solucionario ensayo mt - 024 2015

SOLUCIONARIO

ENSAYO MT- 024

EN

SC

ES

MT

024-A

15

V1

1. La alternativa correcta es B.

Unidad temtica Nmeros racionales

Habilidad Aplicacin

2

13

14

15 (Sumando)

2

7

14

15 (Dividiendo)

7

24

15 (Restando)

7

26

15 (Dividiendo)

26

137

26

7

26

130

26

75



Habilidad Aplicacin

El valor de x es:

...666,63

20 . Este valor redondeado a la centsima es 6,67.

El valor de y es:

75,44

19 . Este valor truncado a la dcima es 4,7.

Finalmente (x y) = 6,67 4,7 = 1,97

3. La alternativa correcta es A.


Habilidad Aplicacin

El hermano mayor recibir: 000.200.15

2 = 480.000

El hermano menor recibir: )000.480000.200.1(3

2 = 000.720

3

2 = 480.000

Finalmente el hermano del medio recibir:

1.200.000 (2 480.000) = 1.200.000 960.000 = 240.000

4. La alternativa correcta es C.

Unidad temtica Potenciacin

Habilidad Aplicacin

xx

55

5 = 154

5

54

5

)51(5

5

555

x

xxxx



Habilidad Aplicacin

Si quedaron 9

4de la muestra inicial luego de agregar el antisptico, entonces

9

5de las

bacterias murieron. Luego 12,51015

9

5=

10

12510

15

9

5= 5,62 10

15

9

1=

9

16,2510

16

6. La alternativa correcta es E.


Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que si v = 3, w = 1 y z = 3 1 = 2.

II) Verdadera, ya que si z = 6,0 se tiene: 9

6=

3

2vv = 1. Luego w =

3

1.

III) Verdadera, ya que si w = 0,5, v = 0,53 =2

3 y z =

2

1

3

2 =

3

1

Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.


Unidad temtica Nmeros irracionales

Habilidad Aplicacin

log16 80 = log16 (516) = log16 5 + log16 16 = 5

3+ 1 =

5

8



Habilidad ASE

Como todos los ndices de las races son distintos, se debe elevar al mnimo comn

mltiplo que en este caso es 12, luego:

a = 729333 6212

12

b = 256444 4312

123

c = 125555 3412

124

Finalmente, 125 < 256 < 729, por lo tanto c < b < a.

9. La alternativa correcta es D.


Habilidad ASE

Considerando, logn a = x nx = a, se tiene:

I) Verdadera, ya que log3 a = x 3x = a. En este caso a = 16, entonces:

32 < 16 < 3

3. Por lo tanto, log3 16 est entre 2 y 3.

II) Falsa, ya que log4 a = x 4x = a. En este caso a = 65, entonces:

43 < 65 < 4


III) Verdadera, ya que log5 a = x 5x = a. En este caso a = 100, entonces:

52 < 100 < 5


Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III tienen un valor entre 2 y 3.



Habilidad ASE

Sea (a + b) = 5,6568, entonces:

(a + b) (a b) = a2 b2 (Reemplazando los datos del enunciado)

5,6568 (a b) = ( 2 )2 ( 18 )2

5,6568 (a b) = 2 18 (Truncamos a la dcima)

(a b) = 6,5

16

(a b) = 2,8



Habilidad ASE

I) Falsa, ya que 2p = log

a

b. Si a > b la fraccin

a

b< 1, es decir, el argumento

del logaritmo sera menor a 1 y esto produce que 2p debera ser un nmero

negativo, lo cual no ocurre segn el enunciado donde se especifica que p es

positivo.

II) Verdadera, ya que al aplicar propiedades de logaritmos, se tiene:

p = 2

loglog ab

2p = log b log a

2p = log

a

b (Aplicando definicin de logaritmo)

102p

=

a

b

III) Falsa, ya que al desarrollar la expresin segn los datos de la afirmacin, se tiene:

2p = log

a

b (Reemplazando b = 2a)

2p = log

a

a2

2p = log 2 (Reemplazando log 2 = 0,3)

p = 2

3,0

p = 0,15

Por lo tanto, solo la afirmacin II es verdadera.



Habilidad ASE

I) Falsa, ya que )21(7277147

II) Falsa, ya que )25(545

)25(5

25

25

25

5

25

5

III) Falsa, ya que 38 no se puede convertir en una sola raz debido a que hay una

adicin dentro de la raz.

Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera.



Habilidad Aplicacin

2

9

8

25 (Aplicando concepto de raz)

2

3

8

5

(Descomponiendo la raz)

2

2

2

3

22

5 (Igualando los denominadores)

22

6

22

5 (Restando)

4

2

2

2

22

1

22

1



Habilidad ASE

Todas las expresiones logartmicas estn en base 10, por lo tanto, aplicando la definicin

de logaritmo, se tiene:

log a = 2 102 = a 100 = a log b = 2 103 = b 1.000 = b log c = 2 105 = c 100.000 = c

(Racionalizando)

I) Falsa, ya que: log (a + b) = log c (Reemplazando los valores)

log (100 + 1.000) = log (100.000)

log (1.100) log (100.000)

II) Verdadera, ya que:

11

alog1

alog10log

alog10log

a

a3

000.1

a3

b

III) Verdadera, ya que:

00

0)1log(

0000.100

000.100log

0000.100

000.1100log

0log

c

ab

Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.


Unidad temtica Nmeros complejos

Habilidad Comprensin

En este caso el largo del rectngulo est representado por la componente real del nmero

complejo z, el cual es negativo. El ancho est representado por la componente imaginaria

del nmero complejo z, la cual es positiva.

