���º µ K�¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿R¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ ·MËNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂCNP¿$OnN~}

ß � �//

��

ß � ��//�

-��ß � ��

// �OnUL¿�Ã8NV¿�IL¸L·TÇqÁ�ÀT¶PÎÕ¹�¿ µ On¿$¶ � �

�¯8& ß �D& Ä#ÀTÃ8N�On·=OVUL¿�Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ On¿$¶ � � ¯L& ß � & À µ ¸ÌOn· � ��� -� ¯& ß � & ½

s½,.@�@ \ @ \ &#(+*M@8,.*-A �;{��;{ �>i|7%(+*]5�@85�� 1_/J5 �89�=h3>, LM3B1�*�{ Ó IÕÃLÃC·MNV¿�OnU8ÀTO � T � ¹ � º»N)À�Ä�ÀT÷MËzä µ ºÊOV¿ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ:NV¿�OnN ½�â ·X¶¿�ÀX¹�U µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿ÏNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý � ¯ � }+·M˸Lº»Ä"¿ µ NVº»· µ !�}�NnÀ�Î�}®Ë ÀX¹$OV·X¶ � S � V ¯ � ÀXN � � S � V }�Ë�·X¶)À"¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹$Î�·Xî¿$¶�ÀTOn·X¶ � T � ! � ¹ � �À µ ¸�À µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿ LÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿�Ý�� ¯ � ½:â ·X¶�¿�ÀX¹�U�Ë ÀX¹�¿)·XÃC¿$¶nÀTOn·X¶ � T � � � ¹ � ! � }?Ë ÀX¹$OV·X¶�� S � V � � � ÀXN�� � S � V � ���¿}�Ë�·X¶�À ¸L¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹$Î-·XÃC¿$¶�ÀTOV·X¶�� T � � � ¹ � ) � À µ ¸ À Ë ÀX¹$¿·XÃC¿�¶�ÀTOn·X¶ � T � ) � ¹ � �q½

ß � �//

��

ß � ��//

���

�-��ß � �

//ß " ��

// �

Page 41: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

¾ UL¿ µ � � S � V ºÊN µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOV¿>}2NVº µ ¹$¿ � º»N µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶�}2À µ ¸ � � S � � S � V<V º»N�OnUL¿ � ºÊ»¿ µ ÇÁC¿�¶nK� � º»ÂÊÁ®¿$¶�Ë ÀX¹$On·X¶nºÊÅ�ÀTOnº»· µ ·MË�� S � � S � V<V ½ ¦)¿$ä µ ¿�À=Ä#ÀTÃ

Æ -� T & ( � S ß � V/& ¹ & ß � &

S � V º¹ � ��� -�Á Î�O�ÀTÛÕº µ K�OnUL¿�î·Mº µ O�¹$·X¶V¶n¿�NPî· µ ¸Lº µ KÌOV·�OnUL¿�SbÇqNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý S � V ·MËJ( � S ß � V On·�OVUL¿�Ã8NV¿$IL¸L·TÇÁ�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ On¿$¶ � ��� -� � & � & S � �

�V ·MË�OVUL¿�Ë ÀX¹�¿ � }¿�hº�OnU ¶n¿�N{ÃC¿�¹$O�OV· ��}¬À µ ¸�¿�Ý?On¿ µ ¸Lº µ K À @ µ ¿

»º µ ¿�ÀT¶nÂ�Î�· µ ¿�ÀX¹�U-NVºÊÄ"Ã8»¿vÝ�·MË.( � S ß � V ½ ´^µ Ã�ÀT¶VOVº»¹�IL»ÀT¶�}�Æ -� O�ÀTÛ0¿�N S R � V On·�OVUL¿�Ã8NV¿$IL¸L·TÇ

Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ On¿$¶ � �� }���ULº»¹�U�º»NeÀ µ º µ On¿�¶nº»·X¶¬Ã®·Mº µ O�·MË & ß � & ½<â IÕ¶VOnUL¿�¶nÄ�·X¶n¿>}ÕÆ -� O�ÀTÛ0¿�N¬OnUL¿�Á®·MI µ ¸?ÇÀT¶VÎ & ( � S � ß � V$& On· & � ß � & }�À µ ¸�NVº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶nÂ�Î#Ë�·X¶R¿�ÀX¹vUÌË ÀX¹�¿·MË<ß � ½

è ¿$O�Æ � T & ( � S � V$& ¹ & � & Á®¿�OnUL¿�UL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ Ë�¶n·MÄ ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä W ½ Q ½»¼M½ � ¿�¹�»ÀXº»ÄOnU8ÀTO+OnUL¿$¶n¿zºÊN<À S Ã8º»¿�¹�¿-�hºÊNV¿�ÇÜÂʺ µ ¿�ÀT¶ V UL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ�Æ - T & ( � S���V$& ¹ & � & �hº�OnU & � & � Æ - �Æ � � & ( � S � V/& }TNPIL¹vU�OnU8ÀTO¬Ë�·X¶e¿�ÀX¹�U µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý �"·MË � }XÀXN�ÀTÁ®·jÖ0¿8}XOnUL¿�NVå?I8ÀT¶V¿

& ( � S ß � V$& ����//

� V � � �� � ���

& ß � &

� �� ���& ( � S �mV/& ���

//& � &

¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿$N ½ çzÎ�º µ ¸LIL¹$Onº»· µ }���¿�¹�À µ ��¶nºÊOn¿ � � ß � � ��� �  %}���ºÊOVU � ß �¹ �  ÕÀ)¹�·XäLÁL¶�ÀbÇ

OnºÊ· µ }8À µ ¸�ÀXNVNVILÄ�¿)OnU8ÀTOJÆ -�� � � Æ -

� }CÆ-� � � À µ ¸ Æ -

�� � ¿�ÝÕº»NPO~} �hº�OnU�OnUL¿�¹�U8ÀT¶�ÀX¹$On¿�¶nº»Å�º µ K

ÃL¶n·Xî¿$¶VO¡Î #{ILNPORKMº�Ö0¿ µ ½

& ( � S ß � V$&

� ����

& ( � S � ß � V$&oo //

��� � ����

��

& ( � S��   V$&

� � � ��

��& ß � & & � ß � &oo //

& �   &

¾ ·�¸L¿$ä µ ¿�Æ - ÀXN�OnUL¿�Ã8ILNVUL·MIÕO=·MË�OVUL¿�NV¿ÏOnUÕ¶n¿�¿ÏÄ#ÀTÃ8N~}¿�z¿ µ ¿$¿�¸AOn·�Û µ ·�� OnU8ÀTO�OnUL¿#»¿$Ë�OU8À µ ¸�NVåÈI8ÀT¶n¿¹�·MÄ"Ä�IÕOV¿�N ½ ç�IÕO�OnULº»N�º»N�¹�»¿�ÀT¶�} NPº µ ¹�¿=Æ -

� º»N�¹�· µ NPOV¶VIL¹$On¿�¸�On·=ÁC¿ µ ÀTOVIÕ¶�ÀXÂ%Ë�·X¶Ë ÀX¹�¿�·XÃC¿$¶�ÀTOV·X¶nN ½çzÎϺ µ ¸LIL¹$OVº»· µ }�Æ -

� � � º»NhÀ=UL·MÄ�¿$·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ }8À µ ¸�Æ -

� ºÊN�OVUL¿�¹�· µ ¿· µ OnULº»N�Ä#ÀTÃ�}ÕÖÕº»ÀOnUL¿#ºÊ¸L¿ µ OVºÊä8¹�ÀTOnºÊ· µ N & ( � S ß � V$& �� ¹�· µ ¿ & ( � S � ß � V$& À µ ¸ & ß � & ��ɹ�· µ ¿ & � ß � & }¿��ºÊOVU�¹$· µ ¿ÃC·Mº µ OVN S R � V À µ ¸�� �� }L¶n¿�N{ÃC¿�¹$OVºÊÖ0¿�Â�Î ½eã ¿ µ ¹�¿�Æ -

� º»N�ÀX»NV·"À=UL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ ½ ´ OhË�·MÂÊ»·��hN�ÁÈκ µ ¸LIL¹�Onº»· µ OVU8ÀTORÀXÂÊNV·ÏÆ - º»N�À=UL·MÄ�¿$·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ ½ �

¾ UL¿�¶V¿�Ä#ÀXº µ ¸L¿�¶)·MËeOnULºÊNJNV¿�¹$OVº»· µ º»N)¹�· µ ¹�¿$¶ µ ¿�¸���ºÊOnU�OnUL¿�ÃL¶n·È·MË�·MË ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä W ½ Q ½ W;}Cº µOnUL¿�¹�ÀXNV¿ �hUL¿ µ � º»N µ ·XO µ ¿$¹�¿�NVNnÀT¶Vº»ÂÊÎ µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶ ½

r�;��� ¾ E�"��?":$ �?"Ft�*-7 B T � ! � ¹ � � I_* 3`A @B,¬D�(�/21_A /J5 ß 385�g � T ��� � ¹ � ! � 3 \ 3^LM*@.D�*H,<387»@B, 1_9�L_(�7:( 387 B � T ��� � ¹ � � /21F38= 1�@�3 \ 3�LM*[email protected]�*-,.387»@B,~{¡&)(+*-5 \ @8, *.3^L_( D3>/J, @ \1_/JAwD�= /¬LM*_1 � ¯ � � i � ¯ � " k�/J7:( � � B � S � V kT* (+38I>*

& B & � ��� -� � � B ��� -�/J5 & ß � &h{

Page 42: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �s½,.@�@ \ { � ¿hË ÀX¹$On·X¶ � � � S � V � S B � V � � S � V ÀXN � � S�� V Ë�·X¶�À�¸L¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹$Î"·XÃC¿$¶nÀTOn·X¶ � T � � � ¹� ) � À µ ¸�À µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ý �¡¯ � � ½�¾ UL¿ µ �z¿¹�À µ ¹�·MÄ"Ã8IÕOn¿

& B & � ��� -� � & B & & � & S � ��V � & B � & S � �

�V � � B ��� -� �

s½,.@�@ \ @ \ &#(+*M@B,M*-A �;{ ��{ �>i 7:(+* �^*-5?*-,<38=rLM3B1�*�{ æ ¶n¿�NP¿$¶VÖÕº µ K�OVUL¿ µ ·XO�ÀTOnºÊ· µ N)Ë�¶n·MÄ S W ½ Q ½Ê¼ S V }À µ ¸#OnUL¿R¹�· µ Ö0¿ µ Onº»· µ � � �

� ��Ë�·X¶ � � ��ÃL¶V¿�¹�¿�¸Lº µ K S W ½ Q ½»¼M¼ V }^��¿J¸L¿�ä µ ¿�Æ -

� T & Å S ß � V/& ¹& ß � & ÀTORÀ�ÃC·Mº µ O % � � à� · � � S � � V ÁÈÎÏOnUL¿�¿�ÝÕÃ8Âʺ»¹�º�O�Ë�·X¶VÄ�IL»À

S W ½ Q ½»¼jÞ V Æ -� S % V �

à�

� � � ·�� � � � �

�� � �� -� �

á ·MÄ"Ã�ÀT¶n¿�¸�On·ÏË�·X¶nÄ�ILÂ�À S W ½ Q ½Ê¼M¼ V } OVUL¿�Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ On¿$¶nN � ��� Ë�·X¶�Ë ÀX¹�¿�N�·MË�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�N)·MË � ÀT¶V¿¶n¿$Ã8»ÀX¹�¿�¸ Á Î�OVUL¿"¹�·X¶V¶V¿�NPÃC· µ ¸Lº µ K�Ã8NV¿�IL¸L·TÇlÁ�ÀT¶VÎÕ¹�¿ µ On¿�¶nN4�hº�OnU ¶n¿$NPÃC¿�¹�O�On·�OVUL¿"Ä#ÀTà � ½ ´^µOnUL¿�NPO¡ÎÕÂÊ¿�·MË � â¬æ Y ÞB� } �hº�OnUL·MIÕO�·MIÕ¶ µ ·XOnÀTOnº»· µ ÀXÂC¹$· µ Ö0¿ µ OnºÊ· µ }�OnUL¿)Ë�·X¶nÄ�IL»À�¹�À µ ÁC¿ ��¶VºÊOVOn¿ µÀXN

Æ -� S % V �

���� à�S ¼ ¸ � ¸ ����� ¸ �

> ¨ V � ����� �� -� � �

����� � à

� � � � �

�� � �� -� �

r�;��� ¾ E�"��?"%$ �?" &#(* \ @B,-A]9;=h3 S W � Q � ¼jÞ V½3 I_@8I>*|g^* Gu5�*_1T3ckT*-=2= �zg^* Gl5�*.g�i¿LM@857:/%59@89^1rA�3MD

Æ -� T & Å S ß � V$& ¹ & ß � & �

s½,.@�@ \ { ´ Ë%NV·MÄ�¿ � � S } OnUL¿ROn¿$¶nÄ � S � � V Ä#À�Î=Á®¿J¸L¿�»¿$OV¿�¸ÏË�¶n·MÄ OnUL¿RNPILÄ S W ½ Q ½ � V ��ºÊOnUL·MIÕOÀXÂÊOV¿$¶nº µ K"% ½Ì¾ UL¿ µ OnUL¿=On¿$¶nÄ�Nº µ S W ½ Q ½»¼jÞ V Ë�·X¶ � � +R·X¶ � � +RÀX»NV·�¸LºÊNnÀTÃLÃC¿�ÀT¶~}<Á8IÕO�ÀX»ÂOnUL¿�NP¿�On¿$¶VÄ�N �z¿$¶n¿�S�¸LIL¿�On·�OnUL¿)ÖXÀ µ ºÊNVULº µ K�¹$·?¿A@"¹�º»¿ µ O

� � }8NV·�Æ

-� S % V º»N�I µ ¹�U8À µ KM¿�¸ ½´ Ë8NV·MÄ�¿ � � � � � > ¨�}XOnUL¿�NPILÄ ·MË8OV¿$¶nÄ�N � S � � V � � > ¨ S � � > ¨ V º µ S W ½ Q ½ � V Ä#À�Î�Á®¿�¶n¿$Ã8Â�ÀX¹$¿�¸

��ºÊOnU�À�NVº µ KMÂÊ¿�On¿�¶nÄ S � � � > ¨ V~S � � V ½¬¾ ULº»NGÀ8�C¿�¹$OVNGOnUL¿�OV¿$¶nÄ�N�º µ S W ½ Q ½»¼jÞ V Ë�·X¶ �)·X¶�J¿�åÈI8ÀX OV·+C·X¶ + � ¼M½ ç�IÕO � � � � � � � � > ¨<Ë�·X¶� ³ + � ¼ } � � �

� � � > ¨ � �Ë�·X¶ � � +2À µ ¸ � � � � � > ¨ � � � � � > ¨�}NV·�Á ÎÏÀ�»º�OVOnÂÊ¿h¹�ÀXÂʹ�ILÂ�ÀTOnºÊ· µ OnUL¿J¹�U8À µ KM¿J¸L·?¿�N µ ·XO�À8�C¿�¹$O�OVUL¿hÖXÀXÂÊIL¿J·MË2OnUL¿RNVILÄ Æ -

� S % V ½ �

â ·M»»·���º µ K�OnUL¿)ÃL¶n·?·MË�·MË � â¬æ Y Þ } Ó ÀTOnÅ � } ��¿)¹�Â�ÀXºÊÄ OnU8ÀTOJÆ -� NnÀTOnºÊNPä8¿�N�OnUL¿)Ë�·M»»·���º µ K�O»�z·ÃL¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ N ½

� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ���?E�"���"%$ �?"Fy)@8, *-I�*-,_E0A6@B, D�(^/21_A B T � ! � ¹ � � /%5 ß il385�g®D38/J, @ \ 1_/JAwD�= /¬LM*_1� ¯ � � i � ¯ � " k�/J7:( B � S � V � � iu7:(+*01~GH938,.*

& Å S ß � V$& ����//

� � � 7 � ���

& ß � &

� 7 ���& Å S ß " V$& ����

//& ß " &

LM@BA A]9�7»*_1~{s½,.@�@ \ { ¾ UL¿�ÃL¶n·?·MË�¹�ÂÊ·MNV¿�ÂÊÎ-Ë�·M»»·���N�OnU8ÀTOÏ·MË � â¬æ Y Þ } S H V � }�ILNVº µ K è ¿$Ä�Ä#À�W ½ Q ½Ê¼ Y ½ è ¿�O% ¯L& Å S ß � V/& Á®¿�¿vÝÕÃL¶n¿�NPNV¿�¸�ÀXNhº µ S W ½ Q ½ � V }ÕÀ µ ¸�»¿$O

Å S B V~S � � � ����� � � à V � S � � � ����� � � à V �

Page 43: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

¾ ULº»NÏÄ�¿�À µ N�OnU8ÀTO B � � � � � ­ � Ë�·X¶�I µ ºÊå?IL¿�Ë ÀX¹�¿ ·XÃC¿$¶nÀTOn·X¶nN � � ��ºÊOnUBO�ÀT¶nKM¿$O � � }�À µ ¸¸L¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀX¹$Î�·XÃC¿$¶�ÀTOV·X¶nN®­ � }8Ë�·X¶RS � � � � ½ çzÎϸL¿$ä µ ºÊOVº»· µ } & Å S B V$& S % V � � à� · � � S � � V ½

� ¿ µ ·�� Ë�·MÂÊ»·�� OnUL¿h¸L¿$ä µ º�Onº»· µ N�»¿�ÀX¸Lº µ K�On·�OnUL¿h¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ S W ½ Q ½Ê¼ S V }XÁ8IÕO�ÀTÃLÃ8»º»¿$¸"On·�OVUL¿�jÇqNVº»Ä=Ã8»¿�Ý S � � � ����� � � à V À µ ¸ � ¯ � " ½�â ·X¶�¿�ÀX¹�U S � � � � � �#OnUL¿$¶n¿�º»N�ÀÏI µ º»åÈIL¿Ë ÀX¹�¿�·XÃC¿$¶�ÀTOV·X¶ � � �

NVIL¹�U�OnU8ÀTO � � � � �� �

�½�¾ UL¿ µ ­ � � � �

� � � �­�}8NVº µ ¹$¿ � � º»N�º µ #{¿�¹�OnºÊÖ0¿ ½

â ·X¶¬¿�ÀX¹�U�S � � � �hOVUL¿�Ë ÀX¹$¿ � �� S � V Ë ÀX¹$On·X¶nN¬I µ ºÊå?IL¿�Â�Î�ÀXN ��� S�� � V Ë�·X¶�À µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿NVºÊÄ"Ã8»¿�Ý � � º µ � À µ ¸ÏÀ�¸L¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹$Î"·XÃC¿$¶nÀTOn·X¶ � � ½e¾ UL¿ µ � � � � � ­ � À µ ¸ � � º»N�OnUL¿RNnÀXÄ�¿

ÀXN�º µ S W ½ Q ½»¼ S V }ÈÁÈÎÏOnUL¿�I µ º»åÈIL¿ µ ¿�NVNR·MË+OnUL¿Ë ÀX¹$OV·X¶nº»Å�ÀTOVº»· µ Ë�·X¶ � �� S � V ½â ·X¶h¿�ÀX¹�U�S � � � � � �]��¿�I µ º»å?IL¿$ÂÊÎ�Ë ÀX¹$On·X¶hOVUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOn¿�Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ � � � � �

º µ ßÀXN�À�¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹$Î ·XÃC¿$¶�ÀTOV·X¶ � � �

Ë�·MÂÊ»·���¿�¸ Á Î À�Ë ÀX¹�¿�·Xî¿$¶�ÀTOn·X¶ '� � �½Ì¾ UL¿ µ � � �

� � � �­�À µ ¸ '� � �

� '� � �}�Á Î�OnUL¿�I µ ºÊå?IL¿ µ ¿$NVN�·MË�OVUL¿ÌË ÀX¹$On·X¶Vº»Å�ÀTOnºÊ· µ ½ � ¿�·XÁLOnÀXº µ OVUL¿�Ë�·MÂÊ»·��hº µ K

¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖ0¿J¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ ½

S W ½ Q ½ WXS V � ¸ �� �

55

� ��� //

� ���

� �����

� ¸ � � � //

� ���

� ���

� ! ���

��??

????

??

7��� ¸ �

� �55

� ��� //

� �����

� ¸ � � � //

� ���

� � ��//�

� ¸ ��� ����� ��� //

� ¸ � � �>>

¾ UÈILN�OnUL¿¹�·MÄ=ÃC·MNVº�On¿

S W ½ Q ½ W ¼ V B ���� � �

� ��­��­��� � �

� ���� � �

º»N:ÀRË ÀX¹$¿�·XÃC¿$¶�ÀTOV·X¶ ½ � ¿�ÂÊ¿$O � � �� � �

�hUL¿ µ � � � ½<¾ UL¿ µ Á Î è ¿�Ä�Ä#ÀJW ½ Q ½»¼ YRÀ µ ¸ S W ½ Q ½ W ¼ V��¿�KM¿$O

& B & Æ -� S % V �

à�

� � � ·�� � & B & � �

��� � �� -�

�à�

� � � ·�� � � B � �

�� � �� -� �

à�

� � � ·�� � � � �

�� � �� -� � Æ -

� & ŠS B V/& S % V��

� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ���PE�"��?"�E E�"Fy�@B, *.3^L_(F5�@B5��zg�* �^*-5�*H,<387»* 1_/JAaD�=K*�� � ¯ � � ir7:(+*0A�3_D Æ -� 7C3 ��*_1

7:(+* /J57»*-,-/¬@B,�@ \ & Å S ß � V/& IH/ ��*ML-7�/JI>*-= E�@B57»@�7:(+*0/J5�7C*-,-/¬@B,]@ \ & ß � &h{s½,.@�@ \ { ��¿�¿$Ã8º µ K º µ Ä"º µ ¸ OnU8ÀTO�¿�ÀX¹�U Ã8NV¿�IL¸L·TÇlÁ�ÀT¶VÎÕ¹$¿ µ OV¿$¶ � �� ºÊN�À µ º µ OV¿$¶nº»·X¶�ÃC·Mº µ OÌ·MË& ß � & }LOnUL¿�ÃL¶n·?·MË+¹�»·MNP¿�ÂÊÎ�Ë�·M»ÂÊ·���N�OVU8ÀTOh·MË � â¬æ Y Þ } S ç V �q½+� ÀX¹vU�ÃC·Mº µ O % ¯?& Å S ß � V$& ¹�À µ Á®¿¶n¿$ÃL¶V¿�NV¿ µ On¿�¸�º µ OnUL¿�Ë�·X¶nÄ

% ���� · �

� S � � V

��UL¿$¶n¿ � � T � � � ¹ � ! � Ë�·X¶)¿�ÀX¹�U S � � � !�}�ÁÈÎ�î·MNVNVº�Á8ÂÊÎ�ÂÊ¿$OVOnº µ K�NV·MÄ�¿ � � S ½h¾ UL¿$¶n¿�º»NÀ#ÃC¿$¶nÄ�IÕO�ÀTOVº»· µ � ·MË � ! � NVIL¹�U OVU8ÀTO�OVUL¿�ºÊÄ#ÀXKM¿�·MË � � ºÊN � S � � � V }2Ë�·X¶¿�ÀX¹�U � ½�Ó º µ ¹�¿��º»Nµ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿8} � � � R �?}�À µ ¸�ºÊO�Ë�·M»»·���N�OnU8ÀTO�¿�ÀX¹�U � �

�� R

�Ë�·X¶JS � � � ! ½

Page 44: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

r�;��� ¾ E�"���"FE �?"Fy)@8, � ¯ � � 5�@B5 �zg^* �^*H5�*-,<3>7C*Mi Æ -� A�3MD�107:(+*�/J57»*-,_/¬@8,]@ \ & Å S ß � V$&#7C@

7:(+* /J57»*-,-/¬@B,�@ \ & ß � &¢{s½,.@�@ \ { çzÎ#·MIÕ¶ µ ·XO�ÀTOnºÊ· µ ÀX®¹�· µ Ö0¿ µ Onº»· µ } � � � � R ��Ë�·X¶�S � � � ! ½�¾ UL¿ +sÇlOnU�Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ OV¶nºÊ¹¹�·È·X¶n¸Lº µ ÀTOn¿$N�º µ & ß � & }Lº µ ¸Lº»¹�ÀTOn¿$¸ÌÁÈÎ�À�NVIÕÁ8NV¹$¶nº�ÃLO�� +z�K}LNnÀTOnºÊNVË�Î

Æ -� S % V � ³ � � R � �

-� � �

S ¹�· µ NPº»¸L¿$¶�· µ Â�Î=OnUL¿�On¿$¶nÄ�N � � !�º µ S W ½ Q ½»¼jÞ V<V ½ � UL¿ µ %�º»N�º µ On¿$¶nºÊ·X¶T��¿JU8À�Ö0¿ ���BS }?À µ ¸OnUL¿�Ã8NV¿$IL¸L·TÇqÁ�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ On¿$¶ � R � � -� º»NRº µ OV¿$¶nº»·X¶~}CNV·#¿�ÀX¹�U ·MË<OnUL¿�NV¿�Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ OV¶nº»¹�¹$·?·X¶n¸Lº µ ÀTOn¿�NJº»NÃC·MNPºÊOnº�Ö0¿ ½:ã ¿ µ ¹�¿�Æ -

� S % V º»N�º µ On¿$¶Vº»·X¶ ½ �

¾ · NVUL·�� OnU8ÀTO�Æ -� ºÊN�º µ #{¿�¹$Onº�Ö0¿-· µ OnUL¿Aº µ On¿$¶nºÊ·X¶ ·MË & Å S ß � V/& }�¹�· µ NVºÊ¸L¿$¶�À NP¿�¹�· µ ¸

ÃC·Mº µ O%�  � � �� · �   � S �   � V º µ OnU8ÀTO=º µ On¿$¶nºÊ·X¶ ½ � ¿Ì¸L¿�¹�·X¶nÀTOn¿�OnUL¿�¹�· µ NPOV¶VIL¹$Onº»· µ N"»¿�ÀX¸Lº µ K

On· S W ½ Q ½Ê¼ S V }?Á8IÕO�Á�ÀXNV¿�¸�· µ %� �}+��ºÊOnUÌÀ�ÃL¶nºÊÄ�¿ ½ r�;��� ¾ E�"���"FE �#"���9�D�D�@�1�* 7%(+387 Æ -

� S % V � Æ -� S %�  V_i0k�/%7%( % 385�g %�  /%57C*H,_/¬@B,4D�@B/J57:1�/J5

& Å S ß � V$&¢{ &)(+*-5 ��  

�i½3>5�g �

�� �  

�/ \

��BS i \ @8,�*.3^L-( S � � � ! {��4*H5�LM* % � %   {

s½,.@�@ \ { � ¿�ÃL¶n·6Ö0¿ÏOnUL¿�N{O�ÀTOn¿�Ä�¿ µ O � ��  

�}�À µ ¸ �

�� �  

�º»Ë

��ÉS>��Á Î�¸L¿�NV¹�¿ µ ¸Lº µ K

º µ ¸LIL¹�Onº»· µ · µ S � � � ! ½�¾ ·�NPO�ÀT¶VO)OnUL¿=º µ ¸LIL¹$OVº»· µ } µ ·XOn¿=Ë�¶V·MÄ ¦)¿$ä µ º�Onº»· µ W ½ Q ½Ê¼jØ OnU8ÀTOOnUL¿+sÇqOnU Á�ÀT¶VÎÕ¹$¿ µ OP¶nº»¹=¹�·?·X¶n¸Lº µ ÀTOn¿ � �

��� � �� -� � � � S�Ë�·X¶ + µ ·XO�º µ OnUL¿"ºÊÄ#ÀXKM¿ � S � � � V ·MË � �

½¾ UL¿ µ OnUL¿ � S ! V ÇqOVU�Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ OV¶nº»¹�¹�·?·X¶V¸Lº µ ÀTOn¿�N�NnÀTOnºÊNVË�Î

� � R � � -� � � �

� � � Æ -� S % V � � � �

� Æ -� S %   V � � � � ³

 � � R � � -� � � � � �S ¹�· µ NPº»¸L¿$¶ÏOnUL¿�On¿�¶nÄ�N���ºÊOnU � � ! º µ Æ -

� S %   V<V ½ Ó º µ ¹�¿ � R � � -� º»N�º µ On¿�¶nº»·X¶�}�OnULºÊN#º»Ä"Ã8Âʺ»¿�N � ³  � ½ çzÎ�NPÎÕÄ�Ä"¿$OV¶VÎ � �  � }8À µ ¸F��¿ÀXÂʶn¿�ÀX¸ÕÎÏÛ µ ·�� OnU8ÀTO � � � �  � � R � ½â ·X¶�OVUL¿=º µ ¸LIL¹$OnºÊÖ0¿�NPOn¿�Ã�}+ÂÊ¿$O�S � � � ! À µ ¸ ÀXNVNVILÄ"¿�OnU8ÀTO)OnUL¿�NPO�ÀTOV¿�Ä�¿ µ O�U8ÀXN�ÁC¿$¿ µ

ÃL¶n·6Ö0¿�¸�Ë�·X¶RÀX» ��� � ½ � ¿Ä�ILNPO�ÃL¶n·6Ö0¿�OnUL¿�NPO�ÀTOn¿�Ä"¿ µ O�Ë�·X¶ � � � ½�á · µ NVº»¸L¿$¶�OnUL¿)ÃC·Mº µ O

� ��

� ·�

��� · �

� � � � �

�� � �� -�

·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸"Ë�¶n·MÄ Æ -� S % V Á Î=¸L¿$»¿$Onº µ K�OVUL¿�On¿�¶nÄ�N��hº�OnU �� � ½ çzÎ�OnUL¿�º µ ¸LIL¹�OnºÊÖ0¿�U ÎÈÃC·XOnUL¿$NVº»N~}� ¿�åÈI8ÀX»N�OnUL¿¹�·X¶P¶n¿�NPî· µ ¸Lº µ K"î·Mº µ O �   ¸L¿�¶nºÊÖ0¿�¸ÌË�¶n·MÄ %   ½

´ Ë � ��� �   }<OnUL¿ µ OnUL¿�¶n¿#º»N�À µ + ¯ � ! � OnU8ÀTO�º»N�º µ OVUL¿#º»Ä#ÀXKM¿=·MË � }<Á8IÕO µ ·XO�º µ OVUL¿º»Ä�ÀXKM¿�·MË �   ½�¾ UL¿ µ OnUL¿ +�ÇqOnUÌÁ�ÀT¶PÎÕ¹�¿ µ OV¶nºÊ¹¹�·È·X¶n¸Lº µ ÀTOV¿�·MË � � �a �NnÀTOnºÊNPä8¿�N

� � � �-� � � � � � � �  � � S

S ¹�· µ NPº»¸L¿$¶)· µ Â�ÎÌOnUL¿OV¿$¶nÄ º µ � ��ºÊOnU � � � À µ ¸ � � ! V ½JÓ º µ ¹�¿ � � �-� ºÊNRº µ On¿$¶nºÊ·X¶Jº µ OVUL¿

� ÇlOnUÏË ÀX¹�¿>}Lº�OnN +sÇqOVU�¹$·?·X¶n¸Lº µ ÀTOn¿Jº»Nzî·MNVºÊOnº�Ö0¿>}ÕÀ µ ¸ ���BS�Á®¿�¹�ÀXILNV¿ %�º»N�º µ On¿$¶Vº»·X¶�}ÈNV·�I µ ¸L¿$¶OnULºÊN�U0Î?î·XOnUL¿�NVºÊN®��¿�Ä�ILN{OhU8À�Ö0¿ � S ½ ç�Î�NPÎ?Ä�Ä�¿$OP¶VÎ�}ÕÀXÂÊNV·   � S ½´ ËG· µ OVUL¿�·XOnUL¿�¶RU8À µ ¸ � � �   }8¹�· µ NPº»¸L¿$¶�OnUL¿�î·Mº µ O

( ���� · �

� � � �� � �-�

À µ ¸ OnUL¿Ì¹�·X¶V¶n¿�N{ÃC· µ ¸Lº µ K î·Mº µ O (   ½ S ¾ UL¿$¶V¿Ìº»N"À�O¡Î?î·MKX¶�ÀTÃ8ULº»¹�ÀXÂ�¿$¶P¶n·X¶#ÀTO=OnULº»N=NPOn¿$ÃBº µ� â¬ær� S }�à ½ WXSMQ �q½ V ¾ UL¿$NV¿ÏÀT¶n¿"¿$å?I8ÀXÂ:ÁÈÎ OnUL¿�º µ ¸LIL¹$OnºÊÖ0¿"U ÎÈÃC·XOnUL¿�NPº»N ½ � ºÊOnU + � � S � V �z¿

Page 45: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

U8À�Ö0¿�OnU8ÀTO +zºÊNJº µ OnUL¿�ºÊÄ#ÀXKM¿·MË � }�Á8IÕO µ ·XOJº µ OnUL¿º»Ä#ÀXKM¿�·MË � �Ë�·X¶ � � � } NV·�OnUL¿ +sÇlOnU

Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ OV¶nº»¹�¹�·?·X¶V¸Lº µ ÀTOn¿�N�NnÀTOnºÊNVË�Î

( � � � � � �  � ³   (  � �   ( � �

â IÕ¶VOnUL¿$¶nÄ"·X¶n¿>} ( � ³ � � � �-� � � � S }�NPº µ ¹�¿ÌOVULº»N"Ã8NV¿$IL¸L·TÇqÁ�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ On¿$¶�º»N=º µ On¿$¶nºÊ·X¶#º µ OVUL¿

� ÇlOnU Ë ÀX¹�¿>}:À µ ¸ %�º»Nº µ On¿$¶nºÊ·X¶ ½�¾ UL¿$¶V¿�Ë�·X¶n¿6��¿�Ä�ILNPOU8À6Ö0¿ ³   }¬À µ ¸ Á Î NPÎ?Ä�Ä�¿$OV¶PÎ�} �   ½�¾ ULº»N�¿�NPO�ÀTÁ8Âʺ»NVUL¿$N�OnUL¿�º µ ¸LIL¹$Onº�Ö0¿�N{On¿$Ã�} À µ ¸�¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿$On¿�N�OnUL¿)ÃL¶n·?·MË ½ �

çzÎ è ¿�Ä"Ä#À W ½ Q ½ W Ð OnUL¿ Ä#ÀTÃ�Æ -� º»N�º µ #{¿�¹�OnºÊÖ0¿m��UL¿ µ ¶n¿$NPOV¶nºÊ¹$On¿�¸ OV· OnUL¿ º µ OV¿$¶nº»·X¶Ì·MË

& Å S ß � V$& }GNV·�ÁÈÎ OnUL¿=OVUL¿�·X¶n¿�Ä ·MËzº µ ÖXÀT¶Vº�À µ ¹�¿=·MË�¸L·MÄ#ÀXº µ � ã � ÐL¼ } ¾ ULÄ ½ � ´ ½ �8� }%OnULºÊN�¶n¿�ÇNPOV¶Vº»¹$On¿$¸�º»Ä#ÀXKM¿�º»N�·XÃC¿ µ º µ OnUL¿�º µ On¿$¶nºÊ·X¶R·MË & ß � & ½ çzÎ æ ¶n·XÃC·MNPºÊOnºÊ· µ W ½ Q ½Ê¼�� OnUL¿�ÁC·MI µ ¸8ÀT¶VηMË & Å S ß � V$& ºÊNÄ#ÀTÃLî¿�¸ º µ On·ÌOVUL¿"ÁC·MI µ ¸8ÀT¶VÎ�·MË & ß � & }GÀ µ ¸AÆ -

� ºÊN�À̹�ÂÊ·MNV¿�¸ Ä�ÀTÃ�}GNV·ÌOVUL¿º»Ä�ÀXKM¿R·MË:Æ -� · µ OnUL¿)º µ On¿$¶nºÊ·X¶�º»N�À µ ·Xî¿ µ }L¹�ÂÊ·MNV¿�¸�À µ ¸ µ · µ ÇÜ¿$Ä"ÃLO¡Î#NVIÕÁ8NV¿$Oh·MË�OVUL¿�º µ OV¿$¶nº»·X¶·MË & ß � & } UL¿ µ ¹�¿�¿�åÈI8ÀX»NJÀXÂÊÂ+·MˬOnULºÊN S ¹�· µLµ ¿�¹�On¿�¸ V º µ On¿$¶Vº»·X¶ ½h¾ U ILNÆ -

� º»NRÀX»NV·#NVIÕ¶ #{¿�¹$Onº�Ö0¿�ÀXNÀ=Ä�ÀTÃÌ·MË<º µ OV¿$¶nº»·X¶VN ½�¾ ULº»N�¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿$On¿�N�OnUL¿�ÃL¶n·?·MË+·MË æ ¶n·Xî·MNVºÊOVº»· µ W ½ Q ½ WMW ½ �

çzÎ æ ¶n·Xî·MNVºÊOVº»· µ W ½ Q ½»¼�� OnUL¿�Ä#ÀTÃ8NRÆ -� ÀXNVNV¿$Ä�Á8ÂÊ¿�OV·�À=Ä�ÀTÃ

Æ - � ¹�·M»ºÊÄ� � ��� � � �

� S � ! � ¥ � V º¹ Æ -�T & ( � S���V$& ¹ & � &

À µ ¸ÌÁ Î æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ W ½ Q ½ WMW�OnULº»N�Ä#ÀTÃ̺»N�À=UL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ ½´ O¶n¿$Ä#ÀXº µ N�On·ÌÖ0¿$¶nºÊË�Î�OVU8ÀTO�OnUL¿"¸L¿$NVºÊ¶n¿$¸�åÈI8ÀXNVº�Ç µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂʺÊO¡Î�ÃL¶V·XÃC¿$¶VO¡Î�UL·M»¸LN~}¬º ½ ¿ ½ }+OnU8ÀTO

& � & � Æ - � Æ � � & ( � S � V$& ½ ´ O�NVI @"¹�¿�NOV·Ì¹�UL¿�¹nÛ OnULºÊN�ÀXË�On¿�¶�¹�·MÄ"î·MNVº µ K �hº�OnU & ( � S �� V$& · µOnUL¿J¶nºÊKMU O�}?Ë�·X¶�¿�Ö0¿$¶VÎ S µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOV¿ V NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý��Ì·MË � }ÕNVº µ ¹�¿JOnUL¿)º»Ä#ÀXKM¿$N�·MË%OVUL¿�»ÀTOVOn¿$¶Ä#ÀTÃ8N¬¹�·6Ö0¿$¶ & ( � S �mV/& ½ � ¿�Ë ÀX¹$On·X¶ � S � V ÀXN � � S � V Ë�·X¶�À)¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀX¹$Î�·XÃC¿$¶nÀTOn·X¶ � T � ! � ¹ � �À µ ¸�À µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿�NVºÊÄ"Ã8»¿vÝ � ¯ � " ½�¾ UL¿ µ º µ OVUL¿¹�IÕÁ8ºÊ¹�ÀXÂ+¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ

S W ½ Q ½ W Ø V & Å S ß � V$& ����//

� V � � �� � �%%K

KKKKKKKKK

� � � � � ���

& ß � &� �� �

%%KKKKKKKKKK

� � ���

& ( � S���V$& ���//

� V � � - � ���

& � &

�-�

��

& Å S ß " V$& ��� · � �//

� V � � �� � �%%K

KKKKKKKKK

& ß " &� �� �

%%KKKKKKKKKKK

& ( � S � V$& ���//& � &

OnUL¿�»¿�Ë�OhÀ µ ¸Ì¶nºÊKMU OhU8À µ ¸�Ë ÀX¹�¿�NhÀT¶n¿·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸ÌÁ Î�ÀTÃLÃ8ÂÊÎÕº µ K=OnUL¿ µ ·X¶nÄ#ÀXÂ2NVIÕÁ®¸LºÊÖ?º»NVºÊ· µ À µ ¸KM¿�·MÄ�¿�OV¶nº»¹�¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ Ë�I µ ¹$On·X¶VN�On· OnUL¿Ì¶V¿�Â�ÀTOnºÊ· µ � �� � �� ��}�À µ ¸-OVUL¿$¶n¿�Ë�·X¶n¿�¹$·MÄ�Ä�IÕOn¿ ½¾ UL¿�On·XÃ�À µ ¸ ÁC·XOVOn·MÄ Ë ÀX¹�¿�N�¹�·MÄ"Ä�IÕOV¿=Á Î OnUL¿#¸L¿$ä µ º�Onº»· µ ·MËzOnUL¿#Ä�ÀTÃ8N=Æ - À µ ¸-Æ � ÀXNOnUL¿R¹$·M»º»Ä"ºÊOnN:·MËCOnUL¿�Ä#ÀTÃ8N�Æ -

� À µ ¸�Æ � }0¶n¿�N{ÃC¿�¹$OVºÊÖ0¿�Â�Î ½ � ¿ µ ·XOn¿JÀXN�º µ Ñ ¿�Ä#ÀT¶VÛ"W ½ Q ½Ê¼ Q�OnU8ÀTOÆ � � Æ-"�º»N�OnUL¿�¹�À µ · µ º»¹�ÀXÂ%Ä#ÀTÃ�Ë�¶n·MÄ � ÝLÀXÄ"Ã8»¿�W ½ W ½�Ð }ÕÁC¿$¹�ÀXILNV¿ � º»N µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶ ½¾ UÈILN�On·�NVUL·�� OnU8ÀTO�OVUL¿Ë�¶n· µ OJË ÀX¹�¿�·MËGOnUL¿¹$IÕÁC¿�¹�·MÄ"Ä�IÕOV¿�N~}LºÊO�NVI @"¹�¿�NhOn·"NVUL·�� OnU8ÀTO

OnUL¿"Á�ÀX¹nÛ Ë ÀX¹$¿#¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿�N�Ë�·X¶�¿�ÀX¹�U�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý � ·MË � ½�¾ UL¿�Ë�·MÂÊ»·��hº µ K�ÃL¶n·XÃC·MNPºÊOnºÊ· µ �hºÊ»ÂOnUL¿$¶V¿�Ë�·X¶n¿¹$·MÄ"Ã8»¿$OV¿�OnUL¿�ÃL¶n·?·MË+·MË ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä W ½ Q ½ W ½ �

Page 46: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� E�"���"FE �?"Ft)*H7 � T � ¹ � I_*�3�A63MD @ \ 1_/JAwD�= /¬L-/�3>=|1�*-7:1.i]k�/J7:( � 5�@B5��1_/J5 �89�=h3>,.i®385�g6=K*H7 � S � V � � � S � V \ @B, � ¯ � � i � T � ! � ¹ � � 3Æg^* �^*-5�*-,.3^L-E @.D�*H,<387»@B, 385�g� ¯ � " 5�@B5��C1_/J5��89;=h38,�{ &#(+*-5�7%(+*01~GH938,.*

& Å S ß � V$& ����//

� � � � � ���

& ß � &

� � ���& Å S ß " V$& � �

//& ß " &

LM@BA A]9�7»*_1~{s½,.@�@ \ { � ¿�Û0¿$¿$Ã�OVUL¿ µ ·XO�ÀTOnº»· µ ·MˬOnUL¿�NVILÄ Ë�·X¶nÄ�IL»À S W ½ Q ½ � V Ë�·X¶,% ¯ & Å S ß � V$& }®OnUL¿�¸Lº�ÀbÇKX¶�ÀXÄ S W ½ Q ½»¼ S V À µ ¸ÌOnUL¿�¿�Ý?Ã8»º»¹$ºÊO�Ë�·X¶nÄ�ILÂ�À S W ½ Q ½»¼jÞ V Ë�·X¶)Æ -

� S % V|¯L& ß � & ½e¾ UÈILN

& � & Æ -� S % V �

à�

� � � ·�� � & � & � �

��� � �� -� �

� ¿RI µ ºÊå?IL¿�Â�Î"Ë ÀX¹�On·X¶ � �����

�§�Ë�·X¶�¿�ÀX¹�UÏS � � � �;}^�hUL¿$¶V¿ �

�º»N�À�Ë ÀX¹�¿R·XÃC¿�¶�ÀTOn·X¶r��ºÊOVU

O�ÀT¶nKM¿�O � � À µ ¸ §�ºÊN�À�¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀX¹$Î�·XÃC¿$¶nÀTOn·X¶ ½�¾ UL¿ µ Å S � V~S � � � ����� � � à V � S � � �

����� � � à V À µ ¸Æ " & Å S � V$& S % V �

à�

� ·��� ��� �

´ O®��º»ÂÊÂCOnUL¿$¶n¿$Ë�·X¶n¿�NVI @"¹�¿�On·=NVUL·�� OVU8ÀTO

& � & � ���� � �� -� � � �

��

º µ & ß " & }LË�·X¶RÀXÂÊÂ%S � � � � � � ½ ´^µ Ã�ÀT¶VOnºÊ¹�ILÂ�ÀT¶�}ÕOVUL¿�ÂÊ¿�Ë�OhU8À µ ¸ÌNVº»¸L¿�º»N�º µ ¸L¿$î¿ µ ¸L¿ µ O)·MË� ½â º�Ý=À)Ã�ÀXºÊ¶ � � ��}ÈÀ µ ¸�Ë ÀX¹$On·X¶u§

��� � �

� �;­?}���UL¿$¶n¿ ��ºÊN�À�Ë ÀX¹�¿h·Xî¿$¶�ÀTOn·X¶�À µ ¸6­ T � � � ¹� ) � º»N�À=¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹$ÎÌ·XÃC¿$¶�ÀTOV·X¶ ½ � ¿·XÁLO�ÀXº µ OnUL¿�¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖ0¿J¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ

S W ½ Q ½ W Þ V � � � �� ��� //

���

� ¸ � � � //

� ���

� ! � ��//

��

�-��� ) � �

//� ¸ � � � //

� � ��// � �

ã ¿$¶n¿)OnUL¿�Ë ÀX¹�¿ � � S ��� V � S � VT¯ � ��·MË �#ºÊN µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOV¿>}®NVº µ ¹�¿���ºÊN µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿

À µ ¸ � º»N µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶~}�NP· S ���� � �

V � � S � V � ­ � S �cV ºÊNJOnUL¿=Ë ÀX¹�On·X¶nº»Å�ÀTOnº»· µ On·ÏÁC¿�ILNV¿�¸ º µ¸L¿$ä µ º µ KÏOVUL¿�Ã8NV¿�IL¸L·TÇlÁ�ÀT¶VÎÕ¹$¿ µ OV¿$¶ � �

��� � �� -� � & �

��� � �

& S � ��V ·MË<OnUL¿Ë ÀX¹�¿ �

��� � �

·MË ����ºÊOVU¶n¿�N{ÃC¿�¹$O�On· � ½¾ UL¿�Ã8NV¿$IL¸L·TÇqÁ�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ On¿$¶ � �

�º»N:¹�UL·MNV¿ µ OV·�Ä#ÀTÃ"I µ ¸L¿$¶ & ­ & On·)OnUL¿ S ·X¶V¸Lº µ ÀT¶VÎ V Á�ÀT¶PÎÕ¹�¿ µ Ç

On¿$¶ � �·MË & ß � & }8NV·

& � & � ���� � �� -� � & � �

��� � �

& S � ��V � & �

��;­ & S � �

�V � & �

�� & S � � V � � �

�� �

º µ & ß " & ½ ´^µ Ë ÀX¹�O�} ��¿)¹�Â�ÀXºÊÄ OnU8ÀTO�Ë�·X¶ � µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�OnUL¿)º»Ä�ÀXKM¿R·MË � ���� � �

º µm� � ¿$å?I8ÀX»NOnUL¿Ïº»Ä�ÀXKM¿#·MË�� �

�}eNV· �

�� ���

�S À µ ¸ ��ºÊN�OnUL¿Ïº»¸L¿ µ OnºÊO¡Î�Ä�·X¶PÃ8ULº»NVÄ V ½�¾ ·�ÃL¶V·jÖ0¿#OnULºÊN

¹�»ÀXº»Ä };�z¿ILNV¿�OnUL¿Ë�·MÂÊ»·��hº µ K=ÂÊ¿�Ä�Ä#À ½

Page 47: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

r�;��� ¾ E�"��?"�E �?" �Æ(*-5 � /21 5�@85�� 1_/J5 �89�=h3>,.i 7:(+*�L_@BAaD�@�1-/J7C*�@.D�*-,.387�/¬@B5 � ��*���7»*-5�gB1

@BI>*H,e7:(+* 1_9;,��*ML-7�/¬@B5 � � �i|3B1 � �

�� B � � �

\ @8,43�9;5/�GH9�*0A @B,¬D�(�/21_A B /J5 ß {s½,.@�@ \ { Ó IÕÃLî·MNV¿�OnU8ÀTOJOC��·�¿$»¿�Ä�¿ µ OnNJº µ OVUL¿�NV·MIÕ¶n¹�¿�·MË �

�U8À6Ö0¿�OnUL¿�NVÀXÄ�¿�º»Ä#ÀXKM¿I µ ¸L¿$¶

� � �½GÑ ¿�K0ÀT¶n¸L¿$¸�ÀXN:SbÇÜNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�NH}XOnUL¿$Î�OnUL¿ µ U8À�Ö0¿�OnUL¿�NnÀXÄ�¿�ºÊÄ#ÀXKM¿zI µ ¸L¿$¶ �� �

�Á Î S W ½ Q ½Ê¼ S V }

À µ ¸ÏOnUÈILN�U8À�Ö0¿)OVUL¿�NnÀXÄ"¿Jº»Ä#ÀXKM¿RI µ ¸L¿�¶��� � ��Á Î S W ½ Q ½ W Þ V ½ ç�IÕO � º»N µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�}LNP· ��

º»N�À=¹$·XäLÁL¶�ÀTOnº»· µ } À µ ¸�OVUL¿�OC��·"¿$»¿�Ä�¿ µ OnNhÀX»NV·=U8À6Ö0¿)OnUL¿�NnÀXÄ�¿�º»Ä#ÀXKM¿)I µ ¸L¿$¶ � ��½�ã ¿ µ ¹$¿

OnUL¿$¶V¿Ìº»N=À�Ë ÀX¹�On·X¶nº»Å�ÀTOnº»· µ ·MË � ��·jÖ0¿$¶ � � �

}zÀXN�ÀXNPNV¿$¶VOn¿$¸ ½ ´ O=º»N�I µ º»å?IL¿�ÁC¿�¹�ÀXILNV¿ � � �º»N

NVIÕ¶�#{¿$¹$OnºÊÖ0¿ ½ �

¾ UÈILN�OnUL¿ÌºÊÄ#ÀXKM¿Ï·MËhOnUL¿ÌË ÀX¹$¿Ì·XÃC¿�¶�ÀTOn·X¶ ���A¿�å?I8ÀXÂÊN�OVUL¿Ìº»Ä�ÀXKM¿�·MË � �

��� � �

}�NVº µ ¹�¿F­º»N=NVIÕ¶�#{¿�¹�OnºÊÖ0¿ÌÀ µ ¸ S W ½ Q ½ W Þ V ¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿�N~}l�hULºÊ¹�U-¿�å?I8ÀXÂÊN=OnUL¿�º»Ä�ÀXKM¿�·MË B � � �

�� � �� B ÁÈÎ

è ¿�Ä�Ä#À�W ½ Q ½ W>� }>�hULºÊ¹vU"º µ OVIÕ¶ µ ¿�åÈI8ÀX»N:OnUL¿�ºÊÄ#ÀXKM¿�·MË�B � � �� � �

�NVº µ ¹$¿ � � �

º»NeNVIÕ¶�#{¿�¹�OnºÊÖ0¿ ½çzÎ S W ½ Q ½ W Þ V OnULº»N)¿�åÈI8ÀX»N)OnUL¿�º»Ä#ÀXKM¿�·MË�OVUL¿=Ë ÀX¹�¿�·XÃC¿�¶�ÀTOn·X¶ �

�}+À µ ¸�NV· �

�� � �

�½�¾ ULºÊN

¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿$On¿�N�OnUL¿�ÃL¶n·?·MË+·MË æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ Q ½ WXY ½ �

�®(��%(��1%5 @258/�3��C58/ �h, � ���7�F ���G.���7%/+58@¾ ·�¿�ÀX¹�U�Ä#ÀTà � T � ¹ � ·MËÈNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂMNV¿$OVN~}B��¿�NVU8ÀX» µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂÊÂÊÎ�ÀXNVNP·?¹�º»ÀTOn¿�À�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ

NV¿$O U�S � V ¹�ÀXÂÊ»¿�¸�OnUL¿#¶n¿�¸LIL¹�¿$¸-Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$Î?»º µ ¸L¿$¶�·MË � ½�¾ UL¿�¶n¿�ºÊN�À µ ÀTOVIÕ¶�ÀXÂz¹$Î?»º µ ¸L¿�¶¶n¿�¸LIL¹�Onº»· µ Ä#ÀTÃ�� S � V � � ¤ ß ¨ � � � ¹ U�S � V Ë�¶V·MÄ OnUL¿R·X¶V¸Lº µ ÀT¶VÎ"Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶ ½¾ UL¿$¶n¿ÌºÊN"ÀXÂÊNV·�À µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ�¹�·XäLÁL¶nÀTOnº»· µ U S � V ¹ ¹�· µ ¿ S �mVc¤ � ½�¾ UL¿�NP¿�OC��· Ä�ÀTÃ8N=ÀT¶V¿¹�·MÄ"Ã�ÀTOVºÊÁ8»¿���ºÊOnU�Ë�¶V· µ OGº µ ¹�ÂÊILNVº»· µ N<·MË � }jÁ�ÀX¹nÛº µ ¹�»ILNVºÊ· µ N<·MË � }TÀ µ ¸�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶+ÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ NOn· � ½

{{vvvvvv

vvv

�� &&NNNNNNNNNNN

-

��� S � V//U�S � V

//¹$· µ ¿ S���VT¤ �

" �// �

VV ffNNNNNNNNNNNN

OO

·99ssssssssssss

è ºÊÛ0¿�OnUL¿�·X¶n¸Lº µ ÀT¶PÎ�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶ � S � V }COnUL¿�¶n¿�¸LIL¹$¿�¸ Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$Î?»º µ ¸L¿$¶ U S � VÀ µ ¸BOnUL¿�¹�· µ ¿�ÇqÃL¶V·?¸LIL¹$O�¹�· µ NPOV¶VIL¹$Onº»· µ ¹�· µ ¿ S���V0¤ � ¿�ÀX¹�U ¹�·MÄ�¿�º µ À Ë�·X¶<��ÀT¶V¸ À µ ¸ ÀÁ�ÀX¹nÛ;��ÀT¶V¸ Ö0¿$¶nNVºÊ· µ ½ ´{µ OnUL¿�Ë�·X¶z��ÀT¶n¸ Ö0¿$¶VNVº»· µ N~}�OnUL¿$¶n¿�ÀT¶n¿ ¼ ÇqNVº»Ä=Ã8»º»¹$¿�N�KM·Mº µ K Ë�¶V·MÄ OVUL¿º»Ä�ÀXKM¿·MË<OnUL¿�Ë�¶n· µ O)º µ ¹$»ILNVºÊ· µ OV·�OnUL¿�º»Ä�ÀXKM¿·MˬOnUL¿Á�ÀX¹nÛ�º µ ¹�»ILNVºÊ· µ }���ULº»Â»¿º µ OnUL¿�Á�ÀX¹nÛÈÇ��ÀT¶n¸�Ö0¿�¶nNVº»· µ NeOnUL¿�NV¿ ¼ ÇqNVº»Ä=Ã8»º»¹$¿�NzÀT¶n¿�·X¶nº»¿ µ On¿$¸�OnUL¿R·XOnUL¿$¶u��À�Î ½:¾ UL¿hÁ�ÀX¹nÛ���ÀT¶n¸ S ¶n¿$¸LIL¹�¿�¸·X¶�·X¶n¸Lº µ ÀT¶VÎ V Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶�·MË �-¿�å?I8ÀXÂÊN�OnUL¿ÏNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�·XÃLî·MNVºÊOV¿�·MË�OnUL¿ÏË�·X¶<��ÀT¶n¸S ¶n¿$¸LIL¹�¿�¸�·X¶�·X¶n¸Lº µ ÀT¶VÎ V Ä#ÀTÃLÃ8º µ K=¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶�·MË� � " ½Ó O�ÀT¶VOVº µ K½�hº�OnU æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½�ÐL½Ê¼ Y }TÀ µ ¸�Ë�·X¶�OnUL¿e¶n¿�Ä#ÀXº µ ¸L¿$¶G·MËÈOnULº»N%Ã�ÀTÃC¿$¶~}8��¿u��º»ÂÊÂM· µ ÂÊÎ

¹�· µ NVºÊ¸L¿$¶�OnUL¿"Á�ÀX¹nÛ���ÀT¶n¸ Ö0¿$¶nNPº»· µ ·MËzOnUL¿"¶V¿�¸LIL¹�¿�¸�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶ ½ÌÓ ·�OVUL¿ µ ·XO�ÀTOnºÊ· µU S � V ��º»ÂÊÂ�ÀX¢��À6Î?N�¶n¿$Ë�¿$¶�On·ÌOVUL¿"Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶n¸ ¶V¿�¸LIL¹�¿�¸�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K̹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶�}G¿�ÝL¹�¿�ÃLO�º µ OVUL¿ÃL¶n¿�NP¿ µ O)NP¿�¹$OnºÊ· µ ½h¾ UL¿�ÀXNPÎ?Ä�Ä�¿$OV¶PÎÏ¿ µ OV¿$¶nNJº µ è ¿�Ä�Ä�À�W ½�ÐL½ W ¼ }+�hUL¿$¶V¿4��¿�¿�Ä"Ã8U8ÀXNPº»Å�¿OVUL¿Ë ÀX¹�¿�N�·MˬÀ=KMº�Ö0¿ µ NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý ��}L¶�ÀTOVUL¿$¶�OVU8À µ ºÊOnN�¹�·MË ÀX¹�¿$N S ¹�· µ O�ÀXº µ º µ K � ÀXNhÀ=Ë ÀX¹�¿ V ½

� UL¿ µ � � ( � S V T ( � S���V ¹ ( � S � V }�Ë�·X¶"À�Ä�ÀTà T � ¹ � ·MËh·X¶V¸L¿$¶n¿�¸-NPº»Ä"Ã8Âʺ�ǹ�º»ÀXÂ+¹�·MÄ=Ã8»¿�ÝÕ¿�N~}8OnUL¿Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶V¸�¶V¿�¸LIL¹�¿�¸�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶ U S ( � S V<V ¿�åÈI8ÀX»N á ·MUL¿ µ �xNÄ#ÀTÃLÃ8º µ K ¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶ �

�}eÀXN�¸L¿$ä µ ¿�¸-º µZ� á ·0Y Þ }|° Ð>� }:º µ OnUL¿ÏNVIÕÁC¸Lº�ÖÕº»¸L¿$¸ Ë�·X¶nÄ�OnU8ÀTO�¹�· µ Ç

O�ÀXº µ N ( � S���V À µ ¸�( � S � V ÀTOzOVUL¿JË�¶n· µ O�À µ ¸ÏÁ�ÀX¹nÛ"¿ µ ¸LN~}Õ¶n¿�N{ÃC¿�¹$OVºÊÖ0¿�Â�Î ½�¾ ULº»N�º»Nz¹�ÂÊ¿�ÀT¶�Ë�¶n·MÄè ¿�Ä�Ä#À=W ½�ÐL½Ê¼ W ½eÓ ¿�¿�ÀXÂÊNV· Ñ ¿�Ä#ÀT¶VÛ ÐL½ Q ½ W�ÁC¿�ÂÊ·�� ½

� ¿�NnÀ�ÎBOnU8ÀTO�À�Ä#ÀTà � U8ÀXN�NVºÊÄ"Ã8»¿�¹$Î?»º µ ¸L¿$¶�¶V¿�¸LIL¹$OnºÊ· µ ��UL¿ µ OnUL¿ Ä#ÀTà � S � V ¹U S � V ·MË�Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶V¸-Ä#ÀTÃLÃ8º µ K ¹$Î?»º µ ¸L¿�¶nN=ºÊN=NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿ ½ � ¿�NVUL·�� º µ è ¿�Ä�Ä#À W ½xÐL½ W ¼ À µ ¸

Page 48: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

á ·X¶n·M»»ÀT¶VÎ�W ½ÙØ?½ Þ OnU8ÀTO � U8ÀXN�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿#¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶�¶n¿�¸LIL¹�Onº»· µ �hUL¿ µ � � ( � S +V Ë�·X¶=À�Ä�ÀTà T � ¹ � ·MË µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ+NP¿$OnN~}�À µ ¸�Ä�·X¶n¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀX»Â�Î�}��hUL¿ µ � � Å S V Ë�·X¶ T � ¹ � À�Ä#ÀTÃ�·MËh·XÃÕÇl¶n¿�KMILÂ�ÀT¶�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NV¿$OnN ½ Ó ¿�¿�ÀXÂÊNV· è ¿�Ä"Ä#À W ½ Þ?½�ÐL½ ´^µ OnUL¿�NP¿¹�ÀXNV¿$N~}�OVUL¿ µ } U S � V º»N�¶n¿�ÀXÂÊÂÊÎ�À�¶V¿�¸LIL¹�¿�¸�Ö0¿$¶VNVº»· µ ·MË � S � V ½è ¿$O� T � ¹ � ÁC¿�ÀhÄ#ÀTÃ�·MË?NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂMNV¿$OnN ½:¾ UL¿z¸L¿�ä µ ºÊOnºÊ· µ ·MËÕOnUL¿�¶V¿�¸LIL¹�¿�¸�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K

¹$Î?»º µ ¸L¿�¶ U S � V �hºÊ»Â%ÁC¿Ã�ÀT¶nÀX»»¿$Â+On·"OVU8ÀTOJ·MË<OnUL¿ µ ·X¶nÄ#ÀXÂ�NVIÕÁ®¸LºÊÖÕºÊNVº»· µ Ë�I µ ¹�On·X¶ ½hâ º�¶nNPOw�z¿¹�· µ NVºÊ¸L¿$¶zOnUL¿h»·?¹�ÀXÂ�¹�ÀXNV¿R·MË2ÀÄ�ÀTÃ#·MËCNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N � �CT ß �

¹ ß � }ÕÀ µ ¸�¸L¿$ä µ ¿ U�S:� � V º µÀϹ�·MÄ�Á8º µ ÀTOn·X¶nº»ÀXÂ<Ë ÀXNVULºÊ· µ ½=¾ UL¿$¶n¿�ÀXË�On¿$¶0�z¿=KMÂÊIL¿�OVUL¿�NV¿=OV·MKM¿$OnUL¿$¶)Á Î�Ä"¿�À µ N)·MËzÀ�¹$·M»º»Ä"ºÊO¹�· µ NPOP¶nIL¹$OnºÊ· µ ½eâ ·X¶ U�S � V On·�¹�· µ O�ÀXº µ � ÀXN�ÀNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂLNVIÕÁ8NP¿$O�}?OnUL¿hNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿$N�·MË � OnU8ÀTOÀT¶n¿ µ ·XORº µ OnUL¿�ºÊÄ#ÀXKM¿·MË ��Ä�ILNPOhÁC¿�¸L¿�ÀXÂ�Ow�hº�OnU�NV¿�Ã�ÀT¶�ÀTOn¿�Â�Î ½ � ¿�NPU8ÀX»Â<ÀT¶P¶�À µ KM¿OnULºÊNhÁÈÎÄ�¿�À µ N�·MË�OnUL¿�Ë�·MÂÊ»·��hº µ K=¹$· µ Ö0¿ µ OnºÊ· µ · µ ¿$Ä"ÃLO¡Î S ¸ ¼ V ÇÜNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N~} ��ULº»¹�UF��º»ÂÊ®ÁC¿�º µ ¿H�C¿�¹�OOnUÕ¶n·MILKMUL·MIÕO�OnULº»N�NV¿�¹�Onº»· µ ½� ��� �¿Á2À�Á%��� E�" �#":$�" è ¿$O � ¸ ¼~� Á®¿�OVUL¿=¿�Ä=ÃLO^Î�NP¿$O ��ºÊOVU ºÊOVN�I µ ºÊå?IL¿�On·XO�ÀXÂ<·X¶n¸L¿�¶nº µ K+}+À µ ¸Â»¿�O�ß # ¨ � � � ¸ ¼~� Á®¿OnUL¿�¿$Ä"ÃLO¡ÎÌNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ%NV¿�O ½hè ¿$O�ß > Á®¿�OnUL¿�NPÛ0¿$»¿$On· µ ¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ�·MËä µ ºÊOV¿R·X¶n¸Lº µ ÀXÂÊN~}��hº�OnU�·XÁ #{¿�¹$OnN�OnUL¿ � ! � Ë�·X¶ ! ³ ¸ ¼ À µ ¸#Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�N:OnUL¿h·X¶n¸L¿�¶PÇqÃL¶n¿$NV¿$¶VÖ?º µ KË�I µ ¹$OnºÊ· µ N ½Râ ·X¶J¿�ÀX¹�U�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ%NV¿$O � ��¿�º µ OV¿$¶VÃL¶n¿$OhOnUL¿�I µ º»åÈIL¿�Ä#ÀTÃ��SJT ß # ¨ ¹ � ÀXNOnUL¿¶V¿$ÃL¶n¿�NV¿ µ Onº µ KÏÄ#ÀTÃ�·MË:À"I µ ºÊå?IL¿ S ¸ ¼ V ÇÜNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý S ¯ � # ¨ ½�¾ UL¿ µ ¿�ÀX¹�U�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ%NV¿�O� ¿vÝÕOn¿ µ ¸LNeI µ º»åÈIL¿�ÂÊÎ�OV·À)¹�· µ OV¶�À�ÖXÀT¶nº»À µ OeË�I µ ¹$OV·X¶�Ë�¶n·MÄ ß > On·�NV¿$OnNH}^��UL·MNV¿�ÖXÀXÂÊIL¿�ÀTO � ¸ ¼~�º»NzOVUL¿J· µ ¿�Çqî·Mº µ O�NV¿$O � # ¨ � ´ S µ }LÀ µ ¸Ï¹�· µ Ö0¿$¶nNV¿$ÂÊÎ�}LÀXÂÊ®¹�· µ OV¶�À�ÖXÀT¶Vº�À µ O�Ë�I µ ¹$On·X¶nN�Ë�¶n·MÄ ß >On·=NV¿$OnN �hº�OnU�ÖTÀX»IL¿ ´ S µ ÀTO � ¸ ¼~� ÀT¶nºÊNV¿º µ OnULºÊN ��À6Î ½� ��� �¿Á2À�Á%��� E�" �#"�E�" è ¿$O�NVº»Ä=à S � V ÁC¿ OVUL¿�¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎo�hº�OnU ·XÁ$#{¿$¹$OnN�OnUL¿�¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖ0¿NVåÈI8ÀT¶n¿�N

ß � ��//

��

�-��ß � ��

// ���ºÊOnU !�¥ � ³ ¸ ¼ }XÁL¶nºÊ¿ �LÎ�¸L¿ µ ·XOn¿$¸ S �CT � ! � ¹ � � � ¥ �)¥ � V ½�ã ¿�¶n¿ � º»N¬À µ Î�·X¶n¸L¿�¶PÇqÃL¶n¿$NV¿$¶VÖ?º µ KË�I µ ¹$OnºÊ· µ } � ¯ � � À µ ¸ � ¯ � � ÀT¶n¿ NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�À µ ¸ � S � V � �

� S � V ½ H�Ä�·X¶PÃ8ULº»NVÄS Br¥ � V Ë�¶n·MÄ S �   T � !   � ¹ � �   � ¥ �   ¥ �   V On· S � ¥ ��¥ � V ºÊN�ÀJÃ�ÀXºÊ¶e·MË�·X¶n¸L¿$¶PÇlÃL¶n¿�NV¿�¶VÖÕº µ KË�I µ ¹$OnºÊ· µ NB T � !?  � ¹ � ! � } � T � �   � ¹ � � � NVIL¹�U OnU8ÀTO B � S � V � �� %} � � S � V � �� :À µ ¸ � B � � �   ½ ´^µ·XOnUL¿$¶���·X¶V¸LN~}0NVº»Ä"à S � V � � ª ��º»N¬OnUL¿�ÂÊ¿�Ë�O:äLÁC¿$¶�ÀTO�� T � ¹ � ·MË�OnUL¿ ��· µ ¿�¸8ÀJ¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K� ·MË+OnUL¿�¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎÏ·MˬÀT¶V¶n·��hN�º µ ß > º µ On·�OnUL¿�¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ�·MËGÀT¶V¶n·��hN�º µ NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂCNV¿$OnN ½� ��� �¿Á2À�Á%��� E�"��)"��?" â ·X¶¿�ÀX¹�U ·X¶n¸L¿$¶{ÇqÃL¶n¿�NP¿$¶VÖÕº µ K�Ë�I µ ¹$Onº»· µ �CT � ¹ � ·MË�Ã�ÀT¶VOnº�ÀXÂÊÂÊÎ ·X¶PǸL¿$¶n¿$¸#NV¿$OnNzÂÊ¿$O S � V � ���

�� ÁC¿�OnUL¿RË�·X¶<��ÀT¶V¸ S ¶n¿�NPà ½ Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶V¸ V Ã�ÀT¶VOnº»ÀX»ÂÊÎ�·X¶V¸L¿$¶n¿�¸#NV¿�O

·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸ Ë�¶n·MÄ OnUL¿"¸LºÊN #{·Mº µ O�I µ ºÊ· µ ·MË � À µ ¸ � Á Î ÀX¸�#{·Mº µ º µ KÌOnUL¿�¶n¿�»ÀTOnº»· µ N ( � � S ( VS ¶n¿$NPà ½ ( � � S ( V<V Ë�·X¶JÀXÂÊ ( ¯ � ½è ¿$Oe§ T S � V ¹ � ¼~� � ´ S � ¼ µ ÁC¿�OnUL¿�·X¶n¸L¿$¶PÇlÃL¶n¿�NV¿$¶PÖÕº µ KÌË�I µ ¹$Onº»· µ OnU8ÀTO)O�ÀTÛ0¿�N�¿�ÀX¹�U

( ¯ ��On·�S S ¶n¿�N{à ½ On· ¼ V À µ ¸�¿�ÀX¹�U � ¯ � On· ¼ S ¶n¿�NPà ½ On·=S V ½� ��� �¿Á2À�Á%���9E�" �#" �#" â ·X¶�OnUL¿ÏÄ#ÀTà � �'T ß �

¹ ß � ·MË µ ¿$¶PÖ0¿�N=º µ ¸LIL¹�¿�¸�ÁÈÎ�À µ ·X¶n¸L¿$¶PÇÃL¶n¿�NP¿$¶VÖÕº µ K�Ë�I µ ¹$OnºÊ· µ �CT � ! � ¹ � � � ÂÊ¿$O

U S:� � V � � S � V � �'S � ! � ����� � V

ÁC¿�OnUL¿ µ ¿$¶VÖ0¿·MË+OnUL¿�Ë�·X¶z��ÀT¶n¸ S ¶V¿�NPà ½ Á�ÀX¹�Û���ÀT¶n¸ V Ã�ÀT¶VOnº»ÀX»ÂÊÎÏ·X¶V¸L¿$¶n¿�¸�NP¿$O ½¾ UL¿�¶nILÂÊ¿�OnU8ÀTO:O�ÀTÛ0¿$NeOnUL¿�·XÁ #{¿�¹$O S � ¥ ��¥ � V ·MË®NVºÊÄ"à S � V On· U S:� � V } À µ ¸"OVUL¿�Ä�·X¶PÃ8ULº»NVÄ

S Br¥ � V OV·)OVUL¿ µ ¿$¶VÖ0¿�·MËLOnUL¿�·X¶n¸L¿$¶PÇlÃL¶n¿�NV¿�¶VÖÕº µ KË�I µ ¹$OnºÊ· µ S Br¥ � V � B�� � T S �   V ¹ S � V }

Page 49: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

¸L¿$ä µ ¿�N)À�Ë�I µ ¹$On·X¶JË�¶V·MÄ NVºÊÄ"à S � V On·=NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NV¿$OnN ½�¾ UL¿ % ��� ��¾ �8ÃoS ¶n¿�N{à ½ ¿¾ � � ��¾ �BÃ�V��� à + ���;ò� ¾�¼�¼ Á � � � # � Á��¿Ã��;�0U S � V ·MË�� T � ¹ � ºÊN�¸L¿�ä µ ¿�¸�On·=Á®¿�OnUL¿�¹�·MÂʺ»Ä�º�O

U�S � V � ¹�·M»ºÊÄ������� �

- �� S � ¥ �)¥ � V º¹ U S%� � V

·MË+OVULº»NhË�I µ ¹�On·X¶ ½¾ UL¿ÏÁ�ÀX¹nÛ���ÀT¶n¸AÃ�ÀT¶POnº�ÀXÂÊÂÊÎ ·X¶V¸L¿$¶n¿�¸ANV¿$O� S � V U8ÀXN�OnUL¿ÏÃ�ÀT¶VOnº»ÀXÂz·X¶n¸L¿$¶nº µ K�·XÃLî·MNVºÊOV¿ÏOV·

OnU8ÀTOÏ·MË)OnUL¿�Ë�·X¶<��ÀT¶n¸BÃ�ÀT¶VOnº»ÀX»Â�Î-·X¶n¸L¿$¶V¿�¸ NV¿�O S � � " V ½ ã ¿ µ ¹�¿�OnUL¿�Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶n¸ ¶n¿$¸LIL¹�¿�¸Ä#ÀTÃLÃ8º µ K ¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶ U S � V ·MË � T � ¹ � º»N�OnUL¿�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�·XÃLî·MNVºÊOn¿�·MË)OnUL¿�Ë�·X¶<��ÀT¶n¸¶n¿�¸LIL¹$¿�¸�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K=¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶�·MË� � " T ��� " ¹ � �

" ½� ¿ÏKM¿$O"À ¹$·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnºÊÖ0¿"¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ ·MË�Ã�ÀT¶VOnº�ÀXÂÊÂÊÎ ·X¶V¸L¿$¶n¿�¸ANV¿$OnN=À µ ¸ ·X¶n¸L¿�¶PÇqÃL¶n¿$NV¿$¶VÖ?º µ K

Ë�I µ ¹$OnºÊ· µ N~}� �

//

� � ��

� � ��

·##G

GGGG

GGGG

G

� � ��� � � � � � //� �

��

��� ��� //���

� ¼~���UL¿$¶n¿�OVUL¿NVåÈI8ÀT¶n¿�ºÊNhÀ�Ã8ILNVUL·MIÕO�}®À µ ¸ ��¿�¹�À µ º»¸L¿ µ OnºÊË�Î � � � � �¡�� � ¤ � ¼~�q½æ ÀXNVNVº µ K�OV· µ ¿$¶PÖ0¿�N~}0OnUL¿�NPå?I8ÀT¶n¿�º µ ¸LIL¹$¿�NzÀ)¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶e¶n¿�¸LIL¹�Onº»· µ Ä#ÀTÃ�Ë�¶n·MÄ OnUL¿�Ã8ILNVUL·MIÕO� S:� � V � � � ¤ ß ¨ ��� O � � On· U S:� � V })�hUL¿$¶V¿ � � ¹ � � ¤ ß ¨ U8ÀXN�OnUL¿#Ë�·X¶nÄ

+ � ¤ � � S ¶n¿$NPà ½ + � ¤ � ¨ V ½e¾ UL¿RË�·M»¸L¿�¸#Ä�ÀTà ��� + � º µ ¸LIL¹�¿�N�À�¶V¿�¸LIL¹�¿�¸�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶�ÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ ) T U�S:� � V ¹ � � }�À µ ¸-OnUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOn¿ÏÄ#ÀTà º»N�OnUL¿Ì·X¶n¸Lº µ ÀT¶VÎ�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶=ÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ� S:� � V ¹ � � ½ ¾ UL¿ÌË�¶n· µ O�º µ ¹�»ILNVºÊ· µ � � ¹ � S:� � V S ¸L¿$¶nºÊÖ0¿$¸-Ë�¶n·MÄ OnUL¿Ìº µ ¹�»ILNVºÊ· µ+ � ¤ � ¨ T � � ¹ � � ¤ ß ¨ }:¶V¿�NPà ½ + � ¤ � � V À µ ¸�OnUL¿�Á�ÀX¹nÛ�º µ ¹�»ILNVºÊ· µ � � ¹ � S%� � V¹�·MÄ"î·MNV¿w��ºÊOnUÏOnUL¿)¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶�¶n¿$¸LIL¹$Onº»· µ Ä#ÀTÃÏOn·�KMºÊÖ0¿JË�¶n· µ O�À µ ¸�Á�ÀX¹nÛϺ µ ¹$»ILNVºÊ· µ Ä#ÀTÃ8NzOV·U S%� � V }Õ¶n¿�NPî¿�¹$Onº�Ö0¿�ÂÊÎ ½

� S:� � V

��� �

;;vvvvvvvvv//

��

$$IIIIIIIII

U�S:� � V" ���

� �

ddHHHHHHHHHoo

·zzuu

uuuu

uuuu

� �� ��� �¿Á2À�Á%��� E�" �#" ��" ¾ UL¿=¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ ÀTÁC·6Ö0¿=ºÊN µ ÀTOnIÕ¶�ÀX¬º µ � }%NV· ��¿�Ä#À�Î�Ë�·X¶nÄ À�¹$·M»º»Ä"ºÊO·6Ö0¿$¶hNPº»Ä"à S � V On·=·XÁLO�ÀXº µ OnUL¿�Ë�·M»»·���º µ K"¹$·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnºÊÖ0¿J¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ

� S � V���

==zzzzzzzz//

-""E

EEEE

EEEE

U S � V" ���

aaCCCCCCCCoo

·||zz

zzzz

zzz

Page 50: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

·MË<NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX®NV¿$OnN ½�¾ UL¿�Ä#ÀTÃ8N�Ë�¶n·MÄ � On· � S � V À µ ¸ U S � V ÀT¶V¿�OnUL¿ % �B����À Á�� � � + � Á%��� �>}OnUL¿�Ä#ÀTÃ8NÌË�¶n·MÄ � On· � S � V À µ ¸ U�S � V ÀT¶V¿�OnUL¿ �¾ � � Á � � ��+ � ÁJ��� �>})À µ ¸ OnUL¿ Ä#ÀTÃ8NË�¶n·MÄ � S � V À µ ¸ U S � V On· � ÀT¶n¿hOnUL¿ ���BÿÁ � ¾ �/# À µ ¸ ��� à + ���;à � # � Á��¿Ã��;� ¼ �B����� �>À�Á%��� �>}¶n¿�N{ÃC¿�¹$OVºÊÖ0¿�Â�Î ½ � ¿R¹�ÀX» � S � V ¹ U�S � V OnUL¿ � # � Á��¿Ã��;����� à + �>À�Á%���'� ¾¼ ½e¾ UL¿$¶n¿RºÊN�ÀX»NP·�À� # � Á��¿Ã��������?���BÿÁ � ¾ À�� ¼ ������� �>À�ÁJ��� § T U�S � V ¹ ß ¨ } ¹�·MÄ"Ã�ÀTOnº�Á8»¿e�hº�OnU�OnUL¿�· µ ¿�Ë�¶n·MÄ� S � V ½ *-A�38,�� �;{ ��{��>{ ¾ UL¿ �6ÇÜNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�·MË U�S � V ¹�À µ ÁC¿�¿�ÝÕÃ8Âʺ»¹�º�OnÂÊÎ#¸L¿$NV¹$¶nº�ÁC¿�¸�ÀXN�OnUL¿�¹�·MÄ�Ä�I?ÇO�ÀTOnº�Ö0¿)¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ�N

� �

���

��//�

-��� � � ��

// �Ë�·X¶ ¸ ¼ � � �;}+�hUL¿�¶n¿ � T � � � � � � º»N�À"Ë�¶n· µ ORË ÀX¹�¿>}�� ¯ � "�À µ ¸ � ¯ � à ½ � ¿�·MÄ�ºÊO�OVUL¿ÃL¶n·È·MË ½

� ¿�U8À�Ö0¿=ÀXÂ�¶n¿�ÀX¸ÕÎ�¶n¿$Ä#ÀT¶VÛ0¿�¸ º µ Ó ¿�¹$OnºÊ· µ W ½Ê¼ OnU8ÀTO)OnUL¿�·X¶n¸Lº µ ÀT¶VÎ�¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶)ÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ� S � V ¹ � ºÊN)ÀXÂh��À�ÎÕNJNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿>}®NVº µ ¹�¿�ºÊOnNhKM¿�·MÄ�¿$OV¶Vº»¹¶n¿�ÀX»º»Å�ÀTOnº»· µ U8ÀXNRî·Mº µ O)º µ Ö0¿$¶nNV¿�NJOnU8ÀTOÀT¶n¿�¹�· µ ¿�NH}+UL¿ µ ¹$¿"¹�· µ OV¶�ÀX¹$OVºÊÁ8»¿ ½�¾ UL¿�¶n¿$¸LIL¹�¿�¸ ¹$Î?»º µ ¸L¿$¶�ÃL¶V·�#{¿$¹$Onº»· µ U S � V ¹ � NVU8ÀT¶V¿�NOnULºÊNzÃL¶n·XÃC¿$¶PO^Î ½ S � ¿JNVU8ÀX»ÂCNP¿�¿)º µ è ¿$Ä�Ä#À�W ½�ÐL½Ê¼M¼ S ¹ V OnU8ÀTO U S � V º»N�À�ä µ ºÊOn¿JNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX NV¿�O·MË � À µ ¸ � ÀT¶n¿)ä µ ºÊOV¿ ½ V â ·X¶�OnUL¿�ÃL¶V·?·MË)�z¿NVU8ÀXÂÊÂ�ILNP¿�OnUL¿�Ë�·M»»·���º µ K µ ·XOnº»· µ ½� ��� �¿Á2À�Á%��� E�" �#"���" H Ä#ÀTà � T � ¹ � ·MË ä µ º�On¿hNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂÈNV¿$OnN�º»Ne¹�ÀX»ÂÊ¿�¸=À ��������À�� ¼ #�� + Á�. ¾ � � � ���Æ� .��;��À���� À ¾ � � ��À º»Ë�ºÊO�U8ÀXN�À�NP¿�¹$OnºÊ· µ ��T � ¹ � NVIL¹�U�OVU8ÀTO � ��º»N�UL·MÄ�·TÇOn·XÃ8ºÊ¹On·"OnUL¿º»¸L¿ µ OnºÊO¡ÎÌÄ#ÀTÃ�· µ � Á Î�À�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�·jÖ0¿�¶ � ½h¾ UL¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏÃL¶n·6ÖÕº»¸L¿$N)À¹�· µ OV¶�ÀX¹$OVº»· µ ·MË+¿�ÀX¹�U�ÃC·Mº µ O�º µ Ö0¿$¶nNV¿>}�NV·=NVIL¹�U�À=Ä#ÀTà � º»N�NVºÊÄ"Ã8»¿ ½�¾ ¿�¹�U µ ºÊ¹�ÀX»Â�Î�OVUL¿$¶n¿�ÀT¶V¿NV¿$Ö0¿�¶�ÀXÂLÖ0¿$¶nNVºÊ· µ N�·MË OVULº»Ne¹�· µ ¹�¿$ÃLO�} º µ OnU8ÀTO�· µ ¿�¹�À µ ÀX»»·�� Ë�·X¶eOnUL¿�¿�ÝLºÊNPOn¿ µ ¹�¿�·MË OnUL¿�UL·MÄ�·TÇOn·Xà Î�} ·X¶h¿$Ö0¿ µ OnUL¿�NV¿�¹$OVº»· µ }®· µ Â�Î�ÀXË�OV¿$¶RKM¿�·MÄ"¿$OV¶nºÊ¹�¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOVº»· µ ½�¾ UL¿�NPOV¶V· µ KM¿�NPO µ ·XOnºÊ· µ º»N��U8ÀTOa��¿0��º»ÂÊÂ�¶V¿�Ë�¿$¶ROn·ÏÀXNhÀD� Á:� ¼ � Á ��Á ¾ � ��������À�� ¼ # �� + Á . ¾ � � � ���`� .��;��À����PÀ ¾ � � ��À }µ ÀXÄ�¿�Â�ÎÌOnUL¿�NV¿$¹$Onº»· µ ��T ��¹ � ¿�ÝLºÊNPOnN�ÀXN)À�Ä�ÀTÃ�·MË�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ+NV¿$OnNH}%À µ ¸ OnUL¿�¹�·MÄ=ÃC·MN{ǺÊOV¿�Ä�ÀTà � � T � ¹ � º»N�UL·MÄ�·XOn·XÃ8ºÊ¹�On·�OnUL¿Ïº»¸L¿ µ OnºÊO¡Î�· µ � Á ÎAÀ�¹vU8ÀXº µ ·MË�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂUL·MÄ�·XOn·XÃ8ºÊ¿�N�·jÖ0¿�¶ � ½

r�;��� ¾ E�"��)"��?"Ft�*-7 � T � ¹ � I_* 3 A�3MD�@ \ Gl5/J7»*a1-/JAaD�= /¬LH/�38=1�*-7%1�{]&#(+*-5 7:(+*w,M*.g89�LM*.gL-E8= /J5�g^*H,|D�,M@ ��*MLH7:/¬@85 ) T U�S � V ¹ � /2143�1-/JAaD�=K*4A�3MD�{s½,.@�@ \ { � ¿RÃL¶n·jÖ0¿ROVU8ÀTO )º»NzÀ�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ=¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿J·6Ö0¿$¶�OnUL¿RO�ÀT¶VKM¿$O�}���ºÊOVUNV¿�¹�Onº»· µ OnUL¿�Á�ÀX¹nÛBº µ ¹�ÂÊILNVº»· µ � ¹ U S � V ½ â ·X¶Ï¿�ÀX¹vU ·XÁ #{¿�¹$O S �CT � ! � ¹ � � � ¥ �)¥ � V ·MËNVºÊÄ"à S � V OVUL¿�¹$·MÄ"ÃC·MNVº�On¿�Ä#ÀTà U�S:� � V ¹ ß � ¹ U S:� � V ºÊN�º µ ¸LIL¹�¿$¸AÁ Î OnUL¿Ï·X¶n¸L¿$¶PÇÃL¶n¿�NP¿$¶VÖÕº µ KAË�I µ ¹�Onº»· µ�� T � ! � �

�� � � ¹ � ! � �

�� � � OnU8ÀTOÏÄ�ÀTÃ8N � ! � On· ��� � Á Î � À µ ¸

º»N�OnUL¿�º»¸L¿ µ Onº�O¡Î�· µZ��� �l½ ¾ UL¿ µ � � � S � V Ë�·X¶=ÀX» � ¯ � ! � � ��� � º µ OnUL¿ÏË�·X¶<��ÀT¶n¸ ¹�ÀXNP¿S ¶n¿$NPà ½ � ³�� S � V º µ OnUL¿�Á�ÀX¹�Û���ÀT¶n¸�¹�ÀXNV¿ V }2NV·#OnUL¿$¶n¿�ºÊN)À�· µ ¿�ÇÜNPOV¿$à NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�UL·MÄ�·XOn·Xà η6Ö0¿$¶Jß � Á®¿$OC��¿�¿ µ OnUL¿�º»¸L¿ µ Onº�O¡ÎÏ· µ U S%� � V À µ ¸ � � ½e¾ UL¿�NV¿�Ä#ÀTÃ8N�À µ ¸�OnUL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂUL·MÄ�·XOn·Xà Î�ÀT¶V¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ<º µ OVUL¿�·XÁ #{¿�¹�O S � ¥ ��¥ � V }�NV· ��¿�Ä#À6Î�Ã�ÀXNVNJOn·�OnUL¿�º�¶)¹�·M»ºÊÄ�ºÊOh·jÖ0¿�¶NVºÊÄ"à S � V On··XÁLO�ÀXº µ OnUL¿h¶V¿�å?ILº�¶n¿�¸#NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂLUL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�·6Ö0¿$¶ � Á®¿$OC��¿�¿ µ OnUL¿�º»¸L¿ µ OnºÊO¡Î=· µU S � V À µ ¸�OnUL¿¹$·MÄ"ÃC·MNVº�On¿)Ä#ÀTà U�S � V ¹ �[¹ U S � V ½ �

� ��� �¿Á2À�Á%���LE�"��#" �?" H Ä#ÀTà � T � ¹ � ·MËCä µ º�On¿RNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ8NV¿$OVNzU8ÀXN � Á%� ¼ � � � # � Á��¿Ã������� à + �>À�ÁJ��� ºÊËGOnUL¿�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶�¶n¿�¸LIL¹$OVº»· µ Ä#ÀTà � S � V ¹ U�S � V º»N�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿ ½

Page 51: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

r�;��� ¾ E�"��#":$�!#"Fx \ 7%(+*0I>*-,_7�/¬L.3>=?A�3MD�10/J5`7:(+* LM@8A]A]9;7 387�/JI>*01~GH938,.*

�-

//

��

���  - �

// �  

38,M*�1_/JAwD�=K*Mi 7%(*-5'7:(+* /J5�g89�LM*.gPA�3MD � S � V ¹ � S ��  V /21 1-/JAaD�=K*�{Px \a\ 9�,-7%(*-,_A6@8,.* � 385�g��  (+38I>*�1_/JAwD�=K*PL-E8= /J5�g^*-, ,.*.g>9L-7�/¬@B5+i 7%(*-5 7:(+*Æ/J5�g89�LM*.g�A63MD U�S � V ¹ U S ��  V /21F38= 1�@1_/JAwD�=K*�{s½,.@�@ \ { ¾ UL¿�¹�ÀXNP¿�·MË�� S � V ¹ � S �   V º»N"º»Ä�Ä�¿$¸Lº�ÀTOn¿#Á Î OnUL¿�KMÂÊILº µ K ÂÊ¿�Ä�Ä#À�Ë�·X¶#NVºÊÄ"Ã8»¿Ä#ÀTÃ8N ½ � º�OnU OnUL¿ÏÀX¸L¸L¿�¸�U ÎÈÃC·XOnUL¿$NVº»N~}:º�O�º»Ä"Ã8Âʺ»¿�N�OnUL¿#¹�ÀXNV¿#·MË U S � V ¹ U�S ��  V ÁÈÎ OVUL¿¹�·MÄ"î·MNVºÊOVº»· µ À µ ¸Ì¶nºÊKMU O�¹�À µ ¹�¿�ÂÊÂ�ÀTOnºÊ· µ ÃL¶V·XÃC¿$¶VOVº»¿�N�·MËGNVºÊÄ"Ã8»¿)Ä#ÀTÃ8N~}8ÀTÃLÃ8Âʺ»¿�¸�On·=OVUL¿�Ä#ÀTÃ8Nº µ OnUL¿¹$·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnºÊÖ0¿JNPå?I8ÀT¶n¿

� S � V//

��

� S ��  V��U�S � V

//U S �   V��

r�;��� ¾ E�"��#":$�$�"Ft)*-7 � T � ¹ � I_*]3�A63MD'@ \ 1_/JAaD�= / L-/�38=�1�*H7%1~{ 3 �F&#(+*H,.*e/21e3�5�387�9�,.38=�/21�@BA @B,¬D�(�/21_A U�S�� ¹ 58V �� ¹�· µ ¿ S���V� C/J5 7%(+* \ @8,_kr38,.g L.3B1�*Mi

385�g�1_/JA]/J=h3>,_= E /J5`7:(+*'I_3^L���kr3>,<gÆL.381�* ��{ I��P&)(+*05�3>7:9;,<38=)A�3MD

S ( ¥ ) V T U S�� ¹ � V ¹ ¹�· µ ¿ S���VT¤ �/21Æ3�LM@ GJIH,.387�/¬@B5 i k�(+*H,.* (�T U S�� ¹ � V ¹ ¹�· µ ¿ S �mV /2167%(+* 5�387�9;,<38=TA�3MD /J5�g89L_*.g0I~E+ � � 385�g �[¹ 5+{

zL ��x \ � 385�g � 38,.* I_@B7:( Gl5/%7C*Mi @B, I_@B7:(�5�@B5 � 1_/J5��>9�=h38,Mia7:(+*-5�U�S � V ( 3B1�7:(+*�1~38A6*D�,[email protected]�*-,-7:E�{s½,.@�@ \ {0S À V â ·X¶ � T � ¹ 5 }ÈOnUL¿$¶V¿Rº»N�À�¹�·Xä µ ÀX®¿�Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K � T NVºÊÄ"à S���V ¹ NVº»Ä"à S � V OnU8ÀTOO�ÀTÛ0¿�N=OnUL¿�·XÁ #{¿�¹$O S � ! � ¥ � V �hº�OnU � ¯ � �AOV· OnUL¿�·XÁ #{¿�¹$O S�� T � ! � ¹ � S � ¥ ��¥ 58V }�º ½ ¿ ½ }�OVUL¿¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖ0¿J¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ

ß � ��//

��

�-��ß �

//5 �

¾ UL¿�¹�·MÄ=ÃC·MNVº�On¿�·MË ��À µ ¸�OnUL¿�Ë�I µ ¹$On·X¶ S � ¥ ��¥ � V º¹ U�S:� � V Ë�¶n·MÄ�OnUL¿�¸L¿$ä µ ºÊOnºÊ· µ ·MË U S � Vº»N µ ÀTOnIÕ¶�ÀX»Â�Î ºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊ¹"On·ÌOVUL¿#Ë�I µ ¹$On·X¶ S � ! � ¥ � V º¹ ¹�· µ ¿ S ß � V Ë�¶n·MÄ OVUL¿#¸L¿$ä µ ºÊOnºÊ· µ ·M˹�· µ ¿ S���V }8ÖÕº»À"OnUL¿�·XÁ ÖÕº»·MILNhº»NV·MÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ � ! � �

�� S � �� � ! � � ´ �µ ½ çzÎ�¹$·Xä µ ÀX»ºÊO¡Î � Ú�è<Þ?¼ }

´ ½ Q ½Ê¼~� }?OnUL¿�º µ ¸LIL¹�¿$¸�Ä#ÀTÃ

U S � V � ¹$·M»º»Ä� ��� � �

- �� S � ¥ ��¥ � V º¹ U S:� � V ¶·¸¢¹ ¹�·M»ºÊÄ

� � ��� � � �� � ! � ¥ � V º¹ ¹�· µ ¿ S ß � V � ¹�· µ ¿ S �mV

Page 52: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �º»N�À µ º»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ ½ ´^µ OnUL¿�Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶n¸#¹�ÀXNV¿>} U�S�� ¹ 58V º»Neº»NV·MÄ�·X¶PÃ8ULº»¹�On·¹�· µ ¿ � " S���V �¹�· µ ¿ S�� � " V � " ½

S Á V � ÀX¹�U �jÇqNVº»Ä=Ã8»¿�Ý � º µ U�S � V º»N�¶V¿$ÃL¶n¿�NV¿ µ On¿$¸ Á Î�NV·MÄ"¿ �6ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿�Ý ��º µ U�S:� � V ��'S � ! � �

�� � � V }Õº ½ ¿ ½ }ÕÀ µ ·X¶n¸L¿$¶{ÇqÃL¶n¿�NP¿$¶VÖÕº µ K=Ë�I µ ¹�Onº»· µ � T � � � ¹ � ! � �

�� � � }ÕÀTO�NV·MÄ�¿R·XÁ #{¿�¹�O

S � ¥ �)¥ � V ·MËLNVºÊÄ"à S � V ½+è ¿$O � T � � � ¹ ��� � ÁC¿zOnUL¿�¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿e·MË ����ºÊOVU � � + � T � ! � ��� � � ¹� � � }0À µ ¸�»¿�O B T � � ¹ � ! � ÁC¿zOnUL¿�Ã8ILÂÊÂÊÁ�ÀX¹nÛ�·MË �#ÀX»· µ K + !�¨ T � ! � ¹ � ! � �

�� � �q½ � ¿�·XÁLO�ÀXº µ

À=¹$·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnºÊÖ0¿J¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ

ß " 7//

���

ß � ��//

��

�-��ß à �

//ß � ��

// � ¥

��UL¿$¶n¿ ¸ ¼ � � ��À µ ¸ � T � � � � � � º»N�ÀÏË�¶n· µ OË ÀX¹�¿ S º µ OnUL¿=Ë�·X¶z��ÀT¶n¸ ¹�ÀXNP¿ V ½�¾ UL¿�»¿$Ë�OU8À µ ¸ÏNVå?I8ÀT¶V¿R¸L¿$ä µ ¿�N�À�Ä�·X¶PÃ8ULº»NVÄ S Br¥ � V º µ NVº»Ä=à S � V } NV· � º µ U�S � V º»N�ÀXÂÊNV·¶n¿$ÃL¶V¿�NV¿ µ On¿�¸Á Î�OVUL¿ �6ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿�Ý���º µ U�S:� � V � �fS � � � � � � � V } KMº�Ö0¿ µ ÁÈÎ=À�¹�À µ · µ º»¹�ÀXÂL·X¶n¸L¿�¶PÇqÃL¶n¿$NV¿$¶VÖ?º µ KË�I µ ¹$OnºÊ· µ � T � � � ¹ � � � � � � � }?ÀTOeOnUL¿R·XÁ #{¿�¹$O S � ¥ B

� S � V ¥ � � S � VzV ·MËCNPº»Ä"à S � V ½¬ã ¿$¶n¿���Ä#ÀTÃ8N� ¯ � � � On·+ !�¨ S � V Ë�·X¶RS � � � �À µ ¸ÌOn·+ ! � S � V Ë�·X¶ � � � � ½¾ ULº»N�¹�À µ · µ ºÊ¹�ÀXÂz¶n¿$ÃL¶n¿$NV¿ µ O�ÀTOnºÊÖ0¿ÏË�·X¶ � º»N�º µ Ë ÀX¹$O�¸L¿$OV¿$¶nÄ�º µ ¿�¸�Á Î OnUL¿ÏºÊÄ#ÀXKM¿�·MË � º µ

¹�· µ ¿ S���V½¤ � ½�¾ UL¿�º»Ä#ÀXKM¿ ( S���V ·MË � º µ U�S�� ¹ 58V �� ¹�· µ ¿ S �mV Ë�·X¶nKM¿�OnNJOnUL¿=Ä�ÀTÃ8N)OV·� }%Á8IÕO¶n¿�Ä"¿�Ä�ÁC¿$¶nN B � S � V À µ ¸ � ½�¾ UL¿"º»Ä�ÀXKM¿* ) S���V ·MË � º µ � ¿�å?I8ÀXÂÊN � � S � V ½"¾ ÀTÛ0¿ µOn·MKM¿$OVUL¿$¶�}hOnUL¿$NV¿ ¹�¿�¶VO�ÀXº µ Â�ÎB¸L¿$On¿$¶VÄ�º µ ¿�OnUL¿ ·XÁ$#{¿$¹$O S � ¥ B � S � V ¥ � � S � V<V ½�¾ U ILN S ( ¥ ) V º»Nº µ #{¿$¹$OnºÊÖ0¿�º µ ¿�ÀX¹�U�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂC¸L¿�KX¶V¿�¿ � ½¾ UL¿ Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶n¸ ¹�ÀXNV¿�º»N�å?ILº�On¿�NPº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶�}�¶n¿$Ã8Â�ÀX¹$º µ K-Ë�¶n· µ O�Ë ÀX¹$¿�N�Á ÎBÁ�ÀX¹�Û Ë ÀX¹�¿�N � �

S � � V à # " T � � ¹ � � �q½S ¹ V ´ Ë � À µ ¸ � ÀT¶n¿)ÁC·XOVUÌä µ ºÊOn¿�·X¶ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�}8OnUL¿ µ ¹$· µ ¿ S���V }L¹�· µ ¿ S���Vr¤ � À µ ¸

U S � V ÀXÂÊÂ2U8À6Ö0¿�OnUL¿�NnÀXÄ�¿)ÃL¶n·XÃC¿$¶PO^Î�}LÁ Î è ¿�Ä"Ä#À"W ½ W ½»¼jØ À µ ¸�¹�ÀXNP¿ S Á V ½ �

´^µ OnUL¿ ¶n¿�Ä#ÀXº µ ¸L¿$¶�·MËOVULº»N�NV¿�¹$OnºÊ· µ ��¿ N{OnIL¸ÕÎ OVUL¿�¶n¿�¸LIL¹$¿�¸ Ä#ÀTÃLÃ8º µ KA¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶ÌË�·X¶NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂzÄ�ÀTÃ8N=·MËhOVUL¿ÌË�·X¶nÄ � �CT � � ¹ � � }zÀXNVNP·?¹�º»ÀTOn¿�¸ On· À µ ·X¶n¸L¿�¶PÇqÃL¶n¿$NV¿$¶VÖ?º µ KË�I µ ¹$OnºÊ· µ �CT � ¹ � ·MËeÃ�ÀT¶VOnº�ÀXÂÊÂÊÎÌ·X¶n¸L¿$¶n¿�¸ NV¿$OnN ½=Ò µ ¿=NP·MIÕ¶n¹�¿"·MË�NVIL¹�U ¿�ÝLÀXÄ"Ã8»¿�N)ºÊN)OVUL¿Ë�I µ ¹$OnºÊ· µ � � � � T � � ¹ � � ÀXNPNV·?¹�º»ÀTOn¿�¸ On· À�Ä#ÀTÃ�� T � ¹ � ·MË�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂeNV¿$OnN~}��ºÊOnU � � � Å S � V T Å S���V ¹ Å S � V ½ � UL¿ µ � À µ ¸ � ÀT¶n¿ µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶~}<OnULº»N�¿$å?I8ÀX»NOnUL¿�NPIÕÁC¸LºÊÖ?º»¸L¿�¸�Ä�ÀTà � � � ( � S � V T ( � S���V ¹ ( � S � V ½�â ·X¶RÀ µ ·XOnUL¿$¶�ÛÕº µ ¸Ì·Mˬ¿�Ý8ÀXÄ"Ã8ÂÊ¿>}NV¿�¿ è ¿$Ä�Ä#À=W ½ Þ?½�ÐL½Ñ ¿$¹�ÀX»Â+Ë�¶n·MÄ ¦)¿$ä µ º�Onº»· µ W ½�ÐL½ Q=OnU8ÀTO S � V � � �

�� }��hº�OnU�¿�º�OnUL¿$¶JOnUL¿�Ë�·X¶z��ÀT¶n¸ S ( �

� S ( V<V ·X¶�Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶V¸ S ( � � S ( V<V Ã�ÀT¶POnº�ÀXÂ2·X¶n¸L¿�¶nº µ K+} ÀX¹�¹�·X¶n¸Lº µ K=On·�OnUL¿�¹�· µ OV¿�ÝÕO ½

r�;��� ¾ E�" �#":$)E�"Ft�*-7 �CT � ¹ � I_*½385�@B,<g�*-, �KD�,.*_1�*H,_I�/J5 � \ 9�5?L-7:/ @B5 @ \ D38,-7:/�3>=2= E0@B,<g^*H,.*.g1�*-7:1~{ &)(+*-5

U S:� � V �� � S � V � �'S � ��� V ¥

k�(+*H,.* � �'T � � ¹ � � /21 7%(+*4/J5�g89�LM*.g6A�3MD'@ \ 5�*-,-I>*_1~{xM5�D3>,_7�/¬L-9;=h38,.i�U�S Å S � V<V �� �'S�� � � -�� � � V \ @8, *.3�L_(�A�3_D � T � ¹ � @ \ 1_/JAaD�= /¬L-/�38=

1�*-7:1.i 385�g6U�S ( � S � VzV �� �fS � � � -�� � � V \ @B,Æ*.3^L_(�A�3MD � T � ¹ � @ \ 5�@B5�� 1-/J5��89;=h38,1_/JAwD�= /¬L-/�3>=�1�*-7:1~{

s½,.@�@ \ { çzÎ�OnUL¿ ��· µ ¿�¸8À�»¿�Ä�Ä�À }�OnUL¿#·XÁ #{¿�¹�OnN�·MË�NVº»Ä=à S:� � V ¹�·X¶V¶V¿�NPÃC· µ ¸�Á8º #{¿$¹$OnºÊÖ0¿$ÂÊÎ OV·

Page 53: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖ0¿J¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ�N� ! � �

//

���

��� � � �//�

·MË�Ã�ÀT¶VOnº»ÀX»ÂÊÎ�·X¶n¸L¿$¶V¿�¸ANP¿$OnN�À µ ¸�·X¶n¸L¿$¶PÇlÃL¶n¿�NV¿�¶VÖÕº µ K Ë�I µ ¹$OnºÊ· µ N~}¬ÁL¶nº»¿��LÎ ¸L¿ µ ·XOn¿�¸ S � ¥ �)¥ � V ½¾ UL¿¹�·MÂʺ»Ä�º�O�·MË+OnUL¿º µ ¸LIL¹�¿�¸�Ä#ÀTÃ8N � S � V ¹ � S � V ºÊN�OnUL¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%Ä#ÀTà U S:� � V ¹� S � V OnU8ÀTO½��¿ÀXNVNV¿$¶VOhº»N�À µ ºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ ½H �jÇqNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�·MË � S � V ºÊN)¶V¿$ÃL¶n¿�NV¿ µ On¿$¸ ÁÈÎ À µ ·X¶n¸L¿$¶{ÇqÃL¶n¿�NP¿$¶VÖÕº µ KÌË�I µ ¹$OVº»· µ � T � � � ¹� ��� ½ è ¿$O�� T � � � ¹ � Á®¿�ºÊOnN=¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿Æ�hº�OnU � � + � T � �

�� ¹ � }�À µ ¸ »¿$O

� T � � ¹ ��ÁC¿)OnUL¿)Ã8IL»Â�Á�ÀX¹�ÛÏ·MË � ÀXÂÊ· µ K(+ !�¨ T � ¹ � ��� ½�¾ UL¿ µ OnUL¿�¹�À µ · µ º»¹�ÀXÂ2Ä�ÀTÃ

� T � � � ¹ � � � � � � � })��UL¿$¶n¿ � T � � � � � � ºÊNOnUL¿=Ë�¶n· µ O�Ë ÀX¹�¿ S º µ OnUL¿�Ë�·X¶<��ÀT¶n¸ ¹�ÀXNV¿ V }<º»NÀ�jÇqNVº»Ä=Ã8»¿�Ý�·MË � S � V ÀTO�OnUL¿�·XÁ #{¿�¹$O S � ¥ ��¥ � V ·MË�NVº»Ä"à S:� � V ½ ¾ UL¿�ºÊÄ#ÀXKM¿#·MË � º µ OVUL¿¹�·MÂʺ»Ä�º�O U S:� � V Ä#ÀTÃ8N�On· � º µ � S � V }LÃL¶n·6ÖÕº µ K"NVIÕ¶�#{¿$¹$OnºÊÖ?ºÊO¡Î ½¾ ·�ÃL¶n·6Ö0¿#º µ #{¿$¹$OnºÊÖ?ºÊO¡Î�}¿��¿ÏÀT¶nKMIL¿#OnU8ÀTO�À �6ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ � ·MË U�S:� � V º»N�¸L¿�On¿$¶nÄ�º µ ¿�¸ ÁÈÎ

ºÊOVNRº»Ä#ÀXKM¿ � º µ � S � V ½�è ¿$O � T � � � ¹ � ! � � � � � � Á®¿�À��jÇqNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�º µ � S � V } ÀTORNV·MÄ�¿·XÁ #{¿�¹$O S � ¥ ��¥ � V ·MËJNVº»Ä"à S:� � V }zOnU8ÀTO"¶V¿$ÃL¶n¿�NV¿ µ OnN � º µ OnUL¿�¹�·MÂʺ»Ä�º�O ½ ¦)¿$ä µ ¿ Br} ��À µ ¸� T � � ¹ � � � ÀXNzº µ OVUL¿hÃL¶n·?·MË2·MË è ¿�Ä�Ä�À�W ½�ÐL½Ê¼M¼ S Á V ½¬¾ UL¿ µ � T � � � ¹ S � V ºÊN�À �jÇqNVº»Ä=Ã8»¿�ݺ µ � S � V }ÕÀTO�OnUL¿J·XÁ #{¿�¹�O S � ¥ B � S � V ¥ � � S � VzV ·MË%NVº»Ä"à S:� � V }?OnU8ÀTO�ÀXÂÊNV·�¶n¿$ÃL¶n¿$NV¿ µ OnN � ½�¾ UL¿º»Ä�ÀXKM¿�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý � ºÊN�OVUL¿ µ ¿�åÈI8ÀXÂ%OV·=OnUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOn¿�Ä#ÀTÃ

� � ���¸ ¹ S � V 7 � �¸¬¸+¸J¹ S � V � � �¸+¸^¹ S � V ¥��ULº»¹�U�¸L¿$On¿�¶nÄ�º µ ¿$N � � S � V T � � � ¹ � ÁÈÎ�¹�·MÄ"î·MNVºÊOnºÊ· µ ÀXÂÊ· µ K ) T S � V ¹ � }=À µ ¸� T � � ¹ � � � À µ ¸ B � S � V T � � ¹ � ÁÈÎAÃ8IL»ÂÊÁ�ÀX¹nÛ-ÀX»· µ K + !�¨ T � ¹ S � V ½ ¾ UÈILN�OVUL¿¹�À µ · µ ºÊ¹�ÀXÂ2¶n¿$ÃL¶n¿�NP¿ µ OnÀTOnºÊÖ0¿ ��ÀTO S � ¥ B � S � V ¥ � � S � V<V ·MË � ºÊN~}8º µ ¸L¿�¿$¸?} ¸L¿$OV¿$¶nÄ�º µ ¿�¸ÌÁ Î � ½¾ UL¿�Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶n¸�¹�ÀXNV¿�º»N�NVº»Ä"º»Â�ÀT¶~}?¶n¿$Ã8»ÀX¹�º µ K�Ë�¶V· µ OhË ÀX¹�¿�N � ÁÈÎÏÁ�ÀX¹nÛ�Ë ÀX¹�¿�N ½ �

� ¿�¹�À µ ÀXÂÊNV·"º�On¿$¶�ÀTOn¿JOnUL¿�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K=¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶�¹�· µ NPOP¶nIL¹$OnºÊ· µ ½� ��� �¿Á2À�Á%��� E�" �#":$��?" â ·X¶hÀ=¹�U8ÀXº µ ·MË )�¹�·MÄ"î·MNnÀTÁ8»¿�Ä#ÀTÃ8N

� � - �¸~¹ �,�,� -��

¸H¹ � �·MËNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂhNV¿$OVN~}ROnUL¿ % ��� ��¾ �8à )$! % � � à Á2À��;� ¾ À��;à ¶n¿�¸LIL¹$¿�¸ Ä#ÀTÃLÃ8º µ KA¹$Î?»º µ ¸L¿$¶�}R¸L¿�ǵ ·XOn¿�¸ U S ��¨H¥ �,�,� ¥ ��� V }Tº»N<¶n¿�¹$IÕ¶nNVºÊÖ0¿$ÂÊÎ�¸L¿$ä µ ¿�¸"ÀXN<OnUL¿�Ë�·X¶<��ÀT¶V¸�¶n¿$¸LIL¹�¿�¸"Ä�ÀTÃLÃ8º µ KJ¹$Î?»º µ ¸L¿�¶U S ��� � ) V ·MË�OnUL¿¹$·MÄ"ÃC·MNVº�On¿)Ä#ÀTÃ

U�S ��¨~¥ �,�,� ¥ ��� # ¨ V" �¸�¹ � � # ¨

-��¸H¹ � � �

¾ UL¿�º�On¿$¶�ÀTOV¿�¸�¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶)ÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ ) T U�S ��¨~¥ �,�,� ¥ ��� V ¹ � ��OnUL¿ µ ¿$å?I8ÀX»NROVUL¿�¶n¿$¸LIL¹�¿�¸¹$Î?»º µ ¸L¿�¶�ÃL¶n·�#{¿�¹�Onº»· µ Ë�¶V·MÄ U�S ��� � ) V ½

¦)I8ÀX»Â�Î�}ÕË�·X¶JÀ�¹vU8ÀXº µ ·MË )�¹�·MÄ=ÃC·MNnÀTÁ8ÂÊ¿�Ä#ÀTÃ8N

� � -��¸~¹ �,�,� - �

¸H¹ � �

OnUL¿H�¾ � � ��¾ �8à )$! % � � ÃfÁ2À��;� ¾ À�� à ¶n¿�¸LIL¹�¿�¸�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶ U S ��¨H¥ �,�,� ¥ ��� V º»N�¸L¿$ä µ ¿�¸ÀXN�OnUL¿�Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶n¸Ì¶n¿�¸LIL¹$¿�¸�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$Î?»º µ ¸L¿�¶R·MË+OVUL¿¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿�Ä�ÀTÃ

U S � �B¥ �,�,� ¥ ��� V " �¸�¹ � ¨ - �¸~¹ � � �

Page 54: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

¾ UL¿zºÊOn¿�¶�ÀTOn¿�¸ÃL¶V·�#{¿$¹$Onº»· µ ) T U�S ��¨~¥ �,�,� ¥ ��� V ¹ � �e¿�å?I8ÀXÂÊNGOnUL¿z¹$Î?»º µ ¸L¿$¶GÃL¶n·�#{¿�¹�Onº»· µ Ë�¶n·MÄU S ��¨ � ) V ½¾ UL¿$¶n¿�º»N�À ¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶=¹�·?·X¶n¸Lº µ ÀTOn¿#ÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ § T U�S ��¨~¥ �,�,� ¥ ��� V ¹ ß � }eº µ ¸LIL¹�¿$¸ ÁÈÎ

µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂʺÊO¡Î��hº�OnUA¶V¿�NPÃC¿$¹$O�On· OnUL¿ÌOn¿$¶VÄ�º µ ÀXÂ�Ä#ÀTà ·MËR¹�U8ÀXº µ N�Ë�¶V·MÄ � � ¹ ����� ¹ � ��OV·5 ¹ ����� ¹ 5 }+º µ OnUL¿=Ë�·X¶<��ÀT¶n¸ ¹�ÀXNV¿>}¬À µ ¸ NPº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶nÂ�Î�º µ OnUL¿�Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶n¸ ¹�ÀXNV¿ ½Ï¾ UL¿"äLÁC¿�¶§ # ¨ S + V ·MË�OnULºÊN)Ä#ÀTà ºÊN � � º µ OnUL¿�Ë�·X¶<��ÀT¶n¸�¹�ÀXNV¿>}+À µ ¸ � � # � º µ OVUL¿�Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶n¸ ¹�ÀXNP¿>}%Ë�·X¶¿�ÀX¹�U + ¯ � ) � Ö?º»¿H��¿$¸�ÀXNRÀ#Ö0¿�¶VOn¿�Ý�·MË�ß � ½J¾ UL¿�»¿�Ä"Ä#ÀXNRÀTÁ®·jÖ0¿�ºÊÄ"Ã8ÂÊÎ�OnU8ÀTOJºÊË:¿�ÀX¹�U � � º»Nä µ ºÊOV¿ S ¶n¿$NPà ½ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶ V OnUL¿ µ U�S ��¨H¥ �,�,� ¥ ��� V º»N�ÀX»NP·=ä µ ºÊOV¿ S ¶V¿�NPà ½ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶ V ½Ò µ ¿ ¹�À µ ÀXÂÊNV·�KMºÊÖ0¿�ÀA¸LºÊ¶V¿�¹$O�¸L¿�ä µ ºÊOnºÊ· µ ·MËOnUL¿ )jÇqË�·M»¸ º�On¿$¶�ÀTOV¿�¸ ¶n¿$¸LIL¹�¿�¸ Ä#ÀTÃLÃ8º µ K

