digilib.uns.ac.id/solusi... · perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user ii solusi...
TRANSCRIPT
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
i
SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK POTENSIAL NON
SENTRAL KOMBINASI POTENSIAL COULOMB, ECKART PLUS
POTENSIAL PÖSCHL-TELLER I MENGGUNAKAN METODE
NIKIFOROV-UVAROV
TESIS
Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan
untuk Mencapai Derajat Magister
Program Studi Ilmu Fisika
Oleh
JEFFRY HANDHIKA
S911008005
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2012
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK POTENSIAL NON
SENTRAL KOMBINASI POTENSIAL COULOMB, ECKART PLUS
POTENSIAL PÖSCHL-TELLER I MENGGUNAKAN METODE
NIKIFOROV-UVAROV
TESIS
Oleh:
JEFFRY HANDHIKA
S911008005
Komisi
Pembimbing
Nama Tanda Tangan Tanggal
Pembimbing I
Dra. Suparmi, MA. Ph.D
NIP. 19520915 197603 2 003
............................ .....................
Pembimbing
II
Drs. Cari, MA. Ph. D
NIP. 19610306 198503 1 002
............................... .......................
Telah dinyatakan memenuhi syarat
Pada tanggal..............................................2012
Ketua Program Studi Ilmu Fisika
Program Pasca Sarjana UNS
Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D
NIP. 19610306 198503 1 002
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
iii
SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK POTENSIAL NON
SENTRAL KOMBINASI POTENSIAL COULOMB, ECKART PLUS
POTENSIAL PÖSCHL-TELLER I MENGGUNAKAN METODE
NIKIFOROV-UVAROV
TESIS
Oleh:
JEFFRY HANDHIKA
S911008005
Tim Penguji
Jabatan : Nama Tanda tangan Tanggal
Ketua Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D NIP. 19610306 198503 1 002
...................... .................
Sekertaris
Anggota Penguji I Dra. Suparmi, MA. Ph.D NIP. 19520915 197603 2 003
...................... .................
II Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D NIP. 19610306 198503 1 002
...................... .................
Telah dipertahankan didepan penguji
Dinyatakan telah memenuhi syarat
Pada tanggal.................................2012
Direktur Program Pascasarjana
Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S.
NIP. 19610717 198601 1 001
Ketua Program Studi Ilmu Fisika
Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D
NIP. 19610306 198503 1 002
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
iv
PERNYATAAN ORISINILITAS DAN PUBLIKASI TESIS
Saya menyatakan dengan benar-benar bahwa
1. Tesis yang berjudul “Solusi Persamaan Schrodinger Untuk Potensial Non
Sentral Kombinasi Potensial Coulomb, Eckart Plus Potensial Pöschl-Teller I
Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov“ ini adalah karya penelitian saya
sendiri dan tidak terdapat karya ilmiyah yang pernah diajukan oleh orang lain
untuk memperoleh gelar akademik serta tidak terdapat karya atau pendapat yang
pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain kecuali secara tertulis dikutip
dalam naskah ini dan disebutkan dalam sumber kutipan serta daftar pustaka.
Apabila ternyata di dalam naskah Tesis ini dapat dibuktikan terdapat unsur-unsur
jiplakan, maka saya bersedia Tesis beserta gelar MAGISTER saya dibatalkan
serta diperoses sesuai dengan peraturan perundang-undangan yang berlaku (UU
No. 20 Tahun 2003, pasal 25 ayat 2 dan pasal 70).
2. Publikasi sebagian atau keseluruhan isi Tesis pada jurnal atau forum ilmiah lain
harus seijin dan menyatakan tim pembimbing sebagai author dan PPs UNS
sebagai institusinya. Apabila dalam waktu sekurang-kurangnya satu semester (6
bulan sejak pengesahan Tesis) saya tidak melakukan publikasi dari sebagian atau
keseluruhan Tesis ini, maka Prodi Ilmu Fisika PPs UNS berhak
mempublikasikannya pada jurnal ilmiah yang diterbitkan oleh Prodi Ilmu Fisika
PPs UNS. Apabila saya melakukan pelanggaran ketentuan dari publikasi ini,
maka saya bersedia mendapatkan sanksi akademik yang berlaku.
Surakarta, ........................................2012
Jeffry Handhika
S911008005
.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
v
MOTTO
YAKIN USAHA SAMPAI
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan kepada:
Almarhum Bapak dan Ibuk Tercinta.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
vi
ABSTRAK
Jeffry Handhika. S911008005. “Solusi Persamaan Schrodinger Untuk Potensial Non Sentral Hasil Kombinasi Potensial Coulomb, Eckart Plus Potensial Pöschl-Teller I Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov“ Tesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Pembimbing (1). Dra. Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D
Tujuan Penelitian ini adalah (1) menentukan tingkat energi dan fungsi gelombang dari sistem potensial Non sentral hasil kombinasi Coloumb plus Pochl-Teller I dan potensial Eckart Plus Pochl-Teller I (2) Visualisasi fungsi gelombang dan tingkat energi potensial non sentral hasil kombinasi hasil kombinasi Coloumb plus Pochl-Teller I dan potensial Eckart Plus Pochl-Teller I. Potensial non sentral merupakan model potensial yang digunakan untuk menerangkan fenomena gaya inter moleculer dan vibrasi molekul.
Penelitian ini merupakan studi literatur yang dilakukan di pascasarjana UNS mulai bulan September 2011-Juni 2012. Metode yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan Schroodinger adalah metode Nikivorof-Uvarof (NU). Prinsip dasar metode NU adalah mengubah bentuk persamaan Schroodinger ke dalam bentuk persamaan hipergeometri khusus. Bentuk persamaan hipergeometri khusus tersebut kemudian diselesaikan dengan metode NU.
Hasil penelitian ini adalah (1) Spektrum Energi, fungsi gelombang diperoleh secara eksak. Fungsi gelombang bagian radial dan polar dinyatakan dalam bentuk polinomial Jacobi. Persamaan gelombang dan tingkat energi yang diperoleh dengan metode NU memberikan hasil yang sama dengan metode Hipergeometri. (2) Fungsi gelombang divisualisasikan menggunakan Software Matematica 8.0. Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coulomb plus Potensial Pöschl-Teller I menyebabkan amplitodo gelombang polar membesar dan energi ikat elektron mengecil. Potensial non sentral hasil kombinasi Eckart plus Potensial Pöschl-Teller I menyebabkan amplitude fungsi gelombang polar membesar dan energi ikat partikel mengecil. Kata kunci : Metode Nikiforov-Uvarov, Potensial Coloumb, Potensial Eckart,
Potensial Pöschl-Teller I non sentral.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
vii
ABSTRAK
Jeffry Handhika. S911008005. "Solution of Schrodinger Equation For Non-Central Potential combination of Coulomb, Eckart Plus Pöschl-Teller I Using the Nikiforov-Uvarov Method" Thesis: Physical Science Graduate Program of University Sebelas Maret Surakarta. Advisor (1). Dra. Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs. Find, MA. M.Sc. Ph.D
The purpose of this research were to determine (1) the energy levels and wave functions for the system of non-central potential plus the combination Coloumb Pochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I (2) Visualization of the wave functions and energy levels of non-central potential combination of the results of the combination Coloumb plus Pochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I. Non-central potential is a potential model used to explain the phenomenon of inter moleculer and molecular vibrations.
This research was literature study at pascasarjana UNS conducted from September 2011-June 2012. The method used to solving Schroodinger equations was the Nikivorof -Uvarof (NU) Method. The basic principle NU method was basebd on change of the Schroodinger equation form of type function hypergeometric. Special form of the hipergeometric equation solved by the NU method.
The results of this reaserch were (1) Energy spectra and wave functions obtained were exact. Wave function of the radial and polar expressed in terms of Jacobi polynomials. Wave equation and the energy levels obtained by the NU method gave the same results with the hypergeometric method. (2) wave function was visualized using Matematica 8.0. Potential Non-central fromed by combination of Colombic and Pöschl-Teller I causes polar wave amplitode enlarged and electron binding energy decreases. Non-central potential fromed by combination of Eckart and Pöschl-Teller I potential causes polar amplitude wave functions enlarged and binding energy of the particles decreases. Key words: Shroodinger Equation, Nikiforov-Uvarov method, Coloumb Potential, Potential Eckart, Pöschl-Teller I potential non-central
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
viii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillaahirobbil’alamiin, syukur kepada Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayahnya sehingga penulis dapat menyelesaikan
penulisan laporan penelitian dengan judul ”Solusi Persamaan Schrodinger Untuk
Potensial Non Sentral Kombinasi Potensial Coulomb, Eckart Plus Potensial
Pöschl-Teller I Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov”.
Penulis menyadari bahwa dalam menyelesaikan penulisan laporan penelitian
ini penulis mengalami berbagai kendala yang tidak mudah dipecahkan karena
keterbatasan dan kemampuan penulis. Dan penulis menyadari bahwa dalam
penelitian dan penyusunan karya ini tidak bisa lepas dari bantuan berbagai pihak.
Dengan rasa tulus ikhlas penulis mengucapkan terima kasih serta penghargaan yang
setinggi-tingginya kepada:
1. Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S, selaku Direktur Pascasarjana Universitas
Sebelas Maret yang telah berkenan memberikan bantuan berupa segala
sarana dan fasilitas dalam menempuh pendidikan pascasarjana
2. Drs. Cari, M.A, M.Sc, Ph.D selaku Ketua Program Studi Ilmu Fisika
Pascasarjan Universitas Sebelas Maret.
3. Ibu Dra. Suparmi, M.A, Ph.D selaku pembimbing I yang telah memberikan
motivasi, bimbingan, arahan, ide dalam penyusunan laporan penelitian ini
4. Teman-teman S2 Ilmu Fisika, Bidang Teori dan Komputasi.
Dalam penyusunan Thesis ini, penulis menyadari bahwa masih terdapat
banyak kekurangan baik dalam isi maupun cara penyajian materi. Oleh karena itu,
penulis mengharapkan kritik dan saran guna perbaikan di masa datang. Semoga
laporan penelitian ini dapat memberi manfaat bagi penulis khususnya dan pembaca
pada umumnya.
Surakarta, Agustus 2012
Penulis
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRAK
Jeffry Handhika. S911008005. “SolusiPersamaan Schrodinger UntukPotensial Non SentralHasilKombinasiPotensial Coulomb, Eckart Plus PotensialPöschl-Teller I MenggunakanMetodeNikiforov-Uvarov“ Tesis: Program PascasarjanaIlmuFisikaUniversitasSebelasMaret Surakarta. Pembimbing (1).Dra.Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D
TujuanPenelitianiniadalah (1) menentukantingkatenergidanfungsigelombangdarisistempotensial Non sentralhasilkombinasiColoumb plus Pochl-Teller I danpotensialEckart Plus Pochl-Teller I (2) Visualisasifungsigelombangdantingkatenergipotensial non sentralhasilkombinasihasilkombinasiColoumb plus Pochl-Teller I danpotensialEckart Plus Pochl-Teller I. Potensial non sentralmerupakan model potensial yang digunakanuntukmenerangkanfenomenagayainter moleculerdanvibrasimolekul.
Penelitianinimerupakanstudiliteratur yang dilakukan di pascasarjana UNS mulaibulan September2011-Juni 2012.Metode yang digunakandalammenyelesaikanpersamaanSchroodingeradalahmetodeNikivorof-Uvarof (NU).Prinsipdasarmetode NU adalahmengubahbentukpersamaanSchroodingerkedalambentukpersamaanhipergeometrikhusus.Bentukpersamaanhipergeometrikhusustersebutkemudiandiselesaikandenganmetode NU.
Hasilpenelitianiniadalah (1) SpektrumEnergi, fungsigelombangdiperolehsecaraeksak.Fungsigelombangbagian radial dan polar dinyatakandalambentukpolinomial Jacobi.Persamaangelombangdantingkatenergi yang diperolehdenganmetode NU memberikanhasil yang samadenganmetodeHipergeometri. (2) Fungsigelombangdivisualisasikanmenggunakan Software Matematica 8.0. Potensial non sentralhasilkombinasipotensial Coulomb plus PotensialPöschl-Teller I menyebabkanamplitodogelombang polar membesardanenergiikatelektronmengecil.Potensial non sentralhasilkombinasiEckart plus PotensialPöschl-Teller I menyebabkan amplitude fungsigelombang polar membesardanenergiikatpartikelmengecil. Kata kunci :MetodeNikiforov-Uvarov, PotensialColoumb, PotensialEckart,
PotensialPöschl-Teller I non sentral.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRAK
Jeffry Handhika. S911008005. "Solution of Schrodinger Equation For Non-Central Potential combination of Coulomb, Eckart Plus Pöschl-Teller I Using the Nikiforov-Uvarov Method" Thesis: Physical Science Graduate Program of University SebelasMaret Surakarta. Advisor (1).Dra.Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs. Find, MA. M.Sc. Ph.D
The purpose of this research were to determine (1) the energy levels and wave functions for the system of non-central potential plus the combination ColoumbPochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I (2) Visualization of the wave functions and energy levels of non-central potential combination of the results of the combination Coloumb plus Pochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I. Non-central potential is a potential model used to explain the phenomenon of inter moleculer and molecular vibrations.
This research was literature study at pascasarjana UNS conducted from September 2011-June 2012. The method used to solving Schroodinger equations was the Nikivorof -Uvarof (NU) Method. The basic principle NU method was basebd on change of the Schroodinger equation form of type functionhypergeometric. Special form of the hipergeometric equation solved by the NU method.