Por lo tanto, el rea del rectngulo es largo ancho = Re(z) Im(z)


Unidad temtica Nmeros complejos

Habilidad Aplicacin

Si z = (1 i), entonces z2 = 12 2i + i2 = 1 2i 1 = 2i

Luego, el recproco se calcula:

(Reemplazando el valor de b)

(Aplicando la definicin de logaritmo)

(Aplicando propiedad de logaritmo)

(Reemplazando los valores de a, b y c)

(Desarrollando)

(Aplicando propiedad de logaritmo)

z 1

= 2

z

z=

242

4

2

)2(0

222

22

iiii


Unidad temtica Ecuaciones y sistemas de primer grado


Si P es la edad actual del padre, su edad hace diez aos se expresa como: P 10. Si H es la edad actual del hijo, su edad hace diez aos se expresa como: H 10.

Por lo tanto, la ecuacin que representa el enunciado es: P 10 = 15 (H 10).


Unidad temtica Trasformacin algebraica

Habilidad Aplicacin

De acuerdo a la figura, se pueden deducir las siguientes expresiones:

Para obtener el rea sombreada se resta el rea del rectngulo con el rea de los dos

cuadrados no sombreados.

rea rectngulo = largo ancho = (2x + 2) (x + 1)

= 2x2 + 2x + 2x + 2

= 2x2 + 4x + 2

rea cuadrado = x x = x2

Luego, al restar las reas se obtiene:

rea sombreada = rea rectngulo 2 (rea cuadrado)

rea sombreada = 2x2 + 4x + 2 2 x2

rea sombreada = 4x + 2 = 2 (2x + 1)

2

1

x

x x

x



Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que: (4

x + 4

x)2 (Desarrollando el cuadrado de binomio)

(4x)2 + 2 4x 4x + (4x)2

42x

+ 2 + 42x

16x + 2 + 16

x

II) Verdadera, ya que

11

11

1

1

1

1

1

1

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

III) Verdadera, ya que multiplicando por binomio con trmino comn se tiene:

4x3x = x x 12

Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.



Habilidad Aplicacin

Si x corresponden a la cantidad de dulces, entonces la cantidad de dinero que tiene Ana,

se expresa como:

3x + 20 = 500 (Despejando x)

3x = 480

x = 160.

Luego, cada dulce cuesta $ 160, por lo tanto Luisa tiene en dinero:

2 160 20 = 320 20 = $ 300.

Finalmente, ambas tenan 500 + 300 = $ 800 antes que Ana comprara.




Ordenando los sistemas, se tiene:

A) x + 2y = 30

x + 2

y= 15 / 2 2x + y = 30

B) x 2y = 20

2x 4y = 40/ : 2 x 2y = 20

C) 2x + y = 30

x + 2

y= 15/ 2 2x + y = 30

D) x + 4y = 1

x = 2y x 2y = 0

E) 2x + 3y = 0 x y = 5

Luego, solo en la alternativa C las ecuaciones son iguales. Por lo tanto, ese sistema tiene

infinitas soluciones.



Habilidad Aplicacin

1

1

1

1

11

1

11

111

11

33

33

3

3

3

3

32

xx

x

xx

xxx

xx

x

x

xx

xx


Unidad temtica Ecuacin de segundo grado y funcin cuadrtica

Habilidad Aplicacin

Si L es el largo del rectngulo, entonces el ancho est representado por (L 25).

Planteando la ecuacin con respecto al rea del rectngulo, se tiene:

L (L 25) = 116 L

2 25L 116 = 0 (L 29) (L + 4) = 0

Luego, los valores para el largo del rectngulo son 29 o 4. Como se trata de una medida positiva L = 29, por lo tanto, A = L 25 = 29 25 = 4.

Finalmente, el permetro es 2L + 2A = 2 29 + 2 4 = 58 + 8 = 66.



Habilidad ASE

Para conocer la naturaleza de las soluciones de una ecuacin cuadrtica se debe calcular

el discriminante. En este caso, a = 1; b= 2; c = 2k + 1, entonces:

b2 4ac = ( 2)2 4 1 (2k + 1) (Reemplazando)

= 4 8k 4 (Desarrollando) = 8k

I) Falsa, ya que si k > 0 entonces el discriminante es negativo, por lo tanto las soluciones son complejas y distintas. Luego, para que las races sean reales y

distintas debe suceder:

8k > 0 (Dividiendo por 8, cambia el sentido de la desigualdad) k < 0

II) Verdadera, ya que al ser las soluciones reales e iguales se cumple que el discriminante, en este caso 8k, es igual a 0, entonces: 8k = 0 (Despejando k) k = 0

III) Falsa, ya que si k < 0 entonces el discriminante es positivo, por lo tanto las soluciones son reales y distintas. Luego, para que las races sean complejas y

distintas debe suceder:

8k < 0 (Dividiendo por 8, cambia el sentido de la desigualdad) k > 0

Por lo tanto, solo la afirmacin II es verdadera.


Unidad temtica Desigualdades, inecuaciones y funcin potencia


El antecesor de un nmero se expresa como: x 1 El sucesor de un nmero se expresa como: x + 1

Luego planteando el enunciado:

x 1 1 3 (x + 1 + 1) x 2 3 (x + 2) x 2 3x + 6



Habilidad ASE

Separando la expresin 1

n

nm, se tiene:

0111 n

m

n

m

n

n

n

m

Para que el cuociente n

msea negativo, necesariamente m y n deben tener distintos signos.



Habilidad Aplicacin

3x + 2 > 13x > 1 x > 3

1

2 x 3

5x 2

3

5 x

3

56 x

3

1

Por lo tanto, el intervalo solucin es [3

1, + [ representada en la alternativa D).