¹$Î?»º µ ¸L¿�¶ U S ��¨H¥ �,�,� ¥ ��� V }2ÀXNROnUL¿�¹$·M»º»Ä"ºÊOR·MËeÀ#Ë�I µ ¹$On·X¶)On·#NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ+NV¿�OnN ½�¾ UL¿�¶V¿�»¿$ÖTÀ µ OË�I µ ¹$On·X¶�OnÀTÛ0¿�N�À µ ·XÁ #{¿�¹$O�º µ OnUL¿�¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ�NVº»Ä"à S ��¨�¥ �,�,� ¥ ��� V })�hULºÊ¹vU ºÊN�À�¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖ0¿¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ ·MË�OnUL¿Ë�·X¶VÄ

ß � � ��

//

�� ���

�,�,� ��//ß � �

�� �

��� �- �

//�,�,� -��

//� ��¥

On·�OnUL¿ µ ¿�¶VÖ0¿·MËGOVUL¿�Ã�ÀT¶VOVº�ÀX»Â�ÎÏ·X¶n¸L¿$¶n¿$¸�NV¿$O S � ¨~¥ �,�,� ¥ � � V � � !�� � �

�� ����� �

�� � !*� �

S ��ULº»¹�U�¹�·MÄ�¿�NGº µ Ë�·X¶<��ÀT¶V¸=À µ ¸�Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶n¸�Ö0¿$¶nNVºÊ· µ N V ½ ´^µ OnUL¿�Ë�·X¶<��ÀT¶V¸�¹�ÀXNV¿�ºÊOnN��jÇÜNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�N¹�À µ Á®¿�¿vÝÕÃ8»ºÊ¹�ºÊOVÂÊÎϸL¿�NV¹�¶nºÊÁ®¿�¸�ÀXN�OVUL¿¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖ0¿J¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ�N

ß=à � � �//

�� ���

�,�,� � ��

�//ß=à �

� � �//

�� ��

��

ß�à

�� �

��� �- �

//�,�,� -��

�//� � # ¨

-��//� �

º µ ��ULº»¹�UAOnUL¿�Ä#ÀTÃ8N � ¨�¥ �,�,� ¥ � ��ÀT¶n¿ÏË�¶n· µ O=Ë ÀX¹�¿�N ½ ´{µ OnUL¿ÏÁ�ÀX¹nÛ;��ÀT¶n¸�¹�ÀXNV¿8}�OnUL¿�NP¿�Ä#ÀTÃ8NÄ�ILNPO�ÁC¿)Á�ÀX¹�Û�Ë ÀX¹�¿�N ½ r�;��� ¾ E�"��#":$ �)"Ft)*-7

� � ��

¸�¹ �,�,� ��

¸�¹ ���I_*�3FL_( 38/%5�@ \ ) @B,<g�*-, �KD�,.*_1�*H,_I�/J5 � \ 9�5�LH7:/¬@85+1�@ \ D�38,_7�/�38=2= EF@B,.g^*-,M*.g�1�*-7:1~{]&#(*-5

U S:� � ¨~¥ �,�,� ¥ � � � V �� � S � ¨~¥ �,�,� ¥ � � V � �'S � � ��� ����� �

�� ��� V ¥

385�g�1_/JA]/J=h3>,_= E /J5`7:(+*'I_3^L���kr3>,<gÆL.381�*�{s½,.@�@ \ { çzÎ"º µ ¸LIL¹$OnºÊ· µ · µ )�À µ ¸ è ¿$Ä�Ä#À�W ½xÐL½»¼ We��¿J¹�À µ ¹$·MÄ"Ã8IÕOn¿ U�S:� � ¨~¥ �,�,� ¥ � � � V �U S%� � � � ) V � U S:� � V �� �'S S � ¨~¥ �,�,� ¥ � � # ¨ V � � ��� V � � S � ¨�¥ �,�,� ¥ � � V ½�ã ¿$¶V¿� T � � �

�� ����� �

�� � � # ¨ ¹ � ��Ë�·MÂʸLN<On·MKM¿$OnUL¿$¶¬OVUL¿�¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿�Ä#ÀTÃ8N � � � ����� � � � T � � # ¨ ¹� �Ë�·X¶ ¼ � + � ) ½ �

¾ · ¹�· µ ¹$»IL¸L¿�OnULº»NÏNV¿�¹�Onº»· µ }½��¿�NVU8ÀX»Â)ÀX¸L¸Õ¶V¿�NVN#OnUL¿�å?IL¿�N{Onº»· µ ·MËc�hUL¿ µ OnUL¿�¹$Î?»º µ ¸L¿�¶¶n¿�¸LIL¹�Onº»· µ Ä#ÀTà � S � V ¹ U S � V ºÊN�NVºÊÄ"Ã8»¿ ½:¾ UL¿R¿�ÝLÀXÄ"Ã8»¿ � � � � T ß �

¹ ß ¨ NVUL·���N�OnU8ÀTO� S � V ¹ U�S � VaS º µ OnUL¿RÁ�ÀX¹nÛ;��ÀT¶n¸ÏÖ0¿$¶nNPº»· µ N V µ ¿�¿$¸LN µ ·XOzÁ®¿)NVIÕ¶�#{¿�¹$OVºÊÖ0¿>}8À µ ¸#OnUL¿)¿�ÝLÀXÄ"Ã8»¿� � �

� & � T � ß � ¹ ß ¨ NPUL·���NROnU8ÀTO�� S � V ¹ U S � V S ÀXK0ÀXº µ }®º µ OnUL¿Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶V¸�Ö0¿�¶nNVº»· µ N V¹�À µ Á®¿�NPIÕ¶�#{¿�¹$Onº�Ö0¿Á8IÕO µ ·XOhNVºÊÄ"Ã8»¿ ½¾ UL¿�ÀTÃLÃ8»ºÊ¹�ÀTOnº»· µ N ��¿�U8À�Ö0¿�º µ Ä"º µ ¸ ��º»Â»Â�ÀX¢��À6Î?N�¹�· µ ¹�¿�¶ µ OnUL¿ÌÁ�ÀX¹nÛ;��ÀT¶V¸-Ö0¿$¶nNVºÊ· µ N

·MË�OnUL¿$NV¿"Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶nN ½"¾ UL¿�¶n¿�Ë�·X¶n¿>}GË�¶n·MÄ UL¿$¶n¿"· µ À µ ¸ º µ OnUL¿=¶n¿$Ä#ÀXº µ ¸L¿$¶�·MË�OVUL¿Ã�ÀTÃC¿�¶�}®��¿P��º»ÂÊÂRÀXÂh��À6Î?N#Ä�¿�À µ OnUL¿"¿¾ ��� ��¾ �Bà ¶n¿�¸LIL¹$¿�¸ Ä#ÀTÃLÃ8º µ K ¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶���UL¿ µ �z¿��¶nºÊOn¿ U S � V ½

Page 55: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

� ��� �¿Á2À�Á%���?E�"��)"%$ ��" H NVIÕÁ8NV¿�O;� � �&·MË�À�Ã�ÀT¶VOnº�ÀXÂÊÂÊÎ=·X¶n¸L¿$¶n¿$¸�NV¿�O ��º»ÂÊ Á®¿J¹�ÀX»ÂÊ¿�¸�À � � %¬ÀÁ%Ã�� ¾ ��ºÊËzºÊO�º»N�¹�»·MNV¿$¸ I µ ¸L¿$¶�Ã�ÀXNVNVÀXKM¿"On·�ÃL¶V¿�¸L¿�¹�¿�NPNV·X¶nN~}¬º ½ ¿ ½ }#��UL¿ µ ¿$Ö0¿$¶ � � � º µ � À µ ¸��¯ � OnUL¿ µ �`¯ � ½)â ·X¶)¿�ÀX¹�U ¿�ÂÊ¿�Ä�¿ µ O �P¯ � »¿�O�� ª � � ´ ( ¯ � & ( � �µ ÁC¿�OnUL¿�»¿$Ë�Oº»¸L¿�ÀXÂ+KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿�¸�Á Î � ½ H µ ·X¶V¸L¿$¶PÇqÃL¶V¿�NV¿$¶VÖ?º µ K#Ë�I µ ¹$OVº»· µ �CT � ¹ � ¶n¿�NPOV¶Vº»¹$OnN�On·�À µ ·XOnUL¿�¶NVIL¹�U Ë�I µ ¹$OVº»· µ � ª � ¹ � ª � S � V ½ � UL¿ µ � º»N)Ä#ÀbÝÕº»Ä#ÀXÂ�º µ ��} �'S � ª �;V � ( HS � ¥ � � V º»NOnUL¿�NPO�ÀT¶ µ ¿�º»KMU0ÁC·X¶nUL·È·?¸�·MË � º µ OnUL¿NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX®¹�·MÄ"Ã8»¿vÝ � � ½� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� E�" �#"%$ �?" t)*H7 �CT � ¹ � I_* 385W@8,<g^*-, �KD�,M*_1�*-,-I�/J5�� \ 9;5�L-7�/¬@B5 @ \ Gl5/%7C*D38,-7:/¬38=2= E @B,<g^*H,.*.g�1�*-7%1�{ &#(+*-5�7%(* \ @B=2=K@Bkl/J5�� L_@B5�g8/J7�/¬@B51038,.*]*MGH9�/%I838=K*-57C{

3 � y)@B,�*.3�L_(�*H=K*-A6*-57 � ¯ � 7:(+*0/%5�g89�LM*.g�A�3MD @ \ 5�*H,_I>*_1�@ \ =K* \ 7|/�g^*M38= 1 �'S � ª � V ¹�'S � ª � S �;V<V0/21 1_/%AaD�=K*�{ I��P&)(+*0A�3_DF� �CT � � ¹ � � ( 3B1e1_/JAaD�=K* IM3^L��Bkr38,<g L-EB= /%5�g^*-,0,.*.g>9L-7�/¬@B5�{

s½,.@�@ \ { � ¿�ÃL¶n·6Ö0¿�OnU8ÀTO S À V º»Ä"Ã8Âʺ»¿�N S Á V ÁÈÎ�º µ ¸LIL¹�Onº»· µ ·6Ö0¿$¶�OnUL¿ÂÊ¿�Ë�ORºÊ¸L¿�ÀX»N � � � ½z¾ UL¿º µ ¸LIL¹�OnºÊÖ0¿�NPO�ÀTOn¿$Ä�¿ µ O�º»N�OnU8ÀTO �'S � & � V T � � ¹ � � U8ÀXN�NVºÊÄ"Ã8»¿ S Á�ÀX¹nÛ���ÀT¶n¸?}�ÀXN�ÀXÂh��À�ÎÕN V¹$Î?»º µ ¸L¿�¶R¶n¿�¸LIL¹$OVº»· µ ½RÔ ·XOn¿�OnU8ÀTO.� ª � � � ª � Ë�·X¶)¿�ÀX¹vU�ÂÊ¿�Ë�OJº»¸L¿�ÀX � � � À µ ¸ � ¯ ��} NV·OnUL¿RU0Î?î·XOnUL¿�NVºÊN S À V Ë�·X¶ � º»Ä"Ã8Âʺ»¿�NeOnUL¿R¹�·X¶P¶n¿�NPî· µ ¸Lº µ K�U0Î?ÃC·XOVUL¿�NVº»N�Ë�·X¶ � & � ½:¾ ·�N{O�ÀT¶VO�OVUL¿º µ ¸LIL¹�Onº»· µ }+��ºÊOnU � ��� } µ ·XOn¿)OnU8ÀTO � S � ¹ � � V �� U S � ¹ � � V �� � � ½â ·X¶OnUL¿=º µ ¸LIL¹$Onº�Ö0¿#NPOn¿$Ã�}G»¿$O � � � Á®¿�À µ · µ ÇÜ¿$Ä"ÃLO¡Î ÂÊ¿�Ë�O�º»¸L¿�ÀXÂ�}<À µ ¸�ÀXNPNVILÄ�¿"OnU8ÀTO

�'S � & �c  V U8ÀXN:NVº»Ä=Ã8»¿�¹$Î?»º µ ¸L¿�¶e¶V¿�¸LIL¹$OnºÊ· µ Ë�·X¶e¿�ÀX¹�U�»¿�Ë�Oeº»¸L¿�ÀX �c  � � ÃL¶n·XÃC¿�¶nÂÊÎ�¹�· µ O�ÀXº µ ¿�¸º µ � ½á UL·?·MNV¿JÀ�Ä#ÀbÝLºÊÄ#ÀXÂL¿�»¿$Ä�¿ µ O � ¯ � À µ ¸#ÂÊ¿$OJ�   � � � ´ �µ ½¬â ·X¶zÁL¶V¿$ÖÕº�O^Î=»¿�O�Í � � ª �

À µ ¸ Í   � Í � �   }2NV·ÏOnU8ÀTO � Í � ( HS � ¥ � � V º»NJOnUL¿�NPOnÀT¶ µ ¿�º»KMU0ÁC·X¶nUL·È·?¸ ·MË � º µ � �À µ ¸ � Í�  � � � S � ¥ � � V º�OnNhÂʺ µ Û�} NV¿$¿4¦)¿$ä µ ºÊOnºÊ· µ Q ½ W ½Ê¼M¼M½z¾ UL¿ µ � � � � Í ��� � � �c À µ ¸ � Í � ¹$· µ ¿ S:� Í�  V �hº�OnU Ö0¿$¶VOn¿vÝ�ÀTO � ½�è ¿$O � � � ª � S �;V ½ ¾ UL¿ µ OnUL¿$¶V¿ÏÀT¶n¿#O»�z·Ã8ILNVUL·MIÕOhNVå?I8ÀT¶n¿$N

S W ½xÐL½»¼jÞ V � S:� Í�  ¹ � Í V//

��

� S:� Í�  ¹ � � V //

��

� S:� �c  ¹ � � V

��� S%� Í ¹ � Í V//� S:� Í ¹ � � V //

� S%� � ¹ � � V��UL¿$¶n¿ � S:� Í ¹ � Í V � �'S Í ��Í V º»NÌOnUL¿�¹�· µ ¿m��ºÊOnU Ö0¿$¶VOn¿�Ý � · µ � S%� Í�  ¹� Í V � �'S Í   �ÌÍ V]S NPº µ ¹�¿ ��¿"ÀT¶V¿=¸L¿�ÀXÂʺ µ KÆ�hº�OnU�OnUL¿�Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶V¸ Ä#ÀTÃLÃ8º µ K̹$Î?»º µ ¸L¿�¶nN V ½´^µ Ã�ÀT¶VOnºÊ¹�ILÂ�ÀT¶~}ÕOnUL¿�Ö0¿$¶POnº»¹�ÀXÂ2Ä�ÀTÃ8NhÀT¶n¿�¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ N ½¾ UL¿"Ö0¿$¶VOn¿vÝ � º»N�ÀXÂÊNV·�Ä#ÀbÝÕº»Ä#ÀXÂGº µ OnUL¿"Á�ÀX¹nÛ���ÀT¶n¸ Ã�ÀT¶VOnº»ÀX»ÂÊÎ ·X¶n¸L¿�¶n¿�¸�NV¿$O S � & � V �

� � � }�hº�OnU�ÂÊ¿�Ë�ORºÊ¸L¿�ÀX S � & � V<ª � � Í � � }LNV·=OnUL¿$¶n¿�º»N�· µ ¿�Ä�·X¶V¿�Ã8ILNVUL·MIÕOhNVå?I8ÀT¶V¿

S W ½xÐL½»¼ � V U�S:� Í�  ¹ � � V //

��

U�S:� �c  ¹ � � V

��U�S:� Í ¹ � � V //U S:� � ¹ � � V

��UL¿$¶n¿ U�S:� Í ¹ � � V ºÊN�OVUL¿=¹�· µ ¿ �hº�OnU�Ö0¿�¶VOn¿�Ý � · µ U S:� Í�  ¹ � � V ½ HJK0ÀXº µ }%OVUL¿Ö0¿$¶VOVº»¹�ÀXÂ%Ä#ÀTÃ8N�ÀT¶n¿�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N ½

� ¿�NVU8ÀXÂÊÂJILNV¿ OVUL¿�KMÂÊILº µ K�»¿�Ä�Ä�À Ë�·X¶ÌNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTÃ8NÏË�·X¶�OVUL¿�Ä#ÀTà Ë�¶n·MÄ OnUL¿�·MIÕOn¿�¶Ã8ILNVUL·MIÕO:NVåÈI8ÀT¶n¿ S W ½�ÐL½»¼jÞ V On·hOVUL¿�Ã8ILNVUL·MIÕO:NVåÈI8ÀT¶n¿ S W ½xÐL½»¼ � V ½ çzÎ�·MIÕ¶¬º µ ¸LIL¹$OVºÊÖ0¿zU0Î?î·XOnUL¿�NVºÊNOnUL¿�¹$Î?»º µ ¸L¿$¶¬¶n¿�¸LIL¹$OVº»· µ Ä#ÀTÃ8N � S:� �c  ¹ � � V ¹ U�S:� �c  ¹ � � VTS º µ OnUL¿�IÕÃLÃC¿$¶:¶nºÊKMU OU8À µ ¸�¹�·X¶ µ ¿$¶ V À µ ¸ � S%� Í�  ¹ � � V ¹ U�S:� Í�  ¹ � � V ÀT¶V¿�NVºÊÄ"Ã8»¿ ½�¾ UL¿Ë�·X¶VÄ�IL»ÀXN

� S%� Í   ¹ � � V � � S:� Í   ¹ � � V���� � � �

Page 56: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

À µ ¸U S%� Í   ¹ � � V � U S%� Í   ¹ � � V?��� � � �

S º µ OnUL¿zÁ�ÀX¹nÛ;��ÀT¶n¸�¹�ÀXNP¿ V »¿$O<ILN¬¸L¿�¸LIL¹�¿�OnU8ÀTO:ÀX»NP·ROnUL¿z¶n¿�NPOP¶nº»¹$OV¿�¸�Ä#ÀTà � S:� Í�  ¹ � � V ¹U S%� Í   ¹ � � V ºÊNNVºÊÄ"Ã8»¿ ½ çzÎ ·MIÕ¶U ÎÈÃC·XOnUL¿�NPº»N~}<¹$· µ ¸LºÊOnºÊ· µ S À V Ë�·X¶ ��¯ � � ��}+OVUL¿Ä#ÀTà � Í ¹ � � º»N�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿>}GNP·�ÁÈÎ�OnUL¿�KM»ILº µ K�»¿�Ä"Ä#ÀÏOVUL¿�Ä#ÀTà � S:� Í�  ¹ � Í V ¹� S:� Í�  ¹ � � V ºÊNzNVº»Ä=Ã8»¿ ½:¾ UÈILNzOVUL¿R¹�·MÄ"î·MNVºÊOn¿�Ä#ÀTà � S:� Í�  ¹ � Í V ¹ U S:� Í�  ¹� � V�S º µ OnUL¿ IÕÃLî¿$¶�»¿$Ë�O�U8À µ ¸ ¹�·X¶ µ ¿$¶ V ºÊN�NVºÊÄ"Ã8»¿ ½ ¾ UL¿ Ä#ÀTà � S:� Í ¹ � Í V ¹U S%� Í ¹ � � VPS º µ OnUL¿�»·���¿$¶�»¿�Ë�O�U8À µ ¸ ¹�·X¶ µ ¿$¶ V ºÊNÏOVUL¿ ¹$· µ ¿ · µ OnUL¿ Â�ÀTOVOV¿$¶ÏÄ#ÀTÃ�}��ºÊOnU#Ö0¿$¶VOV¿�Ý � }?UL¿ µ ¹�¿�ÀX»NV·�OnULºÊN�OVULºÊ¶n¸�Ä#ÀTÃ�º»N�NVºÊÄ"Ã8»¿ ½�¾ U ILN~}LÁÈÎ#OnUL¿JKMÂÊILº µ K�»¿�Ä"Ä#À } OVUL¿Ä#ÀTÃ�� S:� � ¹ � � V ¹ U�S:� � ¹ � � VwS º µ OVUL¿R»·���¿$¶z¶Vº»KMU0O�U8À µ ¸Ï¹�·X¶ µ ¿$¶ V ºÊNzÀ�NVºÊÄ"Ã8»¿Ä#ÀTà ½¾ ULº»NÃL¶n·6Ö0¿�N�OnU8ÀTO �'S � & � V U8ÀXN�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿"¹$Î?»º µ ¸L¿$¶�¶n¿�¸LIL¹�Onº»· µ ½ çzÎ�º µ ¸LIL¹$OVº»· µ }¿��¿#ÀT¶V¿

¸L· µ ¿ ��ºÊOVU�OnUL¿�ÃL¶n·?·MË�OnU8ÀTO S À V ºÊÄ"Ã8»ºÊ¿�N S Á V ½â ·X¶�OVUL¿¹�· µ Ö0¿$¶nNV¿�º»Ä"Ã8Âʺ»¹�ÀTOVº»· µ S ��ULº»¹�UF��¿e�hºÊ» µ ·XO�Ä#ÀTÛ0¿�À µ Î�ILNV¿�·MË V }LNVIÕÃLî·MNV¿OnU8ÀTO� S:� � ¹ � � V ¹ U S:� � ¹ � � V º»NhNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿À µ ¸�¹$· µ NVº»¸L¿$¶RÀ µ Î�¿�ÂÊ¿�Ä�¿ µ O ��¯ � }���ºÊOVU

µ ·XO�ÀTOnºÊ· µ ÀXN"ÀTÁC·6Ö0¿ ½ çzÎ�Ã8IL»ÂÊÁ�ÀX¹nÛ�}zOnUL¿Ì¹$Î?»º µ ¸L¿$¶"¶n¿$¸LIL¹$Onº»· µ Ä�ÀTà � S:� Í ¹ � � V ¹U S%� Í ¹ � � V º»N)ÀXÂÊNV·ÏNVº»Ä=Ã8»¿ ½á · µ NPº»¸L¿$¶nº µ K�º�OnN)NV·MIÕ¶n¹�¿�ÀXN�ÀÏÄ#ÀTÃLÃ8º µ KϹ�· µ ¿>}�À µ ¸ ºÊOnNO�ÀT¶nKM¿�O�ÀXN�À�¹�· µ ¿6�hº�OnU Ö0¿$¶VOn¿vÝ � }¿��¿#Ä#À�Î ¶n¿�N{OV¶nº»¹�O�On·�OnUL¿#NVIÕÁ8NPÃ�ÀX¹$¿ S ÀXË�OV¿$¶�KM¿�·MÄ�¿$OP¶nº»¹¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOVº»· µ V ��UL¿$¶n¿ROVUL¿R¹�· µ ¿J¹�·È·X¶n¸Lº µ ÀTOn¿�º»N ¼ ª W ½ çzÎ�OnUL¿hÃ8IL»Â�Á�ÀX¹nÛ"ÃL¶n·Xî¿$¶VO¡Î�}���¿J¸L¿$¸LIL¹�¿OnU8ÀTO=OnUL¿ÌÄ#ÀTà � S:� Í   ¹ � Í V ¹ U�S:� Í   ¹ � � V º»N�NVºÊÄ"Ã8»¿ ½ H�O=OnUL¿�Á�ÀX¹nÛ ¿ µ ¸·MËzOnUL¿�NP¿�¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶nN0�z¿�¶n¿�¹�·6Ö0¿$¶�OnUL¿�Ä�ÀTà � Í ¹ � � }��hULºÊ¹�U�Ä�ILNPOOnUL¿$¶n¿�Ë�·X¶V¿ÏÀX»NV·�Á®¿NVºÊÄ"Ã8»¿ ½e¾ ULº»N�Ö0¿$¶nºÊä8¿$Nh¹�· µ ¸Lº�Onº»· µ S À V ½ �

� ��� �¿Á2À�Á%��� E�" �#"%$ �?" � ¿zNnÀ�Î�OnU8ÀTO<À�Ä#ÀTà � T � ¹ � ·MËÕä µ ºÊOV¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂMNV¿�OnN<º»N � Á:� ¼ � ����?À���Á2À � Á%� ¾�� � º»Ë � T � ¹ � S �mV º»N�À�NVºÊÄ"Ã8»¿RÄ�ÀTÃ�};�hUL¿�¶n¿ � S���Vr� � ºÊNzOnUL¿)º»Ä#ÀXKM¿�·MË� ½

r�;��� ¾ E�" �#"FE+!�" t)*H7 Í I_* 7:(+* 1_/JAaD�= /¬L-/�38=�1_9�I-1�*-7 �^*-5�*-,.387»*.g I~E6385 ! � 1_/%AaD�=K*�� � @ \ ��i1�@ Í /21 7:(+* /JA�3 �^*]@ \ �� T ß �

¹ � {]&#(+*H5 Å S Í V /21 7:(+* /JA63 �^*]@ \ Å S �� V0/J5 Å S���V_iT385�g( � S Í V0/21 7:(+*0/JA63 �^*]@ \ ( � S �� V�{s½,.@�@ \ { � ÀX¹�UÌNVºÊÄ"Ã8»¿�Ý��#·MË+Í�U8ÀXN�OnUL¿�Ë�·X¶nÄ B � S � V }LË�·X¶�NV·MÄ�¿)NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX ·XÃC¿$¶�ÀTOV·X¶ Bu}LNV·OnUL¿�Ä#ÀTà ( � S �� V T ( � S ß � V ¹ ( � S Í V Ë ÀX¹$On·X¶nN�OnUÕ¶n·MILKMU ( � S �� V ½ HJN �=ÖXÀT¶nºÊ¿�N~}LOnUL¿�NP¿�Ä#ÀTÃ8N¹�·6Ö0¿$¶ ( � S Í V }+UL¿ µ ¹�¿ ( � S �� V Ä#ÀTÃ8N· µ On· ( � S Í V ½Ì¾ UL¿Ïç�ÀT¶V¶�ÀTOVO µ ¿$¶VÖ0¿�¹�ÀXNP¿#Ë�·M»»·���NÁÈÎOnUL¿�NVIÕ¶�#{¿�¹$OVºÊÖÕº�O¡Î�·MË ( � S Í V ¹ Å S Í V }LNV¿�¿ è ¿$Ä�Ä#À�W ½ W ½Ê¼ S ½ �

r�;��� ¾ E�" �#"�E�$�"Ft�*-7 � T � ¹ � I-*c30A�3MDm@ \ Gl5�/J7C*®1_/JAaD�= / L-/�38=;1�*-7:1~{ ��9�D�D�@�1�*a7:( 387 \ @B,*.3^L-(05�@85��zg^* ��*-5�*-,.387C*r1_/JAaD�=K*�� � ¯"� � 7:(+*|A�3MD Å S �� V T Å S ß � V ¹ Å S���VT/21r1_/JAaD�=K*w@B5�7C@/J7:1½/JA�3 ��*Mi�385�g4= / ��*-k�/J1�* \ @B,c*M3^L_(]5�@B5 �zg^* �^*H5�*-,<3>7C*|1_/JAwD�=K*���@ \ � {]&)(+*-5 Å S � V T Å S���V ¹Å S � V0( 3B1 1-/JAaD�=K* IM3^L���kT38,<g�L-E8= /J5�g�*-, ,M*.g89�L-7�/¬@B5�{â ·X¶¿�ÝLÀXÄ"Ã8»¿8}%OVUL¿"»¿$Ä�Ä#À#NVUL·��hNOVU8ÀTO'( � S � V T ( � S���V ¹ ( � S � V U8ÀXNNVºÊÄ"Ã8»¿�¹$ÎÕÂʺ µ Ç

¸L¿$¶#¶n¿$¸LIL¹$Onº»· µ ��UL¿ µ ¿$Ö0¿�¶ � À µ ¸ � ÀT¶V¿ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶ÏNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NV¿�OnN ½ ç�IÕO"NV¿�¿�ÀX»NP·è ¿�Ä�Ä#À=W ½ Ø?½ Y=À µ ¸ á ·X¶n·MÂÊÂ�ÀT¶VÎ�W ½ÙØ?½ Þ?½

s½,.@�@ \ { è ¿$O�� � � � } � � � � À µ ¸ � � � �h½ â ·X¶�¿�ÀX¹�U µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý� � � ¯ � � OnUL¿ ÂÊ¿�Ë�O�ºÊ¸L¿�ÀX � ª � � � � ª � ºÊN�OnUL¿ Ã�ÀT¶POnº�ÀXÂÊÂÊÎB·X¶n¸L¿$¶V¿�¸ NV¿$O�·MË µ · µ ǸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿RË ÀX¹�¿$N�·MË��)}Ⱥ ½ ¿ ½ } OVUL¿ µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿hNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿$N�Í � ·MË®OnUL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂÕNVIÕÁ8NP¿$OÍ ·MË � KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿$¸ÌÁÈÎ �)}8NV· �'S � ª �;V � Å S Í V ¿�å?I8ÀXÂÊN�OVUL¿º»Ä�ÀXKM¿�·MË�Å S �� V º µ Å S���V ½¾ UL¿�ºÊÄ#ÀXKM¿ � S �;V � � ¯ � � NVÀTOnº»NPä8¿$N � S � V � �

� S � V }>��ºÊOVU � T � ! � ¹ � � � À�¸L¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹$ηXÃC¿�¶�ÀTOn·X¶�} À µ ¸ �'S � ª � S �;V<V � Å S � V ��UL¿$¶n¿ � º»N�OVUL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ2NVIÕÁ8NV¿�O)·MË � KM¿ µ ¿$¶�ÀTOV¿�¸

Page 57: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

Á Î�� ½�¾ UL¿ µ º µ OnUL¿�¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿JNVå?I8ÀT¶V¿

Å S ß � V � � �� �//

� � �����

Å S Í V

� �- �

��Å S ß �eV � � �� �//Å S � V

OnUL¿zÂÊ¿�Ë�O¬Ö0¿$¶VOVº»¹�ÀX Ä#ÀTÃ]Å S � V ºÊN¬ÀRNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ0UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�·6Ö0¿$¶<OnUL¿zO�ÀT¶VKM¿$O S ��ºÊOVUNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ+NV¿�¹$OnºÊ· µ Å S �� V<V }®OnU ILN�NVºÊÄ"Ã8»¿ ½�¾ UL¿�IÕÃLÃC¿$¶À µ ¸ »·���¿$¶�UL·X¶nº»Å$· µ O�ÀXÂGÄ#ÀTÃ8NeÅ S �� VÀ µ ¸ Å S �� V ÀT¶n¿�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿Ì· µ On· OnUL¿$ºÊ¶#ºÊÄ#ÀXKM¿�N�ÁÈÎ U ÎÈÃC·XOnUL¿�NPº»N~}�NV· OVUL¿�¶nºÊKMU O�Ö0¿�¶VOnº»¹�ÀXÂ�Ä�ÀTÃ� � � Å S � V T Å S Í V ¹ Å S � V º»N�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿"ÁÈÎ OnUL¿Ï¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOnºÊ· µ À µ ¸�¶Vº»KMU0O�¹�À µ ¹�¿�ÂÊÂ�ÀTOnºÊ· µÃL¶n·Xî¿$¶VOnºÊ¿�Nh·MË+NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä�ÀTÃ8N ½´ O�OnUL¿$¶n¿$Ë�·X¶n¿�Ë�·MÂÊ»·��hN�Ë�¶n·MÄ æ ¶n·XÃC·MNPºÊOnºÊ· µ W ½xÐL½»¼ Y�OnU8ÀTO�OnUL¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ�Ä�ÀTà � S Å S � V<V ¹U S Å S � V<V º»N�NVº»Ä=Ã8»¿ ½ �

�®(��®(��A,��)��7%F 4���� �8.��2����,�.Ì465L³24�7%EG7���4���7%F<3%.M,�@´^µ OnULº»NGNV¿�¹$OnºÊ· µ }>��¿�NVUL·�� OnU8ÀTOGä µ ºÊOn¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ0NV¿�OnN¬¹�À µ ÁC¿z¶V¿$Ã8Â�ÀX¹�¿$¸�Á Î µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶

· µ ¿�N~} IÕÃ"OV·�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä�ÀTÃ8N ½ � ¿�äL¶nNPOe·>�C¿�¶zÀ µ º µ ¸LIL¹$OVºÊÖ0¿>} µ · µ ÇÜË�I µ ¹$OV·X¶nº�ÀXÂ8¹�· µ NPOP¶nIL¹$OnºÊ· µ }Ⱥ µæ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ÙØ?½»¼M½�¾ UL¿$¶n¿�ÀXË�OV¿$¶�}Cº µ ¾ UL¿$·X¶n¿�Ä W ½ÙØ?½ W;}+��¿ÃL¶n·6ÖպʸL¿�À"Ë�I µ ¹$OV·X¶nº�ÀXÂ+¹�· µ NPOV¶nIL¹vÇOnºÊ· µ � S���V � Å S ( � S���V<V }%¹�ÀXÂÊ»¿�¸�OnUL¿ Á%� ¼ ��� .��;��� ��À Ë�I µ ¹�On·X¶�}���ºÊOnU À µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ:NVºÊÄ"Ã8»¿Ä#ÀTÃ�On· � ½:¾ UL¿�Ö0¿$¶VºÊä8¹�ÀTOnºÊ· µ OVU8ÀTO � ÃL¶n¿�NP¿$¶VÖ0¿�N�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTÃ8N<¶n¿�Âʺ»¿�N:· µ OnUL¿�Ä�·X¶n¿z¸Lº @�¹�ILÂ�OÃ�ÀT¶VO�·MË æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ Q ½ Q }LË�·X¶ µ ·XO µ ¿�¹�¿�NPNnÀT¶nº»Â�Î µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶RNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX®NV¿$OnN ½� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� E�"���"%$�" z3 �0t)*-7 � I_*43 Gl5�/J7C*c1_/%AaD�= /¬L-/¬38=�1�*-7 {�&#(+*-,M*0* ��/21_7:1 3 Gl5/J7»* 5�@B5��1_/J5 �89�=h3>,e1_/%AaD�= /¬L-/¬38=�1�*-7 � i|385�g 3�1_/JAwD�=K*0A�3_D � T � ¹ � {

I�� � @B,M*��^*-5�*H,<38=2= E�i4=K*H7&� 385�g � I_*�Gl5/J7»*Æ5�@B5 � 1_/J5��>9�=h38,�1_/JAaD�= / L-/�38=r1�*-7:1F385�g�=K*H7� T � ¹ � I-*�3`L_@ GJIH,.387:/ @B5�{`&#(+*H5�7%(+*H,.*6*���/21-7%1�3`LM@ G IH,<387�/¬@B5 � T � ¹ � ia7C@F31Gl5/%7C*5�@B5 � 1_/J5��>9�=h38,�1_/%AaD�= /¬L-/¬38=l1�*-7 � i4385�g�3`1_/JAaD�=K* A63MD � ¹ � kl/J7%( � � � � {mx \ � /J1�3kT*.3 �](+@BA6@[email protected]�EF*.GH9;/JI838=K*-5?LM*Mil7:(+*-5P1�@6/21 ��{s½,.@�@ \ {0S À V ç�Î�º µ ¸LIL¹$OnºÊ· µ }���¿�Ä#À�Î�ÀXNVNVILÄ�¿�OVU8ÀTOJOnUL¿�»¿�Ä�Ä�À�º»NRÃL¶n·6Ö0¿�¸ Ë�·X¶ � }2NP·�OnU8ÀTO��¿�U8À6Ö0¿=ÀÏNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTà � T �W¹ � ��ºÊOVU � ä µ ºÊOn¿=À µ ¸ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶�}+À µ ¸���¿ µ ¿�¿�¸ OV·ÃL¶n·6Ö0¿"OnUL¿�ÂÊ¿�Ä�Ä#ÀÏË�·X¶ �   � ß � � ��� � ½�è ¿$O � � � ß � ¤ � � }¬À µ ¸���¶nº�On¿ À µ ¸ ÆË�·X¶)OnUL¿�NPOV¶nIL¹$OVIÕ¶n¿=Ä�ÀTÃ8N)OV· � ß � À µ ¸ � }2¶n¿�N{ÃC¿�¹$OVºÊÖ0¿�Â�Î ½�¾ UL¿ µ OnUL¿$¶V¿=ºÊN�ÀϹ�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖ0¿¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ

¹�· µ ¿ S ( � S � VzV���� � � � �//¹�· µ ¿ S � V������ � � �

//¹�· µ ¿ S � ß � V

//ß �

( � S � V � �//

OO

�OO

V � � � ���

ww

wwooooooooooo

� OO�OO

//

���

� ß �OO�OO

::

::ttttttttt

��U S ( � S Æ V<V" �

//( � S � V

� �// �

-// �

��UL¿$¶n¿JOnUL¿)UL·X¶nº»Å$· µ O�ÀXÂ2Ä�ÀTÃ8N�ÀT¶n¿)NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿>}ÈÁ Î æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ W ½Ê¼jÞ À µ ¸ è ¿�Ä�Ä�À�W ½�ÐL½ � ½ çzÎOnUL¿�KM»ILº µ K�»¿$Ä�Ä#À }?OnUL¿�º µ ¸LIL¹�¿$¸�Ä#ÀTà ��  T �   ¹ �  �·MË+Ã8ILNVUL·MIÕOnNhº»N�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿>} ��UL¿$¶n¿

�  �� ¹$· µ ¿ S ( � S � V<V?� V � ��� U S ( � S Æ VzV �

Page 58: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

ã ¿$¶n¿ �  ¬ºÊN)À"ä µ ºÊOn¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ+NV¿�O�}2NVº µ ¹$¿�+�À µ ¸�OnUL¿�Ë�¶n· µ O�º µ ¹�ÂÊILNVº»· µ Ë�¶n·MÄ( � S � V ÀT¶n¿�Á®·XOnU̹�·XäLÁL¶nÀTOnº»· µ N ½

S Á V ´{µ OnUL¿�¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿e¹�ÀXNV¿8}>��¿�Û0¿�¿�Ã�OnUL¿ µ ·XO�ÀTOnºÊ· µ ÀTÁC·6Ö0¿zÀ µ ¸�ÀXNPNVILÄ�¿�KMº�Ö0¿ µ À�ä µ º�On¿z¹�·XäÕÇÁL¶�ÀTOnºÊ· µ � T � ¹ � ½<¾ UL¿�NPIÕÁC¸LºÊÖ?º»¸L¿�¸�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ ( � S ��V T ( � S���V ¹ ( � S � V }bË�·MÂÊ»·���¿�¸)ÁÈÎOnUL¿�Á�ÀX¹nÛº µ ¹�ÂÊILNVº»· µ ·MË ( � S � V º µ U�S ( � S Æ V<V }b¸L¿$ä µ ¿�N:ÀR¹�·XäLÁL¶nÀTOnº»· µ ( � S �mV ¹ U S ( � S Æ V<V ½¾ UL¿�Ë�¶V· µ O)º µ ¹�»ILNVºÊ· µ ( � S���V ¹ U�S ��� V OV·�OnUL¿�¶n¿�¸LIL¹�¿�¸�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K#¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶)·MË:OnUL¿�Â�ÀXNPOÖ0¿$¶VOV¿�Ý�Ä#ÀTà � � T ( � S���V ¹ � ¸L¿$ä µ ¿�NJÀ�NV¿�¹�· µ ¸�¹$·XäLÁL¶�ÀTOnº»· µ ½�¾ UL¿$¶n¿�º»N�À=¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖ0¿¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ

U�S ( � S Æ V<V" �

//( � S � V

���// �

-// �

( � S���Vff

ffLLLLLLLLLV � � �OO

� �//

��

��

�OO

�@@��������

·��U S � � V

" �//�

��UL¿$¶n¿ÌOnUL¿�UL·X¶nº»Å$· µ O�ÀXÂ�Ä#ÀTÃ8N=ÀT¶n¿�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿>}�¿vÝÕOn¿ µ ¸Lº µ K OnUL¿�· µ ¿�ÀTÁC·6Ö0¿ ½ � ¿�¶n¿$Ã8»ÀX¹�¿ �  Ë�¶n·MÄ S À V ÁÈÎÏOnUL¿�Ã8ILNVUL·MIÕO

�    �� �   � V � � � �U S � � V ¥

��ºÊOnUBOnUL¿�º µ ¸LIL¹�¿$¸ NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTà �     ¹ �   � � � � �   ½�¾ UL¿�¶n¿�å?ILº�¶n¿�¸ ¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ� ¹ �     º»N�·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸ÌË�¶n·MÄÉOnUL¿)Á�ÀX¹nÛ̺ µ ¹�»ILNVºÊ· µ � ¹ U S ��� V ½â º µ ÀXÂÊÂÊÎ�}LºÊË � T � ¹ � º»NhÀ ��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿8}®À µ ¸ � T �Z¹ � º»N�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿>}

OnUL¿ µ À µ Î � T � ¹ � ��ºÊOnU � � � �=ºÊN�À ��¿�ÀTÛ"UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿8}?ÁÈÎ�OnUL¿)WjÇq·MIÕOPÇÜ·MË»ÇÜQÃL¶n·Xî¿$¶VO¡Î ½ �

����������� � E�" ��"FE�" &#(+*-,M* /21a385 /JAwD�,.@BI�*-A6*-57 \ 9;5�L-7»@B, � T � ¹ � 7%( 3>7)7C3 ��*_1w*M3^L_( Gl5/%7C*1_/JAwD�= /¬L-/�3>=�1�*-7 � 7C@67%(* Gl5/%7C* 5?@B5�� 1_/%5��89;=h38, 1_/%AaD�= /¬L-/¬38=�1�*-7

� S �mV � Å S ( � S �mVzV � Å S ( � � " S���V<V ¥

385�g 3Æ5�387�9;,<38=)1_/JAaD�=K*�A63MD � � T � S���V ¹ � { &#(*�=h3>7:7»*-,]A�3_D�/J1 L_(+38,<3^LH7C*-,-/���*.g IHE�7:(+*LM@BA A]9�7C387�/JI>*01~GH938,.*

( � S ( � � " S���V<V ������� ��� ��//

� ��� � � � ��

��

( � � " S �mV

� � ����ŠS ( � � " S���V<V � �

//�

@ \ 1_/JAwD�=K* A�3MD�1~{]&)(+* \ 9�5?L-7C@8, � D�,.*_1�*-,_I>*-1®1_/%AaD�=K* A�3MD�1Mi�k|*.3 �4(+@BA6@[email protected]�E *.GH9;/JI83>=K*-5�LM*_1385�g LM@ GJIH,.387�/¬@B5+1~{¾ UL¿RÃL¶n·?·MË?��º»Â»Â�ÁC¿JKMº�Ö0¿ µ ÀTO�OnUL¿J¿ µ ¸�·MË%OVULº»N�NV¿�¹�Onº»· µ ½�¾ UL¿ µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�N

·MËK( � S���V À µ ¸ ( � � " S���V ÀT¶V¿ROnUL¿JNnÀXÄ�¿>}ÈUL¿ µ ¹�¿)OnUL¿J¿�åÈI8ÀX»ºÊO¡Î6Å S ( � S���V<V � Å S ( � � " S���V<V ½æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ Ø?½Ê¼ Ë�·M»ÂÊ·���N)º»Ä�Ä�¿$¸Lº�ÀTOn¿�Â�ÎÌË�¶V·MÄ ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä W ½ Ø?½ W;}CO�ÀTÛÕº µ K � � � S � V ��ºÊOVUºÊOVN S µ ÀTOVIÕ¶�ÀX V NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ�On· � }8º µ ¹�ÀXNV¿ S À V }8À µ ¸

� � � S � V�� � � � �U S � S���V ¹ �mV

Page 59: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

º µ ¹�ÀXNV¿ S Á V }LÁ8IÕO�OVUL¿º µ ¸LIL¹�OnºÊÖ0¿ÀT¶nKMILÄ�¿ µ O®�z¿�K0À�Ö0¿ÀTÁ®·jÖ0¿�º»N�Ä�·X¶n¿)¸LºÊ¶V¿�¹$O ½Ô ·XO�¿�Ö0¿$¶VÎ á � Çܹ�·MÄ"Ã8ÂÊ¿�Ý ºÊN"OV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTÁ8ÂÊ¿>}�º ½ ¿ ½ }�UL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»¹�On· OnUL¿�I µ ¸L¿$¶VÂÊÎÕº µ K

ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶V· µ ·MËhNV·MÄ"¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�¹�·MÄ"Ã8»¿vÝ ½AÓ ¿�¿ � â¬æT� S }½°vQ ½�Ð>� Ë�·X¶"À µ ¿�ÝLÀXÄ"Ã8»¿Ï¸LIL¿�OV·� ½?Ú ¿$OnÅ�ÂÊ¿$¶ � Ú ¿�Y ÞB� ·MË%À µ · µ ÇqOV¶Vº�À µ KMILÂ�ÀTÁ8ÂÊ¿hä µ ºÊOV¿ á � Çܹ�·MÄ=Ã8»¿�Ý ½ H NVI @�¹�ºÊ¿ µ O�¹$· µ ¸LºÊOnºÊ· µË�·X¶JÀ á � Çܹ�·MÄ=Ã8»¿�Ý � On·�ÁC¿OV¶Vº�À µ KMILÂ�ÀTÁ8ÂÊ¿�ºÊN�OnU8ÀTO�ºÊOhº»N �B� ��+ �J¾ � }8º ½ ¿ ½ }8OVU8ÀTOhOnUL¿�¹�»·MNVIÕ¶V¿·MËG¿�ÀX¹vUÌ·XÃC¿ µ !®Çܹ�¿�ÂÊÂ%º µ � º»N�À µ !®ÇlÁ�ÀX»Â%À µ ¸�º�OnN�ÁC·MI µ ¸8ÀT¶VÎ�º µ OnUL¿�¹�»·MNPIÕ¶n¿ºÊN�À µ S ! ¸ ¼ V ÇNPÃ8UL¿$¶V¿ ½ ´ ËG¸L¿�NPºÊ¶n¿�¸?}�NV¿�¿ ° ¼M½»¼ }�° ¼M½ W=À µ ¸ ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä Q ½xÐL½»¼ ·MË � â¬æT� S � Ë�·X¶hÄ�·X¶n¿)¸L¿$O�ÀXºÊ»N ½¾ UL¿$¶n¿�º»N�ÀX»NP·�À µ ·XOnºÊ· µ ·MË �B� ��+ �%¾ �BÁJÀ # Ë�·X¶�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂGNV¿$OVN � â¬æT� S }Cà ½ WXS�� � }%À µ ¸ OVUL¿

KM¿�·MÄ�¿�OV¶nº»¹)¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOVº»· µ ·MˬÀ�¶n¿�KMILÂ�ÀT¶hNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ%NV¿$Ohº»NJÀ=¶V¿�KMILÂ�ÀT¶ á � Çܹ�·MÄ=Ã8»¿�Ý�À µ ¸�OnU ILNOV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTÁ8ÂÊ¿ � â¬ær� S } æ ¶V·Xà ½?ÐL½ Y ½Ê¼M¼~�q½¬¾ UL¿ µ ·X¶nÄ#ÀXÂ�NVIÕÁC¸Lº�ÖÕºÊNVº»· µ ·MË�À µ Î#NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ8NV¿$O�ºÊN�À¶n¿�KMIL»ÀT¶hNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NV¿$O � â¬æT� S } æ ¶n·Xà ½8ÐL½ Y ½Ê¼ S �q½

� ¿�NPU8ÀX»ÂGº µ NPOn¿�ÀX¸�Ä#ÀTÛ0¿�ILNV¿�·MË<OnUL¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ%·XÃLî·MNVºÊOn¿·MË<OnUL¿ µ ·X¶nÄ#ÀXÂ�NVIÕÁC¸Lº�ÖÕºÊNVº»· µ }OnUL¿ � ¼K! �����B� ¾���� + ÿÁ .�Á � ÁJ��� } ��ULº»¹�U ÃL¶V·?¸LIL¹�¿�N�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂhNP¿$OnN �hº�OnUBOnUL¿�ÃL¶n·XÃC¿$¶PO^ηXÃLÃC·MNPºÊOn¿�On· ¶n¿�KMIL»ÀT¶nºÊO¡Î ½ � ¿�NVU8ÀX»Â�¹�ÀXÂÊÂ�OVULº»N"ÃL¶n·Xî¿$¶VO¡Î � ¼K! �B� ��+ �%¾ �BÁJÀ # }zNV· OVU8ÀTO � º»N·XÃÕÇq¶V¿�KMILÂ�ÀT¶hº»Ë<À µ ¸Ì· µ ÂÊÎϺ»Ë+OnUL¿�·XÃLî·MNVºÊOV¿�·MË � º»N�¶n¿�KMILÂ�ÀT¶ ½� ��� �¿Á2À�Á%���8E�" ��"��?" è ¿$O �ÏÁC¿hÀ µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿ !®ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿�Ý=º µ ÀNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂLNV¿�O � }^��ºÊOVU! ³ ¼ }�À µ ¸�¹�· µ NVº»¸L¿�¶ROnUL¿NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�NPIÕÁ8NV¿$OnN � � � À µ ¸ � � � }�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOV¿�¸�ÁÈÎ ��À µ ¸ºÊOVN¬SbÇqOnU�Ë ÀX¹�¿ � � � � S � V }b¶n¿�NPî¿�¹$Onº�Ö0¿�ÂÊÎ ½¬¾ UL¿ !®ÇÜNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý �=º»N � ¼K! ��� ��+ �J¾ � ºÊË � ºÊN<·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸Ë�¶n·MÄ � Á Î ÀTOPO�ÀX¹�ULº µ K�ß � ÀXÂÊ· µ K̺ÊOVNSbÇlOnU Ë ÀX¹�¿ � � T ß � # ¨ ¹ ß � ÖÕº»À�OnUL¿�¶n¿$ÃL¶n¿�NP¿ µ OVº µ KÄ#ÀTà �� T ß � # ¨ ¹ � ½ ´^µ ·XOnUL¿$¶ ��·X¶n¸LNH} ��ºÊN�·XÃÕÇl¶n¿�KMILÂ�ÀT¶hº»Ë�OnUL¿¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ

ß � # ¨ � �//

���

ß �

����� // �

º»N�À�Ã8ILNVUL·MIÕOÏNVåÈI8ÀT¶n¿ ½ S � ¿Ì¹�À µ OnUL¿ µ ��¶nº�On¿ � � ß � � ����

� � }zÁ8IÕO#OnULº»N=ULº»¸L¿�N�OVUL¿ÀXNVNVILÄ=ÃLOnº»· µ OnU8ÀTO�ß � # ¨ º»N�º µ ¹$»IL¸L¿�¸�ÀXN�OnUL¿�SbÇlOnU�Ë ÀX¹$¿ ½ V ç�Î�¸L¿$ä µ ºÊOnºÊ· µ }8¿$Ö0¿$¶VÎ�SbÇqNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�ݺ»NJ·XÃÕÇl¶n¿�KMIL»ÀT¶ ½ H NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂGNV¿$O � º»N � ¼K! �B� ��+ �J¾ � ºÊËe¿�ÀX¹vU µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ý�·MË� ºÊN�·XÃÕÇl¶n¿�KMILÂ�ÀT¶ ½H µ Î µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶JNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ%NV¿$Ohº»NR·XÃÕÇl¶n¿�KMILÂ�ÀT¶~} Á8IÕO µ ·XOh¹�· µ Ö0¿�¶nNV¿�Â�Î�}®NVº µ ¹�¿OnUL¿ µ · µ Ç

¸L¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�N�·MËGÀ µ ·XÃÕÇq¶V¿�KMILÂ�ÀT¶�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂCNV¿�OhÄ#À�Î#Ë ÀXºÊÂ%OV·�Á®¿�¿�Ä�Á®¿�¸L¸L¿�¸�ÀXÂÊ· µ KOnUL¿�º�¶RSbÇlOnU�Ë ÀX¹�¿ ½ *-A�38,�� �;{���{���{ Ó º»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ�NVIÕÁ8NV¿�OnNÏÀ µ ¸ ÀT¶VÁ8º�OV¶�ÀT¶VÎ�ÃL¶n·È¸LIL¹$OnN#·MËR·XÃÕÇl¶n¿�KMILÂ�ÀT¶"NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂNV¿$OVN�ÀT¶V¿�ÀXK0ÀXº µ ·XÃÕÇq¶n¿�KMIL»ÀT¶ ½ ´ O�Ë�·MÂÊ»·��hN�OnU8ÀTO�OV·�¿�ÀX¹vU�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ�NV¿$O � OVUL¿$¶n¿�º»N�À µ º µ ºÊOVº�ÀXÂÄ#ÀTà � ¹ � �

" � · µ OV· À µ ·XÃÕÇq¶V¿�KMILÂ�ÀT¶#NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�NV¿$O�}T��ULº»¹�U ��¿�Ä"º»KMU0O"¹�ÀXÂÊÂ�º�OnN � ¼K!��� ��+ �%¾ �BÁ% ¾ À�ÁJ��� ½eá ·MÄ"Ã�ÀT¶n¿ Ñ ¿�Ä#ÀT¶VÛÌW ½ W ½Ê¼ W ½¾ ·�NP¿�¿�OnUL¿�¹�»ÀXº»Ä ¹�· µ ¹�¿$¶ µ º µ K#ÃL¶n·?¸LIL¹�OnN~}CÂÊ¿$O S �)¥ � V ÁC¿�À µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�·MË

��¤ � }^�hº�OnU � À µ ¸ � ·XÃÕÇl¶n¿�KMILÂ�ÀT¶ ½�¾ UL¿ µ ��KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿�N�ÀNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂÕNVIÕÁ8NP¿$O�ß � � ����

� �·MË � À µ ¸ �ÌKM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿$NÀÏNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂGNPIÕÁ8NV¿$O�ß � � ���

� � ·MË � }?��ºÊOnU ¹�· µ Ö0¿ µ OVº»· µ N�ÀXNÀTÁC·6Ö0¿ ½�¾ UL¿ µ S �)¥ � V º»N�OnUL¿�º»Ä#ÀXKM¿)I µ ¸L¿$¶

ß � ¤ ß � ¹ S ß � � � ��

� � V|¤�S ß � � � ��

� � V

·MË)À µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿ S ! � � V ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ � º µ OVUL¿�NV·MIÕ¶n¹�¿ ½ Ò µ ÂÊÎ-º�OnN#SbÇlOnU Ë ÀX¹�¿�»ºÊ¿�N�º µß � ¤ � � S ß � # ¨ V�� � � S ß � # ¨ V#¤ ß � }?NP· S �)¥ � V º»N�·XÃÕÇq¶n¿�KMIL»ÀT¶ ½e¾ UL¿hÀT¶nKMILÄ�¿ µ OzË�·X¶�KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂÃL¶n·È¸LIL¹$OnNhºÊN�NPº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶ ½

Page 60: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

r�;��� ¾ E�"���"���"Fy)@B,�*-I>*H,_E61_/JAwD�= /¬L-/�3>=�1�*-7 ��i|7:(+*�@MD��C5�@B,-A�38=#1_9)I_g8/JI�/21-/¬@B5 ( � � " S���V4/21385�@.D��C,M* �89;=h38, 1_/%AaD�= /¬L-/¬38=�1�*-7C{s½,.@�@ \ { ¾ ULº»N�ºÊN�OnUL¿#·XÃLÃC·MNPºÊOn¿"OV· � â¬æT� S } æ ¶n·Xà ½GÐL½ Y ½»¼ S �l½ � ¿#Ä�À6Î�º µ ¸LIL¹$OVºÊÖ0¿�Â�Î ÀXNVNVILÄ"¿OnU8ÀTO � � ß � � ��� �  ?Ë�·X¶�NV·MÄ"¿�Ä#ÀTà �� T ß � ¹ � } À µ ¸=OnU8ÀTO ( � � " S �   V º»Ne·XÃÕÇq¶n¿$KMILÂ�ÀT¶ ½� ÀX¹�U µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿&!®ÇÜNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý �"º µ ( � � " S���V OnU8ÀTO¬º»N µ ·XO<º µ ( � � " S��   V º»N<º µ OVUL¿�º»Ä#ÀXKM¿Ë�¶n·MÄ ( � � " S ß �eV }MÁ8IÕO µ ·XO:º µ OnUL¿�º»Ä#ÀXKM¿�Ë�¶n·MÄ ( � � " S � ß �eV ½<ã ¿ µ ¹$¿ �"º»N¬OnUL¿�º»Ä#ÀXKM¿�I µ ¸L¿$¶( � � " S �� V ·MË<À"I µ º»åÈIL¿ µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿ !®ÇqNVº»Ä=Ã8»¿�Ý S R

�� � � � ����� � � � V º µ ( � � " S ß �eV }

��ºÊOnU SbÇqOVU Ö0¿$¶POn¿�Ý ÀTOJOnUL¿ � Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ On¿$¶.� S R�V À µ ¸�SbÇqOnU Ë ÀX¹�¿�º µ ( � � " S � ß � V ½�¾ UL¿ µ OVUL¿

NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂCNPIÕÁ8NV¿$O � � ( � � " S���V KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿$¸ÌÁÈÎ ��ºÊN�OnUL¿)Ã8ILNVUL·MIÕOJ·MË�OnUL¿¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ

ß � � � ¸ ß � # ¨ ¸ ¹ ���UL¿$¶n¿ � � � � ( � � " S��   V ºÊN�OVUL¿�ºÊÄ#ÀXKM¿�·MË�OVUL¿�Ë ÀX¹$¿ S � ¨�� ����� � � � V ½ ã ¿ µ ¹�¿ � º»N·XÃÕÇq¶V¿�KMILÂ�ÀT¶ ½ �

¾ ULº»N�»¿�Ä�Ä�À���º»ÂÊÂCÃL¶n·6ÖÕº»¸L¿�·MIÕ¶hNP·MIÕ¶n¹�¿·MËG·XÃÕÇq¶n¿�KMIL»ÀT¶hNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NV¿$OnN ½ r�;��� ¾ E�" ��"��?" t)*-7 � I_*4385m@MD��C,.* �89�=h3>, 1_/JAwD�= /¬L-/�3>=�1�*H7|385�g � 3�1_/JAwD�=K*�� @ \ � {�&#(+*-5*.3^L-(Z@ \ 7%(*�A�3MD�1 �� T ß �

¹ ��i Å S �� V T Å S ß � V ¹ Å S���V�385�g ( � S �� V T ( � S ß � V ¹( � S���Ve/J1 1_/JAaD�=K* @B57»@�/J7:1e/JA63 �^*�{s½,.@�@ \ { ´^µ ¿�ÀX¹�U-¹�ÀXNV¿���¿�Ä#À6Î ÀXNVNVILÄ�¿ÏOnU8ÀTO� º»N µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿8}zË�·X¶"ºÊË � � � � S � � V��ºÊOnU � T � ! � ¹ � � � À ¸L¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀX¹$ÎB·XÃC¿�¶�ÀTOn·X¶�}�OnUL¿ µ ¿�ÀX¹�U ·MË � }aÅ S � V À µ ¸ ( � S � V ºÊNÏÀNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÌ¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�·jÖ0¿�¶JOnUL¿�O�ÀT¶nKM¿$O~}���ºÊOnU�NV¿$¹$Onº»· µ S º µ ¸LIL¹�¿�¸�ÁÈÎ V �� }2À µ ¸OnUL¿$¶V¿�Ë�·X¶n¿�À"NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTà ½�¾ UL¿�¹�· µ ¹�ÂÊILNVº»· µ Ë�·X¶���OnUL¿ µ Ë�·MÂÊ»·��hNhË�¶n·MÄ OnUL¿· µ ¿�Ë�·X¶ � � ÁÈÎOnUL¿�¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOnºÊ· µ ÃL¶V·XÃC¿$¶VO¡Î ½Ó IÕÃLÃC·MNP¿>}LOnUL¿ µ }ÕOnU8ÀTO �̺»N�À µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿ !®ÇqNVº»Ä=Ã8»¿�Ý�º µ OnUL¿)·XÃÕÇq¶n¿�KMIL»ÀT¶�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ

NV¿$O � ½�¾ UL¿=º»Ä#ÀXKM¿ � ·MË ���º»N�ÀÏÃ8ILNPUL·MIÕO�ß � � ����

� � ½ çzÎ�º µ ¸LIL¹�Onº»· µ · µ !�}?��¿"Ä#À�ÎÀXNVNVILÄ"¿�OVU8ÀTO��� T ß � # ¨ ¹ � ºÊN)NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿ ½�ã ¿ µ ¹$¿ �� ºÊN�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿>}CÁÈÎ�OVUL¿=KMÂÊILº µ K�»¿�Ä�Ä�À�Ë�·X¶NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8N ½e¾ UL¿NnÀXÄ�¿�ÀT¶nKMILÄ"¿ µ O ��·X¶VÛ?N�Ë�·X¶�OnUL¿�º»Ä#ÀXKM¿)·MË ( � S �� V ½HJ»NP·=º µ OnUL¿ç�ÀT¶P¶�ÀTOVO µ ¿$¶VÖ0¿�¹�ÀXNV¿>}��¿�Ä#À6Î�ÀXNPNVILÄ�¿)ÁÈÎ�º µ ¸LIL¹$OVº»· µ OVU8ÀTO

Å S ���V T Å S ß � # ¨ V ¹ Å S � Vº»N�À=NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTà ½�á · µ NVº»¸L¿�¶hOnUL¿�¸L¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOVº»· µ

Å S ß � V �� ¹�· µ ¿ S Å S ß � # ¨ V<V?�� ����

� � Å S ß � # ¨ V|¤ ß ¨ ¥��UL¿$¶n¿)OnUL¿)¹�· µ ¿�î·Mº µ O�¹�·X¶V¶n¿$NPÃC· µ ¸LN�On·�OnUL¿JÖ0¿$¶VOn¿�Ý�S�º µ ß � ½�¾ UL¿$¶n¿�º»N�À�NVº»Ä"º»Â�ÀT¶z¸L¿�¹�·MÄ=ÇÃC·MNPºÊOnºÊ· µ

Å S � V �� ¹�· µ ¿ S Å S ß � # ¨ V<V?�� ����

� � U S Å S ��>V<V ¥¹�·MÄ�º µ K=Ë�¶V·MÄ À=î·MNV¿$O�¸L¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOVº»· µ � � �� ´ S µ � S ß � # ¨ V � � � �R½�¾ UL¿Ä#ÀTà ŠS �� V º»NOnUL¿�º»¸L¿ µ OnºÊO¡Î�· µ OVUL¿¹�· µ ¿>}�À µ ¸�Ä�ÀTÃ8N�OnUL¿�¹$Î?»º µ ¸L¿�¶hÁ Î�OVUL¿¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿�Ä�ÀTÃ

Å S ß � # ¨ V|¤ ß ¨¹ � S Å S ���V<V ¹ U S Å S ���VzV �

¾ UL¿�äL¶nNPOJÄ#ÀTÃ�º»NJÀ"Ã8ILNVUL·MIÕO�ÀXÂÊ· µ K�Å S ���V }���ULº»¹�U�º»NhNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Á Î�·MIÕ¶Jº µ ¸LIL¹$Onº�Ö0¿�U ÎÈÃC·XOnUL¿�ÇNVºÊN ½�¾ UL¿�NV¿�¹$· µ ¸ Ä#ÀTÃ�º»NJOnUL¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀX¬¹$Î?»º µ ¸L¿�¶�¶n¿$¸LIL¹$Onº»· µ Ä#ÀTà ·MË�Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶V¸ Ä#ÀTÃLÃ8º µ K¹$Î?»º µ ¸L¿�¶nN�Ë�·X¶)OnUL¿�Ä#ÀTÃ�Å S ���V }?��ULº»¹�U ºÊN�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�ÁÈÎ è ¿�Ä�Ä#ÀÏW ½xÐL½ W ¼M½�¾ UL¿�U ÎÈÃC·XOnUL¿$NVº»N�·MËOnU8ÀTO�»¿$Ä�Ä#À�º»N�NnÀTOnºÊNPä8¿�¸�º µ OnULº»N�¹�ÀXNV¿>}�ÀXK0ÀXº µ Á Î�OnUL¿=º µ ¸LIL¹$Onº�Ö0¿�U0Î?î·XOnUL¿�NVºÊN~}�NVº µ ¹�¿=¿�ÀX¹�Uµ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�·MË � º»N�·MË<¸Lº»Ä�¿ µ NVº»· µ � ! ½ �

Page 61: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

������� � �%¾ �/# E�"���"���"Fx \ � T � ¹ � /21�3 A�3_D @ \ @.D��C,M* �89;=h38,�1_/JAaD�= /¬L-/�38=�1�*-7:1.iw7:(+*-5 �Å S � V T Å S���V ¹ Å S � V0( 3B1 1_/%AaD�=K*'IM3�L���kr38,.gÆL-E8= /J5�g^*H, ,M*.g89�L-7:/ @B5�{s½,.@�@ \ { ¾ ULº»N�º»N�º»Ä�Ä"¿�¸Lº�ÀTOn¿JË�¶V·MÄ è ¿�Ä�Ä�ÀXNhW ½xÐL½ W ¼ À µ ¸�W ½ Ø?½ Y ½ �

� ¿ µ ·�� OnIÕ¶ µ On·-À ¹�»·MNP¿$¶�¹�·MÄ=Ã�ÀT¶nº»NV· µ ·MË�OnUL¿ µ ·X¶nÄ�ÀXÂ�NPIÕÁC¸LºÊÖ?º»NVºÊ· µ À µ ¸ ç�ÀT¶V¶�ÀTOVOµ ¿$¶VÖ0¿�·MË S ·XÃÕÇ V ¶n¿�KMIL»ÀT¶�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂÕNV¿$OnN ½eÓ ·MÄ�¿hÀXNPNVILÄ"ÃLOnºÊ· µ ÂʺÊÛ0¿�·XÃÕÇq¶n¿�KMIL»ÀT¶nºÊO¡Î�ºÊNe¶n¿$å?ILºÊ¶V¿�¸Ë�·X¶ÌOVUL¿ Ë�·M»ÂÊ·���º µ K-Ë ÀX¹�On·X¶nº»Å�ÀTOnº»· µ ½ â ·X¶�¿vÝ8ÀXÄ"Ã8ÂÊ¿>}ROnUL¿$¶n¿�º»N µ · NVIL¹�U Ë ÀX¹�On·X¶nº»Å�ÀTOnº»· µ Ë�·X¶� � ß � ª � ß � ��ºÊOnU ! ³ ¼M½� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� E�"���"���"Ft)*-7 � I_*½3 Gl5/%7C*®@.D��C,M* �89;=h38,r1_/JAaD�= / L-/�38=�1�*-7 {4&#(+*|=h3B1_7#I>*-,_7»*��eA�3MD� � T ( � S���V ¹ � \ 3^L-7»@B,_1e9�5�/�GH9�*-= E67%(^,M@B9 �B( 7:(+* LM385�@B5/ L.38=?A�3MD � � T ( � S���V ¹ Å S���V_iIHEÆ3�A�3_D ( � T Å S �mV ¹ � {

( � S���V ���//

� �""F

FFFFFFF

ŠS���V

& �||y

yy

y

da=2=)7%(^,M*M* A�3_D�1 /J5�7%(^/J14g8/�3 �>,<38A 3>,.* 1-/JAaD�=K*�{s½,.@�@ \ { â ·X¶�OnUL¿�Â�ÀXNPO�ÀXNVNV¿�¶VOnº»· µ ºÊO�NVI @"¹�¿�N�On·�ÃL¶n·jÖ0¿)OnU8ÀTO � � º»N�NVºÊÄ"Ã8»¿>}ÕÁ®¿�¹�ÀXILNV¿)OnUL¿�Â�ÀXNPOÖ0¿$¶VOV¿�Ý�Ä#ÀTà � � º»NRNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿ÁÈÎ æ ¶n·Xî·MNVºÊOVº»· µ W ½ W ½Ê¼jÞ } NP·�OnUL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$ºÊO¡ÎÌ·MË<OVUL¿�OnULºÊ¶n¸�Ä�ÀTÃ( � ��º»ÂÊ Ë�·MÂÊ»·��BÁÈÎ=OnUL¿h¶nºÊKMU O�¹�À µ ¹�¿�ÂÊÂ�ÀTOnºÊ· µ ÃL¶n·XÃC¿$¶PO^Î"·MËCNVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8N ½ � µ º»åÈIL¿ µ ¿�NVNz·MËCOVUL¿Ë ÀX¹$On·X¶Vº»Å�ÀTOnºÊ· µ ºÊNhÀXÂÊNV·"ºÊÄ�Ä�¿�¸Lº»ÀTOn¿J· µ ¹�¿ �z¿�Û µ ·�� OnU8ÀTO � � º»N�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿>}LUL¿ µ ¹�¿NVIÕ¶�#{¿�¹$OVºÊÖ0¿ ½¾ UL¿RÃL¶n·?·MËCÃL¶n·È¹�¿�¿�¸LN�Á Î#º µ ¸LIL¹�Onº»· µ · µ OnUL¿R¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ !�·MË2OnUL¿J·XÃÕÇl¶n¿�KMIL»ÀT¶�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ

NV¿$O � }:À µ ¸AÀ�NP¿�¹�· µ ¸ º µ ¸LIL¹$OnºÊ· µ · µ OnUL¿ µ ILÄ�ÁC¿$¶�·MË µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿$N�·MË � ½è ¿$O � ¯"� �ÏÁC¿ µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿ ½�¾ UL¿$¶n¿�º»N�À=¸L¿�¹�·MÄ=ÃC·MNVº�Onº»· µ

� � � ��� � �  

��UL¿$¶n¿ � � � º»N�OnUL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ%NVIÕÁ8NV¿$O)KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿�¸�Á Î�� À µ ¸ �   � � �"�  +º»NR·MˬÂÊ·���¿�¶¸Lº»Ä"¿ µ NVº»· µ ½e¾ UL¿ µ ( � S���V � ( � S � V � V � � � � �

( � S��   V À µ ¸ÆÅ S���V � Å S � V � � � � � �Å S��   V ½

´ Ë � ºÊN�ÃL¶n·Xî¿$¶nÂÊÎ�¹�· µ O�ÀXº µ ¿$¸�º µ � }LOnUL¿ µ Á Î̺ µ ¸LIL¹$OnºÊ· µ OnUL¿�ÃL¶n·Xî·MNVºÊOVº»· µ UL·MÂʸLNRË�·X¶ � }�  ¬À µ ¸ �   ½�¾ UL¿�I µ ºÊå?IL¿ µ ¿$NVN�·MˬOnUL¿�Ë ÀX¹$OV·X¶nº»Å�ÀTOVº»· µ Ë�·X¶ �  <¿ µ NVIÕ¶V¿�N�OVU8ÀTOc��¿�¹�À µ ¸L¿$ä µ ¿( � ÀXN�OnUL¿ÏI µ º»· µ ·MË ( � À µ ¸ ( ��� ÀXÂÊ· µ K ( � � ½ ¾ UL¿ÏNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�ºÊO¡Î�·MË�OnUL¿ÏÄ#ÀTà � � Ë�·MÂÊ»·��hNË�¶n·MÄÉOnU8ÀTO�·MË � � } � � � À µ ¸ � ��� ÁÈÎÏOnUL¿�KM»ILº µ K=»¿�Ä"Ä#À�Ë�·X¶hNVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8N ½´ OG¶n¿$Ä#ÀXº µ N�On·J¹�· µ NVºÊ¸L¿$¶¬OnUL¿zNPî¿�¹�º»ÀXÂ?¹�ÀXNV¿T��UL¿ µ � º»NGKM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿$¸�ÁÈÎ�ÀRNVº µ KMÂÊ¿ !®ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ?}

NV· � � � ½�¾ UL¿ µ � º»N�OnUL¿�Ã8ILNPUL·MIÕOR·MˬÀ�¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ

ß � � � ¸ ß � # ¨ �¸ ¹ �ÀXN�º µ OnUL¿)¸L¿$ä µ º�Onº»· µ ·MË � ·XÃÕÇl¶n¿�KMIL»ÀT¶.�+} �hUL¿�¶n¿ � � � º»N�·XÃÕÇq¶n¿$KMILÂ�ÀT¶�·MË�»·���¿$¶�¸Lº»Ä�¿ µ NVº»· µ ½� ¿�¹�· µ NVº»¸L¿�¶hOnUL¿�¸L¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOVº»· µ

( � S ß � V � ¹$· µ ¿ S ( � S ß � # ¨ VzV?� V � � ��� �

� � ( � S ß � # ¨ V|¤ ß ¨

��UL¿$¶n¿zOnUL¿z¹$· µ ¿�ÃC·Mº µ O¬¹$·X¶V¶n¿�NPî· µ ¸LN<On·ROnUL¿�Ö0¿�¶VOn¿�Ý�SR·MË�ß � ½¬Ò µ OnUL¿�Ã�ÀT¶PO ( � S ß � # ¨ V;¤ ß ¨·MË ( � S ß � V OnUL¿�Â�ÀXNPO�Ö0¿$¶VOV¿�Ý�Ä#ÀTà � ���ÏË ÀX¹�On·X¶nNRÀXN�OnUL¿�¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿

( � S ß � # ¨ V|¤ ß ¨ " � �¸-¸<¹ ( � S ß � # ¨ V � � � �

�¸8¸+¸+¸~¹ ß � # ¨ � �¸-¹ ß � �

Page 62: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �â ¶n·MÄ ( � S���V � ( � S ß � V�� V � � ��� �

� � ( � S � V ��¿�·XÁLO�ÀXº µ OnUL¿�¹�·X¶V¶V¿�NPÃC· µ ¸Lº µ K"¸L¿�¹$·MÄ"ÃC·TÇNVº�Onº»· µ

S W ½ÙØ?½ � V ( � S���V � ¹�· µ ¿ S ( � S ß � # ¨ V<V�� V � � ��� �

� � �    

��UL¿$¶n¿�    �� ( � S ß � # ¨ V½¤ ß ¨ � V � � ��� �

� � ( � S � Vº»NJOnUL¿�Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶V¸�Ö0¿$¶nNPº»· µ ·MË:OnUL¿�Ä#ÀTÃLÃ8º µ KϹ$Î?»º µ ¸L¿$¶ � S ( � S ���V<V ·MËeOnUL¿�NVIÕÁ®¸LºÊÖպʸL¿�¸ Ä�ÀTÃ( � S ���V T ( � S ß � # ¨ V ¹ ( � S � V ½ ´ O�Ë�·M»»·���N S Ë�¶V·MÄ OnUL¿=Ë ÀX¹�On·X¶nº»Å�ÀTOnº»· µ ÀTÁC·6Ö0¿ V OnU8ÀTO�· µ OVUL¿Ã�ÀT¶VO �     ·MË ( � S �mV OnUL¿�Â�ÀXN{O�Ö0¿$¶POn¿�Ý�Ä#ÀTÃ�Ë ÀX¹$On·X¶nNhÀXN�OnUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOn¿

�    �� � S ( � S ���VzV "��¸~¹ ( � S � V � �¸#¹ �¡¸¹ �

ã ¿$¶n¿ )�¸L¿ µ ·XOn¿�N�OnUL¿)¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶�ÃL¶n·�#{¿�¹�Onº»· µ º µ ¸LIL¹$¿�¸�Á Î )�¨�À µ ¸�OnUL¿JÄ�ÀTà �o¹ � º»NzOVUL¿º µ ¹$»ILNVºÊ· µ º µ ¸LIL¹�¿$¸ÌÁÈÎ � � ½¾ UL¿$¶n¿#º»N�À̹�·X¶V¶n¿$NPÃC· µ ¸Lº µ K�¸L¿�¹$·MÄ"ÃC·MNVº�Onº»· µ ·M˽ŠS �mV � �fS � � V }���UL¿$¶n¿ � � º»NOVUL¿

Ã�ÀT¶VOnº»ÀX»Â�Î�·X¶n¸L¿$¶V¿�¸ NV¿�O�·MË µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿=NVº»Ä=Ã8»º»¹$¿�NJº µ � }2ÀXN)º µ ¦�¿�ä µ ºÊOnºÊ· µ W ½ W ½ Q ½)è ¿�O� ¯ � � Á®¿�OnUL¿�ºÊÄ#ÀXKM¿�I µ ¸L¿$¶ �� T ß �

¹ � ·MË�OVUL¿ Ö0¿$¶POn¿�Ý S }hº ½ ¿ ½ }�OVUL¿�¹�· µ ¿�ÃC·Mº µ O¹�· µ NVºÊ¸L¿$¶n¿�¸�ÀTÁ®·jÖ0¿ ½�¾ UL¿ µ ��¿�¹�À µ ¸L¿$¹�·MÄ"ÃC·MNP¿ � � ÀXN

� � �� ´ �µ � S ß � # ¨ V � � � �P¥

��UL¿$¶n¿ S ß � # ¨ V � ¹�·X¶V¶V¿�NPÃC· µ ¸LN=On·�OnUL¿ µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�·MË � OnU8ÀTO=ÃL¶n·XÃC¿�¶nÂÊι�· µ O�ÀXº µ OVUL¿ÌÖ0¿$¶VOn¿vÝ � ½ ¾ UL¿�Ã�ÀT¶VOnº»ÀXÂ�·X¶n¸L¿$¶nº µ K�· µ � � ºÊN�NVIL¹�U OnU8ÀTO � � � Ë�·X¶#¿�ÀX¹�U¿�ÂÊ¿�Ä�¿ µ O � ·MË S ß � # ¨ V � } À µ ¸ � � S �� � V~S � V } �hUL¿�¶n¿��� � T S ß � # ¨ V � ¹ � �h½eã ¿ µ ¹�¿

S W ½ÙØ?½»¼ S V Å S���V � ¹�· µ ¿ S Å S ß � # ¨ VzV#�� ����

� � Å    

��UL¿$¶n¿�Å     � � S �� � V º»N�OVUL¿ µ ¿$¶VÖ0¿�·MË+OnUL¿�Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶n¸�Ö0¿$¶nNVºÊ· µ ·MË<OnUL¿�Ã�ÀT¶VOnº�ÀXÂÊÂÊÎÏ·X¶n¸L¿�¶n¿�¸NV¿$O S �� � V � S ß � # ¨ V � � � �h½ � ¿J¹�À µ ��¶VºÊOn¿cÅ�    � U S Å S ���V<V ÀXN�OnUL¿RÁ�ÀX¹nÛ;��ÀT¶n¸�Ö0¿$¶nNVºÊ· µ·MËÕOnUL¿�¶V¿�¸LIL¹�¿�¸�Ä#ÀTÃLÃ8º µ Kh¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶¬·MËÕOVUL¿�ç�ÀT¶P¶�ÀTOVO µ ¿$¶VÖ0¿�Ä#ÀTÃ]Å S ���V T Å S ß � # ¨ V ¹ Å S � V ½¾ UL¿�¹�À µ · µ º»¹�ÀXÂGÄ#ÀTà � � O�ÀTÛ0¿�N �    +On·ÆÅ]   �}%À µ ¸�¹�·MÄ=Ã�ÀT¶nº µ K S W ½ÙØ?½ � V À µ ¸ S W ½ÙØ?½»¼ S V �z¿

NV¿�¿�OnU8ÀTO�OnUL¿�ÂÊ¿�Ë�ORU8À µ ¸ÌNVå?I8ÀT¶n¿�º µ OnUL¿�Ë�·MÂÊ»·��hº µ K"¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄɺ»N�À�Ã8ILNVUL·MIÕO ½

S W ½ÙØ?½»¼M¼ V ( � S���V

���

��

�     � � S ( � S ���V<V "��//

��

oo( � S � V

���//

� �

��

��Å S���V Å�    � U�S Å S ���V<V " �//ooÅ S � V

& �<<zzzzzzzzz �

¾ UL¿=I µ »ÀTÁC¿�ÂÊ¿�¸�Ö0¿$¶POnº»¹�ÀX¬Ä�ÀTà �     ¹ Å�   :º»NJOnUL¿�¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿�·MË:OC��·ÌNVºÊÄ"Ã8»¿�Ä�ÀTÃ8N ½�¾ UL¿äL¶nNPOÏÄ�ÀTà �     � � S ( � S ���V<V ¹ � S Å S ���V<V º»N�OnUL¿ µ ÀTOnIÕ¶nÀXÂhÄ#ÀTÃB·MËJÄ#ÀTÃLÃ8º µ K ¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶VNº µ ¸LIL¹$¿�¸�ÁÈÎÏOnUL¿�¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿JNVå?I8ÀT¶V¿

( � S ß � # ¨ V V � � � �//

·��

( � S � V

� �

��Å S ß � # ¨ V � � � �//Å S � V ¥

Page 63: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�-� ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

À µ ¸�ºÊN�NVºÊÄ"Ã8»¿)Á Î�OnUL¿�KM»ILº µ K"»¿$Ä�Ä#À�À µ ¸ÌOnUL¿�º µ ¸LIL¹$Onº�Ö0¿U0Î?î·XOnUL¿�NVºÊN�OnU8ÀTO ��� º»N�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿ ½¾ UL¿NV¿�¹$· µ ¸�Ä#ÀTà � S Å S ���V<V ¹ U S Å S ���VzV � Å     ºÊN�OnUL¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶�¶n¿�¸LIL¹�Onº»· µ Ä�ÀT÷MËRÁ�ÀX¹nÛ;��ÀT¶V¸-Ä#ÀTÃLÃ8º µ K ¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶nNH}�À µ ¸ º»N�NVºÊÄ"Ã8»¿ÏÁ Î á ·X¶n·M»»ÀT¶VÎAW ½ Ø?½ÙÞ }zNVº µ ¹$¿�ß � # ¨ º»Nµ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶RÀ µ ¸ � ºÊN�·XÃÕÇl¶n¿�KMIL»ÀT¶ ½´ O<Ë�·MÂÊ»·��hNGOVU8ÀTOGOnUL¿z¹$·MÄ"ÃC·MNVº�On¿�Ä�ÀTà �     ¹ Å�   ?ºÊN<NVº»Ä=Ã8»¿>}bNV·RÁÈÎ�OnUL¿zKMÂÊILº µ KJ»¿$Ä�Ä#À�Ë�·X¶

NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8N:ÀTÃLÃ8Âʺ»¿�¸�On·JOnUL¿�Ã8ILNVUL·MIÕO�NVå?I8ÀT¶V¿�º µ S W ½ Ø?½Ê¼M¼ V }XºÊO:Ë�·MÂÊ»·��hN<OVU8ÀTO � � T ( � S���V ¹Å S���V º»N�À�NVºÊÄ"Ã8»¿#Ä#ÀTà ½�Ô ¿�Ý?O�}¬OnUL¿Ï¹�·MÄ"Ã�ÀTOnº�Á8º»ÂʺÊO¡Î ·MË�OnUL¿Ï¹$Î?»º µ ¸L¿�¶�ÃL¶V·�#{¿$¹$Onº»· µ N�Ë�¶n·MÄOnUL¿�·X¶n¸Lº µ ÀT¶VÎ À µ ¸BOnUL¿�¶n¿�¸LIL¹�¿$¸ Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶Ï¿ µ NVIÕ¶V¿�N�OVU8ÀTO#OnUL¿�Ä�º»¸L¸LÂÊ¿�NVå?I8ÀT¶V¿º µ S W ½ÙØ?½»¼M¼ V ¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿�N ½ çzÎ OnUL¿#º µ ¸LIL¹$Onº�Ö0¿#U ÎÈÃC·XOnUL¿�NPº»N�· µ � OnUL¿$¶n¿#ºÊN�À�Ä#ÀTà ( � OnU8ÀTOË ÀX¹$On·X¶VN � � OnUÕ¶n·MILKMU ��� ½<ã ¿ µ ¹�¿�OVUL¿�¶n¿�NPOP¶nº»¹$OVº»· µ ·MËÕOnUL¿z»ÀXNPOGÖ0¿�¶VOn¿�ÝÄ#ÀTà � � On· �     }8��ULº»¹�Uº»N�KMºÊÖ0¿ µ Á Î�OnUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿ÀXÂÊ· µ K"OnUL¿�IÕÃLî¿$¶�À µ ¸Ì¶nºÊKMU OJU8À µ ¸�¿$¸LKM¿�·MË S W ½ Ø?½Ê¼M¼ V }LË ÀX¹$On·X¶VNOnUÕ¶n·MILKMU-OVUL¿�NVº»Ä=Ã8»¿ÌÄ�ÀTà �     ¹ Å     ½ çzÎ�OnUL¿�I µ ºÊÖ0¿�¶nNnÀXÂ�ÃL¶V·XÃC¿$¶VO¡Î ·MË)À ¹�ÀTOn¿�KM·X¶Vº»¹�ÀXÂÃ8ILNVUL·MIÕO�}TºÊO�Ë�·M»ÂÊ·���N�OVU8ÀTO � � T ( � S���V ¹ � ºÊOnNV¿$»Ë?Ë ÀX¹�On·X¶nN%OnUÕ¶n·MILKMU � � T ( � S �mV ¹ Å S���V }ÀXN�¹�Â�ÀXºÊÄ�¿�¸ ½ �

s½,.@�@ \ @ \ &#(+*M@8,.*-A �;{ ��{ �;{ ¾ UL¿ÏºÊÄ"ÃL¶n·6Ö0¿�Ä�¿ µ O�Ë�I µ ¹$On·X¶ � º»N�¸L¿$ä µ ¿�¸ ÀXN�OnUL¿Ï¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿Å � ( � � Å � ( � � " ½ ´ O�ÃL¶V¿�NV¿$¶VÖ0¿$N<¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N~}TNPº µ ¹�¿rÅ À µ ¸2( � ¸L· ½ ´ O+ÀX»NV·�ÃL¶n¿�NV¿�¶VÖ0¿�NGNPº»Ä=ÇÃ8»¿�Ä#ÀTÃ8N ½<â ·X¶+º»Ë � T � ¹ � º»N+NVº»Ä=Ã8»¿>}jOnUL¿ µ ( � � " S � V T ( � � " S���V ¹ ( � � " S � V º»N+ÀhNVºÊÄ"Ã8»¿Ä#ÀTÃÏÁ Î æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ W ½ Q ½ Q�À µ ¸�OnUL¿J¶n¿�Ä#ÀT¶VÛ"OnU8ÀTO ( � S���V À µ ¸"( � � " S���V U8À6Ö0¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂÊÂÊÎUL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»¹�KM¿�·MÄ�¿$OP¶nº»¹Ï¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ N ½ ã ¿ µ ¹�¿�ÀX»NP· ( � S ( � � " S � V<V T ( � S ( � � " S���V<V ¹( � S ( � � " S � V<V º»NRNVºÊÄ"Ã8»¿8}�Á Î æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ Q ½ Q"ÀXK0ÀXº µ ½�¾ UL¿�Ö0¿$¶VOnºÊ¹�ÀXÂ+Ä�ÀTÃ8Nhº µ OVUL¿�¹�·MÄ=ÇÄ�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿�NPå?I8ÀT¶n¿

( � S ( � � " S���V<V V � � V � ���- � �

//

� ��� � � � ��

��

( � S ( � � " S � V<V� ��� � � � � ���ŠS ( � � " S �mVzV � � - �

//Å S ( � � " S � VzV

ÀT¶n¿=NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿>}%ÁÈÎ æ ¶n·Xî·MNVºÊOVº»· µ W ½ÙØ?½ ��ÀTÃLÃ8»º»¿$¸ On·�OVUL¿"ä µ ºÊOn¿=NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀX¬NV¿$OVN'( � � " S���V À µ ¸( � � " S � V }®¶n¿�NPî¿�¹$Onº�Ö0¿�ÂÊÎ�}���ULº»¹�U�ÀT¶n¿�·XÃÕÇq¶n¿$KMILÂ�ÀT¶)ÁÈÎ è ¿�Ä"Ä#ÀÏW ½ Ø?½ÙØ?½)¾ U ILN � S � V T � S���V ¹� S � VrS OnUL¿�ÂÊ·���¿�¶<UL·X¶nºÊÅ�· µ OnÀXÂÈÄ#ÀTà V º»N+NVº»Ä=Ã8»¿>}jÁÈÎ�OnUL¿�¹$·MÄ"ÃC·MNVº�Onº»· µ À µ ¸¶nºÊKMU OG¹�À µ ¹�¿�ÂÊÂ�ÀTOnºÊ· µÃL¶n·Xî¿$¶VOnºÊ¿�Nh·MË+NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä�ÀTÃ8N ½â º µ ÀXÂÊÂÊÎ�}2OnUL¿$¶V¿�º»NÀ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ:OV¶�À µ NVË�·X¶VÄ#ÀTOnº»· µ � � T � S���V ¹ � ½ ´ O�º»N�¸L¿$ä µ ¿�¸�ÀXN�OVUL¿

¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿�Ä�ÀTÃ

� � T � S���V � Å � ( � � " S���V & ��� � � � ��¸�¸+¸¸+¸ ¹ ( � � " S �mV � ��

�¸H¸.¹ � ¥

��UL¿$¶n¿hOnUL¿�äL¶nNPO�Ä�ÀTà ( V � � � � � � º»NeÃL¶n·jÖ?º»¸L¿�¸=ÁÈÎ=OnUL¿hË ÀX¹$OV·X¶nº»Å�ÀTOVº»· µ º µ æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ÙØ?½ �)·MËOnUL¿�Â�ÀXNPO�Ö0¿$¶VOV¿�Ý�Ä#ÀTÃ�Ë�·X¶�OnUL¿�·XÃÕÇq¶n¿$KMILÂ�ÀT¶�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂCNV¿$OH( � � " S���V }8À µ ¸�OnUL¿�NV¿�¹�· µ ¸�Ä�ÀTÃ� � "� º»N�OVUL¿häL¶nNPO�Ö0¿$¶VOn¿�Ý"Ä#ÀTÃ#Ë�·X¶ � } Ë�¶n·MÄ£¦)¿$ä µ ºÊOnºÊ· µ W ½ W ½Ê¼��Õ½¿� ÀX¹�U#·MËCOnUL¿�NP¿Rº»N�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿>} NV·ÀX»NP· � � º»N�À�NVº»Ä=Ã8»¿JÄ#ÀTà ½ ´ O�Ë�·M»ÂÊ·���N�ÁÈÎ"OnUL¿�WjÇÜ·MIÕOPÇq·M˻ǡQ�ÃL¶n·XÃC¿$¶PO^Î"OnU8ÀTO � ÀXÂÊNV·�ÃL¶n¿�NV¿$¶PÖ0¿�N��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿�N ½ �

�®(��2(��1%5�, � �8@®E��)���h,Õ³25�.^��� ³?��7%F ��@ E��858@ȳ �¾ UL¿�Ë�·MÂÊ»·��hº µ K)NPOnIL¸ÕÎ�·MË8OnUL¿�H è+æ ��º»ÂÊÂ?ÁC¿�ILNV¿�Ë�ILÂ8º µ Ó ¿�¹�Onº»· µ W ½ Þ ��UL¿ µ ��¿�¶n¿$Â�ÀTOn¿ Ó ¿$¶V¶V¿

äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N�On·�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8N ½

Page 64: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

� ��� �¿Á2À�Á%��� E�"���"%$�" è ¿$O � T � ¹ � ÁC¿�À�Ä#ÀTÃ�·MË<OV·XÃC·M»·MKMºÊ¹�ÀXÂ%NPÃ�ÀX¹�¿�N ½ � ¿�NnÀ�ÎÌOnU8ÀTO �U8ÀXNhOnUL¿0¾�¼�¼ �B� #Á:� ¾ À�� � Á�%¬À�Á�� ��¼ �B� ¼ �;��À=# % ��� ¼ � � ##���;Ã�� ¾#}�ÀTÁLÁL¶n¿�ÖÕº�ÀTOV¿�¸�H è+æ }�º»ËGË�·X¶¿�ÀX¹�U�¹�·MÄ"Ä�IÕOnÀTOnºÊÖ0¿J¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄÉ·MËGNV·MÂʺ»¸�ÀT¶P¶n·���Nh·MË�OnUL¿Ë�·MÂÊ»·��hº µ K�Û?º µ ¸

N ¤ ´ S µ|� ¤�S S ¥ ¼~�

''OO

OO

OO

O

��

N

77ooooooooooooo//

��

-

��

¤ � S ¥ ¼~�

''OO

OO

OO

O

77ooooooooooooo// �

OnUL¿)¸8ÀXNVUL¿�¸ÌÀT¶V¶n·��hN�¹�À µ ÀXÂh��À6Î?N�Á®¿Jä8»»¿$¸�º µ }?Û0¿�¿$Ã8º µ K=OnUL¿)¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ ¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿ ½<ã ¿$¶V¿ º»N�À̹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶V· µ À µ ¸ N À�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O�NVIÕÁLÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶V· µ }���¿"ºÊ¸L¿ µ Onº»Ë�Î p��ºÊOVU ¤ ´ S µ � ¤ � S ¥ ¼~� À µ ¸ N �hº�OnU N ¤ ´ S µ }JÀ µ ¸ S S ¥ ¼~� º»NÏOnUL¿�U8ÀXÂÊË»ÇÜ·Xî¿ µ º µ On¿$¶PÖXÀX¹�· µ O�ÀXº µ º µ K ¼ Á8IÕO µ ·XOhS ½

´^µ ·XOnUL¿$¶���·X¶n¸LNH}eKMº�Ö0¿ µ À µ Î Ä#ÀTà ¹ � À µ ¸AÀ�»ºÊË�O N ¹ � ·6Ö0¿$¶ � T � ¹ � ·M˺ÊOVN�¶n¿�NPOV¶Vº»¹$OnºÊ· µ On· N � �}�OnUL¿$¶V¿�¿�ÝLºÊNPOnNÏÀ Ä#ÀTà ¤ S S ¥ ¼~� ¹ � NVIL¹�U OVU8ÀTO S º V OVUL¿I µ º»· µ ·MËJº�OnN�¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿ ��ºÊOnU � À µ ¸-OnUL¿�KMº�Ö0¿ µ Ä#ÀTÃ� ¹ � º»N#À ¹$· µ Onº µ IL·MILN#Ä�ÀTà ¤ � S ¥ ¼~� ¹ � }%À µ ¸ S º»º V ºÊOnNJI µ ºÊ· µ ��ºÊOnU�OnUL¿�KMº�Ö0¿ µ Âʺ»Ë�O N ¹ � º»N�À#¹�· µ Onº µ IL·MILN�Ä�ÀTÃN ¤ ´ S µ�� ¤�S S ¥ ¼~� ¹ � ½ � ¿�OnU ILN�ÀXNPÛ S Ë�·X¶ N ��� V OVU8ÀTO�¿�ÀX¹vU=Ä#ÀTÃ� �� ¤ ´ S µ ¹ �º»N�· µ ¿)¿ µ ¸?ÇlÃC·Mº µ O�·MË+À�Ã�ÀTOnU ¤ � S ¥ ¼~� ¹ � ·MË�NVIL¹�UÌÄ#ÀTÃ8N~}?Ë�·X¶ ��ULº»¹�U�OnUL¿J¶n¿�Ä#ÀXº µ ¸L¿$¶�·MËOnUL¿�Ã�ÀTOnU�ÀX¸LÄ�º�OnN�À=Âʺ»Ë�O ¤�S S ¥ ¼~� ¹ � ·6Ö0¿$¶ � T � ¹ � ½

� ��� �¿Á2À�Á%��� E�"��?"�E�" Ò µ ¹$¿ Ä�·X¶n¿8}h»¿�O � T � ¹ � ÁC¿�À�Ä#ÀTà ·MË�On·XÃC·MÂÊ·MKMº»¹�ÀXÂhNPÃ�ÀX¹�¿�N ½� ¿�NnÀ�Î OVU8ÀTO � º»N#À � Á%� ¼ � � � ¾¼�º»Ë)Ë�·X¶#¿�ÀX¹vU ·XÃC¿ µ NVIÕÁ8NV¿$O , � � OnUL¿�¶n¿�NPOP¶nº»¹$OV¿�¸Ä#ÀTà � # ¨ S , V ¹ , º»N�À���¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿8}�º ½ ¿ ½ }%º»Ë � º»N�ÀÏUL¿$¶n¿�¸Lº�O�ÀT¶VÎ`��¿�ÀTÛUL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½

çzÎ ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä W ½ W�À�Ä#ÀTà � T � ¹ � ·MË%ä µ ºÊOV¿�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX®NV¿$OVN�ºÊN�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿>}Õº µ OnUL¿)NV¿ µ NV¿OnU8ÀTO�ºÊOnN�KM¿�·MÄ�¿�OV¶nº»¹J¶n¿�ÀX»º»Å�ÀTOnº»· µ & � & T & � & ¹ & � & U8ÀXN�¹�· µ OV¶�ÀX¹$Onº�Á8»¿�ÃC·Mº µ O�º µ Ö0¿$¶nNV¿�NH}®º»ËGÀ µ ¸· µ ÂÊÎ�º»Ë & � & º»N�À�NVº»Ä=Ã8»¿RÄ#ÀTÃÏ·MË%On·Xî·M»·MKMº»¹�ÀX NPÃ�ÀX¹$¿�N�º µ OnUL¿)NV¿ µ NV¿ #{ILNPO�¸L¿$ä µ ¿$¸ ½zã ·��z¿$Ö0¿$¶�}À KM¿ µ ¿$¶nÀXÂhNVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃB·MËROn·XÃC·MÂÊ·MKMº»¹�ÀXÂ�NPÃ�ÀX¹$¿�N µ ¿�¿�¸LN µ ·XO#¿$Ö0¿ µ Á®¿�NVIÕ¶�#{¿$¹$OnºÊÖ0¿8}hÀXN"OVUL¿¿�ÝLÀXÄ"Ã8»¿)·MËGOnUL¿�º µ ¹$»ILNVºÊ· µ S S ¥ ¼~� � � S ¥ ¼~� º»Â»ÂÊILNPOV¶�ÀTOV¿�N S Á8IÕOhOnUL¿�º»Ä�ÀXKM¿ ��º»ÂÊÂCÁC¿�¸L¿ µ NV¿ V ½¾ UL¿�ÀTÃLÃL¶n·�ÝLºÊÄ#ÀTOn¿Ï»ºÊË�Onº µ K ÃL¶n·XÃC¿$¶PO^ÎAË�·X¶"î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�À ºÊÄ"Ã8»ºÊ¿�N�OnUL¿ÌÃL¶n·Xî¿$¶VO¡Î�·MËhÁC¿�º µ K

NVºÊÄ"Ã8»¿>}%À µ ¸�Ë�·X¶Ä�ÀTÃ8NROn·�Ä"¿$OV¶nºÊ¹�NPÃ�ÀX¹�¿�N�OnUL¿�OC��· µ ·XOnºÊ· µ N�ÀT¶V¿=¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ O�}�ÀXNc��¿�NVU8ÀX»ÂÄ�·MÄ�¿ µ O�ÀT¶Vº»ÂÊÎJÃL¶V·jÖ0¿ ½<¾ UL¿�H è�æ ¹�À µ ÀX»NV·hÁ®¿zÄ�·XOnº�ÖXÀTOV¿�¸Á ι�· µ NPº»¸L¿$¶nº µ Kc�hU8ÀTOGº»NG¶n¿$å?ILºÊ¶V¿�¸Ë�·X¶�OnUL¿�¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶�¹�·?·X¶V¸Lº µ ÀTOn¿:ÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ § T � S � V � �o¤ � S ¥ ¼~� � � � ¹ � S ¥ ¼~� On·�ÁC¿�À Ó ¿$¶V¶V¿äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ ½�Ó ¿�¿ æ ¶n·XÃC·MNPºÊOnºÊ· µ W ½ Y ½ � ÁC¿�ÂÊ·�� ½�Ò IÕ¶�¿�Ä"Ã8U8ÀXNPº»N�· µ Ó ¿$¶P¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N S ¶�ÀTOnUL¿$¶OnU8À µ ã IÕ¶n¿H��º»¹�Å:äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N V ÀX»NV·�¿�ÝÕÃ8»ÀXº µ N%OnUL¿¬¶n¿�NPOP¶nº»¹$OVº»· µ OV·�Ä#ÀTÃ8N%Ë�¶n·MÄ Ã®·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�ÀXÂXÃ�ÀXºÊ¶VNS ¥ N V º µ OVUL¿¸L¿$ä µ º�Onº»· µ ·MËGOVUL¿H è�æ } À µ ¸�OnUL¿�Ë�·?¹$ILNh· µ ��¿�ÀTÛÌUL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$Nº µ OnUL¿¸L¿�ä µ ºÊOnºÊ· µ ·MËGNVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8N ½

r�;��� ¾ E�"��?"��?"Fx \ � T � ¹ � ( 3B1e7:(+*edat)srir7%(+*H5`/J7T/21 1_/%AaD�=K*�{

Page 65: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

s½,.@�@ \ { è ¿$O , � � ÁC¿�À µ ·XÃC¿ µ NVIÕÁ8NV¿$O ½�× º�Ö0¿ µ À µ Î�¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿JNVå?I8ÀT¶n¿

( � # ¨ //

��

� # ¨ S , V

��� �//,

��¿�NVU8ÀX»Â�NVUL·��ÉOnU8ÀTO�OnUL¿$¶n¿�º»N=À�Ä#ÀTà � �¹ � # ¨ S , V NPIL¹vUAOnU8ÀTO=OVUL¿�¶n¿$NVILÂÊOnº µ K IÕÃLî¿$¶

OV¶nº»À µ KM»¿�¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿�N�À µ ¸�OnUL¿ÂÊ·���¿�¶�OV¶Vº�À µ KM»¿�¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿$N�IÕÃÌOn·"UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ ½:¾ ULº»N�º»Ä"Ã8Âʺ»¿�NOnU8ÀTO�OnUL¿�¶n¿�NPOP¶nº»¹$OV¿�¸�Ä#ÀTà � # ¨ S , V ¹ , º»NhÀ���¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÌ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿>}CÀ µ ¸�OnU8ÀTO �º»N�À=NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTà ½¾ UL¿�Ä#ÀTà º µ å?IL¿�N{Onº»· µ º»N�·XÁLO�ÀXº µ ¿$¸ Ë�¶n·MÄ OnUL¿ H è+æ Ë�·X¶ � º µ OnUL¿ ¹�ÀXNV¿ � � � }

N � ( � # ¨ }LÁÈÎ µ ·XOnº µ K=OnU8ÀTO�º µ OnUL¿¹$·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnºÊÖ0¿h¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ

( � # ¨ ¤ ´ S µT� � � ¤�S S ¥ � �//_________

��

-

��

( � # ¨

66mmmmmmmmmmmmmm//

��

� # ¨ S , V

<<yyyyyyyyy

��

� � ¤ � S ¥ � �________ //_____ �

� �

55lllllllllllllll//,

;;wwwwwwwwww

OnUL¿�¸8ÀXNVUL¿�¸ ÀT¶V¶n·��hN�On· � À µ ¸ � �hºÊ»Â�Ë ÀX¹$On·X¶=OnUÕ¶n·MILKMU � # ¨ S , V À µ ¸ , }�¶n¿�NPî¿�¹$Onº�Ö0¿�ÂÊÎ�}ÃL¶n·6ÖպʸL¿�¸ · µ Â�Î�OnU8ÀTO � � S�ºÊN�NPI @�¹�ºÊ¿ µ OVÂÊÎ NVÄ#ÀXÂÊ ½�¾ UL¿�¶n¿�åÈILºÊ¶n¿$¸ Ä#ÀTà º»NJOnUL¿ µ ·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸ÀXN�À=¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿

��¹ ( � # ¨ ¤ ´ S µr� � � ¤�S S ¥ � � ¹ � # ¨ S , V ¥

��UL¿$¶n¿�OVUL¿�äL¶nNPO�Ä#ÀTÃ̺»N�¹vUL·MNP¿ µ On·�¿�ÝÕOn¿ µ ¸ÌOnUL¿ºÊ¸L¿ µ OnºÊä8¹�ÀTOVº»· µ ( � # ¨ �� ( � # ¨ ¤ ´ S µ ½ �

� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� E�"���"��)"Fx \ � T � ¹ � /J1�1_/%AaD�=K* 385�g�S � ¥ � V�/21�3�A6*H7:,-/¬L�1 D3^LM* 7%(*-5 �( 3B1 7%(+*edwt#sa{s½,.@�@ \ { è ¿$O ÁC¿�À�¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$Ohî·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶n· µ À µ ¸ T ¹ � À�Ä#ÀTà ½�â ·X¶hOnUL¿Ã8IÕ¶Vî·MNV¿�·MËOnULºÊN�ÃL¶V·?·MËGÂÊ¿$O�À µ � ! � Á�%¬À�Á�� ��·MË ÁC¿�À�Ä#ÀTÃ Æ T ¹ � NPIL¹vU�OnU8ÀTO�Ë�·X¶h¿�ÀX¹vU�ÃC·Mº µ O�� ¯ OnUL¿�¸LºÊNPO�À µ ¹�¿�º µ � Ë�¶n·MÄ ?S � V On· � S Æ S � V<V ºÊNJ»¿�NPNROnU8À µ � ½�è ¿$O ��ÁC¿�À�OV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnºÊ· µ ·MË�}Ⱥ ½ ¿ ½ }?À µ ·X¶n¸L¿$¶n¿�¸�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ8¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿�Ý S ·X¶�º»ËCÃL¶V¿�Ë�¿$¶V¶n¿$¸?}8À µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ8NV¿$O V��ºÊOnUÌÀ æ�è UL·MÄ�¿$·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ & � & �� ½ çzÎ�À S � ¥ �MV ! � Á�%¬À�Á�� ��·MË ��¿�NVU8ÀX»Â%Ä�¿�À µ À=Ä�ÀTÃÆ T ¹ � NVIL¹�U�OnU8ÀTOJË�·X¶)¿�ÀX¹�U�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ý"( � º µ ��OnUL¿�ºÊÄ#ÀXKM¿ � S Æ S ( V<V º»NR¹�· µ O�ÀXº µ ¿�¸º µ OnUL¿·Xî¿ µ � Ç µ ¿�º»KMU0ÁC·X¶nUL·È·?¸�º µ � ·MË �S ( V ½è ¿$O<OnUL¿ ��� � � ·MË S ¥ � ¥ V ÁC¿�OnUL¿ µ ILÄ�Á®¿$¶�­�KMº�Ö0¿ µ ÀXNGOnUL¿zÄ�ÀbÝLº»Ä�ILÄ ·MËÕOnUL¿�¸Lº»NPO�À µ ¹$¿�N

� S �S ��¨ V ¥ �S � � V<V }?�hUL¿�¶n¿ �)¨À µ ¸ � ��ÀT¶n¿=À µ Î�OC��·�î·Mº µ OnN�º µ OVU8ÀTO�ÀT¶n¿�¹�· µ O�ÀXº µ ¿$¸ º µ ÀNVº µ KM»¿JNVºÊÄ"Ã8»¿�Ý"º µ � ½�Ó · ­#ºÊNzOnUL¿JÄ#ÀbÝÕº»Ä�ILÄ ·MË%OVUL¿J¸Lº�ÀXÄ�¿$OV¿$¶nNz·MË2OnUL¿JºÊÄ#ÀXKM¿�N ?S ( Vr� �ÀXN ( � ¶�À µ KM¿�N�OVUÕ¶n·MILKMU�OVUL¿#NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿$N�·MË�OVUL¿�OV¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº»· µ � ½ ¾ UL¿ µ À µ Î S � ¥ �MV Ç»ºÊË�Onº µ K���º»ÂÊ®ÁC¿�À S ­ � �MV ÇÜ»ºÊË�Onº µ K+}ÕÁ Î#OnUL¿JOV¶nº»À µ KM»¿Jº µ ¿�å?I8ÀXÂʺÊO¡Î ½�á · µ Ö0¿$¶nNV¿$ÂÊÎ�}LÀ µ � ÇÜ»ºÊË�Onº µ K�º»NÀ S �®¥ �MV ÇÜ»ºÊË�Onº µ K=Ë�·X¶RÀ µ ÎÏOV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnºÊ· µ � ½

� ¿J¹�»ÀXº»Ä OnU8ÀTO�Ë�·X¶�À µ Î"OV¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº»· µ � ·MË À µ ¸�À µ Î � � S�ºÊO�º»Nzî·MNVNVº�Á8»¿ROn·�ä µ ¸�ÀS � ¥ �MV Çq»º»Ë�OVº µ K�·MË T ¹ � ½:Ú ·X¶n¿�·6Ö0¿$¶�}LÀ µ Î=KMºÊÖ0¿ µ S � ¥ �MV Çq»ºÊË�Onº µ K�· µ À�NVIÕÁC¹�·MÄ=Ã8»¿�Ý 0 �·MË

Page 66: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

S OV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOn¿$¸�Á Î�À"NPIÕÁC¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿�Ý �a �·MË � V ¹�À µ ÁC¿�¿�ÝÕOn¿ µ ¸L¿�¸�On·"· µ ¿�· µ ÀX»Â%·MË ½ çzκ µ ¸LIL¹�Onº»· µ ºÊOc��º»Â»ÂGNVI @�¹�¿�On·#ÃL¶n·6Ö0¿�OnULºÊN)¹�Â�ÀXºÊÄ º µ OnUL¿�¹�ÀXNV¿]�hUL¿ µ   ºÊN�ÀXÂÊÂ<·MË ¿�ÝL¹�¿�ÃLOË�¶n·MÄ S OnUL¿�º µ OV¿$¶nº»·X¶h·MË V À=On·XÃÕÇܸLºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ ÀXÂ%NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý ½z¾ ULºÊNh¹�ÀXNV¿�ÀXK0ÀXº µ Ë�·MÂÊ»·��hN�Ë�¶n·MÄ OVUL¿NPî¿�¹�º�ÀXÂ%¹�ÀXNP¿ ��UL¿$¶n¿� ºÊNhÀ"NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�À µ ¸   ºÊN�º�OnN�ÁC·MI µ ¸8ÀT¶VÎ ½´^µ OVULº»N�¹�ÀXNV¿>}�»¿$O , ÁC¿#OnUL¿�·XÃC¿ µ � Ç µ ¿$º»KMU0ÁC·X¶nUL·È·?¸ º µ � ·MË�OVUL¿�ºÊÄ#ÀXKM¿ ?S V ½�¾ UL¿

Ã�ÀT¶VOnº»ÀX S � ¥ �MV ÇÜÂʺ»Ë�Onº µ K�· µ  8Ä#À6Î�Á®¿�¶n¿$K0ÀT¶n¸L¿�¸#ÀXN�À�Ä#ÀTÃ=On· � # ¨ S , V }Ⱥ µ ÖպʿH�B·MË®OnUL¿�Ö0¿$¶VθL¿$ä µ º�Onº»· µ ·MˬÀ S � ¥ �MV ÇÜÂʺ»Ë�Onº µ K ½ � ¿ÀT¶n¿�ÀXNVNVILÄ"º µ K=OVU8ÀTO � ºÊNRÀ"NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTÃ�}8NV·=OnU8ÀTOhOnU8ÀTOOnUL¿"¶V¿�NPOV¶nºÊ¹$On¿�¸ Ä�ÀTà � # ¨ S , V ¹ , ºÊN�À ��¿�ÀTÛ UL·MÄ�·XOn·Xà Π¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ ½�ã ¿ µ ¹�¿6��¿"¹�À µä µ ¸�ÀÌÄ#ÀTà ¹ � # ¨ S , V ¿�Ý?On¿ µ ¸Lº µ K�OnUL¿"KMºÊÖ0¿ µ Ä�ÀTà · µ 0  ½Ì¾ ULº»N�KMº�Ö0¿�N�OVUL¿�¸L¿�NVº�¶n¿�¸S � ¥ �MV Çq»º»Ë�OVº µ K"· µ ½¾ · ÃL¶n·6Ö0¿�OnU8ÀTO � U8ÀXN#OnUL¿�H è�æ ��¿�NVU8ÀX»ÂJ¹$· µ NPOV¶nIL¹$O�À�Ä#ÀTà ¤ S S ¥ ¼~� ¹ � ÁÈÎ

Ã8º»¿$¹�º µ K-On·MKM¿�OnUL¿$¶�Âʺ»Ë�Onº µ KMNÌ·MË�OnUL¿ Û?º µ ¸ #{ILNPO�¸LºÊNV¹�ILNVNP¿�¸�· µ OVUL¿ Ã�ÀT¶VOnN ¤ ´ � � µ À µ ¸ ¤ � � � > ¨~¥ � � � }|�hUL¿�¶n¿ ´ � � µ :� · ¨ ºÊN�NV·MÄ�¿�NP¿�å?IL¿ µ ¹$¿ ·MË µ ILÄ�ÁC¿$¶nN#º µ S S ¥ ¼~� ¸L¿�¹$¶n¿�ÀXNPº µ KÄ�· µ ·XOn· µ ºÊ¹�ÀX»Â�Î�On·�Å�¿$¶V·+}¬Ë�·X¶�¿�Ý8ÀXÄ=Ã8»¿ � � � ¼ ª ! ½ � ¿�Ä�ILNPO�ÀT¶P¶�À µ KM¿�OnULº»NNV·�OnU8ÀTOOVUL¿I µ º»· µ Ä#ÀTÃ8N N ¤ ´ S µT� ¤�S S ¥ ¼~� ¹ � À µ ¸ ¤ � S ¥ ¼~� ¹ � ÀT¶n¿¹�· µ Onº µ IL·MILN ½â ºÊ¶VNPO�}�Ë�·X¶�À µ Î !f�z¿"¹�UL·?·MNV¿�À�OV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnºÊ· µ � � ·MË ¤ ´ � � µ �hUL·MNV¿=Ä�¿�NVU?}+º µ OVUL¿

ÀTÁC·6Ö0¿�NV¿ µ NV¿>}hºÊN#ÀTO#Ä�·MN{O ¼ ª ! ½ � ¿�Ä#À�Î ¹�¿�¶VO�ÀXº µ Â�Î ÀT¶V¶nÀ µ KM¿ÌOnU8ÀTO N �� N ¤ ´ � � µ º»NOV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOn¿$¸ÏÁ Î�À�NVIÕÁC¹�·MÄ=Ã8»¿�Ý�·MË � � ½�¾ UL¿ µ �z¿�ILNV¿)OnUL¿)¹�»ÀXº»Ä ÀTÁ®·jÖ0¿JOn·�¸L¿$ä µ ¿À�Ä�ÀTà �� ¤ ´ � � µ ¹ � ÀXN�À µ ¿�Ý?On¿ µ NVºÊ· µ ·MË%OnUL¿)KMºÊÖ0¿ µ Ä#ÀTà N ¹ � On·�À S � �?¥ ¼ ª ! V Çq»ºÊË�Onº µ K·MË T ¹ � ½Ô ¿�Ý?O�}��z¿�¹vUL·È·MNV¿�À�OV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnºÊ· µ �a � ·MË ¤ � � � > ¨�¥ � � � ·MË:Ä�¿�NVU � ¼ ª ! ½ HJK0ÀXº µ �z¿