The results of this reaserch were (1) Energy spectra and wave functions obtained were exact. Wave function of the radial and polar expressed in terms of Jacobi polynomials. Wave equation and the energy levels obtained by the NU method gave the same results with the hypergeometric method. (2) wave function was visualized using Matematica8.0. Potential Non-central fromed by combination of ColombicandPöschl-Teller I causes polar wave amplitode enlarged and electron binding energy decreases. Non-central potentialfromed bycombination of EckartandPöschl-Teller I potential causes polar amplitude wave functions enlarged and binding energy of the particles decreases. Key words: Shroodinger Equation, Nikiforov-Uvarov method, Coloumb Potential, Potential Eckart,Pöschl-Teller I potential non-central
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
“Newtonian mechanics and Maxwell's theory of the electromagnetic (EM)
field were the pillars of physics until the end of the nineteenth centur” (Galindo
and Pascual:1990). Fisika yang berkembang sampai akhir abad ke 19 dikenal
sebagai fisika klasik dan mempunyai dua cabang utama yaitu mekanika klasik
Newtonian dan teori medan elektromagnetik. Mekanika klasik dicirikan oleh
kehadiran partikel sebagai sesuatu yang terkurung di dalam ruang. Istilah
terkurung secara sederhana dapat dikatakan adanya batas yang jelas antara materi
dengan lingkungan di luar dirinya. Hasil eksperimen menunjukkan bahwa
“konsep-konsep fisika yang berdasarkan hukum-hukum Newton tidak bisa
digunakan untuk menjelaskan hasil eksperimen sehingga diperlukan konsep baru
yang tidak sama dengan fisika klasik” (Beiser, 1992).
Pada tahun 1925-1926, E. Schrödinger menyatakan bahwa “perilaku
elektron, termasuk tingkat spektrum energi elektron yang diskrit dalam atom
mengikuti suatu persamaan diferensial untuk gelombang” (Greiner, 1989).
Mekanika kuantum sangat berguna untuk menjelaskan perilaku atom dan partikel
subatomik seperti proton, neutron dan elektron yang tidak mematuhi hukum-
hukum fisika klasik. Atom biasanya digambarkan sebagai sebuah sistem di mana
elektron (yang bermuatan listrik negatif) beredar seputar nukleus atom (yang
bermuatan listrik positif). Menurut mekanika kuantum, ketika sebuah elektron
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2
berpindah dari tingkat energi yang lebih tinggi (misalnya dari n=2 atau kulit atom
ke-2 ) ke tingkat energi yang lebih rendah (misalnya n=1 atau kulit atom tingkat
ke-1), energi berupa sebuah partikel cahaya yang disebut foton, dilepaskan.
Persamaan diferensial tersebut kemudian dikenal dengan persamaan Schrödinger
(PS). PS sekarang menjadi tulang punggung dalam memahami fenomena kuantum
secara konsepsional dan matematis. Spektrum energi dan fungsi gelombang suatu
partikel dapat ditentukan dengan menyelesaikan PS. “Spektrum energi dan fungsi
gelombang digunakan untuk mendiskripsikan perilaku sekelompok partikel”
(Griffith, 1994).
PS untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh potensial dimana spektrum
energi potensialnya merupakan fungsi posisi biasanya diselesaikan dengan cara
mereduksi PS menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi khusus seperti
fungsi Hermite, Legendre, Laguerre, hypergeometric atau confluent
hypergeometric dengan substitusi variabel yang sesuai. Namun diantara fungsi-
fungsi tersebut, “hanya persamaan diferensial fungsi Hypergeometric atau
Confluent Hypergeometric (H-CH) yang mempunyai bentuk penyelesaian paling
umum karena persamaan diferensial fungsi yang lain dapat direduksi menjadi
persamaan diferensial H-CH”. (Suparmi, 1994). Penyelesaian PS secara eksak
untuk sistem potensial tertentu mempunyai peranan yang penting dalam Mekanika
Kuantum, karena dapat memberikan informasi tentang spektrum energi dan fungsi
gelombang sistem yang terkait. Tidak semua bentuk dari PS memenuhi kriteria
sebagai acuan pemecahan masalah, hanya beberapa potensial yang mungkin bisa
dipecahkan secara eksak. Potensial-potensial yang dapat dipecahkan adalah suatu
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
3
permasalahan yang menarik dalam mekanika kuantum itu sendiri. Adapun
potensial-potensial yang memiliki fungsi gelombang yang ternormalisasi dan
memiliki spektrum tingkat energi adalah osilator harmonik, Coloumb, osilator
isotropik, Morse, Pöschl–Teller, Rosen Morse, simetrical top. Bentuk-bentuk
potensial tersebut secara umum digambarkan dalam bentuk fungsi-fungsi aljabar
yang telah dikenal seperti polynomial, ekponensial, atau besaran trigonometri.
Potensial – potensial tersebut dianalisis dalam bentuk spektrum energi dan fungsi
gelombangnya (Dehesa and Sokorin, 2005).
Pengkajian analitik tentang potensial sentral telah banyak dilakukan,
Pengkajian yang lebih komplek dan spesifik dari mekanika kuantum adalah
potensial non central. Potensial non-central secara teoritik sangat berguna dalam
menjelaskan tingkat energi dan bentuk gelombang dari interaksi antara molekul
ring-shaped dan interkasi antara inti berpasangan yang terganggu (terdistorsi).
Secara umum potensial non sentral diperoleh dengan mengkombinasikan antara
potensial yang merupakan fungsi radial dan dan sudut yang dapat dipisahkan.
Spektrum energi dan fungsi gelombang dari potensial yang sudah banyak diteliti
ditentukan dengan berbagai cara, seperti metode faktorisasi (J. Sadeghi, B.
Pourhassan:2008), Operator (Ikhdair, S. M :2011), supersimetri mekanika kuantum
(Suparmi:1994), dan path integral (Grosche, C:2005) yang masih terus
dikembangkan sampai saat ini. Terdapat beberapa potensial yang sudah
diselesaikan dengan Metode Nikivorof Uvarof (NU), PS untuk potensial Pöschl–
Teller II (Hiperbolik) dan Modifikasi Kratzer non-sentral. Berdasarkan hasil
penelitian analitik (S. Bakkeshizadeh, V. Vahidi:2012), disimpulkan bahwa Metode
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
4
NU sangat cocok untuk digunakan menentukan solusi dalam menyelesaikan PS
untuk potensial non sentral. Metode NU mereduksi PS bergantung waktu menjadi
persamaan umum hipergeometri. Energi Nilai Eigen dan fungsi eigen dihitung
secara eksak. Pada penelitian ini kami menggunakan potensial Coloumb dan
Eckart dengan faktor sentrifugal yang diganggu dengan potensial kuadrat Pöschl–
Teller I. Kombinasi potensial Coloumb, Eckart dengan potensial Pöschl–Teller I
menghasilkan potensial non-sentral.
. Hasil fungsi gelombang dan probabilitas potensial Non Central yang
dijabarkan dengan metode NU dan digambarkan dalam bentuk simulasi
komputasi. Aplikasi fisika kuantum dalam potensial non-sentral dapat digunakan
sebagai dasar penelitian fisika material dalam mengkombinasikan jenis komposisi
bahan. Setiap bahan pasti mengandung potensial tertentu, ketika dua bahan
dikombinasikan, maka akan memberikan karakeristik bahan baru dan juga
potensial baru. Dengan mengetahui karakteristik potensial masing-masing bahan
dan karakteristik potensial setelah dikombinasikan secara teoritik, tingkat energi
dari bahan tersebut dapat dihitung, sehingga proses pengkombinasian bahan tidak
terkesan “try and error”.
Berdasarkan uraian diatas, kami mengambil judul penelitian Solusi
Persamaan Schrödinger untuk Potensial non sentral hasil kombinasi Potensial
Coloumb, Eckart plus Potensial Pöschl–Teller I non-sentral dengan Menggunakan
Metode Nikivorof-Uvarov.
.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
5
B. Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian dari latar belakang di atas, maka dapat dituliskan tiga
perumusan masalah sebagai berikut:
1. Bagaimana bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang
potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coloumb plus Pöschl–Teller I
dengan menggunakan metode NU?
2. Bagaimana bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang
potensial non sentral hasil kombinasi potensial Eckart dengan faktor
sentrifugal plus Pöschl–Teller I non-sentral dengan menggunakan metode
NU?
3. Bagaimana bentuk visualisasi gelombang bagian sudut dalam 2 dimensi dan 3
dimensi ?
C. Tujuan Penelitian
Terdapat tiga tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini, yaitu untuk
mengetahui:
1. Bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial non
sentral hasil kombinasi Coloumb plus Pöschl–Teller I non-sentral dengan
menggunakan metode NU.
2. Bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial Eckart
dengan faktor sentrifugal plus Pöschl–Teller I non-sentral dengan
menggunakan metode NU.
3. Bentuk visualisasi fungsi gelombang sudut 2 dimensi dan 3dimensi.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
6
D. Batasan Masalah
Agar pembahasan masalah dalam penelitian ini lebih terarah maka peneliti
mengajukan tiga pembatasan masalah sebagai berikut :
1. Potensial yang dianalisis adalah Potensial non sentral hasil kombinasi
potensial Coloumb, Eckart dengan faktor sentrifugal plus Potensial Pöschl–
Teller I non-sentral.
2. Software yang digunakan adalah Matematica 8.0
3. Analisis simetri gelombang tidak dikaji, pengkajian ditekankan pada penagruh
parameter terhadap fungsi gelombang dan energi.
4. Analisis gangguan dikaji hanya pada pengaruh parameter.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Manfaat secara teori
a. Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coloumb, Eckart dengan
faktor sentrifugal plus Potensial Pöschl–Teller I dapat diselesaikan
menggunakan metode NU.
b. Memberikan informasi dampak parameter terhadap fungsi gelombang dan
energi.
c. Memberikan Informasi bentuk dan visualisasi persamaan gelombang dan
energi dalam koordinat tuga dimensi (Bola) maupun dua dimensi (Polar).
d. Menjelaskan bentuk-bentuk potensial secara visual beserta dampak
parameternya dengan menggunakan manipulasi.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
7
2. Manfaat bagi Penulis
a. Memberikan pengetahuan baru tentang potensial non sentral
b. Menambah khasanah keilmuan di bidang Fisika Teori,
c. Memperkuat pemahaman mekanika kuantum secara teoritis maupun
praktis.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
8
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Persamaan Schrödinger (PS) Secara Umum
Pendekatan mekanika kuantum memiliki permasalahan yang berbeda
dengan fisika klasik. Salah satu permasalahan dalam mekanika kuantum adalah
“menyelesaikan bentuk persamaan gelombang partikel dengan menyelesaikan PS”
(Griffith: 1995). PS dalam Mekanika Kuantum adalah persamaan energi total
seperti yang dinyatakan dalam Mekanika Klasik tetapi variabel-variabel dalam
Mekanika Klasik diubah menjadi operator dalam Mekanika Kuantum. Fisikawan
Erwin Schrödinger pada tahun 1925, menjelaskan hubungan ruang dan waktu
pada sistem mekanika kuantum. Persamaan ini merupakan hal penting dalam teori
mekanika kuantum. Hubungan antara variabel dalam Mekanika Klasik dengan
operator dalam Mekanika Kuantum memberikan prinsip korespondensi antara
Klasik dengan Kuantum. Korespondensi antara energi E, momentum p
dan
oprator deferensial:
tiE
(2.1a)
ip (2.1b)
Bentuk korespondensi ini nantinya yang digunakan untuk membangun
persamaan gerak kuantum berangkat dari bentuk energi klasik. Selanjutnya, tinjau
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
9
partikel yang mengalami gaya F
yang dapat dituliskan sebagai gradien dari
energi potensial trV ,
trVF ,
(2.2)
Karena itu, energi total partikel E dapat diungkapkan sebagai:
trVm
pE ,
2
2 (2.3)
Berdasarkan korespondensi (2.1) persamaan gerak kuantum partikel
didalam potensial trV ,
diberikan oleh
trtrVtrmt
i ,,,2
22
(2.4a)
Persamaan. (2.12) dikenal sebagai persamaan gelombang Scrodinger untuk
partikel didalam potensial trV ,
. Dalam banyak hal, sistem fisis dapat didekati
dengan model satu dimensi. Persamaan Scrodinger satu dimensi berbentuk
txtxV
x
tx
mti ,,
,
2 2
22
(2.4b)
Persamaan gelombang merupakan kuantitas teoritis dasar dalam mekanika
kuantum dan mendiskripsikan kemungkinan suatu kejadian. Solusi persamaan
gelombang dapat diperoleh dengan menggunakan PS. (Griffiths, D. J: 1995).
Mengungkapkan bahwa “Diperlukan intepretasi statistik born fungsi gelombang
berupa persamaan rapat probabilitas untuk menyatakan besar kemungkinan
partikel yang didiskripsikan oleh tx, yang berada diantara x dan x+dt”.
Dimensi rapat probalilitas dapat dinyatakan sebagai:
( ) | tx, | (2.5a)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
10
Dalam koordinat tiga dimensi rapat probabilitas dapat dinyatakan sebagai:
( ) | tx, | (2.5b)
| | dimana merupakan conjugate .
A. Potensial Coulomb, Eckart dan Pöschl-Teller I
Dalam penelitian ini, peneliti menggunakan potensial Coloumb dan Eckart
sebagai potensial sentral, sedangkan Pöschl-Teller I merupakan potensial
pengganggu yang menyebabkan potensial sentral termodifikasi menjadi non-
sentral.