Habilidad Aplicacin

La solucin de un sistema de inecuaciones corresponde a la interseccin de los intervalos

solucin de cada inecuacin.

Resolviendo la primera inecuacin, resulta x + 3 < 1 x < 1 3 x < 2

Luego, el primer intervalo solucin es

3

1

3

1

Resolviendo la segunda inecuacin, resulta 1 x 2 x 2 1 x 1 x 1

Luego, el segundo intervalo solucin es

Al hacer la interseccin entre ambos intervalos, es posible notar que el segundo de ellos

contiene al primero, lo que implica que por propiedades de conjuntos, la interseccin

entre ellos corresponde al conjunto menor.

Por lo tanto, el grfico que representa la solucin del sistema es


Unidad temtica Funcin afn y funcin lineal


Como el gsfiter cobra $ 5.000 por la visita ms $ 18.000 por cada hora de trabajo,

entonces:

Por una hora cobra $ 5.000 + $ 18.000 1

Por dos horas cobra $ 5.000 + $ 18.000 2

Por tres horas cobra $ 5.000 + $ 18.000 3

Por a horas cobra $ 5.000 + $ 18.000 a

Por lo tanto, la funcin que representa el monto que cobrar el gsfiter, en pesos, para a

horas de trabajo es s(a) = 5.000 + 18.000a.


Unidad temtica Teora de funciones

Habilidad ASE

Para calcular g(f(x)) se debe reemplazar la funcin f en la funcin g. Luego:

g(f(x)) = g(x 4) = (x 4) = x 8x + 16


Unidad temtica Funcin exponencial, funcin logartmica y funcin raz cuadrada

Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que el dominio corresponde a todos los valores reales de x que pueden

reemplazarse en h sin que la expresin se invalide. Como (x + 2) es positivo para

cualquier valor de x en los reales, entonces la expresin 22 x est definida para todos

los reales.

II) Falsa, ya que el recorrido corresponde a todos los valores reales que puede tomar h

cuando se reemplazan valores de x en el dominio. En este caso, x puede toma valores

desde 0 hasta +, por lo cual, la expresin 22 x puede tomar valores desde 2 hasta

+. Luego, el recorrido de h es el intervalo [ ,2 [.

III) Verdadera, ya que h(2) = 624222 y h( 2) =

62422)( 2

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.




Todas las alternativas indican que se trata de una funcin logartmica, por lo cual el

anlisis se restringir solo a este tipo de funcin.

La funcin logartmica representa grficamente con una lnea curva creciente cuando su

base es mayor que 1 y con una lnea curva decreciente cuando su base est entre 0 y 1.

Como el grfico mostrado corresponde a una lnea curva decreciente, entonces las

funciones posibles son j(x) = x2

1log y k(x) = x4

1log .

Como la funcin pasa por el punto (2, 1), entonces al evaluar la funcin en 2, el resultado debera ser 1. Reemplazando en las funciones posibles, resulta j(2) =

12log

2

1 y k(2) = 2

12log

4

1

. Por lo tanto, la funcin representada en el grfico es

j(x) = x2

1log



Habilidad ASE

Al aplicar propiedades de potencias, resulta f(x) = xxxx

)( 5555

1 11

. Luego:

I) Falsa, ya que si la base de una funcin exponencial es mayor que 1, entonces la funcin

es creciente.

II) Falsa, ya que el punto (1, 0) no pertenece al eje de las ordenadas, sino al eje de las

abscisas.

III) Verdadera, ya que ambas expresiones son iguales, lo que se determin inicialmente.

Por lo tanto, solo la afirmacin III es verdadera.



Habilidad Aplicacin

Para determinar el valor mnimo de una funcin cuadrtica, se debe determinar el valor

de x donde ocurre, y luego evaluarlo en la funcin. En este caso, xv = 2

5

12

5

2

)(

a

b.

Luego, yv = f(xv) = 4

11

4

3650259

2

25

4

259

2

55

2

52

.

Por lo tanto, el valor mnimo que alcanza la funcin es 4

11.



Habilidad ASE

Para encontrar los intervalos de desigualdad entre dos funciones, se debe encontrar los

valores de x que cumplen con la desigualdad planteada. En este caso, 9x4 3x5.

Si x = 0, entonces las funciones son iguales. Si x 0, entonces se puede dividir por 3x4,

que por ser positivo no cambia el sentido de la desigualdad, quedando 3 x x 3.

Por lo tanto, la desigualdad planteada se cumple para el intervalo [ 3, +[.


Unidad temtica Transformaciones isomtricas

Habilidad Aplicacin

El vector r tiene coordenadas ( 1, 5) y el vector s tiene coordenadas ( 3, 3). Luego, el triple de la suma entre r y s es 3(r + s) = 3(( 1, 5) + ( 3, 3)) = 3( 4, 2) = ( 12, 6).



Habilidad Aplicacin

El punto medio entre P y Q se calcula como

22

QPQP yy,

xxM . Como el valor de a

est relacionado con la coordenada x entonces se puede platear 2

QP

M

xxx

.

Reemplazando los valores dados, resulta

2

3

2

2

a

a

3

24

3

10

3

212

3

24

a



Habilidad Aplicacin

Si al aplicar el vector T(x, y) al punto C(5, 5) resulta ( 7, 12), entonces se puede plantear:

(5, 5) + (x, y) = ( 7, 12) (x, y) = ( 7, 12) (5, 5) = ( 7 5, 12 5) = ( 12, 7)

Luego, los vrtices A y B trasladados son, respectivamente:

A(3, 0) + T( 12, 7) = (3 12, 0 + 7) = ( 9, 7) B(7, 0) + T( 12, 7) = (7 12, 0 + 7) = ( 5, 7)



Habilidad Aplicacin

Si a un punto (x, y) se le realiza una simetra axial con respecto al eje X, resulta el punto

(x, y). Luego, si al punto (7, 3) se le realiza una simetra axial con respecto al eje X, resulta el punto (7, 3).