Ä#À�Î ÀXNPNVILÄ�¿"OnU8ÀTO N ¤ � � � > ¨~¥ � � � º»N�À�NVIÕÁC¹�·MÄ=Ã8»¿�Ý º µ OnULºÊNOV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnºÊ· µ ½�¾ UL¿ !®ÇlOnUÀ µ ¸ S ! � ¼ V ÇqOnU�»ºÊË�Onº µ K #{ILNPOe¹�· µ NPOP¶nIL¹$On¿�¸"Ä#À6Î�OnUL¿ µ ÁC¿�¶n¿�K0ÀT¶n¸L¿$¸�ÀXNeÀ�NPº µ KM»¿ S W ª ! V ÇÜ»ºÊË�Onº µ K¸L¿$ä µ ¿�¸Ï· µ ¤ ´ � � > ¨�¥ � � µ }���ULº»¹�U6��¿RÄ#À�Î�¿�ÝÕOV¿ µ ¸�On· ¤ ´ � � > ¨�¥ � � µ)� N ¤ � � � > ¨H¥ � � �Á Î�º µ NVºÊNPOnº µ K�OnU8ÀTOROnUL¿�Âʺ»Ë�Onº µ K#· µ N ¤ � � � > ¨�¥ � � � Ä�ILNPORÁC¿�º µ ¸L¿$ÃC¿ µ ¸L¿ µ O�·MˬOnUL¿�º µ On¿$¶PÖXÀX¹�·È·X¶n¸Lº µ ÀTOn¿ ½ çzÎÏOnUL¿¹$Â�ÀXº»Ä OnUL¿�»ºÊË�Onº µ K=Ä#À�Î#ÁC¿Ë�IÕ¶POnUL¿$¶J¿�Ý?On¿ µ ¸L¿�¸�On·�À S �a � ¥vW ª ! V Çq»ºÊË�Onº µ K· µ ÀXÂÊÂ%·MË ¤ � � � > ¨~¥ � � �q½

� ¿�U8À6Ö0¿�OnU ILNh·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸?}8Ë�·X¶R¿$Ö0¿$¶PÎ !�}�À S Q ª ! V ÇÜÂʺ»Ë�Onº µ K=· µ ¤ � � � > ¨~¥ � � � }�À µ ¸ÌOnUL¿�NP¿Â»ºÊË�Onº µ KMNRÀT¶n¿�¹�·MÄ"Ã�ÀTOnº�Á8»¿�ÀXN ! ÖTÀT¶nºÊ¿�N ½)¾ UÈILNJOnUL¿$Î�ÀXNVNV¿�Ä�Á8»¿�OV·ÏÀÏÄ�ÀTÃ� ¤'S S ¥ ¼~� ¹ � ½´^µ ÖպʿH� ·MË�º�OnN�¹�· µ N{OV¶nIL¹$OnºÊ· µ }<OnULº»NÄ#ÀTà º»N¹�·MÄ"Ã�ÀTOnº�Á8»¿���ºÊOVU OnUL¿�KMºÊÖ0¿ µ Ä#ÀTÃ8N N ¹ �À µ ¸ ¹ � º µ OnUL¿ ��À6Î�¶n¿�åÈILºÊ¶n¿$¸�Á Î�OnUL¿�H è�欽 �

� ��� �¿Á2À�Á%��� E�"��?"���" è ¿$O T � ¹ Å Á®¿ÏÀ�Ä#ÀTÃ�·MË�OV·XÃC·M»·MKMºÊ¹�ÀXÂ�N{Ã�ÀX¹�¿�N~}eNV· S � ¥ V ºÊN�ÀNPÃ�ÀX¹�¿�·6Ö0¿$¶ Å ½ � ¿ÏNnÀ�Î OnU8ÀTO S � ¥ V º»N À��8Á .�Á ¾�� +�¼ À�� ¾ � Á%� ¼ � � � ¾¼ º»Ë�OnUL¿$¶V¿�ºÊN�ÀÃL¶n·Xî¿$¶)À µ ¸�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ�·6Ö0¿$¶cÅ Ë�¶V·MÄ À=ÃL¶n·È¸LIL¹$ORäLÁL¶�ÀTOVº»· µ S Å ¤ �®¥ )�¨ V On· S � ¥ V ½ ´^µ·XOnUL¿$¶ ��·X¶n¸LNH}�OnUL¿�¶n¿ºÊNhÀ�NPÃ�ÀX¹�¿ � À µ ¸�À�¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿J¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ

Å ¤ �-

//

"�� �##F

FFFF

FFFF

�"