1. Potensial Coloumb
Potensial Coulomb menggambarkan interaksi berpasangan antara atom
bermuatan. Interaksi dapat terjadi antara molekul air akibat momen dipol
permanen. Dua partikel bermuatan berlawanan akan saling menarik, sedangkan
jika dua partikel bermuatan sama akan saling tolak-menolak. (Hendrik F.
Hameka:2004) menyebutkan bahwa “The Coulomb attraction between the proton
and the electron is represented by a potential function”. Interaksi proton dan
electron dapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi potensial. Potensial
Coloumb dipengaruhi oleh jarak antar muatan. Bentuk potensial Coloumb dapat
dilihat pada persamaan 2.6.
(2.6)
Dengan memanipulasi jarak antar muatan (r, ), maka potensial
Coloumb dapat divisualisasikan dalam bentuk 2 dimensi maupun 3 dimensi.
Bentuk visualisasi potensial Coloumb dapat dilihat pada gambar 2. 1.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
11
4 2 2 4
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
z z
r
r
Gambar 2.1. a. Potensial Coloumb 2 D Gambar 2.1. b. Potensial Coloumb 3 D
(Ballentine, E. L.:2000:265) mengungkapkan bahwa “the Coulomb
potential decays toward zero very slowly at large distances, and we shall see that
this is responsible for some qualitatively different features”. Potensial Coloumb
secara perlahan-lahan bergerak menuju nol seiring dengan semakin besarnya jarak
antara muatannya. Berdasarkan hasil simulasi, semakin bersar nilai kedua muatan,
maka semakin dalam potensialnya, dengan asumsi nilai r konstan. .( Jean-Louis
Basdevant and Jean Dalibard:2002) ”The Coulomb potential has an infinite range,
as it does in classical mechanics” pada gambar 2.1, terlihat bahwa potensial
Coloumb memiliki jangkauan yang tidak terbatas, seiring dengan bertambahnya
jarak antar muatan. Bentuk modifikasi dari potensial Coloumb adalah potensial
Yukawa. Potensial Yukawa juga disebut Screened Coloumb Potential. Bentuk
persamaan potensial Yukawa dapat dilihat pada persamaan (2.7)
(2.7)
Bentuk potensial persamaan (2.7) dapat divisualisasikan dengan
memanipulasi nilai r dan m, dengan nilai . Hasil visualisasi dapat dilihat
pada gambar 2.2.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
12
(Sumber: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Yukawa_m_compare.svg)
Gambar 2.2 Potensial Yukawa
Jika m=0, maka potensial Yukawa akan kembali ke bentuk potensial Coloumb
seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.2
2. Potensial Pöschl-Teller (PT) I
Bentuk persamaan potensial PT I dapat dinyatakan dalam:
( )
( ( )
( )
) (2.8)
Persamaan (2.1) dapat divisualisasikan dengan memanipulasi nilai r, parameter
dan , dan , >1. Visualisasi potensial PT I dapat dilihat pada gambar
2.3.
z
y
Gambar 2.3. Bentuk Potensial PT I 3 Dimensi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
13
Berdasarkan fungsinya, potensial PT I merupakan gabungan fungsi
Cosecant dan Secant. “The trigonometric Pöschl-Teller (PT) potential describes
the diatomic molecular vibration” (Wikipedia:2012). PT I sering muncul pada
saat molekul diatomik mengalami vibrasi. .
3. Potensial Eckart
Potential Eckart merupakan potensial yang sering diaplikasikan dalam
vibrasi molekul. Bentuk persamaan potensial Eckart dapat dilihat pada persamaan
(2.9)
( )
( ) (2.9)
Bentuk persamaan (2.9) dapat divisualisasikan Dalam koordinat dua dimensi
maupun tiga dimensi. Visualisasi potensial Eckart dapat dilihat pada gambar 2.4.
V(x)
Gambar 2.4. Potensial Eckart
Potensial ini diselidiki oleh C. Eckart pada tahun 1930. Pada gambar 2.4,
potensial tersebut simetri pada sumbu, dan nilai maksimum Vo pada x = 0. Fungsi
Vo juga mendekati nol pada x mendekati takhingga. Modifikasi bentuk potensial
Ekckart yang akan dibahas adalah bentuk potensial Eckart dengan faktor
sentrifugal. “Potensial Eckart dapat diaplikasiakan untuk menjelaskan vibrasi
molekul dan gaya antarmolekul (Cari and Suparmi:2012)”
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
14
Pengembangan Bentuk persamaan dan gambar Potensial Eckart dapat dilihat pada
persamaan (2.10).
(
( )
) (2.10)
Bentuk potensial Eckart dengan centrifugal term dapat dilihat pada gambar 2.5.
Gambar 2.5. Bentuk Modifikasi Potensial Eckart
B. Non Central potensial
Gaya sentral merupakan gaya yang bekerja pada suatu sistem inersia.
Potensial sentral muncul pada jarak anatara kedua partikel. Potensial sentral
hanya memberikan pengaruh terhadap gerak arah radial dan bersifat konservatif,
gaya bekerja terletak pada garis hubung antar kedua partikel. Jika gaya sentral
yang bekerja di seluruh lintasan diganggu oleh gaya luar yang bekerja pada
koordinat polar dan zimuth, maka potensial yang timbul adalah potensial non-
sentral. Potensial non sentral memberikan efek terhadap arah polar dan radial,
bersifat non konserfatif, sehingga penjelasan terhadap vibrasi molekul lebih
kompleks. Secara umum potensial non sentral diperoleh dengan
mengkombinasikan antara potensial yang merupakan fungsi radial. dengan
potensial yang merupakan fungsi radial dan sudut yang dapat dipisahkan”
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
15
(Suparmi, Cari, Jeffry H:2012). Berbeda dengan potensial central, pada potensial
non sentral kecepatan paralel tidak tegak lurus pada garis hubung kedua benda,
namun masih bekerja gaya aksi rekasi yang bekerja pada garis hubung kedua
benda. Pada potensial non sentral terjadi perubahan lintasan.
(Arda and Sever :2012) mengungkapkan bahwa “Potensial non sentral
dapat menjelaskan tingkat energi molekul berbentuk ring shaped (seperti benzene)
dan interaksi antara inti berpasangan yang terganggu telah memberikan banyak
aplikasi di bidang fisika”. Potensial non -central secara teoritik sangat berguna
dalam menjelaskan tingkat energi dan bentuk gelombang dari interaksi antara
molekul ring-shaped dan interkasi antara inti berpasangan yang terganggu
(terdistorsi).
(Goldstein, et al:2000) “in the problem of a particle moving in an ex-ternal
central force field (V = V(r)), there is no constraint involved, but it is clearly more
convenient to use spherical polar coordinates than Cartesian coordi-nates. Do
not, however, think of generalized coordinates in terms of conventional
orthogonal position coordinates.” Partikel yang bergerak dalam potensial non-
sentral lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan koordinat bola. Bentuk
potensial non-central dapat dilihat pada persamaan (2.11)
( ) ( ) ( )
(2.11)
Potensial pada persamaan (2.12) dapat dimodifikasi menjadi
( ) (
)
(2.12)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
16
bentuk potensial (2.11) dapat divisualisasikan dengan memvariasi nilai r,
dengan . Visualisasi persamaan (2.11) dapat dilihat pada gambar 2.6b.
.
z z
y y
Gambar 2.6a Potensial Sentral Gambar 2.6b Potensial Non Sentral
Perbedaan signifikan berdasarkan visualisasi gambar 2.6 antara potensial
sentral dan non sentral adalah bentuk potensial central terpusat pada satu sumur,
sedangkan non central memiliki lebih dari satu sumur dan simetris. Berdasarkan
gambar potensial terlihat bahwa potensial pengganggu (penyebab potensial
menjadi non sentral) lebih dominan dibandingakan potensial sentral.
C. Metode-metode penyelesaian PS
Spektrum energi dan fungsi gelombang dari potensial yang sudah banyak
diteliti ditentukan dengan berbagai cara, seperti metode faktorisasi, Operator,
supersimetri mekanika kuantum NU dan path integral yang terus dikembangkan.
Terdapat beberapa potensial yang sudah diselesaikan dengan Metode NU,
persamaan Schrodinger untuk potensial Posch Teller II (Hyperbolik) dan
Modifikasi Kratzer Non Central. Metode NU sangat cocok digunakan
menentukan solusi dalam menyelesaikan persamaan Schroodinger untuk potensial
non sentral. Berikut kami paparkan dua metode yang mewakili penyelesaian PS
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
17
secara eksak maupun pendekatan dalam menentukan tingkat energi dan
persamaan gelombang berserta aplikasinya.
1. Metode Hipergeometri
PS dapat diselesaikan dengan mereduksi kedalam persamaan
hipergeometri. Persamaan hipergeometri mempunyai bentuk penyelesaian paling
umum karena persamaan diferensial suatu fungsi dapat direduksi kedalam fungsi
hipergeometri (Bromley, 1989). Persamaan diferensial orde dua fungsi
hipergeometri dapat dinyatakan sebagai berikut.
( ) ( )
( ( ) ) ( )
( ) (2.13)
Persamaan (2.13) mempunyai dua buah titik regular singular yaitu di titik
dan (Suparmi, 2011) karena penyelesaian di titik lebih
sederhana dari penyelesaian di titik . Mula-mula dipilih penyelesaian di
sekitar titik . Persamaan (2.13) dapat diselesaikan dengan bentuk deret
disekitar titik
( ) ∑ (2.14)
Persamaan (2.14) dimasukkan ke persamaan (2.13) akan membentuk
( ) (2.15a)
( ( ))
( ( ) )( ( )
( ) ( ) ) (2.15b)
( )
( )( ( ) ( ) ( )(
) ) (2.25c)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
18
Persamaan (2.15a), (2.15b) dan (2.15c) dijumlahkan maka akan diperoleh
persamaan (2.15d)
( ( ) ) ( ( ) ( )
( ) ( ) ) ( ( ) ( )(
) ( )( ) ( ) ) (2.15d)
Persamaan (2.15d) merupakan persamaan identitas, koefisien dari masing-
masing suku x pangkat tertentu harus dinolkan. Koefisien pada suku
dinolkan maka akan menjadi
( ( ) ) atau ( ( )) . Koefisien pada suku
adalah index equation yang memberikan harga atau . Koefisien
pada suku dinolkan akan menjadi
( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) (2.16a)
Setelah koefisien pada suku dinolkan akan didapatkan konstanta
( )( )
( )( ) (2.16b)
Koefisien pada suku dinolkan maka akan didapatkan konstanta
( ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ) (2.9c)
( )( )( )( )
( )( )( )( ) (2.16d)
Persamaan (2.16b) dan (2.16d) dapat digunakan untuk menentukan koefisien dari
suku ke berikut ini
( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) (2.16e)
Bentuk penyelesaian persamaan diferensial hipergeometri secara umum adalah
( ) 2F1( ) =∑
(2.17)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
19
Dimana ( ) ( )( )( ) ( ) dan ( ) (2.18)
Penyelesaian di atas mempunyai harga bila semua penyebut dari deret tersebut
tidak nol, maka dimana
Apabila atau (2.19)
maka bentuk penyelesaian yang berupa deret menjadi terputus sehingga diperoleh
penyelesaian yang berhingga yaitu polynomial pangkat . Dari kondisi yang
dinyatakan pada persamaan (2.14) dapat diperoleh tingkat spektrum energi sistem.
a. Aplikasi PD Hypergeometry untuk PD fungsi Legendre dan Legendre
Terasosiasi
1) Persamaan Diferensial Fungsi Legendre
Contoh aplikasi dari penyelesaian PD Hypergeomtrik adalah penyelesaian
Persamaan diferensial fungsi Legendre
0)1(2)(
)1(2
22 Pnn
dx
dPx
dx
xPdx
(2.20)
Bila x pada pers (2.13) diubah menjadi (1-2x) maka P(x) menjadi P(1-2x),
dx menjadi d(1-2x)=-2dx dan persamaan (2.13) dapat ditulis menjadi
0)1(2
)21(24
)1(42
2
Pnndx
dPx
dx
Pdxx
atau
0)1()21()(
)1(2
2
Pnndx
dPx
dx
xPdxx
(2.21)
Dengan membandingkan antara bentuk pers (2.13) dengan pers (2.21) maka
diperoleh
c=1; a+b =1; a = -n dan b=n+1 (2.22)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
20
Bila persaman (2.19) dimasukkan ke dalam persamaan (2.17) maka
diperoleh penyelesaian PD fungsi Legendre dalam bentuk penyelesaian PD
hypergeometri yaitu
);1;1,()21( 12 xnnFxPn
(2.23)
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa persamaan diferensial fungsi
Legendre dapat diubah menjadi diferensial fungsi hypergeometri dengan
pengubahan variabel.
2) Persaman Diferensial Fungsi Legendre Terasosiasi
Persamaan Schrodinger atom hidrogen bagian sudut yang merupakan
fungsi sudut disebut persamaan polar ini membentuk persamaan diferensial
orde dua fungsi Legendre terasosiasi. Persamaan polar dinyatakan pada
persamaan (2.24).