Si a este punto se le aplica el vector T( 9, 5), resulta el punto (7, 3) + ( 9, 5) = (7 9, 3 + 5) = ( 2, 2)


Unidad temtica Geometra de proporcin

Habilidad Aplicacin

A) Verdadera, ya que cada diagonal del rombo lo divide en dos tringulos congruentes.

B) Verdadera, ya que las diagonales del rombo son bisectrices de sus ngulos interiores.

C) Verdadera, ya que las diagonales de un rombo se dimidian, o sea se cortan en su punto

medio.

D) Verdadera, ya que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre s.

E) Falsa, ya que no se indica que la diagonal AC sea igual a los lados. Por otro lado, si el

tringulo fuera equiltero, ocurrira que DBAC , que sera lo contrario que plantea el enunciado.




Una rotacin de 150 en sentido horario corresponde a una rotacin negativa, y una

rotacin de 60 en sentido antihorario corresponde a una rotacin positiva. Luego, al

punto se le realiza una rotacin de ( 150 + 60) = 90, que es lo mismo que una rotacin positiva de 270.

Si a un punto (x, y) se le realiza una rotacin positiva de 270, resulta el punto (y, x). Luego, si al punto (4, 6) se le realiza una rotacin positiva de 270, resulta el punto ( 6, 4).



Habilidad Aplicacin

El rea de un trapecio se calcula como la

semisuma de las bases, multiplicada por la altura.

En este caso, el rea queda hBPCR

2

Al determinar los puntos simtricos del tringulo,

como indica la figura, se puede calcular que BP = 4 y CR = 10. Adems, como la

distancia entre los segmentos BP y CR es 4, entonces h = 4.

2 5

4

Por lo tanto, el rea del trapecio BPRC es 2842

410




Segn el teorema de Euclides, en un tringulo rectngulo, la medida de la altura que cae

sobre la hipotenusa es igual al producto de los catetos dividido por la hipotenusa. En este

caso, hipotenusa

alturaab

Segn el teorema de Pitgoras, la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la raz

cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos. En este caso,

22hipotenusa ba

Por lo tanto, la altura pedida se puede expresar como 22

alturaba

ab



Habilidad Aplicacin

Segn el teorema de Euclides, en un tringulo rectngulo la altura que caes sobre la

hipotenusa elevada al cuadrado es igual al producto de las proyecciones de los catetos

sobre la hipotenusa.

En este caso, queda TGFTHT 2

3 = 2(p 1)

p 1 = 2

9 = 4,5 p = 4,5 + 1 = 5,5


Unidad temtica Circunferencia

Habilidad Aplicacin

El ngulo interior a una circunferencia se calcula como la semisuma de los arcos que

subtiende. En este caso, 2

arco arco

ABDC , con arco DC = 80.

Si el ngulo ACB mide 60, entonces el arco AB mide 120. Luego, la medida de es

1002

12080 .



Habilidad Aplicacin

Como el punto T divide interiormente al trazo RS en la razn a:b entonces se puede

plantear

b

a

TS

RT .

Entonces, al despejar el trazo TS, queda RTa

b



Habilidad Aplicacin

Segn el teorema de Thales, en el tringulo ABC se cumple que

CB

AB

ED

AE

5

5

10

102

10

10

xxxx

ED

x

Luego, al despejar el trazo ED, resulta 5

5

x

x



Habilidad Aplicacin

En la figura, segn el teorema de las cuerdas, se cumple que EDBEECAE , y segn

el teorema de la secante y la tangente, se cumple que OBODOA 2

.

Reemplazando los valores dados en la primera expresin, resulta

2 4 = 2x x 4 = x x = 2 BE = 4, ED = 2, OD = 14 y OB = 20

Reemplazando los valores encontrados en la segunda expresin, resulta

OA = 14 20 = 280 OA = 702280


Unidad temtica Circunferencia

Habilidad Aplicacin

El ngulo exterior a una circunferencia se calcula como la semidiferencia de los arcos que

subtiende. En este caso, 2

arcoarco AB CDCPD

.

Como la circunferencia completa mide 360, entonces arco CD = 903604

1 y arco

AB = 4836015

2. Luego,

21

2

42

2

4890CPD



Habilidad ASE

En la configuracin de Euclides siempre se generan dos tringulos semejantes entre s y

semejantes al tringulo original. En este caso, BCD CAD BAC. Luego:

I) Verdadera, ya que la razn entre los permetros de dos tringulos semejantes es igual a

la razn entre sus lados homlogos. O sea, 1

2

AC

BC

P

P

CAD

BCD PBCD = 2 PCAD.

II) Verdadera, ya que la razn entre las reas de dos tringulos semejantes es igual al

cuadrado de la razn entre sus lados homlogos. O sea, 1

4

1

222

AC

BC

A

A

CAD

BCD

ABCD = 4 ACAD.

III) Verdadera, ya que ambos ngulos son el complemento del ngulo CBA.

Por lo tanto, las tres afirmaciones con verdaderas.


Unidad temtica Geometra analtica


En una homotecia de razn menor que 1, ocurre que cada punto se proyecta hacia el otro

lado del centro de simetra, a una distancia mayor que la que recorri hasta dicho centro,

como muestra la figura.

Luego, el resultado corresponde a una

figura invertida con respecto a la original

y cuyas dimensiones son mayores que las

iniciales, como muestra la opcin A.