��~~~~

~~~

Å

��UL¿$¶n¿ ��º»N�ÃL¶n·XÃC¿�¶JÀ µ ¸ÌNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿ ½� ¿�NnÀ�Î�OVU8ÀTO S � ¥ V ºÊN � ��� ¾ � � #�À��BÁ .�Á ¾ ��+)¼ À�� � Á:� ¼ � ��� ¾¼ ��ºÊË®¿�ÀX¹�U"î·Mº µ O�º µ Å U8ÀXN

À µ ¿$º»KMU0ÁC·X¶nUL·È·?¸�·6Ö0¿$¶ �hULºÊ¹vU�OnUL¿�¶n¿$NPOV¶nºÊ¹$Onº»· µ ·MË S � ¥ V ºÊN�OV¶VºÊÖÕº»ÀXÂCIÕÃ�On·"À=NVºÊÄ"Ã8»¿)Ä#ÀTà ½� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� E�"��?"���" t)*-7�S � ¥ V.I_* 341¬D3^LM*e@BI>*-, Å 7:( 387¿/21a=K@�L.38=2= E�7�,_/JI�/�38=9�D 7»@01-/JAaD�=K*A�3MD�1�385�gÆ1_9�D�D�@�1�*�7:( 387 � /J1 3 =K@�L.38=2= E�LM@BAaD3�L-7 A6*H7:,-/¬L�1¬D3^LM*�{`&#(+*-5 T�� ¹ Å /21�3�?*-,-,.* G IH,<387�/¬@B5�{

Page 67: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

s½,.@�@ \ { � ¿JÄ�ILN{O�NVUL·�� OnU8ÀTO� �U8ÀXNzOnUL¿JUL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ"»ºÊË�Onº µ K�ÃL¶n·Xî¿$¶VO¡Î�Ë�·X¶�î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�À }?OnU8ÀTOº»NH}�KMº�Ö0¿ µ À µ Î�¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿JNVå?I8ÀT¶V¿·MËGNP·M»º»¸ÌÀT¶V¶n·��hN

S W ½ Y ½ Þ V �

//

��

�"

�� ¤ � S ¥ ¼~� �//

::vv

vv

v Å

��UL¿$¶n¿ ɺÊN�ÀÏÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶n· µ À µ ¸ ɺ»N�º»¸L¿ µ Onº�ä8¿�¸m��ºÊOnU ¤ ´ S µ }�OnUL¿�¸8ÀXNVUL¿�¸ ÀT¶V¶n·�� ¹�À µÀXÂh��À6Î?NRÁC¿�ä8»ÂÊ¿�¸�º µ �hULºÊ»¿�Û0¿�¿$Ã8º µ K�OVUL¿�¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ ¹�·MÄ"Ä�IÕOnÀTOnºÊÖ0¿ ½R¾ UL¿�äL¶nNPO�NPOV¿$Ã���º»ÂÊÂ+Á®¿On·�¶n¿�¸LIL¹�¿OV·�OnUL¿�¹�ÀXNV¿e�hUL¿ µ S � ¥ V º»N S KM»·XÁ�ÀXÂÊÂÊÎ V OP¶nºÊÖ?º�ÀXÂCIÕÃ�OV·�À=NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä�ÀTà ½¾ UL¿zÁ�ÀXNV¿ Å ºÊN¬¹�·jÖ0¿�¶n¿�¸=Á Î�·Xî¿ µ NPIÕÁ8NV¿$OnNe·jÖ0¿�¶:¿�ÀX¹�U=·MË�hULºÊ¹�U�OnUL¿�¶n¿$NPOV¶nºÊ¹$Onº»· µ ·MË S � ¥ V

º»N�OV¶nº�ÖÕº�ÀX¬IÕà On·�ÀÌNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿=Ä#ÀTà ½ � ¿=¹�À µ ä µ ¸ NVIÕÁ®¸LºÊÖÕºÊNVº»· µ N�·MË À µ ¸ � S ¥ ¼~� NVIL¹�U OnU8ÀTO¿�ÀX¹�U�·MË�OnUL¿�Á8ÂÊ·?¹nÛÕN ( ¤ � � ¥ � � }>�hUL¿�¶n¿.( ºÊN�À�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�·MË OVUL¿hNVIÕÁ®¸LºÊÖÕºÊNVº»· µ ·MË À µ ¸ � � ¥ � � ÀNVºÊÄ"Ã8»¿�Ý=·MËCOnUL¿hNVIÕÁC¸Lº�ÖÕº»NPº»· µ ·MË � S ¥ ¼~� } º»N�Ä�ÀTÃLÃC¿�¸"Á Î"OVUL¿RUL·MÄ�·XOn·XÃ Î Ä º µ OV·�· µ ¿R·MËCOnUL¿�NP¿·XÃC¿ µ NVIÕÁ8NP¿$OnN�·MËrÅ ½ çzÎ�º µ ¸LIL¹$OVº»· µ ·jÖ0¿$¶JOVUL¿�NV¿�Á8»·?¹nÛ?NJºÊOc��º»Â»Â�OnUL¿ µ NVI @�¹$¿�On·Ï¿�N{O�ÀTÁ8»ºÊNVUOnU8ÀTO* U8ÀXN�OnUL¿ S NP¿�¿�Ä�º µ KMÂÊÎ NPOP¶n· µ KM¿$¶�}eÁ8IÕO�ÀX¹$OVI8ÀX»ÂÊÎ ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ O V ¶V¿�Â�ÀTOnº�Ö0¿#Ë�·X¶nÄ ·MË�OVUL¿UL·MÄ�·XOn·Xà Î�»ºÊË�Onº µ K ÃL¶V·XÃC¿$¶VO¡ÎAË�·X¶�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀ ½ ¾ ULº»N�¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿�Ë�·X¶nÄ ÀXNPÛ?N~}�º µ Ã�ÀT¶VOnº»¹$ILÂ�ÀT¶�}OnU8ÀTO�OnUL¿�¸8ÀXNVUL¿�¸�ÀT¶V¶n·�� ¹�À µ ÀX¢��À�ÎÕN�ÁC¿)ä8»»¿$¸�º µ OnUL¿Ë�·MÂÊ»·��hº µ K=NV·MÂʺ»¸ÌÀT¶V¶n·�� ¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ

( ¤ ´ �µT� � ( ¤ � � ¥ � �//

��

�"

��( ¤ � � ¥ � � �//

77oo

oo

oo

o Å �

ã ¿$¶n¿ � ( � ( º»NROnUL¿�Á®·MI µ ¸8ÀT¶VÎ�·MˬOnUL¿�NVºÊÄ"Ã8»¿vÝ ( � ½J¾ UL¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎFÄ Ä#ÀTÃ8NRº µ OV·· µ ¿�·MË<OnUL¿�·XÃC¿ µ NPIÕÁ8NV¿$OnNJ·MË�Å ��UL¿$¶n¿ S � ¥ V ºÊN�OV¶nº�ÖÕº»ÀXÂ�IÕÃ�OV·�NVº»Ä=Ã8»¿Ä�ÀTÃ8N~}8NV·6��¿�Ä#À�ζn¿$Ã8»ÀX¹�¿ S � ¥ V ÁÈÎ�ºÊOnN�¶n¿�N{OV¶nº»¹�Onº»· µ ·jÖ0¿$¶�OnULºÊN�NVIÕÁ8NP¿$O ½HJË�On¿$¶�OVULº»N¶n¿$¸LIL¹$Onº»· µ }���¿#Ä#À�Î ¶n¿�NPOV¶Vº»¹$O�On·�OVUL¿�ÀTÁ8NP·M»IÕOn¿�Ö0¿$¶VNVº»· µ ·MË�OnUL¿#UL·MÄ�·XOn·Xà Î

»ºÊË�Onº µ K�ÃL¶n·XÃC¿�¶VO¡ÎÌÀXK0ÀXº µ }LË�·X¶hOnUL¿�¶n¿ºÊNhÀ�UL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ ·MË+Ã�ÀXº�¶nN

S ( ¤ � � ¥ � � ¥ ( ¤ ´ ��µT� � ( ¤ � � ¥ � � V �� S ( ¤ � � ¥ � � ¥ ( ¤ ´ �µBV �Ó ILÄ�Ä#ÀT¶Vº»Å�º µ K+}>��¿hÀT¶V¿�· µ Â�Î�¶n¿�å?ILº�¶n¿�¸�On·�ä8ÂÊÂ8º µ OnUL¿�¸8ÀXNPUL¿�¸ÏÀT¶V¶n·�� º µ S W ½ Y ½ÙÞ V �hUL¿ µ S � ¥ Vº»N�OV¶nº�ÖÕº»ÀXÂ2IÕÃÌOn·"À=NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTà ½á UL·?·MNV¿�NVIL¹�U�À S ÃL¶n·XÃC¿�¶�})NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿ V OP¶nºÊÖ?º�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ � T Å ¤ � ¹ � ·6Ö0¿$¶`Å })ÀXN�º µ

¦)¿$ä µ ºÊOVº»· µ W ½ Y ½ Ø?½G¾ UL¿�NVº»Ä=Ã8»¿�Ä#ÀTà �ÏU8ÀXN¬OnUL¿�H è+æ Á Î æ ¶n·Xî·MNVºÊOVº»· µ W ½ Y ½xÐ S � ºÊNeÄ"¿$OV¶nºÊ¹ V ½¾ UL¿$¶n¿�Ë�·X¶n¿�OnUL¿hÄ#ÀTà T ¹ � U8ÀXN�À µ ÀTÃLÃL¶n·�ÝLº»Ä�ÀTOn¿�»º»Ë�OVº µ K S �u¥ � V T ¤�S S ¥ ¼~� ¹ Å ¤ �NV·�OnU8ÀTO%OnUL¿�I µ ºÊ· µ Ä#ÀTà +� � S �l¥ � V T ¤ � S ¥ ¼~� ¹ � º»N�¹�· µ OVº µ IL·MILN ½¬ã ¿$¶n¿���¿eU8À6Ö0¿���¶VºÊOVOn¿ µOnUL¿�ÀTÃLÃL¶n·�ÝLº»Ä�ÀTOn¿�»º»Ë�OVº µ K�ÀXN S �l¥ � V }0º µ On¿$¶VÄ�N�·MË ºÊOnN:¹�·MÄ=ÃC· µ ¿ µ O�Ä�ÀTÃ8N � T ¤ S S ¥ ¼~� ¹ ÅÀ µ ¸ �CT ¤�S S ¥ ¼~� ¹ � ½

¤�S S ¥ ¼~� � � � � �//

��

Å ¤ �-�� �

//

��

�"

�� ¤ � S ¥ ¼~� �//

99rr

rr

rr Å

Page 68: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

ã ·���¿$Ö0¿$¶�}�OnUL¿�Ä#ÀTà 0� � S �l¥ � V U8ÀXN µ ·"¶n¿�ÀXNV· µ OV·�ÁC¿�À�Âʺ»Ë�Oh·jÖ0¿$¶% �·MË<OnUL¿�KMº�Ö0¿ µ UL·MÄ�·TÇOn·Xà ÎÆÄ ½eÔ · µ ¿$OnUL¿$»¿�NVN�OnULº»N�¹�À µ Á®¿�ÀT¶V¶nÀ µ KM¿�¸?}�ÀXN�Ë�·MÂÊ»·��hN ½è ¿$O S T ¤�S S ¥ ¼~� ¹ Å&Á®¿�OnUL¿�¶n¿�NPOP¶nº»¹$OVº»· µ ·MË�Ä À���À�Î�Ë�¶n·MÄ �}ÈÀ µ ¸"¶n¿$Ã8»ÀX¹�¿ S �l¥ � V ÁÈÎ

OnUL¿RÄ�ÀTà S S ¥ � V T ¤FS S ¥ ¼~� ¹ Å ¤ � ½ � ¿J¹�»ÀXº»Ä OnU8ÀTOzOnUL¿hI µ º»· µ Ä#ÀTà |� � S S ¥ � V T ¤� S ¥ ¼~� ¹ � º»N�¹�· µ Onº µ IL·MILN ½ ´ O�º»N�OnUL¿ µ ¹$»¿�ÀT¶�Ë�¶n·MÄ�º�OnN�¸L¿$ä µ º�Onº»· µ OnU8ÀTO�º�O�ÃL¶n·jÖ?º»¸L¿�N�OVUL¿¸8ÀXNVUL¿�¸�ÀT¶P¶n·�� º µ ¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ S W ½ Y ½ÙÞ V }LÀXN�¶n¿�å?ILº�¶n¿�¸ ½´ O�NVI @�¹$¿�N�On·�ÃL¶n·jÖ0¿)¹�· µ Onº µ ILº�O^Î�·MË ®� � S S ¥ � V ÀTO S ��¥�S V º µ ¤ � S ¥ ¼~� Ë�·X¶�¿�ÀX¹�U � ¯ ½

� ÀX¹�U µ ¿�º»KMU0ÁC·X¶nUL·È·?¸�·MË�OnUL¿�º»Ä#ÀXKM¿Rî·Mº µ O ?S � Vr¯ � ¹$· µ O�ÀXº µ NhÀ�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O µ ¿�ºÊKMU Á®·X¶nUL·?·È¸� ·MË �S � V }:NVº µ ¹�¿ � º»N=ÀXNVNVILÄ"¿�¸AOn·�ÁC¿�»·È¹�ÀX»Â�Î ¹�·MÄ"Ã�ÀX¹�O ½�¾ UL¿ÏÃL¶n¿�ºÊÄ#ÀXKM¿ � # ¨ S:��V º µÅ ¤ � º»N�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O�}8NVº µ ¹�¿ ��ºÊN�ÃL¶n·Xî¿$¶�}�NV·#ºÊOVN�ÃL¶n·�#{¿�¹�Onº»· µ Í � ) � � # ¨ S%�mV|� � ºÊNRÀX»NP·¹�·MÄ"Ã�ÀX¹�O ½HJNVNVILÄ"¿�Ë�·X¶�ÀϹ�· µ OV¶�ÀX¸Lº»¹�Onº»· µ OnU8ÀTOJOnUL¿$¶n¿�º»N µ · µ ¿�º»KMU0ÁC·X¶nUL·È·?¸ ·MË S �)¥�S Vc¯ ¤ � S ¥ ¼~�

OnU8ÀTOhº»NRÄ#ÀTÃLî¿�¸�º µ On· � Á Î�OnUL¿�I µ º»· µ ·MË À µ ¸ � S S ¥ � V ½�¾ UL¿ µ OnUL¿$¶V¿�º»NJÀ=NV¿�å?IL¿ µ ¹�¿�·MËÃC·Mº µ OVN S � ��¥ � V º µ ¤ � S ¥ ¼~� ¹�· µ Ö0¿$¶nKMº µ K�OV· S ��¥�S V }��hUL·MNP¿#º»Ä#ÀXKM¿�Nº µ � ÀT¶n¿ µ ¿$Ö0¿$¶�º µ� ½ çzÎ�OVUL¿¹�· µ Onº µ ILºÊO¡Î�·MË ��¿Ä�À6Î�ÀXNVNVILÄ"¿�OnU8ÀTO µ · µ ¿�·MËGOnUL¿ � � S }8NV· S � ��¥ � V º»NhÀNV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿�·MË�ÃC·Mº µ OnN�º µ ¤�S S ¥ ¼~� };��ºÊOVU � S S ¥ � V~S ����¥ � V µ ·XOhº µ � ½Ú ·MÄ�¿ µ O�ÀT¶nºÊÂÊÎ=Nz�hº�On¹�ULº µ K�Á�ÀX¹nÛ#Ë�¶n·MÄ S S ¥ � V On· S �l¥ � V }?Á ÎϹ�· µ Onº µ ILºÊO¡Î#·MË2OnUL¿)Ä#ÀTà ¤

� S ¥ ¼~� ¹ � º µ OnUL¿�H è+æ OnUL¿�NV¿$å?IL¿ µ ¹�¿ � S �l¥ � V~S ����¥ � V ¹�· µ Ö0¿$¶nKM¿�N:On· �S � V }MUL¿ µ ¹�¿�¿�Ö0¿ µ OVI?ÇÀX»Â�Î#»ºÊ¿�N½�hº�OnULº µ � ½eæ ÀXNPNVº µ K�On·"À�NVIÕÁ8NV¿$å?IL¿ µ ¹�¿4�z¿�Ä#À�ÎÏÀXNVNPILÄ�¿JOnU8ÀTO�ÀX» S �l¥ � V~S ����¥ � V»ºÊ¿a��ºÊOnULº µ � # ¨ S:��V }ÈNV·�ÀX» � S ���?¥ � V »ºÊ¿w�hº�OnULº µ Í ½e¾ UL¿J»ÀTOVOn¿$¶zNPÃ�ÀX¹�¿Jº»N�¹$·MÄ"Ã�ÀX¹$O�}ÈNV·�ÁÈÎÃ�ÀXNVNVº µ K#On·ÏÀ#NVIÕÁ8NV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿�· µ ¹�¿�Ä�·X¶n¿0�z¿�Ä#À6ÎÌÀXNVNVILÄ"¿�OnU8ÀTO � S ����¥ � V ¹�· µ Ö0¿$¶nKM¿$N)OV·ÏÀÃC·Mº µ O � ¯ Í ½

� ¿�ÀXÂÊNV·hÛ µ ·���OnU8ÀTO � S ���?¥ � V À µ ¸ S S ����¥ � V ¹�· µ Ö0¿$¶nKM¿zOV·ROnUL¿zNnÀXÄ�¿eÃC·Mº µ O � � S �S � V<Vº µ Å�}ÕÁ Î�OnUL¿¹�· µ Onº µ ILº�O^Î�·MË+OVUL¿Ä#ÀTÃ̺ µ OnUL¿�H è+æ À µ ¸ÌOVUL¿UL·MÄ�·XOn·Xà Î�Ä�}L¶n¿�NPî¿�¹$Onº�Ö0¿�ÂÊÎ ½¾ UÈILN S �l¥ � V~S � ��¥ � V À µ ¸ S S ¥ � VHS � ��¥ � V Á®·XOnU#¹�· µ Ö0¿$¶nKM¿hOn· S � ¥ � V º µ Å ¤ ��}ÕÀ µ ¸�NP·OnUL¿�º�¶º»Ä�ÀXKM¿RNV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿�N�I µ ¸L¿$¶ ��U8À�Ö0¿)OVUL¿�NVÀXÄ�¿J»ºÊÄ�ºÊO�º µ � ½ S ¾ UL¿�NV¿)Âʺ»Ä�º�OnN�ÀT¶n¿)I µ º»åÈIL¿>}8NVº µ ¹$¿� ºÊN�Ä�¿$OV¶Vº»¹ ½ V ´^µ OnUL¿=äL¶nNPO�¹�ÀXNP¿"OnULº»N»º»Ä"ºÊO�º»N ?S � V }+Á Î OVUL¿�¹�· µ Onº µ ILºÊO¡Î ·MËzOVUL¿�Ä#ÀTà º µOnUL¿RH è�欽 ´{µ OVUL¿RNV¿�¹�· µ ¸�¹�ÀXNV¿ � S S ¥ � V~S � ��¥ � V µ ¿$Ö0¿$¶z¿ µ OV¿$¶nNzOnUL¿ µ ¿$º»KMU0ÁC·X¶nUL·È·?¸ � ½:¾ ULºÊN¹�· µ OV¶�ÀX¸LºÊ¹$Onº»· µ ÃL¶n·6Ö0¿�N�OnUL¿�¹�Â�ÀXºÊÄÉ·MËG¹�· µ Onº µ ILºÊO¡Î�Ë�·X¶�OVUL¿I µ º»· µ Ä#ÀTà � � S S ¥ � V ½ �

â ·X¶�ÀÏÄ�ÀTÃ�·MË�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ+NV¿$OnN § T � ¹ ß�à0��¿�NVU8ÀX»¬·XÁLOnÀXº µ À#¹�· µ Ö0¿�¶nNV¿�On· æ ¶n·Xî·MNVº�ÇOnºÊ· µ W ½ Y ½ Y�º µ æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ Þ?½ Y�Á®¿�»·�� ½� ��� �¿Á2À�Á%��� E�"���"���" � ¿)NnÀ6Î"OnU8ÀTO�À�Ä#ÀTÃÏ·MË�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX NP¿$OnN�º»N�À �����B��� � � ¾ À�ÁJ��� º»Ë%ºÊOnNKM¿�·MÄ�¿�OV¶nº»¹�¶n¿�ÀX»º»Å�ÀTOnº»· µ º»N�À Ó ¿$¶P¶n¿�äLÁL¶nÀTOnº»· µ º µ OVUL¿=On·Xî·M»·MKMº»¹�ÀXÂ<¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ�}�º ½ ¿ ½ }%º»Ë�º�O�U8ÀXNOnUL¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ»º»Ë�OVº µ K�ÃL¶n·XÃC¿$¶PO^Î�Ë�·X¶h¹�· µ OVº µ IL·MILNRÄ#ÀTÃ8N�Ë�¶n·MÄ ¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀ ½

´^µ OVUL¿�Ë�·MÂÊ»·��hº µ K ��¿�¹�· µ NVº»¸L¿�¶�OnUL¿�·X¶n¸Lº µ ÀT¶VÎ�À µ ¸�¶n¿�¸LIL¹�¿�¸ Ä#ÀTÃLÃ8º µ KϹ$Î?»º µ ¸L¿�¶nN � S � VÀ µ ¸ U S � V S º µ OVUL¿�ºÊ¶RÁ�ÀX¹nÛ���ÀT¶n¸�Ö0¿$¶nNVºÊ· µ N V ÀXNRNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NV¿$OVNJ·jÖ0¿$¶)ß ¨ Á Î�Ä�¿�À µ NR·MË<OVUL¿¹$Î?»º µ ¸L¿�¶h¹�·È·X¶n¸Lº µ ÀTOV¿�ÃL¶n·�#{¿�¹$OVº»· µ § Ë�¶n·MÄ ¦�¿�ä µ ºÊOnºÊ· µ W ½�ÐL½ÙØ?½� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� E�"��?" �?" t)*-7 � T � ¹ � I_* 3�A�3MD¡@ \ Gl5�/J7C* 1_/%AaD�= /¬L-/¬38=l1�*-7%1Mi�385�g�1_9�D��D�@�1�*�7:( 387®7%(*�LHEB= /J5�g^*-,],M*.g89�L-7:/ @B5�A�3MD � S � V ¹ U S � V]/2141_/JAaD�=K*�{`&#(+*-5�7:(+* \ @B=2=K@8k�/J5��LM@B5�g8/J7�/¬@B5+1038,M*]*.GH9;/JI83>=K*-57 �

3 � � /2143�1_/%AaD�=K*0A63MD�� I�� § T � S � V ¹ ß ¨ /2143���*-,_,M* GJIH,.387:/ @B5 � zL � § T U S � V ¹ ß ¨ /2143 ��*-,_,M* GJIH,.387:/ @B5�{

s½,.@�@ \ { ´ Ë � º»N)À#NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ�OVUL¿ µ OVUL¿�¹�À µ · µ º»¹�ÀXÂGÄ#ÀTà & � &^¤ & ß ¨ & ¹ & � S � V$& ÃL¶n·6ÖÕº»¸L¿$NÀ=OV¶VºÊÖÕº»ÀX»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ IÕÃ�On·#À=NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿Ä#ÀTÃÌ·MË & § & T & � S � V/& ¹ & ß ¨ & }�Á Î�OnUL¿�KM»ILº µ K�»¿$Ä�Ä#À�Ë�·X¶NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8N~}?NP· S À V ºÊÄ"Ã8»ºÊ¿�N S Á V ÁÈÎ æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ W ½ Y ½ Y ½:Ó º»Ä�ºÊÂ�ÀT¶nÂ�Î S À V ºÊÄ"Ã8»ºÊ¿�N S ¹ V NVº µ ¹$¿

Page 69: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

OnUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿�Ä#ÀTà & � &�¤ & ß ¨ & ¹ & � S � V$& ¹ & U S � V$& º»NJNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�ÁÈÎ�OVUL¿�U ÎÈÃC·XOnUL¿�NPº»N)· µOnUL¿�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶�¶n¿�¸LIL¹$OVº»· µ Ä#ÀTà ½á · µ Ö0¿$¶VNV¿�ÂÊÎ���¿ÌNVU8ÀX»Â�NVUL·��ÉOnU8ÀTO�ºÊËa§ T � S � V ¹ ß ¨ º»N"À Ó ¿$¶V¶V¿ÌäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ OnUL¿ µ OVUL¿

KM¿�·MÄ�¿�OV¶nº»¹�¶n¿�ÀX»º»Å�ÀTOnº»· µ & � & U8ÀXN�OVUL¿hH è�æ } NP· S Á V º»Ä"Ã8Âʺ»¿�N S À V ÁÈÎ è ¿�Ä�Ä#À�W ½ Y ½ Q ½:Ó º»Ä�ºÊÂ�ÀT¶nÂ�Î��¿�NVU8ÀXÂÊÂ<NVUL·��&OnU8ÀTORº»Ë�§ T U�S � V ¹ ß ¨ º»NJÀ Ó ¿$¶P¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnº»· µ OVUL¿ µ & � & U8ÀXNROVUL¿�H è�æ }�NV·ÀX»NP· S ¹ V º»Ä=Ã8»º»¿$N S À V ½Ó IÕÃLÃC·MNP¿äL¶nNPO�OnU8ÀTO & § & T & � S � V$& ¹ & ß ¨ & � � S ¥ ¼~� ºÊNRÀ Ó ¿$¶P¶n¿äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ ½zè ¿$O N � Á®¿

À=Ã�ÀXº�¶h·Mˬ¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$O�î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�À } À µ ¸�NVIÕÃLÃC·MNP¿�KMºÊÖ0¿ µ ¹�·MÄ"Ã�ÀTOnº�Á8»¿�Ä#ÀTÃ8N T ¹ & � & À µ ¸N ¹ & � & ÀXN�º µ ¦)¿$ä µ º�Onº»· µ W ½ Y ½Ê¼M½ � ¿�·XÁLO�ÀXº µ À µ º µ ¸LIL¹�¿�¸ Ä#ÀTà ·MË�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶VN ��� N ¤ � S ¥ ¼~� ¹ & � S � V/&)S ¹�· µ NPO�À µ O�º µ OnUL¿=¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶¸LºÊ¶n¿�¹�Onº»· µ V À µ ¸ À̹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖ0¿NVåÈI8ÀT¶n¿

��� N ¤ � S ¥ ¼~�//

���

& � S � V/&� � ��� ¤ � S ¥ ¼~�

77pp

pp

pp

" �

//� S ¥ ¼~�

·MË%NV·M»ºÊ¸�ÀT¶V¶n·��hN~}8ÀXN�º µ OnUL¿J¶n¿�Â�ÀTOVºÊÖ0¿RË�·X¶nÄ ·MË2OnUL¿JUL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ"»ºÊË�Onº µ K�ÃL¶n·Xî¿$¶VO¡Î#Ë�·X¶�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�Ǹն�À ½ ç�Î�U0Î?î·XOnUL¿�NVºÊN~} & § & ºÊN�À Ó ¿$¶P¶n¿�äLÁL¶nÀTOnº»· µ }%NV·ÏOnUL¿$¶n¿�º»N�ÀÏÄ#ÀTà ¤ � S ¥ ¼~� ¹ & � S � V$&·6Ö0¿$¶ � S ¥ ¼~� S OVUL¿"¸8ÀXNVUL¿�¸�ÀT¶V¶V·�� V OnU8ÀTO�¿�ÝÕOn¿ µ ¸LNOnUL¿�KMº�Ö0¿ µ Ä#ÀTà · µ ��� N ¤ � S ¥ ¼~�q½ ´ O¶n¿�N{OV¶nº»¹�OnNh·6Ö0¿$¶ S S ¥ ¼~� On·"À=Ä#ÀTÃ

¤�S S ¥ ¼~� ¹ & � S � V$&��C& � & �� & � &�¤�S S ¥ ¼~� ¥��UL·MNV¿�¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿���ºÊOnU OnUL¿ ÃL¶n·�#{¿�¹$OVº»· µ & � &)¤ S S ¥ ¼~� ¹ & � & ÃL¶V·jÖ?º»¸L¿�N ÀBÄ#ÀTà ¤S S ¥ ¼~� ¹ & � & �hº�OnU OnUL¿Ï¹�· µ Onº µ ILºÊO¡Î ÃL¶n·Xî¿$¶VOnºÊ¿�N=¸L¿$Ä#À µ ¸L¿�¸�ÁÈÎ OnUL¿ÏH è�欽¬¾ UL¿ÏÖ0¿�¶nºÊä8¹�ÀbÇOnºÊ· µ º»NRNPOP¶�ÀXº»KMU0OnË�·X¶<��ÀT¶V¸?}®ILNVº µ K�OnU8ÀTOROnUL¿�¹$·MÄ"ÃC·MNVº�On¿Ä�ÀTà & � & � )�¨ T & � &^¤ S S ¥ ¼~� ¹ & � &¿�Ý?On¿ µ ¸LNh¹$· µ Onº µ IL·MILNPÂÊÎ�On·=OnUL¿�¹$Î?»º µ ¸L¿�¶hÃL¶n·�#{¿�¹$OVº»· µ & ) & T & � S � V$& ¹ & � & ½â º µ ÀXÂÊÂÊÎ�}�NVIÕÃLî·MNV¿ OVU8ÀTO & § & T & U�S � V$& ¹ � S ¥ ¼~� º»N�À Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ ½ � ¿�U8À�Ö0¿ µ ·XO

¹�UL¿�¹nÛ0¿�¸�OnU8ÀTO & U�S � V$& ºÊN�UL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊ¹JOn· & � S � V$& }ÕNP· ��¿�¹�À µLµ ·XO�å?ILº�On¿�¹$· µ ¹�»IL¸L¿ÀXN�º µOnUL¿ÃL¶V¿$ÖպʷMILNR¹�ÀXNV¿ ½�ã ·��z¿$Ö0¿$¶�}���¿�¹�À µ Á Î?Ã�ÀXNVNROVULº»NhÃL¶n·XÁ8ÂÊ¿�Ä º µ OnUL¿�Ë�·MÂÊ»·��hº µ K���À�Î ½ � ¿ILNV¿�OnU8ÀTO & � S � V$& ¹ & U S � V$& º»N�NVº»Ä=Ã8»¿>}8À µ ¸�OnUÈILNhU8ÀXN�OnUL¿�H è+欽¾ UL¿=KMº�Ö0¿ µ Ä#ÀTÃ8N T ¹ & � & À µ ¸ N ¹ & � & º µ ¸LIL¹�¿ ��� N ¤ � S ¥ ¼~� ¹ & � S � V$& ÀXN

ÀTÁC·6Ö0¿>} ��ULº»¹�U���¿�¹$·MÄ"ÃC·MNV¿w��ºÊOVU�OnUL¿)¹$Î?»º µ ¸L¿$¶�¶n¿�¸LIL¹$OnºÊ· µ Ä#ÀTÃÏOn·�KM¿$O�À�Ä#ÀTà ��� N ¤� S ¥ ¼~� ¹ & U S � V$& À µ ¸�À=¹�·MÄ"Ä�IÕOnÀTOnºÊÖ0¿JNVåÈI8ÀT¶n¿

��� N ¤ � S ¥ ¼~�//

���

& U�S � V$&

� � ��� ¤ � S ¥ ¼~�

77pp

pp

pp

" �

//� S ¥ ¼~�

ÀXNeÀTÁC·6Ö0¿ ½¬¾ UL¿ Ó ¿�¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ U0Î?î·XOnUL¿�NVºÊN:ÃL¶V·jÖ?º»¸L¿�N¬OnUL¿�»ºÊË�OeÀ µ ¸=¿vÝÕOn¿ µ NPº»· µ ¤ � S ¥ ¼~� ¹& U�S � V$& ½ çzÎÌOVUL¿�H è+æ Ë�·X¶ & � S � V$& ¹ & U�S � V$& º µ OnUL¿�¹�ÀXNV¿�·MˬOnUL¿�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶�ÀXÂ�Ã�ÀXºÊ¶ S ¤� S ¥ ¼~� ¥ N ¤ � S ¥ ¼~� V };�z¿¹�À µ ä µ ¸�À=NVILº�O�ÀTÁ8»¿�Ä#ÀTÃS W ½ Y ½»¼ S V ¤ � S ¥ ¼~� ¤�S S ¥ ¼~� ¹ & � S � V$& �Ñ ¿$NPOV¶nºÊ¹$Onº µ K�On·�OnUL¿�¸Lº�ÀXKM· µ ÀX S S ¥ ¼~� ¹ � S ¥ ¼~� ¤ S S ¥ ¼~� �z¿�·XÁLO�ÀXº µ Ë�¶n·MÄ ºÊOGÀ�Ä#ÀTÃ� ¤ S S ¥ ¼~� ¹& � &�¤ S S ¥ ¼~� }�À µ ¸-UL¿ µ ¹$¿>}�ÁÈÎ�ÃL¶n·�#{¿�¹$Onº µ K�On· & � & ÀXN�Á®¿�Ë�·X¶n¿>}zOVUL¿Ì¸L¿�NVº�¶n¿�¸BÀTÃLÃL¶n·�ÝLºÊÄ#ÀTOn¿Â»ºÊË�Onº µ K ½Ï¾ UL¿"Ö0¿$¶VºÊä8¹�ÀTOnºÊ· µ º»NÀXK0ÀXº µ åÈILºÊOn¿=NPOV¶�ÀXºÊKMU OnË�·X¶z��ÀT¶n¸?}<ILNVº µ K�OnUL¿�H è�æ ¹$· µ ¸LºÊOnºÊ· µ NNnÀTOnºÊNPä8¿�¸ÌÁ Î S W ½ Y ½Ê¼ S V ½ �

Page 70: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

�®(�� (��C3 /)���)��4���EG7AE���4���� �8.��2����,�.Ì465L³24�E �+58@ ß=à

´^µ Ó ¿�¹�Onº»· µ Q ½Ê¼ �z¿NVU8ÀXÂÊÂ�¹$· µ NVº»¸L¿$¶RNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂC¹�ÀTOn¿$KM·X¶nº»¿�N½��UL·MNV¿·XÁ #{¿�¹$OVNhº µ NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀX¸L¿�KX¶n¿$¿ �)¹�À µ ÁC¿�OnUL·MILKMU0Oz·MË2ÀXN�NVILºÊO�ÀTÁ8Â�Î�¹�· µ OVº µ IL·MILN �jÇlÃ�ÀT¶�ÀXÄ�¿$On¿�¶�Ë ÀXÄ�ºÊ»ºÊ¿�N�·MË NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂNV¿$OVN ½"Ú ·X¶n¿�ÃL¶n¿�¹�ºÊNV¿�ÂÊÎ�}%OnUL¿=·XÁ$#{¿$¹$OnN ��º»ÂÊÂ<ÁC¿ Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnº»· µ N § T �£¹ ß à ·MË�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂNV¿$OVN ½ Ñ ¿�¹�ÀXÂÊÂ�OnU8ÀTO���¿�NnÀ�Î OnU8ÀTO�À Ä#ÀTÃ-·MËJNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�NP¿$OnN�ºÊN#À Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnº»· µ ºÊËJºÊOnNKM¿�·MÄ�¿�OV¶nº»¹J¶n¿�ÀX»º»Å�ÀTOnº»· µ º»NhÀ Ó ¿$¶V¶V¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ S ·MË�On·XÃC·MÂÊ·MKMº»¹�ÀXÂ2N{Ã�ÀX¹�¿�N V ½¾ UL¿eÃ8IÕ¶Vî·MNV¿e·MËÈOnUL¿:ÃL¶n¿�NV¿ µ OGNV¿�¹$OnºÊ· µ ºÊN�OV·�ILNV¿:OnUL¿eºÊOn¿�¶�ÀTOn¿�¸)¶n¿�¸LIL¹�¿$¸�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$Î?»º µ ¸L¿�¶

·MË Ó ¿$¹$Onº»· µ W ½�Ð On·�·XÁLO�ÀXº µ ¹�·MÄ�Á8º µ ÀTOV·X¶nº�ÀX ¹�· µ OP¶n·MÂ2·MË+OnUL¿JÃL¶n·Xî¿$¶VO¡ÎÏOnU8ÀTO § T �o¹ ß�à�ºÊN�ÀÓ ¿$¶V¶V¿häLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ }?º µ On¿$¶nÄ�Ne·MË2NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8N ½ ´^µ æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ Þ?½ Wc��¿�¶V¿�¹�·MK µ º»Å$¿hOnUL¿hÃ�ÀT¶VO·MË�( � S � V NVº�OVOnº µ KR·jÖ0¿�¶¬À�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�º µ OnUL¿�O�ÀT¶nKM¿$O+·MË?OnUL¿�NVIÕÁC¸Lº�ÖÕº»¸L¿$¸�Ä#ÀTÃ2( � S § V T ( � S � V ¹( � S ß�à V ÀXNRÀ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂÊÂÊÎ�·?¹�¹�IÕ¶P¶nº µ K#º�On¿$¶�ÀTOn¿$¸�¶n¿�¸LIL¹�¿�¸�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$Î?»º µ ¸L¿�¶ ½h¾ ULº»Nh»¿�ÀX¸LNhOV·OnUL¿�¹�· µ NPOP¶nIL¹$OnºÊ· µ º µ æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ÙÞ?½ Ø ·MË À µ ÀTOnIÕ¶nÀXÂÕÄ#ÀTà OV· � Ë�¶n·MÄ ÀJÃL¶n·?¸LIL¹�OeÁ8I µ ¸LÂÊ¿·6Ö0¿$¶�ß=à8}ÕÀ µ ¸ÏOVUL¿JNPOnIL¸ÕÎ#·MËCOnUL¿)ÀTÃLÃL¶V·6ÝÕº»Ä#ÀTOn¿h»º»Ë�OVº µ K�ÃL¶n·Xî¿$¶VO¡Î�Ë�¶n·MÄ Ó ¿�¹$OnºÊ· µ W ½ Y�»¿$OVN�ILN¹�· µ ¹�ÂÊIL¸L¿�º µ æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ W ½ÙÞ?½ Y�OnU8ÀTOw§ ºÊNRÀ Ó ¿$¶V¶n¿äLÁL¶nÀTOnº»· µ ºÊˬÀ µ ¸�· µ Â�Î�ºÊË º»NhÀ=NVºÊÄ"Ã8»¿Ä#ÀTà ½

� ¿ÏÃL¶n·6Ö0¿ � äLÁC¿�¶.� À µ ¸ � Á�ÀXNP¿~� KMÂÊILº µ K ÂÊ¿�Ä�Ä#ÀXN�Ë�·X¶ Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N S ·MË�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂNV¿$OVN V º µ æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ N�W ½ Þ?½ÙÞ À µ ¸�W ½ Þ?½ � }Õ¶V¿�NPÃC¿$¹$OnºÊÖ0¿$ÂÊÎ ½� ��� �¿Á2À�Á%��� E�" ��"%$�" è ¿$Oe§ T �[¹ ß à ÁC¿=À µ Î�Ä�ÀTÃ�·MËeNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ+NV¿$OnN ½0� ÀX¹�U Ë ÀX¹�¿ � ·MËß à ¹�·X¶V¶n¿$NPÃC· µ ¸LNzOn·�À�Ö0¿$¶VOn¿vÝ S � V ·MË�( � S ß à V ½:¾ UL¿hÃL¶n¿�ºÊÄ#ÀXKM¿.( � S § V # ¨ S � V ·MË OnULº»N�Ö0¿�¶VOn¿�ÝI µ ¸L¿$¶�OnUL¿�NVIÕÁC¸Lº�ÖÕº»¸L¿$¸ Ä#ÀTà ( � S § V T ( � S � V ¹ ( � S ß�à V º»NJOnUL¿ µ À�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂGNVIÕÁ8NV¿$O�·MË( � S � V }^��ULº»¹�U6��¿�¹�ÀX»Â8OnUL¿a¼ �B�;Á:� ¾�� � ��%rÀ��)� ¿¾ �$#���� ��À����4��%lÀ����D% ¾ ��� � ½e¾ UL¿ µ ÀXÄ�¿Ä#À�Î#ÁC¿ #{ILNPOnº�ä8¿�¸?} On·=NV·MÄ�¿)¿�Ý?On¿ µ O�}LÁÈÎ�Ã�ÀXNVNnÀXKM¿�On·=KM¿$·MÄ�¿$OV¶nºÊ¹J¶n¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ ½´^µ OnUL¿�NPî¿�¹�º�ÀXÂ�¹�ÀXNP¿Æ��UL¿ µ � S Ë�·X¶ � Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ On¿$¶.� V º»N�OnUL¿�Ä#ÀbÝLºÊÄ#ÀX S �jÇܸLºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ ÀX V

Ë ÀX¹�¿�·MË�ß à }½��¿�NVºÊÄ"Ã8ÂÊÎA¹�ÀXÂÊÂhOnUL¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NV¿$O ( � S § V # ¨ S � V OVUL¿P¼ �B�;Á:� ¾�� � ��%ÆÀ����¿¾ �/#���� ��À��;� ÀXNPNV·?¹�º»ÀTOn¿�¸ÌOV·�§ T � ¹ ß=à ½

� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� E�" ��"FE�"Ft)*-7 § T �o¹ ß à I-*�385E6A�3MDf@ \ 1_/%AaD�= /¬L-/¬38=�1�*-7:1~{ 3 ��t�*-7 � � � I-* 7:kT@ \ 3^LM*_1�@ \ ß à ic@B,]k�( 3>7®/21�7:(+*]1~38A *Mi®7�kT@ÆI>*-,-7:/¬L_*_1�@ \ ( � S ß à V

7:( 387 38,.* LM@B55�*_L-7C*Mg IHE�385�*.g �^*�{ &#(*-5`7:(+*-,.*4/2143�5�387:9;,<3>= D�9;=2= IM3^L���A�3MD

T ( � S § V # ¨ S � V ¹ ( � S § V # ¨ S � V

38=K@85��67:( 387 *.g �^*��DI_*-7�kT*M*-5�7%(+*½D�,.*-/%A�3 �^*_1]@ \ 7:(+*2IM3>,_E^LM*-57»*-,M1]@ \ 7:(+*_1�* \ 3^LM*_1~{ I��]t)*-7 � � S � � � ����� � � � V2I_*]385 ) � 1-/JAaD�=K*���/J5 ( � S ß�à V�{ &#(+*H5�7:(+*½D3>,_7 @ \ ( � S � V@BI>*H,u7:(+*u1-/JAaD�= /¬LH/�38=�1_9�I-1�*H7���*-5�*-,.387C*Mg1IHE � /21u5�387:9;,<3>=2= E /21�@BA @B,¬D�(�/¬Lu7»@w7:(+* ) � \ @8=hga/J7»*-,<387»*.g

IM3^L ��kr38,.g�,.*.g>9LM*Mg�A�3MD�D�/J5��ÆL-E8= /J5�g�*-,]@ \ 7%(* ,.*_1-9�= 7�/J5��FL_( 38/J5�@ \ D�9;=2= IM3^L���A�3MD�1

( � S § V # ¨ S � � V ¹ ����� ¹ ( � S § V # ¨ S � � V��

s½,.@�@ \ {0S À V ´ OeNVI @"¹�¿�N�OV·�¹�· µ N{OV¶nIL¹$O�OnUL¿ µ ÀTOVIÕ¶�ÀXÂÕÃ8IL»Â�Á�ÀX¹�Û�Ä#ÀTà ��UL¿ µ � º»N µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�}NVº µ ¹�¿�OnUL¿zÃL¶n¿�ºÊÄ#ÀXKM¿�·MËLOnUL¿zÁ�ÀT¶VÎÕ¹$¿ µ OV¿$¶eË�I µ ¹$On·X¶nNe¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿l�hº�OnU�¹�·M»ºÊÄ�ºÊOnN ½¬Ó ·c��¿�ÀXNVNVILÄ"¿OnU8ÀTO � ºÊN µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶�} º µ ��ULº»¹�U�¹�ÀXNP¿'( � S � V � Å S � V � �'S � � V ½çzÎ U0Î?î·XOnUL¿�NVºÊN~} � T � � � ¹ � � � º»N�À�Ë ÀX¹�¿Ï·MË � T � � � ¹ � � � }¬NV·�OnUL¿$¶V¿#º»N�À�I µ º»åÈIL¿�Ë ÀX¹$¿

·XÃC¿�¶�ÀTOn·X¶ � T � � � ¹ � � � NVIL¹�U�OVU8ÀTO � � � � ½�¾ UL¿RÃL¶n¿�ºÊÄ#ÀXKM¿.( � S § V # ¨ S � V ¿�å?I8ÀXÂÊN�OnUL¿ µ ¿$¶PÖ0¿� � ·MËzOnUL¿�Ã�ÀT¶VOVº�ÀX»Â�Î ·X¶n¸L¿$¶n¿�¸�NVIÕÁ8NV¿�O � � � � ·MË µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOV¿�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�N � ¯ � �Ë�·X¶ ! ³ S NVIL¹�U OVU8ÀTO�§ S � V � � ��}�º ½ ¿ ½ }�NVIL¹�UBOnU8ÀTO § � �� Ë ÀX¹$OV·X¶nNÏÀXN � � � Ë�·X¶ÏNV·MÄ�¿¸L¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀX¹$Î�·XÃC¿�¶�ÀTOn·X¶ � ½�Ó º»Ä�ºÊÂ�ÀT¶nÂ�Î�}�( � S § V # ¨ S � V ¿�åÈI8ÀX»N � � ��UL¿$¶n¿ � � � � ¹$· µ NVº»NPOVN·MË+OVUL¿ µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿$N �¡¯ � � Ë�·X¶ � ³ S�NVIL¹�U�OnU8ÀTOa§ S �cV � � � ½

Page 71: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

è ¿$OROnUL¿�Ë ÀX¹�¿�·Xî¿$¶�ÀTOn·X¶ � ¨ T ��� � ¹ � ! � À µ ¸�OnUL¿�¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹$Î�·Xî¿$¶�ÀTOn·X¶ � ¨ T � � � ¹ � � �ÁC¿�OnUL¿)Ã8IL»ÂÊÁ�ÀX¹nÛ?Nh·MË � À µ ¸ � }�ÀXN�º µ OnUL¿�Ë�·M»ÂÊ·���º µ K=¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ T

S W ½ÙÞ?½ Q V ��� ��� //

��

""

� ���

� ! � �� //

���

����� � � � //

�;;

� � � �//� � �

¾ UL¿$¶n¿ºÊN�OVUL¿ µ À µ ·X¶n¸L¿�¶PÇqÃL¶n¿$NV¿$¶VÖ?º µ K�Ë�I µ ¹$OVº»· µ

� T � ¹ �

� º¹ � � � � ¨ S �;V

KMºÊÖ0¿ µ ÁÈÎ�Ã8IL»Â�Á�ÀX¹nÛ�ÀXÂÊ· µ K � ½¬Ô ·XOn¿�OnU8ÀTO � � � � ¨ S � V º»N�ÀXÂʶn¿�ÀX¸ÕÎ µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿8}?ÁC¿�¹�ÀXILNV¿� º»N µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶ ½ ¾ UL¿ µ ÀTOVIÕ¶�ÀXÂ�Ã8ILÂÊÂÊÁ�ÀX¹nÛ Ä#ÀTÃ�º µ åÈIL¿�NPOnºÊ· µ º»N�¸L¿$ä µ ¿$¸-ÀXN�OnUL¿ µ ¿$¶PÖ0¿Ä#ÀTà � � � T � � ¹ � � ½´^µ ·XOnUL¿$¶®��·X¶n¸LN~}��hUL¿ µ � º»N µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�} º»NhÀ"Ä#ÀTÃ�·MË µ ¿�¶VÖ0¿�NJÀ µ ¸�ºÊNh¸L¿$OV¿$¶nÄ�º µ ¿�¸

Á Î�ºÊOnNJ¿H�®¿�¹$O�· µ Ö0¿$¶VOnºÊ¹�¿�N ½ H Ö0¿$¶VOn¿�Ý�·MËJ( � S § V # ¨ S � V º»N)À µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿=NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý � ·MË� OnU8ÀTO�Ä�ÀTÃ8Nz· µ OV·��#º µ ß=à8}?Ä�¿�À µ º µ K�OnU8ÀTO ��º»N�OVUL¿ µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿JÃ�ÀT¶VO�·MË?§ S �;V ½:¾ UL¿Ä#ÀbÝÕº»Ä#ÀXÂ8Ë ÀX¹�¿ � ·MË � OnU8ÀTO�»ºÊ¿�N�·6Ö0¿$¶�OnUL¿JË ÀX¹�¿ � ·MË �#º»NzOnUL¿ µ À µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý·MË � À µ ¸ ¶V¿$ÃL¶n¿�NV¿ µ OnN�À�Ö0¿$¶VOn¿�Ý�·MË ( � S § V # ¨ S � V ½#¾ UL¿"Ã8IL»Â�Á�ÀX¹nÛ Ä#ÀTà O�ÀTÛ0¿�N � OV·�OnULºÊNÖ0¿$¶VOV¿�Ý � ½

S Á V � ¿�Ä#À�ÎBÀXK0ÀXº µ ÀXNVNVILÄ"¿�OVU8ÀTO � º»N µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶~}RNVº µ ¹$¿ OnUL¿�ÃL¶n¿�ºÊÄ#ÀXKM¿�·MË�OVUL¿Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ On¿$¶)Ë�I µ ¹$On·X¶VN~}®OnUL¿ µ ÀTOVIÕ¶�ÀXÂ+Ã8ILÂÊÂÊÁ�ÀX¹nÛ�Ä#ÀTÃ8NhÀ µ ¸�OnUL¿�ºÊOV¿$¶�ÀTOn¿�¸�¶n¿�¸LIL¹�¿�¸ Ä#ÀTÃLÃ8º µ K¹$Î?»º µ ¸L¿�¶�ÀX»¬¹$·MÄ�Ä�IÕOn¿��hº�OnU ¹�·MÂʺ»Ä�º�OnN ½ � ¿=NVU8ÀX»ÂeÀX»NP·+}�äL¶nN{O�}<ÀXNVNPILÄ�¿=OnU8ÀTO�OnUL¿=NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý� � S � ��� ����� � � � V º»N µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOV¿>}%NVº µ ¹�¿�OnULºÊN)Ä#ÀTÛ0¿�NhOnUL¿�Ë�·MÂÊ»·��hº µ K�ÀT¶VKMILÄ�¿ µ O�À»º�OVOnÂÊ¿�¹$»¿�ÀT¶n¿�¶ ½¾ UL¿Ã�ÀT¶VOJ·MË ( � S � V � �'S � � V ·6Ö0¿$¶ � º»NhOVUL¿ µ ¿$¶VÖ0¿�·MË<OnUL¿�Ã�ÀT¶VOVº�ÀX»Â�Î�·X¶n¸L¿$¶n¿�¸�NVIÕÁ8NP¿$O&·MË � � OnU8ÀTO�¹$· µ NVº»NPOVN�·MË%OVUL¿ µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿)NVº»Ä=Ã8»º»¹$¿�N � ¯ � ��} ! ³ S }ÈË�·X¶|�hULºÊ¹�UÏOVUL¿

º»Ä�ÀXKM¿�·MËu§ � � ¿�å?I8ÀXÂÊN)OVUL¿�ºÊÄ#ÀXKM¿�·MËe· µ ¿�·MËeOnUL¿ � �>¥ �,�,� ¥ � � ½�¾ UL¿ ��ÀT¶n¿�ÀX»Â<¸Lº¢�C¿$¶n¿ µ O�}

NVº µ ¹�¿ � º»N µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿>}+NV·�OVULº»NJÃ�ÀT¶VOnº»ÀX»ÂÊÎ�·X¶n¸L¿$¶n¿�¸�NVIÕÁ8NV¿$Oº»N�ÀϸLº»N #{·Mº µ O�I µ º»· µ �� � � ����� � � �>})��UL¿$¶n¿ �

�º»N�OnUL¿"NP¿$O�·MË ��¯ � � ��ºÊOnU�§ S � V � � �

�}+Ë�·X¶�¿�ÀX¹�U � ¯ � ) �q½

¾ UL¿�NVIÕÁ8NV¿$O)Ã�ÀT¶VOnº»ÀXÂG·X¶n¸L¿�¶nº µ KÏ· µ º»NhNVIL¹�U OnU8ÀTO � � � Ë�·X¶ �F¯ ��} � ¯ �

� #¨)º»ËeÀ µ ¸

· µ ÂÊÎϺÊË � º»N�À�Ë ÀX¹�¿�·MË�OnUL¿�º»Ä#ÀXKM¿ � S � V ·MË � º µ �� #¨�}L¸LIL¿�On·�OVUL¿�I µ º�Ö0¿$¶nNnÀXÂ2ÃL¶n·Xî¿$¶VO¡ÎÏ·MË

Ã8IL»Â�Á�ÀX¹nÛÕN ½�¾ U ILN �� S � � ¹ ����� ¹ � � V

º»N�À µ ºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ ·MËGÃ�ÀT¶VOnº»ÀX»Â�Î#·X¶n¸L¿$¶n¿$¸�NV¿$OnNH} º µ ¸LIL¹�º µ K"OVUL¿¹�»ÀXº»Ä�¿�¸�º»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ

� �� U S:� � � ¹ ����� ¹ � � � V

·MËGNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NV¿$OnNhÀXN�º�OnN�Ä�ÀTÃÌ·MË µ ¿�¶VÖ0¿�N~}8ÁÈÎ è ¿�Ä�Ä#À=W ½�ÐL½Ê¼�ÐL½â º µ ÀXÂÊÂÊÎ�}LÀ µ Î�NVº»Ä=Ã8»¿�Ý�·MË ( � S ß à V U8ÀXN�OnUL¿Ë�·X¶nÄ B � S � V � S � 7 � � � � ����� � � 7 � " �

V Ë�·X¶RÀ¸L¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀX¹$Î ·XÃC¿$¶nÀTOn·X¶1B T � � ¹ � ) � À µ ¸�À µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿ )6ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ � }%ÀXN)ÀTÁC·6Ö0¿ ½ çzθL¿$ä µ º�Onº»· µ }0OnUL¿�Ã�ÀT¶VOe·MË ( � S � V ·6Ö0¿$¶ B � S � V ºÊNeOVUL¿�Ã8ILÂÊÂÊÁ�ÀX¹nÛ=ÀX»· µ K B�·MË�OnUL¿�Ã�ÀT¶VOe·MË ( � S � V

Page 72: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �·6Ö0¿$¶ � ½RÓ º µ ¹�¿ µ ¿$¶PÖ0¿�NJ¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿0��ºÊOVU�Ã8IL»ÂÊÁ�ÀX¹nÛ?N~}®OnULºÊNJº»NROnUL¿�NnÀXÄ"¿�ÀXNROnUL¿ µ ¿$¶PÖ0¿�·MË:OVUL¿Ã8IL»Â�Á�ÀX¹nÛ

� 7 � � �� ����� � � 7 � " � //

��

� � � ����� � � �

��� � 7//� ) � ¥

º ½ ¿ ½ }ÕOVUL¿ LÇÜË�·MÂʸ̶n¿�¸LIL¹$¿�¸�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$Î?»º µ ¸L¿�¶R·MË+OVUL¿¹�U8ÀXº µ ·MË�Ã8IL»Â�Á�ÀX¹�Û�Ä#ÀTÃ8N

( � S § V # ¨ S � 7 � " � V ¹����� ¹ ( � S § V # ¨ S � 7 � � � V��

r�;��� ¾ E�" ��"��)"Ft)*-7 § T � ¹ ß=à I_*43 A�3MD @ \ Gl5�/J7C*c1_/%AaD�= /¬L-/¬38=�1�*-7:1.ir385�g =K*-7 � � � I_*\ 3^L_*_14@ \ ß à { &#(+*H5�7:(+* 5�387�9;,<38=+D�9�=2= I_3^L���A63MD

T ( � S § V # ¨ S � V ¹ ( � S § V # ¨ S � V

( 3B1e1_/JAaD�=K* IM3^L��Bkr38,<g L-EB= /%5�g^*-, ,.*.g89�L-7�/¬@B5 � S +V ¹ U�S +V�{� ¿äL¶VNPOJÃL¶n·6Ö0¿�OVULº»NRË�·X¶ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶ � }��hULºÊ¹�U�ºÊNa�hU8ÀTO)ºÊN µ ¿�¿�¸L¿$¸ Ë�·X¶JOnUL¿�ÃL¶n·È·Mˬ·MË

¾ UL¿�·X¶n¿�Ä ¼M½ W ½ Y�º µ æ ÀT¶VOhQ ½�¾ UL¿ µ �z¿KMºÊÖ0¿JOnUL¿�¿�ÝÕOP¶�À"ÀT¶nKMILÄ"¿ µ OVN µ ¿�¿$¸L¿�¸�Ë�·X¶hKM¿ µ ¿$¶�ÀX � ½s½,.@�@ \ @ \ t)*HA]A�3��;{��8{ � i#7:(+*½5�@B5�� 1-/J5��89;=h38,aL.3B1�*�{ Ó IÕÃLî·MNV¿�äL¶nNPO¬OnU8ÀTO � ºÊNGä µ ºÊOV¿�À µ ¸ µ · µ ÇNVº µ KMILÂ�ÀT¶ ½ � ¿"Û0¿$¿$à OnUL¿ µ ·XO�ÀTOVº»· µ N � } � } � Ë�¶V·MÄ OnUL¿�ÃL¶n·?·MË�·MË æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ Þ?½ W S À V }NV·�OnU8ÀTO ( � S § V # ¨ S � V � � � }�( � S § V # ¨ S � V � � � À µ ¸ � � � ½ � ¿�NVU8ÀXÂÊÂ)Ö0¿�¶nº»Ë�ι�· µ ¸Lº�Onº»· µ S À V ·MË æ ¶n·Xî·MNVºÊOVº»· µ W ½xÐL½»¼ Y ½H µ ¿�ÂÊ¿�Ä�¿ µ O �6¯ �&ºÊN�À µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿)NVºÊÄ"Ã8»¿�Ý �6¯ � �"NVIL¹�U�OnU8ÀTO½§ � �� � � � � Ë�·X¶

NV·MÄ�¿�¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹$Î�·XÃC¿$¶nÀTOn·X¶ � ½=Ó ¿�¿ S W ½ Þ?½ Q V ½�¾ UL¿�»¿$Ë�OºÊ¸L¿�ÀX � ª � ¹�· µ NVº»N{OnN·MËeOnUL¿=Ë ÀX¹$¿�N� �¨ S �;V ·MË � }8Ë�·X¶ �^¨ T � !�¨ � ¹ � ! � º µ #{¿�¹$OVºÊÖ0¿>}8NVIL¹�U�OnU8ÀTO � �^¨�¶n¿$Ä#ÀXº µ N�NVIÕ¶�#{¿�¹�OnºÊÖ0¿ ½ ´ OnN µ ¿�¶VÖ0¿

�'S � ª � V �� ������<�fS � # ¨ S + VzV

º»N�OnUL¿�ÃL¶n·?¸LIL¹$Oh·MËGNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�NPÃ�À µLµ ¿�¸�Á ÎÏOnUL¿ S µ · µ Çq¿�Ä"ÃLO¡Î V ÃL¶n¿$º»Ä#ÀXKM¿�N�·MË � ½¾ UL¿#º»Ä#ÀXKM¿ � � � S � V � � � ¨ S �;V ¯ � º»N�À µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOV¿�NVºÊÄ"Ã8»¿vÝ � ¯ � � NVIL¹�U

OnU8ÀTO�§ � �� � � � � ¨ ½ ¾ UL¿�»¿�Ë�O�º»¸L¿�ÀX � ª � ¹�· µ NVºÊNPOnNÏ·MËJOnUL¿�Ë ÀX¹�¿�N � � ¨ S � V ·MË � }�Ë�·X¶� ¨ T � � ¨ � ¹ ��� � º µ #{¿$¹$OnºÊÖ0¿8} NVIL¹�UÌOVU8ÀTO � ¨ � ¨�¶V¿�Ä#ÀXº µ N�NVIÕ¶�#{¿$¹$OnºÊÖ0¿ ½ ´ OnN µ ¿$¶VÖ0¿

�'S � ª � V �� �� ����z�'S � # ¨¨ S � V<V

º»N�OnUL¿�ÃL¶n·?¸LIL¹$Oh·MËGNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�NPÃ�À µLµ ¿�¸�Á ÎÏOnUL¿ S µ · µ Çq¿�Ä"ÃLO¡Î V ÃL¶n¿$º»Ä#ÀXKM¿�N�·MË � ¨ ½â IÕ¶VOnUL¿$¶nÄ"·X¶n¿>}0Ë�·X¶e¿�ÀX¹�U ��OnUL¿�Ä#ÀTà � ¨�ºÊ¸L¿ µ OnºÊä8¿�N � # ¨¨ S � VT� � � � �hº�OnU � # ¨ S � S � V<VT� � ! � }

NV· OnU8ÀTO"OnUL¿�Ä#ÀTà ·MË µ ¿$¶PÖ0¿�N � � T �fS � ª � V ¹ �fS � ª � V º»N=OnUL¿ÌÃL¶n·�#{¿�¹$OVº»· µ Ë�¶n·MÄ OVUL¿ÃL¶n·È¸LIL¹$O"º µ ¸L¿�ÝL¿$¸ ·6Ö0¿$¶�+ ¯ � � � · µ OV· OnUL¿ÏNVIÕÁ8NP¿$O�·MË�Ë ÀX¹$On·X¶nN�º µ ¸L¿vÝL¿�¸�·jÖ0¿�¶ � ¯ � � �l½ ´^µ·XOnUL¿$¶ ��·X¶n¸LN~}+OnULº»N�º»N�OVUL¿=ÃL¶n·�#{¿�¹$OVº»· µ À���À�Î Ë�¶n·MÄ OnUL¿=Ë ÀX¹$On·X¶nN�º µ ¸L¿�ÝÕ¿�¸ ÁÈÎ OnUL¿ + µ ·XO�º µOnUL¿#ºÊÄ#ÀXKM¿"·MË � ½�Ó ·�¿�ÀX¹�U�î·Mº µ O�º µ Ö0¿$¶nNV¿�ÀXË�On¿�¶�KM¿�·MÄ�¿$OP¶nº»¹"¶V¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ º»N�ÀÌÃL¶n·È¸LIL¹$O�·MËNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N~}8À µ ¸ÏOnUL¿$¶n¿$Ë�·X¶n¿�¹$· µ OV¶nÀX¹$OnºÊÁ8ÂÊ¿ ½�¾ UL¿�¹�· µ ¹�ÂÊILNVº»· µ ·MË�OnUL¿�»¿$Ä�Ä#ÀOnUL¿ µ Ë�·M»ÂÊ·���N�ÁÈÎæ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½�ÐL½Ê¼ Y ½ �

Page 73: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

s½,.@�@ \ @ \ t)*HA]A�3 �;{��8{ � i 7%(*��^*-5�*-,.38= L.3B1�*�{ è ¿$O � ÁC¿�À�KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂ�ä µ ºÊOn¿ÏNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NV¿$O ½� ¶nº�On¿ � � ß � � ��� �   } ��UL¿$¶n¿��� T ß �

¹ � ºÊN�OVUL¿)¶V¿$ÃL¶n¿�NV¿ µ Onº µ K"Ä#ÀTÃ�·MË+À µ !®ÇqNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý� }�»¿$O®§   � § & �   } � � § �� T ß �

¹ ß à À µ ¸ �   � � & � ß � ½� ¿ ��À µ O�On·NPUL·��BOnU8ÀTO�OnUL¿�Ã8ILÂÊÂÊÁ�ÀX¹nÛ"Ä�ÀTà T � � ( � S § V # ¨ S � V ¹ ( � S § V # ¨ S � V � �

U8ÀXN�NVº»Ä=Ã8»¿�¹$Î?»º µ ¸L¿$¶�¶n¿�¸LIL¹$OVº»· µ ½ ç�Î�OnUL¿ µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶�¹�ÀXNP¿>}eÀ µ ¸Aº µ ¸LIL¹$Onº»· µ }���¿ÏÄ#À�ÎÀXNVNVILÄ"¿�OnU8ÀTO�OnUL¿�Ã8IL»ÂÊÁ�ÀX¹nÛ=Ä#ÀTÃ8N   T �   � ( � S §#  V # ¨ S � V ¹ ( � S §�  V # ¨ S � V � �  �} � T � �( � S � V # ¨ S � V ¹ ( � S � V # ¨ S � V � Å À µ ¸ ��  T �c  � ( � S �   V # ¨ S � V ¹ ( � S �   V # ¨ S � V � Å�  ÀX»ÂU8À�Ö0¿hNVºÊÄ"Ã8»¿�¹$Î?»º µ ¸L¿�¶�¶n¿�¸LIL¹�Onº»· µ ½e¾ UL¿ µ � � Q � �  ��� � }�Å �

�� �  ��� � À µ ¸ � S � V�� R � - � �� S   V �� � S +V ½�¾ UL¿�Ä#ÀTÃ8N�� S ��  V ¹ � S � V À µ ¸ U S ��  V ¹ U S � V ÀT¶V¿�¹$·XäLÁL¶�ÀTOnº»· µ N S OVUL¿

Â�ÀTOPOn¿$¶�Ë�·MÂÊ»·��hN�¿�ÀXNVº»Â�Î Ë�¶n·MÄ è ¿�Ä�Ä�À�W ½�ÐL½Ê¼M¼ S Á V<V }+NV·�ÁÈÎ OnUL¿#KM»ILº µ K�»¿�Ä�Ä�À � S � V�� R � - � �� S   V ¹ U�S � V�� ��- � � U�S   V º»NhÀX»NV·�NVºÊÄ"Ã8»¿ ½

¾ · ÃL¶n·6Ö0¿�OnU8ÀTO�� S +V ¹ U S V º»N#NVºÊÄ"Ã8»¿8}�º�O�OnUL¿$¶V¿�Ë�·X¶n¿�NVI @"¹�¿�NÏOn· NVUL·�� OnU8ÀTO�OVUL¿Ã8ILNVUL·MIÕO�Ä#ÀTà U�S � V¿� �

�- � � U�S   V ¹ U S +V ºÊN�À µ º»NV·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ ½ � ¿�ÃL¶n·6Ö0¿�OnULºÊNÁÈÎ

NVUL·��hº µ K"OnU8ÀTO�¹�·MÄ"î·MNVºÊOnºÊ· µ �hº�OnU"( � S ���V º µ ¸LIL¹�¿�NJÀ�Á8º #{¿�¹$OVº»· µ

U S � V �½U�S �   V ¶·¸¢¹ U S V �½U�S   V º µ ¿�ÀX¹�U�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ2¸L¿�KX¶V¿�¿ � ½

� ¿:ILNV¿:OnUL¿e¸L¿�NV¹$¶nº�ÃLOnº»· µ ·MË?À µ � ÇqNVº»Ä=Ã8»¿�ÝR·MË U S V ÀXN�À�OV¶nº�Ã8»¿ S � ¥ �)¥ � V }~�hUL¿$¶V¿ � T � � � ¹� � � º»NJÀ=Á�ÀX¹nÛ�Ë ÀX¹$¿>} � ³ ¸ ¼ } � ¯ � � À µ ¸ � ¯ � }���ºÊOVU �S � V � �� S � V ½�¾ UL¿ � ÇÜNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�N

��ºÊOnU � � ¸ ¼ ÀXÄ�·MI µ O�OV·=OnUL¿ � ÇqNVº»Ä=Ã8»º»¹$¿�N�·MË � ½´ Ë�� ¯ �  � � � � À µ ¸ � ³ S }ÈOnUL¿ µ �S � V � � � S � VT¯ �  � � ( � S �   V � } NV·�OnUL¿h»ÀXNPO�Ö0¿�¶VOn¿�Ý

·MË�� ºÊN µ ·XO�OnUL¿ÌI µ ºÊå?IL¿�Ö0¿�¶VOn¿�Ý S�� ¥AR � V º µ ( � S � V � � ( � S �   V � ½Aã ¿ µ ¹�¿�ÀXÂÊÂ�·MË ��»ºÊ¿�N"º µ( � S �   V }?À µ ¸#OnUÈILN�� ¯ �   ½ ´ OzË�·M»»·���N�OnU8ÀTO U�S V ��U S   V ¹�· µ NVºÊNPOnN�·MË2OnUL¿ S � ¥ �)¥ � V ÀXNÀTÁC·6Ö0¿>}^�hUL¿$¶V¿ � ¯ � � � �  � S Ë�·X¶ � ³ S V } On·MKM¿�OnUL¿$¶r��ºÊOVU � � �   S Ë�·X¶ � � ¸ ¼ V ½:è º�Û0¿H�hºÊNV¿>}U S � V �TU S ��  V ¹�· µ NPº»NPOnN�·MË+OVUL¿ S � ¥ � ¥ �HV }���ºÊOnU � T � � � ¹ � � � À�Á�ÀX¹nÛ�Ë ÀX¹�¿>} �6¯ � � � �c  � }�w¯ Å À µ ¸ � S��;V � � � S��~V S Ë�·X¶ � ³ S V }LOn·MKM¿�OnUL¿$¶ �hº�OnU Å � Å   S Ë�·X¶ � � ¸ ¼ V ½á ·MÄ"ÃC·MNVº�Onº»· µ ��ºÊOVU( � S ���V º µ ¸LIL¹�¿�N�ÀRÁ8º #{¿�¹�Onº»· µ � � � �   � ¹ � � � �  � }MNVº µ ¹�¿ � � Q � �  ���

� ½ ´ O¬OnUL¿$¶n¿$Ë�·X¶n¿�¶V¿�Ä#ÀXº µ N<OV·)ÃL¶V·jÖ0¿�OnU8ÀTO:Ë�·X¶e¿�ÀX¹�U=Ã�ÀXº�¶ S � ¥ �;V ��ºÊOnU � ¯ � � � �c  � }MÄ#ÀTÃLÃ8º µ KÁ Î�( � S���V On· S � ¥ � V �hº�OnU�� ¯ � � � �  � }?OVUL¿�NP¿$O�·MË � ¯ Å � Å]  �hº�OnU �� S��HV � � S � V Ä#ÀTÃ8N

Á8º #{¿$¹$OnºÊÖ0¿$ÂÊÎ�On·�OVUL¿JNV¿$O�·MË � ¯ � � �   �hº�OnU �� S � V � �S � V ½ ç�IÕOzOnULºÊN�º»N�À�Ä#ÀTÃÏ·MË2Ö0¿$¶VOVº»¹�ÀXÂ

äLÁC¿�¶nNhº µ OnUL¿�¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿JNVå?I8ÀT¶n¿

Å � Å   ¶·//

��

��

� � �  

��

��Å � � Å  � ¶·// � � � �  �

��UL¿$¶n¿�OVUL¿UL·X¶nºÊÅ�· µ OnÀXÂ�Ë�I µ ¹�Onº»· µ NJÀT¶V¿�Á8º #{¿$¹$Onº»· µ NH} NVº µ ¹�¿4Å ��� �   �� � ½z¾ ·=NV¿�¿�OnU8ÀTO�OVUL¿

Ö0¿$¶VOVº»¹�ÀXÂ�Ä#ÀTÃ8N � � ÀT¶n¿®��¿$»®¸L¿�ä µ ¿�¸?} µ ·XOn¿�OVU8ÀTO � ¯ � � �   � ( � S � V � ( � S �   V }ÈNV·�NVIL¹�UÀ=NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý �ÏU8ÀXNhÂ�ÀXN{O�Ö0¿$¶POn¿�Ý�¿�å?I8ÀXÂ2On· S�� ¥AR � V ½�¾ UÈILNhÀX»NV·=ºÊOnN�Á�ÀX¹nÛÌË ÀX¹�¿ � � S � V|¯ � � U8ÀXNÂ�ÀXN{O�Ö0¿$¶POn¿�Ý S�� ¥AR � V }8NV· � � S � Veª¯ �  � ½ �

� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ���?E�"���"���" &#(+*-,M*®/21w305�387:9;,<3>=�7�,<385+1 \ @B,_A6387:/ @B5 z@ \ *H5�g^@ \ 9;5�L-7»@B,_1c@ \ 7:(+* L.3>7 �* �^@8,_E @ \ 1_/%AaD�= /¬L-/¬38=�1�*-7:1�@BI>*H, ß à ��k�(^/¬L_( 7C@Æ385�@ I���*ML-7 § T �o¹ ß à 3B1M1�@�L-/�387»*_1036A63MD

T ( � S § V # ¨ S � V½¤ ß à ¹ �@BI>*H, ß=à k�/J7:(Æ7%(* \ @B=2=K@8k�/J5���7�kT@eD�,[email protected]�*-,_7�/¬*_1 �

Page 74: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

3 ��&#(+* A�3_D 0/J1 1_/JAaD�=K*]@BI>*-,07:(+* /J57»*-,-/¬@B,�@ \ & ß=à & � I��4y�@B, *.3^L_( \ 3^LM* � T ß " ¹ ß à iu7:(+*]g>/�3 �8,.38A

( � S § V # ¨ S � V ¤ ß " ��� � �//

� � �����

( � S § V # ¨ S � V|¤ ß à �// �

( � S § V # ¨ S � V½¤ ß " ��

// � ¤ � � ß "

OO

LM@BA A]9�7»*_1~{´^µ S À V } � NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿R·jÖ0¿�¶�OnUL¿Jº µ On¿$¶nºÊ·X¶.��º»N�º µ OVUL¿JNV¿ µ NV¿)·MË Ñ ¿�Ä#ÀT¶PÛÏW ½»¼M½ � }Ⱥ ½ ¿ ½ }?OnUL¿RÃL¶n¿$º»Ä=Ç

ÀXKM¿ & /& # ¨ S ��V º»N#¹�· µ OV¶�ÀX¹$OVºÊÁ8»¿�Ë�·X¶Ï¿�ÀX¹vUBÃC·Mº µ O �o¯ & � & ��ºÊOnU & § & S���V º µ OnUL¿�º µ On¿$¶nºÊ·X¶#·MË& ß à & ½ ´^µ S Á V }   ºÊN�OnUL¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ�Ä#ÀTÃ�Ë�·X¶�OnUL¿�¶V¿�NPOV¶nºÊ¹$On¿�¸ÌÄ#ÀTà § T � ¤ � � ß " ¹ ß " } À µ ¸ T ( � S § V # ¨ S � V ¹ ( � S § V # ¨ S � V ºÊN�OnUL¿�Ã8IL»Â�Á�ÀX¹�Û Ä#ÀTà ·MË æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ W ½ Þ?½ W S À V ½�æ ¶n·XÃÕÇ¿$¶VO¡Î S À V ¸L¿�NV¹$¶nº�ÁC¿�N ·6Ö0¿$¶+OnUL¿�º µ On¿�¶nº»·X¶G·MË & ß�à & }��hULºÊ»¿ S Á V ¸L¿�NP¹$¶nºÊÁ®¿�N¬ºÊO+·6Ö0¿$¶GOnUL¿�ÁC·MI µ ¸8ÀT¶VÎ ½� UL¿ µ � � S }LOnUL¿Ä#ÀTà ��º»ÂÊÂCÁC¿¿$å?I8ÀXÂ2On·=OVUL¿�»ÀXNPO�Ö0¿�¶VOn¿�Ý�Ä#ÀTà � � T ( � S � V ¹ � ½s½,.@�@ \ { HJN=OnUL¿�ÃL¶n¿�ºÊÄ#ÀXKM¿Ì·MËROnUL¿�Á�ÀT¶VÎÕ¹�¿ µ On¿�¶ÏË�I µ ¹$On·X¶Ï¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿$N���ºÊOnU-Ã8ILNVUL·MIÕOVN~}�OVUL¿¹�· µ NPOP¶nIL¹$OnºÊ· µ ·MË�OnUL¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂzÄ�ÀTà µ ¿�¿�¸LN=· µ ÂÊÎ�ÁC¿ÏKMºÊÖ0¿ µ º µ OnUL¿ � ÂÊ·?¹�ÀXÂh��¹�ÀXNV¿��hUL¿$¶V¿� � ß � º»N�À�NVºÊÄ"Ã8»¿vÝ ½:¾ UL¿RÖ0¿$¶nºÊä8¹�ÀTOnº»· µ ·MË2ÃL¶n·XÃC¿�¶VOnº»¿$N S À V À µ ¸ S Á V µ ¿�¿�¸LN�ÀXÂÊNV·�ÁC¿JKMºÊÖ0¿ µº µ OnU8ÀTO�¹�ÀXNV¿�· µ ÂÊÎ ½e¾ ULºÊN�ºÊN�¹$»¿�ÀT¶�Ë�·X¶ S Á V }�À µ ¸ÌILNV¿�N�OnUL¿�KM»ILº µ K=»¿�Ä"Ä#À�Ë�·X¶hNVºÊÄ"Ã8»¿)Ä#ÀTÃ8Nº µ º�OnN�Ä�·È¸LºÊä8¿�¸ Ö0¿�¶nNVº»· µ S Ñ ¿�Ä#ÀT¶VÛ W ½»¼M½ � V Ë�·X¶�ÃL¶V·XÃC¿$¶VO¡Î S À V ½�Ó ·�ÀXNPNVILÄ�¿�Ë�¶n·MÄ µ ·�� · µOnU8ÀTO®§ � � �CT ß �

¹ ß�à�º»N�º µ ¸LIL¹$¿�¸�ÁÈÎ�À µ ·X¶n¸L¿$¶PÇlÃL¶n¿�NV¿$¶PÖÕº µ K#Ë�I µ ¹�Onº»· µ �CT � ! � ¹ � � �q½´ Ë � º»N µ ·XO�NVIÕ¶ #{¿�¹$Onº�Ö0¿>}�OnUL¿ µ ( � S § V # ¨ S � V ºÊN�¿$Ä"ÃLO¡Î�}eNP· OnUL¿�ÀXNVNP¿$¶VOn¿�¸ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂzÄ�ÀTÃ

T � ¹ ß � ¿�ÝÕº»NPOnN�Ë�·X¶�OP¶nºÊÖ?º�ÀXÂ:¶n¿�ÀXNV· µ N ½�¾ UL¿ÏÀXNVNV¿$¶VOV¿�¸ NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�ºÊO¡Î�·jÖ0¿�¶�OnUL¿#º µ On¿$¶nºÊ·X¶�·MË& ß�à & º»N�ÀX»NV·"À�OV¶VºÊÖÕº»ÀXÂCË ÀX¹$O�}8Ë�·X¶a§ Ä#ÀTÃ8Nhß � ¿ µ OnºÊ¶n¿$ÂÊÎ�º µ On·=OVUL¿�ÁC·MI µ ¸8ÀT¶PÎ � ß�à ½

� ¿�¹�À µ OVUL¿$¶n¿�Ë�·X¶n¿�ÀXNVNPILÄ�¿�OnU8ÀTO �CT � ! � ¹ � � � º»N�À�NVIÕ¶ #{¿�¹$Onº�Ö0¿�Ä�ÀTà ½�¾ UL¿�OV¶�À µ NVË�·X¶PÇÄ#ÀTOnºÊ· µ OV·"ÁC¿�¹�· µ NPOV¶nIL¹�On¿�¸ ��º»Â»Â2Á®¿�À"NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ̺ µ OnULºÊNh¹�ÀXNP¿>} µ ·XO #{ILNPO)À�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä�ÀT÷6Ö0¿$¶)OnUL¿�º µ On¿$¶nºÊ·X¶)·MË & ß=à & ½�â ·X¶)¿�ÀX¹�U � � S ¥ �,�,� ¥ ��»¿$O � �

� � # ¨ S � Vc� � ! �q½�¾ UL¿ µ ¿�ÀX¹�U� �

º»N�À µ · µ ÇÜ¿�Ä"ÃLO¡Î�OV·XO�ÀX»Â�Î�·X¶n¸L¿$¶V¿�¸ÌNV¿�O�} � � �ºÊN�À�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý?}LÀ µ ¸ � ! � � � � � ����� � � à º»NÀ=¸L¿$¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOnºÊ· µ ÀXNhÀ=¸Lº»N #{·Mº µ ORI µ º»· µ ½

¾ UL¿$¶n¿ºÊNhÀ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%º»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ

( � S § V # ¨ S � V �� ( � S%� � � VT¤ ����� ¤ ( � S%� � à V��

â ·X¶C( � S § V # ¨ S � V � � � ºÊN�OVUL¿ µ ¿�¶VÖ0¿=·MËeOnUL¿�Ã�ÀT¶VOnº»ÀX»ÂÊÎ�·X¶n¸L¿$¶n¿�¸�NV¿$O � ·MË S µ · µ Çq¿�Ä"ÃLO¡Î VË ÀX¹�¿�NÏ·MË�ß � OnU8ÀTOÏÄ#ÀTÃB· µ On·�ß=àÌÁ β§�}�º ½ ¿ ½ }�OnUL¿�NVIÕÁ8NP¿$OnNÏ·MË � ! � OVU8ÀTO#º µ On¿$¶nNP¿�¹$O�¿�ÀX¹�U� �

µ · µ ÇlOV¶nºÊÖ?º�ÀXÂÊÂÊÎ ½ � ¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂÊÂÊÎ�º»¸L¿ µ OnºÊË�Î � ��ºÊOnU�OnUL¿�ÃL¶V·?¸LIL¹$O"·jÖ0¿$¶ � � S ¥ �,�,� ¥ ��·MËOnUL¿�Ã�ÀT¶VOnº»ÀX»Â�Î�·X¶n¸L¿$¶n¿$¸ NV¿$O�·MË µ · µ ÇÜ¿�Ä"ÃLO¡Î�NVIÕÁ8NP¿$OnN·MË � �

}%º ½ ¿ ½ }2·MË S µ · µ ÇÜ¿�Ä=ÃLO^Î V Ë ÀX¹�¿�N�·MËOnUL¿�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ý � � �

½�¾ UL¿ µ ¿$¶VÖ0¿�·MËe¿�ÀX¹�U�Ë ÀX¹�On·X¶)º»NROnUL¿�ç�ÀT¶V¶�ÀTOPO µ ¿$¶VÖ0¿�·MË � � �}��hULºÊ¹vU º»N

º»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»¹�On· ( � S%� � �V ½:¾ U ILN � � º»N:ºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊ¹�OV·�OnUL¿ µ ¿$¶VÖ0¿�·MË8OnUL¿�ÃL¶V·?¸LIL¹$O�}���ULº»¹�U

º»N�OnUL¿�ÃL¶n·?¸LIL¹$ORÀTÁC·6Ö0¿ ½â ·X¶=¿�ÀX¹vU � OnUL¿$¶n¿�º»N=À�»ÀXNPO�Ö0¿$¶VOn¿�ÝAÄ#ÀTà � � � ���

�T ( � S:� � �

V ¹ � � �}u��ULº»¹�U-º»N

NVºÊÄ"Ã8»¿)ÁÈÎ æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ W ½Ê¼jÞ?½:ã ¿ µ ¹�¿�OVUL¿�ºÊ¶�ÃL¶n·?¸LIL¹�O

� à T ( � S:� � � V|¤ ����� ¤ ( � S:� � à V ¹ � � � ¤ ����� ¤ � � ົN�ÀX»NP·�À=NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿>} µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%Ä#ÀTà ½ � ¿�NVU8ÀX»Â%º µ À=Ä�·MÄ"¿ µ O�¹�· µ N{OV¶nIL¹$ORÀ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%Ä#ÀTÃ

� ­ T � � � ¤ ����� ¤ � � à ¤ ß à ¹ ß �

Page 75: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

·6Ö0¿$¶�ß=à8}��hULºÊ¹vU º»N)À�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ+UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎÌ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�·6Ö0¿$¶JOnUL¿�O�ÀT¶nKM¿$O S ÀXNJº µ ¦)¿$ä µ º�ÇOnºÊ· µ W ½�ÐL½ÙÞ V }LÀ µ ¸ÌOVUL¿$¶n¿�Ë�·X¶n¿�NVº»Ä=Ã8»¿ ½�¾ UL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿�Ä#ÀTà T ( � S § V # ¨ S � V|¤ ß à �� ( � S:� � � V|¤ ����� ¤ ( � S:� � à V|¤ ß à

� � � � �¸ ¸¸+¸%¹ � � � ¤ ����� ¤ � � à ¤ ß à� �¸_¸ ¹ ß �

��º»Â»ÂCOVUL¿ µ ÁC¿�OnUL¿)¶n¿�å?ILº�¶n¿�¸�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTà ·6Ö0¿$¶Rß à ½� ¿�¸L¿$ä µ ¿ � ­�ÀXN�OnUL¿ µ ¿$¶VÖ0¿·MË�OnUL¿·X¶V¸L¿$¶PÇqÃL¶V¿�NV¿$¶VÖ?º µ K�Ë�I µ ¹�Onº»· µ

­ T � � ¤ ����� ¤ � à ¤ � � � ¹ � ! �KMºÊÖ0¿ µ Á Î

­ S +U�8¥ �,�,� ¥ + à ¥ � V � +�

�ã ¿$¶n¿�¿�ÀX¹�U +

�¯ � �

� � ! �l½� ¿�¸L¿$ä µ ¿�À µ ·X¶n¸L¿$¶PÇlÃL¶n¿�NV¿$¶PÖÕº µ K#NP¿�¹$OnºÊ· µ � T � ! � ¹ � � ¤ ����� ¤ � à ¤ � � � ÁÈÎ

� S + �V � S Ä�ÀbÝ � �8¥ �,�,� ¥nÄ#ÀbÝ � � #

¨~¥ +�¥nÄ�º µ � �

> ¨~¥ �,�,� Ä�º µ � à ¥ � V �S ¾ UL¿JÄ�º µ ºÊÄ#ÀÀ µ ¸�Ä#ÀbÝÕº»Ä#À)¿�ÝLºÊNPO�NVº µ ¹�¿J¿�ÀX¹�U � �

ºÊN µ · µ ÇÜ¿�Ä"ÃLO¡Î ½ V Ô ·XOV¿ROnU8ÀTO|­ � � + ����½

¾ UL¿$¶n¿hºÊNzÀ�¹vU8ÀXº µ ·MË OC��· µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ8º µ ¿�åÈI8ÀX»º�Onº»¿�N¬¶n¿$Â�ÀTOnº µ K�OnUL¿�·XOnUL¿$¶�¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿ � ­"À µ ¸"OVUL¿º»¸L¿ µ Onº�O¡Î�· µ � � ¤ ����� ¤ � à ¤ � � � }8ÀXN�Ë�·M»ÂÊ·���N T

S +��8¥ �,�,� ¥ + à ¥ � V � S Ä�ÀbÝ � �>¥ �,�,� ¥nÄ#ÀbÝ � � #¨�¥ +

�¥ +�> ¨�¥ �,�,� ¥ + à ¥ � V

³ S Ä�ÀbÝ � �>¥ �,�,� ¥nÄ#ÀbÝ � � #¨�¥ +

�¥nÄ�º µ � �

> ¨H¥ �,�,� ¥nÄ�º µ � à ¥ � V��æ ÀXNVNVº µ K�On· µ ¿$¶VÖ0¿$N~}COnUL¿�NV¿�¸L¿�ä µ ¿�À�¹vU8ÀXº µ ·MË:OC��·#NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�UL·MÄ"·XOn·XÃ8º»¿�N�·jÖ0¿�¶�ß � Ë�¶n·MÄ+ � On· � � � � ­ ½e¾ U ILN � ­ÏºÊN�À�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ"¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿)·jÖ0¿�¶�OnUL¿RO�ÀT¶nKM¿$O~}LÀ µ ¸º µ Ã�ÀT¶VOnºÊ¹�ILÂ�ÀT¶�}�À�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿)Ä#ÀTà ½â ¶n·MÄ � S + �

V � ���z¿�NV¿�¿�OnU8ÀTOc­�ºÊNJÀ�Ë�I µ ¹$OnºÊ· µ ·jÖ0¿$¶ � � � }®NV· � ­�À µ ¸ ÀT¶n¿�Ä#ÀTÃ8N�·jÖ0¿�¶ß=à ½ H Ä"·X¶VÃ8ULº»NVÄ Ë�¶n·MÄ �CT � ! � ¹ � � � On· �   T � !?  � ¹ � � � ¸L¿$ä µ ¿�N�Ë�I µ ¹$OnºÊ· µ N � � ¹ �  �

}À µ ¸ ­-ºÊN µ ÀTOnIÕ¶nÀX½��ºÊOVU ¶n¿�NPî¿�¹$O�OV·�OnUL¿�NP¿ ½ â ·X¶=¿�ÀX¹�U Ë ÀX¹�¿�·XÃC¿$¶�ÀTOV·X¶ � T � � ¹ � � � OVUL¿Ã8IL»Â�Á�ÀX¹nÛ�Ä�ÀTà ºÊN�¹�·MÄ"Ã�ÀTOnº�Á8»¿)I µ ¸L¿$¶hOVUL¿�»ÀXNPO�Ö0¿$¶VOn¿�Ý�Ä#ÀTÃ8N|��ºÊOnUÏOnUL¿)ÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ Ë�¶n·MÄ� � ¤ ����� ¤ � à On· OVUL¿�Ë ÀX¹$On·X¶nN"¹�·X¶V¶n¿�N{ÃC· µ ¸Lº µ K On·�OnUL¿�º»Ä�ÀXKM¿�·MË � ½ H ¶n¿�ÖÕº»¿-� ·MËROVUL¿¸L¿$ä µ º�Onº»· µ NOVUL¿$¶n¿�Ë�·X¶n¿"NVUL·���NOnU8ÀTO�OnUL¿"Ä�ÀTà NnÀTOnºÊNPä8¿�N�ÃL¶V·XÃC¿$¶VOVº»¿�N S À V À µ ¸ S Á V }<À µ ¸ º»Nµ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%º µ § � � � ½�¾ ULºÊNh¹�·MÄ=Ã8»¿$On¿$N�OnUL¿)ÃL¶n·È·MË<·MË+OnUL¿�ÃL¶n·XÃC·MNPºÊOnºÊ· µ ½ �

� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� E�"���"��?" t�*-7 § T � ¹ ß=à I_*�3 A�3_D @ \ Gl5�/J7C*41_/JAwD�= /¬L-/�3>=?1�*-7:1~{Æ&#(*-5 § /213���*-,_,M* GJIH,.387:/ @B5`/ \ 385�g @B5= E6/ \ 7%(+*45�387�9�,.38=�A�3_D

T ( � S § V # ¨ S � V½¤ ß à ¹ �/21 1-/JAaD�=K*�{s½,.@�@ \ { ´ Ë º»N�NVºÊÄ"Ã8»¿8}OnUL¿ µ ºÊOnN�KM¿�·MÄ"¿$OV¶nºÊ¹ ¶n¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ ÃL¶V·jÖ?º»¸L¿�N�ÀBOP¶nºÊÖ?º�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ ·MË& § & T & � & ¹ & ß=à & IÕÃ�OV·"À�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä�ÀTÃ�}LNV·�§ ºÊNhÀ Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ ÁÈÎ æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ Y ½ Y ½á · µ Ö0¿$¶VNV¿�ÂÊÎ�}eNVIÕÃLî·MNV¿ÌOnU8ÀTO § ºÊN"À Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ ½ ´{µ ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä W ½ Q ½ W ��¿�NVUL·���¿�¸

OnU8ÀTO�OnUL¿"UL·MÄ"¿�·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�Æ � T & ( � S � V/& �� & � & ·MË â ¶nºÊOVNV¹�U À µ ¸ æ IÕÃLî¿ � â¬æ Y ÞB� ¹�À µ Á®¿ÀX¸�#{ILNPOn¿$¸�On·�À�å?I8ÀXNVº Ç µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%UL·MÄ�¿$·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ Æ � }8NV·"ÀXN�On·�Ä#ÀTÛ0¿JOnUL¿�NVå?I8ÀT¶n¿

& ( � S � V$& ���¶ · //

� V � � � � ���

& � &

� � ���& ( � S ß�à V$& � �

¶ · //& ß�à &

Page 76: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿ ½ ´ O�¶n¿�NVILÂ�OnN�OnU8ÀTO�OVUL¿Ä#ÀTÃ

( � S § V T ( � S � V ¹ ( � S ß à V

º»N�À Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnº»· µ }LNPº µ ¹�¿�OnULº»N�º»N�À�On·XÃC·MÂÊ·MKMº»¹�ÀX®ÃL¶V·XÃC¿$¶VO¡Î�·MËGº�OnN�KM¿�·MÄ�¿$OP¶nº»¹J¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOVº»· µ ½á · µ NV¿�å?IL¿ µ OnÂ�Î�}GË�·X¶�¿�ÀX¹vU Ë ÀX¹$¿ � ·MË�ß=à�OnUL¿=¶V¿�NPOV¶nºÊ¹$OnºÊ· µ ·MË ( � S § V On·�OnUL¿=Ã�ÀT¶VO�·6Ö0¿$¶OVUL¿¼ ÇÜNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý � � S � � R à V º µ ( � S ß=à V ºÊN�ÀXÂÊNV·�À Ó ¿$¶V¶V¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ ½ ç�Î æ ¶n·XÃC·MNPºÊOnºÊ· µ W ½ÙÞ?½ W S Á VOnU8ÀTO�Ã�ÀT¶VO�Ä#À6Î�Á®¿"ºÊ¸L¿ µ OVºÊä8¿�¸���ºÊOnU OnUL¿=¶V¿�¸LIL¹�¿�¸ Ä#ÀTÃLÃ8º µ K̹$Î?»º µ ¸L¿$¶ U�S +V ·MË�OnUL¿=Ä�ÀTà T ( � S § V # ¨ S � V ¹ ( � S § V # ¨ S � V ½�ã ¿ µ ¹�¿>}JILNVº µ KAOnUL¿ Ó ¿$¶P¶n¿ äLÁL¶nÀTOnº»· µ U ÎÈÃC·XOnUL¿�NPº»N~}a�z¿¹�· µ ¹�ÂÊIL¸L¿�Ë�¶n·MÄ è ¿�Ä�Ä#À=W ½ Þ?½xÐ À µ ¸ æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ W ½ Y ½ � OnU8ÀTO�OVUL¿�Ä#ÀTà º»N�NVºÊÄ"Ã8»¿ ½

� ¿�U8À6Ö0¿�OnU ILN�¿�NPO�ÀTÁ8Âʺ»NVUL¿$¸-OnU8ÀTO=OVUL¿Ì»¿$Ë�O=Ö0¿$¶POnº»¹�ÀXÂ�Ä#ÀTà �¤ + � º µ OnUL¿�¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ º µÃL¶n·Xî¿$¶VO¡Î S Á V ·MË æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ÙÞ?½ Ø ºÊNJNVº»Ä=Ã8»¿ ½h¾ UL¿�ÁC·XOPOn·MÄ Ä�ÀTà  Gº»NRNVºÊÄ"Ã8»¿·jÖ0¿$¶JOVUL¿º µ On¿$¶Vº»·X¶�·MË�ß " }�º µ Ö?º»¿H� ·MËeÃL¶n·XÃC¿�¶VO¡Î S À V ½ � NPº µ K�OVUL¿"¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖÕº�O¡ÎÌ·MË�OVUL¿=¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ }��¿)NV¿�¿)OnUL¿$¶V¿�Ë�·X¶n¿�OVU8ÀTO�OnUL¿�Ä�ÀTà º»N�NVºÊÄ"Ã8»¿J·6Ö0¿$¶�OnUL¿�º µ On¿$¶nºÊ·X¶�·MË+OnUL¿)Ë ÀX¹�¿ � S ß " V ·MËGß=à ½ç�IÕO�OVU8ÀTOhË ÀX¹�¿e��ÀXN�ÀT¶VÁ8ºÊOV¶nÀT¶VÎ ½:ã ¿ µ ¹�¿ º»N�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿ ½ �

� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� E�" ��"�� � � Á ��� ����+ Á�� � � � ��� ¾ % �������;���B� � � ¾ À�ÁJ��� � � "�t)*-7

� ¨

� �!!B

BBBB

BBB

� �oo //

� ���

� �

� }}||

||||

||

ß=à

I_* 3mLM@BA]A 9�7C387�/JI>* g8/¬3 �8,<3>A @ \ Gu5/J7»* 1_/JAaD�= /¬L-/�38=¿1�*-7%1Mi®k�(+*-,M* § � T � � ¹ ß�à /J1�3 �?*-,-,.*GJIH,.387�/¬@B5 \ @8,]*.3�L_( + � S ¥ ¼ ¥vW { ��9�D�D�@B1�*�38= 1�@ 7:( 387 � � ¹ � ¨ /J1�3 L_@ GJIH,.387:/ @B5�{�&)(+*-5�7:(+*/J5�g>9LM*Mg�A�3MD

§ T � ¨ � � � � � ¹ ß à

/2143��?*-,_,M* GJI~,<387�/¬@B5�{s½,.@�@ \ { ¾ UL¿�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8N.( � S § � V #

¨ S � V ¤ ß à ¹ � � ·MË æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ÙÞ?½ Y�¹�·MÄ�Á8º µ ¿>}8ÁÈε ÀTOnIÕ¶�ÀXÂʺÊO¡Î�}ÕOn·�KMºÊÖ0¿�À=Ä#ÀTÃ

� ( � S §#¨ V # ¨ S � V#� V � � � � � �

�� � �

( � S §�� V # ¨ S � V ¤ ß à ¹ � ¨ � � � � �

��ULº»¹�U?} Á Î�OnUL¿�KM»ILº µ K�»¿$Ä�Ä#À }XºÊNeNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�ÀXK0ÀXº µ ½ � ¿�U8À6Ö0¿�OnU ILN�·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸�ÀJOV¶nº�ÖÕº»ÀX»º»Å�ÀTOnº»· µIÕà On·ÌÀ�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTà ½�ã ¿ µ ¹$¿ S æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ Y ½ Y V OnUL¿"Ä#ÀTÃ�§ T � ¨ � � � � � ¹ ß=à�º»N�ÀÓ ¿$¶V¶V¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ ½ �

� ��� �¿Á2À�Á%��� E�"���"��?" � ¿�NnÀ�ÎÌOnU8ÀTOJÀ�Ä#ÀTÃP§ T � ¹ Å ·MˬNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ%NV¿�OnNJº»NJÀ� Á:� ¼ � � !� Á � �"�����B��� � � ¾ À�Á%��� º»ËÕË�·X¶G¿�ÀX¹�U�NVº»Ä=Ã8»¿�Ý �)·MË+Å }B��ºÊOnU�¶n¿$ÃL¶n¿$NV¿ µ Onº µ K)Ä#ÀTà �� T ß=à ¹ Å }OnUL¿�Ã8IL»»¿$¸?ÇqÁ�ÀX¹nÛÌÄ�ÀTà �� � § T ß=à ¤ � � ¹ ß=à�º»N�À Ó ¿$¶V¶V¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ ½

æ ILÂÊÂÊÁ�ÀX¹nÛÕN:ÃL¶n¿�NP¿$¶VÖ0¿ Ó ¿$¶P¶n¿�äLÁL¶�ÀTOVº»· µ N~} NV·�À µ Î Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnº»· µ º»N�À�NVºÊÄ"Ã8»¿�ÝÈǬ��º»NV¿ Ó ¿$¶V¶V¿äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ }ÕÀ µ ¸#ºÊË?§ T � ¹ Å&Ã8ILÂÊ»N�Á�ÀX¹nÛ�On·�À Ó ¿$¶V¶V¿RäLÁL¶�ÀTOnº»· µ ·jÖ0¿$¶z¿�ÀX¹�U µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿NVºÊÄ"Ã8»¿�Ý ·MËaÅ }¬OnUL¿ µ ºÊO�ºÊN�À�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý?Ç��hºÊNV¿ Ó ¿$¶V¶n¿#äLÁL¶�ÀTOVº»· µ ½ â ·X¶ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶6Å }<OnULºÊNÀXÄ�·MI µ OnN%On·RÀXNPÛ?º µ K�OnU8ÀTO�§�¶n¿�NPOP¶nº»¹$OVN+On·hÀ Ó ¿$¶V¶V¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ ·6Ö0¿$¶G¿�ÀX¹vU�¹$·XäLÁL¶�ÀTOnº»· µ ß=à ¹ Å ½� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� E�" ��"�� ��� ¾ � � ��� + Á � � � � ��� ¾ % ���������B��� � � ¾ À�ÁJ��� � � "�t�*-7 § T � ¹ ÅI_*�3 A63MD²@ \ 1-/JAaD�= /¬LH/�38=�1�*-7%1Mirk�/J7:( Å Gl5�/J7C*�385�g�5�@B5 � 1_/J5��>9�=h38,�{ x \ § /21 361_/%AaD�=K*�� �»k�/21�*�?*-,-,.* G IH,<387�/¬@B5�7%(+*H5 § /21�3 �?*-,-,.* GJI~,<387�/¬@B5�{

Page 77: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

s½,.@�@ \ { ´ O�Ë�·MÂÊ»·��hNz¿�ÀXNVº»Â�Î#Ë�¶n·MÄ ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä W ½ Q ½ W�OVU8ÀTO|§�º»N�À�NVº»Ä=Ã8»¿�ÝÈǬ��º»NV¿ Ó ¿�¶V¶n¿RäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ· µ ÂÊÎ�º»Ë ( � S § V T ( � S � V ¹ ( � S Å V ºÊN�À�NVºÊÄ"Ã8»¿vÝ?Ǭ��º»NP¿ Ó ¿$¶V¶V¿�äLÁL¶�ÀTOnº»· µ }<À µ ¸ OnU8ÀTO�§ º»N�ÀÓ ¿$¶V¶V¿�äLÁL¶�ÀTOnº»· µ ºÊË S À µ ¸ · µ ÂÊÎ º»Ë V ( � S § V º»N�À Ó ¿�¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ }<NV·�ºÊO �hºÊ»Â:ÁC¿�¿ µ ·MILKMU�OV·ÃL¶n·6Ö0¿=OnUL¿"»¿�Ä�Ä�ÀÏË�·X¶2( � S § V ½�ã ¿ µ ¹�¿���¿=Ä#À�Î ÀXNPNVILÄ�¿>}+Ë�¶n·MÄ OVUL¿�·MIÕOnNV¿$O~}+OnU8ÀTO0Å º»NÀä µ ºÊOV¿·X¶n¸L¿$¶V¿�¸�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂC¹$·MÄ"Ã8»¿�Ý ½ç�¿�º µ K)À Ó ¿$¶P¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnº»· µ º»N:ÀJÂÊ·?¹�ÀX ÃL¶n·XÃC¿$¶PO^Î�}XÁ Î�OnUL¿�ÀT¶nKMILÄ"¿ µ OeÀXË�OV¿$¶:¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ S W ½ Y ½ÙÞ V }

NV·�ºÊO�NVI @"¹�¿�N�On·�ä µ ¸ÌÀ µ ·Xî¿ µ ¹$·jÖ0¿$¶�·MË & Å & NVIL¹�UÌOnU8ÀTO & § & ¶n¿�NPOP¶nº»¹$OVN�On·�À Ó ¿$¶V¶n¿)äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ·6Ö0¿$¶¿�ÀX¹vU NVIÕÁ8NV¿$O�º µ OnUL¿=¹�·6Ö0¿$¶ ½ � ¿=NPU8ÀX»Â:NVUL·�� OVU8ÀTO0§�¶n¿�NPOV¶Vº»¹$OnN�On·�À Ó ¿$¶V¶V¿=äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ·6Ö0¿$¶)OnUL¿�NPO�ÀT¶ µ ¿�º»KMU0ÁC·X¶VUL·?·?¸ ( ~S � ¥MÅ V ·MËe¿�ÀX¹�U�Ö0¿$¶POn¿�Ý � º µ Å S NV¿$¿ ¦)¿$ä µ º�Onº»· µ Q ½ W ½Ê¼M¼ V ½¾ UL¿"¶n¿�åÈILºÊ¶n¿�¸�·Xî¿ µ ¹�·6Ö0¿$¶�º»NOVUL¿ µ KMºÊÖ0¿ µ Á Î OVUL¿�º µ On¿$¶nºÊ·X¶nN�·MËzOnUL¿$NV¿#NPO�ÀT¶nNH}¬º ½ ¿ ½ }+Á Î OVUL¿·XÃC¿ µ NPO�ÀT¶nN�·MˬÀXÂÊÂCOnUL¿�Ö0¿$¶POnº»¹�¿$N�·MË�Å ½¾ · NVº»Ä=Ã8»º»Ë�Î OnUL¿ µ ·XOnÀTOnº»· µ }l��¿ÌÀXNPNVILÄ�¿ÏOnU8ÀTO�Å � ( HS � ¥MÅ V º»N�ºÊOnNV¿$»Ë�OVUL¿�NPOnÀT¶"·MËhÀ

Ö0¿$¶VOV¿�Ý?}%À µ ¸�OnU8ÀTO § T�� ¹ Å º»N)ÀÏNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý?Ç��hºÊNV¿ Ó ¿$¶V¶V¿�äLÁL¶nÀTOnº»· µ ½�¾ UL¿ µ Å ���¹�· µ ¿ S � V }��ºÊOnU�Ö0¿$¶VOn¿vÝ � À µ ¸=Á�ÀXNV¿ � � � � S � ¥MÅ V }XOnUL¿�»º µ Û�·MË � ½ S ¾ ULº»N:ILNV¿�NeOnU8ÀTOuÅ�º»NeÀ)NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀX¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿�Ý ½ V çzÎ�À�NVIÕÁC¹�· µ ¿·MË¿Å }+��¿�Ä"¿�À µ À�¹�· µ ¿ ��ºÊOnU�Ö0¿$¶VOn¿vÝ � À µ ¸�Á�ÀXNV¿�À�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂNVIÕÁ8NV¿�OJ·MË � ½¾ UL¿�N{OV¶�ÀTOn¿�KXÎ�·MË�ÃL¶n·?·MË��º»Â»ÂÈÁC¿�On·�NPUL·�� OnU8ÀTO & § & º»NeÀ)¶V¿$OV¶�ÀX¹$Oe·MË�OnUL¿�ÃL¶n·?¸LIL¹$OeäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ

) T & � ¤ Å & ¹ & Å & }LË�¶n·MÄ ��ULº»¹�U�º�OhË�·X¶nÄ�ÀX»ÂÊÎ�Ë�·M»»·���N�OnU8ÀTO®§ ºÊNRÀ Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnº»· µ ½eè ¿$O

+ � S + � ¥.§ V T � ¹ � ¤ Å �� ¿��hºÊ»ÂX¹$· µ NPOV¶nIL¹$OGÀ�¹�· µ OVº µ IL·MILNG»¿$Ë�OGº µ Ö0¿$¶VNV¿eOV· & + & ·jÖ0¿�¶ & Å & }jº ½ ¿ ½ }jÀ�Ä�ÀTà ) T & � ¤ Å & ¹ & � &��ºÊOnU ) � & + & � + � À µ ¸ & § & � ) � );}ÕÁ Î�º µ ¸LIL¹$OnºÊ· µ ·6Ö0¿$¶�OVUL¿NVIÕÁ®¹�· µ ¿�NR·MË�Å ½

� ¶nº�On¿ Å � ß � � � ÀXN�À�I µ ºÊ· µ ·MË�NVIÕÁ®¹�· µ ¿�N~}l�hUL¿�¶n¿�ß S ¶n¿$NPà ½ � V ºÊN�OnUL¿Ï¹�· µ ¿#· µÀ µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿ S � ¸ ¼ V ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ ·MË � S ¶n¿�N{à ½ ºÊOnN�Á®·MI µ ¸8ÀT¶VÎ V ½ è ¿$O �

� § # ¨ S �;V }� � � § # ¨ S ß V À µ ¸ � � � § # ¨ S � V ½çzÎ U0Î?î·XOnUL¿�NVºÊN~}<OnUL¿"¶V¿�NPOV¶nºÊ¹$OnºÊ· µ § � T�� � ¹ ß ·MË|§-OV· ß º»N�À Ó ¿$¶V¶n¿"äLÁL¶nÀTOnº»· µ ½ ´ O

Ë�·M»ÂÊ·���N�OnU8ÀTO�OnUL¿)º µ ¹$»ILNVºÊ· µ � � � � �-º»N�À���¿�ÀTÛ#UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ#¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½ ç�Î�º µ ¸LIL¹$OnºÊ· µ·6Ö0¿$¶ROnUL¿ µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿$NR·MË � }®À µ ¸�OnUL¿�KM»ILº µ K�»¿�Ä"Ä#À }8ºÊO)ÀXÂÊNV·�Ë�·M»ÂÊ·���NhOnU8ÀTOOnUL¿�º µ ¹�ÂÊILNVº»· µ �

� � ºÊNRÀ]��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ ½çzÎϺ µ ¸LIL¹$OVº»· µ ·6Ö0¿$¶�OnUL¿NVIÕÁ®¹�· µ ¿�NH��·MË¿Å } ��¿�Ä#À6Î�ÀXNPNVILÄ�¿)OnU8ÀTO�OVUL¿$¶n¿ºÊNhÀ�Ä#ÀTÃ

) Q T & + S � V?� � ¤ � & ¹ & � &·6Ö0¿$¶ & Å & }���ºÊOnU ) Q � & + & � + � ½ � ¿0��º»NVU�On·�¿vÝÕOn¿ µ ¸ ) Q On·�OVUL¿�Ä#ÀTà )�}®º ½ ¿ ½ }�On·"ä8ÂÊÂGº µ OVUL¿¸8ÀXNVUL¿�¸�ÀT¶P¶n·�� ÀTO�OnUL¿�¶nº»KMU0O�U8À µ ¸�NVº»¸L¿�·MË+OnUL¿�Ë�·M»ÂÊ·���º µ K�ÁC·�Ý ½

& + S � � V�� � ¤ � &//

))RRRRRRRRRRRRRRR

��

& + S � V?� � ¤ � &���

))RRRRRRRRRRRRRRRR

��

& � � &//

� � � ���

& � &

� � �

��

& � ¤ ß &

55llllllll//" �

))RRRRRRRRRRRRRRRR

& � ¤ Å &

� 55llllll

ll

"��

))RRRRRRRRRRRRRRRR

& ß &//& Å &

¾ UL¿)Á�ÀX¹nÛ#NPå?I8ÀT¶n¿)º»N�À�Ã8ILNVUL·MIÕO�·MË�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N~}LÀ µ ¸ÏOnUL¿)Ë�¶n· µ O�NVå?I8ÀT¶n¿)ºÊN�À�Ã8ILÂÊÂÊÁ�ÀX¹nÛ�}?NV·ºÊONVI @�¹$¿�N�On·Ìä8ÂÊÂ�º µ OnUL¿"¸8ÀXNVUL¿$¸AÀT¶P¶n·�� ÀTOOVUL¿�»¿�Ë�OU8À µ ¸�NVº»¸L¿�·MË�OnUL¿"ÁC·�Ý ½ ç�IÕO4§��&º»N

Page 78: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

À Ó ¿$¶V¶V¿�äLÁL¶nÀTOnº»· µ Á Î�U0Î?ÃC·XOVUL¿�NVº»NH}%À µ ¸ + S � � V�� � ¤ � ¹ � ¤ ßɺ»N)À�¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ À µ ¸À6��¿�ÀTÛ�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎÌ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>}CÁ ÎP��U8ÀTOc��¿ µ ·XOn¿�¸ ÀTÁC·6Ö0¿�À µ ¸�OVUL¿�KMÂÊILº µ KÏ»¿$Ä�Ä#À }�NV·NVIL¹�U�À=Âʺ»Ë�O�¸L·?¿$Nh¿�ÝÕº»NPO ½¾ ·�N{O�ÀT¶VO�OVUL¿Rº µ ¸LIL¹$OVº»· µ }��z¿RÄ�ILNPO�¿�Ý?On¿ µ ¸�OnUL¿RÄ�ÀTà & + S � V$& ¹ & � & OnU8ÀTO�OnÀTÛ0¿�N & + & S���V OV·

� }2·jÖ0¿�¶ & + S � V�� � ¤ ��& }2ÀXN)À#Ä#ÀTÃ�·6Ö0¿$¶ & Å & ½ ´ OJNVI @"¹�¿�N)On·#¿�ÝÕOV¿ µ ¸ OVUL¿�¶n¿�NPOV¶Vº»¹$On¿$¸ Ä�ÀTÃ& + S �

V$& � & ��

&¤ � ¹ & � & ·jÖ0¿�¶ & � &;¤ � }GÀXNÀ�Ä#ÀTà ·jÖ0¿�¶ & Å & ½=ã ¿�¶n¿ & � & ¤ � NPºÊOnN�·jÖ0¿�¶�P¯ & Å & }CNV· ��U8ÀTO�ºÊNR¶n¿�åÈILºÊ¶n¿�¸ º»N)À#¶n¿$OP¶�ÀX¹$OnºÊ· µ & � & ¹ & �

& ½ ç�IÕO)NVIL¹�U À S ¸L¿�Ë�·X¶nÄ�ÀTOnº»· µ V¶n¿$OP¶�ÀX¹$OnºÊ· µ ¿�ÝÕº»NPOVN~}LNVº µ ¹$¿�OnUL¿)º µ ¹�»ILNVºÊ· µ �

� � ºÊN�À�¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ À µ ¸�À���¿�ÀTÛÏUL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½ �

Page 79: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

�?"������ ����� ! � ¾ ��Á % � � à ¼¿¾ ��À´^µ OVULº»N<Ã�ÀT¶VO�}0ÂÊ¿$O�ß à ¸L¿ µ ·XOn¿�OnUL¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX �jÇÜNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý?}XOnUL¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂÈNV¿$O:¶n¿$ÃL¶V¿�NV¿ µ On¿�¸

Á Î � � � º µ ß�}zÀ µ ¸ ÂÊ¿$O & ß à & ¸L¿ µ ·XOn¿�ºÊOnN�KM¿�·MÄ"¿$OV¶nºÊ¹Ï¶V¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ }¬OnUL¿�NPO�À µ ¸8ÀT¶V¸-À @ µ ¿��jÇNVºÊÄ"Ã8»¿�Ý ½

�2( � ( ² ,Õ³258F<E+@?��584=E � 4���� �8.05 �h, ��4� ��� �¿Á2À�Á%��� ��"%$�":$�" è ¿�O � ÁC¿�OnUL¿�¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ�·MËGä µ ºÊOn¿NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NV¿$OnN � À µ ¸�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂÄ#ÀTÃ8N� T � ¹ � ½¬è ¿$O � ÁC¿zOVUL¿�Ë�ILÂÊÂÕNVIÕÁ®¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ�·MË � ·MËLä µ ºÊOV¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶:NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂNV¿$OVN~}0À µ ¸���¶nº�On¿ + T � ¹ � Ë�·X¶GOnUL¿zº µ ¹$»ILNVºÊ· µ Ë�I µ ¹�On·X¶ ½¬è ¿$O � ÁC¿zOnUL¿�¹�ÀTOn¿�KM·X¶VηMËL¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$OÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀ�Í À µ ¸ æ�è Ä�ÀTÃ8N � T Í ¹ � }zÀ µ ¸f��¶nºÊOV¿ ) T*� ¹ � Ë�·X¶�OnUL¿�ÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�ÀX¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOVº»· µ Ë�I µ ¹$On·X¶ ½ � ¿�ÀXÂÊNV·���¶nº�On¿ +=À µ ¸ ) Ë�·X¶�·XOnUL¿$¶ÏÖTÀT¶nº�À µ OnNÏ·MË�OVUL¿�NV¿ Ë�I µ ¹$On·X¶nN~}��ULº»¹�U�ÀTÃLÃC¿�ÀT¶hÁC¿$»·�� ½¾ UL¿�ÂÊ¿$OVOn¿�¶ � Ä�ºÊKMU O�ÀXÂÊ»IL¸L¿�On· � + � � Á:Ã)� ¾ � ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀ }COnUL¿ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ

NV¿$OVN=º µ � Ä#À�Î U8À6Ö0¿�ÁC¿�¿ µ Ã�� � Á�� ��+ �J¾ �BÁJÂ^�;ÃWS NV¿$¿ Ñ ¿�Ä#ÀT¶VÛAW ½ W ½»¼ W V }�À µ ¸AOnUL¿Ï¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿¹�ÀTOn¿$KM·X¶VÎ � S���V On·�Á®¿�º µ OP¶n·?¸LIL¹�¿$¸�º µ ¦�¿�ä µ ºÊOnºÊ· µ Q ½»¼M½ Y�ÁC¿�ÂÊ·�� ºÊN�À�¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎÏ·MË ��� � � ¾ !À�ÁJ��� ��I µ ¸L¿�¶ � ½Râ ·X¶)Ä µ ¿�Ä�· µ ºÊ¹�¶n¿�ÀXNV· µ Nc��¿�NVU8ÀX»ÂGILNV¿�OnUL¿�»¿$OPOn¿$¶nN S ¹ V } S ¸ V À µ ¸ S ¿ V OV·¿ µ ILÄ�¿$¶�ÀTOV¿�OnUL¿�NV¿#OnUÕ¶n¿$¿#¹�· µ OV¿�ÝÕOnNH}e¿�Ö0¿ µ º»Ë|��¿#U8À�Ö0¿ µ ·XO�ILNV¿�¸�OnUL¿Ï»¿$OVOV¿$¶nN S À V À µ ¸ S Á VÁC¿$Ë�·X¶n¿ ½´^µ Ä�·X¶n¿�¸L¿$O�ÀXºÊÂ�}bOVUL¿T¼ � � ##��� Ã�� ¾ � ��� ¾ � ÁJ ¾ À�Á%��� ·MËÕÀhä µ ºÊOn¿ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶:NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂMNV¿�O

� º»Nzº�OnN�KM¿�·MÄ�¿�OV¶nº»¹�¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ & � & }���ULº»¹�U�ºÊNz¹�·MÄ"Ã�ÀX¹�O�}���ºÊOnU�OVUL¿J¹�À µ · µ º»¹�ÀX ÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�ÀXÂNPOV¶VIL¹$OnIÕ¶n¿ÏË�·X¶���ULº»¹�U OnUL¿#KM¿�·MÄ�¿$OP¶nº»¹�¶n¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ & �� & T & ß=à & ¹ & � & ·MË�OVUL¿�¶n¿$ÃL¶n¿�NP¿ µ OVº µ KÄ#ÀTà ·MË�¿�ÀX¹vU�NVº»Ä=Ã8»¿�Ý � ¯ � à º»N�À æ�è Ä�ÀTà ½�Ó ¿�¿=ÀX»NV·Æ¦)¿$ä µ ºÊOnºÊ· µ Q ½xÐL½»¼ ÁC¿�ÂÊ·�� ½�â ·X¶�ÀNVº µ KMILÂ�ÀT¶ S � µ ·XO µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶ V NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂLNV¿$O � }0OnULº»NeÃL¶n¿�NV¹�¶nºÊÃLOnºÊ· µ ¸L·?¿�N µ ·XOzº µ KM¿ µ ¿$¶�ÀX¸L¿$ä µ ¿�À�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶�ÀXÂ%NPOP¶nIL¹$OnIÕ¶n¿�· µ & � & ½� ��� �¿Á2À�Á%��� �?":$�"FE�" çzÎ�À � $+ �¿Ã � � § T � ¹ Å }���¿�Ä�¿�À µ À æ�è Ä#ÀTà ·MËe¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$OÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀ�OnU8ÀTOhÀX¸LÄ�ºÊOVN�À æ�è ÂÊ·?¹�ÀXÂ2OV¶nº�ÖÕº»ÀX»º»Å�ÀTOnº»· µ ½

S ¸ V è ¿$O � *�Á®¿�OnUL¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂG¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ�·MËeä µ ºÊOn¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ+NV¿$OnN�·jÖ0¿�¶ß à }®º ½ ¿ ½ }�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ%Ä#ÀTÃ8Nw§ T � ¹ ß à }��hUL·MNP¿�ÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�ÀXÂ%¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ & § & T & � & ¹ & ß à &º»NeÀ æ�è Á8I µ ¸LÂÊ¿>}?À µ ¸=NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ?Ä�ÀTÃ8N � T � ¹ �  L·6Ö0¿$¶�ß=à8} º µ ¿�ÀX¹�U"NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ?¸L¿�KX¶n¿�¿ � ½S ¿ V è ¿$O � *�Á®¿�OnUL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂL¹�ÀTOn¿$KM·X¶VÎ�·MË æ�è Á8I µ ¸LÂÊ¿�NT§ T � ¹ & ß�à & }ÈÀ µ ¸ æ�è Á8I µ ¸LÂÊ¿Ä#ÀTÃ8N � T � ¹ �   ·6Ö0¿$¶ & ß à & }8º µ ¿�ÀX¹vU�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂC¸L¿�KX¶n¿�¿ � ½z¾ UL¿NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NPOV¶nIL¹$OVIÕ¶n¿�º»NKMºÊÖ0¿ µ Á Î�Ã8ILÂÊÂÊÁ�ÀX¹nÛ�·MË æ�è Á8I µ ¸LÂÊ¿�NJÀX»· µ K�OnUL¿�Á�ÀXNV¿ ½

� ¿�¸L· µ ·XO�¸L¿�ä µ ¿ À�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂh¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ � *>}hNPº µ ¹�¿ ºÊO�Ä#ÀTÛ0¿�N#ÂʺÊOVOV»¿�NV¿ µ NP¿ On·AÀXNPÛOnU8ÀTO & § & T & � & ¹ & ß à & ºÊN=À æ�è Á8I µ ¸L»¿��hUL¿ µ & � & ºÊN µ ·XO"À�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶V· µ ½ Ñ ¿$¹�ÀX»Â�Ë�¶n·MĦ)¿$ä µ ºÊOVº»· µ W ½ Y ½ �zOnU8ÀTO+À�Ä#ÀTÃ�·MË?NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂXNP¿$OnN%º»N�¹�ÀX»ÂÊ¿�¸�À Ó ¿$¶P¶n¿�äLÁL¶�ÀTOVº»· µ º»Ë?º�OnN%KM¿�·MÄ�¿$OP¶nº»¹¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOVº»· µ ºÊN<À Ó ¿$¶P¶n¿zäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ º µ OnUL¿�On·XÃC·MÂÊ·MKMº»¹�ÀXÂM¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ�}Tº ½ ¿ ½ }Xº»Ë?ºÊO<U8ÀXN+OnUL¿zUL·MÄ�·XOn·Xà λºÊË�Onº µ K�ÃL¶n·XÃC¿�¶VO¡Î�Ë�·X¶�¹�· µ Onº µ IL·MILNRÄ#ÀTÃ8N�Ë�¶n·MÄ ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀ ½

� ��� �¿Á2À�Á%��� ��"%$�"��?" H Ä�ÀTÃA·MË�On·XÃC·MÂÊ·MKMº»¹�ÀXÂ�NPÃ�ÀX¹�¿�N=º»N�À Ó ¿�¶V¶n¿�äLÁL¶nÀTOnº»· µ º»Ë�ºÊO�U8ÀXN�OVUL¿UL·MÄ�·XOn·Xà Π»ºÊË�Onº µ KÌÃL¶V·XÃC¿$¶VO¡Î Ë�·X¶�¹�· µ Onº µ IL·MILN�Ä#ÀTÃ8N�Ë�¶n·MÄ ¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶�À ½ H Ä�ÀT÷MË:NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ%NV¿$OnNJºÊNR¹�ÀXÂÊ»¿�¸ À �����B����� � ¾ À�ÁJ��� º»Ë¬ºÊOVNRKM¿�·MÄ�¿$OP¶nº»¹¶V¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ º»NJÀ Ó ¿$¶V¶V¿äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ ·MˬOn·Xî·M»·MKMºÊ¹�ÀXÂGNPÃ�ÀX¹$¿�N ½ çzÎ�À � �����B��� � � ¾ À�ÁJ��� § T � ¹ Å�}��z¿�Ä"¿�À µ Àæ�è Ä#ÀTÃ�·MË+¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$O�ÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�À�OnU8ÀTO�º»N�À Ó ¿$¶V¶n¿)äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ º µ OVUL¿�On·Xî·M»·MKMºÊ¹�ÀX®¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ ½

S ¹ V è ¿$O � � *�Á®¿=OnUL¿=NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀX¬¹�ÀTOn¿$KM·X¶VÎP�hº�OnU ·XÁ #{¿�¹$OVN�OnUL¿ Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnº»· µ N�·MË�ä µ ºÊOV¿NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂLNV¿�OnNT§ T � ¹ ß à }ÈÀ µ ¸#Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�N:OnUL¿hNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂLÄ�ÀTÃ8N � T � ¹ �   ·6Ö0¿$¶�ß à }º µ ¿�ÀX¹�U�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ2¸L¿�KX¶V¿�¿ � ½

Page 80: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

S ¸ V è ¿$O �� *#Á®¿�OnUL¿#NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂe¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ ·MË Ó ¿$¶V¶n¿#äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N�·MË�ä µ ºÊOn¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ)NV¿$OVN § T � ¹ ß à }À µ ¸ NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�Ä�ÀTÃ8N � T � ¹ �   ·6Ö0¿$¶�ß à }�º µ ¿�ÀX¹�UNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂC¸L¿$KX¶n¿�¿ � ½

S ¿ V è ¿$O � � *�ÁC¿�OnUL¿hNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ?¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ�·MË æ�è Ó ¿$¶P¶n¿�äLÁL¶�ÀTOVº»· µ Nl§ T � ¹ & ß=à & }ÈÀ µ ¸ æ�èÄ#ÀTÃ8N � T � ¹ �  %·6Ö0¿$¶ & ß=à & }8º µ ¿�ÀX¹vU�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂC¸L¿�KX¶n¿�¿ � ½z¾ UL¿NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NPOV¶nIL¹$OVIÕ¶n¿�º»NKMºÊÖ0¿ µ Á Î�Ã8ILÂÊÂÊÁ�ÀX¹nÛ�·MË æ�èAÓ ¿$¶P¶n¿�äLÁL¶�ÀTOVº»· µ NRÀXÂÊ· µ K�OVUL¿�Á�ÀXNV¿ ½¾ UL¿$¶n¿RÀT¶V¿h¹�À µ · µ ºÊ¹�ÀXÂ8º»¸L¿ µ OnºÊä8¹�ÀTOnº»· µ N � �� � � �>} � �� � � � �� �hÀ µ ¸ � �� � � � � � � ½:¾ UL¿

º µ ¹$»ILNVºÊ· µ ·MË+SbÇÜNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�NH}ÈÖÕº»À�¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀX¹�º»¿�NH}�º µ ¸LIL¹�¿�N�Ë�I µ ¹$On·X¶nN('! T*� ¹ � � *>} ! T � ¹ � *>}'! T*� ¹ �� *8} ! T � ¹ � *"À µ ¸ '! T � ¹ � � * S !-Ë�·X¶ � µ ILÂÊÂK� V ½"â ·X¶�¿�Ý8ÀXÄ=Ã8»¿>} ! T � ¹ � *O�ÀTÛ0¿�N�À�¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$O�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶V· µ Í On·�OnUL¿�ÃL¶n·È¸LIL¹$O æ�è Á8I µ ¸LÂÊ¿ ) T Í ¤ & ß=à & ¹ & ß=à & }À µ ¸ '! T � ¹ � � *=OnÀTÛ0¿�N�Í On·�OnUL¿"ÃL¶n·È¸LIL¹$O æ�è Ó ¿$¶V¶n¿"äLÁL¶nÀTOnº»· µ ) T Í ¤ & ß�à & ¹ & ß=à & ½¾ UL¿$¶n¿=ÀT¶n¿�Ë�IL»¬¿�Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ KMN � T � * ¹ �� *�À µ ¸ � T � * ¹ � � *�OnU8ÀTOJÖ?º»¿H� æ�è Á8I µ ¸LÂÊ¿�N�ÀXNæ�è�Ó ¿�¶V¶n¿�äLÁL¶nÀTOnº»· µ N~} À µ ¸ '! � � !�º µ OnUL¿�NV¿�O»�z·�¹�ÀXNV¿�N ½� ��� �¿Á2À�Á%��� ��"%$�"��#" è ¿�O � � � � À µ ¸ ��� � � ÁC¿�OnUL¿NVIÕÁC¹�ÀTOV¿�KM·X¶nº»¿$Na�hº�OnU�Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�NOnUL¿zNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTÃ8N � T � ¹ � ·MËÕä µ º�On¿ S µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶ V NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX NP¿$OnN~}0À µ ¸�ÂÊ¿$O ��� � � Á®¿OnUL¿�NVIÕÁ®¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ���ºÊOVU�Ä"·X¶VÃ8ULº»NVÄ"N<OnUL¿�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTÃ8N � T Í ¹ � ·MË�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹�O¬ÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�À ½è ºÊÛ0¿H��º»NV¿8}�»¿�O � � � * � � � *>} ��� * � � *ÌÀ µ ¸ � �� * � �� *�Á®¿�OVUL¿ÌNVIÕÁ®¹�ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¿�N���ºÊOVU

Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�NROnUL¿�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8N � T � ¹ �  ¬·MË�ä µ ºÊOV¿=NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ+NV¿$OnNH}GÀ µ ¸�»¿$O ��� * � � *À µ ¸ � � � * � � � *JÁC¿JOnUL¿)NVIÕÁC¹�ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¿�N ��ºÊOVU�Ä�·X¶PÃ8ULº»NVÄ�N�OnUL¿�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿JÄ#ÀTÃ8N � T � ¹ �  C·M˹�·MÄ"Ã�ÀX¹�O�î·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶�À }8ÀXÂh��À�ÎÕN�º µ ¿�ÀX¹�U�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂC¸L¿�KX¶V¿�¿ � ½Ó º»Ä"º»Â�ÀT¶VÂÊÎ�}<ÂÊ¿$O#Æ � � � }e¿$On¹ ½ }�Á®¿�OnUL¿�NVIÕÁ®¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ���ºÊOVU Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�N�OnUL¿���¿�ÀTÛ�UL·TÇ

Ä�·XOn·Xà Π¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N � T � ¹ � ·MË�ä µ º�On¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX¬NP¿$OnN~}¬À µ ¸ »¿$O�Æ � � � }+¿$On¹ ½ }+Á®¿OnUL¿RNPIÕÁC¹�ÀTOn¿$KM·X¶VÎ���ºÊOnU#Ä"·X¶VÃ8ULº»NVÄ"NeOnUL¿hUL·MÄ�·XOn·Xà Î"¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿�N � T Í ¹ � ·MË2¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$OÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀ ½ � ¶nº�On¿ � T�� � ¹ Æ � } � T�� � � * ¹ Æ � � *8}�¿�On¹ ½ }%Ë�·X¶)OnUL¿�º µ ¹$»ILNVºÊ· µ Ë�I µ ¹$On·X¶VN�OnU8ÀTOÖպʿH� NVºÊÄ"Ã8»¿)Ä#ÀTÃ8N�ÀXN S ��¿�ÀTÛ V UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N ½çzÎ æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½Ê¼M½ Q S À V }®NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ8Nh·MËeä µ º�On¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂGNP¿$OnN)¹�À µ ÁC¿�¹�·MÄ"î·MNV¿�¸?}

À µ ¸ OVUL¿$¶n¿�Ë�·X¶n¿�Ë�·X¶nÄ ÀA¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ ½ � ¿�¹�À µ ÀXNVNV¿$Ä�Á8ÂÊ¿ OVUL¿ � ÇqÃL¶V¿$äÕÝL¿�¸ ¹�ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¿�NϺ µ À¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖ0¿J¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ T

S Q ½Ê¼M½ Ø V � �

�� �

��

�����oo

�//

����

��������� * �

� //

����

��� *

��� � � * � �� *�

oo

�� // � � � *

´ OzÄ#ÀTÃ8NeÁÈÎ=Ä#À µ Î�ÖXÀT¶nº»À µ OVN�·MËCOnUL¿�Ë�I µ ¹$On·X¶ ��On·�À�NVº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶e¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ£��ºÊOnU�ÆÈÇlÃL¶n¿$äÕÝL¿$N ½ � ¿NVU8ÀXÂÊ NVUL·�� º µ æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ Q ½»¼M½»¼�Ð OnU8ÀTO ++º µ OnUL¿�On·XÃ�¶n·�� º»NzÀ�UL·MÄ�·XOn·Xà Î=¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿>}Õº µæ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ Q ½xÐL½�Ð OnU8ÀTO )"º µ OVUL¿�Ä�º»¸L¸LÂÊ¿�À µ ¸�»·���¿$¶J¶n·���NJÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N~}À µ ¸�º µ æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ Q ½ÙØ?½»¼ OnU8ÀTO(!BÀ µ ¸ � º µ OnUL¿#Ä�ºÊ¸L¸L»¿�¹�·MÂÊILÄ µ }:ÀXN4��¿�ÂÊÂzÀXN '! º µ OVUL¿Â»¿$Ë�OU8À µ ¸ ¹$·M»ILÄ µ }�ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N ½ ´ O�Ë�·M»ÂÊ·���N�OVU8ÀTO � º µ OnUL¿�¶nºÊKMU O�U8À µ ¸¹�·MÂÊILÄ µ À µ ¸ +�º µ OnUL¿�ÁC·XOVOV·MÄ ¶n·�� ÀT¶V¿=UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�N ½=¾ UL¿$NV¿=¶n¿$NVILÂÊOnNÀTÃLÃ8ÂÊο�åÈI8ÀX»ÂÊÎ �z¿�»Â%º µ OnUL¿ � Ç�À µ ¸�Æ Çܹ�ÀXNV¿$N ½

� ¿�¸L· µ ·XO�Û µ ·��W��UL¿$OnUL¿$¶ ) T?��� ¹ � � À µ ¸ ! T���� ¹ � � *�ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀbÇ»¿ µ ¹�¿�N~}¬À µ ¸ NVº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶nÂ�Î�º µ OnUL¿�Æ Çܹ�ÀXNP¿ ½Ï¾ ULºÊNºÊN�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ OOV·�OnUL¿=NPO�ÀTOn¿�Ä"¿ µ O�·MË � ã À ÞMØ }æ ¶V·Xà ½ W ½ÙØB� } ��ULº»¹�U̶n¿$Ä#ÀXº µ N�I µ ÃL¶n·6Ö0¿ µ ½

Page 81: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