(
) (
) (2.24)
Penyelesaian persamaan (2.24) dapat diselesaikan dengan berbagai cara
yaitu penyelesaian secara langsung menggunakan deret atau polynomial Legendre
terasosiasi yang dijabarkan dari polynomial Legendre, operator supersimetri,
persamaan diferensial fungsi hypergeometri, persamaan diferensial tipe
hypergeometry yang dikembangkan oleh Nikiforov-Uvarov, dan oleh
Romanovski. Pada bagian ini kita akan menyelesaiakannya menggunakan
persamaan diferensial fungsi hypergeometri. Untuk menyederhanakan
penyelesaian pers (2.24), pertama kita ubah persamaan (2.24) menjadi persamaan
PPH dengan substitusi variabel sebagai berikut
dan √ ( ) (2.25)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
21
sehingga diperoleh
√ ( )
(2.26)
Dengan memasukkan persamaan-persamaan (2.25) dan (2.26) ke dalam
persamaan (2.24) diperoleh
√ ( )√ ( )
( √ ( )(√ ( ))
) (
( ))
atau
( )
( )
(
( )) (2.27)
Karena
( )
maka persamaan (2.27) dapat dituliskan kembali sebagai
( )
( )
(
( )) (2.28)
atau
( )
( )
(
( )
( )
( ) ) (2.29)
Persamaan perantara persamaan hypergeometri (PPPH) pada persamaan
(2.29) mempunyai dua buah titik regular singular yaitu z=1 dan z=0. Untuk daerah
di sekitar titik z=0 , suku
( ) dan
( ) diabaikan terhadap
( ) maka
persamaan (2.29) menjadi
( )
( )
(2.30)
Penyelesaian pendekatan di titik z=0 yang merupakan titik regular singular adalah
( ) ∑ (2.31)
Bila persamaan (2.31) dimasukkan ke dalam persamaan (2.30) maka
{ }
( )
( ){ ( ) ( ) ( ) }
( )
( ){ ( ) ( ) ( )( ) }
+
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
22
0= { ( )
} { ( ) ( )
( ) } (2.32)
Persamaan (2.32) merupakan polynomial dalam z maka koefisien dari setiap z
pangkat tertentu harus nol. Bila koefisien dari z pangkat terendah di nolkan maka
diperoleh persamaan indeks
( )
sehingga diperoleh
atau
. Karena s merupakan pangkat dari z maka
harga s yang dipilih adalah
karena untuk penyelesaian dengan harga
s negatif menyebabkan fungsi gelombang menjadi tak terhingga sehingga tidak
memenuhi syarat. Jadi ( )
(2.33)
Analog dengan penyelesaian disekitar titik z=0, maka diperoleh
penyelesaian pendekatan di sekitar titik z =1-z, yaitu
( ) ( )
(2.34)
Penyelesaian umum dari persamaan diferensial fungsi Legendre terasosiasi pada
persamaan (2.21) adalah
( ) ( )
( )
( ) (2.35)
Bila kita set
maka turunan pertama dan kedua dari persamaan (2.35) adalah
( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) (2.36a)
( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) +
( ) ( ) - ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) -
( ) ( ) + ( ) ( )
( ) ( ) + ( ) ( ) (2.36b)
Kemudian bila persamaan (2.36a), (2.36b) dan (2.35) dimasukkan ke dalam
persamaan (2.28) maka diperoleh
( )
(( ) ( ) )
( )( ) (2.36c)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
23
Kemudian persamaan (2.36c) kita bandingkan dengan persamaan (2.20) diperoleh
; ; (2.36d)
2. Metode NU
Persamaan deferensial hipergeometrik, yang dapat diselesaikan dengan
metode Nikiforov-Uvarov (Nikiforov, A. V Uvarov V. B:2008) berbentuk:
( )
( )
( )
( )
( )
( ) (2.37)
Dengan memilih s adalah koefisien dari ( ) ( ) dan ( )dapat
memiliki harga riil atau complek. dimana ( ) dan ( ) biasanya merupakan
polynomial dengan pangkat tertinggi dua., dan ( ) merupakan polynomial
pangkat tertinggi pertama. Persamaan potensial:
( ) ( ) ( )
(2.38)
Persamaan (2.38) dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel yaitu
( ) ( ) (2.39)
Dengan memasukkan persamaan (2.39) ke persamaan (2.38) kita
mendapatkan persamaan tipe hipergeometrik:
(2.40)
dan ( ) adalah derivatif logarithmik dimana solusinya bergantung pada:
(2.41)
Prosesnya: Persamaan (2.37) dapat direduksi dalam persamaan baru dengan
memisalkan ( ) ( ) ( ) diperoleh:
( )
(
)
( )
(
) ( ) (2.37b)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
24
Koefisien ( )
memiliki bentuk persamaan
( )
( ) dimana ( ) merupakan
polinimial dengan pangkat tertinggi 1. Sehingga diperoleh persamaan (2.41).
Persamaan (2.40) diambil dari
( )
( )
( )
( )
( )
( ) (2.37c)
dimana
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) ( )
Persamaan (2.37c) merupakan persamaan yang sama dengan persamaan (2.37).
Dengan hanya memilih koefisien ( ) diperoleh
( ) ( )
Sehingga persamaan (2.37c) dapat direduksi menjadi
( ) ( )
( ) ( )
( ) (2.37d)
Persamaan diatas merupakan persamaan yang ekuivalen dengan persamaan 2.40.
fungsi ( ) dan parameter dicari dengan
(
) √(
) (2.42)
(2.43)
Prosesnya:
Untuk menghitung ( ) dan kita menulis persamaan ((2.37d) dalam bentuk:
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
25
( )
( )
Ingat : Bentuk ( ) Dapat diselesaikan dengan:
{{
( √ )} {
(
√ )}}
Dengan mengasumsikan harga k diketahui, penyelesaian persamaan kuadrat untuk
( ) seperti yang ditunjukkan pada persamaan (2.42). Harga k pada persamaan
(2.42) dapat diperoleh dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat dibawah akar
merupakan kuadrat sempurna dari polynomial derajat satu, sehingga diskriminan
dibawah akar harus nol. Nilai eigen baru dari persamaan (2.40) adalah
( )
, n = 0, 1, 2 (2.44a)
dimana , (2.45)
Untuk mendapatkan energi eigen nilai dan fungsi eigen yang terkait, diperlukan
kondisi .
Bukti:
( ) ( )
( ) ( )
( ) (2.44b)
Persamaan (2.44b) dapat disederhanakan menjadi
( ) ( )
Dengan memisalkan:
( ) ( ) persamaan (2.44b) dapat diubah menjadi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
26
( ) ( ) (2.44c)
Dimana
( ) ( ) ( )
( )
Selama ( ) merupakan polinomial dengan pangkat tertinggi 1, dan
bergantung pada s, persamaan (2.44c) merupakan persamaan tipe hipergeometri.
( ) merupakan solusi dari persamaan (2.44c) jika ( ) merupakan turunan dari
solusi ( ) dari persamaan (2.44b), fungsi ini harus memenuhi:
( )
[ ( )
( )]
Dapat ditunjukkan bahwa fungsi ( ) bergantung pada persamaan (2.44b) dan
turunannya adalah ( ). Diperoleh:
[ ( ) ( )
( ) ]
(s). dengan mensubtitusikan pada persamaan (2.44b) diperoleh
persamaan (1). Dengan cara yang sama, untuk (s)= (s):
( ) ( )
dimana
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( )
(2.44d)
pada persamaan (2.44d), merupakan solusi dari ( ) yang memiliki nilai
konstan. Selama ( ) ( ). Persamaan (2.44d) menjadi persamaan (2.44a).
Solusi bagian kedua fungsi gelombanmg, yn(s), yang bersesuaiaan dengan relasi
Rodrigues diberikan oleh
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
27
( )
( )
( ( ) ( )) (2.46a)
dimana Cn merupakan konstanta normalisasi, dan fungsi bobot ( ) harus
tergantung pada Perilaku elektron atom hidrogen dipengaruhi oleh potensial.
Bukti:
Untuk mendapatkan polinomial ( ) secara eksplisit, kita menggunakan
persamaan (2.44b) dan (2.44c) dengan menggunakan pendekatan ( ) dan ( ).
Sehingga dapat ditulis:
( ) (2.46b)
( ) (2.46c)
Persamaan (2.46b) dan (2.46c) merupakan persamaan deferensial
( ) (2.46d)
( ) (2.46e)
Dengan menggunakan bentuk eksplisit ( ), kita dapat dengan mudah membuat
hubungan antara ( ) dan (s) ( ).
Kita mempunyai
( )
( )
Sehingga:
Konsekwensinya:
( ) ( ) ( ) , n= 1,2,3...
Selama dan (s)=
(s), kita dapat menuliskan persamaan (2.46c)
dalam bentuk:
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
28
( )
Jika m<n Diperoleh
( )
=(
) (
) ( ) =
( )
(*)
Dimana: ( ) ∏
Persamaan (*) jika kita kalikan dengan Am= maka akan
diperoleh:
, sedangkan n-m merupakan derajat polin omial.Jika ( )
merupakan polinomial dengan pangkat n, ( ), maka
( ) ( )
( ), ( ) ( )
( )= konstan.
Sehingga:
( )
( )=
( )[ ( )]
Dimana
( )| ,
( )( )
Dengan m=0 kita dapat memperoleh polinomial ( ) dari persamaan
hipergeometrik seperti yang ditunjukkan pada persamaan (2.46a)
3. Contoh Penyelesaian PS
a. Penyelesaian Potensial Poschl Teller I dengan Hipergeometri
Potensial efektif untuk potensial Poschl-teller I dituliskan sebagai
{
( )
( )
} (2.47)
Bentuk PS dari persamaan (2.47) adalah
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
29
{
( )
( )
} (2.48)
Untuk menyelesaikan pers (2.48) kita misalkan
(2.49a)
dan diperoleh
√ ( ) ;
√ ( )
{ √ ( ) }= ( )
( )
(2.49b)
Bila kemudian persamaan (2.49a) dan ((2.49b)dimasukkan ke persamaan (2.48)
maka pers (2.48) menjadi
( )
( )
{
( )
( )
}
(2.50a)
atau ( )
( )
{
( )
( )
( )
} (2.50b)
dimana
(2.51)
Persamaan. (2.50a) atau (2.50b) merupakan persamaan diferensial yang
mempunyai dua buah titik regular singular di titik s=0 dan s=1. Bila pers (2.50b)
dibagi dengan s(1-s) maka untuk harga s=0 ( atau daerah disekitar s=0) suku-suku
( ) dan
( )
( ) diabaikan terhadap suku ( )
( ) , sehingga pers (2.50b)
berubah menjadi
(
( ))
( )
( )
atau ( )
( )
( )
(2.52a)
Karena z=0 merupakan titik regular singular, maka penyelesaian
persamaan (2.52a), disini kita tidak akan menguraikan penyelesaian secara
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
30
lengkap tetapi hanya mencari penyelesaian index equation saja dari persamaan.
(2.52a). Misal penyelesaian persamaan (2.52a) yang berbentuk deret dinyatakan
sebagai ∑ (2.52b),
Bila persamaan (2.52b) dimasukkan ke dalam persamaan (2.52a) akan
diperoleh index equation, yaitu persamaan yang diperoleh dengan cara
mengenolkan koefisien dari suku untuk z pangkat terendah dari polynomial yang
diperoleh bila persamaan. (2.52b) dimasukkan ke dalam persamaan. (2.52a).
sebagai
( )
( )
yang dapat disederhanakan menjadi (
)
(
)
sehingga diperoleh
atau
, tetapi disini kita pilih
(2.52c)
dan penyelesaian yang dipilih adalah (2.52d)
Untuk harga s=1 ( atau daerah disekitar s=1) suku-suku
( ) dan
( )
( )
diabaikan terhadap suku ( )
( ) , maka pers (2.50b) berubah menjadi
( )
( )
( )
( ) (2.52e)
Analog dengan penyelesaian persamaan (2.52a) kita akan memperoleh
penyelesaian (2.52e) yang dapat dinyatakan sebagai ( )
(2.52f)
dimana telah diset (2.52g)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
31
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa penyelesaian umum persamaan
(2.50b) dapat dinyatakan sebagai ( ) ( )
(2.53)
Untuk menyelesaikan pers (2.50b), pertama-tama kita harus menentukan turunan
pertama dan kedua persamaan (2.53) terhadap variable s,
( ) ( )- ( ) ( ) + ( ) ( ) (2.54a)
dan
( ) ( ) ( )- ( ) ( ) + (
) ( )
- ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) - (
) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( )
(2.54b)
Bila persamaan (2.52c), (2.52g), (2.53), (2.54a), and (2.54b) ke dalam persamaan
(2.50b) diperoleh Persamaan
( )
((
) ( ) )
+ {
( ) }
(2.55)
Persamaan (2.55) menunjukkan persamaan diferensial fungsi Hypergeometri yang
penyelesaiannya dapat dinyatakan sebagai
( ) ( ) (2.56)
Dimana
,
maka
dan
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
32
, (2.57)
Persamaan (2.56) yang merupakan deret pngkat tinggi akan terputus
sehingga diperoleh deret berhingga bila atau (2.58)
Jadi bila kita pilih harga maka
atau
dan diperoleh spectrum energi untuk potensial Poshcl-Teller yaitu
( ) (2.59)
Penyelesaian fungsi gelombang secara umum dapat diperoleh dengan
memasukkan persamaan (2.49a),(2.52c), (2.52g), (2.56), dan (2.57) ke dalam
pers (2.53) yaitu
( ) ( ) = ( ) ( )
( ) (2.60)
Fungsi gelombang tingkat dasar untuk potensial Poschl-Teller I adalah
=( ) ( )
(2.61)
b. Penyelesaian Potensial Eckart dengan Hipergeometri
Bentuk potensial Eckart dengan faktor sentrifugal dapat dilihat pada
peramaan (2.62)
{
( )
}
{
(
)
} (2.62)
V0<V1,
Dengan melakukan pendekatan
<<<1 kemudian
(
)
sehingga
(2.63)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
33
Persamaan (2.63) dapat diubah dalam bentuk hiperbolik
{
} (2.64)
Persamaan (2.64), dapat diubah dalam bentuk persamaan Schroodinger
(
) (2.65)
Persamaan (2.65) dapat disederhanakan menjadi:
( )
{ ( )
(
)
} ( ) (2.65)
dimana
Dengan memilih
maka
,
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(2.66)
Dengan menggunakan transformasi koordinat pada persamaan (2.66),
persamaan (2.65) menjadi:
( )
( )
{
( ( )) ( )
( )
( )( )
( )
( )
( )}
(2.67)
dimana
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
34
( )
( )
{ ( ( ))
( )( )
( )
( )
( )}
(2.68)
Persamaan (2.68) dapat disederhanakan menjadi
( )
( )
{ ( ( ))
( ) ( )
( )
( )
}
(2.69)
Dengan memisalkan ( ) = dan ( )
Persamaan (2.69) dapat disederhanakan menjadi
( )
( )
( )
( ( ))
(2.70)
Persamaan (2.70) adalah persamaan diferensial orde dua, paling tidak
mempunyai dua buah titik regular singular dititik s=0 dan s=1,
Untuk s=0, pers (2.70) dapat ditulis menjadi
( )
( )
0 (2.71)
karena ( )
dapat diabaikan relatif terhadap
untuk s menuju nol.