Habilidad ASE

En este caso, m es la pendiente de la recta (que tiene que ver con su inclinacin con

respecto al eje X) y n es el coeficiente de posicin (que corresponde a su interseccin con

el eje Y). Luego:

I) Falsa, ya que si el coeficiente de posicin es 0, corresponde a una recta que pasa por el

origen, y si la pendiente es distinta de cero, corresponde a una recta que no es horizontal,

pero en ningn caso significa que sea paralela el eje Y (recta vertical).

II) Verdadera, ya que la pendiente 0 indica que no tiene inclinacin con respecto al eje X,

es decir, se trata de una recta horizontal.

III) Verdadera, ya que la pendiente positiva indica que la inclinacin es creciente con

respecto al eje X.

Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.



Habilidad Aplicacin

Una forma rpida de comprobar cul es el sistema correcto es reemplazar el punto (1, 7)

en las parejas de ecuaciones y comprobar que en ambas se verifica la igualdad. Luego:

A) Si se reemplaza con x = 1 e y = 7 en la primera ecuacin, resulta 7 = 21 + 3, lo que es

falso, por lo cual el sistema no es el buscado.

B) Si se reemplaza con x = 1 e y = 7 en la primera ecuacin, resulta 7 = 1 + 4, lo que es


O

C) Si se reemplaza con x = 1 e y = 7 en la primera ecuacin, resulta 7 = 21, lo que es


D) Si se reemplaza con x = 1 e y = 7 en la primera ecuacin, resulta 7 = 21 + 5, lo que es

verdadero. Si se reemplaza con x = 1 e y = 7 en la segunda ecuacin, resulta 7 = 7(1 2), lo que es verdadero, por lo cual el sistema es el buscado.

E) Si se reemplaza con x = 1 e y = 7 en la primera ecuacin, resulta 7 = 31 + 3, lo que es




Habilidad Aplicacin

Si a un punto (x, y) se le realiza una rotacin de 90, resulta el punto ( y, x). Luego, si al punto P(2, 6) se le realiza una rotacin de 90, resulta el punto P( 6, 2).

Si al punto Q(5, 4) se le aplica el vector T( 2, 7), resulta el punto (5, 4) + ( 2, 7) = (5 2, 4 + 7) = Q(3, 11)

La distancia entre dos puntos A y B se calcula como 22 )()( ABAB yyxxAB . En

este caso, resulta 299299)211())6(3( 22222 QP



Habilidad Aplicacin

En la imagen se aprecia que la recta pasa por los puntos (0, a) y (b, 0). Para calcular la

pendiente de esta recta utilizaremos la frmula 12

12

xx

yym

. Sustituyendo:

b

a

b

am

0

0

Por lo tanto, la pendiente de la recta de la figura es b

a.




Como el punto ( 4, 3, 1) pertenece a la recta v(t) = (2, a, 1) + t(1, b, a), entonces existe un nmero t perteneciente a los reales, tal que:

( 4, 3, 1) = (2, a, 1) + t(1, b, a)

Calculando:

( 4, 3, 1) = (2, a, 1) + t(1, b, a) (Producto de vector con un escalar) ( 4, 3, 1) = (2, a, 1) + (t, bt, at) (Suma de vectores) ( 4, 3, 1) = (2 + t, a + bt, at 1)

Si dos vectores son iguales, entonces los componentes respectivos son iguales. Es decir:

(1) 4 = 2 + t , (2) 3 = a + bt y (3) 1 = at 1

(1) 4 = 2 + t (Despejando t) t = 6 (Sustituyendo en (3)) (3) 1 = 6a 1 (Despejando a) 6a = 2

a = 3

1 (Sustituyendo en (2))

(2) 3 = 3

1 6b (Despejando b)

6b = 3

1 3

6b = 3

91

6b = 3

10

b = 63

10

b = 9

5

Por lo tanto, b es igual a 9

5.


Unidad temtica Cuerpos geomtricos


Sabemos que el volumen de un cilindro es igual al rea de la base multiplicada la altura,

es decir, hr 2 . Entonces:

A) Correcta, ya que si el radio aumenta al doble, entonces hrhrV 22 4)2( . Es

decir, el volumen aument en cuatro veces.

B) Incorrecta, ya que si el radio disminuye a la mitad, entonces

hrhr

V 22

4

1

2

. Es decir, el volumen disminuy a la cuarta parte.

C) Incorrecta, ya que si la altura disminuye a la mitad, entonces

hrh

rV 22

2

1

2

. Es decir, el volumen disminuy a la mitad.

D) Incorrecta, ya que si la altura aumenta al doble, entonces hrhrV 22 2)2( .

Es decir, el volumen aument al doble.

E) Incorrecta, ya que si el radio y la altura disminuyen a la mitad, entonces

hrhr

V 22

8

1

22

. Es decir, el volumen disminuyo a una octava parte.


Unidad temtica Cuerpos geomtricos

Habilidad Aplicacin

Como la figura representa a un trozo de papel que al

doblarlo forma un paraleleppedo, entonces este cuerpo

se compone de dos caras cuadradas y cuatro

rectngulos congruentes, cuyas reas respectivas son 16

cm2 y 32 cm

2. Por lo tanto, el volumen del

paraleleppedo ser igual al producto entre el rea basal

(Cuadrado) y la altura. Como el cuadrado tiene rea 16

cm2, entonces cada lado mide 4 cm, al igual que uno de

los lados del rectngulo. Luego, el lado del rectngulo

desconocido tiene una media de 8 cm.