Ò IÕ¶�ÃL¶nº µ ¹�ºÊÃ�ÀXÂ�º µ On¿$¶n¿$NPO�º»Neº µ OnUL¿R¹�·X¶V¶V¿�NPÃC· µ ¸Lº µ K�¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ ·MËCUL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�äLÁ®¿$¶nNz·MË ��ÀTOÀhä µ ºÊOV¿ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶:NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ0NV¿$O � }X·X¶<ºÊOnNGî·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�ÀXÂȶV¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ & � & ½G¾ UL¿�NPOP¶�ÀTOn¿�KXÎË�·X¶JNPOVIL¸ÕÎÕº µ K�OVUL¿�NV¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏäLÁC¿$¶VNJº»NhOn·"ILNV¿ � ILºÊ»ÂÊ¿ µ ��N ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä ç ��� I Þ Q } à ½��0ÞB� º µºÊOVNzË�·X¶nÄ Ë�·X¶�¶nºÊKMU O�äLÁ®¿$¶nN �6ª ��}È·X¶zOnUL¿JNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ8Ö0¿$¶nNVºÊ· µ ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä ç   Ë�¶n·MÄ ��� À��0W;}�° Ð>� }º µ OnUL¿�¹�ÀXNV¿$N4�hUL¿$¶V¿���¿#ÀT¶n¿=¸L¿�ÀX»º µ K �hº�OnU NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX¬¹�ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¿�N ½�¾ UL¿$NV¿"OnUL¿�·X¶V¿�Ä�N�ÀT¶V¿¶n¿�¹�ÀX»»¿$¸�º µ Ó ¿�¹$OnºÊ· µ Q ½ Y�ÁC¿�ÂÊ·�� ½¾ · ÀX¹�¹�·MÄ"Ã8Âʺ»NVU�OnULº»N=NPOnIL¸ÕÎ ��¿�NVU8ÀXÂÊÂ�Ä�ÀTÛ0¿�ILNV¿Ì·MËJÀTÃLÃL¶n·�ÝLº»Ä�ÀTOnº»· µ N�On· OVUL¿�NV¿Ì¶nºÊKMU O

äLÁC¿�¶nN~}���ºÊOnU µ ÀXÄ�¿�NhÂʺÊÛ0¿ � � � S���V }8OnU8ÀTORU8À�Ö0¿Á®¿$OVOn¿$¶R¹�·jÖTÀT¶nº»À µ OhË�I µ ¹$On·X¶nº»ÀX»ºÊO¡Î�ÃL¶n·XÃC¿�¶VOnº»¿$NOnU8À µ OnUL¿�¶nºÊKMU OhäLÁC¿$¶nNJOnUL¿$Ä�NV¿�Â�Ö0¿�N~}®Á8IÕO)NPOVº»Â»Â%¶n¿$OnÀXº µ NV·MÄ�¿�·MˬOnUL¿�¹$· µ OV¶nÀ6ÖTÀT¶nº�À µ OJË�I µ ¹$OV·TǶnº»ÀX»ºÊO¡Î#ÃL¶n·Xî¿$¶VOnºÊ¿�Nh·MË�OnUL¿Â»ÀTOVOn¿$¶ ½ � ¿ µ ·���º µ OP¶n·?¸LIL¹�¿�OnUL¿�NV¿�ÀTÃLÃL¶n·6ÝÕº»Ä#ÀTOVº»· µ N~};��ULº»¹�U�ÀT¶V¿¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿�Ë�·X¶nÄ�N�·MËGOVUL¿�¹�ÀTOV¿�KM·X¶nº»¿$Nhº µ OV¶n·È¸LIL¹�¿�¸�NP·"Ë ÀT¶ ½

� ��� �¿Á2À�Á%��� �?"%$�"���"�S ¹ V ¾ ·-¿�ÀX¹�U ä µ ºÊOn¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂJNV¿$O � }w��¿ ÀXNVNV·È¹�º�ÀTOV¿ À ¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ� S���V ·MË�ä µ º�On¿�¹$·XäLÁL¶�ÀTOnº»· µ N=I µ ¸L¿$¶ � ½ ´ OnN�·XÁ #{¿�¹$OnN"ÀT¶n¿�OVUL¿�¹�·XäLÁL¶nÀTOnº»· µ N � T � ¹ �·MË�ä µ ºÊOn¿ÏNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂeNV¿$OVN~}�À µ ¸�OnUL¿#Ä�·X¶PÃ8ULº»NVÄ�NË�¶n·MÄ ��On· ��  T � ¹ �  �ÀT¶n¿�OnUL¿ÏÄ#ÀTÃ8N� T �j¹ �   ·MË:NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ%NV¿$OnNRI µ ¸L¿�¶ � }�º ½ ¿ ½ }�OnUL¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�Ä#ÀTÃ8NhNPIL¹vU�OnU8ÀTO ��� � �   ½è ¿$O ��� � S �mV|� � S���V ÁC¿�OnUL¿�NVIÕÁ®¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ ��UL¿$¶n¿�OnUL¿�·XÁ #{¿�¹$OnN�� T � ¹ � ÀT¶n¿�¶n¿$å?ILºÊ¶V¿�¸On·�ÁC¿ ��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�NH}®À µ ¸�OnUL¿Ä�·X¶PÃ8ULº»NVÄ�N � T �[¹ �  �ÀT¶n¿)¶n¿�å?ILº�¶n¿�¸ÌOV·ÁC¿�NVº»Ä=Ã8»¿)Ä#ÀTÃ8N ½

S ¸ V è ¿$O � S���VP� � S���V Á®¿�OnUL¿�Ë�IL»ÂJNVIÕÁ®¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎB·MË�¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ N � T � ¹ � ·MËä µ ºÊOV¿ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂLNP¿$OnN ½�¾ ULºÊNzº»N�· µ ÂÊÎ=·MËC¶n¿�ÀXÂ�º µ On¿$¶n¿�N{O|�hUL¿ µ � º�OnNV¿�ÂÊË2º»N µ · µ ÇNVº µ KMILÂ�ÀT¶�}�NVº µ ¹$¿�·XOnUL¿$¶<��º»NP¿ � S���V ºÊN�OVUL¿"¿�Ä"ÃLO¡Î ¹�ÀTOn¿$KM·X¶VÎ ½�è ¿$O ��� � S���V � ��� � S �mV Á®¿OnUL¿�Ë�IL»Â%NVIÕÁC¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿�¸ÌÁ Î�OVUL¿�·XÁ #{¿�¹$OVN � T � ¹ � ��UL¿$¶n¿ � ºÊN µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶ ½

S ¿ V ¾ ·�¿�ÀX¹�U ¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$Oî·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶n· µ Í'})��¿#ÀXNVNV·È¹�º�ÀTOV¿�À̹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ � S Í V ·MË�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$OÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀ=¹�· µ O�ÀXº µ º µ K�Í ½ ´ OnN�·XÁ #{¿�¹$OnNhÀT¶n¿�OVUL¿ æ�è ¿$Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ KMN � T Í ¹ � ·MË+¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$OÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀ }%À µ ¸ OnUL¿�Ä�·X¶PÃ8ULº»NVÄ�NhË�¶n·MÄ � OV· �   T Í ¹ �  ¬ÀT¶n¿�OnUL¿ æ�è Ä#ÀTÃ8N � T � ¹ �  OnU8ÀTO�¶n¿�N{OV¶nº»¹�O=On·�OnUL¿�º»¸L¿ µ Onº�O^Î�· µ Í'}eº ½ ¿ ½ }eNVIL¹�U-OnU8ÀTO � � � �   ½ è ¿�O ��� � S Í V � � S Í VÁC¿�OVUL¿�NVIÕÁC¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ ��UL¿$¶n¿�OnUL¿�¿$Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K � T Í ¹ � º»Nh¶n¿$å?ILºÊ¶V¿�¸�On·�ÁC¿�À#UL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ S Ë�·X¶OVUL¿"·XÁ #{¿�¹$OnN V }<À µ ¸ � T � ¹ �  :º»N�¶V¿�å?ILº�¶n¿�¸ On·�ÁC¿"ÀÌNVº»Ä=Ã8»¿�Ä#ÀTà S Ë�·X¶OnUL¿�Ä�·X¶VÃ8ULº»NPÄ�N V ½´ Ë ¸L¿$NVºÊ¶n¿$¸?}?· µ ¿�Ä#À6Î�ÀX¸�#{ILNPO�OVUL¿�NV¿�¸L¿$ä µ ºÊOnºÊ· µ N�On·�ÀXNPÛ�OnU8ÀTO:OnUL¿�¹�·XäLÁL¶nÀTOnº»· µ � T � ¹ �

º»NzÀ µ º µ ¹�ÂÊILNVº»· µ � � � }LÀ µ ¸#NVº»Ä"º»Â�ÀT¶VÂÊÎ�OnU8ÀTOzOVUL¿R¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K � T Í ¹ � ºÊN�OnUL¿Rº µ ¹�»ILNVºÊ· µ·MË<À�NVIÕÁLÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶V· µ Í � � ½e¾ UL¿�¶n¿�NVILÂ�Onº µ K"¹�ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¿�N�ÀT¶n¿�¹�À µ · µ º»¹�ÀXÂÊÂÊÎ�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ O ½� ��� �¿Á2À�Á%��� �?":$�"���"�S ¹ V ¾ · ¿�ÀX¹�UBä µ ºÊOn¿ÌNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�NP¿$O � }|��¿�ÀXNVNV·È¹�º�ÀTOV¿�À NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀX¹�ÀTOn¿$KM·X¶VÎ � � * S �mV ½ ´ OnN�·XÁ #{¿�¹$OnN=º µ NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�¸L¿�KX¶n¿�¿ � ÀT¶V¿�¹�·MÄ"Ä�IÕOnÀTOnºÊÖ0¿#¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ�N�·MËä µ ºÊOV¿NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂCNP¿$OnN

� ¤ ß à//

//

" �$$I

IIIIIII

I�

�~~}}

}}}}

}}

ß=à

��UL¿$¶n¿ � º»N�À�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ À µ ¸ § ºÊN=À Ó ¿$¶V¶V¿�äLÁL¶�ÀTOVº»· µ ½ ¾ UL¿�Ä"·X¶VÃ8ULº»NVÄ"N�º»N�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀX¸L¿�KX¶n¿$¿ �;}LOn·"À=NVºÊÄ�º»Â»ÀT¶�·XÁ #{¿�¹$ORÄ"·X¶n¿JÁL¶nº»¿ �LÎ�¸L¿ µ ·XOn¿$¸

) T � ¤ ß à �¸:¹ �   ��

¸_¹ ß à ¥

ÀT¶n¿hOVUL¿JNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ8Ä#ÀTÃ8N � T � ¹ �   ·6Ö0¿$¶�ß à OnU8ÀTOz¶n¿$NPOV¶nºÊ¹$OzOn·�OnUL¿hº»¸L¿ µ OnºÊO¡Î"· µ � ¤ ß à }º ½ ¿ ½ }LNPIL¹vU�OVU8ÀTOa§�  � � § À µ ¸ � � � �   ½

Page 82: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �è ¿$O � � � � * S���V�� � � * S���V Á®¿ÏOVUL¿�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�NVIÕÁ®¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎm�hUL¿$¶V¿ � T � ¤ ß�à ¹ � º»N

¶n¿�åÈILºÊ¶n¿$¸ On·�Á®¿#ÀÆ�z¿�ÀTÛ UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ S Ë�·X¶�OnUL¿"·XÁ #{¿�¹�OnN V }GÀ µ ¸ � T � ¹ �   º»N¶n¿�åÈILºÊ¶n¿$¸ÌOn·=Á®¿À�NVº»Ä=Ã8»¿�Ä#ÀTà S Ë�·X¶�OnUL¿�Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�N V ½

S ¸ V è ¿$O � * S���V�S ¶n¿�NPà ½ �� * S �mVzV ÁC¿�OnUL¿=Ë�ILÂÊÂ:NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ<NVIÕÁ®¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ ·MË � � * S���V ��ºÊOVU·XÁ #{¿�¹$OnN�OnUL¿¹$·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnºÊÖ0¿J¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ�N�·MË+ä µ º�On¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶RNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX®NV¿$OnN

� ¤ ß à//

//

" �$$I

IIIIIII

I�

�~~}}

}}}}

}}

ß=à

��UL¿$¶n¿ � º»N�À�¹�·XäLÁL¶nÀTOnº»· µ }LÀ µ ¸ & § & T & � & ¹ & ß à & º»NzÀ æ�è Á8I µ ¸LÂÊ¿R¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿hOV·�OnUL¿RÃL¶n·?¸LIL¹�ONVIÕÁLÁ8I µ ¸LÂÊ¿ ) T & � &�¤L& ß=à & ¹ & ß�à &�S ¶n¿�NPà ½ À æ�èAÓ ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ V ½è ¿$O ���� * S���V�� � * S �mV À µ ¸ � ��� * S���VÆ� �� * S���V ÁC¿�OnUL¿ÌNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�NVIÕÁC¹�ÀTOV¿�KM·X¶nº»¿$N

��ºÊOnU=·XÁ$#{¿$¹$OnN�NPIL¹vU�OVU8ÀTO � ºÊN�À ��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>}ÈÀ µ ¸�Ä�·X¶PÃ8ULº»NVÄ�N:NVIL¹�U�OnU8ÀTO�#º»N�À�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ�}Mº µ ¿�ÀX¹�U�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ?¸L¿�KX¶n¿$¿ ½ HJNeÁ®¿�Ë�·X¶n¿>}0OnUL¿�NV¿�¹�· µ NPOV¶VIL¹$Onº»· µ N�ÀT¶n¿�· µ ÂÊηMË+¶V¿�ÀXÂ%º µ On¿$¶n¿�N{Oa��UL¿ µ � ºÊN µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶ ½

S ¿ V ¾ ·)¿�ÀX¹�U�¹$·MÄ"Ã�ÀX¹$O¬ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶V· µ Í }��z¿hÀXNVNP·?¹�º»ÀTOn¿�O»�z·�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ?¹�ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¿�N � * S Í VÀ µ ¸ � � * S Í V ½ ¾ UL¿�·XÁ$#{¿$¹$OnNϺ µ NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�¸L¿�KX¶n¿�¿ � ·MË � * S Í VFS ¶n¿�NPà ½ � � * S Í V<V ÀT¶n¿�OVUL¿¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖ0¿J¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ�N�·MËG¹�·MÄ"Ã�ÀX¹�O�î·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶�À"À µ ¸ æ�è Ä#ÀTÃ8N

Í ¤L& ß à &// � //

" �$$I

IIIIIIII�

�~~}}

}}}}

}}

& ß�à &

��UL¿$¶n¿ � º»N�À æ�è ¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K+}ÕÀ µ ¸�§�º»N�À æ�è Á8I µ ¸L»¿�¶V¿�Â�ÀTOnº�Ö0¿�On·�OVUL¿�ÃL¶n·È¸LIL¹$O�NPIÕÁLÁ8I µ ¸L»¿ ) T Í ¤ & ß=à & ¹ & ß=à &rS ¶V¿�NPà ½ À æ�è Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ V ½�¾ UL¿�Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�N�º µ NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀX¸L¿�KX¶n¿$¿ �;}LOn·"À=NVºÊÄ�º»Â»ÀT¶�·XÁ #{¿�¹$ORÄ"·X¶n¿JÁL¶nº»¿ �LÎ�¸L¿ µ ·XOn¿$¸

) T Í ¤L& ß à & �

¸ ¹ �   ��

¸M¹ & ß à & ¥

ÀT¶n¿ æ�è Ä#ÀTÃ8N � T�� ¹ �   ·6Ö0¿$¶ & ß à & OVU8ÀTO�¶n¿$NPOV¶nºÊ¹$O�OV·�OnUL¿=º»¸L¿ µ Onº�O^Î · µ Í ¤ & ß à & }�º ½ ¿ ½ }NVIL¹�U�OnU8ÀTO®§�  � � § À µ ¸ � � � �   ½è ¿$O ��� � * S Í V'� � * S Í V À µ ¸ � � ��� * S Í V � � � * S Í V ÁC¿ OnUL¿ NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ)NVIÕÁC¹�ÀTOV¿�KM·X¶nº»¿$N

��UL¿$¶n¿hË�·X¶eOnUL¿�·XÁ #{¿�¹$OnN:OnUL¿h¿$Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K � T Í ¤�& ß�à & ¹ � º»N¬¶n¿�åÈILºÊ¶n¿$¸"On·)ÁC¿�À�UL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿8}zÀ µ ¸�Ë�·X¶�OVUL¿�Ä�·X¶PÃ8ULº»NVÄ�N�OVUL¿ æ�è Ä#ÀTà � T � ¹ �  zºÊN�¶n¿�å?ILº�¶n¿�¸�On·�ÁC¿�ÀNVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTà ½

Ñ ¿$¹�ÀX»¬Ë�¶n·MÄ Ó ¿�¹$OVº»· µ ¼M½Ê¼ OVU8ÀTOË�·X¶ §AOn·�ÁC¿=À æ�è Á8I µ ¸L»¿=¶V¿�Â�ÀTOnº�Ö0¿�On·�ÀÏKMºÊÖ0¿ µ ÃL¶n·?¸?ÇIL¹$O�NVIÕÁLÁ8I µ ¸LÂÊ¿"Ä�¿�À µ NROVU8ÀTO §AÀX¸LÄ�º�OnNJÀ æ�è ÂÊ·?¹�ÀXÂ+OV¶nºÊÖ?º�ÀXÂʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ OnU8ÀTO�ÀXKX¶n¿�¿$N ��ºÊOVU�OVUL¿º»¸L¿ µ Onº�O¡Î Ä#ÀTà · µ OnUL¿"¿�Ä�ÁC¿�¸L¸L¿�¸ NPIÕÁLÁ8I µ ¸L»¿ ½ ´^µ ¿�ÀX¹�U ¹�ÀXNP¿>}¬À�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿� T Í ¤& ß=à & ¹ � º»N:ÀX»NP·�ÀRäLÁ®¿$¶<��º»NV¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿�·6Ö0¿$¶ & ß=à & }0À µ ¸=¹�· µ Ö0¿$¶nNP¿�ÂÊÎ�}NVº µ ¹�¿ )�À µ ¸ §�ÀT¶n¿ Ó ¿$¶V¶n¿JäLÁL¶�ÀTOVº»· µ N ½�Ó ·�OVUL¿�·XÁ #{¿�¹�OnN�º µ NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX ¸L¿$KX¶n¿�¿���·MË ��� � * S Í V·X¶ � � ��� * S Í V ÀT¶n¿"¶n¿�ÀX»ÂÊÎ��jÇlÃ�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OV¿$¶�Ë ÀXÄ�ºÊ»ºÊ¿�N�·MË�·XÁ #{¿�¹�OnN�·MË ��� � S Í V ½�Ó º»Ä"º»Â�ÀT¶�¶n¿�Ä�ÀT¶VÛÕNÀTÃLÃ8ÂÊÎ�º µ OnUL¿ S ¸ V Çܹ�ÀXNV¿ ½

Page 83: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�-� ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

â ·X¶�¿�ÀX¹�U�ä µ ºÊOn¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂeNV¿$O � }GOnUL¿$NV¿Ï¹�ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¿�NäLO�OV·MKM¿$OnUL¿$¶�º µ À¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖ0¿J¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ

S Q ½Ê¼M½ � V � � � S���V

�� �

��

��� � S���V��oo

��

��

�//

���

��� � S & � &�V������ � * S���V �

//

��

��� � * S & � &�V

��� � � � * S���V � �� � * S���V�oo

�� // � � � � * S & � &�V

OnU8ÀTO�Ä#ÀTÃ8N�On· ¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ S Q ½»¼M½ÙØ V Á Î�Ë�I µ ¹$On·X¶nN�OnU8ÀTO�Ë�·X¶nKM¿$O�OnUL¿�NPOV¶nIL¹�OnIÕ¶n¿�Ä#ÀTÃ�Ë�¶n·MÄ �·X¶ & � & ½=¾ UL¿=¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿�Ë�I µ ¹$On·X¶�On·�OnUL¿ÏÆÈÇlÃL¶n¿$äÕÝÕ¿�¸ Ö0¿$¶nNVºÊ· µ ·MË S Q ½Ê¼M½ Ø V º»N)OnUL¿ µ ¹�À µ · µ Ǻ»¹�ÀX»ÂÊÎ UL·MÄ�·XOn·XÃ8ºÊ¹�On·�OnUL¿�¹$· µ NPO�À µ O=Ë�I µ ¹�On·X¶=OV·�OVUL¿�·XÁ #{¿�¹�O � ·X¶ & � & }¬Á Î OnUL¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂOV¶�À µ NPË�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ ¶n¿$ÃL¶V¿�NV¿ µ On¿�¸�Á Î�OnUL¿NPOV¶nIL¹$OVIÕ¶n¿�Ä#ÀTÃ�On·=Á®¿�Ë�·X¶nKM·XOVOn¿ µ ½zã ¿ µ ¹�¿OVUL¿$¶n¿�ÀT¶V¿��¿�ÂÊÂ�Çq¸L¿$ä µ ¿�¸�Ä#ÀTÃ8NS Q ½Ê¼M½ � V ��� � S���V ¹ �6ª � ¹ UL·XäLÁ S � T�� � ¹ Æ � ¥ ��VË�¶n·MÄ S OnUL¿ µ ¿$¶VÖ0¿"·MË V OnUL¿�¶V¿�Â�ÀTOnº�Ö0¿"¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ ÀTO � }GÖÕº»À S OnUL¿ µ ¿$¶PÖ0¿�·MË V OVUL¿�¶nº»KMU0O�äLÁC¿�¶·MË ��ÀTO � }�On·�OnUL¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�äLÁC¿$¶�·MË ��ÀTO � } ÖÕº»¿-��¿�¸ ÀXNJÀ µ ·XÁ #{¿�¹$O)·MËzÆ � ½)¾ UL¿$¶n¿�ÀT¶V¿À µ ÀX»·MKM·MILN%Ä#ÀTÃ8N�Ë�¶n·MÄ ¿�ÀX¹�U·MË OnUL¿e·XOnUL¿$¶+¹�ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¿�N�º µ S Q ½»¼M½ � V ½ ´^µ æ ¶n·XÃC·MNPºÊOnºÊ· µ Q ½ Q ½»¼ À µ ¸è ¿�Ä�Ä#À�Q ½ Q ½ W���¿�NPU8ÀX»Â<NVUL·���OnU8ÀTOhÁC·XOnU�Ä#ÀTÃ8NRº µ S Q ½»¼M½ � V ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎÌ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N~}Ë�·X¶�¿�ÀX¹vU ·MËeOnUL¿�¹�ÀTOV¿�KM·X¶nº»¿$N ��� � S �mV } ��� � S���V } ��� � S Í V º µ OVUL¿=On·Xà ¶V·�� }<À µ ¸ � � � � * S���V }� �� � * S���V À µ ¸ � � � � * S Í V º µ Á®·XOVOn·MÄ ¶n·�� ½´ O�Ë�·M»ÂÊ·���N�Ë�¶n·MÄ S Q ½»¼M½ Ø V }Ⱥ�OnN�Æ Ç¡À µ ÀX»·MKMIL¿8}8À µ ¸ÏOVUL¿�NV¿)UL·MÄ�·XOn·Xà Î=äLÁ®¿$¶�NV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿�N~}LOnU8ÀTO

OnUL¿�º µ ¸LºÊ¹�ÀTOn¿�¸ Ë�I µ ¹$On·X¶VN +<} � !�} ) À µ ¸ '!&ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N ½&¾ ULºÊN �hºÊ»ÂhÁ®¿NPî¿�»ÂÊ¿�¸�·MIÕO�º µ OVUL¿�ÃL¶n·È·MË�Nh·MË ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä�N ¼M½ W ½ Ø À µ ¸ ¼M½ W ½ Y ½

*-A�38,�� ��{ �{� ���{ � ¿�U8À�Ö0¿�ÀX»NV·���¶nº�OVOn¿ µ ¸L·�� µ À"ÃL¶V·?·MË<OnU8ÀTO � T������ * S �mV ¹ � ���� * S���V º»NÀ�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ ½�¾ UÈILNJ¿�ÀX¹�U�·MË<OnUL¿�Ë�I µ ¹�On·X¶nN � À µ ¸ ! º µ OnUL¿�Ä"º»¸L¸L»¿�¹�·M»ILÄ µ·MË S Q ½»¼M½ � V } µ ·XO #{ILNPO�OnUL¿$ºÊ¶�¹�·MÄ"î·MNVºÊOn¿8}?º»N�À�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½�¾ ·MKM¿$OnUL¿$¶|��ºÊOVU�Ã�ÀT¶VO·MË æ ¶n·XÃC·MNPºÊOnºÊ· µ Q ½ÙØ?½»¼ S ¸ V }COnULº»N)º»Ä=Ã8»º»¿$N)OVU8ÀTO�OVUL¿�¹$·MÄ"ÃC·MNVº�On¿�Ä#ÀTà Ë�¶n·MÄ ��� � * S���V On·�OVUL¿UL·MÄ�·XOn·Xà Î�äLÁC¿�¶�·MË � T?��� * ¹ Æ � *"ÀTO � º»N�À�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½"ã ·���¿$Ö0¿�¶�}�OVUL¿¸L¿$O�ÀXºÊ»N�·Mˬ·MIÕ¶JÀT¶nKMILÄ�¿ µ ORÀT¶n¿I µ Ã8ÂÊ¿�ÀXNnÀ µ O�}2À µ ¸�NV·6�z¿·MÄ�º�O�OnULºÊN�ÃL¶n·È·MË<NVº µ ¹�¿4��¿¸L· µ ·XOµ ¿�¿�¸�On·#ILNP¿�OnUL¿�¶n¿�NVILÂ�O)À µ Î;��À�Î ½ � ¿�¸L· µ ·XORÛ µ ·�� ��UL¿$OnUL¿�¶JOnUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOn¿�Ä#ÀTÃ�Ë�¶n·MÄ��� � * S Í V On·=OVUL¿UL·MÄ�·XOn·Xà Î#äLÁC¿�¶R·MË � T�� � * ¹ Æ � *�ÀTOhÍ ºÊNhÀ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ ½� ��� �¿Á2À�Á%��� �?"%$�"%$�$�"�S ¹ V ¾ UL¿�¹�ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¿�N � S���V À µ ¸ � � � S���V ÀT¶n¿�¹�·6ÖXÀT¶Vº�À µ OnÂÊÎ�Ë�I µ ¹�On·X¶nº�ÀXº µ � ½ H Ä#ÀTÃ�� T � ¹ �  %·MË+NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂCNV¿$OVNhº µ ¸LIL¹$¿�NJÀ S Ë�·X¶<��ÀT¶n¸ V Ë�I µ ¹$On·X¶

��� T*� S���V ¹ � S��   VOnU8ÀTO¬O�ÀTÛ0¿$N�� T � ¹ � On·JOnUL¿�Ã8ILNVUL·MIÕO �;  T �   ¹ �   � � � ½¬â ·X¶eÀ µ Î�Ä#ÀTÃ��  T �   ¹ �    OnUL¿$¶V¿ ºÊNÏÀ ¹�·MUL¿$¶n¿ µ O µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂRºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ S �   � V ���� �   � ��� ½ S Ó OV¶Vº»¹$OnÂ�Î N{ÃC¿�ÀTÛ?º µ K+}�Ë�·X¶� º¹ � S���V On·#Á®¿�ÀÏË�I µ ¹�On·X¶�}2OnULº»NJºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ NVUL·MILÂʸ Á®¿�OnUL¿�º»¸L¿ µ Onº�O^Î ½)¾ ULº»N)¹�À µ Á®¿ÀT¶V¶�À µ KM¿$¸�ÁÈÎ�À"¹�ÀT¶n¿�Ë�ILÂG¸L¿$ä µ ºÊOnºÊ· µ ·MË<OnUL¿Ã8ILNVUL·MIÕO ½ V çzÎÏOnUL¿�KMÂÊILº µ K#ÂÊ¿�Ä�Ä#ÀXN�Ë�·X¶JNVºÊÄ"Ã8»¿Ä#ÀTÃ8N:À µ ¸�Ë�·X¶���¿�ÀTÛ�UL·MÄ"·XOn·XÃÈο�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N:·MË8NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂÈNV¿$OnN~}MOnUL¿�Ë�I µ ¹�On·X¶ ����¶n¿�NPOP¶nº»¹$OVNOn·"À=Ë�I µ ¹$On·X¶

��� T�� � � S���V ¹ � � � S��   V �

Page 84: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

á ·X¶V¶n¿�NPî· µ ¸Lº µ K�KM»ILº µ K�»¿�Ä"Ä#ÀXN:ÀT¶n¿ µ ·XOzÀ�ÖTÀXº»Â�ÀTÁ8ÂÊ¿�On·�¸L¿�ä µ ¿RÀ�Ë�I µ ¹�On·X¶ � � T �6ª � ¹ �   ª �·MË+¶Vº»KMU0OhäLÁC¿�¶nNhË�·X¶�� T���� ¹ Æ � ½¾ UL¿$¶n¿ºÊNhÀXÂÊNV·�À�Ë�I µ ¹$On·X¶

� � T�� � � � * S���V ¹ � � � � * S��   V

OnU8ÀTO�O�ÀTÛ0¿�N+À µ ·XÁ #{¿�¹$O ) T ß=à ¤ � ¸ ¹ � �¸ ¹ ß�à:On·�OnUL¿e·XÁ$#{¿$¹$O� ) T ß�à ¤ �   �¸�¹ �   ��

¸.¹ ß=à��ºÊOnU�On·XO�ÀXÂ2NPÃ�ÀX¹�¿

�  �� S��   ¤ ß à V#��� � � � � � �

¾ UL¿º µ ¸LIL¹$¿�¸�Ä#ÀTÃ�·MË+Ã8ILNVUL·MIÕOnNH}�§�  T �   ¹ ß�à8}L¶n¿�Ä#ÀXº µ NhÀ Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ Á Î�OVUL¿�äLÁC¿�¶KM»ILº µ K"ÂÊ¿�Ä�Ä#À�Ë�·X¶ Ó ¿$¶V¶n¿äLÁL¶nÀTOnº»· µ N~} æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ Þ?½ÙÞ?½

S ¸ V ¾ UL¿Ì¹�ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¿�N � S���V } ��� � S���V } ��� � * S �mV À µ ¸ � �� � * S���V ÀT¶n¿�ÀX»NP· ¹�·6ÖXÀT¶Vº�À µ OnÂÊÎË�I µ ¹$On·X¶Vº�ÀX®º µ � }ÈÁ8IÕO�· µ ÂÊÎ"ÀX»· µ K�¹$·XäLÁL¶�ÀTOnº»· µ N ½ H ¹$·XäLÁL¶�ÀTOnº»· µ � T � ¹ �  �·MË2NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂNV¿$OVNhº µ ¸LIL¹$¿�NJÀ=Ë�I µ ¹�On·X¶

� � T�� S���V ¹ � S��   VOnU8ÀTOeO�ÀTÛ0¿�N � T � ¹ � On·�OVUL¿�Ã8ILNVUL·MIÕO ��  T �   ¹ � � � �   ½ � ¿ µ ¿$¿�¸�On·�ÀXNPNVILÄ�¿�OVU8ÀTO �À µ ¸ �#ÀT¶n¿)¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N�On·�Á®¿)NVIÕ¶n¿JOnU8ÀTO � � � �  ®¶n¿�Ä#ÀXº µ N µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶ ½ çzÎ�OnUL¿)NnÀXÄ�¿KM»ILº µ K"ÂÊ¿�Ä�Ä#ÀXN�ÀXN�ÁC¿�Ë�·X¶n¿8}8OVUL¿$¶n¿ºÊNhÀ�¶n¿�NPOP¶nº»¹$OV¿�¸�Ë�I µ ¹$On·X¶

� � T���� � S���V ¹ ��� � S �   V��

çzÎ�OnUL¿=ÀXNVNVILÄ"ÃLOVº»· µ ·MË æ�è »·?¹�ÀXÂGOV¶nº�ÖÕº�ÀXÂʺÊO¡Î�·MËl§A¶V¿�Â�ÀTOnº�Ö0¿�On·! ) T � ¤ ß=à ¹ ß=à8}�ÀXË�On¿�¶ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀXÂ�¶V¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ }:OnUL¿$¶V¿Ìº»N"À�Ë�I µ ¹$OV·X¶ � � T���� � * S���V ¹ ��� � * S��   V OnU8ÀTO�O�ÀTÛ0¿�N=À µ·XÁ #{¿�¹$O ) T ß à ¤ � ¸ ¹ � �¸ ¹ ß à OV·�OnUL¿�·XÁ #{¿�¹$O$ ) T ß à ¤ �   �¸:¹ �   �

¸M¹ ß à �hº�OnUÏOn·XO�ÀXÂNPÃ�ÀX¹�¿

�   � S��   ¤ ß à V#��� � � � � � �

¾ UL¿�ÂÊ·?¹�ÀXÂ�OV¶nº�ÖÕº�ÀXÂʺ»Å�ÀTOVº»· µ Nh¹�À µ Á®¿�KM»IL¿�¸�On·ÏÄ#ÀTÛ0¿4§�  æ�è ÂÊ·?¹�ÀXÂÊÂÊÎ�OV¶nºÊÖ?º�ÀXÂ%¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿�On·�OVUL¿OV¶nº�ÖÕº»ÀXÂCNVIÕÁLÁ8I µ ¸L»¿8}2ÀXË�On¿$¶�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶�ÀXÂ2¶n¿�ÀX»º»Å�ÀTOnº»· µ }8ÀXN�¶n¿�åÈILºÊ¶n¿�¸ ½�¾ UL¿�¶n¿ºÊNhÀXÂÊNV·�À�Ë�I µ ¹$On·X¶

� � T�� �� � * S���V ¹ � �� � * S �   V ¥

Á Î�OVUL¿�äLÁC¿�¶RKM»ILº µ K"ÂÊ¿�Ä�Ä#À�Ë�·X¶ Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnº»· µ N ½S ¿ V â ·X¶ÏÀ ¹$·MÄ"Ã�ÀX¹$O�î·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶n· µ Í'}�OnUL¿�¹�ÀTOV¿�KM·X¶nº»¿$N � S Í V } ����� S Í V } � ��� * S Í V À µ ¸

� � � � * S Í V ÀT¶n¿�ÀX»NP·�¹$·jÖTÀT¶nº�À µ OnÂ�Î#Ë�I µ ¹$On·X¶nº»ÀXÂCº µ � }?Á8IÕO�· µ ÂÊÎÏÀXÂÊ· µ K æ�è ¿�Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ KMN ½ H æ�è¿�Ä�ÁC¿$¸L¸Lº µ K � T Í ¹ Í   º µ ¸LIL¹$¿�NhOnUL¿�Á�ÀXNVº»¹�Ë�I µ ¹$On·X¶

� � T*� S Í V ¹ � S Í   V

OnU8ÀTO�O�ÀTÛ0¿�N � T Í ¹ � On·�OnUL¿�I µ º»· µ �   T Í�  ¹ Í�  �� � ½ HJN�ILNVI8ÀXÂ:}+��¿ µ ¿$¿�¸�OnU8ÀTO�ÁC·XOVU��À µ ¸ � ÀT¶n¿�¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ KMNhOn·#U8À�Ö0¿�À�¹�À µ · µ º»¹�ÀX æ�è NPOV¶VIL¹$OnIÕ¶n¿�· µ OnUL¿Ã8ILNPUL·MIÕO ½ çzÎ�OVUL¿NnÀXÄ�¿�ÀT¶nKMILÄ�¿ µ OnN�ÀXN�º µ OVUL¿ � Çq¹�ÀXNV¿>}LOnUL¿�¶n¿�ÀT¶n¿�ÖXÀT¶Vº�À µ OnN�Ë�·X¶ ��� � S Í V } ��� � * S Í V À µ ¸

� � T�� � � � * S Í V ¹ � � � � * S Í   V �

Page 85: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

� ��� �¿Á2À�Á%��� ��"%$�"%$)E�" � ¿¹�À µ ¿�ÝÕOn¿ µ ¸�OnUL¿�¸L¿$ä µ ºÊOVº»· µ ·MË � S���V } � S���V }8¿$On¹ ½ }®On·"º µ ä µ ºÊOV¿NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ2NV¿�OnN � ½ çzÎ�À � �¿Á2À�� ��� � � ¾ À�ÁJ��� � T � ¹ � �z¿Ä�¿�À µ À"¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ NVIL¹�UOnU8ÀTO � · µ Â�Î�¹�· µ O�ÀXº µ N�ä µ ºÊOn¿�Â�Î�Ä#À µ Î µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿ÌNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�N�OnU8ÀTO=ÀT¶n¿ µ ·XO�º µ OVUL¿º»Ä�ÀXKM¿�·MË � ½â ·X¶�À�KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂ2NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX NV¿$O � };��¿)»¿$O � S �mV Á®¿JOnUL¿)¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ�·MË�ä µ º�On¿)¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N

� T � ¹ � }zÀ µ ¸-NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ�Ä#ÀTÃ8N � T � ¹ �  �I µ ¸L¿$¶ � ½-Ó º µ ¹�¿ � À µ ¸ �   ��º»ÂÊ µ ·Â»· µ KM¿�¶�Á®¿�ä µ º�On¿ÏNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ�NP¿$OnN~}l��¿ÏÄ�ILN{O=N{ÃC¿�¹�ºÊË�Î��hU8ÀTO]��¿ÏÄ�¿�À µ Á Î�À NVºÊÄ"Ã8»¿#Ä�ÀTÃ� T �[¹ �   ½�¾ UL¿�¶n¿ºÊNRÀ=¹�À µ · µ º»¹�ÀXÂ%º»¸L¿ µ Onº�ä8¹�ÀTOnºÊ· µ

¹�·MÂʺ»Ä7

� S�� 7 V �� � S���V��UL¿$¶n¿ � 7 ¶�À µ KM¿$N�·6Ö0¿$¶�OnUL¿�NV¿$O�·MË+ä µ º�On¿)NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂCNVIÕÁ8NV¿�OnN�·MË � }?Ã�ÀT¶VOnº»ÀX»ÂÊÎ�·X¶n¸L¿$¶n¿�¸�ÁÈκ µ ¹$»ILNVºÊ· µ ½ � ¿�OnUL¿ µ º µ OV¿$¶VÃL¶n¿$O � � � S���V ÀXN�OVUL¿�NVIÕÁ®¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ

¹�·MÂʺ»Ä7

��� � S�� 7 V��

H µ ·XÁ #{¿�¹$O�·MË � � � S���V ºÊN�OnUÈILN�ÀÌä µ º�On¿Ï¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ À µ ¸���¿�ÀTÛ UL·MÄ�·XOn·Xà Π¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿� T � ¹ � }JÀ µ ¸ ÀAÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ � Ë�¶n·MÄ � On· �   T � ¹ � ¶V¿�NPOV¶nºÊ¹$OnN#On·�OnUL¿ º»¸L¿ µ OnºÊO¡Î· µ � À µ ¸ U8ÀXN#¹$· µ OV¶nÀX¹$OnºÊÁ8ÂÊ¿�ÃC·Mº µ OϺ µ Ö0¿$¶VNV¿�N�ÀXË�On¿$¶ÏKM¿�·MÄ"¿$OV¶nºÊ¹�¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOVº»· µ ½ â ¶n·MÄ OVUL¿º µ On¿$¶PÃL¶n¿$O�ÀTOnºÊ· µ ÀXN�À�¹�·MÂʺ»Ä�º�O�}<º�O�º»N�¹�»¿�ÀT¶�OnU8ÀTO�NVIL¹�U Ä�·X¶PÃ8ULº»NVÄ�N�¹�À µ Á®¿Ï¹�·MÄ"ÃC·MNP¿�¸?}:NV·OnU8ÀTO � � � S���V º»N�º µ ¸L¿$¿�¸�À=¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ ½¾ UL¿�¶nºÊKMU O�äLÁC¿�¶ � ª �}eË�·X¶ � T�� � ¹ Æ � }�NnÀ6Î�}�º»N�¹�· µ OV¶�À�ÖXÀT¶nº»À µ OVÂÊÎ�Ë�I µ ¹$On·X¶nº»ÀXÂ�º µ OVUL¿

·XÁ #{¿�¹$O � ·MË¬Æ � ½�Ó ·=¿�ÀX¹�U���¿�ÀTÛ#UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ"¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ � T � ¹ �   º µ ¸LIL¹�¿�N�À�Ë�I µ ¹$OV·X¶� � T �   ª � ¹ �6ª ��}LÛ µ ·�� µ ÀXNRÀ À�� ¾ � � Á2À�Á%��� � ¾�¼ ½�¾ UL¿�¶n¿�Â�ÀTOVºÊÖ0¿¹�ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¹�ÀXÂ%¹�· µ NPOV¶nIL¹vÇOnºÊ· µ NÀT¶n¿=ÀX»NP·Ì¹�· µ OV¶�À�ÖXÀT¶Vº�À µ OnÂÊÎ�Ë�I µ ¹$OV·X¶nº�ÀXÂ:º µ � }2Á8IÕO�· µ ÂÊÎ º µ À�NVÂʺ»KMU0OnÂÊÎ�Ä"·X¶n¿�»º»Ä"ºÊOn¿�¸NV¿ µ NP¿ ½� ��� �¿Á2À�Á%��� ��"%$�":$���"�S ¹ V H-ä µ ºÊOn¿�¹$·XäLÁL¶�ÀTOnº»· µ � T � ¹ �  Èº µ ¸LIL¹�¿�N�ÀhÁ�ÀX¹nÛ;��ÀT¶V¸=Ë�I µ ¹$OV·X¶

� � T*� S��   V ¹ � S���VOnU8ÀTO�O�ÀTÛ0¿�N"À ä µ ºÊOV¿Ì¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ ��  T �   ¹ � On· OnUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿���  � T � ¹ � ½-¾ UL¿¶n¿�»ÀTOnº»· µ S �   � V � � � � �   � UL·M»¸LNRË�·X¶JÀ µ Î�ä µ ºÊOn¿¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ �   T �   ¹ �     ½ ´ Ë � ºÊNJÀX»NV·�À��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿>}LOnUL¿ µ OnUL¿�¶n¿ºÊNhÀXÂÊNV·�À�¶n¿�NPOV¶Vº»¹$On¿$¸�Ë�I µ ¹$On·X¶

� � T�� � � S��   V ¹ ��� � S �mV��Ó º»Ä"º»Â�ÀT¶VÂÊÎ#Ë�·X¶�OnUL¿¹$· µ NPOV¶nIL¹$OVº»· µ N � � * S ¸ V À µ ¸ � � � � * S ¸ V ½S ¸ V ´ Ë � À µ ¸ �  %ÀT¶n¿Jä µ ºÊOV¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶hNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX®NV¿$OnN~}ÕOVUL¿$¶n¿�ÀT¶n¿�Á�ÀX¹nÛ���ÀT¶n¸ÌË�I µ ¹vÇOn·X¶nN � � T*� S��   V ¹ � S �mV�S �hUL¿ µ � ºÊN=À�¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ V À µ ¸ � � T���� � S��   V ¹ ��� � S���VS ��UL¿ µ � º»N�ÀX»NV·�À6��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ V }�À µ ¸ ÂʺÊÛ0¿H��º»NP¿�Ë�·X¶)OnUL¿�¹�· µ NPOP¶nIL¹$OnºÊ· µ N� * S ¸ V } �� * S ¸ V } ��� � * S ¸ V À µ ¸ � �� � * S ¸ V ½S ¿ V H æ�è ¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K � T Í ¹ Í� h·MË�¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$O#ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶�À º µ ¸LIL¹�¿�N�À Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶n¸Ë�I µ ¹$On·X¶

� � T � S Í   V ¹ � S Í VOnU8ÀTO#O�ÀTÛ0¿$NÏÀ æ�è ¿�Ä�ÁC¿$¸L¸Lº µ K �   T Í   ¹ � On· OnUL¿�¹�·MÄ=ÃC·MNVº�On¿ �   � T Í ¹ � ½ H æ�è¿�Ä�ÁC¿$¸L¸Lº µ K#À µ ¸�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ � T Í ¹ Í   º µ ¸LIL¹$¿�NRÀ�¶n¿�NPOV¶Vº»¹$On¿$¸�Ë�I µ ¹$On·X¶

� � T���� � S Í   V ¹ ��� � S Í V��¾ UL¿$¶n¿�ÀT¶n¿�NPº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶"Á�ÀX¹nÛ���ÀT¶n¸ Ë�I µ ¹$On·X¶VN�� � º µ OnUL¿�¹�ÀXNV¿�N � * S ¸ V } � � * S ¸ V } � � � * S ¸ V À µ ¸� � � � * S ¸ V ½

� ¿�¹�À µ=µ ·�� ÃL¶n·6Ö0¿�OnUL¿�Ã�ÀT¶PO�·MË�OnUL¿�NPO�ÀTÁ8»¿�Ã�ÀT¶�ÀXÄ"¿$OV¶nºÊÅ�¿�¸#ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ OnUL¿�·X¶n¿�Ä OnU8ÀTO¹�·MÄ"Ã�ÀT¶V¿�N�KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂ+À µ ¸ µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶hNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂCNV¿�OnN~}�º ½ ¿ ½ } ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä ¼M½ W ½ÙØ?½

Page 86: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� ��"%$�":$ �)"Ft)*-7*� I_* 3 Gl5/J7»*c5�@B5�� 1-/J5��89;=h38,w1_/JAwD�= /¬L-/�3>=1�*-7C{ &#(* \ 9�=2=�/J5�LH= 9 �1_/¬@85 \ 9;5�L-7»@B,M1e/%5�g89�LM*e(+@BA @B7C@MD�E *.GH9;/JI838=K*-5?LM*_1 + T���� ¹ ��� i + T Æ � ¹ Æ � 385�g

+ T?��� � S���V ¹ ��� � S���V �

� ¿�·>�C¿$¶zOC��·�ÃL¶n·?·MË�N~}?· µ ¿RILNVº µ K � ILº»ÂÊ»¿ µ �xN ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä H�}?À µ ¸#· µ ¿�ILNVº µ K�OnUL¿hº»Ä"ÃL¶n·6Ö0¿�ÇÄ�¿ µ O�Ë�I µ ¹�On·X¶ � � Å � ( � Ë�¶V·MÄ Ó ¿�¹$OVº»· µ W ½ Ø?½-¾ UL¿�Ë�·X¶VÄ�¿$¶�ÃL¶n·?·MËJºÊN"¿�NVNP¿ µ OVº�ÀX»Â�ÎAOVUL¿NnÀXÄ�¿�ÀXNJOnU8ÀTO�KMº�Ö0¿ µ º µf� Ó OM�MY } ¾ ULÄ ½ Q ½Ê¼~� }C¿�ÝÕ¹�¿$ÃLO)OnU8ÀTO ��¿�º µ ¹$»IL¸L¿�Ä�·X¶n¿�¸L¿$OnÀXº»Â»N ½�¾ UL¿Â�ÀTOPOn¿$¶�ÃL¶V·?·MË2¸L¿$î¿ µ ¸LN�· µ OnUL¿RÄ�·X¶V¿h¸Lº @"¹�ILÂÊO�Ã�ÀT¶VOnN�·MË Ó ¿$¹$Onº»· µ N�W ½ Q�À µ ¸�W ½ Ø }0Á8IÕO�U8ÀXN�OVUL¿ÀX¸ÕÖTÀ µ O�ÀXKM¿)OnU8ÀTO�ºÊO�ÃL¶n·6ÖÕº»¸L¿$NRÀ=Ë�I µ ¹�On·X¶nº�ÀXÂ%UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎϺ µ Ö0¿$¶VNV¿�On·+ ½yu/J,_1_7 D�,.@�@ \ { � ¿�äL¶nN{O#ÃL¶n·jÖ0¿�OVU8ÀTO + T#��� ¹ � � ºÊN#À UL·MÄ�·XOn·Xà Π¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½ � NVº µ K� ILº»Â»ÂÊ¿ µ ��N ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä H�}�ºÊOÏNVI @"¹�¿�NÏOn·�NVUL·�� OnU8ÀTO#OnUL¿�»¿�Ë�OÏäLÁ®¿$¶ + ª � ºÊNϹ�· µ OP¶�ÀX¹$Onº�Á8»¿>}Ë�·X¶�¿�ÀX¹�U�ä µ º�On¿=NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂGNV¿$O � ½ ç�Î æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ W ½ Ø?½»¼ S À V }®OnUL¿$¶V¿=¿�ÝÕº»NPOVN�À�ä µ º�On¿ µ · µ ÇNVº µ KMILÂ�ÀT¶�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ8NV¿�O � À µ ¸ÏÀNVºÊÄ"Ã8»¿RÄ�ÀTà � T � ¹ � ½eè ¿$O � � T + ª �Z¹ + ª � ÁC¿JKMºÊÖ0¿ µÁ Î=¹$·MÄ"ÃC·MNVº�Onº»· µ ��ºÊOnU ��} À µ ¸"¸L¿$ä µ ¿ � � T + ª � ¹ + ª � On·�Á®¿�OVUL¿�Ë�I µ ¹$OV·X¶�O�ÀTÛ?º µ K�À�NVºÊÄ"Ã8»¿Ä#ÀTà � ¹ � S Ë�¶n·MÄ À�ä µ ºÊOV¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶ � V On·�OnUL¿�Ã8ILÂÊÂÊÁ�ÀX¹nÛ � ¤ � � ¹ � ½

� ¤ � �//

��

���-

// �¾ UL¿zäLÁC¿$¶¬ÃL¶n·È¸LIL¹$O � ¤ � � ºÊNGä µ ºÊOV¿�À µ ¸ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶�}XÁC¿$º µ K)¹�· µ O�ÀXº µ ¿�¸�º µ OnUL¿zÃL¶n·?¸LIL¹�O� ¤ � }8À µ ¸�OnUL¿)Ä#ÀTÃ�On· � ºÊN�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿JÁÈÎ#OnUL¿)Ã8IL»Â�Á�ÀX¹nÛ#ÃL¶n·XÃC¿$¶PO^Î�·MË�NVº»Ä=Ã8»¿)Ä#ÀTÃ8N ½e¾ UL¿Ä#ÀTà � ¤ � � ¹ � ºÊNÏÀX»NV·�NVºÊÄ"Ã8»¿>}�Ë�·X¶#OnUL¿�NnÀXÄ�¿�¶V¿�ÀXNV· µ }RÀ µ ¸B¸L¿$ä µ ¿$N�À µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂOV¶�À µ NPË�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ � � � � ¹ + � ·MË�¿ µ ¸L·MË�I µ ¹$OV·X¶nN�·MË + ª � ½#ã ¿ µ ¹�¿ + ª � º»NÀ�¶n¿$OV¶nÀX¹$O�}GIÕà OV·UL·MÄ�·XOn·Xà Î�}Õ·MË + ª � ½z¾ UL¿�Â�ÀTOVOn¿�¶�¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎÏU8ÀXNhÀ�On¿�¶nÄ�º µ ÀXÂ2·XÁ #{¿�¹�O�} µ ÀXÄ�¿�ÂÊÎ + � � }LUL¿ µ ¹�¿�º»N¹�· µ OV¶�ÀX¹$OVºÊÁ8»¿ ½�¾ UÈILNRÀX»NV·�+ ª � ºÊN�¹�· µ OV¶�ÀX¹�OnºÊÁ8ÂÊ¿ ½¾ UL¿=ÃL¶n·È·MË�OnU8ÀTO + T Æ � ¹ Æ � º»N�À�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�º»N�NVº»Ä"º»Â�ÀT¶ ½"¾ ·ÌNV¿�¿"OnU8ÀTO

OnUL¿#Ã8IL»Â�Á�ÀX¹nÛ � ¤ � � ¹ � ·MË�À`��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà Π¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ � ¹ � º»N�ÀP��¿�ÀTÛUL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿>} µ ·XOn¿ROnU8ÀTO ��À µ ¸�ºÊOnNzÃ8ILÂÊÂÊÁ�ÀX¹nÛ � ¤ � � ¹ � ÀT¶n¿JNVºÊÄ"Ã8»¿8}LÀ µ ¸ILNV¿�OnUL¿�WjÇq·MIÕOPÇÜ·MË»ÇÜQ�ÃL¶n·Xî¿$¶VO¡ÎÌ·MË#��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N ½¾ ·�ÃL¶n·6Ö0¿�OnU8ÀTO�+ T#��� � S���V ¹ � � � S���V º»N=À�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿>}zºÊO�NVI @"¹�¿�N"OV·

NVUL·�� OnU8ÀTO + ª+S�� ¹ � V º»N�¹�· µ OP¶�ÀX¹$Onº�Á8»¿>}RË�·X¶ÌÀ µ Î ·XÁ #{¿�¹�O � ¹ � ·MË � � � S���V ½ çzÎæ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ Ø?½Ê¼ S Á V OnUL¿$¶V¿�¿�ÝÕº»NPOVN�À)NV¿�¹�· µ ¸=NVIL¹�U�·XÁ #{¿�¹$O � ¹ � }^��ºÊOVU � µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�}À µ ¸ À#NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTà � T � ¹ � }C¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿�On· � ½ çzÎÌOnUL¿�NnÀXÄ�¿¹�· µ NPOV¶nIL¹�Onº»· µ N�ÀXN)ÀTÁC·6Ö0¿>}OnUL¿$¶V¿"ÀT¶n¿�Ë�I µ ¹$On·X¶VN � � T + ª+S�� ¹ � V ¹ + ª+S�� ¹ � V À µ ¸ � � T + ª+S�� ¹ � V ¹ + ª+S � ¹� V }GÀ µ ¸ À µ ÀTOnIÕ¶nÀXÂeOV¶nÀ µ NVË�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ � � � � ¹ + � ½#¾ UL¿�¶n¿�åÈILºÊ¶n¿�¸�ä µ ºÊOn¿=¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ À µ ¸��¿�ÀTÛÏUL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ"¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ � ¹ � ¤ � � º»N�·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸ÌÀXN�OnUL¿)Ã8IL»Â�Á�ÀX¹nÛÏ·MË�OnUL¿)Ä#ÀTÃ8N� ¹ � À µ ¸ � ¹ � S ·6Ö0¿$¶ � ¹ � V }�·MË<OnUL¿�NVÀXÄ�¿ÛÕº µ ¸ ½ HJNhÁC¿�Ë�·X¶V¿>} + ª+S�� ¹ � V U8ÀXNÀ�On¿�¶nÄ�º µ ÀXÂ:·XÁ #{¿�¹$O�À µ ¸ º»N¹$· µ OV¶nÀX¹$OnºÊÁ8ÂÊ¿>}<NV·�ÀX»NV·�º�OnNUL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ ¶n¿$OP¶�ÀX¹$O + ª+S�� ¹ � V º»N¹�· µ OV¶�ÀX¹$OVºÊÁ8»¿ ½ �

HJÂÊOV¿$¶ µ ÀTOnº�Ö0¿�ÂÊÎ�}���¿�¹�·MIL»¸�U8À6Ö0¿�¸L¿�¸LIL¹�¿$¸ÌOnUL¿)¹�Â�ÀXºÊÄ Ë�·X¶ ��� � S �mV ¹ � � � S���V Ë�¶n·MÄ OVUL¿·XOnUL¿$¶�OC��·�¹�»ÀXº»Ä�N�À µ ¸�OnUL¿Ä#ÀTÃ�·MË<UL·X¶nºÊÅ�· µ O�ÀXÂ2äLÁC¿$¶hNV¿�å?IL¿ µ ¹�¿�N

S Q ½Ê¼M½»¼jØ V ��� � S���V//

���

��� �//

���

Æ ����� � � S���V

// ��� �//Æ �

Page 87: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

Ë�¶n·MÄ æ ¶n·Xî·MNVºÊOVº»· µ Q ½ Q ½»¼ S ¹ V À µ ¸ S ¸ V ½ á · µ Ö0¿$¶nNP¿�ÂÊÎ�} æ ¶n·XÃC·MNPºÊOnºÊ· µ N"Q ½Ê¼M½»¼�Ð À µ ¸-Q ½ Q ½»¼ S ¹ V }ÃL¶n·6ÖպʸL¿JÀ�ÃL¶n·È·MË2·MËCOnUL¿ ���� S���V ÇqÃ�ÀT¶POz·MË æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ Q ½ Q ½»¼ S ¸ V }^��ULº»¹�U#¸L·È¿�N µ ·XO�¸L¿$î¿ µ ¸· µ OnUL¿ µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶"NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ�¹�ÀXNV¿ S ¸ V ·MË è ¿$Ä�Ä#À Q ½ W ½ �Õ½ � ¿�¸L· µ ·XO�Û µ ·�� º»Ë�OVUL¿� �� � * S���V ÇqÃ�ÀT¶PO�·MË æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ Q ½ Q ½»¼ S ¸ V ¹�À µ ÁC¿�¸L¿�¸LIL¹�¿�¸�º µ OnULº»N½��À�Î ½�?*ML_@B5�g�D�,M@�@ \ { ¾ UL¿�ºÊÄ"ÃL¶n·6Ö0¿�Ä�¿ µ O"Ë�I µ ¹�On·X¶ � ·MË ¾ UL¿$·X¶n¿�Ä W ½ÙØ?½ W�¸L¿$ä µ ¿�N�À UL·MÄ�·XOn·Xà κ µ Ö0¿$¶nNP¿ � T�� � ¹ ��� On·�OnUL¿=Ë�IL»Â:º µ ¹$»ILNVºÊ· µ + T?��� ¹ ��� }+Ë�·X¶�OnUL¿ µ ÀTOnIÕ¶nÀXÂeNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä�ÀTÃ� � T � S���V ¹ � ¸L¿$ä µ ¿�N�À µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ?OV¶nÀ µ NVË�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ Ë�¶n·MÄ ¿�ÀX¹�U�·MË8OVUL¿�¹$·MÄ"ÃC·MNVº�On¿�N + � À µ ¸� +<On·�OnUL¿R¶n¿�N{ÃC¿�¹$OVºÊÖ0¿Jº»¸L¿ µ Onº�Onº»¿$N ½�Ó º»Ä�ºÊÂ�ÀT¶nÂ�Î�} � ¸L¿$ä µ ¿�N�À�UL·MÄ�·XOn·Xà Î"º µ Ö0¿�¶nNV¿ � T Æ � ¹ Æ �On·+ T Æ � ¹ Æ � ½â ·X¶ROnUL¿�¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿¹�ÀXNV¿>}���¿�¸L¿�ä µ ¿=À#UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�º µ Ö0¿$¶nNV¿�Ë�I µ ¹$OV·X¶ ��� � S���V ¹ ��� � S���V

On·+ T����� S���V ¹ � � � S���V ÁÈÎ

S�� ¹ � V º ¸�¹ S�� ¹ U S � � V�� � � � �� S � V<V��

ã ¿$¶n¿ U S � � V º»N�OnUL¿�¶V¿�¸LIL¹�¿�¸�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$Î?»º µ ¸L¿$¶�·MËeOnUL¿"NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTà � � T � S���V ¹ � }��ULº»¹�UA¹$· µ O�ÀXº µ N � À µ ¸ � S���V Ö?º�ÀÌOnUL¿�Á�ÀX¹nÛ�À µ ¸�Ë�¶n· µ O�º µ ¹�ÂÊILNVº»· µ NH}e¶n¿$NPÃC¿�¹�OnºÊÖ0¿�Â�Î ½�¾ UL¿Ã8ILNVUL·MIÕO U S � � V)� � � � �

� S � V ºÊNRä µ ºÊOn¿�À µ ¸ µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶JÁ Î è ¿�Ä�Ä�ÀXN)W ½ W ½ � À µ ¸ ¾ UL¿�·TǶn¿�Ä W ½ Ø?½ W;}?À µ ¸ � Ä#ÀTÃ8NeOn·�ºÊO�ÁÈÎ�À�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ À µ ¸��z¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿8}ÕNV·�ºÊO¶n¿�ÀXÂÊÂÊÎ�¸L·È¿�N�¸L¿�ä µ ¿JÀ µ ·XÁ #{¿�¹$O�·MË ��� � S���V ½<¾ UL¿�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶eÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ ) T U�S � � V ¹ � º»NNVºÊÄ"Ã8»¿)ÁÈÎ è ¿�Ä�Ä#À=W ½�ÐL½ � }LNV·"Á Î�OnUL¿�KM»ILº µ K"»¿$Ä�Ä#À�ºÊOnN�Ã8ILNVUL·MIÕOw��ºÊOnU�OnUL¿NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTÃ8N� � T � S���V ¹ � À µ ¸ � � T � S � V ¹ � º»N�À=NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ

U S � � V?� � � � �� S � V ¹ ��� � � � � �

´ OR¸L¿$ä µ ¿$N)À µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%OV¶�À µ NVË�·X¶VÄ#ÀTOnº»· µ Ë�¶n·MÄÉOnUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿�Ë�I µ ¹$OV·X¶ � � � S���V ¹ ��� � S���VOn·)OnUL¿�º»¸L¿ µ Onº�O^Î�}0À µ ¸�¶n¿�NPOP¶nº»¹$OVN:OV·ÀJNVºÊÄ�º»Â»ÀT¶ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂÕOV¶nÀ µ NVË�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ Ë�¶n·MÄ�OnUL¿�¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿Ë�I µ ¹$On·X¶�· µ ��� � S���V }�NVº µ ¹�¿�OnUL¿"»ÀTOVOn¿$¶�º»NÀ�Ë�ILÂÊÂ�NVIÕÁ®¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ ½�¾ UÈILN�OnUL¿"Ë�ILÂÊÂ�º µ ¹�»ILNVºÊ· µ+ T���� � S���V ¹ ��� � S���V º»N�À=UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎÏ¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½ �

�2( �®(�'½��.0.^��7%FB1%EG@27%4

� ��� �¿Á2À�Á%��� �?"�E�":$�" â ·M»ÂÊ·���º µ K � ��À ØMÞ }¿° ¼ S � }���¿�¸L¿$ä µ ¿�OnUL¿+ ! À�� ����� � � �� }%Ë�·X¶ ! ³ ¼À µ ¸ S � + � !�}�On·�ÁC¿�OnUL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂhNPIÕÁ8NV¿$O�·MË�ß � KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿�¸ ÁÈÎ ÀXÂÊÂhOnUL¿�ÃL¶n·XÃC¿�¶Ë ÀX¹�¿�NROVU8ÀTOR¹�· µ O�ÀXº µ OVUL¿ +sÇqOVU�Ö0¿$¶VOn¿�Ý ½ ´ Ohº»NhOVUL¿�¹�· µ ¿�º µ ß � ��ºÊOnU�Ö0¿$¶VOn¿�Ý +�À µ ¸�Á�ÀXNV¿OVUL¿ÁC·MI µ ¸8ÀT¶PÎ"·MËCOnUL¿ +sÇqOVU#Ë ÀX¹�¿ ½e¾ UL¿hº µ ¹�ÂÊILNVº»· µ � �� � ß � º»N�À ��¿�ÀTÛ=UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ ½

S ¹ V H&NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2Ä#ÀTÃ�Æ T � �� ¹ � �hºÊ»Â2ÁC¿�¹�ÀX»ÂÊ¿�¸�À=UL·X¶ µ º µ � ½ ´ Ë �   � ß � � � ��

�º»N�OnUL¿�Ã8ILNVUL·MIÕOR·MË<Ä�ÀTÃ8N

ß � � � �� �¸ ¹ � ¥OnUL¿ µ ��¿"NVÀ6Î�OnU8ÀTO �  ¬º»N�·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸ Ë�¶n·MÄ � ÁÈÎ � � � Á�� � ¾ �)��� � ½ � ¿�NnÀ�Î�OnU8ÀTO�À#ä µ ºÊOV¿¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ � T � ¹ �  L¹�À µ ÁC¿h·XÁLOnÀXº µ ¿�¸"Á Î�ä8»Âʺ µ K�ä µ º�On¿�Â�Î=Ä�À µ Î�UL·X¶ µ N�º»ËCº�O�Ë ÀX¹�On·X¶nN�ÀXNOnUL¿)¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿R·MË�ä µ º�On¿�Â�Î#Ä#À µ Î�NVIL¹�U̺ µ ¹�»ILNPº»· µ N � � ß � � � �

� }ÕIÕÃ�On·�º»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ ½S ¸ V H ¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ Æ T � �� ¹ � �hºÊ»ÂLÁC¿�¹�ÀX»ÂÊ¿�¸#À µ �;� � ÿÃ)� Ã������ � Á�� � ½ ´ Ë � º»N�À

µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶hNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂCNV¿�ORÀ µ ¸�Æ�ºÊNhÀ µ ¿�Ä�ÁC¿�¸L¸L¿�¸ÌUL·X¶ µ º µ � }ÕOnUL¿ µ �   � ß � � � ��

���º»Â»ÂhÀX»NV· Á®¿ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�}hÀ µ ¸ �z¿ NVÀ6Î-OVU8ÀTO �  Rº»N#·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸BË�¶n·MÄ � ÁÈÎ ä8»»º µ K�À µ¿�Ä�ÁC¿$¸L¸L¿�¸ UL·X¶ µ }z·X¶=OnU8ÀTO � � �   º»N�À µ � � � ��� �?À ¾ �/# � Á%� ¼ � Á ��Á ¾ � � ¼�¾ � � Á%��� ½ Hä µ ºÊOV¿"¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿=·MË�NVIL¹�U Ä#ÀTÃ8Ne�hºÊ»¬ÁC¿=NnÀXº»¸�On·ÌÁC¿=·XÁLO�ÀXº µ ¿$¸ ÁÈÎ ä8»Âʺ µ KÌä µ º�On¿�Â�Î Ä#À µ ο�Ä�ÁC¿$¸L¸L¿�¸�UL·X¶ µ N~}�º µ �hULºÊ¹�U�¹�ÀXNV¿ � � �  2º»N�À� Á%� ¼ � Á ��Á ¾ � � ¼¿¾ � � ÁJ��� ½

S ¿ V ´ ËzÍ º»N�À̹$·MÄ"Ã�ÀX¹$O�ÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶n· µ }¬À µ ¸ Æ T & � �� & ¹ Í ºÊN�À æ�è ¿�Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K+}GOVUL¿ µÍ�  � & ß � &��

� ��� �Í º»N�ÀXÂÊNV·�À�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶V· µ }<À µ ¸m��¿=NnÀ�Î�OnU8ÀTO�Í � Í� :º»N�À µ

Page 88: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

� � � ��� ��À ¾ �/# � ¼�¾ � � Á%��� ½ ´ Ë:OnUL¿$¶V¿=ºÊN)ÀÏä µ º�On¿�¹vU8ÀXº µ ·MËe¿�»¿$Ä�¿ µ O�ÀT¶VÎ�¿�Ý?Ã�À µ NVº»· µ N)Ë�¶n·MÄÍ�On·=Í   }+��¿NnÀ�ÎÏOnU8ÀTO�Í � Í   ºÊNRÀ µ � ¼¿¾ � � ÁJ��� ½H µ ¿�ÀT¶VÂÊÎ NPOnIL¸ÕÎ ·MË�¿�ÂÊ¿�Ä�¿ µ O�ÀT¶VÎ ¿�Ý?Ã�À µ NVº»· µ N~}�¿�ÂÊ¿�Ä�¿ µ O�ÀT¶VÎ ¹�·M»»ÀTÃ8NV¿�N S OnUL¿�ºÊ¶�Ë�·X¶nÄ#ÀXÂ

º µ Ö0¿$¶nNP¿�N V À µ ¸�ä µ ºÊOn¿�¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOnºÊ· µ N�·MË�OnUL¿�NV¿8}���ÀXN�Ä#ÀX¸L¿)ÁÈÎ ´ ½ ±M·MU8À µ NVNV· µ � ±M·0Q0W �l½� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� �?"�E�"�E�" zL �Fx \ � /21 3�1_/JAaD�= / L-/�38=u1�*-703>5�g � T � ¹ �   /21F@ IH7C38/J5�*Mg I~EGl=2= /J5 � Gl5/%7C*-= E6A�3>5E�(+@B,_51.iu7:(+*-5�7:(+* \ 9�5�LH7C@B,_1

� � T���� � S���V ¹ � � � S��   V 385�g � � T�� � � S��   V ¹ � � � S���V

38,M*�A]9;7�9+38=2= EZ/J5�I>*-,M1�*m(+@8A6@B7»@.D�EZ*.G~9�/JI>38=K*-5�LM*-1.iP385�g 1_/%A]/J=h38,-= E \ @B,�7:(+*fLM@B5+1_7�,_9�L-7�/¬@B5� � � � * S ¸ V�{

g ��x \ � /21P3 5�@85�� 1_/J5 �89�=h3>, 1-/JAaD�= /¬LH/�38=½1�*-7�385�g � T � ¹ �   /J1`3�1_/JAaD�= /¬L-/�38= *�� �D3851_/¬@B5 iw7%(*-5�7:(+* \ 9;5�L-7»@B,_1 � � T?��� � S �mV ¹ ��� � S��   V�385�g � � T���� � S��   V ¹ ��� � S���V38,M*PA 9�7�9+3>=2= Ef/%5I>*-,_1�*F(@BA6@B7»@.D�E *.GH9;/JI838=K*-5?LM*_1.i 3>5�g�1_/JA]/J=h3>,_= E \ @B,P7%(*mL_@B5+1_7�,_9�L-7�/¬@B5+1��� � * S ¸ V 3>5�g � �� � * S ¸ V�{

z* �`x \ Í /J1P3'L_@BAaD3^LH7®D�@B= EB(+*.g8,M@B5Z385�g � T Í ¹ Í�  /21`385 *��HD385+1_/ @B5 i]7%(*-5o7:(+*\ 9;5�L-7»@B,M1

��� T�� � � � * S Í V ¹ � � � � * S Í   V 385�g � � T�� � � � * S Í   V ¹ � � � � * S Í V

38,M*PA 9�7�9+3>=2= Ef/%5I>*-,_1�*F(@BA6@B7»@.D�E *.GH9;/JI838=K*-5?LM*_1.i 3>5�g�1_/JA]/J=h3>,_= E \ @B,P7%(*mL_@B5+1_7�,_9�L-7�/¬@B5+1��� � S ¸ V 385�g ��� � * S ¸ V�{¾ UL¿�ÃL¶n·È·MË���º»Â»ÂCÁ®¿KMº�Ö0¿ µ Á®¿�»·��0}�ÀXË�On¿�¶ è ¿�Ä�Ä#ÀXN�Q ½ W ½ Y�OnUÕ¶n·MILKMU�Q ½ W ½ � ½

� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ�����?"�E�"��?" zL �ex \ � T � ¹ �   /21 3 Gl5/%7C*0LM@ GJI~,<387�/¬@B5`@ \ 1_/%AaD�= /¬L-/¬38=+1�*-7:1.iu385�g36k|*.3 �](+@8A6@B7»@.D�E *.GH9;/JI838=K*H5�LM*Mil7:(+*-5�7%(+* \ 9�5?L-7C@8,M1

� � T���� � S���V ¹ � � � S��   V 385�g � � T�� � � S��   V ¹ � � � S���V

38,M*'I_@B7:(Æ(+@8A6@B7»@.D�E *.GH9;/JI838=K*H5�LM*_1.iT3>5�g�1_/JA /J=h38,_= E \ @B,e7:(+*]LM@85+1_7�,_9�L-7:/ @B5 � � � � * S ¸ V�{ g �mx \ � T � ¹ �   /J1�3�Gu5/J7»*mL_@ GJIH,.387:/ @B5 @ \ 5�@B5�� 1-/J5��89;=h38, 1_/JAwD�= /¬L-/�3>= 1�*H7%1.iÆ385�g

3 kT*M3 �²(+@BA6@[email protected]�E¡*MGH9�/%I838=K*-5�L_*Mi`7%(+*H5 7%(* \ 9�5?L-7C@8,M1 ��� T���� � S���V ¹ ��� � S �   V 385�g� � T���� � S��   V ¹ ��� � S���V�38,M* I_@B7:( (+@BA @B7C@MD�Eo*.GH9;/JI838=K*-5?LM*_1.i 385�g'1-/JA]/J=h38,-= E \ @B,�7:(+*LM@B51_7:,-9LH7:/¬@85+1 ���� * S ¸ V]385�g � ��� * S ¸ V�{

z* �`x \ � T Í ¹ Í�  /21 3�srt�*-AI_*.g^g8/J5�� @ \ LM@BAaD�3^L-7 D�@B= EB(+*.g8,.3�i�385�g�3�(+@BA6@[email protected]�E*.GH9;/JI83>=K*-5�LM*Mil7:(+*-5�7%(* \ 9;5�L-7»@B,M1

��� T�� � � � * S Í V ¹ � � � � * S Í   V 385�g � � T�� � � � * S Í   V ¹ � � � � * S Í V

38,M* I_@87%(f(+@BA6@[email protected]�Ef*.GH9;/JI838=K*-5?LM*_1.i6385�g�1_/%A]/J=h38,-= E \ @B,F7%(*�LM@85+1_7�,_9�L-7:/ @B5+1 ��� � S ¸ V�385�g��� � * S ¸ V�{¾ UL¿�ÃL¶n·È·MË�ºÊN�KMº�Ö0¿ µ ÁC¿�ÂÊ·�� }GÀXË�OV¿$¶ è ¿�Ä"Ä#ÀÏQ ½ W ½ �Õ½ ´{µ OnULº»N�KM¿ µ ¿$¶nÀX»ºÊO¡Î�}COnUL¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î

¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N�� ��À µ ¸ � � ÀT¶n¿ ���À ILNVI8ÀXÂÊÂÊÎ�Ä�IÕOnI8ÀXÂÊÂÊÎ�º µ Ö0¿�¶nNV¿>}+ÀXN)¹�· µ OV¿�Ä"Ã8Â�ÀTOVº»· µ ·MËeOVUL¿Ë�·M»ÂÊ·���º µ K=¹�·X¶n·MÂÊÂ�ÀT¶VÎÏÄ#ÀTÛ0¿$N�¹$»¿�ÀT¶ ½¾ UL¿$¶n¿hºÊN�À�¹�ÀTOn¿�KM·X¶Vº»¹�ÀXÂ8NVILÄ Ã�ÀXºÊ¶nº µ K ��� � S���V�¤ � � � S���V ¹ ��� � S���V }��hULºÊ¹�U"O�ÀTÛ0¿�NeO»�z·

ä µ ºÊOV¿�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N�� T � ¹ � À µ ¸�   T � ¹ �   OV·ROnUL¿�ºÊ¶GÃ8ILNVUL·MIÕO�� � �   T � ¹ � � � �   }À µ ¸m��ULº»¹�U º µ ¸LIL¹�¿�N�À̹$·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnºÊÖ0¿�Ä"· µ ·Mº»¸ NPOV¶nIL¹$OVIÕ¶n¿�· µ §�� ��� � S �mV ½"¾ UL¿"Ë�·MÂÊ»·��hº µ K¶n¿�NPILÂÊOa��ÀXN�ILNV¿$¸�º µ OVUL¿�ÃL¶n·È·MË<·MË ��� À�� Ø } æ ¶n·Xà ½ Q ½»¼M½Ê¼~�q½

Page 89: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

������� � �%¾ �/# �?"�E�" �#"f&#(+*4A6@B5�@B/¬gÆ@ \ D�387%(`LM@BAaD�@85�*-57:1 §�� � � � S���V /2143 �>,.@B9�D�{s½,.@�@ \ { â ·X¶�¿�ÀX¹�U ·XÁ #{¿�¹$O � T � ¹ � º µ ��� � S���V OnUL¿"¿ µ ¸L·MË�I µ ¹�On·X¶ � � ����º»N)¶n¿$ÃL¶V¿�NV¿ µ On¿�¸Á Î#Ã8ILNVUL·MIÕO®��ºÊOVU���}LÀ µ ¸�ºÊN�À�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ#¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿JÁÈÎ#OnUL¿JÃL¶n·Xî·MNVºÊOVº»· µ ÀTÁC·6Ö0¿ ½e¾ U ILNOnUL¿�Ä�· µ ·Mº»¸�NVILÄ º µ §�� ��� � S �mV ��ºÊOnU�OnUL¿¹�»ÀXNVN�·MË �Ϻ»N�À µ º»NV·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ ½ ´{µ Ã�ÀT¶VOnº»¹$ILÂ�ÀT¶�}OnUL¿�¹�Â�ÀXNVN�·MË �#U8ÀXNhÀ µ º µ Ö0¿$¶nNP¿º µ §�� ��� � S���V ½ �

â ·X¶z¹�· µLµ ¿�¹�On¿�¸ � �hº�OnU�Ë�I µ ¸8ÀXÄ�¿ µ O�ÀX KX¶n·MIÕÃ�§�} OVUL¿RKX¶n·MIÕÃϺ µ åÈIL¿�NPOnºÊ· µ º»N�OnUL¿ � ULºÊOn¿�ÇUL¿�ÀX¸�KX¶n·MIÕà � U?¨ S § V � ÍP¨ S%© � § � Vzª+S¬« § V ½�¾ ULº»N�Ë�·MÂÊ»·��hNË�¶n·MÄ OnUL¿"UL·MÄ�·XOn·Xà ΠäLÁ®¿$¶�NV¿�Çå?IL¿ µ ¹�¿ S ¼M½ Q ½ W V À µ ¸ÌOnUL¿�º»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄp§#¨ � S���V �� ÍP¨ S:© � § � V ½¾ UL¿�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎϺ µ ÖTÀT¶nº�À µ ¹$¿�¶n¿�NPILÂÊOnN�¹�À µ ÁC¿�¿�Ý?On¿ µ ¸L¿�¸�Ë�IÕ¶VOVUL¿$¶ ½

� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� ��"FE�"���"Fx \ � T � ¹ �   /J1]3ÆkT*.3 ��(+@8A6@B7»@.D�E *.G~9�/JI>38=K*-5�LM*�@ \ 38,,IH/J7�,<38,-E �1_/JAwD�= /¬L-/�3>=½1�*-7:1.i 7:(+*-5 7%(* \ @B,_kr3>,<g \ 9�5�LH7C@B, ��� T)� � � S���V ¹ ��� � S��   VP/J1`3�(+@BA6@[email protected]�E*.GH9;/JI83>=K*-5�LM*�{¾ UL¿�ÃL¶n·È·MË��hºÊ»ÂLÁC¿RKMº�Ö0¿ µ ÀTO�OnUL¿h¿ µ ¸Ï·MË®OVUL¿RNV¿�¹$OVº»· µ }ÕÀXË�OV¿$¶�OnUL¿h»· µ K+}0OnUÕ¶n¿�¿�ÇlÃ�ÀT¶VOzÃL¶n·È·MË

·MË è ¿�Ä�Ä�À=Q ½ W ½ �Õ½ � ¿ µ ·�� OnIÕ¶ µ On·�OVUL¿�ÃC·MN{OVÃC· µ ¿�¸�ÃL¶n·?·MË�N ½ r�;��� ¾ �?"FE�"���"Fy)@B, *.3^L-( ! ³ ¼ 385�g S � + � ! 7:(+*-,.* *���/21-7%1�3 Gl5/%7C*65�@B5�� 1-/J5��89;=h38,1_/JAwD�= /¬L-/�3>=�1�*-7 � 385�g�3FLM@BA]A 9�7C387�/JI>*]g>/�3 �8,.38A

� ��·~~}}

}}}}

}} ��

��

BB

BBBB

B

� �� ����oo ��� //

ß �

/J5²k�(�/¬L_(�7%(*Æ7:kT@�A63MD�1 @B,-/ �8/J5�3>7:/J5 � \ ,.@BA � 38,.*�1-/JAaD�=K*Mi47%(*ÆA�3MD � �� ¹ � �� /21�7:(+*/�g^*H57:/%7:E�385�g 7%(+*0A�3MD � �� ¹ ß � /21e7:(+* 1_7C385�g^38,<g�/%5�L-= 9�1_/¬@B5�{s½,.@�@ \ { � ¿"¹�À µ ¸L¿�ä µ ¿ÏÀ�¹�· µ ¿ � ß � ��ºÊOnU Ö0¿�¶VOn¿�Ý � À µ ¸ Á�ÀXNV¿�ß � ÀXN�OnUL¿ µ ¿�¶VÖ0¿"·MË�OVUL¿¸Lº»N #{·Mº µ O=I µ ºÊ· µo� ! � � ´ �µ }¿��ºÊOnU�À�On·XO�ÀXÂe·X¶n¸L¿$¶nº µ K�¿vÝÕOn¿ µ ¸Lº µ K�OnU8ÀTO�·MË � ! � � ´ S � ¼ ������ � ! µ ½z¾ UL¿NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ2NP¿$OH� � � � �� ºÊN�OVUL¿ µ ¸L¿$ä µ ¿�¸ ÀXN�OnUL¿�NVIÕÁ®¹�· µ ¿0��ºÊOnU�Ö0¿$¶VOn¿�Ý �

À µ ¸ÌÁ�ÀXNV¿ � �� ½¾ · ¿�ÝÕÃ8»ÀXº µ UL·�� OVUL¿�·X¶n¸L¿�¶nº µ K ¶n¿�Â�ÀTOV¿�N � On· OVUL¿�¿�ÂÊ¿�Ä�¿ µ OnN�·MË � ! � }���¿�Ä#ÀTÛ0¿�À ¹�ÀXNP¿

¸Lº»N{Onº µ ¹$OVº»· µ ½)â ·X¶�S � + � !���¿�¸L¿�¹$Â�ÀT¶n¿�OnU8ÀTO + � � � + � ¼ }2»¿$O�� ¹ � �� OnÀTÛ0¿ � On· +<}À µ ¸ ÂÊ¿$O � ¹ ß � O�ÀTÛ0¿ � On· + � ¼M½�â ·X¶,+ � ! ��¿"NPOVºÊÃ8ILÂ�ÀTOV¿�OnU8ÀTO ! ¸ ¼ � � � !�}�»¿$O� ¹ � �� O�ÀTÛ0¿ � OV· !�}�À µ ¸ »¿$O1� ¹ ß � OnÀTÛ0¿ � On· ! ¸ ¼M½�¾ UL¿�î·Mº µ O�º µ Ö0¿$¶nNV¿�N�·MËeOVUL¿KM¿�·MÄ�¿�OV¶nº»¹�¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ Nh·MË<OnUL¿$NV¿�Ä#ÀTÃ8NRÀT¶V¿�¿�ºÊOVUL¿$¶JNVº µ KM»¿Ã®·Mº µ OnNh·X¶J¹$»·MNV¿�¸�º µ On¿�¶VÖXÀXÂÊN~}�NV·OnUL¿�Ä#ÀTÃ8N�·X¶nº»KMº µ ÀTOnº µ K�Ë�¶n·MÄ ��ÀT¶n¿�º µ ¸L¿�¿$¸�NVº»Ä=Ã8»¿ ½ �

r�;��� ¾ �?"FE�"���" zL � x \ � T � ¹ �   /21P3mA�3MD¡@ \ 1_/JAaD�= /¬L-/�38=T1�*-7%1 �>/JI>*-5 I~E Gl=2= /%5�� 3(+@B,-5 i�7%(*-5 � � � � /21a(+@BA @B7C@MD�/¬Lc7C@]7:(+* /�g^*-57�/J7�E�@B5 ��� � S �mVMil385�g]1_/JA /J=h38,_= E \ @B, � � � � * S �mV�{

g �Fx \ � T � ¹ �   /J1Æ3�A63MD @ \ 5�@B5��C1_/J5��89;=h38,61_/%AaD�= /¬L-/¬38=l1�*-7%1 �8/%I>*-5 IHE2Gu=2= /J5���385*-AI-*.g�g^*.gÆ(@B,_5 iw7%(*-5 � � � � /21�(@BA6@B7»@.D�/¬L�7C@ 7:(+*�/¬g^*-57�/J7�EP@B5 ��� � S �mVMi 385�g 1_/%A]/J=h38,-= E\ @B, ��� � * S���V]385�g � �� � * S �mV�{

z* �0x \ � T Í ¹ Í�  /2103�A�3MD'@ \ D�@B= EB(+*.g8,.3 �8/JI>*H50IHE 3>5m*-=K*-A6*-5�7 38,-E�* �-D385+1-/¬@B5 il7:(+*-5� � � � /21r(+@BA @B7C@MD�/¬L|7C@ 7:(+*½/�g^*-57�/J7�E0@B5 � � � � * S Í VMi�385�gc1-/JA]/J=h38,-= E \ @B, � � � S Í V®3>5�g ��� � * S Í V�{s½,.@�@ \ {0S ¹ V ¾ UL¿J¿ µ ¸L·MË�I µ ¹$On·X¶�� � � ��· µ � � � S���V º»N�KMºÊÖ0¿ µ ÁÈÎ=Ã8ILNVUL·MIÕO½�hº�OnU�OnUL¿Rº µ ¹�»ILNVºÊ· µ� �� ¹ ß � ½�è ¿$O�� ÁC¿OVUL¿¿ µ ¸L·MË�I µ ¹$OV·X¶�· µ OnUL¿�NnÀXÄ�¿�¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ�KMº�Ö0¿ µ Á Î�Ã8ILNVUL·MIÕOc��ºÊOVUOnUL¿�Ä�ÀTà � �� ¹ � ·MË è ¿$Ä�Ä#À�Q ½ W ½ Y ½ çzÎ�OnUL¿KM»ILº µ K#ÂÊ¿�Ä�Ä#À�Ë�·X¶JNVºÊÄ"Ã8»¿�Ä�ÀTÃ8N~}�OVUL¿�O»�z·

Page 90: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä�ÀTÃ8N � ¹ � �� À µ ¸ � ¹ ß � ·MˬOnU8ÀTOJ»¿$Ä�Ä#À=º µ ¸LIL¹�¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ�OV¶�À µ NVË�·X¶VÄ#ÀTOnº»· µ N� ¹ + � À µ ¸ � ¹ � � ���B}0¶n¿�NPî¿�¹$Onº�Ö0¿�ÂÊÎ ½e¾ UL¿�NV¿R¹$·MÄ�Á8º µ ¿�On·�KMºÊÖ0¿�OnUL¿�¶n¿$å?ILºÊ¶V¿�¸�UL·MÄ�·XOn·Xà Π½¾ UL¿NnÀXÄ�¿�ÀT¶nKMILÄ"¿ µ OhÀTÃLÃ8»ºÊ¿�NhË�·X¶�¿ µ ¸L·MË�I µ ¹$OV·X¶nNJ·MË+OnUL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂC¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ � � � � * S���V ½

S ¸ V Ó º µ ¹�¿ �&ºÊN µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶�}LOnUL¿NnÀXÄ"¿�ÃL¶n·È·MË<ÀTÃLÃ8Âʺ»¿�N�º µ OVUL¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶R¹�ÀXNV¿ ½S ¿ V ¾ UL¿�ÃL¶V·?·Mˬº µ OVUL¿ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶�ÀXÂ+¹�ÀXNV¿�ºÊNRNVºÊÄ�º»Â»ÀT¶�}8ILNVº µ K#OnUL¿Ã®·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�ÀXÂ%¶n¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ

·MË+OVUL¿¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ º µ OnUL¿�»¿�Ä"Ä#À�ÀTÁC·6Ö0¿ ½ �

r�;��� ¾ �?"FE�"���"Fy)@B,�*M3^L_( ! ³ ¼ 385�g S � + � ! 7:(+*-,.*�/J1�3�Gu5/J7»*�5�@B5�� 1-/J5��89;=h38,1_/JAwD�= /¬L-/�3>=�1�*-7 Å 385�gÆ3Æg8/�3 �8,<38A

ß � � � �//

� � //

ß � � � ��

ß �

��

��

�//ß �

���

99sssssssssss

k�(+*H,.* ß � � � ��

ß �¹ Å /21a@ IH7C38/J5?*.gCIHE Gu=2= /J5�� Gl5/%7C*-= E0A�385�E]*-AMI_*.g�g^*Mgc(@B,_5+1Mi Å ¹ ß �

/21e341-/JAaD�=K*cA�3MD�i�7:(+*c7:,-/�385��8=K*0LM@BA A]9�7»*_1 385�g]7:(+* \ @B=hg A�3MD�� ,.*_1-7:,-/¬L-7:1®7»@47:(+*c/�g^*-57�/J7�E@B5�*.3^L_([email protected]�EÆ@ \ ß � {s½,.@�@ \ { � ¿�O�ÀTÛ0¿6Å On·ÌÁ®¿ÏÀ�¹�· µ ¿���ºÊOnU Ö0¿�¶VOn¿�Ý � À µ ¸ Á�ÀXNV¿�ß � � � �

ß � }<·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸ ÁÈÎKM»ILº µ K�On·MKM¿�OnUL¿$¶�O»�z·Ì¹�·XÃ8ºÊ¿�N·MËeOnUL¿"¹�· µ ¿ � ß � ��ºÊOVU�Ö0¿$¶VOV¿�Ý � À µ ¸�Á�ÀXNV¿�ß � ÀXÂÊ· µ K�OVUL¿NVIÕÁ®¹�· µ ¿'� � � � �� Ë�¶n·MÄ è ¿$Ä�Ä#À"Q ½ W ½ Y }�hº�OnUÌÖ0¿$¶POn¿�Ý � À µ ¸�Á�ÀXNV¿ � �� ½ ´ OJºÊNR¿�ÀXNPÎ�On·#NV¿$¿OnU8ÀTORß � � � �

ß �¹ Å ¹�À µ ÁC¿�·XÁLO�ÀXº µ ¿$¸ÌÁÈÎÏä8ÂÊ»º µ K=¿�Ä�ÁC¿�¸L¸L¿$¸�UL·X¶ µ N ½

´^µ ¿�ÀX¹�U�·MË�OnUL¿"OC��·Ì¹�· µ ¿�N � ß � OV·ÌÁC¿�KMÂÊIL¿�¸ On·MKM¿$OVUL¿$¶�}+OVUL¿�·X¶n¸L¿$¶nº µ K�·MË�OnUL¿"Ö0¿�¶VOn¿�Ý� �hº�OnU̶n¿$NPÃC¿�¹�OROn·"OnUL¿�Ö0¿$¶VOnºÊ¹�¿�N � ! � ·MË¬ß � ºÊNhKMºÊÖ0¿ µ ÁÈÎ�OnUL¿NVÀXÄ�¿¹�ÀXNP¿�¸Lº»NPOVº µ ¹$OnºÊ· µ ÀXNRº µOnUL¿�¹$ºÊOn¿�¸ »¿�Ä�Ä�À ½#¾ UL¿"Ä#ÀTÃ�Å ¹ ß � º»N�OVUL¿ µ KMºÊÖ0¿ µ Á Î�KM»ILº µ K�On·MKM¿$OnUL¿$¶O»�z·�¹�·XÃ8º»¿$N·MË:À�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä�ÀTà � ß �

¹ ß � ÀXÂÊ· µ K�OnUL¿�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä�ÀTÃ"� � � � �� ¹ ß � Ë�¶n·MÄ OnUL¿�NnÀXÄ�¿Â»¿$Ä�Ä#À }ÕUL¿ µ ¹$¿º»NhÀX»NV·=À=NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTà ½ �

s½,.@�@ \ @ \ s½,[email protected]�@�1_/J7�/¬@B5 ��{ �;{ �;{0S ¹ V ç�κ µ ¸LIL¹$OVº»· µ }MºÊO:NPI @�¹�¿�N¬On·J¹$· µ NVº»¸L¿$¶:OnUL¿�¹�ÀXNV¿�·MË8ä8ÂÊ»º µ KÀ�NVº µ KMÂÊ¿JUL·X¶ µ � T � ¹ �   � ß � � � �

� ½ ç�Î è ¿�Ä"Ä#À�Q ½ W ½ÙÞ };��¿JU8À�Ö0¿)»¿�Ë�O�On·�NVUL·�� OnU8ÀTO� � � � ºÊN�UL·MÄ�·XOV·XÃ8º»¹JOn·=OVUL¿�ºÊ¸L¿ µ OVºÊO¡Î�· µ � � � S��   V ½eè ¿$O

�    �� ß � � � ��

�  �� S ß � � � ��

ß � V�� � ��

�À µ ¸ »¿$O �)¨�¥ � � T �   ¹ �    ¬¸L¿ µ ·XOV¿�OnUL¿�OC��·Ïä µ ºÊOn¿�¹�·XäLÁL¶nÀTOnº»· µ NJOnU8ÀTO�ÀT¶n¿�º µ ¸LIL¹$¿�¸ Ë�¶n·MÄOnUL¿hOC��·�N{O�À µ ¸8ÀT¶n¸Ïº µ ¹�ÂÊILNVº»· µ N + !�¨�¥ + ! � T ß �

¹ ß � � � ��

ß � Á Î"Ã8ILNVUL·MIÕO�ÀXÂÊ· µ K � �� ¹ � ½¾ UL¿ µ � � � � � � �� ��¨�� ½eè ¿�O

�      �� Å ��������� �

��� � �    

��ºÊOnU Å ÀXN�º µ è ¿�Ä�Ä#À Q ½ W ½ � }�À µ ¸ »¿�O � � T �     ¹ �       ¸L¿ µ ·XOn¿ OVUL¿ º µ ¹�ÂÊILNVº»· µ ½ çzÎOnUL¿ NVÀXÄ�¿�ÂÊ¿�Ä�Ä#À } � � ¹�À µ ÁC¿ ·XÁLOnÀXº µ ¿�¸ Á Î ä8ÂÊ»º µ K ä µ ºÊOn¿$ÂÊÎ Ä#À µ Î ¿�Ä�Á®¿�¸L¸L¿�¸ UL·X¶ µ N~}NV· ÁÈÎ è ¿�Ä�Ä#À�Q ½ W ½ÙÞ OVUL¿�¹�·MÄ=ÃC·MNVº�On¿�� �� � � � S º ½ ¿ ½ }eÃ8ILNVUL·MIÕO��hº�OnU � � V º»N�UL·MÄ�·XOn·XÃ8ºÊ¹ÏOV·OnUL¿�º»¸L¿ µ Onº�O¡Î · µ ��� � S��     V ½�á · µ NV¿�åÈIL¿ µ OnÂÊÎ�} � �� ��¨�� º»N�UL·MÄ�·XOV·XÃ8º»¹ On· � �� � �� � � � �)¨�� �S � � � � V

� S � � ��¨ V � ½¾ UL¿RÂ�ÀTOVOV¿$¶�¹$·MÄ"ÃC·MNVº�On¿hÄ�À6Î�ÁC¿�º»¸L¿ µ Onº�ä8¿�¸ �hº�OnU"OnUL¿R¿ µ ¸L·MË�I µ ¹$On·X¶ �-·MË � � � S��   V KMºÊÖ0¿ µ

Á Î Ã8ILNVUL·MIÕO]��ºÊOnU � � �)¨ T �   ¹ �      �Ë�·M»ÂÊ·���¿$¸�Á Î N �hº�On¹�ULº µ K�OnUL¿#¿�Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K�·MË �  eOV·� � � �B}8·X¶ �hU8ÀTO�º»N�OnUL¿�NnÀXÄ�¿>}ÕÃ8ILNVUL·MIÕOa�hº�OnU

ß � � � �¸_¸<¹ ß � � � ��

ß �¸ ¹ Å

Page 91: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

À µ ¸�Nz�hº�On¹�ULº µ K�OnUL¿)¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K=·MËGß � On·�+ ! � ½e¾ UL¿�¶n¿�Ë�·X¶n¿)OnUL¿�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿JÄ#ÀTà Š¹ ß � º µ ǸLIL¹�¿�NzÀ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ8OV¶�À µ NPË�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ Ë�¶n·MÄ �AOn·�OnUL¿hºÊ¸L¿ µ OVºÊO¡Î�}ÈKMº�ÖÕº µ K�OnUL¿�¸L¿�NVº�¶n¿�¸#UL·MÄ�·XOn·Xà ÎS � � � � V

� S � � ��¨ V � X + � ½¾ UL¿�NnÀXÄ"¿ÀT¶nKMILÄ"¿ µ OhÀTÃLÃ8»ºÊ¿�N�Ë�·X¶hOnUL¿�¹�· µ NPOV¶VIL¹$Onº»· µ � � � � * S ¸ V ½S ¸ V Ó º µ ¹�¿0Å º»N µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶~}8OVUL¿NnÀXÄ�¿JÃL¶n·È·MˬÀTÃLÃ8»ºÊ¿�Nhº µ OnUL¿ µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶h¹�ÀXNV¿ ½S ¿ V ¾ UL¿�ÃL¶V·?·Mˬº µ OVUL¿ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶�ÀXÂ+¹�ÀXNV¿�ºÊNRNVºÊÄ�º»Â»ÀT¶�}8ILNVº µ K#OnUL¿Ã®·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�ÀXÂ%¶n¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ

·MË+OVUL¿¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ º µ OnUL¿�»¿�Ä"Ä#À�ÀTÁC·6Ö0¿ ½ �

¾ ·�Ã�ÀXNVNÌË�¶n·MÄ Ä#ÀTÃ8N�·XÁLO�ÀXº µ ¿$¸ ÁÈÎBä8»Âʺ µ K ä µ º�On¿�Â�Î Ä�À µ Î UL·X¶ µ N~}JOn·AKM¿ µ ¿$¶�ÀXÂ)ä µ ºÊOV¿¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ N#OnU8ÀTO�ÀT¶n¿ ��¿�ÀTÛ UL·MÄ�·XOn·Xà Î-¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿�N~}®�z¿ ILNP¿�OVUL¿�Ë�·M»»·���º µ K�»¿�Ä"Ä#À ½¾ UL¿�OnUÕ¶n¿$¿h¹�ÀXNV¿$Nz·MËCºÊOVNeÃL¶n·È·MË®¶n¿�Â�Î�· µ ¶�ÀTOnUL¿$¶�¸Lºh�®¿$¶n¿ µ OzÁ�ÀX¹nÛÕKX¶n·MI µ ¸"Ä#ÀTOn¿$¶nº»ÀXÂ�}MNV· ��¿�äL¶nN{O¸L¿�¸LIL¹�¿ æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ Q ½ W ½ QÏË�¶n·MÄ ºÊO�}+À µ ¸ OnUL¿ µ ¶n¿�¹�ÀXÂÊÂ:OVUL¿�ÖTÀT¶nº»·MILN�¹�· µ ¹�¿�ÃLOnN µ ¿�¿�¸L¿$¸ Ë�·X¶OnUL¿�ÃL¶n·?·MË ½ r�;��� ¾ �?"FE�"���" zL � t)*H7 � T � ¹ � I_*P3Gl5/J7»*PLM@ GJI~,<387�/¬@B5o385�g�3mkT*.3 �`(+@BA6@[email protected]�E*.GH9;/JI83>=K*-5�LM*4@ \ 1_/%AaD�= /¬L-/¬38=�1�*-7:1~{]&#(+*-5P7:(+*-,M*�*���/21-7%1 385�@87%(+*H, Gl5/J7»*�LM@ G IH,<387�/¬@B5 k�(^/¬L_( /215�*ML_*_1M1~38,-/J= EÆ36kT*M3 ��(@BA6@B7»@.D�EF*.G~9�/JI>38=K*-5�LM*�� � T � ¹ � ir1_9�L_(F7%( 3>7 � � T � ¹ � L.3>5 I_*@ IH7C38/J5?*.g IHE;Gl=2= /J5��.Gl5/%7C*-= E6A�3>5E�(+@B,_51~{

g � t)*-7 � T � ¹ � I_*½3 Gl5/J7»* L_@ GJIH,.387:/ @B56385�ge3 kT*.3 �®(+@BA6@B7»@.D�E0*MGH9�/%I838=K*-5�L_* @ \ 5�@B5��1_/J5 �89�=h3>,®1-/JAaD�= /¬LH/�38=1�*-7%1�{]&#(+*-5F7%(*-,.*0*���/21-7%1e385�@B7:(+*-, Gl5�/J7C*0LM@ G IH,<387�/¬@B5`@ \ 5�@B5�� 1-/J5��89;=h38,1_/JAwD�= /¬L-/�3>=�1�*-7:1 � T � ¹ � il1_9�L_( 7:( 387 � � T � ¹ � /J103�1_/JAwD�= /¬L-/�3>=�*��-D3851_/¬@B5�{

z* ��t)*H7 � T Í ¹ � I_*m3�sut *HAI_*.g�g>/J5��f385�g�(+@BA6@[email protected]�E *.GH9;/JI838=K*H5�LM*m@ \ LM@BAaD3�L-7D�@B= EB(+*.g>,<3�{4&#(+*-5�7%(*-,.*½* ��/21_7:1T385�@87%(+*H,�srtm*HAI_*.g�g>/J5�� � T �'¹ U£i�1_9�L_( 7:( 387 � � T Í ¹U /214385�*��-D3851_/¬@B5�{s½,.@�@ \ @ \ s½,[email protected]�@�1_/J7�/¬@B5 ��{ �;{ ��{ � ¿#Á®¿�KMº µ �hº�OnU OnUL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂ�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�¹�ÀXNV¿ ½ HRÃLÃ8Â�ÎÕº µ Kè ¿�Ä�Ä#À Q ½ W ½ � S ¹ V OC�hºÊ¹�¿>}�äL¶nNPO#OV· � T � ¹ �  �Îպʿ�»¸Lº µ K ��  T �   ¹ �    :}�À µ ¸ OnUL¿ µ OV·��  T �   ¹ �    %Îպʿ�»¸Lº µ K ��    T �     ¹ �      �} ��¿�·XÁLO�ÀXº µ À=¹�·MÄ"Ä�IÕOnÀTOnºÊÖ0¿J¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ

�   //

� �

!!CCC

CCCC

C

�      

� >>}}}}}}}}// �    

� � �<<yyyyyyyy

��UL¿$¶n¿�OnUL¿�OC��· UL·X¶nºÊÅ�· µ O�ÀXÂRÀT¶V¶V·���N#ÀT¶n¿�º µ ¹�»ILNVºÊ· µ N#·XÁLO�ÀXº µ ¿$¸-ÁÈÎ-ä8ÂÊ»º µ K ä µ ºÊOn¿�Â�Î-Ä#À µ ÎUL·X¶ µ N ½ HRÃLÃ8ÂÊÎÕº µ K æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ Q ½ W ½ W�On·�OnUL¿�NV¿ Ä�ÀTÃ8N~}w��¿ ¸L¿$¸LIL¹�¿ OnU8ÀTO�OnUL¿ Ë�·X¶<��ÀT¶n¸Ë�I µ ¹$On·X¶VN S ��  � V � �����  � ����À µ ¸ S ��    ��  V � �� ��   � ��  � ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N ½ ã ¿ µ ¹$¿��  � U8ÀXN�À ¶nº»KMU0O#À µ ¸ À ÂÊ¿�Ë�O#UL·MÄ�·XOn·Xà ÎAº µ Ö0¿$¶nNV¿>}�À µ ¸ Ä�ILNPO�OVUL¿$¶n¿�Ë�·X¶n¿�Á®¿�À UL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½;� NVº µ KÏÀXK0ÀXº µ OVU8ÀTO S ��  � V ��º»NJÀ=UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÌ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿>}���¿�¹$· µ ¹�»IL¸L¿�OnU8ÀTO� �)º»N�· µ ¿>}LOn·?· ½�¾ UL¿�¸LI8ÀXÂ+ÀT¶nKMILÄ�¿ µ OhÀTÃLÃ8»º»¿$N�Ë�·X¶�OnUL¿�Á�ÀX¹nÛ���ÀT¶n¸�Ë�I µ ¹$OV·X¶nN ½¾ UL¿ ÃL¶n·?·MË�N�º µ OVUL¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶ À µ ¸ î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�ÀX¹�ÀXNV¿�N ÀT¶n¿ Ö0¿$¶VÎ NVº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶�})ILNVº µ K

è ¿�Ä�Ä#À�Q ½ W ½ � S ¸ V À µ ¸ S ¿ V }8¶V¿�NPÃC¿$¹$OnºÊÖ0¿$ÂÊÎ ½ �

â ·X¶�OnUL¿#ÃL¶n·?·MË�·MË�OnUL¿ÏKM¿ µ ¿$¶�ÀXÂ�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂe¹�ÀXNV¿ S ¹ V ·MË è ¿�Ä�Ä#À�Q ½ W ½ � }¿��¿ ��º»Â»Â�ILNV¿�ÀÃ�ÀT¶VOnºÊ¹�ILÂ�ÀT¶�äLÁL¶�À µ Oh¶n¿�Ã8Â�ÀX¹�¿�Ä"¿ µ OhË�I µ ¹$On·X¶hË�·X¶hNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ2NP¿$OnN ½H�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂJNV¿$O�ºÊN � � ¾ ��À S ·X¶ÌÀ�� ¾ � ����� ¼ � � })·X¶�NnÀTOnºÊNPä8¿�NÌOVUL¿ � ?À�� � � ÁJ���

¼ ��� ¼ �;��À # � ��À ØMÞ } S ¼M½»¼ V � V }<ºÊË�¿�Ö0¿$¶VÎ�UL·X¶ µ ¹�À µ ÁC¿#ä8»ÂÊ¿�¸ ��ºÊOVULº µ � }eº ½ ¿ ½ }:º»Ë�¿$Ö0¿$¶VÎ Ä�ÀTÃÆ T � �� ¹ � ¹�À µ ÁC¿=¿�ÝÕOV¿ µ ¸L¿�¸ ·6Ö0¿$¶�OnUL¿=º µ ¹�»ILNPº»· µ � �� ¹ ß � ½=Ò µ ¿ ��À�Î�On·Ì¿ µ »ÀT¶nKM¿=ÀKMºÊÖ0¿ µ NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ8NV¿$OzOn·�À�äLÁL¶�À µ O�· µ ¿JºÊN�Á Î�¶n¿$î¿�ÀTOn¿�¸LÂ�Î"ä8ÂÊ»º µ K�ÀX»Â�UL·X¶ µ N � ×�� Y Þ } ´ � ½ Q ½ W �l½¾ UL¿Ë�·M»ÂÊ·���º µ K µ ·XO�ÀTOnºÊ· µ º»N�Ä�¿�À µ O�OV·"¹�·X¶V¶V¿�NPÃC· µ ¸�OV·=OnU8ÀTO�Ë�·X¶ ��À µ ��NR¿vÝÕOn¿ µ NPº»· µ Ë�I µ ¹$OV·X¶� �)}8�hULºÊ¹�U ��ÀXN¬¸L¿�ä µ ¿�¸=º µ � ��À ØMÞ } ° Ð>� }MÀ µ ¸�º�OnN¬º µ ä µ º�On¿�ºÊOn¿�¶�ÀTOnº»· µ � � : ½¬¾ UL¿�»¿$Ë�OeÀX¸�#{·Mº µ O

Page 92: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �·MË%OnUL¿J¿�ÝÕOV¿ µ NVº»· µ Ë�I µ ¹$On·X¶ � ��º»N�OnUL¿ µ ·X¶nÄ#ÀX NVIÕÁC¸Lº�ÖÕº»NPº»· µ Ë�I µ ¹$On·X¶H( � NPOnIL¸LºÊ¿�¸�º µ æ ÀT¶PO�WÀTÁC·6Ö0¿ ½� ��� �¿Á2À�Á%��� �?"FE�"%$;!�" â ·X¶J¿�ÀX¹�U�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ+NP¿$O � }®Ë�·X¶nÄ � � S���V Á Î � � � Á�� � ¾�� � ����� � �>}º ½ ¿ ½ }ÕÁ Î�Ë�·X¶nÄ�º µ K�OnUL¿)Ã8ILNVUL·MIÕO

� �� � � �� �� // //

��

� �� � � �

ß �

���//

- �//� � S���V

��UL¿$¶n¿ ! ³ ¼ }+S � + � ! À µ ¸AÆ�¶�À µ KM¿�N�·jÖ0¿$¶�ÀX»¬NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂGÄ#ÀTÃ8N�Æ T � �� ¹ � ½�¾ ULºÊN¹�· µ NPOP¶nIL¹$OnºÊ· µ º»N�Ë�I µ ¹$On·X¶nº»ÀXÂ�º µ � }MÁC¿�¹�ÀXILNP¿RË�·X¶�À µ Î"Ä�ÀTà � T � ¹ � À µ ¸�UL·X¶ µ Æ"º µ � OV·ÁC¿�ä8»ÂÊ¿�¸�º µ ��� S �mV }ÕOnUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿ ��Æ�º»NhÀ=UL·X¶ µ º µ � On·=ÁC¿�ä8ÂÊ»¿�¸Ìº µ ��� S � V ½ çzÎ�OVUL¿KM»ILº µ K=ÂÊ¿�Ä�Ä#À�Ë�·X¶ ��¿�ÀTÛÏUL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N~}LOnUL¿�¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ � � T � ¹ � � S���V º»NÀ �z¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>}8NVº µ ¹�¿�¿�ÀX¹�U�º µ ¹�»ILNVºÊ· µ � �� ¹ ß � ºÊN�· µ ¿ ½è ¿$O ��� � S �mV � � } � � � > ¨ S���V � ��� S ��� � S���V<V Ë�·X¶ ) ³ SÌÀ µ ¸ ¸L¿�ä µ ¿ � � : S���V �

¹�·MÂʺ»Ä�� ��� � S���V ÀXN�OnUL¿�¹�·M»ºÊÄ�ºÊO�·MËGOVUL¿�¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ

� - �¸ ¸:¹ ��� S �mV-� �� ��

¸�¸+¸�¸>¹ �,�,� ¸ ¹ � � � S���V-� �� � ��

¸�¸¸+¸+¸-¹ ��� � > ¨ S���V ¸ ¹ �,�,���

¾ UL¿$¶n¿ºÊN�OVUL¿ µ À µ ÀTOVIÕ¶�ÀXÂ%¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ À µ ¸ ��¿�ÀTÛ�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎÏ¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿

� :� T � ¹ � � : S���V

À µ ¸ � � : S���V ºÊNRäLÁL¶�À µ O ½Râ ·X¶)À µ ÎÌUL·X¶ µ Æ T � �� ¹ � � : S���V Ë ÀX¹$OV·X¶nNROnUÕ¶n·MILKMU � � � S���VË�·X¶�NP·MÄ�¿�ä µ ºÊOn¿);}�NV· Æ�¹�À µ Á®¿�ä8ÂÊ»¿�¸ º µ ��� � > ¨ S �mV }+À µ ¸�OnUL¿$¶n¿�Ë�·X¶V¿#ÀX»NV·�º µ � � : S���V ½´^µ ·XOnUL¿$¶ ��·X¶n¸LNH}���� : º»N�À�äLÁL¶�À µ Oh¶V¿$Ã8Â�ÀX¹�¿$Ä�¿ µ ORË�I µ ¹$On·X¶ ½s½,.@�@ \ @ \ t�*-A]A�3���{ �;{� zL ��{ � � : S���V º»N�À#äLÁL¶�À µ O�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ<NV¿$O�}%NV·ÏOnUL¿�Ä#ÀTà � :� ¿�Ý?ÇOn¿ µ ¸LN�·6Ö0¿$¶JOnUL¿�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ À µ ¸`��¿�ÀTÛ�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎÌ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿� T � ¹ � }2NP¿�¿ � × ± ��� }¾ ULÄ ½ ´ ½»¼M¼M½ Q �q½:Ó º µ ¹�¿ �"ºÊN�Àä µ ºÊOn¿)¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ }?OnUL¿R¶V¿�NVILÂÊOVº µ K�º»Ä#ÀXKM¿�·MË � º µ � � : S���V º»N¹�· µ O�ÀXº µ ¿$¸Ìº µ À�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX®NVIÕÁ8NP¿$O � ·MË � � : S���V OnU8ÀTO�º»N�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿�¸�ÁÈÎ � À µ ¸�ä µ ºÊOV¿�ÂÊÎÄ#À µ Î�·XOnUL¿�¶:NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿$N~}MÀ µ ¸��hULºÊ¹�U�OnUL¿�¶n¿�Ë�·X¶n¿�¹�À µ ÁC¿�·XÁLOnÀXº µ ¿�¸�Ë�¶n·MÄ � Á Î�ä8»Âʺ µ KRä µ ºÊOV¿�ÂÊÎÄ#À µ ÎÏUL·X¶ µ N ½

��

�� $$IIIIIIIII

� >>~~~~~~~~// //

##

-���

::

�// //

��� : S���V

¾ ·�OnIÕ¶ µ � T � ¹ � º µ On·"À=¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ }��¿�ILNP¿�OnUL¿ �B� �%¾ À�Á .��P� ¾¼¿¼ Á � � � # � Á ��Ã��;�

� � � � S � V � � � � � ��� S � ¤ ß ¨ V#��� � ¥

·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸ÌË�¶n·MÄ � S � V � � ¤ ß ¨ � � � Á ÎϹ�·MÄ"ÃL¶n¿$NVNVº µ K � ¤ ß ¨ ÀX»· µ K�OnUL¿)ÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µÄ#ÀTÃ�OV· � ½:¾ UL¿RË�¶V· µ O�º µ ¹�»ILNPº»· µ � T �[¹ � º»NzÀä µ º�On¿h¹$·XäLÁL¶�ÀTOnº»· µ ½e¾ UL¿hÁ�ÀX¹nÛ�º µ ¹�»ILNVºÊ· µ� ¹ � ¹�À µ ÁC¿�·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸ÌÁ Î�ä8ÂÊ»º µ K=ä µ ºÊOV¿�ÂÊÎ�Ä#À µ Î�UL·X¶ µ N~} UL¿ µ ¹�¿�NV·�¹�À µ ºÊOnN�¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿��ºÊOnU � ¹ � ½�¾ ULº»N�¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿)¿�åÈI8ÀX»N � � ½ �

Page 93: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

¾ UL¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶hNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX ¹�ÀXNV¿ S ¸ V ·MË è ¿�Ä�Ä#À�Q ½ W ½ � º»N µ ·XO�¶n¿�ÀX»Â�Î µ ¿�¿�¸L¿$¸�Ë�·X¶�OVUL¿NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿hÃ�ÀT¶�ÀXÄ�¿�OV¶nº»Å$¿�¸�Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ OnUL¿�·X¶n¿�ÄF}?ÀXNr�z¿R¿�ÝÕÃ8»ÀXº µ º µ Ñ ¿�Ä#ÀT¶PÛ"Q ½ÙØ?½ Ø }ÈÀXË�On¿$¶zOVUL¿ÃL¶n·È·MË ·MË ¾ UL¿$·X¶n¿�Ä ¼M½ W ½ Y ½<ã ·��z¿$Ö0¿$¶�}0ºÊO:ÂÊ¿$OnN:ILN:On·)Ä#ÀTÛ0¿�NV·MÄ�¿�Ä�·X¶V¿�I µ º»Ë�·X¶nÄ NPO�ÀTOV¿�Ä�¿ µ OnN ½� ¿�OnUL¿$¶n¿�Ë�·X¶V¿º µ ¹$»IL¸L¿�OVUL¿Ë�·M»ÂÊ·���º µ K�¸Lº»NP¹�ILNVNVºÊ· µ }®Ë�·X¶�¹�·MÄ"Ã8»¿�On¿ µ ¿�NVN ½¾ UL¿ÃL¶n·?·Mˬ·MË<OVULº»NR¹�ÀXNP¿�ILNV¿�NR¶n¿�NPILÂÊOnNR· µ N{On¿�»»ÀT¶JNVIÕÁ®¸LºÊÖÕºÊNVº»· µ NRÀ µ ¸�OnUL¿�ºÊ¶hOV¶�ÀX¹�¿�N ½JÒ IÕ¶

I µ ¸L¿$¶nN{O�À µ ¸Lº µ K ·MËzOnUL¿�NV¿#Ä�ÀTOVOn¿$¶nNe��ÀXN�KX¶n¿�ÀTOnÂÊÎ�UL¿�ÂÊî¿�¸ ÁÈÎ ÀÌ»¿�OVOn¿$¶�Ë�¶V·MÄ Ó º»¿�ÁC¿ µ Ä#À µLµ }��ULº»¹�UÏ¿�ÝÕÃ8»ÀXº µ ¿�¸�OnUL¿J¹$Â�ÀXº»Ä"N�· µ Ã�ÀXKM¿�N Ð �MS�À µ ¸ Ð � Ð ·MË2ULºÊNzÃ�ÀTÃC¿$¶ � Ó º Þ S �l½:¾ UL¿JË�·MÂÊ»·��hº µ K¸L¿$ä µ º�Onº»· µ }0»¿$Ä�Ä#ÀXN¬À µ ¸�ÃL¶n·?·MË ÀT¶n¿�ÀX¸8ÀTÃLOn¿$¸"Ë�¶n·MÄ�OnUL¿�ÀT¶nKMILÄ"¿ µ O:KMº�Ö0¿ µ º µ Ó º»¿$Á®¿ µ Ä#À µLµ �xN»¿�OVOn¿$¶ ½

� ��� �¿Á2À�Á%��� �?"�E�"%$�$�" è ¿�O � ÁC¿ À ä µ ºÊOn¿�·X¶n¸L¿$¶n¿$¸ NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂJ¹�·MÄ"Ã8»¿vÝ?}RÖպʿH��¿�¸ ÀXN�ÀNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂLNV¿�O�}ÕÀ µ ¸�ÂÊ¿$O ¯L& � & Á®¿RÀ µ Î=î·Mº µ O ½e¾ UL¿ � À ¾ � ( HS #¥ � V|� � ºÊNeOnUL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂNVIÕÁ8NV¿�O�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿�¸ Á Î-OnUL¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N��ANVIL¹�U OVU8ÀTO º»N�º µ OVUL¿�º»Ä#ÀXKM¿Ì·MË & �� & T & ß � & ¹& � & }�À µ ¸ OnUL¿ � Á�� � � � S #¥ � V � ( HS #¥ � V º»N�OnUL¿ÌNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�NPIÕÁ8NV¿$OϹ�· µ NVºÊNPOnº µ K�·MËROVUL¿NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N ��º µ ( HS #¥ � V NVIL¹�UÏOnU8ÀTO$ ̺ÊN µ ·XO�º µ OnUL¿)º»Ä#ÀXKM¿h·MË & �� & ½�¾ UL¿ µ & ( ~S #¥ � V$& ºÊN æ�èUL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»¹JOn·�OnUL¿�¹$· µ ¿· µ � � S #¥ � V �hº�OnU�Ö0¿�¶VOn¿�Ý� ½� ¿�¹�À µ ��¶nºÊOV¿ � � ( HS #¥ � V¿� � � � " � � � �

��ºÊOnU � � � ½=â ·X¶nÄ ¹�· µ ¿ S ( HS #¥ � V<V ÀXNÀ¹�· µ ¿J· µ ( ~S #¥ � V ��ºÊOnU#»ÀXNPOzÖ0¿$¶VOV¿�Ý � }LÀ µ ¸Ï¸L¿$ä µ ¿JOnUL¿R¶n¿�NPILÂÊO�·MË�� À ¾ �B�BÁ�� � � ÀTO� ÌÀXN�OVUL¿Ã8ILNVUL·MIÕO

( " S � V � ¹�· µ ¿ S � � S #¥ � V<V�� � � � " � � � � �¾ UL¿$¶n¿ºÊNhÀ æ�è UL·MÄ�¿$·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ & ¹�· µ ¿ S � � S #¥ � V<V$& �� & ( HS #¥ � V$& }+��ULº»¹�U�OnÀTÛ0¿�N�OnUL¿ µ ¿H�¹�· µ ¿�î·Mº µ O � OV· #}�À µ ¸-OnUL¿�º µ ¸LIL¹�¿$¸ æ�è UL·MÄ"¿�·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ & ( " S � V$& �� & � & ¿�ÝLULº�Á8ºÊOnN( " S � V ÀXN�À=NPIÕÁC¸LºÊÖ?º»NVºÊ· µ ·MË � ½eè ¿$O

� " S � V � ¹�· µ ¿ S ( HS #¥ � V<V?� V � � " � � � �ÁC¿�OnUL¿ À�� ¾ ��� ·MË�OVULº»N S ¿�»¿�Ä"¿ µ OnÀT¶VÎ NPOn¿�ÂÊÂ�ÀT¶ V NVIÕÁC¸Lº�ÖÕº»NPº»· µ ½�Ú ·X¶n¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀX»Â�Î�}+Ë�·X¶�À�ä µ ºÊOV¿NV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿�·MË�ÃC·Mº µ OnN #¨�¥ �,�,� ¥ �)º µ & � & }LOnUL¿�¶V¿�NVILÂÊO

( " ������

" � S � V � ( " � S �,�,� ( " � S � V��,�,�<V

·MËCNPOnÀT¶V¶nº µ K � ÀTO #¨�¥ �,�,� ¥ �>} º µ ·X¶V¸L¿$¶�}?ºÊN�¹�ÀXÂÊ»¿�¸�ÀC� À�� � �%¾ � NPIÕÁC¸LºÊÖ?º»NVºÊ· µ ·MË � ½:¾ UL¿ À�� ¾ ���·MË+OVULº»NhN{On¿�»»ÀT¶�NVIÕÁC¸Lº�ÖÕº»NPº»· µ ºÊN�OnUL¿�Ã8ILNVUL·MIÕO � " �

�����

" � S � V ·MËGOVUL¿�¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ

� � � " � S � V � ( " � S � V½� ����� � ( " ������

" ��

� S � V|� � " � S ( " ������

" ��

� S � V<V � ( " ������

" � S � V ¥

º ½ ¿ ½ }:OnUL¿ÏI µ º»· µ ·MË�OVUL¿�OV¶nÀX¹�¿�N�·MË�OnUL¿�º µ ¸Lº�ÖպʸLI8ÀXÂ�NPO�ÀT¶V¶nº µ K�·Xî¿$¶�ÀTOnºÊ· µ N~}eKM»IL¿�¸�On·MKM¿$OnUL¿$¶ÀX»· µ K�OnUL¿�º µ On¿$¶nÄ�¿$¸Lº�ÀTOn¿�NPOn¿�ÂÊÂ�ÀT¶�NVIÕÁC¸Lº�ÖÕºÊNVº»· µ N ½ r�;��� ¾ �?"�E�"%$�E�"Ft�*-7 ¯ & � &h{ &#(*�/%5�L-= 9�1_/¬@B5+1 � � � " S � V6385�g ( " S � Va� � " S � V�38,.*I_@B7:(�1_/%AaD�= /¬L-/¬38=�*��-D3>5+1_/¬@B51~{

t)*H7 � � � 385�g ¯?& � &h{�&#(+*4,.*-=h3>7:/JI�*0/J5�LH= 9^1_/ @B5 � " S���V?� V � � � �( " S � V|� � " S � V4/2138= 1�@Æ3�1_/JAwD�= /¬L-/�3>=�*��-D3851_/¬@B5�{

s½,.@�@ \ { ´ O)NVI @"¹�¿�N)On·#ÃL¶n·6Ö0¿�OVU8ÀTOJOnUL¿�NPO�À µ ¸8ÀT¶n¸ º µ ¹�ÂÊILNVº»· µ N ( ~S #¥ � Vw� ¹$· µ ¿ S ( HS #¥ � V<V }¹�· µ ¿ S � � S #¥ � VzV½� ¹�· µ ¿ S ( HS #¥ � V<V À µ ¸

¹$· µ ¿ S ( HS #¥ ��V<V������� � � � � " � � � �

¹�· µ ¿ S � � S #¥ � V<VT� ¹�· µ ¿ S ( ~S #¥ � V<V

ÀT¶n¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ2¿�Ý?Ã�À µ NVº»· µ N ½

Page 94: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� �=�

¾ UL¿NV¿�¹$· µ ¸�À µ ¸�OVULºÊ¶n¸�¹�ÀXNV¿�NJÀT¶n¿�NPÃC¿$¹�º�ÀXÂ+¹�ÀXNV¿�NR·MË+OnUL¿�¿�ÀXNPÎ�¶n¿�NPILÂÊOhOVU8ÀTOR¹�· µ ¿ S��   V �¹�· µ ¿ S �   V º»N<À�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂX¿�Ý?Ã�À µ NVº»· µ �hUL¿ µ ¿�Ö0¿$¶ �   � �   }bNV¿�¿�OVUL¿�ÃL¶n·È·MË?·MË è ¿�Ä�Ä#À�W ½ W ½»¼jØ?½¾ ·�ÃL¶n·6Ö0¿�OnUL¿eäL¶nNPO+¹�ÀXNV¿>}8�z¿�On¿�Ä=ÃC·X¶�ÀT¶nºÊÂÊÎw�z·X¶VÛ �hº�OnUI µ ·X¶n¸L¿�¶n¿�¸�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂX¹$·MÄ"Ã8»¿�ÝÕ¿�N ½

¾ UL¿"·X¶n¸L¿$¶Vº µ KMN¹�À µ ÁC¿�Ã8IÕO�Á�ÀX¹nÛ�º µ ÀTO�OnUL¿�¿ µ ¸ ½ � ¶nºÊOV¿M( HS #¥ � V ÀXN�OnUL¿ #{·Mº µ � 5 � ·MËOnUL¿�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý��Ϲ�· µ OnÀXº µ º µ K� �º µ ºÊOnN�º µ On¿$¶nºÊ·X¶JÀ µ ¸�º�OnNhÂʺ µ Û � � � � S ��¥ � V º µ � ½�¾ UL¿ µ �z¿¹�À µ ��¶VºÊOn¿�OnUL¿�äL¶nNPO�º µ ¹�»ILNVºÊ· µ ÀXN � 5 � � �'5 � 5 � ½�ã ¿$¶V¿ � � �C5 ��º»N)À µ ¿�ÂÊ¿�Ä�¿ µ O�ÀT¶VÎNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�¿�ÝÕÃ�À µ NVºÊ· µ }�Ë�¶n·MÄ ��ULº»¹�UAºÊO�Ë�·M»ÂÊ·���N�OnU8ÀTO � 5 � � � 5 � 5 � º»N�À�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀX¿�Ý?Ã�À µ NVº»· µ }LÁ Î�À�NPOV¶�ÀXºÊKMU OPÇqË�·X¶<��ÀT¶n¸Ìº µ ¸LIL¹$OnºÊ· µ · µ OVUL¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�º µ � ½ �

r�;��� ¾ �?"�E�":$��?"Ft�*-7 � � � 3>5�g � I_*CGl5/%7C* 5�@B5�� 1-/J5��89;=h38,F1_/JAaD�= /¬L-/�38=½1�*-7:1.i6385�g=K*-7 T �p¹ � I_* 3F1_/JAaD�= / L-/�38=�A�3_D�{�&#(+*�/%5�L-= 9�1_/¬@B5PU S ( � S & �mVzVc� U S ( � S V<V�/21631_/JAwD�= /¬L-/�3>=�*��-D3851_/¬@B5�{s½,.@�@ \ { çzÎ�º µ ¸LIL¹$OVº»· µ }��z¿Ä#À�Î�ÀXNVNVILÄ�¿OVU8ÀTOhOnUL¿�ÂÊ¿�Ä�Ä#À�UL·M»¸LNhË�·X¶JÀX» � ·Mˬ¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µÂ»¿$NVNhOnU8À µ !�}®À µ ¸�OnU8ÀTO � � ß � � ��� � }�hUL¿$¶V¿�ß �

¹ � ºÊNhOnUL¿¶n¿�ÃL¶n¿�NV¿ µ Onº µ K�Ä�ÀTÃ�·MËÀ�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ý�� ¯ � � ½�è ¿$O �S � V � �

� S�� V Ë�·X¶�À"¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀX¹$Î�·Xî¿$¶�ÀTOn·X¶ � T � ! � ¹ ��� � À µ ¸ Àµ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿#NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý � ¯ �

�½�¾ UL¿ µ U�S ( � S +V<V º»N�·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸ Ë�¶n·MÄ U S ( � S & ��V<V

Á ÎÌÀTOPO�ÀX¹�ULº µ K�À�¹�·Xà ÎÌ·MË U S ( � S � V<V ÀXÂÊ· µ K U�S ( � S � & � ß � V<V ½ã ¿$¶n¿ U S ( � S � VzV � �'S<S ß � V � � � � S ß �0V � V º»N OnUL¿ ¹$· µ ¿-· µ U S ( � S � & � ß � V<V �

�'S<S � ß � V � � � � S ß � V � V ��ºÊOnU Ö0¿$¶VOn¿�Ý S R � V }+NP·ÌºÊO�NVI @"¹�¿�N�OV·ÌNVUL·�� OnU8ÀTO�OVUL¿=º µ ¹�»ILNVºÊ· µS R�Vc�¡U�S ( � S � & � ß � V<V º»N)ÀÏNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂG¿vÝÕÃ�À µ NVºÊ· µ ½�¾ ULº»N)Ë ÀX¹$On·X¶nN�ÀXNROnUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿�·MË

S R�VT� ( � S ß � V }+�hULºÊ¹vU̺»N�·XÁÈÖ?º»·MILNVÂ�ÎÌÀ�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂC¿�Ý?Ã�À µ NVº»· µ } À µ ¸�OVUL¿º µ ¹$»ILNVºÊ· µ

( � S ß � V � U S ( � S � ¹ ß � VzV|�²U�S ( � S � ß �¹ ß � V<V ¥

��ULº»¹�U�º»N�À�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂC¿�Ý?Ã�À µ NVº»· µ Á Î�·MIÕ¶hº µ ¸LIL¹$Onº�Ö0¿�U0Î?î·XOnUL¿�NVºÊN~} NPº µ ¹�¿ � ß � U8ÀXNh¸LºÊÄ�¿ µ ÇNVºÊ· µ »¿$NVN�OnU8À µ ! ½ �

s½,.@�@ \ @ \ t)*HA]A�3 ��{ �;{� g ��{ � ¿�ÀXNPNVILÄ�¿�äL¶VNPO�OnU8ÀTO � T � � � ºÊN#À���¿�ÀTÛAUL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿h·MË%ä µ º�On¿R·X¶n¸L¿�¶n¿�¸ÏNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ8¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿�ÝL¿�N ½:¾ UL¿$¶V¿J¿�ÝLºÊNPOnNzÀ�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ=º µ Ö0¿$¶nNP¿& � & ¹ & � & } ��ULº»¹�U ��¿�Ä#À6Î�ÀXNPNVILÄ�¿ºÊN�OnUL¿�º»¸L¿ µ Onº�O^Î�· µ & � & ½ ç�ÎÏOnUL¿�¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂÀTÃLÃL¶n·�ÝLºÊÄ#ÀTOnº»· µ OnUL¿�·X¶V¿�Ä � � ¿�Y Ð }�à ½�Ð S � }LOnUL¿$¶V¿�¿�ÝLºÊNPOnNhÀ"NPOn¿�ÂÊÂ�ÀT¶hNVIÕÁC¸Lº�ÖÕº»NPº»· µ S NP¿�¿4¦)¿$ä µ º�ÇOnºÊ· µ Q ½ W ½Ê¼M¼ ÀTÁ®·jÖ0¿ V �   � ( " �

�����

" � S � V ·MË � }�·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸�ÁÈÎ�NPO�ÀT¶V¶Vº µ K � ÀTO�î·Mº µ OnN·MË & � &µ ·XO=º µ & � & }�À µ ¸ À�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�Ä#ÀTà T �   ¹ � }�NVIL¹�U-OnU8ÀTO & K& ºÊN=UL·MÄ�·XOV·XÃ8º»¹#On·�OVUL¿¹�UL·MNV¿ µ UL·MÄ�·XOn·Xà Î�º µ Ö0¿$¶nNV¿�¶n¿$Â�ÀTOnº�Ö0¿=On· & � & ½ ´^µ Ã�ÀT¶VOnº»¹$ILÂ�ÀT¶�} � � �  eº»N�À�NVIÕÁC¹�·MÄ=Ã8»¿�ÝÀ µ ¸ K& � � + � � ½¾ UL¿ µ ·X¶nÄ#ÀXÂLNPIÕÁC¸LºÊÖ?º»NVºÊ· µ ( � S �   V º»NzÀ�Ë�IÕ¶VOnUL¿$¶zNPOn¿�ÂÊÂ�ÀT¶�NVIÕÁC¸Lº�ÖÕº»NPº»· µ }?·XÁLOnÀXº µ ¿�¸"Á Î�NPO�ÀT¶PÇ