Penyelesaian persamaan (2.71) dimisalkan sebagai ∑ (2.72)
Bila persamaan (2.72) dimasukkan ke dalam pers (2.71) maka diperoleh
suatu bentuk polynomial, dan bila koefisien dari variable (s) pangkat terendah,
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
35
yaitu , di nolkan maka diperoleh index equation yang dinyatakan sebagai
( ) sehingga diperoleh
yang memberikan penyelesaian pendekatan untuk daerah sekitar s=0 ,
(2.73)
Penyelesaian pendekatan untuk daerah disekitar titik s=1 yang merupakan
titik regular singular dapat diperoleh dengan cara yang sama untuk penyelesaian
di sekitar daerah s=0, yaitu
( ) (2.74)
di mana (2.75)
Dari pembahasan penyelesaian pendekatan di titik z=0 dan z=1 dapat
dsimpulkan penyelesaian secara umum persamaan (2.70) dapat dituliskan sebagai
( ) ( ) (2.76)
Penyelesaian umum persamaan (2.70) dapat diperoleh dengan menghitung lebih
dahulu komponen pada suku pertama, yaitu
( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) (2.77a)
dan
{ ( )}
{ ( ){ ( ) ( ) ( ) ( )
+ ( ) ( )}}
( ) ( ) ( )( ) ( ) + ( ) ( )
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
36
( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + (
) ( ) (2.77b)
Kemudian dengan memasukkan persamaan (2.73), (2.74), (2.76), (2.77a) dan
(2.77b) ke dalam persamaan (2.70) diperoleh
( ) { ( )
( )
[( ) (
) ] ( ) } {
} ( )
atau
( ) [( ) ( ) ] ( )( )
(2.78)
Dapat dilihat bahwa persamaan (2.78) merupakan persaman diferensial
orde dua fungsi hypergeometri di mana
, and (2.79a)
Spectrum energi dari persamaan (2.79a) yaitu
atau ( ) ( ) (2.79b)
Dengan memasukan persamaan (2.73), (2.74) ke dalam persamaan (2.79b)
diperoleh
atau
(2.80a)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
37
sehingga diperoleh
(
) (
) (2.80b)
Penyelesaian umum fungsi gelombang potensial Eckart adalah
(
)
(
) ( ) (2.81a)
atau (
)
√ (
)
(
) √ (
)
(
(2.81b)
dimana ( ) = dan ( )
( )
( ) ( )
( )
( )( ) ( )( )
( ( )
(2.82c)
Jika =1 , =0, a=1 diperoleh: ( )
4. Kerangka Pemikiran
1. Persamaan Schrodinger untuk potensial non-central dapat diselesaikan dengan
mereduksi persamaan Schrodinger menjadi persamaan hipergeometri atau
setipenya. Metode Nikiforov-Uvarov (NU) pengembangannya berbasis pada
pereduksian persamaan Schrodinger menjadi persamaan tipe hipergeometri.
2. Potensial Non Sentral seperti Manning-Rosen Potential Plus a Ring-Shaped, Eigen
Spektra for Woods-Saxon Plus Rosen Morse Potential, Coloumb plus cosecant
kuadtrat dapat diselesaikan dengan metode NU.
3. Software Matematica memiliki kemampuan komputasi, simulasi dan
visualisasi grafik fungsi matematis.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
38
5. Hipotesis
1. Persamaan gelombang dan tingkat energi Potensial non sentral hasil
kombinasi potensial Coloumb plus Pochl-Teller I dapat diselesaikan secara
eksak menggunakan NU.
2. Persamaan gelombang dan tingkat energi Potensial non sentral hasil
kombinasi potensial Coloumb plus Pochl-Teller I dapat diselesaikan
menggunakan NU.
3. Bentuk gelombang 3 D maupun 2 D, divisualisasikan dengan menggunakan
Software Matematica.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
39
BAB III
METODE PENELITIAN
A. Tempat dan Waktu Penelitian
Waktu dan lokasi penelitian dilakukan mulai bulan April sampai bulan
Juni 2012 dan penelitian ini dilakukan di pascasarjana Universitas Sebelas Maret.
B. Alat dan Persamaan Penelitian
1. Alat Penelitian
Notebook Intel Core i3, Sofware Matematica 8.0
2. Persamaan Potensial Non Central
Potensial yang kami gunakan dalam penelitian ini adalah potensial
Coloumb, Poschl Teller I dan Eckart. Ketiga potensial tersebut kami
kombinasikan, potensial Coloumb plus potensial Poshl Teller I dan potensial
Coloumb plus potensial Eckart. Bentuk potensial tersebut ditunjukkan oleh
persamaan 3.1 dan 3.2.
a. Potensial Coloumb dikombinasikan dengan Potensial trigonometrik Poschl-
Teller I
( ) {
(
( )
( )
)} (3.1)
b. Potensial Ekckart dengan faktor sentrifugal dikombinasikan dengan Potensial
Poschl-Teller I
( )
(
( )
)
( ( )
( )
) (3.2)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
40
C. Prosedur Penelitian
Dalam penelitian ini fungsi gelombang, dan spektrum energi potensial
Non Sentral diselesaikan dengan metode NU. Adapun langkah-langkah
penyelesaiannya dapat dilihat pada gambar 3.1.
Gambar 3.1 Langkah-langkah Penyelesaian Potensial Non Sentral
Pers. potensial
Non Central
Oprator Kuantum
(Koordinat bola)
PS
Pemisahan Variabel
Radial Polar Azimuth
Metode NU Metode NU PD orde II
Tingkat
Energi
Fungsi Gel.
(Polinomial
Jacobi)
Fungsi Gel.
(Polinomial)
Jacobi)
Fungsi Gel.
(Fungsi
Eksponensial)
Fungsi Gel.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
41
Berdasarkan gambar 3.1, Potensial non central dimodifikasi menjadi PS
menggunakan koordinat bola. Setelah PS terbentuk, dengan menggunakan
pemisahan variabel diperoleh persamaan radial, polar dan azimuth. Persamaan
radial dan polar yang diperoleh diselesaikan dengan metode NU, sedangkan
persamaan azimuth diselesaikan dengan persamaan deferensial orde dua. Dari
fungsi radial yang diselesaikan dengan metode NU, diperoleh fungsi gelombang
radial dan tingkat energi, dari fungsi polar diperoleh fungsi gelombang polar.
Fungsi gelombang polar dan azimuth disatukan, menjadi fungsi gelombang sudut.
Langkah-langkah penyelesaian metode NU kami paparkan sebagai berikut:
Persamaan deferensial hipergeometrik, yang dapat diselesaikan dengan metode
Nikiforov-Uvarov berbentuk:
( )
( )
( )
( )
( )
( ) (3.3)
dimana ( ) dan ( ) biasanya merupakan polynomial berderajat dua., dan
( ) merupakan polynomial orde pertama. Langkah berikutnya adalah pemisahan
variabel
( ) ( ) (3.4)
Kemudian diperoleh persamaan persamaan tipe hypergeometrik:
(3.5)
dan ( ) adalah derivative logarithmik dimana solusinya bergantung pada:
(3.6)
fungsi ( ) dan parameter dicari dengan
(
) √(
) (3.7)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
42
(3.8))
Harga k pada persamaan (3.8) dapat diperoleh dari kondisi bahwa pernyataan
kuadrat dibawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polynomial derajat satu,
sehingga diskriminan dibawah akar harus nol. Nilai eigen baru dari persamaan
(3.5) adalah
( )
, n = 0, 1, 2 (3.9)
dimana , (3.10)
Untuk mendapatkan energy eigen nilai dan fungsi eigen yang terkait, diperlukan
kondisi . Solusi bagian kedua fungsi gelombanmg, yn(s), yang bersesuaiaan
dengan relasi Rodrigues diberikan oleh
( )
( )
( ( ) ( )) (3.11)
dimana Cn merupakan konstanta normalisasi, dan fungsi bobot ( ) harus
tergantung pada kondisi:
( )
( ) ( ) (3.12)
Persamaan gelombang sistem diperoleh dari persamaan (3.5), (3.10) dan(3.11).
D Diagram Penelitian
Setelah fungsi gelombang diperoleh, langkah selanjutnya adalah
visualisasi gelombang radial dan sudut. Bentuk visual gelombang polar diambil
dari fungsi riilnya (harga mutlak | |) , sehingga perlu konversi. Konversi dapat
dilakukan dengan mengalikan persamaan yang diperoleh dengan conjugate
kompleksnya ( ), kemudian hasil yang diperoleh dipangkat setengah
(( ) ). Setelah fungsi gelombang riil diperoleh, langkah-langkah visualisasi
gelombang sudut dapat dilihat pada gambar 3.2.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
43
Gambar 3.2 Langkah-langkah Visualisasi Gelombang Sudut
Berdasarkan gambar 3.2, kita memasukkan parameter inpu (n,p,j). arapeter
n, p, j merupakan parameter yang bergantung pada bilangan kuantum n,m dan l’
dan parameter dan . Setelah parameter dimasukkan akan diperoleh fungsi
gelombang sudut, dan dapat divisualisasikan dalam koordinat bola maupun polar.
Fungsi gelombang yang divisualisasikan adalah fungsi gelombang riilnya.
START
Masukkan nilai
Fungsi P ( )
Grafik fungsi gelombang P ( )
STOP
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
45
BAB IV
PEMBAHASAN
A. Bentuk Potensial Non-Sentral Hasil Kombinasi Coloumb Plus Pöschl–
Teller dan Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I Non-Sentral
Potensial non-sentral hasil kombinasi potensial Coloumb plus Pöschl–
Teller I dan potensial Eckart plus Pöschl–Teller I merupakan potensial yang akan
dikaji dalam penelitian ini. Persamaan potensial non-sentral hasil kombinasi
potensial Coloumb plus Pöschl–Teller I dinyatakan pada persamaan 4.1a.
( ) {
( ( )
( )
)} (4.1a)
Suku pertama persamaan (4.1a) merupakan potensial Coloumb, suku berikutnya
merupakan Pöschl–Teller I non-sentral.
Potensial non-sentral hasil kombinasi Eckart Plus Pöschl–Teller I
dinyatakan pada persamaan 4.1b.
( )
(
( )
)
( ( )
( )
) (4.1b)
Suku yang berada dalam suku pertama dan kedua merupakan potensial Eckart,
sedangkan suku berikutnya merupakan potensial Pöschl–Teller I. Dari persamaan
4.1 a, bentuk visualisasi kedua potensial dapat dilihat pada gambar 4.1.1a, 4.1.1b
dan 4.1.1c. Visualisasi gambar pada penelitian ini dilakukan dengan mengatur
nilai ( ( ) ( ) ) dan
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
46
√
untuk mentransformasi koordinat bola ke koordinat kartesian
(x,y,z).
z
y
Gambar 4.1.1a Pöschl–Teller I Non-Sentral
Gambar 4.1.1a merupakan gambar potensial Pöschl–Teller I non-sentral. Potensial
tersebut akan mempengaruhi bentuk potensial secara keseluruhan jika nilai e kecil.
z
y
Gambar 4.1.1b Coloumb Plus Pöschl–Teller I Non-Sentral dengan e=1C
Dari ganbar 4.1.1 b, potensial Coloumb tidak terlalu tampak pengaruhnya,
potensial pengganggu Pöschl–Teller I lebih mendominasi bentuk potensial.