Por lo tanto, el volumen del paraleleppedo ser:

V = 8 cm 4 cm 4 cm = 128 cm3

4 cm

8 cm

4 cm

4 cm

8 cm


Unidad temtica Datos

Habilidad Aplicacin

I) Verdadera, ya que las personas entre 18 y 23 aos abarcan al 60% de los participantes del grupo de teatro, contra un 40% que corresponden a aquellos

que tienen entre 24 y 29 aos.

II) Falsa, ya que las personas que tienen entre 24 y 26 aos corresponden al 30% de

la muestra, que en fraccin equivale a 10

3

100

30 , y no

3

1.

III) Verdadera, ya que: 3,22100

2230

100

1028302520224019

x .

Por lo tanto, solo I y III son verdadera.



Habilidad ASE

El tercer cuartil es equivalente a decir el percentil 75, es decir, el dato bajo el cual se

encuentra el 75% de la muestra. Para esto es conveniente realizar una tabla de frecuencia

acumulada.

Como el dato que ocupa la posicin 80 es el dato

bajo el cual se encuentra el 100% de la muestra,

entonces por proporcin directa encontraremos la

posicin del dato correspondiente al percentil 75:

60100

758080

75

100

x

x

Es decir, que bajo el dato que ocupa la posicin

60 corresponde al tercer cuartil, dato que se

encuentra en el intervalo 51 60.

Cosecha

(ton)

N de

parcelas

Frecuencia

acumulada

1 10 5 5

11 20 6 11

21 30 11 22

31 40 20 42

41 50 17 59

51 60 21 80



Habilidad ASE

Al pasar los datos representados en la grfica en una tabla, obtenemos:

I) Verdadera, ya que el intervalo [20, 30[ tiene una frecuencia igual a 7, siendo la mayor de todas las

frecuencias.

II) Falsa, ya que al ser 21 datos, la mediana ser aquel dato que ocupe la posicin nmero 11, dato que

encontramos en el intervalo [20, 30[.

III) Verdadera, ya que el nmero de calificaciones que

tienen a lo menos 20 son 16, y 21

16 es mayor que

4

3.

Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.



Habilidad ASE

Supongamos que n es un nmero par tal que nx 1 , 22 nx , 43 nx y 64 nx

sean los cuatro nmeros pares consecutivos. Para calcular la desviacin estndar, primero

debemos conocer el promedio de la muestra:

4

4321 xxxxx

(Sustituyendo)

4

)6()4()2(

nnnnx (Calculando)

4

124

nx (Simplificando)

3 nx

Luego, la desviacin estndar es igual a:

4

)()()()( 242

3

2

2

2

1 xxxxxxxx

4

))6()3(())4()3(())2()3(())3(( 2222

nnnnnnnn

4

)3()1(13 2222

Puntajes Frecuencia Frecuencia

acumulada

[0, 10[ 2 2

[10, 20[ 3 5

[20, 30[ 7 12

[30, 40[ 6 18

[40, 50] 3 21

49119

4

20

5

Luego, la desviacin estndar de la suma de cuatro nmeros pares consecutivos es

siempre 5 .



Habilidad ASE

Supongamos que nx 1 , 12 nx , 23 nx , 34 nx y 45 nx son cinco nmeros

naturales consecutivos. Entonces:

5

54321 xxxxxx

(Sustituyendo)

5

)4()3()2()1(

nnnnnx (Calculando)

5

105

nx (Simplificando)

2 nx

Luego, la desviacin estndar es igual a:

5

)()()()()( 252

4

2

3

2

2

2

1 xxxxxxxxxx

5

))4()2(())3()2(())2()2(())1()2(())2(( 22222

nnnnnnnnnn

5

)2()1(012 22222

4

41014

4

10

2

5

Luego, es falso que 2 , ya que 2

5

2

5 .




Como Z es una variable de distribucin normal no tipificada, cuyo promedio () es 165 cm y desviacin estndar () 10 cm, y X es una variable de distribucin normal tipificada, entones para tipificar la variable Z:

ZX

Sustituyendo:

100

165

ZX


Unidad temtica Azar


Como queremos ordenar diez bolitas en una fila, y hay letras que se repiten en las bolitas

(2 con letra S, 3 con letra M y 5 con letra K), entonces tenemos una permutacin con

repeticin.

!5!3!2

!10

!...!!!

!

rcba

nPR


Unidad temtica Azar

Habilidad ASE

Como se lanzan 4 veces una moneda, entonces usaremos el tringulo de Pascal para

analizar todos los casos posibles:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Es decir, al lanzar 4 veces una moneda, en uno de los caso se obtienen 4 caras, en cuatro

de los casos se obtienen 3 caras y 1 sello, en seis de los casos se obtienen 2 caras y 2

sellos, en cuatro de los casos se obtienen 1 cara y 3 sellos, y en uno de los casos se

obtienen 4 sellos, dando un total de diecisis casos posibles. Luego:

I) Verdadera, ya que obtener a los ms 3 sellos implica que no se obtengan 4 sellos. Como en uno de los casos, de un total de diecisis, se obtienen 4 sellos,

entonces en quince de los posibles resultados se obtienen menos de 4 sellos.

Es decir, la probabilidad de obtener a lo ms 3 sellos es 16

15.

II) Falsa, ya que la probabilidad de obtener solo una cara es 16

4, mientras que la

probabilidad de obtener solo dos sellos es 16

6.

III) Falsa, ya que la probabilidad de obtener solo dos caras o solo un sello es igual a la probabilidad de obtener dos caras ms la probabilidad de obtener solo un

sello, es decir, 16

6+

16

4=

8

5

16

10 .

Por lo tanto, solo I es verdadera.