¶nº µ K �  8ÀTOeOnUL¿�Á�ÀT¶PÎÕ¹�¿ µ On¿$¶VN�·MË®º�OnN µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿hNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�NH}Ⱥ µ NV·MÄ"¿�·X¶n¸L¿�¶�·MË ¸L¿�¹$¶n¿�ÀXN^Ǻ µ KϸLºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ ½�è ¿$O � � Á®¿�OnUL¿�OV¶�ÀX¹�¿�·MˬOnUL¿�¹�·MÄ�Á8º µ ¿$¸�NPOV¿�»»ÀT¶JNVIÕÁC¸Lº�ÖÕºÊNVº»· µ ( � S �   V ·MË� ½ ´ O�¹�· µ O�ÀXº µ N)OnUL¿�OV¶�ÀX¹�¿ � � ·MË�OnUL¿�NPOn¿$»Â�ÀT¶)NPIÕÁC¸LºÊÖ?º»NVºÊ· µ ( � S �mV ·MË � ÀXN�ÀÏNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂNVIÕÁ8NV¿�O ½�ã ¿ µ ¹$¿ ��¿�U8À6Ö0¿�OnUL¿�Ë�·MÂÊ»·��hº µ K"¹�·MÄ"Ä�IÕOnÀTOnºÊÖ0¿J¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ

�//

��

� ���

( � S���Voo

��

//U S ( � S + ��� V<V

��

( � S �mVoo

·��

� //� � ( � S �   Voo //

U S ( � S V<V ( � S �mVoo

��UL¿$¶n¿#ÀXÂÊÂ�ÀT¶P¶n·���N�ÀT¶V¿=º µ ¹�»ILNVºÊ· µ N~}¬À µ ¸ U�S ¸ V º»N)OnUL¿�¶n¿�¸LIL¹�¿�¸�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K̹$Î?»º µ ¸L¿$¶�Ë�¶n·MÄÓ ¿�¹$OVº»· µ W ½xÐL½eÔ ·XOV¿�OnU8ÀTO U S ( � S + � � V<V � ( � S���VT¤ ß ¨ ½eè ¿$O

� � � ��� V � � � � � U S ( � S VzV

Page 95: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

ÁC¿�OnUL¿)Ã8ILNVUL·MIÕOJ·MË+OVUL¿Â»·���¿$¶�¶n·��0}�À µ ¸�º µ ¹�»IL¸L¿ � T � ¹ � OnUÕ¶n·MILKMU � � ½� ¿=¹�Â�ÀXºÊÄ OnU8ÀTO�OnUL¿�¹�·MÄ=ÃC·MNVº�On¿ � � T � ¹ � º»N�À�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ:¿�ÝÕÃ�À µ NVºÊ· µ ½ ´ ONVI @�¹$¿�N

On·�¹�UL¿�¹nÛ OnU8ÀTO¿�ÀX¹�U�·MË�OVUL¿�Ä#ÀTÃ8N � � � � } ( � S���V��£U S ( � S + � � V<V } U S ( � S + ��� VzV]�U S ( � S +V<V À µ ¸ � � � V � � � �

( � S �   V�� � � ÀT¶n¿�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�¿�Ý?Ã�À µ NVº»· µ N ½�¾ UL¿#äL¶nNPO"À µ ¸Ë�·MIÕ¶VOnUÌ·MË+OnUL¿�NP¿Ë�·M»ÂÊ·�� ÁÈÎ϶n¿$î¿�ÀTOn¿�¸�ÀTÃLÃ8»º»¹�ÀTOnº»· µ ·MË è ¿�Ä�Ä#À�Q ½ W ½Ê¼ W�ÀTÁ®·jÖ0¿ ½�¾ UL¿�NP¿�¹�· µ ¸À µ ¸ÌOnULº�¶n¸ÌË�·MÂÊ»·�� Ë�¶n·MÄ è ¿$Ä�Ä#À�Q ½ W ½»¼ Q ½

� ¿ µ ·�� OnIÕ¶ µ On·�OVUL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂC¹�ÀXNP¿ ½ ´ Ë � T � ¹ � º»N�À�ä µ ºÊOV¿J¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ À µ ¸�À4��¿�ÀTÛUL·MÄ�·XOn·Xà Î=¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿J·MË µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NV¿$OVN~}ÕOnUL¿ µ OnUL¿$¶V¿J¿�ÝLºÊNPOnN�À�UL·MÄ�·XOn·Xà κ µ Ö0¿$¶nNP¿ & � & ¹ & � & OnU8ÀTO�ºÊNOnUL¿#ºÊ¸L¿ µ OVºÊO¡Î · µ & � & ½ � ¿#¹�À µ ��¶nºÊOn¿ � �� � � �

� � 7 Ë�·X¶NV·MÄ�¿Jä µ º�On¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶hNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂCNV¿$O � 7 � � }LNV·�OnU8ÀTO�OnUL¿$¶n¿�º»N�À�ä µ ºÊOn¿�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ� 7 � � 7 OnU8ÀTORº µ ¸LIL¹�¿�N��ÏIÕÃC· µ Ã8ILNPUL·MIÕO�}CÀ µ ¸�À�¶n¿$OV¶�ÀX¹�Onº»· µ & � 7 & ¹ & � 7 & OnU8ÀTORÂʺÊÛ0¿H��º»NV¿º µ ¸LIL¹$¿�N�OVUL¿�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ"º µ Ö0¿$¶nNV¿ ½zÓ IÕÁ®¸LºÊÖպʸLº µ K�· µ ¹�¿>} ( � S � 7 VT� ( � S � 7 V ºÊN�À µ º µ ¹�»ILNVºÊ· µ·MËhä µ º�On¿�·X¶n¸L¿$¶V¿�¸ NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ�¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿�ÝL¿$N~}�À µ ¸ & ( � S � 7 V$& ¹ & ( � S�� 7 V$& º»N�À ¶n¿$OV¶�ÀX¹�Onº»· µ ½æ ¶V·?¹�¿�¿$¸Lº µ K#ÀXN�ÁC¿�Ë�·X¶n¿8}���¿�KM¿$ORÀ�ä µ ºÊOn¿�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ ( � S � 7 V ¹ �  7 �hº�OnU ( � S�� 7 V ¹ �  7À=NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂC¿�ÝÕÃ�À µ NPº»· µ ½è ¿$O � �

�Á®¿�OnUL¿�OV¶�ÀX¹�¿�·MˬOnUL¿ µ ·X¶nÄ�ÀXÂGNVIÕÁ®¸LºÊÖÕºÊNVº»· µ ·MË � 7 }���ULº»¹�U ¹�· µ OnÀXº µ NJOnUL¿�OV¶�ÀX¹$¿� �

�·MË�OVUL¿ µ ·X¶VÄ#ÀXÂzNVIÕÁ®¸LºÊÖÕºÊNVº»· µ ·MË � 7 ½ è ¿$O � 7 � � �

�� V � � � � � �

 7}eÀ µ ¸ µ ·XOn¿#OnU8ÀTO

OnUL¿$¶V¿�ÀT¶n¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ2¿�Ý?Ã�À µ NVº»· µ N

� 7 � � ��� � �

�� V � � � � � �

 7 � � �

�� V � � � � � �

 7� � 7 �

¦)¿$ä µ ¿ � � ��� �� � 7 ½�¾ UL¿ µ ��¿U8À�Ö0¿·XÁLOnÀXº µ ¿�¸�À�ä µ ºÊOn¿�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ � T �W¹ � NVIL¹�U

OnU8ÀTO � � T � ¹ � º»N�À=NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂC¿�ÝÕÃ�À µ NPº»· µ } ÀXN�¸L¿�NPºÊ¶n¿�¸ ½ �

â º µ ÀXÂÊÂÊÎ�}��z¿#U8À6Ö0¿#OnUL¿�î·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶�ÀXÂz¹�ÀXNV¿ S ¿ V ·MË è ¿�Ä"Ä#À�Q ½ W ½ �Õ½�¾ ULºÊN�¹�ÀXNV¿Ïº»N µ ¿$¿�¸L¿�¸Ë�·X¶�OnUL¿ µ · µ ÇÜÄ#À µ ºÊË�·M»¸ Ã�ÀT¶VO ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä ¼M½»¼M½ÙÞ ·MË�OnUL¿�NPOnÀTÁ8»¿"Ã�ÀT¶�ÀXÄ"¿$OV¶nºÊÅ�¿�¸ Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄOnUL¿�·X¶V¿�Ä }�Á Î'��À6ÎA·MËJºÊOnN�¹�· µ NV¿$å?IL¿ µ ¹�¿ æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ Q ½ Q ½Ê¼ S ¿ V ½ ´{µ ÃL¶Vº µ ¹�º�Ã8»¿>}zOnULºÊN"¹�ÀXNP¿Ë�·M»ÂÊ·���N�Ë�¶n·MÄ OVUL¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶�· µ ¿RÁÈÎ#OnUL¿Rî·MNVNVº�Á8º»Â»º�O¡Î#·MË2OV¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº µ K�î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�À�À µ ¸æ�è Ä#ÀTÃ8N~}XÁ8IÕOe¿ µ ·MILKMU=NVº»Ä"Ã8ÂʺÊä8¹�ÀTOVº»· µ º»N<î·MNVNVº�Á8»¿�º µ OnUL¿�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀXÂÕ¹�ÀXNV¿�OnU8ÀTO���¿�ÃL¶n¿$Ë�¿$¶On·#KMº�Ö0¿�À#¸LºÊ¶n¿�¹�O�ÀT¶nKMILÄ�¿ µ O ½R¾ UL¿�ÃL¶n·È·MËeILNP¿�N á ·MUL¿ µ �xN S µ · µ Çܹ�À µ · µ º»¹�ÀX VR� W� ¾¼¿¼ Á�� �� # � Á��¿Ã���� � -=Ë�·X¶RÀ æ�è Ä#ÀTà � T � ¹ Í'}+��ULº»¹�U�¸L¿$î¿ µ ¸LNR· µ À�¹vUL·MºÊ¹�¿·MË+OV¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº»· µ·MË���}8NV¿$¿ Ñ ¿$Ä#ÀT¶VÛ ÐL½ Q ½ W ½s½,.@�@ \ @ \ t)*HA]A�3 ��{ �;{� z* ��{ � ¿)ÖÕº»¿-� OnUL¿KMº�Ö0¿ µ æ�è ¿$Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K�À µ ¸�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖÈÇÀX»¿ µ ¹�¿ � T Í ¹ � ÀXN�OnUL¿#º µ ¹$»ILNVºÊ· µ ·MË�À�NVIÕÁLÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶V· µ ½ ¾ UL¿$¶n¿Ï¿�ÝLºÊNPOnN�À�UL·MÄ�·XOn·Xà κ µ Ö0¿$¶nNP¿ �'¹ Í }8��ULº»¹�U4��¿z¹�À µ ¹�UL·È·MNV¿�On·hÁ®¿�OnUL¿�º»¸L¿ µ OnºÊO¡Î�· µ Í ½ ç�Î)OnUL¿�¶n¿�Â�ÀTOVºÊÖ0¿�NPº»Ä"Ã8Âʺ�ǹ�º»ÀXÂGÀTÃLÃL¶n·�ÝLºÊÄ#ÀTOnºÊ· µ OnUL¿$·X¶n¿�Ä � � ¿�Y Ð>� }8OnUL¿$¶n¿¿�ÝLºÊNPOnNRÀ�OV¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº»· µ � ·MË � }�¹�· µ O�ÀXº µ º µ KÀJOV¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº»· µ � ·MË Í ÀXN�À)NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ?NVIÕÁ8NP¿$O�}ÕÀ µ ¸"À�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ?Ä#ÀTà T � ¹ � }MNVIL¹�UOnU8ÀTO & K& ºÊNhUL·MÄ�·XOV·XÃ8º»¹)On·"OnUL¿�¹�UL·MNV¿ µ UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�º µ Ö0¿$¶VNV¿�¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿)On·�Í ½ ´^µ Ã�ÀT¶VOnº»¹$ILÂ�ÀT¶�}& K& ¶n¿�N{OV¶nº»¹�OnNhOn·�OnUL¿�º»¸L¿ µ Onº�O¡Î�· µ Í ½zè ¿$O U � �

� � �� & U�S ( � S +V<V$& ÁC¿OnUL¿ æ�è Ä#ÀTÃLÃ8º µ K

¹$Î?»º µ ¸L¿�¶�}�À µ ¸�»¿$O � T �'¹ U Á®¿�OVUL¿Ë�¶n· µ ORº µ ¹�»ILNVºÊ· µ ½¾ UL¿ µ Í ¤?& ß ¨ &� �

� � �ºÊNJº µ ¹�ÂÊIL¸L¿�¸ ÀXN�OnUL¿ æ�è Ä#ÀTÃLÃ8º µ K#¹$Î?»º µ ¸L¿$¶)·MË + � }2À µ ¸�OnULºÊN

º µ ¹$»ILNVºÊ· µ ºÊNzKMºÊÖ0¿ µ Á Î#Àä µ º�On¿JNV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿)·MË%¿�»¿$Ä�¿ µ O�ÀT¶VÎ�¿vÝÕÃ�À µ NVºÊ· µ N ½ ´^µ Ä�·X¶V¿R¸L¿$O�ÀXºÊÂ�}��z¿¹�À µ º µ ¸LIL¹$OnºÊÖ0¿$ÂÊÎÌÁ8ILºÊ»¸ �

� � �Ë�¶n·MÄ Í ¤?& ß ¨ & Á Î�ÀTOVOnÀX¹vULº µ KÏÀ"ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶n· µ Ë�·X¶R¿�ÀX¹�U µ · µ Ç

¸L¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿#NVºÊÄ"Ã8»¿�Ý � ·MË � µ ·XO�º µ � }<º µ ·X¶V¸L¿$¶�·MË�º µ ¹$¶V¿�ÀXNVº µ K�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý?Çq¸Lº»Ä�¿ µ NPº»· µ ! ½è ¿$O ?S � V � � � S � V }�Ë�·X¶ � T � ! � ¹ ��� � À"¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀX¹$Î�·XÃC¿�¶�ÀTOn·X¶JÀ µ ¸ ��À µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶ � ÇNVºÊÄ"Ã8»¿�Ý�º µ � ½:¾ UL¿�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶V· µ On·�ÁC¿RÀTOPO�ÀX¹�UL¿�¸�Ë�·X¶ ��ºÊNeOVUL¿ æ�è Ä�ÀTÃLÃ8º µ K�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶ �

� � �Ë�·X¶ & � & T & ß � & ¹ & ß � & }ÈÀ µ ¸#ºÊO�º»N�ÀTOVO�ÀX¹�UL¿�¸ÏÀX»· µ K�OnUL¿ æ�è Ä�ÀTÃLÃ8º µ K¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶ � � � �·MË®OVUL¿

¶n¿�N{OV¶nº»¹�Onº»· µ�� & � & T � & ß � & ¹ & ß � & ·MË & � & On·�OVUL¿�ÁC·MI µ ¸8ÀT¶PÎ ½ çzÎ � á ·0Y Þ } ¾ ULÄ ½?Þ?½Ê¼~� ÀTÃLÃ8»ºÊ¿�¸On·�OnUL¿ à +�¾ �F! ��� � �%¾¼ � Á � � Ä#ÀTà & � & T & ß � & ¹ & ß �D&�S NV¿$¿���������� � V }®À µ ¸�OnUL¿�·XÁ8NV¿$¶PÖXÀTOnºÊ· µ

Page 96: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �

OnU8ÀTO �� � �ºÊNeOnUL¿�¹�· µ ¿�· µ �

� � ���ºÊOnU�Ö0¿$¶VOn¿�Ý�OnUL¿�Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ On¿$¶z·MË OnUL¿�NP·MIÕ¶n¹�¿hNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý & ß � & }

ºÊOeË�·MÂÊ»·��hN:OnU8ÀTO%�� � �ºÊN�À æ�è S ! � ¼ V ÇqÁ�ÀXÂÊ À µ ¸�OnU8ÀTO �

� � �º»N�À æ�è !®ÇqÁ�ÀXÂÊÂLº µ º�OnN:ÁC·MI µ ¸8ÀT¶VÎ ½

ã ¿ µ ¹�¿)OnUL¿�º µ ¸LIL¹$OVºÊÖ0¿�NPOn¿$Ã̺ µ Á8ILº»Â»¸Lº µ K��� � �Ë�¶n·MÄÉÍ ¤ & ß ¨ & º»N�ÃL¶n¿�¹�ºÊNV¿�Â�ÎÌÀ µ ¿�ÂÊ¿�Ä�¿ µ O�ÀT¶VÎ

¿�Ý?Ã�À µ NVº»· µ ½Ú ·X¶n¿J·XÁ ÖÕº»·MILNPÂÊÎ�}ÈOVUL¿J¿ µ ¸�º µ ¹�»ILNPº»· µ Í � Í ¤ & ß ¨ & ºÊN�ÀX»NV·�OnUL¿J¹$·MÄ"ÃC·MNVº�On¿R·MË2ä µ ºÊOV¿�ÂÊÎ

Ä#À µ Î�¿�»¿$Ä�¿ µ O�ÀT¶VÎ�¿�Ý?Ã�À µ NVº»· µ NH}GNnÀ�Î�· µ ¿=Ë�·X¶�¿�ÀX¹�U µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOV¿"NVºÊÄ"Ã8»¿�Ý ·MË�À µ Î OP¶nº�ÇÀ µ KMILÂ�ÀTOVº»· µ ·MË+Í'}�À µ ¸ � � OnUL¿$¶V¿�Ë�·X¶n¿Ë ÀX¹�On·X¶nNRÀXN�OnUL¿�¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿)¿�Ý?Ã�À µ NVº»· µ

Í � Í ¤L& ß ¨ &�� �� � �

� U �

¾ · ¹�· µ ¹$»IL¸L¿�OnUL¿�NV¿�¹$OVº»· µ }½��¿ �hºÊ»Â�¸L¿�¸LIL¹�¿ æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ Q ½ W ½ÙØ Ë�¶n·MÄ OnUL¿�Ë�·MÂÊ»·��hº µ K»¿$Ä�Ä#À ½:¾ ULº»N�ÀT¶nKMILÄ�¿ µ O®��ÀXN�¶n¿�Ë�¿�¶V¶n¿�¸ÌOV·"º µ���� À�� Ø } è ¿�Ä ½ Q ½Ê¼M½�Ð>�q½ r�;��� ¾ �?"�E�"%$ �#"Ft�*-7 � I_*�3 \ 9;5�L-7»@B, \ ,M@BA 1_/JAwD�= /¬L-/�3>=®1�*-7%1`7»@ L.3>7C* ��@B,_/¬*-1 7:( 387 3 �LM@BA A]9�7»*_1]k�/%7%('Gl= 7»*-,M*.gPLM@B= /JA]/%7%1.iw3>5�g I���7 3 ��*_1�*.3^L_(`A63MD @ IH7C38/J5�*Mg IHE1Gl=2= /J5��P3Æ(@B,_57»@�3`(+@8A6@B7»@.D�E�*MGH9�/%I838=K*-5�L_*�{ &#(+*-5 � 7C3 ��*_1F*-I>*H,_E`kT*M3 � (+@BA6@B7»@.D�E�*.GH9;/JI838=K*H5�LM* 7C@�3(+@BA @B7C@MD�E *.GH9;/JI838=K*-5?LM*�{s½,.@�@ \ { � ¿�ILNV¿ÏOnUL¿ÏäLÁL¶�À µ O=¶n¿�Ã8Â�ÀX¹�¿�Ä"¿ µ O�Ë�I µ ¹$OV·X¶ ��� : Ë�¶n·MÄ ¦)¿$ä µ ºÊOVº»· µ Q ½ W ½»¼ S ½ è ¿�O� ¹ �  2ÁC¿�À µ ÎÆ��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½ ´^µ OnUL¿�¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖ0¿JNVåÈI8ÀT¶n¿

�//

��

�  

����� : S���V-

//��� : S �   V

OnUL¿ÏÖ0¿$¶VOnºÊ¹�ÀXÂT��¿�ÀTÛ�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ � :� T � ¹ ��� : S �mV ºÊN"À�ä8ÂÊOV¿$¶n¿�¸-¹$·M»º»Ä"ºÊO·MËhÄ�ÀTÃ8N�·XÁLOnÀXº µ ¿�¸�ÁÈÎ�ä8»Âʺ µ K�ä µ ºÊOn¿$ÂÊÎ�Ä#À µ Î�UL·X¶ µ N ½�¾ UÈILN�OnUL¿ÏO»�z· U0Î?ÃC·XOVUL¿�NV¿�N=· µ �º»Ä=Ã8ÂÊÎ�OnU8ÀTOOVUL¿�Ë�I µ ¹$On·X¶ � S � :� V T � S �mV ¹ � S ��� : S �mVzV ºÊN�À�UL·MÄ�·XOn·Xà Π¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>}À µ ¸�NVº»Ä"º»Â�ÀT¶VÂÊÎ�Ë�·X¶ �  Gº µ Ã8Â�ÀX¹�¿�·MË � ½Já · µ NVºÊ¸L¿$¶nº µ K#OnUL¿¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿NVåÈI8ÀT¶n¿�·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸Á Î"ÀTÃLÃ8Â�ÎÕº µ K ��OV·�OnUL¿�NVåÈI8ÀT¶n¿�ÀTÁC·6Ö0¿>}^�z¿�OnU ILN�ÀT¶n¿�¶V¿�¸LIL¹�¿�¸"OV·�NVUL·���º µ K�OVU8ÀTOeOVUL¿�Ë�I µ ¹$OV·X¶� S � V º»N�À=UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½ç�IÕO � T ��� : S���V ¹ � � : S��   V ºÊN�À]��¿�ÀTÛ�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�·MË�äLÁL¶�À µ ORNPº»Ä"Ã8Âʺ�Ç

¹�º»ÀX®NV¿$OVN~}?Á Î"OnUL¿)WjÇq·MIÕOPÇÜ·MË»ÇÜQ�ÃL¶n·XÃC¿$¶PO^Î ½:ã ¿ µ ¹$¿JºÊO�ÀX¸LÄ"ºÊOnN�À�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ=º µ Ö0¿$¶nNP¿ T ��� : S �   V ¹ � � : S���V � â¬æT� S } á ·X¶n·M»»ÀT¶VÎ ÐL½ Ø?½ Q ¼ S º»ºÊº V �l½ � ¶VºÊOnº µ K � � � � : S���V }ÕOnULºÊNÄ�¿�À µ N�OnU8ÀTO�OnUL¿$¶n¿=º»N�À�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX¬UL·MÄ�·XOn·Xà Î`Ä T � ¤ ß ¨

¹ � Ë�¶n·MÄ � On·"+ � � }GÀ µ ¸À#NVº»Ä"º»Â�ÀT¶hNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ%UL·MÄ�·XOn·Xà Î�Ë�¶n·MÄ � OV·ÏOVUL¿�º»¸L¿ µ OnºÊO¡ÎÌ· µ � ¤ ß ¨ ½ HRÃLÃ8ÂÊÎ?º µ K � �z¿U8À�Ö0¿�À=¹$·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnºÊÖ0¿J¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ T

� S � V�� �� � �

//

� � �- �

%%KKKKKKKKKK

� S � ¤ ß ¨ V

� ���

��

� S � V� � � � �oo

·yyssssssssss

� S � V

� ÀX¹�U º µ ¹�»ILNPº»· µ +U�>¥ +z¨ T � ¹ � ¤ ß ¨ ¹�À µ Á®¿ ·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸ Á Î ä8ÂÊ»º µ K UL·X¶ µ N~}JÁ Î ä8ÂÊ»º µ KOnUL¿Ï¹$Î?»º µ ¸L¿�¶nN�·jÖ0¿$¶�OnUL¿ µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�·MË � º µ NV·MÄ"¿�·X¶V¸L¿$¶�·MË�º µ ¹$¶n¿�ÀXNVº µ K¸Lº»Ä"¿ µ NVº»· µ ½=Ó ·�OnUL¿=U0Î?î·XOnUL¿�NVºÊN· µ �&º»Ä"Ã8Âʺ»¿�NJOnU8ÀTO�OnUL¿�Ë�I µ ¹$On·X¶nN � S +�� V À µ ¸ � S +z¨ V ÀT¶V¿

Page 97: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

UL·MÄ�·XOn·Xà Π¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿�N ½ H ¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ ¹�U8ÀXNV¿�OVUL¿ µ NVUL·��hN�OnU8ÀTO � S � V ºÊN�À�UL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½ Ó ºÊÄ�º»Â»ÀT¶nÂÊÎ�} � S � V º»N�À�UL·MÄ�·XOn·Xà Π¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿>}:NV· � S � V º»N�À�UL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½ �

s½,.@�@ \ @ \ s|,[email protected]�@�1-/J7:/ @B5 ��{ �;{ ��{ ¾ UL¿"Ë�I µ ¹$OV·X¶ � S �mV � � � � S���V º»N�NV·Ì¸L¿�ä µ ¿�¸�ÀXN�On·�¹�·MÄ=ÇÄ�IÕOn¿��hº�OnU�ä8Â�On¿$¶n¿�¸&¹�·M»ºÊÄ�ºÊOnNH}�NV· OnULºÊN µ ·�� Ë�·M»ÂÊ·���N Ë�¶n·MÄ æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ Q ½ W ½ W S ¹ V À µ ¸è ¿�Ä�Ä#À�Q ½ W ½Ê¼�ÐL½ �

�2( �2(���E��RE�³2E�� � ��� ®58@�4j5��+3�587��C584� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� ��"���"%$�" <L ��x \ � /21 3'Gl5/%7C*�1_/JAaD�= / L-/�38=�1�*-7Ji 7:(+*-5f7%(*-,.*6/21 3P(+@BA6@[email protected]�EL.38,-7C*-1_/�385 1~G~9+38,M*

� � � S���V//

��

Æ � � S���V

��� � �//Æ �

385�g Æ � � S �mV0( 3B1�3 D�,.* \ *-,_,M*.gÆLM@857:,.3^L-7�/¬@B5�{ ��*-5�LM* ��� � S���V4/J1 (+@BA6@[email protected]�EF*.GH9;/JI838=K*-5�7|7C@7:(+*e(+@BA @B7C@MD�EHGJI_*-,]@ \ � T�� � ¹ Æ � 387 � { ��/JA]/J=h38,-= E \ @B, � � � � * S���V�{

g � x \ � /21P3 Gl5/J7»*Æ5�@B5 � 1_/J5��>9�=h38,Æ1_/JAaD�= /¬L-/�38=r1�*H7Ji�7%(*-5 7:(+*-,.*F/21F3�1_/JA /J=h38,�(@BA6@ �7»@.D�E6L.3>,_7»*_1_/�385Æ1~GH938,.*_il385�g ��� � S���Vw/J1 (+@BA @B7C@MD�E6*.GH9;/JI83>=K*-57�7»@47:(+*w(+@BA6@B7»@.D�E GJI_*-, @ \� T���� ¹ Æ � 387 � {���/%A]/J=h38,-= E \ @B, � �� � * S �mV�{

z* �4x \ Í /2143FLM@BAaD3�L-7?D�@B= E�(*.g8,.@85 ir7:(+*-5`7:(+*-,M* /21436(+@BA6@[email protected]�EÆLM38,_7»*_1_/�3>5 1~GH938,.*

� � � � * S Í V //

��

Æ � � � * S Í V

��

� � � * �// Æ � � *

385�g Æ � � � * S Í V ( 3B1]3eD�,M* \ *-,-,.*.gÆL_@B57�,<3^L-7�/¬@B5�{���*-5�LM* � � � � * S Í V /J1e(+@BA @B7C@MD�EF*.GH9;/JI838=K*H57T7C@7:(+*e(+@BA @B7C@MD�EHGJI_*-,]@ \ � T�� � � * ¹ Æ � � * 387 Í { ��/%A]/J=h38,-= E \ @B, � � � S Í V�{

� ¿ �hºÊ»Â2KMº�Ö0¿�OnUL¿�ÃL¶n·?·MË�ÁC¿�ÂÊ·�� }�ÀXË�On¿$¶hË�·MIÕ¶�ÃL¶n¿�Ã�ÀT¶�ÀTOn·X¶VÎ�»¿$Ä�Ä#ÀXN ½ r�;��� ¾ ��"��?"�E�" zL���x \ � /2143HGl5/J7»*e1_/JAwD�= /¬L-/�3>=�1�*-7%iu7%(*-5�7:(+* \ 9;=2=�*HAI_*.g�g>/J5��

��� � S���V �¸K¹ � ª �

/2143�(+@BA6@B7»@.D�EF*MGH9�/%I838=K*-5�L_*�{���/JA]/%=h38,_= E \ @8, � � � � * S �mV�{ g � x \ � /J1|3 Gl5/J7»*r5�@85�� 1_/J5 �89�=h3>,l1_/%AaD�= /¬L-/¬38=�1�*H7Ji?7%(*-5�7:(+* \ 9;=2=*-AMI_*.g�g8/%5�� ��� � S���V ¹

� ª � /21436(+@BA6@B7»@.D�E *.G~9�/JI>38=K*-5�LM*�{���/JA]/J=h3>,_= E \ @B, � �� � * S���V�{ z* �4x \ Í /2143FLM@BAaD3�L-7?D�@B= E�(*.g8,.@85 ir7:(+*-5`7:(+* \ 9�=2=�*-AI_*.g^g8/J5��

� � � � * S Í V �¸¢¹ S � S � ¥nÍ V<ª �

/2143�(+@BA6@B7»@.D�EF*MGH9�/%I838=K*-5�L_*�{���/JA]/%=h38,_= E \ @8, ��� � S Í V�{s½,.@�@ \ { ¾ UL¿z¿�Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ KJºÊ¸L¿ µ OVºÊä8¿�N ��� � S �mV ��ºÊOnUOVUL¿zË�IL»ÂÈNVIÕÁC¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ�·MË � ª �JKM¿ µ ¿$¶�ÀTOV¿�¸Á Î�OnUL¿�·XÁ #{¿�¹$OnN � T � ¹ � OnU8ÀTOÀT¶n¿ µ ·XO�#{ILNPO0��¿�ÀTÛ UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N�·MË�ä µ ºÊOV¿

Page 98: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� ���

NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NV¿$OnNH}?Á8IÕO�ÀX»NV·�¹$·XäLÁL¶�ÀTOnº»· µ N ½ � ¿J¸L¿$ä µ ¿�À�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ=º µ Ö0¿$¶nNP¿JË�I µ ¹$On·X¶ � ª � ¹��� � S �mV OnU8ÀTO�O�ÀTÛ0¿�N � T � ¹ � OV·=OnUL¿�ä µ ºÊOn¿�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ

� � � � � �¸ ¸�¸%¹ ¹�· µ ¿ S���VT¤ � �

¾ UL¿�ÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ ) T ¹�· µ ¿ S���V�¤ � ¹ � ºÊN<ÀhNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTÃ�}bI µ ¸L¿$¶ � }XÀ µ ¸�NPº»Ä�ILÂÊO�À µ ¿$·MILNVÂÊθL¿$ä µ ¿�N�OnUL¿ OC��·A¶n¿�å?ILº�¶n¿�¸ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂJOV¶�À µ NVË�·X¶VÄ#ÀTOnº»· µ N#On·�OnUL¿ º»¸L¿ µ OnºÊO¡Î ¿ µ ¸L·MË�I µ ¹$OV·X¶�·MË��� � S �mV À µ ¸ �6ª ��}M¶n¿�N{ÃC¿�¹$OVºÊÖ0¿�Â�Î ½:¾ UL¿�ÃL¶n·?·MË�N�º µ OnUL¿ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶zÀ µ ¸"ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶�ÀXÂ�¹�ÀXNV¿$NÀT¶n¿�º»¸L¿ µ OnºÊ¹�ÀX ½´^µ OVUL¿�¹�ÀXNV¿Ï·MË�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�¹�ÀTOn¿�KM·X¶Vº»¿�N~}¬OnUL¿Ï¿�Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K º»¸L¿ µ Onº�ä8¿�N � � � � * S Í V ��ºÊOVU�OVUL¿

Ë�IL»Â%NVIÕÁ®¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎÌ·MË S � S � ¥nÍ V<ª ��KM¿ µ ¿$¶�ÀTOV¿�¸�º µ NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂC¸L¿�KX¶V¿�¿ ��ÁÈÎÏOnUL¿�·XÁ #{¿�¹$OnN

) T Í ¤L& ß à & �¸ ¹ � �¸ ¹ & ß à &

��UL¿$¶n¿ µ ·XOÌ· µ Â�Î º»NƧ&À æ�è Ó ¿�¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnº»· µ À µ ¸ � À æ�è UL·MÄ�·XOn·Xà Π¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ ·M˹�·MÄ"Ã�ÀX¹�OhÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀ }®Á8IÕO � º»NJÀXÂÊNV·ÏÀ µ ¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K ½ HJK0ÀXº µ ��¿�¹�À µ ¸L¿$ä µ ¿�À�UL·MÄ�·XOn·Xà κ µ Ö0¿$¶nNP¿Ë�I µ ¹$On·X¶ S � S � ¥nÍ Vzª � ¹ ��� � � * S Í V Á ÎÏO�ÀTÛÕº µ K"À µ ·XÁ$#{¿$¹$ORÀXNhÀTÁC·6Ö0¿�OV·

) T Í ¤L& ß à & � � � ��¸?¸�¹ ¹�· µ ¿ S Í ¤L& ß à &�V|¤ � ���

" �¸_¸+¸<¹ & ß à & �

´ Oeº»N¬¹�ÂÊ¿�ÀT¶:OnU8ÀTO S +<¥ ��V º»NeÀ æ�è ¿�Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K�À µ ¸�ÀJUL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿>}?À µ ¸�OnU8ÀTO�§ � )º»N�OnUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿J·MË�OC��· Ó ¿$¶V¶n¿)äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N~}8À µ ¸�OnUL¿�¶n¿�Ë�·X¶n¿�ÀXK0ÀXº µ À Ó ¿�¶V¶n¿)äLÁL¶�ÀTOnº»· µ ½�¾ UL¿ÃL¶n·�#{¿�¹$OVº»· µ Ä#ÀTÃ

¹$· µ ¿ S Í ¤L& ß à & V|¤ �" �¸~¹ �

º»N�À�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä�ÀTà ·MË Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnº»· µ NH}+¹�·MÄ"Ä�IÕOVº µ K �hº�OnU�OnUL¿"¿�Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ KMN�·MË�Í ¤ & ß=à &À µ ¸�OnUL¿�ÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ N�On· & ß à & }:NV·�ºÊO�¸L¿$ä µ ¿$N�OnUL¿#OC��· µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ�OV¶�À µ NVË�·X¶nÄ�ÀTOnº»· µ NOV·�OVUL¿º»¸L¿ µ Onº�O¡Î µ ¿�¿�¸L¿�¸�On·J¿�ÝÕULºÊÁ8ºÊOGOnUL¿�O»�z·�KMº�Ö0¿ µ Ë�I µ ¹$On·X¶VN�ÀXN¬Ä�IÕOnI8ÀXÂÈUL·MÄ�·XOn·Xà κ µ Ö0¿$¶VNV¿�N ½e¾ UL¿ÃL¶n·È·MËGº µ OnUL¿�¹�ÀXNV¿�Nh·MËGKM¿ µ ¿$¶�ÀXÂ%·X¶ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶RNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2NV¿$OnN�º»N�º»¸L¿ µ Onº»¹�ÀX ½ �

*-A�38,�� �;{���{���{ ´ OGº»N µ ·XO<¹�»¿�ÀT¶GOnU8ÀTOGOnUL¿zÀ µ ÀX»·MKMIL¿z·MË è ¿�Ä�Ä#À�Q ½ Q ½ W�UL·M»¸LN<Ë�·X¶GOnUL¿�¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿æ�è Á8I µ ¸LÂÊ¿�¹�ÀTOn¿$KM·X¶nº»¿�N ���� * S���V À µ ¸ � ��� * S Í V ½ r�;��� ¾ �?"��?" �#"Fx \ � T���� ¹ Æ � i�385�g � T � ¹ �   /21Æ3�A6@B,¬D�(^/21_A /J5 Æ � i07%(+*H5f7:(+*7�,<385+1-/J7:/ @B5PA�3MD

� � T �   ª � �¸h¹ �6ª �/2143�(+@BA6@B7»@.D�EF*MGH9�/%I838=K*-5�L_*�{���/JA]/%=h38,_= E \ @8, � T���� ¹ Æ � 385�g \ @B, � T�� � ¹ Æ � {

x \ � T?� � � * ¹ Æ � � * 385�g � T Í ¹ Í   /J1�3FA6@B, D�(^/21_A /J5 Æ � � * /%5�1_/JAaD�= / L-/�38=ug^* �8,.*M* S i7:(+*-5�7:(+* 7�,<3>5+1_/J7�/¬@B5PA�3_D

S � S � ¥ � V � T S � S � ¥nÍ   V<ª � �¸¢¹ S � S � ¥nÍ V<ª �

/2143�(+@BA6@B7»@.D�EF*MGH9�/%I838=K*-5�L_*�{���/JA]/%=h38,_= E \ @8, � T�� � � * ¹ Æ � � * 385�g \ @B, � T�� �� * ¹ Æ �� * {s½,.@�@ \ { � ¿�ILNP¿�OnUL¿)¹�· µ ¿vÇqÃL¶n·È¸LIL¹$Oh¹$· µ NPOV¶nIL¹$OVº»· µ On·�Ë ÀX¹$On·X¶�OnUL¿c��¿�ÀTÛ#UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�å?ILº�ÖXÀbÇ»¿ µ ¹�¿ � T � ¹ �  %ÀXN�OnUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOn¿

� � � � - �¸ ¸¸:¹ ¹�· µ ¿ S���VT¤ �   "��¸�¹ �  

Page 99: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

·MËhOnUL¿�Ë�¶n· µ O�º µ ¹$»ILNVºÊ· µ S +<¥ � V À µ ¸ OnUL¿�ÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ ) ½ ¾ UL¿�Á�ÀX¹�ÛAº µ ¹$»ILNVºÊ· µ ��T �   ¹¹�· µ ¿ S���V½¤ �   º»N)À#NV¿�¹$OVº»· µ On· );}%À µ ¸ ÀX»Â<·MˬOnUL¿$NV¿=Ä�ÀTÃ8NJÀT¶n¿���¿�ÀTÛ�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎÌ¿�å?ILº�ÖÈÇÀX»¿ µ ¹�¿�N ½h¾ UL¿�º µ ¸LIL¹�¿�¸�OV¶�À µ NVº�Onº»· µ Ä�ÀTÃ8NhNnÀTOnºÊNVË�Î � � � S +<¥ � V � ) � À µ ¸ � � ) � � + � } NV·#ºÊONVI @"¹�¿�N�On·ÌÃL¶V·jÖ0¿"OVUL¿�»¿�Ä"Ä#À�Ë�·X¶OnUL¿�¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ N S +z¥ � V À µ ¸ � }Gº ½ ¿ ½ })��¿�Ä�À6Î�ÀXNVNVILÄ"¿Ë�¶n·MÄ OVUL¿�·MIÕOnNV¿$OJOVU8ÀTO � º»NRÀ�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ S À µ ¸�À���¿�ÀTÛ�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ V ½J¾ UL¿ µ��¿�U8À6Ö0¿�À=¹�·MÄ"Ä�IÕOnÀTOnºÊÖ0¿JNVåÈI8ÀT¶n¿

��� � S��   V- �

//

��

� � � S���V

���   ª �- �

//� ª �

��UL¿$¶n¿�OnUL¿ÌÖ0¿�¶VOnº»¹�ÀXÂ�Ë�I µ ¹$OV·X¶nNÏÀT¶n¿ÌUL·MÄ"·XOn·XÃÈÎA¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N"ÁÈÎ è ¿$Ä�Ä#À Q ½ Q ½ W À µ ¸-OVUL¿IÕÃLÃC¿�¶�UL·X¶nº»Å$· µ O�ÀX Ë�I µ ¹$On·X¶ � � ºÊNzÀUL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿hÁÈÎ æ ¶n·Xî·MNVºÊOVº»· µ Q ½ W ½ Q ½¬ã ¿ µ ¹$¿ÀX»NP·ÌOnUL¿"ÂÊ·��z¿$¶�UL·X¶nºÊÅ�· µ OnÀXÂeË�I µ ¹�On·X¶ � � º»NÀÌUL·MÄ�·XOn·Xà Π¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>}<ÀXN�ÀXNVNV¿�¶VOn¿�¸ ½�¾ UL¿ÃL¶n·È·MËzº µ OnUL¿ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�À µ ¸ î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�ÀXÂ:¹�ÀXNV¿�NH}:ÀXN ��¿�ÂÊÂ�ÀXN�Ë�·X¶OnUL¿"NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX¬¹�ÀTOn¿�ÇKM·X¶nºÊ¿�N~}8º»N�OnUL¿NVÀXÄ�¿ ½ �

r�;��� ¾ ��"��?" ��" t)*H7 § T � ¹ ß=à I-*�385�@ I���*ML-7½@ \ Æ �� * /J5P1-/JAaD�= /¬LH/�38=#g^* �8,M*M* � i|385�g�=K*H7 T � � ¤ ß à ¹ � I_*�3P7:,-/JI�/�38= / ��387�/¬@B5�9�D²7»@`3 1_/JAaD�=K* A�3MD#{f&#(*-5'7:(+*67:,.385+1_/J7�/¬@B5A�3MD

S � � � ¥ zV � T S � � � ¥ � V<ª � �¸¢¹ S � � � ¥ V<ª �/2143�(+@BA6@B7»@.D�EF*MGH9�/%I838=K*-5�L_*�{���/JA]/%=h38,_= E \ @8, Æ � � * 385�g \ @B, Æ � � * {s½,.@�@ \ { HJN]��¿Ï¶n¿�¹�ÀXÂÊÂ�º µ ¦)¿$ä µ ºÊOnºÊ· µ Q ½ Y ½ Y }¬OnUL¿Ï¶nº»KMU0O=äLÁ®¿$¶ S � � � ¥ � V<ª ��º»N�OnUL¿ÏNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀX¹�ÀTOn¿$KM·X¶VÎ

� ! ��º ¸�¹ ��� � � � � � à

� � � � ª � � ¥��UL¿$¶n¿��-¶�À µ KM¿$N�·jÖ0¿$¶�OVUL¿#º µ ¸Lº»¹�ÀTOn¿�¸�Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�N�º µ ß�}:À µ ¸ � � � º»N�À µ ·XÁ #{¿�¹$O�º µ OVUL¿O�ÀT¶nKM¿�Oh·MË ��� T�� �� � ¹ Æ �� � ½

� ¿)äL¶nNPOhNVUL·�� OnU8ÀTO�OnUL¿ S µ · µ ÇÜNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX V OV¶�À µ NVº�Onº»· µ Ä#ÀTÃ

� T � ª � à ¹ ª � à·MË�¶nºÊKMU O�äLÁC¿$¶VN·MË � à T�� �� à ¹ Æ �� à ºÊN�À�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½ � ¿=¹�À µLµ ·XO�¸L¿�ä µ ¿ÏÀ¹�·6ÖXÀT¶Vº�À µ OhË�I µ ¹$OV·X¶ � T ª � à ¹ � ª � à · µ À µ ·XÁ #{¿�¹$O

) T �¸ ¹ � �¸ ¹ ß à

ÀXN�OnUL¿#Ã8ILNVUL·MIÕO�·MË � � ¸ �¸ ¹ �£}:NVº µ ¹�¿ ºÊN�¶�ÀT¶n¿�Â�Î À�¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ }¬Á8IÕO �z¿#¹�À µ ILNP¿OnUL¿�¹�· µ ¿vÇqÃL¶n·È¸LIL¹$O�¹�· µ NPOV¶nIL¹�Onº»· µ Ë�¶n·MÄ Ó ¿$¹$Onº»· µ W ½xÐ On· Ë�·X¶nÄ OVUL¿�Ã8ILNVUL·MIÕO�·MË)OVUL¿�O»�z·¹�·XäLÁL¶�ÀTOVº»· µ N

¹$· µ ¿ S V|¤ � � � � � � ¸¸ � � � � �¸H¸+¸M¹ ¹�· µ ¿ S VT¤ � ¥��ºÊOnU � Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�On· 5r¤ � · µ OnUL¿hÂÊ¿�Ë�O ½ � ¿�¹�ÀXÂÊÂÕOnULº»N:Ã8ILNVUL·MIÕO � S � V }0Ë�·X¶eOnUL¿�Ã8IÕ¶VÃC·MNV¿�·MËOnULºÊNhÃL¶n·?·MË ½ ´ ORº»NRÀ Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOVº»· µ ·6Ö0¿$¶�ß à }®ÀXË�On¿$¶JKM¿$·MÄ�¿$OV¶nºÊ¹�¶n¿�ÀX»º»Å�ÀTOnº»· µ }8ÁÈÎ�OnUL¿�äLÁC¿�¶KM»ILº µ K"ÂÊ¿�Ä�Ä#À�Ë�·X¶ Ó ¿$¶V¶n¿äLÁL¶nÀTOnº»· µ N ½

Page 100: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� ���

� ºÊOnUÌOVULº»N µ ·XOnÀTOnº»· µ } � � S � V º»N�OnUL¿Ã8ILNVUL·MIÕOJÀTÁC·6Ö0¿>}�Ö?º»¿H�z¿�¸�ÀXNJÀ µ ·XÁ #{¿�¹�ORI µ ¸L¿$¶ ÖÕº»À À µ ¸�OnUL¿�NPO�ÀTOn¿$¸�º µ ¹�»ILNVºÊ· µ ·MË � ½ ´ OJ¶n¿$¹�¿�ºÊÖ0¿$N�ÀÏNVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTà S ILNPº µ K T ¹ � · µOnUL¿�»¿�Ë�O V Ë�¶n·MÄ OnUL¿�Ã8ILNVUL·MIÕOR·MËGOVUL¿�OC��·=¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N

¹�· µ ¿ S V½¤ � � � ��� � ¸+¸B¸ � � � � �¸-¸+¸M¹ ¹�· µ ¿ S VT¤ � ¥

À µ ¸�Ä#ÀTÃ8N�NVºÊÄ"Ã8ÂÊÎ S ILNVº µ K ) T ¹�· µ ¿ S VT¤ ¹ V On·

¹�· µ ¿ S VT¤ �

À µ ¸ ÁÈÎ )�On·��£}�ÀXÂh��À�ÎÕN=I µ ¸L¿$¶ ½ Ó · OnUL¿�NV¿�Ã8ILNPUL·MIÕOnN#¸L¿$ä µ ¿ À ¹�U8ÀXº µ ·MË µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂOV¶�À µ NPË�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ N�·MËG¿ µ ¸L·MË�I µ ¹$On·X¶nNh·MË ª � à }LOnU8ÀTO�¶n¿$Â�ÀTOn¿

� � On·�OnUL¿�ºÊ¸L¿ µ OnºÊO¡Î ½Ò µ OnUL¿�·XOnUL¿$¶RU8À µ ¸?}8ºÊË

) T � �¸ ¹ � �¸ ¹ ß à

º»N�À µ ·XÁ #{¿�¹$O�·MË � ª � à }LOnUL¿ µ � � S � V º»N�OnUL¿�Ã8ILNVUL·MIÕOR·MËGOVUL¿�OC��·=¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N

¹$· µ ¿ S V|¤ � � � � � � ¸¸ � � � � � �¸�¸+¸¹ ¹�· µ ¿ S VT¤ � ¥

ÀXNzÀ µ ·XÁ$#{¿$¹$O�I µ ¸L¿$¶ � ½e¾ UL¿$¶n¿RºÊNzÀ µ ÀTOVIÕ¶�ÀXÂ8NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿hÄ#ÀTà S ILNVº µ K T ¹ � º µ ÀXÂÊÂLÃ8Â�ÀX¹�¿�N VOn·�OnUL¿�Ã8ILNPUL·MIÕOJ·MË+OnUL¿�OC��·"¹�·XäLÁL¶nÀTOnº»· µ N

¹�· µ ¿ S � VT¤ � � � � ��� � ¸+¸B¸ � � � � � �¸H¸¸<¹ ¹�· µ ¿ S � V½¤ � ¥

À µ ¸�À�NV¿�¹�· µ ¸�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTà S ILNVº µ K ) T ¹�· µ ¿ S � V|¤ �o¹ � V On·

¹�· µ ¿ S � V|¤ �

À µ ¸ Á Î )�OV· � })ÀXÂh��À�ÎÕN�I µ ¸L¿$¶ � ½ ã ¿ µ ¹�¿ OnUL¿$¶n¿ º»NÌÀ µ ÀTOVIÕ¶�ÀXÂJOV¶�À µ NVË�·X¶nÄ�ÀTOnº»· µ ·MË¿ µ ¸L·MË�I µ ¹$OV·X¶nN�·MË � ª � à }®Ë�¶n·MÄ �

� On·�OnUL¿�ºÊ¸L¿ µ OVºÊO¡Î ½R¾ ULº»NRÃL¶n·6Ö0¿�NROnU8ÀTO � T � ª � à ¹ ª � ົN�À=UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎÏ¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½Ú ·X¶n¿zKM¿ µ ¿�¶�ÀX»Â�Î�}XË�·X¶:¿�ÀX¹�U=Ä"·X¶VÃ8ULº»NVÄ � T � ! � ¹ � � � º µ ß OnUL¿$¶n¿�ºÊN¬ÀRÃ8IL»ÂÊ¿�¸?ÇqÁ�ÀX¹nÛ�NVºÊÄ"Ã8»¿

Ä#ÀTà � � T � � ¹ ��� }���ºÊOnU �

� � � ¤ ß � ½ çzÎÏOnUL¿�ÀT¶VKMILÄ�¿ µ OJÀTÁC·6Ö0¿>}®ÀTÃLÃ8»º»¿$¸�·jÖ0¿�¶ß � º µ Ã8»ÀX¹�¿�·MËLß=à8}jOnUL¿�Ë�I µ ¹$OV·X¶ S � � zV � T � � � ª � � ¹ �

� ª � ��º»N+ÀhUL·MÄ�·XOn·Xà Î)¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ ½¾ UL¿�¸LºÊN #{·Mº µ OhI µ ºÊ· µ ·6Ö0¿$¶�OnUL¿�NV¿ � T � ! � ¹ � � � ·MË+OnUL¿�NP¿�Ë�I µ ¹$OV·X¶nN S � � zV � ºÊN~}LÁÈÎϸL¿$ä µ º�Onº»· µ }OnUL¿�¸L¿$KX¶n¿�¿ ! Ã�ÀT¶VOJ·MË S � � � ¥ zV � ½hã ¿ µ ¹�¿>}®OnUL¿Â�ÀTOVOn¿�¶Rº»NRÀX»NV·ÏÀ�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>}�ÁÈÎOnUL¿�¶n¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ ÂÊ¿�Ä�Ä#À ½¾ UL¿z¹�· µ NPOV¶VIL¹$Onº»· µ N¬ILNP¿�¸?}M¹�· µ ¿�N~}XÃL¶V·?¸LIL¹$OnN:À µ ¸�Ã8ILNPUL·MIÕOnN:ÀX»· µ KRÃ�ÀXº�¶nNG·MËL¹�·XäLÁL¶nÀTOnº»· µ N~}

ÀT¶n¿ÀX»Â�À6ÖTÀXº»Â»ÀTÁ8»¿�º µ OVUL¿KM¿ µ ¿$¶nÀXÂ+NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ%À µ ¸�OnUL¿ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀXÂ�¹$· µ On¿vÝÕOnN~}�NV·"OVUL¿NnÀXÄ�¿ÃL¶n·È·MË<ÀTÃLÃ8»ºÊ¿�Nhº µ OnUL¿$NV¿¹�ÀXNP¿�N ½ �

r�;��� ¾ �?"���"���"Ft)*-7 � T � ¹ �   I_* 3ÆA6@B,¬D�(^/21_A /J5 Æ �� * /J5�1_/JAwD�= /¬L-/�3>=�g^* �8,M*M* � ia385�g=K*-7 B T � � ¹ � � � I-*�3�A6@B, D�(^/21-Ap/J5 ß {�&�@�I�*-,_/ \ E�7:( 387½38=2=#7�,<3>5+1_/J7�/¬@B5PA�3_D�1

S � � � ¥ � V � T S � � � ¥ �   V<ª � ¹ S � � � ¥ � V<ª �

z@ \ 7%(+* Gl,M1_7 ��/%5�g � 385�gB � T S � � ¥ B � � Vzª � ¹ S � � � ¥ � V<ª �

z@ \ 7:(+*½1�*ML_@B5�g ��/J5�g �038,M*½(+@BA6@[email protected]�E�*.GH9;/JI83>=K*-5�LM*_1Mi#/J7?1_9�� L_*_1|7C@4g^@c1�@ \ @B,|7%(* 7:,.385+1_/J7�/¬@B5A�3MD�1 S � S � ¥ � V � @ \ A6@8,¬D�(^/J1_A�1 � /J561_/JAwD�= /¬L-/�3>=g�* �8,.*_* S { ��/%A]/J=h38,-= E \ @B, Æ � � * 3>5�g \ @B, Æ � � * {

Page 101: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

����� ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

s½,.@�@ \ { � ºÊOVU � � ( � S § V # ¨ S � V OnUL¿�ÃL¶V¿�º»Ä#ÀXKM¿#·MË�OnUL¿#Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ On¿$¶ S � Ë�·X¶ � äLÁC¿$¶<�+}�NV¿$¿¦)¿$ä µ ºÊOVº»· µ W ½ÙÞ?½»¼ V };�z¿U8À�Ö0¿À µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%NVº»Ä=Ã8»¿�Ä#ÀTÃ

T � � ¤ ß à ¹ �·6Ö0¿$¶�ß à ½hã ¿$¶n¿� � �

��c}CË�·X¶ROnUL¿�I µ ºÊå?IL¿�Ä#ÀTà � T � � � ¹ � S � º µ ß�}2À µ ¸�NVºÊÄ�º»Â»ÀT¶nÂÊÎ���UL¿ µ

¸L¿�¹�·X¶nÀTOn¿�¸��hº�OnU ÃL¶nº»Ä�¿$N ½�è ¿$OPOnº µ K �CT � ¹ �   Á®¿ÏOVUL¿�¶n¿�NPOV¶Vº»¹$OnºÊ· µ ·MËH( � S � V On· �c}��z¿U8À�Ö0¿�À=¹$·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnºÊÖ0¿J¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ

S � � � ¥ �   V<ª � �� �

//

��- � �

��

S � � � ¥   V<ª � � �//

�� ��� ��

��

S � S � ¥ �|  V<ª �

���� � ��

��S � � � ¥ � Vzª � ��

//S � � � ¥ V<ª � � �

//S � S � ¥ � Vzª � �

çzÎ è ¿�Ä�Ä�À Q ½ Q ½ÙØ OnUL¿ÌÄ#ÀTÃ8N � À µ ¸   � ÀT¶n¿�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿�N ½ ¾ UL¿�Ä�ÀTÃ8N � �ÀT¶n¿ ÀX¢��À�ÎÕNÌUL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿�N~}�ÀXN�º µ OVUL¿ ÃL¶n·?·MË�·MËHJ¸L¸L¿ µ ¸LILÄ Q ½ Y ½Ê¼ S�ÁC¿$»·�� ½ã ¿ µ ¹�¿ S � � � ¥ � V � ºÊNzÀ�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿hº»Ë%À µ ¸#· µ ÂÊÎ=º»ËCOVUL¿R¸L¿�KX¶n¿�¿)S�OV¶�À µ NVº�Onº»· µ Ä�ÀTÃS � S � ¥ � V � ºÊNR· µ ¿ ½�¾ U ILNJº»Ë<OVUL¿�OV¶�À µ NVº�Onº»· µ Ä�ÀTÃ8Nh·MË<OnUL¿�äL¶nN{ORÛÕº µ ¸�º µ NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ%¸L¿�KX¶n¿$¿�SÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�NH}�OnUL¿ µ NV·�ÀT¶V¿�ÀX»ÂCOVUL¿�OV¶�À µ NPºÊOnºÊ· µ Ä#ÀTÃ8N�·MË+OVUL¿�äL¶nNPO�ÛÕº µ ¸ ½è ¿$O SJT � S � ¹ � � � Á®¿"À µ Î Ä�·X¶VÃ8ULº»NPÄ Ë�¶n·MÄ � S � º µ ßÆ}�À µ ¸ ÂÊ¿$Oe­ � S � T � � S � ¹

S � � ½�¾ UL¿ µ º µ OnUL¿¹�·MÄ"Ä�IÕOnÀTOnºÊÖ0¿J¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ

S � S � ¥ S � � V<ª � � �//

���� � � �

��

S � � � ¥ � V<ª �

�� � ��

��S � S � ¥ � V<ª � � �//S � � � ¥ V<ª � � �

//S � S � ¥ � V<ª �

OnUL¿�»·���¿$¶�¹�·MÄ"î·MNVºÊOn¿�Ä#ÀTÃ�º»N)OnUL¿�º»¸L¿ µ Onº�O^Î�NPº µ ¹�¿ � S � + � }2OnUL¿"Ä�ÀTà � ��º»N�À�UL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�ÀXN<Á®¿�Ë�·X¶n¿>}0À µ ¸ S � � � ¥ <V � º»N¬ÀRUL·MÄ�·XOV·XÃÈο�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿zÁ Î è ¿�Ä�Ä#ÀRQ ½ Q ½ Ø?½G¾ U ILNOnUL¿�IÕÃLÃC¿$¶JUL·X¶Vº»Å�· µ O�ÀXÂ�Ä#ÀTà S ��ºÊNRÀ"UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿º»Ë:À µ ¸Ì· µ ÂÊÎ�º»ËGOVUL¿�¸L¿�KX¶n¿�¿�SOV¶�À µ NPºÊOnºÊ· µ Ä#ÀTà S � S � ¥.­ V � º»N�· µ ¿ ½´^µ ·XOnUL¿$¶®��·X¶n¸LN~}CºÊË:ÀX»Â%OV¶�À µ NVº�Onº»· µ Ä#ÀTÃ8Nh·MË<OnUL¿�äL¶nNPORÛ?º µ ¸�º µ NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ%¸L¿�KX¶n¿�¿�S�ÀT¶V¿

UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�N~}COnUL¿ µ NV·�ÀT¶n¿�ÀXÂÊÂGOnUL¿�OV¶nÀ µ NVºÊOnºÊ· µ Ä#ÀTÃ8NR·MˬOnUL¿�NV¿�¹�· µ ¸�ÛÕº µ ¸�Ë�·X¶Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�N S Ë�¶n·MÄ � S � º µ ß ½¬Ô ·��BÂÊ¿$O B T � � ¹ � � � À µ ¸ S T � S � ¹ � � ÁC¿�À µ Î�Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�Nº µ ß ½¬¾ UL¿ µ ��¿�U8À6Ö0¿ #{ILNPO:NVUL·�� µ OnU8ÀTO S �zÀ µ ¸ S B S V ��ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿�N~}>��ULº»¹�Uº»Ä=Ã8»º»¿$N�OVU8ÀTORÀXÂÊNV·�OVUL¿KM¿ µ ¿$¶nÀXÂ%OP¶�À µ NVºÊOVº»· µ Ä�ÀTÃ�B ��}8·MË�OnUL¿NV¿$¹�· µ ¸ÌÛÕº µ ¸?}8º»N�À=UL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½¾ UL¿KM¿ µ ¿$¶nÀXÂ�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2¹�ÀXNV¿Ë�·MÂÊ»·��hN�Á Î�OnUL¿�NnÀXÄ�¿)ÃL¶n·?·MË ½�¾ UL¿�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶�ÀXÂ%¹�ÀXNP¿�ÀX»NP·

Ë�·M»ÂÊ·���N~}�º µ ÖÕº»¿-� ·MËROnUL¿�ÃC·MNVNVº�Á8º»ÂʺÊO¡Î ·MËROP¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº µ K À æ�è Ä�ÀTà � T � ¹ �  �·MË æ�èÓ ¿$¶V¶V¿�äLÁL¶�ÀTOVº»· µ N�·jÖ0¿�¶ & ß=à & ½ ¾ UL¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀX»º�O¡Î ·MË�OnUL¿�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿#Ä#ÀTà ��ÀXN�· µ ÂÊÎ ILNV¿�¸AOV·¿ µ NVIÕ¶V¿ OnUL¿ ¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�ÖÕºÊO¡Î ·MË�OnUL¿ äL¶nNPO�¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ ÀTÁC·6Ö0¿>}a��ULº»¹�U �z·X¶VÛÕNÏä µ ¿ Ë�·X¶�À µ ÎKMºÊÖ0¿ µ OV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnºÊ· µ ·MË+OnUL¿ æ�è Ä#ÀTà � ½ �

s½,.@�@ \ @ \ s|,[email protected]�@�1_/%7:/¬@85���{��;{� �{ ¾ UL¿ÏäL¶VNPO�Ã�ÀT¶VO�·MË è ¿$Ä�Ä#À�Q ½ Q ½�Ð Ö0¿$¶VºÊä8¿�N�OnUL¿#U0Î?î·XOnUL¿�NVºÊN·MË � ILºÊ»»¿ µ ��N ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä ç Ë�·X¶)OnUL¿�Ë�I µ ¹$On·X¶ � T���� ¹ Æ � ½�ã ¿ µ ¹�¿�OnUL¿�¶nºÊKMU O)U8À µ ¸ NVå?I8ÀT¶V¿ÁC¿$»·�� º»N�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎϹ�ÀT¶VOn¿�NPº�À µ ½

��� � S���V//

��

� ª �//

��

���

���Æ � � S���V

//�6ª Æ � //

Æ �

Page 102: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� ��� �¾ UL¿�Ë�IL»Âe¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K � � � S���V ¹ �6ª �̺»N�ÀÌUL·MÄ�·XOn·Xà Π¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>}GÁ Î è ¿�Ä"Ä#ÀÌQ ½ Q ½ W ½¾ UL¿Ì¹�ÀTOn¿$KM·X¶nº»¿�N#Æ � � S���V À µ ¸ �6ª Æ � ¿�ÀX¹�U-U8À�Ö0¿ÌÀ µ º µ ºÊOVº�ÀXÂ�·XÁ #{¿�¹$O�}zÀ µ ¸-ÀT¶n¿ÏOnUL¿$¶n¿$Ë�·X¶n¿¹�À µ · µ ºÊ¹�ÀX»Â�Î"¹�· µ OV¶�ÀX¹�OnºÊÁ8ÂÊ¿ ½ ´ O�Ë�·M»ÂÊ·���N�OnU8ÀTOzÀX»NV·�OnUL¿R·MIÕOn¿$¶�¶n¿�¹$O�À µ KMÂÊ¿Rº»N�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¹�ÀT¶VOn¿�ÇNVº»À µ ½�¾ UL¿NnÀXÄ"¿�ÀT¶VKMILÄ�¿ µ ORÀTÃLÃ8Âʺ»¿�N�Ë�·X¶ � T���� ¹ Æ � ÀTO � À µ ¸�Ë�·X¶�� T�� � ¹ Æ � ÀTO�Í ½¾ UL¿�¶n¿$Ä#ÀXº µ º µ K�Ã�ÀT¶VO�·MË è ¿�Ä"Ä#À�Q ½ Q ½�Ð }8À µ ¸ è ¿$Ä�Ä#À�Q ½ Q ½ Y }ÕÖ0¿$¶nº»Ë�Î#OVUL¿�U0Î?î·XOnUL¿�NV¿�N�·MË

¾ UL¿�·X¶n¿�Ä ç½ �Ë�·X¶ROnUL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ%Ë�I µ ¹$On·X¶ � T�� � � * ¹ Æ � � * ½�ã ¿ µ ¹$¿OnUL¿¶nºÊKMU OhU8À µ ¸�NVå?I8ÀT¶V¿ÁC¿$»·�� º»N�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎϹ�ÀT¶VOn¿�NPº�À µ ½

� � ��� * S Í V //

��

S � S � ¥nÍ V<ª �//

��

� � � *

���Æ � � � * S Í V // S � S � ¥nÍ V<ª Æ � � *

// Æ � � *

¾ UL¿�Ë�IL»ÂÕ¿�Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K � � � � * S Í V ¹ S � S � ¥nÍ V<ª �Rº»N:ÀJUL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>}MÁ Î�OnUL¿z¶n¿$Ä#ÀXº µ Ǻ µ K�Ã�ÀT¶POJ·MË è ¿�Ä"Ä#À�Q ½ Q ½ W ½h¾ UL¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�¹�ÀTOn¿�KM·X¶Vº»¿�N�Æ � � � * S Í V À µ ¸ S � S � ¥nÍ V<ª Æ � � *�¿�ÀX¹�UU8À�Ö0¿À µ º µ ºÊOVº�ÀXÂ2·XÁ #{¿�¹$O�º µ ¿�ÀX¹�U�¸L¿�KX¶n¿�¿8} À µ ¸�ÀT¶n¿�OVUL¿$¶n¿�Ë�·X¶n¿�¹�À µ · µ º»¹�ÀX»ÂÊÎϹ$· µ OV¶nÀX¹$OnºÊÁ8ÂÊ¿ ½ ´ OË�·M»ÂÊ·���NOnU8ÀTO�ÀX»NV·�OnUL¿#·MIÕOV¿$¶�¶n¿�¹$OnÀ µ KM»¿�ºÊN�UL·MÄ�·XOn·Xà Π¹�ÀT¶POn¿�NVº»À µ ½�¾ UL¿#NnÀXÄ�¿#ÀT¶nKMILÄ"¿ µ OÀTÃLÃ8»ºÊ¿�NhË�·X¶�� T�� � � * ¹ Æ � � *�À µ ¸�Ë�·X¶ � T�� �� * ¹ Æ �� *�ÀTO � ½ �

�2( �%(��RE+. �G1%5�/�@C,�.�@25L,�.^���X,?³?��EG7� ��� �¿Á2À�Á%��� ��"��#":$�" çzÎÌÀ À��8Á ¾ � ��+ �%¾ À�ÁJ��� ·MË:À"¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$O�OV·XÃC·M»·MKMºÊ¹�ÀXÂ%NPÃ�ÀX¹�¿�Í ��¿ �hºÊ»ÂÄ�¿�À µ À#UL·MÄ�¿�·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ Æ T & � &ƶ·¸h¹ Í }��hUL¿�¶n¿ � ºÊN�À�ä µ º�On¿ µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂNV¿$O ½ H NP¿�¹�· µ ¸�OV¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº»· µ Æ   T & �   &ƶ·¸¢¹ Í º»N)ÀD� Á ��� ¾ � � + ÿÁ .�Á � ÁJ��� ·MËeOVUL¿�äL¶nNPO�}CºÊË¿�ÀX¹�U�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ý�·MË �   Ä#ÀTÃ8N S À @ µ ¿ V »º µ ¿�ÀT¶nÂÊÎ�º µ On·JÀ�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�·MË � }Tº µ On¿$¶nÄ"NG·MË?Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ OV¶nºÊ¹¹�·È·X¶n¸Lº µ ÀTOn¿$N~}®ÀXË�OV¿$¶RKM¿�·MÄ"¿$OV¶nºÊ¹�¶n¿�ÀX»º»Å�ÀTOnº»· µ ½ ´{µ ·XOnUL¿$¶a�z·X¶n¸LN~}®Ë�·X¶h¿�ÀX¹�U�NVº»Ä=Ã8»¿�Ý ��  ¯ �  

�OnUL¿$¶V¿Rº»N�À�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý � ¯ � �"À µ ¸ÏÀ�»º µ ¿�ÀT¶zÄ#ÀTà � T & ß � & ¹ & ß � & NPIL¹vU#OnU8ÀTO�OnUL¿RË�·MÂÊ»·��hº µ K¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ ¹$·MÄ�Ä�IÕOn¿�N ½

& ß �D& //

� ������

& ß � &

� �� ���& �   & �

¶ · //Í & � &�

¶·oo

S ´ ËG¸L¿$NVºÊ¶n¿$¸?} · µ ¿�Ä#À�Î#¶n¿�NPOV¶Vº»¹$OhÀTOVOn¿ µ OnºÊ· µ On· µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿$N � À µ ¸ �� %º µ OnULºÊN¸L¿$ä µ º�Onº»· µ ½ V HJN¶n¿$K0ÀT¶n¸LN�OnUL¿�·X¶n¸L¿�¶nº µ K�·MË�Ö0¿$¶VOVº»¹�¿�NH}���¿#NVU8ÀXÂÊÂ�ÀXNVNPILÄ�¿"OnU8ÀTO�ºÊË�Ë�·X¶�NV·MÄ�¿S � +z¥ � � � OnUL¿=Âʺ µ ¿�ÀT¶�Ä#ÀTà � T & ß � & ¹ & ß � & O�ÀTÛ0¿�N)OnUL¿�+sÇqOVU�Ö0¿$¶VOV¿�Ý�·MË & ß � & On·�OVUL¿ÁC·MI µ ¸8ÀT¶PÎ�·MË & ß � & À µ ¸�OnUL¿ �XÇqOnU�Ö0¿$¶POn¿�Ý�OV·ÏOVUL¿�º µ On¿$¶nºÊ·X¶)·MË & ß � & }®OVUL¿ µ + � � ½ ´^µ ·XOnUL¿�¶��·X¶n¸LNH}�OnUL¿�º µ On¿$¶Vº»·X¶�Ö0¿$¶VOnºÊ¹�¿�NRÀT¶V¿�On·=U8À6Ö0¿�OnUL¿)Á8º»KMKM¿$¶ µ ILÄ�Á®¿$¶nº µ K ½¾ ��·�OV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnºÊ· µ NRÀT¶n¿ � + Á�. ¾�� � ��À º»Ë¬OnUL¿$Î�ÀX¸LÄ�ºÊORÀ�¹�·MÄ�Ä�· µ »º µ ¿�ÀT¶JNVIÕÁC¸Lº�ÖÕºÊNVº»· µ }

À µ ¸=À ����� ¼¿¾ �>À ¼ � � ##��� Ã������ º»N:ÀJ¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O:N{Ã�ÀX¹�¿�Í On·MKM¿$OVUL¿$¶��hº�OnU�À � � À�� + �>À + ��� }º ½ ¿ ½ }bÀ µ ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿e¹�Â�ÀXNVN�·MËÈOP¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº»· µ N ½ H � �� ¾¼ÏÍ ¹ � ·MËȹ�·MÄ"Ã�ÀX¹$O%ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀº»N�· µ ¿e·MËÈOnUL¿eË�·X¶nÄ�Æ   & � & Æ # ¨ }bË�·X¶+NV·MÄ�¿¬OV¶Vº�À µ KMILÂ�ÀTOVº»· µ N<Æ T & � & ¶ ·¸h¹ Í À µ ¸=Æ;  T & � & ¶ ·¸h¹ � º µOnUL¿h¶V¿�NPÃC¿$¹$OnºÊÖ0¿ æ�è NPOV¶nIL¹�OnIÕ¶n¿�N~}ÕÀ µ ¸ � T � ¹ � ÀNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ8Ä#ÀTà ½ � ¿�»¿$O ) T�� ¹ � Á®¿OnUL¿6¼ � � ##���;Ã�� ¾�� ��� ¾ � Á% ¾ À�Á%��� Ë�I µ ¹$On·X¶�})�hULºÊ¹vU OnÀTÛ0¿�N�À�ä µ º�On¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂNV¿$O � On·�ºÊOnNÏKM¿�·MÄ"¿$OV¶nºÊ¹Ì¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ & � & }½�hº�OnU OnUL¿ æ�è N{OV¶nIL¹$OnIÕ¶V¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿�¸BÁÈÎ OVUL¿º»¸L¿ µ Onº�O¡Î�OP¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº»· µ + � T & � & ¶·¸¢¹ & � & ½

Page 103: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

���H� ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

*-A�38,�� ��{ ��{ �;{ ¾ UL¿$NV¿JÀT¶n¿�OnUL¿h¹�»ÀXNVNVºÊ¹�ÀX ¸L¿�ä µ ºÊOnºÊ· µ N~}?¿�ÝÕ¹�¿$ÃLO�OnU8ÀTOz· µ ¿�ILNVI8ÀX»Â�Î�ÀXNPÛ?N�OnU8ÀTO� ºÊN�À�ä µ º�On¿hNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂÕ¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿�Ý=º µ NPOn¿�ÀX¸�·MË2À�ä µ º�On¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶zNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂLNP¿$O � â¬æT� S }°�Q ½xÐ>�q½ ç�IÕOOVUL¿=Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ OV¶nº»¹"NVIÕÁC¸Lº�ÖÕº»NPº»· µ �   ·MË�À µ Î ä µ ºÊOV¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀX¬¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿�Ý � º»NÀä µ ºÊOV¿�·X¶V¸L¿$¶n¿�¸ NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂG¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿�Ý?}CÀ µ ¸�OnUL¿ µ ·X¶nÄ#ÀXÂGNVIÕÁC¸Lº�ÖÕº»NPº»· µ ( � S���V ·MË�À µ Î�ä µ ºÊOV¿µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶=NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NV¿$O�º»N�À�ä µ ºÊOn¿ÏNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NV¿$O�º µ �hULºÊ¹�U ¿�ÀX¹�U µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿NVºÊÄ"Ã8»¿�Ý�º»N:I µ º»åÈIL¿�ÂÊÎ�¸L¿$OV¿$¶nÄ�º µ ¿�¸=Á Î�ºÊOnN:NV¿�O�·MË�Ö0¿$¶VOnºÊ¹�¿�N S � Ë ÀX¹$¿�N�º µ NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂȸL¿�KX¶n¿�¿�S V ½� ¿R¹�À µ ¹�À µ · µ º»¹�ÀXÂÊÂÊÎ=º»¸L¿ µ OnºÊË�Î=ä µ º�On¿R·X¶n¸L¿$¶V¿�¸ÏNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ8¹�·MÄ"Ã8»¿vÝL¿�Nl�hº�OnU"OnUL¿R»ÀTOVOn¿$¶�ÛÕº µ ¸·MËGNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂCNV¿$OnN ½ ´ O�Ë�·M»»·���N�OnU8ÀTO�¿�ÀX¹�U æ�è NPOV¶nIL¹�OnIÕ¶n¿º µ OnUL¿�¹�»ÀXNVNVº»¹�ÀXÂ�NP¿ µ NV¿º µ OV¿$¶nNV¿�¹�OnNµ · µ OV¶nºÊÖ?º�ÀXÂÊÂÊÎ �hº�OnU�À�I µ ºÊå?IL¿ æ�è NPOV¶nIL¹�OnIÕ¶n¿)º µ OnUL¿RÃL¶n¿$NV¿ µ OhNV¿ µ NV¿>}8À µ ¸�� �����������;}ÕNP·�OVUL¿¸L¿$ä µ º�Onº»· µ NhÀT¶n¿�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ O ½

� Ý?Ã8»ºÊ¹�ºÊOnÂ�Î�}�OnUL¿�¹�»ÀXNVNVºÊ¹�ÀX æ�è NPOV¶VIL¹$OnIÕ¶n¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿�¸BÁÈÎ-À OP¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº»· µ Æ T & � & ¶·¸h¹Í }2Ë�·X¶�ÀÏNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂG¹$·MÄ"Ã8»¿�Ý � }2¹$·X¶V¶n¿�NPî· µ ¸LN�On·#OnUL¿ æ�è NPOV¶nIL¹$OVIÕ¶n¿=KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿�¸ ÁÈÎ�OVUL¿Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ OV¶nº»¹�ÀX»ÂÊÎ NVIÕÁC¸Lº�ÖպʸL¿�¸�OP¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº»· µ Æ   T & �   &�¶·¸K¹ Í }¿��UL¿$¶n¿ �   º»N�Ö?º»¿H�z¿�¸�ÀXN�Àµ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NV¿$O ½ á · µ Ö0¿$¶nNP¿�ÂÊÎ�}¬OnUL¿Ï¹�IÕ¶V¶V¿ µ O æ�è NPOV¶nIL¹$OVIÕ¶n¿ÏKM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿$¸AÁ Î�ÀOV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnºÊ· µ Æ T & � & ¶·¸¢¹ Í }hË�·X¶�À µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂhNV¿�O � }�¹�·X¶V¶n¿�N{ÃC· µ ¸LN�OV·OnUL¿�¹�»ÀXNVNVºÊ¹�ÀX æ�è NPOV¶nIL¹�OnIÕ¶n¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿�¸�ÁÈÎ�OVUL¿ µ ·X¶nÄ#ÀX»Â�ÎÌNPIÕÁC¸LºÊÖ?º»¸L¿�¸�OV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnºÊ· µ Æ �Æ � T & ( � S���V$& ¶·¸¢¹ Í } ��UL¿$¶n¿'( � S���V ºÊN�Ö?º»¿H�z¿�¸�ÀXN�À=NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂC¹$·MÄ"Ã8»¿�Ý ½ *-A�38,�����{ ��{ ��{ â ·X¶�À-KMº�Ö0¿ µ OV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnºÊ· µ Æ T & � & ¶ ·¸h¹ Í }JOnUL¿ µ ·X¶nÄ�ÀXÂ�NPIÕÁC¸LºÊÖ?º»NVºÊ· µ( � S���V ÃL¶n·6ÖպʸL¿�NRÀ�NVIÕÁC¸Lº�ÖÕº»¸L¿$¸ÌOV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnºÊ· µ

Æ  �� Æ � Æ � T & ( � S���V$& ¶ ·¸h¹ Í�¥

��UL¿$¶n¿AÆ � T & ( � S���V$& ¹ & � & º»N�OnUL¿ ¹�À µ · µ ºÊ¹�ÀX S Á8IÕO µ ·XO µ ÀTOnIÕ¶�ÀX V UL·MÄ�¿$·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ ½´^µ Ã�ÀT¶VOnº»¹$ILÂ�ÀT¶�}�ºÊO"NnÀTOnºÊNPä8¿�N#·MIնϹ�· µ Ö0¿ µ Onº»· µ · µ OnUL¿�·X¶n¸L¿$¶Vº µ K ·MËJÖ0¿$¶VOnºÊ¹�¿�N ½ ç�Î � ã I8Y � }á ·X¶ ½J¼M½ Y � }h¿�ÀX¹�U Âʺ µ ¿�ÀT¶�NVIÕÁ®¸LºÊÖÕºÊNVº»· µ �  J·MË�À ä µ ºÊOn¿ NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂR¹$·MÄ"Ã8»¿�Ý � ÀX¸LÄ�º�OnN�ÀË�IÕ¶VOnUL¿�¶R»º µ ¿�ÀT¶RNPIÕÁC¸LºÊÖ?º»NVºÊ· µ �    %OVU8ÀTOhºÊNhº»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»¹JOn·"À µ º�On¿$¶�ÀTOn¿$¸ µ ·X¶nÄ#ÀXÂ2NPIÕÁC¸LºÊÖ?º»NVºÊ· µ( � � S �mV }LË�·X¶hNV·MÄ"¿ ) ½� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� �?" �#"��)" &#(+* D�@B= EB(+*.g8,.38=�,.*M38= /���387�/¬@B5 \ 9�5�LH7C@B,_1 ) T���� * ¹ � � * 385�g

) T�� �� * ¹ � � � *�¥

3B10kT*-=2=�3B1 7:(+*-/J,]385�3>=K@ �89�*_1 ) T Æ � * ¹ Æ � * 385�g ) T Æ �� * ¹ Æ � � * i®38,M* (+@BA @B7C@MD�EF*.GH9;/JI �38=K*-5?LM*_1~{

� µ »º�Û0¿�Ë�·X¶ æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ Q ½ Ø?½»¼ Á®¿�»·�� }��z¿�¸L· µ ·XO:¹�»ÀXº»Ä&OnU8ÀTO:OnUL¿$NV¿�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ?Ë�I µ ¹$OV·X¶nNÀT¶n¿�¸L¿�KX¶n¿�¿H��º»NP¿RUL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N ½ ´^µ Ã�ÀT¶VOnºÊ¹�ILÂ�ÀT¶~}^��¿h¸L· µ ·XOz¹�»ÀXº»Ä On·Û µ ·��BOnU8ÀTO) T���� ¹ ��� À µ ¸") T Æ � ¹ Æ � ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N ½s½,.@�@ \ { � ¿a�hºÊ»Â�¹�· µ ¹�¿ µ OV¶�ÀTOV¿J· µ OnUL¿R¹�ÀXNV¿J·MËCOVUL¿RË�I µ ¹$On·X¶�) T�� �� ¹ ���� ½e¾ UL¿J·XOVUL¿$¶�¹�ÀXNV¿$N¸Lºh�®¿$¶�· µ ÂÊÎ�Á Î�OP¶nºÊÖ?º�ÀXÂÕÄ�·È¸LºÊä8¹�ÀTOVº»· µ N ½¬¾ UL¿h¹$Â�ÀXº»Ä ºÊNeOVU8ÀTOeOVUL¿�Á8º»NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ?Ä#ÀTÃ=·MË µ ¿$¶VÖ0¿$N

� � � ¥ � � ��º ¸�¹ S � � �� à�¸ ¹ � � � � à V

º»NhÀ���¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿8}���UL¿$¶n¿ � � �� à º»N�OnUL¿NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2¸L¿�KX¶n¿�¿ ��Ã�ÀT¶VOR·MËGOVUL¿µ ¿$¶VÖ0¿�·MË%OnUL¿)¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ � �� à }8À µ ¸�NPº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶nÂ�Î"Ë�·X¶ � � � � à ½ ç�Î"OnUL¿�¶V¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ ÂÊ¿�Ä�Ä#Àº�O½�hºÊ»ÂÁC¿�¿ µ ·MILKMUÌOn·=NVUL·�� OnU8ÀTO�OVUL¿Ä#ÀTÃ�·MË<NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂCNP¿$OnN

) T�� � �� * ¹ � � � � *

Page 104: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� ��� �º»N�À ��¿�ÀTÛ UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�Ë�·X¶�¿�ÀX¹�U � ½Ïã ¿$¶n¿ � � �� *�º»N�OVUL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ:NV¿$O4��ºÊOVU�jÇqNVº»Ä=Ã8»º»¹$¿�N � � �� à }8º ½ ¿ ½ }LOnUL¿�NV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿�NR·MË�#¹�·MÄ"î·MNnÀTÁ8»¿�NVºÊÄ"Ã8»¿)Ä#ÀTÃ8N

� � - �¸-¹ � ¨

-¸-¹ �,�,� - �¸B¹ � �

·MË Ó ¿�¶V¶n¿�äLÁL¶nÀTOnº»· µ N�·jÖ0¿$¶zß=àB}^��UL¿$¶n¿�¿�ÀX¹�U � � º»N�À�ä µ º�On¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶zNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ?NV¿$O�}ÈÀ µ ¸NVºÊÄ�º»Â»ÀT¶nÂÊÎ#Ë�·X¶ � � � � * ½â ·X¶�À µ Î ¹�UL·Mº»¹$¿#·MËzÁ�ÀXNV¿"ÃC·Mº µ O�º µ & � � �� * & }<¿�ÀX¹vU�¿�ÂÊ¿�Ä�¿ µ O�º µ OnUL¿"¶n¿$Â�ÀTOnº�Ö0¿"UL·MÄ�·XOn·Xà Î

KX¶n·MIÕà �TNV¿�O § � S ) V ¹�À µ ÁC¿�¶n¿�ÃL¶n¿�NV¿ µ On¿�¸�ÁÈÎ�OnUL¿�KM¿$·MÄ�¿$OV¶nºÊ¹�¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ ·MË�À�Ã�ÀXº�¶)·MË�Ä#ÀTÃ8NS�� ¥ � V ÀXN�º µ OVUL¿ÌË�·M»ÂÊ·���º µ K�»¿�Ä"Ä#À }l��ºÊOVUL� � Å�À�NVILº�O�ÀTÁ8»¿�NVIÕÁC¸Lº�ÖÕº»NPº»· µ ·MËhOVUL¿�Ã�ÀXºÊ¶� ß � � ß � ½ r�;��� ¾ ��"��#" ��"Ft�*-7 � � Å I-*�3 D38/%,�@ \ Gu5/J7»*05�@B5 � 1_/J5��>9�=h38,e1_/JAaD�= /¬L-/�38=�1�*-7%1�385�g

� �//

��

��

� � �� *���Š� // � � � � *

3 LM@8A]A]9;7 387�/JI>*�1~GH938,.*�{ &)(+*-5 7:(+*-,M*�*���/21-7%1m3 Gu5/J7»*�5�@B5��C1_/J5��89;=h38,P1-/JAaD�= /¬LH/�38=w1�*-7 �LM@B5�7 38/%5/J5�� � i|3 kT*.3 � (+@BA6@B7»@.D�E *.G~9�/JI>38=K*-5�LM* Æ T � ¹ Å ,M*-=h387�/JI>* 7»@ � i|3>5�gÆ3�A63MD

T � ¹ � � �� *

1_9�L_( 7:( 387 K& � � � 385�g � Æ /J1 (+@BA6@[email protected]�/¬L 7»@ ) m,.*-=h3>7:/JI�* 7C@ � {

� �//

��

��>>

>>>>

>��

��

� � �� *

��

��

�����

����

��

=={{{{{{{{

�Š� // � � � � *

× ¶nÀ µ Onº µ K"OnULºÊN~}���¿¹�À µ�µ ·���¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿$On¿�OnUL¿ÃL¶n·È·MË<·MË æ ¶n·Xî·MNVºÊOVº»· µ Q ½xÐL½�ÐL½�Ñ ºÊKMU Oh¹�·MÄ=ÇÃC·MNPºÊOnºÊ· µ ��ºÊOnU�OnUL¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ S & Æ & ¥ + � V T S & � & ¥ & � & V ¹ S & Å & ¥ & � & V ·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸Ë�¶n·MÄÉOnUL¿�ÂÊ¿�Ä�Ä#À�º µ ¸LIL¹�¿$N)À=Á8º #{¿�¹�Onº»· µ · µ UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¹�»ÀXNVNV¿�Nh·MË<Ä#ÀTÃ8N~}�hULºÊ¹�U�O�ÀTÛ0¿�N�OVUL¿UL·MÄ�·XOn·Xà Π¹�Â�ÀXNPN�·MË S & � & ¥ & � & V On·ÌOnU8ÀTO�·MË S & � Æ & ¥ & � &�V ½ HJ»NV·�Á Î�OVUL¿#»¿�Ä�Ä�À }%OVUL¿#Â�ÀTOVOn¿�¶�º»NUL·MÄ�·XOn·XÃ8ºÊ¹ROn· S & ) & ¥ & � &�V }���ULº»¹�U�¶V¿$ÃL¶n¿�NV¿ µ OnNhS ½e¾ U ILNRÀXÂÊ®OnUL¿J¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿JUL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ#KX¶V·MIÕÃ8N§ � S ) V ÀT¶V¿�S"À µ ¸ )�º»NRÀ]��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½ �

s½,.@�@ \ @ \ t�*-A]A�3 ��{���{���{ � ¿#OV¶�À µ NV»ÀTOn¿#º µ On· Ä�·X¶n¿#¹�· µ ¹$¶V¿$On¿ÏOn¿$¶nÄ�N4��U8ÀTO�ºÊO�Ä�¿�À µ N�OV·U8À�Ö0¿�À Ä#ÀTà ÂʺÊÛ0¿ � T Å ¹ � � � � * ½ Ó IÕÃLî·MNV¿�äL¶nNPO=OnU8ÀTO � � S ½ H �6ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿�ÝA·MË � � � � *º»N #{ILNPO#À æ�è Ó ¿$¶V¶V¿ÌäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ § T�� ¹ & ß�à & ½ ´ Ë®��¿�ÀT¶n¿�KMºÊÖ0¿ µ À Ä#ÀTà � T Å ¹ � � � � *��¿#·XÁLO�ÀXº µ À�NPÃ�ÀX¹�¿#·6Ö0¿$¶ & Å & }GÁ Î KMÂÊILº µ K�·6Ö0¿$¶�OnUL¿�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�N·M˽Š½ ´ Ë Å ºÊNä µ ºÊOV¿#À µ ¸µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶OnUL¿ µ OnULºÊN�NPÃ�ÀX¹�¿�ºÊN�À�î·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶n· µ } NnÀ6Î�}GÀ µ ¸ OnUL¿�Ä#ÀTÃm§ T ¹ & Å & º»NÃ8º»¿$¹�¿H��º»NV¿�Çq»º µ ¿�ÀT¶ ½�¾ ·�¹�U8ÀT¶�ÀX¹$On¿�¶nº»Å�¿� ºÊO)NPI @�¹�¿�N�On·ÏNnÀ�Î�OnU8ÀTO�º»Ë � º»N�À��6ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ�·MËrÅ }

Page 105: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

��� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

OnUL¿ µ OnUL¿#Ã8IL»Â�Á�ÀX¹�Û�Á Î & � � & T & ß=à & ¹ & Å & ·MË º»N�OnUL¿ÏÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶n· µ �^S��~V ·6Ö0¿$¶ & ß=à & ½ çzÎOnUL¿�Á�ÀXNV¿�KMÂÊILº µ KÏ»¿�Ä"Ä#À"Ë�·X¶ Ó ¿$¶V¶V¿�äLÁL¶nÀTOnº»· µ N S æ ¶n·XÃC·MNPºÊOnºÊ· µ W ½ Þ?½ � V }�§ T ¹ & Å & º»N)ÀX»NP·À Ó ¿$¶P¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ }CÀ µ ¸�¹�· µ Ö0¿$¶nNV¿$ÂÊÎ�}CÀ µ Î æ�èAÓ ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOVº»· µ § T ¹ & Å & ÀT¶nº»NP¿�NRË�¶n·MÄ ÀI µ º»åÈIL¿�Ä#ÀTà � T Å ¹ � � � � *8}<IÕà OV·�º»NV·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ ½"Ú ·X¶n¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀX»Â�Î�})��¿=·XÁLO�ÀXº µ º µ OnULºÊNË ÀXNVULºÊ· µ À�¹�·X¶V¶V¿�NPÃC· µ ¸L¿ µ ¹�¿�Á®¿$OC��¿�¿ µ Ä#ÀTÃ8N � T Å ¹ � � � � *#À µ ¸�NV¿�å?IL¿ µ ¹�¿�N�·MË ��NVºÊÄ"Ã8»¿Ä#ÀTÃ8N

S Q ½xÐL½ Y V � ¸ ¹ T¨ ¸ ¹ �,�,� ¸ ¹ �·MË æ�èAÓ ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnº»· µ N�·jÖ0¿�¶ & Å & } �hUL¿�¶n¿¿�ÀX¹�U � ºÊNhÀ�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶V· µ ½â ·X¶'� � Å }<OnUL¿�¶n¿�N{OV¶nº»¹�Onº»· µ � & � T � ¹ � � � � *"OnUL¿ µ ¹�·X¶V¶n¿�N{ÃC· µ ¸LN�On·�OnUL¿#¶n¿�NPOP¶nº»¹$OV¿�¸

NV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿�·MË �ÏNVºÊÄ"Ã8»¿)Ä#ÀTÃ8N

S Q ½xÐL½ Þ V N � ¸ ¹ N ¨ ¸ ¹ �,�,� ¸ ¹ N �·MË æ�è Ó ¿$¶V¶n¿#äLÁL¶�ÀTOVº»· µ N�·6Ö0¿$¶ & � & }���UL¿$¶n¿#¿�ÀX¹�U N � � & � &¤

� � � � º»NOVUL¿�¶n¿�NPOV¶Vº»¹$OnºÊ· µ ·MË

� ¹ & Å & On· & � & � & Å & ½ H�Ä�ÀTà � T � ¹ � � �� *0�hº�OnU ) � � �)& ��OnUL¿ µ ¹�·X¶V¶V¿�NPÃC· µ ¸LNROV·ÏÀOV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnºÊ· µ ·MË+OnUL¿�NP¿�å?IL¿ µ ¹$¿�ÀTÁC·6Ö0¿>}8º ½ ¿ ½ }8À�NV¿�å?IL¿ µ ¹�¿�·MË�#NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿)Ä#ÀTÃ8N

� � ¸ ¹ � ¨ ¸ ¹ �,�,� ¸ ¹ � �·MË Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶nÀTOnº»· µ N#·6Ö0¿$¶ ��}T��UL¿$¶n¿�¿�ÀX¹�U � � ºÊNÏÀ ä µ ºÊOn¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶ÏNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ�NV¿$O�}��UL·MNV¿�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶�ÀXÂ�¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ º»NROnUL¿�NP¿�å?IL¿ µ ¹$¿ S Q ½�ÐL½ Þ V ÀTÁC·6Ö0¿ ½Rã ¿$¶V¿4��¿�ÀXK0ÀXº µ ILNV¿�OVUL¿Á�ÀXNV¿�KM»ILº µ KÏ»¿�Ä�Ä�À"Ë�·X¶ Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N~}COn·Ï¿�åÈI8ÀTOn¿�OnUL¿ Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOVº»· µ NJ·6Ö0¿$¶1� ��ºÊOVUOnUL¿�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂCÄ#ÀTÃ8N�OnU8ÀTO�¶n¿�NPOP¶nº»¹$O�On·=À Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ ·6Ö0¿$¶h¿�ÀX¹vU�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�·MË � ½Ô ·��Z��¿�ÀTÃLî¿�ÀXÂ2On·=OVUL¿Ë�·M»ÂÊ·���º µ K S NVIÕÁÕÇ V »¿$Ä�Ä#À ½

r�;��� ¾ ��"��#" �?" &#(* 1�*.G~9*-5?LM*�@ \ D�@8= E�(+*Mg8,<3 385�g srt A63MD�1

� ¸ ¹ T¨ ¸ ¹ �,�,� ¸ ¹ � ¸ ¹ & Å &

A�38E�I_*47:,-/�385��>9�=h387»*.g I~E�3 g8/�3 �>,<38A

� � ¸ ¹ � ¨ ¸ ¹ �,�,� ¸ ¹ � � �¸ ¹ Å  

@ \ Gu5/J7»* 5�@B5��C1_/J5��89;=h38,e1_/JAaD�= / L-/�38=?1�*-7%1Mil/J5P1_9�L_(P3 kr38E67:( 387 �S ¼ Vm7:(+* 7�,_/�385 �89�=h3>7:/¬@85 Å   @ \ & Å &?/2143�= /J5?*.38, 1_9)I_g8/JI�/21-/¬@B5�@ \ Å i½385�gS W V \ @B, *-I>*H,_E + i N � � � /21�3 1_9�I_LM@BAaD�=K*��Ækl/J7%(�385�/J5�g89�LM*.g 7:,-/�385��89;=h387�/¬@B5 �  � 7%(+387/21436= /J5�*.38, 1_9�IMg8/JI�/21_/¬@B5�@ \ /J7%1]@B,_/ �>/J5�38=?7�,_/�3>5��89;=h387:/ @B5 � � {

s½,.@�@ \ { çzÎ�OV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnºÊ· µ OnUL¿�·X¶VÎ�}�¿ ½ K ½ � ã I8Y � } ¾ ULÄ ½�¼M½»¼M¼~� ·X¶ � ÑJÓLÞ W;} ¾ ULÄ ½ W ½»¼jØB� }�º�OJº»NÀXÂh��À6Î?NhÃC·MNVNPºÊÁ8»¿�On·�OP¶nº�À µ KMIL»ÀTOn¿�À#NV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿�·MË æ�è Ä�ÀTÃ8NJ·MË:î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�À }2À µ ¸�Ä�·X¶n¿$·jÖ0¿$¶OnUL¿�OV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnºÊ· µ N�¹�À µ ÁC¿�¹�UL·MNV¿ µ On· ÁC¿�ä µ ¿>}hº µ OnUL¿�NV¿ µ NP¿ OnU8ÀTO#OVUL¿$Î-¶n¿$ä µ ¿ KMºÊÖ0¿ µOV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnºÊ· µ N<À µ ¸�¹�· µ O�ÀXº µ KMº�Ö0¿ µ NVIÕÁLî·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶�ÀJÀXN¬NVIÕÁC¹$·MÄ"Ã8»¿�ÝÕ¿�N ½<â ·X¶<OnUL¿�ÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�À }NVIÕÁLî·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶�À=À µ ¸�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�·MË2OnUL¿JKMºÊÖ0¿ µ OV¶Vº�À µ KMILÂ�ÀTOVº»· µ Nz¹�À µ Á®¿�ÀXNPNV¿�Ä�Á8»¿�¸�º µ À ����� !��¾ #¡À����;� ½�Ò IÕ¶"¹$· µ Ö0¿ µ OnºÊ· µ · µ ·X¶n¸L¿$¶nº µ KMN�Ä#À6Î�ÁC¿ÏË�·X¶n¹�¿$¸AOV¶nIL¿8}�ºÊË µ ¿$¹�¿�NVNnÀT¶PÎ�}�Á Î�À µÀX¸L¸LºÊOVº»· µ ÀX S Ã8NV¿$IL¸L·TÇ V Á�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ OV¶nºÊ¹�NVIÕÁC¸Lº�ÖÕºÊNVº»· µ ½ �

Ñ ¿�OnIÕ¶ µ º µ K=On·�OVUL¿�ÃL¶n·È·MËG·MË è ¿�Ä�Ä#À�Q ½�ÐL½ÙØ };��¿�»¿$O

& � & � & � ¤ ß ¨ &-�� Q � &

Å &

Page 106: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� ��� �ÁC¿�OnUL¿�Ä#ÀTÃLÃ8º µ K=¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶�·MËGOnUL¿�¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K & � &�� & Å & }8À µ ¸Ì¸L¿�ä µ ¿

� � � N � ¤L& ß ¨ &-����

�Ë�·X¶�¿�ÀX¹�U + ½ � ¿�·XÁLO�ÀXº µ À�NV¿�å?IL¿ µ ¹�¿�·MË ��NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä�ÀTÃ8N

S Q ½xÐL½ � V � � ¸ ¹ � ¨ ¸ ¹ �,�,� ¸ ¹ � �·MË æ�è�Ó ¿$¶P¶n¿�äLÁL¶nÀTOnº»· µ N:·6Ö0¿$¶ & � & } µ ÀXÄ�¿�Â�ÎOnU8ÀTOe·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸�Ë�¶n·MÄ S Q ½�ÐL½ Y V Á Î�Ã8IL»ÂÊÁ�ÀX¹nÛ�ÀXÂÊ· µ KOnUL¿�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶�ÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ T & � & ¹ & Å & ½¾ UL¿�î·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶n· µ & � & �hºÊ»ÂÕÁ®¿�OV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOn¿$¸�ÀXN � � �c    � Q � Å� �}��hUL¿�¶n¿wÅ� 8º»N:OnUL¿hÂʺ µ ¿�ÀT¶NVIÕÁ®¸LºÊÖÕºÊNVº»· µ ·MËwÅ } �c �OnUL¿�º µ ¸LIL¹�¿�¸ NPIÕÁC¸LºÊÖ?º»NVºÊ· µ ·MË ��}zÀ µ ¸?�c   �º»N=À OP¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº»· µ ·MË

OnUL¿�¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶ & � ¤ ß ¨ & OnU8ÀTO�¿�Ý?On¿ µ ¸LNOnUL¿=OV¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº»· µ N �ÉÀ µ ¸ �c �ÀTOOnUL¿"OC��·�¿ µ ¸LN ½¾ ·#ÁC¿�N{ÃC¿�¹�º�ä8¹>}��c   <ºÊNJ·XÁLO�ÀXº µ ¿$¸ Á Î�º µ ¸LIL¹�OnºÊÖ0¿�Â�Î � À ¾ �B�BÁ�� � ¿�ÀX¹�U ·MËeOVUL¿�¹$· µ Ö0¿�Ý" � ��� � �& ß ��¤ ß ¨ & Ë�¶n·MÄ�NV·MÄ"¿�º µ On¿$¶nºÊ·X¶<ÃC·Mº µ O�}���ºÊOnU�· µ ¿�Á8ÂÊ·?¹nÛ�Ë�·X¶e¿�ÀX¹�U µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀTOn¿�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�� T ß � ¹ ��}Lº µ ·X¶n¸L¿�¶h·MË+º µ ¹$¶n¿�ÀXNVº µ K=¸Lº»Ä�¿ µ NPº»· µ ½ ´^µ ·XOnUL¿$¶ ��·X¶n¸LNH}�z¿�U8À�Ö0¿�º µ ¸LIL¹$Onº�Ö0¿�ÂÊÎOV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOn¿$¸�OnUL¿�ÁC·MI µ ¸8ÀT¶PÎ�·MËÕOnULº»N+Á8»·?¹nÛ�}MÀ µ ¸�OV¶nº�À µ KMIL»ÀTOn¿�OVUL¿r�hUL·MÂÊ¿�Á8»·È¹nÛ�ÀXNGOnUL¿�¹$· µ ¿· µ º�OnNJÁC·MI µ ¸8ÀT¶VÎ�}���ºÊOnU�À µ Î º µ On¿�¶nº»·X¶)ÃC·Mº µ OÀXNJOnUL¿�¹�· µ ¿=Ö0¿$¶POn¿�Ý ½ HJNJ¶n¿$K0ÀT¶n¸LN·X¶n¸L¿�¶nº µ K+}��¿ÀXÂh��À�ÎÕN�Ä#ÀTÛ0¿)OnUL¿�¹�· µ ¿�Ö0¿$¶POn¿�Ý�OnUL¿Â»ÀXNPO�Ö0¿$¶VOn¿vÝÌ·MË+OnUL¿ µ ¿-��NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�N ½¾ UL¿�NP¿�å?IL¿ µ ¹$¿ S Q ½xÐL½ � V µ ·�� ¶n¿�ÃL¶n¿�NV¿ µ OnN�OnUL¿ÏÄ#ÀTÃ�OnU8ÀTO���º»Â»Â�ÁC¿ ) T � ¹ � � � � * ½ ¾ ·

¸L¿$ä µ ¿�OnUL¿�Âʺ»Ë�Onº µ K T � ¹ � � �� *0��¿�Ä�ILNPOROP¶nº�À µ KMIL»ÀTOn¿�OnUL¿ � � À µ ¸�OVUL¿�Ä#ÀTÃ8NhÁC¿�O»�z¿�¿ µOnUL¿�Ä º µ À�¹�¿�¶VO�ÀXº µ ��À6Î ½:è ¿�Ä�Ä#À�Q ½�ÐL½ ��ÃL¶n·jÖ?º»¸L¿�N�OV¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº»· µ N � � ·jÖ0¿$¶|Å]  ·MËCOnUL¿hÃ�ÀT¶VOVN � � � � ½ � ¿ÏOV¶nº�À µ KMIL»ÀTOn¿#OnUL¿�NVIÕÁLÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶n· µ N � � � � S ÀTO�OnUL¿�Ë�¶n· µ O"¿ µ ¸ V Á Î�OVUL¿·X¶nºÊKMº µ ÀXÂGOV¶Vº�À µ KMILÂ�ÀTOVº»· µ N � � ·6Ö0¿$¶1� ½�¾ ULºÊN)¿ µ NVIÕ¶n¿�N�OnU8ÀTO & � � � ½�â º µ ÀX»Â�Î�}COnUL¿�Á8ÂÊ·?¹nÛÕN& ß � ¤ ß ¨ & ·MË N � ¤ & ß ¨ & ÀT¶n¿�OV¶nº�À µ KMIL»ÀTOn¿�¸ º µ ¸LIL¹$OVºÊÖ0¿�Â�Î�}2º µ ·X¶n¸L¿$¶�·MË�º µ ¹$¶n¿�ÀXNVº µ K � }2ÁÈÎNPO�ÀT¶P¶nº µ K�ÀTONPILºÊO�ÀTÁ8ÂÊ¿�º µ OV¿$¶nº»·X¶�ÃC·Mº µ OVN ½�ã ¿$¶n¿�NV·MÄ�¿�¹�ÀT¶n¿�Ä�ILNPO�ÁC¿�O�ÀTÛ0¿ µ On·Ì¿ µ NPIÕ¶n¿=OnU8ÀTOOnUL¿�NP¿hº µ On¿$¶Vº»·X¶:ÃC·Mº µ OnN�ÀT¶n¿�¹�UL·MNV¿ µ ¹�·MÄ=Ã�ÀTOnºÊÁ8Â�Î4�hº�OnU�OnUL¿�Ä�ÀTÃ8Neº µ S Q ½xÐL½ Þ V À µ ¸�OnUL¿�Á8I µ ¸LÂÊ¿ÃL¶n·�#{¿�¹$OVº»· µ On· & � & ½R¾ ULº»Nhº»NJ¸L· µ ¿�Á ÎÌOV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnº µ K�Ë�¶n·MÄ � À µ ¸ N � Á�ÀX¹�ÛÌOn·���ÀT¶n¸LN N �>}À µ ¸ µ ·XOnº µ KOnU8ÀTOzË�·X¶zÀ µ Î"NVIÕ¶�#{¿�¹�OnºÊÖ0¿RÄ�ÀTà & ß � & ¹ & ß �D& OnUL¿hº µ On¿�¶nº»·X¶�·MË & ß � & Ä#ÀTÃ8N�· µ OV·OnUL¿Rº µ OV¿$¶nº»·X¶z·MË & ß �D& ½ HJN�ÁC¿�Ë�·X¶V¿>}?OnUL¿ µ ¿-� ¹�· µ ¿RÖ0¿$¶POn¿�Ý"º»N�ÀX¢��À6Î?N µ ILÄ�Á®¿$¶n¿�¸�ÀXN�OVUL¿RÂ�ÀXNPOÖ0¿$¶VOV¿�Ý ½¾ ·�¹$·MÄ"Ã8»¿$OV¿�OnUL¿hÃL¶V·?·MË2·MË2OnUL¿RÂÊ¿�Ä�Ä#À }���¿RÄ�ILNPOz¸L¿$ä µ ¿ROnUL¿a��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà Î=¿�å?ILº�ÖXÀbÇ

»¿ µ ¹�¿�Æ T � ¹ Å }�À µ ¸ÌNVUL·�� OnU8ÀTO&) ºÊN�UL·MÄ�·XOV·XÃ8º»¹JOn· � Æ�}8º µ Á®·XOnU̹�ÀXNV¿�N�¶V¿�Â�ÀTOnº�Ö0¿�OV· � ½¾ UL¿�Ä�ÀTÃ�Æ �hºÊ»ÂGÁ®¿=À�ÖTÀT¶nº�À µ O)Â�ÀXN{OJÖ0¿$¶VOn¿�Ý Ä�ÀTà �  ¬Ë�¶n·MÄ � � �c    � Q � Å] +On·#OnUL¿�Á8»·?¹nÛ¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿�Ý � ¤ ß ¨ � Q Å OnU8ÀTO=ºÊO�NVIÕÁ®¸LºÊÖպʸL¿�N S �hº�OnUL� ¤ ß ¨ ¸L¿�¹$·MÄ"ÃC·MNV¿$¸-º µ On·�Á8ÂÊ·?¹nÛÕNß � ¤ ß ¨ }®¶�ÀTOnUL¿$¶hOnU8À µ º µ On·ÏNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿$N V }®Ë�·MÂÊ»·���¿�¸�Á Î�OnUL¿�¹$Î?»º µ ¸L¿�¶JÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ On·�Å ½´^µ NPOn¿�ÀX¸�·MË:¸L¿$Ö0¿�ÂÊ·XÃ8º µ K�À"OnUL¿�·X¶PÎ�·MË:Â�ÀXNPOhÖ0¿$¶VOn¿�Ý�Ä#ÀTÃ8NRË�·X¶JÁ8ÂÊ·?¹nÛ�¹�·MÄ=Ã8»¿�ÝÕ¿�N~}®¿vÝÕOn¿ µ ¸Lº µ KÓ ¿�¹$OVº»· µ W ½ W;} ��¿�#{ILNPOh¸L¿�NV¹$¶VºÊÁC¿�OnUL¿¹$·MÄ"ÃC·MNVº�On¿)Ä#ÀTÃ�Æ � �  %¸LºÊ¶n¿$¹$OnÂÊÎ ½

� ÀX¹�U SbÇÜNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý � ¯ � ��º»N)À"î·Mº µ O)·MË & � & }���ULº»¹�U�Ä�ÀTÃ8NJI µ ¸L¿$¶ T & � & ¹ & Å & On·�OVUL¿º µ On¿$¶Vº»·X¶�·MË<À�I µ º»åÈIL¿ µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿�NVº»Ä=Ã8»¿�Ý �8S �;V ·MË�Å }L·MË�On¿ µ ¹�ÀX»»¿$¸�OnUL¿1� +�¼¿¼ ����À ·MË S �;V ½ � ¿�¸L¿$ä µ ¿=Æ S � VT¯ Å��JOn·�ÁC¿)OnUL¿�»ÀXNPO�Ö0¿$¶VOn¿�Ý�·MË�OnULº»N�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ý �>S �;V }8À µ ¸ µ ·XOV¿�OnU8ÀTOÀXË�On¿$¶:KM¿$·MÄ�¿$OV¶nºÊ¹�¶n¿�ÀX»º»Å�ÀTOnº»· µ }TOVUL¿�¹�· µ Ö0¿vÝ�»º µ ¿�ÀT¶¬Ã�ÀTOnU�Ë�¶n·MÄ S � V OV·�Æ S �;V »ºÊ¿�N���ºÊOnULº µ �>S �;V ½� ¿OVUL¿ µ ¿�ÝÕOV¿ µ ¸ Æ�Âʺ µ ¿�ÀT¶nÂ�Î�· µ ¿�ÀX¹�U NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý?}�ÀXNa��¿ µ ·���¿�ÝÕÃ8»ÀXº µ ½�è ¿$O ¯ � ��ÁC¿�À µ Î!®ÇÜNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý?}���ºÊOVU�Ö0¿�¶VOnº»¹$¿�N � �>¥ �,�,� ¥ � ��}2º µ ·X¶n¸L¿�¶ ½â º�¶nNPO�}2NVIÕÃLî·MNV¿�OnU8ÀTO Âʺ»¿�NJº µ Å   � � ½Ó º µ ¹$¿|Å�  ºÊNGÀ�»º µ ¿�ÀT¶GNVIÕÁ®¸LºÊÖ?º»NVºÊ· µ ·MË+Å } Ä�ÀTÃ8N+Âʺ µ ¿�ÀT¶nÂ�Î)On·hNV·MÄ"¿ µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOV¿�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý� º µ Å�} ÀXË�On¿�¶�KM¿�·MÄ"¿$OV¶nºÊ¹�¶V¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ ½¬Ó ¿�¹�· µ ¸?}?NPIÕÃLÃC·MNV¿hOVU8ÀTO »º»¿$N�º µ �c    � � ½eÓ º µ ¹�¿;�c   º»NRÀ"»º µ ¿�ÀT¶JNVIÕÁ®¸LºÊÖÕºÊNVº»· µ ·MË<OVUL¿Á8»·È¹�Û�¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿�Ý � ¤ ß ¨ }��hUL·MNP¿�Á8»·?¹nÛ?N�ÃL¶n·�#{¿�¹$OR»º µ ¿�ÀT¶nÂÊÎI µ ¸L¿$¶ "OV·)OVUL¿�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�N¬·MË�Å }0ÀXK0ÀXº µ Ä#ÀTÃ8N¬Â»º µ ¿�ÀT¶nÂÊÎ�I µ ¸L¿$¶ =On·)NV·MÄ�¿ µ · µ Çq¸L¿�KM¿ µ ¿$¶nÀTOn¿NVºÊÄ"Ã8»¿�Ý � º µ Å }%ÀX»ÂGÀXË�On¿$¶�KM¿�·MÄ�¿�OV¶nº»¹�¶n¿�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ ½ ´ Ë � U8ÀXN)¸Lº»Ä"¿ µ NVº»· µ � }COnUL¿ µ ÁÈÎ�·MIÕ¶

Page 107: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

��� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

¹�· µ Ö0¿ µ Onº»· µ · µ ·X¶n¸L¿$¶nº µ KMN~}®OnUL¿�¶n¿�º»NJÀ���¿$»Â�Çq¸L¿$ä µ ¿�¸�Ä�·X¶VÃ8ULº»NPÄ B T � ! � ¹ � � � º µ ß NVIL¹�UOnU8ÀTO)Æ S � � V º»N�OnUL¿ B S + V ÇlOnU�Ö0¿�¶VOn¿�Ý�·MË � }LË�·X¶R¿�ÀX¹�U +z} À µ ¸�OnUL¿ µ �z¿Â»¿�O)Æ S�zV � B � S��~VT¯ Å � ½¾ ULº»N�¸L¿$ä µ ¿�NROnUL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ2Ä#ÀTÃ

Æ T � � �     � Q � Å   ¹ Å �

´ ËeÅ]  � ( � S Å V º»N�OVUL¿ µ ·X¶VÄ#ÀXÂhNVIÕÁ®¸LºÊÖ?º»NVºÊ· µ }�OnUL¿ µ OnUL¿�¶V¿�NPOV¶nºÊ¹$OnºÊ· µ On·�Å�  � � ·MËOnUL¿#Ä#ÀTÃAÆ #{ILNPO�¸L¿�ä µ ¿�¸ ¿�åÈI8ÀX»NOVUL¿�Â�ÀXNPOÖ0¿$¶VOn¿�Ý Ä#ÀTà �

�½ÌÒ µ � � �c   eOnUL¿�¹$Î?»º µ ¸L¿�¶

ÃL¶n·�#{¿�¹$OVº»· µ ̶n¿�ÀX»ºÊÅ�¿�N�OnUL¿º µ ¹�»ILNPº»· µ & � &�� & Å & }LNV· S �;V � Æ S �;V Ë�·X¶�OnUL¿�Ö0¿�¶VOnº»¹$¿�N � ¯ ���À µ ¸ÌOnUL¿)¶n¿�N{OV¶nº»¹�Onº»· µ On·� � � ·MËeÆ�¿�å?I8ÀXÂÊN�OVUL¿º µ ¹$»ILNVºÊ· µ � � Å ½¾ UL¿J¹�· µ Ö0¿vÝÏ»º µ ¿�ÀT¶�Ã�ÀTOnULN�Ë�¶n·MÄ S �;V On·�Æ S �;V ¸L¿$ä µ ¿�À�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ� X4& Æ & T & � & ¹ & Å &

OnU8ÀTO#ºÊN#»º µ ¿�ÀT¶Ï· µ ¿�ÀX¹�U NVºÊÄ"Ã8»¿vÝ ·MË �0}�À µ ¸ º»N#¹�· µ N{O�À µ OÏ· µ & � & ½ ¾ UÈILN�Æ-º»NÏÀ���¿�ÀTÛUL·MÄ�·XOn·Xà ÎA¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿�On· � ½ â º µ ÀX»Â�Î�} ) ¶n¿$ÃL¶V¿�NV¿ µ OnN#OnUL¿�NV¿$å?IL¿ µ ¹�¿ S Q ½xÐL½ � V·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸"Á Î"Ã8IL»Â�Á�ÀX¹nÛ"Ë�¶n·MÄ S Q ½�ÐL½ Y V ÀX»· µ K #}?À µ ¸ � Æ"¶n¿�ÃL¶n¿�NV¿ µ OnNzOnUL¿�NV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿J·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸Á Î"Ã8IL»Â�Á�ÀX¹nÛ#ÀX»· µ K & Æ & ½:æ IL»Â�Á�ÀX¹nÛ"·MË S Q ½xÐL½ Y V ÀX»· µ KOnUL¿JUL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ & � ¤ ß ¨ & ¹ & Å & Ë�¶n·MÄ �OV· & Æ & }+��ULº»¹�U�ºÊNh»º µ ¿�ÀT¶�· µ ¿�ÀX¹�U�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ý�}ÕOnUL¿ µ ¸L¿�ä µ ¿�NJÀ=NP¿�å?IL¿ µ ¹$¿�·MË �#NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTÃ8N·MË æ�è Ó ¿$¶V¶n¿JäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N�·jÖ0¿�¶ & � ¤ ß ¨ & ½e¾ UL¿J¹$·X¶V¶n¿�NPî· µ ¸Lº µ K�Ä#ÀTà � ¤ ß ¨

¹ � � � � *JKMºÊÖ0¿�NOnUL¿�¸L¿�NVºÊ¶V¿�¸�UL·MÄ�·XOn·Xà Π) ]X � Æ�¶n¿$Â�ÀTOnº�Ö0¿)OV·� ½¾ ULº»N�¹�· µ ¹�»IL¸L¿$NhOnUL¿)ÃL¶n·?·MË<·MË è ¿$Ä�Ä#À�Q ½�ÐL½ Ø }8À µ ¸�OnU ILNR·MË æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ Q ½�ÐL½xÐL½ �

�2(��®( ��3�@27���7%F �®5�@2@25 �;� @C,Õ³?��E+7�4���7%³CE ®3%7%/+.0584

� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� �?" ��"%$�" zL �`&)(+* \ 9;5�L-7»@B,_1

'! T�� � �¸¢¹ � � � *

385�g '! T Æ � �¸h¹ Æ � � * i��8/JI>*H50IHE6/J5�L-= 9�1_/¬@B5�@ \ S � 1-/JAaD�= /¬L_*_1.ir38,.*0(+@BA6@[email protected]�EÆ*MGH9�/%I838=K*-5�L_*_1~{ g ��&#(+* \ 9;5�L-7»@B,_1

! T���� �¸¢¹ ��� *385�g ! T Æ � �¸h¹ Æ � * i��8/JI>*H5 IHE6/J5�L-= 9�1_/¬@85�@ \ S � 1-/JAaD�= /¬L_*_1.iT385�g67%(+* \ 9;=2=¿*-AI_*Mg�g8/J5��81

� T���� * �¸¢¹ � �� *

385�g � T Æ � * �¸K¹ Æ �� * i|3>,.*e(+@8A6@B7»@.D�EF*.GH9;/JI83>=K*-5�LM*_1�{´^µ Ë ÀX¹$O�}�OnUL¿�NV¿�ÀT¶V¿�¸L¿�KX¶n¿�¿-�hºÊNV¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N~}®º»Ë¿��¿�º µ OV¿$¶VÃL¶n¿$O � � }%Æ � } ���

À µ ¸�Æ � ÀXN�¹�· µ N{O�À µ OhNVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ2¹�ÀTOn¿$KM·X¶nº»¿�N ½

s½,.@�@ \ { � ¿hÃL¶n·6Ö0¿hOnU8ÀTO�OVUL¿hË�I µ ¹$On·X¶VN '! T���� ¹ � � � à } '! � � ! T���� ¹ � �� à À µ ¸ � T���� à ¹� �� à ÀT¶V¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÌ¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�N~}2À µ ¸�ÂʺÊÛ0¿H��º»NV¿�Ë�·X¶ROnUL¿"Æ ÇqÃL¶n¿�äÕÝL¿�¸ ¹�ÀXNV¿�N ½R¾ UL¿ÃL¶n·XÃC·TÇNVº�Onº»· µ OnUL¿ µ Ë�·MÂÊ»·��hN�ÁÈÎÏOnUL¿�¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ ÂÊ¿�Ä�Ä#À }ÕÀ µ ¸�OnUL¿�WjÇÜ·MIÕOPÇq·M˻ǡQ=ÃL¶n·Xî¿$¶VO¡Î ½¾ ·�¿�ÀX¹�U Ó ¿$¶P¶n¿�äLÁL¶�ÀTOVº»· µ § T � ¹ ß=à)·MË+ä µ º�On¿�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX®NV¿�OnN~}��¿�¹�À µ ÀXNVNV·È¹�º�ÀTOV¿)OVUL¿

ÃL¶n¿�ºÊÄ#ÀXKM¿)·MËGOnUL¿)Á�ÀT¶VÎÕ¹$¿ µ OV¿$¶

� S � V � ( � S § V # ¨ S � V �

¾ UL¿ µ � ¸L¿�ä µ ¿�N�Ë�I µ ¹$On·X¶nN � � � à ¹ � � } � �� à ¹ ��� }eÆ � � à ¹ Æ � À µ ¸ Æ �� à ¹ Æ � ½Ïâ ·X¶º»Ë � º»N µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶�}zOnUL¿ µ NV· ºÊN ( � S � V �� Å S � V }�À µ ¸ � S � V ºÊN�À NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�NVIÕÁ8NP¿$O·MË ( � S � V }�UL¿ µ ¹�¿�ºÊN µ · µ ÇÜNVº µ KMILÂ�ÀT¶ ½ ´ Ë � T � ¹ �   ·jÖ0¿�¶�ß à º»NÏÀ NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä�ÀTÃ�}�OVUL¿ µ( � S � V T ( � S � V ¹ ( � S �   V º»N�NVºÊÄ"Ã8»¿JÁ Î æ ¶n·XÃC·MNPºÊOnºÊ· µ W ½ Q ½ Q S · µ ÂÊÎ"OnUL¿ µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶hÃ�ÀT¶VO

Page 108: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� ��� �º»N µ ¿$¿�¸L¿�¸ÌË�·X¶�¹�ÀXNP¿ S ¸ V<V }ÕNV· � S � V T � S � V ¹ � S �   V ºÊN�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿hÁ Î#OnUL¿RÃ8IL»Â�Á�ÀX¹�Û#ÃL¶V·XÃC¿$¶VO¡Î ½´ Ë � T � ¹ �   ·jÖ0¿$¶Ïß à º»N S #{ILNPO V Àm��¿�ÀTÛ-UL·MÄ�·XOn·Xà ÎA¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>}�OnUL¿ µ ��¿�ILNV¿�OVUL¿¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖ0¿JNVåÈI8ÀT¶n¿

� S � V|¤ ß=à �//

� �- � � ���

��

�-��� S �   V|¤ ß=à �

// �   ¥

��UL¿$¶n¿ À µ ¸  )ÀT¶V¿ NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�ÁÈÎ æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ W ½ÙÞ?½ Y }�À µ ¸ OnUL¿�WjÇq·MIÕOPÇÜ·MË»ÇÜQ�ÃL¶n·Xî¿$¶VO¡Î�}�OV·¸L¿�¸LIL¹�¿�OnU8ÀTO � S � V º»N�ÀX»NP·�À �z¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ ½

� ¿�¹�Â�ÀXºÊÄ OnU8ÀTO �-ºÊN�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�º µ Ö0¿$¶VNV¿hOn· '!�}Ⱥ µ ¿�ÀX¹�U#·MË OVUL¿hË�·MIÕ¶z¹�ÀXNV¿�N ½�¾ UL¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂNVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ

T � S � VT¤ ß à ¹ �·6Ö0¿$¶Ìß=à�¸L¿$ä µ ¿�NÌÀ µ ÀTOnIÕ¶nÀXÂhOV¶�À µ NVË�·X¶VÄ#ÀTOnº»· µ Ë�¶n·MÄ '! �ÉOn·�OVUL¿ ºÊ¸L¿ µ OnºÊO¡Î ½ ´ OϸL·È¿�N µ ·XONVºÊÄ�ILÂ�O�À µ ¿�·MILNVÂ�Î�¸L¿$ä µ ¿�À µ ÀTOVIÕ¶�ÀXÂ2OV¶�À µ NVË�·X¶nÄ�ÀTOnº»· µ Ë�¶n·MÄ �('! On· + � }�NVº µ ¹�¿ '! ºÊN µ ·XOhÀ=Ë�IL»¿�Ä�ÁC¿$¸L¸Lº µ K ½ ´{µ N{On¿�ÀX¸?}LäÕÝÌÀ=Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ SJT � S � ¹ � � � º µ ß ½:â ·X¶hÀ µ Î#ä µ ºÊOn¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂCNV¿�O� ��¿�¹�À µ ¶V¿�NPOV¶nºÊ¹$O�OnUL¿NVºÊÄ"Ã8»¿)Ä#ÀTÃ

T � S � ¤ ß à V|¤ ß à ¹ � ¤ ß à

S ÀXNVNP·?¹�º»ÀTOn¿�¸#On· � � � ¤ ß�à V ÀX»· µ K(+ � ¤ SJT � ¹ � ¤ ß=à ½�¾ UL¿J¶n¿�NVILÂ�Onº µ K�NVºÊÄ"Ã8»¿RÄ�ÀTÃ

S� T � S�� ¤ ß à V ¹ �

OnUL¿ µ ¸L¿$ä µ ¿�NJÀ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ2OV¶�À µ NVË�·X¶VÄ#ÀTOnº»· µ Ë�¶n·MÄ �('! On·�OnUL¿ºÊ¸L¿ µ OVºÊO¡Î ½¾ UL¿�Ë�I µ ¹$On·X¶ � T���� à ¹ � �� à º»N:ÀJË�IL»ÂÕ¿$Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K+}MNP·)OVULº»N¬¹�ÀXNV¿�ºÊN¬¿�ÀXNVº»¿�¶ ½<â ·X¶�§ T �o¹

ß=à"À Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶nÀTOnº»· µ ·MËzä µ º�On¿ µ · µ ÇÜNPº µ KMILÂ�ÀT¶�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂeNP¿$OnN~}¬ÂÊ¿$O S � V � � S � Vc¤ ß=àS Ë�·X¶ � ÃL¶n·È¸LIL¹$O.� V ½�¾ UL¿ µ ) T S � V ¹ ß�à�ºÊNh¹�¿$¶PO�ÀXº µ Â�Î�À æ�è Á8I µ ¸L»¿�ÀXË�On¿�¶JKM¿�·MÄ�¿$OP¶nº»¹¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOVº»· µ }LNV·�OnULº»N�¸L¿$ä µ ¿�NJÀ�Ë�I µ ¹$On·X¶� T�� �� à ¹ ��� à ½e¾ UL¿�NVº»Ä=Ã8»¿�Ä#ÀTÃ

T S � V ¹ �

·6Ö0¿$¶Jß�à)OVUL¿ µ ¸L¿$ä µ ¿�N�OnUL¿�OC��·�¶n¿�åÈILºÊ¶n¿�¸ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ2OV¶�À µ NVË�·X¶VÄ#ÀTOnº»· µ N�Ë�¶n·MÄ � À µ ¸ � OV·OnUL¿�¶n¿�NPî¿�¹$Onº�Ö0¿º»¸L¿ µ Onº�O¡Î�Ë�I µ ¹�On·X¶nN ½�¾ UL¿�ÃL¶n·?·MË+Ë�·X¶ � T Æ � à ¹ Æ �� à º»N�OnUL¿�NnÀXÄ�¿ ½ �

������� � �%¾ �/# �?" ��"�E�"f&#(+*4/J5�L-= 9�1_/¬@B51�@ \ S � 1-/JAaD�= /¬L_*_1

'! T�� � � S���V ¹ � � � � * S���V

385�g'! T���� � S���V ¹ � �� � * S �mV

38,M*e(+@BA6@[email protected]�EÆ*MGH9�/%I838=K*-5�L_*_1~{s½,.@�@ \ { ¾ ULº»N�ºÊN�¹�»¿�ÀT¶�Á Î æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ Q ½ Q ½Ê¼ À µ ¸�Ã�ÀT¶PO�·MË æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ Q ½ÙØ?½»¼M½�Ó ¿�¿�ÀX»NP·¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ S Q ½ Ø?½�Ð V Á®¿�»·�� ½ �

Page 109: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

��� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

������� � �%¾ �/# �?" ��"��?"f&#(+* \ 9�=2=�*-AI_*Mg�g8/J5��81

� T���� * ¹ � � � *

385�g � T Æ � * ¹ Æ � � * 3>,.*e(+@8A6@B7»@.D�E *.GH9;/JI838=K*H5�LM*_1~{s½,.@�@ \ { á ·MÄ�Á8º µ ¿ æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ Q ½�ÐL½xÐ �hº�OnU�OnUL¿�¶n¿�Ä#ÀXº µ º µ KRÃ�ÀT¶VOe·MË æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ Q ½ Ø?½»¼M½ �

� ¿�¹�À µ=µ ·�� ÃL¶n·6Ö0¿�OnUL¿�Ã�ÀT¶PO�·MË�OnUL¿�NPO�ÀTÁ8»¿�Ã�ÀT¶�ÀXÄ"¿$OV¶nºÊÅ�¿�¸#ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ OnUL¿�·X¶n¿�Ä OnU8ÀTO¹�·MÄ"Ã�ÀT¶V¿�N µ · µ ÇqNVº µ KMIL»ÀT¶RNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX®NV¿$OnN�On· æ�è�Ó ¿$¶V¶n¿�äLÁL¶�ÀTOnº»· µ N�·MË+î·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶�À ½

s½,.@�@ \ @ \ &#(+*_@B,.*-A �{ �;{ ��{ ¾ UL¿$¶n¿�º»N�À=¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖ0¿J¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ

S Q ½ÙØ?½�Ð V ��� � S���V//

����

��� �//

����

Æ ������ �� � * S���V //

���

� �� * �//

���

Æ �� *���� � � � * S & � &�V // � � � * �

// Æ � � *