Potensial Columb hanya merubah fungsi radial yang sebelumnya simetris menjadi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
47
asimetris (x=1), karena nilai e terlalu kecil, sehingga perubahannya tidak terlalu
signifikan. Untuk nilai e besar, (e=100C) dapat dilihat pada gamabr 4.1.1c.
z
y
Gambar 4.1.1c Potensial Coloumb Plus Pöschl–Teller I Non-Sentral e=100C
Pada gambar 4.1.1 c terlihat bahwa Pengaruh potensial Coloumb sudah mulai
terlihat dengan munculnya bentuk potensial Coloumb. (gambar 4.1.1 c). Dari
gambar 4.1.1a, 4.1.1b dan 4.1.1c dapat disimpulkan bahwa potensial Pöschl–
Teller I mendominasi bentuk potensial. Semakin kecil muatannya, semakin besar
potensial Pöschl–Teller I mendominasi. Potensial Coloumb menunjukkan
pengaruhnya ketika nilai muatannya diperbesar. Berdasarkan simulasi yang telah
peneliti buat, potensial Coloumb akan mendominasi bentuk potensial jika muatan
diperbesar 1.1018
coloumb, ciri khas bentuk potensial Pöschl–Teller I tidak hilang.
Seperti ditunjukkan pada Gambar 4.1.1d.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
48
Navigasi
pengatur nilai e
z
Potensial
Pöschl–Teller I
yang tereleminasi
y
Gambar 4.1.1d Simulasi Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I Non-Sentral, e=1.1018
C
Berdasarkan persamaan 4.1.1d, Gambar potensial Eckart plus Pöschl–
Teller I dapat divisualisasikan dengan mengatur nilai( (
) ( ) ), a merupakan parameter positif yang mengontrol lebar
sumur dan √
untuk mentransformasi koordinat bola ke
koordinat kartesian (x,y,z), V0 =1, dan V1=2, menjelaskan kedalaman potensial
dan nilainya positif, V1>V0.
z
y
Gambar 4.1.2a. Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I pada a =1
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
49
Pada gambar 4.1.2a terlihat bahwa hasilnya sama dengan potensial
Coloumb plus Pöschl–Teller I pada e=1, potensial ecakrt dengan a= 1 belum
mendominasi bentuk potensial. Bentuk potensial Eckart hanya mempengaruhi
fungsi radial dari simetris menjadi asimetris (pada x=1). Potensial Pöschl–Teller I
tetap mendominasi bentuk potensial. Pada a=10, bentuk potensial Eckart sudah
tampak seperti terlihat pada gambar 4.1.2b.
Ciri Potensial Eckart
z
y
Gambar 4.1.2b. Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I pada a =10
Pada gambar 4.1.2b, walaupun pengaruh potensial Eckart sudah tampak,
tetapi tetap belum mendominasi bentuk potensial. Pada a=1015
, potensial Eckart
mengeleminasi bagain Cosecant kuaadrat. Karena keterbatasan spesifikasi
komputer yang kami miliki, visualisasi gambar a=1018
tidak dapat kami
tampilkan. Visualisasi potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I pada a=1015
dapat
dilihat pada gambar 4.1.2c.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
50
Navigasi pengatur a
z
Fungsi
Cosecant kuadrat
tereleminasi
y
Gambar 4.1.2c. Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I pada a =10
15
Tereleminasinya fungsi Cosecant kuadrat pada gamabr 4.1.3b disebabkan karena
pada persamaan 4.1.2c fungsi cosecant kuadrat memiliki penyebut yang sama
dengan potensial Eckart pada koordinat polar (lihat persamaan 4.52).
B. Penyelesaian PS untuk Potensial Non-Sentral Hasil Kombinasi Potensial
Coloumb Plus Pöschl–Teller I dengan Metode NU.
Dalam koordinat bola PS persamaan (4.1) dapat ditulis:
{
(
)
(
)
) ( )
{
( )
( )
} ( ) ( ) (4.2)
PS tiga dimensi dari persamaan (4.2) diselesaikan menggunakan pemisahan
variabel dengan menggunakan ( ) ( ) ( ) ( ) sehingga diperoleh:
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
51
(
)
(
)
( ( )
( )
) ( ) (4.3)
Pada persamaan 4.3, terlihat bahwa terdapat tiga persamaan yang memiliki
mewakili koordinat radial, polar dan azimuth. Suku pertama, kedua dan ketiga
merupakan koordinat radial, suku keempat dan keenam merupakan koordinat
polar, dan suku kelima merupakan koordinat azimuth. Penyelesaian masing-
masing persamaan dipaparkan dalam tiga solusi penyelesaian berikut:
1. Solusi Persamaan Azimuth.
Dari persamaan (4.3) Solusi persamaan untuk bagian azimuth adalah
(4.4a)
Persamaan 4.4a merupakan persamaan deferensial orde dua dan menghasilkan
solusi:
(4.4b)
2. Solusi persamaan Radial
(
)
( ) (4.5a)
Dikalikan dengan R dan menyederhanakan persamaan deferensial diperoleh:
(
) ( )
(4.5b)
Dengan memisalkan
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
52
(4.5c)
Persamaan (4.5b) dapat disederhanakan menjadi (4.5d)
(
( )
) (4.5e)
Solusi persamaan radial dapat diselesaikan dengan metode NU. Dengan
membandingkan persamaan (4.5e) dengan persamaan (2.37) diperoleh:
, ( ) (4.6)
Nilai dapat dicari dengan:
(
) √(
)
√
( )
{
}
(4.7)
dan ( ) ( ) (
)
memberikan (
)
(
) dan (
)
Dengan memasukkan nilai k ke persamaan (4.7) kita dapatkan
; atau
(
)
(
) atau ( )
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
53
{
} (
)
( ) atau {
} (
)
( )
( ) ; atau
( ) ( )
( )
Dengan menggunakan:
;
( )
(
)
( )
Diperoleh:
( ) (4.8)
Dari persamaan (4.8) kita peroleh
( ) , is bilangan kuantum radial,
adalah bilangan kuantum utama, adalah bilangan kuantum orbital dimana,
Persamaan gelombang radial diperoleh dari:
( )
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
54
( )
( ) ( ) ( ( ))
( )( ) ( )( )
( )
( )
( ( ) ( )
( )
(( )( ) )
( )
( )
(( )( ) ) (4.9a)
Persamaan (4.9) dapat ditulis sebagai:
( )
( )
(( )( ) ) (4.9b)
Dimana persamaan (4.9) mempresentasikan relasi Rodrigues untuk polinomial
Laguerre terasosiasi.
Jika maka
and
( )
(4.10a)
Dengan mensubtitusikan persamaan (4.10) pada persamaan (4.9b) diperoleh
( )
( )
(( )( ) ) (4.10b)
dimana ( ) is polinomial Laguerre terasosiasi yang dapat ditulis sebagai:
( )
( )( ) ( ) ( ) (4.11)
Dengan mengatur
dan
Jika = maka persamaan tersebut akan kembali ke persamaan gelombang atom
hydrogen biasa ( ) ( )( )
( )( ) (Terbukti)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
55
10 20 30 40 50 60
0.005
0.005
0.010
Persamaan gelombang radial lengkap dapat ditulis
( ) ( )
( ) (4.12a)
atau
( ) ( )
( ) ( ) (4.12b)
dimana merupakan konstanta ternormalisasi.
Berdasarkan persamaan (4.12b) dapat diperoleh persamaan gelombang radial
seperti ditunjukkan pada tabel 4.1a
Tabel 4.1a Persamaan Gelombang Radial Potensial Coloumb plus Poschl-Teller I
(Rnl) Persamaan Gelombang Awal Gangguan (Rn’l’) Persamaan Gelombang
Gangguan
R5 3 √
⁄ (
)
κ=2, η=4 R5.41 3.41 ( )
R7 5 ⁄ (
)
√
κ=4, η=2 R 7.46 5.46 ( )
R10 7 √
⁄ (
)
κ=4, η=2 R10.60 7.60 ( )
Dari tabel 4.1 dapat dibuat visualisasi grafik fungsi radial yang dapat dilihat pada
gambar (4.2a) dan (4.2b).
R5 3
R5.41 3.41
Gambar 4.3a. Fungsi Gelombang Radial Potensial Coloumb Plus Posch-Teller I
R5 3 dan R5.41 3.41
r
z
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
56
50 100 150 200
0.002
0.001
0.001
0.002
0.003
0.004
R7 5
R 7.46 5.46
R10 7 R10.60 70.60
Gambar 4.3b. Fungsi Gelombang Radial Potensial Coloumb Plus Posch-Teller I
R7 5, R 7.46 5.46, R10 7, R10.60 70.60
Pada gambar 4.3 a dan 4.3 b terlihat bahwa fungsi radial terganggu,
amplitude gelombang fungsi radial menurun. Hasil ini sesuai dengan sesuai
dengan kesimpulan gambar 4.1.1 a,b dan c. dimana potensial Coloumb pada
fungsi radial tidak mendominasi fungsi potensialnnya pada nilai e kecil.
3. Solusi Persamaan Polar
PS bagian polar untuk potensial Coloumb dikombinasikan dengan
potensial Poschl-Teller I adalah
(
)
(
( )
( )
) ( ) (4.13)
dimana l(l+1) konstanta pemisah. Dengan menggunakan transformasi variabel
pada persamaan 4.13 kita peroleh
( )
(
)
[[ ( ( ) )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )]] (4.13)
r
z
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
57
Dengan mengkomparasikan persamaan (4.13) dan persamaan (2.40)
( ) , (
) (4.14a)
{ ( ( ) ) ( ) ( )}
[ ( ( ) ) ( )]
( )
(4.14b)
Menggunakan persamaan (5) and (2.42) kita dapatkan
(
)
√{ ( ( ) ) ( ) ( )
} [
( ( ) ) ( )
] (
( )
)
(4.15)
Harga k pada persamaan (4.15) dapat diperoleh dari kondisi bahwa
pernyataan kuadrat dibawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polynomial
derajat satu, sehingga dapat ditulis
(
) √(
( )
) (
( ( ) ) ( )
( ( )
)
) (4.16)
Dan diskriminan dibawah akar harus nol.
[ ( ( ) ) ( )
]
{ ( )
} {
( ( ) ) ( )
( )
} (4.17)
Nilai dari k diperoleh dari persamaan (4.17) adalah
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
58
(
)
(√ √ )
(4.18a)
(
)
(√ √ )
(4.18b)
Dengan memisalkan ( ( ) )
dan
( )
(
)
(4.19)
dan memasukkan persamaan (4.18) and (4,19) pada persamaan (4.17) pada
kondisi maka persamaan (4.17) menjadi
(√ √
√
) √ √
√
untuk (4.18a)
(√ √
√
) √ √
√
untuk (4.18b)
dan dapat dicafi dengan menggunakan persamaan (2.45), (4.13) dan
nilai pada persamaan (4.14a), sehingga
(√ √
√ )
√ √
√ untuk (4.19a)
dan (√ √
√ ) √ √
√ untuk (4.19b)
nilai dan diperoleh dengan menggunakan persamaan (2.43), (2.44), (4.15a),
(4.18a), (4.18b), (4.19a), dan 4.19).
(
)
(√ √ )
(√ √
√
) (4.20a)
(
)
(√ √ )
(√ √
√
) (4.20b)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
59
(√ √
√ ) ( ) (4.21a)
(√ √
√ ) ( ) (4.21b)
Agar memiliki arti fisis lebih, pilihan terbaik untuk nilai diperoleh dari
persamaan (4.20b) dengan (4.21b), dimana
√ ( ) (4.22)
Bagian pertama fungsi gelombang diperoleh dari persamaan (2.41), (4.14a) dan
(4.18b).
( )√
√ ( )√
√
( )√ ( )
( )
( )√ ( )
( )
(4.23)
Fungsi bobot dari fungsi gelombang bagian kedua diperoleh dari
persamaan (2.47), (4.14a) and (4.19b) adalah
( ) √
√ ( ) √
√ ( )√ ( ) ( )
(4.24)
Dengan memasukkan persamaan (4.24) dan (4.14a) pada persamaan (2.46)
persamaan gelombang polar bagian kedua
( )
( )√ ( ) ( )
(( ) √ ( ) ( )
) (4.25)
Sehingga, persamaan lengkap bagian polar adalah
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
60
( ) ( ) √ ( )
( )
(( ) √ ( ) (
)
) (4.25)
Dengan √ ( ) dan (4.26)
diperoleh
( ) ( )
( )
(( ) ( )
) (4.27)
C. Penyelesaian PS untuk Potensial Non-Sentral Hasil Kombinasi Potensial
Eckart Plus Pöschl–Teller I dengan Metode NU.
Potensial Non-Sentral yang dibentuk oleh potensial Eckart dan Poschl-
Teller diberikan oleh:
( )
(
( )
)
( ( )
( )
) (4.28)
dengan V0 dan V1 mendiskrisikan kedalaman sumur potensial dan bernilai positif,
V1>V0, a merupakan parameter positif yang mengontrol lebar potensial,
, .