Unidad temtica Azar

Habilidad Aplicacin

Como al lanzar un dado se pueden obtener 6 posibles resultados, entonces la cantidad de

combinaciones posibles al lanzar dos dados es 36.

La probabilidad que la suma de sus caras sea 3 10 es igual a la probabilidad que sus

caras sumen 3 ms la probabilidad que sus caras sumen 10.

En solo dos casos las caras sumaran tres: cuando en el primer dado se obtenga un 1 y en

el segundo un 2, y cuando en el primero se obtiene un 2 y en el segundo un uno, es decir,

la probabilidad de que esto ocurra es 36

2.

Por otra parte, en solo tres casos las caras sumaran diez: cuando en la primera se obtiene

un 6 y en la segunda un 4, cuando en ambos se obtiene un 5, y cuando en el primero se

obtiene un 4 y en el segundo un 6. Es decir, la probabilidad que este evento ocurra es 36

3

Luego, la probabilidad que la suma de sus caras sea 3 10 es igual a 36

2+

36

3=

36

5.


Unidad temtica Azar

Habilidad Aplicacin

Al sumar la cantidad de elementos en la tabla, obtenemos:

La probabilidad de que al escoger un mueble este sea una silla contempornea o un

mueble antiguo es igual a la probabilidad de que el mueble sea una silla contempornea

(10 casos favorable) ms la probabilidad que el mueble sea antiguo (27 casos a favor). Es

decir:

48

37

48

27

48

10

Es decir, la probabilidad de escoger una silla contempornea o un mueble antiguo es 48

37.


Unidad temtica Azar


Si la variable aleatoria x corresponde a la suma de los resultados al lanzar dos dados,

entonces x puede ser desde 2 (que es el mnimo resultado que se obtiene al sumar 1 ms

1) hasta 12 (que es el mximo resultado, obtenindose de 6 + 6). Como son 36 los

posibles resultados, entonces:

A) Falsa, ya que x puede ser 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12.

B) Falsa, ya que en uno de los casos la suma es 2, por lo que P(x = 2) = 36

1.

C) Falsa, ya que P(x < 3) = P(x = 2), ya que es el nico valor que puede tomar x

siendo menor que 3. Por lo tanto P(x < 3) = 36

1.

D) Verdadera, ya que P(x > 2) = 1 P(x < 2) = 36

35

36

11 .

E) Falsa, ya que el intervalo ]2, 12] no considera el 2, y x si puede ser 2.

Tipos de muebles antiguo contemporneo Total

Silla 16 10 26

Mesa 4 2 6

Mesa de centro 5 5 10

Sof 2 4 6

Total 27 21 48


Unidad temtica Azar

Habilidad Aplicacin

Como tenemos 12 bolitas en la urna, donde 3 son rojas, 4 son violetas, 2 son azules y 3

son blancas, entonces la probabilidad de obtener una bolita blanca, una azul y una violeta,

siguiendo este orden, siendo las dos primeras extracciones con reposicin y la ltimo sin

reposicin es igual al producto de probabilidades:

72

1

12

4

12

2

12

3

Luego, la probabilidad de que estos eventos ocurran es 72

1.


Unidad temtica Azar

Habilidad ASE

Sabemos que la variable aleatoria x es el nmero

que se obtiene al extraer una bolita al azar. Al

agrupar todos los datos en una tabla de

frecuencia, tenemos:

I) Verdadera, ya que P(x = 10) y P(x = 11) es igual a la probabilidad que al extraer una

bolita al azar esta tenga un 10 y un 11, respectivamente. Por lo tanto, P(x = 10) = 30

7 y

P(x = 11) = 30

5. Luego P(x = 10) > P(x = 11).

II) Verdadera, ya que P(x = 6) es igual a la probabilidad que la bolita extrada tenga un 6,

es decir, P(x = 6) = 6

1

30

5 .

III) Verdadera, ya que P(x = 14) es igual a la probabilidad que la bolita extrada tenga un

14, es decir, P(x = 14) = 5

1

30

6 .

Luego, I, II y III son verdaderas.

Probabilidad de

obtener una bolita

blanca

Probabilidad de

obtener una bolita

azul, despus de la

primera reposicin

Probabilidad de

obtener una bolita

violeta, despus de la

segunda reposicin

Nmero Frecuencia

2 3

5 4

6 5

10 7

11 5

14 6


Unidad temtica Azar

Habilidad ASE

Al registrar los datos que entrega el enunciado en una tabla, tenemos:

Entonces:

I) Verdadera, ya que 6 bsico es el curso con mayor cantidad de mujeres, por lo tanto es mayor la probabilidad que al escoger una mujer, sea de este nivel.

II) Verdadera, ya que 7 bsico es el curso con mayor nmero de hombres entre los tres niveles, por lo tanto es mayor la probabilidad que el hombre escogido sea

de este curso.

III) Verdadera, ya que 8 bsico es el curso con mayor nmero de estudiantes entre los tres niveles, por lo tanto es mayor la probabilidad de que el(la) estudiante sea

de este nivel.

Luego, I, II y III son verdaderas.


Unidad temtica Azar

Habilidad Aplicacin

Como x es una variable aleatoria discreta en el intervalo [1, 5], entonces x puede ser 1, 2,

3, 4 5.

Al tener la funcin de distribucin, podremos saber cunto es la suma de la funcin de

probabilidad de 2 y la funcin de distribucin de 3:

f (1) = F(1) = 14

1 f(4) = F(4) F(3) =

14

5

7

3

14

11

f(2) = F(2) F(1) = 14

3

14

1

7

2 f(5) = F(5) F(4) =

14

3

14

111

f(3) = F(3) F(2) = 7

1

7

2

7

3

Por lo tanto, f(2) + f(3) = 14

5

7

1

14

3

6 7 8 Total

Hombres 2 8 6 16

Mujeres 10 3 7 20

Total 12 11 13 36



Habilidad ASE

(1) q2 es un nmero par. Con esta informacin s es posible concluir que q es un nmero par, ya que si el resultado de un nmero al cuadrado es par,

necesariamente la raz de este cuadrado debe ser par, ya que par par = par.