��UL¿$¶n¿�OnUL¿�¶n·��hN�ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÌäLÁ®¿$¶�NV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿�N S Á�ÀXNV¿�¸�ÀTOJOnUL¿�ÃC·Mº µ OnNR¶V¿$ÃL¶n¿�NV¿ µ On¿$¸ ÁÈÎ� } � À µ ¸ & � & }0¶n¿�NPî¿�¹$Onº�Ö0¿�ÂÊÎ V ÁÈÎ æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ Q ½ Q ½Ê¼ }ÕÀ µ ¸ '! � � ! ½ ´{µ Ö?º»¿H� ·MË2OnUL¿J¹�·MÄ=ÇÄ�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿J¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ S Q ½Ê¼M½ � V } OnUL¿)Ë�I µ ¹$On·X¶ '! � ) T���� � S���V ¹ � � � � * S & � &�V ·MË ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä ¼M½ W ½ Y¿�åÈI8ÀX»N¬OnUL¿�¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿�Ë�I µ ¹$On·X¶ ) � '!�ÀTO:OnUL¿�ÂÊ¿�Ë�O�U8À µ ¸"NVºÊ¸L¿ ½ ç�Î æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ Q ½ÙØ?½»¼ S ¸ V OVUL¿Ë�I µ ¹$On·X¶VN '! T���� ¹ � �� *�À µ ¸ '! T Æ � ¹ Æ �� * S º µ ¹�»ILNVºÊ· µ ·MË:SbÇÜNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N V ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N ½ çzÎ æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ Q ½xÐL½�Ð OnUL¿�Ë�I µ ¹�On·X¶nN ) T�� �� * ¹ ���� *�À µ ¸ ) T Æ �� * ¹ Æ � � *S î·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶�ÀXÂz¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ V ÀT¶n¿ÏUL·MÄ�·XOn·Xà Π¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N ½ ã ¿ µ ¹�¿ÏOnUL¿�Ä�º»¸L¸LÂÊ¿ÏÀ µ ¸A¶nºÊKMU OU8À µ ¸Ì¹$·MÄ"ÃC·MNVº�On¿JË�I µ ¹$On·X¶VN ) � '!�º µ S Q ½ Ø?½�Ð V ÀT¶n¿�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ"¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N ½ çzÎ�OnUL¿)UL·MÄ�·TÇOn·Xà Î"äLÁ®¿$¶�ÃL¶n·XÃC¿�¶VO¡Î�}?ºÊOzË�·M»»·���N�OnU8ÀTO�ÀXÂÊNV·�OnUL¿J»¿$Ë�O�U8À µ ¸Ï¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿ ) � '! ºÊN�À�UL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½ �

*-A�38,�� ��{���{��^{ á ÀXNV¿ S ¸ V ·MË æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ Q ½ Q ½Ê¼ }�À µ ¸�OnUÈILN=·MË è ¿�Ä�Ä#À�Q ½ W ½ � }���ÀXN µ ·XO¶n¿�ÀXÂÊÂÊÎ µ ¿$¿�¸L¿�¸ Ë�·X¶)OnUL¿�ÀTÁ®·jÖ0¿�ÃL¶n·È·MË }%NVº µ ¹�¿���¿�¸LºÊ¸ µ ·XO µ ¿�¿�¸�On·ÏÛ µ ·��&OnU8ÀTOJOVUL¿�Ä"º»¸L¸L»¿¶n·�� º»NJÀ"UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎÏäLÁ®¿$¶JNV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿ ½�¾ U8ÀTOROnUL¿�OV·XÃ�¶n·�� ºÊNRÀ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏäLÁC¿$¶RNV¿�å?IL¿ µ ¹�¿Ë�·M»ÂÊ·���NJË�¶n·MÄ æ ¶n·XÃC·MNPºÊOnºÊ· µ N)Q ½ Q ½»¼ S ¹ V À µ ¸�Q ½»¼M½Ê¼�Ð }®NV¿�¿�¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ S Q ½Ê¼M½»¼jØ V ½h¾ UL¿�¹�»ÀXº»Ä Ë�·X¶OnUL¿�ÁC·XOVOn·MÄ ¶V·�� Ë�·MÂÊ»·��hN�Ë�¶n·MÄ æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ Q ½ Q ½»¼ S ¿ V ½

�2( �2(��1%58EG@25 �R4 � ,�7%/-;

â ·X¶�OnUL¿�¶n¿�ÀX¸L¿$¶��xNz¹�· µ Ö0¿ µ º»¿ µ ¹�¿>} ��¿h¶V¿�¹�ÀX» � ILº»Â»ÂÊ¿ µ ��N ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä�N�H À µ ¸Ïç-Ë�¶n·MÄ � � I Þ Q }° ¼~� À µ ¸�OVUL¿�ºÊ¶<ÖTÀT¶nº»À µ OnNGË�·X¶:NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ0¹�ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¿�N~} ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä"N<Hc ÕÀ µ ¸�ç| ?Ë�¶n·MÄ ��� À��0W;}�° Ð>�q½� ¿�NPO�ÀTOn¿)OnUL¿�Ö0¿$¶nNVºÊ· µ N�Ë�·X¶�¶nº»KMU0O�äLÁC¿$¶nN ½ ´^µ ¿�ÀX¹�U�¹�ÀXNP¿�OnUL¿�¶n¿ºÊNhÀXÂÊNV·�À�¸LI8ÀXÂ+Ë�·X¶VÄ�IL»ÀTOnº»· µº µ On¿$¶nÄ"N�·MË+»¿�Ë�O�äLÁC¿$¶nN ½

� ��� �¿Á2À�Á%��� ��"���"%$�" è ¿$O�� À µ ¸���ÁC¿�¹�ÀTOV¿�KM·X¶nº»¿$NJÀ µ ¸ � T � ¹ � À�Ë�I µ ¹$OV·X¶ ½Râ ·X¶J¿�ÀX¹�U·XÁ #{¿�¹$O � ·MË���}�»¿$O�OnUL¿ �BÁ � ��À�� ��� � ª ��·MË �AÀTO � ÁC¿�OnUL¿�¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ ·MË�Ã�ÀXº�¶nN S�� ¥ �~V��UL¿$¶n¿ � º»NRÀ µ ·XÁ$#{¿$¹$O)·MË�� À µ ¸ � T �£¹ � S���V º»NJÀ�Ä"·X¶VÃ8ULº»NVÄ º µ � ½ H Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ º µ

Page 110: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� ��� �� ª ��Ë�¶n·MÄ S�� ¥ �~V On· S��  %¥ �   V ºÊNhÀ�Ä�·X¶VÃ8ULº»NPÄ � T � ¹ �  %º µ � NVIL¹�UÌOnU8ÀTO �   � � S � V � � ½

� �//

_-��

�  _ -��

��

//� S���V

-� � �

//� S �   V

¦)I8ÀX»Â�Î�}�ÂÊ¿$O�OnUL¿ � � %¬À � ��� � ª � Á®¿�OVUL¿�¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ�·MË�Ã�ÀXº�¶nN S � ¥ �~V ��UL¿$¶n¿ � º»N=À µ·XÁ #{¿�¹$O�·MË � À µ ¸ � T � S���V ¹ � ºÊNzÀÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ º µ � ½ H Ä"·X¶VÃ8ULº»NVÄ º µ � ª � Ë�¶n·MÄ S�� ¥ �~VOn· S��  :¥ �   V º»N�À=Ä�·X¶PÃ8ULº»NVÄ � T � ¹ �  2º µ � NVIL¹�U�OnU8ÀTO � � �   � � S � V ½����������� � �?"��?"�E ��� + Á � � � ��� � ���)�;���B�;� � � "Æt)*-7 � T � ¹ � I_*Æ3 \ 9;5�L-7»@B,�{�x \ 7:(+*,_/ �B(^7�G I_*-, � ª � /210LM@B57�,<3�L-7:/�IH=K* \ @B,4*HI>*-,_E�@ I ��*_L-7 � @ \ � il7:(+*-5 � /2103 (@BA6@B7»@.D�EÆ*.GH9;/JI �38=K*-5?LM*�{� ��� �¿Á2À�Á%��� �?"���"���" â ·X¶)¿�ÀX¹�U Ä�·X¶VÃ8ULº»NPÄ � T ��¹ �   º µ ��}CÂÊ¿$OJOnUL¿ À�� ¾ � � ÁJÀ�ÁJ��� � ¾�¼� � T �   ª � ¹ � ª ��Á®¿�OnUL¿�Ë�I µ ¹$On·X¶�OnU8ÀTO�O�ÀTÛ0¿�N S��   ¥ �   V On· S �   ¥ �   � � V ½

�  _ -��

� �// �  

��

//� S �mV

¦)I8ÀX»Â�Î�}ÈÂÊ¿$O�OnUL¿�OV¶�À µ NVº�Onº»· µ Ä#ÀTà � � T � ª � ¹ � ª �   ·MË%ÂÊ¿�Ë�OzäLÁC¿�¶nNzÁC¿hOVUL¿RË�I µ ¹$On·X¶�OnU8ÀTOO�ÀTÛ0¿�N S�� ¥ �HV OV· S�� ¥ � � �HV ½¾ UL¿$¶n¿�ºÊN�À̹�À µ · µ ºÊ¹�ÀXÂeË�I µ ¹$On·X¶ � ª � ¹ � OnU8ÀTO�O�ÀTÛ0¿�N S�� ¥ �~V On· � ½ � ¿���¶VºÊOn¿ � ª �

Ë�·X¶�OnUL¿=¶nºÊKMU O�äLÁC¿�¶�·MË + ��� ÀTO � ½=¾ ULºÊN�¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ U8ÀXN�OVUL¿=º µ ºÊOnº»ÀX¬·XÁ$#{¿$¹$O S � ¥ + � �uV }+À µ ¸º»N�¹�À µ · µ ºÊ¹�ÀX»Â�ÎA¹$· µ OV¶nÀX¹$OnºÊÁ8ÂÊ¿ ½A¾ UL¿$¶V¿Ìº»N=À Ë�I µ ¹$OV·X¶ � ª � ¹ � ª � OnU8ÀTO�O�ÀTÛ0¿�N S�� ¥ �HV OV·S � S���V ¥ �HV }6À µ ¸�OVUL¿�¹�À µ · µ ºÊ¹�ÀXÂ0Ë�I µ ¹$On·X¶ � ª � ¹ ��O�ÀTÛ0¿�N S � ¥ � T � ¹ �   V OV· �   ½<¾ ·MKM¿$OnUL¿$¶��ºÊOnU ��}ÕOnUL¿�NV¿�Ë�I µ ¹$On·X¶nNRË�·X¶VÄÉOVUL¿¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOVºÊÖ0¿JNVåÈI8ÀT¶n¿º µ OnUL¿�Ë�·M»ÂÊ·���º µ K�¶n¿�NVILÂ�O ½����������� � ��"��?" � ��� + Á � � � ��� � ����������� � � � "Ft)*H7 � T � ¹ � I_*F3 \ 9;5�L-7»@B,~{mx \ 7:(+*7�,<385+1-/J7:/ @B5 A�3MD � � T �   ª � ¹ � ª � /21P3�(+@BA6@[email protected]�Ef*.GH9;/JI838=K*-5?LM* \ @B,`*-I>*-,-E�A6@B,¬D�(^/21_A� T � ¹ �   /J5 � iu7:(+*-5 \ @B,�385E @ I ��*_L-7 � @ \ � 7:(+*]LM@8A]A]9;7 387�/JI>*01~GH938,.*

� ª � //

��

-��� ª � //�

/21 (@BA6@B7»@.D�E L.38,-7C*-1_/�385�{� ILº»Â»ÂÊ¿ µ ��N ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä�N�H�À µ ¸�ç ÀT¶n¿)ÃL¶n·jÖ0¿$¸�º µ���� I Þ Q }8ÃLà ½�� Q ���8�q½

*-A�38,�� ��{ �>{��^{ ¾ UL¿�¹�· µ ¹�»ILNPº»· µ N�·MË�OnUL¿�NP¿�OnUL¿$·X¶n¿�Ä�N S On·�OnUL¿Ï¿$Î0¿�N�·MËhUL·MÄ"·M»·MKXÎm��ºÊOVU»·È¹�ÀXÂ�¹�·?¿=@�¹�ºÊ¿ µ OVN V ¹�À µ Á®¿�¸L¿�¸LIL¹�¿$¸ Ë�¶V·MÄ OnUL¿�NPÃC¿�¹�OV¶�ÀXÂ�NV¿�å?IL¿ µ ¹�¿�·MË ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä Q ½ Y º µ� ×�� Y Þ }LHRÃLà ½ ´V´ � }LILNVº µ K æ ÀT¶nÀXKX¶�ÀTÃ8U�Q ½ÙØ À µ ¸ Ñ ¿�Ä#ÀT¶VÛ�Q ½ �=·MË� � � � � � �¢}Õ¶n¿�NPî¿�¹$Onº�Ö0¿�ÂÊÎ ½

Page 111: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

� ��� �¿Á2À�Á%��� ��"��?"��?" è ¿�O �2*�À µ ¸ � *�ÁC¿ NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂR¹�ÀTOV¿�KM·X¶nº»¿$N�À µ ¸ � T � * ¹ �1* ÀNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂCË�I µ ¹�On·X¶ ½ çzÎ�À µ ·XÁ #{¿�¹�OR·MË �1*e��¿�Ä�¿�À µ À�Ã�ÀXº�¶ S � � � ¥ � V } ��UL¿$¶n¿ � ³ S"À µ ¸ �º»N�À µ ·XÁ #{¿�¹$O�·MË � à ½eâ ·X¶h¿�ÀX¹�U�·XÁ #{¿�¹�O S � � � ¥ � V ·MË � *�»¿$O�OnUL¿ �8Á � ��À � ���

S � � � ¥ � V<ª �

·MË�� ÀTO S � � � ¥ � V ÁC¿�OnUL¿�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ

� ! ��º¹ ��� � � � � � à

� � � � ª ��� �

ã ¿$¶n¿�OnUL¿�¹$·XÃL¶n·?¸LIL¹$O S ¸LºÊN #{·Mº µ OeI µ º»· µ ·MË8¹�ÀTOn¿�KM·X¶nºÊ¿�N V ºÊN¬º µ ¸L¿�ÝÕ¿�¸=Á Î�OnUL¿�NV¿$O:·MË�Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�N�CT � ! � ¹ � � � º µ ß�}0À µ ¸ � � � ª ���ºÊNGOnUL¿�¶Vº»KMU0O<äLÁC¿$¶eÀTO �

�� ·MËÕOnUL¿zË�I µ ¹$On·X¶���� T � � ¹ � � ½

¦)I8ÀX»Â�Î�}Xº µ ¸L¿�KX¶n¿�¿&!ÏOnUL¿ � ��%¬À*� ��� � ª+S � � � ¥ � V º»N¬OnUL¿�¹�·XÃL¶n·È¸LIL¹$O�·jÖ0¿$¶�ÀXÂÊ �CT � ! � ¹ � � �·MË+OVUL¿Â»¿$Ë�O�äLÁ®¿$¶nN ��� ª � � � ½����������� � ��"���"�� � �����;����� � �   � " t�*-7 � T � * ¹ �1* I_*�3�1-/JAaD�= /¬LH/�38= \ 9�5�LH7C@B,�{[x \7:(+* ,_/ �8(^7 GJI_*H,]S � � � ¥ � V<ª � /J1�L_@B57�,<3^L-7�/ IH=K* \ @8,�*-I>*-,-EP@ I ��*ML-7 S � � � ¥ � V�@ \ �1* i 7:(+*-5 � /21�3(+@BA @B7C@MD�E *.GH9;/JI838=K*-5?LM*�{� ��� �¿Á2À�Á%��� �?"���"���" â ·X¶�¿�ÀX¹�U Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ � T � ¹ �   º µ � à }Jº µ ¸L¿�KX¶n¿$¿ �;}JÂÊ¿$O�OVUL¿À�� ¾ � � ÁJÀ�ÁJ��� � ¾¼ � ��% À���� ��� � À ��Á��¿Ã �hÁC¿)OnUL¿NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX®Ë�I µ ¹$On·X¶

S � � � ¥ � V � T S � � � ¥ �   V<ª � ¹ S � � � ¥ � Vzª �

KMºÊÖ0¿ µ º µ ¸L¿$KX¶n¿�¿ ! ÁÈÎ OnUL¿#¹$·XÃL¶n·?¸LIL¹$O=·6Ö0¿$¶�ÀX»ÂzÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ"N �CT � ! � ¹ � � � º µ ß�·MË�OVUL¿OV¶�À µ NPºÊOnºÊ· µ Ä#ÀTÃ8N

S � � � V � T ���   ª ��� ¹ �

�� ª ��� �

ã ¿$¶n¿ �� � T � � �[¹ �

��  �º µ � � ½

â ·X¶h¿�ÀX¹�U�Ä"·X¶VÃ8ULº»NVÄ B T � � ¹ � � � º µ ßÆ}8»¿�O�OnUL¿ À�� ¾ � � Á2À�ÁJ��� � ¾¼ � � %®À���� � � �����¿Ã��Á��¿Ã ��ÁC¿�OVUL¿NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂCË�I µ ¹�On·X¶

B � T S � � ¥ B � � V<ª � ¹ S � � � ¥ � V<ª �

OnU8ÀTO�º µ ¸L¿$KX¶n¿�¿ !�O�ÀTÛ0¿�NzOnUL¿ � ÇqNVILÄ�Ä#À µ ¸#On·�OVUL¿ B � ÇÜNVILÄ�Ä�À µ ¸�ÁÈÎ�OVUL¿�ºÊ¸L¿ µ OnºÊO¡Î#Ë�I µ ¹$OV·X¶

+ � T �� B � � ª ��� ¹ S B � V � � ª ���e¥

Ë�·X¶�¿�ÀX¹�U�Ä�·X¶VÃ8ULº»NPÄ �'T � ! � ¹ � � º µ ß ½¦)I8ÀX»Â�Î�}+OnUL¿$¶V¿ÏÀT¶n¿"OV¶�À µ NPºÊOnºÊ· µ Ä#ÀTà S � � � ¥ � V � T � ª+S � � � ¥ � V ¹ � ª+S � � � ¥ �   V�S ·MËzOnUL¿"äL¶nN{O

ÛÕº µ ¸ V À µ ¸�B � T � ª+S � � ¥ B � � V ¹ � ª+S � � � ¥ � VeS ·MË+OnUL¿�NV¿�¹�· µ ¸�Û?º µ ¸ V ·MË<ÂÊ¿�Ë�O�äLÁ®¿$¶nN ½� ¿���¶nºÊOn¿ S � � � ¥ � V<ª �1*�Ë�·X¶)OnUL¿�¶nº»KMU0OJäLÁC¿$¶�·MË + ��� � ÀTOJOnUL¿�·XÁ #{¿�¹$O S � � � ¥ � V º µ � * ½ ´^µ

¸L¿�KX¶n¿$¿ !̺�O�ºÊN�OnUL¿�¹�·XÃL¶n·?¸LIL¹�Oz·MË®OnUL¿�¹�ÀTOn¿�KM·X¶Vº»¿�N � � � ª � ��}È·6Ö0¿$¶�ÀXÂÊÂLÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�N �'T � ! � ¹� � � })¿�ÀX¹�U ·MË4�hULºÊ¹�U U8ÀXN�À µ º µ º�Onº�ÀXÂ�·XÁ #{¿�¹$O�À µ ¸ ºÊN�¹�À µ · µ º»¹�ÀX»ÂÊÎ ¹�· µ OV¶�ÀX¹$OVºÊÁ8»¿ ½ ã ¿ µ ¹$¿S � � � ¥ � V<ª �1*¶n¿�¹�¿�º�Ö0¿�N)À�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�Ë�¶n·MÄ OnUL¿!�jÇqNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�ß à }C¹$· µ NVº»¸L¿$¶V¿�¸ ÀXNÀ=NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂC¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ�º µ À�OV¶nºÊÖ?º�ÀXÂ���À�Î�}8À µ ¸�ºÊN�OnUL¿�¶n¿�Ë�·X¶n¿�¹�· µ OP¶�ÀX¹$Onº�Á8»¿ ½¾ UL¿$¶n¿�ºÊN#À ¹�À µ · µ º»¹�ÀXÂhNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�Ë�I µ ¹$On·X¶ S � � � ¥ � V<ª � ¹ � *>}�º µ ¸LIL¹�¿�¸ º µ ¸L¿�KX¶n¿$¿ !

Ë�¶n·MÄ OVUL¿�Ë�I µ ¹�On·X¶nN ��� ª ��� ¹ � ��}LÀ µ ¸�NVº»Ä"º»Â�ÀT¶VÂÊÎ�Ë�·X¶ S � � � ¥ � Vzª � * ¹ �1* ½e¾ UL¿�¶n¿)º»N�ÀX»NP·

ÀÌNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂGË�I µ ¹$On·X¶ S � � � ¥ � V<ª � ¹ S � � � ¥ � V<ª �1*�OnU8ÀTO�º µ ¸L¿�KX¶n¿�¿!-º»N�OnUL¿"¹$·XÃL¶n·?¸LIL¹$O·MËË�I µ ¹$On·X¶VN �

�� ª ��� ¹ �

�� ª � � ½

Page 112: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �������������� � ��"���"�� � �����;���B�;� �   � "Æt�*-7 � T �2* ¹ � * I-*�3�1_/%AaD�= /¬L-/¬38= \ 9;5�L-7»@B,�{Wx \38=2=�7�,<3>5+1_/J7�/¬@B5�A�3_D�1 z@ \ 7:(+* Gu,M1_7 385�gF7:(+* 1�*MLM@B5�g �B/J5�g �P@ \ ,-/ �B(^7KGJI_*H,M1�38,M* (+@BA6@[email protected]�E*.GH9;/JI83>=K*-5�LM*_1Mil7%(+*H5 \ @B,�385E @ I ��*ML-7uS � � � ¥ � V0/J5 �1* 7%(+* LM@BA]A]9;7C387:/%I>* 1~G~9+38,M*

S � � � ¥ � V<ª � //

��

� *-��S � � � ¥ � Vzª � *

//�1*

/21 (@BA6@B7»@.D�E L.38,-7C*-1_/�385�{¾ UL¿�·X¶n¿�Ä�N)H   À µ ¸ ç   ÀT¶n¿�¸L¿�¸LIL¹�¿$¸ Ë�¶n·MÄ � ILº»ÂÊ»¿ µ �xN ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä�N�H À µ ¸ ç�º µ²� � À��0W;}

° Ð>� }�ILNPº µ K � ¾ U Þ>�8� À µ ¸ � Ó ¿ ÞTÐ>�q½� ¿ÌÀX»NV· ¶V¿�¹�ÀX»Â�Ë�¶n·MÄ ��� À��0W;}a° Ð>� OnUL¿ÌË�·M»»·���º µ K ILNP¿�Ë�ILÂJÀX¸L¸L¿ µ ¸LILÄ ½ H µ ·XÁ #{¿�¹$O �

·MË�� à �hºÊ»Â�Á®¿#NnÀXº»¸�On·�ÁC¿�S ! ÿÁ:��� � � ÁJ��� ¾ � +�¼ À�� Á � ������� ¼ ��Á � � º»Ë�OnUL¿$¶V¿�¿vÝLº»N{OnN�À µ·XÁ #{¿�¹$O � ·MË ����À µ ¸#À µ ºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ � �� �

�� º µ � à }��hUL¿$¶V¿ � T � � � ¹ � S � ºÊNeOnUL¿�I µ º»åÈIL¿

Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄɺ µ ß ½

�ÆÿÃ�� ��à + � �?"���"%$;!�"Fx \ *-I>*-,-E'@ I ��*MLH7�@ \ � * /21 S �zg8/%A6*-5+1_/ @B5�38=|9�D 7»@m/21�@8A6@B,¬D�(^/21_A4i7:(+*-5�7:(+*e(�E.D�@87%(+*-1�*_1�@ \ &#(+*M@B,M*-A �c  @B, Å�  5�*M*.gÆ@85= E�I_*]L_(+*_L���*.g�/%5`7%(* L.3B1�* � � S {s½,.@�@ \ { Ó IÕÃLî·MNV¿ � � �

�� }#�hº�OnU � º µ � à } � º µ ����À µ ¸ � T � � � ¹ � S �l½#¾ UL¿ µ �

�� �

S � � V � � º»N�º µ ¸L¿$î¿ µ ¸L¿ µ O)·MË �CT � ! � ¹ � � � }LNV·

S � � � ¥ � V<ª �Æ�� ß à ¤�S � S � ¥ � V<ª �

À µ ¸�OnUL¿�OV¶�À µ NVº�Onº»· µ Ä�ÀTà � � T S � � � ¥ � V<ª � ¹ S � S � ¥ � V<ª ��º»NJÀ"UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿ ½�è ¿�OSJT � S � ¹ � � � Á®¿"À µ Î Ä#ÀTà ½�¾ UL¿ µ S � T S � S � ¥ � Vzª � ¹ S � � � ¥ � V<ª � º»N�À�NV¿�¹�Onº»· µ On· � �B}+À µ ¸OnU ILNRÀ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ ½´ OË�·MÂÊ»·��hN�OnU8ÀTO�º»Ëz¿$Ö0¿�¶VÎ ·XÁ #{¿�¹�O�·MË�� ºÊNº»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»¹�On·�· µ ¿=·MË�OnUL¿=Ë�·X¶nÄ �

�� })��ºÊOVU

� º µ ¸L¿�KX¶V¿�¿�S }eOnUL¿ µ ¿$Ö0¿�¶VÎ�¶nº»KMU0O=äLÁ®¿$¶�ºÊN=UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ O�On·�· µ ¿Ì·MË�OVUL¿�Ë�·X¶nÄS � S � ¥ � V<ª ��}�¿$Ö0¿$¶VÎÌOV¶�À µ NVº�Onº»· µ Ä#ÀTÃ�·MË:OnUL¿�äL¶nN{O�Û?º µ ¸�º»NhUL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ OJOn·Ï· µ ¿�·MËOnUL¿�Ë�·X¶VÄ S � S � ¥ � V � ��UL¿$¶n¿ � º»NÀ�Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ º µ ���>}¬À µ ¸ ¿$Ö0¿$¶PÎ�OV¶nÀ µ NVºÊOnºÊ· µ Ä#ÀTà ·MËzOVUL¿NV¿�¹$· µ ¸�ÛÕº µ ¸�º»N�À=UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿ ½ �

¾ UL¿�¿�Ý?ÃL¶n¿�NVNPº»· µ Ë�·X¶�OnUL¿�¶nºÊKMU O�äLÁC¿�¶ S � S � ¥ � V<ª �ÌNVºÊÄ"Ã8»º�ä8¿�N�On·=OnUL¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ2¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ

� � ��º¹ ��� ª � à �

� ÂÊNV¿H��UL¿$¶n¿=º µ OVULº»NJÃ�ÀTÃC¿$¶~})��UL¿ µ OnUL¿=ÀX¸L¸L¿ µ ¸LILÄ�ÀTÃLÃ8»º»¿$N~}#�z¿=NV·MÄ"¿$Onº»Ä"¿�N)NVº»Ä"Ã8Â�Î ��¶nºÊOn¿� ª ��Ë�·X¶ S � S � ¥ � V<ª � ½=Ò IÕ¶ è ¿�Ä"Ä#ÀXN�Q ½ Q ½ Ø À µ ¸ Q ½ Q ½ Y�¿�ÝÕULºÊÁ8º�O�À�NPºÊOnI8ÀTOnºÊ· µ º µ �hULºÊ¹�U · µ ¿¹�À µ ¶n¿�¸LIL¹�¿�On·�¹�UL¿�¹nÛÕº µ KÏOnUL¿�U0Î?ÃC·XOVUL¿�NV¿�N�·MË ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä ç| <º µ NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂG¸L¿�KX¶V¿�¿"S }2¿�Ö0¿ µº»Ë+HJ¸L¸L¿ µ ¸LILÄ Q ½ Y ½»¼ S�¸L·?¿�N µ ·XORÀTÃLÃ8Â�Î ½

Page 113: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� �<� ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

�#"������`� ¾ �¿Á�% � � à ¼¿¾ ��À´^µ OnULºÊN"Ã�ÀT¶VO�}�ÂÊ¿$OÏß à ¸L¿ µ ·XOn¿�OnUL¿�NPO�À µ ¸8ÀT¶V¸BÀ @ µ ¿ �6ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿�Ý ½ HJ»Â�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀm�hºÊ»Â

ÁC¿#¹$·MÄ"Ã�ÀX¹$O�}¬À µ ¸�ÀXÂÊÂ�Ä#À µ ºÊË�·M»¸LN�¹�· µ NVº»¸L¿�¶n¿�¸��hºÊ»Â:ÁC¿#¹�·MÄ"Ã�ÀX¹�O æ�è Ä#À µ º»Ë�·MÂʸLN~}<ILNVI8ÀXÂÊÂÊÎ��ºÊOnUL·MIÕO�Ë�IÕ¶VOnUL¿$¶hÄ�¿ µ Onº»· µ ½

�%( � (���T,?�®5�4�E � ��� �h,�7���� E+.0/+4¾ UL¿�ÀXº»ÄÉ·MË�OnULº»N�NV¿�¹$OnºÊ· µ º»N�On·�¶n¿�¸LIL¹�¿OVUL¿�ÃL¶n·È·MË<·MËGOnUL¿�Ä#À µ º»Ë�·MÂʸ�Ã�ÀT¶VOh·MËGOnUL¿�NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿

Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿�OV¶nº»Å$¿�¸ Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ OnUL¿$·X¶n¿�Ä } ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä ¼M½Ê¼M½ Þ }�OV·-À�¶V¿�NVILÂÊO�ÀTÁC·MIÕO�NPÃ�ÀX¹�¿�N�·MËNPO�ÀTÁ8Â�Î�Ë�¶�ÀXÄ�¿�¸=Ä#À µ º»Ë�·MÂʸLN~} ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä ÐL½Ê¼M½»¼�Ð }���ULº»¹�U���º»Â»ÂÕÁ®¿�ÃL¶n·6Ö0¿�¸�º µ OnUL¿�Ë�·M»ÂÊ·���º µ K�O»�z·NV¿�¹�Onº»· µ N ½� ��� �¿Á2À�Á%��� �#":$�":$�" è ¿$O� Á®¿"À�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O)ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶V· µ ½ çzÎ À % ¾ ��Á � # ��%4� ¾ ��Á % � � à �¼¿¾ � ¾ ���^À��8ÁJÂ�� à # �z¿#NVU8ÀX»Â�Ä�¿�À µ À � $+ �¿Ã � �fS � æ�è »·È¹�ÀX»Â�Î�OP¶nºÊÖ?º�ÀXÂeË ÀXÄ�º»Â�Î V§ T�� ¹ ���UL·MNV¿�äLÁC¿$¶nN U " � § # ¨ S V ÀT¶n¿�¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$O æ�è Ä#À µ ºÊË�·M»¸LN ½ H Ä#ÀTÃ�·MË�NVIL¹�UË ÀXÄ�ºÊ»º»¿$N�ºÊNhÀ æ�è Á8I µ ¸L»¿�Ä#ÀTÃ�·6Ö0¿$¶ ½

� ¿�NVU8ÀXÂÊÂL¸L¿$ä µ ¿�À)N{Ã�ÀX¹�¿�·MË Ä#À µ ºÊË�·M»¸LN:ÀXN:À)NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀX NV¿$O�}���ºÊOnU�Ë ÀXÄ�ºÊ»º»¿$N<·MË Ä�À µ º»Ë�·M»¸LNÃ�ÀT¶�ÀXÄ�¿�OV¶nº»Å$¿�¸�ÁÈÎ�ß=àzÀXN+OnUL¿ �jÇqNVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿$N ½¬¾ ·RÃL¶n·Xî¿$¶nÂ�Î�¹�·MÄ"Ã�ÀT¶V¿�OnULºÊN¬NPÃ�ÀX¹�¿T��ºÊOnU�ÀRNPÃ�ÀX¹$¿·MËGî·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶�À }��z¿�Ä�º»KMU0O�¿�ºÊOnUL¿�¶R¿�åÈILºÊÃ�OnUL¿�ÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�À���ºÊOVUÌO�À µ KM¿ µ Onº�ÀXÂ%º µ Ë�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ }�·X¶¿�ÂÊNV¿ ÀT¶V¶nÀ µ KM¿�OnU8ÀTO�OnUL¿ Ä#À µ ºÊË�·M»¸LN�U8À6Ö0¿ µ · O�À µ KM¿ µ O�Á8I µ ¸LÂÊ¿>}JOnU8ÀTO�ºÊN~}ROn·'�z·X¶VÛo��ºÊOVUË�¶�ÀXÄ�¿$¸ÌÄ#À µ ºÊË�·M»¸LN ½ H µ ·XOnUL¿$¶ ��À�Î�}��ULº»¹�U�ºÊN�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ O�On·=OVUL¿�»ÀTOVOn¿$¶�· µ ¿º µ OnUL¿�NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿¶�À µ KM¿hOVU8ÀTOT��¿w��º»Â»Â�¹�· µ NVºÊ¸L¿$¶�}LºÊN�On·�ÀT¶V¶nÀ µ KM¿ROnU8ÀTO�ÀX»Â8OnUL¿RÄ�À µ º»Ë�·M»¸LNzÀT¶n¿R¿�Ä�ÁC¿$¸L¸L¿�¸Æ��ºÊOVU¹�·È¸Lº»Ä�¿ µ NPº»· µ Å�¿$¶n· º µ � IL¹$»º»¸L¿�À µ NPÃ�ÀX¹$¿ ½ � ULº»¹�U�·MË�OnUL¿$NV¿ÌÀXÂ�On¿$¶ µ ÀTOVºÊÖ0¿�N�On·�¹�UL·?·MNP¿�ºÊN�ÀÄ#ÀTOVOV¿$¶�·MËG¹�· µ Ö0¿ µ º»¿ µ ¹�¿�� �z¿U8À�Ö0¿¹�UL·MNV¿ µ OV·���·X¶VÛ���ºÊOnU�NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿�Ë�¶�ÀXÄ"º µ KMN ½

� ¿¬¶n¿�Â�Î)· µ6� Ú º�Y Ð>� } � ãJæ Y Ð>� } � ã � Y ØB� À µ ¸ � � è YMY � Ë�·X¶�OnUL¿:OnUL¿�·X¶VÎ)·MË æ�è Ä�º»¹$¶V·XÁ8I µ ¸L»¿�N ½� ��� �¿Á2À�Á%�����#"%$�"FE�" è ¿$O U Á®¿�À�Ä#À µ ºÊË�·M»¸#·MË�¸Lº»Ä�¿ µ NPº»· µ ! ½ H � À ¾� � � % � ¾ ��Á � �Ì·MË Uº»N�À µ ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿�¹�»ÀXNVNh·MË+º»NV·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ"N

­ ��� � � ¶·¸¢¹ �� > �

·MË æ�è Ä"º»¹$¶n·XÁ8I µ ¸LÂÊ¿�N~}���UL¿$¶n¿]­ � ºÊNROnUL¿�O�À µ KM¿ µ O�Ä�º»¹�¶n·XÁ8I µ ¸L»¿�·MË U À µ ¸ � � º»N)À#NPO�À µ Ǹ8ÀT¶n¸ OV¶VºÊÖÕº»ÀX �MÇqÁ8I µ ¸L»¿ ½�¾ UL¿�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿"¶V¿�Â�ÀTOnºÊ· µ º»NKM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿$¸ ÁÈÎ�OnUL¿"¶nILÂÊ¿"OnU8ÀTOOVUL¿º»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ ÀTÁ®·jÖ0¿�Ä#À�Î#ÁC¿)¶n¿$Ã8»ÀX¹�¿�¸ ��ºÊOnUÏOnUL¿ºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ

­ ��� � � > ¨ ¶·¸¢¹ �� > � > ¨ ¥

·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸ÌÁ Î � ULºÊO µ ¿$ÎÌNPILÄ ��ºÊOVU �¨ ½

çzÎ�À�� À ¾� � # % � ¾ ��� à % ¾ ��Á � # � %4� ¾ �¿Á�% � � à ��Ã�ÀT¶�ÀXÄ"¿$OV¶nºÊÅ�¿�¸�ÁÈÎ���z¿�NPU8ÀX»Â<Ä�¿�À µÀAË ÀXÄ"º»ÂÊÎ ·MËÄ#À µ ºÊË�·M»¸LNƧ T � ¹ NVIL¹�U OnU8ÀTO�Ë�·X¶�¿�ÀX¹�U ¯ OnUL¿ äLÁ®¿$¶�Ä#À µ º»Ë�·MÂʸU " � §$# ¨ S V ºÊN�NPO�ÀTÁ8ÂÊÎÏË�¶nÀXÄ�¿�¸?}8À µ ¸�OVUL¿�NV¿�NPO�ÀTÁ8»¿)Ë�¶�ÀXÄ"º µ KMN~}Lº ½ ¿ ½ }?OnUL¿ æ�è Ä�ºÊ¹$¶n·XÁ8I µ ¸LÂÊ¿º»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ�N�ÀTÁC·6Ö0¿>}LÖXÀT¶VÎϺ µ À æ�è Ä#À µLµ ¿$¶ �hº�OnU�OVUL¿�ÃC·Mº µ O ½HB¹�·?¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ Å�¿$¶n· æ�è ¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K � T U ¹ � }0·X¶:Ä�·X¶n¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀX»Â�Î�}0ÀJ¹�·?¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ

Å�¿$¶V· æ�è º»Ä�Ä�¿�¶nNVº»· µ }Mº µ ¸LIL¹�¿�N�À æ�è Ä�º»¹�¶n·XÁ8I µ ¸L»¿�º»NV·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ ­ � �� � � ­ � } NP·À)NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿Ë�¶�ÀXÄ�º µ K"·MË � Ã8IL»»N�Á�ÀX¹nÛÌÀXÂÊ· µ K ��On·"¸L¿$OV¿$¶nÄ�º µ ¿�À=N{O�ÀTÁ8»¿�Ë�¶�ÀXÄ�º µ K=·MË U ½ � ¿�NnÀ�Î�OnU8ÀTONVIL¹�U�ÀJÄ#ÀTà ��º»N � À ¾� � # % � ¾ ���;à º»Ë U À µ ¸ � ÀT¶n¿�NPOnÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶�ÀXÄ"¿�¸?}0À µ ¸�OVUL¿�KMº�Ö0¿ µ NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿Ë�¶�ÀXÄ�º µ K=·MË � Ã8IL»ÂÊN�Á�ÀX¹nÛÌÀX»· µ K ��On·�OnUL¿KMº�Ö0¿ µ NPOnÀTÁ8»¿�Ë�¶�ÀXÄ�º µ K=·MË U ½Ô ·XOn¿�OnU8ÀTO�ÀN{O�ÀTÁ8»¿RË�¶nÀXÄ�º µ K�·MË%À�Ä#À µ º»Ë�·MÂʸ U ¹�À µ º µ ¸LIL¹�¿J· µ ¿R·MË2º�OnN�Á®·MI µ ¸8ÀT¶VÎ � U }

¿$Ö0¿ µ º µ Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OV¶Vº»Å�¿�¸ Ë ÀXÄ"º»Â»ºÊ¿�N ½�¾ ·#{ILNPOVº»Ë�Î OnULºÊN~}<· µ ¿#ILNV¿$N�OnUL¿#¹�· µ OV¶�ÀX¹$Onº�Á8º»ÂʺÊO¡Î ·MËzOVUL¿NPÃ�ÀX¹�¿�·MË<¹�·MÂÊÂ�ÀT¶nN�· µ OnUL¿)ÁC·MI µ ¸8ÀT¶PÎ ½

Page 114: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � � �� ��� �¿Á2À�Á%��� �#"%$�"���" ¾ UL¿2�~¼¿¾ ����� % � À ¾� � # % � ¾ ���;à !�! � ¾ �¿Á�% � � à � � * ºÊNJ¸L¿$ä µ ¿�¸�ÀXNOnUL¿=NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀX¬NV¿$O �hUL·MNV¿ �jÇÜNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�N�ÀT¶n¿�OnUL¿"NPOnÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶�ÀXÄ�¿�¸�Ë ÀXÄ�º»Âʺ»¿�N�·MË !®ÇÜÄ�À µ º»Ë�·M»¸LNÃ�ÀT¶�ÀXÄ�¿�OV¶nº»Å$¿�¸�Á ÎAß à ½ Ó º»Ä"º»Â�ÀT¶VÂÊÎ�}�Æ� � * º»N�¸L¿$ä µ ¿�¸-ÀXN�OVUL¿�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�¹�ÀTOn¿$KM·X¶VÎ��hUL·MNP¿·XÁ #{¿�¹$OnN�º µ NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂz¸L¿$KX¶n¿�¿���ÀT¶n¿�OVUL¿�NVÀXÄ�¿�ÀXN�OVUL¿ �6ÇÜNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�·MË � * }�À µ ¸ �hUL·MNP¿Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�N�º µ NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�¸L¿�KX¶n¿$¿ ��ÀT¶n¿#OnUL¿ æ�è Á8I µ ¸L»¿�Ä#ÀTÃ8N�·6Ö0¿$¶"ß=à�OnU8ÀTO�ÀT¶n¿�ÀX»NP·UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N ½¾ UL¿$¶n¿#ÀT¶n¿=NPO�ÀTÁ8ºÊ»º»Å�ÀTOnº»· µ Ä#ÀTÃ8N � T � * ¹ � > ¨* À µ ¸ � T Æ� � * ¹ Æ� � > ¨* }G¸L¿$ä µ ¿�¸

Á Î O�ÀTÛÕº µ K�ÃL¶V·?¸LIL¹$O �hº�OnU�OnUL¿�äÕÝÕ¿�¸�¹�»·MNV¿$¸ º µ On¿$¶PÖXÀX � ½ ¾ UL¿$¶n¿�º»N�À µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ�º µ ¹�»ILNVºÊ· µ� T � * ¹ Æ � * }+�hULºÊ¹�U�¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿�N|��ºÊOnU�OnUL¿N{O�ÀTÁ8º»Âʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ Ä�ÀTÃ8N ½Ñ ¿$¹�ÀX»Â%OnUL¿ æ�è ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ N{Ã�ÀX¹�¿4Ä �K� S:UWV À µ ¸�ºÊOnN�NPO�ÀTÁ8ºÊ»º»Å�ÀTOnº»· µ N �K� S:UWV }8Ë�¶n·MÄ

¦)¿$ä µ ºÊOVº»· µ N ¼M½Ê¼M½»¼ À µ ¸ ¼M½»¼M½ W;}?On·MKM¿$OVUL¿$¶®��ºÊOVU�OnUL¿�º�¶R¹�·MÂÊÂ�ÀT¶n¿$¸�Ö0¿$¶nNPº»· µ N ½� ��� �¿Á2À�Á%��� �)"%$�" �#" â ·X¶�À�NPO�ÀTÁ8ÂÊÎ Ë�¶�ÀXÄ"¿�¸ Ä#À µ ºÊË�·M»¸ U }�»¿$O Ä S:UWV - � Ä ��� S:U[V - Á®¿OnUL¿�NPÃ�ÀX¹$¿�·MË ��� � �J¾ �B�;à � � À ¾� � #�% � ¾ ��� à æ�è ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ�N¬· µ U ½ HBSbÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ�ºÊN¬À æ�èÆ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ�� · µ U }���ºÊOnU�À¹�·M»»ÀT¶ (�T U ¤ � ¹ � }ÈOn·MKM¿$OVUL¿$¶T��ºÊOnU#À�NPO�ÀTÁ8»¿�Ë�¶�ÀXÄ�º µ K·MË � OnU8ÀTO�¶n¿�NPOV¶Vº»¹$OnN�ÖÕº»À ( On· OnUL¿�ÃL¶n·?¸LIL¹$O"NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿ÌË�¶�ÀXÄ�º µ K ·MË U ¤ � ½ H �jÇqNVº»Ä=Ã8»¿�ݺ»NÀ æ�è Á8I µ ¸LÂÊ¿�·MËzNPOnÀTÁ8ÂÊÎ Ë�¶�ÀXÄ�¿�¸�ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ�N�·jÖ0¿�¶�ß à }+¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿�On·�OnUL¿"¿�Ä�Á®¿�¸L¸L¿�¸ÃL¶n·È¸LIL¹$OhÁ8I µ ¸LÂÊ¿ ) T U ¤ � ¤ ß�à ¹ ß=à ½

� ÀX¹�U�NPO�ÀTÁ8ÂÊÎ Ë�¶�ÀXÄ"¿�¸&¹�·È¸Lº»Ä�¿ µ NVº»· µ Å�¿$¶n· ¿$Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K U ¹ U  �º µ ¸LIL¹$¿�N À Ä�ÀTÃÄ S:UWV - ¹ Ä S:U   V - OnU8ÀTO#O�ÀTÛ0¿�N � On·�OnUL¿ Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ �   � U   ¤ � �� � � �£}��ºÊOnUÏOnUL¿N{O�ÀTÁ8»¿)Ë�¶�ÀXÄ�º µ K�OVU8ÀTO�¶n¿$NPOV¶nºÊ¹$OnN�On·�OVUL¿�ÃL¶n·È¸LIL¹$ORN{O�ÀTÁ8»¿)Ë�¶�ÀXÄ�º µ K=·MË U   ¤ � À µ ¸OnUL¿�KMºÊÖ0¿ µ NPO�ÀTÁ8»¿�Ë�¶�ÀXÄ�º µ K=·MË�� ½¾ UL¿$¶n¿�º»N�À µ ÀTOnIÕ¶nÀXÂ2NPO�ÀTÁ8º»Âʺ»Å�ÀTOVº»· µ Ä#ÀTà � T Ä S:UWV - ¹ Ä S%U ¤ � V - } ��ULº»¹�UÌO�ÀTÛ0¿$N�OVUL¿

NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿�Ë�¶�ÀXÄ�º µ K)·MË�� On·JOnUL¿�ÃL¶V·?¸LIL¹$OeNPO�ÀTÁ8ÂÊ¿�Ë�¶�ÀXÄ�º µ K�·MË�� ¤ � ½eÓ º µ ¹�¿ ( º»NeÀJ¹�·XäLÁL¶�ÀTOnºÊ· µÀ µ ¸�À�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>}LOnUL¿ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%Ë�·X¶nKM¿$OnË�ILÂ%Ä#ÀTÃ8N Ä S:UWV - ¹ Ä S:U[V & À µ ¸

N �K� S:UWV - � ¹�·M»ºÊÄ�

Ä �K� S:U ¤ � � V - ¹ N ��� S:U[V &

ÀT¶n¿)ÁC·XOnU ��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N ½¾ UL¿�Ë�·MÂÊ»·��hº µ K=¶n¿�NPILÂÊORºÊN�NPº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶�On·�OnUL¿ÀTÃLÃL¶V·6ÝÕº»Ä#ÀTOn¿)UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ#äLÁ®¿$¶RNV¿$å?IL¿ µ ¹�¿

Ä S:UWV ¹ � � � S%UWV ¹ Æ � � � S:UWVË�¶n·MÄ ��� À��0W;} æ ¶n·Xà ½�Ø?½»¼~� }CÖXÀXÂʺ»¸�Ë�·X¶�À#¶�À µ KM¿�·MË�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�KX¶n·MIÕÃ8N)OnU8ÀTO�KX¶n·��hN�»º�Û0¿�OVUL¿¸Lº»Ä"¿ µ NVº»· µ ·MË U ½�¾ ULºÊNhº»N�OnUL¿¹�ÀXNV¿ � � S S µ ·"U8À µ ¸L»¿$N V }®NP·"OnUL¿U8À µ ¸LÂÊ¿º µ ¸L¿�Ý � Ã8Â�À�ÎÕNµ ·=¶V·M»¿ ½�Ó ¿�¿�ÀXÂÊNV· � � À�� Þ Á�} � ÝÕ¿$¶ ½ � }Lº µ ¶n¿�Â�ÀTOVº»· µ On· æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ ÐL½»¼M½Ê¼jØ?½� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� �#":$�" ��"Ft)*H7lU I_*63 1_7C3 IH= E \ ,.38A6*.g�LM@BAaD3�L-7|srtZA6385/ \ @8=hg�{�&#(+*-,M*�/2163(+@BA @B7C@MD�E GJI_*-,e1�*.GH9�*-5�LM*

N ��� S:UWV ¹ ¹�·M»ºÊÄ� � * �¸ ¹ ¹$·M»º»Ä� Æ � *

IM3B1�*.g�387)U { � @8,.*½D�,.*ML-/J1�*-= E�il7%(+*H,.*0/J143ÆL.385?@B5/¬L.3>=�L_( 38/J5�@ \ (+@BA @B7C@MD�E *.GH9;/JI838=K*-5?LM*_1

N ��� S:U[V � ¸ N ��� S:UWV - �¸h¹ U ª � �¸h¹ UL·XäLÁ S ��¥ U[V��

s½,.@�@ \ { � ¿�äL¶nN{O"NVUL·�� OnU8ÀTO ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä Q ½ Y ½ � S � ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä ç½ %}�OVUL¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�Ë�·X¶nÄ ·MË� ILº»Â»ÂÊ¿ µ ��N ¾ UL¿$·X¶n¿�Ä ç V À µ ¸�HJ¸L¸L¿ µ ¸LILÄ Q ½ Y ½Ê¼ S=ÀTÃLÃ8Â�ÎÏOn·�OVUL¿I µ NPO�ÀTÁ8ºÊ»ºÊÅ�¿�¸�Ë�I µ ¹$OV·X¶

� T � * ¹ Æ� � * �

Page 115: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

¾ UL¿�ÀX¸L¸L¿ µ ¸LILÄ ÀTÃLÃ8»º»¿$N�Á®¿�¹�ÀXILNV¿Ï¿�ÀX¹�U æ�è Á8I µ ¸L»¿Æ§ T�� ¹ ß=à�·MË�NPO�ÀTÁ8Â�Î Ë�¶�ÀXÄ�¿�¸ !®ÇÄ#À µ ºÊË�·M»¸LNeº»N�ºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊ¹�OV·�À�ÃL¶n·È¸LIL¹$OzÁ8I µ ¸LÂÊ¿R·MË®OnUL¿�NnÀXÄ�¿�Û?º µ ¸ ½¬è ¿$O � Á®¿RÀ µ Î"N{O�ÀTÁ8ÂÊÎË�¶�ÀXÄ�¿$¸!®ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸ?}XÖÕº»¿-��¿�¸�ÀXNeÀ µ ·XÁ #{¿�¹$O�·MË%Æ� � � ½:¾ UL¿�¶nº»KMU0O:äLÁC¿$¶ � ª � � S � S � ¥ ��V<ª �)º»NOnUL¿)NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX NV¿$O�·MË+N{O�ÀTÁ8ÂÊÎ#Ë�¶nÀXÄ�¿�¸ !®ÇÜÄ#À µ ºÊË�·M»¸LN � �hº�OnU�À æ�è UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿� T � ¹ � }2À µ ¸�NVºÊÄ�º»Â»ÀT¶nÂÊÎϺ µ Ã�ÀT¶nÀXÄ�¿$OV¶nºÊÅ�¿�¸�Ë ÀXÄ�ºÊ»ºÊ¿�N ½hÓ ·ÏÀ �6ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ�·MË � ª �#ºÊNJÀ æ�èÁ8I µ ¸L»¿�Ä#ÀTÃÌÀ µ ¸ÌUL·MÄ�·XOn·Xà Î#¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿ � T � ¤ ß=à ¹ � ·MË+NPO�ÀTÁ8ÂÊÎÏË�¶nÀXÄ�¿�¸�Ä#À µ º»Ë�·MÂÊ¸Ë ÀXÄ�ºÊ»º»¿$N�·6Ö0¿$¶Rß=à ½è ¿$O � T � ¹ �   Á®¿)À µ Î#Ä"·X¶VÃ8ULº»NVÄ º µ Æ� � � }Õº ½ ¿ ½ }ÕÀ æ�è UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½:è ¿�O

�#  T �   ¹ � Á®¿ÌÀ æ�è UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�º µ Ö0¿�¶nNV¿�Ä#ÀTà ½�¾ · NVUL·�� OVU8ÀTO�OVUL¿�OV¶nÀ µ NVºÊOnºÊ· µ Ä�ÀTÃ� � T �   ª � ¹ � ª ��ºÊNRÀ=UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿>} º�OhNPI @�¹�¿�N�On·"NVUL·�� OnU8ÀTO�OVUL¿�OV¶�À µ NPºÊOnºÊ· µÄ#ÀTÃ8N S �#  � V � À µ ¸ S � �#  V � ÀT¶n¿"UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�N ½#ã ¿ µ ¹$¿"ºÊO�NVI @"¹�¿�NOn·�¹�· µ NVºÊ¸L¿$¶OnUL¿�¹�ÀXNV¿ � � �  �}%À µ ¸�On·ÏNVUL·�� OnU8ÀTO�À µ Î æ�è UL·MÄ�·XOn·Xà Π� X + � T � ¹ � º µ ¸LIL¹�¿�NÀUL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ·MË+OP¶�À µ NVºÊOVº»· µ Ä�ÀTÃ8N � � X + � T � ª � ¹ � ª � ½è ¿$O]Ä T ß ¨ ¤�� ¹ � Á®¿#NVIL¹�U À æ�è UL·MÄ�·XOn·Xà ΠË�¶V·MÄ � On· + � ½�¾ UL¿ µ OnUL¿$¶n¿ÏºÊN�À

NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂCUL·MÄ"·XOn·XÃÈÎÄ �

T ߨ ¤ � ª � ¹ � ª �

Ë�¶n·MÄ � � On· + � OVU8ÀTO+On·�¿�ÀX¹�U�Ä�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ B T � � � ¹ � ¼~� º µ ß À µ ¸ �jÇqNVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý � T �Z¤ ß�à ¹ �·MË �6ª � ÀXNVNV·?¹$º�ÀTOn¿�NÏOnUL¿��jÇÜNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý ·MË � ª � KMº�Ö0¿ µ Á Î Ã8ILÂÊÂÊÁ�ÀX¹nÛ ÀX»· µ K S Br¥ + � V T ß à ¹ß ¨ ¤ ß à ·MË+OVUL¿¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿ æ�è Á8I µ ¸L»¿�Ä�ÀTÃ

ß ¨ ¤F� ¤ ß à �"���

�� � ���¸+¸�¸+¸¸+¸^¹ ß ¨ ¤F� ¤ ß à � � � -¸�¸+¸-¹ ß ¨ ¤ �

·6Ö0¿$¶Ïß ¨ ¤ ß=à ½-á Ë ½ ��� À�� Ø }eà ½ QMQ ØB� Ë�·X¶"Ä�·X¶n¿Ï· µ OnULºÊN���À�Î�·MËR¸L¿�NV¹�¶nºÊÁ8º µ K NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂUL·MÄ�·XOn·XÃ8ºÊ¿�N ½w� ÀX¹�U ·MË S )�¥.Ä V ¤ + � À µ ¸ + � ¤ � º»NRÀ#äLÁ®¿$¶<��º»NV¿�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>}NV·�OnUL¿#Ã8IL»Â�Á�ÀX¹nÛ ·jÖ0¿�¶=ß=à�º»N�ÀXÂÊNV· À�UL·MÄ�·XOn·Xà Π¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿8}�À µ ¸�¸L¿$ä µ ¿�N=À �jÇqNVº»Ä=Ã8»¿�Ý·MË �6ª � ½¾ UÈILN~}�ÁÈÎ ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä ç   OVUL¿$¶n¿"ºÊNÀ�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�äLÁC¿$¶NV¿�å?IL¿ µ ¹�¿ � ª � ¹ � * �¸ ¹ Æ � *

Á�ÀXNV¿�¸�ÀTO � ½:è ¿�OVOnº µ K � ¶�À µ KM¿ROnUÕ¶V·MILKMUÏOVUL¿JNPO�ÀTÁ8ÂÊÎ"Ë�¶�ÀXÄ�¿�¸ÏÄ#À µ ºÊË�·M»¸LN U ¤ � ¤ � � }?Ë�·X¶� ³ S }6OnUL¿:¶n¿�NVILÂ�Onº µ K�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎJäLÁC¿$¶+NV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿�N<ÀT¶n¿�¹$·MÄ"Ã�ÀTOnºÊÁ8ÂÊ¿¬I µ ¸L¿$¶<OnUL¿eNPO�ÀTÁ8ºÊ»ºÊÅ�ÀTOnº»· µÄ#ÀTÃ8N ½e¾ UL¿�ºÊ¶h¹�·M»ºÊÄ�ºÊO�ºÊNhÀ�UL·MÄ�·XOn·Xà Î#äLÁC¿$¶hNV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿

¹$·M»º»Ä�

S:U ¤ � ¤ � � V<ª � ¹ ¹$·M»º»Ä� � * �¸ ¹ ¹�·MÂʺ»Ä� Æ� � *

Á�ÀXNV¿�¸ ÀTO U ½�¾ ULºÊNR¿�ÝÕULºÊÁ8ºÊOVN�OnUL¿�ÀXNPNV¿$¶VOn¿$¸ UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ UZª � ¹ UL·XäLÁ S ��¥ UWVË�·X¶�OnUL¿NPOnÀTÁ8º»Â»ºÊÅ�¿�¸�Ë�I µ ¹$On·X¶ � ½Ô ¿�Ý?O�}ÕOnUL¿$¶n¿�º»N�À=Ë�·X¶nKM¿�OnË�ILÂ+Ä�ÀTÃ

S ÐL½Ê¼M½ Y V Ä S:U ¤ � � V - ¹ S:U ¤ � ¤ � � V<ª �OnU8ÀTO:On·À�¹�·MÂÊÂ�ÀT¶n¿$¸?}ÈNPOnÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶�ÀXÄ�¿$¸�Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ S ��¥ ( V · µ U ¤ � � ÀXNVNV·È¹�º�ÀTOn¿$NeOnUL¿�NnÀXÄ�¿Ã�ÀXºÊ¶ S ��¥ ( V }��hUL¿$¶V¿ µ ·��W� º»NRÖ?º»¿H�z¿�¸�ÀXN)À�NPO�ÀTÁ8Â�Î�Ë�¶�ÀXÄ�¿$¸�Ä#À µ º»Ë�·MÂʸ?}CÀ µ ¸ (�T U ¤ � ¤� � ¹ � ºÊNÖպʿH��¿�¸�ÀXN�À æ�è UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½ � ¿�¹$Â�ÀXº»Ä OnU8ÀTO�OVUL¿�NPO�ÀTÁ8ºÊ»º»Å$¿�¸Ä#ÀTÃ

S ÐL½Ê¼M½ Þ V N �K� S%UWV - ¹ ¹�·MÂʺ»Ä�

S:U ¤ � ¤ � � V<ª �

º»NRÀ���¿�ÀTÛ�UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿ ½R¾ ·#NP¿�¿�OnULº»NH}���¿�NVU8ÀXÂÊÂ+Ë ÀX¹�On·X¶ S ÐL½»¼M½ Y V ÀXNRÀ�NV¿�å?IL¿ µ ¹�¿·MˬäLÖ0¿�Ä#ÀTÃ8N~} ¿�ÀX¹�U�·MË���ULº»¹�UP�hºÊ»Â+Á®¿�¹�·MÄ�¿�À �z¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�ÀXË�On¿$¶RNPO�ÀTÁ8º�Ç»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ ½�¾ ULº»N½��º»Â»Â2OnUL¿ µ ¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿$On¿JOnUL¿�ÃL¶V·?·MË ½

Page 116: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � � �â ·X¶�ÁL¶n¿$ÖÕº�O¡Î�}���¿c��º»Â»Â���¶nº�On¿ � � U ¤ � ¤ � � };��ºÊOnUÏOnUL¿JNPO�ÀTÁ8ÂÊ¿)Ë�¶�ÀXÄ�º µ K�·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸#ÁÈÎ

NPO�ÀTÁ8ºÊ»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ Ë�¶n·MÄÉOnUL¿�KMºÊÖ0¿ µ · µ ¿·MË U ½¾ UL¿�¹�·È¸Lº»Ä�¿ µ NVº»· µ Å�¿$¶n·�¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K U ¤ � � �� U ¤ ¼ ¤ � � � � � º»N S � ¸ ¼ V Çq¹�· µLµ ¿�¹$On¿$¸?}

À µ ¸�¿�Ý?On¿ µ ¸LN�On·�À µ ¿$Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K � ¨ T � � U ¤ � ¤ � � ¹ � � ¤ � ½ ´ O�º µ ¸LIL¹�¿�N�OnUL¿�äL¶nN{OÄ#ÀTÃPÄ S:U ¤ � � V - ¹ Ä S � ��V - }���ULº»¹�U�O�ÀTÛ0¿�N)À�¹$·M»Â�ÀT¶V¿�¸?}®NPOnÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶�ÀXÄ�¿�¸ Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ(�T � ¹ � On·=OnUL¿�¹�·MÂÊÂ�ÀT¶n¿�¸?}8NPOnÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶�ÀXÄ�¿�¸�ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶V¸Lº»NVÄ

(   T � � ¤ � ¹ �   T � � � ¤ � ��� � �

çzÎ ç�IÕ¶nKMUL¿$»¿�À è ÀXNVUL·MË Ñ ·XOVUL¿ µ Á®¿$¶nK � ç è+ÑRÞMØ } ¾ ULÄ�Q ½»¼   � S À�¹�· µ NP¿�å?IL¿ µ ¹$¿�·MË Ú ·X¶nÂÊ¿$O���N¸Lº»N #{I µ ¹$Onº»· µ »¿�Ä�Ä�À }2NV¿�¿ S ¼M½»¼M½Ê¼ W V Ë�·X¶�OnUL¿�OV¶�À µ NV»ÀTOnº»· µ Ë�¶n·MÄ ¹�· µ ¹�·X¶V¸8À µ ¹�¿"NPÃ�ÀX¹$¿�NOn·�ÆÈǹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ NPÃ�ÀX¹�¿�N V }COnULº»NJÄ#ÀTÃ�ºÊN S � ¸ W V Çq¹�· µLµ ¿�¹$On¿$¸ ½ HJN �ÌKX¶V·���N~}Cº�ORÁC¿�¹$·MÄ�¿�N)À6��¿�ÀTÛUL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½¾ UL¿NV¿�¹$· µ ¸ Ä�ÀTÃÌO�ÀTÛ0¿�N®Ä S � ��V - On·"OVUL¿NPÃ�ÀX¹�¿·MˬNPO�ÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶�ÀXÄ"¿�¸�¹�·È¸Lº»Ä�¿ µ NPº»· µ Å�¿�¶n·

æ�è ¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ KMN � T � ¹ � OnU8ÀTO�ÀT¶n¿#UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N ½ ´ O�NV¿ µ ¸LN=À�¹�·M»»ÀT¶n¿�¸?}NPO�ÀTÁ8Â�Î�Ë�¶�ÀXÄ�¿�¸�ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ (   T � � ¤ � ¹ �  %º µ � � On·�OnUL¿Ä#ÀTÃ

� T � ¹ � T � ��� � � � �   �

ã ¿$¶n¿ � ºÊN�KMºÊÖ0¿ µ OnUL¿#NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿�Ë�¶�ÀXÄ�º µ K�Ë�¶n·MÄ � À µ ¸'�   }:À µ ¸ � � T � � ¤ � ¹ � ºÊN�À µº µ On¿$¶ µ ÀXÂe¹$·M»Â�ÀT¶�· µm� � � � ½=á · µ Ö0¿$¶nNV¿$ÂÊÎ�}�Ë�·X¶�À µ Î NVIL¹�U æ�è ¿�Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K ��OnUL¿�O�ÀT¶nKM¿$O� ¹�À µ Á®¿�¸L¿�¹�·MÄ=ÃC·MNV¿�¸�ÀXNÀÌI µ º»· µ � � � � � �   }#�hUL¿$¶V¿ � � ¤ � ¹ �   ºÊN�ÀÌN{O�ÀTÁ8ÂÊÎË�¶�ÀXÄ�¿$¸A¹�·MÂÊÂ�ÀT¶�· µ'� � � � �¡ zº µ �  �}eÀ µ ¸AOVUL¿�º µ ¹�»ILNPº»· µ'� � ¹ �¡ �ºÊN�À UL·MÄ�·MÂÊ·MKXο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿8}GÁÈÎ�¿�ÝÕ¹�º»NVºÊ· µ ½ HJË�On¿$¶�N{O�ÀTÁ8º»Âʺ»Å�º µ K�OnUÕ¶n¿$¿"Onº»Ä"¿�N~}�º ½ ¿ ½ }GºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�ºÊOVÂÊÎ�¶n¿$Ã8»ÀX¹�º µ K �Á Î � ¤ + � T � ¤ ��� ¹ � ¤ ���>}?OVULº»N�¹�· µ ¹�ÂÊILNVº»· µ ¹�À µ ÁC¿)ºÊÄ"ÃL¶n·6Ö0¿�¸�On·�NnÀ�ÎÕº µ K�OnU8ÀTO®�  Cº»NÀ µ Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NPÄ · µP� � }LÁ Î è ¿�Ë�NV¹�UL¿$OnÅ�¸LI8ÀXÂʺÊO¡Î ½�Ó ¿$¿ Ñ ¿�Ä�ÀT¶VÛ ¼M½»¼M½ Q } ��UL¿$¶n¿ � º»N�¹�ÀX»ÂÊ¿�¸� ½e¾ U ILN~}�NPO�ÀTÁ8ÂÊÎÏOnUL¿�NV¿�¹�· µ ¸ÌÄ#ÀTÃ�ºÊNhÀ µ º»NV·MÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ ½¾ UL¿�OnULº�¶n¸ Ä#ÀTÃ-º µ ¹�»IL¸L¿$N�OnUL¿�ÀTÁ®·jÖ0¿�NPÃ�ÀX¹�¿�·MË S N{O�ÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶�ÀXÄ�¿$¸ ¹�·?¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ Å�¿$¶V· V

æ�è ¿�Ä�ÁC¿$¸L¸Lº µ KMN � T � ¹ � S OnU8ÀTOJÀT¶V¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N V º µ On·�OnUL¿�¹�·X¶P¶n¿�NPî· µ ¸?Ǻ µ K"NPÃ�ÀX¹�¿�·MË S NPOnÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶�ÀXÄ�¿�¸�¹$·?¸Lº»Ä"¿ µ NVº»· µ Å$¿$¶n· V æ�è ºÊÄ�Ä�¿$¶VNVº»· µ N S OnU8ÀTORÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ο�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$N V ½ ´ Ë � � ¸Lº»Ä S:UWV }�OnUL¿ µ � ÀX¸LÄ�º�OnN�À U8À µ ¸LÂÊ¿�¸L¿�¹�·MÄ=ÃC·MNVº�Onº»· µ ��ºÊOVU ÀX»ÂU8À µ ¸L»¿$N�·MË�º µ ¸L¿�Ý � � }8À µ ¸ � U8ÀXN�¸Lº»Ä�¿ µ NPº»· µ ! � ¸Lº»Ä S:��V � �a� ¼ � ��}LNP·�Á ÎÏKM¿ µ ¿$¶�ÀXÂÃC·MNPºÊOnºÊ· µ Ë�·X¶�U8À µ ¸LÂÊ¿)¹�·X¶n¿�N�OnULºÊN�º µ ¹�ÂÊILNVº»· µ º»N S � ¸ � V Çܹ�· µLµ ¿�¹�On¿�¸ ½z¾ U ILN�OVUL¿)OVULºÊ¶n¸ÏÄ#ÀTÃ�º»NNPO�ÀTÁ8Â�Î�À ��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿ ½çzÎ æ�è º»Ä"Ä�¿$¶nNVºÊ· µ OnUL¿�·X¶PÎ � ãJæ Y Ð }#°vW � } OnUL¿�NPÃ�ÀX¹�¿�·MË:¹�·?¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ Å�¿$¶n· æ�è º»Ä�Ä"¿$¶PÇ

NVºÊ· µ N � T � ¹ � OnU8ÀTO"ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N=º»N�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎA¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ O�On·�OVUL¿NPÃ�ÀX¹�¿·MË æ�è UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�N T � ¹ � À µ ¸ æ�è Ä�º»¹�¶n·XÁ8I µ ¸L»¿�ºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�N� T ­ � �� � ­�� ½"¾ ·�ÀTÃLÃ8Â�Î ºÊÄ�Ä�¿$¶nNPº»· µ OnUL¿�·X¶VÎ�º µ ¹�·?¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ Å�¿$¶V·+}GÀXNe��¿�ÀT¶n¿=¸L·Mº µ K+}��¿ µ ¿$¿�¸ On· Û µ ·��ÉOnU8ÀTO � � U ¤ � ¤ � � U8ÀXN µ · ¹�ÂÊ·MNV¿�¸ ¹�·MÄ"î· µ ¿ µ OnN~}zÁ8IÕO�OnULºÊN�º»N¹�ÂÊ¿�ÀT¶ ½ ´^µ ·MIÕ¶J¹�ÀXNV¿8} � À µ ¸ � ÀT¶n¿�N{O�ÀTÁ8ÂÊÎÌË�¶�ÀXÄ�¿�¸?}CNP·�OnUL¿$¶n¿�ÀT¶n¿�¹�UL·MNV¿ µ NPOnÀTÁ8»¿�º»NP·MÄ�·X¶PÇÃ8ULº»NPÄ�N �

� ��Z­ � À µ ¸ � ­�� �� �� ½�¾ UL¿�NPIÕÁ8NPÃ�ÀX¹�¿�·MË<NPOnÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶�ÀXÄ�¿�¸ � T � ¹ � S º µ OVUL¿

NPÃ�ÀX¹�¿·Mˬ¹�·?¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ Å�¿$¶n· æ�è º»Ä�Ä�¿�¶nNVº»· µ N�À µ ¸�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N V º»N�OnUL¿äLÁC¿�¶ÀTOOVUL¿�º»¸L¿ µ Onº�O^Î ·MË�OnUL¿"äLÁL¶nÀTOnº»· µ On· Ú ÀTà S:� ¥ � V OnU8ÀTO¶V¿�¹�·X¶n¸LN�OnUL¿"¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿�NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿º»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ �

� �� ­ � �� � ­�� �� �� ½

¾ UL¿ Ë�·MIÕ¶VOnU Ä�ÀTÃ�})OVUL¿ µ })º»NÌOnUL¿ � ¸Lºh�®¿$¶n¿ µ Onº�ÀXÂh� Ë�¶n·MÄ OnUL¿ NPÃ�ÀX¹�¿ ·MË�NPO�ÀTÁ8ÂÊÎ Ë�¶�ÀXÄ�¿$¸¹�·È¸Lº»Ä�¿ µ NPº»· µ Å$¿$¶n· æ�è ºÊÄ�Ä�¿$¶VNVº»· µ N � T � ¹ � OnU8ÀTO"ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N"OV·OnUL¿=NPÃ�ÀX¹�¿�·MË æ�è UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N T � ¹ � ·MËzNPO�ÀTÁ8Â�Î Ë�¶�ÀXÄ�¿�¸ !®ÇÜÄ#À µ ºÊË�·M»¸LN~}��ºÊOnU�À æ�è Ä�º»¹$¶V·XÁ8I µ ¸L»¿Ïº»NV·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ � T ­ � �� � ­���À µ ¸ À�NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿#UL·MÄ�·XOn·Xà ΠË�¶n·MÄOnUL¿�¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿)NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿�ºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ �

� �� ­ � �� � ­�� �� �� On·�OnUL¿ºÊ¸L¿ µ OVºÊO¡Î ½

Page 117: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� �'� ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

¾ UL¿=ä8Ë�OnU Ä�ÀTÃ�}+Ë�¶n·MÄ OnUL¿=Â�ÀTOVOn¿�¶�N{Ã�ÀX¹�¿"On·�OnUL¿"NPÃ�ÀX¹$¿ � ª �Ì·MË æ�è UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖÈÇÀX»¿ µ ¹�¿�N T � ¹ � ·MË�NPO�ÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶nÀXÄ�¿�¸ !®ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸLN~}%Ë�·X¶nKM¿$OnN�OnUL¿ æ�è Ä�º»¹�¶n·XÁ8I µ ¸L»¿=º»NV·TÇÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ � À µ ¸�º�OnN�N{O�ÀTÁ8»¿)OV¶nº�ÖÕº�ÀXÂʺ»Å�ÀTOVº»· µ }���ULº»¹�U�ÀXÄ�·MI µ O�On·�À�ÃC·Mº µ O�º µ

Ú ÀTà S:� ¥nUL·XäLÁ S � � ¹ � VzV �çzÎ æ�è NPO�ÀTÁ8º»ÂʺÊO¡Î � ã � Y Ø } ¾ ULÄ ½ W � }0OnULº»N�NPÃ�ÀX¹�¿RºÊN S � ¸ ¼ V Çܹ�· µLµ ¿�¹�On¿�¸?}LNV·�N{O�ÀTÁ8ÂÊÎ�OnUL¿hÄ�ÀTú»N�À �z¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿¾ UL¿$¶n¿�º»NeÀJUL·MÄ�·XOn·Xà Î�Ë�¶n·MÄ�OnUL¿�¹�·MÄ=ÃC·MNVº�On¿�·MË�OVUL¿�NV¿�äLÖ0¿�Ä#ÀTÃ8N¬On·JOnUL¿�Ä#ÀTÃ�º µ S ÐL½»¼M½ÙÞ V }

º µ ¸LIL¹$¿�¸�ÁÈÎ=À µ º»NV·XOn·Xà Î�Ë�¶n·MÄ OnUL¿�¹$·MÄ"ÃC·MNVº�On¿�¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K � � � ¨ T � ¹ � On·�OnUL¿�º»¸L¿ µ OnºÊO¡Î ½ã ¿ µ ¹�¿ S ÐL½»¼M½ÙÞ V º»N~}Lº µ ¸L¿�¿�¸?}CÀ]��¿�ÀTÛ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½ �

Ñ ¿$¹�ÀX» Ë�¶n·MÄ�¦)¿$ä µ ºÊOVº»· µ ¼M½»¼M½xÐ OnU8ÀTO�À æ�è Ä#ÀTÃÏ·MË2¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$OzÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶nÀ�ºÊNzNVºÊÄ"Ã8»¿RºÊË%ÀXȼÊOVN�î·Mº µ O�º µ Ö0¿�¶nNV¿�N�ÀT¶V¿=¹�· µ OV¶�ÀX¹�OnºÊÁ8ÂÊ¿>}�À µ ¸ Ë�¶n·MÄ æ ¶n·Xî·MNVºÊOVº»· µ W ½»¼M½ Q#OnU8ÀTO)OnUL¿=¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿·MË+OC��·"NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿)Ä#ÀTÃ8N�ºÊNhÀXK0ÀXº µ NVºÊÄ"Ã8»¿ ½� ��� �¿Á2À�Á%��� �#"%$�"���" è ¿$O � � * ÁC¿AOVUL¿ANVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ ·MË=¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O æ�è Á8I µ ¸LÂÊ¿�N§ T�� ¹ ß à À µ ¸�OnUL¿�ºÊ¶�NVºÊÄ"Ã8»¿ æ�è Á8I µ ¸LÂÊ¿�Ä#ÀTÃ8NH}¬º µ NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�¸L¿�KX¶V¿�¿ � ½ Ó º»Ä�ºÊÂ�ÀT¶nÂ�Î�}»¿�O�Æ � *)ÁC¿�OnUL¿�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂC¹�ÀTOn¿$KM·X¶VÎ �hº�OnU�OVUL¿�NnÀXÄ"¿�·XÁ #{¿�¹$OVNhÀXN � � *>}ÕÁ8IÕOa��ºÊOVU æ�è Á8I µ ǸL»¿�Ä�ÀTÃ8NR·jÖ0¿�¶�ß=à�OVU8ÀTO)ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�N)ÀXNROnUL¿�Ä"·X¶VÃ8ULº»NVÄ"N~} º µ NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀX¸L¿�KX¶n¿$¿ � ½¾ UL¿$¶n¿�ÀT¶n¿�N{O�ÀTÁ8º»Âʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ Ä#ÀTÃ8N � T���� * ¹ ��� *�À µ ¸ � T Æ � * ¹ Æ � *>} KMº�Ö0¿ µ Á Î�ÃL¶n·?¸LIL¹�O

��ºÊOnU�OnUL¿NPOnÀ µ ¸8ÀT¶n¸Ìº µ On¿�¶VÖXÀX �l}�À µ ¸�À µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ%º µ ¹�ÂÊILNVº»· µ � T���� * ¹ Æ � * ½� ��� �¿Á2À�Á%��� �#":$�" �?" è ¿$O � � � *�Á®¿�OnUL¿=NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ<¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ�·MË�¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$O æ�èBÓ ¿$¶P¶n¿=äLÁL¶�ÀbÇOnºÊ· µ Nw§ T � ¹ ß à À µ ¸�NVºÊÄ"Ã8»¿ æ�è äLÁC¿$¶�Ä#ÀTÃ8N�·jÖ0¿�¶�ß à } º µ NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ%¸L¿�KX¶n¿�¿!� ½)Ó º»Ä"º�ÇÂ�ÀT¶VÂÊÎ�}?ÂÊ¿$OJÆ � � *RÁC¿JOnUL¿�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀX®¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ6��ºÊOVUÏOVUL¿�NVÀXÄ�¿J·XÁ #{¿�¹$OnN�ÀXN � � � *8}ÕÁ8IÕO½�hº�OnU æ�èUL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿$Nh·6Ö0¿$¶Jß�àÀXN�OnUL¿Ä"·X¶VÃ8ULº»NVÄ"N~}Õº µ NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂ2¸L¿�KX¶n¿$¿ � ½¾ UL¿$¶n¿�ÀT¶V¿�NPO�ÀTÁ8ºÊ»º»Å�ÀTOnº»· µ Ä#ÀTÃ8N � T�� � � * ¹ � � � *À µ ¸ � T Æ � � * ¹ Æ � � *>} KMº�Ö0¿ µ ÀXN�Á®¿�Ë�·X¶n¿>}

À µ ¸#À µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ8º µ ¹�ÂÊILNVº»· µ � T�� � � * ¹ Æ � � * ½�¾ UL¿$¶n¿hÀT¶n¿�Ë�IL»Â�¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ KMN � T���� * � � � � *�À µ ¸� T Æ � * � Æ � � *)OnU8ÀTO�Ö?º»¿H� æ�è Á8I µ ¸L»¿�NRÀXN æ�è Ó ¿�¶V¶n¿�äLÁL¶nÀTOnº»· µ N ½¾ UL¿�Ë�I µ ¹$On·X¶nN ��À µ ¸ � ¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿l�hº�OnU�· µ ¿�À µ ·XOnUL¿$¶~}ÈÀ µ ¸���ºÊOnU�OVUL¿�NPO�ÀTÁ8º»Âʺ»Å�ÀTOVº»· µ Ä#ÀTÃ8N

� ½¾ UL¿#NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ:¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ � � ��� * S Í V ��ÀXN�º µ OV¶V·?¸LIL¹�¿�¸�º µ ¦)¿$ä µ º�Onº»· µ ¼M½Ê¼M½ Ø?½�¾ UL¿$¶n¿ÏÀT¶V¿

Ë�·X¶nKM¿$OVË�ILÂ+Ä#ÀTÃ8NÄ �K� S%UWV - �¸¢¹ Ä �K� S%UWV & �¸ ¹ � � � � * S%U ¤ � V ¥

��UL¿$¶n¿ % ��ÀXN�º µ OV¶V·?¸LIL¹�¿�¸�º µ ¦)¿$ä µ º�Onº»· µ ¼M½»¼M½ Y ½ � ¿ ��º»Â»Â%ÀXÂÊNV·���¶nº�On¿ %�Ë�·X¶�OnUL¿�¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOn¿Ä#ÀTà ½� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� �#"%$�"%$;!�"Ft)*H7 Í I_*�3`LM@8AaD3^L-7�D�@B= EB(+*.g8,M@B5�{`&#(*-,.* /21�3Æ(+@8A6@B7»@.D�E�G I_*-,1�*.G~9*-5?LM*

� � � � * S Í V ¹ � � � * �¸ ¹ Æ � � *IM3B1�*.g�387 Í {¾ ULº»N½��ÀXN�ÃL¶n·6Ö0¿�¸�ÀXN�Ã�ÀT¶VO�·MË æ ¶V·XÃC·MNVº�Onº»· µ Q ½ Q ½Ê¼M½

� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� �#":$�"%$�$�" &#(*0I>*-,-7:/ L.38=?A�3MD�1 /J5`7:(+*]L_@BA]A]9;7 3>7:/JI�* 1~GH938,M*

��� * �//

����

Æ � *

����� � � * �

// Æ � � *

Page 118: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � � �38,M*Æ(+@BA6@[email protected]�E *MGH9�/%I838=K*-5�L_*_1~{ ��*-5�LM*F7%(+* (+@BA6@B7»@.D�EGJI-*-,P@ \ � T#� � * ¹ Æ � * 387 Í /21(+@BA @B7C@MD�E *.GH9;/JI838=K*-5�7r7»@�7:(+* (@BA6@B7»@.D�E GJI_*H,�@ \ � T�� � � * ¹ Æ � � * 387 Í {¾ ULº»N½��ÀXN�ÃL¶V·jÖ0¿�¸�ÀXN á ·X¶n·M»»ÀT¶VÎÏQ ½ Ø?½ Q }LË�·M»ÂÊ·���º µ K�Ë�¶n·MÄ æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ N�Q ½�ÐL½�Ð À µ ¸�Q ½ÙØ?½»¼M½

r�;��� ¾ �)"%$�":$)E�" &#(+* 1-7 3 I~/J= /���387�/¬@B5PA63MD�1 � T�� � � * ¹ � � � * i � T Æ � � * ¹ Æ � � * 385�g� T�� � � � * S Í V ¹ � � � � * S Í ¤ � V

38,M* 38=2=4(+@BA6@[email protected]�E *.GH9;/JI83>=K*-5�LM*_1�{ �4*H5�LM*�1�@ 38,M* 7%(+* A63MD�1 � T�� � � * ¹ ¹�·MÂʺ»Ä�� � � � * i� T Æ � � * ¹ ¹�·M»ºÊÄ �hÆ � � * 385�g

� T�� � � � * S Í V ¹ ¹�·M»ºÊÄ� � � � � * S Í ¤ � ¤ � � V��

s½,.@�@ \ { ¾ UL¿ÃL¶n·�#{¿�¹�Onº»· µ ) T Í ¤ � ¹ Í º»NhÀ=NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ�}�À µ ¸�UL¿ µ ¹�¿KMºÊÖ0¿�NhÀ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂOV¶�À µ NPË�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ Ë�¶n·MÄ � T�� � � * ¹ � � � *hOn·�OnUL¿)ºÊ¸L¿ µ OVºÊO¡Î�Ë�I µ ¹$OV·X¶ ½z¾ UÈILN � º»N�UL·MÄ"·XOn·XÃ8º»¹hOV·OnUL¿�ºÊ¸L¿ µ OVºÊO¡Î�Ä#ÀTà ½�¾ UL¿�¹�ÀXNV¿�·MË�Æ � � *�ºÊNJNVº»Ä"º»Â�ÀT¶~} À µ ¸�OnUL¿¹�ÀXNV¿�·MË � � � � * S Í V OnUL¿ µ Ë�·MÂÊ»·��hNË�¶n·MÄ�OnUL¿�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�äLÁC¿$¶eNV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿�·MË æ ¶n·XÃC·MNPºÊOnºÊ· µ ÐL½Ê¼M½»¼ S ½G¾ UL¿�¶n¿�Ä�ÀXº µ º µ KJ¹$· µ ¹�»ILNVºÊ· µ NË�·M»ÂÊ·�� ÁÈÎ�ºÊOV¿$¶�ÀTOnºÊ· µ ½ � ¿�î¿$¶nÄ�º�O�NPO�ÀTÁ8º»Âʺ»Å�º µ K�Á Î � · µ ¹�¿>}�º µ Ã8Â�ÀX¹$¿�·MË �l}ÕOn·�Ã�ÀXNPNhË�¶n·MÄÉÍOn·=Í ¤ � ½ �

� ¿�¹�À µ µ ·�� ·MIÕOn»º µ ¿=OnUL¿=ÃL¶n·?·MË�·MËzOnUL¿"Ä#À µ º»Ë�·MÂʸ Ã�ÀT¶VO�·MËzOVUL¿�NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿"Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OP¶nº»Å�¿$¸Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄÉOnUL¿�·X¶V¿�Ä ½s½,.@�@ \ @ \ &#(+*M@B,M*-A �{� �{��Hir3B1_1_9�A /J5���&#(*M@B,.*HA ��{� �{ ��385�g]s½,.@MD�@�1_/J7�/¬@B5 ��{ �{� ��{ ç�Î#OVUL¿¶n¿�¸LIL¹�Onº»· µ Ä#ÀX¸L¿�º µ Ó ¿�¹$OnºÊ· µ ¼M½»¼ }���¿hÄ�À6Î=ÀXNVNVILÄ"¿�OnU8ÀTO U º»NzÀ�NPO�ÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶�ÀXÄ"¿�¸�Ä#À µ ºÊË�·M»¸ ½¾ UL¿Ë�·X¶nKM¿$OVË�ILÂ+Ä#ÀTà % T � * ¹ � � � *)Ë ÀX¹$On·X¶nNhÀXN�OnUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOn¿

� * �¸ ¹ � � * �¸ ¹ � � � *¿¥��UL¿$¶n¿ � Ë�·X¶nKM¿$OVNeOnUL¿�NPO�ÀTÁ8ÂÊ¿�Ë�¶�ÀXÄ"º µ K�À µ ¸�Ä#À µ º»Ë�·MÂʸ=N{OV¶nIL¹$OnIÕ¶V¿>}ÕÀ µ ¸ � ÖÕº»¿-�hN æ�è Á8I µ ¸LÂÊ¿�NÀXN æ�è Ó ¿$¶V¶V¿�äLÁL¶�ÀTOnºÊ· µ N ½-¾ UL¿$¶n¿�º»N=À�NVºÊÄ�º»Â»ÀT¶�Ë ÀX¹$On·X¶nºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ % � � � �hº�OnU Æ ÇqÃL¶V¿$äÕÝL¿�N ½á · µ NVº»¸L¿$¶�OnUL¿¹$·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnºÊÖ0¿J¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ TS ÐL½Ê¼M½»¼ Q V N �K� S%UWV -

//

��

¹�·M»ºÊÄ�� � * �//

��

¹�·M»ºÊÄ�RÆ� � *

��¹�·MÂʺ»Ä � ��� * �//

��

¹$·M»º»Ä�RÆ � *

��¹�·MÂʺ»Ä � � � ��� * S:U ¤ � ¤ � � V // ¹�·MÂʺ»Ä � � � � * �// ¹$·M»º»Ä�RÆ � � *

� � ��� * S%UWV //

�OO

� � � * �//

�OO

Æ � � *�OO

¾ UL¿�Ö0¿$¶VOnºÊ¹�ÀX Ä#ÀTÃ8N<Â�ÀTÁ®¿�»¿$¸ � À µ ¸ � ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�N~}XÁ Î æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ ÐL½»¼M½»¼M¼À µ ¸ è ¿�Ä"Ä#À ÐL½»¼M½Ê¼ W ½)¾ UL¿�OnUÕ¶n¿$¿�¹$·MÄ"Ã8»¿$OV¿�¶n·���N�ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÌäLÁ®¿$¶�NV¿�å?IL¿ µ ¹�¿�N)Á�ÀXNV¿�¸ÀTO U } Á Î æ ¶n·Xî·MNVºÊOVº»· µ ÐL½Ê¼M½ Ø À µ ¸ æ ¶n·Xî·MNVºÊOVº»· µ ÐL½Ê¼M½»¼ S ½ ´{µ ¿�ÀX¹�U ¹�ÀXNV¿�OnUL¿�ºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�ºÊO µ IL»Â�ÇUL·MÄ�·XOn·Xà Î�·MËCOnUL¿J¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿�Ä#ÀTÃ�º»NzKMº�Ö0¿ µ ÁÈÎ=OnUL¿h¶n¿$»¿$ÖTÀ µ OzNPOV¶nIL¹�IÕ¶V¿JÄ#ÀTÃ�}Ⱥ ½ ¿ ½ }ÕÀ¹$·M»Â�ÀT¶º µ À µ ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶V¸Lº»NVÄ ·X¶zÀ æ�è ¿�Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K�À µ ¸#UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿>}?NV·�OnUL¿RUL·MÄ�·XOn·Xà ÎäLÁC¿�¶ÌNPOP¶nIL¹$OnIÕ¶n¿$N�ÀT¶n¿ ¹�·MÄ"Ã�ÀTOnº�Á8»¿ ½�¾ ·�ÃL¶V·jÖ0¿ OnU8ÀTOÏOnUL¿�ÂÊ¿�Ë�O�U8À µ ¸ Ö0¿$¶VOVº»¹�ÀXÂJÄ#ÀTà % º»NÀ UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>}�ºÊO=OnUL¿$¶n¿$Ë�·X¶n¿�NVI @�¹$¿�N#On· NVUL·�� OnU8ÀTO"OnUL¿�Ä�ºÊ¸L¸L»¿�À µ ¸ ¶nºÊKMU OU8À µ ¸�Ö0¿$¶VOnºÊ¹�ÀXÂ+Ä�ÀTÃ8N � U8À6Ö0¿�OVULº»NRÃL¶n·Xî¿$¶VO¡Î ½J¾ ULº»NJº»NROVUL¿�¹�· µ OV¿ µ O�·MË<OnUL¿�Ë�·MÂÊ»·��hº µ K#O»�z·¶n¿�NPILÂÊOnN ½ �

Page 119: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

����������� � �)"%$�"%$ �)"f&#(+* \ @B, �^*H7 \ 9;=?A�3MD

� T ¹�·M»ºÊÄ� � * ¹ ¹�·M»ºÊÄ� � � *

/2143�(+@BA6@B7»@.D�EF*MGH9�/%I838=K*-5�L_*�{¾ ULº»N"OnUL¿$·X¶n¿�Ä ºÊN"¶n¿�ÀXÂÊÂÊÎ�OnUL¿�Ä#ÀXº µ KM¿�·MÄ�¿�OV¶nº»¹�º µ KX¶n¿$¸Lº»¿ µ OÏ·MËROnUL¿�Ä#À µ ºÊË�·M»¸ Ã�ÀT¶PO#·MË

OnUL¿�NPOnÀTÁ8»¿�Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿�OV¶nº»Å$¿�¸ ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶V¸Lº»NVÄ OVUL¿�·X¶n¿�Ä }CÀ µ ¸`��º»ÂÊÂ�Á®¿�ÃL¶n·6Ö0¿�¸�º µ OnUL¿ µ ¿�Ý?OJO»�z·NV¿�¹�Onº»· µ N ½ ´^µ ¹�· µ OV¶�ÀXNPO~}8OVUL¿�Æ ÇqÃL¶n¿$äÕÝÕ¿�¸�¹�ÀXNV¿�º»N µ ¿�ÀT¶nÂ�Î�OP¶nºÊÖ?º�ÀX ½� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� �#":$�"%$ ��" &#(* \ @B, �^*-7 \ 9;=?A�3MD

� T ¹�·M»ºÊÄ� Æ � * ¹ ¹�·MÂʺ»Ä� Æ � *

/2143�(+@BA6@B7»@.D�EF*MGH9�/%I838=K*-5�L_*�{s½,.@�@ \ { � ¿�ÀTÃLÃ8ÂÊÎ ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä Q ½ Y ½ÙÞ S ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä Hc  V À µ ¸�HJ¸L¸L¿ µ ¸LILÄ Q ½ Y ½Ê¼ S ½�¾ UL¿�ÀX¸L¸L¿ µ ǸLILÄ ÀTÃLÃ8Âʺ»¿�N�ÁC¿�¹�ÀXILNP¿�¿�ÀX¹�U æ�è Á8I µ ¸L»¿�·MË<î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�À"·6Ö0¿$¶JÀ=NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�º»N�º»NV·MÄ�·X¶PÃ8ULº»¹�OV·À�ÃL¶n·?¸LIL¹�O�Á8I µ ¸LÂÊ¿ ½�¾ ULºÊN�OVº»Ä�¿a�z¿J¿�Ä"Ã8U8ÀXNVºÊÅ�¿)»¿�Ë�O�äLÁ®¿$¶nN ½eè ¿�O�Í ÁC¿)À µ Î#·XÁ #{¿�¹$O�·MË<Æ � �>}º ½ ¿ ½ }<ÀÌÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶n· µ ½�¾ UL¿ µ Í ¿�Ä�ÁC¿�¸LN�º µ NP·MÄ�¿ � IL¹�»ºÊ¸L¿�À µ !®ÇÜNPÃ�ÀX¹�¿�ÀXN�À�¸L¿$Ë�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ¶n¿$OP¶�ÀX¹$O�·MË�À�¶V¿�KMILÂ�ÀT¶ µ ¿$º»KMU0ÁC·X¶nUL·È·?¸ � }��hULºÊ¹�U º»N�À µ ·XÁ #{¿�¹$O�·MËhÆ � � ½Ì¾ UL¿"OV¶�À µ NPºÊOnºÊ· µÄ#ÀTÃ8N¬·MË�»¿�Ë�O¬äLÁ®¿$¶nNeº µ ¸LIL¹�¿$¸=Á Î�Í �²� ¹ Í NVUL·��-OnU8ÀTO¬OnUL¿�»¿$Ë�O¬äLÁC¿$¶ � ª Í ºÊN:À)¶V¿$OV¶�ÀX¹$O·MË<OnUL¿�»¿�Ë�ORäLÁ®¿$¶ � ª_� ½�¾ UL¿�»ÀTOVOn¿$¶�º»NJÀ=NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ2¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ ��ºÊOnU�À=On¿$¶nÄ"º µ ÀXÂ%·XÁ #{¿�¹$OJº µ¿�ÀX¹�U ¸L¿$KX¶n¿�¿>} µ ÀXÄ�¿�ÂÊÎÌOnUL¿=ºÊ¸L¿ µ OnºÊO¡Î�Ä#ÀTÃ�·MË�OnUL¿�ÃL¶n·È¸LIL¹$O�Á8I µ ¸LÂÊ¿���ºÊOnU�äLÁC¿�¶ � }+À µ ¸ º»NOnUL¿$¶V¿�Ë�·X¶n¿¹$· µ OV¶nÀX¹$OnºÊÁ8ÂÊ¿ ½z¾ UL¿)ÃL¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ Ë�·M»ÂÊ·���N~}LÁÈÎÏOnUL¿�¹�ºÊOV¿�¸ ¾ UL¿�·X¶n¿�ÄÉHc  ½ �

�%(��®(����T,��C584=E ��³21��2� �G587���7%F<4¾ ·�ÃL¶n·jÖ0¿ ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä ÐL½»¼M½Ê¼�Ð }jOVU8ÀTO � T ¹$·M»º»Ä��� � * ¹ ¹$·M»º»Ä� � � *�ºÊN<ÀRUL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖÈÇ

ÀX»¿ µ ¹�¿>}���¿ �hºÊ»Â<ÀXK0ÀXº µ ¿�Ä"Ã8ÂÊ·jÎ�OnUL¿�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ2ÖTÀT¶nº�À µ O ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä Hc G·MË � ILº»ÂÊ»¿ µ �xN ¾ UL¿�·TǶn¿�Ä H ½ ´^µ OVULº»N�NV¿�¹$OnºÊ· µ ��¿=NVU8ÀX»¿��¶nº�On¿=¹$·M»º»Ä�� � Ë�·X¶�OnULºÊN�Ë�I µ ¹$OV·X¶�}+Ë�·X¶�¿�Ä"Ã8U8ÀXNPº»N~}+À µ ¸��¿w��º»ÂÊ®¿�NVNP¿ µ OVº�ÀX»Â�Î"¶n¿$¹�·MK µ º»Å�¿Jº�OnNzUL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ=äLÁC¿$¶�ÀXN�À�NPOnÀTÁ8º»Â»ºÊÅ�¿�¸ÏNPÃ�ÀX¹�¿J·MË2OnULºÊ¹nÛ0¿ µ º µ KMN ½´^µ OnUL¿�Ë�·M»ÂÊ·���º µ K=NV¿�¹$OnºÊ· µ ��¿�NVU8ÀX»Â%NVUL·�� OnU8ÀTO�OnULº»N�NPO�ÀTÁ8ºÊ»º»Å$¿�¸ÌNPÃ�ÀX¹$¿�º»N�¹�· µ OV¶�ÀX¹$Onº�Á8»¿ ½

� ��� �¿Á2À�Á%��� �#"�E�":$�" è ¿$OÍ ÁC¿=À�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹�O�î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶n· µ ½ � ¿�¸L¿$ä µ ¿=OnUL¿=NPÃ�ÀX¹�¿( � S Í V·MË�NPO�ÀTÁ8Â�Î Ë�¶�ÀXÄ"¿�¸ NVºÊÄ"Ã8»¿ !®ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸLN·6Ö0¿$¶�Í ÀXN�À�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ:NV¿$O ½ çzÎ À"� Á:� ¼ � � !�!� ¾ �¿Á�% � � ÃZ� .��;� Í ��¿�Ä�¿�À µ À�¹$·MÄ"Ã�ÀX¹$O�} æ�è !®ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸ U ��ºÊOnU À#NVºÊÄ"Ã8»¿ æ�è Ä�ÀTÃ% T U ¹ Í ½ ´ Ë U º»N�ÀX»NV·�¿�å?ILº�ÃLÃC¿�¸��hº�OnU#À�N{O�ÀTÁ8»¿�Ë�¶�ÀXÄ�º µ K+}MOnUL¿ µ ��¿h¹�ÀXÂÊÂLOnULº»N�À � À ¾� � #% � ¾ ���;à NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿ !®ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸ ·6Ö0¿$¶�Í ½-è ¿$O ( �� S Í V ¸L¿ µ ·XOn¿ÌOnUL¿�NV¿$O�·MËhNPO�ÀTÁ8ÂÊÎAË�¶�ÀXÄ�¿$¸NVºÊÄ"Ã8»¿,!®ÇÜÄ#À µ ºÊË�·M»¸LN�·6Ö0¿$¶RÍ ½Ú ·X¶n¿�KM¿ µ ¿�¶�ÀX»Â�Î�}�Ë�·X¶JÀ�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O�ÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶n· µ ��¿�¹�À µ ¹$· µ NVº»¸L¿$¶�À=Ë ÀXÄ�º»Â�Î�·MˬN{O�ÀTÁ8ÂÊÎ

Ë�¶�ÀXÄ�¿$¸ANVºÊÄ"Ã8»¿ !®ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸLN�·jÖ0¿�¶=Í Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OV¶Vº»Å�¿�¸ Á Î �}eÄ�¿�À µ º µ K�À�NPOnÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶�ÀXÄ�¿$¸Ë ÀXÄ�ºÊÂÊÎ#·MË+Ä#À µ º»Ë�·MÂʸLN § T � ¹ Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿�OV¶nº»Å$¿�¸�Á Î �}ÕOn·MKM¿�OnUL¿$¶ �hº�OnUÌÀ�NVº»Ä=Ã8»¿ æ�è Ä�ÀTÃOn· Í ¤ ·6Ö0¿$¶ ½ ´^µ NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�¸L¿�KX¶n¿�¿���»¿$OM( �à S Í V Á®¿�OnUL¿�NV¿$O=·MËhN{O�ÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶�ÀXÄ�¿$¸NVºÊÄ"Ã8»¿,!®ÇÜÄ#À µ ºÊË�·M»¸LN�·6Ö0¿$¶RÍ�Ã�ÀT¶nÀXÄ�¿$OV¶nºÊÅ�¿�¸�ÁÈÎ�ß=à8}8º ½ ¿ ½ }ÕOnUL¿�¹$·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnºÊÖ0¿J¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ�N

� ���� //

�&&L

LLLLLLLLLLLÍ ¤ ß=à

" �xxrrrrrrrrrrr

ß�à

Page 120: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � � ���UL¿$¶n¿0§ T � ¹ ß�à�ºÊNhÀ�NPO�ÀTÁ8ÂÊÎÏË�¶nÀXÄ�¿�¸ÌË ÀXÄ"º»ÂÊÎ�·MËGÄ#À µ ºÊË�·M»¸LN�Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OV¶Vº»Å�¿�¸ÏÁ Î�ß�à8}�À µ ¸% T�� ¹ Í ¤ ß à º»N�À�NVº»Ä=Ã8»¿ æ�è Ä#ÀTà ½�â ·X¶�ÖTÀT¶VÎ?º µ K �;}¬OnUL¿�NP¿�NP¿$OnN=ÀXNVNV¿�Ä�Á8»¿�OV·�OVUL¿NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂCNP¿$O�( � S Í V ½¾ UL¿$¶n¿�ÀT¶n¿�N{O�ÀTÁ8º»Âʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ Ä#ÀTÃ8N � T ( � S Í V ¹ ( � > ¨ S Í V KMº�Ö0¿ µ Á ÎÏO�ÀTÛÕº µ K�% T U ¹ Í

On· % � ) T U ¤ � ¹ Í }ÕÀ µ ¸#NVºÊÄ�º»Â»ÀT¶nÂÊÎ�Ë�·X¶�Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OV¶Vº»Å�¿�¸"Ë ÀXÄ�º»Âʺ»¿�N ½Gã ¿$¶n¿ % � )�¶V¿�Ä#ÀXº µ NNVºÊÄ"Ã8»¿>}�ÁC¿�¹�ÀXILNV¿ ) T U ¤ � ¹ U º»NJÀ�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTà ½ HJNRILNVI8ÀXÂ�} � º»NJÀ�¹�·XäLÁL¶nÀTOnº»· µ } NV·¹�·MÂʺ»Ä�� ( � S Í V U8ÀXN�OnUL¿�NnÀXÄ�¿�UL·MÄ�·XOn·Xà Î#O¡Î?ÃC¿�ÀXN�OnUL¿UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎϹ�·MÂʺ»Ä�º�O ½¾ UL¿�Û0¿$Î�Ë ÀX¹�O�OnU8ÀTO ��¿ µ ¿�¿�¸�On·�¿$NPO�ÀTÁ8»ºÊNVU ºÊNJOnUL¿=Ë�·MÂÊ»·��hº µ K ½ � ¿�¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿$On¿�ºÊOnNJÃL¶n·È·MË

º µ OnUL¿ µ ¿vÝÕO�NV¿�¹$OnºÊ· µ ½� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� �#"�E�"FE�" y)@B, *M3^L_(fLM@BAaD�3^L-7rD�@8= E�(+*Mg8,.@B5 Í ie7%(+* 1¬D�3^LM* ¹$·M»º»Ä�;( � S Í V /21kT*.3 ��= E LM@B57�,<3^LH7:/ I~=K*�{s½,.@�@ \ { ¾ ULº»N<ÀXNVNV¿$¶VOVº»· µ ��º»Â»Â Ë�·M»ÂÊ·���ºÊÄ�Ä�¿�¸Lº»ÀTOn¿�ÂÊÎ)Ë�¶V·MÄ&ºÊOVN+OV¶�À µ NPÂ�ÀTOnºÊ· µ º µ On·)Àh¹�·X¶P¶n¿�NPî· µ ¸?Ǻ µ K)NPOnÀTOn¿�Ä�¿ µ OeÀTÁC·MIÕO:N{Ã�ÀX¹�¿�Ne·MË8OVULº»¹nÛ0¿ µ º µ KMNH}ÈKMº�Ö0¿ µ º µ è ¿$Ä�Ä#À ÐL½ W ½ÙØ À µ ¸ ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä ÐL½ Q ½»¼ÁC¿$»·�� ½ �

⠺ʶVNPO�}>��¿�NVUL·��BUL·�� On·)¸L¿�¸LIL¹�¿�Ë�¶n·MÄ�OnULº»N¬OnU8ÀTOe¹�·MÂʺ»Ä�� � ºÊN:À�UL·MÄ"·XOn·XÃÈο�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ ½´ O�º»N µ ·XO�å?ILº�On¿hOnUL¿J¹�ÀXNP¿ROnU8ÀTOzº�OnNz»¿$Ë�O�äLÁC¿$¶�ÀTO�Í ¿�åÈI8ÀX»Nz¹�·MÂʺ»Ä��;( � S Í V }ÈNV·�NV·MÄ�¿hË�·X¶nÄ#ÀXÂÄ#À µ ¿�IÕÖ0¿�¶nº µ K=º»N�¶n¿�å?ILº�¶n¿�¸ ½s½,.@�@ \ @ \ &#(+*_@B,.*-A ��{� �{� �+il3B1_1_9�A /J5���s½,[email protected]�@B1_/J7�/¬@B5 ��{ �;{ �;{ â ·X¶zOnULºÊNzÃL¶n·?·MË }���¿)º µ OV¶n·?¸LIL¹$¿À µ ÀXI?ÝÕº»Âʺ�ÀT¶VÎJNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂX¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ � � * ·MË S Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿�OV¶nº»Å$¿�¸�Ë ÀXÄ"º»Â»ºÊ¿�N%·MË V !®ÇÜÄ#À µ ºÊË�·M»¸LN%Ä#ÀTÃÕÇÃ8º µ KJOn·Jî·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶�ÀRÁÈÎ�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿zÄ#ÀTÃ8N ½<è ¿$O � � � ¸L¿ µ ·XOn¿�OnUL¿�¹�ÀTOn¿�KM·X¶PÎ�º µ ��ULº»¹�U=À µ ·XÁ #{¿�¹�Oº»N�À=NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä#ÀTÃ

% T U ¹ Í ¥��UL¿$¶n¿ U º»N�À�N{O�ÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶�ÀXÄ"¿�¸ !®ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸ À µ ¸ Í ºÊNÀ S µ ·���ÖXÀT¶Vº�ÀTÁ8»¿ V ¹$·MÄ"Ã�ÀX¹$OJÃC·MÂ�ÎÈÇUL¿�¸Õ¶n· µ ½ H&Ä�·X¶PÃ8ULº»NVÄÉË�¶n·MÄ % T U ¹ Í�On·%   T U ¹ Í   º»N�À=¹�·MÄ"Ä�IÕOnÀTOnºÊÖ0¿JNVåÈI8ÀT¶n¿

U �//

·��

Í

��U � �// Í  

��UL¿$¶n¿ º»N�À�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿ æ�è Ä#ÀTà ½e¾ UL¿$¶n¿�º»N�ÀX»NV·=À�Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OV¶Vº»Å�¿�¸ÏÖ0¿$¶nNPº»· µ ·MË%OnULºÊN�¹�ÀTOV¿�KM·X¶VÎ�}Ë�·X¶�¿�ÀX¹�U�NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂC¸L¿�KX¶n¿$¿ �;}8º µ ��ULº»¹�U�À µ ·XÁ #{¿�¹$O�º»N�KMºÊÖ0¿ µ ÁÈÎ�À�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ä�ÀTÃ

% T � ¹ Í ¤ ß à

·6Ö0¿$¶"ß=à8}��hº�OnU § T�� ¹ ß=àÏÀXN�º µ ¦)¿$ä µ ºÊOnºÊ· µ ÐL½ W ½»¼ }:¿�ÝL¹$¿$ÃLO�OnU8ÀTO�Í º»N µ ·XO�äÕÝL¿�¸ ½ HÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄÉË�¶n·MÄ % T � ¹ Í ¤ ß�à)OV· %�  T � ¹ Í�  ¤ ß�à�ºÊNhÀ�¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿JNVå?I8ÀT¶V¿

� �//

·��

Í ¤ ß à�

��� � �//Í�  ¤ ß=à

·MËGNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿ æ�è Á8I µ ¸L»¿�Ä#ÀTÃ8N�·6Ö0¿$¶)ß�à ½�¾ U ILN®��¿�·XÁLO�ÀXº µ À=NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX®¹�ÀTOn¿�KM·X¶VÎ � � * ½¾ UL¿$¶n¿�ÀT¶V¿�Ë�·X¶nKM¿�OnË�ILÂ+Ë�I µ ¹�On·X¶nN

� * � ¸ � � * �¸ ¹ ��� *

Page 121: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�z� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

OnU8ÀTO�O�ÀTÛ0¿ % T U ¹ Í OV·=OnUL¿�NP·MIÕ¶n¹�¿ U À µ ¸ÌO�ÀT¶VKM¿$ORÍ }L¶n¿�NPî¿�¹$Onº�Ö0¿�ÂÊÎ�} À µ ¸�NVºÊÄ�º»Â»ÀT¶nÂÊÎϺ µULº»KMUL¿�¶)NVº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ%¸L¿�KX¶n¿�¿�N ½)¾ UL¿�NV·MIÕ¶V¹�¿�Ë�I µ ¹$On·X¶ � U8ÀXN)À�NV¿�¹$OVº»· µ + T � * ¹ � � * KMºÊÖ0¿ µÁ Î"Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�ÀNPOnÀTÁ8ÂÊÎ=Ë�¶�ÀXÄ�¿�¸ !®ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸ U On·�OnUL¿hº»¸L¿ µ OnºÊO¡Î=Ä#ÀTà + � T U ¹ U }���ULº»¹�Uº»Nh¹�¿$¶VO�ÀXº µ ÂÊÎÌÀ"NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä#ÀTÃ�On·#À"î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶n· µ ½ ç�IÕO � º»NRÀXÂÊNV·ÏÀ"¸L¿�Ë�·X¶VÄ#ÀTOnº»· µ ¶n¿$OV¶�ÀX¹�Onº»· µ }º µ ÖպʿH� ·MË+OnUL¿�¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ

U

·��

·//U���U �

//Í

��ULº»¹�U�¸L¿$ä µ ¿�NRÀ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ2OV¶nÀ µ NVË�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ Ë�¶V·MÄ + � OV·=OnUL¿�º»¸L¿ µ Onº�O^Î�Ë�I µ ¹$OV·X¶J·MË � � * ½¾ UL¿$¶n¿ÌºÊN�À N{O�ÀTÁ8º»Âʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ Ä�ÀTà � T � � * ¹ � � > ¨* KMºÊÖ0¿ µ Á Î�O�ÀTÛÕº µ K % T U ¹ Í

On· % � ) T U ¤ � ¹ Í'}�»º�Û0¿=Ë�·X¶'( �* S Í V ½"¾ UL¿"Ë�I µ ¹$OV·X¶ ��T � � * ¹ � * S Á8IÕO µ ·XOºÊOnNUL·MÄ�·XOn·Xà ÎϺ µ Ö0¿$¶nNP¿ + V º»N�¹�·MÄ"Ã�ÀTOnº�Á8»¿c�hº�OnUÌN{O�ÀTÁ8º»Âʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ }ÕNV·

¹�·M»ºÊÄ� ��T ¹�·M»ºÊÄ� � � * ¹ ¹$·M»º»Ä� � *

º»N�ÀÏUL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>}�NVº µ ¹�¿�ÀTO)OnUL¿�»¿$Ö0¿$¬·MË�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�KX¶n·MIÕÃ8NH})§ � S ¹�·M»ºÊÄ� � V �¹�·MÂʺ»Ä�� § � S � V ºÊNGÀ µ º»NV·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ S Ë�·X¶<À µ Î�¹vUL·MºÊ¹�¿�·MË Á�ÀXNV¿�î·Mº µ O V ½ ´ O���º»ÂÊÂXOnUL¿$¶n¿�Ë�·X¶V¿�NVI @"¹�¿Ë�·X¶+ILN+On·�ÃL¶n·6Ö0¿eOnU8ÀTO�OnUL¿e¹�·MÄ"î·MNVºÊOn¿:Ë�I µ ¹$OV·X¶<¹�·MÂʺ»Ä�� � � º»N+À�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ)¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ ¹$¿ ½¬¾ UL¿Ë�I µ ¹$On·X¶ � º»N�¹�·MÄ"Ã�ÀTOnº�Á8»¿c��ºÊOnUÏOnUL¿�NPO�ÀTÁ8º»Âʺ»Å�ÀTOVº»· µ � · µ � � *8} ��ULº»Â»¿ ºÊN�· µ Â�ÎϹ�·MÄ"Ã�ÀTOnº�Á8»¿��ºÊOnUÌOVUL¿º»¸L¿ µ Onº�O¡ÎÌNPOnÀTÁ8º»Â»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ · µ ��� * ½�¾ ·"¸L¿�ÀXÂ#��ºÊOnU�OnULº»N�¸Lºh�C¿�¶n¿ µ ¹�¿>}®À µ ¸�On·�À�Ö0·Mº»¸�ÀUL·MÄ�·XOn·Xà ÎϹ�·MUL¿$¶V¿ µ ¹�¿�¸LºÊNV¹�ILNVNVºÊ· µ }��z¿ ��º»Â»Â��z·X¶VÛ�ÀTO�OnUL¿�»¿�Ö0¿�Â%·MË<UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏKX¶n·MIÕÃ8N ½¾ UL¿$¶n¿ºÊNhÀ µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ2OV¶�À µ NPË�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ

� � ¹ T � � * ¹ ��� *�¥

¸L¿$ä µ ¿�¸AÁÈÎ�OnUL¿�NPOV¶nIL¹�OnIÕ¶�ÀXÂ�Ä#ÀTÃ�·MËRÀ µ ·XÁ$#{¿$¹$O % T U ¹ Í ·MË � � * ½ ã ¿ µ ¹�¿ � � À µ ¸ ÀT¶n¿ UL·MÄ"·XOn·XÃ8º»¹>})À µ ¸ § � S � � V � § � S�zV ½ ¾ UL¿$¶n¿ ºÊN�ÀX»NP· À µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ�OV¶�À µ NVË�·X¶VÄ#ÀTOnº»· µ� ¹ + � T?��� * ¹ ��� *8}e¸L¿�ä µ ¿�¸AÁ Î OnUL¿ÏNVºÊÄ"Ã8»¿#Ä#ÀTà ) T Í ¤ � ¹ Í ½�ã ¿ µ ¹�¿ � À µ ¸+ � ÀT¶n¿�UL·MÄ�·XOV·XÃ8º»¹>}GÀ µ ¸ § � S � V � + � ½Ì¾ U ILN�OnUL¿"OC��·�NVåÈI8ÀT¶n¿�N�º µ ¸LIL¹�¿�¸AÀTOOnUL¿#ÂÊ¿$Ö0¿�Âe·MËUL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏKX¶n·MIÕÃ8N�ÁÈÎÏOnUL¿�O»�z·"¹�·MÄ�Ä�IÕOnº µ K�NVå?I8ÀT¶n¿$N

� � * � �//

���

� � *

��� � � > ¨* � �

// � � *

À µ ¸ � � * �

//

���

� � *

·�� � � > ¨* �

// � � *

ÀT¶n¿�¿�å?I8ÀX ½�ã ¿ µ ¹�¿�OnUL¿�UL·MÄ�·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ

¹�·MÂʺ»Ä� § � S � � V T ¹$·M»º»Ä� § � S � � * V ¹ ¹�·MÂʺ»Ä� § � S ��� * V

Page 122: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� �z� �S NPOnÀTÁ8º»Â»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ Á Î � º µ OnUL¿NV·MIÕ¶V¹�¿�À µ ¸ÌOnÀT¶nKM¿$O V º»N�¿�åÈI8ÀXÂ%OV·=OnUL¿�UL·MÄ�·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ

¹�·MÂʺ»Ä� § � S�zV T ¹$·M»º»Ä� § � S � � * V ¹ ¹�·MÂʺ»Ä� § � S ��� * V � § � S � � * V

S NPOnÀTÁ8º»Â»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ Á Î � º µ OVUL¿=NV·MIÕ¶V¹�¿>}%ÁÈÎ + � º µ OVUL¿�O�ÀT¶VKM¿$O V ½¾ U ILN�OVUL¿=Ë�I µ ¹$OV·X¶¹�·MÂʺ»Ä� �

·MË+OVUL¿�OnUL¿�·X¶V¿�Ä ºÊNhÀ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎÏ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿�º»Ë<À µ ¸Ì· µ ÂÊÎϺ»Ë+OnUL¿�Ë�I µ ¹�On·X¶

¹�·M»ºÊÄ� T ¹�·MÂʺ»Ä� � � * ¹ � � *

º»N�À=UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎÏ¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½� ¿ÌÀTÃLÃ8ÂÊÎ ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä Q ½ Y ½ Þ S ¾ UL¿$·X¶n¿�Ä Hc  V OV· ¹�·M»ºÊÄ � ½²� ÀX¹�U-·XÁ #{¿�¹�O#·MË ��� *�º»N#SbÇ

¸Lº»Ä"¿ µ NVº»· µ ÀXÂ:}�IÕà On·�º»NV·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄF}�NV·���¿�Ä#À�ÎBÀTÃLÃ8ÂÊÎBHJ¸L¸L¿ µ ¸LILÄ Q ½ Y ½»¼ S ½ ´^µ ·XOnUL¿�¶��·X¶n¸LNH}�¹$·M»º»Ä�� ºÊN�À#UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿�º»ËeºÊOnNJÂÊ¿�Ë�O)äLÁC¿$¶ÀTO)¿�ÀX¹�U ·XÁ #{¿�¹$O�Í ·MË ��� �º»Nh¹�· µ OP¶�ÀX¹$Onº�Á8»¿ ½ çzÎÌI µ ¶nÀ6Ö0¿�ÂÊ»º µ K"OnUL¿�¸L¿$ä µ º�Onº»· µ NH}®OnUL¿�ÂÊ¿�Ë�OhäLÁ®¿$¶ zª Í ·MË T � � * ¹ ��� *ÀTO=Í ºÊN=ÃL¶n¿$¹�º»NV¿$ÂÊÎ�OnUL¿ÌNPÃ�ÀX¹$¿ ( � S Í V ·MËRNPOnÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶�ÀXÄ�¿�¸ NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿ !®ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸLN=·6Ö0¿$¶"Í'}À µ ¸�OnUL¿JNPOnÀTÁ8º»Â»ºÊÅ�ÀTOnºÊ· µ Ä#ÀTÃ8NzÀXKX¶V¿�¿>}ÕNV·�OVUL¿R»¿�Ë�O�äLÁC¿$¶�·MË2¹�·MÂʺ»Ä�� ÀTOzÍ ºÊNz¹�·MÂʺ»Ä �;( � S Í V ½¾ UÈILN æ ¶n·Xî·MNVºÊOnºÊ· µ ÐL½ W ½ W�º»Ä"Ã8Âʺ»¿�N ¾ UL¿�·X¶n¿�Ä ÐL½»¼M½Ê¼�ÐL½ �

*-A�38,�� ��{ � {���{ H�O+äL¶nN{O<KMÂ�À µ ¹$¿>}T· µ ¿eÄ�º»KMU0O�UL·XÃC¿eOn·�ÃL¶n·6Ö0¿ æ ¶n·XÃC·MNPºÊOnºÊ· µ ÐL½ W ½ WzÁÈÎ�NVUL·��hº µ KOnU8ÀTO�OnUL¿ ¹�· µLµ ¿$¹$OnºÊÖ?ºÊO¡Î ·MËOnUL¿ NPÃ�ÀX¹$¿�N ( � S Í V KX¶n·��hN�On·-º µ ä µ ºÊO¡Îo��ºÊOVU ! ½ ã ·��z¿$Ö0¿$¶�}OnULºÊN�ºÊN=¸L¿�ä µ ºÊOn¿�Â�Î µ ·XO�OV¶nIL¿ ½ ´^µ OnUL¿�¹�ÀXNV¿�Í � 5 }�À�NVº»Ä=Ã8»¿ !®ÇÜÄ#À µ ºÊË�·M»¸ U ·6Ö0¿$¶ 5 º»N#{ILNPO�À�¹�· µ OV¶�ÀX¹$OVºÊÁ8»¿ S ¹�·MÄ"Ã�ÀX¹�O�} æ�è V Ä#À µ º»Ë�·MÂʸ ½Aæ ·Mº µ ¹�ÀT¶��¿�¸LI8ÀX»º�O^Î�ºÊÄ"Ã8»ºÊ¿�N�OVU8ÀTO U º»NÀ�UL·MÄ�·XOn·Xà ΠÁ�ÀX»Â�º µ OnUL¿���¿�ÀTÛ�NV¿ µ NP¿>}zº ½ ¿ ½ }:OnUL¿ÏÁC·MI µ ¸8ÀT¶VÎ � U U8ÀXN�OnUL¿�UL·MÄ�·M»·MKXÎ ·MËÀ µ S ! ¸ ¼ V ÇÜNPÃ8UL¿�¶n¿>}RÁ8IÕO�ºÊOϺ»N µ ·XO µ ¿�¹�¿�NPNnÀT¶nº»Â�Î NVº»Ä"Ã8Â�ÎÈÇq¹�· µLµ ¿�¹$On¿$¸ ½ ´{µ ¸L¿$¿�¸?}JË�·X¶"! ³Ø Ä�À µ Î S î¿$¶nË�¿�¹�O V Ë�I µ ¸8ÀXÄ�¿ µ O�ÀXÂ�KX¶n·MIÕÃ8N�§)¨ S � UWV ÀT¶nºÊNV¿Ìº µ OnULºÊN ��À�Î�}�NP· ( � S658V º»N µ ·XO¿$Ö0¿ µ Ã�ÀTOnU?Çܹ$· µLµ ¿�¹$On¿�¸ ½�â ·X¶=OnULºÊN�¶n¿�ÀXNV· µ }�ºÊO�º»N=ÀTÃLÃ�ÀT¶n¿ µ OnÂÊÎ µ ·XO�ÃC·MNPNVºÊÁ8ÂÊ¿�On·�ÃL¶n·6Ö0¿�OVUL¿NPO�ÀTÁ8ºÊ»º�O^Î�OVUL¿�·X¶n¿�Ä Ë�·X¶ æ�è ¹�· µ ¹�·X¶n¸8À µ ¹$¿�N S ·X¶�ÆÈÇq¹�·XÁC·X¶V¸Lº»NVÄ�N V Á Î=OVULº»NeÄ�¿$OnUL·È¸ ½eÓ Onº»ÂÊÂ�}XOnULºÊNÃ�ÀTOnUL·MÂÊ·MKXÎ�º»N�À µ I µ NPOnÀTÁ8»¿"· µ ¿8}+À µ ¸ ¹�À µ NPOnÀTÁ8ÂÊÎ�ÁC¿=À�Ö0·Mº»¸L¿�¸ ÁÈÎ�OnUL¿�¶n¿$ä µ ¿�¸ ¸L¿$ä µ ºÊOnºÊ· µÁC¿$»·�� ½� ��� �¿Á2À�Á%��� �#"�E�" �#" è ¿$O�Í ÁC¿=À�¹$·MÄ"Ã�ÀX¹$O)ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶n· µ ½ � ¿=¸L¿�ä µ ¿=OnUL¿�NPÃ�ÀX¹�¿ � � S Í V·MˬNPO�ÀTÁ8Â�ÎÌË�¶nÀXÄ�¿�¸ !®ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸÌOnULº»¹nÛ0¿ µ º µ KMNR·MË¬Í ÀXNJÀ"NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ%NVIÕÁ8NP¿$O)·MË ( � S Í V ½ H µ!�! � ¾ �¿Á�% � � à À��¿Á � ��� �¿Á�� ��·MË¬Í NPU8ÀX»ÂG¹$· µ NVº»NPOR·MË:À�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O æ�è !®ÇÜÄ#À µ ºÊË�·M»¸ U À µ ¸ Àæ�è Ä�ÀTà % T U ¹ Í�OnU8ÀTO�º»N�À µ + ��À��¿Á ����� �¿Á�� � � ¾�¼r}Lº µ OnUL¿�NV¿ µ NP¿OnU8ÀTO T

S ¼ V % T U ¹ Í U8ÀXNh¹$· µ OV¶nÀX¹$OnºÊÁ8ÂÊ¿�î·Mº µ Ohº µ Ö0¿�¶nNV¿�N~} º ½ ¿ ½ }LºÊNhÀ�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿)Ä#ÀTÃ�}�À µ ¸S W V OnUL¿)¶n¿�N{OV¶nº»¹�On¿�¸�Ä#ÀTÃ"% & � U T � U ¹ Í U8ÀXN ¼ Çܹ�· µLµ ¿�¹�On¿�¸�ÃC·Mº µ O�º µ Ö0¿$¶nNP¿�N ½

S H ¼ Çq¹�· µLµ ¿�¹$OV¿�¸=N{Ã�ÀX¹�¿�º»N µ · µ Çq¿�Ä"ÃLO¡Î�}TÃ�ÀTOnU?Çq¹�· µLµ ¿�¹$OV¿�¸"À µ ¸�NVºÊÄ"Ã8ÂÊÎ Çܹ�· µLµ ¿$¹$On¿�¸?}MÀ µ ¸�¹�· µ ÇÖ0¿$¶nNP¿�ÂÊÎ ½ VçzÎ�º µ NPº»NPOnº µ K�OnU8ÀTO:OnUL¿�Ä#À µ ºÊË�·M»¸�º»NeNPO�ÀTÁ8Â�Î�Ë�¶�ÀXÄ�¿�¸?}���¿�·XÁLO�ÀXº µ OnUL¿ µ ·XOnº»· µ ·MËCÀ1� À ¾� � #

% � ¾ ���;à !®ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸ OVULº»¹nÛ0¿ µ º µ K ½=¾ UL¿�NV¿#ÀT¶n¿�OnUL¿=SbÇÜNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N�·MË � � S Í V ½ ç�ÎP�z·X¶VÛÕº µ K��ºÊOnU�Ã�ÀT¶�ÀXÄ"¿$OV¶nºÊÅ�¿�¸�Ë ÀXÄ�ºÊ»º»¿$NG·6Ö0¿$¶:À @ µ ¿�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�NH}8��¿�·XÁLO�ÀXº µ OnUL¿zNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀX NV¿$O � � S Í V ½¾ UL¿"NPO�ÀTÁ8ºÊ»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ Ä#ÀTà � T � � S Í V ¹ � � > ¨ S Í V O�ÀTÛ0¿�N,% T U ¹ Í OV·�OnUL¿�OnULº»¹nÛ0¿ µ º µ K% � ) T U ¤ � ¹ Í ½¾ UL¿®��·X¶n¸ � OVULº»¹nÛ0¿ µ º µ K���U8ÀXN�ÀX»NV·�ÁC¿�¿ µ ILNP¿�¸ �hº�OnU�NVÂʺ»KMU0OnÂÊÎ�¸Lºh�®¿$¶n¿ µ O�¸L¿$ä µ º�Onº»· µ Nz¿$»NV¿�Ç

��UL¿$¶n¿Jº µ OVUL¿R»º�On¿$¶�ÀTOnIÕ¶V¿ ½eÒ IÕ¶�ILNVÀXKM¿Rº»NzNPº»Ä�ºÊÂ�ÀT¶eOn·�OnU8ÀTOz·MË ��� Â�YMY }�° ¼~� } Á8IÕO�À�»º�OVOn»¿�Ä�·X¶n¿¶n¿�N{OV¶nº»¹�OnºÊÖ0¿ ½ r�;��� ¾ �)"FE�" ��" &#(*0/J5�LH= 9^1_/ @B5

¹�·MÂʺ»Ä� � � S Í V ¹ ¹$·M»º»Ä� ( � S Í V

Page 123: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�z�-� ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

/21½385�/J1�@BA6@B, D�(^/21-A4i�k�(+*-,M*T7:(+*|A�3MD�1T/J5�7%(+*®g8/J,M*ML-7�1_EB1_7»*-AW3>,.* �8/JI>*-5DIHEc7:(+*r1-7 3 I~/J= /���387�/¬@B5A�3MD�1 � {¾ ·MKM¿$OVUL¿$¶½�hº�OnU æ ¶n·XÃC·MNVº�Onº»· µ ÐL½ W ½ ��ÁC¿�ÂÊ·�� }ÕOnULº»N�Ä#ÀTÛ0¿�N�ÃL¶n¿$¹�º»NV¿�UL·�� OVUL¿�ÃL¶n·XÁ8ÂÊ¿�ÄɸLº»N{Ç

¹�ILNVNP¿�¸Aº µ Ñ ¿�Ä#ÀT¶PÛ ÐL½ W ½ Q�KM·?¿$N�À���À6Î ÀXË�On¿$¶�NPO�ÀTÁ8ºÊ»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ ½ ´ O4�hºÊ»Â:ÁC¿�ÃL¶n·6Ö0¿�¸�ÀXË�On¿$¶�OVUL¿Ë�·M»ÂÊ·���º µ K�OC��·"ÂÊ¿�Ä�Ä#ÀXN ½ r�;��� ¾ �#"�E�"���"Fd A�3MD T � ¹ � @ \ 1_/%AaD�= /¬L-/¬38=w1�*-7:1.i k�(+@�1�* �^*M@BA6*H7:,-/¬L�,.*M38= /���3 �7�/¬@B5o( 3B1 ¼ �<LM@B55?*ML-7»*.gÆD�@8/J57�/J5I�*-,M1�*-1"& & # ¨ S V \ @B,�38=2= ¯ & � & i�/J5�g89�LM*_1`38I~/ ��*ML-7�/¬@B5§�� S +V T §�� S���V ¹ §�� S � Va385�g0385�/J1�@BA6@B, D�(^/21-A §#¨ S V T §#¨ S���V ¹ §#¨ S � VMi \ @8,½*.3�L_( L-(+@B/¬LM*@ \ I_3B1�*|D�@8/J57r/J5 � {s½,.@�@ \ { ¾ ULº»N�ÀXÄ�·MI µ OnNhOV·�À µ ¿�ÂÊ¿�Ä�¿ µ O�ÀT¶VÎ�¹vUL¿$¹�Û�º µ On¿$¶nÄ�NJ·MˬOnUL¿�ILNVI8ÀXÂG¿�¸LKM¿�ÇqÃ�ÀTOVU�ÃL¶n¿�ÇNV¿ µ O�ÀTOnºÊ· µ ·MËGOnUL¿Ë�I µ ¸8ÀXÄ�¿ µ O�ÀXÂ+KX¶V·MIÕà ½ ´{µ Ë ÀX¹$ORº�ORNVI @"¹�¿�NhOnU8ÀTO & K& # ¨ S V º»N ¼ Çܹ�· µLµ ¿�¹�On¿�¸Ë�·X¶�¿�ÀX¹�U�SbÇÜNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý Aº µ � }GOnU8ÀTO & & # ¨ S V º»N�Ã�ÀTOnU?Çܹ�· µLµ ¿$¹$On¿�¸�Ë�·X¶�NV·MÄ�¿ �· µ ¿�ÀX¹vU ¼ ÇNVºÊÄ"Ã8»¿�Ý�·MË � }ÈÀ µ ¸=OnU8ÀTO & K& # ¨ S V ºÊN µ · µ Çq¿�Ä"ÃLO¡Î�Ë�·X¶�NV·MÄ�¿ #· µ ¿�ÀX¹�UÏWjÇÜNPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�·MË � ½:¾ ·ÃL¶n·6Ö0¿>}�Ë�·X¶�¿vÝ8ÀXÄ"Ã8ÂÊ¿>}COnU8ÀTO §)¨ S V ºÊN�º µ #{¿�¹$Onº�Ö0¿>}�¹�· µ NVº»¸L¿�¶�ÀϹ�»·MNV¿$¸ »·È·Xà � ·MË ¼ ÇÜNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�Nº µ � ¶n¿$ÃL¶n¿$NV¿ µ Onº µ K�À µ ¿�ÂÊ¿�Ä�¿ µ ORº µ OnUL¿Û0¿�¶ µ ¿�Â�·MË�§)¨ S V }8¹�UL·?·MNP¿�À µ IL» ÇÜUL·MÄ�·XOn·Xà Î�·MË<ºÊOnNº»Ä�ÀXKM¿�I µ ¸L¿$¶ } À µ ¸=¸L¿$Ë�·X¶nÄ ºÊO:On·�À�¸LºÊNV¹�·MË®WjÇÜNPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�N:º µ � ½eá UL·?·MNV¿�Âʺ»Ë�OnN:º µ � ·MË ¿�ÀX¹�U·MËCOnUL¿)WjÇqNVº»Ä=Ã8»º»¹$¿�N�·È¹�¹�IÕ¶nº µ K�º µ OnULºÊNz¸Lº»NV¹8}?¹�UL·?·MNV¿R¶V¿�¹$O�À µ KMÂÊ¿�Nzº µ � ¹$· µLµ ¿�¹$Onº µ K�OnUL¿hÃ�ÀXºÊ¶VN·MË�¿�¸LKM¿�N�OnU8ÀTO|��¿$¶V¿�ºÊ¸L¿ µ OnºÊä8¿�¸�º µ � }LÀ µ ¸�¹vUL·È·MNV¿ µ ILÂÊÂ�ÇqUL·MÄ�·XOn·XÃ8º»¿$N�º µ � ·MË2OnUL¿)»·È·XÃ8N�·M˶n¿�¹�O�À µ KM»¿�¿$¸LKM¿�NOnU8ÀTO»º»¿=·jÖ0¿�¶�Ö0¿$¶VOnºÊ¹�¿�N�º µ � ½�¾ UL¿$NV¿�¹�UL·Mº»¹�¿$N�KM»IL¿=OV·MKM¿$OnUL¿$¶�OV·�KMºÊÖ0¿"Àµ IL»Â�ÇqUL·MÄ�·XOn·Xà Î�·MË:OnUL¿�KMºÊÖ0¿ µ ¹�ÂÊ·MNV¿�¸ »·È·Xà � ½�¾ UL¿�ÃL¶V·?·MË�N)·MËeOVUL¿�¶n¿�Ä#ÀXº µ º µ K#¹�»ÀXº»Ä�NJÀT¶V¿¿�ÀXNVºÊ¿$¶�}�À µ ¸F��º»ÂÊÂCÁC¿·MÄ"ºÊOVOn¿$¸ ½ �

r�;��� ¾ �#"FE�"���" &#(+*�LM@BAwD�@�1_/J7»* � % @ \ 385 9;57:(^/¬L���*-5/J5�� A�3_D % T U ¹ Í k�/%7%( 31_/JAwD�=K* srt A�3_D � T Í ¹ � /2143 ��3>/J5m385`9;57:(^/¬L���*-5/J5��6A�3MD�{s½,.@�@ \ { ¾ UL¿�¹$·MÄ"ÃC·MNVº�On¿�� %�º»NGÀ�¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿e·MËÈNVº»Ä=Ã8»¿eÄ#ÀTÃ8N~}bÀ µ ¸�º»N�OnUL¿$¶n¿�Ë�·X¶V¿�NVºÊÄ"Ã8»¿ ½+â ·X¶¿�ÀX¹�U�ÃC·Mº µ O ¯ � OnUL¿�¶V¿�NPOV¶nºÊ¹$On¿�¸�Ä#ÀTà %   T S � % & � U[V # ¨ S V ¹ � # ¨ S V U8ÀXN ¼ Çܹ�· µLµ ¿�¹�On¿�¸ÃC·Mº µ O<º µ Ö0¿$¶nNV¿�NH}MNVº µ ¹�¿ %�º»N<À µ I µ OnULºÊ¹nÛ0¿ µ º µ K)Ä#ÀTÃ�}TÀ µ ¸�OVUL¿�O�ÀT¶nKM¿$O�� # ¨ S V º»NG¹�· µ OP¶�ÀX¹$Onº�Á8»¿>}NVº µ ¹�¿ � º»N#NVºÊÄ"Ã8»¿ ½ ¾ ¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº µ K %� hÁ ÎBÀ Ä#ÀTà T � ¹ � ·MË�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂhNV¿$OVN~} �z¿¸L¿�¸LIL¹�¿ÏË�¶n·MÄ è ¿�Ä"Ä#À ÐL½ W ½ Y�OnU8ÀTO S � % & � UWV # ¨ S V ºÊN ¼ Çܹ�· µLµ ¿$¹$On¿�¸?}eNV· � %�º»N�º µ ¸L¿�¿�¸�À µI µ OnULº»¹nÛ0¿ µ º µ K#Ä#ÀTà ½ �

s½,.@�@ \ @ \ t)*-A A�3 ��{ �;{��^{ ¾ UL¿�ÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ ) T U ¤ ��� ¹ U ºÊNJÀ µ I µ OnULºÊ¹nÛ0¿ µ º µ K�Ä#ÀTÃ�}NV·�¹�·MÄ"î·MNVºÊOnºÊ· µ �hº�OnU ) O�ÀTÛ0¿�N�À µ Î-NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿ æ�è Ä#ÀTà % T U ¹ Í º µ ( � S Í V On·�À µI µ OnULº»¹nÛ0¿ µ º µ K Ä�ÀTà % � ) T U ¤ ��� ¹ Í º µ � � > � S Í V }RÁ Î è ¿�Ä"Ä#À ÐL½ W ½ Þ?½ HJË�On¿�¶NPO�ÀTÁ8ºÊ»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ }ÕOVUL¿�¶n¿�NPILÂÊOnº µ K�Ä#ÀTÃ8N.( � S Í V ¹ � � > � S Í V À µ ¸ � � S Í V½� ( � S Í V Á®¿�¹�·MÄ�¿Ä�IÕOnI8ÀXÂ2º µ Ö0¿$¶nNP¿�N ½ �

´^µ ÖÕº»¿-�&·MË:OnUL¿�»¿$Ä�Ä#À #{ILNPO)ÃL¶n·6Ö0¿�¸?}COnUL¿�Ë�·MÂÊ»·��hº µ KϺ»Ä"Ã8Âʺ»¿�NhOVUL¿�NPÃC¿�¹$º�ÀXÂ<¹�ÀXNP¿�Í � 5·MË æ ¶n·XÃC·MNPºÊOnºÊ· µ ÐL½ W ½ W;}LÀ µ ¸F��º»ÂÊÂCÁC¿�À�Á�ÀXNVº»¹�Á8ILº»ÂʸLº µ K=Á8ÂÊ·?¹nÛ�º µ ºÊOnN�ÃL¶n·?·MË ½� ��� ¼ � � ÁJÀ�ÁJ��� �)"FE�" �?" y)@8, ! ³ Y 7:(+* 1 D3^LM* � � SU58V�/21�7%(+*�1¬D3^LM* @ \ 1_7C3 IH= E \ ,<3>A6*.g�srt! � IM3>=2= 1.iuk�(^/ L_(Æ/21 S ! ¸ W V �<L_@B55�*MLH7C*.g^{s½,.@�@ \ { H µ !®ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸOnULº»¹nÛ0¿ µ º µ K % T U ¹ 50S ·MËLÍ � 58V º»NGOnUL¿�NVÀXÄ�¿�ÀXN¬ÀR¹�· µ OV¶�ÀX¹�OnºÊÁ8ÂÊ¿!®ÇÜÄ�À µ º»Ë�·M»¸6��ºÊOVU ¼ Çܹ�· µLµ ¿�¹�On¿�¸ÏÁC·MI µ ¸8ÀT¶VÎ�}Õº ½ ¿ ½ }ÕÀ�UL·MÄ�·XOn·Xà Î!®ÇqÁ�ÀX» º µ OnUL¿JNPOP¶n· µ K�NV¿ µ NV¿ ½æ ¶V·jÖ?º»¸L¿�¸�OnU8ÀTO ! ³ Y�º�Ozº»N�OnUL¿$¶n¿�Ë�·X¶V¿)À µ UL· µ ¿�NPO æ�è !®ÇqÁ�ÀXÂÊÂ�}Ⱥ µ ÖպʿH� ·MËCOnUL¿Æ Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄOnUL¿�·X¶V¿�Ä ·MË Ó Ä#ÀX»¿ ½e¾ UL¿$¶n¿�Ë�·X¶V¿�OnUL¿JN{Ã�ÀX¹�¿ � � S658V ·MË%NPOnÀTÁ8ÂÊÎ#Ë�¶�ÀXÄ"¿�¸ !®ÇÜÄ#À µ ºÊË�·M»¸#OnULº»¹nÛ0¿ µ Ǻ µ KMN�º»N�OVUL¿hNnÀXÄ�¿hÀXN�OnUL¿hNPÃ�ÀX¹�¿R·MË æ�è !®ÇlÁ�ÀX»ÂÊNu��ºÊOnU#À�NPO�ÀTÁ8»¿�Ä�º»¹�¶n·XÁ8I µ ¸L»¿�OV¶nºÊÖ?º�ÀXÂʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ }��ULº»¹�U�º»N�À=UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ#äLÁ®¿$¶R·MË+OnUL¿�Ä�ÀTÃ

Å � S �� ¥ � � � V ¹ Å � � ¹�·M»ºÊÄ� Å � � �

Page 124: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� �z� �ã ¿$¶n¿ � S �

� ¥ � � � V º»N�OnUL¿ÏNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ�KX¶n·MIÕÃ-·MË æ�è ÀXIÕOV·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ�N�·MË � � OnU8ÀTO�ÀT¶V¿µ ·XOh¶V¿�å?ILº�¶n¿�¸�On·"äÕÝ�OnUL¿Á®·MI µ ¸8ÀT¶VÎ�} � �̺ÊNhOnUL¿�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�KX¶V·MIÕÃ�·MË<KM¿$¶nÄ�N S µ ¿�ÀT¶)S V ·MËæ�è ÀXIÕOn·MÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ�N�·MË � � }:À µ ¸ � � ¹�·M»ºÊÄ � � � ·6Ö0¿$¶�OnUL¿"NPO�À µ ¸8ÀT¶n¸�NPO�ÀTÁ8ºÊ»ºÊÅ�ÀTOnº»· µÄ#ÀTÃ8N � T � � ¹ � � > ¨ ½"¾ ULº»N�NPÃ�ÀX¹�¿�ºÊN S ! ¸ W V Çq¹�· µLµ ¿�¹$On¿$¸ ½ � ¿=KMºÊÖ0¿�NV·MÄ�¿�¸L¿$O�ÀXºÊ»N~}Ë�·M»ÂÊ·���º µ K ã ÀX¿ �8º»KM¿�¶� � ÀX» � ã � Y Ø }�° Ð>� T¾ UL¿�Ä#ÀTà � S �

� ¥ � � � V ¹ � S (� # ¨ V OnU8ÀTOh¶n¿�NPOV¶Vº»¹$OnN�À æ�è ÀXIÕOn·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ OV·ÏOVUL¿

ÁC·MI µ ¸8ÀT¶PÎ � � � � ( � # ¨ º»N�À�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>}<Á Î OVUL¿#HJ»¿�ÝLÀ µ ¸L¿$¶�OV¶nºÊ¹nÛ ½�â IÕ¶PÇOnUL¿$¶VÄ�·X¶n¿>}ÕOnUL¿�¶n¿ºÊNhÀ�¹�·MÄ�Ä�IÕO�ÀTOnº�Ö0¿J¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ

� S (� # ¨ ¶V¿� � � V //

���

� S (� # ¨ V

//

��

( � # ¨

� � # ¨ �// � � �

// �

��UL¿$¶n¿ � � ¯ ( � # ¨ º»N¬ÀhÁ�ÀXNP¿zÃC·Mº µ O�}MÀ µ ¸�OnUL¿�IÕÃLî¿$¶¬¶n·�� ºÊNGOnUL¿�äLÁ®¿$¶:NV¿�åÈIL¿ µ ¹�¿�OnU8ÀTO<¶V¿�NVILÂÊOVNË�¶n·MÄÉ¿$ÖTÀX»I8ÀTOnº µ K"¿�ÀX¹�U æ�è ÀXIÕOn·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ ·MË ( � # ¨ ÀTO � � ½�¾ UL¿�»¿�Ë�O�U8À µ ¸ÌÖ0¿$¶POnº»¹�ÀXÂ2Ä�ÀTú»N�À�UL·MÄ�·XOn·Xà Î�¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿>} ÁÈÎ=OnUL¿ æ�è Ö0¿$¶VNVº»· µ�� � è YMY } ¾ ULÄ ½8¼~� ·MËCOVUL¿ � Ä�ºÊ¹$¶n·XÁ8I µ ¸L»¿$NÀT¶n¿#äLÁC¿�¶=Á8I µ ¸LÂÊ¿�N<��OVUL¿�·X¶n¿�Ä ·MË®± ½¬Ú�½ ��º»NPOV¿$¶�À µ ¸Aç ½¬Ú ÀXÅ�IÕ¶ ½ ¾ UL¿�ÂÊ·��z¿$¶�UL·X¶nº»Å�· µ O�ÀXÂÄ#ÀTÃ8N�ÀT¶n¿ S ! ¸ W V Çܹ�· µLµ ¿�¹�On¿�¸�À µ ¸ S ! ¸ ¼ V Çq¹�· µLµ ¿�¹$On¿$¸?}?¶n¿�NPî¿�¹$Onº�Ö0¿�ÂÊÎ�} ÁÈÎ�OnUL¿ æ�è NPO�ÀTÁ8º»ÂʺÊO¡ÎOnUL¿�·X¶V¿�Ä ·MË ã ÀX¿ �8ºÊKM¿$¶� � ÀXÂÊ � ã � Y Ø } ¾ ULÄ ½ W �q½:¾ UÈILN:OnUL¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOV¿�Ä�ÀTà � S (

� # ¨ V ¹ � � ¹ � º»N S ! ¸ W V Çܹ�· µLµ ¿�¹�On¿�¸?} ��ULº»¹�U #{ILNPO�Ä�¿�À µ NzOnU8ÀTO�OnUL¿JNPÃ�ÀX¹�¿�� � S658V ºÊN S ! ¸ W V ǹ�· µLµ ¿�¹�On¿�¸ ½ �

�%( �2(�� ³2@C,#��F<12³2587���7�F E ��³21��2� �G587���7%F<4Ó À�ÖÕº µ K)OnUL¿�ÁC¿�NPO�Ë�·X¶�Â�ÀXNPO�}0º µ OnULºÊN�NV¿$¹$Onº»· µ ��¿®��À µ OeOn·�NVUL·��BOnUL¿�¹�· µ OV¶�ÀX¹$OVºÊÁ8º»ÂʺÊO¡Î�·MË OVUL¿

NPO�ÀTÁ8ºÊ»ºÊÅ�¿�¸ NPÃ�ÀX¹�¿�·MË�OnULºÊ¹�Û0¿ µ º µ KMN�·MË�À#ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶n· µ ½è ¿$O�Í Á®¿�À�¹�·MÄ=Ã�ÀX¹$O)ÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶n· µ }À µ ¸�¶V¿�¹�ÀX»¬OnU8ÀTO � � S Í V ¸L¿ µ ·XOn¿�N�OnUL¿=N{Ã�ÀX¹�¿=·MË�NPO�ÀTÁ8Â�Î�Ë�¶�ÀXÄ�¿�¸ !®ÇÜÄ#À µ ºÊË�·M»¸�OnULº»¹nÛ0¿ µ º µ KMN·MËGÍ ½����������� � �#"��?":$�"f&#(+*�1¬D3�LM* � � S Í V�/21 387½=K*M3B1_7 S ! ¸ W � ¸ Y V �<LM@B5�5�*ML-7»*.g�iTk�(+*-,M* � /217:(+*�g8/JA *-5+1_/¬@85�@ \ Í {¾ UL¿hÃL¶n·?·MËCÃL¶V·?¹�¿�¿$¸LN~}L¿�NVNV¿ µ Onº»ÀX»Â�Î�}ÈÁ Î#À µ º µ ¸LIL¹$OVº»· µ · µ OnUL¿J¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ ·MËCOnUL¿RÃC·MÂ�ÎÕUL¿�Ç

¸Õ¶n· µ Í ½ HJNRº»N�¹�ILNPOn·MÄ#ÀT¶PÎ ��ºÊOnUÌNVIL¹�U�À µ º µ ¸LIL¹$Onº�Ö0¿ÃL¶n·?¹$¿�¸LIÕ¶n¿>}��z¿�U8À6Ö0¿�On·�KM¿ µ ¿$¶nÀX»º»Å$¿ºÊO�Á Î�Ã8IÕOVOVº µ K�ºÊO�º µ On·�À�¶n¿�»ÀTOnºÊÖ?º»Å�¿�¸#Ë�·X¶VÄ }ÕNV·�OnU8ÀTO�}?¸LIÕ¶nº µ K�OnUL¿)¹�· µ NPOV¶VIL¹$Onº»· µ } �z¿ ��º»ÂÊ Á®¿ÀTÁ8»¿�On·�Û0¿$¿$Ã#OV¶�ÀX¹nÛ�·MË®OnULº µ KMN�¸L· µ ¿�ÃL¶V¿$ÖպʷMILNVÂÊÎ ½:¾ UL¿hKM¿ µ ¿�¶�ÀX»ºÊÅ�ÀTOnº»· µ ¹�· µ NVº»N{OnN�·MË��z·X¶VÛÕº µ K¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿�On·�À�NVIÕÁLÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶n· µ ½�â ·X¶�On¿$¹vU µ ºÊ¹�ÀXÂ�¶V¿�ÀXNV· µ N~}<º�O�ºÊN¹�· µ Ö0¿ µ º»¿ µ O�On·Ìº µ NVºÊNPOOnU8ÀTOOnUL¿JÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶V· µ º�OnNV¿�ÂÊË�U8ÀXN�À�NPÃC¿$¹�º�ÀXÂCN{OV¶nIL¹$OnIÕ¶V¿�¶n¿$Â�ÀTOnº�Ö0¿ROn·�OnUL¿)NVIÕÁLÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶n· µ } µ ÀXÄ�¿$ÂÊÎOnU8ÀTO�ºÊO�NVUL·MILÂʸ�ÁC¿�À æ�è Ä�ÀTÃLÃ8º µ K"¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶ ½ *-A�38,�� ��{ ��{ �;{ � ¿h¶n¿$Ö?º»¿H�BOnUL¿RÖTÀT¶nºÊ·MILNzÄ#ÀTÃLÃ8º µ K¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶nN�º µ OnUL¿hî·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�ÀX®¹$· µ On¿vÝÕO ½è ¿$O � T �²¹ Í Á®¿�À æ�è Ä#ÀTÃÌ·Mˬ¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶�À ½�¾ UL¿�¹�· µ NPOP¶nIL¹$OnºÊ· µ ·MËGOnUL¿�ILNVI8ÀXÂÄ#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶ � ¤ ß ¨ � � Í ¸L·?¿�N µ ·XO�KMº�Ö0¿#À�ÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶n· µ }¬I µ ÂÊ¿�NVN �AºÊN S »·È¹�ÀX»Â�Î Vº µ #{¿$¹$OnºÊÖ0¿8}JNV· · µ ¿ Ä�ILNPOÌÄ"·?¸Lº»Ë�Î OnUL¿�¹$· µ NPOV¶nIL¹$OVº»· µ ½ â ·MÂÊ»·��hº µ Kf± ½�ã�½�á)½ � ULºÊOV¿�UL¿�ÀX¸��� U8Q �8� }COVULº»N�¹�À µ Á®¿=¸L· µ ¿�Á Î�äL¶nNPO)OV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnº µ K � Á Î À�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�º�ÀXÂ+Ä#ÀTà T � ¹ � }À µ ¸�OVUL¿ µ Á8ILºÊ»¸Lº µ KÌÀ æ�è Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$Î?»º µ ¸L¿�¶�� -ÏÁ Î�NPO�ÀT¶POnº µ K��hº�OnU�OVUL¿=¸LºÊN #{·Mº µ OI µ ºÊ· µ� �"Í À µ ¸�º µ ¸LIL¹$OVºÊÖ0¿�Â�Î�ÀTOVO�ÀX¹�ULº µ K"À�¹�· µ ¿�· µ � � � -

��� � S � V Ë�·X¶h¿�ÀX¹�UÌÀ @ µ ¿�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý

� ·MË � }8º µ NP·MÄ�¿�·X¶V¸L¿$¶R·MË+º µ ¹$¶n¿�ÀXNVº µ K�NPº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý�¸Lº»Ä�¿ µ NVº»· µ ½ã ¿$¶n¿ � S � V ¸L¿ µ ·XOn¿�N�OnUL¿�ºÊÄ#ÀXKM¿Ï·MË � I µ ¸L¿$¶ ��}�Ö?º»¿H��¿$¸-ÀXN=À µ À @ µ ¿�NVº»Ä=Ã8»¿�Ý�·MË�Í'}

À µ ¸ � & � � ¸L¿ µ ·XOn¿$N�OVUL¿Ï¶V¿�NPOV¶nºÊ¹$On¿�¸�Ä#ÀTà � � ¹ � S � � V }<Ë�¶V·MÄ�OnUL¿#ÁC·MI µ ¸8ÀT¶VÎ ·MË � On·�ºÊOnN

Page 125: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�z� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

º»Ä�ÀXKM¿�I µ ¸L¿$¶ � ½ ¾ UL¿�NV¿ ÀXÂÊÂ�º µ UL¿$¶nºÊOÌOV¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº»· µ N�Ë�¶n·MÄ T � ¹ � ½ ´ Ë � º»NÌOVUL¿KM¿�·MÄ�¿�OV¶nº»¹e¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOnºÊ· µ ·MË8À µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿�NVº»Ä=Ã8»¿�Ý �"º µ � }bOnUL¿ µ � S � V º»N+OnUL¿�KM¿�·MÄ�¿$OP¶nº»¹¶n¿�ÀXÂʺ»Å�ÀTOVº»· µ ·MË�OnUL¿ µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿ÏÃ�ÀT¶VO � S � V ·MË �S � V ½ ´ Ë � � � ºÊN�OnUL¿#NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀXÂNVIÕÁ8NV¿�O�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿�¸�Á Î�OnUL¿�ÃL¶n·Xî¿$¶�Ë ÀX¹�¿�N)·MË���}®OVUL¿ µ � & � � º»NROV¶Vº�À µ KMILÂ�ÀTOV¿�¸�ÁÈÎ K& � T �¡¹?S � V ½Ô ¿�ÀT¶�OnUL¿ÏË�¶n· µ O�¿ µ ¸?} � ULºÊOV¿�UL¿�ÀX¸?��N æ�è Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$Î?»º µ ¸L¿$¶�� -�¹�· µ O�ÀXº µ N�À�¹�·Xà Î�·MË

OnUL¿�ÃL¶n·È¸LIL¹$O � ¤ ß ¨ }®OV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOn¿$¸ º µ NVIL¹�U À6��À�ÎÌOnU8ÀTO)º�OJ¹�· µ O�ÀXº µ N � À µ ¸ ( � S���V ÀTOOnUL¿ÌOC��· ¿ µ ¸LN ½ Ú�½�á ·MUL¿ µ¡� á ·0Y Þ }a° Ð>� KMºÊÖ0¿�N"À ¹�· µ NPOP¶nIL¹$OnºÊ· µ ·MËROnUL¿�¶n¿$Ä#ÀXº µ º µ K Ã8º»¿�¹$¿·MË�� - }R¸L¿ µ ·XOn¿�¸ � -;}hÁ Î N{O�ÀT¶VOnº µ K ��ºÊOnU Í À µ ¸ OVUL¿ µ º µ ¸LIL¹$OnºÊÖ0¿$ÂÊÎ ÀTOVO�ÀX¹�ULº µ KAÀA¹$· µ ¿· µ²� � � � -

��� � S � V Ë�·X¶"¿�ÀX¹�UBÀ @ µ ¿�NVºÊÄ"Ã8»¿vÝ � ·MË � }zº µ NV·MÄ�¿Ì·X¶V¸L¿$¶#·MËRº µ ¹$¶n¿�ÀXNVº µ K

NVºÊÄ"Ã8»¿�Ý ¸Lº»Ä"¿ µ NVº»· µ ½ H�O�OVUL¿#Ë�¶n· µ O�¿ µ ¸?} á ·MUL¿ µ �xN æ�è Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$Î?»º µ ¸L¿$¶�� -�¹�· µ O�ÀXº µ NÀ̹�·Xà Î�·MË � OP¶nº�À µ KMIL»ÀTOn¿�¸ ÀXNC( � S���V }�À µ ¸ OnUL¿$¶V¿"º»NÀ̹�À µ · µ ºÊ¹�ÀX æ�è UL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ� - �� � ¤ ß ¨ � � � - ½¾ UL¿$¶n¿#º»N�ÀXÂÊNV· À µ · µ Çܹ�À µ · µ ºÊ¹�ÀX æ�è UL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ � - �� � - � á ·0Y Þ } á ·X¶ ½¿�Õ½xÐ>�q½

çzÎ � � U8Q � }�° ¼ S � }%OVUL¿$¶n¿"ºÊNÀ ¾hÒJæ UL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ � - �� � ¤ ß ¨ � � Í ¶n¿$Â�ÀTOnº�Ö0¿�OV·� �hÍ'} NV·�OnUL¿$¶n¿�º»N�ÀX»NV·�À ¾�ÒJæ UL·MÄ"¿�·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ � - �� � ¤ ß ¨ � � Í ¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿�On· � �hÍ'}Á8IÕOa�z¿�NVU8ÀXÂÊ µ ·XO�¶n¿$ÂÊÎ�· µ OnUL¿�NP¿�¶n¿�NPILÂÊOnN ½HJNJ¸L¿�NV¹�¶nºÊÁ®¿�¸?}�OVUL¿ æ�è Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶nN � -�À µ ¸�� -#¸L¿$î¿ µ ¸ · µ OnUL¿�¹�UL·MNV¿ µ OP¶nº�Ç

À µ KMILÂ�ÀTOVº»· µ T � ¹ � ·MË�� T �'¹ Í ½ çzÎ � á ·0Y Þ } æ ¶n·Xà ½��Õ½ ØB� OnUL¿ æ�è NPOV¶VIL¹$OnIÕ¶n¿�· µ � -À µ ¸ � -�ºÊN�ÀTÁ8NPOV¶nÀX¹$OnÂÊÎ=º µ ÖTÀT¶nº�À µ OzI µ ¸L¿$¶�NPIÕÁC¸LºÊÖ?º»NVºÊ· µ ·MË } Á8IÕO�· µ ÂÊÎ=IÕÃ#On· µ · µ Çq¹�À µ · µ º»¹�ÀXº»NP·MÄ�·X¶VÃ8ULº»NPÄ ½¬¾ UÈILNeOnUL¿ æ�è ºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ ¹�»ÀXNVN�·MË®OVUL¿ æ�è Ä�ÀTÃLÃ8º µ K¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶nNT� -�À µ ¸� -#ºÊNw��¿�»Â+¸L¿$ä µ ¿�¸�Ë�·X¶�ÀÏKMº�Ö0¿ µ æ�è Ä#ÀTà � T � ¹ Í }®Á8IÕOJOnUL¿�ÀXNVNV·È¹�º�ÀTOnºÊ· µ � º¹ � -;}C·M˹�UL·?·MNVº µ K#À�¶V¿$ÃL¶n¿�NV¿ µ O�ÀTOVºÊÖ0¿º µ OnULºÊN�ºÊNV·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄɹ�Â�ÀXNPN~}8¹�À µ�µ ·XO�ÁC¿Ä�ÀX¸L¿�Ë�I µ ¹�On·X¶nº�ÀX ½¾ UL¿$¶n¿�º»N�À#NVIÕÁC¸Lº�ÖÕºÊNVº»· µ ·MË � -Ï·XÁLOnÀXº µ ¿�¸�ÁÈÎ�N{O�ÀT¶V¶nº µ K�¿�ÀX¹vU µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿=NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�Ý

º µ Í � � -�ÀTO�ºÊOVN�Á�ÀT¶VÎÕ¹$¿ µ OV¿$¶ ½eâ ¶n·MÄ ºÊOnN�¸L¿�NV¹$¶nº�ÃLOnº»· µ º µ�� á ·0Y Þ }Èà ½ WMW ØB� }?NV¿$¿)ÀX»NV· � HRÛ Þ W;}à ½8Ð S�� � }Lº�O�¿$å?I8ÀX»N�OnUL¿ µ ¿$¶VÖ0¿�·MË+OnUL¿)Ã�ÀT¶VOnº»ÀX»ÂÊÎÏ·X¶V¸L¿$¶n¿�¸�NP¿$Oh·MË µ · µ ÇܸL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�¿�N·MË � À µ ¸ � }GÃ�ÀT¶POnº�ÀXÂÊÂÊÎ�·X¶n¸L¿$¶V¿�¸ ÁÈÎ�º µ ¹�ÂÊILNVº»· µ ��ºÊOVULº µ � À µ ¸ � }GÀ µ ¸ ÁÈÎ OnUL¿"¶n¿$Â�ÀTOnºÊ· µ� � � S � V Á®¿$OC��¿�¿ µ NVº»Ä=Ã8»º»¹$¿�NJº µ � À µ ¸ � ½�¾ ULº»N)º»NRÃL¶n¿$¹�º»NV¿$ÂÊÎ�·MIÕ¶)¶n¿�¸LIL¹�¿$¸ Ä#ÀTÃLÃ8º µ K¹$Î?»º µ ¸L¿�¶�}Xº µ OVUL¿�Á�ÀX¹nÛ;��ÀT¶n¸�Ö0¿�¶nNVº»· µ }T·MËÕOnUL¿ µ ·X¶nÄ#ÀXÂÊÂÊÎ�NVIÕÁ®¸LºÊÖպʸL¿�¸�Ä#ÀTà ( � S V T ( � S���V ¹( � S � V }8º ½ ¿ ½ }

�� � �

� & U�S ( � S +V<V$& �´^µ Ã�ÀT¶VOnº»¹$ILÂ�ÀT¶�}?OVULº»N�¹�· µ NPOP¶nIL¹$OnºÊ· µ ºÊN�Ë�I µ ¹$On·X¶nº»ÀXÂCº µ ½ � ¿)NVU8ÀX»®ÀX»NV·�Ä#ÀTÛ0¿�ILNV¿)·MË2OnUL¿J¿�Ý?ÇÃ8»ºÊ¹�ºÊO:ÃL¶n·È¸LIL¹$O�NPOV¶nIL¹$OVIÕ¶n¿ µ ¿�ÀT¶ � º µ � - } NV·�º µ ¿H�C¿�¹�O�}^�z¿hÀT¶n¿|��·X¶PÛÕº µ K ��ºÊOnU � ULº�On¿�UL¿�ÀX¸?�xNæ�è Ä�ÀTÃLÃ8º µ K"¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶w� - ½� ��� �¿Á2À�Á%��� �#"��?"���" è ¿$O � T �'¹ Í�ÁC¿�À æ�è Ä#ÀTÃ�·MË�î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�À ½�á UL·È·MNV¿À�OV¶nº»À µ KMILÂ�ÀbÇOnºÊ· µ T � ¹ � ·MË��}8À µ ¸�ÂÊ¿$O

� - � � ¤ � S ¥ ¼~� � � � ¨ �H-

ÁC¿ � ULº�On¿�UL¿�ÀX¸?�xN æ�è Ä�ÀTÃLÃ8º µ K"¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶�Ë�·X¶ � � & & };��ºÊOnU�OnUL¿¿�Ý?Ã8»ºÊ¹�ºÊO�¹�·M»»ÀT¶ � ¤ � S ¥ ¼~�µ ¿�ÀT¶eOnUL¿�Ë�¶n· µ O�¿ µ ¸ � �� � ¤ S � � - ½ � ¿�NVU8ÀXÂÊÂLNV·MÄ�¿$OVº»Ä�¿�N¬¸L¿ µ ·XOn¿w� -JÁÈÎ�� S � ¹ Í V ½Ñ ¿�OnIÕ¶ µ º µ K�On· ¾ UL¿�·X¶n¿$Ä ÐL½ Q ½»¼ À µ ¸ ºÊOVN�¶n¿$Â�ÀTOnº�ÖÕº»Å�ÀTOnº»· µ }COnUL¿�Á�ÀXNV¿�ÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶n· µ Í �hºÊ»Â

UL¿ µ ¹�¿$Ë�·X¶VOnU ÁC¿ ¶n¿$Ã8Â�ÀX¹$¿�¸ ÁÈÎ ÀA¹�UL·MºÊ¹�¿ ·MË æ�è Ä�ÀTÃLÃ8º µ K ¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶`� - Ë�·X¶�À æ�è Ä�ÀTÃ� T �£¹ Í ½ ´ O�¹�· µ O�ÀXº µ N=À ¹$·M»Â�ÀT¶V¿�¸ ¹�·Xà Î�·MË � ÀTO�OnUL¿�Ë�¶n· µ O"¿ µ ¸?}zÀ µ ¸-À ¹�·Xà Î�·MËhÍÀTOROnUL¿�Á�ÀX¹�Û�¿ µ ¸ ½ � ¿�NPU8ÀX»Â)�z·X¶VÛ̶n¿$Â�ÀTOnº�Ö0¿�On·ÏÀ"äÕÝÕ¿�¸�NPO�ÀTÁ8ÂÊÎÌË�¶�ÀXÄ�¿�¸ S ! ¸ ¼ V ÇÜÄ�À µ º»Ë�·M»¸OnULºÊ¹�Û0¿ µ º µ K

� T � ¹ � ¥

Page 126: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� �z� �À µ ¸F��¿�NVU8ÀXÂÊÂ�¹$· µ NVº»¸L¿$¶hOnUL¿�N{Ã�ÀX¹�¿·MË<N{O�ÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶�ÀXÄ�¿$¸"!®ÇÜÄ�À µ º»Ë�·M»¸ÏOnULºÊ¹�Û0¿ µ º µ KMN

% T U ¹ � -

��UL¿$¶n¿ U ¹�· µ O�ÀXº µ N � º µ º�OnNzÁC·MI µ ¸8ÀT¶PÎ � U }?À µ ¸ %�¶n¿�N{OV¶nº»¹�On¿�¸ÏOn· � ºÊN�OnUL¿JäÕÝL¿$¸�N{O�ÀTÁ8ÂÊÎË�¶�ÀXÄ�¿$¸=OnULºÊ¹�Û0¿ µ º µ K � ½:â ·X¶eOn¿�¹�U µ º»¹�ÀXÂ�¶n¿�ÀXNV· µ N~}��z¿ ��À µ O�OVUL¿�OnULºÊ¹�Û0¿ µ º µ K %�On·�ÁC¿�KMºÊÖ0¿ µ ÀXNÀ�ÃL¶V·?¸LIL¹$O®�hº�OnU�OnUL¿)OnULºÊ¹�Û0¿ µ º µ K � º µ À µ ¿$º»KMU0ÁC·X¶nUL·È·?¸�·MË � º µ U }8ÀXN®��¿ µ ·���N{ÃC¿�¹�ºÊË�Î ½� ��� �¿Á2À�Á%��� �)"��?" �#" � ¿�¸L¿$ä µ ¿�OnUL¿�NPÃ�ÀX¹$¿ � � S �'¹ Í�¥ ��V ·MË�N{O�ÀTÁ8ÂÊÎË�¶�ÀXÄ�¿�¸ !®ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸÀ��¿Á ����� �¿Á�� ��� � .��;� � ¹ Í ��� �J¾ À�Á�.�� À���� ÀXN�À�NVº»Ä=Ã8»º»¹$º�ÀX®NP¿$O ½ H�SbÇqNVº»Ä=Ã8»¿�ÝϹ$· µ NVº»NPOVN·MË T

S ¼ V À�NPO�ÀTÁ8ÂÊÎÏË�¶nÀXÄ�¿�¸ !®ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸ�OnULºÊ¹nÛ0¿ µ º µ K % T U ¹ � -�·MË+OnUL¿�¹�UL·MNV¿ µ æ�è Ä#ÀTÃÕÇÃ8º µ K"¹$Î?»º µ ¸L¿�¶ � -�}�À µ ¸

S W V À�NPOnÀTÁ8ÂÊÎ Ë�¶nÀXÄ�¿�¸ æ�è ¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K (�T � ¤ � S ¥ � � ¹ U }¿��ºÊOnU�S � � � ¼ }¬NVIL¹�UOnU8ÀTO�OnUL¿�¸Lº�ÀXKX¶�ÀXÄ

�// //

��

� ¤ � S ¥ � �

� � � ���

//&

//U

���

� // // � ¤ � S ¥ � �// //

� -

¹�·MÄ"Ä�IÕOV¿�N~}2À µ ¸ OnUL¿�º»Ä#ÀXKM¿�·MË � ¤ � S ¥ �MV º µ U ¿�å?I8ÀXÂÊN)OVUL¿�ÃL¶V¿�º»Ä#ÀXKM¿�I µ ¸L¿�¶ %·MË � ¤ � S ¥ �MV º µ � -;}ÕUL¿ µ ¹$¿�ºÊN�·XÃC¿ µ º µ U ½:ã ¿$¶V¿ � º»NzOnUL¿JäÕÝÕ¿�¸�OVULº»¹nÛ0¿ µ º µ K�·MË � }OnUL¿�¶V¿�Ä#ÀXº µ º µ K#UL·X¶nº»Å$· µ O�ÀXÂ+Ä#ÀTÃ8NJÀT¶n¿�OVUL¿�·XÁ ÖպʷMILNR¿�Ä�ÁC¿$¸L¸Lº µ KMN~}%À µ ¸ � ¤ � S ¥ � �ºÊN�KMº�Ö0¿ µ OnUL¿�ÃL¶n·?¸LIL¹�ORNPO�ÀTÁ8ÂÊ¿�Ë�¶nÀXÄ�º µ K�Ë�¶n·MÄ � À µ ¸ � S ¥ � � � � ½

H �6ÇÜNVºÊÄ"Ã8»¿vÝ�º µ � � S � ¹ Í�¥ ��V ¹�· µ NVºÊNPOnN�·MË TS ¼ V À�NPO�ÀTÁ8ÂÊÎÏË�¶nÀXÄ�¿�¸�Ë ÀXÄ�ºÊÂÊÎ

� �//

AAAA

AAAA

� - ¤ ß à

" �zzuuuuuuuuu

ß=à

·MË !®ÇÜÄ#À µ ºÊË�·M»¸�OVULº»¹nÛ0¿ µ º µ KMN�·MË�� -�Ã�ÀT¶nÀXÄ�¿$OV¶nºÊÅ�¿�¸�ÁÈÎÌß=àB} À µ ¸S W V À æ�è Ë ÀXÄ�ºÊÂÊÎ#·MË<N{O�ÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶�ÀXÄ�¿$¸Ì¿�Ä�ÁC¿$¸L¸Lº µ KMN

� ¤ ��//

&//

" �##G

GGGG

GGGG

�~~}}

}}}}

}}

ß�à

��UL¿$¶n¿ �� � � S ¥ ¼~� ¤ ß=à�¹�· µ NVºÊNPOnN�·MËeOnUL¿ S� ¥ V ��ºÊOnU�S � � ��S V } ¯ ß=àB}2Ë�·X¶NV·MÄ"¿ æ�è Ë�I µ ¹�Onº»· µ � T ß�à ¹ S S ¥ ¼~� }%Ä#ÀTÛÕº µ K�OnUL¿"À µ ÀX»·MKMIL¿=·MË�OnUL¿=¶V¿�¹$O�À µ KMIL»ÀT¶¸Lº»ÀXKX¶�ÀXÄ ÀTÁC·6Ö0¿Ï¹�·MÄ�Ä�IÕOn¿>}:À µ ¸�NVIL¹�UAOVU8ÀTO ( S:� ¤ � V � % # ¨ S � ¤ � V }��hUL¿$¶V¿� � �� ¹�· µ NVºÊNPOnN�·MËGOnUL¿ S� ¥ V ��ºÊOVU�S � � ��S V ½

´^µ ·XOnUL¿$¶4�z·X¶n¸LN~}GOnUL¿=OnULº»¹nÛ0¿ µ º µ K�·MË � -�º»N�ÂÊ·?¹�ÀXÂÊÂÊÎ ¹�· µ NPO�À µ O�º µ OnUL¿�¹�·MÂÊÂ�ÀT¶¹�·?·X¶n¸Lº µ ÀTOn¿>}µ ¿�ÀT¶)OnUL¿�ÃL¶n¿�ºÊÄ#ÀXKM¿ � ·MË � }CÁ8IÕO�OnUL¿�¿�Ý?On¿ µ O)·MËeOVUL¿�ÂÊ·?¹�ÀXÂÊÂÊÎ̹�· µ NPO�À µ O�¶V¿�KMº»· µ S ÀXN)KMºÊÖ0¿ µÁ Î �MV Ä#À�Î#ÖXÀT¶VÎ ��ºÊOVULº µ À�Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OP¶nº»Å�¿$¸ÌË ÀXÄ�ºÊÂÊÎ ½

Page 127: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�z� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

´ O�º»N�À�¹$· µ NV¿�å?IL¿ µ ¹�¿"·MËeOnUL¿�NV¿�U ÎÈÃC·XOnUL¿$NV¿�N�OVU8ÀTO � ¤ S � � � ¤ � S ¥ �MV ¿�Ä�ÁC¿�¸LN�ÀXN�À µ·XÃC¿ µ NVIÕÁ8NV¿$Oh·MË � U }LNVº µ ¹�¿�OnUL¿�º»Ä#ÀXKM¿)·MË � ¤ � S ¥ �MV º»N�·XÃC¿ µ º µ U ½¾ UL¿ µ ·XO�ÀTOnºÊ· µ º»N�NV»ºÊKMU OnÂ�Î ºÊÄ"ÃL¶n¿�¹$º»NV¿>}GNVº µ ¹�¿ � � S � ¹ Í�¥ ��V ¶n¿�ÀXÂÊÂÊÎ�¸L¿$ÃC¿ µ ¸LN�· µ OVUL¿

¹�UL·Mº»¹�¿�·MË æ�è Ä�ÀTÃLÃ8º µ K�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶c� -=À µ ¸�· µ OVUL¿�I µ OnULº»¹nÛ0¿ µ º µ K � T � ¹ � ½HJ»ÂbOnULº»¹nÛ0¿ µ º µ KMN�On·�ÁC¿e¹�· µ NVºÊ¸L¿$¶n¿�¸�ÁC¿�ÂÊ·�����º»ÂÊÂTÁC¿eNPO�ÀTÁ8Â�Î)Ë�¶�ÀXÄ�¿�¸?}j¿$Ö0¿ µ º»Ë���¿eNV·MÄ�¿$OnºÊÄ�¿�N

·MÄ�º�O�On·"Ä�¿ µ OnºÊ· µ º�O ½Ñ ¿�Ã8Â�ÀX¹�º µ K�ß=à�ÁÈÎ À�¹$·MÄ"Ã�ÀX¹$O�ÃC·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶n· µ ��¿=·XÁLO�ÀXº µ OnUL¿ µ ·XOnºÊ· µ ·MË�À�Ë ÀXÄ�º»Â�Î�·MË

OnULºÊ¹�Û0¿ µ º µ KMN#·6Ö0¿$¶ �p¹ Í }z¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿ÌOV· � À µ ¸ Ã�ÀT¶�ÀXÄ"¿$OV¶nºÊÅ�¿�¸-Á Î ½ � ¿ ��º»Â»Â½��¶nºÊOn¿% T U " � § # ¨ S V ¹ � -ÏË�·X¶À µ º µ ¸LºÊÖպʸLI8ÀXÂ<OnULº»¹nÛ0¿ µ º µ K�·MË|� -#OnU8ÀTO�·?¹�¹$IÕ¶nN�ÀXN)Ã�ÀT¶VO�·MËNVIL¹�U�À=Ë ÀXÄ"º»ÂÊÎ�}ÕÀTOhÀ�ÖXÀT¶Vº�ÀTÁ8»¿)ÃC·Mº µ O ¯ ½ã ¿$¶n¿�ºÊN�OnUL¿�¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿�Ë�·X¶VÄ ·MË ¾ UL¿$·X¶n¿�Ä ÐL½ Q ½Ê¼ }�On·�ÁC¿�ÃL¶n·6Ö0¿�¸ º µ OnULºÊN�NP¿�¹$OnºÊ· µ ½ ´ O

º µ ¹$»IL¸L¿�N ¾ UL¿�·X¶V¿�Ä ÐL½ Q ½»¼ ÀXN�OnUL¿�NPî¿�¹�º�ÀXÂ�¹�ÀXNV¿ � ��� }+�hUL¿ µ Í � � - ½����������� � �#"��?"���" &#(+*F1¬D3^LM* � � S ��¹ Í�¥ ��V /21 3874=K*.3B1-74S ! ¸ W � ¸ Y V �<L_@B55�*MLH7C*.gBik�(+*H,.* � � ¸LºÊÄ S � - V � Ä#ÀbÝ S ¸Lº»Ä S � V � ¼ ¥n¸LºÊÄ S Í V<V�{¾ UL¿�Ë�·MÂÊ»·��hº µ K�ÀXÄ�·MI µ OnN�On·=OnUL¿�NnÀXÄ�¿)OnULº µ K ½

! � % ���8� + �J¾ À�Á%������%������;���B�;� �#"��?"���" t)*-7 I_*e3�LM@8AaD3^L-7�D�@B= E�(*.g8,.@85P@ \ g8/JA6*H5+1_/¬@B5387uA6@�1_7lS ! ¸ W � ¸ Y V�{]&#(+*H5�385E4srt \ 38A /J= E @ \ 1_7C3 IH= E \ ,<3>A6*.g ! �CA�385�/ \ @B=hg 7:(^/¬L���*H5/J5��B1@BI>*H, � ¹ Í i),.*H=h387:/%I>*½7C@ � 3>5�g|D38,.38A6*-7�,_/���*.g'IHE i)A�3>E'I_*wg�* \ @B,-A6*.g /J57»@43]LM@B51_7 3>57\ 38A /J= E�{çzÎ�À Ã���% ���B� ¾ À�Á%��� ·MËCNVIL¹�UÏÀË ÀXÄ�ºÊÂÊÎ�·6Ö0¿$¶ ��¿�Ä�¿�À µ À�Ë ÀXÄ�º»Â�Î�·jÖ0¿�¶ ¤ � S ¥ ¼~� OnU8ÀTO

¶n¿�N{OV¶nº»¹�OnNROn·#OnUL¿�KMºÊÖ0¿ µ Ë ÀXÄ�ºÊÂÊÎ�·jÖ0¿�¶ �� ¤ S ½ ç�Î�À#¸L¿�Ë�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ Á ��À�� ¾ ����� � À ¾ �?À% ¾ ��Á � # ��¿RÄ"¿�À µ OnU8ÀTOzOVUL¿h¶n¿�NVILÂ�Onº µ K�Ë ÀXÄ"º»ÂÊÎ�·6Ö0¿$¶ ¡�� ¤ ¼ º»N�¹�· µ NPO�À µ O�º µ ¯ ½ � ¿NVU8ÀXÂÊÂ%ÀX»NV·=¹�ÀX»Â%À�¸L¿�Ë�·X¶nÄ#ÀTOVº»· µ º µ On·�À�¹�· µ NPO�À µ O�Ë ÀXÄ�º»Â�ÎÏÀ� À�� ¾ Á � ��À�� �¿Á�� ��·MË+OnUL¿�Ë ÀXÄ�º»Â�Î ½¾ UL¿�OnUL¿$·X¶n¿�Ä º»Ä"Ã8Âʺ»¿�N�OnUL¿�ÀTÃLÃ�ÀT¶n¿ µ OnÂÊÎANPOV¶V· µ KM¿$¶"¹$· µ ¹�»ILNVºÊ· µ OnU8ÀTO=I µ ¸L¿$¶"OVUL¿ÌKMºÊÖ0¿ µ

¸Lº»Ä"¿ µ NVº»· µ ÀXÂ�U ÎÈÃC·XOnUL¿�NP¿�N~}�À µ Î · µ ¿ÏË ÀXÄ�ºÊÂÊÎ ·jÖ0¿$¶ Ä#À6Î�ÁC¿Ï¸L¿�Ë�·X¶nÄ"¿�¸Aº µ OV·�À µ Î ·XOnUL¿�¶KMºÊÖ0¿ µ Ë ÀXÄ�º»Â�Î�}+¹�· µ N{O�À µ O�·X¶ µ ·XO ½Ïâ ·X¶ÁÈÎ ÖպʿH�hº µ K�OnUL¿"OC��·�Ë ÀXÄ"º»Â»ºÊ¿�N�ÀXN�ÀÌNVº µ KMÂÊ¿�Ë ÀXÄ�ºÊÂÊη6Ö0¿$¶� � �}+�hULºÊ¹�U�U8ÀXN�OnUL¿�NnÀXÄ�¿�¸Lº»Ä�¿ µ NVº»· µ ÀXN �}�À µ ¸�N{OV¶�ÀXº»KMU0On¿ µ º µ K"OnULºÊN�Ë ÀXÄ�ºÊÂÊÎ�};�z¿·XÁLO�ÀXº µ ÀϹvU8ÀXº µ ·MË�¸L¿$Ë�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ N�Ë�¶n·MÄ OnUL¿�äL¶nNPOË ÀXÄ�º»Â�Î�}®ÖÕº»ÀÏOVUL¿"¹�· µ NPOnÀ µ O�Ë ÀXÄ�º»Â�Î�}%À µ ¸Á�ÀX¹nÛÏOn·=OnUL¿�NV¿�¹�· µ ¸ÌË ÀXÄ�º»Â�Î ½s½,.@�@ \ @ \ &#(+*_@B,.*-A]1 ��{��;{� �385�g ��{���{��^{ ¾ UL¿�ÃL¶n·È·MËRÃL¶n·?¹$¿�¿�¸LN�Á Î º µ ¸LIL¹$Onº»· µ · µ OVUL¿Ì¸Lº�ÇÄ�¿ µ NPº»· µ � � ¸Lº»Ä S Í V ·MË<OnUL¿Ã®·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶n· µ Í } ���À OVUL¿�¸Lº»Ä�¿ µ NVº»· µ ·MË<OVUL¿ æ�è Ä#ÀTÃLÃ8º µ K¹$Î?»º µ ¸L¿�¶�� -�·X¶�·MË�OnUL¿�NVIÕÁLî·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶n· µ � ½ ç�·XOnUAOnUL¿Ìº µ ¸LIL¹$Onº»· µ Á®¿�KMº µLµ º µ K S � � S VÀ µ ¸ OnUL¿�º µ ¸LIL¹$Onº�Ö0¿�NPOn¿$Ã8N S � � S V ÀT¶n¿ µ · µ ÇqOV¶nº�ÖÕº»ÀXÂ�}<À µ ¸ OVUL¿$Î ¶n¿$å?ILºÊ¶V¿"¶�ÀTOnUL¿$¶�¸Lºh�C¿�¶n¿ µ OÀT¶nKMILÄ�¿ µ OnN ½ � ºÊOVU ¿�ºÊOVUL¿$¶�·MËzOnUL¿�Ä ��¿"NPU8ÀX»Â�N{O�ÀT¶VOÁ Î OV¶n¿�ÀTOnº µ KÌOnUL¿�N{ÃC¿�¹�º»ÀX S ÀTÁ8NP·M»IÕOn¿ V¹�ÀXNV¿e�hUL¿ µ � � � }8À µ ¸ÌOnUL¿ µ ÃL¶V·?¹�¿�¿$¸ÌOn·=OVUL¿KM¿ µ ¿$¶nÀX S ¶n¿�Â�ÀTOVºÊÖ0¿ V ¹�ÀXNV¿e�hUL¿ µ � ���� ½¾ UL¿$¶n¿�ºÊNR· µ ÂÊÎÌNV·MÄ�¿$OnULº µ K"On·�ÃL¶n·6Ö0¿�ºÊË ! ³ W � � Y#À µ ¸ º»N µ · µ Çq¿�Ä"ÃLO¡Î�}®NV·6�z¿4�hºÊ»Â

ÀXNVNVILÄ"¿ÏOVULº»N ½ ´^µ Ã�ÀT¶VOVº»¹�IL»ÀT¶�} ! ³ Y }�À µ ¸ ! ³ � º µ OnUL¿#¶n¿�Â�ÀTOVºÊÖ0¿#¹�ÀXNV¿$N ½ ¾ UL¿#ÃL¶n¿�¹�ºÊNV¿¸Lº»Ä"¿ µ NVº»· µ ¿�N{Onº»Ä#ÀTOV¿�¹�·MIL»¸�ÃC¿$¶VU8ÀTÃ8N)Á®¿�º»Ä"ÃL¶n·6Ö0¿�¸P��ºÊOnU�À#Ä�·X¶n¿�¹�·MÄ"Ã8Âʺ»¹�ÀTOV¿�¸�Ë�·X¶nÄ�ILÂ�À }Á8IÕO�Á�ÀXNVº»¹�ÀXÂÊÂÊÎ6�z¿ µ ¿�¿$¸"! ³ Y�On·=ÀTÃLÃ8ÂÊÎ#OnUL¿ � Çܹ�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ OVUL¿�·X¶n¿�Ä }8À µ ¸Æ��¿)»·È·MNV¿JO»��º»¹$¿OnUL¿=¸Lº»Ä�¿ µ NPº»· µ ·MË � º µ À�¹�·MÄ"Ã�ÀT¶nºÊNV· µ Á®¿$OC��¿�¿ µ ¿�Ä�ÁC¿$¸L¸Lº µ KMN�À µ ¸ ºÊÄ�Ä�¿$¶VNVº»· µ N~}�NV·ÌOVUL¿¿�NPOVº»Ä#ÀTOn¿ ! ³ W � � Y=º»N�ÀTÁC·MIÕO�OnUL¿�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿�NPO�· µ ¿�OVU8ÀTO®��·X¶PÛÕN ½�#"��?"��?"� �¿Ã + �>À�Á .�� � � Á�� �¿Á�� � � À���� ¾� � � � + À�� � ¾ � ��"¾ ULº»N�Ã�ÀT¶PO�º»N�OnUL¿"¹�ÀXNV¿�¸Lº»Ä S Í V � S�À µ ¸ � � � }<À µ ¸ ILNV¿$NOnUL¿ ã ÀX¿��8º»KM¿$¶� � ÀX» æ�è

NPO�ÀTÁ8ºÊ»º�O^Î OnUL¿�·X¶n¿�Ä � ã � Y ØB�l½ � º�OnUL·MIÕO�»·MNVN�·MË�KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂʺÊO¡Î���¿�Ä#À6Î ÀXNVNVILÄ�¿#OnU8ÀTO�Í º»N¹�· µLµ ¿�¹�On¿�¸?}�NP·�Í � 5 ºÊN=À�î·Mº µ O ½ ¾ UL¿ µ � � S � ¹ 5 ¥ � V � � � S658V }eÀ µ ¸�OnULº»N�NPÃ�ÀX¹�¿�º»NS ! ¸ W V Çq¹�· µLµ ¿�¹$On¿$¸ Ë�·X¶ ! ³ Y }�ÀXN ��¿�ÀXÂʶV¿�ÀX¸ÕÎ�¸L¿�¸LIL¹�¿�¸ º µ æ ¶n·XÃC·MNPºÊOnºÊ· µ ÐL½ W ½ ��·MËhOVUL¿ÃL¶n¿$Ö?º»·MILN�NV¿�¹$OnºÊ· µ ½

Page 128: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� �z� ��#"��?" ��"� �¿Ã + �>À�Á .�� � � Á�� �¿Á�� � � À����P��� �J¾ À�Á .�� � ¾ � ��"¾ ULº»N)Ã�ÀT¶VO�ºÊN�OnUL¿=¹�ÀXNV¿=¸Lº»Ä S Í V � S�À µ ¸ � µ · µ ÇÜ¿�Ä"ÃLO¡Î�}+À µ ¸ ILNV¿�N�KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂ:ÃC·MNPºÊOnºÊ· µ

À µ ¸�OnUL¿ ã ÀX¿ �8º»KM¿$¶ æ ·?¿ µ ÀT¶nI æ�è º»Ä�Ä"¿$¶nNVºÊ· µ OnUL¿�·X¶VÎ � ãJæ Y Ð>�q½ � ¿�Ä�À6Î ÀXK0ÀXº µ ÀXNVNVILÄ"¿OnU8ÀTO�Í º»N)¹�· µLµ ¿$¹$On¿�¸?}+NV·ÌÍ � 5 ½�¾ UL¿ æ�è Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$Î?»º µ ¸L¿�¶4� - � � S � ¹ 58V º»N�À¹�· µ ¿�º µ OVULº»N�¹�ÀXNV¿ ½�Ú ·X¶V¿�ÃL¶n¿�¹$º»NV¿�Â�Î�} �H- � ¹�· µ ¿ S � V ��ºÊOnU�Ö0¿$¶VOn¿�Ý 5 }�À µ ¸

� - � � ¤ � S ¥ ¼~� � � � ¨�¹�· µ ¿ S � V �¾ UL¿ µ OnUL¿$¶V¿º»N�À æ�è ¼ ÇqÃ�ÀT¶�ÀXÄ"¿$On¿$¶�Ë ÀXÄ�º»Â�Î#·MË<NV¿$»˻ÇÜÄ�ÀTÃ8N

� T � - ¹ � -

Ë�·X¶ |¯ � S ¥ ¼~� };��ºÊOnU�OnUL¿Ë�·MÂÊ»·��hº µ K=ÃL¶n·Xî¿$¶VOnºÊ¿�N~}+�hUL¿�¶n¿ � ºÊN�NP·MÄ�¿�äÕÝÕ¿�¸ µ ILÄ�ÁC¿$¶hº µ S S ¥ ¼~� TS ¼ V

�ºÊNhÀ�NVºÊÄ"Ã8»¿)Ä#ÀTÃ�À µ ¸�ºÊOnN�¶n¿�N{OV¶nº»¹�Onº»· µ On· � ¤ � S ¥ �Mª W � ºÊN�OnUL¿�ºÊ¸L¿ µ OnºÊO¡Î�}ÕË�·X¶�¿�ÀX¹�U

r¯ � S ¥ ¼~� }S W V ��º»N�OnUL¿�ºÊ¸L¿ µ OVºÊO¡Î Ä�ÀTÃ�}�À µ ¸ ¨"Ä#ÀTÃ8N � ¤ � � ¥ ¼~� � � � ¨z¹�· µ ¿ S � V OV·�OnUL¿�¹$· µ ¿Ö0¿$¶POn¿�Ý 5 À µ ¸ � ¤ � S ¥ �MV On·=OVUL¿�¹�·MÄ=Ã8»¿�Ä�¿ µ O�·MË 5 ½

´^µ ·XOnUL¿$¶w�z·X¶n¸LN~}®OnUL¿�¶n¿�º»NRÀ æ�è Ä#ÀTà � T � - ¤ � S ¥ ¼~� ¹ � -"NVIL¹�U�OnU8ÀTO �S � V � � S ��¥ zV

U8ÀXN�OnUL¿�NV¿�ÃL¶n·XÃC¿$¶POnº»¿�N ½�¾ ·�ÃL¶n·6Ö0¿�OnULºÊN~}8ºÊO�NVI @"¹�¿�N�OV·=KMº�Ö0¿�Ë�·X¶nÄ�IL»ÀXN�Ë�·X¶�NVIL¹�U�À�Ë ÀXÄ�º»Â�Î#·MËNV¿�ÂÊË»ÇÜÄ#ÀTÃ8N�º µ OVUL¿J¹�ÀXNV¿c�hUL¿�¶n¿ � º»N�À�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ý�}Õº µ À4��À�Î�OnU8ÀTO�ºÊN µ ÀTOnIÕ¶�ÀXÂ���ºÊOnU#¶n¿$NPÃC¿�¹�O�OV·º µ ¹$»ILNVºÊ· µ Ä#ÀTÃ8N�·MË<·X¶n¸L¿$¶V¿�¸�NVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N ½ � ¿�·MÄ�ºÊO�OnUL¿�Ë�·X¶nÄ�ILÂ�ÀXN ½Ñ ¿$¹�ÀX»ÂzË�¶V·MÄ ¦)¿$ä µ ºÊOnºÊ· µ ÐL½ Q ½�Ð OnU8ÀTO�·6Ö0¿$¶�À µ ¿�º»KMU0ÁC·X¶VUL·?·?¸�·MË � }eÀ µ Î Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OP¶nº»Å�¿$¸

Ë ÀXÄ�ºÊÂÊÎ�·MË<OnULº»¹nÛ0¿ µ º µ KMNJº»Nh¶n¿$å?ILºÊ¶V¿�¸�On·�ÁC¿�OnUL¿�¹$· µ NPO�À µ OJ¿�ÝÕOV¿ µ NVº»· µ º µ OnUL¿�¹�·M»»ÀT¶J¹�·È·X¶n¸Lº�ǵ ÀTOn¿#·MËzOnUL¿#N{O�À µ ¸8ÀT¶n¸ OnULº»¹nÛ0¿ µ º µ K � T � ¹ � ½�è ¿$O � ÁC¿#NV·�OnU8ÀTO � ¤ � S ¥ �MV º»N�NVIL¹�UAÀµ ¿�ºÊKMU Á®·X¶nUL·?·È¸�Ë�·X¶�OnUL¿RÃ�ÀT¶POnº»¹�IL»ÀT¶�Ë ÀXÄ�º»Â�Î=Ã�ÀT¶nÀXÄ�¿$OV¶nºÊÅ�¿�¸�Á Î &OnU8ÀTO|�z¿)ÀT¶n¿J¹�· µ NVºÊ¸L¿$¶nº µ K ½á ·MÄ"ÃC·MNVº µ KJOnUL¿�NPOV¶nIL¹$OVIÕ¶n¿�Ä�ÀTÃ%"·MË�OnUL¿�OnULºÊ¹nÛ0¿ µ º µ KMNeº µ OnU8ÀTO:Ë ÀXÄ�ºÊÂÊÎ0��ºÊOVU�OnUL¿�NV¿$»˻ÇÜÄ�ÀTÃ8N�ÀTÁC·6Ö0¿>}^�z¿R·XÁLO�ÀXº µ À¸L¿�Ë�·X¶nÄ#ÀTOVº»· µ ´

�% µ�·MË®OnUL¿hË ÀXÄ"º»ÂÊÎ ½ ´ O�º»N�À¸L¿�Ë�·X¶nÄ#ÀTOVº»· µ OVUÕ¶n·MILKMU

OnULºÊ¹�Û0¿ µ º µ KMN�ÁÈÎ è ¿�Ä"Ä#À ÐL½ W ½ÙÞ ÀTÁC·6Ö0¿>}ÕNVº µ ¹�¿)¿�ÀX¹�U �ºÊN�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿ ½:¾ UL¿)¶V¿�NVILÂÊO�·MË%OnUL¿J¸L¿�Ë�·X¶{Ç

Ä#ÀTOnºÊ· µ } ¨ %#}%º»N�À µ ¿H� Ë ÀXÄ�º»Â�Î�·MËeOnULº»¹nÛ0¿ µ º µ KMN�Ã�ÀT¶�ÀXÄ"¿$OV¶nºÊÅ�¿�¸�ÁÈÎ��}���ULº»¹�U ÀX¸LÄ�ºÊOnNROVUL¿Ë�·M»ÂÊ·���º µ K=¸L¿�NV¹$¶VºÊÃLOnºÊ· µ ½�è ¿$OVOnº µ K� ¯ ¸L¿ µ ·XOn¿�À�ÖXÀT¶Vº�ÀTÁ8»¿)ÃC·Mº µ O~}�z¿Ä#À�Î ��¶VºÊOn¿

U " � � ¤ � S ¥ � � ��� U  " ¥��UL¿$¶n¿ÏOnUL¿ÌÀTOPO�ÀX¹�ULº µ K�ÀTO�OnUL¿ � Çq¿ µ ¸-ºÊN�Á Î�Ä�¿�À µ N�·MËhÀ NPOnÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶�ÀXÄ�¿$¸ æ�è ¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K� ¹ � U  " }®À µ ¸P�hUL¿$¶V¿�OnUL¿�NPOV¶VIL¹$OnIÕ¶�ÀXÂ+Ä#ÀTà % T U " ¹ � -=ºÊNR¿�NVNV¿ µ Onº»ÀX»Â�Î�º µ ¸L¿�ÃC¿ µ ¸L¿ µ O·MË ½e¾ U8ÀTO�ºÊN~}Õ· µ OnUL¿RÃ�ÀT¶PO � ¤ � S ¥ � � OVUL¿RNPOV¶nIL¹�OnIÕ¶�ÀXÂCÄ#ÀTÃϺÊNzNV·MÄ�¿�äÕÝL¿�¸ÏÄ#ÀTÃ�OVU8ÀTO�· µ ÂÊθL¿$î¿ µ ¸LN�· µ OnUL¿�·X¶nº»KMº µ ÀXÂ�Ä�ÀTà � T � ¹ � À µ ¸"OnUL¿hUL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ

�S µ ÀXÄ�¿$ÂÊÎ ¨ � S �c¤ + � V<V }

À µ ¸ÌOnUL¿ U  " Ã�ÀT¶VO�º»Nh¿ µ Onº�¶n¿�Â�Î�Ä�ÀTÃLÃC¿�¸�On· 5 ½� ºÊOnU�OnUL¿ÌË ÀXÄ"º»ÂÊÎ� º¹ U  " ��¿�ÀT¶n¿�º µ OnUL¿�¹�ÀXNV¿�OP¶n¿�ÀTOn¿�¸�ÁC¿�Ë�·X¶V¿ T ´ O�º»N=À�Ë ÀXÄ�º»Â�Î ·MË

S NPOnÀTÁ8ÂÊÎAË�¶�ÀXÄ�¿�¸ !®ÇÜÄ�À µ º»Ë�·M»¸ V OnULº»¹nÛ0¿ µ º µ KMN#·MËJÍ � 5 ½ � UL¿ µ ¹�· µ NVº»¸L¿�¶n¿�¸ ¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿ÌOV·µ ·XOnULº µ K+}ÕºÊO�Ä�À6Î�OnU ILNzÁC¿J¸L¿�Ë�·X¶nÄ"¿�¸#On·�À�¹�· µ NPO�À µ O�Ë ÀXÄ�º»Â�Î�}0NVº µ ¹�¿J¸LºÊÄ S V � S ! ¸ W V À µ ¸! ³ Y ½ ´^µ ·XOnUL¿$¶r��·X¶n¸LN~} º¹ U  " º»N�ÀOP¶nºÊÖ?º�ÀX»ºÊÅ�ÀTÁ8»¿&!®ÇܸLºÊNV¹RÁ8I µ ¸L»¿ ½�¾ UL¿)ÀTOVO�ÀX¹�ULº µ K�¸8ÀTOnÀÀT¶n¿ µ ·�� ¿�åÈILºÊÖTÀX»¿ µ O�On·�À�Ä#ÀTÃÌË�¶V·MÄ On·�OnUL¿�N{Ã�ÀX¹�¿·MË<N{O�ÀTÁ8ÂÊÎÏË�¶�ÀXÄ"¿�¸�¿�Ä�ÁC¿$¸L¸Lº µ KMN

� ¹ ( � # ¨ �� ¿#U8À�Ö0¿�On·�¹�UL¿�¹nÛ OnU8ÀTO�OnULºÊN�NPÃ�ÀX¹�¿Ïº»N�ÀTO�ÂÊ¿�ÀXNPO S ! ¸ W � ¸ Y V Çq¹�· µLµ ¿�¹$On¿$¸ ½ Ó º µ ¹�¿ º»NÀXNVNVILÄ"¿�¸�OV·�Á®¿ µ · µ ÇÜ¿�Ä"ÃLO¡Î�}8ÀTO�ÂÊ¿�ÀXNPO�NV·MÄ�¿JNPIL¹vU̹�·?¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ Å$¿$¶n·�¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K=·MË � º µ( � # ¨ ¿�ÝLºÊNPOnN ½è ¿$O�Æ�¸L¿ µ ·XOn¿�OVUL¿ �������À�� ¼ Á � ¾ � Ã�Á:��� � � Á%��� ·MË � }�º ½ ¿ ½ }:OnUL¿�Ä"º µ º»Ä�ÀXÂ�º µ On¿�KM¿�¶�Æ

NVIL¹�U�OnU8ÀTOhOVUL¿$¶n¿�¿�ÝÕº»NPOVNJÀ"U8À µ ¸L»¿¸L¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOnºÊ· µ ·MË � ��ºÊOnU�ÀXÂÊÂ+U8À µ ¸LÂÊ¿�NJ·MË<º µ ¸L¿�Ý � Æ ½¾ UL¿�UL·MÄ"·XOn·XÃ8º»¹�ÀXÂ+¸Lº»Ä�¿ µ NVº»· µ ¸L·?¿$N µ ·XO)¹�U8À µ KM¿�I µ ¸L¿$¶�NPO�ÀTÁ8º»Âʺ»Å�ÀTOVº»· µ }Cº ½ ¿ ½ }®¶n¿$Ã8»ÀX¹�º µ K �Á Î � ¤ � ½

Page 129: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�z� � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

r�;��� ¾ �)"��?" �?" &#(* (+@BA @B7C@MD�/¬L.38=)g>/JA6*-5+1-/¬@B5 Æ @ \ � /J14387TA6@�1_7®*.G~9+38=#7C@ ¸LºÊÄ S � V�{s½,.@�@ \ { ¾ UL¿$¶n¿�º»N�À�Ä#ÀTà � T � ¹ � OnU8ÀTOeº»NeUL·MÄ�·XOn·Xà Î�º µ Ö0¿$¶nNP¿�On·�OnUL¿�I µ OnULºÊ¹nÛ0¿ µ º µ K�Ä�ÀTÃ� T � ¹ � }:NVº µ ¹�¿�À NVºÊÄ"Ã8»¿#Ä�ÀTÃAºÊN�À UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ ½ çzÎ KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂ�ÃC·MNVº�Onº»· µ }OnULºÊN�Ä#ÀTà � Ä#À�Î Á®¿�ÀXNVNVILÄ�¿�¸�On·�ÁC¿ÏÀ æ�è ¿�Ä�ÁC¿�¸L¸Lº µ K�º µ On· OVUL¿#º µ On¿$¶nºÊ·X¶�·MË � }:NVº µ ¹$¿W¬¸Lº»Ä S � V �B¸Lº»Ä S:��V Á ÎOnUL¿z¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ ÀXÂ?U0Î?î·XOnUL¿�NVºÊN<· µ ½ H-¶V¿�KMILÂ�ÀT¶ µ ¿$º»KMU0ÁC·X¶nUL·È·?¸ �·MË S OnUL¿"¿�Ä�ÁC¿�¸L¸L¿�¸�ºÊÄ#ÀXKM¿=·MË V � º µ � U8ÀXN�UL·MÄ�·XOn·XÃ8ºÊ¹�ÀXÂ:¸Lº»Ä�¿ µ NVº»· µ ÀTOÄ�·MNPO�¸LºÊÄ S � V }NVº µ ¹�¿ÏÀ�U8À µ ¸L»¿#¸L¿�¹$·MÄ"ÃC·MNVº�Onº»· µ Ë�·X¶�ºÊO�Ä�À6Î�ÁC¿#¹$· µ NPOV¶nIL¹$OV¿�¸�·MIÕO�·MË�À�OV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOnºÊ· µ ·MË� } NV¿�¿�¿ ½ K ½ � ÑJÓLÞ W;} æ ¶n·Xà ½ Y ½ �8�l½ çzÎ�I µ º»åÈIL¿ µ ¿�NVN)·MË<¶n¿�KMIL»ÀT¶ µ ¿�ºÊKMU Á®·X¶nUL·?·È¸LN~}CÀ µ ¸ � á ·0Y Þ }á ·X¶ ½��Õ½ ÞB� }XOnUL¿z¶n¿�KMIL»ÀT¶ µ ¿�º»KMU0ÁC·X¶nUL·È·?¸ � ºÊN¬UL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊ¹zOn·JOnUL¿ æ�è Ä#ÀTÃLÃ8º µ K)¹$Î?»º µ ¸L¿�¶·MË�À�Ä#ÀTà � � ¹ � }hNV· � � � ¸L¿$Ë�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ ¶V¿$OV¶�ÀX¹$OVNÏOV· � � ½ � ¿�U8À6Ö0¿�¸LºÊÄ S � V �¸Lº»Ä S:��V ³ ¸Lº»Ä S � V � Q�ÁÈÎ OnUL¿Ï¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ ÀXÂzU ÎÈÃC·XOnUL¿$NVº»N=ÀXK0ÀXº µ }:NV· � � � � º µ ¸LIL¹$¿�NÁ8º #{¿$¹$Onº»· µ N�· µ §��À µ ¸ §#¨~}LÁ ÎÌKM¿ µ ¿�¶�ÀXÂ2ÃC·MNVº�Onº»· µ ½¾ UL¿�Ã�ÀT¶VO � ·MË � µ ·XO"º µ OVUL¿�º µ On¿$¶nºÊ·X¶�·MËhOVUL¿�¶n¿�KMIL»ÀT¶ µ ¿�ºÊKMU Á®·X¶nUL·?·È¸ � º»N"À µ � Ç

¹�·XÁ®·X¶n¸Lº»NVÄ Ë�¶V·MÄ � � On· � � ½ â ·X¶ � � � � º µ ¸LIL¹�¿$NÏÁ8º #{¿�¹$OnºÊ· µ NÏ· µ §���À µ ¸o§#¨~}�ÁÈÎOnUL¿�ÀXNVNPILÄ"ÃLOnº»· µ OnU8ÀTO � º»N)À µ I µ OnULº»¹nÛ0¿ µ º µ KÌÄ#ÀTà À µ ¸ è ¿�Ä�Ä#À ÐL½ W ½ Y }®À µ ¸ � � � ºÊN)ÀNVºÊÄ"Ã8»¿�UL·MÄ�·XOV·XÃÈÎ�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿>} NVº µ ¹�¿ � ¿�Ý?Ã�À µ ¸LNeOn· � À µ ¸ � T � ¹ � º»NeÀ)NVº»Ä=Ã8»¿�Ä#ÀTà ½ã ¿ µ ¹�¿ � � � � À µ ¸ � � � � º µ ¸LIL¹�¿"Á8º #{¿�¹$OnºÊ· µ N�· µ §���À µ ¸�§)¨H}GÁÈÎ ÖTÀ µ �ÀXÄ"î¿ µ ��NOnUL¿�·X¶V¿�Ä Ë�·X¶ � � � � � � }GÀ µ ¸ � � � � ºÊNÀ�NVº»Ä"Ã8ÂÊ¿=UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎ�¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½ çzÎU0Î?ÃC·XOVUL¿�NVº»NH}ȸLºÊÄ S � ��V ³ Y } NV·�Á Î�OnUL¿ � Çܹ$·XÁC·X¶n¸LºÊNVÄ OVUL¿�·X¶n¿�Äj� º»N�À�ÃL¶n·È¸LIL¹$O�}?À µ ¸"¸L·?¿$Nµ ·XO�¹�· µ OP¶nºÊÁ8IÕOn¿�On·=OVUL¿�UL·MÄ�·XOV·XÃ8º»¹�ÀXÂ2¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ ½ �

r�;��� ¾ �)"��?" �?"f&#(+* 1¬D3^LM*�@ \ 1_7C3 IH= E \ ,<3>A6*.g�*-AI-*.g�g8/J5 �B1|� ¹ ( � # ¨ /210387T=K*.3B1_7TS ! ¸W Æ ¸ Q V �<LM@B55?*ML-7»*.g�{s½,.@�@ \ { çzÎ�KM¿ µ ¿$¶nÀXÂ%î·MNVºÊOVº»· µ S Ë�·X¶hU8À µ ¸LÂÊ¿¹�·X¶n¿$N V }LOnUL¿º µ ¹�»ILNPº»· µ´ � � �� ����� ���� � ����� �� � �� � � ¹ � � # ¨ µ

¹ ´ � � �� ����� ���� �� ����� ��� � �� � � ¹ ( � # ¨ µº»N S ! ¸ Æ ¸ W V Çܹ$· µLµ ¿�¹$On¿�¸ ½ ´^µ Ã�ÀT¶VOVº»¹�IL»ÀT¶�} � ÀX¸LÄ�ºÊOVNzÀ�¹�·È¸Lº»Ä�¿ µ NPº»· µ Å�¿$¶V·�¿$Ä�Á®¿�¸L¸Lº µ K�º µ� � # ¨ ½�¾ ULºÊNhºÊÄ"Ã8»ºÊ¿�N�OnU8ÀTO � � Ä�¿�¿$OVN�¿�ÀX¹�U�Ã�ÀTOnU�¹�·MÄ"î· µ ¿ µ Oh·MË � }�ÀXN�¶n¿$å?ILºÊ¶V¿�¸�Ë�·X¶hOVUL¿ILNV¿�·MË<º»Ä�Ä"¿$¶nNVºÊ· µ OVUL¿�·X¶VÎÏÁC¿�ÂÊ·�� ½ ç�ÎÏKM¿ µ ¿$¶�ÀXÂ%ÃC·MNVº�Onº»· µ ÀXK0ÀXº µ }LOnUL¿�Ë�·X¶nKM¿$OnË�ILÂ�Ä#ÀTô � � �� ����� ���� � ����� �� � �� � � ¹ � � # ¨ µ

¹ ´ � � �� ����� ���� � ���� ���� �� � � ¹ � � # ¨ µº»N S ! ¸ W Æ ¸ W V Çܹ�· µLµ ¿$¹$On¿�¸?}zNPº µ ¹�¿�À µ ºÊÄ�Ä�¿$¶VNVº»· µ ·MË � ��ºÊOnUL·MIÕO�¸L·MIÕÁ8ÂÊ¿�î·Mº µ OnN�º»N�À µ¿�Ä�ÁC¿$¸L¸Lº µ K ½ ç�Î�ºÊÄ�Ä�¿$¶nNPº»· µ OnUL¿�·X¶VÎ�} � ãJæ Y Ð>� }ÕOnUL¿ � ¸Lº¢�C¿$¶V¿ µ OVº�ÀXÂK�

´ ���� ���� �� � � ¹ � � # ¨ µ �¸ ¹ ´ � � � � ¹ � � # ¨ µº»N�À=UL·MÄ"·XOn·XÃÈÎÏ¿$å?ILºÊÖTÀX»¿ µ ¹�¿ ½�á · µ NV¿�åÈIL¿ µ OnÂÊÎ�}LOnUL¿�Ä#ÀTô � � �� ����� � �� � ���� ��� � �� � � ¹ � � # ¨ µ ¹ ´ � � � � ¹ UL·XäLÁ S � � # ¨ ¹ � VMµ

º»N+ÀX»NP·hÀ�UL·MÄ�·XOn·Xà ÎJ¿�å?ILº�ÖXÀXÂÊ¿ µ ¹�¿ ½ çzÎJOnUL¿eNPO�ÀTÁ8ºÊ»º�O^ÎhOnUL¿�·X¶n¿�Ä Ë�·X¶ � � # ¨ ¹ � } � ã � Y ØB� }OnUL¿�Â�ÀTOVOn¿�¶�N{Ã�ÀX¹�¿ºÊN S ! ¸ Æ ¸ Q V Çq¹�· µLµ ¿�¹$OV¿�¸ ½�ã ¿ µ ¹$¿�OnUL¿�NPÃ�ÀX¹�¿

´ � � �� ����� � �� � ����� �� � �� � � ¹ ( � # ¨ µº»N�ÀTO�»¿�ÀXNPO S ! ¸ W Æ ¸ Q V Çq¹�· µLµ ¿�¹$OV¿�¸ ½ �

Ô ·�� W Æ � Q � W¬¸Lº»Ä S � V � Q�� W � � Y }ÕNV·�À µ ÎÏÄ#ÀTÃ�Ë�¶n·MÄ &On·�OnUL¿�NPÃ�ÀX¹�¿�·MË+N{O�ÀTÁ8ÂÊÎË�¶�ÀXÄ�¿$¸Ì¿�Ä�ÁC¿$¸L¸Lº µ KMN � ¹ ( � # ¨ ¹�À µ }�º µ ¸L¿�¿$¸?}�Á®¿�¸L¿�Ë�·X¶VÄ�¿�¸ÌOn·"À=¹�· µ N{O�À µ OhÄ#ÀTà ½

Page 130: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� �z� ��#"��?":$�!�"�� �¿Ã + �>À�Á�.�� � À�� ¼ � À���� ¾� � � � + À�� � ¾ � ��"¾ ULº»N�Ã�ÀT¶VO�ºÊNOnUL¿Ï¹�ÀXNV¿#¸LºÊÄ S Í V � S�À µ ¸ � � � }¬NV·�Í � � -�}�À µ ¸ ¶n¿$»º»¿$N�IÕÃC· µ À

¼ �BÁ � �^Á ¼ � �P��% ��� � ¿¾ � À�� ¾ � � .��;� �~¾ � Á2À=#fÁ�� ¼¿¾ À$�B��� �>} ��ULº»¹�UF��ÀXN�º µ Ö0¿ µ On¿�¸ÌÁ Î ã ÀTOV¹vUL¿�¶Ë�·X¶�OnUL¿�Ã8IÕ¶Vî·MNV¿·MË+ÃL¶n·jÖ?º µ K"À�OnUL¿�·X¶V¿�Ä · µ QbÇÜÄ#À µ ºÊË�·M»¸LN � ã À Þ Y �l½

� UL¿ µ OnUL¿�Á�ÀXNV¿Rî·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶n· µ Í U8ÀXNz¸Lº»Ä"¿ µ NVº»· µ � � ¸Lº»Ä S Í V � S } ºÊO�Ä#À6Î�ÁC¿h¸L¿�¹�·MÄ=ÇÃC·MNP¿�¸�ÀXN

Í � ÍP¨ � � Í ���UL¿$¶n¿�¿�ÀX¹�U-·MË�ÍP¨=À µ ¸ Í �#¹�À µ ÁC¿Ï¶n¿�K0ÀT¶n¸L¿$¸-ÀXN�OnUL¿ æ�è Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$Î?»º µ ¸L¿$¶�·MËhNV·MÄ�¿æ�è Ä#ÀTà ��ºÊOVU�NV·MIÕ¶n¹�¿�Í ��À µ ¸P��ºÊOnU�O�ÀT¶nKM¿$OJ·Mˬ¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ NVÄ#ÀXÂÊ»¿$¶�OnU8À µ OnUL¿�¸LºÊÄ�¿ µ NVºÊ· µ·MË�Í ½Ï¾ UL¿"Ã8ºÊ¿�¹�¿�N�ÀT¶V¿=OnU ILN�¶n¿�K0ÀT¶n¸L¿$¸�ÀXN�NVº»Ä=Ã8»¿$¶�}+º µ ·MIÕ¶�º µ ¸LIL¹$Onº�Ö0¿�NV¹�UL¿�Ä�¿8}GOnU8À µ ͺÊOVNV¿�Â»Ë ½ H µ ¿�ÝLÀXÄ"Ã8»¿�·MË2NVIL¹�U�À¸L¿�¹�·MÄ=ÃC·MNVº�Onº»· µ ¹�À µ ÁC¿R·XÁLO�ÀXº µ ¿�¸#Ë�¶n·MÄ À µ Î=OV¶nº�À µ KMIL»ÀTOnº»· µ·MË%Í'} ÁÈÎ"»¿$OPOnº µ K�ÍP¨�¹�· µ NPº»NPO�·MËCOnUL¿ROV·XÃÕÇܸLº»Ä"¿ µ NVº»· µ ÀX NVº»Ä=Ã8»º»¹$¿�N~}ÈOP¶nº»Ä�Ä"¿�¸"¸L·�� µ On·�U8ÀXÂÊËNVºÊÅ�¿>}CÀ µ ¸�O�ÀTÛ?º µ K�Í �)On·"ÁC¿�OnUL¿�¹�»·MNPIÕ¶n¿�·MË<OnUL¿�¹$·MÄ"Ã8»¿�Ä"¿ µ Oh·MˬÍP¨�}���ULº»¹�U�º»NRÀ"¶n¿�KMILÂ�ÀT¶µ ¿�ºÊKMU Á®·X¶nUL·?·È¸ ·MËOnUL¿ S � ¸ ¼ V ÇÜN{Û0¿�»¿$OV· µ ·MË�Í ½ � º�OnU À µ ¿$Î0¿ OV· OnUL¿�OP¶�À µ NPÖ0¿$¶nNVÀX»ºÊO¡ÎÀT¶nKMILÄ�¿ µ O#On· Á®¿ KMº�Ö0¿ µ ÁC¿�ÂÊ·�� }®�z¿ µ ·XOV¿�OnU8ÀTOÏÍ ��º»N�ÀX¹$OnI8ÀXÂÊÂÊÎ Á8ºÊ¹�·M»»ÀT¶n¿�¸Bº µ Í ½ � ¿¿�Ä"Ã8U8ÀXNPº»Å�¿�OnULº»N�Ë ÀX¹$O�ÁÈÎ�¶n¿H��¶nºÊOVº µ K�OnUL¿¸L¿�¹$·MÄ"ÃC·MNVº�Onº»· µ ÀXN

Í � ÍP¨ �� � S Í � ¤ � S ¥ ¼~� V��� � Í � �

´^µ Ä�·X¶n¿�¸L¿$O�ÀXºÊÂ�}�º»ËhÍ   º»N"OVUL¿Ì¸Lº»NP¹$¶n¿$On¿�NP¿$O�·MËRÁ�ÀT¶VÎ?¹�¿ µ On¿$¶nN#·MË�OnUL¿ µ · µ ÇܸL¿$KM¿ µ ¿$¶�ÀTOn¿ �MÇNVºÊÄ"Ã8»ºÊ¹�¿�N%·MËÕÍ }TÀ µ ¸�Í�    ºÊN�OVUL¿ S � ¸ ¼ V ÇÜNPÛ0¿�ÂÊ¿$On· µ ·MË?Í }jOnUL¿ µ ÍP¨GÀ µ ¸Í �:Ä#À�ÎRÁ®¿�¶n¿�K0ÀT¶V¸L¿�¸ÀXN�OVUL¿ æ�è Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$Î?»º µ ¸L¿�¶nNc� S Í � ¹ Í�  V À µ ¸�� S Í � ¹ Í�    V }L¶n¿�NPî¿�¹$Onº�Ö0¿�ÂÊÎ ½�Ú ·X¶V¿KM¿ µ ¿$¶nÀX»ÂÊÎ�} NVIL¹�U�À�¸L¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOnºÊ· µ ¹�À µ Á®¿R·XÁLO�ÀXº µ ¿$¸�Ë�¶V·MÄ À µ Î�¹�¿�ÂÊ®¸L¿�¹$·MÄ"ÃC·MNVº�Onº»· µ ·MË2Í ½¾ UL¿"å?ILº�On¿�º µLµ ·?¹$¿ µ OË ÀX¹$O�I µ ¸L¿�¶nÂÊÎ?º µ K ã ÀTOn¹�UL¿$¶~��N�ÃL¶Vº µ ¹�º�Ã8»¿"ºÊN�OVUL¿"Ë�·M»ÂÊ·���º µ K�»¿�Ä"Ä#À }

NV¿�¿ � ã À Þ Y } è ¿�Ä ½2¼~�l½ r�;��� ¾ �)"��?":$�$�"'&)(+*-,.*®38,M* 3 Gl5/J7»*|59�AMI_*-,®@ \ 1_9)I»D�@B= EB(+*.g8,.3 � � i�k�(+@�1�*|/J57»*-,-/¬@B,M1LM@BI�*-, i�385�gm59;AI_*H,M1� � ¯ S S ¥ ¼ V_i 1_9�L_('7:( 38747:(+*F7:(^/¬L ��*-5/J5 �B1 % T U " ¹ Í /J5 7:(+*1_9�I \ 38A /J= EwD3>,<38A6*H7:,-/���*.gMIHE � 38,.*e7�,<3>5+1_I>*-,_1�* 7C@ 7:(+* IH/¬L_@B=2=h38,.*Mg 1_9)I»D�@B= EB(+*.g8,M@B5 Í � ¤ �@ \ Í {s½,.@�@ \ { â ·X¶J¿$Ö0¿�¶VÎ ¯ £��¿�¹�À µ Ã8ºÊ¹�Û�À " ¯ S S ¥ ¼ V NP·ÏOVU8ÀTO U " ¹ Í º»NhOV¶nÀ µ NPÖ0¿$¶nNV¿�OV·Í � ¤ " ½�Ó º µ ¹�¿�OV¶nÀ µ NPÖ0¿$¶nNnÀXÂʺÊO¡Î ºÊN�À µ ·XÃC¿ µ ¹�· µ ¸Lº�Onº»· µ }¿�z¿#¹�À µ ä µ ¸ À�NVIÕÁLî·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶n· µ " � ¹�· µ OnÀXº µ º µ KÌÀ µ ¿�ºÊKMU Á®·X¶nUL·?·È¸ ·MË #}GÀ µ ¸ NVIL¹�U OnU8ÀTO U à ¹ Í º»N�OV¶�À µ NPÖ0¿�¶nNV¿=OV·Í � ¤ "ÌË�·X¶�¿$Ö0¿$¶VÎ � ¯ " ½ çzÎ�¹�·MÄ"Ã�ÀX¹$O µ ¿$NVN�·MË �}�À#ä µ ºÊOn¿ µ ILÄ�ÁC¿$¶�·MË�OnUL¿$NV¿ "�KMºÊÖ0¿OnUL¿�¸L¿�NVºÊ¶V¿�¸�¹�·MÂÊ»¿�¹$OVº»· µ ´ � µ � ½ �

� ¿�ÀXNVNVILÄ"¿)OV·�Á®¿)º µ OnUL¿�NPºÊOnI8ÀTOnºÊ· µ ÀXNVNV¿$¶VOV¿�¸Ìº µ OnUL¿)ÂÊ¿�Ä�Ä#À ½:Ó º µ ¹�¿ ��¿�¹$·MIL»¸Ï¶n¿$Ã8Â�ÀX¹$¿ � À µ ¸ �

ÁÈÎ� � � �ºÊË � �

�}B��¿�Ä#À6Î�ÀXNVNPILÄ�¿�OnU8ÀTO � �� � Ë�·X¶ + �� � ½ çzÎ�¶n¿ µ ILÄ�ÁC¿$¶nº µ K

OnUL¿� � À µ ¸ � }���¿�Ä#À�Î�ÀXN���¿$»ÂLÀXNVNPILÄ�¿zOnU8ÀTO � � �Ë�·X¶ + � � ½:¾ UL¿�ÃL¶n·È·MËLOnUL¿ µ ÃL¶n·?¹�¿$¿�¸LN

º µ OnUÕ¶n¿�¿�NPOn¿$Ã8N ½S ¼ V ç�Î�OV¶�À µ NPÖ0¿�¶nNnÀX»º�O¡Î�}<¿�ÀX¹�U � Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿�OV¶nº»Å$¿�N�À�Ë ÀXÄ�º»Â�Î ·MË�N{O�ÀTÁ8ÂÊÎ Ë�¶�ÀXÄ�¿�¸ S ! ¸ ¼ V Ç

Ä#À µ ºÊË�·M»¸�OVULº»¹nÛ0¿ µ º µ KMN�·MËGOnUL¿ S � ¸ ¼ V ÇܸLº»Ä"¿ µ NVº»· µ ÀXÂ2î·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶n· µ Í �8}�KMºÊÖ0¿ µ ÁÈÎ�OnUL¿�Ã8IL»Â�ÇÁ�ÀX¹nÛ

º¹ U " ¤� S Í � ¤� � VS � äLÁC¿$¶�ÃL¶n·È¸LIL¹$O V Ë�·X¶* ¯ � ½ çzÎ OnUL¿Ïº µ ¸LIL¹�OnºÊÖ0¿#U0Î?î·XOnUL¿�NVºÊN~}�¿�ÀX¹vU�·MË�OnUL¿�NV¿Ï¹�À µ Á®¿¸L¿�Ë�·X¶nÄ"¿�¸ÌOn·"À=¹�· µ NPOnÀ µ O�Ë ÀXÄ�º»Â�Î�}ÕNnÀ�Î

º¹ � ¤ � ¥

Page 131: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

Ë�·X¶�À äÕÝL¿$¸ S ! ¸ ¼ V ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸ-OnULº»¹nÛ0¿ µ º µ K � ·MË)Í � ½ çzÎ ¹�· µ NVº»¸L¿�¶nº µ K OnUL¿�¹�·MÄ�Á8º µ ¿�¸Ë ÀXÄ�ºÊÂÊÎÌÃ�ÀT¶nÀXÄ�¿$OV¶nºÊÅ�¿�¸�ÁÈÎ�� � � }��z¿�Ä�À6Î�ÀXNPNVILÄ�¿�OnU8ÀTOJOnULºÊN)OVULº»¹nÛ0¿ µ º µ K � T � ¹ Í ��º»NOnUL¿�NnÀXÄ�¿)Ë�·X¶R¿�ÀX¹�U +z}�º ½ ¿ ½ }ÕOnUL¿¹$· µ NPO�À µ ORË ÀXÄ�ºÊ»º»¿$N�ÀT¶V¿ � OnUL¿�NnÀXÄ�¿H� ½¾ UL¿�¸L¿�Ë�·X¶VÄ#ÀTOnº»· µ Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿�OV¶nº»Å$¿�¸ Á Î OnUL¿ I µ º»· µ ·MË�OnUL¿ � ¹�À µ Á®¿�¿vÝÕOn¿ µ ¸L¿$¸ On·AÀ

¸L¿�Ë�·X¶nÄ�ÀTOnº»· µ ·MË+OnUL¿�·X¶nºÊKMº µ ÀXÂ%Ë ÀXÄ�º»Â�ÎÏÃ�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OV¶Vº»Å�¿�¸�ÁÈÎ ½�¾ ULº»NR¿�Ý?On¿ µ ¸L¿�¸�¸L¿$Ë�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ¹�À µ U8À�Ö0¿�NVIÕÃLÃC·X¶VOh·jÖ0¿�¶RÀ�NVÄ#ÀX» µ ¿$º»KMU0ÁC·X¶nUL·È·?¸Ì·MË+OnUL¿�I µ ºÊ· µ ·MË+OVUL¿Í � ¤� � º µ Í }8º ½ ¿ ½ }µ ·XOnULº µ K�¹vU8À µ KM¿$N�¸LIÕ¶Vº µ K�OnUL¿R¸L¿�Ë�·X¶VÄ#ÀTOnº»· µ À���À�Î�Ë�¶n·MÄ OnULº»N µ ¿�º»KMU0ÁC·X¶nUL·È·?¸Ïº µ Í À µ ¸ÏºÊOnNÃL¶n¿�ºÊÄ#ÀXKM¿)º µ U " }8Ë�·X¶JÀXÂÊ ¯ ½

� ¿J¹�À µ ÀXÂÊNV·�ÀT¶V¶�À µ KM¿ROnU8ÀTO�OVUL¿�NV¿ROnULºÊ¹�Û0¿ µ º µ KMN�ÀT¶n¿J¹�· µ NPOnÀ µ O�º µ OVUL¿RÁ8º»¹�·MÂÊÂ�ÀT¶�¸Lº�¶n¿�¹$OnºÊ· µµ ¿�ÀT¶�Í � ¤ � }2Ë�·X¶�¿�ÀX¹�U +<}2Á Î�¹�·MÄ"ÃC·MNPº µ K#OnUL¿�I µ OnULºÊ¹nÛ0¿ µ º µ K�Ä#ÀTÃ8Nc�hº�OnU À�NVºÊÄ"Ã8»¿�Ä�ÀTÃÍ ¹ Í�OnU8ÀTO ��ÀTOPOn¿ µ N�À=»º�OVOnÂÊ¿�¹�ÎÕ»º µ ¸L¿$¶RÍ � ¤ � � ¸ � ¥ � � � � On·=Í � ¤� � }8Ë�·X¶R¿�ÀX¹�U + ½

S W V Ô ¿vÝÕO�}8�z¿ µ ¿�¿�¸=À)¹$· µ NPOV¶nIL¹$OVº»· µ On·J¶n¿�¸LIL¹�¿�OnUL¿ µ ILÄ�ÁC¿$¶:·MËLÃ�ÀTOn¹�UL¿�N ½ � ¿�NVU8ÀX»ÂÕNPUL·��UL·�� OnUL¿ROC��·�äL¶nNPO�Ã�ÀTOV¹vUL¿$N r¨�À µ ¸ � S º»Ë2OnUL¿$¶n¿)ÀT¶V¿JÄ�·X¶n¿hOnU8À µ · µ ¿ V Ä�À6Î�ÁC¿J¹�·MÄ�Á8º µ ¿�¸On·�À�NVº µ KM»¿�· µ ¿ ½ çzÎ�¶n¿$î¿�ÀTOnº µ K�OnULº»N�ÀT¶nKMILÄ�¿ µ O)ä µ ºÊOV¿�ÂÊÎ�·MË�On¿ µ }#��¿�¶n¿�ÀX¹�U OVUL¿=NVº�OnI8ÀTOnºÊ· µ��ºÊOnU�· µ ÂÊÎ�· µ ¿�Ã�ÀTOV¹vU ½¾ UL¿�·6Ö0¿$¶n»ÀTà T¨ � �JÃ�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OV¶Vº»Å�¿�N�À=Ë ÀXÄ"º»ÂÊÎ�·MË !®ÇÜÄ�À µ º»Ë�·M»¸�OnULº»¹nÛ0¿ µ º µ KMN

º¹ U " ¤ S Í � ¤ � ¨~¥ � � V

Ë�·X¶ ¯ r¨ � �8}��hULºÊ¹�U"º»N<Á®¿$OC��¿�¿ µ OnUL¿�O»�z·�¹�· µ N{O�À µ OeË ÀXÄ�ºÊ»ºÊ¿�N¬·jÖ0¿�¶�Í � ¤ ¨�À µ ¸=Í � ¤ �>}¶n¿�N{ÃC¿�¹$OVºÊÖ0¿�Â�Î ½ ´ ¸L¿ µ OVº»Ë�ÎÕº µ KJÍ � ¤ � ¨�¥ � � ��ºÊOnU�OVUL¿ æ�è Ä#ÀTÃLÃ8º µ Kh¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶¬·MËÕOVUL¿�ÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ

Í � ¤ ´ ¨�¥ � µ ¹ Í �

��¿=¹�À µ Ã8IÕO�·MIÕ¶nNV¿�Â�Ö0¿�N�º µ OnUL¿=¶V¿�Â�ÀTOnº�Ö0¿�NVºÊOnI8ÀTOVº»· µ }%ÁÈÎ ¶n¿�K0ÀT¶n¸Lº µ K�OnUL¿ � ÁC¿$OC��¿$¿ µ �TÇÜË ÀXÄ�ºÊÂÊÎÀXN�À�Ë ÀXÄ�º»Â�Î�·MË !®ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸ�OnULºÊ¹�Û0¿ µ º µ KMN·6Ö0¿$¶Í � ¤ ´ ¨~¥ � µ ¹ Í � ½ çzÎ�OnUL¿"º µ ¸LIL¹$Onº�Ö0¿U0Î?ÃC·XOVUL¿�NVº»Nhº µ º�OnN�¶V¿�Â�ÀTOnº�Ö0¿�Ë�·X¶VÄ }+��¿¹�· µ ¹$»IL¸L¿OnU8ÀTO®��¿¹�À µ ä µ ¸�À=¸L¿�Ë�·X¶VÄ#ÀTOnº»· µ ·MËGOnULºÊNË ÀXÄ�ºÊÂÊÎ�On·"À µ Î�¹�· µ N{O�À µ OhË ÀXÄ�º»Â�Î ½¬Ô ·�� }LOnUL¿$¶n¿�¿�ÝLºÊNPO�OnUL¿�Ã�ÀT¶POnº»¹�IL»ÀT¶h¹$· µ NPO�À µ ORË ÀXÄ�ºÊÂÊÎ

º¹ � ¤ � ¨~¥ � �

Ë�·X¶ ¯ r¨ � �8}��hUL·MNV¿�Ä#À µ ºÊË�·M»¸LN¬¹�· µ O�ÀXº µ OnUL¿�º µ On¿$¶VÖTÀX � ¨�¥ � � ÀXN�ÀJOV¶nº�ÖÕº»ÀXÂ?Ë ÀX¹$On·X¶ ½:¾ U ILN��¿�¹�À µ º µ Ë ÀX¹$Oh¸L¿�Ë�·X¶nÄɺ µ On·�OnULº»N�Ã�ÀT¶VOnºÊ¹�ILÂ�ÀT¶�Ë ÀXÄ�º»Â�Î�}ȶn¿$Â�ÀTOnº�Ö0¿)OV·=OnUL¿�¹�· µ NPO�À µ O�Ë ÀXÄ�º»Â�Î#·MËOnULºÊ¹�Û0¿ µ º µ KMNh·MËGÍ � ¤ ´ ¨~¥ � µ ½¾ UL¿�¸L¿�Ë�·X¶VÄ#ÀTOnº»· µ Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿�OV¶nº»Å$¿�¸=Á Î�T¨ � ��¿�ÝÕOn¿ µ ¸LN�On·À�¸L¿�Ë�·X¶VÄ#ÀTOnº»· µ ·MË OnUL¿�Ë ÀXÄ�ºÊÂÊÎ

º¹ U " ¤ S Í � ¤ � ¨~¥ � � V

Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿�OV¶nº»Å$¿�¸ Á Î �})�hº�OnU NVIÕÃLî·X¶VO�·jÖ0¿�¶�Í � ¤ � ¨ � � ¥ � ¸ � � Ë�·X¶�NV·MÄ�¿=NVÄ#ÀX» � � S ½¾ ULº»N�¸L¿�Ë�·X¶nÄ#ÀTOVº»· µ }Lº µ OnIÕ¶ µ }L¿vÝÕOn¿ µ ¸LN�On·=À�¸L¿$Ë�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ ·MË%OnUL¿)·X¶nº»KMº µ ÀXÂCË ÀXÄ�ºÊÂÊÎ º¹ U "Ë�·X¶ ¯ �}��ºÊOVU�OnUL¿�NnÀXÄ�¿)NVIÕÃLÃC·X¶PO ½¾ UL¿)¶V¿�NVILÂÊO�·MË%OnUL¿)¸L¿�Ë�·X¶nÄ�ÀTOnº»· µ NV·�Ë ÀT¶�¹�· µ O�ÀXº µ N�OnUL¿)¹�· µ NPOnÀ µ O�Ë ÀXÄ�ºÊÂÊÎ#ÀTO � T � ¹ Í �

·6Ö0¿$¶N � T¨ ¤ ¨ ��S T¨ � � ¤ � ¨�¥ � � V?� � ¤� �¿¥

·X¶�¿$Ö0¿ µ ·6Ö0¿$¶�ºÊOnN � Ç µ ¿�º»KMU0ÁC·X¶VUL·?·?¸�º µ OnUL¿JÁ8ºÊ¹�·M»»ÀT¶�¸LºÊ¶n¿$¹$Onº»· µ ½ çzÎ"î·MNVNVºÊÁ8Â�Î#NVUÕ¶nº µ ÛÕº µ K�OVUL¿Ã�ÀTOn¹�UL¿�N T¨RÀ µ ¸ �À�ÂʺÊOVOnÂÊ¿>}+�hULºÊ»¿�Ä#ÀXº µ O�ÀXº µ º µ K=OnUL¿�ÃL¶n·XÃC¿�¶VO¡ÎÌOnU8ÀTO�OnUL¿º µ On¿�¶nº»·X¶nNh·MˬÀX»ÂOnUL¿�Ã�ÀTOn¹�UL¿�N � ¹�·jÖ0¿�¶ �}���¿�Ä�À6ÎÌ¿ µ NVIÕ¶n¿�OnU8ÀTOROVUL¿�ÃL¶n·�#{¿�¹$OnºÊ· µ Ä�ÀTÃ� ) T N ¹ T¨ � �S Ë�·X¶nKM¿�OVOnº µ K�OnUL¿�Á8ºÊ¹�·M»»ÀT¶"¹�·È·X¶n¸Lº µ ÀTOV¿�º µ � ¨~¥ � � V ÀX¸LÄ�ºÊOVN�À æ�è NP¿�¹$OnºÊ· µ ��T r¨ � � ¹

Page 132: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � � �N ½RÔ ·�� OnUL¿�¸L¿�Ë�·X¶nÄ�¿$¸ !®ÇqÄ#À µ º»Ë�·MÂʸ�Ë ÀXÄ�º»Â�Î̹$· µ O�ÀXº µ NROnUL¿�Á8º»¹$·M»Â�ÀT¶V¿�¸�¹�· µ NPO�À µ O S ! ¸ ¼ V ÇÄ#À µ ºÊË�·M»¸�Ë ÀXÄ�º»Â�ÎÏ·jÖ0¿$¶ � S T¨ � � V|� N � Í � ¤ � ¨~¥ � � }8À µ ¸F�z¿�#{ILNPO µ ¿�¿�¸ÌOn·=Ä�·6Ö0¿)OVUL¿º»Ä�ÀXKM¿�·MË�OnULº»N�NV¿�¹$OVº»· µ IÕÃÌOn·=OnUL¿�NVÂʺ»¹�¿�Í � ¤� � ½¾ ULº»N��z¿�ÀX¹�ULº»¿$Ö0¿�ÁÈÎA¹�UL·?·MNVº µ K�À æ�è Ë ÀXÄ�ºÊÂÊÎ º¹ Æ " ·MËRNP¿�»˻ÇqUL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶VÃ8ULºÊNVÄ�N�·MË

� S ¥ ¼~� }ÈOnU8ÀTO�OnÀTÛ0¿ROnUL¿JÁ8º»¹�·MÂÊÂ�ÀT¶�¹�·È·X¶n¸Lº µ ÀTOV¿�·MË � S V On· �RË�·X¶�¿�Ö0¿$¶VÎ ¯ T¨ � ��}8À µ ¸�OnU8ÀTOU8À�Ö0¿JNVIÕÃLÃC·X¶VO�º µ�� ¨ ¸ � ¥ � � � � Ë�·X¶�ÀX»Â� ¯ ½�¾ UL¿Jº µ ¸LIL¹$¿�¸�ÀXIÕOn·MÄ"·X¶VÃ8ULº»NVÄ"N + � ¤ Æ "�·MËÍ � ¤ � S ¥ ¼~� ¿�Ý?On¿ µ ¸�On·ÏÀXIÕOn·MÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ�N�·MË:Í'}���ºÊOVU�OnUL¿�NnÀXÄ�¿�NPIÕÃLÃC·X¶VO ½ � ¿�OVUL¿ µ ÀXÂÊOn¿$¶OnUL¿�¸L¿�Ë�·X¶VÄ�¿�¸�Ë ÀXÄ�º»Â�ηMËLOnULºÊ¹�Û0¿ µ º µ KMN~}XÁ Î�¹�·MÄ"î·MNVº µ KROVUL¿�I µ OnULºÊ¹�Û0¿ µ º µ K�Ä#ÀTÃ8N���ºÊOnU�OnUL¿�NP¿ÀXIÕOn·MÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ�N ½:¾ UL¿JÄ�·È¸LºÊä8¿�¸#Ë ÀXÄ"º»ÂÊÎ=·MË2OnULº»¹nÛ0¿ µ º µ KMN µ ·�� U8ÀXNzOnUL¿RÃL¶n·XÃC¿�¶VO¡Î�OnU8ÀTO�}ÈË�·X¶¿�ÀX¹�U* ¯ T¨ � �8}XOnUL¿�OnULºÊ¹nÛ0¿ µ º µ K)Ã�ÀT¶�ÀXÄ�¿$OP¶nº»Å�¿$¸�Á Î =º»N¬OV¶nÀ µ NPÖ0¿$¶nNV¿�On·JÍ � ¤ � � Í ½ H µº»NP·XOn·XÃÈÎ�Ë�¶n·MÄ OnUL¿eº»¸L¿ µ Onº�O¡Î�OV·�OnUL¿e¹�UL·MNV¿ µ Ë ÀXÄ�ºÊÂÊÎJ·MËÈNV¿�»˻ÇqUL·MÄ�¿�·MÄ�·X¶PÃ8ULº»NVÄ�N2OnUL¿ µ ÃL¶n·6ÖÕº»¸L¿$NOnUL¿�¸L¿�Ë�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ Ë�¶V·MÄ OnUL¿�·X¶nºÊKMº µ ÀXÂ2Ë ÀXÄ�ºÊÂÊÎ#On·�OnUL¿Ä"·?¸LºÊä8¿$¸ÌË ÀXÄ�ºÊÂÊÎ#·MËGOVULº»¹nÛ0¿ µ º µ KMN ½

S Q V � UL¿ µ OnUL¿$¶V¿=ºÊN #{ILNPO�· µ ¿=Ã�ÀTOV¹vU?} � T¨~}���¿�¹�À µ ä µ ºÊNVU ÀTO�· µ ¹�¿ ½�â ·X¶ ��¿�U8À�Ö0¿¸L¿�Ë�·X¶nÄ"¿�¸�OnUL¿�Ë ÀXÄ�ºÊÂÊÎ�·MË�NPO�ÀTÁ8ÂÊÎ�Ë�¶nÀXÄ�¿�¸�OnULº»¹nÛ0¿ µ º µ KMN U " ¤� S Í � ¤ ¨ V On·ÌÀ�¹$· µ NPO�À µ OË ÀXÄ�ºÊÂÊÎ�}�À µ ¸ ��¿�U8À�Ö0¿�¿�Ý?On¿ µ ¸L¿�¸BOnULºÊN�¸L¿�Ë�·X¶nÄ#ÀTOVº»· µ On·�À ¸L¿$Ë�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ ·MËROnUL¿�·X¶nºÊKMº µ ÀXÂË ÀXÄ�ºÊÂÊÎ�·MË2OnULº»¹nÛ0¿ µ º µ KMN ½ � ¿R¹�À µÏµ ·�� NPÃ8»º�O�ÀTO�OVUL¿RÃL¶n¿�ÇܺÊÄ#ÀXKM¿R·MË2Í � ¤� ¨ ½e¾ ULº»NzÂÊ¿�À6Ö0¿$N�ILN��ºÊOnU�OnULº»¹nÛ0¿ µ º µ KMNh·MËGÍP¨hÀ µ ¸�Í �B}8·X¶�¶�ÀTOnUL¿$¶�}8·MË

ÍP¨ �� � Í � ¤ � S ¥ ¨ � À µ ¸ Í � ¤ � ¨~¥ ¼~� �� � Í � �

¾ UL¿ µ OVUL¿�º µ ¸LIL¹$OnºÊÖ0¿)U0Î?î·XOnUL¿�NVºÊN~}8º µ ºÊOnN�¶n¿$Â�ÀTOnº�Ö0¿JË�·X¶nÄ }LÀTÃLÃ8Âʺ»¿�N�On·�OnUL¿�NV¿)OC��·�Ë ÀXÄ�º»Âʺ»¿�N·MË%OnULº»¹nÛ0¿ µ º µ KMN ½�ã ¿ µ ¹$¿�Á Î#OnUL¿)º µ ¸LIL¹$OVºÊÖ0¿�U ÎÈÃC·XOnUL¿�NPº»N½��¿)·XÁLO�ÀXº µ À�¸L¿$Ë�·X¶nÄ#ÀTOnºÊ· µ ·MË+¿�ÀX¹�U·MË%OnUL¿JO»�z·�Ë ÀXÄ"º»Â»ºÊ¿�NzOn·�À�¹�· µ NPO�À µ O�Ë ÀXÄ�º»Â�Î ½:¾ UL¿$NV¿JO»�z·=¸L¿�Ë�·X¶VÄ#ÀTOnº»· µ N�ÀT¶V¿�¹$· µ NPO�À µ O µ ¿�ÀT¶OnUL¿�ÃL¶n¿�ÇܺÊÄ#ÀXKM¿�·MËCÍ � ¤ ¨�}?NP·OnUL¿$Î�¹�À µ Á®¿R¹�·MÄ�Á8º µ ¿$¸"On·�À�NPOV¶�ÀXºÊKMU On¿ µ º µ K�·MË®OVUL¿h·X¶nºÊKMº µ ÀXÂË ÀXÄ�ºÊÂÊÎ ½

�#"��?":$)E�"�� �¿Ã + �>À�Á�.�� � À�� ¼ � À����P��� �J¾ À�Á .�� � ¾ � ��"´ O:¶n¿�Ä#ÀXº µ N:OV·�¸LºÊNV¹�ILNVN�OVUL¿�Ä�·È¸LºÊä8¹�ÀTOVº»· µ N:º µ OnUL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂ8¹�ÀXNV¿ �hUL¿ µ ¸Lº»Ä S Í V �BS�À µ ¸

� º»N µ ·XOh¿$Ä"ÃLO¡Î ½eâ º�¶nNPO�}�ÀXN�ÃC·Mº µ On¿$¸�·MIÕO�Á®¿�Ë�·X¶n¿>}8OnUL¿�¸L¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOVº»· µ

Í � ÍP¨ � � S Í � ¤ � S ¥ ¼~� V?� � Í �

¹�À µ Á®¿�·XÁLO�ÀXº µ ¿$¸ Ë�¶V·MÄ À=OV¶Vº�À µ KMILÂ�ÀTOVº»· µ ·MË¬Í ½ ´ Ë:Í À µ ¸ � U8À�Ö0¿Á®¿�¿ µ OV¶nº»À µ KMILÂ�ÀTOn¿�¸ÌNV·OnU8ÀTO�OnUL¿�Ä#ÀTà � T � ¹ Í ºÊN�NPº»Ä"Ã8Âʺ»¹�º»ÀXÂ�}?OnUL¿ µ OnUL¿$¶V¿º»N�À=¹$·X¶V¶n¿�NPî· µ ¸Lº µ K�¸L¿$¹�·MÄ"ÃC·MNPºÊOnºÊ· µ

� � � ¨ � � � S � � ¤ � S ¥ ¼~� V�� � � � �¿¥

OnUL¿JÄ#ÀTà �'¹ Í ¶n¿$NPÃC¿�¹�OnN�OnULº»N�¸L¿�¹$·MÄ"ÃC·MNVº�Onº»· µ }?À µ ¸�OVUL¿JÄ#ÀTà � � ¤ � S ¥ ¼~� ¹ Í � ¤ � S ¥ ¼~�º»N�OnUL¿ÌÃL¶n·È¸LIL¹$O#·MË)À Ä�ÀTà � � ¹ Í �Æ��ºÊOnUAOnUL¿�º»¸L¿ µ Onº�O¡Î Ä#ÀTÃ-· µ¡� S ¥ ¼~�q½-Ó ·���¿�Ä#À�ÎÀXNVNVILÄ"¿ÀXÂÊÂ%OVULº»N ½¾ UÕ¶n·MILKMUL·MIÕO�OVUL¿�¸LºÊNV¹�ILNVNVºÊ· µ }JÄ#À µ º»Ë�·MÂʸLN�ÀT¶n¿ µ ·XO�·6Ö0¿$¶ÌÍ µ ·�� }hÁ8IÕO�·6Ö0¿$¶ÏOnUL¿ æ�è

Ä#ÀTÃLÃ8º µ K"¹$Î?»º µ ¸L¿�¶c� - � � S � ¹ Í V ½e¾ ULº»N�º µ UL¿$¶nº�OnNRÀ�¸L¿�¹�·MÄ"î·MNVºÊOVº»· µ

� - � �'¨ ��� S � � ¤ � S ¥ ¼~� V��

�� ���¿¥

��UL¿$¶n¿�� � � � S � � ¹ Í � V Ë�·X¶ + � S ¥ ¼ ¥vW ½ çzÎ�OVUL¿#À µ ÀX»·MKMIL¿=·MË è ¿�Ä"Ä#À ÐL½ Q ½»¼M¼ }�· µ ¿ä µ ¸LNzÃ�ÀTOn¹�UL¿�N � À µ ¸#»¿�Ö0¿�»N � ¯�S S ¥ ¼ V NV·�OVU8ÀTO U " ¹ � -�º»N�OV¶nÀ µ NPÖ0¿$¶nNV¿�On·]� � ¤! � }ÈË�·X¶ ¯ � ½z¾ UL¿ µ U " ¹ � -�º»N�OV¶�À µ NPÖ0¿$¶VNV¿On· � � ¤� � Ë�·X¶ ¯ � }�À µ ¸ÌOV· � Ë�·X¶JÀXÂÊ ¯ �}Á Î�OVUL¿�ÀXNVNVILÄ"¿�¸�»·È¹�ÀXÂCÃL¶n·È¸LIL¹$ORNPOP¶nIL¹$OnIÕ¶n¿�·MË U " µ ¿�ÀT¶ � ½

Page 133: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� � � ±C¨8d�G­?¯¬©+����� ì�� ���<¨��G©�� ì�� � � ¯ b¨���ª�� �+ì �

´^µ OnUL¿�NPÃC¿$¹�º�ÀXÂ%¹�ÀXNV¿�OV¶n¿�ÀTOV¿�¸�ÀTÁ®·jÖ0¿>}LOnUL¿ÀT¶nKMILÄ�¿ µ O�ÃL¶n·?¹�¿$¿�¸L¿�¸�º µ OnUÕ¶n¿�¿�NPOn¿$Ã8N TS ¼ V Ó OV¶nÀXº»KMU0On¿ µ º µ K=·MËGOnUL¿�ÀXI?ÝLºÊ»º�ÀT¶PÎÏË ÀXÄ�º»Âʺ»¿�N

º¹ U " ¤� S Í � ¤� � V

Ë�·X¶ ¯ � ½S W V Ó OV¶nÀXº»KMU0On¿ µ º µ K=·jÖ0¿�¶hOnUL¿�·jÖ0¿�¶nÂ�ÀTà T¨ � ��·MË

º¹ U " ¤ S Í � ¤ � ¨~¥ � � V

¶n¿$Â�ÀTOnº�Ö0¿)OV·"Í � ¤ ´ ¨�¥ � µ ½S Q V Ó OV¶nÀXº»KMU0On¿ µ º µ K=·jÖ0¿�¶

ÍP¨ �� � Í � ¤ � S ¥ ¨ �S ¶V¿�NPà ½ Í � ¤ � ¨�¥ ¼~� �� � Í � V ¶n¿�»ÀTOnºÊÖ0¿)On·=Í � ¤� ¨ ½

� ÀX¹�U�·MË�OnUL¿�NP¿"NPOn¿�Ã8Ne��ÀXN)ÃC·MNPNVºÊÁ8ÂÊ¿�Á®¿�¹�ÀXILNV¿=·MË�OnUL¿�º µ ¸LIL¹$OVºÊÖ0¿�U ÎÈÃC·XOnUL¿�NPº»N�ÀTÃLÃ8»º»¿$¸ On·�À¹�¿$¶PO�ÀXº µ NVIÕÁLÃC·MÂ�ÎÕUL¿�¸Õ¶n· µ ·MË+Í'}8·X¶�On·�À�Ä#ÀTÃ�·MË<NVIL¹�U�NVIÕÁLî·MÂÊÎÕUL¿$¸Õ¶�À ½´^µ OnUL¿�KM¿ µ ¿$¶�ÀXÂG¹�ÀXNV¿���¿�ÃL¶n·È¹�¿�¿�¸�ÀX¹�¹�·X¶n¸Lº µ K#On·#OnUL¿�NnÀXÄ�¿Ã�ÀTOPOn¿$¶ µ ½�¾ UL¿�OnUÕ¶n¿�¿�NPOn¿�Ã8N

ÀT¶n¿ TS ¼   V Ó OV¶nÀXº»KMU0On¿ µ º µ K=·MË

º¹ U " ¤��S � � ¤ � V

¶n¿$Â�ÀTOnº�Ö0¿)OV· º¹ U " ¤

��S � � ¤� � V ¥

Ë�·X¶ ¯ � ½S W8  V Ó OV¶nÀXº»KMU0On¿ µ º µ K=·MË

º¹ U " ¤��S � � ¤ � ¨�¥ � � V

¶n¿$Â�ÀTOnº�Ö0¿)OV·

º¹ U " ¤��S � � ¤ � ¨~¥ � � � �0� ¤ ´ ¨~¥ � µBV ¥

Ë�·X¶ ¯ r¨ � � ½S Q   V Ó OV¶nÀXº»KMU0On¿ µ º µ K=·jÖ0¿�¶

�'¨ ��� � � ¤ � S ¥ ¨ �

S ¶V¿�NPà ½ � � ¤ � ¨~¥ ¼~� ��� ��� V ¶n¿�Â�ÀTOVºÊÖ0¿)On·

� ¨ � � � S � � ¤ � S ¥ ¨ � V�� � � � � ¤� ¨

S ¶V¿�NPà ½ � � ¤� ¨ � � � S � � ¤ � ¨~¥ ¼~� V?� � � � � V ½¾ · #{ILNPOnº»Ë�Î�OnUL¿ÀTÃLÃ8»º»¹�ÀTÁ8º»Â»º�O¡ÎÏ·MËGOnUL¿º µ ¸LIL¹$Onº�Ö0¿U0Î?ÃC·XOVUL¿�NVº»NH}���¿�Ä�ILN{O�Û µ ·�� OnU8ÀTOh¹�¿$¶PÇ

O�ÀXº µ î·MÂÊÎ?UL¿�¸Õ¶�ÀϹ�À µ Á®¿�º»¸L¿ µ OnºÊä8¿$¸�On· æ�è Ä�ÀTÃLÃ8º µ KϹ$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶VN�º µ À#NVILº�O�ÀTÁ8»¿���À�Î ½�¾ ULºÊNº»N�OV¶nº�ÖÕº»ÀX»ÂÊÎ"OV¶nIL¿�º µ ¹�ÀXNP¿ S ¼   V ½ ´{µ ¹�ÀXNV¿ S W   V ��¿�¹�À µ º»¸L¿ µ OnºÊË�Î

�0� ¤ � ¨~¥ � �

��ºÊOnU�OnUL¿ æ�è Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶h·MË

� � ¤ � ¨~¥ � � � � � ¤ ´ ¨H¥ � µ ¹ Í �

Page 134: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

�6«0�+� ì �=ª¬± «®­���� � °�±Lª<­?¯l��� � ¯ �C�8� ì �:ª���° ì �#ª<±���°���«®­ ì ���+«?� � �=�S OnULº µ Û�·MËzÀÏNVåÈI8ÀT¶n¿�ÀXN)OVUL¿�¹$· µ ¿=· µ OnUÕ¶n¿�¿�·MËeºÊOnN)¿�¸LKM¿�NH}#��ºÊOnU�Ö0¿$¶POn¿�Ý º µ OnUL¿�º µ On¿$¶Vº»·X¶�·MËOnUL¿�Ë�·MIÕ¶VOnU�¿�¸LKM¿ V ½ ´^µ À=NVºÊÄ�º»Â»ÀT¶ ��À6Î�} ��¿�¹�À µ º µ ¹�ÀXNV¿ S Q   V ºÊ¸L¿ µ OVº»Ë�Î

�'¨ ��� � � ¤ � S ¥ ¨ �

��ºÊOnU�OnUL¿ æ�è Ä#ÀTÃLÃ8º µ K�¹$ÎÕÂʺ µ ¸L¿$¶h·MË<À�Ä#ÀTÃ

� ¨ � � � S � � ¤ � S ¥ ¨ � V�� � � � � ¹ Í   ¥

��UL¿$¶n¿ÏÍP¨ � � S Í � ¹ Í   V }�À µ ¸�»º�Û0¿H��º»NV¿#Ë�·X¶�� � ¤ � ¨~¥ ¼~� ��� ��� ½ ¾ UL¿ÏË�·MÂÊ»·��hº µ K

¸Lº�ÀXKX¶nÀXÄ Ä�À6Î#Á®¿�UL¿�Â�Ã8Ë�IL ½

�  

��

��

� �� �oo ����

���¨� � � � //�

���

�    

��Í   Í � �oo

Í � // Í    

¾ ULº»N)¹�·MÄ"Ã8ÂÊ¿$On¿�NROnUL¿�º µ ¸LIL¹$OnºÊÖ0¿=ÀT¶nKMILÄ�¿ µ O�}%À µ ¸�OnU ILN�¹$· µ ¹�»IL¸L¿�N�OnUL¿�ÃL¶n·?·MËe·MË ¾ UL¿�·TǶn¿�Ä"N ÐL½ Q ½»¼ À µ ¸ ÐL½ Q ½ÙØ?½ �

D�5 �È5�@2587��C584� ��� � ��� ì oqpjt�������|��0�������� ������� ������������������������! ��#"$ �%'&���%��)(�*+��,��-��M�Èiqtv�br^¨?�Gy�f{iP¨ ��tvolp ¨���k���¨/.10!2

¦ � � � � §¡� � � ��3 � � � ¨� �2t � �4� ��|��¡pbt�fVw+�z¨^�2t�ililtvosoP�65! ��7�!�� 8�� 8��9��:,; ����� < � ��7�!�) 8�� 8��9��%��7�+�=�>��? ¡� �b�6gT�6ubw�|�rspjfP��y�t����jrl�^iq|xgjoP�

«�iq|��j�{f{olk��c�G�j|xm�fPiqrs|xo ��¦ � � � � §¡¨� �Ck�� � � ��iÜy�t��j�a�CkvilfPwÊ�+5+@ACB?�=�D�����:��%4*+%���%���%�"�(E%-&���� �@�*1����@F 8�G"$�%����+ ¡���G�j� ¨����P|�¨IHì �^k$w~f � k�iqyJ¨��6�6gȨ

¦ � §KJ�¦ � � � � §Ü� � � � 3�� � � ¨� �Ck � �4� L t�ilk�w?�Ck�ilrl���X�NM9%��!�������+ ��#"O*+%���%�@P%��!(Q�!�%?������@F 8�? ;%-&;��%��7�����@A���±b�b�j� ¨)��t�oqp0¨R0!S�¦ � � � � §Ü�

�_� � 3�� � � ¨� �Ci ���4� �)k�isolk��e�Ciskn �� �!TU�!�-%4%-&N%-&N@<*+�7"C���!���-��) �V���,W5X�*+%4���ZY[ 8�? N@<*+��%��-�����>�2�jw�w�¨X�<yzf{iP¨ ��t�oqp0¨���k���¨

0!0�¦ � � ��� §¡� � � 3 � � ¨� �2­ � � � ¯¬tv�|�2�jis£$p6fVw~fVt¬tv�b�|��|��¡pjtvil��­?tvrlp6k�� �\�]*+�^*+%���%�@P%��!(D@F(?����%-&_@�*+�� `������G%-&�,� aG��%$��%��`��*� < ��E �b

cd\c'c �j�?iqtv�jr{¨X�GyzfPiP¨ ��tvolp ¨>��k���¨].12!0�¦ � ��� � §Ü� ��3 � � � � � 3 � � ¨� �2­ � � � ¯¬tv�®�2�6il£�p6fVwxfPt�tv�j�®��|��¡pjtvil��­Èt�rspjkv� �!5!@A�B� ��) �@F(�%'&7��%��:��%$�,C$�:���? G��!,�@<*+�� ��1 `���?�e � 8%��Q*+%���%$f

��%��`��*1 � ����j�+�b�0¨Tkv����t�oqp0¨È¦ � §�.#g:h�¦ � � ����§Ü� � � � 3 � � � ¨� �2­�� � � � ¯¬tv���2�jis£$p6fVw~fVt6�+��|��¡pbt�iq��­Èt�rspjkv�%t��j�2��fPwxm6|x����kvoqp6fV��uXf{il£j��i_�%$�$�e �%-&���1@A%���%$�j�1*� < ��E Q%-&

����e &�%$�=,$ �b\kl m@<*W��Q��C���?�:,� )>onCp��]*+�K@P%���%���%�"� 8����1���@P�A"C%���(!q`rDB�(Gs�bCt���,C���� ����b�v­ÈfV�^oq�6ilf � kvolfVr|x� ��tvolpjfVy�tvol|��Pr^�bm�k$w�¨ � � �j�>��gjiq|x�j£vfPi 3Cu f{iqw�t�£j���CfPilw�|�� 3 � fP wv�kvi�X� � � � ��¨

� �Cp � � � �¬¨b��¨X�2pjt�gXy�tv� �:t_ 8������x/ � ��y�� ��:����/z[B?��@8 8%��e ¡�b«8t��{|~¢T��b¨ ��tvolp ¨X.�Se{�¦ � � � �v§¡� �-� � 3�� � � ¨� �Cp � � � �¬¨b��¨X�2pjt�gXy�tv� �X|I�? �@A�B� ��) �V��@8 F%$�}%-&[�! 8������x9 < ��E�� m�!����I��%��:��%$�,C$�:���? ¡�8�GfPk$yzfPolis�htv�j�)osk�gTk$w �

kv£����bd�kviqwx� �6�{|ʨb«®�6uTwx|�rlpj|��6£j�^�6|x�j£�t�gXk�isf$� � � � �6�TgjgȨ � �43 � �j¨� �®k � � � ��tvilrlpjt�wxw���¨0�®k�pjfP� �~5! ��7�!�� F�? F$�� �@F���e��@F�1�-�? o��!,;@F�-��e ����?�� ������������������ �@F(v�0�G�j� ¨Tk�����t�oqp0¨Õ¦ � §

{:h�¦ � � � �v§¡� � � �43�� � ��¨� �®k�� �4� ��tvilrlpjt�wxwK��¨��®k$p6fV�0�^�I%�����%���%$�j�1*� < ��E lB���@8x^������*+%���%$@A%��!(�����+ &?%���,$ l$�:,�@�*+�� ��;�-�? �%����1f

@8 F%$�e ¡�b°���m$fV��o{¨ ��t�oqp0¨~.1g�¦ � � � � §¡� � � � 3�� � � ¨� ¯¬� ��� � ���'�����°A����¯7�e�������?�X���?�=�@8 ����N��f`@�*+��%$�?(W��!,W@A%���%���%�"� 8�������(����) 8�I*+%���%���%�"�($���G���-� ������X��.�J+2

� � � ���$���!��� � 3 � � �#�� �^� � ��� � ���I���Z� �R� �)�Z�C !�Z�'¡O�$�e�}¢e���I� �:� �� !�Z���^5X���� �fA � ��7�!�� F�? F$�_��%��7�!���>C�? ;��!,� � m�C"��1�=$�o*+%���%$�=%�"�($�

���e�X�e£$¤ ������X� � ���KhX. � � � � � ��� � � � 3 � � �1�� ¥6¦ � �4� ¥ �/§7� ¥ ���-�-�Z���K�����©¨��#ªj«^�#����¡ ¦ � � �$�1¡e��¬_�­@�*+���-�@8 F%$�:��9*+%$��%�@A%��+(®"��%$�$�e l%-&;@<*+�¯,� a���%�f

��%��`��*1 � ��°"$�%����+ W%-&Q,� < ��? d `��*+���-�? W��:,O$ `��*+���� 8����9����+ &?%���,$ ������)¡$�Z ��� � �;�$�e��¡$�Z£��E�Z�-� � ��'£�±!£��)£$¡$² � � �-���1¤�£��-�´³�� ��µ �=� � �-���1¤�£��-�]�9«^�$� � ¤`�=� � ���4¶����9·/���-� � �\·9�-£C��� � ²��E±!£��?�6·R�1�-�W¸�����X�=�µ £��m�e¹�¹G¹�ºjº�X���E���Z�e¸�����X� � £#�$�=��·9�-£ µ1� ���Z�e�?����»Kº�~¼�½C¾4¿1�+±�±~�eÀ��$Á 3 À$ÀC¾C�

� ¥ ·9½� � »K�e�1£��)¤ ¥ � � ��-���I�����E»_���1ÃZ£��I��· � �Z� � � � � � �]MR�?�m���1�=$�^5!ÄF���e��Ä8���-�? _ ��O�!%���%���%�"�($�$«^���I �� � ��¡$� � ����1ª� ��� � �l�G� µ �������Z�l¸�����1�4����� � ����� µ £��8�]¼Z½1�!«[���I �� � ��¡$�y³�� ��µ ���� � �`²;·9�'���'���!«[���I �� � ��¡$���]¼Z½$½$Â��

Page 135: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

¼�À�� ¥ �\¨O����� ¦ �_³ � ��� ����\¢�� ¦ » ��� � � �°¢e�/»� � ��� �

� ¥ ·9¶C¾ � »K�e�1£��)¤ ¥ � � �-�-���;�$�e��� � �Z�'�Z�[·9��±�±!���!|D 8�7�N%����%C%���%$�j�1*� 8�I,C�?�G"���%�����ÄF�� < ���*+�?�®������� < ������1�#"C����� ��!���� ����� < � m�7�+�) �V� 8��������¯���#"����1�:,� =*1������N%�����������eÄA����ÄP�� ��)�1�#"$�_������X�/¸�����X� � �[�$�'���=�l.1{� ¼Z½$¶C¾$���!Á$Â$¿ 3 Á#¼��#�

� � � ¶C¾ � ·6�Z�'�Z���7�� �� � �Z�#������¸ � �����Z� �:� �-�o�$�X�~M9������1�)�# [%-&:&��C�?ÄF 8%��e �$�:,�*+%���%�ÄP%��!(�Ä<*+��%���(�� � �-¡$�Z e� � �-�'��1�Z�o¸®�$�-�������$� � �����e� � �1�-�Z�����'���1ÃZ¡$�Z  � ���-��� µ £��m�\À�Á#� � ±�� � �1¡$�Z� 3�u �Z�-����¡e���^�Z�� � � 3 ¦ � � ���Z�) !���-¡ 3� ��� v/£��-�!�~¼�½$¶C¾C�

� � ¦ ½$½ � §_�1£C���$����� � �'�'�Z�K�$�e�������� ¦ ���-�j���)��£��)���^�!%?��%��=%�"$ F��$�]��(C�?�) 8��*e%���%���%�"�(o%-&G ���*e�����? ����G��¡��� e�-� � ���ªP�-����£��'² � � �����-�-�)���~¨O�I�\¼Z½$½�¾����6·9�'£#��� � ²���±+£��?�~·9���'��¸�����X�=� µ £��8�]¶C¾C���G�E�Z�Z�~¸®�$�-�]� � £#���=�·/�-£ µ1� �1����������»�º�]¼Z½$½$½��e±e±]����¼ 3 ¿�¾#�

� ��¢�½$½ � ·\�$�e���y���G£C�Z�-�-�I������¢�£��e� ¥ ��¢��$�-� � �����^5! ��7�!�� 8�� 8��\*+%$��%�ÄA%��+(®Ä<*+��%���($��·9�'£�¡$�-�Z�-� � �}¸�����1��ª����� � ����� µ £��8�]¼4¾������ � �-�#����$���'�Z�����[�$�'�Z�8�~¼Z½$½�½1�

� �G£�½�Â$� � §_�1£C���$���y� ��£�£#�!� � ��� � ���^T°���1�)Ä8 �!�=��,$ � #"��1�:�?ÄF 8%�����������y&?%��� ���%4%�Ä<*©��%��:��%$�,C$�:���W�?��B���,�f,� ��C"$ ��!¸l�4�;�����E�Z���e¸�����X� � £#���+{!0 � ¼�½�½$Â����!�1£�����À�¼$�

� �G£�½�Â�  � §_�1£C���$�$�y�%��£�£#�!� � ��� � ���QMR$�=���1���# �b c bo�~*e�'&R�� �Äo,C�?�? ���$ÄF �����%-&��+ ����e,C%$ � �%$ÄA%��!(�Ä<*+��%���(��R�lª§_�1�Z£$�-²$( � ¼�½$½�Â����~¼ 3 ��¾C�

� ¦ ·R¶)� � ���e�1�+*� ¦ ���-, � ¡$�Z���$�e� u �$�)���C� � ��·6£C�Z�e����X�/.~W����$ � � &[���Ä8 8%���,C�? D ��������� � 8%��� E��%$��B� ��:�ÄP%� ���? ��ºA���'��� ¦ �$�1�-��� *� �-�e�1��� � � � �+·9�� e�8�+¸�����X�+S�0 � ¼Z½$¶)�#���X¾�Á 3 ½�¼$�

� ¦ ¨ ¶�Á � ���e�1�+*� ¦ ���-, � ¡$�Z�6�$�e�y«G�4§7��«G��¨��$���m�Ct[ 8������x9 < ��_�) ��:��$�_B��1�:,1�=�? R ���Ä<*+�_ �ÄPCB����_�-��C"C����§�£$±!£��)£$¡�²( � ¼�½�¶�Á����:��Â$½ 3 �1¼1���

� ¦ �C¾�Á � �����)�Z� � � ¦ ������1�Z���X�D )"4*e���E � ��7�!�=�N*+%$��%�ÄA%��+(QÄ<*+��%���(��+�G���]�+£�¤9¸�����X� � ���D.1g:S � ¼Z½�¾�Á����6¼ZÂ1¼ 3¼�ÀC¾C�

� ¦ �C¾4¶ � �����)�Z� � � ¦ �$�-�������Z�E�I%�����%���%$�j�1*� < ��E }%-&¯ ��32­�� 8���+Ä8�)( ����F"C�5476Cf` m���-��,��e�� 8B����¯À�f`����e &?%���,$ ��§�£$±!£��)£$¡�²�.�h � ¼Z½�¾�¶����+À���À 3 À)�#¾C�

� ¦ �C¾4¿ � �����)�Z� � � ¦ �$�-�������Z�XM9%��:��%��-,C��!���[ `������? d *� )"4*+���[ � ��7�!����fF*+%���%�ÄP%��!(�Ä<*+��%���( d ��!,y����!�) 8���Ä8 8%��e �����)¡$�Z ��� � �7�$�e��¡���£C�E�Z�'� � �K�'£�±!£��)£$¡$² � � �-���1¤�£��-�W³G� �)µ ��� � �-���1¤�£��-�]�e«^�$� � ¤`�=�:¼�½�¾�¶�����·\�$�'��¼$�1·9�'£#���� ²��E±!£��?�+·9���'�I¸�����X�=� µ £��8��¹G¹G¹Gº'º�!���E�Z���!¸®�$�-�]� � £#���=�e·9�'£ µ1� �1���������e»Kº�]¼Z½�¾�¿1�+±�±]�!� 3 �#¼$�

� ¦ ��Â�� � �����)�Z� � � ¦ ����������Z�+TG� "���B��-� 8�®�+%���%���%�"�(��+«^���I e� � �1¡��N³�� ��µ �Z�-� � �j²W·9�'���-�?�:«^���I �� � �1¡$���+�$Â$Â��#�� ¦ ��½)� � �~�$�-� ¦ ���-�j���)��£��)���^5!ÄA�B��=�;ÄP%���%���%�"� 8����9��(C�?�) 8�o*+%���%$�=%�"�(l < oÄA%?��%��=%�"$ F��$�6�N%4��*1 ���*� ���,�*+%���%$�=%�"�($�

��ªP�-����£��'² � � �-�-���j !£����'¡e��¼�½$½������+�G�'�+*�Z� � �98#�1��� µ £��8�+�$�$¶1��¼�½�½)���+±�±~�e¿ 3 ½1��¼�¾$Á 3 ¼�½��1�� ¦ �e� Â� � ¸®�$�-� ¦ £ µ �Z²����^�'£C£��$� � � � ±e�)�Z²¯������¢��-: � � � ��X�R5!($������Ä8�? 8�Q `������Ä8�$��¢e�~���E���Z��¸�����X� � £#���

.+0 � ��Â$Â�Â����~¼-��½ 3 ��Â�¿1�� ¦ ¢�¿�� � ¨��#ªj«^�#����¡ ¦ � � �$��¡Q�$�e�����'�����¢��$�1�-���X�!T �:%�ÄP��%��OÄ<*+�7*+%$��%�ÄA%��+(y"$�%����+ I%'&DÄ<*+��,� a���%���%���f

��*1 � �� "��-%����+ ;%-&� `��*e���� F��$�R `��C����&?%����E ��/�G�)¡$�Z ��� � ����ªP�-����£��'²��\·\���-�Eºjº�;�~���?��1�-� � £$�-�Z� � �¸®�$�-�]�=� µ £��m�+½$¶C¾C� � ±�� � �1¡$�Z�Z�]¼�½�¿��1�+±e±]�X¼ZÀ�� 3 ¼1�CÁ#�

� ¦ ¢�¿$À � ¨��#ªj«^�#����¡ ¦ � � �$��¡7�$���'���'����D¢��$���'���X��T �����$�=<D%���Ä<*+�_ < �%�ÄP%��!(D�?�=$ � ��� _%-&R,� aG��%���%$�j�1*� < ��E %-&D�����e D `��C���? ���·\�$� �?> �7¢e�!¸�����X�X.1g!2 � ¼�½�¿$ÀC������¼�¼ 3 �C��À��

� ¦ �e¶$½ � ¢$£���� ¥ �_·6� ¦ �����'£��]�It[ F�����?x9 < ����) ��:��$�¯ÄA%���%$�=%�"�($�K³G� �)µ �Z�� � �`² £�¤�«^� � �Z��¡�£��]���?��1�-� � £��'���?�¨ �#�I�@�^���4�-��� � �X�#ºA�����=� � ��� v/£��-� 3 �G���'�-��������;�:¼�½�¶$½1�1�C�-�-±BA?C�CD�E�E�D� ���$�-�e�?� ���X� �$��� ���!C�F7�$���3C�'���'¡����-²�C4�#�e���'£��]� ±:��¤`�

� ¦ ¨���¼ � ¨ � �'£��)� ¦ ���'��� � �?ÃI�$��� ¦ ���1�-²Q¨����)�=�����X�~|D ������� � 8%�� �]*+��%���($�e·/� � �e�?�Z�-£��l¸�����1�4����� � �Z�$� � ��ª� � ���?� µ £��m�!���!·/� � �e�?�Z�-£���³G� �)µ �Z�-� � �`²W·9�-�Z�-�?�+·/� � �������-£��]� � ¢e��¼�½)�e¼$�

� ºP¡�¿�¿ � L � ²�£��'� � ºP¡����-�1�E�]*+�; �ÄACB? m�� �ÄF(�Ä<*+��%��-��� &?%��Q ���%4%�Ä�*��+ ��?�+,�%� < �%�ÄA%��+ F�� ��9��ªA§_�1�Z£$�-² S � ¼Z½$¿$¿C���¼ 3 À�Á$Á1�

� ¢$£�À�� � ºA�1¡��� e� � ¡$�R¢$£����$�e�'�'£��]� �G B����7,� 8� c �+��$�? 8��#V7,C���KÄA%���%���%�"� < ���*+�?�´k�����*1 ��?�� ��1�����%H+IKJLH�M�NOH 6 JH+PNRQ�Q1QG"C�A"C���S��+B��?�D|D ������� � 8%��e T���!,C�����1�#"C�?�+�1� µ �X� � £$��'��� u � �X���G�4�$�]����-��£�. � ¼�½�À������X¼ 3 ¿1�

� L ��Á�¾ � �7�$� � ���~¸}� L ���X�/¬K����b� �b= �b/��%��7�!���>C�� ��+�G�����Z�e¢e�+¸�����X�:Je2 � ¼Z½�Á�¾���������½ 3 �C¾4¶��� LI� ¾�¾ � »_£�  � £��o«G� L � �' #²D�����U�~���1�-�Z�e�?�_«G� � � �� !���e�������]�WV]%$���!,C�Ä8 F%$�:����? � �$($ [%��oÄA%���%���%�"� 8����C��$�+ �f

&?%���,$ d ���%4%�Ä�*� ��C"$ d ��!,NÄ8�? 8��C"��1�=$ÄF 8%��e ����G���e�$���\£$¤X¸�����1�4����� � ��� � �-�e� � �Z��� µ £��8�$¿�¿1�C·/� � �e�?�Z�-£��³�� ��µ �Z�-� � �j²;·9�-�Z�-�?�]¼�½�¾�¾C�

� L � ¶)� � ¢����E���R¸}� L � �'�'�Z�Z���O 8���-%CB��1�:,1�=�� D��-� &[B��-�IB?���!,����? ��#���e�X�C£$¤�¸®�$�-�]� � ���9{!g � ¼�½�¶)�#���X¼Z½$ 3 ¼�½�½1�� L ��¶$¶ � ��� ��£����$�$� ¦ � L � � ±+�Z�E�$���}» � �����$�-� L �K���$�-�1£$¤j�%�� 8���-%CB��1�:,1�=�? W��!,�B��1�:,1�=�? �b c b9s_���������eÄA���(

Ä<*+��%���(���ºA� µ ���C�Z�e¸®�$�-�]�]. � ¼Z½$¶$¶C����¼ 3 ¼�¾#�� �~��¶$½�� � »D�:«^�1� � �����$�������Z�\M9�����)f`�� X<��I `��C���? ���·9�'£#���e���E���Z�e¸�����X� � £#�$�:S+g � ¼�½$¶�½����!Á$½$¿ 3 ¶$Â��#�� �~��¶$½$  � »D�:«^�1� � �����$�������Z�\M9�����)f`�� X<��y����C�! ��C"$ �b c �+·\�$� �Y> �7¢��!¸®�$�-�]��0!g � ¼�½�¶$½C���X¾C¼4¾ 3 ¾�À1¼��� ¸Z�6¾C¼ � � �������������¸��$�K�~���1����M9�ÄP�A"C%��� 8�? �&?%���Ä�*+� k�%$�=<� m�C"[�¯�Ä�*+�?���ÄF 8�� 8��e���G�-�����e���-�´§��1\1�� � �

¸®�$�-�����o��� � �Z�?� µ £��m�!Á#� � ±�� � �1¡$�Z�Z�]¼�½C¾C¼��� ¸®�Z¶)� � �E��»D�+¸®��¸ � ���)���X�!T ���� �ÄA���� 8%���&?%��I���������1�=��� �ÄF(� ���Q��$�+ &?%��=,$�1�G���]��£�¤�¸�����X� � ���KJe2 � ¼Z½$¶)�#���

À���¾ 3 À�À�¾#�

Page 136: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

� ·X��« � � ¥ ·�� ¸�� � º ¥ S��� � � � � «^�\§ � � 7»Kº � � ¥ � º`¸�·�� � ¸���· � ¼�À�Á

� ¸l��¶�¾ � ¨�£��)¤�¡����1¡®¸®���-Ã����Z�������� < `�! 8�����EV�� G �+ÄA�?�?ÄP�� ��)�1�C"$ m&���"���� B��� 7M7klf��1�:,;5! ��7�!�� �V� 8�� <�%��7�!�����C���e��K����]�+¸�����X� � �[�$�'�Z�<��.1{ � ¼Z½$¶�¾����:Á#¼ZÀ 3 Á#¼�½��

� ¸®�<¾�� � L �����1�Z���«G�/¸ � �)�)���-�Z�[t_ 8������x/ < ��®�� m�!����®��%��!��%��,���:���? ;��!,� < �%�ÄP%��! 8�? ��[¸l�4�;���G�E�Z�Z�/¸®�$�-�]�� £#���].�h�0 � ¼�½�¾D�C���

� ¸ � Á�½ � ¢$£�����¨ �:¸ � ���1£$�Z�[¬_�¯ `��C���? �*+��Z m�C"lÄ<*+�I*+%���%�ÄP%��!(�ÄF(?����%'&E¯M7klf-��%$�7�!�=�����:§��-�������:�G�E�Z�Z�¸®�$�-�]� � £C���+2!g � ¼Z½�Á�½C���:��¾$� 3 ��¿$Â��

� ¸ � ¶)� � ¢$£�����¨U�+¸ � ���1£����K�� F�?�%CB?���!,����? �b c �e§�£�±+£���£�¡$²Z0��?.�� � ¼Z½$¶)�#���:Á�À 3 ¿�Â1�� ¸ � ¶$¶ � ¢$£�����¨U�+¸ � ���1£�����kW*� �ÄA�*+��C,WÄA%$�� � 8%��e���[�����m�+�G�E�Z�Z�+¸�����X� � £C���XJ+S � ¼Z½$¶$¶C���!À�Á$¿ 3 ����¶��� �+¾�À � �7�$� � ��� � � �)�)���X���D )"4*+�?���� "���B��-� 8�N��f`Ä�*+��%���(�b c �:�G��¡��� e�-� � ���lªF��1�Z£$�-²��!º=A ¦G� ¡��1�Z�D��ªP�-����£�� � ���

� ·9�-£C���/«R£���¤`�=���[���-�'��������¸l�4�E£�� � �$�^ºA���'�Z��� � �Z�$�'��)���\¨����'�]�=�[¼�½�¾$�����;�~�Z����1�-� � £��'��� � ��¸�����X�=�µ £��m�+À)�e¼$� � ±�� � �1¡$�Z�Z���^�Z�-� � �]�~¼Z½�¾�À1�+±�±]�+¿�Á 3 ¼1�#¾C�

� »_£�Â�� � ¢$£�����»K£$¡����Z���7��xR%�f��!�� ������(®�� "���B��-� 8�y�}f`Ä<*+��%���(®%-&���%� ��+ÄP��,l `��C���� ��~§~£�±!£��)£$¡$² (�. � �$Â$Â������¿�¾�À 3 ½���¶��

� »_£�Â$À � ¢$£�����»K£$¡����Z���R�~*e�I ���%4%�Ä�*©kW*� �ÄA��*e��C,� `������Ä8�?�1�°%-&ND��%� ��+Ä[$Ä[%4,C,���A"$������_�!�� ����? ����G�Z£����§�£$±!£��8�]J � ��Â$Â�À����~¼�Á$Á 3 ¼�¿����

� » � ¾�� � «R£�� � � ·\��»K£����-���©����� �^� � �$� ¢e� � �����1�Z��j£��X� c �+ÄF�-%4,��e��Ä8 F%$� ÄA%��! 8������x/ � ��?fj�� ��:����´ÄA%���%$�=%�"�($�� �-¡$�Z e� � �-�'�K�1�Z�\¸®�$�-�������$� � �N�e��� � �1�-���;�G�-���1ÃZ¡$�Z  � ���-��� µ £��m��¶�½1� � ±e� � �1¡���� 3�u �Z��)�$¡�� � ���´v/£$�� 3¦ � � �1���� !�Z�'¡e�~¼Z½�¾��1�

� � ��¶$¿ � �G����4�E� � �Z¡����m�\M/��$ � � &�(� ��C"� `��C���? N$�:,o `�����?ÄF�-��! ������e���:���� ��+ºA���'��� ¦ ���1�-�Z� *� ����1��� � � � �e·9�� e�8�¸®�$�-�]��0�( � ¼�½�¶$¿C����¼�Â�Á 3 ¼�¼Z�1�

� � ��¾�� � �G����4�E� � �Z¡����m�RM9�ÄA�A"�%��� F�� E$�:,���%4*+%$��%��=%�"$(�Ä�*+��%��� 8�? ��e§�£$±!£���£�¡$²�.+0 � ¼�½C¾��C���:��½$À 3 À�¼Z�#�� � � ¾4 � �~���1�-�Z�C�_«G� � � �Z +���e�o�$���]� c ��&R�e �ÄA�D � ��7�!����*+%���%�ÄP%��!(EÄ8(����? �� � ���1�Z�-�8�#���4���X�#¨��Z�'�����-���X�C·9�'£#���

� �Z���+�U¾4À� ºA�e���$¡��:¸®�$�-�]��0:S � ¼�½C¾4Â������C¾4½ 3 ��½�Á#�� � � ¾�� � �~���1�-�Z�C�o«G� � � �Z +���e�o�$���]�RT_���!�%��� ����ÄF ��#"}��������������;��?�+ WB�(®*+%�����%$��%��`��*� < ��E ��6§�£$±!£��)£$¡�²

.!. � ¼�½�¾$�����!��¾C¼ 3 ��½����� � �¿$¶ � ¸®�$�-� � �'� � �C !�Z�'¡����Z�o�]*+������$ � � &[��$ÄF 8%�� %-&Qt%.�&[B��-�Ä8 F%$�e ���¸ � �?� � ¡��$� ¸®�$�-�]�9¢e� 0�0 � ¼Z½$¿$¶C���

¼$¼ 3 ��¶��� §_�+¾�½ � »_£� +�Z�-�o¨ �R§_�1£C���$�'£��]�_�I%���%�ÄP%��!(´��%��� ��� mÄm l �� Ä<*+�¯���ÄP�A"C%���(´%-&; �������G��$ÄA�A"C%��� 8�? ��_¸®�$�-�]�

·/�-£#�$�:«^���I e� � �1¡��N·9� � �)£���� � £#���+{:h � ¼�½C¾4½����!½1¼ 3 ¼�Â�½1�� ³K���D� � ·\�$�e�!³K�-²1�j£����]�:|I���_�D ��=B��?�?Äm ���*+�7�K��1� $�� G ��B� ��=,Q,C�������?ÄF�� < ���*+����� ���1������¸®�$�-�]�C�G���]��2:S

� ¼Z½��)�C���+À�Â�� 3 À$Â����� u £�¿�Á � ¨�£��)�-��� u £$¡��Z���8���]*+�Q ��+��%$�)�1ÄF 8%��} ��©Ä<*+�W�� "C��B?�� 8�y��f`Ä�*+��%$�?(®%'&y `��C���? ��X�G��¡��� e�-� � �Q�$���O¡���£$ª

�E�Z�'� � �9�-£$±!£��)£$¡�² � � ���R�^����e� � � ���!� � ¢e�1¼�½�¿$ÀC��� �]���?��1�-� � £��'��� � �E¸�����X�=� µ £��m�#¼�¼Z�$¶1� � ±�� � ��¡$�Z����^���� � �]�~¼Z½$¿�Á1�e±e±]�!��¾$¾ 3 À�¼�¾C�

� ¨���¾�¿$� � ¥ � � �Z�e�1����� ¨����)�e�������'�Z�]�~TG� "C��B��-� 8�I��f`Ä�*+��%$�?(;%-&�"����:���-��� �V���,N&��-���7�+�%4,��e��Äm ��!���e�X�!£$¤R¸®�$�-�]�� ����.1g!{ � ¼�½�¾�¿����~¼ZÀ�Á 3 �$Á$¶1�

� ¨���¾�¿�  � ¥ � � �Z�e�1����� ¨��$�����������'�Z�]��TG� "���B��-� 8�y�}f`Ä<*+��%���(l%-&yÄP%���%���%�"� 8����~ `������? �b c �X���)¡$�Z ��� � ���$�e�®¡���£$ª�E�Z�'� � �Q�-£$±!£��)£$¡�² � � ��$��¤�£$��´³G� �)µ �=� � �-���1¤�£��-�]�^«^��� � ¤`�=�K¼Z½�¾4¶C���R·\���-�;¼$�/·9�-£C��� � ²��E±!£��?�\·R�1�-�¸®�$�-�]�=� µ £��m�e¹�¹G¹�ºjº�X���E���Z�e¸�����X� � £#�$�=��·9�-£ µ1� ���Z�e�?����»Kº�~¼�½C¾4¿1�!±e±]��À�Á 3 ¶�Â1�

� ¨��$¿�� � ¥ � � �Z�e�1����� ¨��$�����������'�Z�]�NTG� "C��B��-� 8����f`Ä�*+��%$�?( %-&® `��C���� d �����e &�%$�=, ��C�+�%4C�*��G«[�1�-�'���C��'�-������� � �®�$�)¡$�Z ��� � �y�'£�±!£��)£$¡$² � �~£��e�1£��]�B��C�-�$� � £���¼Z½$¿1¼4���X·/���-�D¼$�]«[¸ � «R£��1¤`�:·9�'£#����� µ £��m�X�1��G�����Z�+¸�����X� � £#�$�=�]¼Z½$¿��#�+±�±]�~¼1�e¼ 3 ¼Z¿)�e�

� ¨��$¿�Á � ¥ � � �Z�e�1����� ¨����)�e�������'�Z�]�+TG� "C��B��-� 8����f`Ä�*+��%���(o%'&K `��C���? ��C�G�)¡$�Z ��� � �G�����Q¡$�Z£��E�Z�-� � �K�-£$±!£���£�¡$²� � ��� �^������ � � ���!� � ¢��6¼Z½$¿$ÀC���K�]���?��1�-� � £$�-��� � �¯¸®�$�-�]�=� µ £��8�6¼$¼���¶�� � ±e� � �1¡����Z�T�^���� � �]�\¼�½�¿�Á#�±�±~�eÀ1¼Z¿ 3 ��¼�½��

� ¨��$¿C¾4� � ¥ � � �Z�e�1����� ¨��$�����e�$���'���X�1TG� "C��B��-� 8�[�}f`Ä<*+��%���(N%-&^ `��C���? d ��%��:��%$�,C$�:��� d ��!,D �ÄA�B��=�_*e%���%�ÄA%?�!(Ä<*+��%���(����G��¡��� e�-� � ���-£$±!£��)£$¡�²o�$�����$�)¡$�Z ��� � ���lªF��1�Z£$�-² � ·9� � �����Z�'£��X� � ¢e�e¼Z½$¿$ÀC���1�G���]�$£�¤]¸®�$�-�]�� ����]��� µ £��m�]¼$¼�À��+·9� � �e�?�Z�'£���³�� ��µ �!·9�'���'����·9� � �����Z�'£��X� � ¢e�~¼Z½$¿�¾#�e±e±]�+À$½�� 3 �e¼�¾C�

� ¨��$¿C¾�  � ¥ � � �Z�e�1����� ¨����)�e�������'�Z�]�XT��}%$��Ä8�) ��!��%'&7*+%�x ����+ &?%���,$ N��?�=�ÄP�EÄA%l�� "C��B��-� 8�7�}f`Ä�*e��%���(Cb=� ¦ £$ª�E£$�-£$±#²®�-����£��'² � �7�1������;��¼�½�¿�Á����K�~£��e�1£��¯¸�����X� � £C���T�~�Z���-���'� � £$�-� � �Z���=� µ £��m�6¼�¼�¾#��«^���Eª �� � ��¡$�y³�� ��µ �+·/�-�Z�-���!«^���N e� � �1¡����~¼�½�¿�¾C�+±�±~�+�$À$½ 3 �D�#¾C�

� ¨��$½�¶ � ¥ � � �Z�e�1����� ¨��$�����������'�Z�]�~¬K�oÄ<*+�G��%��� �ÄF���e��ÄF 8%��;%-&^Ä�*e���y����=%4%��I"��-%����!�)��£#�$�$¸�����X�1. � ¼Z½$½$¶C���¼Z�1¼ 3 ¼���¶��

� ¨ ��¶$¶ � «G�4§7��«G��¨����)�8�XM\�=$ � � &^���ÄF 8%��D�!�-%CB������E 9 m�Q,� a����-���+Ä8 F$��ÄP%���%���%�"�(�b c�� b6�]*� 8� <����e ��#"$ ��$§�£$±!£��)£$¡�²h � ¼�½�¶$¶����X¾4À 3 ½)�e�

� ¨ �<¾4 � «G�^§7�[«��9¨����)�8�D5!�1�F"C����( %��w��%��7��C��ÄI����+ &?%���,$ ��E�~£��e�1£�� ¸®�$�-�����o��� � �Z�$� � £#� � �Z�`² ¸l£��1£$ª¡$���±+����� � £���¼$�~¼�½�¾�Â1�

Page 137: Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, … · 2018-05-07 · Spaces of PL manifolds and categories of simple maps B. Jahren, J. Rognes and F. Waldhausen REPORT

¼�À�¶ ¥ �\¨O����� ¦ �_³ � ��� ����\¢�� ¦ » ��� � � �°¢e�/»� � ��� �

� ¨­¨ ¿$¿ � ¸ � ���e������¨�� � �-�~����� �^������\¨ � ��� � ���o�?�#TG�1ÄA%$��%��`��*� < ��E [%'&9����e &?%���,$ R��!,N$� "C�ZB��$ F�6��f`Ä�*+��%���(�bc �+��ªA§_�1�Z£$�-²O. � ¼�½$¿�¿����!Á�¾�Á 3 ¶��$¶1�

� ¨­¨ ½�Á � ¸ � ���e�����!¨�� � �'�[�����$�^�������¨ � ��� � ���o�?�XT� � �����B���(�� � £ µ1� ��£ µ ��£��4�'�Z���-���'����� � �e�1�-\��-����£��'�4���^�$�e�� � ¡ � � � �`²�� u £��8�[� � G !�Z� �^£���¤m�����X��¼Z½$½$ÀC���E�~£��e�1£��­¸®�$�-�]� � £#���;�~�Z����1�-� � £$�-� � ���Z�=� µ £��8�R����¾C�«^���I e� � �1¡��I³G� �)µ �e·9�'���'���!«[���I �� � ��¡$���]¼Z½$½�Á1�e±e±]�+À$À�� 3 À�Á$�#�

� ¨­¨ Â1¼ � ¸ � ���e�����/¨�� � �-�E�$�e�R�^������Q¨ � ��� � �����?�[TG�1ÄA%���%$�j�1*� < ��E �%-&�����+ &?%���,$ �� � ��� µ �Z²1�N£��}�-�1�-¡$�Z�'²�-����£��'²�� u £��8�^�1�[���e�X�\£�¤7¸�����X� � ����X�=� µ £��m��¼1��½1�[·/� � �������-£���³G� �)µ �9·9�'���'���[·/� � �������-£��]� � ¢����Â�Â1¼$�+±�±~�]¼Z¶�Á 3 �$�$Â1�

� ¨ �eÀ$½ � ¢$£���� ¦ ���1�-²N«R£��e�j��$�C� � ���/¨ � � �'���1���$�]�C5+ ��7�!�) 8�� 8��� `��C���? d �e�+�?�=�� :��:,��¯f�������������·/�-£#�$���]£����]�¸®�$�-�]� � £C���=��ºjº� � ���Z�!(� � ¼�½�À$½����:�D��À��CÀ���¾C�

� � ��¶)��� � � � �W«^��� � �j�-£$±+�1�Z� � �Z�������X�\�������$Ä���������� !"�#��$������%��&"��� ���� '��Ä�����(+��·/�-£#�$�\«^���I e� � �1¡��W·R� � ��£��?�� £#����)"* � ¼�½�¶)�C���!À$½+�@��À��

,.-0/214365078/�9;:< 9>=?/�36@�36A&3B@�CED4F <�GIH @89J:< 9KAI:H 5KL < 90M�36N < 90/ G DEOP3B50N < -�QRTS '�����U�&V&V����8�W��A%XY&Z+[6\�]�^6_`[6\�]Ba8bdc�e�f�a+g`h"a+_ji_�Xj_&i�kUclk�_

mP36n < 5j9�NT36-"9KoIApL < 90M�36N < 90/�q"7�Dr,.-0/21436507�/�9sQto4Avuw7`@�oJD4xyo45z < QRTS '�����U�&V&V����8�W��A;h|{�}�_�~+f|{�Z+[6\�]�^Ec�e"a`}4c�f|}

mP36n < 5j9�NT36-"9KoIApL < 90M�36N < 90/�q"7�Dr,.-0/21436507�/�9sQto4Avuw7`@�oJD4xyo45z < QRTS '�����U�&V&V����8�W��AT~�}��f6_&�`Z�[|\]�^rc�e�a+}4c�f6}