PS tiga dimensi bergantung waktu untuk potensial Eckart dikombinasikan dengan
Poschl-Teller I adalah
{
(
)
(
)
) ( )
{
(
( )
)
( ( )
( )
)} ( )
( ) (4.29)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
61
PS tiga dimensi yang ditunjukkan pada persamaan (4.29) dpat diselesaikan dnegan
pemisahan variabel, ( ) ( ) ( ) ( ) sehingga kita peroleh
(
)
(
( )
)
(
)
( ( )
( )
) (4.30)
dimana ( ). Dari persamaan (4.30) kita dapatkan persamaan bagian
radial, polar dan azimuth dari PS yaitu:
Persamaan radial:
(
)
(
( )
)
( ) (4.31a)
Persamaan polar:
(
)
( ( )
( )
) ( ) (4.31b)
Persamaan Azimuth
(4.31c)
1. Solusi Persamaan Azimuth
Dari persamaan (4,31c) kita dapatkan persamaan gelombang bagian azimuth:
(4.32)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
62
2. Solusi Persamaan Radial
Untuk menselesaikan PS bagian radial kita mensubtitusikan
dan ( )
pada persamaan (4.31a) kita dapatkan
{ ( )
( )
( )}
{
( )
} ( ) ( )
(4.33)
Persamaan (4.33) dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan faktor
sentrifugal (Y. Xu, S. He and C. S. Jia:2010) jika
<<<1 maka
(
( )
) (4.34)
dengan
. dengan memasukkan persamaan (4.34) ke persamaan (4.33) kita
dapatkan
( )
{( ( ))
( )
( ) } ( )
(4.35)
dengan menggunakan transformasi koordinat, ( ) ( ) pada
persamaan (4.35) kita dapatkan
( )
{
( ( ))
( )
( )( )
( )
( ( ) )( )
( ) }
(4.36)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
63
Prosesnya:
(
)
{
( ( ))
( )
( )( )( )
( )
( ( ) )( )
( ) }
{
( )
( )
( )( )( )
( )
( )( )
( ) } dikalikan
( )
{
( ( ))
( )
( )( )
( )
( ( ) )( )
( ) }
Dengan mengkomparasikan persamaan (4.36) dengan persamaan (2.37)
kita peroleh
, ( ), (4.37)
(( ( ) ) ( ( ) ( )
) ( ( ) )) (4.38)
Dengan memasukkan persamaan (4.37) dan (4.38) pada persamaan (2.42) kita
peroleh
√
(
( ( )
)
( ( )
( ( ) )
)
( ( ) )
(4.39)
Harga k pada persamaan (4.39) dapat diperoleh dari kondisi bahwa
pernyataan kuadrat dibawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polynomial
derajat satu, persamaam (4.39) dapat ditulis sebagai
√( ( )
) (
( ( ) ( ( ) )
( ( )
)
)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
64
(4.40)
dan
( ) ( ( ) ) ( ( )
) [ ( ( ) )] (4.41)
sehingga diskriminan dibawah akar harus nol. Nilai k k berdasarkan persamaan
(4.41) adalah
{
} √ (4.42a)
{
} √ (4.42b)
dimana
( )
dan ( ) (4.43)
Dengan memasukkan persamaan (4.42a) dan (4.42b) kedalam persamaan (4.40)
dan dengan kita peroleh
(√ √
) √ untuk {
} √
(4.44a)
dan (√ √
) √ untuk {
} √
(4.44b)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
65
dengan memasukkan persamaan (4.37), (4.44a) dan (4.44b) pada persamaan
(2.45) diperoleh
( (√ √ )) √ untuk (4.45a)
and ( (√ √ )) √ untuk (4.45b)
Untuk mendapatkan nilai eigen baru dari persamaan deferesial tipe
hipergeometrik pada persamaan (2.40) dapat diperoleh dengan menggunakan
persamaan (2.43), (2.44), (4.42a), (4.42b), (4.44a) dan (4.44b).
{
} √ (√ √
) untuk k1 (4.46a)
{
} √ (√ √
) untuk k2 (4.46b)
dan
( )
( (√ √ )) ( )
(√ √ ) (4.47a)
( )
( (√ √ )) ( )
(√ √ ) (4.47b)
Dengan menghitung persamaan (4.46a) dengan (4.47a) atau persamaan
(4.46b) dengan (4.47b) kita mendapatkan hasil yang sama, yaitu
( ) {(√
)
(√
)
}
(4.48)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
66
Dan sepektrum energi dari potensial Eckart dikombinasikan dengan Poschl-Teller
I non-sentral yang diperoleh dari persamaan (4.48) adalah
{
(√ (
)
)
(√ (
)
)
( )
} (4.49)
Prosesnya:
( )
( (√ √ )) ( ) (√ √ )
{
} √ (√ √
) (√ √ )
√ √ √ (√ ) (√
) {
}
( √ )√ (√
)
√ (√
)
(√
)
( ) {(√
)
(√
)
}
(√
)
(√
)
( )
{(√
)
(√ )
( )
}
Dengan menggunakan persamaan (2.41) dan nilai pada persamaan (4.44a) dan
(4.44b) dan pada persamaan (4.37) fungsi gelombang bagian pertama adalah
( )√
( ) √ (4.50a)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
67
dan
( )√
( )√ (4.50b)
Fungsi bobot bagian radial diperoleh dari persamaan (2.47), (4.37), (4.45a) dan
(4.45b) adalah
( ) √ √ (4.51a)
dan ( ) √ √ (4.51b)
Bagian kedua persamaan gelombangnya adalah
( )
( ) √ √
(( ) √ √ ) (4.52a)
atau
( )
( ) √
√
(( ) √
√ ) (4.52b)
Persamaan gelombang radial diperoleh dengan memasukkan persamaan (4.50a),
(4.51a) dan (4.52a) atau menggunakan persamaan (4.50b), (4.51b) dan (4.52b)
adalah
( ) ( ) ( )
√ (
)
√
(( )
√ (
)
√
)
(4.53a)
atau
( ) ( ) ( )
√ (
)
√
(( )
√ (
)
√
)
(4.53b)
dengan (
)
dan ( ) (√
)
(√
) dimana ( )
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
68
Agar memiliki arti fisisi kita memilih persamaan gelombangnya adalah
( ) ( ) (
) √
(
)√
((
) √ (
) √
)
(4.53c)
Dan pemilihan harga k, dan adalah k1,
Persamaan gelombang yang ditunjukkan pada persamaan (4.50a) adalah
persamaan tipe hypergelometrik dengan persamaan fungsi bobot pada persamaan
(4.51b).
Pengecekan kondisi awal: Jika √
, √ dan n=0, maka
persamaan ( ) (
) , hasilnya sama dengan menggunakan
hipergeometri. Dengan menggunakan persamaan 4.53c dapat diperoleh grafik
visualisasi dengan nilai l yang berbeda. Persamaan gelombang radialnya dapat
dilihat pada tabel 4.2b
Tabel 4.1b Persamaan Gelombang Radial Potensial Eckart Plus Poschl-Teller I
No. Rnl Persamaan Gelombang
1. R1 0 ( )
( )
2. R4 3 ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3. R4 3.73 ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
Berdasarkan tabel 4.2b dapat divisualisasikan untuk persamaan gelombang polar
dengan menggunakan software matematica 8.0. Visualisasi bentuk gelombang
radial dapat dilihat pada gambar 4.3 c.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
69
3.25 3.30 3.35 3.40 3.45 3.50
2 1019
4 1019
6 1019
8 1019
R4 3.73
R4 3
R1 0
Gambar 4.3 c. Persamaan Radial Potensial Eckart Plus Poschl-Teller R1 0, R4 3, R4 3.73
Pada gambar 4.3 c terlihat bahwa fungsi radial terganggu, amplitude gelombang
fungsi radial naik. Hasil ini sesuai dengan sesuai dengan kesimpulan gambar 4.1.2
b. dimana potensial Eckart pada fungsi radial sudah mempengaruhi fungsi
potensialnnya pada Pada a=10. Hasil ini berkebalikan dengan kesimpulan pada
potensial Coloumb plus potensial Posch-Teller I. perlu diingat bahwa bentuk
potensial eckart dan potensial Coloumb berkebalikan, sehingga persamaan
gelombang yang dihasilkan pun berkebalikan.
3. Solusi Persamaan Polar
PS bagian polar untuk potensial Eckart dikombinasikan dengan potensial
Poschl-Teller I non-sentral adalah
(
)
(
( )
( )
) ( ) (4.52)
Bentuk persamaan ini sama dengan persamaan (4.13) sehingga menghasilkan
hasil yang sama pula. Persamaan bagian polar untuk potensial Eckart
r
z
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
70
dikombinasikan dengan potensial Poschl-Teller I non-sentral sama dengan
potensial Coloumb dikombinasikan dengan potensial Poschl-Teller I non-sentral.
Solusinya:
( ) ( )
( )
(( ) ( )
) (4.27)
Fungsi gelombang pada persamaan (4.27) dapat divisulisasikan pada tabel
4.2. Visualiasasi fungsi gelombang polar 2D dan 3D menggunakan bantuan
software Matematica 8.0. Penurunan fungsi gelombang juga dilakukan dengan
menggunakan software matematica. Untuk mengecek hasil perhitungan komputer,
penurunan secara manual juga dilakukan. Setelah proses penurunan selesai, grafik
divisualisasikan dalam bentuk 2 dimensi (2D) koordinat polar maupun 3 Dimensi
3D pada kordinat bola.
Cara memperoleh fungsi gelombang secara manual pada tabel 4.2 kami paparkan
sebagai berikut:
( ) ( )
(( ) ( )
) ( )
{ ( )
( )( )
}
( ) ( )
( ) ( ) ( )
(( ) ( )
) (
) ( )
{ ( ) ( )
( ) ( )
}
( ) ( )
( ) ( )
{ ( )
( )}
( ) ( ) ( ( ))
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
71
( ) ( )
(( )( )
) ( )
{ ( )
( )( )
}
( ) ( )
( )
{ ( )
( )}
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
(( ) ( ) )
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) (
) ( ) )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )
( ))
( ) ( ) ( ) ( ( ))
( ) ( ) ( ) ( ( ))
Pembuktian kondisi awal:
Dari persmaan tingkat enrgi potensial Eckart kita dapat enghitung energi pada kasus
khusus untuk Eckart potensial kita memilih:
, sehingga spectrum enegri untuk potensial Eckart adalah
{
[√ (
)
]
[√ (
)
]
( )
} (g)
sehingga or
m adalaah bilangan kuntum magnetik,
bilangan bulat positif , so selalu bilangan positif.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
72
Kasus Khusus
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
Sehingga
( ) ( )
(( ) ( )
)
( ) ( )
( )
(( ) ( )
)
(
) (
)
; sehingga kita perileh ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( (
) (
))
(
) (
)
(
) (
)
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
(( ) ( )
)
Untuk
( )
( )
(( ) ( )
)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
73
( )
( ( )
( )( )
) ( )
( )
( ( )
( ))
(
( )
Sehingga
(
( ))
untuk
( ) ( )
(( ) ( )
)
( )
( )
(
( )
)
( )
( )
(
( )) ( )
(
)
untuk maka
( ) ( )
(( ) ( )
)
( )
(ok) ( )
untuk
Persamaan dan visualisasi fungsi gelombang dapat dilihat pada tabel 4.2 (z
merupakan koordinat simetri yang berperan sebagai amlitudo gelombang,
merupakan koordinat polar dan Azimuth.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
74
Tabel 4.2 Visualisasi Gambar dan Fungsi Gelombang
Fungsi Gelombang 3 Dimensi (3D) 2 dimensi (2D)
( )
( ) (
( ))
( )(
( ))
( ) ( )
( ( ))
( ) ( )
( ( ))
( )
(
( ))
( ) ( )
( )
{
( ( )
( )
( ( ))
( ( ) }
( ( ) )
2 1 1 2
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
4 2 2 4
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
3 2 1 1 2 3
2
1
1
2
2 1 1 2
2
1
1
2
1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2 1 1 2
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
75
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
Fungsi Gelombang 3 Dimensi (3D) 2 dimensi (2D)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Berdasarkan pada Tabel 4.2 Terlihat bahwa potensial Pöschl–Teller I Non-
Sentral dapat merubah fungsi gelombang. Perubahan fungsi gelombang ini
disebabkan karena adalanya perubahan fungsi l. fungsi gelombang pada tabel 4.2
kita perbesar ukurannya untuk mempermudah pengkajian seperti ditunjukan pada
gambar 4.5, 4.6 dan 4.7.
z
z
Gambar 4.5. Fungsi gelombang 2D dan 3D
3 2 1 1 2 3
2
1
1
2
2 1 1 2
2
1
1
2
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
76
21
12
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
21
12
2112
z
z
Gambar 4.6. Fungsi gelombang 2D dan 3D
z
z
Gambar 4.7 Fungsi gelombang 2D dan 3D
Pada gambar 4.5, 4.6 dan 4.7 tampak bahwa gangguan parameter dan
mempengaruhi fungsi gelombang. Parameter memecah fungsi sudut dengan
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
77
fungsi sudut kecil, parameter memecah fungsi sudut dengan fungsi
sudut besar. Lebih jelasnya perhatikan gambar 4.7a, 4.7 b dan 4.7c (nilai
)
z
Gambar 4.7a Fungsi gelombang 2D
z
Gambar 4.7b Fungsi gelombang 2D
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
78
z
Gambar 4.7c Fungsi gelombang 2D
Dari gambar 4.7a, 4.7 b dan 4.7 c terlihat bahwa terjadi perubahan panjang
gelombang. Panjang gelombang sebelum terganggu (4.7a) sebersar berubah
menjadi 2.5 (4.7b) dan (4.7c) dengan nilai z yang mengalami perubahan. Nilai z
yang tidak konstan menunjukkan bahwa vibrasi yang terjadi berubah-ubah, tetapi
tetap periodik. Gangguan parameter dan dapat menaikkan fungsi gelombang.
z dalam hal ini amplitude gelombang juga mengalami kenaikan seiring dengan
perbesaran parameter. Jika parameter dan tidak nol, parameter
menghasilkan nilai z lebih besar pada periode tertentu dibandingkan dengan
parameter , sehingga kenaikkan tingkat energi (momentum) juga lebih besar,
tetapi, kerapatan parameter lebih besar daripada parameter .
Hasil ini sangat bersesuaian dengan prinsip ketidakpastian Heisenberg.