(2) (q + 3)2 es un nmero impar. Con esta informacin s es posible concluir que q es un nmero par, ya que si el resultado de un nmero al cuadrado es impar,

necesariamente la raz de este cuadrado debe ser impar, es decir, (q + 3) es impar,

por lo que q debe ser par para que (q + 3) sea impar.

Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por s sola.


Unidad temtica Transformaciones algebraicas

Habilidad ASE

(1) x = 3. Con esta informacin no es posible determinar el valor numrico de la expresin del enunciado, ya que al sustituir en la expresin, el resultado que

obtiene est en trminos de y, y se desconoce el valor de esta variable.

(2) x + y = 5. Con esta informacin no es posible determinar el valor numrico de la expresin del enunciado, ya que al despejar una de las variables y sustituirla en la

expresin, el resultado depende de alguna de las variables.

Con ambas juntas s es posible determinar el valor numrico de la expresin del

enunciado, ya que si x = 3 y x + y = 5, entonces y = 2. Entonces:

71

103

23

)23(23)(

yx

yxyx

Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.


Unidad temtica Funcin afn y lineal

Habilidad ASE

(1) Los grficos de f y g son perpendiculares entre s. Con esta informacin no es posible determinar el valor numrico de n, ya que al ser perpendiculares las rectas,

entonces el producto de las pendientes es 1, es decir, con este dato podemos conocer el valor de m y no as el valor de n.

(2) Los grficos de f y g se intersectan en el eje de las ordenadas. Con esta informacin s es posible determinar el valor numrico de n, ya que al

intersectarse en el eje de las ordenadas (eje Y), entonces ambas rectas tienen igual

coeficiente de posicin. Como el coeficiente de posicin de f es 2, entonces el valor de n es tambin 2.

Por lo tanto, la respuesta es: (2) por s sola.



Habilidad ASE

(1) DCAD y ECBE . Con esta informacin s es posible concluir que los tringulos ABC y DEC son semejantes, ya que al ser estos segmentos congruentes

entre s, entonces D y E son puntos medios de los segmentos AC y BC

respectivamente, es decir, DE es una mediana del tringulo ABC. Como la

mediana es paralela a la base, los ngulos interiores de los tringulos ABC y DEC

son congruentes entre s, por lo tanto son semejantes.

(2) El segmento DE es mediana del tringulo ABC. Con esta informacin s es posible concluir que los tringulos ABC y DEC son semejantes, ya que al conocer la

mediana, podemos concluir congruencia de ngulos y proporcionalidad en las

medidas de los lados, es decir que los tringulos ABC y DEC efectivamente son

semejantes.




Habilidad ASE

(1) m + n = 7. Con esta informacin s es posible afirmar que el punto (1, 7) pertenece a la recta y = mx + n, ya que si despejamos m en la ecuacin m + n = 7 y

sustituyndolo en la ecuacin de la recta, tenemos:

y = (7 n)x + n y = 7x nx + n

Luego, al reemplazar x = 1 en la ecuacin 7x nx + n, efectivamente y = 7. Es decir, el punto (1, 7) pertenece a la recta.

(2) m n = 3. Con esta informacin no es posible afirmar que el punto (1, 7) pertenece a la recta y = mx + n, ya que si despejamos m en la ecuacin m + n = 7 y

sustituyndolo en la ecuacin de la recta, tenemos:

y = (3 + n)x + n y = 3x + nx + n

Luego, al reemplazar x = 1 en la ecuacin y = 3x + nx + n, no podemos determinar

el valor de y ya que no conocemos el valor de n.

Por lo tanto, la respuesta es: (1) por s sola.



Habilidad ASE

(1) x = 0,8. Con esta informacin no es posible determinar el curso ms homogneo, ya que para esto necesitamos comparar la desviacin estndar de los tres cursos y

solo conocemos la desviacin de dos de estos (curso B y curso C).

(2) y = 0,1. Con esta informacin no es posible determinar el curso ms homogneo, ya que, nuevamente, para esto necesitamos comparar la desviacin estndar de los

tres cursos y solo conocemos la desviacin de dos de estos (curso A y curso B).

Con ambas juntas s es posible determinar el curso ms homogneo, ya que

conocemos la desviacin de A, B y C, y el curso ms homogneo es aquel que

tiene la menor desviacin estndar, que en este caso es el curso A.

Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.


Unidad temtica Azar

Habilidad ASE

(1) El menor de los nmeros de la lista es 21. Con esta informacin s es posible determinar la probabilidad de los dos nmeros escogidos sean primos, ya que al

ser treinta nmeros consecutivos, concluimos que estos son {21, 22, 23, , 50}, entre los cuales se encuentran los nmeros primos {23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.

Como conocemos todos los casos posibles y los casos favorables, entonces s es

posible determinar la probabilidad.

(2) El mayor de los nmeros de la lista es 50. Con esta informacin s es posible determinar la probabilidad de los dos nmeros escogidos sean primos, ya que al

ser treinta nmeros consecutivos, concluimos que estos son {50, 49, 48, , 21}, entre los cuales se encuentran los nmeros primos {23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.

Como conocemos todos los casos posibles y los casos favorables, entonces s es

posible determinar la probabilidad.


solucionario ensayo mt - 024 2015

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