Prinsip ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa:
equivalen
dengan
. Jika > , maka atau naik, atau menurun, jika
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
79
< , maka maka atau turun, atau naik. Parameter juga berdampak
pada perubahan orbit. yang berada pada orbital d, setelah diganggu menjadi
berpindah ke orbital f.
D. Analisis Energi pada Potensial Non-Sentral Kombinasi Coloumb Plus
Pöschl–Teller I dan Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I
1. Analisis Energi pada Potensial Coloumb Plus Pöschl–Teller I
Dengan menggunakan persamaan (4.48) dan mengambil nilai parameter
=4 dan =2 diperoleh grafik tingkat energi seperti ditunjukkan pada gambar 4.8.
Gambar 4.8 Tingkat Energi Potensial Coloumb Plus Pöschl–Teller Non-Sentral.
Grafik pada gambar 4.8 menunjukkan bahwa parameter pada potensial
Pöschl–Teller I Non-Sentral dapat menambah nilai energi tiap tingkatan.
Peningkatan energi terbesar pada kondisi Eo. Eo tanpa parameter menghasilkan
energi -13.6 MeV, dengan parameter menghasilkan energi -3,80 MeV.
Penambahan ini disebabkan perubahan bilangan kuantum l sehingga merubah
energi tiap tingkatannya. Dampak potensial pengganggu berdasarkan grafik 4.2
dapat menaikkan tingkat energi. Potensial Coloumb yang berbentuk sumur
menyebabkan enrgi ikat electron mengecil, sehingga electron mudah tereksitasi.
-15
-10
-5
0
Tanpa Parameter Dengan Parameter
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
80
2. Analisis Energi pada Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I Non-Sentral
Grafik tingkat energi diperoleh dari persamaan (4.49). Dengan memilih
=1, =4 dan =2 diperoleh grafik seperti pada
gambar 4.9.
Gambar 4.9 Tingkat Energi Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller Non-Sentral.
Berkebalikan dengan Grafik pada gambar 4.9, pada gambar 4.9,. Fungsi
parameter pada potensial Pöschl–Teller I Non-Sentral dapat menurunkan nilai
energi tiap tingkatan. Penurunan energi terbesar pada kondisi E12. E12 tanpa
parameter menghasilkan energi -1219.568425 MeV, dengan parameter
menghasilkan energi -2723.240661MeV. Pengurangan ini disebabkan perubahan
bilangan kuantum l sehingga merubah energi tiap tingkatannya. Potensial Eckart
dengan faktor sentrifugal lebih stabil dibandingkan potensial Coloumb, ketika
potensial Eckart dengan faktor sentrifugal mengalami gangguan, dominasi medan
potensialnya masih kuat sehingga pengaruh medan pengganggu tidak menurunkan
energi gap, malah menaikkan energi gap. Dari bentuk potensialnya, potensial
-3000
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
Tanpa Parameter Dengan Parameter
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
81
Eckart berbentuk bukit, sedangkan potensial Coloumb berbentuk lembah. Bentuk
kedua potensial ini menyebabkan hasil tingkat energinya berkebalikan. Walaupun
hasilnya berkebalikan dengan potensial Coloumb plus Pochl-Teller I, karena
bentuk dasar dari potensial Eckart plus Pochl-Teller I Non-Sentral adalah bukit,
maka semakin negatif tingkat energinya, maka energi ikat partikel semakin mudah
terlepas. Penurunan tingkat energi ini menyebabkan jarak antar partikel semakin
jauh, sehingga amplitude gelombang radial membesar. Hasil ini sesuai dengan
analisis fungsi gelombang radial.
E. Dampak Spesifik Parameter Terhadap Tingkat Energi
Dampak spesifik parameter terhadap kenaikan tingkat energi pada
potensial Coloumb plus potensial Poschl-teller I dapat dilihat pada tabel 4.3.
Tabel 4.3 Dampak Spesifik Parameter terhadap Kenaikan tingkat Energi Pada Potensial
Coloumb Plus Posch-Teller I
n m κ η En
1 0 2 4 -0.46395
1 0 4 2 -0.24411
2 0 2 4 -0.19209
2 0 4 2 -0.1242
1 1 2 4 -0.41392
1 1 4 2 -0.23511
1 1 2 4 -0.41392
1 1 4 2 -0.23511
Tabel 4.3 diperoleh dari memasukkan persamaan (4.8) dengan mengganti
nilai l d dengan l’ yang merupakan bilangan kuantum obital baru akibat gangguan.
Berdasarkan tabel 4.2 dapat dismpulkan bahwa parameter κ memberikan kenaikan
tingkat energi yang lebih baik daripada parameter η. Kedua parameter tersebut
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
82
sama-sama dapat menaikkan tingkat energi. Meskipun parameter κ memberikan
kenaikan tingkat yang lebih baik daripada parameter η, kerapatan yang dihasilkan
parameter κ menaglami penurunan (kecil). Pada nilai n=1 dan m=0, parameter
κ=4 dan η=2 menghasilkan energi=-0.24411 MeV, sedangkan pada parameter κ=2
dan η=4 menghasilkan energi -0.46395 MeV.
Dampak spesifik parameter terhadap penurunan tingkat energi pada
potensial Eckart plus potensial Poschl-teller I dapat dilihat pada tabel 4.4.
Tabel 4.4 Dampak Spesifik Parameter terhadap Penurunan tingkat Energi Pada Potensial
Eckart Plus Posch-Teller I
n m κ η En
0 0 4 2 -70.3453
0 0 2 4 -23.933
1 0 4 2 -190.75
1 0 2 4 -103.131
0 2 4 2 -87.1516
0 2 2 4 -43.8032
Tabel 4.4 diperoleh dari memasukkan persamaan (4.49) dengan mengganti
nilai l d dengan l’ , l’ merupakan bilangan kuantum obital baru akibat gangguan.
Berdasarkan tabel 4.4 dapat dismpulkan bahwa parameter κ memberikan
penurunan tingkat energi yang lebih baik daripada parameter η. Kedua parameter
tersebut sama-sama dapat menurunkan tingkat energi.
F. Konversi Potensial Non-Sentral ke potensial dasar Coloumb
Konversi potensial Non-Sentral ke potensial Coloumb disajikan pada tabel
4.5.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
83
Tabel 4.5 Konversi Potensial non sentrakl ke potensial dasar Coloumb
No. Potensial Batasan-batasan
( ) {
( ( )
( )
)} 1. Jika parameter dan =0 maka
potensial yang bekerja hanya
potensial Coloumb.
2. Jika hanya =0, maka potensial
yang bekerja adalah potensial ring
shape.
3. Jika hanya =0, maka potensial
yang bekerja adalah cosecant
kuadrat teta.
4. Potensial Coloumb akan tampak ketika nilai e (muatan lebih dari
100C)
( )
(
( )
)
( ( )
( )
)
Jika V1=0, parameter dan =0 maka
persamaan V0=1, maka persmaan menjadi
V=
( )
=
[
] =
(
). Dengan
nilai =- , (
) <<<0. Maka
persamaan potensial tersebut akan
kembali pada potensial Coloumb.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
84
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Bedasarkan pembahasan yang telah dipaparkan pada bab IV dapat kami simpulkan bahwa:
1. Penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial non sentral hasil
kombinasi Coloumb plus Pöschl–Teller I dapat diselesaikan dengan menggunkan
metode NU. Persamaan energi dinyatakan dalam bentuk
dan bentuk persamaan gelombang dinyatakan dalam bentuk
untuk persamaan gelombang radial dan
(
)
untuk porsamaan polar dan azimuth. Persamaan gelombang radial terganggu mengalami
penurunan z (koordinat simetri yang berperan sebagai amplitude gelombang) jika
dibandingkan dengan gelombang sebelum terganggu. Dilihat dari bentuk dan fungsi
potensial, potensial Coloumb tidak tampak ketika diganggu oleh potensial Pöschl–Teller I
jika nilai e kecil, dengan kata lain potensial Pöschl–Teller I lebih dominan dibandingkan
dengan potensial Coloumb. Fungsi gelombang pada koordinat polar dan azimuth juga
mengalami gangguan. Berbeda dengan koordinat polar, gangguan pada kordinat polar dan
azimuth mengalami Gangguan parameter dan dapat menaikkan fungsi gelombang. z
84
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
85
dalam hal ini amplitude gelombang juga mengalami kenaikan seiring dengan perbesaran
parameter. Jika parameter dan tidak nol, parameter menghasilkan nilai z lebih besar
pada periode tertentu dibandingkan dengan parameter , sehingga kenaikkan tingkat energi
(momentum) juga lebih besar, tetapi, kerapatan parameter lebih besar daripada parameter
. Hasil ini sangat bersesuaian dengan prinsip ketidakpastian Heisenberg, jika kerapatan
tinggi (posisi lebih mudah ditentukan), energi partikel rendah, ketika energi partikel tinggi
maka kerapatan yang dihasilkan rendah. Vibrasi molekul yang dihasilkan akibat gangguan
tidak konstan tetapi tetap periodik. Hal ini dapat dilihat dari perubahan nilai z pada
intrepetasi gelombang. parameter pada potensial Pöschl–Teller I dapat menambah nilai
energi tiap tingkatan. Peningkatan energi terbesar pada kondisi Eo. Eo tanpa parameter
menghasilkan energi -13.6 MeV, dengan parameter menghasilkan energi -3,80 MeV. Pada
potensial Eckart terlihat bahwa fungsi radial terganggu, amplitude gelombang fungsi radial
naik. Hasil ini berkebalikan dengan kesimpulan pada potensial Coloumb plus potensial
Posch-Teller I. perlu diingat bahwa bentuk potensial eckart dan potensial Coloumb
berkebalikan, sehingga persamaan gelombang yang dihasilkan pun berkebalikan. Fungsi
parameter pada potensial Pöschl–Teller I Non-Sentral dapat menurunkan nilai energi tiap
tingkatan. Penurunan energi terbesar pada kondisi E12. E12 tanpa parameter menghasilkan
energi -1219.568425 MeV, dengan parameter menghasilkan energi -2723.240661MeV.
Pengurangan ini disebabkan perubahan bilangan kuantum l sehingga merubah energi tiap
tingkatannya. Potensial Eckart dengan faktor sentrifugal lebih stabil dibandingkan
potensial Coloumb, ketika potensial Eckart dengan faktor sentrifugal mengalami
gangguan, dominasi medan potensialnya masih kuat sehingga pengaruh medan
pengganggu tidak menurunkan energi gap, malah menaikkan energi gap.
77
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
86
2. Penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial non sentral hasil
kombinasi Eckart plus Pöschl–Teller I dapat diselesaikan dengan menggunkan metode
NU. Persamaan energi dinyatakan dalam bentuk :
{(√
)
(√
)
}
dan bentuk persamaan gelombang dinyatakan dalam bentuk
√
√
(
√ (
)
√
)
untuk persamaan gelombang radial,
(
)
untuk porsamaan polar dan azimuth. Dilihat dari bentuk dan fungsi potensial, potensial
Eckart tidak tampak ketika diganggu oleh potensial Pöschl–Teller I jika nilai a kecil,
tapi sudah menunjukkan bentuk potensialnya ketika a dinaikkan 10. Ini menunjukkan
bahwa potensaial Eckart lebih dominan dibandingkan dengan Coloumb ketiha
mengalami gangguan potensial Pöschl–Teller I non sentral. Fungsi gelombang pada
koordinat polar dan azimuth juga mengalami gangguan. Pada kordinat polar dan
azimuth mengalami Gangguan. Parameter dan dapat menurunkan fungsi
gelombang. z dalam hal ini amplitude gelombang juga mengalami penurunan seiring
dengan perbesaran parameter. Jika parameter dan tidak nol, parameter
menghasilkan nilai z yang lebih kecil pada periode tertentu dibandingkan dengan
parameter , sehingga penurunan tingkat energi (momentum) juga lebih tajam. Hasil
ini berkebalikan dengan potensial Coloumb plus potensial Posch-Teller I non sentral.
Vibrasi molekul yang dihasilkan akibat gangguan tidak konstan tetapi tetap periodik.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
87
Hal ini dapat dilihat dari perubahan nilai z pada intrepetasi gelombang. parameter pada
potensial Pöschl–Teller I.
3. Bentuk visualisasi gelombang bagian sudut dalam 2 dimensi dan 3 dimensi dapat
dibuat menggunakan program matematica 8.0. Simulasi potensial dan komputasi
fungsi radial juga dapat dibuat melalui program matematica. Visualisasi 2 dimensi
menggunakan koordinat kartesian dan polar, visualisasi 3 dimensi menggunakan
koordinat kartesian dan bola. Fungsi tingkat energi juga dapat digambarkan dengan
program matematica 8.0. pada thesis ini peneliti menggunakan program M.S exel
karena dipandang lebih detail.
B. Saran
Berdasarkan hasil seminar Fisika LIPI pada tanggal 20 juli 2012, ada empat saran
dari para pakar:
1. Menngkaji bentuk potensial lain dan menyimpulkan potensial mana yang
menghasilkan tingkat energi lebih tinggi.
2. Melakukan perhitungan secara numerik fungsi gelombang, kemudian membandingkan
hasil fungsi tersebut dengan hasil analitik.
3. Pengkajian lebih mendalam hasil teori terhadap Fisika terapan, misalnya material.
4. Mewujudkan perhitungan teoritik menjadi sebuah simulasi produk (rancangan alat)
yang dapat menggambarkan dan atau mengukur potensial setiap bahan material.